3. 7. a gimnázium. és a nyolcosztályos gimnázium osztálya számára. 1. rész. osztálya

1. rész

MATEMATIKA a gimnázium 3. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 7. osztálya számára

3.

7.

a gimnázium osztálya és a nyolcosztályos gimnázium osztálya számára

1. rész Publikácia bola hradená z finančných prostriedkov Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky.

ISBN 978-80-10-02393-6

www.spn-mladeleta.sk

matika 3-gym-madar-1cast.indd 1

SLOVENSKÉ PEDAGOGICKÉ NAKLADATEĽSTVO

4.3.2013 15:46

Zbyněk Kubáček

3.

7.

a gimnázium osztálya és a nyolcosztályos gimnázium osztálya számára

1. rész SLOVENSKÉ PEDAGOGICKÉ NAKLADATEĽSTVO

Szerző – Autor © doc. RNDr. Zbyněk Kubáček, PhD. Lektorok – Lektori:

Mgr. Tatiana Hiková PaedDr. Iveta Kohanová, PhD.

Translation © RNDr. Horváth Géza A magyar fordítást lektorálta – Maďarský preklad lektorovala: Mgr. Bolemant Lilla, PhD. Fotó – Foto © Pavel Čisárik Grafikai feldolgozás – Grafický dizajn © SPN – Mladé letá, s. r. o. Borítóterv – Obálka © akademický maliar Peter Galvánek Jóváhagyta a Szlovák Köztársaság Oktatási, Tudományos, Kutatási és Sportminisztériuma 2012, november 5-én 2012-17114/49916:4-919 szám alatt mint matematika-tankönyvet a gimnázium 3. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 7. osztálya számára, 1. rész. Az engedélyezési szám 5 évig érvényes. Első kiadás, 2013

Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky pod číslom 201217114/49916:4-919 zo dňa 5. novembra 2012 ako učebnicu matematiky pre 3. ročník gymnázia a 7. ročník gymnázia s osemročným štúdiom, 1. časť. Schvaľovacia doložka má platnosť 5 rokov. Prvé vydanie, 2013

Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.

ISBN 978-80-10-02393-6

TARTALOM

TARTALOM

BEVEZETŐ / 6 1. A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ / 9 1.1. A statisztikai adathalmaz / 9 1.2. Gyakoriság, oszlop- és kördiagram / 10 1.3. Miképp tegyük áttekinthetőbbé az adathalmazt? / 13 1.4. További feladatok / 20 EREDMÉNYEK / 23

2. A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP / 27 2.1. A módusz és a medián / 28 2.2. A számtani közép / 30 2.3. A gyakorisági eloszlás jellemző középértékei / 38 2.4. A középértékek. A hisztogramok néhány jellemző alakja / 41 2.5. A súlyozott számtani közép / 45 2.6. Nem minden átlag számtani közép / 47 2.7. Egyéb feladatok / 50 EREDMÉNYEK / 56

3. A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

/ 63

3.1. Hogyan mérhető a minta értékeinek szóródása? 3.2. A szórásnégyzet / 66 3.3. A szórás / 70 3.4. További feladatok / 75 EREDMÉNYEK / 77

/ 63

4. A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

/ 80

4.1. A szinusz, a koszinusz és a tangens a derékszögű háromszögben / 81 4.2. A szinusz, a koszinusz és a pont helyzete a síkon / 83 4.3. A szinusz és a koszinusz fogalmának kiterjesztése a 0°–360° tartományra / 89 4.4. A szinusz és a koszinusz az általános háromszögben / 91 4.5. A szinusz- és koszinuszfüggvény grafikonja a 0°–360° tartományban / 98 4.6. A 360°-nál nagyobb szögek és a negatív szögek / 101 4.7. További feladatok / 104 EREDMÉNYEK / 107

FELHASZNÁLT IRODALOM

/ 110

5

BEVEZETŐ

BEVEZETŐ Az elektromos készülékek biztonságos használatához először el kell olvasnunk a használati utasítást, különben balesetet szenvedhetünk. Hasonló a helyzet a tankönyvvel is. Ahogy minden mosógépet másképp kell használnunk, a tankönyvek is más-más stílusban íródnak.

A

Ez a tankönyv azt az elvet követi, hogy a matematika gondolkodni tanít. Ha ezt a reklámszlogent komolyan vesszük, akkor ennek már a tanítás során is meg kellene mutatkoznia. A gondolkodásfejlesztés jól bevált eszköze a feladatmegoldás. Ehhez azonban olyan feladatokra van szükség, amelyek valóban gondolkodtatnak. Ezt a célt nem képes teljesíteni a már korábban bemutatott feladatmegoldások ismételgetése. Ha a diákok gondolkodását, felfedező készségét akarjuk fejleszteni, akkor újszerű feladatokat kell számukra kínálnunk. Az egyik lehetőség nagyon egyszerű: ahelyett, hogy mintapéldákat mutatnánk be a tanulóknak, és elvárnánk, hogy ezek megoldását megtanulják, elismételjék, már az elején bekapcsolhatjuk őket ezeknek a „mintapéldáknak” a megoldásába. Ezért azt javasoljuk, hogy a tanulók próbálkozzanak meg azoknak a feladatoknak az önálló megoldásával is, amelyeknek a levezetését megtalálják a tankönyvben.

MATEMATIKÁNAK

GONDOLKODÁSRA KELL NEVELNIE, DE GYAKORLÁSSAL EZT NEM LEHET ELÉRNI.

AZ AHA-ÉLMÉNY

A problémamegoldó gondolkodással és a felfedezéssel szorosan összefügg az ún. AHA-élmény – tehát az az öröm, hogy valamit megértettem, valaminek a megoldására önállóan jöttem rá. Ez sokkal tartósabb tudást eredményez, sokkal ösztönzőbb, mint egy meg nem értett megoldásmenetet akár 100-szor ismételni. Ha a tanulókat be akarjuk kapcsolni ebbe a folyamatba, akkor nem elégedhetünk meg a tanításnak a jól ismert „magyarázat–mintapéldák–gyakorlás” módszerével, mert így a tanuló csak akkor jut szóhoz, amikor már nincs mit fölfedeznie. Hagyományos módon oktatni a matematikát olyan, mintha egy detektívregény olvasójának már az első oldalon elárulnánk, hogy a kertész a gyilkos. Sok felfedezéstől fosztjuk meg így a tanulókat. Ezen felül a matematikai ismeretek keletkezését így torzított formában mutatjuk be. Ugyanis ezeket épp fordított sorrendben szereztük meg: a konkrét problémák megoldásának keresése közben születtek az új fogalmak és az elmélet.

EGY JÓ

MOTIVÁCIÓ

AZ

A matematikatanításnak nem a gondolkodásfejlesztés az egyedüli feladata. (Ha így lenne, a matematikaoktatás tárgyát teljesen szabadon megválaszthatnánk.) Arra is szükségünk van, hogy megismerkedjünk a matematika néhány konkrét eszközével. Az életben ezeknek mindenki csak egy kis részét használja fel, csak az a gond, hogy jó előre senki sem tudhatja, melyek lesznek ezek a részek. Ez egy további indok arra, hogy mindent, amit a matematikában meg kell tanítanunk, a diákok gondolkodásának fejlesztésére használjuk fel. Ellenkező esetben ugyanis a diák a matematikának azt a részét, amelyet az életben sohasem fog felhasználni, fölöslegesen tanulná.

ÉLETBEN A

MATEMATIKÁNAK MINDENKI CSAK EGY KIS RÉSZÉT HASZNÁLJA FEL, DE A TÖBBIT SEM TANULHATJA FÖLÖSLEGESEN

MATEMATIZÁLÁS

A matematika alkalmazása szorosan összefügg a matematizálás műveletével – ami azt jelenti, hogy a problémát megpróbáljuk absztrakt matematikai formába önteni, majd alkalmas matematikai eszközökkel megoldani. Ugyanakkor a gyakorlati életből vett problémának és egy találós kérdésnek olykor ugyanaz lehet az absztrakt megfogalmazása. Ebben a tankönyvben megpróbáltunk valós problémákat előnyben részesíteni, mert ezek egy további feladatot teljesítenek: felhívják a figyelmet arra, hogy milyen fontos a matematika a bennünket körülvevő világban.

NÉLKÜL

NEM TELJES A MATEMATIKA TANÍTÁSA

A matematizálás gyakran időigényesebb, mint a feladat puszta megoldása. Ezért sokszor úgy tűnhet, hogy a matematika tanítása során ésszerűbb lenne, ha az időnket nem fecsérelnénk a matematizálásra, hanem azonnal bemutatnánk a feladat absztrakt megoldását. Ám ez nem jó ötlet. Ha csupán a feladatok absztrakt megoldására szorítkozunk, valószínű, hogy a diákjainknak később csak gondjaik lesznek a matematika alkalmazásával.

6

BEVEZETŐ

A feladatok tanár általi absztrakt megfogalmazásához hasonló veszélyeket rejtenek az ún. mintafeladatok (vagy típusfeladatok). Ez egy tévút, pedig a pedagógust valójában jó szándék vezérli: a diákoknak szeretne segíteni, amikor tálcán kínálja a megtanulható megoldást. Egész mintafeladat-sorokat alkot, amelyek megoldását a tanulók megtanulják. Jól ismert példa a mozgási feladatok esete: „… két autó indul egymással szemben…” – de hisz ez ismerős! Egy másik kérdés a kombinatorikai feladatok megoldása során szokott elhangozni: „gondolkodj el: kombinációról, variációról vagy permutációról van-e szó”. Ezáltal a feladat eszközből céllá válik. A matematikatanítás küldetése ugyanis nem az, hogy néhány kiválasztott feladattípus megoldását sajátíttassuk el. Az így tanított diákok csak a mintafeladatokat képesek megoldani. Ezekkel azonban a többségük legfeljebb két esetben fog találkozni: először, amikor megtanulja, másodszor, amikor úgy 30 év múlva – ne adj’ Isten – az ő gyerekei fogják tanulni. A tapasztalatok azt mutatják, hogy azok a diákok, akik elsajátították az önálló feladatmegoldást, később is a feladatok széles spektrumát voltak képesek megoldani (köztük a mintafeladatokat is, amelyekről ők nem is sejtik, hogy mintafeladatok). És épp ez kell, hogy a jó matematikaoktatás elsődleges szempontja legyen: képessé tenni a diákokat az újszerű problémák megoldására. Tehát olyanokéra, amilyenekkel korábban még nem találkoztak. Ezért szeretnénk, ha a tanulók a tankönyvben fellelhető feladatok többségéhez úgy állnának hozzá, mint önálló problémához, nem pedig a fejezet elején megoldott feladatok puszta változataihoz.

A

A fent felsorolt gondolatok mindegyike befolyásolta a tankönyv végső formába öntését. Igyekeztünk olyanná alakítani, hogy a tanulók önálló tanulási forrásként (tehát a pedagógus segítsége nélkül) is használni tudják. Ezért előfordulhat, hogy a magyarázatok és a kommentárok némelyikét a pedagógus hosszúnak vagy terjengősnek fogja érezni. Tudatosítania kell azonban, hogy ez nem neki, a tananyag alapos ismerőjének szól, hanem annak a tanulónak, aki önállóan szeretné az új ismereteket fölfedezni és megérteni.

EZT

A matematikát sokféleképpen lehet magyarázni, tanítani és tanulni. Egy tankönyv – bármilyen jó legyen is – ezek közül csak az egyiket tudja nyújtani. Ezért úgy gondoljuk, hogy a pedagógusnak a tanítás során a tankönyv szerint kellene haladnia. Ugyanakkor, ha más utat választ, növelheti a valószínűségét annak, hogy a diák – mivel más szemszögből közelíti meg ugyanazt a problémát – megérti az összefüggéseket. Tehát csakis a pedagóguson múlik, hogy milyen mértékben kapcsolja be a tankönyvet az oktatási folyamatba. Ezért erre a tankönyvre úgy kell tekintenünk, mint egy lehetőségre, amely időnként más rálátást kínál, mint a pedagógus. Másrészt viszont örömmel fogadnánk, ha a pedagógus a tankönyv egyes eljárásait elfogadná, magáévá tenné, és beépítené a saját tanításába.

CSAK

MINTAPÉLDÁKON

NEVELKEDETT DIÁK SOKSZOR MÁSFAJTA FELADATOT KÉPTELEN MEGOLDANI

A TANKÖNYVET A DIÁK

A TANÁRA SEGÍTSÉGE NÉLKÜL IS TUDJA HASZNÁLNI

A TANÁRON MÚLIK,

MILYEN MÉRTÉKBEN HASZNÁLJA FEL A TANKÖNYVET AZ OKTATÁS SORÁN

A szerző

7

A tankönyv megalkotásában nyújtott segítségért és együttműködésért sokaknak tartozunk köszönettel. Ezen a helyen csak némelyikük nevét tudjuk megemlíteni. PaedDr. Iveta Kohanovának PhD. és Mgr. Tatiana Hikovának, a tankönyv bírálóinak köszönjük a gondosan kidolgozott lektori véleményt, amely lehetővé tette, hogy eltávolítsuk az eredeti kézirat hiányosságait. Köszönjük a biztatást és az erkölcsi támogatást PaedDr. Ján Žabkának és Mgr. Jana Šmahovának. A szerző

8

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ

1. A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ Ha meg akarjuk tudni, hogy milyen magasak a diákok az osztályban, nem elég ha csak egyikük testmagasságát állapítjuk meg. Más-más lehet a testmagasságuk, ezért mindegyiküket meg kell mérnünk. Így egy olyan adathalmazt kapunk, amelyben minden diák egy adattal vesz részt: a testmagasságával. Egy 25-tagú osztályban például ilyen adathalmazt kaphatunk:

1.1. A STATISZTIKAI ADATHALMAZ

1.2. GYAKORISÁG, OSZLOPÉS KÖRDIAGRAM

1.3. MIKÉPP TEGYÜK 168, 155, 155, 197, 183, 179, 191, 185, 169, 172, 185, 177, 182, 191, 181, 176, 174, 169, 160, 187, 169, 171, 182, 184, 157.

ÁTTEKINTHETŐBBÉ AZ ADATHALMAZT? 1.4. TOVÁBBI FELADATOK

A Milyen magasak az osztály diákjai? egy olyan kérdés, amelyre úgy tudunk felelni, ha adatokat gyűjtünk össze – ebben az esetben a diákok testmagasságát. Az adatok nem csupán számok lehetnek. Például arra a kérdésre, hogy Milyen színű az osztály diákjainak szeme? a válasz egy olyan adathalmaz, amelyben minden diák a barna–kék–zöld–egyéb adatok közül egy adattal fog szerepelni. Például ilyen adathalmazt kaphatunk:

EBBEN ÉS A KÖVETKEZŐ KÉT FEJEZETBEN ILYEN ADATHALMAZOKKAL FOGUNK FOGLALKOZNI.

barna, barna, egyéb, zöld, barna, kék, barna, kék, barna, egyéb, kék, …

MINDEN

ESETBEN OLYAN ELEMEK CSOPORTOSULÁSÁRÓL LESZ SZÓ, AMELYEKNEK

FELADAT

VAN VALAMILYEN KÖZÖS TULAJDONSÁGUK

1. Fogalmazz meg további kérdéseket, amelyekre hasonló adathalmaz lesz a válasz!

– A KÉT

BEVEZETŐ FELADATBAN EZ A TULAJDONSÁG:

„AZ OSZTÁLYUNK

Először megmutatjuk, hogy az összegyűjtött adatokat miképp lehet grafikusan, szemléletesen ábrázolni. A következő két fejezetben leírjuk, hogy az adathalmazokat miképp lehet néhány számmal – a módusszal és a mediánnal, az átlaggal és a minta terjedelmével – tömören jellemezni.

TANULÓJÁNAK LENNI”

1.1. A statisztikai adathalmaz A STATISZTIKAI MINTA, A STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS A STATISZTIKAI ISMÉRV (VÁLTOZÓ)



STATISZTIKAI ISMÉRV

Mindkét bevezető feladatban az adathalmazt az összes diáktól begyűjtött adatok jelentették, akikre a kérdésünk vonatkozott. Az összes elemet (esetünkben az összes diákot), amelyekre a kérdésünk vonatkozik, statisztikai mintának nevezzük. Ennek a halmaznak az egyes elemeit statisztikai egységnek (vagy egyednek) nevezzük. A begyűjtött adatokat valamilyen statisztikai ismérv alapján osztályozzuk, amely minden statisztikai egység (itt a diákok) esetében egyértelműen megállapítható. Az első esetben a testmagasság, a másodikban a szemszín volt a statisztikai ismérv.



A STATISZTIKAI OSZTÁLY Az ismérv megállapítását a statisztikai minta minden elemére kiterjeszteni

●

nem mindig lehetséges. Ennek oka lehet pl., hogy túl nagy a statisztikai minta, vagy az, hogy nem lehet beszerezni a szükséges adatokat az összes statisztikai egységtől. Nem tudjuk pl. megállapítani, hogy 2010-ben pontosan hány tölgyfa volt Szlovákiában vagy hogy mekkora volt az összes vadliba szárnyának fesztávolsága, amely 2009-ben hazánk területén fészkelt.

STATISZTIKAI MINTA, STATISZTIKAI EGYSÉG,

9

STATISZTIKAI OSZTÁLY

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ Hasonlóan lehetetlen volna minden egyes, gyártásból kikerült fűtőtestről megállapítani, hogy mekkora belső nyomást képes elviselni, mert a nyomáspróba közben a fűtőtest megrongálódhatna. A NYOMÁSPRÓBA ALKALMÁVAL A FŰTŐTESTET 1,7-SZER NAGYOBB BELSŐ NYOMÁSNAK TESZIK KI, MINT AMIT AZ ÜZEMBE HELYEZÉSE UTÁN EL KELL VISELNIE (EZ RENDSZERINT 1 MPa). A PRÓBA ALATT A FŰTŐTEST DEFORMÁLÓDHAT, DE NEM REPEDHET SZÉT. HA A FŰTŐTEST KIÁLLJA A PRÓBÁT, TOVÁBB NÖVELIK A NYOMÁST; EGÉSZEN ADDIG, MÍG MEG NEM SÉRÜL.

●

AZOKNAK A PÉLDÁKNAK NÉMELYIKÉBEN, AMELYEKET EBBEN A FEJEZETBEN KÖZLÜNK (VÉRCSOPORTMEGHATÁROZÁS, AZ

EGYESÜLT ÁLLAMOK LAKOSAINAK HAJSZÍNE,

olykor pedig fölösleges. Sok esetben ugyanis elegendő a teljes statisztikai minta helyett annak csupán egy olyan részével foglalkozni, amelyről van okunk feltételezni, hogy ugyanúgy viselkedik, mint a teljes minta. Ennek jellemző esete a közvélemény-kutatás. Fontos kérdés (ezzel jövőre fogunk foglalkozni), mennyire lehetünk biztosak abban, hogy a kisebb halmazból nyert információk általánosíthatók-e az egész adathalmazra.

Ezért a mindennapi gyakorlatban az egész adatsokaság helyett annak csak egy részét vizsgáljuk. A statisztikai minta részét – matematikailag részhalmazát – mintának nevezzük. Az adatsokaság és a minta közös megnevezése a statisztikai adathalmaz. A statisztikai adathalmaz tehát statisztikai egységekből áll, amelyek ugyanazzal a közös tulajdonsággal rendelkeznek, miközben ez a halmaz tartalmazhatja, de nem kell okvetlenül tartalmaznia a teljes minta minden elemét, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal.

A HELYBŐL ELRUGASZKODÁS EREDMÉNYEI AZ ÓVODÁSOKNÁL), OLYAN MEGJEGYZÉSEKET IS TALÁLSZ, AMELYEK ARRÓL SZÓLNAK, HOGY MIKÉPP LEHET A BEGYŰJTÖTT INFORMÁCIÓKAT AZ

FELADAT

EGÉSZ ADATHALMAZRA VONATKOZTATNI.

2. Írd le, hogy azokban az esetekben, amelyeket az 1. feladatban fogalmaztál meg, mi volt a statisztikai minta, a statisztikai egység és az ismérv!

1.2. Gyakoriság, oszlop- és kördiagram Akár a teljes mintából, akár csak egy részéből vesszük az adatokat, a végeredmény mindig egy adathalmaz (az értékek halmaza) lesz. Az adatok begyűjtése után az első teendő az adatok áttekinthető feldolgozása, amit általában táblázatos formában vagy grafikonnal szokás megvalósítani. Nézzünk egy példát! Arról a felmérésről lesz szó, amelyben azt vizsgálták, hogy milyen arányban fordulnak elő az egyes hajszínek az Egyesült Államokban az 1957– 1965 között született fehérbőrű férfiak körében. A táblázat 3036 fehérbőrű lakos hajszínének adatait tartalmazza. statisztikai jellemző

ANNAK AZ INFORMÁCIÓNAK,

a statisztikai jellemző értéke

HOGY FEHÉR EMBEREKRŐL VAN SZÓ, NINCS SEMMILYEN RASSZISTA FELHANGJA.

A FEHÉR EMBEREKNÉL UGYANIS MERŐBEN MÁS A HAJSZÍN-ELOSZLÁS, MINT PL. A FEKETÉKNÉL

hajszín

abszolút gyakoriság (frekvencia)

relatív gyakoriság

relatív gyakoriság (frekvencia)

világosszőke szőke világosbarna barna fekete vörös

36 465 446 1761 231 97

1% 15% 15% 58% 8% 3%

ÖSSZESEN

3036

100%

az abszolút gyakoriság eloszlása

10

abszolút gyakoriság

kumulált gyakoriság

1. táblázat Az Amerikai Egyesült Államokban 1957–1965-ban született fehérbőrű férfiak hajszíne. A relatív gyakoriságot egész százalékokra kerekítve közöljük.

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ A 3036-ot, tehát a mintát alkotó statisztikai egységek összegét az adatok kumulált gyakoriságának nevezzük. Egy érték előfordulásainak számát az adott érték abszolút gyakoriságának (frekvenciájának) nevezzük: pl. a világosszőke érték abszolút gyakorisága az esetünkben 36 – tehát a vizsgált mintában 36 fehérbőrű férfinak van világosszőke haja. Ennek az értéknek a relatív gyakorisága megközelítőleg 1% – tehát a világosszőke érték a minta 3036 elemének kb. 1%-át teszi ki. (Kicsit másképp – a vizsgált mintában kb. 1%-nyi világosszőke hajú fehérbőrű férfi van.) FELADAT

3. a) Hogyan számítottuk ki, hogy a világosszőke hajszín relatív gyakorisága 1%? b) Írd fel a relatív gyakoriság kiszámítására szolgáló képletet, ha adott az abszolút gyakoriság.

Az abszolút gyakoriság adatainak összességét az a

zük. bszolút gyakoriság eloszlásának nevez

FORMAI SZEMPONTBÓL AZ ABSZOLÚT GYAKORISÁG ELOSZLÁSA EGY OLYAN FÜGGVÉNY, AMELY MINDEN STATISZTIKAI ISMÉRVHEZ ANNAK ABSZOLÚT GYAKORISÁGÁT RENDELI HOZZÁ. (A FÜGGETLEN VÁLTOZÓ TEHÁT AZ ISMÉRV ÉRTÉKE, A FÜGGŐ VÁLTOZÓ PEDIG A HOZZÁ TARTOZÓ ABSZOLÚT GYAKORISÁG.)

Hasonló értelemben használjuk a relatív gyakoriság eloszlásának fogalmát. Az abszolút és a relatív gyakoriságot grafikailag legtöbbször oszlopdiagrammal vagy kördiagrammal szemléltetjük (1. és 2. ábra) AZ OSZLOPDIAGRAMOT SOKKAL GYAKRABBAN ALKALMAZZUK, MINT A KÖRDIAGRAMOT. OSZLOPDIAGRAMMAL SZEMLÉLTETHETÜNK OLYAN FÜGGVÉNYT, AMELYNEK VÉGES SOK FÜGGETLEN VÁLTOZÓJA VAN. (A GYAKORISÁG ELOSZLÁSA EZEKNEK A FÜGGVÉNYEKNEK CSAK EGY KÜLÖNLEGES ESETE.) EZZEL SZEMBEN A KÖRDIAGRAM ALKALMAZÁSÁRA KEVESEBB LEHETŐSÉG VAN: SZEMLÉLTETHETJÜK, HOGY AZ EGYES RÉSZEK HÁNYAD RÉSZÉT TESZIK KI AZ EGÉSZNEK. A KÖRDIAGRAMOK ALKALMAZÁSÁNAK HIBÁIRÓL A 15. FELADATBAN TESZÜNK EMLÍTÉST. Az 1957–1965 között született férfiak hajszíne 1761

oszlopdiagram

Az 1957–1965 között született férfiak hajszíne 1%

3% 8%

15%

gyakoriság

465

kördiagram („tortadiagram”)

446 231

97

fekete

vörös

15% 58%

36

világosszőke szőke világosbarna barna

1. ábra A hajszín abszolút gyakoriságának eloszlása oszlopdiagrammal ábrázolva az 1. táblázat alapján

2. ábra A hajszín abszolút gyakoriságának eloszlása kördiagrammal ábrázolva az 1. táblázat alapján

HA A 3036 FEHÉR FÉRFIT HELYESEN VÁLASZTOTTÁK KI (PL. VÉLETLENSZERŰEN AZ EGYESÜLT ÁLLAMOKBAN 1957–1965 KÖZÖTT SZÜLETETT ÖSSZES FEHÉR FÉRFI STATISZTIKAI MINTÁJÁBÓL), EZ A MENNYISÉG ELÉG LEHET AHHOZ, HOGY FELTÉTELEZHESSÜK: AZ EGYES HAJSZÍNEK RELATÍV GYAKORISÁGA EBBEN A HALMAZBAN NEM NAGYON TÉR EL A TELJES MINTÁBAN MÉRHETŐ RELATÍV GYAKORISÁGOKTÓL. TEHÁT NAGY VALÓSZÍNŰSÉGGEL ELMONDHATÓ, HOGY AZ EGYESÜLT ÁLLAMOKBAN 1957–1965 KÖZÖTT SZÜLETETT FEHÉR FÉRFIAK 58%-ÁNAK BARNA HAJA VAN.

11

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ

FELADAT

4. Egészítsd ki a következő mondatokat: Az oszlopdiagramban az oszlop magassága egyenesen arányos ... . A kördiagramban a ... egyenesen arányos az adott érték relatív gyakoriságával.

Említsünk meg egy problémát, amiről már az első osztályban is beszéltünk: Előfordul, hogy az oszlopdiagramban nem teljes oszlopokat ábrázolunk, csak azok felső részét, mint ahogy a bal oldali ábrán is látható. Erre általában akkor van szükség, amikor az ábrázolandó értékek közt nagyon kicsi a különbség, amelyek a szemléltetés során jelentéktelenné válnának. (Hasonlítsd össze a bal oldali ábrát a jobb oldalival!) 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

20,8 20,6 20,4 20,2 20 19,8 19,6 19,4 19,2 19 A

világosszőke

577

világosbarna

686

fekete

115 119

D

E

A

B

C

D

E

FELEDATOK

5. Ábrázold a hajszínek abszolút gyakoriságát a 2. táblázat alapján oszlopdiagrammal, a relatív gyakoriságukat pedig kördiagrammal!

1641

vörös

C

A 2. táblázat a nők hajszínét tartalmazza – ugyanabból a felmérésből.

50

szőke barna

B

2. táblázat Az 1957–1965 között született fehérbőrű nők hajszíne az Egyesült Államokban. A KÖVETKEZŐ FELADATOKBAN A KÖRDIAGRAMOT SZOFTVER SEGÍTSÉGÉVEL IS MEGSZERKESZTHETED.

AZ 5. FELADATBAN VISZONT AZT SZERETNÉNK, HA „SAJÁT KEZŰLEG” KÉSZÍTENÉD EL A DIAGRAMOT. MEG SZERETNÉNK RÓLA GYŐZŐDNI, HOGY ÉRTED-E AZ ÖSSZEFÜGGÉST AZ

HA AZ 5. FELADAT MEGOLDÁSÁBAN A RELATÍV GYAKORISÁGOT ÉS A KÖZÉPPONTI SZÖGEKET EGÉSZ ÉRTÉKEKRE KEREKÍTETTED, AKKOR EZEK ÖSSZEADÁSAKOR FELMERÜLHET EGY PROBLÉMA.

6. Ellenőrizd, hogy az 5. feladatban a) az egész százalékokra kerekített relatív gyakoriságok összege 101% (tehát több, mint 100%, azaz egy egész); b) az egész fokokra kerekített középponti szögek összege 359° (tehát kevesebb, mint 360°, azaz egy teljes szög)! c) Vitassátok meg közösen, hogy a kerekített értékek összegének miért nem kell pontosan 100%-nak illetve 360°-nak lennie! HA EZ BEKÖVETKEZIK, AKKOR AZ ÖSSZEADANDÓK VALAMELYIKÉT (AKÁR TÖBBET IS) ÚGY KELL MEGVÁLTOZTATNUNK, HOGY AZ ÖSSZEG 100%, ILL. 360° LEGYEN. (EZT ÚGY ÉRHETJÜK EL, HOGY AMIKOR LEFELÉ KELLENE KEREKÍTENI, AKKOR FÖLFELÉ KEREKÍTÜNK VAGY FORDÍTVA.) A KÖRDIAGRAMOK SZERKESZTÉSÉRE ALKALMAS SZOFTVER EZT ÁLTALÁBAN AUTOMATIKUSAN MEGTESZI.

ÁBRÁZOLANDÓ MENNYISÉG ÉS AZ OSZLOP MAGASSÁGA,

d) Az 5. feladatban a kördiagram megszerkesztését végezd el egy alkalmas szoftver segítségével! Ellenőrizd, hogy a kész kördiagramon módosultak-e a relatív gyakoriság értékei!

ILL. A KÖZÉPPONTI SZÖG NAGYSÁGA KÖZT.

7. Jellemezd a fehérbőrű férfiak (10. oldal, 1. táblázat) és a fehérbőrű nők (2. táblázat) hajszíneloszlása közti különbséget!

12

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ

ELSŐKÉNT WILLIAM PLAYFAIR (1759–1823), SKÓT FELTALÁLÓ ÉS ÚJSÁGÍRÓ ALKALMAZOTT A STATISZTIKAI ATLASZAIBAN 1786-BAN OSZLOPDIAGRAMOKAT, MAJD 1801-BEN KÖRDIAGRAMOKAT. ÉRDEKESSÉGKÉPP MEGJEGYEZZÜK, HOGY PLAYFAIR RÉSZT VETT A BASTILLE BEVÉTELÉBEN, AMI AZ 1789-ES FRANCIA FORRADALOM KEZDETÉT JELENTETTE.

b) 344 300 177

200 76

100 0

73

4 0

1

2

50

3 4 5+ a testvérek száma

a megkérdezettek száma

a)

a megkérdezettek száma

A történelem első kördiagramja William Playfair The Statistical Breviary (1801) című kiadványában jelent meg, és azt szemlélteti, hogy Törökországnak hányad része tartozik Ázsiához, Afrikához és Európához.

A GRAFIKONOKAT ÉS A DIAGRAMOKAT ÁLTALÁBAN SZEMLÉLETESEBBNEK TARTJUK, MINT A TÁBLÁZATOKAT. NEM VOLT EZ MINDIG ÍGY. KÖRÜLBELÜL A 17. SZÁZAD KÖZEPÉTŐL A 18. SZÁZAD VÉGÉIG A TÁBLÁZATOKAT RÉSZESÍTETTÉK ELŐNYBEN, SŐT AZ AUTOMATIKUS ESZKÖZÖKKEL MEGRAJZOLT GRAFIKONOK (MINT PL. A HŐMÉRSÉKLETI ÉS A LÉGNYOMÁSGRAFIKONOK) ADATAIT IS ÁTÍRTÁK TÁBLÁZATBA. A GRAFIKONOK A TUDOMÁNYOS FOLYÓIRATOKBAN CSAK A 19. SZÁZAD 30-AS ÉVEIBEN KEZDTEK MEGJELENNI.

344 300 177

200 100 0

73

76 4 0

1

2

50

3 4 5+ a testvérek száma

3. ábra Az oszlopdiagramot (a ábra) olykor vonaldiagram (b ábra) helyettesíti.

(A diagramok annak a felmérésnek az eredményét szemléltetik, amelyen az alapiskolák 724 nyolcadikos tanulója vett részt. A kérdés így szólt: „Hány testvéred van?” Az 5+ szimbólum jelentése: „5 vagy több”.

1.3. Miképp tegyük áttekinthetőbbé az adathalmazt? Ha egy oszlopdiagramnak szemléletesnek kell lennie, akkor nem tartalmazhat túl sok oszlopot. Például a 11. oldalon látható 1. ábra diagramja 6 oszlopból áll. Ez annak köszönhető, hogy a statisztikai ismérvnek mindössze 6-féle értéke lehetett (lásd az 1. táblázatot). Előfordulhat azonban, hogy egy statisztikai ismérvnek nagyon sok értéke lesz. Ennek jellemző esete az ember testmagassága vagy testtömege.



OSZTÁLYOKBA SOROLÁS, OSZTÁLYKÖZ, ABSZOLÚT ÉS RELATÍV GYAKORISÁG





FELADAT



AZ EGYSZERŰSÍTÉS SEGÍT FELTÁRNI „AZ ADATOKKAL REJTETT” STRUKTÚRÁT AZ OSZTÁLYKÖZÉP MIBEN KÜLÖNBÖZIK A HISZTOGRAM AZ

8. Sorolj fel további olyan példákat, amikor a statisztikai ismérvnek sok értéke lehet!

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy miképp tehetjük szemléletesebbé azt a mintát, amelyben az ismérvek száma a szokásosnál nagyobb. („Nagyobbnak” tekinthetjük azokat az eseteket, ahol 10–15-nél több ismérvet kell vizsgálnunk.)

OSZLOPDIAGRAMTÓL?

13

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ PÉLDA

HELYBŐL

ELRUGASZKODÁS

Egy főiskolás lány az 5–7 éves gyerekek mozgáskészségét vizsgálja. Két óvodából 51-en kapcsolódtak be a felmérésbe. A helyből elrugaszkodásban a következő eredményeket érték el (cm-ben, minden gyerekhez egy ugráshosszúság tartozik):

102, 92, 103, 49, 62, 80, 83, 87, 83, 94, 81, 76, 76, 62, 97, 107, 97, 113, 122, 101, 94, 109, 91, 108, 85, 82, 90, 92, 119, 54, 50, 48, 51, 66, 107, 107, 75, 82, 83, 92, 91, 91, 82, 57, 70, 66, 83, 53, 90 , 66, 82. A 4. ábra ezeket az adatokat grafikusan szemlélteti. (Az első adatot – a 102 cm-t – a legalsó, az utolsót – a 82 cm-t – a legfelső vonal ábrázolja.)

A helyből elrugaszkodás az egyik olyan gyakorlat, amellyel megállapítható a gyerekek mozgáskészsége.

ÉRTHETŐ-E, HOGY MIT SZEMLÉLTET A 4. ÁBRA?

4. ábra A helyből elrugaszkodás adatai (51 óvodást vizsgálva).

Ebben a formában – akár a számhalmazt, akár a grafikus változatot nézzük – a begyűjtött adathalmaz áttekinthetetlen. Az első, amit érdemes megtennünk, hogy az adatokat nagyság szerint rendezzük. (Az 5. ábra a 4. ábra adatait tartalmazza rendezett formában.)

48, 49, 50, 51, 53, 54, 57, 62, 62, 66, 66, 66, 70, 75, 76, 76, 80, 81, 82, 82, 82, 82, 83, 83, 83, 83, 85, 87, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 92, 94, 94, 97, 97, 101, 102, 103, 107, 107, 107, 108, 109, 113, 119, 122.

5. ábra A 4. ábra adatai rendezett formában

A 6. ÁBRA ALAPJÁN AZT IS EL TUDJUK KÉPZELNI, HOGY MILYEN FORMÁT VENNE FÖL AZ ABSZOLÚT GYAKORISÁGOT SZEMLÉLTETŐ OSZLOPDIAGRAM.

14

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95 100 105 110 115 120 125 130

6. ábra Ha az adatokat számegyenesre visszük, akkor természetesen egyúttal rendezzük is. Látható, hogy a minta 32-féle adatot tartalmaz, némelyiket többször is. (Ellenőrizd!)

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ OSZTÁLYOKBA SOROLÁS, OSZTÁLYKÖZ, ABSZOLÚT ÉS RELATÍV GYAKORISÁG Lényegesen egyszerűbbé tehetjük az adatok értékelését, ha az összes adatot (esetünkben 51 számot) kisebb csoportokba soroljuk. Az alábbi táblázat bal oldali oszlopában ezt az osztályokba sorolásnak nevezett folyamatot általánosan, a jobb oldaliban konkrétan, a mi esetünkre értelmezve jellemezzük. Megkeressük azt a számközt (intervallumot), amelyben a minta összes értéke elhelyezhető.

Esetünkben ilyen számköz pl. a 40, 130), lásd a 6. ábrát!

FIGYELD MEG, HOGY

Ezt a számközt véges számú kisebb számközre bontjuk, amelyeket osztályoknak vagy osztályközöknek nevezünk. Egyelőre szorítkozzunk arra az esetre, amikor ezeknek a számközöknek a hossza egyenlő!

A 40, 130) számközt pl. 10 hosszúságú számközökre bontjuk: 40, 50), 40, 60), ..., 110, 120), 120, 130).

SZÉLSŐ PONTOT!

Megállapítjuk, hogy az egyes osztályokban hány elem van. Az egyes osztályokba tartozó adatok száma az osztály kumulált gyakorisága. Olykor szükség van az osztály relatív gyakoriságának fogalmára, amely azt fejezi ki, hogy az osztályban levő elemek száma hányad része a teljes minta elemszámának. Az osztály relatív gyakorisága tehát azt fejezi ki, hogy a teljes mintának hányad része tartozik az adott osztályhoz.

Az 50, 60) osztálynak 5 eleme van,

PONTOT NE SOROLJUK

ezért ennek az osztálynak a kumulált gyakorisága 5. 5 = 0,098 0..., A relatív gyakorisága 51 ami kb. 9,8%. Ez azt jelenti, hogy az 〈50, 60) osztály az összes adatnak kb. 9,8%-át tartalmazza.

BE EGYIDEJŰLEG KÉT

A SZÁMKÖZÖK NEM TARTALMAZZÁK A JOBB

EZ AZÉRT VAN ÍGY, HOGY MINDEN ÉRTÉK PONTOSAN EGY SZÁMKÖZ RÉSZE LEGYEN (TEHÁT HOGY A HATÁRON LEVŐ

70, 80)

80, 90)

90, 100)

62 62 66 66 66

70 75 76 76

80 81 82 82 82 82 83 83 83 83 85 87

90 90 91 91 91 92 92 92 94 94 97 97

A JOBB SZÉLSŐ PONT KIHAGYÁSA CSUPÁN EGY LEHETŐSÉG.

ÚGY IS DÖNTHETTÜNK VOLNA, HOGY A BAL SZÉLSŐ PONTOT HAGYJUK EL.

12

12

90, 100)

80, 90)

1

120, 130)

osztály (osztályköz)

2

110, 120)

8 4

70, 80)

5

60, 70)

40, 50)

2

5

50, 60)

az osztály kumulált gyakorisága

100, 110)

120, 130)

60, 70)

50 51 53 54 57

110, 120)

50, 60)

48 49

100, 110)

40, 50)

A teljes statisztikai minta (a helyből elrugaszkodás 51 eredményének) osztályokba sorolását a 3. táblázatban foglaltuk össze. Az egyes osztályok kumulált gyakoriságát a 7. ábra oszlopdiagramja szemlélteti

SZÁMKÖZHÖZ IS.)

7. ábra Az egyes osztályok kumulált gyakoriságát szemléltető oszlopdiagram.

101 113 122 102 119 103 107 107 107 108 109

3. táblázat A minta elemeinek besorolása a 40, 50), 50, 60), ..., 110, 120), 120, 130). osztályokba.

8. ábra Az osztályokba sorolás és az egyes osztályok kumulált gyakorisága az 5. ábrába rajzolva.

15

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ

FELEDATOK

9. Mielőtt folytatnád az olvasást, győződj meg róla, hogy érted-e az összefüggést a 3. táblázat és a 6., 7., 8. ábra közt! 10. a) Alakítsd át a 7. ábra oszlopdiagramját az osztályok relatív gyakoriságának diagramjává! (A relatív gyakoriságot add meg egész százalékokban!) Megváltozik-e a diagram alakja, ha a kumulált gyakoriságok helyett a relatív gyakoriságokat szemlélteted? b) A százalékértékek kiszámításánál felmerülhet az a probléma, amelyről a 12. oldal 6. feladatában beszéltünk. Beszéljétek meg közösen a megoldást! c) Ezt követően egy alkalmas szoftver felhasználásával ábrázold az osztályok relatív gyakoriságát kördiagrammal! Az említett problémával kapcsolatban ellenőrizd, hogy megváltoztak-e (és ha igen, hogyan?) a százalékértékek az eredetihez képest! AZ 51 ADATOT TARTALMAZÓ MINTÁNKAT MOST KÜLÖNBÖZŐ MÓDOKON SOROLJUK OSZTÁLYOKBA.

AZ ELSŐBEN (A 11. A FELADATBAN) NEM A JOBB OLDALI PONTOT HAGYJUK EL AZ EGYES OSZTÁLYOKBÓL, HANEM A BAL OLDALIT.

A TÖBBIBEN MEGVÁLTOZTATJUK

A KIINDULÓ SZÁMKÖZT VAGY A SZÁMKÖZÖK (OSZTÁLYOK) HOSSZÁT.

AZT JAVASOLJUK, HOGY ALKOSSATOK AZ MINDEN CSOPORT SZERKESSZEN MEG EGY-EGY OSZLOPDIAGRAMOT (IDEÁLIS LENNE VALAMILYEN SZOFTVER SEGÍTSÉGÉVEL). A MEGSZERKESZTETT DIAGRAMOKHOZ MÉG VISSZATÉRÜNK A 12. FELADATBAN. OSZTÁLYOTOKBAN CSOPORTOKAT.

11. A helyből elrugaszkodás 51 adatának felhasználásával szerkeszd meg az osztályok kumulált gyakoriságának oszlopdiagramját, ha a) a (40, 130 számközt olyan osztályokra osztod, amelyek hossza 10: (40, 50, (50, 60, ..., (120, 130; b) a 45, 125) számközt olyan osztályokra osztod, amelyek hossza 10: 45, 55), 55, 65), ..., 115, 130); c) a 40; 130) számközt olyan osztályokra osztod, amelyek hossza 15: 40, 55), 55, 70), ..., 115, 130); d) a 35, 125) számközt olyan osztályokra osztod, amelyek hossza 15: 35, 50), 50, 65), ..., 110, 125); e) a 45, 135) számközt olyan osztályokra osztod, amelyek hossza 15: 45, 60), 60, 75), ..., 120, 135)!

A 7. ÁBRA DIAGRAMJÁT ÉS A 11. A FELADAT MEGOLDÁSÁT ÖSSZEHASONLÍTVA AZT TAPASZTALJUK, HOGY A SZÁMKÖZ JELENTÉKTELEN MEGVÁLTOZTATÁSA LÁTHATÓ VÁLTOZÁST OKOZHAT A DIAGRAMBAN. MINDKÉT ESETBEN GYAKORLATILAG AZ OSZTÁLYOK UGYANAZOKBÓL A SZÁMKÖZÖKBŐL JÖTTEK LÉTRE, A KÜLÖNBSÉG CSUPÁN AZ, HOGY AZ EGYIK ESETBEN A JOBB OLDALI, A MÁSIK ESETBEN A BAL OLDALI PONTOT HAGYTUK EL. HASONLÓ HELYZET JÖN LÉTRE, HA ÖSZEHASONLÍTJUK A 11. c ÉS A 11. d FELADATOK DIAGRAMJAIT: HA A KIINDULÓ SZÁMKÖZT A 40, 130)-RÓL 35, 125)-RE CSERÉLJÜK (TEHÁT HA 5-TEL BALRA TOLJUK A HATÁROKAT), A DIAGRAM JELENTŐSEN MEGVÁLTOZIK. (ELLENŐRIZD!) ENNEK AZ AZ OKA, HOGY VISZONYLAG KIS MINTÁVAL (51 ELEMMEL) DOLGOZUNK. HA AZ 51 HELYETT PL. EZER ADATTAL DOLGOZNÁNK, AKKOR A KAPOTT DIAGRAM SOKKAL STABILABB VOLNA. HA AZ ÖSSZES ÓVODÁSBÓL EZRET VÁLASZTANÁNK KI VÉLETLENSZERŰEN, ÉS EZEN A MINTÁN VIZSGÁLNÁNK A HELYBŐL ELRUGASZKODÁS EREDMÉNYEIT, A MÉRT ADATOK STRUKTÚRÁJA MÁR NAGYON HASONLÍTANA AHHOZ A STRUKTÚRÁHOZ, AMIT A TELJES MINTA VIZSGÁLATÁVAL NYERNÉNK. A MI 51 TAGÚ MINTÁNK ESETÉBEN (AMELY RÁADÁSUL NEM VÉLETLENSZERŰ KIVÁLASZTÁSSAL KELETKEZETT) ENNEK VALÓSZÍNŰSÉGE SOKKAL KISEBB LESZ, TEHÁT ARRA A KÉRDÉSRE CSAK NAGY VONALAKBAN KAPUNK VÁLASZT, HOGY MILYEN MESSZIRE RUGASZKODIK EL HELYBŐL EGY ÓVODÁS?

16

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ AZ EGYSZERŰSÍTÉS SEGÍT FELTÁRNI „AZ ADATOKKAL REJTETT” STRUKTÚRÁT 24

Az osztályokba sorolás segít feltárni a mintánk rejtett struktúráját. Ennek első jelei már a 7. ábrán is kirajzolódtak – az adatok zöme a 80 és 100 között csoportosul. (Te is látod ezt a 7. ábrán?) Hogy ezt a tendenciát még jobban kidomborítsuk, egyszerűsítsük tovább az eredeti mintát: az osztályok számközét növeljük 20-ra! (Az osztályok kumulált gyakoriságát nem nehéz megállapítani: csupán a 7. ábrán látható szomszédos osztályok gyakoriságait kell összeadnunk.) Látható, hogy az így nyert oszlopdiagramnak (9. ábra) már nagyon áttekinthető a struktúrája: az adatoknak csaknem fele a 〈80, 100) számközzel jellemezhető osztályban összpontosul, és ettől a számköztől mindkét irányban az adatok száma csökken.

