plusindo.wordpress.com
SUKUBANYAK (POLINOMIAL)
A. Bentuk Umum Sukubanyak (Polinomial) ax n bx n 1 cx n 2 ... z n = pangkat tertinggi (derajat sukubanyak) a = koefisien x n Contoh: 3x 7 5 x 5 9 x 2 6 adalah sukubanyak berderajat 7, koefisien x 2 adalah –9, koefisien x 0 atau konstanta adalah –6 B. Operasi Hitung Sukubanyak 1. Penjumlahan f ( x) ax 3 bx 2 cx d g ( x) ex 3 fx 2 gx h f ( x ) g ( x) (a e) x 3 (b f ) x 2 (c g ) x (d h) Contoh: f ( x ) 2 x 5 3 x 2 x x 4 g ( x ) 3 x 4 5 x 2 x x 1 f ( x) g ( x) 2 x 5 3 x 4 2 x 2 x 1 x 4 2. Pengurangan f ( x) ax 3 bx 2 cx d g ( x) ex 3 fx 2 gx h f ( x ) g ( x ) (a e) x 3 (b f ) x 2 (c g ) x (d h) 3. Perkalian f ( x) ax 3 bx 2 cx d
g(x) ex3 fx2 gx h f ( x ).g ( x) = (ax 3 bx 2 cx d )(ex 3 fx 2 gx h) aex 6 afx 5 agx 4 ahx 3 bex 5 bfx 4 bgx 3 bhx 2 cex 4 cfx 3 cgx 2 chx dex 3 dfx 2 dgx dh aex 6 (af be) x 5 (ag bf ce) x 4 (ah bg cf de) x 3 (bh cg df ) x 2 (ch dg ) x dh Latihan 1: 1. Diketahui f ( x) 4 x 4 2 x 3 x 2 3x 5 . Tentukan: a. b. c. d.
Derajat sukubanyak f(x) Koefisien x2 Koefisien x Konstanta
2. Jika sukubanyak f ( x) x 3 2 x 2 1 dan g ( x) 3 x 2 2 . Tentukan: a. b. c.
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x ).g ( x)
C. Nilai Sukubanyak 1. Cara substitusi Contoh: Jika f ( x) x 3 2 x 2 1 , tentukanlah nilai f(2) ! Jawab: f ( x) x 3 2 x 2 1 f (2) 2 3 2(2) 2 1 = 8 + 8 – 1 = 15 Andri Nurhidayat
plusindo.wordpress.com 2. Cara skematik (Horner) Jika f ( x) x 3 2 x 2 1 , tentukanlah nilai f(2) ! Jawab: f ( x) x3 2 x 2 1 f ( x) x 3 2 x 2 0 x 1 Diambil koefisien dari setiap suku 1 2 x 1
=
2 0 2 + 8
–1 16
4
15
8
+ Jadi f(2) = 15.
Latihan 2: Tentukan nilai sukubanyak berikut dengan cara substitusi dan skematik: 1. f ( x ) 2 x 3 4 x 2 x 4 2. f ( x) x 3 4 x 2 5 3. f ( x) 2 x 3 x 7 4. f ( x) 4 x 2 x 5 5. f ( x) 5 x 3 3 x 2 x D. Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak
f ( x) P( x ).H ( x) S ( x) f (x ) = sukubanyak yang dibagi P(x ) = sukubanyak pembagi H (x) = hasil bagi sukubanyak S (x) = sisa pembagian E. Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak 1. Cara pembagian bersusun (porogapit) Contoh: Jika f ( x ) x 3 2 x 2 3 x 1 dibagi x 2 , tentukanlah hasil bagi dan sisanya! Jawab: x 2 4 x 11 hasil bagi 3 2 x – 2 x 2 x 3x 1
x 3 2x 2 – 4 x 2 3x 1 4 x 2 8x – 11x 1 11x 22 – 21
sisa
2. Cara Skematik (Horner) Contoh: Jika f ( x ) x 3 2 x 2 3 x 1 dibagi x 2 , tentukanlah hasil bagi dan sisanya! Jawab: Pembagi = 0 x–2=0 x=2
Andri Nurhidayat
plusindo.wordpress.com f ( x) x 3 2 x 2 3x 1 Diambil koefisien dari setiap suku 1 2 3 –1 2 2 8 22 x
1
4
11
+
21 sisa
koefisien hasil bagi Jadi, hasil baginya : x 2 4 x 11
dan sisa: 21
F. Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak dengan Fungsi Linier Bentuk ax + b Contoh: Jika f ( x) 2 x 3 x 2 2 x 1 dibagi 2 x 3 , tentukanlah hasil bagi dan sisanya! Jawab: Pembagi = 0 2x – 3 = 0 2x = 3 3 x= 2 3 f ( x) 2 x x 2 2 x 1 Diambil koefisien dari setiap suku 2 1 2 –1 + 3 = 3 6 12 + 2 x 2
4
8
11
sisa koefisien hasil bagi utama 2x 2 4x 8 Jadi hasil baginya : x 2 2x 4 2 sisa : 11 a G. Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak dengan Fungsi Kuadrat Bentuk ax2 + bx +c Contoh: Jika f ( x ) 2 x 5 x 3 3x 1 dibagi x 2 x 2 , tentukanlah hasil bagi dan sisanya! Jawab: Pembagi = 0 x2 x 2 0 ( x 2)( x 1) 0 x 2 x 1 Pembagi 1 f ( x ) 2 x 5 x 3 3x 1 f ( x) 2 x 5 0 x 4 x 3 0 x 2 3 x 1 Diambil koefisien dari setiap suku –2 0 –1 0 3 1 + = –4 2 –8 –18 –36 –66 + x –2 –4 –9 –18 –33 –65 + Sisa 1 = –1 2 2 7 11 x –2 –2 –7 –11 –22 Koefisien hasil bagi
