BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Kalkulus variasi adalah bidang dari matematika analisis yang berhubungan dengan memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi. Contoh sederhana dari masalah tersebut adalah pada untuk menemukan jalur terpendek pada sebuah kurva yang menghubungkan dua titik, solusinya adalah jelas yaitu garis lurus menjadi tween point. Namun, jika kurva dibatasi untuk dipermukaan dalam ruang, maka solusinya adalah kurang jelas atau banyak kemungkinan solusi. Solusi tersebut dikenal sebagai geodesic. Masalah terkait yang ditimbulkan adalah prinsip fermat. Untuk mendefinisikan jarak tempuh terpendek dan tercepat yang dilalui oleh cahaya dapat digunakan sebuah prinsip, yaitu prinsip fermat. Prinsip ini kadang-kadang digunakan sebagai definisi sinar sebagai cahaya yang merambat sesuai prinsip fermat. Pinsip fermat dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange. Euler dan Lagrange menemukan cara yang sistematis dalam menangani masalah-masalah dalam kalkulus variasi dengan memperkenalkan apa yang sekarang dikenal sebagai persamaan Euler-Lagrange, (Dacorogna, 2004). Teori ini kemudian diperluas dalam berbagai cara dan banyak diaplikasikan sehingga memiliki pengaruh yang sangat kuat terhadap perkembangan kalkulus variasi. Pada bahasan ini, akan digunakan teori Euler-Lagrange untuk menentukan jarak terpendek dari suatu titik A ke titik B pada bidang cermin datar. Oleh karena itu, pada makalah ini diambil judul Prinsip Fermat. 2. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian pada latar belakang di atas maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah a. Apa yang dimaksud dengan prinsip fermat? b. Bagaimana cara menyelesaikan prinsip fermat? 3. Tujuan masalah Adapun tujuan penyusunan makalah ini adalah a. Untuk mengetahui pengertian dari prinsip fermat b. Untuk menyelesaikan prinsip fermat 1
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Lagrange
2
Jika
u´
adalah fungsi yang meminimumkan integral fungsional
f . Maka
u´ memenuhi teorema dibawah ini. x , u , ξ dengan ξ=u Teorema 2.1 kondisi yang dibutuhkan sebuah integraldari fungsi f =f ¿ b
I ( u ) =∫ f ( x ,u , u' ) dx … … … … … … … … …(i) a
Untuk mencari ekstremum u´ terhadap kondisi batas y ( x2 ) = y 2
y ( x1 ) = y 1
dan
adalah ketika fungsi u( x ) memenuhi persamaan
d ( f ( x , u´ , u´ ' ) )=f u ( x , u´ , u´ ' ) dengan xϵ ( a , b ) … … … … … …(ii) dx ξ dengan ξ=´u ' persamaan di atas adalah pesamaan Euler-lagrange dan dapat ditulis d ∂f ∂f = ' dx ∂ u ∂u
( )
Proof. Karena ü adalah minimizer, maka berlaku dan v adalah fungsi dalam kelas Karena pada
u´
∞
C [a,b],
adalah minimizer, maka fungsi
I ( u´ ) ≤ I ( u´ +ξ ) ,ξϵ R v ( a ) =v ( b )=0 .
dengan I ( ´u +ξv)
vξ . Tetapi v sendiri adalah fungsi dalam kelas
hanya bergantung ∞
C [a,b],
dimana
ϕ (0) ≤ ϕ(h) , sehingga dapat digeneralisasi I bergantung pada h. anggap
¿ϕ
, maka Φ(ξ)=I ( u´ + ξv) , dimanaΦϵ C ∞ ( R).
Jika fungsi Φ(ξ) diturunkan terhadap ξ
untuk ξ=0 , maka diperoleh
3
'
Φ ( 0 )=
d I ( u´ +ξv ) dξ
|
=
h=0
d I (´u ) =0, karena u´ adalah minimizer dan dξ
tidak mengandung variabel untuk ξ
untuk ξ
' Dengan alasan di atas, maka I ( ξ )=0
uϵ C 1 , ketika
F ’ ( x)=0 . Karena
fungsional f, akan diperoleh minimizer
I
= 0.
(analog dengan kalkulus dimana ξ
disubstitusi ke dalam integra
ü ). Jika kita menerapkan hal ini
pada persamaan (i), maka b
I ' ( ξ )=0=
b
¿∫ a
d ∫ f ( x , u´ , ´u ' ) dx dξ a
b
¿∫ a
d f ( x , u´ , ´u ' ) dx dξ
( ∂∂ fx ∂∂ xξ + ∂∂uf´ ∂∂ uξ´ + ∂∂ uf´ ∂∂ u´ξ )dx … … … … …(iii)
Pada persamaan (iii) di atas jelas
∂x ∂ u´ =0 =v . Anggap ∂ξ ∂ξ
maka
∂ u´ ∂ξ
.
