3 Kermis aan de hemel In deze paragraaf onderzoeken en leren we over de beweging van de aarde om de zon, de draaiing van de aarde om haar as, de beweging van de maan rond de aarde, en hoe die bewegingen met elkaar verband houden. Je gaat dit doen aan de hand van een aantal kermisattracties.
Draaien I Hierin bestuderen we de beweging van de aarde om de zon. We beginnen met een eenvoudig voorbeeld: de draaimolen.
Je weet dit vast nog wel uit je jonge jaren: ieder rondje zwaaien naar je moeder, een oude man in overall die je kaartje uit je hand griste. Opgave 1 Je stapt op het paard, in het midden op de foto. Tijdens de rit zie je je moeder acht keer langskomen. Dan heb je dus acht rondjes gemaakt. Tijdens dezelfde rit zag je je vader negen keer langskomen. a. Hoe kan dit? moeder
Een vriendje beweert dat hij z'n vader maar zes keer zag, en dat hij zeker weet dat hij hem niet een keer over het hoofd heeft gezien. b. Hoe vaak zagen de vaders elkaar? Nog steeds dezelfde situatie. Je moeder ziet de oude man in overall zeven keer langskomen. c. In welke richting loopt deze man zijn rondje over de draaimolen om de kaartjes op te halen: met de draairichting mee of tegen de draairichting in?
1
De draaimolen staat model voor de beweging van de aarde om de zon. Jij bent de aarde, het middelpunt van de draaimolen is de zon en je moeder is een verre ster. Even tussendoor: we nemen hier aan dat de aarde in een cirkel rond de zon draait. Dat is wel niet helemaal zo, maar onze berekeningen en gegevens zijn wel geldig omdat die gebaseerd zijn op langjarige gemiddelden.
ster
Opgave 2 Elke avond kijk je naar een ster. Hoe kan je bepalen wanneer een jaar om is? De bijbehorende tijdsduur is het sterrejaar. Het is 365d 6h 9m 10s lang, en daarmee 20m 24s langer dan het tropische jaar, dat uitgaat van de seizoenen. (Over de dag zullen we het later nog hebben.) Een tropisch jaar is de tijdsduur tussen twee opeenvolgende doorgangen van de zon door het lentepunt. Het is dan het begin van de lente op het noordelijk halfrond (21 maart). Het lentepunt (ook: lente-equinox) is het snijpunt van de schijnbare zonnebaan (ecliptica) door de hemelevenaar en geldt als het nulpunt van het hemelcoördinaatstelsel. Samen met de herfstequinox (herfstpunt) zijn dit de enige twee dagen dat de zon precies in het westen ondergaat en in het oosten opkomt. De dag en de nacht duren tijdens de equinoxen precies even lang (equi = gelijk, nox = nacht).
lentepunt
hemelevenaar
herfstpunt
hemelevenaar
Opgave 3 Eén van de vaders uit opgave 1 staat model voor de beweging van Jupiter, een planeet die verder van de zon staat dan de aarde. Jupiter draait in dezelfde richting om de zon, maar doet daar langer over. Welke vader is dat?
2
Opgave 4 Op de aarde zien we Jupiter één keer per 1,092 sterrejaar langskomen. Officieel gezegd: de tijd tussen twee opeenvolgende "opposities" van Jupiter is 1,092 sterrejaar. Hierbij is een oppositie een situatie waarin zon, aarde en Jupiter in die volgorde op een rechte lijn liggen. a. Hoe kun je uit die 1,092 afleiden dat de omlooprichting van Jupiter hetzelfde als die van de aarde? b. Bereken hoe lang een sterrejaar op Jupiter duurt, uitgedrukt in aardse sterrejaren. Vergelijk je antwoord met gegevens die je op internet over Jupiter kunt vinden.
Z
A
J
3
Draaien II Hierin bestudeer je de draaiing van de aarde om haar as, en in relatie daarmee de beweging van de aarde om de zon. Dit doen we aan de hand van de attractie Kop en Schotel in familiepretpark Koningin Juliana Toren te Apeldoorn.
