cvičící Ing. Jana Fenclová
4. cvičení 4ST201 - řešení Obsah: ☺ ☺
Pravděpodobnost Náhodná veličina
Vysoká škola ekonomická
VŠE kurz 4ST201
1
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Náhodný jev, náhodný pokus Jev nemožný, jev jistý Klasická definice pravděpodobnosti Statistická definice pravděpodobnosti Pravidlo o sčítání pravděpodobnosti Pravidlo o násobení pravděpodobnosti Nezávislé jevy Úplná pravděpodobnost
2
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.1.: Určete pravděpodobnost následujících jevů, které mohou nastat při hodu dvěma kostkami: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Na obou kostkách padne jednička Padne alespoň jedna dvojka Padne právě jedna trojka Nepadne žádná čtyřka Na obou kostkách padne sudé číslo Součet ok na obou kostkách bude osm
3
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
1 1 1 P( A I B) = P( A) * P( B) = ∗ = 6 6 36
A- padne na 1. kostce jednička B-padne na 2. kostce jednička
1 1 1 1 11 A- padne na 1. kostce dvojka + − ∗ = B-padne na 2. kostce dvojka 6 6 6 6 36 1 5 5 1 10 A- padne na 1. kostce trojka P(( A ∩ B ) U ( A ∩ B)) = P( A) * P( B ) + P( A ) * P( B) = ∗ + * = B-padne na 2. kostce trojka 6 6 6 6 36 5 5 25 A- padne na 1. kostce čtyřka P( A ∩ B) = P( A) * P( B) = * = B-padne na 2. kostce čtyřka 6 6 36 1 1 1 A- padne na 1. kostce sudé P( A ∩ B) = P( A) * P( B) = * = B-padne na 2. kostce sudé 2 2 4 přřízniv _ možnosti 5 P= = všechny _ možnosti 36 P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) =
4
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.2.: Házíme 6 hracími kostkami, určete pravděpodobnost, že na všech kostkách padnou různá čísla.
Příklad 3.3.:
a) b) c)
Ze šesti vajec jsou dvě prasklá. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném odebrání dvou vajec vybereme Žádné Jedno dvě prasklá vejce?
5
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.2. 6 5 4 3 2 1 6! P( A) = * * * * * = 6 = 0,015 6 6 6 6 6 6 6
Řešení příkladu 3.3. A – první vybrané není prasklé B – druhé vybrané není prasklé B/A – druhé vybrané není prasklé za podmínky, že první vybrané není prasklé
1. 2. 3.
4 3 6 ∗ = 6 5 15 4 2 2 4 8 P (C ) = P( A ∩ B ) ∪ P( A ∩ B) = ∗ + ∗ = 6 5 6 5 15 2 1 1 P( A I B ) = P( A ) * P( B ) = ∗ = 6 5 15
P( A I B) = P( A) * P( B / A) =
6
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.4.: V koši je celkem 30 koulí, z toho 20 červených a 10 modrých. Náhodně bez vracení vytahujeme dvě koule. Jaká je pravděpodobnost, že to bude jedna červená a jedna modrá koule?
Příklad 3.5.: Určete pravděpodobnost následujících jevů, pokud vybíráme z balíčku 32 karet dvě karty: a) Druhá karta bude královna (karty vracíme) b) Druhá karta bude královna (karty nevracíme) c) Druhá karta bude piková královna(karty vracíme) d) Druhá karta bude piková královna(karty nevracíme) e) Dvě vybrané karty budou obě dámy f) Dvě vybrané karty budou obě stejné barvy g) Mezi 4 vybranými kartami nebude ani jedna dáma 7
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.4. A – vytáhneme červenou B – vytáhneme modrou
P(C ) = P( A ∩ B ) ∪ P( A ∩ B) =
2 10 1 20 40 ∗ + ∗ = 3 29 3 29 87
Řešení příkladu 3.5. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
4 32 4 3 28 4 1 P (C ) = P ( A) * P ( B / A) + P( A ) * P( B / A ) = ∗ + ∗ = 32 31 32 31 8 1 P ( D ) = 1* 32 31 1 1 P( E ) = P( A ) * P( B / A ) = ∗ = 32 31 32 4 3 3 P ( F ) = P ( A) * P ( B / A) = ∗ = 32 31 248 P( A) = 1*
P (G ) = P ( A) * P ( B / A) * 4 =
P( H ) =
8 7 7 ∗ ∗4 = 32 31 31
28 27 26 25 ∗ ∗ ∗ = 0,569 32 31 30 29 8
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.6.: Pravděpodobnost zdárného napsání písemky ze statistiky je 0,75. Jaká je pravděpodobnost, že při psaní dvou písemek bude alespoň jedna zdárně napsaná?
Příklad 3.7.: (těžký příklad, jen pro odvážlivce☺) V první nádobě je 15 lístků, z nichž je 10 bílých. V druhé nádobě je 25 lístků, z nichž je 5 bílých. Náhodně vybereme z každé nádoby po jednom lístku a z těchto dvou lístků opět vybereme náhodně jeden. Jaká je pravděpodobnost, že tento lístek bude bílý?
