Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
I. 1.
Összesen:
1 pontot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. 2 pont Szintén 1 pont jár, ha a helyes gondolatokat pontatlan jelölésekkel fejezi ki. 2 pont
Összesen:
Ha az egyik azonosságot 2 pont jól alkalmazza, akkor 1 pontot kap. 2 pont
A páros számokat tartalmazó részhalmazok: { 6 }; { 28 }; { 6 ; 28 }.
2. t=
(a )
3 5
a −2
= a 17
3. Az állítás logikai értéke: IGAZ. Az állítás megfordítása: Ha egy szám osztható 12-vel, akkor osztható 36-tal is. Összesen:
1 pont 1 pont 2 pont
4. A kézfogások száma 10. Összesen:
2 pont 2 pont
5. Tudja, hogy t3 = 50 000 ⋅1,0743 .
2 pont
Három év múlva 61 942 forint van a számlán.
1 pont
Összesen:
Hibás kerekítés nem jár a pont.
esetén
3 pont
6. A lehetséges kódok: 2244; 2424; 2442; 4422; 4242; 4224. Összesen:
írásbeli vizsga 0802
3 / 12
3 pont
1-1 pont járjon 2-2 kód helyes felírásáért.
3 pont
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
7.
A legbővebb értelmezési tartomány: {x ∈ R x ≤ 0}.
Összesen:
1. Más módon megadott helyes válaszért is 2 pont jár. 2. Ha a legbővebb 2 pont értelmezési tartománynak csak a negatív valós számokat jelöli meg, 1 pont adható. 2 pont
8. A helyes válasz: –1.
2 pont Összesen:
2 pont
A háromszög átfogója 13 cm. A derékszögű háromszög köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja. A körülírt kör sugara 6,5 cm. Összesen:
1 pont
Ha a vizsgázó más értéket is megad, 0 pontot kap.
9. Indoklásként jó ábra is 1 pont elfogadható. 1 pont 3 pont
10.
π⎞ ⎛ g ( x) = sin ⎜ x − ⎟ − 3 . 2⎠ ⎝ Összesen:
11.
{
Az argumentum helyes felírása 2 pont, a 3 pont konstans jó megadása 1 pont. 3 pont
}
H U G = A; B; C ; E; I ; K ; L; N ; Ó; T 3 pont Összesen: 3 pont 1) Ha a vizsgázó helyesen felírja külön-külön a H és/vagy a G halmazt, de a válasza mégsem jó, kaphat 1-1 pontot. 2) Ha a H U G halmazba minden szükséges elemet felsorol, de van olyan elem, amit többször is, 1 pont adható.
12. Az egyenes egyenlete: x − 2 y = 8 .
Összesen:
írásbeli vizsga 0802
4 / 12
Bármelyik alakban felírt 3 pont helyes egyenlet 3 pontot ér. Ha csak a párhu3 pont zamosság teljesül, akkor 1 pont jár.
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
II/A 13. a) Az egyenlet mindkét oldalán 3 hatványa áll, mert 9 = 3 2. A 3-as alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a kitevők egyenlők, x 2 − 3x − 10 = 0. x1 = 5 és x 2 = − 2. Mindkét x érték kielégíti az eredeti egyenletet, tehát az egyenlet két megoldása: x1 = 5 és x 2 = − 2. Összesen:
Ha ez a gondolat a megoldás során helyesen 1 pont megjelenik, ez a pont is jár. 1 pont 1 pont 2 pont 1 pont 6 pont
13. b)
Az első egyenlőtlenség megoldása: x < 2 . A második egyenlőtlenség megoldása: x ≥ −2 . Mindkét egyenlőtlenséget kielégítő egész számok a { − 2; − 1; 0; 1 } halmaz elemei. Összesen:
2 pont 2 pont 2 pont 6 pont
Ha a válasza a − 2 ≤ x < 2 , 1 ponttal kevesebbet kapjon.
