3
VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN
3.1
Náhodná veličina Tato kapitola uvádí stručný popis vybraných pravděpodobnostních modelů spojitých
náhodných veličin s důrazem na jejich uplatnění při rozboru spolehlivosti stavebních konstrukcí. Podrobný popis těchto rozdělení (jejich přehled je uveden v příloze 1) a dalších důležitých modelů jednorozměrných i vícerozměrných náhodných veličin lze nalézt v mezinárodních dokumentech ISO [3], skriptech [5] a odborné literatuře [18,19,20, 22, 24]. Veličina X, která při uskutečnění souboru podmínek π (viz oddíl 2.1), tj. při realizaci určitého náhodného jevu nabývá právě jednu hodnotu x, se nazývá náhodná veličina (také znak náhodného jevu). Příkladem je síla při porušení betonové kostky zatěžované za stanovených podmínek ve zkušebním stroji (viz příklad 2.2). Náhodné veličiny se zpravidla označují velkými písmeny, např. X, Y, jejich konkrétní realizace malými písmeny, např. x, y (v praktických aplikacích je však toto pravidlo obtížné dodržet). V technické praxi se používají spojité (nabývající libovolné hodnoty určitého oboru) i diskrétní (nabývající pouze izolované hodnoty) náhodné veličiny. Další přehled základních pojmů se však zde omezuje pouze na nejdůležitější spojité veličiny, které se často uplatňují v teorii spolehlivosti. Informace o diskrétních náhodných veličinách a jejich aplikací je možno nalézt ve skriptech [5] a odborné literatuře [20, 23, 24]. Souhrn všech možných realizací x náhodné veličiny X se nazývá základní soubor. Popisuje se rozdělením pravděpodobností, tj. funkcí udávající pravděpodobnost, že náhodná veličina patří do dané množiny (intervalu u spojitých náhodných veličin nebo hodnot u diskrétních náhodných veličin). Distribuční funkce Φ(x) (někdy označená ΦX(x)) udává pro každou hodnotu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude menší než x Φ( x ) = P( X < x )
(3.1)
Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny ϕ(x) je derivace (pokud existuje) distribuční funkce φ( x ) =
dΦ( x ) dx
(3.2)
Příklad 3.1. Spojitá náhodná veličina, jejíž výskyt v kterémkoli bodě x oboustranně omezeného intervalu
je stejně možný (nastane se stejnou hustotou pravděpodobnosti ϕ (x)) se popisuje tak zvaným rovnoměrným rozdělením. Jde o základní typ rozdělení,
26
užitečný nejen z teoretického hlediska, ale i pro popis některých zatížení. 1 Φ(x) = (x - a)/(b - a)
x a
b
ϕ(x) = 1/(b - a) x a
b Obrázek 3.1. Rovnoměrné rozdělení.
Distribuční funkce Φ(x) a hustota pravděpodobnosti ϕ(x) rovnoměrného rozdělení mají jednoduchý tvar - viz obrázek 3.1. Snadno nahlédneme, že pro hustotu pravděpodobnosti platí obecná vlastnost, že pravděpodobnost množiny všech hodnot náhodné
veličiny,
tj.
plocha
vymezená
vodorovnou
osou
x
a
křivkou
hustoty
pravděpodobnosti, je jednotková ∞
b
−∞
a
∫ ϕ( x )dx = ∫ ϕ( x )dx = 1
Rovnoměrné rozdělení se využívá pro aproximativní popis některých druhů zatížení nebo geometrických údajů. Vedle distribuční funkce Φ(x) a hustoty pravděpodobnosti ϕ(x) se základní soubor popisuje různými parametry, z nichž nejdůležitější jsou tak zvané momentové parametry. Základním parametrem popisujícím polohu základního souboru je průměr µ (střední hodnota, očekávaná hodnota, matematická naděje, v běžné technické terminologii jednoduše průměr), který je definován prvním obecným momentem µ = ∫ xφ( x )dx
(3.3)
Z geometrického hlediska jde vlastně o souřadnici x těžiště obrazce vymezeného osou x a křivkou hustoty pravděpodobnosti ϕ(x). 27
Míra rozptýlení (variability) náhodné veličiny X vzhledem k průměru µ je dána druhým centrálním momentem (momentem setrvačnosti obrazce vymezeného osou x a křivkou hustoty pravděpodobnosti ϕ(x)), který se nazývá rozptyl σ2 a je σ 2 = ∫ ( x − µ ) 2 φ( x )dx Druhá odmocnina rozptylu
(3.4)
σ 2 = σ označuje směrodatnou odchylku (poloměr setrvačnosti
obrazce vymezeného osou x a křivkou hustoty pravděpodobnosti ϕ(x)) náhodné veličiny. Mírou nesymetrie základního souboru je šikmost definovaná na základě třetího centrálního momentu vztahem α=
1 σ
3
∫ (x − µ )
3
φ( x )dx
(3.5)
Mírou strmosti (nahromadění hodnot v okolí průměru) je špičatost definovaná na základě čtvrtého centrálního momentu ε=
1 σ4
∫ (x − µ)
4
φ( x )dx − 3
(3.6)
Poznamenáme, že takto definovaná špičatost (s odečítáním čísla 3) je nulová pro normální rozdělení podle oddílu 3.3. Šikmost α a špičatost ε jsou bezrozměrné parametry. Dalším bezrozměrným parametrem základního souboru je variační koeficient definovaný podílem směrodatné odchylky a průměru w=
σ µ
(3.7)
Variační koeficient je mírou relativního rozptylení; selhává však u těch veličin, u kterých je průměr µ blízký nule. U veličin zatížení se w pohybuje ve velmi širokém rozmezí, obvykle od 0,10 do 1,5, u materiálových vlastností obvykle v rozmezí od 0,03 do 0,30. Kromě momentových parametrů se pro popis základního souboru používají ještě další parametry, např. minimální a maximální hodnota souboru xmin, xmax, rozpětí souboru xmax - xmin, modus xmod definovaný jako hodnota x, v níž nabývá hustota pravděpodobnosti ϕ(x) lokálního maxima, a další parametry. Podrobný popis těchto parametrů lze najít ve skriptech [5] a v odborné literatuře [18,19,20]. Příklad 3.2. Pro parametry rovnoměrného rozdělení z příkladu 3.1 plynou z rovnic (3.3) až (3.7) následující vztahy µ = (a +b)/2, σ = (b - a)/√12, α = 0, ε = - 1,2, w = (b - a) /((a + b)√3) Šikmost a špičatost rovnoměrného rozdělení jsou nezávislé na mezích a a b; šikmost je
28
nulová (jde o symetrické rozdělení), špičatost je však záporná - 1,2, jde o výrazně "málo špičaté" rozdělení (hodnoty náhodné veličiny jsou rozloženy rovnoměrně a nejsou nakupeny kolem průměru jako u normálního rozdělení - viz oddíl 3.3). Jestliže a = 0 (v praxi často používaný předpoklad), pak µ = 0,5 b, σ = 0,289 b, α = 0, ε = - 1,2, w = 0,577 Všimněme si, že variační koeficient w je v tomto případě (kdy a = 0) nezávislý na b a má relativně vysokou hodnotu (w = 0,577).
