(9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a – b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai!
2) Az ABC háromszög két oldalának vektora AB =c és AC =b. Fejezze ki ezek segítségével az A csúcsból a szemközti oldal F felezőpontjába mutató AF vektort! (2 pont)
3) Az ABCD négyzet AD oldalvektorát jelöljük a-val és AB oldalvektorát b-vel. F a CD oldal felezőpontja. Fejezze ki AF vektor a-val és b-vel!
(2 pont)
4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=AB és b=BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!
(2 pont)
5) Az ABCD négyzet középpontja K, az AB oldal felezőpontja F. Legyen a = KA és b = KB . Fejezze ki az a és b vektorok segítségével a KF vektort! (2 pont)
(9/2) Vektorok, Koordináta Geometria 6) Az ábra alapján fejezze ki az a és a c vektorral az EF , KB , CA , KF vektorokat, ha ABCDEF egy szabályos hatszög és K a középpontja
7) Egy négyzet egyik csúcsából a négyzet két szomszédos csúcsába mutató vektor a; b. Írja fel ezen vektorok segítségével a négyzet átlóvektorait!
(3 pont)
8) Egy ABCD paralelogramma BC és CD oldalainak felezőpontjai E és F. Írja fel az a és b vektorok segítségével az AF és FE vektorokat!
(3 pont)
9) Az ábrán ABCD paralelogrammát láthatunk. Adja meg az ábrán azt a P pontot, melyre teljesül, hogy
(4 pont)
10) Az ABCD négyzet középpontja O, a DC oldal D-hez közelebbi harmadoló pontja H (lásd ábra). Írja fel az a és b vektorok segítségével az OC és HB vektorokat!
OC=?
HB=?
(3 pont)
(9/3) Vektorok, Koordináta 11) Adottak az a = (6; 4) és az a – b = (11; 5) vektorok.
Geometria
Adja meg a b vektort a koordinátával!
(3 pont)
12) Fejezze ki az i és a j vektorok segítségével a c = 2a – b vektort, ha a = 3i – 2j és b = -i + 5j !
(3 pont)
13) A (-4; 5) és B (2; 13). Melynek az AB koordinátái, és mekkora a vektorhossza?
(2 pont)
14) Számítsa ki a következő vektorok skaláris szorzatát! Határozza meg a két vektor által bezárt szöget! .
a.) (5; 8)
b.)(–40; 25)
(3pont)
15) Egy rombusz átlóinak hossza 12 és 20. Számítsa ki az átlóvektorok skalárszorzatát! Válaszát indokolja!
(1 pont)
16) Melyik állítás igaz az alábbiak közül? a) Vektorok skaláris szorzása kommutatív művelet. b) A vektorok skaláris szorzása asszociatív művelet. 17) Mekkora szöget zár be egymással az alábbi két vektor : a (3; 7) b (5; -2) ?
(2 pont) (3 pont)
18) Adott két pont: A (-4; ½) és B (1; 3/2). Írja fel az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit!
(2
pont)
19) Adott az A (2;-5) és B (1; 3) pont. Határozza meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! (2 pont)
20) Az AB szakasz egyik végpontjának a koordinátái: A (-2; 6), a szakasz felezőpontjának a koordinátái: F (0; 3). Határozza meg a B pont koordinátáit!
(2 pont)
21) Egy P pontnak az A (3; -2) pontra vonatkozó tükörképe a P’ (-5; 1) pont. Adja meg a P pont koordinátáit!
(2 pont)
22) Egy szakasz két végpontja: A (-3; 6), és B (3; -6). Határozza meg a szakasz A-hoz közelebbi harmadoló pontjának koordinátáit!
(2 pont)
23) Milyen hosszú AB szakasz, ha végpontjai: A (-2; 3), és B (1; -1)? Határozza meg a szakasz Ahoz közelebbi harmadoló pontjának koordinátáit!
(3 pont)
24) Egy háromszög csúcsai: A (-1;-2), B (2; 3), C (5; -1). Határozzuk meg az ABC háromszög súlypontjának koordinátáit!
(2 pont)
25) Egy háromszög csúcsai A (-1; -2), B (2; 3), C (-4; 10). Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit!
