3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ) 3.1. NEMODELOVÝ PŘÍSTUP 3.1.1. Dekrementní řád vymírání populace – Úmrtnostní tabulky
a)
„Smrt“ je náhodným jevem, který se pojišťuje pro účely ŽP stačí pracovat s průměrnými hodnotami – zákon velkých čísel – převzetí výsledků demografických metod pozorování rozsáhlých populačních souborů –
lx - počet osob ve věku x , které zůstaly na živu ze souboru l0 současně narozených jedinců lω - symbol ω pro poslední uvažovanou kategorii
l0 ≥ l1 ≥ ... ≥ lω ∧ l0 = 105 ∧ první člen l0 = tzv. kořen ÚT Tvar a konstrukce ÚT : běžné ÚT – vycházejí z dekrementních zkušeností dané populace během období nepřesahujícího 10 let úplné ÚT – intervaly o délce 1 roku – (osoby se dělí na skupiny o stáří 0-1 rok, 1-2 roky atd.)
b)
popis sloupců ÚT
x…dožité věky 0, 1, … , ω lx…počet lidí z l0 dožívajících se věku x (dekrementní řád vymírání populace) dx = lx – lx+1 … počet zemřelých ve věku x ( dω = lω ) qx = dx / lx …pravděpodobnost úmrtí ve věku x (pravděpodobnost, že jedinec, který je na živu ve věku x zemře před dosažením věku x+1) px = 1– qx = lx+1 / lx …pravděpodobnost dožití ve věku x (pravděpodobnost, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x+1) Lx = lx+1 + dx/2 = (lx + lx+1)/2 …(počet let prožitých osobami ve věku x = počet „člověkoroků“, které prožije lx osob) Tx = Lx + Lx+1 + … + Lω ... (počet zbylých let života osob ve věku x = počet „člověkoroků“ které do konce života prožije lx osob) e x = Tx / lx …(průměrný počet let, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x) 1
3.1.2. Úmrtnostní tabulky v ŽP
a)
pojišťovací sazby odděleně pro muže a ženy
b)
vyrovnávání ÚT – grafické s využitím počítačů analytické metodou nejmenších čtverců (de Moivre – l x = 86 − x pro l0=100 a 12 ≤ x ≤ 86 ) x (Gompertz – l x = k ⋅ g e )
prenatální období – qx má vyšší hodnoty při vstupu do puberty – abs. minimum začátek 3. desítky – lokání maximum (úrazy při motorismu, maximální kumulace sebevražd)
(Makeham – l x = k ⋅ s x ⋅ g e ) mechanické vyrovnávání pro daný věk x zprůměrováním hodnot z okolí x (Wittstein, Spencer,atd.) x
c)
věkové posuvy jako bezpečnostní přirážka pojišťovny - ŽP na dožití uzavírají relativně zdraví jedinci ⇒ celostátní qx příliš vysoké - ŽP na úmrtí ⇒ zde by se naopak mělo počítat s vyššími hodnotami qx - civilizační choroby (AIDS) ⇒ použité qx přestane být po určité době aktuální způsoby věkových posuvů – - nejsou-li použity vlastní ÚT (pro vlastní pojistný kmen) ⇒ lze použít celostátní ÚT s věkovým posuvem (např. q40 ∼ q41 - ÚT „zestárnou“ o 1 rok) - lze také použít selekčních ÚT (zohledňují i jiné faktory než věk – kuřák/nekuřák, doba t od počátku pojištění ) - lze také použít skupinové ÚT (vztažené na skupiny osob, např. manželé, rodiče a děti, obchodní společníci, apod.)