3.2
Výběrové charakteristiky Opakovanou realizací podmínek π (zkoušením betonové kostky za stanovených
podmínek) se získá výběr (za určitých podmínek náhodný výběr) {xi} o určitém rozsahu n. Podle rozsahu se zpravidla rozlišují velmi malé výběry (n ≤ 10), malé výběry (10 < n ≤ 30) a velké výběry (30 < n). Výběrem se rozumí soubor odebraný z určitého základního souboru (všech betonových kostek daného typu), který je určen k tomu, aby poskytl informace o základním souboru. Jestliže se o základním souboru neuvažuje, mluví se prostě o statistickém (numerickém) souboru. Prvním krokem rozboru jakéhokoli výběru by mělo být jeho grafické znázornění pomocí histogramu, popř. jiných grafů a prověření extrémních hodnot (odlehlých pozorování) a opravení (vyloučení) chybných hodnot. Je to velmi důležitý, často náročný a pracný krok, který by měl však předcházet dalšímu numerickému zpracování výběru a uplatnění složitějších statistických postupů pro odhad vlastností základního souboru. Upravené (opravené) výběry lze použít pro stanovení charakteristik (statistik), které popisují polohu, rozptýlení, nesouměrnost, strmost, popř. další vlastnosti výběru. V technické praxi jsou nejdůležitější tak zvané momentové charakteristiky, které nejlépe vystihují celkové vlastnosti výběru. Momentové charakteristiky jsou definovány analogicky k momentovým parametrům základního souboru. Parametry základního souboru a charakteristiky (statistiky), stanovené z výběru, je však třeba odlišovat. Výběrové charakteristiky se používají pro odhad parametrů základního souboru. Důležitá problematika odhadu parametrů základního souboru na základě informací získaných z výběru je velmi obsáhlá oblast matematické statistiky, která je v těchto skriptech zahrnuta jen částečně. V tomto oddílu uvedeme takové charakteristiky výběru, které jsou tzv. nestrannými bodovými odhady („nejlepšími“ bodovými odhady) příslušných parametrů základního souboru. Přesnější význam pojmu "nestranný odhad" a ostatní statistické postupy (např. intervalové odhady pro zadanou konfidenci) jsou podrobně popsány ve skriptech [5], mezinárodních dokumentech ISO [3] a v další odborné literatuře [18,19,20].
29
Základní charakteristikou výběru, popisující jeho polohu, je výběrový průměr (také aritmetický průměr nebo prostě průměr), který je dán obecným momentem prvního řádu m=
1 ∑ xi n i
(3.8)
Výběrový průměr m je také nestranným bodovým odhadem průměru µ příslušného základního souboru. Základní charakteristikou popisující míru rozptýlení je výběrový rozptyl s2, který je definován na základě centrálního momentu druhého řádu s2 =
1 ∑ ( x i − m )2 n −1 i
(3.9)
Takto definovaný výběrový rozptyl s2 je nestranným bodovým odhadem rozptylu základního souboru σ2. Druhý centrální moment je dán pravou stranou rovnice (3.9), jestliže se ve jmenovateli zlomku výraz n –1 nahradí hodnotou n (jmenovatel n –1 vyplývá z požadavku nestrannosti odhadu parametru σ2). Druhá odmocnina rozptylu
s 2 = s označuje výběrovou
směrodatnou odchylku. Poznamenáme, že výběrová směrodatná odchylka s není nestranným odhadem směrodatné odchylky σ základního souboru. Výběrová šikmost a (též koeficient šikmosti) je bezrozměrná veličina charakterizující nesymetrii souboru. Je to nestranný bodový odhad šikmosti α základního souboru, který je stanoven na základě třetího centrálního momentu a=
n (n − 1)(n − 2)s 3
∑ (xi
− m)3
(3.10)
i
Poznamenáme opět, že zlomek na pravé straně vztahu (3.10) vyplývá z požadavku nestrannosti odhadu šikmosti α základního souboru. Šikmost je citlivá na extrémní výběrové hodnoty (na extrémní odchylky xi – m) a může být snadno zatížena významnou (nenáhodnou) chybou. K výpočtu šikmosti je v každém případě třeba použít pokud možno velké soubory (n > 30). Jestliže však vychází podezřelá hodnota (např. velká záporná hodnota nebo |a| > 1), je třeba ověřit odlehlá pozorování a odstranit případné chybné extrémní hodnoty. Výběrová
špičatost
e
(též
koeficient
špičatosti)
je
bezrozměrná
veličina
charakterizující strmost výběru (nahromadění prvků výběru v okolí průměru). Je to nestranný bodový odhad špičatosti ε základního souboru, který je definován na základě centrálního momentu čtvrtého řádu e=
n(n + 1) (n − 1)(n − 2)(n − 3)s 4
∑ ( xi i
30
− m )4 − 3
(n - 1) 2 (n − 2)(n − 3)
(3.11)
Složité zlomky na pravé straně vztahu (3.11) vyplývají opět z požadavku nestrannosti odhadu špičatosti ε základního souboru. Výběrová špičatost, která může být rovněž významně zatížena chybnými hodnotami ve výběru, se však v praxi používá jen zřídka. V technické praxi, zejména ve stavebnictví, se velmi často používá další bezrozměrná charakteristika souboru, která je podílem výběrové směrodatné odchylky s a výběrového průměru m a která se nazývá výběrový variační koeficient v =
s m
(3.12)
Jde o charakteristiku analogickou k variačnímu koeficientu základního souboru w, který je definován vztahem (3.7).
