3.5 Tepelné děje s ideálním plynem stálé hmotnosti, izotermický děj a) tepelný děj – přechod plynu ze stavu 1 do stavu 2 tepelnou výměnou nebo konáním práce – dále uvaž., že hmotnost plynu 𝑚 = konst. a navíc zůstává stálá jedna z veličin 𝑝, 𝑉, 𝑇 – izotermický děj: 𝑇 = konst. – izochorický děj: 𝑉 = konst. – izobarický děj: 𝑝 = konst. – pokud nedochází k výměně tepla s okolím → adiabatický děj: 𝑄 = 0 b) izotermický děj – teplota plynu stálá 𝑇 = konst. (nemění se), mění se objem 𝑉 a tlak 𝑝 𝑝1 𝑉1 𝑝2 𝑉2 – ze stav. rce ∶ = pro 𝑇1 = 𝑇2 = 𝑇 = konst. 𝑇1 𝑇2 𝒑𝟏 𝑽𝟏 = 𝒑𝟐 𝑽𝟐 𝒑𝑽 = konst.
𝑻 = konst. 𝑻 = konst.
Boylův-Mariottův zákon
Při izotermickém ději je součin tlaku a objemu plynu stálý. (Pro skuteč. plyny platí přibližně.) 𝑦
𝑥
⏞) c) grafické znázornění izotermického děje v pV diagramu (závislost ⏞ 𝑝 na 𝑉
– křivka tzv. izoterma (větev hyperboly 𝑉 = konst. →𝑝=
𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑉
… nepř. ú𝑚.)
d) energetické hledisko – izotermická expanze – plyn zvětší objem 𝑉 a zmenší tlak 𝑝 – plyn přijme teplo 𝑄 a vykoná práci 𝑊′ – z 1. term. zákona ∆𝑈 = 𝑊 + 𝑄 (𝑄 = ∆𝑈 + 𝑊 ′ ) 𝑻 = 𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭. ⟹ ∆𝑼 = 𝟎 𝑄 =– 𝑊 = 𝑊′ 𝑸𝑻 = 𝑾′ Teplo 𝑄T přijaté id. plynem při izotermickém ději se rovná práci 𝑊′, kterou plyn při tomto ději vykoná. – izotermická komprese – plyn zmenší objem 𝑉 a zvětší tlak 𝑝 – práce 𝑊 vykonaná okolními tělesy je rovna teplu 𝑄𝑇 , které unikne – změny musí probíhat pomalu (aby teplo stačilo uniknout)
e) příklady (další viz praktické cvičení 3) ① Vzduch o atmosférickém tlaku 𝑝1 = 105 Pa byl stlačen z 𝑉1 = 10 l na 𝑉2 = 2 l izotermicky. Určete konečný tlak. [5·105 Pa]
② V nádobě o objemu 30 l je stlačen plyn při tlaku 10 MPa. Jaký je jeho objem při normálním tlaku, přepokládáme-li, že teplota plynu je stálá a plyn ideální.
3.6 Izochorický děj a) izochorický děj – děj, při kterém je objem plynu stálý – mění se teplota 𝑇 (zahříváním) a tlak 𝑝 (zvětšuje se) 𝑝1 𝑉1 𝑝2 𝑉2 – ze stav. rce ∶ = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉 = konst. 𝑇1 𝑇2 𝒑𝟏 𝒑𝟐 = 𝑽 = konst. 𝑻𝟏 𝑻𝟐 𝒑 = konst. V = konst. Charlesův zákon (𝒑 = konst ·𝑻) 𝑻 Při izochorickém ději s id. plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě. (Pro skut. plyny platí jen přibližně, velké odchylky při nízkých 𝑇 a velkém 𝑝) 𝑦
𝑥
⏞) b) grafické znázornění izochorického děje v 𝒑𝑽 diagramu (závislost ⏞ 𝑝 na 𝑉
– grafem tzv. izochora (úsečka rovnoběžná s osou 𝑝)
c) z energetického hlediska – při zvýšení teploty plynu (o stálé 𝑚) o ∆𝑇 = 𝑇2 − 𝑇1 za stálého 𝑉 přijme plyn teplo 𝑸V = 𝒄V 𝒎∆𝑻 𝑐V … měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu – objem 𝑉 = konst. ⇒ plyn nekoná práci 𝑊 ′ = 0 (𝑊 = 0) – z 1. termod. zákona ∆𝑈 = 𝑊 + 𝑄 (𝑄 = ∆𝑈 + 𝑊 ′ ) ⇒ 𝑸V = ∆𝑼 Teplo 𝑄V přijaté ideálním plynem při izochorickém ději se rovná přírůstku jeho vnitřní energie ∆𝑈.