2
3.2. MODELOVÝ PŘÍSTUP (Pojistně matematický model reprezentován soustavou komutačních čísel) a)
Kombinace údajů z ÚT s úrokovým počtem vede k zavedení komutačních čísel KČ. Pojišťovna tabeluje svá KČ na základě používaných ÚT a pojistně technických úrokových měr
b)
Soustava KČ
[Dx, Cx], [Mx, Nx], [Rx, Sx]
Dx = lx ⋅ q − x ∧ q = 1 + r
diskontovaný počet dožívajících se věku x
Cx = d x ⋅ q − ( x+1) ∧ q = 1 + r
diskontovaný počet zemřelých ve věku x
poznámka k [Dx, Cx] - Cx = Dx ⋅ q −1 + Dx+1 ∧ r je příslušná p. t. ú. míra ω−x
ω−x
N x = ∑ Dx+ j
M x = ∑ Cx+ j
ω −x
ω−x
j =0
S x = ∑ N x+ j j =0
j =0
Rx = ∑ M x + j j =0
poznámka k celému poj. mat. modelu – - poj. mat. model = tři dvojice komutačních čísel - KČ z dané dvojice vznikají jako odpovídající součet KČ z předchozí dvojice - z libovolného KČ lze vyjádřit zbylých 5 typů - pro výpočet KČ jsou výhodné programové produkty (tabulkové procesory)
3
3.3.
VÝPOČET POJISTNÉHO, POJISTNÉ REZERVY
3.3.1. Výpočet pojistného v ŽP
3.3.1.1. Jednorázové nettopojistné
Pojistitel poskytne klientovi buď jednorázovou poj. částku (kapitálové pojištění) nebo důchod (časově omezený nebo doživotní) (důchodové pojištění) NP (nettopojistné) – kryje poj. plnění pojišťovny, BP (bruttopojistné) = NP + KSN + KZ Jednorázové NP – výpočet založen na PV(present value) té částky FVn kterou bude muset pojišťovna vyplatit vzhledem k ÚT na jednu pojistnou smlouvu (diskontování se provádí podle přijaté PT úrokové míry) PV – deterministicky ⇒ hodnotová rovnice (neuplatňuje se v ŽP) – stochasticky ⇒ náhodný prvek qx , px (uplatňuje se v ŽP)
a)
Pojištění pro případ dožití (osoba se dožije věku x a současně i konce sjednané pojistné doby n, jinak pojištění zaniká)
FVn lx+ n lx+n ⋅ q − ( x+n ) Dx+ n PV = n ⋅ = FVn ⋅ = FV = FVn ⋅ O1 n q lx lx ⋅ q − x Dx O1 … jednotková počáteční hodnota l poznámka: x+ n = px ,n ⇒ možnost statistického přístupu ⇒ lx
NV: x1 = q-n … p1 = px,n x2 = 0 … p2 = 1-px,n = qx,n
O1 = p1 x1 + p2 x2 = px ,n ⋅ q − n =
Dx+ n Dx
C2 = ∑ p j ( x j − x ) = px ,n ( q − n − px ,n ⋅ q − n ) + qx ,n ( 0 − px ,n ⋅ q − n ) = 2
2
= px ,n ⋅ q −2 n ⋅ q 2x , n + qx ,n ⋅ p 2x ,n ⋅ q −2 n = q −2 n ⋅ px ,n ⋅ qx,n … σ = C2
4
2
b)
Pojištění pro případ smrti b1) trvalé – není sjednána doba pojištění n b2) dočasné – je sjednána doba pojištění n (dožije-li se pojištěný konce pojistné doby, pojištění bez nároku zaniká) b1) + b2) pojišťovna vyplatí pozůstalým sjednanou pojistnou částku na konci toho roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře) případ b1) ⇒ O1 = součet dílčích jednotkových počátečních hodnot pro osobu zemřelou během 1. roku, během 2. roku, atd.