3.3
Normální rozdělení Z praktického i teoretického hlediska nejdůležitějším typem rozdělení spojité náhodné
veličiny je normální (Laplace-Gausovo) rozdělení. Normální rozdělení veličiny X je symetrické, je definováno na neomezeném intervalu -∞ < x < ∞ (což může být v některých praktických aplikacích nežádoucí) a je závislé pouze na dvou parametrech, průměru µ a směrodatné odchylce σ. Symbolicky se často označuje N(µ,σ). Používá se pro popis chování různých typů náhodných veličin charakterizujících některá zatížení (vlastní tíhu), mechanické vlastnosti (pevnosti) i geometrické údaje (vnější rozměry). Je vhodné pro náhodné veličiny s relativně malým rozptylem (např. variačním součinitelem w < 0,3). Selhává u veličin nesymetricky rozdělených s velkým rozptylem a šikmostí, např. α > 0,5. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X, která má normální rozdělení s průměrem µ a směrodatnou odchylkou σ, je dána exponenciálním vztahem φ( x ) =
1 x − µ 2 1 exp − 2 σ σ 2π
(3.13)
Šikmost a špičatost definované vztahy (3.5) a (3.6) jsou pro normální rozdělení nulové. Běžně dostupné tabulky normálního rozdělení [5, 6] jsou zpracovány pro hustotu pravděpodobnosti ϕ(u) a distribuční funkci Φ(u) normované náhodné veličiny U, která se definuje obecným transformačním vztahem (používaným pro jakýkoli typ rozdělení) U =
X −µ σ
(3.14)
Normovaná náhodná veličina má průměr rovný nule a rozptyl rovný jedné; symbolicky se často označuje N(0,1). Hustota pravděpodobnosti normované náhodné veličiny U je pak dána funkcí u
31
φ(u ) =
u2 exp − 2π 2 1
(3.15)
Hustota pravděpodobnosti normálního a lognormálního rozdělení s koeficientem šikmosti α = 1,0 (viz následující oddíl 3.4) normované náhodné veličiny u je zachycena na obrázku 3.2. Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0.5
Lognormální rozdělení, α = 1,0
0.4 0.3
Normální rozdělení N(0,1)
0.2 0.1 0.0 -3
-2
-1 0 1 2 Normovaná náhodná veličina u
3
4
5
Obrázek 3.2. Normální a lognormální rozdělení (šikmost α = 1,0). Všimněme si, že hustota pravděpodobnosti normovaného normálního rozdělení je zakreslena pro u v intervalu <-3,+3>, který pokrývá veličinu U s vysokou pravděpodobností 0,9973 (v technické praxi se někdy mluví o intervalu ±3σ).
3.4
Lognormální rozdělení Obecné, jednostranně omezené nesymetrické lognormální rozdělení je definováno na
jednostranně omezeném intervalu x0 < x < ∞ nebo -∞ < x < x0 (což může být v některých praktických aplikacích výhodné). Lognormální rozdělení je závislé na třech parametrech. Běžně se používají momentové parametry: průměr µX, směrodatná odchylka σX a šikmost αX. V případě, že šikmost αX není známá nebo je velmi nejistá, pracuje se také s dolní či horní mezí x0. Náhodná veličina X má lognormální (obecné tříparametrické) rozdělení, jestliže transformovaná náhodná veličina 32
Y = ln |X - x0|
(3.16)
má normální rozdělení. V tomto vztahu x0 označuje dolní nebo horní mez rozdělení veličiny X, která závisí na šikmosti αX. Jestliže veličina X má průměr µX a směrodatnou odchylku σX, pak dolní nebo horní mez x0 je možno vyjádřit vztahem x0 = µX − σX /c
(3.17)
ve kterém součinitel c je dán hodnotou šikmosti αX podle vztahu αX = 3c + c3
(3.18)
ze kterého plyne explicitní vztah pro c α2 α X +1+ X c= 4 2
1/ 3
α2 α X − +1− X 4 2
1/ 3
(3.19)
Závislost mezi x0 a šikmostí αX je patrná z tabulky 3.1, která uvádí mez u0 = −1/c normované náhodné veličiny U = (X - µX)/σX pro vybrané hodnoty koeficientu šikmosti αX ≥ 0. Pro αX ≤ 0 platí hodnoty u0 s opačným znaménkem (tedy kladné). Lognormální rozdělení s nulovou šikmostí αX = 0 (u0 = −1/c → ± ∞) přechází na normální rozdělení. Tabulka 3.1. Součinitele c pro vybrané hodnoty koeficientu šikmosti αX ≥ 0. αX
0
0,5
1,0
1,5
2,0
u0 = −1/c
-∞
-6,05
-3,10
-2,14
-1,68
Při stanovení teoretického modelu je tedy možno postupovat tak, že se kromě průměru µX a směrodatné odchylky σX uvažuje šikmost αX, popř. alternativně mez rozdělení x0. Obecně se však dává přednost první možnosti, neboť o koeficientu šikmosti jsou zpravidla k dispozici věrohodnější informace a lépe vyjadřuje celkové rozdělení statistického souboru (zejména velkých souborů) než dolní či horní mez. Zvláštní případ je oblíbené lognormální rozdělení s dolním mezí v nule (x0 = 0), které stejně jako normální rozdělení závisí pouze na dvou parametrech, střední hodnotě µX a směrodatné odchylce σX (symbolicky se označuje LN(µ,σ)). V tomto případě z rovnic (3.17) a (3.18) plyne, že součinitel c je roven variačnímu koeficientu wX. Z rovnice (3.18) dále plyne, že šikmost αX lognormálního rozdělení s dolní mezí v nule je dána hodnotou variačního koeficientu wX podle vztahu αX = 3 wX + w 3X
33
(3.20)