Jika kita mensubstitusikan pemisalan ini ke dalam (iii), maka b
I ' ( ξ )=0=∫ a
( ∂∂ uf´ v+ ∂∂uf´ v ' ) dx … … … … …( iv)
Dengan menggunakan integral parsial pada bentuk b
∫( a
b
∂f v' , maka ∂ u´
∂f ∂f d ∂f v ' dx= v−∫ v dx . ∂ u´ ∂ u´ dx ∂ u´ ' a
)
( )
dari asumsi awal kita, v ( a ) =v ( b )=0, maka hasilnya adalah b
∫( a
b
∂f d ∂f v ' dx=−∫ v d' x . ∂ u´ dx ∂ u´ a
)
( )
Dengan memasukan hasil pengintegralan in ke dalam (iv), maka diperoleh
4
b
I ( ξ )=0=∫ '
a
b
¿∫ a
(
(
( ))
∂f d ∂f v−v dx ∂ u´ dx ∂ u´ '
( ))
∂ f d ∂f − v dx … … … …(v ) ∂ u´ dx ∂ u´ '
Teorema dasar kalkulus variasi mengatakan, jika ∫ Ω u ( x ) ψ ( x ) dx=0, maka u ( x )=0.
Kita terapkan teorema dasar kalkulus di atas pada persamaan (v), maka ∂f d ∂f − =0, atau ∂ u´ dx ∂ u´
( )
f u ( x , u´ , u´ ' )=
d ( f ( x , u´ , u´ ' ) ) …………. (vi) dx u
Bandingkan persamaan (vi) dengan persamaan (ii). Terbukti 2.2 Prinsip Fermat Prinsip fermat atau principle of least time adalah sebuah prinsip yang mendefinisikan jarak tempuh yang terpendek dan tercepat yang dilalui oleh cahaya. Pernyataan asli prinsip fermat adalah: “Sebenarnya jalan anatara dua titik yang diambil oleh seberkas cahaya adalah salah satu yang dilalui dalam waktu minimal” Prinsip ini merupakan penyederhanaan yang dilakukan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1967 dari konsep-konsep serupa sebelumnya dari berbagai macam percobaan refleksi cahaya. Pada pengembangan teori-teori cahaya prinsip Fermat selalu ditilik ulang dan disempurnakan. Pada hukum Snellius, dijelaskan rasio yang terjadi akibat prinsip ini sebagai:
5
sinθ 1 v1 n2 = = sinθ 2 v2 n1 walaupun terdapat keraguan metode yang digunakan Willebrord Snellius pada tahun
1621
untuk
menentukan
nisbah kecepatan
cahaya mengingat
bahwa cahaya baru dipastikan mempunyai kecepatan yang konstan pada tahun 1676 oleh Ole Christensen Rømer. Dan Isaac Newton baru pada tahun 1675 menyatakan bahwa partikel cahaya mempunyai kecepatan yang lebih tinggi pada medium yang lebih padat, akibat gaya gravitasi, walaupun teori ini kemudian dibuktikan adalah keliru. Isaac Newton dengan persamaan gaya yang sangat terkenal: F=m a
yang mendefinisikan massa sebagai kelembaman benda terhadap perubahan kecepatan, dapat menjabarkan hukum Snellius sebagai teori partikel cahaya: ma=n sin θ Karena analogi indeks bias dengan masa dan percepatan dengn perubahan sudut sinar baisterhadap perubahan sudut sinar insiden. Dan mendefinisikan prinsip fermat sebagai prinsip kekekalan gaya dengan sinar cahaya sebagai gaya yang memcu kecepatan massa pada jarak tempuhnya. F1=F 2
Sehingga, n1 sinθ 1=n2 sin θ2 Dan dengan penurunan persamaan ini, banyak yang menyangsikan bahwa Isaac Newton mengatakan kecepatan cahaya pada medium yang lebih padat menjadi lebih cepat. Prinsip Fermat disebut sebagai konsekuensi extremum principle of wave
mechanics dari teori
gelombang
yang
dipresentasikan
Christian
Huygens pada tahun 1690 yang kemudian disebut prinsip Huygens, dengan menambahkan parameter panjang gelombang. Beberapa fakta tentang rambatan cahaya adalah sebagai berikut:
6
1. cahaya merambat pada garis lurus pada suatu materi dengan kepadatan konstan, 2. cahaya akan membias ketika melewati dua materi yang memiliki kepadatan berbeda. 3. Cahaya juga memantul dari cermin dengan sudut pantul sama dengan sudut insidensi. Prinsip fermat merupakan rangkuman dari sifat-sifat cahaya diatas yang dinyatakan dalam masalah kalkulus variasi sebagai berikut : Cahaya merambat mengikuti lintasan dengan waktu tersingkat.