FV1 d x d x ⋅ q − ( x+1) Cx Cω PV1 = ⋅ = FV1 ⋅ = FV ⋅ , ..., PV = FV ⋅ ⇒ 1 ω ω q lx lx ⋅ q − x Dx Dx O1 =
Cx + Cx +1 + … + Cω M x = Dx Dx
případ b2) ⇒ týká se např. i úvěrového pojištění (úvěr na n let ∧ dočasné pojištění pro případ smrti v průběhu n let)
O1 =
Cx + Cx +1 + … + Cx +n−1 M x − M x+ n = Dx Dx
případ b1) ∧ odložené pojištění (povinnost plnění se v případě smrti odkládá o k let (karenční doba ⇒ nižší pojistné))
O1 =
c)
Cx + k + Cx+ k +1 + … + Cω M x+ k = Dx Dx
Smíšené pojištění – pojištění pro případ smrti nebo dožití (odpadá nebezpečí zániku pojištění bez náhrady) Nejprodávanější pojištění – pojišťovna vyplatí pojistku pozůstalým na konci toho roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, přičemž nejpozději k výplatě této částky pojištěnému dojde, dožije-li se konce sjednané pojistné doby n.
O1 =
Cx + Cx +1 + … + C x+ n−1 + Dx+ n M x − M x + n + Dx + n = Dx Dx
5
d)
Pojištění důchodu – výplata důchodu vázána na život pojištěného a v případě jeho smrti končí ⇒ rozdíl od jistých důchodů ve financích
d1) doživotní důchod
D + Dx+1 + … + Dω N x placený předlhůtně Oˆ1 = x = Dx Dx D + Dx +2 + … + Dω N x+1 placený polhůtně O1 = x+1 = Dx Dx
⇒ O1 = Oˆ1 − 1
d2) dočasný důchod (trvání pojištění je omezeno na dobu n) D + Dx+1 + … + Dx+ n−1 N x − N x+ n = placený předlhůtně Oˆ1 = x Dx Dx D + Dx +2 + … + Dx + n N x +1 − N x + n+1 placený polhůtně O1 = x+1 = Dx Dx
⇒ O1 = Oˆ1 − 1
d3) pojištění odloženého doživotního důchodu
N Oˆ1 = x+ k Dx
d4) pojištění odloženého dočasného důchodu
N − N x+k +n Oˆ1 = x +k Dx
d5) področní důchody (vypláceny m krát ročně) aproximace pro doživotní důchody
aproximace pro dočasné důchody
m −1 m −1 Oˆ1 ( m ) = Oˆ1 − O1 ( m ) = O1 + 2m 2m m − 1 Dx + n Oˆ1 ( m ) = Oˆ1 − 1 − 2m Dx
O1 ( m ) = O1 + e)
m − 1 Dx +n 1 − 2m Dx
Další možné typy pojištění Trvalé pojištění pro případ smrti s rostoucí pojistnou částkou typu 1,2,… : O1 = Dočasné poj. pro případ smrti s rostoucí p.č. O1 = atd. (další příklady viz. Cipra) 6
Rx − Rx + n − n ⋅ M x+ n Dx
Rx Dx
3.3.1.2. Běžné nettopojistné (placení pojistného v pravidelných splátkách)
Běžné pojistné P lze považovat za důchod, který platí pojistník pojistiteli (většinou pojištěný pojišťovně) – doživotní pojištění pro případ smrti Označení: Px – dočasné pojištění pro případ smrti, poj. dožití, smíšené poj. nPx – např. pojištění odloženého doživotního důchodu kPx nPx(m) – placení pojistného m krát ročně a)
Běžné pojistné pro případ dožití z věku x do věku x+n, které se platí každý rok na začátku dalšího roku pojištění (nedéle však do doby, kdy pojištěný zemře, nebo se dožije věku x+n) Dx + n n Px n Px ( m) = n Px = m − 1 Dx − Dx+ n N x − N x+n m 1 − 2m N x − N x + n
b)
Běžné pojistné pro případ smrti – doživotní
c) d) e)
Mx Nx M x − M x +n Běžné pojistné pro případ smrti – dočasné n Px = N x − N x+n M x − M x+ n + Dx + n P = Běžné pojistné ve smíšeném pojištění n x N x − N x +n N x+ k Běžné pojistné pro případ odloženého doživotního důchodu k Px = N x − N x +k
7
Px =
3.3.1.3. Bruttopojistné BP = NP + KSN + KZ
a)
Jednorázové BP na jednotkovou poj. částku – pojištění pro případ dožití z věku x do věku x+n N x − N x +n Dx = příslušné O1 + počáteční jednorázové náklady α + běžné správní náklady během celého trvání pojistného β1 ⋅ O1 (O1 pro pojištění dočasného důchodu na dobu n) Bx = NP + α + β1
b)
Běžné BP na jednotkovou poj. částku – pojištění pro případ dožití z věku x do věku x+n
n
Bx