Lognormální rozdělení s počátkem v nule (x0 = 0) má tedy vždy kladnou šikmost, jejíž hodnota může být poměrně vysoká (větší než 0,5); např. pro variační koeficient 0,30 plyne ze vztahu (3.20) koeficient šikmosti αX =0,927. Neuvážené aplikace lognormálního rozdělení s dolním mezí v nule (x0 = 0) mohou tak vést k nereálným teoretickým modelům (zpravidla podceňujícím výskyt záporných a zveličujícím výskyt kladných odchylek od průměru), zejména při vyšších hodnotách variačního koeficientu wX. I když výskyt záporných hodnot může být rovněž nežádoucí (u většiny mechanických veličin nereálný), je z praktického hlediska zpravidla zanedbatelný. Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0.05 Lognormální rozdělení LN(25,10) 0.04 0.03
Normální rozdělení N(25,10)
0.02 0.01 0.00 -10
0
10
20
30 40 50 Krycí vrstva X [mm]
60
70
80
90
Obrázek 3.3. Hustota pravděpodobnosti pro krycí vrstvu výztuže. Příklad 3.3. Krycí vrstva výztuže železobetonového průřezu X má průměr µ = 25 mm a směrodatnou odchylku σ = 10 mm. Obrázek 3.3 ukazuje hustotu pravděpodobnosti ϕ(x) pro normální rozdělení a lognormální rozdělení s dolní mezí v nule. Z obrázku 3.3 lze usoudit, že normální rozdělení vede k výskytu záporných hodnot krycí vrstvy výztuže. Tato okolnost zřejmě neodpovídá skutečnosti. Na druhé straně lognormální rozdělení s dolní mezí v nule zveličuje výskyt kladných odchylek krycí vrstvy, což nemusí být rovněž reálné a může dále vést k nepříznivým vlivům na únosnost průřezu. Zveličení výskytu extrémních kladných odchylek odpovídá vysoká šikmost lognormálního rozdělení αX = 1,36, která plyne z rovnice (3.20). Poznamenává se, že dostupné experimentální údaje o krycí vrstvě naznačují, že šikmost rozdělení krycí vrstvy se pohybuje v okolí hodnoty αX ≈ 0,5, ve většině případů αX < 1,0.
34
Lognormální rozdělení nalézá v teorii spolehlivosti široké uplatnění. Používá se pro popis různých typů náhodných veličin charakterizujících některá zatížení (vlastní tíhu), mechanické vlastnosti (pevnosti) i geometrické údaje (vnější i vnitřní rozměry průřezů). Lze jej použít pro obecně nesymetrické rozdělení náhodné veličiny s kladnou i zápornou šikmostí. Lognormální rozdělení s dolní mezí v nule (x0 = 0) je velmi oblíbené pro popis mechanických vlastností (pevností) různých materiálů (beton, ocel, zdivo).
3.5
Gama rozdělení Dalším oblíbeným typem jednostranně omezeného rozdělení je Pearsonovo
rozdělení typu III. Jeho podrobný popis je ve např. skriptech [5], tabulky také ve skriptech [6]. Zvláštním typem Pearsonova rozdělení typu III s dolní mezí v nule je gama rozdělení. Toto důležité rozdělení je závislé pouze na dvou parametrech: průměru µ a směrodatné odchylce σ. Pro jednoduchost zápisu se však často používají dva pomocné parametry λ a k ϕ(x) = λk xk-1 exp(-λx) / Γ(k), λ = µ /σ2 , k = (µ /σ)2
(3.21)
Γ(k) je gama funkce parametru k. Pro momentové parametry gama rozdělení platí µ = k/λ, σ = √k/λ, α = 2 / √k = 2 σ /µ = 2 w, ε = 3 α2/2
(3.22)
Křivka má zvonovitý tvar pro k > 1, tj. pro šikmost α < 2 (při α ≥ 2 je klesající funkcí x). Pro k → ∞ se gama rozdělení blíží k normálnímu rozdělení s parametry µ a σ. Gama rozdělení má podobné uplatnění jako lognormální rozdělení s dolní mezí v nule. Odlišuje se něho však tím, že jeho šikmost je rovna pouze dvojnásobku variačního koeficientu (α = 2 w), a je tedy nižší než šikmost lognormálního rozdělení, která je o více než 50 % vyšší (podle rovnice (3.20) je α = 3w +w3). Z toho důvodu je gama rozdělení vhodné pro popis některých geometrických veličin a užitného zatížení, které nemají velkou šikmost. Příklad 3.4. Výběr o rozsahu n = 157 experimentálních výsledků měření krycí vrstvy výztuže má tyto charakteristiky: m = 26,8 mm, s = 11,1 mm a a =0,40. Jde o poměrně velký soubor, u kterého lze zjištěnou šikmost považovat věrohodnou charakteristiku (navíc odpovídá dlouhodobé zkušenosti). Histogram měřených hodnot a teoretické modely normálního rozdělení, lognormálního rozdělení s počátkem v nule, gama rozdělení a beta rozdělení jsou zachyceny na obrázku 3.4, který umožňuje posouzení vhodnosti teoretického modelu. Z obrázku 3.4 se zdá, že gama rozdělení lépe vystihuje histogram naměřených výsledků, než normální a lognormální rozdělení. Vhodným modelem se však rovněž zdá oboustranně omezené beta rozdělení (popsané v následujícím oddílu (3.6)). Důležitá otázka vhodnosti teoretických modelů pro popis sledovaných měření je však
35
složitá a v tomto textu upozorníme pouze na některé praktické aspekty a ustálené zvyklosti. Pojednání o některých postupech matematické statistiky (o tak zvaných testech dobré shody) lze nalézt ve skriptu [5] a odborné literatuře [18,19,20].
Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0.05 n = 157 m = 26,8 s = 11,1 v = 0,42 a = 0,40
0.04
Lognormální rozdělení Gama rozdělení Normální rozdělení Beta rozdělení
0.03
0.02
0.01
0.00
0
10
20 30 40 Tloušťka krycí vrstvy [mm]
50
60
70
Obrázek 3.4. Histogram a teoretické modely pro krycí vrstvu výztuže.
3.6
Beta rozdělení Zajímavým typem rozdělení je tak zvané beta rozdělení (nazývané také Pearsonova
křivka typu I), které je definováno na oboustranně omezeném intervalu (tento interval se však může libovolně rozšiřovat a rozdělení se pak přibližuje k jiným rozdělením). Je obecně závislé na čtyřech parametrech a používá se především v těch případech, ve kterých je zřejmé, že obor náhodné veličiny je oboustranně omezený (některá zatížení a geometrické údaje, např. tíha vagónu metra, intenzita požárního zatížení, krycí vrstva výztuže železobetonového průřezu). Základní nesnází při praktické aplikaci je nutnost odhadnout čtyři parametry, pro které nemusí být dostupné věrohodné údaje. Beta rozdělení se zpravidla zapisuje ve tvaru (viz příloha 1) ϕ( x ) =
( x − a ) c −1 (b − x ) d −1 B(c, d )(b − a ) c +d −1
36
(3.23)
Pro dolní a horní mez rozdělení platí a = µ - c g σ, b = µ + d g σ, g =
c + d +1 cd
(3.24)
kde g je pomocný parametr. Z rovnic (3.24) lze odvodit vztahy pro parametry c a d c=
µ − a ( µ − a )(b − µ ) − 1 b−a σ2
(3.25)
d=
b − µ (µ − a )(b − µ ) − 1 b−a σ2
(3.26)
Pro momentové parametry beta rozdělení platí vztahy µ = a + (b - a) c / (c + d)
(3.27)
σ = (b - a)/(cg + dg)
(3.28)
α = 2g (d - c)/(c + d + 2)
(3.29)
ε = 3g2(2(c + d)2 + cd (c + d - 6))/((c+ d + 2)( c + d + 3)) - 3
(3.30)
Všimněme si, že šikmost α a špičatost ε jsou závislé pouze na parametrech c a d (jsou nezávislé na mezích a a b). Parametrům c a d se proto někdy říká parametry tvaru. V praktických aplikacích se rozdělení používá pro c > 1 a d >1 (jinak má křivka J nebo U tvar), pro c = d = 1 jde o rovnoměrné rozdělení, pro c = d = 2 jde o tak zvané parabolické rozdělení na intervalu . Při c = d jde o symetrickou křivku vzhledem k průměru. Jestliže d → ∞, přechází křivka na Pearsonovo rozdělení typu III (viz oddíl 3.5), pokud c = d → ∞, blíží se normálnímu rozdělení. Beta rozdělení pokrývá tedy v závislosti na parametrech tvaru c a d různé speciální typy rozdělení. Poloha rozdělení je dána parametry a a b. Beta rozdělení může být definováno na základě různých kombinací vstupních parametrů. Jestliže jsou dány všechny čtyři parametry rozdělení a, b, c a d, je možno momentové parametry µ, σ, α a ε stanovit z rovnic (3.27) až (3.30). V praktických aplikacích však zřejmě mohou nastanou dvě jiné důležité kombinace: 1. Vstupní parametry jsou µ, σ, a a b. Zbývající parametry c a d se stanoví z rovnic (3.25) a (3.26), momentové parametry α a ε z rovnic (3.29) a (3.30). 2. Vstupní parametry jsou µ, σ, α a jedna z mezí a (pro α > 0) nebo b (pro α < 0); zbývající parametry rozdělení b (nebo a), c a d se stanoví na základě rovnic (3.27) až (3.29). V praktických aplikacích se zejména uplatní rozdělení s dolní mezí a = 0. Lze ukázat, že v tomto případě je beta rozdělení definováno, pokud 37
α≤2w
(3.31)
kde variační součinitel w = σ /µ. Pro α = 2 w přechází křivka na Pearsonovo rozdělení typu III (viz oddíl 3.5). Jestliže tedy vstupními parametry jsou průměr µ, směrodatná odchylka σ a šikmost α ≤ 2 w, je beta rozdělení s dolní mezí v nule (a = 0) plně určeno. Horní mez beta rozdělení s dolní mezí v nule plyne ze vztahu (3.24) b = µ (c + d)/c = µ (1+ w(2+αw)/(2w - α))
(3.32)
V rovnici (3.32) jsou za parametry tvaru c a d jsou dosazeny vztahy α (2w − α ) 2 − ( 4 + α 2 ) 2w (wα + 2) 2 − ( 4 + α 2 )
(3.33)
α (2w − α ) 2 − ( 4 + α 2 ) 2 + αw 2 (wα + 2) 2 − ( 4 + α 2 ) α − 2w
(3.34)
c=−
d=
které pro a = 0 plynou z obecných rovnic (3.25) až (3.29). Příklad 3.5. Mají se stanovit parametry beta rozdělení s počátkem v nule (a = 0) pro krycí vrstvu výztuže, jestliže je dán průměr µ = 25 mm, směrodatná odchylka 10 mm (w =0,40) a šikmost α = 0,5. Rovnice 3.31 je splněna (0,5 < 2 × 0,4). Z rovnic (3.33) a (3.34) plyne c=−
d=
0,5 (2 × 0,4 − 0,5) 2 − ( 4 + 0,5 2 ) = 4,406 2 × 0,4 (0,4 × 0,5 + 2)2 − ( 4 + 0,5 2 )
0,5 ( 2 × 0,4 − 0,5) 2 − ( 4 + 0,5 2 ) 2 + 0,5 × 0,4 = 12,926 2 (0,4 × 0,5 + 2) 2 − ( 4 + 0,5 2 ) 0,5 − 2 × 0,4