26) Határozza meg az A (1; 1), B (0; 6) és C (-4; -1) pontok által meghatározott háromszög súlypontjának koordinátáit!
(2 pont)
(9/4) Vektorok, Koordináta Geometria 27) Az ABC háromszög két csúcsa A (-2; 4) és B (1; -17) a háromszög súlypontja: S (2; -4). Határozza meg a háromszög hiányzó csúcspontjának koordinátáit!
28) Írja fel a (-2; 7) ponton átmenő n (5; 8) normálvektorú egyenes egyenletét!
(3 pont) (2 pont)
29) Írja fel a P (-2; 1) ponton áthaladó 2x – y = 3 egyenesre merőleges egyenes egyenletét! (3 pont) 30) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P0 (3; -5) ponton és párhuzamos a 4x + 5y = 0 egyenletű egyenessel!
(3 pont)
31) Adja meg annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelynek képe párhuzamos az x → -3x + 5 függvény képével és átmegy a (-1; 2) ponton!
(2 pont)
32) Mekkora az A (-2; 3) és a B (2; -6) pontok által meghatározott egyenes meredeksége! (2 pont) 33) Az f elsőfokú függvény grafikonja olyan m meredekségű egyenes, amely illeszkedik a P pontra. Adja meg az f függvény hozzárendelési szabályát, ha a, m = 3 és P (0; 2); b, m = 2/3 és P (-1/5; 4/3)!
(3 pont)
34) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az origón és párhuzamos az A (3; 2) és a B (-3; 5) pontok által meghatározott egyenessel!
35) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az origón és merőleges az A (-1; 2) és a B (2; 7) pontok által meghatározott egyenesre!
(3 pont)
36) Adott két pont: A (3; 4), B (-2; 2). Írja fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét!
(3
pont)
37) Írja fel a P (4; 3) ponton átmenő, a 4x + 3y = 11 egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét (2 pont)
38) Írja fel annak az egységnek az egyenletét, amely áthalad az origón és merőleges az A (-4; 3) és a B (-1; 8) pontok által meghatározott egyenesre!
(2 pont)
39) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely az y tengelyt -2-ben metszi, és irányszöge 60o!
40) Adja meg az 5x - 3y = 2 egyenletű egyenes és az y tengelyt metszéspontjának koordinátáit! (2 pont)
41) Adott két pont: A (5; 3), B (-2; 6). Írja fel az általuk meghatározott egyenes origóra vonatkozó tükörképének egyenletét!
(3 pont)
42) A K (-2; 3) ponton átmenő egyenes merőleges a 3x = 5y - 7 egyenletű egyenesre. Írja fel az egyenes egyenletét.
43) Egy fényforrásból kiinduló két fénysugár egyenlete 2x - 8y -2 = 0, illetve 4x + y - 21 = 0. Melyik pontban van a fényforrás?
(9/5) Vektorok, Koordináta Geometria 44) Rajta van-e az e és f egyenesek metszéspontja a g egyenesen, ha az egyenesek egyenletei: e: 3x - 4y = 7; f: x + y =6; g: 7x - 21y = -1
(3 pont)
45) Válasszunk ki az alábbi egyenes egyenletek közül azt a kettőt, amelyeknél a nekik megfelelő egyenesek merőlegesek egymásra! a, y = -1/3x + 7 b, x + 4y = 3 pont)
c, y = 3x + 7
d, 2x - 6y = 10 (2
g: 6x + 3y = 9
h: 5x - 10y = 6
46) Milyen az alábbi egyenesek kölcsönös helyzete? e: x - 2y = 2
f: 2x + y = 3 (12 pont)
47) Péter egy régi matematika - könyvet lapozgat, ahol az egyik faladatban két egymásra merőleges egyenesre vonatkozóan talál egy faladatot. Az egyik egyenes egyenlete jól olvasható: -4x + 5y = 6. A másik egyenes egyenletében azonban az x együtthatóját nem tudja kiolvasni, mert elmosódott. Mi lehet az elmosódott szám (az alábbi egyenletben A-val jelöltük), ha a másik egyenlet: Ax - 8y = 7. Segítsünk neki kitalálni A értékét! (4 pont)
48) Határozza meg P pont távolságát az origótól, ha tudjuk, hogy illeszkedik az y tengelyre, és egyenlő távolságra van A (4; -2) B (8; -10) pontoktól!