Sisa 2 Andri Nurhidayat
plusindo.wordpress.com Jadi hasil baginya : 2 x 3 2 x 2 7 x 11 sisa : (Pembagi 1 x Sisa 2) + Sisa 1 : (( x 2)(22)) (65) : 22 x 44 65 : 22 x 21
Latihan 3: Tentukan hasil bagi dan sisa dari: 1. –x4 + x3 – 2x2 + 3x + 4 dibagi oleh x + 2 2. 3x3 + x2 – 5x + 7 dibagi x – 5 3. –6x3 + 4x2 – 7 dibagi oleh x + 1 4. –6x3 + 4x2 – 7 dibagi oleh x – 1 5. 5x3 + 11x2 + 7x – 4 dibagi 5x + 1 6. 6x3 – 2x2 – x + 7 dibagi 3x + 2 7. 8x4 – 5x3 + 2x – 4 dibagi 2x – 4 8. Jika 2x3 + ax2 – 22x – 105 habis dibagi oleh 2x + 5. Tentukanlah nilai a ! 9. 5x3 + 11x2 + 7x – 4 dibagi x2 – x – 2 10. 6x3 – 2x2 – x + 7 dibagi x2 – 3x + 2 H. Teorema Sisa 1. Jika sukubanyak f(x) dibagi (x – k) maka sisanya f(k) b 2. Jika sukubanyak f(x) dibagi (ax – b) maka sisanya f a 3. Jika sukubanyak f(x) dibagi (x – a) (x – b) maka sisanya: f (a)( x b) f (b)( x a ) S ab Contoh: Sukubanyak f (x ) dibagi x 3 sisa 13, sedangkan f (x ) dibagi x 5 sisa –3. Tentukanlah sisa pembagian f (x ) oleh x 2 2 x 15 ! Jawab:
x 2 2 x 15 0 ( x 3)( x 5) 0 Sehingga:
S ( x ) ax b S (3) = 3a + b = 13 S (5) = –5a + b = –3 – 8a = 16 16 a 8 a2 3a b 13 3(2) b 13 6 b 13 b 13 6 b7 Jadi, sisa = S ( x ) ax b = 2 x 7
Andri Nurhidayat
plusindo.wordpress.com Latihan 4: Tentukan sisa pembagian: 1. 2x4 – 2x2 – 7 dibagi x2 + x – 6 2. 6x3 – 2x2 – x + 7 dibagi x2 – 3x + 2 3. 8x4 – 5x3 + 2x – 4 dibagi x2 – 2x – 3 4. 8x4 – 5x3 + 2x – 4 dibagi 2x2 + x – 3 I. Teorema Faktor Jika f(x) suatu sukubanyak, maka f(k) = 0, jika dan hanya jika (x – k) merupakan faktor dari f(x). Contoh: Tentukan faktor dari sukubanyak f(x) = x3 – 7x + 6 ! Jawab: konstantanya 6, berarti faktor-faktornya ±1, ±2, ±3, dan ±6 Coba kita selidiki dengan (x – 1) Diambil koefisien dari setiap suku 1 1
0 = 1
-7 +1
6 -6 +
x
1
1
-6
0 sisa
sisanya 0, berarti (x – 1) adalah salah satu akar-akar penyelesaiannya sehingga f(x) = x3 – 7x + 6 = (x – 1) (x2 + x – 6) = (x – 1) (x – 2) (x + 3) Latihan 5 Tentukan faktor-faktor dan akar-akar penyelesaian dari sukubanyak: 1. 4x3 – 7x + 3 2. x4 – x3 – 5x2 + 17x – 12 J. Operasi Akar-akar Penyelesaian Sukubanyak 1. Sukubanyak berderajat 3 (ax3 + bx2 + cx + d = 0) b x1 x 2 x3 a c x1 .x 2 x 2 .x3 x1 x3 a d x1 .x 2 .x3 a 2. Sukubanyak berderajat 4 (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0) b x1 x 2 x3 x 4 a c x1 .x 2 x1 .x 3 x1 x 4 x 2 .x 3 x 2 .x 4 x3 .x 4 a d x1 .x 2 .x3 x1 .x 2 .x 4 x 2 .x3 .x 4 a e x1 .x 2 .x3 .x 4 a
Andri Nurhidayat
plusindo.wordpress.com Latihan 6: 1. Diketahui persamaan 3x 3 4 x 2 7 0 . Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar penyelesaainnya. Tentukanlah: a. x1 x 2 x3 b. x1 .x 2 x 2 .x3 x1 x3 c. x1 .x 2 .x3 2. Diketahui persamaan 2 x 4 5 x 2 6 x 1 0 . Jika x1, x2, x3dan x4 adalah akar-akar penyelesaainnya. Tentukanlah: a. x1 x2 x3 x 4 b. x1 . x 2 x1 . x3 x1 x 4 x 2 .x3 x 2 . x 4 x3 .x 4 c. x1. x 2 .x3 x1 .x 2 .x 4 x 2 .x3 .x 4 d. x1 .x 2 .x3 . x 4
Uji Kompetensi: 1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari x3 + 14x2 – 5x + 3 dibagi x2 + 3x – 4 ! 2. Sukubanyak f(x) = x4 + 2x3 – 7x2 + px + q = 0 habis dibagi x2 + 2x – 3 ! 3. Jika sukubanyak f(x) dibagi (x – 2) bersisa 6 dan jika dibagi (x + 5) bersisa -8. Tentukanlah sisanya jika f(x) dibagi x2 + 3x – 10 ! 4. Tentukanlah akar-akar penyelesaian dari x4 + x3 – 13x2 – x + 12 = 0 !
Andri Nurhidayat