14. a) A 645 és a 654 közötti egészeket kell vizsgálni. Az iskola létszámának 11 többszörösének kell lennie. Az iskola tanulóinak száma 649. Összesen:
1 pont Ha a vizsgázó egyenként megvizsgálja a szóba 2 pont jövő számokat, akkor is jár a 3 pont. 2 pont 5 pont
14. b) 56 gyerek legalább 180 cm magas. 56 ⋅ 0,75 = 42 (a legalább 180 cm-esek közül ) a kosaras. 42 Az iskolában ⋅ 100 = 60 tanuló kosarazik. 70 Összesen:
írásbeli vizsga 0802
5 / 12
1 pont 1 pont 2 pont 4 pont
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
14. c) Legfeljebb 180 cm magas 568 tanuló. 568 p= ≈ 0,922 a valószínűsége, hogy legfeljebb 616 180 cm magas tanuló nyerje a főnyereményt. Összesen:
írásbeli vizsga 0802
6 / 12
1 pont
2 pont 3 pont
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
15. A
B
. T
100
100 37°
40° F
E
A feladat tartalmának megértését tükröző térképvázlat, jó jelölésekkel.
TBE és TAF derékszögű háromszögekben a tangens szögfüggvényt alkalmazzuk. TB . 100 TB = 100·tg40° (≈ 83,91) . TA tg 37 o = . 100 TA = 100·tg37° (≈ 75,36) . tg 40 o =
Nem várjuk el, hogy a 3 pont térképvázlat a méretarányokat is tükrözze. Ha a vizsgázó nem hivatkozik a tangens 1 pont szögfüggvényre, de jól alkalmazza, akkor is jár az 1 pont. 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont
Az ABT derékszögű háromszögre alkalmazzuk Pitagorasz tételét: AB 2 = TB 2 + TA 2 . TB és TA értékét behelyettesítve AB ≈ 12720 = 112,78 . A fák távolsága méterre kerekítve 113.
Ha a vizsgázó nem hivatkozik a Pitagorasz 2 pont tételére, de jól alkalmazza, akkor is jár a 2 pont.
1 pont 1 pont Ha a vizsgázó nem helyesen kerekít, vagy nem megfelelő kerekítéssel számol (pl. Összesen: 12 pont közbülső értékeket pontatlanul használ), csak egyszer vonjunk le 1-et az adható pontból.
írásbeli vizsga 0802
7 / 12
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
II/B 16. első megoldás Az {an } mértani sorozat
és a {bn } számtani sorozat szóban forgó három-három tagjáról tudjuk, hogy a1 = b1 ; a2 = b4 ; a3 = b16 .
Jelöljük a {bn } számtani sorozat különbségét d-vel. A számtani sorozat szóban forgó tagjai ekkor: b1 = 5; b4 = 5 + 3d ; b16 = 5 + 15d . A mértani sorozat tagjaira a mértani közép 2 összefüggés alapján: a2 = a1 ⋅ a3 Behelyettesítve a megfelelő bi értékeket kapjuk,
hogy: 5 ⋅ (5 + 15d ) = (5 + 3d ) . 2
Ezek a pontok akkor is 1 pont járnak, ha a gondolat kifejtése nincs ugyan leírva, de az összefüggéseket helyesen 1 pont használja a vizsgázó.
2 pont 2 pont 2 pont
Rendezve az egyenletet: 9d 2 − 45d = 0. 2 pont Innen d1 = 0 és d 2 = 5 . 2 pont Ha d1 = 0 , a számtani sorozat ötödik tagja 5, a 2 pont mértani sorozat első öt tagjának összege 25. Ha d 2 = 5 , a sorozat ötödik tagja 25, 1 pont (a mértani sorozat szóbanforgó tagjai: 5, 20, 80, 1 pont tehát) q = 4. 45 − 1 1 pont s5 = 5 ⋅ = 1705 . 3 Összesen: 17 pont
írásbeli vizsga 0802
8 / 12
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
16. második megoldás Az {an } mértani sorozat és a {bn } számtani sorozat szóban forgó három-három tagjáról tudjuk, hogy a1 = b1 ; a2 = b4 ; a3 = b16 . Jelöljük az {an }mértani sorozat hányadosát q-val, a mértani sorozat szóban forgó tagjai ekkor: a1 = 5; a2 = 5q; a3 = 5q 2 . A számtani sorozat különbségét d-vel jelölve: b4 − b1 = 3d és b16 − b4 = 12d . E két összefüggésből kapjuk, hogy 4(b4 − b1 ) = b16 − b4 .