N x − N x+n N − N x+n N − N x+n = NP + α + ( β1 + β 2 ) x + γ ⋅n Bx x Dx Dx Dx
β1
N x − N x+n – běžné SN během celého trvání pojištění Dx
β2
N x − N x+n – běžné SN během placení pojistného Dx
γ n Bx
N x − N x+n – inkasní náklady spojené s inkasem pojistného D
analogické vzorce lze získat pro další druhy pojištění (často obsahují ještě faktor δ spojený s náklady při výplatě důchodu)
8
3.3.2. Pojistná rezerva v pojištění osob Riziková pojištění – nevytváří se rezerva (např. úrazové pojištění) Rezervotvorná pojištění – vytváří se rezerva (při malých rezervách jsou považována za riziková) Nettorezerva – nezapočítávají se SN
3.3.2.1. Nettorezerva a)
důvod vytváření pojistných rezerv – pojistné vyžadované ve věku 30 let je téměř 20x nižší, než ve věku 60 let – ale v praxi se volí splátky běžného pojistného v konstantní výši ⇒ přebytky z prvních let pojištění nemohou být rozděleny jako zisk ⇒ vytváří se z nich nettorezerva (resp. bruttorezerva)
b)
způsob výpočtu nettorezervy t Vx (NR do konce t-tého roku pojištění) retrospektivní t Vx = rozdíl mezi zúročeným pojistným vybraným do konce t-tého roku a zúročeným pojistným plněním do konce t-tého roku prospektivní t Vx = rozdíl mezi diskontovaným pojistným plněním očekávaným od počátku (t+1)-ho roku diskontovaným pojistným očekávaným od počátku (t+1)-ho roku retro pro všechna t platí rovnost: =t Vxpro t Vx poznámka: t Vx = NR na jednotkovou pojistnou částku
c)
Dx + n Dx +t D N − N x +t běžné pojistné t Vx = x+ n x Dx+t N x − N x+ n D N -pojištění pro případ smrti běžné pojistné t Vx = 1 − x x+t Dx+t N x -dočasné poj. pro případ smrti běžné pojistné M x +t − M x + n M x − M x + n N x + t − N x + n − t Vx = Dx+t Dx +t N x − N x+ n D N − N x +t -smíšené pojištění běžné pojistné t Vx = 1 − x x +t Dx +t N x − N x + n N x + k N x − N x +t t
jednorázové pojistné t Vx =
9
3.3.2.2. Bruttorezerva a)
BR je k NR ve stejném postavení jako bruttopojistné k nettopojistnému (opět práce s koeficienty α , β1 , β 2 , γ , δ )
b)
Zillmerovaná rezerva Splácení nákladů α je při běžném pojistném rozloženo do splátek pojistného ⇒ pojišťovna se stává věřitelem svých pojistníků řešení – Zillmer(1863) – snížit o neumořenou část nákladů α právě pojistnou rezervu, která je naopak „kontem“ pojistníka u pojišťovny tato operace se nazývá „zillmerování rezervy“, vzniklá zillmerovaná rezerva je mezičlánkem při konstrukci finální bruttorezervy
3.3.2.3. Odbytné a některé další parametry a)
Odbytné v případě zrušení pojištění – k jeho stanovení slouží poj. rezerva
b)
Poj. rezerva – pojistník může získat pojistnou půjčku
c)
Změny v pojistných hodnotách – na základě nové lékařské prohlídky
d)
Podíl na zisku – „státem předepsaný zisk“ 30-50% přijatého pojistného ⇒ návrat k pojistníkům (PTM – 4%, výnosové procento – 10%) ⇒ ve všeobecných podmínkách se přiznává pojištěnému podíl na zisku
e)
Bilanční rezerva: inventura ⇒ pojistná bilance Pojistná rezerva k datu pojistné bilance se nazývá bilanční rezerva
10
4. POJIŠTĚNÍ MAJETKU A ODPOVĚDNOSTI ZA ŠKODY (NEŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ) 4.1. TEORIE RIZIKA V NEŽIVOTNÍM POJIŠTĚNÍ a)
C2 σ , n n O1 … střední výše škody ⇒ návrh pojistky výše škody = NV , výpočet O1, C2,
σ
… ocenění chyby při přechodu ke střední (očekávané) hodnotě n Pozn.: výše škod by mohla mít normální rozdělení
b)
Počet pojistných nároků xt do času t: Poissonovo rozdělení P( xt ) = e
− λt
λ … frekvence pojistných nároků
(λt ) xt xt !