Zie bijvoorbeeld: http://www.youtube.com/watch?v=8d7KTThUpzM De koppen draaien rond het centrale middelpunt (de theepot), en kunnen zelf ook ronddraaien, elk om zijn eigen as. Je stapt in zo’n kopje. Er zijn twee draaiingen: 1. de draaiing van het geheel om het centrale middelpunt, 2. de draaiing van het kopje om zijn eigen middelpunt.
Opgave 5 Stel dat het geheel stilstaat en alleen draaiing 2 speelt een rol. Je draait twee keer rond. Je kan je moeder dan twee keer aankijken. Stel de hoed draait niet om zijn middelpunt en alleen draaiing 1 speelt een rol. Het geheel draait één keer rond. Je kan je moeder dan één keer aankijken. Stel nu dat beide draaiingen tegelijk plaatsvinden. a Hoeveel keer kun je dan je moeder aankijken? In het bovenaanzicht dat hiernaast staat is de beginsituatie gegeven. De pijl geeft je kijkrichting aan.
4
De draaiing waarbij het geheel één keer rond gaat, verdelen we in vieren. b. Geef met een pijl de kijkrichting aan in elk van de drie tussenposities. c. Kun je in onderdeel b je antwoord bij vraag a controleren?
Stelling Een voorwerp neemt tegelijkertijd deel aan twee draaiingen. Neem een vaste periode. Als daarin de ene draaiing p rondjes maakt en de andere draaiing q rondjes, dan draait het voorwerp p+q keer in die periode rond. Opgave 6 Neem een periode waarbij het geheel twee keer ronddraait en een kopje vijf keer om zijn as draait. a. Hoe vaak kun je je moeder aankijken, als de draairichtingen hetzelfde zijn? b. En als de draairichtingen tegengesteld zijn? Neem een periode waarbij het geheel één keer ronddraait en een kopje 365 keer om zijn eigen as draait, met dezelfde draairichting. c. Hoe vaak kun je je moeder dan aankijken in die periode? Het tollen van de kopjes staat model voor de draaiing van de aarde om haar as, en het draaien van de kopjes om het middelpunt voor de beweging van de aarde om de zon. Je moeder is weer een verre ster. We nemen hierbij aan dat de aarde in hetzelfde vlak om haar as draait als dat ze om de zon draait. Immers bij Kop en Schotel is dat het geval: daar zijn beide draaiaseen verticaal. In wekelijkheid zijn de draaias van de baan van de aarde om de zon en de draaias van de aarde zelf niet evenwijdig. Maar dat heeft geen invloed op onze berekeningen, bijvoorbeeld omdat je eenvoudigweg zou kunnen aannemen dat alle waarnemingen op de evenaar gedaan worden.?????
Opgave 7 Hoe kan je, aan de hand van de stand van de zon, bepalen hoe lang een dag is? In opgave 7 hebben we het over een zonnedag. Dit is wat we normaal gesproken onder een dag verstaan. Een zonnedag heeft een lengte van precies 24 uur = 86400 seconden. Vroeger was dit zelfs de definitie van de seconde!1 De dagen die op bladzijde 2 gebruikt zijn om te vertellen hoe lang een jaar is, te weten 365d 6h 9m 10s, zijn zonnedagen.
Opgave 8 Hoe kan je, door naar de sterren te kijken, bepalen hoe lang de aarde erover doet om één keer om haar as te draaien?
1
Tegenwoordig is de seconde gedefinieerd als “de tijdsduur van 9.192.631.770 perioden van de straling die overeenkomt met de overgang tussen de twee hyperfijnenergieniveaus van de grondtoestand van het 133cesiumatoom.”
5
In opgave 8 hebben we het over een sterredag.