7

10

9

120, 140)

100, 120)

80, 100)

Ennek a diagramnak az alakja már viszonylag jól megfelel a várt méréseredményeknek. Várható volt ugyanis, hogy lesz majd olyan hosszúság, amelyet normálisnak vagy standardnak lehet tekinteni (a 9. ábra alapján ez a 80 és 100 cm között van). A gyerekek egy része ennél hosszabbat is tud ugrani, de lesznek, akik ennél rövidebbet ugranak, és azt is feltételezni lehetett, hogy ők kevesebben lesznek, mint akik a standard csoportba kerülnek. Ugyanígy várható volt, hogy minél nagyobb lesz az eltérés a normálisnak mondható ugrástól (akár a hosszabb, akár a rövidebb irányában), annál kevesebben lesznek azok, akik ilyen nagyot vagy csak ilyen kicsit képesek távolba ugrani.

60, 80)

40, 60)

1

9. ábra

FELEDATOK

12. Beszéljétek meg, hogy a 11. c, d, e feladatokban megszerkesztett diagramok közül (ezek mindegyikében az osztály számköze 15 volt) melyik az, amelynek a struktúrája leginkább megfelel a 9. ábra melletti szövegben említettnek! 13. Az ábrán látható oszlopdiagram azt szemlélteti, hogy hány pontot szerzett egy felvételi vizsga 91 résztvevője. Egyszerűsítsd ezt a mintát a következő osztályokba sorolással: 0–2 pont, 3–5 pont, …, 18–20 pont! Szerkeszd meg az osztályok kumulált gyakoriságának oszlopdiagramját. Beszéljétek meg, hogy az egyszerűsített diagram áttekinthetőbb-e, mint az eredeti, és hogy megkönnyíti-e a 91 felvételiző eredményeinek jellemzését! 12 9

9 7

10 8

7

6 3

3

5 3 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3 0

1

2 0

0

0

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 pontszám

AZ OSZTÁLYKÖZÉP A SZABÁLY ALÓL AZONBAN VAN KIVÉTEL. HA PÉLDÁUL

Az osztályba sorolással, amikor a nagy mennyiségű adatot kevesebb számú osztállyal helyettesítjük, áttekinthetőbbé tesszük a mintát. Az áttekinthetőség ára az információvesztés: azokat az értékeket, amelyek egy osztályba kerülnek, többé nem tudjuk egymástól megkülönböztetni. Ha az osztályokkal ugyanúgy akarunk dolgozni, mint a minta egyes elemeivel, például ki akarjuk számítani az átlagukat, akkor egy-egy osztályt egyetlen értékkel kell helyettesítenünk, ami az egész osztályt fogja képviselni. Ez a szám legtöbbször az osztályközép, vagyis az osztályköz közepe. Például ha a 15. oldal 7. ábrájának megfelelően a mintát a 40, 50), 50, 60), ..., 110, 120), 120, 130) osztályokra daraboljuk fel, akkor ezeket az osztályokat ajánlatos a 45, 55, 65,

AZ EREDETI MINTA MINDEN ELEME EGÉSZ SZÁM,



ELVÁRNÁNK, HOGY AZ OSZTÁLYKÖZÉP IS EGÉSZ SZÁM LEGYEN, ANNAK ELLENÉRE, HOGY EZ NEM A SZÁMKÖZ KÖZEPE.

17

cm

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ 75, 85, 95, 105, 115 és 125 osztályközépekkel helyettesíteni. Ezt úgy is felfoghatjuk, hogy az egy-egy osztályban található értékek mindegyikét ezzel a számmal, az osztályközéppel helyettesítettük. Ezt az alkalmazást a 10. ábra szemlélteti grafikusan.

Az 5. ábra mintájának egyszerűsített változata: eit le m az osztályokba sorolás után egy-egy osztály e az osztályközéppel helyettesítettük.

A 4., 5., 8. ÉS 10. ÁBRA A MINTA EGYSZERŰSÍTÉSÉNEK BEVÁLT ELJÁRÁSÁT SZEMLÉLTETI: EREDETI MINTA

– RENDEZÉS –

NAGYSÁG SZERINT

OSZTÁLYOKBA SOROLÁS

cm

10. ábra

– AZ OSZTÁLYKÖZÉP KIVÁLASZTÁSA.

A számtani közép (átlag) kiszámításával a következő fejezetben fogunk foglalkozni.

MIBEN KÜLÖNBÖZIK A HISZTOGRAM AZ OSZLOPDIAGRAMTÓL? AZ EGYETLEN –  LÉNYEGTELEN – ELTÉRÉS AZ OSZLOPOK SZÉLESSÉGE: • A HISZTOGRAMBAN: OSZLOPSZÉLESSÉG = OSZTÁLYKÖZ (VAGYIS A SZOMSZÉDOS OSZLOPOK ÉRINTKEZNEK),

• AZ OSZLOPDIAGRAMBAN

Az osztály kumulált gyakoriságának ábrázolásához nemcsak oszlopdiagramot használhatunk, hanem hisztogramot is. Ha az osztályközök ugyanolyan szélesek, akkor a hisztogram gyakorlatilag megegyezik az oszlopdiagrammal. Tankönyvünkben az esetek többségében egyenlő osztályközökkel fogunk dolgozni, ezért az osztályok kumulált gyakoriságának grafikonjait teljes joggal nevezhetjük oszlopdiagramnak és hisztogramnak is. Az oszlopdiagram és a hisztogram közti különbség csak akkor mutatkozik meg, ha különböző osztályközökkel dolgozunk. Lássunk egy példát! A 4. táblázat a 11. ábrán látható minta osztályainak kumulált gyakoriságait tartalmazza.

AZ OSZLOPOK UGYANOLYAN SZÉLESEK, DE KESKENYEBBEK IS LEHETNEK, MINT AZ OSZTÁLYKÖZ.

osztályköz

gyakoriság

osztályköz

gyakoriság

0, 40)

12

60, 70)

15

40, 50)

11

70, 80)

9

50, 60)

25

80, 100)

2

4. táblázat

0

18

10

20

30

40

50

60

11. ábra

70

80

90 100

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ Az osztályközöket így megválasztva arra szeretnénk felhívni a figyelmet, hogy minket elsősorban 40 és 80 közötti értékek megoszlása érdekel. Ezért a 40-nél kisebb értékeket egy közös osztályba, a 0, 40) osztályba, és ugyanígy a 80-nál nagyobbakat is egyetlen osztályba, a 80, 100) osztályba soroljuk. Az osztályok kumulált gyakoriságát

• •

a 12. ábrán oszlopdiagrammal ábrázoltuk. Ebben minden oszlop ugyanolyan széles, és az oszlop magassága az osztály kumulált gyakoriságát szemlélteti. a 13. ábrán hisztogrammal ábrázoltuk. Az osztályközöket úgy ábrázoljuk a számegyenesen, hogy az oszlop szélessége megegyezzen az osztályközzel. Az oszlop magassága az osztályköz átlagos értéksűrűségével az osztály kumulált gakorisága . egyenlő, amit a következő képlettel számíthatunk ki: osztályköz Ezt olykor nem az osztályköz átlagos értéksűrűségével magyarázzuk, hanem egyszerűbben: míg az oszlopdiagramban a gyakoriságot az oszlop magassága fejezi ki, addig a hisztogramban az oszlop területe. Győződjetek meg róla egy vita keretében, hogy a hisztogramnak ez a kétféle (tehát az osztályköz adatainak átlagos sűrűségével illetve az oszlopok területével történő) leírása tulajdonképpen ugyanazt jelenti.

25

OSZLOPDIAGRAM

15

12

11

minden oszlop

ugyanolyan széles ly az oszlop magassága egyenlő az osztá

9

kumulált gyak oriságával

80, 100)

70, 80)

60, 70)

50, 60)

0, 40)

40, 50)

2

12. ábra A kumulált gyakoriság eloszlásának ábrázolása oszlopdiagrammal.

HISZTOGRAM

25

oszlopszéless ég = osztályköz z oszlop magassága megegyezik az osztálykö z a adatainak átlagos é rtéksűrűségével

15 11

9

12 0

2 40

50

60

70

80

100

13. ábra Ugyanannak a gyakorisági eloszlásnak az ábrázolása, ezúttal hisztogrammal. Az egyes oszlopok magassága balról jobbra haladva: 3 egység, 11 egység, 25 egység, 15 egység, 9 egység, 1 egység. (Az 1 egység jelentése ebben az esetben: „átlagosan 1 érték jut egy 10 hosszúságú szakaszra”).

19

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ

1.4. További feladatok NAPPAL

VAGY ÉJJEL SZÜLETIK-E TÖBB GYERMEK?

A BELGA ADOLPHE QUETELET (1796–1874) A 19. SZÁZAD KÖZEPE STATISZTIKÁJÁNAK JELENTŐS ALAKJA VOLT. A SUR L’HOMME, ET LE DÉVELOPPEMENT DES SES FACULTÉS (AZ EMBERRŐL ÉS KÉPESSÉGEINEK FEJLŐDÉSÉRŐL) CÍMŰ KÖNYVÉBEN NAGY MENNYISÉGŰ STATISZTIKAI ADATOT HALMOZOTT FEL AZ EMBERRŐL – A SZÜLETÉSÉTŐL KEZDVE A TESTMAGASSÁGÁN ÉS TESTTÖMEGÉN KERESZTÜL EGÉSZEN A BŰNÖZÉSIG. A RÉSZLETEK IS ÉRDEKELTÉK. PÉLDÁUL, HOGY MELYIK NAPSZAKBAN SZÜLETIK A LEGTÖBB GYERMEK. „KÍVÁNCSISÁGOMNÁL FOGVA ELKEZDTEM KUTATNI, HOGY VAN-E VALAMILYEN ÖSSZEFÜGGÉS A NAPSZAKOK ÉS A SZÜLETÉS PILLANATA KÖZT” – ÍRTA. QUETELET EGY BRÜSSZELI KÓRHÁZ 1811–1822 KÖZTI FELJEGYZÉSEIT HASZNÁLTA FEL A NAPOT 6 ÓRÁS NAPSZAKOKRA BONTVA.

a születések száma éjfél után

798

délelőtt

614

délután

574

éjfél előtt

694

összesen

2680

FELEDATOK

14. a) A fenti adatok szerint mikor született több gyerek: nappal vagy éjjel? b) A táblázat adatait oly módon szeretnénk grafikusan ábrázolni, hogy szemmel látható legyen a válasz az előző kérdésre. Milyen ábrázolást választanál? Válaszaidat beszéld meg osztálytársaiddal!

HOL

A HIBA?

15. Az interneten több honlap is foglalkozik azzal, hogy a sajtó és a szakirodalom gyakran helytelenül használja a grafikonokat. Három ilyen kördiagramra is ráakadtunk. Beszéljétek meg, hogy milyen hibák miatt kerülhettek oda! Amennyiben lehetséges, tegyetek közösen javaslatot a kijavításukra! a) A diagram azoknak a válaszoknak a százalékos eloszlását szemlélteti, amelyeket egy közvélemény-kutatás során tettek fel: „Ön szerint milyen lesz az életszínvonal jövőre?”

nem tudja sokkal jobb

sokkal rosszabb 4 22 27

22 23 valamivel rosszabb

valamivel jobb

nem változik

b) A grafikon az Egyesült Államok 15 államában végzett felmérés eredményeit szemlélteti a visszaeső bűnözőkről. A tanulmány azt vizsgálta, hogy az 1994-ben szabadon bocsátott 272 111 személy közül hányat ítéltek el újra három éven belül újabb bűncselekmények miatt. A százalékértékek azt fejezik ki, hogy az egyes bűnözésfajták esetében mennyi volt a visszaesők száma.

A visszaesők aránya az 1994-ben szabadlábra kerültek közt.

egyéb erőszakos bűnözés bűncselekmények 64,7% közrend elleni bűncselekmények

Az összes szabadon bocsátott

61,7%

vagyon elleni bűncselekmé62,2% drogbű- nyek nözés

73,8%

66,7%

A minta terjedelme: az Egyesült Államok 15 államának 272 111 fogva tartottja

20

2006-ban 53%

-ben 20076% 6

20 04 47 -ben %

an 8-b 0 20 67%

A grafikonok és diagramok adatainak helyes értelmezése nagyon fontos téma. Tankönyvünkben a helytelen értelmezésnek csupán két esetéről teszünk említést. Az egyiket a Teaching Statistics című folyóiratból idézzük:

A másik egy diáktréfa 

FELEDATOK

16. Mérjétek meg közösen az osztály minden diákjának tenyérméretét! Mérhettek szabócentiméterrel, madzaggal vagy papírszalaggal. A tenyér kerületét milliméterben adjátok meg! (Azt javasoljuk, hogy többször is mérjetek, és segítsetek egymásnak.) A mért adatokat jegyezzétek fel! A mért adatok alapján szerkesszetek diagramot az osztályotok (centiméterben adott) kesztyűméreteinek eloszlásáról!

17. Számítsd át a milliméterben mért tenyérkerület-adatokat francia hüvelykre félhüvelyknyi pontossággal! (Előtte azonban beszéljétek meg, hogyan fogtok „fél hüvelykre” kerekíteni!) 

Ezután szerkesszetek diagramot az osztályotok francia hüvelykben adott kesztyűméreteinek eloszlásáról!

VÁLASSZATOK ENGEM A MATEMATIKASZAKKÖR ELNÖKÉNEK!

dievčatá

FIÚK

„A statisztika szerint a közlekedési balesetek 10%-át az ittas vezetés okozza. Ebből következik, hogy a fennmaradó 90%-ot józan vezetők okozzák. Nem kellene betiltani a józan vezetést?

LÁNYOK

A fiúk 21%-a, a lányok 30%-a támogat, tehát a választások során a szavazatok 51%-át szerzem meg.

chlapci

c) A diagram azt szemlélteti, hogy – egy közvélemény-kutatás szerint – az egyes években Szlovákia/Slovensko lakosságának hány százaléka szavazott volna bizalmat az Európai Uniónak.

200 5 55%-ben

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ

KESZTYŰMÉRET  HA MEG AKARJUK HATÁROZNI A KESZTYŰMÉRETÜNKET, AKKOR MEG KELL MÉRNÜNK AZ

ENYHÉN BEHAJLÍTOTT TENYERÜNK KERÜLETÉT A KÉZFEJÜNK KÖRÜL A HÜVELYKUJJUNK NÉLKÜL (MIKÖZBEN A HÜVELYKUJJUNK HOZZÁÉR A MUTATÓUJJUNKHOZ).

EZ A CENTIMÉTEREKRE

KEREKÍTETT KERÜLET ADJA MEG A KESZTYŰMÉRETET.

A KESZTYŰMÉRETEK METRIKUS RENDSZERE 1980 ÓTA VAN HASZNÁLATBAN. KORÁBBAN A KESZTYŰMÉRETEKET FRANCIA HÜVELYKBEN ADTÁK MEG. (1 FRANCIA HÜVELYK = 27,07 mm). EZZEL A MEGJELÖLÉSSEL MÉG NAPJAINKBAN IS TALÁLKOZHATUNK, AMIKOR 6-OS, 6 ½-ES, 7-ES, 7 ½-ES, …, 11 ½-ES ÉS 12-ES MÉRETEKRŐL BESZÉLÜNK.

 A GYÁRTÓK SZERINT LEGNAGYOBB SZÁMBAN (FÉRFIAK SZÁMÁRA) A 9-ES ÉS (NŐK RÉSZÉRE) A

7-ES KESZTYŰKET ADJÁK EL. ÍGY VAN EZ A TI

OSZTÁLYOTOKBAN IS?

HOGY TOVÁBB BONYOLÓDJON A KESZTYŰMÉRETEK KÖRÜLI PROBLÉMA, NÉMELY GYÁRTÓ HAGYOMÁNYOSAN FRANCIA HÜVELYKBEN, MÁSOK ANGOL-AMERIKAI HÜVELYKBEN ADJÁK MEG A KESZTYŰMÉRETEKET. 1 INCH = 2,54 cm.

21

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ

NÓRI AZT ÁLLÍTJA, HOGY A 17. FELADATBAN NEM KELL MINDEN DIÁK TENYERÉNEK KERÜLETÉT KÜLÖN-KÜLÖN ÁTSZÁMÍTANI. ELÉG, HA A CENTIMÉTERBEN ADOTT KESZTYŰMÉRETEKET ALAKÍTJUK ÁT FRANCIA HÜVELYKRE. PÉLDÁUL A 18 CM-ES MÉRETRE EZT KAPJUK: 18 : 2,707 = 6,649 427…, EZÉRT 18 cm = 6,649 427… FRANCIA HÜVELYK. EZ FÉL HÜVELYK PONTOSSÁGGAL 6,5 HÜVELYK, TEHÁT A 18 CM-ES KEZYTŰMÉRETNEK A 6 ½-ES KESZTYŰ FELEL MEG. EZÉRT MINDENKINEK, AKINEK A 16. FELADAT DIAGRAMJÁN 18 cm-NEK MEGFELELŐ MÉRETŰ KESZTYŰJE VOLT, ANNAK A 17. FELADAT DIAGRAMJÁN A 6 ½-ES MÉRET FELEL MEG. EZ ALAPJÁN A 16. FELADAT DIAGRAMJA NAGYON EGYSZERŰEN ÁTALAKÍTHATÓ A 17. FELADATBAN KÉRT DIAGRAMRA. FELADATOK BÍZUNK BENNE, HOGY A VITA SORÁN RÁJÖTTETEK: 18. a) Magyarázzátok meg közösen, hogy miképp szeretné NÓRINAK NINCS IGAZA. EZ AZT JELENTI, HOGY Nóri a 16. feladat diagramját a 17. feladatban kért A 16. FELADAT DIAGRAMJÁNAK NEM KELL AZONOSNAK LENNIE diagrammá átalakítani! A 17. FELADATBAN MEGSZERKESZTETTEL. ELŐFORDULHAT b) Igaza van-e Nórinak? Beszéljétek meg ezt is, és kö AZONBAN – BÁR NÓRI MÓDSZERE HELYTELEN –, HOGY MÉGIS vetkeztetéseiteket igazoljátok! HELYES EREDMÉNYT KAPTOK.

EGYSZERŰBBEN

FOGALMAZVA:

A HELYES MÓDSZER MINDIG HELYES EREDMÉNYRE VEZET. EGY MÓDSZER AKKOR HELYTELEN, HA NEM MINDIG VEZET JÓ EREDMÉNYRE. (A MÁSODIK ÁLLÍTÁS AZ ELSŐ NEGÁCIÓJA.) NEM KELL AZONBAN, HOGY EGY ROSSZ ELJÁRÁS MINDIG HELYTELEN EREDMÉNYRE VEZESSEN. GONDOLD ALAPOSAN VÉGIG, ÉS VITASSÁTOK MEG KÖZÖSEN, HOGY MI A KÜLÖNBSÉG AZ ALÁBBI KÉT ÁLLÍTÁS KÖZT: NEM MINDIG VEZET JÓ EREDMÉNYRE NYRE. MINDIG ROSSZ EREDMÉNYRE VEZET ZET.

 19. Ellenőrizzétek, hogy milyen diagramot eredményez a 16. feladatban Nóri eljárása a ti esetetekben! Aszerint, hogy Nóri módszerével azonos diagramot kaptatok-e, mint a 17. feladatban – tehát hogy helyes vagy helytelen eredményt kaptatok-e – oldjátok meg az első esetben az alábbiak közül az a), a második esetben a b) feladatot! Változtassatok meg néhány adatot az eredeti mintában (ezáltal megváltozik a 16. és a 17. feladat diagramja is) úgy, hogy Nóri módszerével: a) a 17. feladatban helytelen eredményt, b) a 17. feladatban helyes eredményt kapjatok! Mielőtt hozzáfognátok a megoldáshoz, beszéljétek meg, mely adatokat érdemes (és hogyan) megváltoztatni!

AZ ATLÉTIKAI VERSENYEKEN GYAKRAN ALKALMAZNAK MŰSZERT A ROSSZ RAJT JELZÉSÉRE. HELYTELENNEK MINŐSÜL A RAJT, HA A REAKCIÓIDŐ KEVESEBB, MINT 0,100 MÁSODPERC. A BERENDEZÉSEK FELVÉTELEIBŐL KIDERÜL, HOGY A LEGJOBB RÖVIDTÁVFUTÓK REAKCIÓIDEJE 0,12 s ÉS 0,16 s KÖZÖTT MOZOG.

REAKCIÓIDŐ A REAKCIÓIDŐ AZ AZ IDŐ, AMI A HATÁS ÉS

A VIZUÁLIS REAKCIÓIDŐ MÉRÉSÉRE SZOLGÁLÓ LEGÁLTALÁNOSABB MÓDSZER AZ ÚN. „VONALZÓMÓDSZER”. KELL HOZZÁ EGY SEGÍTŐ ÉS EGY KB. 30 cm HOSSZÚ EGYENES VONALZÓ (TEHÁT NEM HÁROMSZÖG VONALZÓ). A MÉRÉSI ELJÁRÁST AZ ALÁBBI KÉPEK SZEMLÉLTETIK. A SEGÍTŐ A VONALZÓT FÜGGŐLEGES HELYZETBEN TARTJA ÚGY, HOGY A 0 JEL A TESZTELT SZEMÉLY EGYMÁSTÓL KB. 1 cm-RE LEVŐ MUATATÓUJJA ÉS A HÜVELYKUJJA KÖZT LEGYEN. EGY VÁRATLAN PILLANATBAN A SEGÍTŐ ELENGEDI A VONALZÓT, ÉS A TESZTELT SZEMÉLYNEK A LEHETŐ LEGGYORSABBAN MEG KELL FOGNIA A MUTATÓUJJÁVAL ÉS HÜVELYKUJJÁVAL. A VONALZÓN LEOLVASHATÓ, HOGY A 0-TÓL MEKKORA TÁVOLSÁGRA SIKERÜLT A VONALZÓT MEGFOGNIA. EZT A 23. OLDALON LEVŐ TÁBLÁZAT ALAPJÁN ÁTSZÁMÍTJUK MÁSODPERCEKRE.

A REAKCIÓ KÖZT TELIK EL (PL. A STARTPISZTOLY ELDÖRDÜLÉSE ÉS A VERSENYZŐ RAJTOLÁSA KÖZÖTT).

A REAKCIÓIDŐ HANGHATÁSRA RÖVIDEBB, MINT VIZUÁLIS HATÁSRA, ÉS A LEGRÖVIDEBB ÉRINTÉSRE.

22

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ

út (cm)

idő (s)

út (cm)

idő (s)

út (cm)

idő (s)

út (cm)

idő (s)

5

0,10

11

0,15

18

0,19

25

0,23

6

0,11

12

0,16

19

0,20

26

0,23

7

0,12

13

0,16

20

0,20

27

0,23

8

0,13

14

0,17

21

0,21

28

0,24

9

0,14

15

0,17

22

0,21

29

0,24

10

0,14

16

0,18

23

0,22

30

0,25

17

0,19

24

0,22

AZ IDŐT A SZABADON ESŐ TEST ÚTJÁNAK s =

1 . 9,81 . t 2 2

KÉPLETÉBŐL SZÁMÍTOTTUK KI, AHOL

s A MÉTERBEN KIFEJEZETT ÚT (ESETÜNKBEN A VONALZÓN LEOLVASHATÓ ÉRTÉK), A t AZ IDŐ 2s MÁSODPERCEKBEN, A 9,81 PEDIG A NEHÉZSÉGI GYORSULÁS ÉRTÉKE. EBBŐL t = . 9,81 AZ

HA A HOSSZÚSÁGOT s ≥ 0,05 M PONTOSSÁGGAL ADJUK MEG, AKKOR A KÉPLETBE VALÓ BEHELYETTESÍTÉS (ENNEK BIZONYÍTÁSA TÚLLÉPI A KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKA KERETEIT.) MIVEL KÍSÉRLETÜNKBEN AZ s UTAT CENTIMÉTERPONTOSSÁGGAL (AZAZ SZÁZADMÉTEREKRE) MEG TUDJUK MÉRNI, AZ IDŐT ENNEK MEGFELELŐEN SZÁZADMÁSODPERCNYI PONTOSSÁGGAL FOGJUK MEGKAPNI. EZÉRT A TÁBLÁZAT MINDEN IDŐADATÁT SZÁZADMÁSODPERCEKRE KEREKÍTETTÜK. UTÁN A KAPOTT IDŐ PONTOSSÁGÁNAK IS UGYANENNYI LESZ A NAGYSÁGRENDJE.

FELADAT HASONLÍTSÁTOK ÖSSZE! 2010-BEN HASONLÓ

20. a) Mérjétek meg a „vonalzó módszerrel” az osztály összes tanulójának reakcióidejét! Azt javasoljuk, hogy párban dolgozzatok. Először végezzetek néhány próbamérést, majd 5 „éles” mérést, és számítsátok ki ezek átlagát (az eredményt kerekítsétek századmásodpercekre)! Ezek az átlagok alkotják majd azt a mintát, amivel a feladat b) részében fogunk dolgozni. b) Készítsd el az a) részben kapott minta gyakoriságdiagramját! Állapítsd meg, hogy alkalmas osztályokba sorolással áttekinthetőbbé tehető-e a diagram, hogy egyszerű módon jellemezhető legyen az osztályotok diákjainak reakcióidő-eloszlása!

MÉRÉSEN VETT RÉSZT

EGYESÜLT ÁLLAMOK NEMZETI FŐISKOLAI ATLÉTIKAI EGYESÜLETÉNEK (NCAA) 94 LABDARÚGÓJA. A 94 REAKCIÓIDŐ ÁTLAGA 0,203 S VOLT. HASONLÍTSÁTOK ÖSSZE AZ

EZT AZ ÉRTÉKET AZ OSZTÁLYOTOKBAN MÉRT ÉRTÉKKEL!

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ – EREDMÉNYEK 1. Például: Hogy sikerült a témazáró matematikából? Milyen korú emberek élnek a településünkön? Mekkora éves bevétellel rendelkeznek településünk lakosai? Milyen vallási felekezetekhez tartoznak megyénk lakosai? Hol születtek osztályunk tanulóinak a szülei? Milyen az osztályunkba járó tanulók szüleinek legmagasabb iskolai végzettsége? 36 3. a) = 0,011 857... ≈ 0,01, azaz a 36 kb. 1%-a a 3036-nak 3036 abszolút gyakoriság . 100 b) relatív gyakoriság (%-ban) = a minta kumulált gyakorisága 4. … a megfelelő értékkel (ez esetben az abszolút gyakorisággal) … középponti szög nagysága … . 5. Figyeld meg a 14. és 15. ábrát! Ha a 14. ábrán egy beosztás értéke 50, akkor az oszlopok magassága (ha az oszlopok

23

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ – EREDMÉNYEK 577 686 abban a sorrendben követik egymást, mint a hajszínek a táblázatban): 1 beosztás, ≈ 12 beosztás, ≈ 14 beosztás, 50 50 1 641 115 119 ≈ 33 beosztás, ≈ 2 beosztás, ≈ 2 beosztás. 50 50 50 A relatív gyakoriságok és az ezeknek megfelelő középponti szögek kiszámítása az 5. táblázatban látható. (A kördiagramban a világosbarna előfordulásának relatív gyakorisága 22%-ról 21%-ra módosult. Ennek okáról a 6. feladatban tettünk említést.) abszolút gyakoriság

relatív gyakoriság (%-ban) abszolút gyakoriság . 100 3188

= világosszőke

50

a középponti szög nagysága =

abszolút gyakoriság . 360° 3188

50 . 100 = 1,56... ≈ 2% 3188

50 . 3188 360° = 5,64...° ≈ 6°

szőke

577

577 . 3188 100 = 18,09... ≈ 18%

577 . 3188 360° = 65,15...° ≈ 65°

világosbarna

686

686 . 3188 100 = 21,51... ≈ 22%

686 . 3188 360° = 77,46...° ≈ 77°

barna

1641

1641 . 100 = 51,47... ≈ 51% 3188

1641 . 3188 360° = 185,30...° ≈ 185°

fekete

115

115 . 3188 100 = 3,60... ≈ 4%

115 . 3188 360° = 12,98...° ≈ 13°

vörös

119

119 . 3188 100 = 3,73... ≈ 4%

119 . 3188 360° = 13,43...° ≈ 13°

összesen (a minta kumulált gyakorisága)

3188

5. táblázat Az 1957–1965 között született fehérbőrű nők hajszíne az Egyesült Államokban 1641

Az 1957–1965 között született fehér nők hajszíne az Egyesült Államokban 4%

4%

2%

686 gyakoriság

577 18% 51% 115

50 világosszőke szőke világosbarna barna

14. ábra

fekete

119

21%

vörös

15. ábra

6.a) b) Figyeld meg az 5. táblázat két utolsó oszlopát. Az utolsó oszlopban a középponti szög nagyságát a relatív gyakoriság pontos értékéből számítottuk ki, nem pedig a kerekítettből. Például a világosszőke adatnak megfelelő érték esetében a közép50 ponti szög a 360°-nak az része (nem pedig a 360° 2%-a, tehát 0,02 · 360° = 7,2° ≈ 7°). Ezt az eredményt egész fokokra 3188 kerekítettük (és 6°-ot kaptunk). A relatív gyakoriság kerekített értékéből kiszámított eredmény ugyanis kevésbé pontos (mert már a kezdő érték, a relatív gyakoriság is pontatlan a kerekítés miatt; hasonlítsd össze például a világosbarna középponti szögének kiszámítását a két módszerrel: ott a kerekített értékek különbsége 2°). 7. A legegyszerűbb, ha összehasonlítjuk a relatív gyakoriságok két diagramját. 10. Figyeld meg a 16. ábrát és a 6. táblázat számításait! A kerekített százalékértékek összege 102 (a 6. táblázat utolsó oszlopában), ezért a diagramban a 〈80, 90) és a 〈90, 100) osztályban megváltoztattuk a százalékértékeket. Ebben a két osztályban ugyanis a relatív gyakoriságok tizedesrészei viszonylag kisebbek (a 6. táblázatban zölddel kiemelve), mint a többi relatív gyakoriságéi.

24

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ – EREDMÉNYEK

23

23 16

8

4

2

110, 120)

100, 110)

90, 100)

80, 90)

70, 80)

2

3,921 568 6...

4

50, 60)

5

9,803 921 5...

10

60, 70)

5

9,803 921 5...

10

70, 80)

4

7,843 137 2...

8

80, 90)

12

23,529 411 7...

24

90, 100)

12

23,529 411 7...

24

100, 110)

8

15,686 274 5...

16

110, 120)

2

3,921 568 6...

4

120, 130)

1

1,960 784 3...

2

összesen

51

100

16. ábra

b) Lásd a 18. ábrát!

105, 115)

115, 125)

2

15 7

6

20. ábra

120, 135)

75, 90)

60, 75)

45, 60)

1

110, 125)

95, 110)

45, 50)

7 3

80, 95)

2

10

7

65, 80)

2

115, 130)

100, 115)

85, 100)

70, 85)

19. ábra

7

6

22 15

8

5

55, 70)

40, 55)

6

5

18. ábra

14

50, 65)

14

4

105, 120)

17. ábra c) Lásd a 19. ábrát! d) Lásd a 20. ábrát! e) Lásd a 21. ábrát!

3

90, 105)

1

45, 55)

(100, 110

(90, 100

(80, 90

6 2

12

95, 105)

8

85, 95)

13

4 (70, 80

6

(60, 70

(50, 60

(40, 50

4

10

(120, 130

13 3

6. táblázat

(110, 120

11. a) Lásd a 17. ábrát!

102

75, 85)

60, 70)

50, 60)

40, 50)

4

kerekítve

40, 50)

65, 75)

10

120, 130)

10

abszolút gyakoriság relatív gyakoriság (%)

55, 65)

az osztály kumulált gyakorisága (%)

osztály

21. ábra délután 21%

délelőtt 23%

12. A 11. d) feladat diagramja. 13. Lásd a 38. oldal 6. ábráját! 14. a) Éjjel. Éjfél előtt (tehát 18:00 és 24:00 között) és éjfél után (0:00 és 6:00 között) született megközelítőleg a 2680 gyerek 56%-a. éjfél előtt éjfél után b) Legmegfelelőbb a kördiagram, amelyen azonnal látszik, hogy az éjfél 26% 30% előtt–éjfél után és a délelőtt–délután körcikkpárok közül melyik foglalja 22. ábra el a körnek több, mint a felét. (Lásd a 22. ábrát!) 15. a) A százaléklábak összegének 100-at kellene adnia (hiszen a kördiagramnak azt kellene ábrázolnia, hogy miképp oszlik fel az egész részekre), azonban itt ez az összeg csak 80. A rendelkezésre álló információk (a válaszok és a százalékértékek) alapján ezt a diagramot nem tudjuk kijavítani. b) Bár az adatok százaléklábak, ebben az esetben nem helyes ezeket kördiagrammal szemléltetni. Kördiagramot akkor alkalmazunk, ha a részekre osztott egészben azt akarjuk szemléltetni, hogy az egyes részek mekkora részét töltik ki az egésznek. (A kördiagram pl. akkor lenne alkalmas, ha azt akarnánk szemléltetni, hogy a vizsgált bűnözők hányad részét ítélték el az egyes bűnözéstípusok elkövetéséért.) A feladat diagramján azonban a százaláklábak más-más alaphoz tartoznak. Ebben az

25

75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

73,8 66,7 62,2

61,7

erőszakos vagyon elleni

drogbűnözés

közrend elleni

64,7

egyéb

bűncselekmények

23. a) ábra

visszaesők (%-ban)

esetben egy olyan függvénnyel van dolgunk, amely minden bűnözéstípushoz egy-egy számot rendel hozzá: a visszaesés mértékét. Ilyen típusú függvények szemléltetésére (kevés független változóval, ami a mi esetünkben a bűnözéstípus) sokkal alkalmasabb az oszlopdiagram. A 23. a) ábrán az oszlopok teljes magasságukkal szerepelnek, a b) ábrán csak az oszlopok felső részei. (Lásd a magyarázatot a 12. oldal 4. feladata után!) c) Hogy miért nem helyes ebben az esetben sem kördiagramot alkalmazni, annak ugyanazok az okai, mint a 15. b) feladatban. Ebben az esetben is olyan függvénnyel van dolgunk, amely a független változóhoz (az évhez) valamilyen értéket (a lakosok hány százaléka szavaz bizalmat az Uniónak) rendel hozzá. Ennek szemléltetésére legalkalmasabb a vonaldiagram (24. ábra), amely az egyes szakaszainak elhelyezkedésével azt is megmutatja, hogy növekedésről vagy csökkenésről van-e szó az előző évhez képest. 17. Kerekítés „fél hüvelykre”: Azt keressük, hogy a hüvelykben mért méretek az … 5, 5½, 6, 6½, … számok melyikéhez vannak legközelebb. Ha egy méret ugyanolyan messze van két értéktől (pl. a 6,25 ugyanolyan messze van a 6-tól, mint a 6 ½-től), akkor a számtani kerekítés egyezményes szabályát alkalmazzuk. (Fogalmazd meg!) Ezért az 〈5,75; 6,25) intervallum számait 6-ra, a 〈6,25; 6,75) intervalluméit pedig 6½-re kerekítjük stb. 18. a) A 16. feladat diagramjában található 15 cm, 16 cm, …, 32 cm méretek mindegyikét átalakítjuk francia hüvelykre félhüvelyknyi pontossággal, és az így kapott értékeket a 16. feladat diagramoszlopai alá írjuk. Ha két oszlop alá francia hüvelykben kifejezve ugyanaz a szám kerül (mint a 17 és 18, a 21 és 22, a 24 és 25, valamint a 28 és 29 méretpárok esetében – ellenőrizd!), akkor a két oszlopot egyesítjük, tehát összeadjuk az oszlopok kumulált gyakoriságait. b) Nórinak nincs igaza. Nem biztos, hogy mindenkinek, akinek a tenyérkerülete centiméterekre kerekítve 18 cm, 6½-es kesztyűt kell hordania. (Lásd a 25. ábrát!) 18 cm-es kesztyűmérete van annak, akinek a tenyérkerülete 175 mm-től 184 mm-ig terjed (a 185 mm-t már 19 cm-re kerekítjük). Annak van 6½-es kesztyűje, akinek a tenyérkerülete 6,25 és 6,75 francia hüvelyk közt van, tehát annak, akinek a tenyérkerülete (ha csak egész milliméterekben gondolkodunk) 170 mm és 182 mm között van. (A 169 mm-nek 6-os, a 183-nak 7-es méret felel meg. Ellenőrizd! Ezért a 16. feladat 18 cm-es osztályának elemei a 17. feladat diagramjában, két osztályban is szerepelhetnek: a 6½-esben és a 7-esben, ugyanakkor a 6½-es osztályba bekerülhet a 17 cm-es osztály néhány eleme. Hasonló helyzet jöhet létre a 16. feladat diagramjának többi osztályára is. Ennek ellenére előfordulhat, hogy a ti osztályotokban mért adatokra Nóri módszere – bár ez a módszer alapjában véve helytelen – helyes eredményre vezet. 19. A megoldáshoz segítséget adhat a 25. ábra.

visszaesők (%-ban)

A FELELET NÉHA EGY ADATHALMAZ – EREDMÉNYEK

76 74 72 70 68 66 64 62 60 58 56 54

73,8

66,7 64,7 62,2

61,7

erőszakos vagyon elleni

drogbű- közrend nözés elleni

egyéb

bűncselekmények

23. b) ábra % 80 60

47

55

66

67

53

40 20 0 2004 2005 2006 2007 2008 év

24. ábra

25. ábra A fekete számegyenes a tenyérkerületet milliméterekben mutatja, alatta látható a megfelelő kesztyűméret centiméterben, fölötte pedig francia hüvelykben. Javasoljuk, hogy ezt az ábrát (és a megfelelő számításokat) önállóan is készítsd el.

26

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

2. A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP Térjünk vissza a helyből elrugaszkodás (lásd a 14. oldalt) adataihoz, amelyek osztályokba sorolásával az alábbi oszlopdiagramot kaptuk. Ha nagyon tömör választ várnánk arra a kérdésre, hogy:

2.1. A MÓDUSZ ÉS A MEDIÁN

2.2. A SZÁMTANI KÖZÉP 2.3. A GYAKORISÁGI

milyen fávolságot tud helyből ugorni egy óvodás, röviden azt válaszolhatnánk, hogy

ELOSZLÁS JELLEMZŐ KÖZÉPÉRTÉKEI

körülbelül 90 centimétert.

2.4. A KÖZÉPÉRTÉKEK.

Beszéljétek meg, hogy nyilvánvaló-e ez a válasz a diagram alapján is!

A HISZTOGRAMOK NÉHÁNY JELLEMZŐ

Helyből elrugaszkodás (51 5–7 éves óvodás) 24

ALAKJA

2.5. A SÚLYOZOTT SZÁMTANI KÖZÉP

7

2.6. NEM MINDEN ÁTLAG

10

9

SZÁMTANI KÖZÉP

2.7. EGYÉB FELADATOK

120, 140)

100, 120)

80, 100)

60, 80)

40, 60)

1

Egy óvodás helyből kb. 90 cm-es távolságra képes ugorni

Gyakran találkozunk olyan esettel, hogy egy egész mintát egyetlen adattal jellemezzük. Ez az adat lehet a módusz, a medián vagy a számtani közép.

MÓDUSZ – a minta leggyakoribb adata (tehát a legnagyobb valószínűséggel előforduló adat)

MEDIÁN – az az adat, amely a mintát két egyenlő részre (jobbra és rosszabbra) osztja. Eredménylista

Vércsoport-eloszlás Thaiföldön

2. KÖVÉR Károly

00:38:36

3. SOVÁNY Márton

00:38:43

B 33%

30. ZALAI Ferenc

00:49:21

31. SCHULZ Eric

00:49:24

...

0 37%

00:37:37

...

A 22%

AB 8%

1. MÁTÉ János

60. FERREIRA Framlisco

Thaiföld leggyakoribb vércsoportja a 0-s.

01:02:44

61. YILDIZ Deniz Can

01:05:40

62. KUSTAN Orava

01:08:12

A 12 km-es mezei futás „jobbik felében” 49’24”-es idővel lehetett kvalifikálni.

27

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

A SZÁMTANI KÖZÉP

Jeromos

Pongrác

Gabriella

Agáta

Eleonóra

Ida

Zita

Veronika

Mátyás

Virág

Bálint

Gyöngyi

Erik

Rezső

Etelka

Lívia

Arpád

Dezső

Vanda

Balázs

Tatjána

Viktor

Marianna

Zoltán

Dorottya

pontszám

Az írásbeli eredményei 10 9 8 7 6 a pontszámok átlaga 5 4 3 2 1 0

Az írásbeli pontszámainak átlaga 5,4 volt.

A fenti három adatot összefoglaló néven statisztikai középértéknek nevezzük. Néhány tulajdonságukkal ebben a fejezetben fogunk foglalkozni.

2.1. A módusz és a medián A MÓDUSZ a mintában leggyakrabban előforduló adat.

A MÓDUSZT LEGGYAKRABBAN A BETŰ FÖLÉ ÍRT „KAMPÓVAL” JELÖLJÜK, PL.: x . MÁS JELÖLÉS: MOD (x) VAGY MO.

Ezzel a tulajdonsággal egyidejűleg több adat is rendelkezhet. Pl. az 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 8, 10 mintában leggyakrabban a 2 és a 4 fordul elő (négy-négy alkalommal), tehát mindkét adat jogosult a módusz megnevezésre. Még rosszabb lenne a helyzet az 1, 2, 4, 6, 9, 13, 25, 48 mintában, ahol az összes elem módusznak nevezhető. Ezekből a példákból látható, hogy a nagy kiterjedésű mintákban is csak akkor lesz értelme a módusszal foglalkozni, ha csak egy lesz belőle.



AZ EGYES FOGALMAK ISMERTETÉSEKOR – AZ EGYSZERŰSÉG KEDVÉÉRT – KIS KITERJEDÉSŰ MINTÁKKAL DOLGOZUNK. KIS KITERJEDÉSŰ MINTÁK MÓDUSZÁT VAGY MEDIÁNJÁT MEGKERESNI LEGFELJEBB TANULMÁNYI CÉLOKBÓL, A FOGALMAK MEGÉRTÉSE ÉS BEGYAKORLÁSA VÉGETT ÉRDEMES. AKKOR VAN GYAKORLATI ÉRTELMÜK, HA NAGYOBB MINTÁVAL DOLGOZUNK. FELADAT

1. Keresd meg az 1. ábrán látható minta móduszát! 12 7

9

7

9 10 8

3 0

28

6 3

1

2

3

4

5

6

7

8

3

5 1

2

3 0

1

2

0

0

0

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 pontszám

1. ábra 91 diák írásbeli pontszámait ábrázoló hisztogram

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP A MEDIÁN a minta növekvő sorrendben felírt adatai közül a középső adat.

AZ ADATOK SZÁMA KIFEJEZÉST ITT – A

Ha a mintában az adatok száma

• •

SZOKÁSOS MÓDON

– ÚGY

páratlan, akkor a medián a nagyság szerint sorba rendezett adatok közül a középső adat. Tehát egy 9-tagú mintában a medián az 5. adat. Például az 1, 3, 4, 4, 8, 8, 9, 9, 9 minta mediánja a 8.

ÉRTELMEZVE

páros, akkor a medián a nagyság szerint sorba rendezett két középső tag számtani közepe. Tehát egy 12-tagú minta esetében a medián a 6. és 7. tag számtani közepe. Például 2+3 a 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 7, 152 mediánja a = 2,5 a 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 5 2 1+1 mediánja pedig = 1. 2

ABSZOLÚT GYAKORISÁGA. (TEHÁT A MINTA ADATAINAK

HASZNÁLJUK, HOGY MINDEN ADATOT ANNYISZOR SZÁMOLUNK, AMENNYI AZ

SZÁMA MEGEGYEZIK A MINTA KUMULÁLT GYAKORISÁGÁVAL.)

PÉLDÁUL AZ 1, 1, 3, 5, 5, 5, 9 MINTÁNAK 7 ADATA VAN (HOLOTT CSUPÁN 4-FÉLE ADATOT LÁTUNK: AZ 1, 3, 5 ÉS 9 SZÁMOKAT).

FELADATOK

2. Határozd meg az 1. ábrán látható minta mediánját!

A

AZ x1, x2, ..., xn MINTA MEDIÁNJÁT LEGGYAKRABBAN

MEDIÁN KISZÁMÍTÁSÁNAK KÉPLETE

A MEDIÁNT JELÖLŐ BETŰ FÖLÉ ÍRT HULLÁMVONALLAL

(~ x ). MÁS JELÖLÉSEK: MED( (x) VAGY ME.

3. Az n adatból álló minta adatait növekvő sorrendbe rendezzük, és az így sorba rendezett adatokat x1-gyel, x2-vel, …, xn-nel jelöljük. Írd fel a képletet, ha a minta adatainak száma n, és n páratlan, azaz n = 2k –1 n páros, azaz n = 2k.

JELÖLJÜK

• •

A MEDIÁN FOGALMÁT F. GALTON VEZETTE BE A 19. SZÁZAD UTOLSÓ NEGYEDÉBEN. GONDOLATAI NAGY MÉRTÉKBEN HATOTTAK A MATEMATIKAI STATISZTIKA FEJLŐDÉSÉRE. A BENNSZÜLÖTTEKET TANULMÁNYOZÓ ANTROPOLÓGUSOKNAK AZT JAVASOLTA, HOGY A TÖRZSFŐNÖK SORAKOZTASSA FEL AZ EMBEREIT NAGYSÁG SZERINT, ÉS ÁLLAPÍTSÁK MEG A SOR FELÉBEN (MEDIÁN),

első kvartilis

medián

harmadik kvartilis

VALAMINT A SOR ELSŐ ÉS HARMADIK NEGYEDÉBEN (ELSŐ ÉS HARMADIK KVARTILIS) ÁLLÓK TESTMAGASSÁGÁT.