d) příklady (další viz praktické cvičení 3) ① Plyn uzavřený v nádobě má při teplotě 11 °C tlak 189 kPa. Při jaké teplotě bude mít tlak 1 MPa? Předp., že vnitřní objem nádoby je stálý a plyn je ideální. [1 503 K ≐ 1 230 °C]
② V tlakové nádobě je kyslík o 𝑚 = 2 kg, 𝑝1 = 1 MPa, 𝑡1 = 20 °C. Určete 𝑡2 , 𝑝2 po dodání tepla
20 kJ, je-li 𝑉 = konst. (𝑐V = 651 J ⋅ kg –1 ⋅ K –1 ). [35,4 °C, 1,05 MPa]
3.7 Izobarický děj a) izobarický děj – děj, při kterém je tlak plynu stálý (𝑝 = konst.) – pro plyn stálé hmotnosti 𝑚 se mění objem 𝑉 a teplota 𝑇 𝑝1 𝑉1 𝑝2 𝑉2 – ze stav. rce ∶ = 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝 = konst. 𝑇1 𝑇2 𝑽𝟏 𝑽𝟐 = 𝒑 = konst. 𝑻𝟏 𝑻𝟐 𝑽 = 𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭. 𝒑 = konst. Gay-Lussacův zákon [𝑽 = konst ∙ 𝑻] 𝑻 Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě. (Pro skut. plyny platí opět jen přibližně.) 𝑦
𝑥
⏞) b) grafické znázornění izobarického děje v 𝒑𝑽 diagramu (závislost ⏞ 𝑝 na 𝑉
– grafem tzv. izobara (úsečka rovnoběžná s osou 𝑉)
c) z energetického hlediska – při zvýšení teploty plynu za stálého tlaku 𝑝 (o stálé 𝑚) o ∆𝑇 = 𝑇2 − 𝑇1 ⇒ plyn přijme teplo 𝑸𝒑 = 𝒄𝒑 𝒎 ∆𝑻 𝑐p … měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku (𝑝 = konst.) – teplota se změnila o ∆𝑇 ⇒ ∆𝑈 ≠ 0 – objem 𝑉 se mění ⇒ plyn koná práci 𝑊 ′ ≠ 0 – z 1. termod. zákona ∆𝑈 = 𝑊 + 𝑄 (𝑄 = ∆𝑈 + 𝑊 ′ ) ⇒ 𝑸𝒑 = ∆𝑼 + 𝑾′ Teplo 𝑄p přijaté ideálním plynem při izobarickém ději se rovná součtu přírůstku jeho vnitřní energie ∆𝑈 a práce 𝑊 ′ , kterou plyn vykoná.