(3 pont)
49) Határozza meg az ACB háromszög magasságpontjának koordinátáit, ha A (-1; 3), B (-5; 3) és C (-5; 8)!
50) Tekintsük az A (-2; 8) és a B (6;-4) pontokat a koordináta síkban! Aduk meg az összes olyan a) szabályos háromszög
b) négyzet; további csúcsait, melyeknek az AB szakasz oldala!
(17 pont)
51) Mekkora annak a háromszögnek a területe, melynek csúcsai A (-2; 50), B (13; 6), és C (72; 45) ?
(12 pont)
52) Határozza meg az ABC területét, magasságpontjának és súlypontjának a távolságát! A (-5; -2),
B (3; -3),
C (1; 4)
(12 pont)
53) Egy számítógép képernyőjén megjelenített térképrészleten az A település koordinátái: (24; 60) a B településé (-13; 23) míg a C településé (24; -14).
a) Mekkora az AB távolság? b) Milyen messze van a C település az A-t és B-t összekötő egyenes úttól? c) Mi annak a pontnak a két koordinátája ebben a rendszerben, amelyik mindhárom településtől egyenlő távolságra van?
54) Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái: A (2; 2), B (2; 8). A harmadik csúcsának első koordinátája 1. Mekkora a háromszög területe?
(3 pont)
55) Egy háromszög csúcsai: A (-3; 1), B (2; -2), C (5; 3). Határozza meg a háromszög a) oldalainak hosszát; b) területét; c) magasságát!
(12 pont)
Vektorok, Koordináta Geometria
(9/6)
56) Adott egy háromszög három csúcspontja koordinátával: A (-4; -4), B (4; 4), C (-4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból induló magasságvonal metszéspontjának koordinátáit!
57) Az ABC háromszög két csúcsa A (4; 2) és B (-2; -1) Két oldalegyenesének egyenlete : 3x-y=10 és 3x+4y=-10
a) Határozza meg a C csúcs koordinátáit! b) Adja meg a B csúcshoz tartozó magasság egyenesének egyenletét! c) Számítsa ki a b oldal hosszát! d) Határozza meg a háromszög területét!
(17 pont)
58) Egyenlő szárú derékszögű háromszögnél az átfogó végpontjainak koordinátái: A (-2; 5) és B (6; -1). a) Határozza meg a háromszög súlypontjának koordinátáit! b) Adja meg a háromszög magasságpontját! c) Határozza meg a háromszög területét!
d) Mekkora a körülírt körbe írt szabályos hatszög területe?
(17 pont)
59) Három falu közösen tervez egy szennyvíztisztító telep létesítését, a falvak térképszelvényről levett koordinátái km-ben: A (16; 18), B (28; 2), C (18; 26).
a) Mely pontban építsenek szennyvíztisztító telepet, ha azt szeretnék, hogy mindhárom falutól ugyanolyan távolságban legyen? Adjuk meg a pont koordinátáit!
b) Mekkora ez a távolság?
(6 pont) (2 pont)
c) Tervezik még a faluk egymással, és a falukat a teleppel összekötő utak építését. Hány km utat szeretnének építeni?
(6 pont)
60) Az e egyenestől tudjuk, hogy a meredeksége ½ és az y tengelyt 4-ben metszi. a) Ábrázolja koordináta-rendszerben az e egyenest és írja fel az egyenletét! b) Mutassa meg, hogy a P (2; 5) pont rajta van az e egyenesen! Állítson merőlegest ezen a ponton át az egyenesre. Írja fel ennek ez egyenesnek az egyenletét!
c) E két egyenest elmetsszük a 4x – 3y = -17 egyenletű egyenessel, a metszéspontok A és B. Számítsa ki az A és B metszéspontok koordinátáit!
d) Számítsa ki a PAB háromszög területét! e) Adja meg a PAB háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit!