A medián fogalmának kialakításakor gyakran találkozhatunk azzal a megfogalmazással, hogy a minta adatainak egyik fele kisebb a mediánnál, a másik fele pedig nagyobb. A 4–6. feladatokban jól látható, hogy ez a megfogalmazás nem egészen pontos. Viszont tömör, jól megjegyezhető, és a nagy terjedelmű mintákban, amelyekben csak kevés tag értéke egyezik meg a mediánnal, viszonylag jól fejezi ki a valóságot. Megjegyezzük, hogy a mindennapi szóhasználatban a mediánt gyakran, de alaptalanul a számtani középpel azonosítják (lásd a 8. feladatot!).

A

MEDIÁN JELLEMZÉSE

FELADAT

4. Ellenőrizd, hogy az alábbi állítások igazak-e azokra a mintákra is, amelyekben páros számú adat, és azokra is, amelyekben páratlan számú adat található, és ezek egyike sem ismétlődik! A mediánnál kisebb adatok száma megegyezik a mediánnál nagyobb adatok számával. (Ez a mennyiség a páros adatszámú mintákban épp az összes adat fele, míg a páratlan adatszámú minták esetében kevesebb, mint az összes adat fele.) A mediánnál kisebb vagy azzal egyenlő adatok száma megegyezik a mediánnál nagyobb vagy azzal egyenlő adatok számával. (Ez a mennyiség a páros és a páratlan adatszámú mintákban is több, mint az összes adat fele.)

•

FRANCIS GALTON (1822–1911)

•

29

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

FELADATOK

5. Igazold, hogy a 4. feladat állításai nem feltétlenül igazak azokban a mintákban, amelyekben néhány adat ismétlődik! (Ha 5 perc gondolkodás után sem tudsz saját példát találni, használd fel azokat a feladatokat, amelyeket a medián ismertetése során, a 2. feladat előtt soroltunk fel!) KERESSÜNK EGY OLYAN MEGFOGALMAZÁST, AMELY AZOKRA A MINTÁKRA IS FENNÁLLNA, AMELYEKBEN ISMÉTLŐDNEK AZ ADATOK!

6. Beszéljétek meg, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak egy véges sok mintát tartalmazó mintában (tekintet nélkül arra, hogy vannak-e benne ismétlődő adatok)! Az adatoknak legalább a fele kisebb, és legalább a fele nagyobb a mediánnál. Az adatoknak legalább a fele kisebb vagy egyenlő a mediánnal, és legalább a fele nagyobb vagy egyenlő a mediánnal. Az adatoknak legfeljebb a fele kisebb, és legfeljebb a fele nagyobb a mediánnál. Az adatoknak legfeljebb a fele kisebb vagy egyenlő a mediánnal, és legfeljebb a fele nagyobb vagy egyenlő a mediánnal.

• • • •

A hamisnak bizonyuló állítások esetében írj fel egy egyszerű ellenpéldát!

A fenti feladatok megoldásából nyilvánvaló, hogy pl. „A minta adatainak legfeljebb a fele lehet kisebb a mediánnál, és a minta adatainak legfeljebb a fele lehet nagyobb a mediánnál” megfogalmazás jóval pontosabb, mint az a gyakran hangoztatott állítás, mely szerint „Az adatok egyik fele kisebb, másik fele nagyobb a mediánnál”.

2.2. A számtani közép 

A SZÁMTANI KÖZÉP (vagy ÁTLAG) az adatok összegének és az adatok számának hányadosa. Ha egy n elemű minta az x1, x2, …, xn elemekből áll, akkor átlagukat szimbolikus formában így írhatjuk fel:

A SZÁMTANI KÖZÉP KISZÁMÍTÁSA RELATÍV GYAKORISÁGOKKAL



A SZÁMTANI KÖZÉP, A VALÓSZÍNŰSÉG-ELOSZLÁS

x¯ =

ÉS A VÁRHATÓ ÉRTÉK 

A SZÁMTANI KÖZÉPTŐL SZÁMÍTOTT ELTÉRÉSEK ÖSSZEGE

x1 + x2 + ... + xn n

(*)

Σ

A (*) képletet rövidebb formában az összeget jelképező jellel írhatjuk fel. (Ez a görög nagy szigma betű, és összeadást, összeget jelöl. Szummának olvassuk.) A (*) képlet összegét

0.

n

Σ

Σ jel alá és fölé azt írjuk, hogy milyen határok közt mozog a j értéke az x összeadandóban. A Σ szimbólumot így olvassuk: „szumma j = 1-től n-ig”.) A (*) j =1

A SZÁMTANI KÖZÉP

alakban írjuk fel. (A j

képletet így írhatjuk fel:

JELÖLÉSÉRE LEGGYAKRABBAN

n

j =1

A MINTA ADATAINAK

n

JELÖLÉSÉRE KIVÁLASZTOTT

x¯ =

BETŰ FÖLÉ HÚZOTT VONÁST HASZNÁLJUK.

A (*) KÉPLETBEN EZÉRT ¯ (OLVASD: AZ ÁTLAGOT AZ x „x FELÜLVONÁS“) SZIMBÓLUMMAL JELÖLTÜK.

Σx

j =1

n

j

vagy x¯ =

1 n

n

Σx j =1

j

Az értékeket annyiszor számítjuk be, ahányszor a mintában előfordulnak. Tehát a 0, 0, 0, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10 adatokból álló (a 2. ábrán hisztogrammal szemléltetett), 20-tagú minta számtani közepe:

(**)

30

=

3 . 0 + 2 . 1 + 4 . 3 + 3 . 8 + 6 . 9 + 2 . 10 = 5,6 20

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP 6 4 3

0

3

2

1

2

3

4

5

6

7

2

8

9

10

2. ábra

Tegyük hozzá, hogy a 3, 2, 4, 3, 6 és 2 számok a hisztogram oszlopai fölött – amelyeket majd a (**) levezetés második sorában is felhasználunk – az egyes adatok abszolút gyakoriságai (frekvenciái). Ezek azt fejezik ki, hogy az egyes adatok hányszor fordulnak elő a mintában. FELADAT

7. Számítsd ki a 28. oldal 1. ábráján látható statisztikai minta számtani közepét!

Az (*) képletben a minta összes (n darab) elemének saját jelölése van – tehát a mintát az összes elemének felsorolásával adtuk meg, holott az adatok közt lehettek egyenlők is. Ez a képlet nem megfelelő, mert az egyenlő adatokat is különböző betűjellel láttuk el, nem pedig az egyes adatok gyakoriságával. Előnyösebb tehát az alábbi formában felírni a képletet:

x¯ =

n1 . y1 + n2 . y2 + ... + nk . yk n

ahol az n1 az y1 adat gyakorisága, az n2 az y2 adat gyakorisága stb. (És n1 + n2 + … + nk = n. Miért?) Ilyen alakú a (**) levezetés második sora is. A juk fel:

Σ szimbólum segítségével így írhat-

k

x¯ =

Σ ni . yi

i =1

n

vagy x¯ =

1 n

k

Σn .y i =1

i

i

SOKSZOR TALÁLKOZHATUNK AZZAL A HELYTELEN NÉZETTEL, HOGY A MINTA ADATAINAK (MEGKÖZELÍTŐLEG) A FELE KISEBB, ÉS AZ ADATOK (MEGKÖZELÍTŐLEG) FELE NAGYOBB, MINT A SZÁMTANI KÖZÉP. MÁS SZÓVAL: HOGY A MINTA ELEMEINEK KB. FELE ÁTLAGON ALULI, KB. FELE PEDIG ÁTLAGON FELÜLI. A 4–6. FELADATOKBÓL LÁTHATÓ, HOGY EZZEL A TULAJDONSÁGGAL – HOGY A MINTÁT MEGKÖZELÍTŐLEG KÉT EGYENLŐ RÉSZRE OSZTJA – A MEDIÁN RENDELKEZIK. A 8. FELADATBÓL KIDERÜL, HOGY A SZÁMTANI KÖZÉP NEM RUHÁZHATÓ FEL EZZEL A TULAJDONSÁGGAL. FELADAT

8. Alkoss egy olyan statisztikai mintát, amelyben az adatok 3 -e 4 a) kisebb, mint a számtani közép; b) nagyobb, mint a számtani közép!

a minta adatainak megközelítőleg

medián fele kisebb, mint a számtani közép

a minta adatainak megközelítőleg fe

medián le nagyobb, mint a számtani közép

31

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP A SZÁMTANI KÖZÉP KISZÁMÍTÁSA RELATÍV GYAKORISÁGOKKAL Térjünk vissza a 30. oldalon található (**) levezetéshez! Második sora ebben az alakban is felírható: 2 . 3 . 4 . 3 . 6 . 2 . 0+ 1+ 3+ 8+ 9+ 10 = 5,6 (***) 20 20 20 20 20 20 3 2 4 3 6 2 Figyeld meg, hogy ebben a levezetésben a , , , , és értékek tulajdonkép20 20 20 20 20 20 pen a mintában előforduló adatok abszolút gyakoriságai törve a mintában levő összes adat számával. Vagyis ezek relatív gyakoriságok, amelyek azt fejezik ki, hogy az egyes adatok 3 , ami azt jelena teljes minta hányad részét teszik ki. Például a 0 adat relatív gyakorisága 20 3 ti, hogy a 0 az összes adat -a, azaz 0,15 része, tehát 15%-a. A relatív gyakoriságokat a 3. 20 ábra, a megfelelő kördiagramot pedig a 4. ábra szemlélteti. 9 30%

0,3 0,2 0,15

0

0,15

0,1

1

2

3

4

5

6

7

8

0,1

9

8 15%

10 10% 0 15% 3 20%

1 10%

10

4. ábra A 2. ábrán látható minta adatainak relatív gyakoriságai (%-ban), kördiagrammal ábrázolva

3. ábra A 2. ábrán látható minta adatainak relatív gyakoriságai

A (***) levezetésből látható, hogy a számtani közép kiszámításához elég, ha ismerjük a minta egyes adatainak relatív gyakoriságát. Ezt használjuk fel a következő feladatban. FELADAT A 9. FELADATBAN EGY VISZONYLAG GYAKORI ESETTEL TALÁLKOZUNK: A RELATÍV GYAKORISÁGOT SZÁZALÉKBAN ADJUK MEG.

9. A kördiagram azt szemlélteti, hogy az alapiskolák kilencedikes tanulóinak, akik 2011-ben részt vettek a „Tesztelés 9” felmérésen, hogy oszlott el a félévi osztályzata. Számítsd ki ezekből az adatokból a félévi osztályzatátlagot két tizedesjegynyi pontossággal!

4 26,46%

3 28,08%

5 2,46% 2 26,18%

2 26,18%

n1 . y1 + n2 . y2 + ... + nk . yk képletben az n1 n2 n nk n1, n2, …, nk abszolút gyakoriságok helyett a p1 = , p2 = , ..., pk = , relatív gyakorisán n n gokkal számolunk, akkor az alábbi képletet kapjuk: x¯ = p1 . y1 + p2 . y2 + ... + pk . yk

Ha a számtani közép kiszámítására szolgáló x¯ =

ahol p1 + p2 + … + pk = 1. (Miért?) Ilyen alakú a (***) levezetés is. A Σ szimbólum segítsék gével a képletet így írhatjuk fel: x¯ = pi . yi .

Σ i =1

FELADAT

32

10. Megállapítottuk, hogy a számtani közép kiszámításához elegendő ismernünk az egyes adatok relatív gyakoriságát. Magyarázd meg, hogy miért elegendő a módusz és a medián kiszámításához is csupán a relatív gyakoriságokat ismerni! Keresd meg a 9. feladatban adott minta móduszát és mediánját!

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP A SZÁMTANI KÖZÉP, A VALÓSZÍNŰSÉG-ELOSZLÁS ÉS A VÁRHATÓ ÉRTÉK A számtani közép relatív gyakorisággal történő kiszámításával szorosan összefügg a valószínűség-számításban nagyon fontos várható érték fogalma, amelyet a 3. ábra hisztogramja segítségével fogunk megmagyarázni. Ezt a hisztogramot a valószínűség-számítás nyelvén is megfogalmazhatjuk. Azt az állítást, hogy a 0 adat relatív gyakorisága 0,15, azaz 15% így is megfogalmazhatjuk:

at előfordulásának a 0 ad 15 % valószínű sége a mintában 0,15 vagy (Ne haladj tovább, ha ez nem volt érthető!) Ezért az egyes adatok relatív gyakoriságát úgy is értelmezhetjük, hogy milyen valószínűséggel fordul elő a 0, 1, 3, 8, 9, 10 a mintában. A 3. ábra hisztogramját egy valószínűségi kísérlet leírásának is tekinthetjük. Ennek a kísérletnek 6 különböző eredménye lehet: ezek a 0, 1, 3, 8, 9, 10 értékek, miközben mindegyikhez hozzárendeltük az előfordulásának valószínűségét.

A kísérlet szemléletes leírása: egy tálban 20 számozott golyó van: 3 darabon a 0, 2 darabon az 1-es, 4 darabon a 3-as, 3 darabon a 8-as, 6 darabon a 9-es, 2 darabon pedig a 10-es szám látható. (Ez megfelel a 2. ábra hisztogramjának.)

6 4 3

0

3

2

1

2

3

4

5

6

7

8

2

9

10

(2. ábra) 9

8

0 10

9

1 4

0,3

9 1

4 0

4

10 4

9

9

0 8

8

0,2 0,15

0,15

0,1

0,1

9

0

A tálból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. A 3. ábra hisztogramja azt szemlélteti, hogy mekkora valószínűséggel húzhatjuk ki az egyes számokat.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(3. ábra) A 3. ábra hisztogramját egy valószínűségi kísérlet leírásának is tekinthetjük: a lehetséges 0, 1, 3, 8, 9, 10 értékek mindegyikéhez egy-egy valószínűség-érték tartozik.

A valószínűségek hozzárendelését a kísérlet egyes elemeihez valószínűség-eloszlásnak nevezzük. Ha a 3. ábra hisztogramját valószínűség-eloszlásnak tekintjük, akkor a megfelelő számtani közép, tehát a 0,15 · 0 + 0,1 · 1 + 0,2 · 3 + 0,15 · 8 + 0,3 · 9 + 0,1 · 10 = 5,6

EZ UGYANAZ, MIT A 32. OLDALON TALÁLHATÓ (***) LEVEZETÉS, CSAK ITT A

szám ennek a valószínűség-eloszlásnak a várható értéke.

TÖRTEKET TIZEDESTÖRTEKKEL

A várható érték fogalmával már tavaly találkozhattunk a valószínűség-számításról szóló fejezetben. Emlékeztetőül a következő feladatban megmutatjuk, hogy mire használható a várható érték fogalma.

HELYETTESÍTETTÜK.

33

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

A

SZÁMTANI KÖZÉP, A VÁRHATÓ ÉRTÉK ÉS A KOCKADOBÁSOK

KÉPZELD EL, HOGY A KÖVETKEZŐ JÁTÉKBAN VESZEL RÉSZT: KÉT KOCKÁVAL KELL DOBNOD, MINDEN DOBÁSÉRT 2 CENTET KELL FIZETNED. HA KÉT EGYFORMA SZÁM ESIK, AKKOR 5 CENTET KAPSZ (TEHÁT A NYERESÉGED 3 CENT = 5 CENT NYEREMÉNY – 2 CENT BEFIZETÉS). HA AZ EGYIK KOCKÁVAL 6-OST DOBSZ, A MÁSIKKAL EGY MÁSIK SZÁMOT, AKKOR 4 CENTET KAPSZ. MÁS ESETBEN NEM KAPSZ SEMMIT.

FELADAT

11. a) Mi lesz a várható értéke (tehát a várható nyeresége vagy vesztesége) az egyes lehetőségek valószínűsége alapján 180 dobásnak? b) Milyen átlagos eredménye lehet egy dobásnak? c) Győződj meg róla, hogy a b) részben kapott eredmény nem változik, ha a dobások száma nem 180 lesz!

MEGOLDÁS

a) Két kockával dobva összesen 36-féle eredményt kaphatunk: 6-féle eredmény az egyik kockával, szorozva a másik kockán dobható hatféle, ugyanakkora valószínűségű eredménnyel (lásd a táblázatot!). HOGY MINDEN DOBÁSNAK UGYANAKKORA A VALÓSZÍNŰSÉGE, AZÉRT HANGSÚLYOZZUK, MERT LAPLACE MODELLJÉT SZERETNÉNK FELHASZNÁLNI: HA EGY VALÓSZÍNŰSÉGI KÍSÉRLET MINDEN ESEMÉNYÉNEK UGYANAKKORA A VALÓSZÍNŰSÉGE, AKKOR =

A SZEMLÉLETESSÉG KEDVÉÉRT KÉPZELJÜK EL, HOGY AZ EGYIK KOCKA PIROS, A MÁSIK ZÖLD. AZ ÖSSZES LEHETŐSÉG SZÁMÁT ÉS AZ EGYES VALÓSZÍNŰSÉGEKET EZ NEM BEFOLYÁSOLJA.

AZONOS SZÍNŰ KOCKÁKKAL DOBVA UGYANAZT AZ EREDMÉNYT KAPNÁNK.

(VITASSÁTOK MEG EZT AZ ÁLLÍTÁST!)

KEDVEZŐ ESETEK SZÁMA ÖSSZES ESET SZÁMA

az első kockával dobott szám 1 a második kockával dobott szám

EGY ESEMÉNY VALÓSZÍNŰSÉGE

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

CHRISTIAN HUYGENS (1629–1695) A VÁRHATÓ ÉRTÉK FOGALMÁT A DE RATIOCINIIS IN LUDO ALEA (ELMÉLKEDÉSEK A KOCKAJÁTÉKRÓL) CÍMŰ MŰVÉBEN EMLÍTETTE ELŐSZÖR 1657-BEN.

34

az egyes dobások valószínűségének kiszámítása 6 esetben esik két egyforma szám (sötétzöld mezők) az összes 36 közül, ennek az eseménynek a 6 . valószínűsége tehát 36

ideális eset Ezért nagyszámú dobás 6 -ában esetén az esetek 36 dobunk két egyforma számot. Ezekben az esetekben a nyereségünk 3 cent lesz (5 cent nyeremény – 2 cent befizetés).

ideális eset 180 dobás esetében 180-szor dobva ideális 6 . 180 = 30 esetben 36 esetben lesz 3 cent nyereségünk.

30 ⋅ 3

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

Az egyik kockával hatost, Ideális esetben az összes a másikkal pedig egy 10 eset -ában lesz másik számot 10 esetben 36 dobhatunk (a táblázat kék a nyereségünk 2 cent. mezői). Ezek valószínűsége 10 tehát 36 A többi 20 esetben nem kapunk semmit. Ennek az esetnek a valószínűsége 20 . 36

10 . 180 = 50 esetben 36

lesz a nyereségünk 2 cent.

50 ⋅ 2 20 . 180 = 100 esetben 36

Az összes eset többi 20 -ában 2 cent 36 veszteségünk lesz.

2 cent lesz a veszteségünk.

–100 ⋅ 2

A TÁBLÁZAT HARMADIK OSZLOPÁBAN AZÉRT VÁLASZTOTTUNK 180 ESETET, HOGY A SZÁMÍTÁSOK SORÁN SZÉP SZÁMOKAT KAPJUNK.

Ezért a mérlegünk 180 dobás után ideális esetben 30 · 3 + 50 · 2 – 100 · 2 = –10 (cent), tehát 10 cent veszteség. b) Ha 180 dobásra összesen 10 cent veszteség jut, akkor egy dobás átlagos vesztesége 10 1 1 = cent. 1 dobás átlagos mérlege tehát – ≈ – 0,056 cent. 180 18 18 1 cent veszteség) nem függ a dobások c) Igazoljuk, hogy az 1 dobásra jutó eredmény ( 18 számától, tehát nem változik meg, ha a dobások számát 180-ról másra módosítjuk! Írjuk 1 fel a – kiszámítását olyan formában, hogy nyilvánvaló legyen, hogy hol jelent meg 18 a dobások száma, tehát a 180! Az (1) levezetésben a 30, 50 és 100 értékeket helyettesítsük azzal a számítással, amelyet a táblázat 3. oszlopában láthatunk (kékkel kiemelve): 6 . 10 . 20 . 180 . 3 + 180 . 2 – 180 . 2 = –10 . 36 36 36 = 30

= 50

= 100

Az 1 dobásra jutó átlagos eredmény kiszámításakor a fenti eredményt 180-nal kell elosztanunk: 6 . 10 . 20 . 180 . 3 + 180 . 2 – 180 . 2 36 36 36

6 . 180 . 3 36

10 . 180 . 2 36

= + 180 180 180 6 . 10 . 20 . 2 1 = 3+ 2– 2=– =– 36 36 36 36 18

+

20 . 180 . 2 36

180

= (2)

Mint látható, a számítás során 180-nal (a dodások számával) egyszerűsítettünk. Ha a 180-at 1 más k számmal helyettesítenénk, az ugyanúgy kiegyszerűsödne. A – eredmény tehát 18 nem függ a dobások számától. 1 A (2) levezetés második sorából látható, hogy a – akkor is megkapható, ha csupán az 18 egyes esetek valószínűségeit és a megfelelő nyereség- vagy veszteségértékeit ismerjük.

35

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

6 . 10 . 20 . 2 1 3+ 2– =– =– 36 36 36 36 18

(3)

Ha – ahogy szokás – a veszteséget negatív nyereségként fogjuk fel, akkor a (3) levezetést így írhatjuk le: 6 . 10 . 20 . 1 3+ 2+ (–2) = – . 36 36 36 18 1 Ebből látható, hogy a – tulajdonképpen annak a mintának a számtani közepe, amely18 6 10 20 , és (lásd az 5. ábrát!). ben a 3, 2 és –2 adatok valószínűsége rendre 36 36 36 1 az 5. ábrán látható valószínűség-elA 11. feladat előtti megegyezésünk alapján a – 18 oszlás várható értéke. 20 36

–2

10 36

–1

0

1

2

6 36 3

5. ábra A hisztogram annak a valószínűségi kísérletnek a valószínűség-eloszlását szemlélteti, amelynek három különböző adata van: a –2, 2 és 3. Ennek a valószínűség-eloszlásnak a várható értéke 6 . 10 . 20 . 1 3+ 2+ (–2) = – . 36 36 36 18

A (3) számítással kapcsolatos fejtegetéseket így fogalmazhatjuk meg: Ha 6 10 20 a 3 cent nyereség valószínűsége , a 2 cent nyereségé és a 2 cent veszteségé , 36 36 36

EZ A SZÁMÍTÁS EGY PÉLDA ARRA, HOGY

akkor

MILYEN SZÁMÍTÁSOKKAL TALÁLKOZHATUNK PL. A

a várható érték (tehát a valószínűsíthető eredmény) kb. 0,06 cent veszteség.

PÉNZÜGYI MATEMATIKÁBAN.

A SZÁMTANI KÖZÉP ÉS A MÉRÉS Az ókori görög matematika csak két szám átlagát ismerte. Több szám átlaga csak a 16. század vége felé jelent meg a csillagászati mérésekkel összefüggésben. Miről van szó? Ha egy fizikai mennyiséget – pl. valamilyen hosszúságot – többször megmérünk, néhány elterő eredményt kapunk. Ugyanis képtelenek vagyunk abszolút pontosan mérni, minden mérésnek van valamilyen hibája. Méréseredményeink (az elsőt jelöljük x1-gyel, a másodikat x2-vel, … az n-ediket xn-nel) csak megközelítő pontosságúak, amelyek a valódi hosszúságtól (ezt elöljük α-val) némileg eltérhetnek:

mért hosszúság = valód azaz

i hosszúság + hiba,

...

x1 = a + ε1 x2 = a + ε2 (*)

xn = a + εn Az első mérés hibáját ε1-gyel, az n-edikét εn-nel jelöltük. Ha a mért érték kisebb a valódinál, akkor a hiba értéke negatív szám, ellenkező esetben pozitív szám. Az a probléma, hogy a valódi α értéket nem ismerjük, azt csupán az x1– xn értékekből próbáljuk a lehető legpontosabban meghatározni.

36

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

Ha a (*) összes adatát összeadjuk, akkor ezt kapjuk: x1 + x2 + ... + xn n . a + (ε1 + ε2 + ... + εn) ε + ε + ... + εn = =a+ 1 2 n n n

tehát az

x1 + x2 + ... + xn ε + ε + ... + εn érték mérési hibáját az 1 2 tört fejezi ki. Természetesen feltételezhetjük, hogy n n

az ε1– εn mérési hibák közt vannak pozitívak és negatívak is, amelyek összevonás után részben megsemmisítik ε + ε + ... + εn tört értéke tovább csökken. Ezért várható, hogy az egymást. Ha ezt az összeget n-nel elosztjuk az 1 2 n x1 + x2 + ... + xn számtani közép közelebb lesz a valódi α értékhez, mint az egyes mérési eredmények. n

A SZÁMTANI KÖZÉPTŐL SZÁMÍTOTT ELTÉRÉSEK ÖSSZEGE 0 A címben közölt mondat a számtani közép jellemző tulajdonsága (olyannyira, hogy tételként is alkalmazhatnánk). Mivel ebben a tankönyvben többször is találkozunk vele, ezért most megmutatjuk az igazolását. Képzeljünk el egy n elemű statisztikai mintát az x1, x2, …, xn adatokkal, amelyek számtani közepe x¯ : x + x + ... + xn x¯ = 1 2 (1) n A táblázat bal oldali oszlopában általános formában, a jobb oldaliban – a nagyobb szemléletesség kedvéért – 9 konkrét adat felhasználásával végezzük el a bizonyítást. A 9 adat: 4, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 15, 18, amelyek számtani közepe 10: 3.8

10 =

TYCHO

EL AZ ISMÉTELT ÉS KOMBINÁLT

4 + 8 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 15 + 18 9

(1')

MÉRÉSEK MÓDSZERÉT ALKALMAZNI, HOGY MÉRÉSEIBEN MINÉL NAGYOBB PONTOSSÁGOT

Az (1’) egyenlőséget 9-cel szorozva (ami a minta elemeinek száma és a jobb oldal nevezője) kapjuk, hogy 9 . 10 = 4 + 8 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 15 + 18

n . x¯ = x1 + x2 + ... + xn n összeadandó

ÉRJEN EL.

9 összeadandó

Ez az egyenlőség a számtani közép egy további tulajdonságát tárja fel: ha 9 szám számtani közepe 10, akkor ennek a kilenc számnak az összege megegyezik kilenc tízes összegével – tehát az összeg nem változna, ha az összes adatot a számtani középpel helyettesítenénk. Most mindkét oldalból kivonjuk az n . x¯ értéket. A bal oldalon az x¯ szám n-szerese van. Az n . x¯ érték kivonását a jobb oldalból el lehet képzelni úgy, hogy az összes (n darab) összeadandóból kivonjuk az x¯ értéket: 0 = (x1 – x¯) + (x2 – x¯) + ... + (xn – x¯)

BRAHE

(1546–1601) EZ A DÁN CSILLAGÁSZ KEZDTE

2 . 10

Az (1) egyenlőséget n-nel szorozva kapjuk, hogy

DE

Mindkét oldalból kivonunk 9 · 10-et, tehát kilenc tízest. (Vagyis a 9 · 10 értéket „átvisszük” az egyenlet bal oldaláról a jobb oldalra.) Ezt úgy is elképzelhetjük, hogy a jobb oldal mind a 9 összeadandójából kivonunk 10-et:

(2) 0 = (4 – 10) + (8 – 10) + (8 – 10) + (8 – 10) + + (9 – 10) + (10 – 10) + (10 – 10) + + (15 – 10) + (18 – 10) (2')

Az így kapott egyenlőség azt fejezi ki, amit bizonyítani akartunk: a számtani középtől való eltérések összege 0. Más szóval: a negatív eltérések összegének (a jobb oldali oszlopban pirossal jelölve) ugyanakkorának kell lennie, mint amekkora a pozitív eltérések összege (zölddel jelölve).

37

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

FELADAT

12. a) Hogy alakulna a bizonyítás, ha az előző táblázat bal oldali oszlopában az (1) n . y + n . y + ... + nk . yk képlet helyett az x¯ = 1 1 2 2 összefüggésből indulnánk ki? n (Olvasd el a 31. oldalon a 7. feladat utáni szöveget!) Milyen alakja lesz ebben az esetben a (2) egyenlőtlenségnek? b) A feladat a) részében a (2) összefüggést az y1, …, yk adatok abszolút gyakoriságával írtuk fel. Írd fel ezt az összefüggést a relatív gyakoriságok segítségével!

2.3. A gyakorisági eloszlás jellemző középértékei Ez idáig a számtani közepet, a móduszt és a mediánt a minta összes eleméből számítottuk ki. Ezeket a középértékeket az intervallumokra osztott, egyszerűsített gyakorisági eloszlásból is kiszámíthatjuk. (Lásd a 6. ábrát, amelyen az 1. ábra mintájának egyszerűsített változata látható.) 12 7

9

7

9 10 8

3 0

6 3

1

2

3

4

5

6

7

8

3

5 1

2

3 0

1

2

0

0

0

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 pontszám

(1. ábra) 91 diák írásbeli pontszámait ábrázoló hisztogram

28 21

19

14 6 0–2

3–5

6–8

9–11

12–14

3 15–17

0 18–20 pontszám

6. ábra Az előző adatok 0–2 pontos, 3–5 pontos, …18–20 pontos osztályokba csoportosításával keletkező hisztogram

Az egyszerűsített gyakorisági eloszlás alkalmazásának több indoka is lehet, pl.:

• • • 38

néha eleve nem ismerjük az eredeti mintát, csak annak az egyszerűsített gyakorisági eloszlását; néha – ugyan ismerjük az eredeti mintát –, de az egyszerűsített gyakorisági eloszlással könnyebb és áttekinthetőbb számolni; néha az eredeti mintában egy-egy adat csupán egyszer (vagy nagyon kis abszolút gyakorisággal) fordul elő, és csak a csoportosítás után válik nyilvánvalóvá, hogy melyik adatcsoportnak legnagyobb a gyakorisága.

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

FELADAT

160–164

155–159

150–154

145–149

140–144

135–139

130–134

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

125–129

13. Adj javaslatot az egyszerűsített gyakorisági eloszlás számtani közepének kiszámítására! Javaslatodat alkalmazd a mellékelt ábrán hisztogrammal ábrázolt minta számtani közepének kiszámítására!

testmagasság (cm)

33 hatodikos tanuló testmagasságát szemléltető diagram

Az alábbi fejtegetéseink során olyan csoportosításokra szorítkozunk, amelyekben az osztályközök (intervallumok) egyenlők. Ezekben a csoportosításokban nem nehéz megtalálni azt az intervallumot, amely a legtöbb adatot tartalmazza, tehát a módusz szerepét tölti be (nevezzük módusz-intervallumnak) és azt is, amely a minta mediánjának tekinthető (mediánintervallum).

NE FELEDKEZZÜNK MEG RÓLA, HOGY A PÁRATLAN SZÁMÚ ADATOT TARTALMAZÓ MINTA MEDIÁNJA A MINTA EGYIK ADATÁVAL EGYENLŐ, MÍG A PÁROS SZÁMÚ

FELADATOK

ADATOT TARTALMAZÓ MINTA ESETÉBEN A MEDIÁN

14. Keresd meg a 13. feladatban szemléltetett statisztikai minta módusz- és mediánintervallumát!

MEGHATÁROZÁSÁHOZ A NAGYSÁG SZERINT RENDEZETT ADATOK

15. Hogyan változik meg az előző feladat megoldása, ha a 135–139 intervallum egyik adatát töröljük?

KÖZÜL KÉT SZOMSZÉDOS ADATOT KELL ISMERNÜNK.

Amikor a minta adatait osztályokba soroljuk, akkor az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy az osztály egyforma adatokból áll. Ez az a szám, amelyet az osztály „reprezentánsának” választottunk. Ezt az elképzelést szemlélteti a 18. oldalon található 10. ábra. Ilyen egyszerűsítés esetén pl. módusznak fogjuk tekinteni a módusz-intervallum reprezentánsát. (Magyarázd meg, hogyan következik ez a mondat a fenti szövegből!)

FELADAT

16. Határozd meg ilyen durva becsléssel a) a 13. feladat statisztikai mintájának a móduszát és mediánját; b) annak a mintának a móduszát és mediánját, amelyet a 13. feladatban adott mintából nyerünk a 135–139 intervallum egy adatának törlésével!

Az 1. és a 6. ábra hisztogramjai alapján összehasonlítjuk a módusz, a medián és a számtani közép értékeit az eredeti és az egyszerűsítéssel nyert mintából. Az 1. ábrán szemléltetett minta móduszát, mediánját és számtani közepét, amelyet az 1., 2. és 7. feladatban számítottuk ki (a 28., 29 és 30. oldalon), a következő ábrákon mutatjuk be. Ezzel valójában a fejezetben tanult fogalmakat is szeretnénk összefoglalni.

39

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP MÓDUSZ 12 9

7

9 10 8

7

6

3

3

0

1

2 3 4 5 3 = módusz

6

7

3

8

5 1

2

3 0

1

2

0

0

0

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 pontszám

Az írásbeli leggyakoribb eredménye a 3 pont volt. (Ez nem jelenti azt, hogy a tanulók többsége 3 pontot szerzett.)

MEDIÁN

45 adat (47–91.)

91

•

•

45 adat (1–45.)

46

•

1

0

1

2

3

4

5 6 7 8 5 = medián

aki 5-nél több pontot szerzett, az biztosan a felsorolás első (jobbik) felében van; aki 5-nél kevesebb pontot szerzett, az biztosan a felsorolás második (rosszabbik) feléhez tartozik; a tanulók legfeljebb felének van 5-nél kevesebb pontja, ugyanakkor a tanulók legalább felének van 5-nél több pontja.

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 pontszám

SZÁMTANI KÖZÉP 91 81 71

•

61 51

•

41 31 21 11 1

0

1

2

3

4

5

6 7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 pontszám

5,967 = számtani közép

40

azok a tanulók értek el átlagon felüli eredményt, akiknek több, mint 543 : 91 = 5,967… pontja van; az átlagon aluli eltérések (piros szakaszok) összege egyenlő az átlagon felüli (kék szakaszok) eltérések összegével.

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

FELADAT

17. Hogyha az előző ábrákon levő statisztikai minta adatait csoportosítással osztályokra bontjuk, akkor a 38. oldalon levő 6. ábrát kapjuk. a) Számítsd ki ennek az egyszerűsített mintának a számtani közepét, és add meg durva becsléssel a móduszát és mediánját! A MEDIÁN HELYZETÉNEK PONTOSABB MEGHATÁROZÁSA VÉGETT A MEDIÁN-INTERVALLUMBAN GYAKRAN FELTÉTELEZZÜK, HOGY AZ ADATOK EGY OSZTÁLYON BELÜL EGYENLETESEN OSZLANAK MEG. ESETÜNKBEN EZ AZT JELENTI, HOGY AZT FELTÉTELEZZÜK: MINDHÁROM ADAT UGYANOLYAN GYAKORISÁGGAL FORDUL ELŐ AZ INTERVALLUMBAN.

b) Magyarázd meg ezt a gondolatot az osztálytársaidnak! Pontosítsd ez alapján az egyszerűsített minta (durva becsléssel megadott) mediánját!

2.4. A középértékek. A hisztogramok néhány jellemző alakja Most begyakoroljuk a medián, a módusz és a számtani közép fogalmát. Bármilyen statisztikai mintából kiindulhatnánk, még véletlenszerűen kiválasztott számokból is. Ésszerűbb lesz azonban, ha gyakorlásunk tárgya egy céltudatosan megválasztott minta lesz, pl. olyan, amely véletlen jelenségek adatait tartalmazza. Ilyen véletlen jelenségek (pl. a szlovákiai 17 éves fiúk testmagassága, hány évig éltek az 1900-ban Szlovákiában születettek, hány „fej” esik, ha egy érmét 100-szor feldobunk, egy mennyiség többszöri mérésének eredményei stb.) vizsgálatakor azt láthatjuk, hogy az eredmények valamiféle törvényszerűséget mutatva oszlanak meg. Ez látható a véletlenszerű esemény adatainak gyakoriságát szemléltető hisztogramon is. Ezért a következő feladatokban bemutatjuk a hisztogramok néhány jellegzetes alakját. Elsősorban azt fogjuk vizsgálni, hogy a hisztogram alakja miképp határozza meg a módusz, a medián és a számtani közép helyét a mintában. FELADAT

18. Keresd meg azoknak a mintáknak a móduszát, a mediánját és a számtani közepét, amelyek gyakorisági eloszlását az alábbi hisztogramok szemléltetik! Magyarázd meg, hogy ezeknek a középértékeknek a megkereséséhez miért nincs szükség semmilyen számolásra, és hogy ez milyen hisztogramok esetében mondható el! (Ezért az első két hisztogramban azt sem áruljuk el, hogy az egyes oszlopok milyen értéket képviselnek.)

KEZDJÜK OLYAN FELADATOKKAL, AMELYEKBEN A MÓDUSZT, A MEDIÁNT ÉS A SZÁMTANI KÖZEPET NAGYON KÖNNYŰ MEGTALÁLNI!

a)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20

41

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

41–43

38–40

35–37

32–34

29–31

26–28

23–25

20–22

17–19

14–16

11–13

8–10

5–7

b)

c) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

NORMÁLIS

ELOSZLÁS

26, 28)

24, 26)

22, 24)

20, 22)

18, 20)

16, 18)

14, 16)

12, 14)

10, 12)

8, 10)

6, 8)

60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

4, 6)

d)

2, 4)

–3,5 –2,5 –1,5 –0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5

Viszonylag gyakran találkozunk olyan hisztogramokkal, amelyek alakja „egyetlen halomhoz” hasonlít: egyetlen kimagasló (a móduszt jelentő) oszlopuk van, és innen mindkét irányban fokozatosan csökken az oszlopok magassága. (A 18–21. feladat hisztogramjai közül melyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal?) Ha ráadásul ezek a hisztogramok szimmetrikusak is (a középső oszlop szerint), akkor elmondhatjuk, hogy módusz = medián = számtani közép. Ez a helyzet a 18. a) és b) feladatban.

FELADAT

19. Indokold meg, hogy a hisztogram szimmetriájából miért következik a (*) egyenlőség!

42

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP Ennek egy fontos példája a 18. a) feladat hisztogramja. Azért fontos, mert az alakja egy különleges görbe, amit a normális eloszlás görbéjének nevezünk. Pontosabban: a normális eloszlás görbéje nem egyetlen görbe, hanem görbék egész csoportja, amelyek függőleges vagy vízszintes irányú összenyomással vagy széthúzással keletkeznek egymásból. (Már korábban is találkoztunk azzal, hogy egy görbe megnevezése a görbék egész csoportját jelentette: ilyen volt a parabola.) a normális elos

e zlás görbéj

1073 1079

PÉLDA A (MEGKÖZELÍTŐLEG) NORMÁLIS ELOSZLÁSRA, AMELY

934

A

19. SZÁZADBAN HÍRESSÉ 5738 SKÓT KATONA MELLBŐSÉGE, AMELYET 1846-BAN PUBLIKÁLT ADOLPHE QUETELET.

VÁLT:

749

abszolút gyakoriság

658

7. ábra A normális eloszlás jellegzetes haranggörbéje

420

370

185 3 33

18 34

92

81 35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

50 45

21 46

4 47

1 48

mellbőség (hüvelykben)

Ha egy gyakorisági eloszlást szemléltető hisztogram a normális eloszlás görbéjére hasonlít, akkor azt mondjuk, hogy ez az eloszlás megközelítőleg normális (a megközelítőleg határozószót azonban gyakran – főleg a tudományos-népszerűsítő írásokban – elhagyjuk). A normális eloszlás görbéjéhez jövőre még visszatérünk.

KI KELL AZONBAN HANGSÚLYOZNUNK, HOGY NEM MINDEN SZIMMETRIKUS HALOMHOZ HASONLATOS HISZTOGRAM NEVEZHETŐ A NORMÁLIS ELOSZLÁS GÖRBÉJÉNEK. ERRE EGY JÓ PÉLDA A 18. b) FELADAT MÁS ALAKÚ HISZTOGRAMJA. A 18. FELADAT VALAMENNYI HISZTOGRAMJA SZIMMETRIKUS A MEDIÁN SZERINT, EZÉRT EZEKBEN A MINTÁKBAN:

medián = számtani közép.

(**)

(FONTOLD EZT MEG!) AZ ELSŐ KÉT SZIMMETRIKUS HALOMRÓL AZ IS ELMONDHATÓ, HOGY:

ADOLPHE QUETELET

módusz = medián = számtani közép. A 21. FELADATBAN NEM SZIMMETRIKUS HISZTOGRAMFORMÁKAT MUTATUNK BE, AMELYEKRE MÁR NEM IGAZ A (**) EGYENLŐSÉG. A GYAKORLAT AZONBAN AZT TÁMASZTJA ALÁ, HOGY AMIKOR A GYAKORISÁGI ELOSZLÁS CSAK ENYHÉN ASZIMMETRIKUS, AKKOR A MEDIÁN ÁLTALÁBAN (DE NEM MINDIG!) MEGKÖZELÍTŐLEG A MÓDUSZ–SZÁMTANI KÖZÉP SZAKASZ MÓDUSZHOZ KÖZELEBBI HARMADÁBAN HELYZKEDIK EL, TEHÁT

x¯ – Mo ≈ 3(x¯ – Me)

(***)

(1796–1874) EZ A BELGA CSILLAGÁSZ, MATEMATIKUS ÉS SZOCIOLÓGUS ALKALMAZTA ELŐSZÖR A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁSI MÓDSZEREKET A SZOCIOLÓGIÁBAN.

A KÜLÖNFÉLE ADATOK VIZSGÁLATA SORÁN MEGLEPETÉSSEL TAPASZTALTA, HOGY MILYEN

FELADAT

GYAKRAN FEDEZHETŐ FEL EZEKBEN

20. Ellenőrizd, hogy a (***) egyenlőség valóban kifejezi-e a módusz, a medián és a számtani közép közti összefüggést!

A NORMÁLIS ELOSZLÁS GÖRBÉJE.

43

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

FELADAT

21. Számítsd ki az alábbi hisztogramokkal adott minták móduszát, mediánját és számtani közepét! (Beszéljétek meg, hogy a b) és a d) esetben megkönnyíti-e a számítást, hogy a hisztogram a relatív gyakoriságokat szemlélteti!) Állapítsd meg, hogy az alábbi hisztogramok közül melyekre igaz megközelítőleg a (***) összefüggés! 50

a)

KARL PEARSON (1857–1936) A KORSZERŰ MATEMATIKAI 28

STATISZTIKA EGYIK MEGALAPOZÓJA.

AZ Ő NEVÉHEZ

43. OLDALON (***) ÖSSZEFÜGGÉS FELFEDEZÉSE. FŰZŐDIK A

18

16

OLVASHATÓ

10

9 4

b)

relatív gyakoriság (%)

1

14

relatív gyakoriság (%)

d)

10 8 6 4 2 0

3

2

4

5

17 16 15

4 6

5

7

8

2

6

3

7

4

8

10,3 2,9

5,9

5

8

9 10

12

5 1

c)

2

1

6

7

6

8

3

2

1 0,5 0,3 0,2

9 10 11 12 13 14 szélsebesség (m/s)

9 10 11 12 13

11,8 13,2 11,8 10,3

8,8 4,4

1,5

4,4 5,9 4,4 2,9 1,5

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 a beteg kora

44

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

2.5. A súlyozott számtani közép FELADAT

22. 30 tanuló írt matematikából témazárót. Nagyon meglepő eredménnyel zárult: minden lány kettest, minden fiú hármast kapott. a) Lehetséges-e, hogy a témazáró érdemjegyátlaga 2,7 volt? b) Mikor lenne ennek a témazárónak az érdemjegyátlaga pontosan 2,5? c) Hogyan függ az érdemjegyátlag a lányok számától? Pl. mit mondhatunk az érdemjegyátlagról, ha • a lányok lennének többségben; • a fiúk lennének többségben; • kétszer annyi lány lenne az osztályban, mint fiú?

KÉT

FELADAT EGY

TÉMAZÁRÓRÓL

–

NEM

VALÓDI, DE ENYHÉN VALÓSÁGHŰ

AZ ELŐZŐ FELADATTAL AZ VOLT A LEGFŐBB SZÁNDÉKUNK, HOGY TUDATOSÍTSD: AZ EREDMÉNY A LÁNYOK SZÁMÁTÓL FÜGG (PONTOSABBAN A LÁNYOK ÉS A FIÚK ARÁNYÁTÓL – 22. a FELADAT). MOST EGY HASONLÓ, DE A 22. FELADATBAN SZEREPLŐNÉL VALAMIVEL VALÓSÁGHŰBB PROBLÉMÁT SZERETNÉNK MEGOLDANI. MÉG MIELŐTT SZÁMOLNI KEZDENÉL, VÁLASZOLJ ERRE A KÉRDÉSRE: MIBEN KÜLÖNBÖZIK A 23. FELADAT a) KÉRDÉSE ELŐTTI INFORMÁCIÓ A 22. FELADAT a) KÉRDÉSE ELŐTTI INFORMÁCIÓJÁTÓL? FELADAT

23. Az osztálynak mind a 30 tanulója írt témazárót matematikából. A lányok érdemjegyeinek átlaga pontosan 2 volt, a fiúké pontosan 3. a) Mennyi volt az érdemjegyek átlaga az egész osztályban, ha a 30 tanulóból 9 a lány? b) Hogyan változna meg az a) kérdésre adott válasz, ha az osztályban 12 lány lenne? c) Írd fel azt az összefüggést, amely azt fejezi ki, hogy hogyan függ az osztály érdemjegyátlaga a lányok számától! (Továbbra is feltételezzük, hogy az osztály létszáma 30, a fiúk érdemjegyátlaga 3, a lányoké pedig 2.) Szerkeszd meg ennek a függvénynek a grafikonját (pl. táblázatkalkulátorral)! A KÖVETKEZŐ KÉRDÉSSEL UGYAN NÉMILEG ELTÉRÜNK A FEJEZET TÉMÁJÁTÓL, DE SAJNÁLNÁNK KIHASZNÁLATLANUL HAGYNI A c) FELADATBAN FELKÍNÁLT ÖSSZEFÜGGÉST.

d) Győződj meg róla a c) feladat megoldása alapján, hogy a lányok számának növekedésével az osztály érdemjegyátlaga csökken. Azt jelenti-e ez, hogy az osztály érdemjegyátlaga fordítottan arányos a lányok számával?