– pokud máme totéž plynné těleso ⇒ 𝑸𝒑 > 𝑸𝑽 o práci 𝑾′ ⇒ 𝒄𝒑 > 𝒄𝑽 (𝒄𝒑 = 𝒄𝑽 +
𝑹 𝑴𝒎
)
– měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku 𝑐p je větší než měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu 𝑐V – Poissonova konstanta 𝜅 (𝑘𝑎𝑝𝑝𝑎) 𝜿 =
𝒄𝒑 𝒄𝑽
(udává, kolikrát je 𝑐𝑝 větší než 𝑐𝑉 )
d) příklady (další viz praktické cvičení 3) ① Jaké teplo přijme kyslík o hmotnosti 30 g, zvýší-li se teplota z 10 °C na 90°C a) izochoricky, b) izobaricky. Určete v obou případech ∆𝑈 a 𝑊 ′ . Měrná tepelná kapacita kyslíku při stálém objemu je 651 J·kg–1·K–1, při stálém tlaku 912 J·kg–1·K–1. [a) 1,6 kJ, 0 J, b) 2,2 kJ, 0,6 kJ]
3.8 Adiabatický děj a) adiabatický děj – neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a okolím (při rychlých změnách nestihne teplo přejít do okolí) 𝑸=𝟎 – z 1. term. zákona ∆𝑈 = 𝑊 + 𝑄 (𝑄 = ∆𝑈 + 𝑊 ′ ) ∆𝑼 = 𝑾 𝑊 … práce vykonaná okolními tělesy ′ ∆𝑼 = − 𝑾 𝑊 ′ … práce vykonaná plynem Změna vnitřní energie je rovna práci vykonané plynem nebo práci přijaté plynem. b) adiabatická komprese (stlačení) – vnější síly působící na píst konají práci 𝑊 ⇒ teplota plynu a jeho vnitřní energie roste – př. rychlé pumpování hustilkou → adiab. komprese – zahřívání, teplo nestihne přejít do okolí – ale pomalé pumpování hustilkou → izotermický děj – teplo přejde do okolí – u vznětových motorů: adiabatické stlačení vzduchu → zvýšení teploty na zápalnou teplotu nafty → po vstříknutí nafty do horkého vzduchu se nafta vznítí c) adiabatická expanze (rozpínání) – plyn koná práci ⇒ teplota plynu a jeho vnitřní energie se zmenšují – př. rychlý únik CO2 ze sifonové bombičky → adiabatická expanze → prudké ochlazení bombičky – užití: při získávání nízkých teplot
d) pro adiabatický děj platí Poissonův zákon [poasonův] 𝒑𝑽𝜿 = konst. 𝒑𝟏 𝑽𝜿𝟏 = 𝒑𝟐 𝑽𝜿𝟐 (závisí na druhu plynu, hodnoty v MFChT) 𝜿 … 𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏𝒐𝒗𝒂 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒂 𝒄𝒑 5 𝜿= 𝜿 > 𝟏 (𝒄𝒑 > 𝒄𝑽 ) např. pro jednoatom. molekuly plynu 𝜅 = 𝒄𝑽 3 𝒑𝑽 7 – dále platí = 𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭. pro dvouatomové 𝜅 = 𝑻 5 𝑦
𝑥
⏞) e) grafické znázornění adiabatického děje v 𝒑𝑽 diagramu (závislost ⏞ 𝑝 na 𝑉
– grafem tzv. adiabata – klesá strměji než izoterma téhož plynu
f) příklady ① V MFChT je uvedeno, že měrná tepelná kapacita kyslíku O2 při stálém tlaku je 912 J·kg–1·K–1. Jaká je měrná tepelná kapacita kyslíku při stálém objemu, víte-li, že Poissonova konstanta pro plyn 7
s dvouatomovými molekulami je přibližně ? [asi 651 J·kg–1·K–1] 5
②
Při adiabatické kompresi vzduchu se jeho objem zmenšil na 1/10 původního objemu. Vypočítejte tlak a teplotu vzduchu po ukončení adiabatické komprese. Počáteční tlak vzduchu je 105 Pa, počáteční teplota 20 °C, Poissonova konstanta pro vzduch je 1,40. [2,5 MPa, 462 °C]
