36

´ ı rovnice a jejich Diferencialn´ aplikace ˇ Kadeˇrabek ´ Zdenek

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

1 / 36

Obsah

1

Co to je derivace?

2

´ ı rovnice Diferencialn´

3

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

4

Matematicke´ modely

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

2 / 36

Co to je derivace?

Derivace ve zkratce ˇ Geometricky: Derivace je smernic´ ı teˇcny ke grafu funkce, tj. f 0 (x0 ) = tg α. Animace

ˇ Vyjadˇruje rychlost zmeny

Definice Bud’ f funkce a x0 ∈ D(f ). Existuje-li lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) , x − x0

´ naz´yvame tuto limitu derivac´ı funkce f v bodeˇ x0 a znaˇc´ıme f 0 (x0 ) df nebo dx . (Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

3 / 36

Co to je derivace?

Derivace a pohyb

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

4 / 36

Co to je derivace?

´ v pohybu Derivace a integral

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

5 / 36

Co to je derivace?

Pomoc´ı definice derivace vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodeˇ x0 .

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

6 / 36

Co to je derivace?

Pomoc´ı definice derivace vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodeˇ x0 . ˇ sen´ı: Reˇ x 4 − x04 f (x) − f (x0 ) = lim = f 0 (x0 ) = lim x→x0 x − x0 x→x0 x − x0 = lim

x→x0

(x − x0 )(x 3 + x0 x 2 + x02 x + x03 ) = x − x0

= lim (x 3 + x0 x 2 + x02 x + x03 ) = x→x0

= x03 + x03 + x03 + x03 = 4x03 .

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

6 / 36

Co to je derivace?

Pomoc´ı definice derivace vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodeˇ x0 . ˇ sen´ı: Reˇ x 4 − x04 f (x) − f (x0 ) = lim = f 0 (x0 ) = lim x→x0 x − x0 x→x0 x − x0 = lim

x→x0

(x − x0 )(x 3 + x0 x 2 + x02 x + x03 ) = x − x0

= lim (x 3 + x0 x 2 + x02 x + x03 ) = x→x0

= x03 + x03 + x03 + x03 = 4x03 . Vzoreˇcky pro derivace: f → f 0 x n → nx n−1 , 1 ex → ex , ln x → , . . . x Inverzn´ı operace k derivaci je integrace. konst. → 0,

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

6 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnice Diferencialn´ Definice Bud’ G ⊆ R2 mnoˇzina, f funkce definovana´ na mnoˇzineˇ G. Rovnici ´ ˇ ´ ı rovnici tvaru y 0 = f (x, y) naz´yvame (obycejnou) diferencialn´ ´ prvn´ıho rˇadu. Jej´ım ˇreˇsen´ım rozum´ıme funkci y = ϕ(x) definovanou ˇ ´ na intervalu I, ktera´ splnuje nasleduj´ ıc´ı podm´ınku: (x, ϕ(x)) ∈ G

∧

ϕ(x)0 = f (x, ϕ(x)) pro

∀ I.

´ ı rovnice se naz´yva´ integraln´ ´ ı kˇrivka, mnoˇzina Graf ˇreˇsen´ı diferencialn´ ´ ı rovnice. G obor diferencialn´

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

7 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnice Diferencialn´ Definice Bud’ G ⊆ R2 mnoˇzina, f funkce definovana´ na mnoˇzineˇ G. Rovnici ´ ˇ ´ ı rovnici tvaru y 0 = f (x, y) naz´yvame (obycejnou) diferencialn´ ´ prvn´ıho rˇadu. Jej´ım ˇreˇsen´ım rozum´ıme funkci y = ϕ(x) definovanou ˇ ´ na intervalu I, ktera´ splnuje nasleduj´ ıc´ı podm´ınku: (x, ϕ(x)) ∈ G

∧

ϕ(x)0 = f (x, ϕ(x)) pro

∀ I.

´ ı rovnice se naz´yva´ integraln´ ´ ı kˇrivka, mnoˇzina Graf ˇreˇsen´ı diferencialn´ ´ ı rovnice. G obor diferencialn´ ´ ı rovnice y 0 = 4x 3 ? Pˇr´ıklad: Jake´ je ˇreˇsen´ı diferencialn´

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

7 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnice Diferencialn´ Definice Bud’ G ⊆ R2 mnoˇzina, f funkce definovana´ na mnoˇzineˇ G. Rovnici ´ ˇ ´ ı rovnici tvaru y 0 = f (x, y) naz´yvame (obycejnou) diferencialn´ ´ prvn´ıho rˇadu. Jej´ım ˇreˇsen´ım rozum´ıme funkci y = ϕ(x) definovanou ˇ ´ na intervalu I, ktera´ splnuje nasleduj´ ıc´ı podm´ınku: (x, ϕ(x)) ∈ G

∧

ϕ(x)0 = f (x, ϕ(x)) pro

∀ I.