Z rovnice (3.32) plyne pro horní mez rozdělení b = 25 (4,407 + 12,926)/4,407=98,326 Beta rozdělení s odvozenými parametry je zachyceno na obrázku 3.5 společně s odpovídajícím normálním, lognormálním a beta rozdělením s počátkem v nule, které mají stejný průměr µ a směrodatnou odchylku σ. Vraťme se krátce k diskusi o vhodnosti jednotlivých rozdělení. Obrázek 3.5 dále ukazuje, že normální rozdělení (šikmost α = 0) vede k výskytu záporných hodnot, což nemusí odpovídat skutečným podmínkám pro krycí vrstvu výztuže. Lognormální rozdělení s dolní mezí v nule má podle rovnice (3.20) šikmost α = 1,264, což neodpovídá experimentálním výsledkům a vede ke zveličení výskytu kladných odchylek (což může dále vést k nepříznivým důsledkům při rozboru spolehlivosti železobetonového prvku). Gama
38
rozdělení má podle rovnice (3.22) šikmost α = 2w = 0,8 a je tedy blíže experimentální hodnotě 0,5. Beta rozdělení, u kterého je šikmost α = 0,5 zcela podřízena výsledkům měření, se zdá vhodnějším modelem než předchozí typy rozdělení. Jak jsme již uvedli v předchozím oddílu 3.5, další podklady pro hodnocení výstižnosti jednotlivých typů rozdělení poskytují různé statistické testy dobré shody [5,18,19,20].
Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0,05
Lognormální rozdělení LN(25;10) a = 0, α = 1,264;
0,04
Normální rozdělení N(25;10), α = 0
0,03
Gama rozdělení Gama(25;10) a = 0, α = 0,8;
0,02
Beta rozdělení Beta(25;10) a = 0, b = 98,3, α = 0,5;
0,01 0,00 -10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Krycí vrstva x [mm] Obrázek 3.5. Normální, lognormální, gama a beta rozdělení pro krycí vrstvu výztuže železobetonového průřezu. Matematická statistika poskytuje celou řadu různých "testů dobré shody" pro hodnocení vhodnosti rozdělení jako teoretického modelu pro získané experimentální výsledky [5, 18, 19, 20]. Shora uvedenou diskusi je tedy možno doplnit o výsledky testů. Na druhé straně je však nutno poznamenat, že zmíněné testy dobré shody někdy nevedou k jednoznačnému závěru. Volba vhodného modelu je pak závislá na charakteru základní veličiny, dostupných zkušenostech a ustálených zvyklostech.
3.7
Gumbelovo a ostatní rozdělení extrémních hodnot Maximální nebo minimální hodnota souboru o určitém rozsahu je náhodná veličina,
jejíž rozdělení je z hlediska teorie spolehlivosti velmi důležité. V odborné literatuře se zpravidla uvádějí tři typy rozdělení extrémních hodnot, které se označují jako typy I, II a III. Každý typ má dvě verze, jednu pro rozdělení minimálních hodnot, druhou pro rozdělení maximálních hodnot. Všechny typy rozdělení mají jednoduchý exponenciální tvar a dobře se 39
s nimi pracuje. Podrobně popíšeme rozdělení typu I (rozdělení maximálních hodnot), které se běžně označuje jako Gumbelovo rozdělení. Popis ostatních typů rozdělení lze nalézt ve skriptech [5] a odborné literatuře [18,19,20,23,24]. Distribuční funkce rozdělení maximálních hodnot typu I (Gumbelova rozdělení pro maximální hodnoty) má tvar Φ(x) = exp(-exp(-c(x-xmod)))
(3.35)
Jde o rozdělení definované na neomezeném intervalu, které závisí na dvou parametrech: na modu xmod a parametru c > 0. Derivací distribuční funkce obdržíme hustotu pravděpodobnosti ve tvaru ϕ(x) = c exp(-c(x-xmod)-exp(-c(x-xmod)))
(3.36)
Oba parametry lze stanovit z průměru µ a směrodatné odchylky σ xmod=µ - 0,577√6σ /π
(3.37)
c = π /(√6σ)
(3.38)
Šikmost i špičatost rozdělení jsou konstantní: α = 1,14, ε = 2,4. Důležitou vlastností Gumbelova rozdělení je jednoduchá úprava distribuční funkce původního rozdělení Φ(x) na distribuční funkci ΦN(x) pro popis maxima souborů o N násobném rozsahu než je rozsah původního souboru s průměrem µ a směrodatnou odchylkou σ. Jestliže jsou jednotlivé násobky původního souboru navzájem nezávislé, pak pro distribuční funkci ΦN(x) platí ΦN(x) = (Φ(x))N
(3.39)
Dosazením rovnice (3.35) do (3.39) získáme ΦN(x) = exp(-exp(-c(x-xmod - ln N/c)))
(3.40)
takže pro průměr µN a směrodatnou odchylku maxim souborů o N násobném rozsahu plati µN = µ + ln N /c = µ +0,78 ln N σ, σN = σ
(3.41)
Směrodatná odchylka původního souboru se tedy nemění σN = σ, pro průměr µN se však zvětšuje proti původní hodnotě µ o ln N/c. Příklad 3.5. Jednoroční maxima tlaku větru jsou popsány Gumbelovým rozdělením o průměru µ1 = 0,35 kN/m2, σ1 = 0,06 kN/m2. Odpovídající parametry rozdělení maxim za dobu 50 let, tj. parametry µ50 a σ50, plynou z rovnice (3.41)
40
µ50 = 0,35 + 0,78 × ln 50 × 0,06 = 0,53 kN/m2, σ50 = 0,06 kN/m2 Obrázek 3.5 ukazuje obě rozdělení jednoročních i padesátiletých maxim tlaku větru popsaných Gumbelovým rozdělením.