(17 pont)
61) a)Ábrázolja koordináta-rendszerben az e egyenest, melynek egyenlete: 4x + 3y = -11. Számítással döntse el, hogy a P (100; -136) pont rajta van-e az egyenesen! Az egyenesen lévő Q pont második koordinátája 107. Számítsa ki a Q pont első koordinátáját!
b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét ahol A (-5; 3) és B (1; -5). Számítással döntse el, hogy az S (1; 3) pont rajta van-e a körön!
c) Adja meg az ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha tudja, hogy az S (1; 3) pont a háromszög súlypontja!
61) Az ABC háromszög csúcsai: A (0; 0), B (10; 2), C (2; 2).
(17 pont)
(9/7) Vektorok, Koordináta a) Határozza meg a háromszög területét!
Geometria
b) Határozza meg az AB oldalegyenes egyenletét! c) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos az y tengellyel és felezi a háromszög területét!
d) Írja fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei B koordinátái! 62) Egy család a házuk kertjében kör alakú medencét építtet. Azt szeretnék, hogy a medence helyét úgy tervezzék meg, hogy a fák a medence partjától két méterre legyenek, a bokrok pedig egy méter távolságban. Az építő kertről az alábbi rajzot készítette a koordinátarendszerében, a medencét az építtetők kívánalmainak megfelelő helyre helyezte. (A koordináta-rendszer egy egysége a valóságban egy méternek felel meg.) Mekkora a medence sugara? (12 pont)
63) Egy négyzet oldalegyenesei a koordinátatengelyek és az x = 1, valamint az y = 1 egyenletű egyenesek. a) Ábrázolja derékszög koordinátarendszerben a négyzetet és adja meg csúcsainak koordinátáit! b) Írja fel a négyzet köré írható kör egyenletét! c) Állapítsa meg, hogy a négyzet kerülete hány százaléka a kör kerületének!
d) Az y = -4x + 2 egyenletű egyenes a négyzetet két részre bontja. Számítsa ki e részek területének arányát!
(17 pont)
64) Legyen az e egyenes egyenlete x + 3y = 9 és tekintsük a P (7; 4) pontot! a) Határozza meg a P pont e egyenesre eső merőleges vetületét! b) Forgassa el az e egyenest a P pont körül +90o-al! Írja fel az így kapott egyenes egyenletét! c) Adja meg annak a P középpontú körnek az egyenletét, melynek kerületéből az e egyenes a kerület 25%-át vágja le!
(17 pont)
65) Egy egyenes áthalad a P (3; 4) ponton. Ez az egyenes az y tengely pozitív feléből kétszer akkora húrt metsz ki, mint az x tengely pozitív feléből. a) Írja fel az egyenes egyenletét!
b) Mekkora a területe annak a háromszögnek, amelyet az egyenes és a koordináta-tengelyek zárnak közre?
(17 pont)
66) Az O origónak az A (1; 4) pontra vonatkozó tükörképe A’, a B (4; 2) pontra vonatkozó tükörképe B’.
a) Számítsa ki az ABB’A’ négyszög területét! b) Az AA’, BB’ oldalak felezőpontján átmenő egyenes mekkora területű háromszöget vág le a koordinátatengelyekből?
(17 pont)
(9/8) Vektorok, Koordináta Geometria 67) Mekkora a területe az x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 egyenletű körnek?
(3 pont)
68) Egy kör középpontja K (-3; 1). Írja fel a kör egyenletét, ha tudja, hogy a kör érinti az x tengelyt!
(3 pont)
69) Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a (-3; 5) pont. Írja fel a kör egyenletét!
(2 pont)
70) Illeszkedik-e a (-2; 1) középpontú, 5 egység sugarú körre a P (1; -3) pont? Állítását számítással igazolja!
(3 pont)
71) Egy kör egyik átmérőjének végpontjai A (2; -3) és B (5; 2). Írja fel a kör egyenletét!
(3 pont)
72) Határozza meg az x2 + y2 + 4y = 0 egyenletű kör középpontját és sugarát! 73) Adja meg az x2 + y2 = 100 körnek azon pontjait, amelynek második koordinátája -6! 74) Tekintsük az x2 + y2 + 2x – 10y + 1 = 0 egyenletű kört! a) Mekkora a kör sugara?
b) Hány közös pontja van ennek a körnek az x tengellyel? c) Adja meg ennek a körnek a (-4; 1) pontjába húzható érintőjének egyenletét! d) Mekkora az ezen körbe írható négyzetek területe?