BAB III PEMBAHASAN Pada persoalan kurva yang menandai jarak terpendek yang menghubungkan dua titik dalam bidang yang dikenal sebagai “Geodesic” tercakup dalam persoalan nilai “maksimum” atau “minimum” suatu fungsi, atau
lebih umum disebut
sebagai persoalan nilai “Stasioner”. Menurut kalkulus dasar, syarat perlu suatu fungsi f(x) bernilai stasioner adalah df =0 dx
7
Dalam Fisika, persoalan nilai stasioner (maksimum/minimum) suatu fungsi banyak dijumpai, dan analisis sifat stasioner suatu kuantitas fisika banyak Menghasilkan hukum dan prinsip. sebagai contoh pada cermin datar: Sinar datang dari titik A menuju
cermin
A
menuju
cermin datar dan dipantulkan ke titik B. Dari sekian banyak lintasan yang dapat dilalui sinar, hanya
satu
lintasan
yang
sesungguhnya akan dilalui sinar. Prinsip Fermat: Sinar datang dari titik A menuju cermin dan dipantulkan ke titik B akan menempuh satu lintasan tertentu yang jaraknya terpendek atau waktu tempuhnya tersingkat. Dari prinsip ini lahirlah hukum Snelius tentang pemantulan cahaya, sudut datang = sudut pantul. Bukti:
l
¿
l 1+l 2
l
¿
√ a2 + x 2+ √b 2+ ( d−x )2
Menurut kalkulus syarat perlu sutu kuantitas minimum adalah turunan pertama berniali nol (0), dalam hal ini: dl =0 dx
8
dl d 2 2 2 2 = ( √ a + x + √ b + ( d−x ) )=0 dx dx −1
−1
1 ( 2 2) 2 ( ) 1 2 ( 2 a +x 2 x + ( b + d−x ) ) 2 2 ( d −x ) (−1 )=0 2 2
( d −x ) x − =0 2 2 √a +x √ b + ( d−x )2 2
( d −x ) x = 2 2 √a + x √ b + ( d−x )2 2
sin θ=sinθ '
(hukum snellius)
Dalam kalkulus variasi, kuantitas atau fungsi dibuat stasioner dinyatakan dalam notasi integral (I) sebagai berikut: x2
y'=
I =∫ F ( x , y , y ' ) dx ; x1
dy dx
pada persoalan awal yaitu kurva yang menandai jarak terpendek yang menghubungkan dua titik dalam bidang I
¿
S
¿
∫ dS
I
¿
S
¿
∫ √ d x2 +d y 2
I
¿
S
¿
I
¿
S
¿
∫
√
dy 2 dx dx
( )
1+
dy
∫ √ 1+ y '2 dx ; y ' = dx F ( x , y , y ' )=√ 1+ y ' 2 ; y ' =
dy dx
9
Penanganan persoalan ini dilakukan dengan prinsip variasi, sehingga teknik ini y=f ( x)
disebut Kalkulus Variasi. Dalam persoalan ini ingin diketahui kurva
yang menandai jarak terpendek atau kuantitas berikut bernilai paling kecil: I =S=∫ √ 1+ y dx ; y = '2
'
dy dx
Dengan prinsip Variasi, kurva y(x) divariasikan nilainya di atas maupun di bawah nilai sesungguhnya. Variasi ini diwakili oleh suatu fungsi sembarang η(x ) seperti gambar berikut:
Y ( x ) = y ( x ) +εη (x) Dimana, ε
adalah suatu
parameter
η( x )
adalah
suatu
fungsi
sembarang yang berkelakuan baik diantara nol di
x1 x=x 1
dan
x2
dan di
nilainya x=x 2
Dengan variasi ini, diinginkan kuantitas berikut bernilai minimum x2
I =∫ √1+Y dx '2
x1
10
Dan I sekarang menjadi fungsi parameter Persoalan sekarang adalah membat
ε ; jika
I ( ε)
ε =0
maka
Y = y (x ) .
