p03 – 1
3. Prvek tělesa a napětí v řezu Asi před 200 lety přišel Bernoulli na geniální myšlenku, že v tělese vznikají vnitřní síly, které se snaží při vnějším silovém působení na těleso vrátit toto těleso do původního nedeformovaného stavu. Ve statice jste se seznámili s pojmem statická rovnováha a dospěli statická jste k závěru: jestliže je těleso ve statické rovnováze, musí být ve statické rovnováze i každá rovnováha jeho část. Základním vyšetřovaným objektem – prvkem soustavy těles bylo těleso. V PP je těleso základním útvarem a prvkem nazýváme každou jeho část vyšetřovanou z hlediska vnitřních sil. Prvek tělesa je každá jeho souvislá část, oddělená z něj jedním nebo více myšlenými řezy. V těchto řezech působí vnitřní síly. Geometrický tvar prvku volíme s ohledem na tvar vyšetřovaného tělesa, zvolený souřadnicový systém a charakter řešeného problému. Rozměry prvku mohou být buď konečné nebo nekonečně malé v limitním smyslu. Prvek označíme jako – konečný (Ω0 ) – všechny rozměry konečné, – jednonásobně elementární (Ω1 ) – jeden rozměr nekonečně malý, – dvojnásobně elementární – dva rozměry nekonečně malé, – trojnásobně elementární (Ω3 ) – tři rozměry nekonečně malé. OBSAH
další
p03 – 2 Vyšetřování vnitřních sil začíná uvolněním prvku. Oddělíme-li z tělesa prvek jediným řezem ω, pak na tomto řezu musíme zavést účinky vzájemného působení. V mechanice těles to jsou účinky silové, spojitě nebo po částech spojitě rozložené na řezu a jsou to tedy plošné síly. Tuto operaci nazýváme uvolněním prvku tělesa, analogicky k uvolnění celého tělesa, které jsme zaváděli ve statice a které sloužilo k určení vnějších silových účinků – reakcí ve vazbách.
předchozí
OBSAH
síla
další
p03 – 3 Na plošku dS v řezu ω působí elementární síla dF~ = f~dS, kde f~ je měrná plošná síla, kterou nazveme obecné napětí v řezu. Může mít v každém bodě řezu jiný směr i velikost. Souřadnicový systém je vhodné při určování vnitřních sil volit tak, že jedna osa je totožná se směrem normály k plošce dS a druhá bude ve směru tečném. Normálové a tečné síly se totiž výrazně liší v účinku na materiál a jejich vliv na mezní stavy je odlišný. Obecné napětí f~ rozložíme do směru normály ~en a do směru tečny ~et : f~ = σ e~n + τ e~t . Obecné napětí je vektor, který má samozřejmě v trojrozměrném prostoru 3 složky: jednu normálovou σ a dvě smykové τ . Při vhodné volbě souřadnicového systému (jedna z os je normála řezu a druhá průsečnice tečné roviny řezu s rovinou danou normálou a vektorem f~) však je jedno ze smykových napětí (ve směru ~eb ) nulové. Ani při jiné volbě souřadnicového systému není nutné mezi oběma tečnými směry rozlišovat, z hlediska mezních stavů je důležitá pouze velikost smykového napětí. Pak lze psát σ = f~ · e~n ,
τ=
q
f 2 − σ 2 = f~ · e~t .
Základní jednotkou napětí (obecného, normálového, smykového) a měrné plošné síly je pascal. [f ] = [σ] = [τ ] = [dF/dS] = Pa předchozí
OBSAH
další
p03 – 4 Určení orientace napětí: normálového: σ > 0 =⇒ tahové, směřuje ven z řezu, σ < 0 =⇒ tlakové, směřuje dovnitř prvku, smykového: volí se smluvně, u izotropních materiálů není volba podstatná.
předchozí
OBSAH
orientace
další
p03 – 5
3.1. Princip určování napětí Na těleso Ω působí rovnovážná silová soustava Π. Řezem ω uvolníme prvek Ω01 zatížený podsoustavou Π1 (členy soustavy Π působící v bodech prvku Ω01 ), která ale už nesplňuje podmínky statické rovnováhy. Protože každý uvolněný prvek musí být ve statické rovnováze, působí v řezu ω soustava elementárních vnitřních plošných sil Πv (obecná napětí v bodech řezu) a soustava Π1 ∪ Πv je staticky rovnovážná. Rozložení obecného napětí v řezu ω neznáme, vzhledem k elementárnosti sil představuje nekonečný počet neznámých parametrů a jeho určení je tedy úloha staticky neurčitá. Použitelné podmínky statické rovnováhy poskytnou pouze ν ≤ 6 rovnic (podle charakteru soustavy Π1 ∪ Πv ), takže pro řešení by byl nutný velký počet deformačních podmínek. Uvolníme-li při řešení vnitřních sil z tělesa trojnásobně elementární prvek, dostaneme soustavu parciálních diferenciálních rovnic se složitými okrajovými podmínkami. V předpočítačové éře tato soustava nebyla obecně řešitelná, ale pružnostně – pevnostní problémy bylo nutno řešit. Proto vznikly přístupy, které problém zjednodušovaly zavedením jistých předpokladů, vyplývajících z experimentů a z úrovně vědy v příslušné době. Zavedení těchto předpokladů sice snižuje náročnost řešení problémů, ale omezuje použitelnost pouze na ta tělesa, u nichž jsou tyto předpoklady s dostatečnou přesností splněny. Jde tedy o jednodušší, ale omezeně použitelnou pružnost, pracující s modelovými tělesy [2]. Jejich přehled, který je současně přehledem možností analytické PP, uvádí kapitola 3.2.