(12 pont)
75) Legyen egy kör átmérőjének két végpontja A (-3; 6) és B (5; -4). Adja meg ennek a körnek az egyenletét és az x tengellyel párhuzamos érintőjének egyenletét!
(12 pont)
76) Egy sétarepülés Szeged felett, vízszintes síkban, körpályán repül. A légi irányító három alkalommal jelzi a gép helyzetét a számítógép képernyőjén megjelenített térképen az A (-4; 7), B (2; -11), C (10; 5) pontokban. a) Mi a perülő pályájának az egyenlete ebben a koordináta-rendszerben?
b) Adja meg az AB szakasz B-hez közelebbi harmadoló pontjának koordinátáit! 77) Adott a koordináta-rendszerben az A (9; -8) középpontú, 10 egység sugarú kör. a) Számítsa ki az y = -16 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit! b) Írja fel a kör P (1; -2) pontjába húzható érintőjének egyenletét! Adja meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)!
(12 pont)
78) Hol metszik az x2 + y2 = 100 egyenletű kör 6 abszcisszájú pontjaiba húzott térintői egymást? Mekkora ennek a két érintőnek a hajlásszöge?
(12 pont)
79) Egy kör középpontja az O (-1; 3) pont, sugara 5 egység. a) Határozzuk meg, hogy hol metszik egymást a kör 3 abszcisszájú pontjaiban húzott érintők!
b) Mekkora szöget zár be ez a két érintő egymással?
(17 pont)
80) Adott az x 2 + y 2 − 6x + 8y − 56 = 0 egyenletű kör és az x − 8,4 = 0 egyenletű egyenes. a) Számítsa ki a kör és az egyenes közös pontjainak koordinátáit!
(6pont)
b) Mekkora távolságra van a kör középpontja az egyenestől?
(5pont)
Egy 9 cm sugarú kört egy egyenes két körívre bont. Az egyenes a kör középpontjától 5,4 cm távolságra halad. c) Számítsa ki a hosszabb körív hosszát! (A választ egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (6pont)
(9/9) Vektorok, Koordináta Geometria 81) Egy derékszögű háromszög (AB) átfogójának végpontjai: A (-2; 3) és B (8; 21). A háromszög területe 84,5 négyzetegység.
a) Határozzuk meg a háromszög körülírt körének egyenletét! b) Határozzuk meg a harmadik csúcs koordinátáit!
(4 pont) (13 pont)
82) A k kör egyenlete: x2 + y2 -4x + 10y -23 = 0. a) Számítsa ki a k kör és az y = 1,5x + 5 egyenletű f egyenes közös pontjának koordinátáit! (5 pont) Egy k’ kör középpontja a C (2; -5) pont, és ez a kör érinti a 3x – 2y – 3 = 0 egyenletű e egyenest.
b) Számítsa ki az érintési pont koordinátáit, és írja fel a k’ kör egyenletét!
(7 pont)
c) Igazolja, hogy a k’ körnek a középpontjából való kétszeres nagyítottja a k kör!
(5 pont)
83) 1,5 km magasságon állandó sebességgel repülő vadászgép mozgását figyelik a földi irányító központba. A mozgást vízszintes síkbeli koordináta-rendszerben követik nyomon. A gép 1 perc alatt az (5; 15) pontból a (14; 17) pontba került. (A koordináta-rendszerben egy egység egy km-t jelent.) a) Hány km/h a gép sebessége? b) Hol lesz a vadászgép újabb 1,5 perc elteltével, ha nem változik a sebessége?
84) Egy egyenes áthalad a (0; 5) és az (1; 3) ponton. E két pont olyan másodfokú függvény grafikonjára (parabolára) is illeszkedik, amelynek tengelypontja éppen a (0; 5) pont.
a) Írja fel az egyenes egyenletét! b) Adja meg a másodfokú függvényt! c) Határozza meg a másodfokú függvény zérushelyeit!