memiliki nilai minimum ketika
ε =0 . Dengan kata lain: dl =0 ;ε =0 dε Jika dilakukan diferensiasi I terhadap ε , didapat: x2
dl 1 1 d Y' = 2Y dx dε ∫ 2 √ 1+Y ' 2 dε x
( )
1
Dan jika dilakukan diferensiasi persamaan Y ( x ) terhadap x, didapat: Y ' ( x )= y ' ( x ) + εη '( x ) dY' =η ' (x ) dε Jika hasil terakhir disubstitusikan ke persamaan
dl dε
dan mengambil
dl =0 dε
ketika ε =0 maka didapat: dl dε
x2
( )
ε =0
=∫
y ' ( x )η ' (x)
√1+ y ' 2
x1
dx=0
Dapat diintegrasi secara parsial terhadap integral ini, sebagai berikut: dl dε
x2
( ) u=
ε =0
=∫
'
y ( x )η ' (x)
√1+ y ' 2
x1
dx=0
y' ' , dv=η ( x ) dx '2 √ 1+ y
du=
d dx
(
'
)
y dx , v=η(x ) √1+ y' 2
Dan
11
Didapat
Sehingga, d dx
(
y' =0 √ 1+ y '2
)
Atau y' =C √1+ y ' 2 y ' =C √ 1+ y '2 y '2 =C2 ( 1+ y ' 2) =C 2+C 2 y ' 2 y ' 2 ( 1−C 2 )=C 2 2
C y = =K 2 2 ( 1−C ) '2
'
y =K dy =K dx dx
y=∫ Kdx=Kx+ B Kembali ke kuantitas, x2 ' I =∫ F ( x , y , y ) dx x1
12
Tapi, Y ( x ) = y ( x ) +εη (x)
Sehingga, x2 ' I ( ε )=∫ F ( x , y , y ) dx x1
Jika I diturunkan terhadap ε , didapat x2
dl ∂ F dY ∂ F d Y ' =∫ + dx dε x ∂ Y dε ∂ Y ' dε 1
(
)
Atau x2
dl ∂F ∂F =∫ η(x)+ ' η ' (x ) dx dε x ∂ Y ∂Y 1
(
)
Untuk ε =0 maka dl dε
( )
ε =0
x2
=∫ x1
(
dl =0 dε
∂F ∂F η(x )+ ' η '( x ) dx=0 ∂Y ∂Y
)
Jika dlakukan proses integrasi untuk seuku kedua didapat: x2
x2
x2
1
1
|
∂F ∂F d ∂F ∫ ∂ y ' η' ( x ) dx= ∂ y ' η ( x ) −∫ dx ∂ y ' η ( x ) dx x x x 1
( )
Maka dl dε
( )
ε =0
x2
=∫ x1
[
]
∂F d ∂F − η ( x ) dx=0 ∂ Y dx ∂ y '
Atau d ∂ F ∂F − =0 dx ∂ y ' ∂ y
13
Dalam persolan kurva yang menandai jarak minimum yang menghubungkan dua buah titik dalam bidang, yakni: x2
I =∫ √1+ y' 2 dx x1
Maka F ( x , y , y ' )=√ 1+ y ' 2 Dan ∂F y' ∂F = , ' =0 ' '2 ∂ y √1+ y ∂ y Sehingga persamaan euler lagrangnya: d ∂ F ∂F − =0 dx ∂ y ' ∂ y d dx
(
y' =0 √ 1+ y '2
)
BAB IV KESIMPULAN Kesimpulan dari pembahasan makalah ini adalah: 1. Prinsip fermat adalah Prinsip fermat atau principle of least time adalah sebuah prinsip yang mendefinisikan jarak tempuh yang terpendek dan tercepat yang dilalui oleh cahaya. 2. Prinsip ini dapat diterapkan pada cahaya karena cahaya merambat lurus. Kecepatan rambat cahaya didefinisikan sebagai berikut
14
v
ds c dt n
Dimana s=jarak , t=waktu, v=kecepata, c=kecepatan cahaya (3 x 10 8) dan n= indeks bias medium. Sehingga
n dt ds c Dalam fisika, cahaya memilih lintasan dengan waktu tempuh tersingkat, sehingga analog dengan persamaan diatas, jarak yang dipilih cahaya adalah x2 x2 x2 n n I dt ds 1 (y')2 dx c c x1 x1 x1 3.
DAFTAR PUSTAKA 1. Arfken, George B. Weber, Hans J. 2005, Mathematical Methods for Physicist 6th Edition, Elseiver Academic Press, California, USA. 2. Dacorogna, Bernard. 2004. Introduction to the Calculus of Variotions. London: Imperial College Press. 3. Rousseau, Christiane dan Yvan Saint. Aubin. 2008, Springer Undergraduate Texts In Mathematics and Technoligy. Newyork: Springer Science Business Media. 4. Wikipedia. 2015. Calculus of Variations. Diakses pada tanggal: 18 Mei 2015 15
16