předchozí
OBSAH
statický rozbor statické podmínky deformační podmínka
další
p03 – 6
3.2. Přehled modelových těles řešitelných analyticky Úloha řešení deformačně – napěťových stavů tělesa je analyticky řešitelná pouze při zavedení jistých předpokladů. Tyto předpoklady vymezují následující typy modelových těles: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
prut, tlustostěnné těleso válcové nebo kulové, rotačně symetrická stěna, rotačně symetrická deska, rotačně symetrická bezmomentová skořepina, válcová momentová skořepina.
Jak je z přehledu vidět, možnosti analytické pružnosti a pevnosti jsou omezeny kromě těles prutových na tělesa rotačně symetrická. Rotační symetrie musí být dodržena nejen z hlediska geometrie, ale i materiálu, vazeb a zatížení tělesa. Jedině potom je i napjatost a deformace tělesa také rotačně symetrická a lze ji analyticky řešit. Ostatní tělesa vyžadují numerické řešení s využitím speciálních počítačových metod a programů. Uvedené názvy abstraktních modelových těles se běžně přenášejí i na tělesa skutečná, o nichž pak hovoříme jako o prutu, skořepině, desce atd. Proto je třeba zdůraznit, že výpočtový model použitelný pro řešení (a to nejen v pružnosti analytické, ale i při použití numerických metod) není jednoznačně dán tvarem tělesa, ale závisí i na okrajových podmínkách, zahrnujících vazby a zatížení tělesa.
předchozí
OBSAH
další
p03 – 7 1. Prut - základním prvkem je jednonásobně elementární prvek, jehož použití umožňují prutové předpoklady. prutové 2. Tlustostěnné těleso válcové nebo kulové - základním prvkem je trojnásobně předpoklady elementární prvek. Praktické využití při výpočtech tlakových nádob. 3. Rotačně symetrická stěna - těleso definované střednicovou rovinou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), jehož zatížení leží pouze ve střednicové rovině. V praxi nejčastěji používáno pro výpočet rychloběžných kotoučů zatížených odstředivými silami, případně nalisováním na hřídel. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 4. Rotačně symetrická deska - těleso definované shodně se stěnou, ale zatížené pouze kolmo ke střednicové rovině. V praxi používáno pro výpočet přírub, dna nádob, pístů apod. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 5. Rotačně symetrická bezmomentová skořepina - těleso definované rotační střednicovou plochou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), zatížené spojitě bez skokových změn a uložené tak, aby nedocházelo k omezení radiálních posuvů (jsou splněny předpoklady bezmomentovosti). V praxi se používá pro výpočet většiny rotačně symetrických nádob (včetně trubek) s tím, že v oblastech, kde jsou omezeny radiální posuvy nebo dochází ke skokovým změnám spojitého zatížení, tato teorie neplatí a napětí mají vyšší hodnoty při složitějším charakteru napjatosti. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 6. Válcová momentová skořepina - těleso definované válcovou střednicovou plochou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), které při splnění podmínek rotační symetrie nesplňuje podmínky bezmomentovosti. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. předchozí
OBSAH
další
p03 – 8
3.3. Rozdělení PP Při silovém působení se prvek deformuje, proto by se měl uvolňovat v deformovaném stavu, což vede ke značným výpočtovým složitostem, protože tento stav na začátku výpočtu neznáme. Deformaci a napjatost pak nelze řešit nezávisle na sobě, protože změna tvaru napjatost tělesa vlivem deformace vyvolá změnu napjatosti a obráceně. Kde není deformace podstatná, uvolňujeme prvky ve stavu nedeformovaném (PP I. řádu, případy prostého namáhání prutu – tah, ohyb, krut). Tam, kde deformace je podstatná, uvolňujeme prvky ve stavu deformovaném (PP II. řádu, vzpěr prutů, ztráta stability stěn). vzpěr Podle metody řešení dělíme pružnost a pevnost na a) obecnou – z tělesa je nutno uvolňovat trojnásobně elementární prvek a určování napjatosti a deformace je vzájemně závislé. b) prostou – určení napjatosti a deformace jsou na sobě nezávislé procesy. Nutnou podmínkou je – uvolňování prvku v nedeformovaném stavu (PP I. řádu), – formulace předpokladů, umožňujících použít jedno nebo dvojnásobně elementární prvek, – využití Saint Venantova principu. Saint Venantův princip
předchozí
OBSAH
následující kapitola