MEGOLDÁS

Az a) feladatban az érdemjegyátlag kiszámításához szükségünk van az összes érdemjegy összegének ismeretére. (Hangsúlyozzuk: nincs szükségünk az egyes érdemjegyek konkrét ismeretére, elég, ha tudjuk, mennyi az összegük.) A feladat információiból meg tudjuk állapítani, hogy mennyi volt • a lányok érdemjegyeinek összege A lányok érdemjegyeinek számtani közepe annyi, mint a lányok érdemjegyeinek összege (ezt jelöljük Sl-lel!) osztva a lányok számával (9-cel). A feladat feltételei alapján a lányok érdemjegyátlaga 2, tehát Sl = 2, ebből Sl = 2 . 9 = 18. (A) 9

45

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

• a fiúk érdemjegyeinek összege S Hasonló módon az f = 3 (a feladat szövegéből következik, hogy a fiúk száma 21) 21 egyenletből a fiúk érdemjegyeinek összege:

(B)

Sf = 21 · 3 = 63.

Az összes érdemjegy összege ezért Sl + Sf = 18 + 63 = 81, vagyis az egész osztály érdemjegyátlaga: 81 Sl + Sf = = 2,7. (C) 30 30

l abbó , m c Ha az osztályban a lányok átlagos testma gassága 174 cm, a fiúké pedig 182 182 cm. k ö m v e e t k n e z i 174 + g k , h ogy az osztály ö mé sszes tanulójának átlagtestmagassága 2 Hogy megértsük: a 23. a) feladat megoldásában hogy függ össze az egész osztály érdemjegyátlaga a fiúk és a lányok jegyátlagával, írjuk fel a (C) összefüggést olyan formában, hogy az Sl és az Sf helyébe az (A)-ban és (B)-ben leírt műveleteket írjuk be: 9 . 2 + 21 . 3 9 21 Sl + Sf .2+ . 3 = 2,7, = = érdemjegyátlag = 30 30 30 30 tehát: érdemjegy9 9 ⋅ ⋅ 2 + 3 átlag = 30 30 érdemjegya fiúk relatív érdemjegya lányok átlaguk átlaguk relatív × + gyakorisága × gyakorisága Az így kiszámított értéket (esetünkben a 2,7-et) a 2 és 3 súlyozott számtani közepének ne9 21 vezzük. A -ot és a -ot (tehát a 0,3-et és a 0,7-et) súlynak nevezzük. (Azt mondhatjuk, 30 30 9 21 hogy a 2 súlya , a 3-é pedig .) 30 30 Figyeld meg, hogy a súlyok összege 1! érték1 × s1 + érték2 × s2 + … + értékn × sn

Az

alakú műveletsorral már találkoztunk. Az s1, s2, …, sn súlyok olyan nem negatív számok, amelyek összege 1. Ilyen alakú volt pl.: • a 7. feladat előtt a (*) számtani közép kiszámítása: 3.0

2.1

4.3

3.8

6.9

2 . 10

0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 10 + 10 = 20 3 2 4 3 6 2 .3+ .8+ .9+ . 10 = 5,6 .0+ .1+ = 20 20 20 20 20 20

46

(1)

3 2 4 3 6 2 Ebben az esetben a 0, 1, 3, 8, 9 és 10 az egyes értékek, a , , , , az és 20 20 20 20 20 20 egyes értékek súlyai. • a 13. feladat megoldásában az egyszerűsített gyakorisági eloszlás számtani közepének kiszámítása: 1 4 9 3 7 4 3 2 + 137 . + 142 . + 147 . + 157 . + 162 . = 127 . + 132 . + 152 . 33 33 33 33 33 33 33 33 4746 (2) = 143,8 = 33 (Ebben és a következő bekezdésben az adatok és a hozzájuk tartozó súlyok felsorolását rád bízzuk.)

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

•

a 11. c) feladatban a (2) összefüggés a várható érték kiszámításakor: 6 . 3 + 10 . 2 – 20 . 2 = – 2 = – 1 . 36 36 36 36 18

(3)

A fenti számítások mindegyikének az eredménye súlyozott számtani középnek tekinthető. FELADAT

24. Fogalmazd meg az (1)–(3) számítások mindegyikére, hogy minek felelnek meg az egyes súlyok a feladat eredeti szövege szerint, és indokold meg, hogy miért egyenlő 1-gyel a súlyok összege ezekben a feladatokban!

Ha s1, s2, ..., sn rendre az adott s zámok súlya, akkor az x , x , ..., x n 2 1 számok súly ozott számtani közepe n s1 . x1 + s . x + . . . . 2 + sn x (azaz 2 si . xi ), n i =1 ahol a súlyok nem ne gatív számok, és összegük 1.

Σ

2.6. Nem minden átlag számtani közép Idézzük fel a számtani közép jellegzetes tulajdonságát: ha a minta összes adatát a számtani közepükkel helyettesítjük, akkor az adatok összege változatlan marad. Ez közvetlenül a számtani közép definíciójából következik: x + x + ... + xn ugyanazt jelenti, mint az x1 + x2 + ... + xn = n . x¯ az x¯ = 1 2 n

HA NEM ÉRTHETŐ SZÁMODRA EZ A TULAJDONSÁG, LAPOZZ VISSZA A 37. OLDALRA A SZÁMTANI KÖZÉPTŐL SZÁMÍTOTT ELTÉRÉSEK ÖSSZEGÉRŐL SZÓLÓ RÉSZHEZ!

(Érthető számodra ez a tulajdonság és az indoklása?)

ÍGY ALKALMAZTUK A SZÁMTANI KÖZÉP TULAJDONSÁGÁT A 23. FELADAT MEGOLDÁSÁBAN: MEG KELLETT HATÁROZNUNK A LÁNYOK ÉRDEMJEGYEINEK ÖSSZEGÉT, AMIHEZ ELÉG VOLT A LÁNYOK SZÁMÁRÓL ÉS AZ ÉRDEMJEGYÁTLAGUKRÓL SZÓLÓ INFORMÁCIÓ (TEHÁT ARRA NEM VOLT SZÜKSÉGÜNK, HOGY KÜLÖN-KÜLÖN ISMERJÜK A LÁNYOK ÉRDEMJEGYEIT).

Például: ha egy gyűjtésbe 625-en adakoztak, és összesen 975 € volt az adomány, akkor egy 975 = 1,56 €-nyi adakozás jut. Tehát ugyanennyi volna az adoadományozóra átlagosan 625 mány, ha a 625 adakozó mindegyike 1,56 €-val járulna hozzá. Ez esetben tehát a számtani közép a válasz arra a kérdésre, hogy milyen értékkel kellene helyettesíteni az egyes adakozók hozzájárulásait, hogy az adomány – tehát az összegyűjtött pénz mennyisége – ne változzék. Ez az összeg az átlagos hozzájárulás. Az átlagos szót ugyanígy értelmezzük más helyzetekben is: a cél az, hogy a különböző mennyiségértékeket (az esetünkben a hozzájárulás összegeit) egyetlen számmal helyettesítsük, és az eredmény ennek ellenére változatlan maradjon. FELADAT

25. Beszéljétek meg, hogy lehetséges-e hasonló módon értelmezni az átlagos szó jelentését pl. az átlagsebesség esetében!

Átlagos érték: ha ezzel h

s ad elyettesítjük eg y adott mennyiség össze akkor ugyan azt az eredményt kapjuk.

atát,

47

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP KÉT

FELADAT A BANKBETÉTRŐL

–

EGY MESEBELI ÉS EGY REÁLISABB

A KÖVETKEZŐ FELADATOKBÓL KIDERÜL, HOGY AZ ÁTLAGNAK NEM KELL MINDIG A SZÁMTANI KÖZÉPNEK LENNIE.

FELADATOK

AZ ELSŐ FELADATUNKBAN A SZÁMOK NEM TELJESEN FELELNEK MEG A VALÓSÁGNAK, VISZONT OLYANOK, HOGY KÖNNYEN SZÁMOLHASSUNK VELÜK, ÉS ÍGY A PROBLÉMA LÉNYEGÉRE ÖSZPONTOSÍTASSUNK.

26. Képzeljük el, hogy a bankbetétünk az 1. év végére megkétszereződött, és a következő évben megnyolcszorozódott. a) Hányszorosára nőtt az eredeti bankbetét a 2 év alatt? ÉRDEKELNE BENNÜNKET, HOGY ÁTLAGOSAN HÁNYSZOROSÁRA NŐTT EGY ÉV ALATT A BETÉTÜNK.

b) Beszéljétek meg, hogy ebben az esetben hogyan kell értelmezni az átlagosan szót. c)) Győződj meg róla, hogy a következő válasz helytelen: „A betét egy év alatt átlagosan az 5-szörösére nőtt”. NEM VOLT TELJESEN VÉLETLEN, HOGY AZ ELŐZŐ KÉRDÉSBEN AZ 5-ÖS SZÁMOT VÁLASZTOTTUK: AZ 5 A 2 ÉS A 8 SZÁMTANI KÖZEPE (AMELYEK AZT JELZIK, HOGY HÁNYSZOROSÁRA NŐTT A BETÉT AZ 1. ÉS A 2. ÉVBEN A FELADAT SZÖVEGE SZERINT). A c) KÉRDÉS TEHÁT ARRA FIGYELMEZTET, HOGY EBBEN AZ ESETBEN AZ ÁTLAGOS NÖVEKEDÉS NEM EGYENLŐ A SZÁMTANI KÖZÉPPEL.

d) Számítsd ki, hogy átlagosan hányszorosára nőtt a betét összege egy év alatt! A d) KÉRDÉSRE A VÁLASZT AZ ÉVES KAMATLÁB SEGÍTSÉGÉVEL ADJUK MEG.

e) Milyen kamatláb felel meg a feladatban megfogalmazott 1. és a 2. évi adatoknak (ha nem számolunk kamatadóval)? f) Mennyi lenne az évi átlagos kamatláb? A MÁSODIK TÖRTÉNETÜNK HASONLÓ LESZ AZ ELSŐHÖZ, DE AZ ADATOK EGY KISSÉ JOBBAN MEGKÖZELÍTIK A VALÓSÁGOT.

27. A bank növekedési betétet kínál 3 éves lekötéssel. Az első évben 2,5% a kamatláb, a másodikban 5%, a harmadikban 7,5%. Hány százalék ennek a betétnek az átlagos évi kamatlába (ha nem számolunk kamatadóval)? Győződj meg róla, hogy – ha kisebb mértékben is – az eredmény most is eltér a 2,5%, 5% és 7,5% számtani középarányosától!

NÉGY

FELADAT AZ

ÁTLAGSEBESSÉGRŐL

A KÖVETKEZŐ FELADATOK A MATEMATIKAI

28. a) Az első két órában 60 km/h, majd további két órán át 80 km/h sebességgel haladtunk. Mennyi volt az átlagsebességünk a négy óra alatt? b) Győződj meg róla, hogy az a) kérdésre adott válasz nem változik, ha a két kétórás szakaszt két más, de egyenlő hosszú szakaszra cseréljük, pl.: két négyórás vagy két háromórás szakaszra!

FELADATGYŰJTEMÉNYEK ÖRÖKZÖLDJEI KÖZÉ TARTOZNAK.

JAVASOLJUK, HOGY EMLÉKEZZ VISSZA A 25. FELADAT MEGVITATÁSÁBÓL AZ „ÁTLAGOS” SZÓ JELENTÉSÉRE.

48

29. Az út negyedét 60 km/h, a háromnegyedét 80 km/h sebességgel tettük meg. Meg szeretnénk állapítani a teljes út átlagsebességét. a) Még mielőtt hozzáfognál a számításhoz, becsüld meg, hogy az eredmény a 60 km/h-hoz (valahol a 60 és a 70 km/h között) vagy a 70 km/h-hoz lesz-e közelebb! b) Számítsd ki a teljes út átlagsebességét!

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP HA A 29–31.

30. Az út egyik felét 60 km/h, a másik felét 80 km/h sebességgel tettük meg. 60 + 80 Mekkora volt a teljes út átlagsebessége? Vigyázz, a = 70 km/h helytelen 2 válasz lenne!

FELADATOK ÁLTALÁNOS MEGFOGALMAZÁSA EGY KISSÉ NEHÉZNEK TŰNIK, AKKOR VÁLASSZ VALAMILYEN KONKRÉT ÉRTÉKET!

(TEHÁT 29. FELADATBAN VALAMILYEN KONKRÉT IDŐT, PL. 1 ÓRÁT, A 29. ÉS 30. FELADATBAN PEDIG EGY-EGY KONKRÉT TÁVOLSÁGOT),

31. Az út első harmadát 60 km/h, a kétharmadát 80 km/h sebességgel tettük meg. Mekkora volt a teljes utunk átlagsebessége? Még mielőtt hozzáfognál a számításhoz, beszéljétek meg közösen, hogy ez az eredmény kisebb vagy nagyobb lesz-e, mint a 30. feladat eredménye!

PL. A

MAJD GYŐZŐDJ MEG RÓLA: AZ EREDMÉNY NEM FÜGG ATTÓL, HOGY

A 30. FELADAT MEGOLDÁSA

MILYEN KONKRÉT ÉRTÉKET VÁLASZTOTTÁL (TEHÁT

Hogy a levezetésünk áttekinthetőbb legyen, először a feladatot egyszerűbb formában írjuk fel: feltételezzük, hogy ismerjük az út hosszát – az egyszerűség kedvéért legyen pl. 100 km, majd megvizsgáljuk, hogy a megoldás módja alkalmazható-e az eredeti feladatra is.

UGYANAZT KAPOD MÁS ÉRTÉKEKRE IS)!

Az átlagsebesség a v=

s a megtett teljes út = t az út megtételéhez szükséges idő

ELŐSZÖR

LEGYEN

A MEGTETT ÚT

100

KM!

hányadossal egyenlő, amihez az út hosszát (esetünkben ez 100 km) és az út megtételéhez szükséges időt kell ismernünk. • Az út első felét (tehát s = 50 km-t) v = 60 km/h sebességgel tettük meg. Ezeket az értés keket a v = képletbe helyettesítve kapjuk, hogy t 50 50 60 = , ebből t = h (A) t 60 (azaz 50 perc). • Az út másik felére felírhatjuk, hogy 50 50 80 = , amiből t = = 0,625 h t 80 (azaz 0,625 · 60 = 37,5 perc). Tehát az első 50 km-t

(B)

50 50 óra, a másik 50 km-t óra alatt tettük meg. 60 80

Hogy lássuk, mi köze a végeredménynek a 60 km/h és 80 km/h sebességekhez és a megtett 50 50 és az törteket nem fogjuk sem egyszerűsí100 km-hez, a további számításokban az 60 80 teni, sem tizedestört-alakban fölírni. 50 50 1 1 A 100 kilométeres utat tehát + = 50 . + 60 80 60 80 lagsebességünk:

v=

teljes út 100 100 = = 50 50 1 1 teljes idő + 50 . + 60 80 60 80

=

2 1 1 + 60 80

óra alatt tettük meg, ezért az át-

= 68,571 4... ≈ 69 km/h volt

(C)

100 TÖRT ÉRTÉKÉRE VAGYUNK KÍVÁNCSIAK, AKKOR A ZÖLDDEL KIEMELT LÉPÉSEK FÖLÖSLEGESEK. CSUPÁN AZÉRT 50 50 + 60 80 TÜNTETTÜK FEL EZEKET, HOGY NYILVÁNVALÓ LEGYEN AZ ÖSSZEFÜGGÉS A KONKRÉT ÉRTÉKEKET HASZNÁLÓ (C) LEVEZETÉS ÉS AZ 50. OLDALON OLVASHATÓ ÁLTALÁNOS LEVEZETÉS KÖZÖTT. HA CSUPÁN A

49

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

MOST

PEDIG

ÁLTALÁNOSAN!

Próbáljuk meg alkalmazni az egyszerűsített eljárásunk tapasztalatait a feladat általános megoldásában! Figyeljük meg, hogyan változik meg az (A), (B) és (C) számítás, ha a két 50 kilométeres útszakaszt két S hosszúságú szakasszal helyettesítjük: S • Az út első felét óra alatt tesszük meg. (Az (A) számításban az 50 helyébe S kerül.) 60 S • Az út másik felét óra alatt tesszük meg, 80 S S 1 1 • tehát a 2 · S hosszúságú teljes utat + =S. + óra alatt tesszük meg, tehát 60 60 60 80 a teljes útra vonatkoztatható átlagsebesség: teljes út teljes idő

=

2.S 2.S 2 = = = 68,571 4... ≈ 69 km/h. S S 1 1 1 1 + + S. + 60 80 60 80 60 80

(D)

Figyeld meg a (D) számítás zölddel kiemelt részében, hogy az eredmény nem függ a megtett út hosszától, hiszen az S érték kiegyszerűsödött. 2 ≈ 69 km/h volt (és ez nem függ a megtett út hosszáFelelet: az átlagsebesség 1 1 tól). + 60 80

A 26–31. feladatokban kiszámított átlagok többségének külön megnevezése van. Ezek némelyikével már találkozhattál (pl. a 29. feladat eredménye a 60 és 80 súlyozott számtani közepe volt), a többit most – csupán mint érdekességet – eláruljuk: általános definíció A 26. d) feladat eredménye a 2 és a 8 mértani közepe

Az x1, x2, …xn pozitív számok mértani közepe:

A 30. feladat eredménye a 60 és a 80 harmonikus közepe

Az x1, x2, …xn pozitív számok harmonikus közepe: n 1 1 1 + + ... + x1 x2 xn

x1 . x2 . ... . xn

A 31. feladat eredményének is van megnevezése: a 60 és a 80 súlyozott harmonikus közepe. Ebből is látszik, hogy sokféle átlag létezik. A feladat szövegéből azonban sokszor nem derül ki azonnal, hogy az adott helyzetben melyik átlaggal van dolgunk. Ezért az átlagszámításra vonatkozó feladatokban nem helyes kiválasztani a megfelelő képletet, és ebbe behelyettesíteni, sokkal célravezetőbb az a módszer, amelyet a 26–31. feladatokban alkalmaztunk: helyesen értelmezni, hogy az adott helyzetben mit jelent az átlag fogalma, és ez alapján kiszámítani a keresett értéket.

2.7. Egyéb feladatok

50

FELADATOK

A

32. Melyik középértékkel kapcsolatos ez az információ: a módusszal, a mediánnal vagy a számtani középpel?

A FÉNYCSÖVEKRŐL SZÓLÓ TÁJÉKOZTATÓBAN EZ ÁLL: A NÉVLEGES ÉLETTARTAM AZ AZ ÓRÁKBAN KIFEJEZETT IDŐTARTAM,

FÉNYFORRÁSOK ÉLETTARTAMA

AMEDDIG EGY ÉGŐNEK VAGY EGY FÉNYCSŐNEK ÜZEMKÉPESNEK KELL MARADNIA.

EZT AZ IDŐTARTAMOT LABORATÓRIUMI KÍSÉRLETEKKEL

ÁLLAPÍTJÁK MEG: EZ AZ AZ IDŐPONT, AMELY ALATT A TESZTELT MINTÁK FELE KIÉG, MIKÖZBEN A MÁSIK FELE TOVÁBB VILÁGÍT.

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

33. a) Mit mondhatunk annak a statisztikai mintának a móduszáról, mediánjáról és számtani közepéről, amelyben a számoknak több, mint fele 3? b) Megváltozik-e a válasz, ha tudjuk, hogy a minta elemei egy matematikai témazáró dolgozat érdemjegyei? (A feladat tehát így szól: A tanulók többsége a témazáróra 3-ast kapott. Mit mondhatunk a móduszról, a mediánról és a témazáróra kapott öszszes érdemjegy számtani közepéről?) 34. Az emberek többségének az átlagosnál több lába van. 35. A skótok és az angolok szívesen bosszantják egymást. A skótok azt állítják, hogy amikor egy ostoba skót Angliába költözik, akkor mindkét országban megnő az intelligenciaszint. a) Mit szeretnének ezzel a skótok kifejezni az angolok átlagos intelligenciaszintjéről? b) Hogy fogalmaznak meg egy hasonló állítást az angolok arról, amikor egy skót Angliába költözik?

EZ A KÉT FELADAT A TEACHING STATISTICS CÍMŰ FOLYÓIRATBÓL VALÓ. MINDKETTŐ VICCESEN KÖZELÍTI MEG A PROBLÁMÁT, ÉS OLYAN KIJELENTÉSEKET TARTALMAZNAK, AMELYEK ELSŐ RÁNÉZÉSRE PARADOX MÓDON HATNAK.

MINDKÉT ESETBEN AZT

KÉRDEZZÜK:

HOGY LEHETSÉGES EZ?

JÁTÉK

VAKKOCKÁKKAL

(A XXIII.

FELADAT

BERNOULLI ARS CONJECTANDI-JÁBÓL)

A MÚLTBAN VAKKOCKÁKNAK NEVEZTÉK AZT A HAT KOCKÁBÓL ÁLLÓ KÉSZLETET, AMELYEKKEL A VÁSÁRI MUTATVÁNYOSOK „SZÉDÍTETTÉK” A KÖZÖNSÉGET. EZEK EGYSZERŰ KOCKÁK VOLTAK AZZAL A KÜLÖNBSÉGGEL, HOGY A HAT LAPJUK KÖZÜL ÖT TELJESEN ÜRES VOLT. AZ EGYIK KOCKA HATODIK OLDALÁN 1-ES, EGY MÁSIKON 2-ES, …, A HATODIKON 6-OS SZÁM VOLT, TEHÁT AZ ÖSSZES SZÁM ÖSSZEGE 21 VOLT. EZEK A CSALÓK, AKIK ARRA TÖREKEDTEK, HOGY A VÁSÁRRA LÁTOGATÓKNAK ELCSALJÁK A PÉNZÉT, KIRAKTÁK A KOCKÁKAT AZ ALÁBBI TÁBLÁZATTAL EGYÜTT, AMELYEN FELTÜNTETTÉK, HOGY A KOCKÁKKAL DOBOTT, 1-TŐL 21-IG TERJEDŐ ÖSSZEGEKKEL MENNYIT NYERHETNEK. SZÁM

NYEREMÉNY

SZÁM

NYEREMÉNY

SZÁM

NYEREMÉNY

1

1 pfennig

8

1 pfennig

15

3 pfennig

2

1 pfennig

9

2 pfennig

16

3 pfennig

3

1 pfennig

10

2 pfennig

17

4 pfennig

4

1 pfennig

11

2 pfennig

18

5 pfennig

5

1 pfennig

12

2 pfennig

19

12 pfennig

6

1 pfennig

13

2 pfennig

20

45 pfennig

7

1 pfennig

14

3 pfennig

21

90 pfennig

AKI SZERENCSÉT AKART PRÓBÁLNI, FIZETETT A MUTATVÁNYOSNAK 1 PFENNIGET, ÉS A 6 KOCKÁT A JÁTÉKASZTALRA DOBTA. HA AZT AZ ÖSSZEGET DOBTA, AMIRE FOGADOTT, AKKOR ELVIHETTE AZ ÍGÉRT NYEREMÉNYT, ÉS A SAJÁT TÉTJÉT IS VISSZAKAPTA. HA EGYIK KOCKÁN SEM JELENT MEG SZÁM, AKKOR ELVESZÍTETTE A TÉTJÉT IS. ELLENKEZŐ ESETBEN MINDIG VISSZAKAPTA A TÉTJÉT.

Hieronymus Bosch (kb. 1450–1516): A vásári mutatványos

FELADAT

36. Mennyi a várható érték akkor, ha a játékos a) a 21-re; b) a 4-re; c) a 14-re fogadott? Kinek előnyös ez a játék? Hogyan kell megváltoztatni a fenti három esetben a nyeremény összegét, hogy egyformán kedvező legyen a játékos és a mutatványos számára is?

JAKOB BERNOULLI (1654–1705) J. Bernoulli Ars Conjectandi (A találgatás művészete) című művét a matematikatörténet a kombinatorika és a valószínűség-számítás egyik alapműveként tartja számon.

SVÁJCI MATEMATIKUS

51

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP 100 000

ÉS VÁRHATÓ ÉLETTARTAM

HALANDÓSÁGI TÁBLÁZATTAL (VAGY A TOVÁBB ÉLŐK TÁBLÁZATÁVAL) MÁR TAVALY IS TALÁLKOZTUNK. AZ ÉLŐ LAKOSOKRÓL ÉS AZ ELHALÁLOZÁSOK SZÁMÁRÓL SZÓLÓ VALÓDI INFORMÁCIÓK ALAPJÁN MEGKONSTRUÁLHATÓ EGY NAGYOBB EMBERCSOPORTRA (ÁLTALÁBAN

100 000 ÉLVESZÜLETÉSRE) VONATKOZTATHATÓ MODELL, AMELY AZT SZEMLÉLTETI, HOGY EGY ADOTT ÉVBEN SZÜLETETTEK VÁRHATÓAN HÁNY ÉVIG FOGNAK ÉLNI.

A TÁBLÁZAT ARRÓL ÁRULKODIK, HOGY AZ ADOTT NÉPCSOPORTBÓL VÁRHATÓAN HÁNYAN ÉLNEK MAJD 1 ÉVIG, 2 ÉVIG STB. A 8. ÁBRA GRAFIKONJA AZT SZEMLÉLTETI AZ ELHALÁLOZÁSOK ADATAINAK TÁBLÁZATA ALAPJÁN, HOGY EGY ADOTT ÉVBEN SZÜLETETTEK MILYEN KORT ÉLNEK MEG (FÉRFIAK ÉS NŐK EGYÜTT, SZLOVÁK KÖZTÁRSASÁG/ SLOVENSKÁ REPUBLIKA, 2010). AZ 1. TÁBLÁZAT 5-ÉVES IDŐSZAKOKRA BONTVA KÖZLI A 100 000 SZÜLETÉSRE JUTÓ ÉLŐK SZÁMÁT. ÉLETKOR

ÉLŐK SZÁMA

ÉLETKOR

ÉLŐK SZÁMA

ÉLETKOR

az élő személyek száma

ÁTLAGOS

95 000 90 000 85 000 80 000 75 000 70 000 65 000 60 000 55 000 50 000 45 000 40 000 35 000

ÉLŐK

30 000

SZÁMA

25 000

0

100 000

35

98 025

70

72 183

20 000

5

99 316

40

97 366

75

60 786

15 000

10

99 236

45

96 293

80

45 408

10 000

15

99 147

50

94 465

85

27 029

5 000

20

98 975

55

91 379

90

10 385

0

25

98 701

60

87 025

95

1 720

30

98 421

65

80 580

100+

57

1. táblázat Az élő személyek száma az 5-éves időszakok végén. Forrás: a SZK/SR Statisztikai Hivatala

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100 életkor

8. ábra Egy adott kort betöltött személyek száma

(a 100+ szimbólum a 100 évesek és annál idősebbek korcsoportját jelöli.)

FELADATOK

37. A 8. ábra grafikonjának mely pontja szemlélteti a táblázatban kiemelt adatot? 38. Határozd meg a táblázat alapján, hogy 100 000 újszülött közül hányan élnek a) legalább 35 évig; b) legfeljebb 75 évig; c) legalább 65 és legfeljebb 75 évig, majd írd le, hogy miképp lehet ezeket az adatokat a 8. ábra grafikonján kijelölni! VEGYÜK ÉSZRE, HOGY AZ ÉLETTARTAM JELLEMZŐEN VÉLETLEN JELENSÉG. EGY-EGY KONKRÉT SZEMÉLYRŐL NEM TUDJUK BIZTOSAN MEGMONDANI, HOGY MEDDIG FOG ÉLNI, DE ELMONDHATJUK, HOGY EGY-EGY LEHETŐSÉGNEK MEKKORA A VALÓSZÍNŰSÉGE (PL. MENNYI A VALÓSZÍNŰSÉGE ANNAK, HOGY LEGALÁBB 65 ÉVIG FOG ÉLNI, VAGY LEGALÁBB 50 ÉS LEGFELJEBB 65 ÉVIG FOG ÉLNI). A VALÓSZÍNŰSÉG KISZÁMÍTÁSÁHOZ SOK SEGÍTSÉGET NYÚJTHATNAK A HALANDÓSÁGRÓL SZÓLÓ TÁBLÁZATOK, AMELYEK A LEHETŐ LEGPONTOSABBAN IGYEKEZNEK TÜKRÖZNI EGY ADOTT POPULÁCIÓ HALANDÓSÁGI ADATAIT. EZÉRT AKKOR KÖZELÍTJÜK MEG LEGJOBBAN A VALÓSÁGOT, HA ENNEK A TÁBLÁZATNAK AZ ADATAIBÓL SZÁMÍTJUK KI EGY ADOTT KORCSOPORT HALANDÓSÁGÁNAK

A „MEDDIG FOGUNK ÉLNI?” KÉRDÉSRE ADOTT

VALÓSZÍNŰSÉGÉT. VÁLTOZNAK.

FELELETRŐL AKKOR LESZ

TUDATOSÍTANUNK KELL AZONBAN, HOGY A HALANDÓSÁG OKAI FOLYAMATOSAN EZÉRT A HALANDÓSÁG TÁBLÁZATAIT ÉVENTE PONTOSÍTJÁK.

VILÁGOSABB ELKÉPZELÉSÜNK, HA MEGÁLLAPÍTJUK, HOGY

39. Mennyi a valószínűsége a halandósági táblázat alapján, hogy egy ember a) legalább 65 évig; b) legfeljebb 75 évig; c) legalább 35 és legfeljebb 75 évig fog élni?

MENNYI AZ EGYES ESETEK VALÓSZÍNŰSÉGE. SZÓ A

ERRŐL LESZ 41. FELADATBAN.

52

40. A 8. ábra grafikonja segítségével becsüld meg, hogy hány éves kort lehet megélni a) 75%, b) 50%, c) 15% valószínűséggel!

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

41. A táblázat 100 000 elemű statisztikai mintáját az élettartam alapján osztályokba akarjuk sorolni. A választott osztályok: 〈0 év, 10 év〉, 〈10 év, 20 év〉, …, 〈80 év, 90 év〉, 90+ (= 90 év és több).

IDÉZZÜK FEL A STATISZTIKA SZAKKIFEJEZÉSEIT: ESETÜNKBEN A 100 000 ÉLVE SZÜLETETT JELENTI A STATISZTIKAI MINTÁT, AZ ISMÉRV AZ ÉLETTARTAM (EGÉSZ ÉRTÉKEKRE LEFELÉ KEREKÍTVE).

a) Határozd meg az egyes osztályok gyakoriságát, és szemléltesd oszlopdiagrammal! (A diagram szerkesztéséhez használj táblázatkalkulátort!) Magyarázd meg, hogy miképp lehet ezeket a gyakoriságokat szemléltetni a 8. ábra grafikonján! b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy személy élettartama az 〈50 év, 60 év〉 intervallumba fog esni? c) Egészítsd ki a mondatot: A megszerkesztett oszlopdiagramból kiderül, hogy a legvalószínűbb élettartam ... EGY FONTOS ADAT A SZÜLETÉSKOR VÁRHATÓ ÉLETTARTAM, AMELYNEK KISZÁMÍTÁSÁHOZ A HALANDÓSÁG TÁBLÁZATAIBÓL INDULNAK KI. A FELELET KERESÉSEKOR KÉT ADATBÓL INDULHATUNK KI: • A SZÜLETÉSKOR VÁRHATÓ ÁTLAGOS ÉLETTARTAM AZ ÉLVE SZÜLETETTEK HALÁLOZÁSI ÉLETKORÁNAK ÁTLAGA; • A VALÓSZÍNŰ ÉLETTARTAM AZ AZ ÉLETKOR, AMELYET AZ ÉLVE SZÜLETETTEK FELE ELÉR.

42. a) Az átlagos és a valószínű élettartam is valójában a 41. feladatban szemléltetett statisztikai minták egyfajta középértékei. (A 100 000 élve született jelenti a statisztikai minta elemeit, az ismérv pedig az élettartamuk.) Milyen középértékek ezek? EMLÉKEZZÜNK VISSZA: A KÖZÉPÉRTÉKEKHEZ TARTOZIK A MEDIÁN, A MÓDUSZ ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP.

b) Becsüld meg a 8. ábra grafikonja alapján a születéskor várható időtartamot! c) Az átlagos élettartam megbecsüléséhez használd fel a 41. feladat diagramját! A 72. C) FELADAT EREDMÉNYÉT AZ (OSZTÁLYOKRA BONTOTT) EGYSZERŰSÍTETT MINTÁBÓL NYERTÜK, EZÉRT ENNEK NEM KELL PONTOSAN MEGEGYEZNIE AZ EREDETI ÁTLAGOS ÉLETTARTAMMAL. VÁRHATÓ AZONBAN, HOGY A KÜLÖNBSÉG ELENYÉSZŐ LESZ.

d) Az átlagos és a valószínű élettartam kettő a három középérték (módusz, medián, számtani közép) közül. Valamelyik korábbi feladatban a harmadikkal is találkoztunk. Melyik feladatról, melyik középértékről van szó, és mennyi volt ez az érték? e) Ellenőrizd, hogy az alábbi szöveg a valószínű élettartam leírása-e: „ez az az élettartam, amelynek elérése egy újszülött számára ugyanolyan valószínű, mint hogy ezt az életkort nem éli meg” (tehát az adott élettartam elérésének esélye 1 : 1).

53

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

AZ ÁTLAGOS ÉS A VALÓSZÍNŰ ÉLETTARTAM A FELELET ARRA A KÉRDÉSRE, HOGY „HÁNY ÉV VAN MÉG HÁTRA AZ ÚJSZÜLÖTT ÉLETÉBŐL?” HASONLÓAN KERESHETNÉNK A VÁLASZT ARRA A KÉRDÉSRE IS, HOGY „HÁNY ÉV VAN HÁTRA EGY X-ÉVES SZEMÉLY ÉLETÉBŐL?” EZZEL FÜGG ÖSSZE AZ X-ÉVES EMBER ÁTLAGOS ÉS VALÓSZÍNŰ ÉLETTARTAMÁNAK FOGALMA. FELADAT

43. a) Fogalmazd meg • az átlagos élettartam x éves korban (az x éves személy élettartamának esélyei); • a valószínű élettartam x éves korban fogalmak meghatározását! b) Az x éves korúak átlagos élettartamát és valószínű élettartamát ugyanúgy, mint az élve születettek esetében a halandósági táblázatok segítségével számíthatjuk ki. Mindkét érték egy-egy középérték, amely a 41. feladat statisztikai mintájával függ össze. Határozd meg ezt az új statisztikai mintát és ismérvet, amit ebben az esetben vizsgálunk! c) Becsüld meg az 50 évesek átlagos és valószínű élettartamát! d) Határozd meg, hogy igaz-e a következő állítás: „Az x évesek átlagos időtartamát úgy számítjuk ki, hogy először meghatározzuk az összes olyan személy átlagos életkorát, akik megérték az x éves kort, majd ebből az értékből kivonunk x-et.” Feleleted indoklását beszéljétek meg közösen!

AZ ÁTLAGOS ÉS A VALÓSZÍNŰ ÉLETTARTAM KÉT KÜLÖNBÖZŐ MÓDON AD VÁLASZT A VÁRHATÓ ÉLETTARTAM KÉRDÉSÉRE. A KETTŐ KÖZÖTTI KÜLÖNBSÉGET (TEHÁT MAI KIFEJEZÉSEKKEL ÉLVE: A SZÁMTANI KÖZÉP ÉS A MEDIÁN KÖZTI KÜLÖNBSÉGET) VALÓSZÍNŰLEG CHRISTIAN HUYGENS TUDATOSÍTOTTA ELSŐKÉNT 1669-BEN. (TŐLE SZÁRMAZIK A VALÓSZÍNŰ ÉLETTARTAM LEÍRÁSÁNAK GONDOLATA IS, AMELYET A 42. e) FELADATBAN ALKALMAZTUNK.) A VÁRHATÓ ÉLETTARTAMMAL JOHN GRAUNT NATURAL AND POLITICAL OBSERVATIONS MADE UPON THE BILLS OF MORTALITY (TERMÉSZETES ÉS POLITIKAI MEGFIGYELÉSEK AZ ELHALÁLOZOTTAK LISTÁI ALAPJÁN CÍMŰ KÖNYVÉNEK ELOLVASÁSA UTÁN KEZDETT EL FOGLALKOZNI 1662BEN. AZ EMLÍTETT KÖNYVNEK A STATISZTIKA ÉS A DEMOGRÁFIA TÖRTÉNETÉBEN MEGHATÁROZÓ SZEREPE VAN. GRAUNT EBBEN A KÖNYVBEN PUBLIKÁLT ELŐSZÖR TÁBLÁZATOKAT A HALÁLOZÁSRÓL. (EZEK MÉG CSAK HOZZÁVETŐLEGES BECSLÉSEKEN ALAPULTAK. AZ ELSŐ, MATEMATIKAI MÓDSZEREKRE ÉPÜLŐ TÁBLÁZATOKAT EDMUND HALLEY ÁLLÍTOTTA ÖSSZE 1693-BAN. EZEKRŐL MÁR TAVALY EMLÍTÉST TETTÜNK.) AZ ÁTLAGOK ALKALMAZÁSÁVAL GRAUNT A NÉPESSÉGFEJLŐDÉS TÖRVÉNYSZERŰSÉGEIT IGYEKEZETT FELTÁRNI. KÖNYVE TÖBB MATEMATIKUST IS ARRA ÖSZTÖNZÖTT, HOGY HASONLÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSA SORÁN A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ESZKÖZEIHEZ NYÚLJANAK.

A

SZÜLETÉSSZÁMOK ALAKULÁSA A

20.

SZÁZADBAN

AZ ALÁBBI HISZTOGRAMOK EGY OLYAN CIKKBŐL SZÁRMAZNAK, AMELY AZ OROSZORSZÁGI SZÜLETÉSSZÁMOK VÁLTOZÁSÁRÓL SZÓL. AZT SZEMLÉLTETIK, HOGY AZ 1905-BEN SZÜLETETT (ELSŐ HISZTOGRAM), AZ 1915-BEN, 1925-BEN, 1935-BEN, 1945-BEN ÉS 1955-BEN SZÜLETETT NŐKNEK HÁNY GYEREKÜK SZÜLETETT 50 ÉVES KORUKIG. TEHÁT PL. A 1905-BEN SZÜLETETTEK 14,8%-ÁNAK VOLT HÁROM GYERMEKE (AKIK 1955-IG SZÜLETTEK). 1905-ben született nők

10,4

13

%

0

1

16,5

14,8 12,2

16,5 9,6

1925-ben született nők 29,7

22,7 19,3

22,9

11,8 7

2 3 4 5 6 gyermekszám

54

1915-ben született nők

10,9

%

7

16,8 7,6 4,2

0

1

16,1

12,7

2 3 4 5 6 gyermekszám

6,7

7

8,5

%

4,2 0

1

2,5 3,4

2 3 4 5 6 gyermekszám

7

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP 1935-ben született nők

1945-ben született nők

1955-ben született nők 47,2

42,7

39,3

30,1 25,7

23,9 14,6 9,4 %

5,1 3,4 0

1

% 8,4

% 7,6 3,5

3,5 2,1 0,7 1,3

1,7 2,6

2 3 4 5 6 gyermekszám

13,2

11,2

7

0

1

2 3 4 5 6 gyermekszám

7

0

1

1,4 0,7 0,7

2 3 4 5 6 gyermekszám

7

FELADATOK

44. a) Fogalmazd meg a hisztogramok alapján a gyerekszámban beállt változásokat! b) Először határozd meg minden hisztogram esetére a móduszt, majd becsüld meg a medián és a számtani közép értékét! Ezt követően számítsd ki a mediánt és a számtani közepet! c) Vitassátok meg közösen, hogy a kiszámított középértékeknek mely jellemzőjét (esetleg milyen más adatokat) használnátok fel a feladat a) részében megfogalmazottak alátámasztására! EZEKBEN A HISZTOGRAMOKBAN NEMCSAK AZOK A NŐK TARTOZNAK A „7 GYERMEK” OSZTÁLYBA, AKIKNEK 7 GYERMEKÜK, HANEM AZOK IS, AKIKNEK 7-NÉL TÖBB GYERMEKÜK VOLT. (TEHÁT AZ OSZTÁLY PONTOSABB MEGNEVEZÉSE „7 VAGY TÖBB GYERMEK” VOLNA, VAGY AZ ISMERT SZIMBÓLUMMAL: 7+.) ENNEK AZ AZ OKA, HOGY (AZ ELSŐ HISZTOGRAM KIVÉTELÉVEL) KEVÉS AZ OLYAN NŐ, AKINEK 7 VAGY 7-NÉL TÖBB GYERMEKE VAN, ÉS HA EZEKET KÜLÖN OSZLOPOKKAL SZEMLÉLTETNÉNK, FÖLÖSLEGESEN MEGNÖVELNÉNK AZ OSZLOPOK SZÁMÁT. TEHÁT A „7 VAGY TÖBB GYERMEK” OSZTÁLY REPREZENTÁNSAKÉNT A 7-EST TEKINTJÜK (VAGYIS ÚGY SZÁMOLUNK, MINTHA AZ ÖSSZES NŐNEK, AKI EBBE AZ OSZTÁLYBA TARTOZIK, 7 GYERMEKE LENNE). MIVEL KEVÉS OLYAN NŐ VAN, AKINEK 7-NÉL TÖBB GYERMEKE LENNE, EZ GYAKORLATILAG NEM BEFOLYÁSOLJA A SZÁMÍTÁS EREDMÉNYÉT (ESETÜNKBEN A SZÁMTANI KÖZÉP ÉRTÉKÉT).

d) Próbálkozzatok meg az adatgyűjtéssel és -feldolgozással! Vizsgáljátok meg, hogy mi volt a helyzet a gyermekszámokkal a múltban Szlovákiában! Tudjátok meg az iskolátok minél több diákjától, hogy a szüleiknek, nagyszüleiknek, esetleg dédszüleiknek hány testvére volt, és – évtizednyi pontossággal – mikor született az ő édesanyjuk! (Vigyázat, azt tudatosítani kell, hogy ezzel a módszerrel nem szerzünk adatokat a gyermektelen családokról!) A megszerzett adatokat szemléltessétek grafikusan, és beszéljétek meg az eredményeket!

A

MUNKANÉLKÜLISÉGI RÁTA

AZT FEJEZI KI, HOGY A MUNKANÉLKÜLIEK EGY ADOTT RÉGIÓBAN (PL. EGY JÁRÁSBAN, MEGYÉBEN, A MUNKAERŐÁLLOMÁNYNAK HÁNY

%-ÁT TESZIK KI:

munkanélküliségi ráta (%-ban) =

SZLOVÁKIÁBAN)

munkanélküliek száma . 100 munkaerőállomány



45. Az 56. oldal grafikonja azt szemléleti, hogy mekkora volt a munkanélküliségi ráta a SZK egyes kerületeiben és egész Szlovákiában 2011 júliusában. A kék oszlopban olvasható szám a munkanélküliek (tehát a munkahelyre pályázók) számát fejezi ki az egyes régiókban, amiből a munkanélküliségi rátát kiszámították. a) Győződj meg róla, hogy a Szlovák Köztársaság munkanélküliségi rátája nem az egyes kerületek munkanélküliségi rátáinak számtani közepe! b) Hogyan lehetséges az, hogy a Besztercebányai kerületben/Banskobystrický kraj) magasabb a munkanélküliségi ráta, mint az Eperjesiben/Prešovský kraj, holott az Eperjesi kerületben több a munkanélküli, mint a Besztercebányaiban? c) Milyen összefüggés van az országban levő munkanélküliek száma és az egyes kerületekben levő munkanélküliek száma közt?

A MUNKAERŐÁLLOMÁNYT AZ ÖSSZES OLYAN, 15. ÉLETÉVÉT BETÖLTÖTT SZEMÉLY ALKOTJA, AKI A CIVIL SZEKTORBAN DOLGOZIK, MUNKANÉLKÜLI VAGY A FEGYVERES ERŐK TAGJA.

55

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP

Munkanélküliségi ráta (az SZK kerületei szerint 2011 júliusában, %-ban) A teljes munkaerőállományból 20,49 20,54 20,87 kiszámított, nyilvántartott munkanélküliségi ráta

14,48 9,46 10,35

14,04

31 389

40 452

48 244

79 198

73 859

66 048

5,68

27 913

SR

12,45

19 204

386 307

d) Magyarázd meg, hogy milyen összefüggés van a SZK munkanélküliségi rátája (14,18%) és az egyes kerületek munkanélküliségi rátái közt! Magyarázatodat támaszd alá számítással!

BA

TT

TN

ZA

NR PO

KE

BB

NÉPSŰRŰSÉG

A BENELUX HÁROM ORSZÁG: BELGIUM, HOLLANDIA ÉS LUXEMBURG KÖZÖS MEGNEVEZÉSE. A TÁBLÁZAT AZ EGYES ORSZÁGOK TERÜLETÉT ÉS NÉPSŰRŰSÉGÉT TARTALMAZZA. (NÉPSŰRŰSÉG = NÉPESSÉG OSZTVA 2 2 A km -BEN ADOTT TERÜLETTEL, TEHÁT AZ 1 km RE ESŐ LAKOSOK SZÁMA.) TERÜLET 2

NÉPSŰRŰSÉG

(km )

(népesség/km2)

Belgium

30 528

355

Hollandia

41 528

401

2 586

198

Luxemburg

46. A közölt adatokból számítsd ki a Beneluxállamok együttes népsűrűségét! 47. A 46. feladat eredményét az egyes népsűrűségek súlyozott számtani közepeként is értelmezhetjük. Mely számok jelentik a súlyokat? Mit fejeznek ki ebben az esetben a súlyok?