´ ı rovnice se naz´yva´ integraln´ ´ ı kˇrivka, mnoˇzina Graf ˇreˇsen´ı diferencialn´ ´ ı rovnice. G obor diferencialn´ ´ ı rovnice y 0 = 4x 3 ? Pˇr´ıklad: Jake´ je ˇreˇsen´ı diferencialn´ ´ ´ ı bude 4x 3 Hledame funkci, ktera´ po zderivovan´ ˇ sen´ı: y = x 4 + konst. Reˇ (Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

7 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnice pod lupou Diferencialn´

y0 = f(x, y)

...

ˇ f (x, y ) je smernice teˇcny ke grafu ˇreˇsen´ı y = ϕ(x)

ˇ sen´ı nen´ı jednoznaˇcne´ (v´ysledek integralu ´ se liˇs´ı o konst.) Reˇ obecne´ ˇreˇsen´ı ´ cn´ı podm´ınka y (x0 ) = y0 , tj. integraln´ ´ ı kˇrivka projde bodem Poˇcateˇ (x0 , y0 ) - jednoznaˇcna´ Cauchyova uloha ´ ´ ı rˇeˇsen´ı - obecne´ rˇeˇsen´ı s jednoznaˇcnou volbou Partikularn´ konstanty ´ ´ ı rovnice vysˇ s´ ˇ ıch rˇad ´ u˚ - podle nasobnosti Diferencialn´ derivace

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

8 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

0

2

Rovnice y = x + y 2

Izokliny = kˇrivky k = x 2 + y 2 ˇ (vrstevnice funkce) - smernice teˇcny ´ ı kˇrivky ke grafu integraln´ ´ ı element dif. rce = Linearn´ ˇ e´ pole (x, y , f (x, y )) - smerov

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

9 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnici? Kde najdeme diferencialn´ Klasicka´ mechanika ´ poli Zeme. ˇ V cˇ ase t = 0 se M´ıcˇ se pohybuje svisle vzhuru ˚ v t´ıhovem ´ ı ve v´ysˇ ce y0 s rychlost´ı v0 . Jak se men´ ˇ ı jeho poloha? nachaz´

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

10 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnici? Kde najdeme diferencialn´ Klasicka´ mechanika ´ poli Zeme. ˇ V cˇ ase t = 0 se M´ıcˇ se pohybuje svisle vzhuru ˚ v t´ıhovem ´ ı ve v´ysˇ ce y0 s rychlost´ı v0 . Jak se men´ ˇ ı jeho poloha? nachaz´ ~ = m~a ´ 2. Newtonuv F ˚ zakon:

(Brkos 2011)

...

2

− mg = m d dty(t) 2

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

10 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnici? Kde najdeme diferencialn´ Klasicka´ mechanika ´ poli Zeme. ˇ V cˇ ase t = 0 se M´ıcˇ se pohybuje svisle vzhuru ˚ v t´ıhovem ´ ı ve v´ysˇ ce y0 s rychlost´ı v0 . Jak se men´ ˇ ı jeho poloha? nachaz´ ~ = m~a ´ 2. Newtonuv F ˚ zakon:

...

´ ı rovnice 2. ˇradu: ´ Diferencialn´

d 2 y(t) dt 2

(Brkos 2011)

2

− mg = m d dty(t) 2 = −g

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

10 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnici? Kde najdeme diferencialn´ Klasicka´ mechanika ´ poli Zeme. ˇ V cˇ ase t = 0 se M´ıcˇ se pohybuje svisle vzhuru ˚ v t´ıhovem ´ ı ve v´ysˇ ce y0 s rychlost´ı v0 . Jak se men´ ˇ ı jeho poloha? nachaz´ ~ = m~a ´ 2. Newtonuv F ˚ zakon: ´ ı rovnice 2. ˇradu: ´ Diferencialn´ Integrac´ı dostaneme:

... d 2 y(t) dt 2

2

− mg = m d dty(t) 2 = −g

dy (t) = −gt + c1 dt 1 y(t) = − gt 2 + c1 t + c2 2

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

10 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ı rovnici? Kde najdeme diferencialn´ Klasicka´ mechanika ´ poli Zeme. ˇ V cˇ ase t = 0 se M´ıcˇ se pohybuje svisle vzhuru ˚ v t´ıhovem ´ ı ve v´ysˇ ce y0 s rychlost´ı v0 . Jak se men´ ˇ ı jeho poloha? nachaz´ ~ = m~a ´ 2. Newtonuv F ˚ zakon: ´ ı rovnice 2. ˇradu: ´ Diferencialn´ Integrac´ı dostaneme:

... d 2 y(t) dt 2

2

− mg = m d dty(t) 2 = −g

dy (t) = −gt + c1 dt 1 y(t) = − gt 2 + c1 t + c2 2 ´ cn´ı podm´ınky: y (0) = 0 a Poˇcateˇ

dy(0) dt

= v0

1 y(t) = − gt2 + v0 t + y0 2 (Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

10 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

Matematicke´ kyvadlo

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

11 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

Matematicke´ kyvadlo

Pohybova´ rovnice: F = −mg sin θ

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

11 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

Matematicke´ kyvadlo

Pohybova´ rovnice: F = −mg sin θ Aproximace: sin θ ≈ θ =

y L

2

´ = −mg yL Uprava: m d dty(t) 2

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

11 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

Matematicke´ kyvadlo

Pohybova´ rovnice: F = −mg sin θ Aproximace: sin θ ≈ θ =

y L

2

´ = −mg yL Uprava: m d dty(t) 2 d2 y(t) dt2 2 ω = gL

´ Dif. rce 2. ˇradu: Substituce:

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

+ gL y(t) = 0

11 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

Matematicke´ kyvadlo

Pohybova´ rovnice: F = −mg sin θ Aproximace: sin θ ≈ θ =

y L

2

´ = −mg yL Uprava: m d dty(t) 2 d2 y(t) dt2 2 ω = gL

´ Dif. rce 2. ˇradu: Substituce:

+ gL y(t) = 0

V´ysledek (2 poˇc. podm.): y = y0 cos ωt

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

11 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ´ ıch rovnic Ukazky diferencialn´

Radioaktivn´ı rozpad dm = λm dt → dm m = −λ dt

(Brkos 2011)

→

m = m0 e−λt

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

12 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

´ ´ ıch rovnic Ukazky diferencialn´

Radioaktivn´ı rozpad dm = λm dt → dm m = −λ dt

m = m0 e−λt

→

Barometricka´ rovnice ´ ´ Zavislost atmosferickeho tlaku na nadmoˇrske´ v´ysˇ ce Stavova´ rovnice: pV = konst. → pp0 = VV0 = ρρ0 ´ Dif. rce 1. ˇradu: dp = −ρg dh

→

dp p

= − pρ00 g dh

ρ

− p0 gh

V´ysledek: p = p0 e

(Brkos 2011)

0

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

12 / 36

´ ı rovnice Diferencialn´

RLC obvod ´ ˇ ı Vznik elektromagnetickeho vlnen´

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

13 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ diferencialn´ ´ ıch rovnic System Definice ´ rovnic Uvaˇzujme system x10 =f1 (t, x1 , . . . , xn ) .. . xn0 =fn (t, x1 , . . . , xn ), ´ e´ promenn ˇ e, ´ fj : G → R pro j = 1, . . . , n, kde kde t, x1 , . . . , xn jsou realn G ⊆ Rn+1 . ´ ´ ıch rovnic. Mnoˇzina G se naz´yva´ obor systemu diferencialn´ ˇ ´ ´ ıch rovnic rozum´ıme uspoˇradanou ´ Reˇsen´ım systemu diferencialn´ n-tici funkc´ı (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ⊆ G definovanou na intervalu I ⊆ R ´ ´ takovou, zˇ e po dosazen´ı do uvedeneho systemu dif. rovnic dostaneme identitu pro kaˇzde´ t ∈ I. (Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

14 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

Autonomn´ı rovnice

Definice Necht’ Ω ⊆ Rn je oblast a necht’ f : Ω → Rn . Rovnici X 0 = f (X ) ´ ı na t). nazveme autonomn´ı rovnic´ı (nezavis´ ˇ a´ t cas. ´ ˇ Oblast Ω se naz´yva´ fazov y´ prostor, promenn ˇ ı X = ϕ(t): Geometricka´ interpretace rˇesen´ Graf funkce ϕ(t) v prostoru Rn+1 . . . pohyb Kˇrivka v prostoru Rn dana´ parametricky rovnic´ım X = ϕ(t) . . . trajektorie ˇ pohybu do fazov ´ ´ → trajektorie je kolm´y prum eho prostoru ˚ et

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

15 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ´ - trajektorie a pohyb Fazov´ y portret ´ y spoleˇcn´y bod, nebo Libovolne´ dveˇ trajektorie nemaj´ı bud’ zˇ adn´ spl´yvaj´ı.