Hustota pravděpodobnosti ϕ N(x) 8
ϕ 50(x)
ϕ 1(x)
7 6 5 4 3 2 1 0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Tlak větru x Obrázek 3.5. Rozdělení maxim tlaku větru za 1 rok a 50 let. Distribuční funkce rozdělení minimálních hodnot typu I (Gumbelova rozdělení pro minimální hodnoty) má tvar Φ(x) = 1 - exp(-exp(-c(xmod - x)))
(3.42)
Jde o rozdělení symetrické k rozdělení maximálních hodnot popsané funkcí (3.35). Je tedy opět definované na neomezeném intervalu, které závisí na dvou parametrech: na modu xmod a parametru c > 0. Derivací distribuční funkce obdržíme hustotu pravděpodobnosti ve tvaru ϕ(x) = c exp(-c(xmod - x)-exp(-c(xmod - x)))
(3.43)
Oba parametry lze stanovit z průměru µ a směrodatné odchylky σ xmod=µ + 0,577√6σ /π
(3.44)
c = π /(√6σ)
(3.45)
Obraz hustoty pravděpodobnosti minimálních hodnot je symetrický s tvarem hustoty pravděpodobnosti maximálních hodnot vzhledem k modu xmod, jak je patrné z obrázku 3.6.
41
Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0,4
0,3
Rozdělení minimálních hodnot
0,2
Rozdělení maximálních hodnot
0,1
0,0
4
6
7
9
10 Veličina X
12
13
15
16
Obrázek 3.6. Hustota pravděpodobnosti Gumbelova rozdělení pro minimální a maximální hodnoty. Podobně jsou definovány rozdělení typu II, tak zvané Fréchétovo rozdělení, a rozdělení typu III, tak zvané Weibullovo rozdělení. Všechny tři typy rozdělení se vzájemně doplňují vzhledem k možným hodnotám šikmosti α. Každý typ pokrývá určitou oblast šikmostí, jak znázorňuje obrázek 3.7.
Rozdělení maximálních hodnot typ III
typ I
0
1,14
typ II
α
Rozdělení minimálních hodnot typ II
typ I
-1,14
typ III
α
0
Obrázek 3.7 Členění typů rozdělení extrémních hodnot podle šikmosti α.
42
Rozdělení maximálních hodnot typu I a II se často aplikuje při popisu veličin, u nichž se sledují maximální hodnoty (zatížení), rozdělení typu III pro veličiny, u nichž se sledují minimální hodnoty (např. pevnost a další materiálové vlastnosti).
3.8
Vícerozměrné náhodné veličiny Tento oddíl uvádí některé základní poznatky o vícerozměrných, zejména o
dvourozměrných náhodných veličinách. Podrobné pojednání o vícerozměrných náhodných veličinách, pravděpodobnostních modelech, parametrech základního souboru a výběrových charakteristikách lze nalézt ve skriptech [5] a odborné literatuře [18,19,20]. Jestliže se při uskutečnění souboru podmínek π (viz oddíl 2.1), tj. při realizaci určitého náhodného jevu, sledují u každé jednotky (prvku) dvě veličiny (dva znaky) X a Y, přičemž veličina X nabývá právě jednu hodnotu x a veličina Y nabývá právě jednu hodnotu y, tvoří veličiny X a Y dvojici sdružených náhodných veličin. Příkladem je síla X a hmotnost Y, které se sledují při porušení betonové kostky zatěžované za stanovených podmínek ve zkušebním stroji (viz příklad 2.2). Jistě je možno sledovat více než dva znaky, např. sílu, hmotnost a vlhkost. V obecném případě se sledují veličiny X1, X2,… Xn, které pro jednoduchost zápisu označíme jako vektor X [X1, X2,… Xn], jeho realizace x1, x2, …, xn jako vektor x [x1, x2, …, xn]. Následující souhrn se zabývá zejména dvourozměrnými náhodnými veličinami, které mají dvě složky (dvě sdružené náhodné veličiny) X a Y. Souhrn všech možných realizací x a y dvojice sdružených náhodných veličiny X a Y se nazývá dvourozměrný základní soubor. Dvojice sdružených náhodných veličin X a Y se také nazývá dvourozměrná náhodná veličina, obecně náhodný vektor. Podobně jako jedna náhodná veličina popisuje se dvourozměrná náhodná veličina rozdělením pravděpodobností, tj. funkcí udávající pravděpodobnost, že náhodné veličiny X a Y patří do dané množiny (u spojitých náhodných veličin) nebo nabývá dané hodnoty (u diskrétních náhodných veličin). Dvourozměrná distribuční funkce Φ(x,y) (někdy označená ΦXY(x,y)) udává pro každou dvojici x, y pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude menší nebo rovna x a náhodná veličina Y bude menší nebo rovna y Φ( x, y ) = P( X ≤ x;Y ≤ y )
(3.46)
Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny ϕ(x) je derivace (pokud existuje) distribuční funkce φ( x, y ) =
∂ 2 Φ ( x, y ) ∂x∂y
(3.47)