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP – EREDMÉNYEK 

1. x = 3 2. 5 (a nagyság szerint rendezett minta 46. értéke) xn + xn +1 xk + xk + 1 2 2 ~ ~ ~ ~ 3. a) x = xk, azaz x = xn + 1 . b) x = , azaz x = . 2 2 2 6. Minden véges mintában igaz a b) és a c) állítás. Ellenpélda az a) és a d) állításra: a 0, 1, 1, 2 minta. 543 7. = 5,967... 91 16,83 26,18 28,08 26,45 9. Az 1, 2, 3, 4, 5 érdemjegyek relatív gyakoriságai rendre: = 0,168 3, = 0,261 8, = 0,280 8, = 0,264 5 100 100 100 100 2,46 16,83 . 1 + 26,18 . 2 + 28,08 . 3 + 26,45 . 4 + 2,46 . 5 és = 0,024 6, ezért a számtani közép: ≈ 2,72. 100 100 Egy másik számítási mód: 0,168 3 . 1 + 0,261 8 . 2 + 0,280 8 . 3 + 0,264 5 . 4 + 0,024 6 . 5 ≈ 2,72. 10. A módusz és a medián is 3. 12. a) 0 = n1 . (y1 – x¯ ) + n2 . (y2 – x¯ ) + ... + nk . (yk – x¯ ). b) Ha a 12. a) feladat egyenlőségének mindkét oldalát elosztjuk n-nel n (a minta összes elemének számával), és felhasználjuk, hogy 1 = p1 , (ahol n1 az y1 elem abszolút gyakorisága, p1 pedig a ren latív gyakorisága) stb., akkor azt kapjuk, hogy 0 = p1 . (y1 – x¯ ) + p2 . (y2 – x¯ ) + ... + pk . (yk – x¯ ). 13. Az osztályköz (intervallum) reprezentánsát (ami rendszerint az osztályközép – lásd az osztályközépről írtakat a 17. oldalon!) megszorozzuk az osztályköz elemeinek számával. Az így kapott szorzatokat összeadjuk, az összeget elosztjuk az összes elem számával. Tehát úgy járunk el, mintha egy osztályközön belül az elemek értéke a reprezentáns értékével volna egyenlő. (Ezt a módszert alkalmaztuk a 16. feladat előtt a módusz és a medián becslésekor.)

56

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP – EREDMÉNYEK A hisztogramok leírásából következik, hogy az eredeti minta elemei egész értékek voltak (testmagasságok egész centiméterekben). Az elemek minden intervallumban összesen 5-féle értéket vehetnek fel, ezért a reprezentánsának érdemes az 5 érték közül a középsőt választani. Így a számtani közép: 127 . 1 + 132 . 4 + 137 . 9 + 142 . 3 + 147 . 7 + 152 . 4 + 157 . 3 + 162 . 2 4746 – = = 143,81 ≈ 143,8 cm. 33 33 14. A módusz-intervallum: 135–139, a medián-intervallum: 140–144. 15. A módusz-intervallum változatlan marad, medián-intervallumból pedig kettő is lesz: a 140–144 és a 145–149. (A medián most a 16. és 17. érték átlaga. A 16. érték a 140–144, a 17 pedig a 145–149 intervallumban van.) 142 + 147 16. a) A módusz 137 cm, a medián 142 cm. b) A módusz 137 cm, a medián = 144,5 cm (lásd a 15. feladat megol2 dását!) 19 . 1 + 28 . 4 + 21 . 7 + 14 . 10 + 6 . 13 + 3 . 16 544 17. a) A számtani közép: = = 5,978... pont. (Minden osztályban az 91 91 elemek 3-féle értéket vehetnek fel, az osztály reprezentánsának ezek közül a középső értéket választottuk.) A módusz durva becsléssel 4 pont, a medián 4 pont. b) A medián a 3–5 medián-intervallum 27. és 28. eleme közé esik. Ha feltételezzük, hogy az értékek egyenletesen helyezkednek el, akkor megközelítőleg az intervallum első 9 elemének 3, további 9 elemének 4, 9 elemének pedig 5 lesz az értéke. A 27. elem értéke így 5 lesz, ezt tekinthetjük a medián pontosított becslésének. 18. a) A módusz, a medián és a számtani közép ugyanaz a szám: a 10. b) A módusz, a medián és a számtani közép ugyanaz a szám: a 24. c) A mintának két módusza van: a –3,5 és a 7,5, a medián és a számtani közép 2. d) A mintának két módusza van: a 9 és a 21 (a becslés dolgában a 16. feladat előtti megegyezésünkre szorítkoztunk), a medián és a számtani közép 15. A feladat összes hisztogramja szimmetrikus a medián értéke szerint. Ezért a számtani közép értéke megegyezik a mediánéval. (A szimmetriából következik, hogy a mediántól való pozitív eltérések összege megegyezik a negatív eltérések összegével, miközben tudjuk hogy a számtani közép az az érték, amelyre a pozitív és negatív eltérések összege 0. Lásd a 37. oldalon olvasható szöveget!) 19. Lásd a 18. feladat megoldásának következtetését! 1036 21. a) A módusz: 10, a medián: 9 (a rendezett minta 71. és 72 elemének átlaga), a számtani közép = 7,295... 142 b) A módusz: 3, a medián: 4, a számtani közép: 4,697. (Abból az információból, hogy a hisztogram a relatív gyakoriságot szemlélteti %-ban, tudjuk, hogy 100 érték van, ez pedig megkönnyíti a medián és a számtani közép kiszámítását.) c) A mó– dusz: 11, a medián: 10,5, a számtani közép: 10,2045 . d) A módusz: 40, a medián 45, a számtani közép: 48,31. A (****) összefüggés megközelítőleg igaz a b) és c) esetekre. 22. a) Igen, ha az osztályban 9 lány (és 21 fiú) van. Az érdemjegyátlag attól függ, hogy hány leány és hány fiú van az osztályban. Ha a lányok számát x-szel jelöljük, akkor a fiúk száma 30 – x, az érdemjegyátlag pedig: x . 2 + (30 – x) . 3 . (*) 30 . . Ha az eredménynek 2,7-nek kell lennie, akkor x 2 + (30 – x) 3 = 2,7, ahonnan x = 9. 30 b) Ha az osztályban ugyanannyi fiú lenne, mint leány. c) Az első esetben: az érdemjegyátlag 2,5-nél kisebb lenne; a második esetben: az érdemjegyátlag több lenne, mint 2,5. A válasz megtálalásához elég, ha van érzékünk a számokhoz, de érvelhetünk x , ahol x a lányok számát jelöli. Az x növekedésével a p számolással is: a (*) levezetéssel az érdemjegyátlag képlete: p = 3 – 30 értéke csökken, és ha x = 15, akkor p = 2,5. Ezért ha x > 15, akkor p < 2,5 (és fordítva). 20 . 2 + 10 . 3 = A harmadik esetben: esetünkben 20 leány és 10 fiú lenne az osztályban, ezért az érdemjegyátlag 30 – 2 . 1 . 2+ 3 = 2,3 ≈ 2,33 lenne. Figyeld meg, hogy az eredmény nem függ az osztály létszámától, csupán a lányok és fiúk = 3 3 2 1 létszámának arányától! (A lányok az osztály -át, a fiúk az -át teszik ki.) Azzal a gondolattal, hogy a számtani közép csupán 3 3 a relatív gyakoriságtól függ, már találkozhattunk a 9. feladat előtt. l . 2 + (30 – l) . 3 90 – l l 23. b) Az egész osztály érdemjegyátlaga 2,6 lenne. c) é = (é az egész osztály érdem= =3– 30 30 30 jegyátlaga, l a lányok száma, tehát az l a 0, 1, …, 30 értékeket veheti fel, ez a 31 szám az é függvény értelmezési tartománya). A grafikon (amely ebben az esetben 31 pontból áll), a 9. ábrán látható. (Vigyázz, a koordinátatengelyek metszéspontja a függőleges tengely 2-es pontjában van!) Helyesen érezzük, hogy a grafikon pontjai egyetlen egyenesre illeszkednek.

57

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP – EREDMÉNYEK l egyenletből látható, hogy egy lineáris függvényről van szó (amelynek általános alakja: é = A + Bl, ahol A és B 30 1 konstans értékek, esetünkben A = 3, B = – ), tehát a grafikon egy egyenes. 30 az egész osztály érdemjegyátlaga

Az é = 3 –

3 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1 2

0

5

10

15

20

25

30

a lányok száma

9. ábra

10. ábra

d) Nem. A fordított arányosság görbéjének (amelynek pozitív értékekre szerkesztett grafikonját a 10. ábrán láthatjuk) egyetlen l összefüggés grafikonjának pontjai egy egyenesen fekszenek. része sem egyenes. A 23. c) feladatból tudjuk, hogy az é = 3 – 30 Ezért ez az összefüggés nem lehet fordított arányosság. Megjegyezzük azonban, hogy a mindennapi beszédben gyakran fordított arányosságnak szokás nevezni minden olyan összefüggést, amely csökkenő függvénynek tekinthető (tehát ha az egyik mennyiség növekedése a másik mennyiség csökkenését idézi elő). Ismételten hangsúlyozzuk azonban, hogy ez nem fordított arányosság. 24. Az (1) és (2) esetben az értékek relatív gyakoriságai jelentik a súlyt, ahol a relatív gyakoriságok összege 1. A (3) esetben az egyes nyeremények és veszteségek valószínűségei jelentik a súlyokat. Az említett lehetőségek (nyereség: 3, nyereség: 2, veszteség: 2) nem következhet be egyszerre, más lehetőség pedig nem létezik, ezért a valószínűségek összege 1. 25. Igen. Például, ha a Pozsony/Bratislava és Kassa/Košice közti 447 kilométeres távolságot a gyorsvonat 6 óra 45 perc alatt teszi meg, akkor a sebessége folyamatosan változik, néha nullára csökken (amikor az állomáson várakozik), olykor pedig 447 – 100 km/h-ra nő. Átlagsebessége – ami ez esetben = 66,2 ≈ 66 km/h arra a kérdésre ad választ, hogy ha a vonatnak ezt 6,75 a távolságot ugyanennyi idő alatt kellene megtennie változatlan sebességgel, akkor milyen sebességgel kellene haladnia? 26. a) A 16-szorosára. b) Ha a bankbetét összegének az 1. és a 2. évben is ugyanolyan mértékben kellett volna növekednie, akkor mi lenne ez a szám, ahányszorosára nőnie kellett volna a betét összegének, hogy a növekedés mértéke ugyanakkora maradjon, mint az eredeti feladatban volt? c) Ha a betét az 1. és a 2. évben is az 5-szörösére nőtt volna, akkor ez összesen 5 · 5 = 25-szörös növekedést jelentene. Az a) szerint viszont csak a 16-szorosára kellett nőnie. d) a 4-szeresére. Ha a keresett éves növekedés a-szoros, akkor a második év végére a betét összege az a · a = a2-szeresére nő. Az a) kérdésre adott válasz alapján a2 = 16, amiből a = 4 (az a = –4 gyökkel ez esetben nyilván nem kell foglalkoznunk). e) Az első éven a kamatláb 100%, a másodikban 700%. f) 300%. 27. 4,98%. 3 év alatt ez a betét 1,025 · 1,05 · 1,075 = 1,156 968 75-szörösére nő. Ha az éves növekedés a-szoros, akkor a3 = 1,156 968 75, amiből a = 1,049 801… ≈ 1,0498. Ha a betét egy év alatt 1,0498-szeresére nő, akkor az éves kamatláb 4,98%. 28. a) Az első 2 órában 60 · 2 km-t, a második 2 órában 80 · 2 km-t tettek meg (a szorzásokat nem végezzük el, hogy lássuk, hogy függ az eredmény a 60 km/h és a 80 km/h sebességektől). 4 óra alatt így 60 · 2 + 80 · 2 = (60 + 80) · 2 km-t tettünk meg, ezért az átlagsebességünk a négy óra alatt: (60 + 80) . 2 60 + 80 teljes út = = = 70 km/h volt.. (*) teljes idő 4 2 b) Ha T az órákban kifejezett időtartam (pl. egy negyedórás időtartam esetében T = 0,25), akkor az első időtartam alatt 60 · T km-t, a második időtartam alatt 80 · T km-t teszünk meg. 2T idő alatt így összesen 60 · T + 80 · T = (60 + 80) · T km-t (60 + 80) . T 60 + 80 teszünk meg, ezért az átlagsebességünk = = 70 km/h. (A T kiegyszerűsödik.) Figyeld meg, hogy a (*) 2T 2 számítás ennek a számításnak egy különleges esete, ahol T = 2. 1 3 29. b) . 60 + . 80 = 75 km/h. Ha az út negyede T óráig, akkor a maradék háromnegyed út 3 · T óráig tart. Az időtar4 4 tam negyede alatt 60 · T km-t teszünk meg, a maradék háromnegyed időtartam alatt 80 · 3 · T km-t, tehát 4 · T idő alatt

58

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP – EREDMÉNYEK

60 · T + 80 · 3 · T = (60 + 80 · 3) · T km-t teszünk meg. Az átlagsebességünk tehát:

31.

3.S 3.S 3 = = = 72 km/h. S 2.S 1 2 1 2 .S + + + 60 80 60 80 60 80

(60 + 80 . 3) . T 60 + 80 . 3 = km/h. 4.T 4

tesítettük). Az eredmény: x = 15 625. A b) és c) esetben ha15 625 – = 4,16 sonlóan „igazságos nyereményt” kapunk: x = 3 750 15 625 és x = = 78,125. 200 38. a) 80 580, b) 100 000 – 60 786 = 39 214, c) 80 580 – 60 786 = 19 794. Az említett értékek közti összefüggést a 11. ábrán látható 8. grafikon szemlélteti.

legalább 65 és legfeljebb 75 évig éltek

legalább 65 évig éltek

legfeljebb 75 évig éltek

az élő személyek száma

32. A mediánnal. Ha minden tesztelt fénycsőhöz hozzárendelnénk azt az időt, amennyi alatt kiég, akkor a névleges élettartam ennek a mintának a mediánja lenne. 33. a) A medián és a módusz is 3. A számtani középről nem mondhatunk semmit. (Alkoss olyan feladatokat, amelyekből nyilvánvaló lesz, hogy a számtani közép egy tetszőleges érték lehet!). b) A medián és a módusz is 3. A számtani közép a (2, 4) nyílt intervallumban lesz. Akkor lenne a legalacsonyabb az értéke, ha az összes többi érdemjegy 1-es lenne. Ez az érték a p · 3 + (1 – p) · 1 = 2p + 1 lenne, ahol a p a 3-as érdemjegy relatív gyakorisága. A feladat elvárásai szerint p > 0,5, ezért 2p + 1 > 2. Hasonló módon beszélhetnénk a számtani közép legmagasabb értékéről is. 35. a) Az angolokkal szembeni sértő kijelentés matematikai alapja az a kijelentés, hogy: ha az eredeti mintához, amelynek a számtani közepe p volt, hozzáadunk egy olyan elemet, amelynek az értéke p (nagyobb, mint p, kisebb, mint p), akkora számtani közép nem változik, tehát p lesz (nő vagy csökken). Ebből az állításból egy további állítást is levezethetünk, ami arról szól, hogy mi történik a számtani középpel, ha egy elemet elveszünk a mintából. Javasoljuk, hogy vitassátok meg mindkét állítást! (Segíthet a 37. oldal szövege vagy a 69. oldalon a mérleg karjával kapcsolatos fejtegetés.) b) Ha egy átlagon felüli intelligenciával rendelkező skót Angliába költözik, akkor az intelligenciaszint nem csupán Skóciában csökken, hanem Angliában is. 36. A lehetőségek száma ugyanannyi mint az egyszerű kockák esetében: 66 = 46 656. a) Azoknak a lehetőségeknek a száma, amikor az összeg 0 lesz: 56 = 15 625. Ezekben az esetekben a játékos elveszíti a saját tétjét, 1 esetben 90 pfenniget nyert többi 46 656 – 15 625 – 1 = 31 030 esetben a mérlege 0. Ezért a várható érték: 1 . 90 + 31 030 . 0 + 15 625 . (–1) = – 15 535 ≈ –0,333. (A) 46 656 46 656 46 656 46 656 b) 4-est kétféleképpen kaphatunk: • ha a negyedik kockával 4-est dobunk, a többivel pedig semmit. Ez a lehetőség 55 = 3125 esetben következhet be (mert a többi kockán a fönnmaradó 5 vak lap bármelyike felülre kerülhet). az 1-es kockával 1-est, a 3-assal 3-at dobunk, a többi 4-gyel • semmit. Ez a lehetőség 54 = 625 esetben következik be. 100 000 A kedvező esetek száma összesen ezért 3125 + 625 = 3750. 95 000 A játékos számára a várható érték ezért: 90 000 3750 . 1 + 15 625 . (–1) = – 11 875 ≈ – 0,255. (B) 85 000 46 656 46 656 46 656 80 000 c) 14-es összeget négyféleképpen érhetünk el: 3 + 5 + 6 (ez 75 000 53 = 125 esetben következik be), 1 + 2 + 5 + 6 (52 = 25 eset), 70 000 1 + 3 + 4 + 6 (25 eset), 2 + 3 + 4 + 5 (25 eset), ezért a kedvező 65 000 esetek száma összesen: 60 000 200 . 3 + 15 625 . (–1) = – 15 025 ≈ – 0,322. (C) 55 000 46 656 46 656 46 656 50 000 Minden esetben a játék a mutatványos (kókler) számára kedvező (hiszen a játékos számára várható érték negatív szám). 45 000 Igazságos játék esetén a várható értéknek 0-nak kellene lennie. 40 000 Az a) esetben az alábbi egyenletet kapjuk: 35 000 1 31 030 15 625 30 000 .0+ .x+ . (–1) = 0. 46 656 46 656 46 656 25 000 (Az (A) esetben a 90 pfenniges nyereséget x-szel helyet20 000 15 000 10 000 5000 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100 életkor

11. ábra

59

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP – EREDMÉNYEK 35 023

95 000

26 775

90 000 85 000

14 842

80 000

10 385

75 000

45 000

90+

80, 90)

70, 80)

60, 70)

50 000

554 1055 2901

50, 60)

55 000

261

40, 50)

60 000

764

30, 40)

65 000

20, 30)

70 000

10, 20)

7440

0, 10)

az élő személyek száma

100 000

13. ábra

40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5000 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100 életkor

12. ábra

az élő személyek száma

100 000 95 000

50, 60)

90 000 85 000

60, 70)

80 000 75 000 70 000 65 000

70, 80)

60 000 55 000 50 000 45 000 40 000

80, 90)

35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000

90, 100)

5000 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100 életkor

14. ábra

60

39. Alkalmazzuk a 38. feladat eredményeit! 80 580 a) = 0,805 8 ≈ 0,81, tehát kb. 81%. 100 000 39 214 b) = 0,392 14 ≈ 0,39, tehát kb. 39%. 100 000 Figyeld meg, hogy ez a számítás a komplementer (kiegészítő) valószínűséggel függ össze: azoknak a száma, akik megérik a 75 éves kort: 100 000 – 60 786 (az összes születés mínusz azok száma, akik legalább 75 évig éltek), ezért a keresett valószínűség: 100 000 – 60 786 60 786 , tehát 1 mínusz an=1– 100 000 100 000 nak a valószínűsége, hogy legalább 75 évig fog élni. 19 794 c) = 0,197 94 ≈ 0,20, tehát kb. 20%. 100 000 40. Lásd a 12. ábrát! a) kb. 68 évet; b) kb. 78 évet; c) kb. 88 évet. 41. a) Lásd a 13. ábrát! A 14. ábra azt szemlélteti, hogy milyen összefüggés van a 8. ábra grafikonjának az 50; 60), …, 〈80; 90) és a 90+ osztályok gyakoriságával. A fönnmaradó osztályok szemléltetésével az ábra áttekinthetetlenné válna. 7440 b) = 0,074 4 ≈ 0,07, azaz kb. 7%. 100 000 c) … a 80; 90) intervallumból való, ennek a halmaznak a valószínűsége kb. 35%. 42. a) A születéskor várható átlagos élettartam a számtani középnek, a valószínű élettartam pedig a mediánnak felel meg. (Megjegyzés a nagyon figyelmes és igényes olvasó részére: a mediánnak felel meg, ha a valószínű élettartam definícióját pontosan úgy értelmezzük, mint a 4–6. feladatokban: az értékek fele kisebb, fele pedig nagyobb a mediánnál. b) 78 év. A grafikonon meg kell találni azt az életkort, ahol az élők száma 50 000. Ezt az értéket kerestük a 40. b) feladatban, lásd a 12. ábrát! c) 75,3464 ≈ 75 év. (A 13. ábrán látható minta számtani közepének kiszámításához az 5, 15, 25, …, 85 és 95 számokat választottuk osztályközepeknek.)

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP – EREDMÉNYEK d) A harmadik középérték a módusz. A 41. c) feladatban találtuk meg a 〈80; 90) módusz-intervallumot. Ez az adat felel meg a normális élettartamnak, tehát a leggyakrabban megélt életkornak. 43. a) Az átlagos élettartam x éves korban azoknak az éveknek a számát jelöli, amennyit az x életkor elérése után az ember még megélhet. A valószínű élettartam x éves korban azoknak az éveknek a számát jelöli, amennyit az x éves kor elérése után az x éves kort megélteknek épp a fele elért. (Egy másik meghatározást kínál ennek a feladatnak a b) része. Ezeket a fogalmakat számtani középként és mediánként értelmezhetjük. b) A statisztikai mintát azok az emberek alkotják, akik az eredeti, 100 000-tagú mintából legalább x évig éltek. A statisztikai ismérv azoknak az éveknek a száma, amennyit a mintába tartozó egyén az x éves kora után megél. Az x évesek átlagos élettartama azoknak az értékeknek a számtani közepe, amelyek ebbe a mintába tartoznak, a valószínű élettartamuk pedig ezeknek az értékeknek a mediánja. c) Az 50 évesek átlagos élettartama: kb. 27 év (a 27,759 858 15 értéket lefelé kerekítve). Az 50 évesek valószínű élettartama: kb. 29 év (a 8. ábra grafikonján azt kell megtalálni, hogy mely életkorhoz tartozik 94 465 : 2 ≈ 47 233 élő személy). d) Igaz. Az indokláshoz válasszunk egy alkalmas jelölést: Ha n személy érte meg az x éves kort, akkor jelölje • a tk a k-adik személy élettartamát, • az ék pedig azoknak az éveknek a számát, amennyit ez a személy még élni fog az x éves kora után. Akkor minden 1-től n-ig terjedő k értékre: tk = x + ék. (*) Az átlagos élettartam x-éves korban Á =

é1 + é2 + ... + én t1 + t2 + ... + tn , ennek az n személynek az átlagos életkora K = . n n

A t1, …, tn számok mindegyikét a (*) szerint írva kapjuk, hogy n zárójel, mindegyikben egy x

t1 + t2 + ... + tn (x + é1) + (x + é2) + ... + (x + én) nx + é1 + é2 + ... + én nx é1 + é2 + ... + én = = = + = n n n n n =x é1 + é2 + ... + én =x+ =x+Á n

K=

=Á

Tehát: K = x + Á, azaz Á = K – x. 44. a) Az eredeti cikkben ez áll: „… az orosz családok abszolút többsége határozottan és visszafordíthatatlanul a kétgyermekes családmodell mellett döntött. A hisztogramok azt szemléltetik, hogy miképp tolódtak el az egyes nemzedékek fokozatosan a kétgyermekes családmodell irányába: a háború után született orosz nők vonakodtak a gyermektelenségtől, ugyanakkor háromnál több gyermekre sem vágytak.” b) 1905: a módusz 2 és 7, a medián 3, a számtani közép 3,477; 1915: a módusz 2, a medián 2, a számtani közép 2,688; 1925: a módusz 2, a medián 2, a számtani közép 2,244; 1935: a módusz 2, a medián 2, a számtani közép 2,121; 1945: a módusz 2, a medián 2, a számtani közép 1,869; 1955: a módusz 2, a medián 2, a számtani közép 2,898. c) Számításba jöhet: a középérték, továbbá: hány százalékot tesznek ki azok a nők, akiknek 2 gyermekük van, hány százalékot tesznek ki azok a nők, akiknek 2-nél több gyermekük van (1905 – 60,1%, 1915 – 46,2%, 1925 – 34,7%, 1935 – 27,4%, 1945 – 18,8%, 1955 – 19,5%). 45. b) A munkanélküliségi ráta nemcsak a kerületben élő munkanélküliek számától függ, hanem a munkaerő-állománytól is. Az Eperjesi kerületben/Prešovský kraj nagyobb a munkaerő-állomány, mint a Besztercebányaiban/Banskobystrický kraj, ugyanakkor ehhez képest a munkanélküliek számának aránya kisebb, mint a Besztercebányai kerületben. c) Ha ki akarjuk számítani az országos munkanélküliségi rátát, akkor ismernünk kell az országos munkaerő-állományt, ami az egyes kerületek munkaerő-állományainak összege. Ezt a feladat szövege alapján így számíthatjuk ki: munkanélküliek száma . 100. munkanélküliség ráta (%-ban) 19 204 . 100 27 913 . 100 31 389 . 100

munkaerő-állomány =

40 452 . 100 48 244 . 100 Az egyes kerületekre ezeket az értékeket kapjuk: , , , , , 5,68 9,46 10,35 12,45 14,04 79 198 . 100 73 859 . 100 66 048 . 100 , , . Megjegyezzük, hogy ezekkel a számításokkal nem kapjuk meg pontosan azo20,49 20,54 20,87 kat a munaerőállomány-adatokat, amelyekből a munkanélküliségi rátát kiszámították, hiszen a számításainkban felhasznált értékek 2 tizedesjegynyi pontosságúak, tehát 3 vagy 4 értékes jegyük van. Ezért a fenti hányadosoknak is (az ismert szabály értelmében, hogy a hányados vagy a szorzat értékes jegyeinek számát az a szám határozza meg, amelynek kevesebb értékes számjegye van) többnyire csak 4 értékes számjegyük lesz.

61

A MÓDUSZ, A MEDIÁN ÉS A SZÁMTANI KÖZÉP – EREDMÉNYEK Szlovákia munkanélküliségi rátáját ezért így számíthatjuk ki (a számlálóba írt 386 307-et az egyes kerületekbe levő munkanélküliek számának összegeként kaptuk – lásd a feladat c) részének megoldását!): munkanélküliek száma . 100 = munkaerő-állomány

=

(19 204 + 27 913 + 31 389 + 40 452 + 48 244 + 79 198 + 73 859 + 66 048) . 100 . 19 204 27 913 31 389 40 452 48 244 79 198 73 859 66 048 . 100 + + + + + + + 5,68 9,46 10,35 12,45 14,04 20,49 20,54 20,87

Ennek a kifejezésnek a 2 tizedesjegyre kerekített értéke 14,48%, ami összhangban van a feladatban közölt grafikonnal. 46.

30 528 . 355 + 41 528 . 401 + 2586 . 198 = 375,15... ≈ 375 lakos/km2 30 528 + 41 528 + 2586

(*)

(a népsűrűségi adatok 3 értékes jegyet tartalmaznak, ezért az eredményt is ennyi értékes jegyre kerekítjük az ismert elv szerint: a hányados vagy a szorzat értékes jegyeinek számát az a szám határozza meg, amelynek kevesebb értékes számjegye van). Az össznépesség és az összterület arányát keressük. A területek összege 30 528 + 41 528 + 2 586 km2. Az egyes országok népességét kiszámíthatjuk a táblázat adataiból: a népsűrűség (s) a népesség (n) és a terület (t) aránya, ezért a népesség a népsűrűség × terület szorzással számítható ki: n s = , ezért n = s . t. t Belgium népessége tehát 30 528 · 355 = 10 837 440 = 10 837 440 ≈ 10 800 000, Hollandiáé 41 528 · 401 = 16 652 725 ≈ ≈ 16 700 00, Luxemburgé 2586 · 198 = 512 028 ≈ 512 000 (az eredményeket 3 értékes jegyre kerekítettük). A (*) számításban nem kerekítettük a számlálóban az egyes összeadandókat, csak a 375,15… végeredményt. 30 528 30 528 41 528 2 586 47. A súlyok a = , és számok, amelyek azt fejezik ki, hogy az egyes orszá30 528 + 41 528 + 2 586 74 642 74 642 74 642 gok hányad részét teszik ki Benelux területén.

62

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

3. A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS A medián és a számtani közép két lehetséges válasz arra a kérdésre, hogy:

Hol van egy adott stat

3.1. HOGYAN MÉRHETŐ

isztikai minta közepe?

A MINTA ÉRTÉKEINEK SZÓRÓDÁSA? 3.2. A SZÓRÁSNÉGYZET 3.3. A SZÓRÁS 3.4. TOVÁBBI FELADATOK

Mindkettő megfelel a közép szó egy-egy értelmezésének: a medián esetében a feleletet a mintában levő elemek számával hozzuk összefüggésbe, míg a számtani közép esetében azok nagyságával. A két lehetőség közül most a számtani középre összpontosítunk. Olyan módszert fogunk keresni, amellyel ki tudjuk fejezni, hogy a minta adatai milyen értékben szóródnak az átlagos érték körül.

3.1. Hogyan mérhető a minta értékeinek szóródása? Ha ismerjük a számtani közepet, akkor tudjuk, hogy milyen szám körül mozognak a minta értékei. Ez az információ azonban eléggé elnagyolt, hiszen nagyon eltérő mintáknak is megegyezhet a számtani közepe. Ezt egy jellemző iskolapéldán keresztül: az érdemjegyátlag segítségével mutatjuk be. Az alábbi két 8-tagú mintának egyaránt 2 a számtani közepe:

2, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 2

1, 4, 2, 3, 1, 1, 3, 1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1. a) ábra

1. b) ábra

Mindkét mintában az érdemjegyek a kettes körül mozognak. (Az ábrán az érdemjegyátlagot a piros vonal szemlélteti.) Az első mintában azonban az érdemjegyeknek a számtani középértékhez viszonyított szóródása kisebb, mint a másodikban. (Te is látod a szóródások különbségét?) Azt mondhatjuk, hogy az első esetben ez a kettes átlag kiegyensúlyozottabb teljesítményt takar.. FELADAT

1. A 2. ábra két hisztogramja két csoport eredményeit szemlélteti ugyanabból a matematikatémazáróból. Mindkét csoportban ugyanannyi tanuló volt (40), és mindkét csoportban ugyanannyi volt a szerzett pontok átlaga (5,65). Beszéljétek meg, hogy melyik csoport nyújtott kiegyensúlyozottabb teljesítményt! (Melyik csoportról mondhatjuk el, hogy kisebb volt az egyes tanulók teljesítménye közt mutatkozó különbség, tehát hogy az érdemjegyeknek kisebb volt a szóródása?)

63

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

A témazáró eredményei – 2. csoport

8 7 6 5 4 3 2 1 0

a tanulók száma

a tanulók száma

A témazáró eredményei – 1. csoport

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

pontszám

1

2

3

2. a) ábra

4

5

6

7

8

9

10

pontszám

2. b) ábra

FELADAT

80

85

90

95

100

105

114

96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

93 94

91

89

84

2. Egy 100 méteres útszakaszt kétféle módszerrel mértünk meg. Az első diagram (3. a) ábra) 20 mérés eredményét szemlélteti az első módszer segítségével, a második diagram (3. b) ábra) ugyancsak 20 mérés eredményét szemlélteti, de egy másik módszerrel. Mindkét esetben a mért adatok számtani közepe ugyanannyi: 100. a) Vitassátok meg, hogy a két módszer közül melyiket tekinthetjük megbízhatóbbnak a mért adatok alapján! b) Hogyan lehetne a mérés pontosságát számszerűleg kifejezni (tehát azt, hogy milyen mértékben ingadoznak az értékek a számtani érték körül)? Tégy javaslatot! A javaslataitokat vitassátok meg közösen!

110

115

120

80

85

90

95

100

105

111 112 113 114

108 109

105

99 100 101 102

96 97

93 94

90 91

86

84

3. a) ábra

110

115

120

3. b) ábra

A 3–6. feladatokban többféleképpen is felelünk a mérés pontosságát – tehát az adatok szóródását – firtató kérdésre a 2. b) feladatból. Feltételezzük, hogy ezek közül némelyik a vitátok során már fölmerült. A következő feladatok megoldásai a javaslataitokhoz kívánnak kapcsolódni.

FELADATOK

AZT

A SZÁMOT KERESSÜK,

AMELY KIFEJEZNÉ A MÉRÉS PONTOSSÁGÁT

–

TEHÁT

A MÉRT ADATOK SZÓRÓDÁSÁNAK MÉRTÉKÉT A SZÁMTANI KÖZÉPTŐL.

64

3. A 2. b) feladatban föltett kérdésre elsőként az alábbi javaslatok hangzanak el: az átlagtól való összes eltérés összege A 3. b) ábrán szemléltetett minta esetében ez az érték: (84 – 100) + (86 – 100) + (90 – 100) + (91 – 100) + (93 – 100) + (94 – 100) + + (95 – 100) + (96 – 100) + (97 – 100) + (99 – 100) + (100 – 100) + (101 – 100) + + (102 – 100) + (105 – 100) + (108 – 100) + (109 – 100) + (111 – 100) + + (112 – 100) + (113 – 100) + (114 – 100)

•

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

•

vagy: a számtani középtől számított eltérések átlaga A 3. b) ábrán szemléltetett minta esetében ezt az értéket úgy kapjuk meg, hogy az előző bekezdésben kiszámított értéket elosztjuk a mintában levő elemek számával (tehát 20-szal). Ezeknek a javaslatoknak azonban egyike sem ad választ az eredeti kérdésre – nem fejezi ki az adatok szóródásának mértékét. Magyarázd meg, miért!

4. Ha a 3. feladatban a számtani középtől való összes eltérés helyett a számtani középtől való összes abszolút eltéréssel számolunk, akkor a számítás egyik hátrányát kiküszöböljük. Mi ez a hátrány? a) Számítsd ki ezt az értéket a 3. b) ábrán látható mintára! b) Vitassátok meg, hogy miért nem tekinthetjük ezt az eljárást sem alkalmasnak a mérés pontosságának kimutatására!

A 4.

FELADAT EGYIK CÉLJA,

HOGY MEGÁLLAPÍTHASD: KÉPES VAGY-E ALKALMAZNI AZ ELJÁRÁST, AMELYET NEM SZIMBÓLUMOKKAL, HANEM SZÖVEGES LEÍRÁSSAL ADTUNK MEG.

NE OLVASD EL AZONNAL AZ ALÁBBI BEKEZDÉSBEN OLVASHATÓ ELLENVETÉST! PRÓBÁLJÁTOK FÖLFEDEZNI KÖZÖSEN!

A fő ellenvetés: Ez a szám nem alkalmas arra, hogy két minta adatainak szóródását kifejezze. Ha így akarnánk kifejezni a mérés pontosságát, előfordulhatna, hogy két minta közül – amelyek közt az egyiknek kevés eleme van, de azok nagy szóródást mutatnak, a másiknak pedig több eleme van kisebb szóródással – azt tekintenénk pontosabbnak, amelynek az elemei nagyobb szóródást mutatnak. (Mondj példát két ilyen mintára, amikor ez bekövetkezik!) 5. Ha megvitattátok a 4. b) feladat ellenvetését, bizonyára rátaláltatok a számtani középtől való átlagos abszolút eltérés fogalmára. Számítsd ki a 3. b) ábrán látható mintára, majd beszéljétek meg, hogy ez az eljárás miképp oldja meg a 4. b) feladat ellenvetését! NAGYON VALÓSZÍNŰ, HOGY A 3–5. FELADATMEGOLDÁSOK VALAMELYIKÉT TI IS ALKALMAZTÁTOK A 2. b) FELADAT MEGOLDÁSA SORÁN. FELTÉTELEZZÜK, HOGY TI IS RÁJÖTTETEK: EDDIGI JAVASLATAINK KÖZÜL CSUPÁN A SZÁMTANI KÖZÉPTŐL VALÓ ÁTLAGOS ABSZOLÚT ELTÉRÉS FELEL MEG AZ ELVÁRÁSAINKNAK. MEGJEGYEZZÜK, HOGY AZ ÁTLAGOS ABSZOLÚT ELTÉRÉS NEM CSUPÁN A SZÁMTANI KÖZÉPPEL KAPCSOLHATÓ ÖSSZE. HA A SZÁMTANI KÖZÉP HELYETT PL. A MEDIÁNT TEKINTENÉNK A MINTA KÖZEPÉNEK, ÉS AZT SZERETNÉNK TUDNI, HOGY A MINTA ELEMEI MILYEN MÉRTÉKBEN SZÓRÓDNAK A MEDIÁN KÖRÜL, AKKOR A MEDIÁNTÓL VALÓ ÁTLAGOS ABSZOLÚT ELTÉRÉSSEL FEJEZNÉNK KI A SZÓRÓDÁS MÉRTÉKÉT.

A 6. feladatban még elárulunk néhány lehetőséget, amelyet nem biztos, hogy fölfedeztetek. Ezek közül némelyik nem a számtani középtől való eltérésre vonatkozik, de mindegyik arra a kérdésre keresi a választ, hogy Hogyan fejezzük ki a minta elemeinek változékonyságát? Tehát most is azt a számot keressük, amely a minta értékeinek szóródását fejezi ki. Minél kisebb ez a szám, annál nagyobb mértékben csoportosulnak a minta elemei egyetlen pont köré. FELADAT

6. Vitassátok meg, hogy az alábbi számok közül melyek alkalmasak a minta szóródásának kifejezésére: a) a minta legnagyobb és legkisebb értékének különbsége (a minta terjedelme); b) a számtani középtől való legnagyobb abszolút eltérés; c) annak az intervallumnak a hossza, amelyben az összes adat „középső 50%-a” fekszik (ún. kvartilisterjedelem). A 3. a) és b) ábrák mintáinak a „középső 10 adata”, tehát a 6. és a 15. szám közötti számok AZT JAVASOLJUK, HOGY PRÓBÁLD KI EZEKET AZ ELJÁRÁSOKAT AZ 1. ÉS 2. FELADAT MINTÁIN. A KVARTILISTERJEDELMET (TEHÁT AZ ELSŐ ÉS A HARMADIK KVARTILIS KÖZTI TÁVOLSÁGOT) A 29. OLDALON LÁTHATÓ 3. FELADAT UTÁNI ÁBRA SZEMLÉLTETI.

65

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

3.2. A szórásnégyzet A 3–6. feladatokban a szóródás mérésére az átlagos abszolút eltérés és a kvartilisterjedelem eljárásai alkalmasak. A gyakorlatban azonban gyakran találkozunk egy értékkel, amelyet eddig nem említettünk: ez az átlagtól való eltérések négyzetének átlaga. Ezt az átlagos abszolút eltéréshez hasonlóan kell kiszámítani, a különbség csupán annyi, hogy az abszolút eltérések helyett azok négyzeteivel kell számolni. A statisztikában ezt a számot szórásnégyzetnek nevezzük. Jele σ2 (σ = görög kis szigma). A SZÓRÁSNÉGYZETET A SZIGMA NÉGYZETÉVEL JELÖLJÜK. ENNEK AZ A MAGYARÁZATA, HOGY A SZÓRÁST, AMI A SZÓRÁSNÉGYZET NÉGYZETGYÖKE, σ-VAL JELÖLJÜK. EZZEL A FOGALOMMAL A KÖVETKEZŐ TANANYAGBAN FOGUNK FOGLALKOZNI, AHOL MEGMUTATJUK MAJD A SZÓRÁSNÉGYZET NÉHÁNY OLYAN TULAJDONSÁGÁT, AMELYEK INDOKOLTTÁ TESZIK A SZÓRÁS ALKALMAZÁSÁT.

Először győződjünk meg arról, hogy megértetted-e a szórásnégyzet fogalmát, és hogy ki tudod-e számítani különböző (negatív értékeket is tartalmazó) minták esetén.

FELADAT HOGY EGY KISSÉ

7. Számítsd ki a szórásnégyzetet, ha: a) adott: az érdemjegyek statisztikai mintája 63. oldal 1. a) és b) ábrája alapján; Gondold végig, hogy miképp lehetne egyszerűsíteni a számítást az egyes érdemjegyek abszolút gyakoriságának felhasználásával! (Ha pl. az 1-es 4-szer fordul elő a mintában, akkor a szórásnégyzet kiszámításában is az (1 – 2)2 is 4-szer fordul elő.) b) adott a 64. oldal 3. b) ábrájának statisztikai mintája; c) adott a 64. oldal 2. b) mintája. Itt is felhasználható az a módszer, amelyet ennek a feladatnak az a) részében javasoltunk. d) adott a 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 9 minta; e) adott a –3, –3, –2, –2, –2, –1, –1, –1, –1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2 minta; f) adott a 4. ábra hisztogramjával szemléltetett minta.

MEGKÍMÉLJÜNK A MUNKÁTÓL, MEGEMLÍTJÜK, HOGY AZ

a)–c) FELADATOK MINTÁINAK SZÁMTANI KÖZEPEIT, AMELYEKRE SZÜKSÉGED LESZ A SZÁMÍTÁSOKNÁL, MEGTALÁLOD A MEGFELELŐ ÁBRÁK SZÖVEGEIBEN.

10 7

6 1

2

–2

–1

0

4 1

2

3

2 4

4. ábra

A 7. f ) FELADAT MEGOLDÁSA

Először megkeressük az adott minta számtani közepét: x¯ =

összes érték összege összes érték száma

Esetünkben: x¯ =

66

1 . (–2) + 2 . (–1) + 6 . 0 + 10 . 1 + 7 . 2 + 4 . 3 + 2 . 4 1 + 2 + 6 + 10 + 7 + 4 + 2

(*)

(A nevezőbe az egyes értékek gyakorisága, tehát a hisztogram oszlopai feletti számok kerültek, a számlálóban levő összeadandók alakja pedig: az érték abszolút gyakorisága × érték. Lásd a 31. oldal 7. feladata utáni szöveget!)

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

Ha ki akarjuk számítani a szórásnégyzetet, akkor Kiszámítjuk minden érték eltérését a számtani középtől.

Pl. a –1-re ez az eltérés –1 – 1,25 = –2,25

A kiszámított eltérést négyzetre emeljük, tehát kiszámítjuk az (x – 1,25)2 értéket.

A –1-re ezt kapjuk: (–1 – 1,25)2, azaz (–1,25)2

Az összes négyzetre emelt tagot összeadjuk.

Ebben a mintában a –1 kétszer fordul elő, ezért a négyzete is kétszer fog előfordulni a (–1 – 1,25)2, azaz (–1,25)2 érték. Hasonlóan az 1-es érték 10-szer fordult elő, ezért az (1 – 1,25)2 is tízszer fog előfordulni.

Az eredményt elosztjuk a minta elemeinek számával. (Ez a mi esetünkben 32. A számtani közép kiszámításakor találkoztunk vele.) A szórásnégyzet ebből: σ2 =

[1 . (– 2 – 1,25)2 + 2 . (–1 – 1,25)2 + 6 . (0 – 1,25)2 + 10 . (1 – 1,25)2 +

+ 7 . (2 – 1,25)2 + 4 . (3 – 1,25)2 + 2 . (4 – 1,25)2] =

[1 . (–3,25)2 + 2 . (–2,25)2 + 6 . (–1,25)2 + 10 . (– 0,25)2 + 7 . 0,752 +

=

+ 4 . 1,752 + 2 . 2,75)2] =

= 1,937 5

2)

A (σ

(**)

szórásnégyzet a számtani k etén özéptől v aló eltérések négyz

Az előző fejezetben rámutattunk, hogy a számtani közepet a relatív gyakoriság segítségével is felírhatjuk. Pl. a 66. oldalon található számítás ebben az alakban is felírható:

ahol az

,

,

,

,

,

és a

törtek rendre a –2, –1, 0, 1, 2, 3 és 4 értékek relatív

gyakoriságai. (Figyeld meg, hogy hogyan kaptuk ezt a kifejezést a (*)-gal jelöltből!) Hasonló módon vezethetjük le a szórásnégyzet kiszámítását is. (Ellenőrizd!)

σ2

Ebből következik, hogy a szórásnégyzet kiszámításához elég ismerni az egyes értékek relatív gyakoriságát.

67

tl a g ek á

a.

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS A

SZÓRÁSNÉGYZET KISZÁMÍTÁSÁRA

SZOLGÁLÓ KÉPLET

A szórásnégyzet kiszámítására szolgáló képletet úgy kapjuk meg, hogy a 7. feladatban alkalmazott képletben a konkrét értékek helyére beírjuk a megfelelő betűket. Vezesd le a minta szórásnégyzetének kiszámítását arra az esetre, amikor n értékünk van, amelyeket x1-gyel, x2-vel, … xn-nel jelölünk, a számtani közép értéke pedig x¯ . Például a 7. f) feladat mintájában n = 32, x1 = –2, x2 = –1, x3 = –1, x4 = 0, …, x30 = 3, x31 = 4, x32 = 4 és x¯ = 1,25.

A SZÓRÁSNÉGYZET KISZÁMÍTÁSÁRA SZOLGÁLÓ KÉPLET LEHETŐSÉGET AD SZÁMUNKRA, HOGY

A levezetés lépései:

BEGYAKOROLJUK A SZIMBOLIKUS ÍRÁSMÓD ALKALMAZÁSÁT.

Leírva:

Kiszámítjuk minden érték eltérését a számtani középtől.

Így az x1 – x¯, x2 – x¯, x3 – x¯, ..., xn – x¯ eltéréseket kapjuk.

A kiszámított eltéréseket négyzetre emeljük.

Így az (x1 – x¯ )2, (x2 – x¯ )2, (x3 – x¯ )2, ..., (xn – x¯ )2 értékeket kapjuk.

Az összes négyzetre emelt tagot összeadjuk.

(x1 – x¯ )2 + (x2 – x¯ )2 + ... + (xn – x¯ )2

Az eredményt elosztjuk a minta elemeinek számával.