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

16 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ı bod Singularn´

Definice ´ ´ ı bod (stacionarn´ ´ ı, rovnovaˇ ´ zny) Bod X0 ∈ Ω naz´yvame singularn´ ´ rovnice X 0 = f (X ), jestliˇze f (X0 ) = 0. Rovnice X 0 = f (X ) ma´ konstantn´ı ˇreˇsen´ı X (t) = X0 . . . X0 je ´ ı bod singularn´ Druhy trajektori´ı: ´ ı body Singularn´ Uzavˇrene´ trajektorie (cykly) Trajektorie, ktere´ samy sebe neprot´ınaj´ı

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

17 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ıch bodu˚ v rovineˇ Typy singularn´

´ okol´ı vˇsechny trajektorie Stˇred: v jistem uzavˇrene´

Bod rotace: existuje posloupnost ´ ıho uzavˇren´ych trajektori´ı kolem singularn´ bodu ´ (nemus´ı b´yt vˇsechny kˇrivky uzavˇrene)

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

18 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ıch bodu˚ v rovineˇ Typy singularn´

´ zˇ e kaˇzda´ Ohnisko: existuje okol´ı takove, ´ ıc´ı v tomto okol´ı se trajektorie prochazej´ ´ ıho bodu (otoˇc´ı se limitneˇ bl´ızˇ ´ı do singularn´ ´ nekoneˇcneˇ mnohokrat) Uzel: stejna´ vlastnost jako u ohniska, ale ´ trajektorie se otoˇc´ı koneˇcneˇ mnohokrat - vlastn´ı nebo nevlastn´ı uzel (na obr. jen 4 poloteˇcny) Sedlo: existuje pouze koneˇcn´y poˇcet ´ ımu bodu trajektori´ı bl´ızˇ ´ıc´ıch se k singularn´

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

19 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ı bod autonomn´ıho systemu ´ Singularn´ 2D

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

20 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ı bod autonomn´ıho systemu ´ Singularn´ 2D

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

21 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ı bod autonomn´ıho systemu ´ Singularn´ 2D

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

22 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ı bod autonomn´ıho systemu ´ Singularn´ 2D

´ ´ ı. Stˇred: pro vlastn´ı cˇ ´ıslo s nulovou realnou cˇ ast´

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

23 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ı bod autonomn´ıho systemu ´ Singularn´ 3D

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

24 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

´ ı bod autonomn´ıho systemu ´ Singularn´ 3D

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

25 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

Stabilita ˇreˇsen´ı ˇ ı ˇreˇsen´ı rovnice pˇri male´ zmen ˇ eˇ poˇcateˇ ´ cn´ıch Jak se zmen´ podm´ınek?

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

26 / 36

´ ´ ıch rovnic Systemy diferencialn´

Stabilita ˇreˇsen´ı

Definice ˇ sen´ı X0 (t) rovnice X 0 = f (t, X ) se naz´yva´ stejnomern ˇ eˇ stabiln´ı, Reˇ ´ zˇ e pro ∀t1 ≥ t0 plat´ı, zˇ e libovolne´ jestliˇze ke ∀ε > 0∃δ(ε) > 0 takove, ˇreˇsen´ı X (t) rovnice X 0 = f (t, X ) splnuj´ ˇ ıc´ı podm´ınku, zˇ e ´ |X (t1 ) − X0 (t1 )| < δ je definovano pro vˇsechna t ≥ t1 a pro vˇsechna t plat´ı, zˇ e |X (t) − X0 (t)| < ε. Trajektorie zaˇc´ınaj´ıc´ı v δ−okol´ı nevyjde s rostouc´ım cˇ asem z ε−okol´ı ˇ s´ı neˇz ljapunovska´ stabilita Silnejˇ