Ez a pont akkor is jár, ha a gondolat kifejtése nincs 1 pont ugyan leírva, de az összefüggést helyesen használja a vizsgázó.
2 pont
2 pont 1 pont
Behelyettesítve a megfelelő ai értékeket kapjuk, 2 pont hogy: 2 4 ⋅ (5q − 5) = 5q − 5q. Rendezve az egyenletet: 2 pont q 2 − 5q + 4 = 0. Innen q1 = 1 és q2 = 4 . 2 pont Ha q = 1 , a számtani sorozat ötödik tagja 5, a 2 pont mértani sorozat első öt tagjának összege 25. Ha q = 4 (a mértani sorozat szóbanforgó tagjai: 5, 1 pont 20, 80, tehát), a számtani sorozatban d = 5, az ötödik tag 25, 1 pont A mértani sorozatban: 1 pont s5 = 5 + 20 + 80 + 320 + 1280 = 1705 . Összesen: 17 pont
írásbeli vizsga 0802
9 / 12
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
17. a)
piros fehér kék
Helyes ábra: A középponti szögek:
fokban radiánban
2 pont
fehér
kék
piros
36
126
198
0,2π
0,7π
1,1π
2 pont
(≈0,6283) (≈2,1991) (≈3,45581) A középponti szögek kiszámítása mértékegységenként 1-1 pont. Összesen:
4 pont
17. b) A kedvező esetek száma 54. 54 p= ≈ 0,545 . 99
1 pont 2 pont Összesen:
írásbeli vizsga 0802
10 / 12
3 pont
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
17. c) Bármelyik számozott golyó kihúzásának ugyanakkora a valószínűsége, tehát alkalmazható a klasszikus modell. Az összes esetek száma n = 104 . Az 1-10-ig felírt számokkal a 24-et a következő módokon állíthatjuk elő: a) 1, 1, 3, 8 b) 1, 1, 4, 6 c) 1, 2, 2, 6 d) 1, 2, 3, 4 e) 2, 2, 2, 3
5 pont
Akkor is jár az egy pont, 1 pont ha valamelyik esetet nem vette észre. 1 pont 1 pont
A lehetséges sorrendek száma miatt: a), b), illetve c) 12-12 eset; d) 24 eset; e) 4 eset. A keresett valószínűség így
1 pont
64 = 0,0064 . 1 pont 10000 Összesen: 10 pont
18. a) A ponyva területe 6 egybevágó egyenlő szárú háromszög területének összege. Egy ilyen háromszög magassága mo; Pitagorasz tétele alapján: mo = M test + ma , ahol ma az alap egy középponti háromszögének magassága. 3 mo = 256 + ⋅ 144 = 364 (≈ 19,08) . 4 12 A = 6 ⋅ ⋅ 364 (≈ 686,87) . 2 A ponyva felülete 687 m2. Összesen: 2
írásbeli vizsga 0802
2
11 / 12
Ez a pont akkor is jár, ha 1 pont a gondolat csak a számolásban jelenik meg. Egy megfelelő háromszög megtalálása 2 pont, 3 pont Pitagorasz tételének alkalmazása 1 pont. 1 pont 1 pont 1 pont 7 pont
2009. május 5.
Matematika — középszint
Javítási-értékelési útmutató
18. b) Pitagorasz tétele alapján egy oldalél hossza: b = 16 2 + 12 2 = 20 Egy kis támasztórúd t hossza: az A középpontú 1 16 1 arányú hasonlóság miatt t = ⋅16 = 3 3 3
2 pont
2 pont Mtest
b t A
A rudak összhossza: M test + 6 ⋅ b + 6 ⋅ t = =168 méter. Összesen:
1 pont 1 pont 6 pont
18. c) A kifeszített kötél egy olyan síkmetszetet jelöl ki, amelyik párhuzamos a gúla alaplapjával, 2 és a csúcstól M test távolságra van, 3 ezért a síkmetszet egy szabályos hatszög, amelynek egy oldala 8 m, így a kifeszített kötél hossza 48 méter. Összesen:
írásbeli vizsga 0802
12 / 12
2 pont
Bármilyen jó 2 pontot ér.
indoklás
1 pont 1 pont 4 pont
2009. május 5.