Az eredmény:

A szórá : σ2 = snég yzet képlete

(***)

Σ

Az összeget jelentő szimbólum használatával (lásd a 30. oldalon olvasható szöveget) a képletet így is írhatjuk: n

σ2 =

Σ (xj – x¯)2

j =1

n

vagy σ2 =

1 n

n

Σ (x j =1

j

– x¯)2

AZ ELŐZŐ FEJEZETBEN HÁROM KÉPLETET IS MUTATTUNK A SZÁMTANI KÖZÉP KISZÁMÍTÁSÁRA. • AZ EGYIK ESETBEN A MINTÁT MIND AZ n DARAB ELEMÉNEK FELSOROLÁSÁVAL ADJUK MEG; • A TOVÁBBI KÉT ESETBEN A MINTÁT A KÜLÖNBÖZŐ ÉRTÉKEKKEL ÉS AZOK GYAKORISÁGÁVAL ADJUK MEG, MÍG AZ EGYIKBEN AZ ABSZOLÚT GYAKORISÁGGAL, A MÁSIKBAN A RELATÍV GYAKORISÁGGAL SZÁMOLUNK (LÁSD A 31. ÉS 32. OLDALON TALÁLHATÓ 7. ÉS 9. FELADATOT!). UGYANÍGY HÁROMFÉLEKÉPPEN ADHATJUK MEG A SZÓRÁSNÉGYZET KISZÁMÍTÁSÁRA SZOLGÁLÓ KÉPLETET. A (***) ALAK A FELSOROLTAK KÖZÜL AZ ELSŐ ESETNEK FELEL MEG. (A MINTÁT ÖSSZES ELEMÉNEK FELSOROLÁSÁVAL ADTUK MEG, MIKÖZBEN AZ ELEMEK KÖZT LEHETNEK EGYENLŐK IS.) A 8. ÉS 9. FELADATBAN A KÉPLET MÁSIK KÉT FORMÁJÁVAL FOGUNK TALÁLKOZNI. FELADATOK

8. Írd fel a szórásnégyzet kiszámítására szolgáló képletet, ha a mintában az y1 érték n1 gyakorisággal, az y2 érték n2 gyakorisággal, …, az yk érték pedig nk gyakorisággal fordul elő! Az adott értékek számtani közepe legyen ¯y ! Győződj meg róla, hogy ilyen alakú képletet használtunk a 7 f) feladat (**) levezetésében! 9. Az előző feladat képletét írd fel úgy, hogy az y1, y2, …, yk értékek n1, n2, …, nk abszolút gyakoriságai helyett a p1, p2, …, pk relatív gyakoriságok szerepeljenek!

68

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

10. Írd fel 66. oldalon található (*) képlet (az átlagos abszolúteltérésből kiszámított számtani közép) megfelelőjét! Az átlagos abszolúteltérést rövidítsd a MAD szóval! (Az angol mean absolute deviationból.) 11. Írd fel a 8. feladat mintájából a számtani középtől való átlagos abszolúteltérés kiszámítására szolgáló képletet! 12. A 11. feladat képletét írd fel a relatív gyakoriságok segítségével!

FIZIKAI ALKALMAZÁS:

a számtani közép mint súlypont a szórásnégyzet mint tehetetlenségi nyomaték

A szórásnégyzetnek – bár első tekintetre kevésbé tűnik olyan természetesnek, mint az átlagos abszolúteltérés – létezik természetes fizikai alkalmazása. Tömören a 8, 8, 8, 8, 9, 13, 13, 13 minta példáján fogjuk bemutatni. A minta 4 1 3 számtani közepe 10, a 8, 9, 13 értékek relatív gyakorisága rendre , és . A relatív gyakoriságok mindegyikét 8 8 8 3 úgy fogjuk értelmezni, mint egy adott pontban elhelyezett nehezék tömegét. (Tehát pl. a 13-as pontban egy 8 tömegű nehezéket helyezünk el. Lásd az 5. ábrát!) Ezáltal egy pontrendszert hozunk létre a számegyenesen. Ekkor: • a számtani közepet – tehát a 10-et – a mérlegkar egyensúlyhelyzeteként értelmezhetjük. Ha a számegyenest 4 1 3 a 10-es pontban „támasztjuk alá”, akkor a mérleg karjai (egyik karján a és , a másikon a tömegű nehezé8 8 8 4 . 1 . 3 . kekkel) egyensúlyban vannak. Ugyanis (10 – 8) + (10 – 9) = (13 – 10). Az egyensúlyhelyzetnek ez 8 8 8 a leírása csupán a számtani közép kiszámításának egy módosított változata: a számtani középtől való eltérések összege 0. (Lásd a 37. oldalon és a 38. oldal 12. b) feladatában olvasható szöveget!) A 10-es pont a tömegpontrendszerünk súlypontja. • a szórásnégyzet annak az igénybevételnek felel meg, amellyel a számegyenest a nehezékekkel forgásba hozzuk a súlypontján (tehát a 10-es ponton) áthaladó tengelye körül. Ezt az igénybevételt a fizikában az összes tehetetlenségi nyomaték fejezi ki, amelynek kiszámítása megegyezik a mintánk szórásnégyzetének kiszámításával. Ez a fizikai alkalmazás is igazolja, hogy a szórásnégyzet definíciója helyes választásnak minősül, ha azt akarjuk kifejezni, hogy milyen mértékben csoportosulnak vagy szóródnak szét az egyes értékek a számtani közép körül. Bizonyára tapasztalataid is igazolják, hogy minél távolabb helyezzük el a nehezéket a 10-es ponttól, annál nagyobb erőt kell kifejtenünk a számegyenes tengelye körüli elforgatásához. tehetetlenségi nyomaték = 1 . (9 – 10)2 8

tehetetlenségi nyomaték = 4 . (8 – 10)2 8 2

= 12

=2

4 8

tehetetlenségi nyomaték = 3 . (13 – 12)2 8 = 32

3 8

1 8

szórásnégyzet = összes tehetetlenségi nyomaték = 4 . 1 3 (8 – 10)2 + . (9 – 10)2 + . (13 – 12)2 8 8 8 2 2 2 =2

7

8

9

10

11

12

1 2

3

5. ábra A szórásnégyzet mint tehetetlenségi nyomaték

13

=1

=3

4 1 3 A , az és a rendre a 8, 9 és 13 relatív 8 8 8 gyakorisága.

69

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

3.3. A szórás

80

85

90

95

100

105

111 112 113 114

108 109

105

99 100 101 102

96 97

93 94

90 91

86

84

Térjünk vissza a 3. b) ábra mintájához! (Megjegyezzük, hogy egy 100 m-es szakasz 20 méréséről van szó, amelyek számtani közepe: x = 100 m volt.) Számítsuk ki a a számtani középtől való átlagos abszolút eltérést és a szórásnégyzetet is!

110

115

120

3. b) ábra

•

A számtani középtől való átlagos abszolúteltérés: 1 |84 – 100| + |86 – 100| + |90 – 100| + |91 – 100| + |93 – 100| + |94 – 100| + 20 16

14

10

9

7

6

+ |95 – 100| + |96 – 100| + |97 – 100| + |99 – 100| + |100 – 100| + |101 – 100| + 5

4

3

1

0

1

+ |102 – 100| + |105 – 100| + |108 – 100| + |109 – 100| + |111 – 100| + |112 – 100| + 2

5

8

9

11

12

150 + |113 – 100| + |114 – 100| = = 7,5 m 20 13

•

14

A számtani középtől való kvadratikus eltérés – tehát a szórásnégyzet – értéke: 1 σ2 = (84 – 100)2 + (86 – 100)2 + (90 – 100)2 + (91 – 100)2 + (93 – 100)2 + (94 – 100)2 + 20 2 2 2 2 2 2 (–16)

(–14)

2

(–10)

(–9)

(–4)2

2

(–7)

(–3)2

2

(–6)

+ (95 – 100) + (96 – 100) + (97 – 100) + (99 – 100) + (100 – 100) + (101 – 100)2 + (–5)2

2

(–1)2

2

(0)2

(1)2

+ (102 – 100)2 + (105 – 100)2 + (108 – 100)2 + (109 – 100)2 + (111 – 100)2 + (2)2

(5)2

(8)2

(9)2

(11)2

1574 + (112 – 100)2 + (113 – 100)2 + (114 – 100)2 = = 78,7 m2 20 2 2 2 12)

(13)

(14)

Vedd észre, hogy az első esetben az eredmény (7,5 m) mértékegysége megegyezik a minta elemeinek mértékegységével (a 3. b) ábra minden adata méterben értendő); ugyanakkor a második esetben – tehát a szórásnégyzet (78,7 m2) kiszámításakor – más mértékegységet kaptunk.

• •

Az átlagos abszolúteltérés tehát ugyanolyan típusú szám, mint az egyes eltérések, míg a szórásnégyzet esetében az eredményt más mértékegységben kapjuk meg. A különböző mértékegységekből adódó problémát kiküszöbölhetjük, ha a szórásnégyzetből négyzetgyököt vonunk. Így ugyanis az eredmény mértékegysége ugyanaz lesz, mint a minta elemeié. A szórásnégyzet négyzetgyökét szórásnak nevezzük, jele σ.

szórás (σ) = a szó

rásnégyz et (σ2) négyzetgyöke

FELADAT

70

13. Számítsd ki a 3. b) ábra mintájának szórását!

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

Az átlagos abszolúteltérés, a szórásnégyzet és a szórás fogalma abban az időszakban keletkezett, amikor a statisztika figyelme a mérési hibák tanulmányozása felé fordult. A méréshibákkal (főleg a csillagászati és a földmérési hibákkal) összefüggő kérdések hatottak a valószínűségszámítás és a statisztika 18. századi fejlődésére. (Azelőtt főleg a szerencsejátékok és a demográfia problémái voltak a figyelem központjában. Gondoljunk csak Pascal, Fermat vagy Bernouilli munkáira vagy Huygens halandósági táblázataira!) Minden csillagászati megfigyelés, minden mérés hibával jár. A kérdés: Hogyan lehet több méréssel a lehető legpontosabban eltalálni a mért mennyiség valódi nagyságát? Ezzel függ össze egy további kérdés: Milyen tulajdonságok alapján jelenthetjük ki egy számról, hogy az a lehető legjobban megközelíti a valódi értéket? A kor matematikusainak munkáiban számos választ találunk a második kérdésre. Ezekből minket két kritérium fog érdekelni. Ha az x1, x2, …, xn értékek voltak a mért adatok, akkor az alábbiakat tekintették a valódi érték legpontosabb becslésének: azt az x számot, amelyre a lehető legkisebb a mért adatoktól számított abszolút eltérések összege, tehát amely esetében az |x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn| érték a lehető legkisebb. azt az x számot, amelyre a lehető legkisebb a mért adatoktól számított abszolút eltérések négyzeteinek összege, tehát az (x – x1)2 + (x – x2)2 + ... + (x – xn)2 érték a lehető legkisebb.

•

RUGGIERO GIUSEPPE BOSCOVICH (1711–1787) A FÖLD ALAKJÁNAK MEGHATÁROZÁSA SORÁN ELSŐKÉNT JAVASOLTA

1757-BEN

AZ EMLÍTETT KRITÉRIUMOK KÖZÜL AZ ELSŐT.

•

Világosan látszik, hogy az átlagos abszolúteltérés az első feltétellel, a szórásnégyzet és a szórás pedig a második kritériummal függ össze. Ezzel egyúttal a 64. oldal 2. feladatában föltett kérdésünkre is válaszoltunk: hogy lehet kifejezni annak a mérésnek a pontosságát, amelynek a mért adatai: x1, x2, …, xn? Megjegyezzük még, hogy az említett kritériumok a középértékekkel is összefüggnek. Igazolható ugyanis, hogy az első feltételnek az x1, x2, …, xn értékek mediánja felel meg. (Tehát a medián esetében a legkisebb az x1, x2, …, xn értékektől mért abszolút eltérések összege.) a második feltételnek az x1, x2, …, xn számok számtani közepe felel meg.

• •

Azt a tényt, hogy a mért adatok számtani közepe – amelyről általában azt tartják, hogy a lehető legjobban megközelíti a valódi értéket – összefügg az eltérések négyzeteinek összegével, egy olyan érvnek tekinthetjük, amely az átlagtól való eltérések négyzetének átlaga, tehát a szórásnégyzet fontossága mellett szól. Megjegyezzük, hogy a második hatványok (négyzetek) összegének legkisebb értékét keresve, amely a második feltételben fordul elő, a statisztika újabb hasznos felfedezésekkel gazdagodott. Ezen alapszik az egyik legnépszerűbb statisztikai módszer, a legkisebb négyzetek módszere. A módszert először Adrien-Marie Legendre publikálta 1805-ben, de 10 évvel korábban már az akkor még csak 18 éves Carl Friedrich Gauss is is ismerte.

Hogy egy minta elemeinek szóródását a szórásnégyzet és a szórás segítségével fölírni nem is olyan ésszerűtlen gondolat, mint ahogy az elején tűnhetett, a szórás tulajdonságai is igazolják.

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855) MINDEN IDŐK LEGJELENTŐSEBB MATEMATIKUSA

CSEBISEV-EGYENLŐTLENSÉG A SZÓRÁSNÉGYZET MELLETTI TOVÁBBI

Ezek közül a legismertebb:

A számtani középtől 3 standard eltérésnél kisebb távolságra, (A) tehát az ( ¯x – 3σ, ¯x + 3σ), intervallumban – 8 fekszik a minta elemeinek legalább -e (legalább 88,8%-a). 9 (Tehát egy 180 elemű minta legalább 160 elemének távolsága a számtani középtől kisebb, mint 3 · σ).

ÉRVEKET

– A TERMÉSZETES

FIZIKAI ALKALMAZÁSÁT ÉS ÖSSZEFÜGGÉSÉT A SZÁMTANI

– FELSOROLTUK 12. ÁS 13. FELADATOK UTÁNI MEGJEGYZÉSEKBEN. KÖZÉPPEL A

71 1

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS Az alábbi állítás az általános megfogalmazás különleges esete:

Ha egy mintának n eleme van, akkor a mintának legalább

t2 – 1 . n eleme t2

a számtani középtől t szórásnál kisebb távolságra, tehát az (¯x – t . σ; ¯x + t . σ) intervallumban található.

( ) t2 – 1

(B)

(

)

100 %-a vagy 100 – 2 %-a. t t2 Érthető számodra, hogy az elemek számát miképp fejeztük ki százalékkal? Százalékban kifejezve ez az elemeknek legalább 100 .

IRÉNÉE-JULES BIENAYMÉ (1796–1878)

Másképp fogalmazva: az (x¯ – tσ, x¯ + tσ) intervallumon kívül legfeljebb (ami az összes elemnek legfeljebb a

100 %-a. t2

1 . n elem található t2

A SZÓRÁSNAK EZT A TULAJDONSÁGÁT KÉT MATEMATIKUS IS (AKIK A VÉLETLEN FOLYTÁN JÓ BARÁTOK VOLTAK) PUBLIKÁLTA: 1853-BAN IRÉNÉE-JULES BIENAYMÉ ÉS 1867-BEN PAFNUTYIJ LVOVICS CSEBISEV. EZT AZ EGYENLŐTLENSÉGET MA CSEBISEV- VAGY BIENAYMÉ–CSEBISEVEGYENLŐTLENSÉGNEK NEVEZZÜK.

A Csebisev-egyenlőtlenség bizonyításához visszatérünk a 20–22. feladatok után.

FELADATOK

14. Ellenőrizd, hogy a minta

PAFNUTYIJ LVOVICS CSEBISEV (1821–1894), AZ OROSZ MATEMATIKA NESZTORA

8 -éről szóló (A) állítás a (B) állításból következik-e! 9

15. A (B) állítás alapján becsüld meg, hogy a) a mintának hányad része fekszik az (x¯ – 2σ, x¯ + 2σ) intervallumban; b) a mintának hányad része fekszik az (x¯ – 2,5 . σ, x¯ + 2,5 . σ) intervallumban; c) miképp kell megválasztani a d értékét, hogy az (x¯ – d, x¯ + d) intervallumban legyen a minta elemeinek legalább 50%-a?

x– + 3σ

x– + 2σ

x– + σ x– + σ

x–

x– – σ x– – σ

x– – 2σ

x– – 3σ

Valamennyi mintára igaz a Csebisev-egyenlőtlenség

a mintának legalább fele (50%-a) a mintának legalább háromnegyede (75%-a) – a mintának legalább nyolckilencede (88, 8 %-a)

16. Számítsd ki, hogy a 3. b) ábra mintájából az elemek hány százaléka fekszik • az (x¯ – 3σ, x¯ + 3σ) intervallumban; • az (x¯ – 2σ, x¯ + 2σ) intervallumban; • az (x¯ – σ, x¯ + σ) intervallumban! Az eredményeket hasonlítsd össze a Csebisev-egyenlőtlenségből kapott becslésekkel!

MEGJEGYEZZÜK, HOGY x¯ = 100, A σ ÉRTÉKÉT PEDIG KISZÁMÍTOTTAD A

13. FELADATBAN.

72

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

A 16. FELADAT MEGOLDÁSÁBÓL LÁTSZIK, HOGY A CSEBISEV-EGYENLŐTLENSÉGBŐL SZÁRMAZÓ BECSLÉSEK ¯ – 2σ, x¯ + 2σ) NÉHÁNY KONKRÉT ESETBEN TÚL ÓVATOSAK LEHETNEK: A 16. FELADATBAN AZ (x INTERVALLUMBAN VOLT A MINTA 100%-A, MÍG A CSEBISEV-EGYENLŐTLENSÉG 75%-OT JÓSOLT. σ, x¯ + σ) INTERVALLUMBAN VOLT AZ ELEMEK 80%-A, MÍG A CSEBISEVHASONLÓAN AZ (x¯ – EGYENLŐTLENSÉG 50%-OT ÍGÉRT. EZ A FELISMERÉS NEM IS OLYAN MEGLEPŐ, MINT AHOGY ELSŐ PILLANTÁSRA TŰNIK. A CSEBISEV-EGYENLŐTLENSÉGBŐL FAKADÓ BECSLÉS PONTATLANSÁGA AZ ÁLTALÁNOSÍTÁS ÁRA. EZ AZ EGYENLŐTLENSÉG UGYANIS BÁRMELY MINTÁRA IGAZ, AKÁRHOGY VÁLASZTJUK IS MEG AZ ÉRTÉKEK ¯ – σ, x¯ + σ) INTERVALLUMBAN LESZ AZ ELEMEK MENNYISÉGÉT, MINDIG IGAZ LESZ, HOGY AZ (x 50%-A, AZ (x¯ – 2σ, x¯ + 2σ) INTERALLUMBAN PEDIG A 75%-A STB.

A CSEBISEVEGYENLŐTLENSÉG BÁRMELY MINTÁRA IGAZ, EZÉRT CSAK DURVA BECSLÉST TESZ LEHETŐVÉ

A CSEBISEV-EGYENLŐTLENSÉGET AKKOR IS ALKALMAZHATJUK, HA A SZÁMTANI KÖZÉPEN ÉS A SZÓRÁSON KÍVÜL AZ ÍGY NYERT BECSLÉSEK FÜGGETLENEK ATTÓL, HOGY MILYEN ALAKÚ AZ ADOTT MINTA GYAKORISÁGI ELOSZLÁSÁNAK HISZTOGRAMJA. SEMMILYEN MÁS INFORMÁCIÓNK NINCS A MINTÁRÓL.

A Csebisev-egyenlőtlenségből származó becsléseket pontosabbá tehetjük, ha tudjuk, hogy az adott minta gyakorisági eloszlásának hisztogramja jellegzetes alakú. Ennek a feltételnek megfelelnek – például – azok a minták, amelyek gyakorisági eloszlása majdnem szabályos.

A

MINTA ELEMEINEK

ELOSZLÁSA A GYAKORISÁGOK MEGKÖZELÍTŐLEG NORMÁLIS ELOSZLÁSA ESETÉN

Megjegyezzük, hogy azokat a mintákat nevezhetjük szabályosaknak, amelyeknek hisztogramja elég pontosan követi a normális eloszlás görbéjét (tehát az ábrán látható haranggörbét). Ha x és σ rendre a számtani közepet és a szórást jelöli, akkor

AZT JAVASOLJUK, HOGY LAPOZZ VISSZA A 43. OLDALRA, A NORMÁLIS ELOSZLÁS GÖRBÉJÉHEZ!

• az összes elemnek kb. a 68%-a fekszik az (x¯ – σ, x¯ + σ) intervallumban; • az összes elemnek kb. a 95%-a fekszik az (x¯ – 2σ, x¯ + 2σ) intervallumban; • az összes elemnek kb. a 99%-a fekszik az (x¯ – 3σ, x¯ + 3σ) intervallumban. Minél jobban közelíti a hisztogram alakja a normális eloszlás görbéjét, minél nagyobb az oszlopainak száma, és minél rövidebben az osztályközök, annál kisebb a különbség az adatok valódi eloszlása és az említett százaláklábak közt.

A 68%, 95% ÉS 99% ÉRTÉKEK, AMELYEK A NORMÁLIS ELOSZLÁS GÖRBÉJÉVEL FÜGGNEK ÖSSZE, A 68,268 949 …%, 95,449 973 …% ÉS 99,730 020 …% ÉRTÉKEK KEREKÍTÉSÉVEL KELETKEZTEK. (KISZÁMÍTÁSUK JÓVAL MEGHALADJA A KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKA KERETEIT.) AZ UTOLSÓ ÉRTÉKET TUDATOSAN KEREKÍTETTÜK LEFELÉ. SZERETTÜK VOLNA ELKERÜLNI A NEM TÚL JÓL HANGZÓ MEGFOGALMAZÁST: A MINTA ELEMEINEK KB. 100%-A FEKSZIK AZ (x¯ – 3σ, x¯ + 3σ) INTERVALLUMBAN, UGYANAKKOR HANGSÚLYOZNI KÍVÁNTUK, HOGY ÁLTALÁBAN NEM A TELJES MINTA FEKSZIK EBBEN AZ INTERVALLUMBAN.

körülbelül 95%

x– + 3σ

körülbelül 68%

x– + 2σ

x–

x– + σ

x– – σ

x– – 2σ

x– – 3σ

A minta elemeinek eloszlása a gyakoriságok megközelítőleg normális eloszlása esetén

körülbelül 99%

73

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

FELADAT

17. Az előző fejezetben már foglalkoztunk a gyakoriságok megközelítőleg normális eloszlásának egy híres példájával, amely 5378 skót katona mellbőségével foglalkozik (lásd az alábbi ábra hisztogramját). Ellenőrizd, hogy mennyire pontosak azok az információk, amelyeket az előző szövegrészben említettünk az adatok eloszlásáról! 1073 1079 934 749

abszolút gyakoriság

658

420

370

185 3 33

92

81

18 34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

50 45

21 46

4 47

1 48

mellbőség (hüvelykben)

A szakirodalomban vagy az interneten a szórásnégyzet képletének ismert σ = 2

(x1 – x¯ )2 + (x2 – x¯ )2 + ... + (xn – x¯ )2 n

(1)

alakja mellett gyakran találkozhatunk az alábbi, nagyon hasonló képlettel: 2

s =

(x1 – x¯ )2 + (x2 – x¯ )2 + ... + (xn – x¯ )2 n–1

(2)

amelynek a nevezőjében az n helyett n – 1 áll (és a σ szimbólumot ilyenkor rendszerint egy s betű helyettesíti). A két képletet más-más helyzetben szokás használni: • Ha a vizsgált minta minden elemét ismerjük, akkor a szórásnégyzetet az (1) képlettel számítjuk ki. • A gyakorlatban azonban az összes adat helyett – tehát az egész statisztikai minta helyett – csupán a minta valamelyik részhalmazának az adatait ismerjük. Például, ha azt kérdezzük, hogy „Milyen magasak a 14 éves lányok?”, akkor az összes 14 éves lány helyett csak egy alkalmasan kiválasztott mintába tartozó 14 éves lányok csoportjának tetmagasságát vizsgáljuk. Ebből próbálunk információkat szerezni a teljes mintáról. Mindenekelőtt megállapítjuk a számtani közepét és szórásnégyzetét (hiszen bármely statisztikai mintának ezek a legalapvetőbb jellemzői). Ha ráadásul azt is feltételezhetjük, hogy a minta eloszlása megközelítőleg normális, akkor ez a két információ bőven elegendő a normális eloszlás görbéjének meghatározásához. Ha csupán a minta részhalmazából kiindulva szeretnénk megállapítani a szórásnégyzetet, akkor a (2) képlettel számolunk. Ebben a fejezetben csupán az első képletre vonatkozó esetekkel foglalkoztunk, a második túllépi a középiskolai matematika kereteit.

74

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

3.4. További feladatok FELADATOK

18. Határozd meg a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével, hogy a vizsgált esetekben a terhesség időtartama hány százalékban a) tért el az átlagtól legalább a szórás 3-szorosával (tehát hogy legfeljebb 251 nap, vagy legalább 314 nap volt); b) tért el kevesebb, mint 3 hetet az átlagtól, tehát a(z) ..... értékek közt mozgott (egészítsd ki!); c) tért el kevesebb, mint 2 hetet az átlagtól, tehát a(z) ..... értékek közt mozgott (egészítsd ki!)!

A

TERHESSÉG IDŐTARTAMA

A TERHESSÉG IDŐTARTAMÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA EGY OLYAN SZABÁLYT HASZNÁLNAK, AMELYET 1812BEN FOGALMAZOTT MEG EGY NÉMET NŐGYÓGYÁSZ, FRANZ KARL NAEGELE: HA A KISMAMÁNAK 28 NAPOSAK VOLTAK A MENSTRUÁCIÓS CIKLUSAI, AKKOR A TERHESSÉG STANDARD IDŐTARTAMA 280 NAP. ENNEK A BECSLÉSNEK A PONTOSSÁGÁT TÖBB TANULMÁNY IS IGAZOLTA. AZ EGYIKBEN 865 OLYAN KISMAMA VETT RÉSZT, AKINEK 28 NAPOSAK VOLTAK A CIKLUSAI. A TERHESSÉGÜK ÁTLAGOS IDŐTARTAMA 282,5 NAP VOLT (AZ ADATOK 237 NAPTÓL 318 NAPIG TERJEDTEK), A SZÓRÁS 10,5 NAP VOLT..

19. A biológiai olimpiáról szóló jelentésben ez olvasható: Az A kategóriában a szerzett pontok átlaga 24 volt (a szórás ±8). A legmagasabb (maximálisan elérhető) 40-es pontszámot a 23 résztvevőből csupán 1 versenyző szerezte meg. A Csebisev-egyenlőtlenség segítségével határozd meg, hogy a biológiai olimpia résztvevői közül hányan szereztek legfeljebb 8 pontot!

Az alapgondolat…

A CSEBISEV-

Az alapgondolat egyszerű: ha tudjuk, hogy pl. 10 nem negatív szám összege 120, akkor nem lehet közöttük sok 30-nál nagyobb összeadandó. Nyilván legfeljebb 4 lehet, különben az összeg 120-nál nagyobb lenne. (Miért fontos az az információ, hogy az összeadandók nem lehetnek negatívak?)

EGYENLŐTLENSÉG BIZONYÍTÁSA

FELADATOK

20. Az említett példában hány olyan összeadandó lehet, amely nagyobb vagy egyenlő, mint a) 60 b) 40 c) 35 d) 49 ? 21. Valahány nem negatív szám összege 12 465,7. Legfeljebb hány olyan összeadandó lehet közöttük, amely nagyobb 314-nél vagy egyenlő 314-gyel?

A 20. és 21. feladat megoldását így fogalmazhatjuk meg:

ma, á z m n e e n g a y t í n v s á s z h á m a a l összege S, ak a kor azoknak az összeadandóknak S Ha v . (*) a g n y k o e b y b l a e k , m m i nt n vagy eg a t n i n m yenlők n-nel, nem lehet nagyobb, Ha például

S = 39,699... (ez a helyzet állt elő a 21. feladatban), akkor tudjuk, hogy az összen

adandók száma kisebb, mint 36,699… vagy egyenlő 39,699…-del. (Mivel az összeadandók száma egész szám, ebben az esetben az összeadandók száma biztosan kevesebb, mint 39 vagy egyenlő 39-cel.) … és alkalmazása: Képzeljünk el egy mintát, amelynek n eleme van: x1, x2, …, xn. Számtani közepük legyen x¯ , a szórás egy pozitív σ szám (tehát a szórásnégyzet σ2)!

75

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS Az alábbi táblázat bal oldali oszlopában ezt az általános esetet vezetjük le, a jobb oldaliban pedig – a szemléletesség kedvéért – egy olyan mintáét, amelynek n = 100 eleme van, a számtani közepe x¯ = 50 , a szórása pedig σ = 2. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a mintának hány eleme található az x¯ számtani középtől legalább a σ szórás háromszorosára. Először írjuk a szórásnégyzet képletét…

σ2 =

(x1 – x¯ )2 + (x2 – x¯ )2 + ... + (xn – x¯ )2

4=

n

(x1 – 50)2 + (x2 – 50)2 + ... + (x100 – 50)2 100

…írjuk le ebben az alakban: n . σ2 = (x1 – x¯)2 + (x2 – x¯)2 + ... + (xn – x¯ )2

100 . 4 = (x1 – 50)2 + (x2 – 50)2 + ... + (x100 – 50)2

(**)

(Mindkét oldalt megszoroztuk a jobb oldal nevezőjével.) Most már visszatérhetünk a kérdéshez: a mintának hány eleme található az x¯ számtani középtől legalább a σ szórás háromszorosára. Konkrét esetünkben: hány elem található az x¯ = 50 -től 3 · 2 = 6-ra vagy ennél nagyobb távolságra? Ha x a minta ilyen eleme, akkor: |x – x¯| ≥ 3 . σ, ami így is leírható: (x1 – x¯)2 ≥ 9 . σ2

|x – 50| ≥ 3 . 2, ami így is leírható: (x – 50)2 ≥ 9 . 4

Ezért az eredeti kérdésünket így fogalmazhatjuk át: az (**) összegnek hány összeadandója nagyobb az (**) összegnek hány összeadandója nagyobb vagy egyenlő, mint 9 · σ2? vagy egyenlő, mint 9 · 4? Ezt először jól gondold át, mielőtt továbblépnél! Mivel a (**) összegben az egyik összeadandó sem negatív szám, alkalmazhatjuk a (*) összefüggést. Ebből következik, hogy azoknak az összeadandóknak a száma, amelyek nagyobbak vagy egyenlők, mint 9 · σ2, nem több, n . σ2 n mint = . 9 . σ2 9 n olyan eleme van, amely 3 · σ Tehát a mintának 9 vagy ennél nagyobb távolságra van az x¯ számtani középtől.

azoknak az összeadandóknak a száma, amelyek nagyobbak vagy egyenlők, mint 9 · 4, nem több, 100 . 4 100 mint = = 11,11... . 9.4 9 Tehát a mintának 11 olyan eleme van, amely 3 · σ = 6 vagy ennél nagyobb távolságra van az x¯ számtani középtől. n

8

n darab van) 9 9 az x¯ számtani középtől 3 · σ-nál kisebb távolságra van.

A minta többi eleme (ezekből legalább n –

76

=

Amit most bebizonyítottunk, nem más, mint a Csebisev-egyenlőtlenségről a 71. oldalon olvasható rész (A) állítása.

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS

FELADATOK

22. Ismételd meg az előző levezetést a 3σ érték helyett 2σ-val és esetekre! hogy ezzel a (B) állítást igazoltad a t = 2 és a t =

σ-val! Ellenőrizd,

23. Beszéljétek meg, hogy alkalmazható-e hasonló levezetés abban az esetben is, ha nem a szórásnégyzetet adjuk meg, hanem a számtani középtől való átlagos abszolúteltérést!

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS – EREDMÉNYEK

1. A második csoport teljesítményét tekinthetjük kiegyensúlyozottabbnak. (Az első hisztogram eredményei a másodikhoz képest egyenletesebben oszlanak meg, míg a második esetben inkább egy középérték körül csoportosulnak.) 2. a) Az elsőt tekinthetjük pontosabbnak. 3. Mindkét esetben 0-t kapunk. Ez a számtani közép alaptulajdonságából következik. (A számtani középtől mért eltérések összege 0.) Lásd a 37. oldalon A számtani középtől számított eltérések összege 0 című részt! Tehát sem az átlagtól való összes eltérés összege, sem a számtani középtől számított eltérések átlaga nem függ össze az adatoknak a számtani középtől számított szóródásával. 4. A 3. feladat javaslataiból azért kaptunk 0 összeget, hogy az eltéréseket előjellel együtt értelmeztük. (Tehát a számtani középtől kisebb eltérések negatív számok voltak.) Az előjelek problémáját megoldhatjuk, ha az eltérést az abszolúteltéréssel helyettesítjük. a) Az abszolúteltérések összege: |84 – 100| + |86 – 100| + |90 – 100| + |91 – 100| + |93 – 100| + |94 – 100| + |95 – 100| + |96 – 100| + |97 – 100| + 16

14

10

9

7

6

5

4

3

+ |99 – 100| + |100 – 100| + |101 – 100|+|102 – 100| + |105 – 100| + |108 – 100| + |109 – 100| + |111 – 100| + 1

0

1

2

5

+ |112 – 100| + |113 – 100| + |114 – 100| = 150 12

13

14

Geometriailag ezt úgy értelmezhetjük, mint a 6. ábrán látható szakaszok hosszúságainak összegét. Az egyszerűség kedvéért akkor is szakaszról beszélünk, amikor a mért adat megegyezik a számtani középpel. (Ez a helyzet a 100-as értékre áll elő, amikor a szakasz végpontjai egybeesnek. b) A tárgyalt eset pl. a 95, 100, 105 és a 98, 98, 99, 99, 100, 101, 101, 102, 102 minták esetében következik be. 5. Ez a szám a 150 : 20 = 7,5, tehát a 6. ábrán látható szakaszok átlagos hosszúsága. Megjegyezzük, hogy akkor is szakaszról beszélünk, amikor a mért adat megegyezik a számtani középpel. (Ez a helyzet a 100-as értékre áll elő.) A szakaszt így értelmezve az ábrán 20 szakasz látható (ebből az egyik hossza 0). 6. Bízunk benne, hogy a vita során ti is arra a következtetésre jutottatok, hogy a három eset közül csupán a kvartilisterjedelem alkalmas a szóródás kifejezésére. 7. a) Az 1. a) ábra mintája: σ2 =

02 + 02 + 02 + 12 + 02 + (–1)2 + 02 + 02 8

=

2 8

=

1 4

8

9

11

120,00 118,00 116,00 114,00 112,00 110,00 108,00 106,00 104,00 102,00 100,00 98,00 96,00 94,00 92,00 90,00 88,00 86,00 84,00 82,00 80,00

6. ábra A kék pontok a 3. b) ábra alapján mért adatokat szemléltetik. A piros vonal a számtani közepük. A szakaszok egyik végpontja a számtani közép, a másik pedig a mért adat.

77

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS – EREDMÉNYEK Az abszolút gyakoriságokkal elvégzett számítás (a 2-es érdemjegy gyakorisága 6, az 1-esé és a 3-asé 1): (–1)2

02

12

1 σ = 1 . (1 – 2)2 + 6 . (2 – 2)2 + 1 . (3 – 2)2 . 8 2

az 1-es az 2-es az 3-as gyakorisága gyakorisága gyakorisága

Az 1. b) ábra statisztikai mintájának szórásnégyzete: σ2 =

(–1)2 + 22 + 02 + 12 + (–1)2 + (–1)2+ 12 + (–1)2 8

(–1)2

02

12

=

10 5 = . 8 4

22

1 4 . (1 – 2)2 + 1 . (2 – 2)2 + 2 . (3 – 2)2 + 1 . (4 – 2)2 Számítás abszolút gyakoriságokkal: σ = 8 1 b) σ2 = [(84 – 100)2 + (86 – 100)2 + (90 – 100)2 + (91 – 100)2 + (93 – 100)2 + (94 – 100)2 + (95 – 100)2 + (96 – 100)2 + (97 – 100)2 + 20 2

+ (99 – 100)2 + (100 – 100)2 + (101 – 100)2 + (102 – 100)2 + (105 – 100)2 + (108 – 100)2 + (109 – 100)2 + (111 – 100)2 + + (112 – 100)2 + (113 – 100)2 + (114 – 100)2 = 1 574 : 20 = 78,7. c) σ2 =

1 [1 . (0 – 5,65)2 + 1 . (1 – 5,65)2 + 2 . (2 – 5,65)2 + 2 . (3 – 5,65)2 + 5 . (4 – 5,65)2 + 6 . (5 – 5,65)2 + 8 . 40

. (6 – 5,65)2 + 7 . (7 – 5,65)2 + 5 . (8 – 5,65)2 + 2 . (9 – 5,65)2 + 1 . (10 – 5,65)2 = 193,1 : 40 = 4,827 5. d) σ2 = 3,01. 2 . (–3) + 3 . (–2) + 4 . (–1) + 5 . 0 + 4 . 1 + 2 . 2 e) A számtani közép: x¯ = = –0,4. 20 1 . (2 . [–3 – (–0,4)]2 + 3 . [–2 – (–0,4)]2 + 4 . [–1 – (–0,4)]2 + 5 . [0 – (–0,4)]2 + 4 . [1 – (–0,4)]2 + A szórásnégyzet: σ2 = 20 1 42,8 . [2 . (–2,6)2 + 3 . (–1,6)2 + 4 . (–0,6)2 + 5 . 0,42 + 4 . 1,42 + 2 . 2,42] = = 2,14. + 2 . [2 – (–0,4)]2) = 20 20 1 8. σ2 = [n . (y1 – ¯y )2 + n2 . (y2 – ¯y )2 + ... + nk . (yk – ¯y )2] vagy (ha a minta kumulált gyakoriságát, vagyis n1 + n2 + ... + nk 1 1 [n . (y1 – ¯y )2 + n2 . (y2 – ¯y )2 + ... + nk . (yk – ¯y )2]. (*) az n1 + n2 + … + nk összeget n-nel jelöljük: σ2 = n 1 k 1 nj . (yj – ¯y )2 . Ugyanez a szimbólummal felírva: σ2 = n + n + ... + n 1 2 k j =1

Σ

Σ

9. Ha a (*)-ban a zárójelben levő összes tagot elosztjuk n-nel, ezt kapjuk: n n n (**) σ2 = 1 . (y1 – ¯y )2 + 2 . (y2 – ¯y )2 + ... + k . (yk – ¯y )2. n n n n n n Az 1 , 2 , ..., k számok az y1, y2, …, yk értékek relatív gyakoriságai, amelyek azonosak a feladat p1, p2, …, pk értékeivel, n n n tehát a (**) így írható fel: σ2 = p1. (y1 – ¯y )2 + p2. (y2 – ¯y )2 + ... + pk . (yk – ¯y )2.

Σ szimbólummal felírva: σ2 = Σ pj . (yj – ¯y)2 . k

Ugyanez a

j =1

|x1 – ¯x| + |x2 – ¯x| + ... + |xn – ¯x| 1 n |x – ¯x| . vagy MAD = n n j =1 j 1 11. MAD = [n . |y1 – ¯y| + n2 . |y2 – ¯y| + ... + nk . |yk – ¯y|] vagy n1 + n2 + ... + nk 1 k 1 nj . |yj – ¯y |. MAD = n + n + ... + n 1 2 k j =1

Σ

10. MAD =

Σ

k

12. MAD = p1 . |y1 – ¯y | + p2 . |y2 – ¯y | + ... + pk . |yk – ¯y | vagy MAD = 13. σ =

2

Σ pj . |yj – ¯y|. j =1

78,7 (m ) = 8,871 302... (m) . 3 15. a) Legalább n elem, tehát a minta kumulált gyakoriságának legalább 75%-a. (Elég, ha a (B) állításban a t helyébe 2-t 4 írunk.)

78

A SZÓRÁSNÉGYZET ÉS A SZÓRÁS – EREDMÉNYEK 1 b) A (B) szerint az (x¯ – 2,5 . σ, ¯x + 2,5 . σ) intervallumban fekszik a minta elemeinek legalább 100 . 1 – = 84%-a. Ezért 2,52 ezen az intervallumon kívül a minta elemeinek legfeljebb 100 – 84 = 16%-a található. c) Keressük meg azt a t > 0 értéket, amelyre az (x¯ – t . σ, ¯x + t . σ) intervallumban fekszik az értékek legalább 50%-a, vagy – ami ugyanaz –, amelyre az értékeknek legfeljebb az 50%-a fekszik az (x¯ – t . σ, ¯x + t . σ) intervallumon kívül. A (B) összefüggés és 100 az azt követő szöveg szerint azok a t számok rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal, amelyekre 2 ≤ 50. Oldjuk meg először t 100 1 1 . (Természetesen csak a pozitív t értékeket a 2 ≤ 50 egyenlőtlenséget! Fokozatos rendezéssel kapjuk, hogy 2 = , t = t t 2 100 100 szám megoldása. (A t2 nevező növekedésével a 2 tört értéke keressük.) Ezért a 2 ≤ 50 egyenlőtlenségnek minden t < t t 100 100 -re igaz a 2 = 50 egyenlőség, akkor a 2 ≤ 50 egyenlőtlenség minden ennél nagyobb t-re igaz csökken; ha tehát a t = t t σ. lesz. Ezért a d értékét úgy kell megválasztanunk, hogy nagyobb legyen, mint 16. • Az (x¯ – 3σ, x¯ + 3σ) = (73,386..., 126,613...) intervallum a minta összes elemét (tehát 100%-át), a Csebisev-egyenlőtlenség értelmében legalább a 88%-át tartalmazza. • Az (x¯ – 2σ, x¯ + 2σ) = (82,257..., 117,742...) intervallum a minta elemeinek 100%-át, a Csebisev-egyenlőtlenség értelmében legalább a 75%-át tartalmazza. • Az (x¯ – σ, x¯ + σ) = (87,454..., 112,545...) intervallum a 20 értékből 16-ot, tehát a minta elemeinek 80%-át tartalmazza, a Csebisev-egyenlőtlenség értelmében ez legalább 50%. 17. Ebben a mintában x¯ = 39,831... , σ2 = 4,201... , σ = 2,049... . • Az (x¯ – σ, x¯ + σ) = (37,78..., 41,88...) intervallumban 749 + 1 073 + 1 079 + 934 = 3 835 érték található, ami az egész minta 3835 = 0,668... része, azaz kb. 67%-a. 5738 • Az (x¯ – 2σ, x¯ + 2σ) = (35,73..., 43,93...) intervallumban 5 468 érték található (ez a 36–43 hüvelyknyi mellbőségek abszolút 5468 = 0,952... része, azaz kb. 95%-a. gyakorisága), ami az egész minta 5738 • Az (x¯ – 3σ, x¯ + 3σ) = (33,68..., 45,98...) intervallumban 5 709 érték található (ez a 34–45 hüvelyknyi mellbőségek abszolút 5709 = 0,994... kb. 99%-a. gyakorisága), ami az egész mintának 5738 1 1 18. a) A 72. oldal (B) állítása után álló szöveg szerint ez az összes elemnek legfeljebb az 2 = része, azaz kb. 11%-a. 3 9 1 . 865 = 96,111 ..., tehát legfeljebb 96 ilyen kismama volt.) b) A 3 hét = 21 nap a szórás kétszerese. (Ebben az esetben 9 22 – 1 3 része, azaz a 75%= A (B) összefüggés alapján 2 szórásnyinál kisebb távolságra található az eseteknek legalább a 22 4 – 14 4 3 . 865 = 648,75, ezért ez 649 kismamát jelent.) c) A 2 hét = 14 nap a szórás = 1,3 = -szorosa. A (B) a. (Mivel 10,5 3 4 7 9 1 1 4 szórásnyinál kisebb távolságra található az eseteknek legalább 1 – összefüggés alapján =1– =1– = 2 3 16 16 16 4 9 3 7 . része, azaz legalább 43,75%-a. (Mivel 865 = 378,437 5 ..., ezért ez 379 kismamát érint.) 16 19. A 8 távolsága az átlagos 24-től 16, és ez a szórás kétszerese. A (B) állítás utáni szöveg szerint az átlagtól legalább 2 szórásnyira 1 1 = része, azaz 25%-a található. Esetünkben ez azt jelenti, hogy a (24 – 16; 24 + 16) = (8; 40) 22 4 1 . 23 = 5,75 – legfeljebb 5 versenyző található. Tudjuk, hogy csak egyetlen versenyző ért el 40 intervallumon kívül – mivel 4

a mintának legfeljebb

pontot, ezért 8 és 8-nál kevesebb pontot legfeljebb 4-en szerezhettek. 20. a) Legfeljebb 2. b) Legfeljebb 3. c) Legfeljebb 3. (120 : 35 = 3,428…, ezért 3 · 35 még kevesebb, mint 120, de 4 · 35 már több.) d) Legfeljebb 2. (120 : 49 = 2,448… .) 21. Legfeljebb 39 (12 465,7 : 314 = 39,699…, ezért 39 · 314 még kevesebb, mint 12 465,7, de 40 · 314 már több. 23. Igen, hasonló levezetést alkalmazva, amelyben a 76. oldal (**) összefüggése helyett az n . MAD = |x1 – ¯x| + |x2 – ¯x| + ... + + |xn – ¯x|egyenlőségből kiindulva (a MAD jelölésről lásd a 10. feladatot!) igazolhatjuk, hogy a következő állítás megfelel a (B) állításnak: Ha egy mintának n eleme van, akkor a számtani középtől t · MAD-nál kisebb távolságra – tehát az (x¯ – t · MAD; ¯x + t · MAD) intervallumban – t – 1 elem van. (B') t

79

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

4. A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG 4.1. A SZINUSZ, A KOSZINUSZ ÉS A TANGENS A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGBEN

4.2. A SZINUSZ, A KOSZINUSZ ÉS A PONT HELYZETE A SÍKON

4.3. A SZINUSZ ÉS A KOSZINUSZ FOGALMÁNAK KITERJESZTÉSE A

0°–360°

A szögfüggvények nélkül nem boldogulnának sem a csillagászok, sem az elektrotechnikusok, de a földmérők sem. A szinuszon, a koszinuszon és a tangensen kívül, amelyről ebben a fejezetben szó lesz, ide tartozik még a kotangens, a szekáns és a koszekáns, amelyekkel most nem fogunk foglalkozni. Elmondjuk ezeknek a függvényeknek a derékszögű háromszögre értelmezett definícióját, és megmutatjuk, hogy az említett függvények fogalma az általános háromszögekre is kiterjeszthető. A pont síkbeli meghatározásának kétféle módszerén keresztül (a derékszögű és a polárkoordinátákon keresztül) eljutunk a 90°-nál nagyobb szögek szinuszának és koszinuszának definíciójához. Meggyőződünk róla, hogy ennek az általánosabb definíciónak köszönhetően egyszerűbbé válik néhány képlet felírása. A témakör végén megtekinthetjük a szinusz- és koszinuszfüggvény grafikonját, amelyet a szimmetriatulajdonságok vizsgálatára is fel fogunk használni. A szinusz, a koszinusz és a tangens a trigonometria fontos eszköze, amelynek segítségével ki tudjuk számítani a háromszög hiányzó adatait (az oldalait, a szögeit, a magasságait) az ismert adatokból. A trigonometria a csillagászati számításoknak köszönheti létrejöttét.