3.9 Plyn při nízkém a vysokém tlaku a) plyn při nízkém tlaku – při odčerpání molekul plynu z nádoby se zmenšuje hustota molekul 𝑁𝑉 a snižuje se tlak 𝑝 [𝑵𝑽 =
𝑵 𝑽
(𝑁 počet molekul v objemu 𝑉)]
– při snižování tlaku plynu – zvětšuje se střední volná dráha molekuly 𝝀: statist. veličina, aritmetický průměr volných drah (délka přímočarého úseku mezi dvěma po sobě jdoucími srážkami molekuly s jinou molekulou) všech molekul (některé hodnoty v MFChT) 𝟏 𝝀~ (stř. volná dráha molekul je nepřímo úměrná tlaku 𝑝) 𝒑 – zmenšuje se střední srážková frekvence 𝒛: počet srážek jedné molekuly za časovou jednotku 𝒛 ~ 𝒑 (střed. srážková frekvence 𝑧 je přímo úměrná tlaku 𝑝) – při velmi nízkých tlacích – střední volné dráhy molekul 𝜆 jsou větší než obvyklé rozměry nádoby → molekuly se nesrážejí a narážejí jen na stěny nádoby b) plyn při vysokém tlaku – při stlačování plynu při stálé teplotě se zvětšuje hustota molekul 𝑁𝑉 a roste tlak plynu 𝑝 → zmenšuje se střední volná dráha 𝜆 – při vysokém tlaku již nelze zanedbat přitažlivé síly mezi blízkými molekulami ani vlastní objem molekul – při dostatečně vysokých tlacích a nízkých teplotách vznikají vazby a plyn se mění v kapalinu (zkapalňuje) př. pro kyslík při 0 °C 𝑝 Pa 𝜆 m 𝑧 −1 s
105
1
10−5
10−10
6,3 ∙ 10−8
6,3 ∙ 10−3
6,3 ∙ 102
6,3 ∙ 107
6,7 ∙ 109
6,7 ∙ 104
6,7 ∙ 10−1
6,7 ∙ 10−6
c) vývěvy – zařízení ke snižování tlaku v uzavřené nádobě – pístová: válec objemu 𝑉 má pohyblivý pístem se záklopkou – při pohybu pístu dolů tyčinka 𝑡 s kuželovitým zakončením se strhuje a uzavře otvor do recipientu (vyčerpávaný prostor), který má objemu 𝑉𝑅 – plyn stlačený pod pístem otevře záklopku v pístu a proudí ven – při pohybu vzhůru se tyčinka 𝑡 zvedne, válec se spojí s recipientem a plyn z recipientu se rozpíná na 𝑉 + 𝑉𝑅 – všechen plyn pod pístem nelze odstranit https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/DiaphragmPump.gif
– rotační olejová: ve válcové komoře (1, tzv. stator) se otáčí výstředně umístěný válec (2, tzv. rotor), který se dotýká v horní části statoru, po stranách míst dotyku má rotor zasunovatelné lopatky (3), které jsou pružinou přitlačovány ke stěně statoru – při otáčení rotoru ve směru šipky vstupuje plyn do vývěvy vstupním otvorem (4), výstupním otvorem (5) je z vývěvy vytlačován (bublá olejem)
– celý systém je ponořen do oleje (zmenšuje tření a zlepšuje utěsnění mezi rotorem a statorem), lze dosáhnou mezního tlaku asi 1 Pa – existují i vývěvy na jiných principech – mezní tlak 10–12 Pa (plyny v kosmickém prostoru mají tlak menší) d) příklady ① Kolik molekul plynu je v prostoru o objemu 1 cm3, je-li teplota plynu 273 K a tlak a) 1 Pa, b) 10–5 Pa, c) 10–10 Pa? [2,7·1014, 2,7·109, 2,7·104]
② Střední volná dráha molekuly oxidu uhličitého CO2 při tlaku 𝑝𝑛 = 105 Pa je 3,9·10–8 m. Určete
střední volnou dráhu CO2 při tlaku a) 1 Pa, b 107 Pa. [3,9 ·10–3 m, 3,9 ·10–10 m]