9
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.6. A – první písemka zdárně napsána B – druhá písemka zdárně napsána
P (C ) = P( A ∩ B ) ∪ P( A ∩ B) ∪ P( A ∩ B) = 0,75 * 0,25 * 2 + 0,752 = 0,937
Řešení příkladu 3.7. Těžký příklad, zkuste sami. Výsledek je 0,43. Pokud by vás zajímal postup, přijďte na KH.
10
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Rychlé opakování pravděpodobnosti na doma Příklad A.: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami Padnou právě tři jedničky Nepadne ani jedna trojka Padnou jen lichá čísla Padne právě jedna čtyřka Padnou právě dvě trojky Padne alespoň jedna šestka [1/216, 125/216, 1/8, 25/72, 5/72, 91/216]
Příklad B.: V osudí je 10 černých a 8 bílých koulí, losujeme bez vracení tři koule, jaká je pravděpodobnost, že budou právě dvě bílé a jedna černá?[0,34] Příklad C.: Jaká je pravděpodobnost, že kouzelník vytáhne za sebou dvě stejné karty, když tahá z jednoho balíčku a to s vracením nebo bez vracení? [ 0,031; 0] 11
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Náhodná veličina Co je potřeba znát z přednášek: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Náhodná veličina Nespojitá a spojitá náhodná veličina Zákon rozdělení náhodné veličiny Distribuční funkce Pravděpodobnostní funkce Hustota pravděpodobnosti Charakteristiky náhodných veličin (střední hodnota E(X), rozptyl D(X) )
12
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Diskrétní náhodná veličina I. Příklad 3.8.: Náhodná veličina představuje výsledek hodu jednou kostkou. Určete distribuční funkci a pravděpodobnostní funkci této veličiny. Příklad 3.9.: Náhodná veličina představuje výsledek hodu jednou kostkou, která má ovšem napilované hrany. Pravděpodobnosti padnutí jednotlivých ok je následující: x
1
2
3
4
5
6
P(x)
0,2
0,15
0,1
0,05
0,1
0,4
Určete pravděpodobnost, že na kostce padne: • Jednička • Alespoň 3 • Číslo menší než 3 • Číslo větší než 2 a menší než 6 • Číslo maximálně rovno 2 Určete distribuční funkci i s grafem 13
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.8. x
1
2
3
4
5
6
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
F(x) =0 x<1 =1/6 x=1 = 2/6 x=2 = 3/6 x=3 = 4/6 x=4 = 5/6 x=5 =1 6<=x
P(x)=1/6 pro x=1,2,3,4,5,6 =0 jinak
Řešení příkladu 3.8. 1.
P(x=1) = 0,2
2.
P(X<3) = P(X<=2) = F(2) = P(1) + P(2) = 0,35
3.
P(X<=2) = F(2) = P(1) + P(2) = 0,35
4.
P(X>=3) = 1 – P(X<3) = 1 - P(X<=2) = 1 - F(2) = 1 – (P(1) + P(2)) = 1 - 0,35 = 0,65
5.
P(2<x<6) = P(3) + P(4) + P(5) = 0,25 …..!! Neboli F(5)-F(2)!!
14
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Diskrétní náhodná veličina II. Příklad 3.10.: Náhodná veličina A má pravděpodobnostní funkci P(X) = x/10 pro x=1,2,3,4 P(X) = 0 jinak
Určete: P(7), P(4), P(2<X<4), F(3), F(2,8), P(2,8), F(8).
15
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.10. 1. P(7) = 0 2. P(4) = 4/10 3. P(2<x<4) = P(3) = 3/10 4. F(3) = P(X<=3) = P(1)+P(2)+P(3) = 3/5 5. F(2,8) = P(X<=2,8) = P(1)+P(2) = 3/10 6. P(2,8) = 0 7. F(8) = P(X<=8) = 1
16
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Spojitá náhodná veličina Příklad 3.11.: (těžký příklad, jen pro odvážlivce) Náhodná veličina Y má hustotu pravděpodobnosti
f(x)=
y 5
pro 0
Určete střední hodnotu náhodné veličiny a rozptyl náhodné veličiny.
17
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.11.
18
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Náhodná veličina - příklady Příklad 3.12.: V tombole je každý týden slosováno 10000 losů. Losy jsou v ceně 5 Kč za kus. Seznam možných výher je v následující tabulce: Počet výher
1
3
700
1200
8096
Vyhraná částka
20000
5000
500
5
0
Vypočítejte střední hodnotu výhry pro jeden los a směrodatnou odchylku výher.
Příklad 3.13.: Třikrát házíme mincí. Náhodná veličina X nechť je počet hodů, při kterých padne hlava. Vypočtěte hodnoty pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny X a sestavte je do tabulky. Nakreslete grafy obou funkcí. 19
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.12.
20
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.13.
21
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Za 14 dní budeme psát první test, pokud budete mít jakékoliv dotazy, přijďte na konzultační hodiny každý pátek 9:00-11:00 JM317, před testem se bude vše dohánět hůře. Máte možnost se na cokoliv zeptat i na webu jana-fenclova.php5.cz , kde máte na fóru široký prostor pro vaše dotazy.
22