TARTOMÁNYRA

4.4. A SZINUSZ ÉS

TRIGONOMETRIAI SZÁMÍTÁSOK A CSILLAGÁSZATBAN

A KOSZINUSZ AZ ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖGBEN

4.5. A SZINUSZ ÉS KOSZINUSZFÜGGVÉNYEK GRAFIKONJAI A

0°–360° GÖRÖG BÉLYEG ARISZTARKHOSZ A NAP ÉS A HOLD TÁVOLSÁGÁRÓL CÍMŰ

TARTOMÁNYBAN

4.6. A 360-NÁL NAGYOBB ÉS A NEGATÍV SZÖGEK

MUNKÁJÁNAK KÉPÉVEL

4.7. TOVÁBBI FELADATOK

A TRIGONOMETRIAI SZÁMÍTÁSOK NYOMAIT MÁR A SZAMOSZI ARISZTARKHOSZ (KB. KR. E. 270-BEN) CSILLAGÁSZATI SZÁMÍTÁSAIBAN IS FÖLFEDEZHETJÜK, AKI A NAP ÉS A HOLD MÉRETÉT, ILLETVE A FÖLDTŐL VALÓ TÁVOLSÁGUKAT IGYEKEZETT KISZÁMÍTANI. AZ ELSŐ SZÖGFÜGGVÉNYTÁBLÁZATOT EGY MÁSIK GÖRÖG CSILLAGÁSZ, HIPPARKHOSZ (KB. KR. E. 190–120) ÁLLÍTOTTA ÖSSZE. TÁBLÁZATAIBAN MEGTALÁLHATÓ A KÖR HÚRJÁNAK HOSSZA ÉS A KÖZÉPPONTI SZÖG KÖZTI ÖSSZEFÜGGÉS; A HÚR HOSSZÚSÁGÁNAK CHORDA VOLT A NEVE. A CHORDÁTÓL A SZINUSZIG (AMI TULAJDONKÉPPEN A CHORDA FELE) VEZETŐ ÚT FELFEDEZÉSÉT (KB. 510-BEN) AZ INDIAI MATEMATIKUSOKNAK KÖSZÖNHETJÜK

A csillagászok az égitestek mozgását gömbön ábrázolják. Ezért a trigonometria fejlődésének „csillagászati szakaszában” fontosabb volt a gömbi geometria, mint a síkgeometria. Tankönyvünkben a síkgeometriára szorítkozunk.

JOHANN MÜLLER – REGIOMONTANUS (1436–1476)

80

A TRIGONOMETRIÁNAK MINT ÖNÁLLÓ (A CSILLAGÁSZATTÓL ELSZAKADT) TUDOMÁNYTERÜLETNEK A FEJLŐDÉSÉT JOHANN MÜLLER MŰVE ALAPOZTA MEG. JOHANN MÜLLERT REGIOMONTANUSKÉNT ISMERJÜK. (NEVE A SZÜLŐVÁROSA, KÖNIGSBERG LATIN VÁLTOZATA.) A DE TRIANGULIS OMNIMODIS LIBRI QUINQUE (ÖT KÖNYV MINDENFÉLE HÁROMSZÖGEKRŐL) CÍMŰ MUNKÁJÁBAN (EUKLEIDÉSZ ELEMEK CÍMŰ MŰVÉNEK MINTÁJÁRA) MAGYARÁZTA A TRIGONOMETRIA ALAPJAIT. REGIOMONTANUS 1467-TŐL 1471-IG MAGYARORSZÁGON MATEMATIKÁT ÉS CSILLAGÁSZATOT TANÍTOTT A MÁTYÁS KIRÁLY ÁLTAL ALAPÍTOTT POZSONYI/BRATISLAVA ACADEMIA ISTROPOLITANÁN. (EKKOR KIRÁLYHEGYI JÁNOSKÉNT HASZNÁLTA A NEVÉT. A FORD. MEGJ.)

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

4.1. A szinusz, a koszinusz és a tangens a derékszögű háromszögben A sin, cos, tan szimbólumokkal már találkoztunk. Idézzük fel a sin α, cos α és a tan α fogalmát, ha az α egy derékszögű háromszög belső szöge! Azok a derékszögű háromszögek, amelyeknek az egyik hegyesszöge α, páronként hasonlók – mert két szögük egybevágó (lásd az ábrát!) C5 C4 C2

C3

C1 α A

B1

B2

B3

B4

B5

3. Keresd meg az 1. ábra mintájának mósin α duszát! Igazold, hogy tan α = ! cos α (Indulj ki a 2. ábra háromszögeiből!)

ó og

sin α =

a szemközti befogó hossza

cos α =

tan α =

az átfogó hossza a mellette fekvő befogó hossza az átfogó hossza a szemközti befogó hossza a mellette fekvő befogó hossza

a)

1 α

b) α

tan α

BÁR A SIN α, COS α, TAN α ÉRTÉKEKET ARÁNYOKKÉNT DEFINIÁLTUK, HOSZÚSÁGOKKÉNT IS FELFOGHATÓK. HA A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÁTFOGÓJA 1, AKKOR BEFOGÓINAK HOSSZA SIN α ÉS COS α (2. a) ÁBRA). A SZÖG TANGENSE IS FELFOGHATÓ HOSSZÚSÁGKÉNT (2. b) ÁBRA).

cos α 1 3. ábra A szinusz-, koszinusz- és tangensértékek hosszúságokként is értelmezhetők a)

b α

b) α

b . cos α

c . tan α

2. A sin α és cos α értékekre mindig teljesül a (sin α)2 + (cos α)2 = 1 azonosság. Mondd el, hogyan lehet felhasználni a 2. ábrát az azonosság igazolására! A sin α négyzetét így is írhatjuk: sin2 α. Ekkor az azonosság ebben a formában írható: sin2 α + cos2 α = 1.

a szög melletti befogó

sin α

1. Számítsd ki a 3, 4, 5 oldalú derékszögű háromszög legkisebb belső szögének szinuszát, koszinuszát és tangensét!

α

b . sin α

FELADATOK

átf

A hasonló síkidomok megfelelő oldalainak aránya egyenlő, ezért a fenti háromszögekben ugyanolyan • az α-val szemközti befogó és az átfogó aránya. Ez az arány az α szög szinusza. Jele: sin α. • az α melletti befogó és az átfogó aránya. Ez az arány a szög koszinusza. Jele: cos α • az α-val szemközti és az α melletti befogó aránya. Ezt az arányt az α szög tangensének nevezzük. Jele: tan α vagy tg α.

a szöggel szemközti befogó

1. ábra Az AB1C1–AB5C5 háromszögek páronként hasonlók.

c 3. ábra Ha az átfogó hossza b, akkor a háromszög mindhárom oldalának hossza a 2. a) ábra háromszögének b-szerese. Ugyanez elmondható a b) ábráról is. 81

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

FELADAT

4. Számítsd ki a derékszögű háromszögek oldalainak hosszát! Az eredményeket kerekítsd 2 érvényes számjegyre!

a)

b)

d

c

51 b 27°

62°

a

215

c)

d)

79°

41°

32 y

r

s

x

12,5

A 4. b) FELADAT MEGOLDÁSA

A c oldal hossza a tan 62° =

c 215

összefüggésben fordul elő, ahonnan c = 215 · tan 62° = 404,3… ≈ 400 (A tan 62° értékét zsebszámológéppel állapítottuk meg.) A d oldal hossza a 215 cos 62° = d összefüggésből számítható ki: 215 = 457,9... ≈ 460. d= cos 62° ZSEBSZÁMOLÓGÉPPEL NEM CSUPÁN EGY ADOTT SZÖG SIN α, COS α ÉS TAN α ÉRTÉKEIT TUDJUK KISZÁMÍTANI, HANEM FORDÍTVA IS: MEG TUDJUK ÁLLAPÍTANI BÁRMELY HEGYESSZÖG NAGYSÁGÁT, HA ISMERJÜK PL. A SZINUSZÁT. AZT A HEGYESSZÖGET, AMELYNEK A SZINUSZA x, ARCSIN x-SZEL JELÖLJÜK. (TEHÁT PL. AZ ARCSIN 0,5 AZT A SZÖGET JELÖLI, AMELYNEK SZINUSZA 0,5.) HASONLÓ ÉRTELEMBEN HASZNÁLJUK AZ ARCCOS x, ARCTAN x JELÖLÉST. FELADAT

5. Számítsd ki az alábbi derékszögű háromszögek hegyesszögeinek nagyságát! Az eredményt kerekítsd egész fokokra! A SZÖGFÜGGVÉNYEKEN

a)

KÍVÜL EBBEN A FELADATBAN

b)

β

NÉHÁNY OLYAN GÖRÖG BETŰ

δ

17

NEVÉT IS FELSOROLJUK, AMELYEKKEL A SZÖGEKET

24

γ

α

SZOKÁS JELÖLNI: α (ALFA), β (BÉTA), γ (GAMMA), δ (DELTA), ε (EPSZILON), η (ÉTA), λ (LAMBDA), μ (MŰ)

12,5

10

c)

d) 315 η

ε

82

73

431

λ

64 μ

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

A 5. a) FELADAT MEGOLDÁSA

A feladat adataiból következik, hogy

10 10 , sin β = . 17 17 10 10 10 Az α hegyesszög koszinusza , tehát α = arccos . Az arccos értékét zsebszámoló17 17 17

cos α =

géppel számítjuk ki:

10 = 53,968...° ≈ 54°. 17 10 A β nagyságát hasonló módon állapíthatjuk meg (β = arcsin = 36,031...° ≈ 36°), egy17

α = arccos

szerűbb lenne azonban abból kiindulni, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°. Mivel derékszögű háromszögről van szó, ezért α + β = 90°, tehát β = 90° – α ≈ 90° – 54° = 36°. A FENTI SZÁMÍTÁSSAL KAPCSOLATBAN MONDJUK EL, MIT TUDUNK A KEREKÍTETT SZÁMOK MŰVELETEIRŐL! A 90° PONTOS VOLT, AZ 54° EGÉSZ FOKOKRA KEREKÍTETT ÉRTÉK, TEHÁT AZ ABSZOLÚT HIBÁJA LEGFELJEBB 0,5°. A KÜLÖNBSÉG ABSZOLÚT HIBÁJA NEM NAGYOBB, MINT AZ ABSZOLÚT HIBÁK ÖSSZEGE, EZ ESETBEN NEM NAGYOBB 0,5°-NÁL. EZ AZT JELENTI, HOGY A 36° PONTOSSÁGA EGÉSZ FOKOKBAN FEJEZHETŐ KI.

Miután a szinuszt és a koszinuszt a derékszögű háromszögben már értelmeztük, most a szinusz és a koszinusz fogalmát kiterjesztjük a 90°-nál nagyobb szögekre is. A következő tananyag – mintegy motiváló bevezetőként – választ ad arra a kérdésre, hogy mire lehet jó a szinusz és a koszinusz fogalmát kiterjeszteni a 90°-nál nagyobb, sőt a 180°-nál is nagyobb szögekre. Az az olvasó, aki nem érdeklődik az említett kérdés iránt, az egész 4. 2. részt átugorhatja: elég, ha néhány pillanatig elgondolkodik a 87. oldal 11. ábrája fölött, amely nyilvánvalóvá teszi a szinusz és a koszinusz kapcsolatát az egységkörrel, és azonnal átléphet a 90. oldal 15. ábrájához, majd a 13. feladattal foglalkozhat. A 90°-nál nagyobb szögek szinusza és koszinusza bevezetésének érveivel részben az említett fejezetrészt „átugró” olvasó is találkozhat: a szinusz és a koszinusz fogalma kiterjesztésének köszönhetően néhány fontos képlet egyszerűbb alakot ölthet. Ilyen pl. a koszinusztétel, amelyről a 4.4. fejezetben fogunk beszélni.

4.2. A szinusz, a koszinusz és a pont helyzete a síkon A pont helyzete a síkon két alapvető módszerrel határozható meg: derékszögű koordinátákkal vagy polárkoordinátákkal.





DERÉKSZÖGŰ (DESCARTES-FÉLE) KOORDINÁTÁK A síkon felveszünk két egymásra merőleges, egyforma beosztással ellátott számegyenest. Metszéspontjuk az O pont. A számegyeneseket koordinátatengelyeknek nevezzük, amelyek együtt koordináta-rendszert képeznek. Metszéspontjuk a koordináta-rendszer kezdőpontja (vagy origó). Bármely pont helyzetét egy-egy rendezett számpár határozza meg, amelyet az adott pont derékszögű (vagy Descartes-féle) koordinátáinak nevezünk. Hogy ez a leírás egyértelmű legyen, meg kell egyeznünk, hogy melyik koordináta-tengelyt tekintjük elsőnek és melyiket másodiknak. A pont koordinátáit ebben a sorrendben fogjuk megadni. Rendszerint a vízszintes koordinátatengelyt tekintjük elsőnek. (A koordinátatengelyek szokásos helyzete a 4. ábrán látható.) A koordinátatengelyek a síkot négy részre osztják, ezeket síknegyedeknek nevezzük.



DERÉKSZÖGŰ (DESCARTESFÉLE) KOORDINÁTÁK POLÁRKOORDINÁTÁK HOGYAN KELL A POLÁRKOORDINÁTÁKBÓL KISZÁMÍTANI A PONT DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTÁIT?



83

SZORÍTKOZZUNK AZ EGYSÉGKÖRRE!

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

derékszögű (Descartes-féle) koordináták a síkon 2. síknegyed

1. síknegyed

4

koordinátatengelyek [1,5; 3]

3 [–2,5; 2] 2 1

–4

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

5

6 a koordinátarendszer kezdőpontja

–1 [–1,5; 2] –2 [5, 2] 3. síknegyed

a pont koordinátái

4. síknegyed

–3 4. ábra

A 4. ábra [1,5; 3] koordinátájú pontjának helyzetét szabadon így írhatjuk le:

5 [1,

z O kezdőponttól 1, ; 3] = a 5 egységnyire

e fölf jobbra, majd 3 egységnyir

el é

Mielőtt más módon is leírnánk a pont helyzetét a derékszögű koordináta-rendszerben, egyezzünk meg, hogy az első koordinátatengelyt x-szel, a másodikat y-nal fogjuk jelölni. Az O kezdőpontú koordináta-rendszert, amelynek x és y a két koordinátatengelye, így jelöljük: Oxy.

FELADATOK

6. Jellemezd az összes olyan pontot, amelyek első (x) koordinátája az Oxy-koordinátarendszerben 1,5! 7. Jellemezd az összes olyan pontot, amelyek második (y) koordinátája az Oxy-koordináta-rendszerben 3!

Vizsgáljuk most meg a derékszögű koordináták „működését”! Az [1,5; 3] koordinátájú pont helyzetét úgy fogjuk fel mint két egyenes metszéspontját (lásd az 5. ábrát!).

84

•

Az egyik egyenes az összes olyan pontot tartalmazza, amelyek első koordinátája 1,5. Ez az egyenes párhuzamos az y tengellyel, és áthalad az x tengely 1,5 pontján, tehát eleget tesz az x = 1,5 feltételnek.

•

A másik egyenes az összes olyan pontot tartalmazza, amelyek második koordinátája 3. Ez az egyenes párhuzamos az x tengellyel, és áthalad az y tengely 3 koordinátájú pontján, tehát eleget tesz az y = 3 feltételnek.

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

x = 1,5

y

4

y=3

3

[1,5; 3]

2 1

–4

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2 –2 5. ábra A derékszögű koordináta-rendszerben az [1,5; 3 ] pontot az x = 1,5 és az y = 3 egyenesek metszéspontjában találjuk.

POLÁRKOORDINÁTÁK Fölveszünk a síkon egy félegyenest, amelyet polártengelynek (vagy kezdőiránynak) nevezünk. Kezdőpontját pólusnak is szokás nevezni. Bármely pont helyzete egyértelműen megadható a kezdőponttól mért távolságával és az irányszöggel (tehát a polártengelytől való elhajlással). Például a következő oldal 6. ábráján látható A pont helyzete így jellemezhető: „Az O pontból az A pont 35°-os szög alatt látszik a tengelytől balra, és 5 egységnyi távolságra van az O ponttól.”

(*)

Az A pont távolságát az O ponttól vezérsugárnak (rádiuszvektornak), a rajta áthaladó félegyenes polártengelytől való elhajlását az A pont poláris szögének (irányszögének) nevezzük. Ez az a szög, amellyel a polártengelyt az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatnunk az O pont körül, hogy az A pontra kerüljön. Az A pontba húzott sugár és az A pont irányszöge az A pont polárkoordinátái. A (*)-gal jelölt mondat matematikai leírása: az A pont polákoordinátái: [5; 35°].

UGYANILYEN GONDOLATON ALAPSZIK A HELYZETMEGHATÁROZÁS IRÁNYSZÖGGEL ÉS TÁVOLSÁGGAL.

EZZEL LEGTÖBBSZÖR A TURISZTIKÁBAN

VAGY A MA DIVATOS GEOCACHINGBEN TALÁLKOZUNK.

A POLÁRIS SZÖG AZ IRÁNYSZÖGTŐL CSUPÁN A MÉRÉS IRÁNYÁBAN KÜLÖNBÖZIK: AZ IRÁNYSZÖGET AZ ÓRAMUTATÓ JÁRÁSÁNAK MEGFELELŐ IRÁNYBAN, MÍG

észak

pontot az O pontból 35°-os szög alatt látjuk a polártengelytől balra, 5 cm-re az O ponttól. ] = ezt a ° 5 3 [5,

irányszög 30° távolság 350 m

A POLÁRIS SZÖGET AZ ELLENTÉTES IRÁNYBAN MÉRJÜK. A POLÁRTENGELY HELYZETE SEM UGYANOLYAN: AZ ÉSZAKI IRÁNY A TÉRKÉPEKEN ÁLTALÁBAN FÜGGŐLEGES, MÍG A MATEMATIKÁBAN VÍZSZINTES HELYZETŰ.

85

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

polárkoordináták a pont koordinátái

[5, 35°] A 5

vezérsugár

35°

poláris szög O

polártengely kezdőpont 6. ábra

A VEZÉRSUGARAT ÁLTALÁBAN r BETŰVEL, A POLÁRIS SZÖGET PEDIG ϕ-VEL (GÖRÖG KIS FÍVEL) JELÖLJÜK.

FELADATOK

8. Mit mondhatunk azokról a pontokról, amelyek vezérsugara 5? 9. Mit mondhatunk azokról a pontokról, amelyek poláris szöge 35°?

A pont helyzetét a derékszögű koordináták segítségével két egyenes metszéspontjaként határoztuk meg (5. ábra). Polárkoordináták segítségével is hasonló módon határozhatjuk meg a pont helyzetét. Mutassuk meg ezt a 6. ábra A pontjának példáján! Az összes olyan pont, amelynek a vezérsugara 5, egy O középpontú, 5 egységnyi sugarú körvonalon fekszik. Ennek a körnek az egyenlete a polárkoordináta-rendszerben: r = 5 (lásd a 7. ábrát). Az összes olyan pont, amelynek a poláris szöge 35°, az O kezdőpontú félegyenesen fekszik, amely úgy keletkezik, hogy a polártengelyt az óramutató járásával ellentétes irányban 35°-kal elforgatjuk az O pont körül. A félegyenes egyenlete a polárkoordinátarendszerben: ϕ = 35°.

• •

Az [5, 35°] polárkoordinátájú pont az r = 5 egyenletű kör és a ϕ = 35° félegyenes metszéspontja (7. ábra). r=5

ϕ = 35° [5, 35°]

35°

[1,5; 110°] 1,5

110°

234°

O

O 3 4 320°

[3, 320°]

[4, 234°] 7. ábra Az [5, 35°] polárkoordinátájú pont az r = 5 körvonal és a ϕ = 35° félegyenes metszéspontja.

86

8. ábra Ezen az ábrán további három pont polárkoordinátáit szemléltettük.

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG HOGYAN KELL A POLÁRKOORDINÁTÁKBÓL KISZÁMÍTANI A PONT DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTÁIT? Látható, hogy a derékszögű és a polárkoordináták közti átváltás szinusszal és koszinusszal oldható meg.

TEKINTSÜNK A 10. FELADATRA ÁLTALÁNOSABBAN! MEG SZERETNÉNK HATÁROZNI AZ ELSŐ SÍKNEGYEDBEN (AZ ELSŐ SÍKNEGYEDET A 84. OLDAL 4. ÁBRÁJÁN SZEMLÉLTETTÜK) FEKVŐ D PONT x ÉS y KOORDINÁTÁIT, HA ISMERJÜK A [ b , α] POLÁRKOORDINÁTÁIT. (LÁSD A 10. ÁBRÁT!) A 9. ÉS 10. ÁBRÁN LÁTHATÓ, HOGY A POLÁRTENGELYT AZ x TENGELY POZITÍV FELÉBEN VETTÜK FEL. y

y D

y=?

O

4

b

55°

α x

x=?

O

9. ábra

FELADATOK

D

y=?

x

x=? 10. ábra

10. Számítsd ki két tizedesjegynyi pontossággal a 9. ábra D pontjának x és y koordinátáit! 11. Írd fel a D pont derékszögű [x; y] koordinátáinak kiszámítására szolgáló képletet!

MEGOLDÁS

A feleletet a 81. oldal 3. a) ábráján látható háromszög adja meg. Ha az első síknegyedben fekvő D pont polárkoordinátái: [b; α], akkor derékszögű koordinátái: (*)

x = cos α, y = sin α.

Különleges esetben, ha a vezérsugár: b = 1 (tehát a D pont az 1 sugarú körvonalon fekszik), akkor a D pont koordinátái: x = cos α, y = sin α

(**)

(Lásd a 11. ábrát!) A 11. b) ábrán megjelöltük a szürke háromszög oldalait.

y

b) [cos α, sin α]

1 sin α

r=1

α O

cos α

1

1

1

x

sin α

a)

O cos α

9. ábra

α] α; sin s o c [ : ő síknegyedben fekvő [1, α] polárkoordinátájú pont derékszögű koordinátái Az els

87

.

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

OLDJUNK MEG MOST EGY-EGY HASONLÓ FELADATOT A TOVÁBBI HÁROM SÍKNEGYEDBEN! (AZT TANÁCSOLJUK, HOGY ALKOSSATOK AZ OSZTÁLYBAN HÁROM CSOPORTOT, ÉS MINDEN CSOPORT MÁS-MÁS SÍKNEGYEDDEL DOLGOZZON.) BÁR AZ ALÁBBIAKBAN KÖZÖLJÜK A MEGOLDÁST, PRÓBÁLKOZZATOK MEG VELE ÖNÁLLÓAN! HA NEHÉZNEK TŰNIK AZ ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS, VÁLASSZATOK A b ÉS α HELYÉBE KONKRÉT ADATOKAT (MINT AHOGY A 10. FELADATBAN TETTÜK), ÉS CSAK EZT KÖVETŐEN DOLGOZZATOK A b ÉS α ADATOKKAL! FELADAT

12. Írd fel a 12. ábrán adott D pont derékszögű [x, y] koordinátáinak kiszámítására szolgáló képletet!

y D

y=? b α O

x=?

x

12. ábra

MEGOLDÁS

A bal oldali oszlopban az általános megoldás látható, a jobb oldaliban (a szemléletesség kedvéért) ugyanez konkrét értékekkel: b = 6, α = 130°. A 13. ábra szürke háromszögében ismerjük a b átfogó hosszát és a β szög nagyságát.

β = 180° – α.

•

β = 180° – 130° = 50°.

Ezért ki tudjuk számítani a befogók hosszát: a vízszintes befogó hossza:

b cos β = b cos (180° – α)

•

6 . cos 50° = 3,856 7...

a függőleges befogó hossza:

b sin β = b sin (180° – α)

6 . sin 50° = 4,596 2...

A szürke háromszög vízszintes befogója megadja a D pont x koordinátájának távolságát az Oxy koordináta-rendszer kezdőpontjától. Hasonlóan: a függőleges befogó hossza azt fejezi ki, hogy milyen messze van a D pont y koordinátája az O kezdőponttól. A D pont a második síknegyedben fekszik, ezért:

•

x koordinátája negatív szám, tehát:

x = –b cos (180° – α),

•

x = –3,856 7...

y koordinátája viszont pozitív szám, tehát:

y = b sin (180° – α)

y = 4,596 2...

Tehát a D pont koordinátái: x = –b cos (180° – α), x = b sin (180° – α)

(A)

Különleges esetben, ha a D pont vezérsugara: b = 1 (tehát a D pont az egységkörön fekszik, lásd a 14. ábrát), akkor a D pont koordinátái:

88

x = –cos (180° – α), x = sin (180° – α)

(B)

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

y

y

b

x = –b cos β = = –b cos (180° – α)

β

r =1

y = sin (180° – α) 1 α

α O

1

D

y = b sin β = = b sin (180° – α)

x

–1

13. ábra

x = –cos (180° – α)

D

O

x

180° – α

14. ábra

SZORÍTKOZZUNK AZ EGYSÉGKÖRRE! A 11. és 12. feladatok megoldásából látható, hogy a derékszögű koordináták kiszámításához elég megkeresni azokat a pontokat, amelyek vezérsugarának hossza 1 (tehát amelyek polárkoordinátákkal adott alakja [1; α]). Ha egy ilyen pont derékszögű koordinátáit megszorozzuk egy b számmal, akkor egy olyan pont koordinátáit kapjuk meg, amelynek ugyanaz az α szög a poláris szöge, a vezérsugarának hossza pedig b. ELLENŐRIZD EZT AZ ÁLLÍTÁST! HASONLÍTSD ÖSSZE A 87. OLDAL 11. FELADATÁNAK MEGOLDÁSÁBAN A (*) ÉS (**) ÖSSZEFÜGGÉSEKET, A 88. OLDAL 12. FELADATÁNAK MEGOLDÁSÁBAN PEDIG AZ (A) ÉS (B) ALAKOKAT!

Matematikailag megfogalmazva: ha egy pont [1; α] polárkoordinátáinak az [x; y] derékszögű koordináták felelnek meg, akkor a [b; α] polárkoordinátáknak a [b · x; b · y] derékszögű koordináták felelnek meg. Ezért a továbbiakban azokra a pontokra szorítkozunk, amelyek vezérsugara 1. Ezek a pontok az egységkörön fekszenek. (Tehát egy olyan körvonalon, amelynek a középpontja a koordináta-rendszer O középpontja, a vezérsugarának hossza pedig 1.)

4.3. A szinusz és a koszinusz fogalmának kiterjesztése a 0°–360° tartományra A 11. és 12. feladatból kiderült, hogy az első vagy a második síknegyedben fekvő D pont derékszögű koordinátáinak kiszámítása a szinusz- és koszinuszértékekkel függ össze. Hasonló a helyzet a harmadik és a negyedik síknegyedben is. Az egységkörön fekvő D pont koordinátáinak kiszámítására szolgáló képleteket az alábbi táblázat tartalmazza. Hasonlítsátok össze a harmadik és a negyedik síknegyedre kapott eredményeiteket az 1. táblázat képleteivel! az [1; α] koordinátájú D pont derékszögű koordinátái első síknegyed α ∈ (0°, 90°)

x = cos α

y = sin α

második síknegyed α ∈ (90°, 180°)

x = –cos (180° – α)

y = sin (180° – α)

harmadik síknegyed α ∈ (180°, 270°)

x = –cos (α– 180°)

y = –sin (α – 180°)

negyedik síknegyed α ∈ (270°, 360°)

x = cos (360° – α)

y = –sin (360° – α)

1. táblázat

89

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG Ha a polárkoordinátákat az 1. táblázat segítségével váltjuk derékszögűekre, akkor számolnunk kell egy hátránnyal: állandóan ellenőriznünk kell, hogy a D pont hányadik síknegyedben fekszik. Ennek az az oka, hogy a szinusz- és koszinuszértékeket csak a hegyesszögekre értelmeztük. Ezért minden síknegyedre olyan képletet kell alkotnunk, hogy a szög, amivel számolunk, hegyesszög legyen. (Figyeld meg, hogy a táblázatban valóban csak a 0°–90° szögek szinuszával és koszinuszával dolgoztunk!) Ezt a hiányosságot ésszerűen kiküszöbölhetjük, ha a szinusz és a koszinusz fogalmát kiterjesztjük a 90°-nál nagyobb szögekre is. Láthattuk (a 87. oldal 11. ábráján), hogy a hegyesszög szinuszát és koszinuszát úgy is értelmezhetjük, mint az egységkörön fekvő, első síknegyedbeli pont derékszögű koordinátáit. A szinusz és a koszinusz alábbi definíciója (15. ábra) lehetővé teszi, hogy ez a tulajdonság a további három síknegyedben is helyes legyen.

A

SZINUSZ ÉS A KOSZINUSZ

FOGALMÁNAK KITERJESZTÉSE

Először győződj meg róla, hogy érted-e a 11. ábrát, majd olvasd el a 15. ábra alatti definíciót! y

cos α

r=1 α x

O

sin α [cos α, sin α] 15. ábra A sin α és cos α értékeinek meghatározása az egységkörön.

sz α (cos α) az [1, α] polár u , n i koordin tája sz á α n ( á z i s i s t o n á d u k r α kal adott pont x koo ) pedi k zin g az y A as koordinátája. A KÖVETKEZŐ FELADATOK SEGÍTSÉGÉVEL BEGYAKOROLJUK

FELADATOK

13. Határozd meg az alábbi szögfüggvényértékeket:

A SZINUSZ ÉS A KOSZINUSZ KITERJESZTETT ALKALMAZÁSÁT

a) sin 90° e) sin 270°

b) cos 90° f) cos 270°

c) sin 180° g) sin 0°

d) cos 180° h) cos 0°

14. Számítsd ki az alábbi szögfüggvényértékeket a 10–12. feladatokban alkalmazott módszer segítségével (tehát egy alkalmas derékszögű háromszög befogóinak kiszámításával): a) a 172° szinuszát és koszinuszát; b) a 237° szinuszát és koszinuszát; c) a 314° szinuszát és koszinuszát! A kapott eredményt hasonlítsd össze az 1. táblázat segítségével kapott eredménnyel; ellenőrizd zsebszámológéppel, a 172°, 237°, 314° szinuszának és koszinuszának kiszámításával!

• • 90

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

4.4. A szinusz és a koszinusz az általános háromszögben Bár a szinuszt és a koszinuszt eredetileg a derékszögű háromszögekre értelmeztük, az általános háromszögek számításainál is hasznukat vehetjük. Két fontos példát mutatunk: a háromszög területképletét és a koszinusztételt. Mindkét esetben abból fogunk kiindulni, hogy adott a háromszög két oldala és az ezek által közbezárt szög. A képleteken keresztül rá tudunk majd mutatni, hogy a szinusz és a koszinusz fogalmának kiterjesztése (lásd a 15. ábrát) milyen mértékben egyszerűsítheti a számításokat.



TERÜLETKÉPLETE 

FELADAT

15. Számítsd ki az ABC háromszög területét, amelyben b = 3, c = 4 és α = 75°!

MEGOLDÁS

b)

C

b=3

C

3 mc

α = 75° A

75° c=4

B

A

D

B

16. ábra

A 16. a) ábrán az ismert adatokat pirossal jelöltük. A terület kiszámításához a T=

1 c . mc , 2

(*)

képletből indulunk ki. Az mc magasságot kell kiszámítanunk. (A c oldal hossza ismert.) A magasságot a 16. b) ábra szürke ACD háromszögéből tudjuk kiszámítani. (Ismert az α = 75° szög és a b = 3 átfogó.) Az ACD háromszögben: sin 75° = ezért

mc , 3

mc = 3 . sin 75° = 3 . 0,965 9... = 2,897 7... (A sin 75° értékét zsebszámológéppel állapítottuk meg.) A c-t és az mc-t behelyettesíthetjük a (*) képletbe: T=

A KOSZINUSZ ÉS A KOSZINUSZTÉTEL

A SZINUSZ ÉS A HÁROMSZÖG TERÜLETKÉPLETE

a)

A SZINUSZ ÉS A HÁROMSZÖG

1 1 c . mc.= . 4 . 2,897 7... = 5,795 5... ≈ 5,80. 2 2

91

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

FELADATOK

16. Írd fel az alábbi háromszög T területképletét, ha adott a b és c oldal hossza, valamint az ezek által közbezárt α hegyesszög! (A megadott elemeket az ábrán pirossal jelöltük.) C b α c

A

B

17. ábra

17. Az előző feladatban feltételeztük, hogy az α hegyesszög. Nézzük meg most, hogy milyen képletet kapunk, ha az α tompaszög! Írd fel az alábbi háromszög T területképletét, ha adott a b és c oldal hossza, valamint az ezek által közbezárt α tompaszög! (Lásd a 18. ábrát!) C mc

b

α

D

c

A

B

18. ábra

Ha a 16. és a 17. feladatot helyesen oldottad meg, akkor az alábbi képleteket kaptad: T=

1 1 b . c . sin α, T = b . c . sin(180° – α) , 2 2

ahol az első képletben az α hegyesszög, a másodikban pedig tompaszög. Most megmutatjuk, hogy a szinusz (a 15. ábrán bemutatott) tágabb értelmezésének köszönhetően ezt a két képletet eggyel helyettesíthetjük. A 19. ábra alapján az α tompaszögről kijelenthetjük, hogy

A sin α = sin(180°– α) EGYENLŐSÉG A 12. FELADAT MEGOLDÁSÁBÓL ADÓDIK

sin α = sin(180° – α)

(LÁSD A 89. OLDAL 14. ÁBRÁJÁT). OTT AZONBAN

(A 19. a) ábrán ezt az összefüggést egy konkrét esettel szemléltetjük, ahol α = 152°.)

MÉG CSAK DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGEKBEN GONDOLKODTUNK.

y

EZÉRT

y

MOST ÚJRA BEBIZONYÍTJUK,

r=1

EZÚTTAL A SZINUSZ FOGALMÁNAK A

15. ÁBRÁN

A

sin 152°

BEMUTATOTT KIBŐVÍTÉSE SEGÍTSÉGÉVEL.

28°

A 19.

ÁBRÁN SZEMLÉLTETETT

r=1 sin 28°

152°

28°

x

B

28°

x

BIZONYÍTÁS UGYANAKKOR EGY ÁLTALÁNOS ELJÁRÁST KÍNÁL AZ EGYSÉGKÖR FELHASZNÁLÁSÁRA A SZINUSZ

19. a) ábra

ÉS A KOSZINUSZ FOGALMÁNAK ÉRTELMEZÉSÉHEZ.

(A 21.

A szinusz fogalmának kiterjesztése értelmében a sin 152° az A pont y koordinátája. Ezt az értéket az y tengelyen pirossal jelöltük.

25. FELADATBAN ÚJRA FEL FOGJUK HASZNÁLNI.) ÉS

92

A sin 28° értéke (a 28° a 180° és a 152° különbsége) a B pont y koordinátája. Az y tengelyen kékkel jelöltük

Az A és B pontnak ugyanaz az y koordinátája, ezért sin 152° = sin 28°.

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG y

y r=1 r=1

sin 180° – α

sin α

A

B

α 180° – α

x

180° – α

180° – α

x

WILLEBORD 19. b) ábra A sin α = sin (180°– α) összefüggés minden α tompaszögre igaz. (Ez az egyenlőség akkor is igaz, ha a szög nem tompaszög.)

VAN

ROIJEN SNELL

(1580–1626) HOLLAND MATEMATIKUS

A KÉT OLDALÁVAL ÉS KÖZBEZÁRT SZÖGÉVEL ADOTT HÁROMSZÖG

(lásd a 19. b) ábrát!) Ezért a b, c oldalaival és az ezek által közbezárt α tompaszöggel megadott háromszög 1 T = b . c . sin (180°– α) 2 területképletét

pl. ha α = 152° (lásd a 19. b) ábrát!)

így is felírhatjuk: 1 T = b . c . sin α 2

így is felírhatjuk: 1 T = b . c . sin 152° 2

A

TERÜLETÉNEK KISZÁMÍTÁSÁRA SZOLGÁLÓ KÉPLETET

1624-BEN A KÉPLET

FOGALMAZTA MEG.

1 b . c . sin (180°– 152°) = 2 1 = b . c . sin 28° képletet 2

ELŐZMÉNYEIVEL AZONBAN MÁR

T=

DZSAMSID GIJÁSZADDIN AL-KÁSI PERZSA METEMATIKUS ÉS

REGIOMONTANUS MUNKÁIBAN IS TALÁLKOZUNK.

1 b . c . sin 152° 2 1 . . VAGY A T = b c sin 28° KÉPLETET HASZNÁLJUK-E, AZ EREDMÉNY UGYANAZ LESZ. TERMÉSZETESEBB AZONBAN, 2 1 . . HA A T = b c sin 152° KÉPLETBŐL INDULUNK KI, HISZEN A b ÉS A c OLDAL ÁLTAL KÖZBEZÁRT SZÖG 152°-OS. 2 A sin 28° ÉS A sin 152° UGYANAZ AZ ÉRTÉK: 0,469 471 562 785 … . TEHÁT MINDEGY, HOGY A T =

1 . . b c sin α képlet megegyezik a 16. feladatban levezetett képlettel, ahol az α 2 hegyesszög volt. Tehát betartottuk, amit ígértünk: a b, c oldalaival és a közbezárt α szöggel adott háromszög területét egyetlen képlettel ki tudjuk fejezni: 1 T = b . c . sin α. 2 AT=

EDDIGI FEJTEGETÉSEINKBEN HEGYES- ÉS TOMPASZÖGEKRŐL BESZÉLTÜNK. HA BIZTOSAK AKARUNK LENNI

1 . . b c sin α KÉPLET MINDEN OLYAN HÁROMSZÖG TERÜLETÉNEK KISZÁMÍTÁSÁRA 2 ALKALMAS, AMELYNEK AZ ADOTT OLADALAK ÁLTAL KÖZBEZÁRT SZÖGE 0° ÉS 180° KÖZÖTT VAN, AKKOR MEG KELL ARRÓL IS GYŐZŐDNÜNK, HOGY α = 90° ESETÉBEN IS IGAZ-E. ABBAN, HOGY A

T=

DZSAMSID GIJÁSZADDIN AL-KÁSI

FELADAT

18. Ellenőrizd, hogy akkor is igaz-e a T =

(KB. 1380–1429) PERZSA MATEMATIKUS

1 b . c . sin α képlet, ha α = 90°! 2

93

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG A KOSZINUSZ ÉS A KOSZINUSZTÉTEL FELADAT

19. Számítsd ki a háromszög harmadik oldalának hosszát, ha adott a b és a c oldal, valamint az általuk közbezárt α szög!

MEGOLDÁS

A megoldás lépéseit a 20–22. ábrákon kísérhetjük figyelemmel: a bal oldali ábrán általánosan, a jobb oldalin konkrét értékekkel: b = 5, c = 7, α = 30°. Az ismert adatokat a 20. ábrán pirossal jelöltük. C

C a

b

a

5

α

30°

A

c

D

B

A

D

B

7

20. ábra

Adott a szürke ACD háromszög b átfogója és az α szög, ezért mindkét befogó hossza kiszámítható (21. ábra): C C 5

c

A b cos α D

B

a

5 sin 30° = = 2,5

α

a

b sin α

b

30° A 5 cos 30° = D = 4,330 12... 21. ábra

B

7

Az AB oldal ismert hosszúságából és az imént kiszámított AD szakasz hosszából ki tudjuk számítani a DB szakasz hosszát: |BD| = c – |AD| (22. ábra). Most már ismerjük az ábrán fehéren hagyott BCD háromszög mindkét befogójának hosszát. Az átfogó hosszát Pitagorasz tételével számíthatjuk ki: C C a) b)

A b cos α

a

5 2,5

α

a

b sin α

b

c c – b cos α

D

B

30° A 4,330 12... D

7 7 – 4,330 12... = B = 2,669 87...

a = (b . sin α) + (c – b . cos α) 2

2

2

2

2

a = 2,5 + 2,669 87...2 = 13,378 22... ebből: a = 13,378 22... = 3,657... 22. ábra

A 22. a) ábrában kapott a2 = (b · sin α)2 + (c – b · cos α)2 eredmény egyszerűbb alakra hozható. Az (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

•

azonosságot fogjuk felhasználni a (c – b · cos α)2 kifejezés rendezéséhez: (c – b · cos α)2 = c2 – 2cb cos α + b2 · cos2 α

94

Megjegyezzük, hogy a cos2 α szimbólum jelentése: (cos α)2.

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

•

A KERETEK ARRA

A sin2 α + cos2 α = 1 a másik összefüggés (indoklását lásd a 2. feladatban), amelyet a levezetésünkben felhasználunk:

FIGYELMEZTETNEK, HOGY A

b2 sin2 α + b2 cos2 α

a = (b sin α) + (c – b cos α) = b sin α + c – 2cb cos α + b cos α = 2

2

2

2

2

2

2

2

TAGOK ÖSSZEGE

b2.

= b2 (sin2 α + cos2 α) + c2 – 2cb cos α = b2 + c2 – 2cb cos α tehát: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α (Gondold át alaposan a fenti lépéseket!) A kapott egyenlőséget koszinusztételnek nevezzük.

FELADAT

20. A 17. feladathoz hasonlóan vizsgáljuk meg most is azt az esetet, amikor az α tompaszög! Számítsd ki a háromszög a oldalának hosszát, ha adott a b és a c oldala, valamint az ezek által közbezárt α szög! Ha nem tévedtél meg valahol, akkor az

a2 = b2 + c2 + 2bc cos (180° – α)

(*)

egyenlőséget kapod.

b sin β

C a b β

D b cos β

α A

c + b cos β

c

B

FRANÇOIS VIE`TE (1540–1603) EUKLEIDÉSZ ELEMEK CÍMŰ

23. ábra

MUNKÁJÁNAK MÁSODIK

A 16. és 17. feladatokhoz hasonlóan, ahol kétféle területképletet kaptál, a 19. és 20. feladat megoldása után a koszinusztételnek is kétféle alakját kaptad meg:

KÖNYVÉBEN TALÁLKOZHATUNK HASONLÓ ÁLLÍTÁSSAL

–

A SZÖGFÜGGVÉNYEK EMLÍTÉSE

ha α hegyesszög a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

NÉLKÜL.

ha α tompaszög

EZEK AZ ELEMEK

MEGSZÜLETÉSE IDEJÉN (KB.

a2 = b2 + c2 + 2bc cos (180° – α)

KR. E. 300-BAN) MÉG NEM ELSŐKÉNT AL-KÁSI ÍRTA LE, DE MAI FORMÁJÁT F. VIE`TE-NEK KÖSZÖNHETJÜK.

LÉTEZTEK.

Ebben az esetben is elmondhatjuk: ha a koszinusz fogalmát kiterjesztjük a 0°–360° tartományra, akkor a két egyenlőségből egyet kaphatunk. Ennek bizonyítását azonban rád bízzuk. FELADATOK

21. A 92–93. oldal 18. feladatában alkalmazott eljárást felhasználva igazold, hogy a két egyenlőség felírható az a2 = b2 + c2 – 2bc cos α összevont alakban! 22. Ellenőrizd, hogy akkor is igaz-e a koszinusztétel, ha α = 90°!

95

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

a háromszög területe

: T = 1 bc . sin α 2

a ko

szinusztétel: a 2 = b 2 + c2 – 2bc . cos α

C

C a

a

b

b α

α

A

B

c

c

A

24. a) ábra

B

24. b) ábra

HA MÁR BEBIZONYÍTOTTUK A KOSZINUSZTÉTELT, KÁR LENNE NEM RÁMUTATNI AZ ALKALMAZÁSÁRA. BEMUTATUNK NÉHÁNY OLYAN SZÁMÍTÁST, AMELYEKBEN NEM CSUPÁN A HEGYESSZÖGEK KOSZINUSZAI FORDULNAK ELŐ, ÉS MEGMUTATJUK, HOGY MI MINDENT NYERHETÜNK EGYETLEN KÉPLETBŐL. FELADAT

23. Számítsd ki a koszinusztétel segítségével az alábbi háromszögek hiányzó oldalait és szögeit!

γ=? a)

b) 3

b=?

?

5

?

60° 4

120° 2

c) d) 13 10

b=?

β=?

α=? 6

a=9

α = 60° c = 10

A 23 a) FELADAT MEGOLDÁSA

Az oldalhosszúság kiszámítása Az a oldal hosszának kiszámításához (lásd a 25. ábra jelöléseit) csupán be kell helyettesítenünk a koszinusztételbe:

96

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α = 32 + 42 – 2 . 3 . 4 cos 60° = 25 – 24 . 0,5 = 13.

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

Ebből: a2 = 13, azaz a =

b =3

AZ a2 = 13 EGYENLETNEK KÉT MEGOLDÁSA VAN: a=± . MIVEL A KERESETT a HOSSZÚSÁG POZITÍV SZÁM,

= 3,605 551... ≈ 3,61.

b =3

a

a=

EZÉRT MINKET MOST CSAK

β

α = 60°

β

c=4

c=4

25. ábra

26. ábra

A POZITÍV

a=

EREDMÉNY ÉRDEKEL.

A szög kiszámítása A koszinusztétellel a háromszög két oldalából és az azok által közbezárt szögből ki tudjuk számítani a harmadik oldal hosszát. A b oldalt (26. ábra) tehát az a és c oldalak hosszából és az általuk közbezárt β szögből tudjuk kiszámítani: b2 = a2 + c2 – 2bc cos β

(*)

(Jól gondold át ezt az egyenlőséget!) Az egyenlőségben szereplő négy adatból (a, b, c, β) három ismert (a, b, c). Ezeket a (*)-ba helyettesítve kapjuk, hogy 32 =

(

)

2

+ 42 – 2 .