Marginální (okrajová) distribuční funkce ΦX (x) veličiny X je zvláštní případ distribuční funkce
43
Φ(x,y) bez jakékoli podmínky pro veličinu Y, tj. pro souhrn všech realizací Y < ∞ Φ(x, ∞) = P(X≤ x, Y≤ ∞) = ΦX (x)
(3.48)
Obdobně se definuje marginální (okrajová) distribuční funkce ΦY (y) veličiny Y, která je zvláštním případem distribuční funkce Φ(x,y) bez jakékoli podmínky pro veličinu X, tj. pro souhrn všech možných realizací veličiny X < ∞ Φ( ∞, y) = P(X≤ ∞, Y≤ y) = ΦY (y)
(3.49)
Říkáme, že náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě tehdy, platí-li Φ(x,y) = Φ(x, ∞) Φ( ∞, y) = ΦX (x) ΦY (y)
(3.50)
pak pro hustotu pravděpodobnosti platí ϕ(x,y) = ϕX(x) ϕY(y)
(3.51)
kde ϕX(x) a ϕY(y) jsou marginální hustoty pravděpodobnosti veličin X a Y. Dvourozměrná náhodná veličina se popisuje momentovými parametry a různými typy rozdělení (zpravidla pouze normálním) obdobně jako jednorozměrná veličina. Kromě jednorozměrných momentů, které vedou k definici průměrů µX, µY a směrodatných odchylek σX, σY, se však uplatňují rovněž sdružené momenty obou veličin X a Y. Nejdůležitější je sdružený centrální moment prvního řadu σXY, který se nazývá kovariance σ XY = ∫ ϕ( x, y )( x − µ X )( y −µY )dxdy
(3.52)
Na základě kovariance se definuje korelační koeficient ρXY ρ XY =
σ XY σ X σY
(3.53)
Pro hodnotu korelačního koeficientu vždy platí -1 ≤ ρXY ≤ +1. Jsou-li veličiny X a Y nezávislé, pak ρXY = 0. Opačné tvrzení platí pouze v případě dvourozměrného normálního rozdělení (které je popsáno níže). U vícerozměrných náhodných veličin X [X1, X2,… Xn], kovariance σij a korelační koeficienty ρij mezi jednotlivými složkami X1, X2,… Xn tvoří matice. Matice kovariancí se uplatňuje při transformaci vektoru závislých veličin na vektor nezávislých náhodných veličin, která se využívá při analýze spolehlivosti složitějších případů (viz software STRUREL [31]. Na základě výběru párových pozorování x1,y1; x2,y2;...; xnyn se stanoví že výběrová kovariance sXY =
1 ∑ ( x i − m X )( y i − mY ) n −1 i 44
(3.54)
která je již nestranným odhadem kovariance základního souboru (jmenovatel n - 1 vyplývá z požadavku nestrannosti podobně jako u výběrového rozptylu (3.9)). Pro výběrový korelační koeficient analogicky k (3.53) tedy platí
r XY
s = XY = s X sY
∑ (xi i
− m X )( y i − mY )
∑ (xi − m X )
2
i
(3.55)
∑ ( y i − mY ) 2 i
V tomto vzorci se po dosazení vztahů (3.54) a (3.9) jejich jmenovatele n -1 již neuplatní. Výběrový korelační koeficient rXY se často používá k numerickému vyjádření vzájemné lineární závislosti mezi X a Y v řadě párových pozorování. Hodnota rXY leží mezi -1 a +1. Rovná-li se některé z těchto mezí, znamená to, že mezi X a Y v řadě párových pozorování je přesná lineární závislost. Je-li to možné, měl by se k ověření linearity také použít bodový diagram znázorňující soubor pozorování, popř. na základě diagramu omezit sledovaný obor tak, aby předpoklad linearity byl oprávněný. Dvourozměrné normální rozdělení dvou spojitých náhodných veličin X a Y s parametry µX, µY, σX, σY a ρ = ρXY je dáno následující rovnicí ϕ( x, y ) =
1 2πσ X σ Y
x − µ 1 X exp − 2 2 σ 2(1 − ρ ) X 1− ρ
2
x − µX − 2 ρ σX
y − µY σ Y
y − µY + σY
2
(3.56) Marginální rozdělení ϕX(x) a ϕY(y) jsou rovněž normální s parametry µX, σX a µY, σY stejně jako podmíněná rozdělení, která popisují rozdělení pro dané y = y0 a x = x0 a pro jejichž parametry platí µX +ρ (y0 - µY )σX /σY, σX (1-ρ2)1/2 a µY +ρ (x0 - µx )σY /σX, σY (1-ρ2)1/2 [18,19]. Podmíněná rozdělení mohou být užitečná při (velmi častém) nepřímém experimentálním ověřování vlastností jedné se sdružených náhodných veličin X a Y pomocí druhé. Stejně jako u jednorozměrné náhodné veličiny se přechází transformacemi U=
X − µX X − µY ,V = σX σY
(3.57)
na normované náhodné veličiny U a V, pro které normované dvourozměrné normální rozdělení lze zapsat ve tvaru ϕ(u, v ) =
(
1 u 2 − 2 ρuv + v 2 exp − 2 2 − 2 ( 1 ) ρ 2π 1 − ρ 1
)
(3.58)
Dvourozměrné normální rozdělení lze zobecnit [18,19,20] na rozdělení vícerozměrných náhodných veličin popsaných vektorem X [X1, X2,… Xn], kdy kovariance a korelační koeficienty mezi jednotlivými složkami X1, X2,… Xn tvoří matice.
45