Opgave 9 Een zonnedag en een sterredag duren niet even lang!. a. Leg dat uit aan de hand van het volgende plaatje. is de aarde op een zeker ogenblik, is de aarde een sterredag later, is de aarde een zonnedag later.
ster
zon
b. Welke duurt het langst, een sterredag of een zonnedag? Het plaatje is niet op schaal. Vanuit en is er een pijl getekend naar de zon. c. Hoe groot zou de hoek tussen die pijlen ongeveer geweest zijn als het plaatje wel op schaal was geweest? d. Hoe volgt hieruit hoe groot het verschil tussen een sterredag en een zonnedag? e. Hoe lang duurt dus een sterredag? Wat blijkt? De lengte van de sterredag komt daar volgens de observaties heel nauwkeurig mee overeen: 23u 56m 4s. Merk op dat als de aarde er langer over zou doen om een rondje om haar as te maken, dan zou de sterredag ook langer zijn (per definitie), en daarmee ook de zonnedag.
Opgave 10 Een sterrejaar = 365 zonnedagen en ook: een sterrejaar = 366 sterredagen. a. Leg dat uit aan de hand van Kop en Schotel. b. Laat zien dat hieruit het resultaat van opgave 9e volgt.
6
Draaien III Kop en Schotel staat nu model voor de beweging van de maan om de aarde en voor de beweging van aarde en maan om de zon. De maan is de passagier in het kopje, de aarde is het eigen draaipunt van het kopje, de zon is het centrale draaipunt van de attractie (de theepot). De rol van de verre ster wordt weer gespeeld door je moeder. De aannames die we hierbij maken zijn dat de maan in hetzelfde vlak om de aarde draait als dat de aarde om de zon draait. Dat is weer niet zo, maar dat is weer niet erg voor onze berekeningen. Voor de werkelijkheid is het trouwens wel prettig dat deze aanname niet waar is, anders zou je namelijk iedere maand een maans- en een zonsverduistering hebben. Opgave 11 Definieer analoog aan de definities van zonnedag en sterredag de begrippen zonnemaand en sterremaand. De zonnemaand is niet wat we normaal gesproken bedoelen als we het over een maand hebben. De lengte van de zonnemaand is 29,53 zonnedagen (29d 12u 44m 2.9s), terwijl de lengte van de maand meestal 30 of 31, soms 28 of 29 dagen is.
Opgave 12 Bereken hoeveel zonnemaanden er in 1 sterrejaar zijn. ( 2 ) Opgave 13 a. Hoe zie je in het volgende plaatje dat de zonnemaand langer duurt dan de sterremaand.
ster 4
zon
ster 4
b. Leg uit dat in een periode van één sterrejaar geldt: het aantal sterremaanden = 1 + het aantal zonnemaanden. ( 2 ) 12 van deze maanden vormen een islamitisch jaar. Dit verklaart waarom de ramadan, de negende maand van
dat jaar, door het
westerse jaar heenloopt
7
Opgave 14 Leidt uit het verband in opgave 13b de lengte van de sterremaand af, gemeten zowel in zonnedagen als in sterredagen. Merk op dat als de maan er langer over zou doen om een rondje om de aarde te maken, dan zou de sterremaand langer zijn (per definitie), en daarmee ook de zonnemaand.
8
Draaien IV Nu gaan we alle draaiingen combineren! Er is hiervoor geen attractie die dat mooi doet. We hebben te maken met drie draaiingen: 1. de aarde draait om de zon, 2. de aarde draait om haar as, 3. de maan draait om de aarde. Merk op dat de maan altijd dezelfde kant naar de aarde toegekeerd heeft. De achterkant van de maan kunnen we dus vanuit de aarde nooit rechtstreeks waarnemen.
Opgave 15 Als je (voor een maan van een planeet) weet hoeveel zonnedagen er in een zonnemaand zijn, weet je dan ook hoeveel sterredagen er in een sterremaand zijn? Opgave 16* Zoek uit hoe lang een zonnedag en een sterredag op Jupiter zijn. Doe dit ook voor een zonneGanymedesd (= een zonnemaand vanuit het perspectief van Ganymedes, een maan van Jupiter; de naam komt door het vervangen van “maan” in het woord zonnemaand door de naam van de desbetreffende maan) en voor een sterreGanymedesd. Wat kan je zeggen over een Ganymedesdag, zowel in zonne- als in sterre-opzicht? Opgave 17* Idem voor Mars en Deimos. Deimos is een van de twee manen van Mars. NB de Deimosd is veel korter dan de dag op Mars.
9