. 4 cos β, azaz 9 = 29 – 8

cos β,

és ebből már ki tudjuk számítani a β szög koszinuszát. 8

cos β = 20,

amiből

cos β =

20

= 0,693 375...

8

Azt a 0° és 180° közti szöget, amelynek koszinusza 0,693 375…, zsebszámológéppel keressük meg. (Állapítsd meg, hogy a te számológépeden hogyan kell elvégezni ezt a műveletet, majd hasonlítsd össze az eredményedet a miénkkel!) β = 46,102 113 ...° ≈ 46°. A szög nagyságának meghatározása zsebszámológéppel, ha ismerjük a koszinuszértéket A 27. ábrán látható, hogy az egységkörön két olyan pont van, amelyek első koordinátája x = 0,693 375... . Az egyiknek (az ábra B pontjának) az a β szög felel meg, amelyet a 23. a) feladatban számítottunk ki. A másiknak (az ábra B ' pontjának, amely a B ' pont tükörképe az x tengely szerint) a 360° – β szög felel meg. (Érthető-e, hogy miért?) Ezt a szöget zsebszámológéppel y Ez a helyzet a (–1; 1) intervallum minden a értékére előáll: határozzuk meg. az egységkörön két olyan pont van, amelyek x koordinátája B ugyanaz az a szám, vagyis amelyekben ugyanazt a koszinuszr=1 értéket kapjuk. Az egyik pont az x tengely fölött van, a másik cos β = 0,693... alatta. (Készíts ábrát, és győződj meg róla, hogy az a = 1 és az cos (360° – β) = 0,693... β a = –1 értékekhez csak egy ilyen pont tartozik!) A zsebszámo360° – β 0,693... x lógép egy a koszinuszértékhez azt a szöget adja meg, amelynek koszinuszértéke az x tengely fölött van. Ez a szög a 0° és a 180° között van: hegyesszög, ha az a értéke pozitív volt, és tompaszög, ha negatív volt. (Gondold át a hegyesszögekről és B' a tompaszögekről szóló állítást, és ellenőrizd néhány konkrét 27. ábra példán zsebszámológéppel!) A (–1; 1) intervallum minden a értékéhez két olyan pont tartozik az egységkörön, amelyek – koszinuszértéket Mivel a háromszög belső szögei a 0° és a 180° közt mozognak, kifejező – x koordinátája a-val egyenlő. ezért a 23. feladat megoldásában megelégszünk a zsebszámo(Az ábrán a = 0,693… .) lógép által kiírt értékkel. (A 35. feladatban majd látni fogjuk, Zsebszámológéppel csak a β értéket kapjuk meg. hogy a szinusz esetében más a helyzet.)

97

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

4.5. A szinusz- és koszinuszfüggvény grafikonja a 0°–360° tartományban A szinusz fogalmának kiterjesztése értelmében (lásd a 90. oldal 15. ábráját) minden 0° és 360° közötti α szöghöz hozzárendelhetünk egy-egy sin α értéket. Megjegyezzük, hogy azt az utasítást, amely egy halmaz változóihoz (esetünkben egy-egy α szög nagyságához) számokat rendel hozzá (esetünkben a sin α értékeket), a matematikában függvénynek nevezzük. Ezért arról az utasításról, amely az α értékeihez a sin α értékeket rendeli hozzá, szinuszfüggvénynek nevezzük. Ebben a fejezetrészben arra leszünk kíváncsiak, hogy milyen alakú lesz az y = sin α függvény grafikonja. Mondjuk el először, hogy hogyan kell a függvény grafikonpontjait megszerkeszteni! Például az α = 30°-hoz tartozó sin α = 0,5 értéket. Ezt az információt szemlélteti a 28. ábrán látható piros pont. A 0,5 a 30-as ponthoz tartozó függvényérték. A piros pont a szinuszgörbe egyik pontja. A teljes grafikont úgy kapjuk meg, ha ezzel a módszerrel ábrázoljuk a 0° és 360° közti összes szög szinuszértékét. y 1 0,5

360

340

320

300

280

260

240

220

200

180

160

140

120

80

60

100

–0,5

40

20

0 α [°]

–1 28. ábra FELADAT

24. Szemléltesd így a sin 10°, sin 50°, sin 70° és sin 90° értékeket!

A további pontok megszerkesztését táblázatkalkulátorral vagy grafikus zsebszámológéppel végezhetjük el.

RADIÁNOK 90° =

π 2

180° = π

0° = 0 360° = 2π

270° =

3π 2

98

A FELSŐBB MATEMATIKÁBAN (A KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKÁN TÚL) A SZÖG NAGYSÁGÁNAK KIFEJEZÉSÉRE FOKOK ÉS PERCEK HELYETT RADIÁNOKAT HASZNÁLUNK. HA RADIÁNOKKAL DOLGOZUNK, A SZÖG NAGYSÁGÁT AZ EGYSÉGKÖR MEGFELELŐ KÖRÍVÉNEK HOSSZÁVAL FEJEZZÜK KI. TEHÁT PL. A 360°-OS SZÖG NAGYSÁGA RADIÁNOKBAN KIFEJEZVE 2π (AZ EGYSÉGNYI SUGARÚ KÖRVONAL HOSSZA), A DERÉKSZÖG RADIÁNOKBAN KIFEJEZVE

π 2

MIÉRT RADIÁNOK? MERT A SZINUSZ- ÉS KOSZINUSZFÜGGVÉNY KÖZTI ÖSSZEFÜGGÉSEK ÍGY EGYSZERŰBB ALAKOT ÖLTENEK. EZÉRT A FELSŐBB MATEMATIKÁBAN A SIN ÉS COS JELÖLÉST KIZÁRÓLAG OLYAN FÜGGVÉNYEK ESETÉBEN AKALMAZZUK, AMIKOR A SZÖGEK NAGYSÁGÁT RADIÁNOKBAN FEJEZZÜK KI. HOGY EZEKET A FÜGGVÉNYEKET MEGKÜLÖNBÖZTESSÜK A FOKOKAT ÉS PERCEKET HASZNÁLÓ FÜGGVÉNYEKTŐL, AZ x VÁLTOZÓ UTÁN KIÍRJUK A ° (FOK) JELET IS.

A 29. oldalon látható, 0°-tól 360°-ig értelmezett y = sin x° függvény grafikonját táblázatkalkulátorral rajzoltuk meg. Szerkeszd meg te is! A kinyomtatott képre szükséged lesz a következő feladatok megoldása közben. Ezt a grafikont szinuszgörbének nevezzük. Az egyes síknegyedekhez tartozó részeit különböző színekkel jelöltük. (A síknegyedek jelölőszínei a 30. ábrán ezekkel megegyeznek.)

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

y

2. síknegyed

B

1. síknegyed

y

y = sin x°

1

sin β sin α

A

0,5

r=1 β

x[°] 0

30 – 0,5

60

γ

90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 α [°]

α x

δ

sin γ sin δ C

–1

D

3. síknegyed

29. ábra

4. síknegyed

30. ábra

A 29. ábrán látható, hogy a négy, különbözőképp színezett rész ugyanolyan alakú, csupán más-más a helyzetük. Nem véletlenül: ez az egységkörön definiált szinuszértékek szimmetriatulajdonságainak következménye. Az egyik szimmetriát már szemléltettük a 19. b) ábrán. A 30. ábrán továbbiakat láthatunk. A 30. ÁBRÁN SZEMLÉLTETETT SZIMMETRIÁVAL MÁR TALÁLKOZHATTUNK A 87. OLDALON. HOGYAN KELL EGY PONT POLÁRKOORDINÁTÁIBÓL KISZÁMÍTANI A DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTÁIT? FELELETÜNKET – AMELYET AKKOR, A SZINUSZ ÉS A KOSZINUSZ FOGALMÁNAK A 90°-NÁL NAGYOBB FOKOKRA VALÓ KITERJESZTÉSE ELŐTT DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGEK SEGÍTSÉGÉVEL VEZETTÜNK LE – AZ 1. TÁBLÁZATBAN FOGLALTUK ÖSSZE. A 30. ÁBRÁN LÁTHATÓ, HOGY MIKÉPP VEZETHETŐK LE EZEK A KÉPLETEK A SZINUSZ ÉS A KOSZINUSZ DEFINÍCIÓJÁBÓL AZ EGYSÉGKÖR SEGÍTSÉGÉVEL. PÉLDÁUL, HA α ∈ (0°, 90°), A B ÉS A, C ÉS A, D ÉS A PONTOK KOORDINÁTÁINAK VISZONYÁBÓL RENDRE AZ ALÁBBI EGYENLŐSÉGEK KÖVETKEZNEK: sin (180° – α) = sin α, sin (180° + α) = –sin α, sin (360° – α) = –sin α. UGYANÍGY PL. A C ÉS B PONTOK KOORDINÁTÁI KÖZTI ÖSSZEFÜGGÉSBŐL IS FELÍRHATÓ AZ ALÁBBI EGYENLŐSÉG: sin γ = –sin (360° – γ)

HA

γ ∈ (180°, 270°).

A 26. ÉS A 27. FELADATBAN LÁTHATJUK, HOGY EZEK AZ ÖSSZEFÜGGÉSEK A SZINUSZGÖRBE TULAJDONSÁGAIBÓL SZÁRMAZNAK.

FELADAT

25. Jelöld ki a grafikonon a 30. ábrán szemléltetett további három szög szinuszának megfelelő pontot! Ha ennek a feladatnak a megoldása elvontsága miatt gondot okoz, próbálkozz először konkrét szöggel! Legyen pl. α = 55°! (Tehát számítsd ki a β, γ, δ szögek nagyságát, majd ezek szinuszértékeit ábrázold a grafikonon!)

A 30. ábra négy szög (α, β, γ, δ) szinuszát szemlélteti. Az A pont az y tengely szerint szimmetrikus a B ponttal, a C pont pedig a D ponttal. Ezenkívül az A pont az x tengely szerint szimmetrikus a D ponttal. Az alábbi szinuszgörbén kijelöltük az α szög szinuszának megfelelő pontot. 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 – 0,2 – 0,4 – 0,6 – 0,8 –1

α 90

180

270

99

360

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

FELADATOK

26. Beszéljétek meg, hogy egymáshoz képest hogy helyezkednek el a szinuszgörbén • a sin β és sin α értékek, a) • az α és β értékek az x tengelyen, • a sin δ és sin γ értékek, b) • a γ és δ ek az x tengelyen, • a sin γ és sin β értékek! c) • a γ és β értékek az x tengelyen, Indokold meg a válaszaidat! 27. A 26. feladat megoldása alapján írd le, hogy milyen kölcsönös helyzetben van a 29. ábra szinuszgörbéjének • kék és piros része; • zöld és sárga része; • piros és zöld része! Állításaidat beszéld meg osztálytársaiddal!

MEGOLDÁS

Ha a 26. és a 27. feladat megoldására osztálytársaiddal elég időt fordítottatok, bizonyára rájöttetek, hogy a szinuszgörbe kék és piros ága szimmetrikus az x tengely 90-es pontján áthaladó és az y tengellyel párhuzamos egyenes szerint (31. ábra); A 31. ábrán szaggatott vonallal jelölt szimmetriatengelyen fekszik az összes olyan pont, amelyek x koordinátája 90. Ezért ennek az egyenesnek az egyenlete x = 90. a szinuszgörbe zöld és sárga ága ugyanígy szimmetrikus az egyenes szerint, amely áthalad az x tengely 270-es pontján és párhuzamos az y tengellyel. (33. ábra, a szimmetriatengely egyenlete x = 270.) a szinuszgörbe zöld ágát úgy kapjuk meg, hogy a piros ágat 180°-kal elforgatjuk az x tengely 180-as pontja körül (32. ábra).

• • •

1

1

0,5

0,5

0

90

180

270

360

0

– 0,5

– 0,5

–1

–1

90

31. ábra

180

270

360

32. ábra

1 0,5 0

90

180

270

360

– 0,5 –1

33. ábra

100

A 34. ábrán az y = cos x° függvény (koszinuszgörbének is nevezett) grafikonja látható. A 29. ábrához hasonlóan az egyes síknegyedekhez tartozó részeket itt is különböző színekkel jelöltük.

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

y y = cos x°

1

0,5

0

90

180

270

360 x[°]

– 0,5

–1

34. ábra FELADATOK

28. A 25–27. feladatok mintájára jellemezd a 34. ábrán látható grafikonrészek kölcsönös helyzetét! 29. A 34. ábra koszinuszgörbéjének kék ága ugyanolyan alakú, mint 29. ábra szinuszgörbéjének piros ága. Indokold ezt az állítást!

4.6. A 360°-nál nagyobb szögek és a negatív szögek Térjünk vissza a polárkoordinátákhoz! Jelöljük A-val azt a pontot, amelynek a polártengelyen 2 az értéke (35. ábra)! O

A 2 35. ábra

Az r = 2, φ = 311° polárkoordinátájú B pontot úgy kapjuk meg, hogy az A pontot 311°-kal elforgatjuk az O kezdőpont körül az óramutatók járásával ellentétes irányban (36. ábra).

311°

O

311° 2

2

B 36. ábra

O –49°

[2, 311°]

B

[2, 311°] [2, –49°]

37. ábra

Ugyanezt a pontot kapnánk, ha az A pontot 49°-kal forgatnánk el az O kezdőpont körül, de az óramutatók járásával megegyező irányban (37. ábra, a 49 a 360 és 311 különbsége). A B pont helyzetét tehát az r = 2, φ = –49 koordinátákkal is megadhatjuk, ahol a szög mérőszáma előtti mínuszjel ellentett irányú (negatív irányú) elforgatásra, tehát az óramutatók járásával megegyező irányra utal.

101

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG Ugyanígy indokolhatjuk a 360°-nál nagyobb szögek alkalmazását. Ha az r = 2, φ = 311° koordinátájú pontot 80°-kal elforgatjuk az O kezdőpont körül az óramutató járásával ellentétes irányban, a C pontba jutunk (38. ábra). A helyzetét az r = 2, φ = 391° koordinátákkal jellemezhetjük. (A 391 a 311 és a 80 összege.) Ez a pont azonos az r = 2, φ = 31° polárkoordinátájú ponttal (39. ábra, a 31 a 391 és a 360 különbsége.) VAN-E VALAMI KÜLÖNBSÉG,

[2, 391°] C [2, 31°]

C

HA EGY CSAVAR BEHÚZÁSAKOR FÉL

1,5 FORDULATOT TESZÜNK? AZ ELSŐNEK 180°-OS ELFORDULÁS, A MÁSODIKNAK 180° + 360° = 540°-OS ELFORDULÁS FELEL MEG. FORDULATOT VAGY

311°

O

O

31°

391° 2

2

80°

B 38. ábra

39. ábra

A szinusz és a koszinusz definícióját az egységkörnek köszönhetően kiterjeszthetjük a negatív szögekre és a 360°-nál nagyobb szögekre is. Tehát például a sin (–210°) érték nem más, mint az r = 1, φ= –210° polárkoordinátájú pont y koordinátája. Ezzel elérhetjük, hogy a sin x° és a cos x° értékeknek bármely x esetére legyen értelme. A sin x és a cos x függvények értelmezési tartományába tehát minden valós szám beletartozik. 450° 120°

420°

90°

60°

150° 180°

–270° –240° –210°

390° 30° 0° 360°

–180° –30°

210° –150° –120° 240° 270°

–60°

330°

–90° 300°

40. ábra Figyeld meg, hogy a negatív szögek és a 360°-nál nagyobb szögek bevezetése után az elfordulás nagyságát jelző számok úgy viselkednek, mint a számegyenes számai.

A 40. ábra segítségével könnyen megrajzolhatjuk a szinuszgörbét azokra a szögekre is, amelyek nagysága nem a 0° és a 360° között van. FELADAT

30. Írd be a táblázatba a szinuszgörbe részeinek színét!

y 1 0,5 0

90

180

– 0,5

102

–1

270

360 x[°]

41. ábra

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG

Azokra a szögekre, amelyek nagysága –90° és 0° között –270° és –180° 540° és 630° között 360° és 450° között van, között van, van, van a grafikonrész ugyanolyan színű lesz, mint a 41. ábra grafikonjának

kék része Feleleted indokold! A MELBOURNE-I ÓRIÁSKERÉK A KÖRMOZGÁSSAL FÜGG

A definíció szerint a szinusz nem más, mint az egységkörön mozgó pont y koordinátája. A 0° és 360° közti szögek az említett pont első fordulatához tartoznak.

ÖSSZE A SZINUSZGÖRBE NÉPSZERŰ ÉRTELMEZÉSE IS: HA EGY ÓRIÁSKERÉKEN ÜLÜNK, AKKOR ANNAK A FÜGGVÉNYNEK A GRAFIKONJA,

Tehát a 41. ábra grafikonja a pont y koordinátáját szemlélteti az első fordulaton belül. Amikor a szög eléri a 360°-ot, a pont befejezi az első fordulatot, és újra a kiindulópontba kerül. Ha tovább folytatja az egységkör menti mozgását, akkor a helyzetét úgy jellemezhetjük, hogy a második fordulat alatt a 360° és a 720° között, a harmadik fordulat alatt a 720° és az 1080° között lesz stb.

AMELY AZT FEJEZI KI, HOGY A MAGASSÁGUNK

(A KERÉK KÖZÉPPONTJÁHOZ KÉPEST) HOGY FÜGG AZ ELFORDULÁS SZÖGÉTŐL, EGY SZINUSZGÖRBE. GONDOLKOZZ EL EZEN! A MEGÉRTÉSBEN SEGÍTHET DÜRER ÁBRÁJA A LAP ALJÁN.

A fenti fejtegetésből az is következik, hogy a szinuszgörbének ugyanolyan alakja van 360° és 720° között, mint 0° és 360° között. Ugyanezt elmondhatjuk a 720° és 1080° stb. közötti részekről (lásd a 42. ábrát), a negatív szögekről és a koszinuszgörbéről is (43. ábra). y = sin x°

1 –720

–360

0

360

720

–1 42. ábra Az y = sin x° függvény grafikonja (szinuszgörbe)

y = cos x°

1

–720

–360

0

360

–1 43. ábra Az y =cos x° függvény grafikonja (koszinuszgörbe)

720

A CSIGALÉPCSŐ OLDALNÉZETE IS SZINUSZGÖRBE. ÍGY KELETKEZETT A BAL OLDALI ÁBRA IS, AMELY IFJABB ALBRECHT DÜRER UNDERWEYSUNG DER MESSUNG MIT DEM ZIRKEL UND RICHTSCHEYT (1525) CÍMŰ KÖNYVÉBEN JELENT MEG. (DÜRER TERMÉSZETESEN NEM SEJTETTE, HOGY EZT A GÖRBÉT KÉSŐBB SZINUSZGÖRBÉNEK FOGJÁK NEVEZNI.) JAVASOLJUK, HOGY BESZÉLGESSETEK EL A DÜRER ÁBRÁJÁN LÁTHATÓ GÖRBÉRŐL.

103

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG PERIODIKUS

FÜGGVÉNYEK

A szinuszfüggvény grafikonja (és a koszinuszfüggvényé is) egy-egy részének szabályos ismétlődéséből jön létre. Azokat a függvényeket, amelyek ezzel a tulajdonsággal rendelkeznek, periodikus függvényeknek nevezzük. Két további példát láthatunk a periodikus függvényekre a 44. és 45. ábrán. (A 45. ábrán látható függvény esetében szabályosan ismétlődnek a –1 és a 3 függvényértékek.)

PERIODIKUS FÜGGVÉNYEKKEL TALÁLKOZHATUNK PL. AZ AKUSZTIKÁBAN. HA EGY HANGSZEREN MEGSZÓLALTATUNK EGY HANGOT, AKKOR SZABÁLYOS REZGÉSEK KELETKEZNEK, AMELYEKET PERIODIKUS FÜGGVÉNYKÉNT ÉRTELMEZHETÜNK. GRAFIKONJÁNAK RENDSZERINT BONYOLULT ALAKJA VAN. JOSEPH FOURIERNEK KÖSZÖNHETŐEN TUDJUK, HOGY EZEKET A PERIODIKUS REZGÉSEKET TETSZŐLEGES PONTOSSÁGGAL HELYETTESÍTENI (APROXIMÁLNI) LEHET NÉHÁNY OLYAN EGYSZERŰ REZGÉS ÖSSZEGÉVEL, AMELYEK GRAFIKONJA EGY SZINUSZGÖRBE. EZEKET AZ EGYSZERŰ REZGÉSEKET AZ AKUSZTIKÁBAN ALAPHANGOKNAK ÉS FELHANGOKNAK NEVEZZÜK.

JEAN BAPTIST JOSEPH FOURIER

44. ábra

(1768–830) y

FOURIER EGYIK MESTERE GASPARD MONGE VOLT,

3

AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA MEGALAPOZÓJA.

2

VELE

FOURIER IS RÉSZT NAPÓLEON EGYIPTOMI

EGYÜTT VETT

1

KATONAI EXPEDÍCIÓJÁN MINT A TUDÓSCSOPORT TAGJA. EGY KÖZKEDVELT ANEKDOTA

–2

–1

1

2

x

–1

SZERINT A PIRAMISOK KÖZELÉBEN ZAJLÓ CSATÁBAN

0

NAPÓLEON 45. ábra

NÉGYZET ALAKZATBA RENDEZTE A GYALOGSÁGOT, ÉS ELRENDELTE, HOGY:

„TUDÓSOK ÉS SZAMARAK

KÖZÉPRE!”

4.7. További feladatok A szögfüggvények alkalmazásáról szóló feladatokat a tankönyv második részébe soroltuk. Itt csupán annak az állításnak a bizonyítására szorítkozunk, amely – a koszinusztétellel együtt – megkönnyítheti ezek megoldását. Térjünk vissza a T =

1 b . c . sin α képlethez (tehát a háromszög területképletéhez), és 2

említsük meg a levezetésének alapgondolatát: a háromszög magasságát a háromszög egyik oldalával és egyik szögével fejezzük ki. HA A HÁROMSZÖG TERÜLETKÉPLETÉT A b, c OLDALÁVAL ÉS AZ α SZÖGÉVEL AKARJUK KIFEJEZNI, AKKOR KÉT LEHETŐSÉGÜNK VAN (ELLENŐRIZD AZ ALÁBBI SZÁMÍTÁSOKBAN A MAGASSÁG KIFEJEZÉSÉT, HA AZ α HEGYESSZÖG, HA DERÉKSZÖG VAGY HA TOMPASZÖG): •

A

b-BŐL ÉS AZ α-BÓL: mc = b · sin α, TEHÁT A TERÜLET: T =

1 . 1 c mc = c . b . sin α 2 2 = mc

1 1 • A c-BŐL ÉS AZ α-BÓL: mb = c · sin α, TEHÁT A TERÜLET: T = b . mb = T = b . c . sin α 2 2

104

= mc

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG A

A magasságnak ez az alakja jól jön majd a szinusztétel levezetésénél is.

SZINUSZTÉTEL

FELADATOK

31. A háromszög magasságát kétféleképpen lehet kifejezni egy oldalával és egy belső szögével: pl. az ma magasságot kiszámíthatjuk a b oldalából és a γ szögéből vagy a c oldalából és a β szögéből. sin β sin γ = egyenGyőződj meg róla, hogy ennek a két állításnak a következménye a b c lőség! 32. Hasonló egyenlőségeket kapunk, ha az mb és mc magasságokat fejezzük ki. Írd le ezeket is! A fenti egyenlőségek mindegyikét szinusztételnek nevezzük. Általában ezt a három egyenlősin α sin β sin γ séget egyetlen egyenlőségláncba összevonva szokás felírni: = = . a b c sin γ szinusztétel: sin α = sin β = c a b a b c A szinusztételt így is szokás írni: sin α : sin β : sin γ = a : b : c vagy = = . sin α sin β sin γ LÁTSZÓLAG LOGIKÁTLAN A SZINUSZÉRTÉKEKET A NEVEZŐBEN ELHELYEZNI, DE ENNEK IS MEGVAN A MAGYARÁZATA. EBBEN A TANKÖNYVBEN NEM FOGJUK IGAZOLNI, HOGY AZ ABC HÁROMSZÖG KÖRÜLÍRT KÖRÉNEK AZ ÁTMÉRŐJE

FELADATOK

a . EZÉRT AZ UTOLSÓ FORMÁT KIBŐVÍTHETJÜK: sin α a b c = = = 2R. sin α sin β sin γ

33. Magyarázd meg, miképp kaphatjuk meg ezeket az alakokat a 31. és 32. feladatban levezetett egyenlőségekből! A 96. OLDAL 23. FELADATÁBAN LÁTHATTUNK NÉHÁNY PÉLDÁT A KOSZINUSZTÉTEL ALKALMAZÁSÁRA: KI TUDTUK SZÁMÍTANI A HÁROMSZÖG HARMADIK ODALÁNAK HOSSZÁT (HA ISMERTÜNK KÉT OLDALT ÉS AZ ÁLTALUK KÖZBEZÁRT SZÖGET), VAGY A SZÖGET (HA ISMERTÜK A HÁROMSZÖG MINDHÁROM OLDALÁNAK HOSSZÁT). HASONLÓAN ALKALMAZHATÓ A SZINUSZTÉTEL IS.

34. Beszéljétek meg közösen, hogy a háromszögnek mely adatait érdemes szinusztétellel kiszámítani! Az így megtalált számítástípusok mindegyikét ellenőrizzétek konkrét értékekkel!

NASZIRADDIN

AT-TÚSI

(1201–1274) A SZINUSZTÉTELT ELŐSZÖR NASZIRADDIN AT-TÚSI FOGALMAZTA MEG A KITÁB AS-SAKL AL KITA (ÉRTEKEZÉS A TELJES NÉGYOLDALRÓL) CÍMŰ KONYVÉBEN, AMELY AZ ISZLÁM MATEMATIKÁBAN UGYANOLYAN SZEREPET TÖLTÖTT BE, MINT

A 108. oldal 23. d) feladatának megoldásában felhívtuk a figyelmet arra, hogy két oldal és az a szög, amelyet ezek az oldalak nem zárnak közre, nem feltétlenül határozza meg egyértelműen a háromszöget. Előfordulhat, hogy két háromszögben két megfelelő oldalpár egybevágó, egy-egy szög is egybevágó, a háromszögek mégsem egybevágók (46. ábra).

KÉT ÉVSZÁZADDAL KÉSŐBB

EURÓPÁBAN REGIOMONTANUS ÖT KÖNYV A HÁROMSZÖGEKRŐL CÍMŰ TANULMÁNYA.

K C1 r=9

C1

a=9 C2

C2 60° A

60°

a=9

60°

A B A c = 10 c = 10 46. ábra Az a, c oldal és az α szögnek nem kell a háromszöget egyértelműen meghatároznia: a bal oldali ábrán a háromszög szerkesztését láthatjuk, amelyben c = 10, a = 9 és α = 60°, jobbra azt a két különböző háromszöget, amely megfelel a feladat feltételeinek. 10

B

105

B

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG Ilyen adathármassal (két oldal és egy általuk nem közbezárt szög) függ össze a szinusztétel egyik alkalmazása (reméljük, a 34. feladat megvitatása során magatoktól is rájöttetek): a γ szöget kell kiszámítanunk, ha ismerjük az a, c oldalakat és az α szöget. A 35. feladatban az fog bennünket érdekelni, hogy miként jelentkezik a számítás során ez a többértelműség. A 35. a) FELADATBAN AZ a, c, α ADATOKAT ÚGY VÁLASZTOTTUK MEG, HOGY EZEKKEL AZ ABC HÁROMSZÖG NE LEGYEN EGYÉRTELMŰEN MEGHATÁROZVA (LÁSD A 46. ÁBRÁT!) MEGJEGYEZZÜK, HOGY EZ AKKOR KÖVETKEZIK BE, AMIKOR AZ ADOTT SZÖG A RÖVIDEBB ADOTT OLDALLAL SZEMBEN FEKSZIK. EZZEL SZEMBEN A 35. b) FELADATBAN AZ a, c, α ADATOK EGYETLEN HÁROMSZÖGET HATÁROZNAK MEG. BESZÉLJÉTEK MEG, HOGY EZ AZ EGYÉRTELMŰSÉG MIKÉPP KÖVETKEZIK A SZERKESZTÉSBŐL, AMELYNEK ALAPGONDOLATÁT A 46. ÁBRÁN MÁR JELEZTÜK. (A MAGYARÁZAT RÉSZLETESEBBEN A 108. OLDALON, A 23. d) FELADAT MEGOLDÁSÁBAN, AZ 55–57. ÁBRÁN LÁTHATÓ.) FELADATOK

35. Számítsd ki a szinusztétel segítségével az ABC háromszög γ szögének nagyságát, ha a) a = 9, c = 10, α = 60°; b) a = 10, c = 9, α = 60°! Miből derült ki a 35. b) feladat megoldásában, hogy az a, c és α adatokból az ABC háromszög egyértelműen megszerkeszthető? Beszéljétek meg közösen a helyes választ! 36. Hasonlítsd össze az alábbi szöveget a 97. oldal 23. feladata utáni szöveggel, ahol arról volt szó, hogy a koszinuszértékekből miként lehet kiszámítani a szögek nagyságát!

A szög nagyságának meghatározása zsebszámológéppel, ha ismerjük a szinuszértéket A (–1; 1) intervallum minden b értékéhez az egységkörön két olyan pont tartozik, amelyek y koordinátája (azaz szinuszértéke) ez a szám. (A 47. ábrán ez a két pont a B és a B '. Győződj meg róla, hogy a b = 1 és a b = –1 értékek esetében csak egyetlen ilyen pont van!) Ez a két pont szimmetrikus az y tengely szerint. Ha az y tengelytől jobbra levő B pontnak megfelelő szöget β-val jelöljük, akkor a B ’ pontnak megfelelő szög nagysága 180° – β. (Érthető, hogy miért?)

A zsebszámológép egy b szinuszértékhez azt a szöget adja meg, amelynek szinusza az y tengelytől jobbra van. Ha a b szám pozitív, akkor a keresett szög hegyesszög, ha ez az érték negatív, akkor a számológép kijelzőjén „mínusz valamilyen hegyesszög”, pl. –30° jelenik meg. (Ellenőrizd ezt a saját zsebszámológépeden!) Ha a szinuszt egy háromszög belső szögeinek kiszámítására használod, akkor tudatosítanod kell, hogy ez a szög lehet hegyesszög vagy tompaszög. A szög nagyságát zsebszámológéppel határozzuk meg. A tompaszög nagyságát a zsebszámológép nem jelzi ki, úgy találjuk meg, hogy a 180°-ból kivonjuk a kijelzett hegyesszöget. (Magyarázd meg ezt az eljárást a 47. ábra segítségével!)

106

y B'

B

b

Ezt a szöget zsebszámológéppel határozzuk meg.

180° – β β r=1

x sin β = b cos (180° – β) = b

47. ábra A (–1; 1) intervallum minden b értékéhez két olyan pont tartozik az egységkörön, amelyek – szinuszértéket kifejező – y koordinátája b-vel egyenlő. (Az ábrán a = 0,693… .) Zsebszámológéppel csak a β értéket kapjuk meg.

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG – EREDMÉNYEK 3 4 3 = 0,6, cos α = = 0,8, tan α = = 0,75 5 5 4

y

4. A 2. ábra derékszögű háromszögére felírjuk Pitagorasz tételét. a) a = 51 . cos 27° = 45,44... ≈ 45 (vagy a = 51 . sin (90° – 27°) = = 51 . sin 63°), b = 51 . sin 27° = 23,15... ≈ 23 (vagy b = 51 . cos (90° – 27°) = = 51 . cos 63°) c) x = 32 . sin 79° = 31,43... ≈ 31, y = 32 . cos 79° = 6,10... ≈ 6

4

55° O

12,5 = 14,37... ≈ 14 (vagy s = 12,51 . tan (90° – 41°) = tan 41° 12,5 = 19,05... ≈ 19. = 12,5 . tan 49°), r = sin 41°

48. ábra C b

mc

α°

D c 49. ábra

A

B

C mc

b

α

D

c

A 180° – α

B

50. ábra

b sin β

C

D

a b

α

β

b cos β

A

c c + b cos β

B

51. ábra y r=1 A

B α

cos α

1 . . b c sin α. Ellenőriznünk kell, hogy ugyanezt az 2 1 eredményt kapjuk-e, ha a T = b . c . sin α képletből indulunk ki. 2 1 1 Ha α = 90°, akkor sin α = 1 (13. a) feladat), ezért b . c . sin 90° = b . c. 2 2 20. Lásd az 51. ábrát! A BCD derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy a2 = (b sin β)2 + (c + b cos β)2, rendezés után: a2 = b2 + c2 + 2bc cos β, ahol β = 180° – α. 21. Az 52. ábrából látható, hogy (180° – α) = –cos α. Ezért az a2 = b2 + c2 + 2bc cos (180° – α) képletet a2 = b2 + c2 – 2bc cos α alakba írhatjuk. (Ha az α negatív szám, akkor a –2bc cos α pozitív.) 22. Ha α = 90°, akkor az ABC háromszög derékszögű, amelynek b és c a két befogója, a pedig az átfogója.

befogója, területe T =

x

x = 4 . cos 55°

d) s =

Ha egy derékszögű háromszögnek ismerjük két oldalát, akkor a harmadik oldalát Pitagorasz tételével is kiszámíthatnánk. A szögfüggvények segítségével azonban ezúttal gyorsabban célt érünk. 5. Ezen a helyen mindkét szög kiszámítását közöljük a sin, cos, tan összefüggések valamelyikével. Elég lenne azonban csupán az egyik szöget kiszámítani, a másik 90°-ra egészíti ki ezt a szöget. 12,5 24 b) γ = arctan = 62,48...° ≈ 62°, δ = arctan = 27,51...° ≈ 28° 24 12,5 315 315 c) ε = arccos = 43,04...° ≈ 43°, η = arcsin = 46,95...° ≈ 47° 431 431 73 64 d) λ = arctan = 41,24...° ≈ 41°, μ = arctan = 48,75...° ≈ 49° 64 73 10. x = 4 . cos 55° = 2,294 3... ≈ 2,29, y = 4 . sin 55° = 3,276 6... ≈ 3,28 (lásd a 48. ábrát!) 16. Ismételjük meg a 15. feladat megoldásának lépéseit! A derékszögű ACD háromszögből (49. ábra): mc = b · sin α, amiből 1 1 T = c . mc = c . b . sin α. 2 2 17. Az mc magasságot a derékszögű ACD háromszögből tudjuk kiszámítani (50. ábra), amelyben adott a b átfogó és az A csúcsnál fekvő szög nagysága m (180° – α). (180° – α) = c , ebből: mc = b · sin (180° – α). b Ezért a T terület: 1 1 T = c . mc = c . b . sin (180° – α). 2 2 18. Igaz. Ha α = 90°, akkor az adott háromszög derékszögű, b és c a két

y = 4 . sin 55°

D

180° – α 180° – α

cos (180° – α)

1. sin α =

x

52. ábra A cos α érték az A pont x koordinátája, a cos (180° – α) pedig a B pont x koordinátája.

107

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG – EREDMÉNYEK Pitagorasz tétele szerint a2 = b2 + c2. Mivel cos 90° = 0 (13. b) feladat), az a2 = b2 + c2 – 2bc cos α képletből ugyanazt az eredményt kapjuk. Ebből a szemszögből nézve a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel egy különleges esete.

X

52 + 22 – 2 . 5 . 2 cos 120° = 29 – 20 . (–0,5) = 39 = 60 = 6,244 997... ≈ 6,24, cos γ = = 0,960 768..., γ = 16,102...° 10 39 33 105 c) cos α = – = – 0,275, α = 105,962...°, cos β = = 0,673 076..., 120 156 β = 47,695...°. d) A koszinusztétel segítségével kifejezzük az a-t a b, c, α adatokból. Az 23. b) b =

60° A

B

10 53. ábra

k

X

így kapott b ismeretlenes b2 – 10b + 19 = 0 másodfokú egyenlet gyökei:

r=9 A

10 ± 24

. (Ezt az egyenlőséget b = 5 ± 6 alakra hozhatjuk.) Mindkét 2 gyök pozitív (5 + 6 ≈ 7,45, 5 – 6 ≈ 2,55). A kétféle megoldás miatt természetesen fölmerül a kérdés, hogy a feladat feltételei (a = 9, c = 10, α = 60°) egy vagy több háromszöget határoznak-e meg. Erre a kérdésre úgy tudunk válaszolni, hogy elképzeljük a háromszög szerkesztését ezzel a három adattal. A szerkesztés lépései az 53–55. ábrákon láthatók. Az ABC háromszög C csúcsa a (B középpontú, 9 egységnyi sugarú) kör és az AB-vel 60°-ot bezáró AX félegyenes metszéspontja. Látható, hogy két metszéspontot kapunk, tehát a feladatnak két megoldása van: egy hegyesszögű és egy

b=

B 54. ábra

tompaszögű háromszög (56. és 57. ábra). Számításainkból kiderül, hogy k

X C1

|AC1| = 5 + 6 , |AC2| = 5 – 6 . Hogy mit jelölünk meg a feladat megoldásaként, a feladat értelmezésétől függ: • ha a feladatot úgy értelmezzük, hogy egy háromszögben adott az a, a c és az α, akkor a feladatnak két megoldása van: b = 5 + 6 a b = 5 – 6 , • ha a feladatot úgy értelmezzük, hogy az a, c és α adatokon túl ismerjük a háromszög alakját, (az ábrán ez egy hegyesszögű háromszög), akkor

C2 A

B

6 .

a feladatnak csak egy megoldása van: b = 5 +

25. Lásd az 58. ábrát! A vízszintes nyilakkal kijelölt távolságok egyenlők. Ugyanígy egyenlők a függőleges nyilakkal jelölt távolságok is.

55. ábra

C1 1

9

0,8 0,6

60° A

B

10 56. ábra

0,4 0,2 0 – 0,2

γ α 90 β

180

– 0,4 C2

– 0,6

9

– 0,8

60° A

B

10 57. ábra

108

–1 58. ábra

δ 270

360

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGTŐL A SZÖGFÜGGVÉNYEKIG – EREDMÉNYEK 26. a) A 90 az α és a β között van, sin α = sin β. Ebből következik, hogy a kék és a piros pont szimmetrikus az y tengellyel párhuzamos és az x tengely 90-es pontján áthaladó egyenes szerint. b) A 270 a γ és a δ között van, sin γ = sin δ. Ebből következik, hogy a zöld és a sárga pont szimmetrikus az y tengellyel párhuzamos és az x tengely 270-es pontján áthaladó egyenes szerint. c) A 180 az β és a γ között van, sin γ = –sin β. Ebből következik, hogy az a szakasz, amely az 58. ábrán a zöld és a piros pontot köti össze, az x tengelyt a 180-as pontban metszi. Ez azt jelenti, hogy a zöld pontot úgy kapjuk meg, hogy a piros pontot 180°-kal elforgatjuk az x tengely 180-as pontja körül. 29. A cos α = sin (α + 90°) egyenlőséget kell igazolnunk, amely az 59. ábra kék és piros háromszögének egybevágóságából következik. Más mód: A derékszögű háromszögre értelmezett szinusz- és koszinuszösszefüggésekből adódik, hogy cos α = sin (90° – α). Ebből következik, hogy a koszinuszgörbe kék ága szimmetrikus a szinuszgörbe kék ágával az x = 45 egyenletű egyenes szerint. 30. Balról jobbra haladva: sárga, piros, zöld.

sin (α + 90°)

cos α

α + 90° α

59. ábra

31. Az ABC háromszögben: ma = b · sin γ, ugyanakkor ma = c · sin β. A b · sin γ = c · sin β rendezésével kapjuk a feladatban adott következtetést. = ma

= ma

sin α sin γ sin α sin β = , = . a c a b sin α sin β 34. Tekintsük a = (tehát az a · sin β = b · sin α) egyenlőséget! Ha a b

32.

ismerünk az a, b, sin α, sin β adatok közül hármat, akkor a negyediket ki lehet számítani. (Hasonlóan gondolkodtunk a 23. feladatban. Ezért: • ha egy oldalt és két szöget ismerünk (pl. az a-t, az α-t és a b-t), akkor a b oldalt a szinusztétellel tudjuk kiszámítani; • ha két oldalt és egy szöget ismerünk (pl. az a-t, a b-t és az α-t), akkor a sin β értéket, és ebből a β szög nagyságát, a szinusztétellel tudjuk kiszámítani. (Ebben az esetben kétféle értéket kaphatunk: egy β1-et és egy β2-t, mert a β-nak és a 180° – β-nak ugyanannyi a szinusza, lásd a 93. oldal 19. b) ábráját!) sin γ sin α sin γ sin 60° 10 35. a) = , azaz = , ebből sin γ = sin 60° = c a 10 9 9 = 0,962 250... . Azokat a 0° és 180° közötti szögeket keressük, amelyek szinusza 0,962 250… . (Ezek közül az egyik hegyes, a másik tompaszög, lásd a 106. oldal 47. ábráját!) Az említett szinuszértéknek megfelelő hegyesszöget zsebszámológéppel határozzuk meg: γ1 = 74,206…°. Az ugyanilyen szinuszértékkel rendelkező tompaszöget a 47. ábra alapján kereshetjük meg: γ2 = 180° – γ1 = 180° – 74,206…° = 105,793°. Hogy kétféle szöget kaptunk, megfelel az elvárásainknak, hiszen a feladat feltételei két ABC háromszöget határoznak meg. sin γ sin 60° 9 b) = , amiből sin γ = sin 60° = 0,779 422... . A 0° és 180° 9 10 10 között két olyan szög van, amelyeknek ez a szinusza. Az egyik a γ1 = 51,207…° (ezt a számológépről olvastuk le), a másik a γ2 = 180° – 51,207… = 128,792…° (ezt a szöget pedig a 47. ábra alapján kaptuk meg). A γ2 azonban nem megfelelő megoldás, mert α + γ2 = 60° + 128,792…° > 180°. Az egyértelműség vitájához: a 35. a) és a 35. b) feladatban mindig két szöget kaptunk, amelyeknek ugyannyi volt a szinuszértékük, de a 35. b) feladat egyik szöge (a γ2) nagyobb volt annál, hogy az α szöget ezzel a szöggel 180°-ra lehessen kiegészíteni.

109

FELHASZNÁLT IRODALOM

FELHASZNÁLT IRODALOM [1] Bakker, A.: The Early History of Average Values and Implications for Education. Journal of Statistics Education Volume 11, Number 1 (2003), elérhető a www.amstat.org/publications/jse/v11n1/bakker.html címen. [2] Bernoulli, J.: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars conjectandi). Dritter und vierter Teil mit dem Anhange: Brief an einen Freund über das Ballspiel. W. Engelmann : Leipzig, 1899. [3] von Braunmühl, A.: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Teubner : Leipzig, 1900. [4] O‘Connor, J. J.–Robertson, E. F.: Irenée-Jules Bienaymé. MacTutor History of Mathematics archive, University of St. Andrews, elérhető a http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bienayme.html címen. [5] O‘Connor, J. J.–Robertson, E. F.: Pafnuty Lvovich Chebyshev. MacTutor History of Mathematics archive, University of St. Andrews, elérhető a http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Chebyshev.html címen. [6] O‘Connor, J. J.–Robertson, E. F.: Jean Baptiste Joseph Fourier. MacTutor History of Mathematics archive, University of St. Andrews, elérhető a http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fourier.html címen. [7] Gorard, S.: Revisiting a 90-year-old debate: the advantages of the mean deviation. Paper presented at the British Educational Research Association Annual Conference, University of Manchester, 16 – 18 September 2004. [8] Grattan-Guinness, I.: Convolutions in French mathematics, 1800–1840: from the calculus and mechanics to mathematical analysis and mathematical physics. Birkhäuser, 1990. ISBN 3764322373, 9783764322373. [9] Chatterjee, S. K.: Statistical thought: a perspective and history. Oxford University Press, 2003. ISBN 0198525311. [10] Janko, J.: Jak vytváří statistika obrazy světa a života, I. díl. Jednota československých matematiků a fysiků : Praha, 1947. [11] Juškevič, A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia : Praha, 1977. [12] Kieler, H.–Axelsson, O.–Nilsson S.–Waldenström: The length of human pregnancy as calculated by ultrasonographic measurement of the fetal biparietal diameter. Ultrasound Obstet. Gynecol. 6 (1995), 353–357. [13] Kourkoulos, M.–Tzanakis, C.: History, and students‘ understanding of variance in statistics, BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, Volume 25 (2010), 168–178. [14] Merriman, M.: On the History of the Method of Least Squares. The Analyst, Vol. 4, No. 2 (Mar., 1877), 33–36. [15] Nievergelt, Y.: A tutorial history of least squares with applications to astronomy and geodesy. Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000), 37–72.

110

[16] Plackett, R. L.: Studies in the History of Probability and Statistics: VII. The Principle of the Arithmetic Mean. Biometrika, Vol. 45, No. 1/2 (Jun., 1958), 130–135.

FELHASZNÁLT IRODALOM

[17] Seneta, E. W.: „Francis Galton“ (version 5). StatProb: The Encyclopedia Sponsored by Statistics and Probability Societies, elérhető a http://statprob.com/encyclopedia/FrancisGALTON.html címen. [18] Stigler, S. M.: Gauss and the invention of least squares. The annals of Statistics, 1981, Vol. 9, No. 3, 465–474. [19] Stigler, S. M.: The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900. Harvard University Press, 1986. ISBN 067440341X. [20] Stigler, S. M.: Statistics on the table: the history of statistical concepts and methods. Harvard University Press, 2002. ISBN 0674009797. [21] Zakharov, S. V.–Ivanova, E. I.: Fertility Decline and Recent Changes in Russia: On the Threshold of the Second Demographic Transition, elérhető a http://www.rand.org/pubs/conf_proceedings/CF124/CF124.chap2.html címen.

111

Zodpovedná redaktorka RNDr. Judita Hollá Výtvarná redaktorka Mgr. Ľubica Suchalová Technická redaktorka Ivana Bronišová Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo – Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, 811 08 Bratislava Vytlačil Polygraf print, spol. s r. o., Prešov

ISBN 978-80-10-02393-6