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

27 / 36

Matematicke´ modely

Modely Zjednoduˇsene´ zobrazen´ı zkoumane´ skuteˇcnosti Matematicke´ modely: ´ stochasticke´ (prvky nahodn e´ veliˇciny) x deterministicke´ ´ staticke´ (nezavisl e´ na cˇ ase) x dynamicke´

deterministicke´ matameticke´ modely: ´ ı rce) ´ ı (diferenˇcn´ı rce) x spojite´ (diferencialn´ diskretn´

´ ı Matematicke´ modelovan´ ´ Sestaven´ı modelu (vlastnosti a zakonitosti objektu) Matematicka´ anal´yza modelu, teoreticke´ dusledky ˚ Souhlas se skuteˇcnost´ı → pˇrijet´ı modelu Anal´yza modelu, pˇr´ıpadna´ modernizace modelu, urˇcen´ı hodnot parametru˚ v modelu

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

28 / 36

Matematicke´ modely

Modely existence dvou zˇ ivoˇciˇsn´ych druhu˚ N1 . . . velikost 1. populace, N2 . . . velikost 2. populace N10 = (ε1 − α11 N1 )N1 + γ1 N1 N2 N20 = (ε2 − α22 N2 )N2 + γ2 N1 N2 ´ Znamenka γ1 , γ2 : ´ Symbioza, kooperace ´ Predator - koˇrist Konkurence Neutralismus

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

29 / 36

Matematicke´ modely

Konkurence − − ´ N1 ≥ 0, N2 ≥ 0. Substituce γ1 = −α12 , γ2 = −α21 . Zaj´ıma´ nas N10 = (ε1 − α11 N1 )N1 − α12 N1 N2 N20 = (ε2 − α22 N2 )N2 − α21 N1 N2

Substituce: a =

α12 ε1 , b

=

α21 α11 , c

=

ε2 ε1 .

N01 = (1 − N1 − aN2 )N1 N02 = (c − bN1 − N2 )N2 1−ac c−b ´ ı body: (0, 0), (0, c), (1, 0), ( 1−ab Singularn´ , 1−ab ).

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

30 / 36

Matematicke´ modely

Konkukrence - druhy

Slaba´ konkurence: b < c, ac < 1 Silna´ konkurence: b > c, ac > 1 Dominance 2. druhu: b < c, ac > 1 Dominance 1. druhu: b > c, ac < 1 ´ Jakobian:  J=

1 − 2N1 − aN2 −aN1 −bN2 c − bN1 − 2N2



´ ıho bodu Dosazen´ı bodu a urˇcen´ı vlastn´ıch cˇ ´ısel → typ singularn´

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

31 / 36

Matematicke´ modely

Slaba´ konkurence

(0, 0) . . . nestabiln´ı uzel (0, c) . . . sedlo (1, 0) . . . sedlo 1−ac c−b ( 1−ab , 1−ab ) . . . stabiln´ı uzel

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

32 / 36

Matematicke´ modely

Silna´ konkurence

(0, 0) . . . nestabiln´ı uzel (0, c) . . . stabiln´ı uzel (1, 0) . . . stabiln´ı uzel 1−ac c−b ( 1−ab , 1−ab ) . . . sedlo

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

33 / 36

Matematicke´ modely

Dominance 2. druhu

(0, 0) . . . nestabiln´ı uzel (0, c) . . . stabiln´ı uzel (1, 0) . . . sedlo 1−ac c−b ( 1−ab , 1−ab ) . . . mimo 1. kvadrant

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

34 / 36

Matematicke´ modely

Dominance 1. druhu

(0, 0) . . . nestabiln´ı uzel (0, c) . . . sedlo (1, 0) . . . stabiln´ı uzel 1−ac c−b ( 1−ab , 1−ab ) . . . mimo 1. kvadrant

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

35 / 36

Matematicke´ modely

Literatura

´ ska doc. RNDr. Josefa Kalase, CSc.: Diferencialn´ ´ ı rovnice Pˇrednaˇ a spojite´ modely, MU. ´ Miloˇs. Obyˇcejne´ diferencialn´ ´ ı rovnice. 2. vyd. Kalas, Josef - Rab, Brno : MU, 2001. 207 s. ISBN 80-210-2589-1. ˇ Spojite´ modely v biologii. 1. vyd. Kalas, Josef - Posp´ısˇ il, Zdenek. Brno : MU, 2001. 256 s. ISBN 80-210-2626-X. ´ ı rovnice - pˇr´ıklady z praxe: Diferencialn´ http://fo.cuni.cz/texty/matematika/difro.pdf

(Brkos 2011)

´ ı rovnice a jejich aplikace Diferencialn´

36 / 36