xt
celkové pojistné nároky St = ∑ xi (xi – dílčí pojistné nároky do času t) i =1
⇒ logaritmicko normální rozdělení
c)
všeobecné pojistné podmínky - pojištění majetku (úmyslné nebo neúmyslné případy poškození, zničení nebo odcizení věci) - pojištění odpovědnosti za škody (pojistná ochrana, v níž pojistitel hradí škodu vzniklou jinému)
d)
tarifní skupiny = homogenní skupiny pojistných smluv, pro něž je pojištěné riziko přibližně stejné ŽP – tarifní skupina = osoby téhož pohlaví a věku NŽP – např. při pojištění proti vichřici = geografické hledisko (více či méně vichřic 2 TS), druh budovy (průmyslové atd. 5 TS)
11
e)
ZÁKLADNÍ UKAZATELE (počítají se pro jednotlivé roky a tarifní skupiny)
Průměrná pojistná částka (mean sum insured) PPČ
=
A B
=
celková pojistná částka v daném roce počet pojištění v daném roce
Průměrné pojistné plnění (mean filling insured) PPP
=
C B
=
celkové pojistné plnění v daném roce počet pojištění v daném roce
Průměrná škoda (mean claims amount) PŠ
=
C D
=
celkové pojistné plnění v daném roce počet pojistných událostí v daném roce
Škodní frekvence (main claims frequency) ŠF
=
D B
=
počet pojistných událostí v daném roce počet pojištění v daném roce
Pojistná sazba (average premium rate) PS
=
E A
=
celkové pojistné v daném roce celková pojistná částka v daném roce
Škodní sazba (average claims rate) ŠS
=
C A
=
celkové pojistné plnění v daném roce celková pojistná částka v daném roce
Škodní kvóta (average claims ratio) ŠK
=
C E
=
celkové pojistné plnění v daném roce celkové pojistné v daném roce
Škodní stupeň (average claims degree) ŠSt
=
PŠ C/D = = PPČ A/B
CB AD
12
4.2. NETTOPOJISTNÉ a)
Východiska výpočtu - základní ukazatelé - vztažení pojistného k vhodně zvolené pojistné jednotce (UOE – Unite of Exposure) př. UOE: jedno auto, 105 Kč hodnoty zařízeného bytu… klasická UOE: jednotková pojistná částka ⇒ O1=ŠS (např. O1 na 103 Kč pojistné částky) alternativní UOE: jedna pojistná smlouva ⇒ O1=PPP pozn.: ŠS = ŠK ⋅ PS = ŠSt ⋅ ŠF , PPP = ŠF ⋅ PŠ = ŠS ⋅ PPČ pozn.: často se kombinuje ŠS, PPP ⇒ poj. jednotkou je jednotková poj. částka v rámci jedné pojistné smlouvy
b)
škodní tabulky (ŠT, jistá paralela ÚT) používají se při kombinaci ŠS a PPP ŠT – pro určitou tarifní skupinu v pojištění majetku ŠT – umožňují stanovit pojistné na 103 Kč pojistné částky jedné pojistné smlouvy (potřebný je odhad ŠF)
c)
Korekce pro případ, že stanovení budoucí úrovně pojistného má být založeno na minulých datech Korekce „indexováním“ pomocí indexu cen (např. v roce 1 index cen 120, v roce 5 index cen 154 ⇒ PPP5 = PPP1 ⋅ 154 /120 ) Korekce daná správným odhadem celkového pojistného plnění, které může být záležitostí řady let po poj. události ⇒ úplná ŠS, úplné PPP. Korekce dané regresní analýzou (např. lineární růst úplné ŠS)
13
4.3. BRUTTOPOJISTNÉ a)
BP = NP + bezpečnostní přirážka + KSN + KZ Bezpečnostní přirážka – nettopojistné se zvýší o počet % související se stupněm minulých škodních výkyvů Tento přístup souvisí s konstrukcí intervalů spolehlivosti ve statistice, určitý násobek σ odhadnuté z minulých ukazatelů.
b)
příklad – O1(x) z minulých 5 let jako ŠS v ‰ – budoucí nettopojistné = ŠS ‰ pojistné částky – σ = C2 ( x) opět v ‰ z pojistné částky – bezpečnostní přirážka např. dvojnásobek ⇒ nettopojistné = (ŠS+2 σ)‰ z pojistné částky – potřeba robustní analýzy (např. zanedbání poj. plnění > 10% celkového poj. plnění v dané TS)
c)
celkový vzorec pro BP BP
=
NP + bezp. Přirážka + KSN na poj. jednotku + KZ na poj. jednotku 1– SN z bruttopojistného
4.4. SPOLUÚČAST (FRANŠÍZA) Pojištěný sdílí část pojištěného rizika (vyloučení nákladů spojených s likvidací drobných škod + motivace pojištěného k zábraně škod) Typy spoluúčasti Podílová: Integrální:
R( x) = q ⋅ x
Excendentní
R( x) = 0
pro x ≤ a
R( x) = x
pro x > a
R( x) = 0
pro x ≤ a
R( x) = x − a pro x > a
Ručení pojistitele za první riziko: R( x) = x
pro x ≤ a
R( x) = a
pro x > a
Konstanta a: např. u excendentní spoluúčasti hradí pojistitel tu část škody, která přesáhla a, část do výše a jde na vrub pojištěného
14
4.5. POJISTNÉ REZERVY a)
důvod – zjištění konečné výše škod může trvat několik let typy rezerv v NŽP: Rezerva pro dosud nenahlášené poj. události (Incurred But Not Reported - IBNR) Rezerva pro hlášené, ale dosud nevyřízené p. u. (Reported But Not Settled - RBNS) Rezerva pro vyřízené ale dosud neproplacené p. u. (Settled But Not Paid - SBNP)
Rezervy mohou dosahovat několikanásobku ročního příjmu z inkasovaného pojistného!
b)
odhad rezerv – metoda CHAIN-LADDER (stupňová metoda)
Rok poj. události 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Celkové pojistné plnění v letech uplynulých od roku pojistné události 0 1 2 3 4 5 6 7 a80 a81 a80 a80 a80 a80 a86 a87 a70 a71 a72 a73 a74 a75 a76 0 a60 a61 a62 a63 a64 a65 0 0 a50 a51 a52 a53 a54 0 0 0 a40 a41 a42 a43 0 0 0 0 a30 a31 a32 0 0 0 0 0 a20 a21 0 0 0 0 0 0 a10 0 0 0 0 0 0 0
Součtem v řádcích vznikají kumulativní celková pojistná plnění
Doplní se pravá dolní polovina tabulky (0) odhadnutými hodnotami pomocí koeficientů vývoje pojistného plnění, tyto koeficienty se vhodně zprůměrují a umožní odhadnout potřebné hodnoty ⇒ po odečtení diagonálních prvků se získá hledaný odhad rezerv
15
