Matematika 1
´ ska 11. pˇrednaˇ
MA1
1
´ ı Opakovan´
2
Determinant
3
Adjungovana´ matice
4
Cramerovo pravidlo
5
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory matic
6
ˇ a´ matematika; . . . Zkouˇska; konzultace; v´yberov
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
1 / 29
ˇ an´ ´ ı na zkousky ˇ AMOS - pˇrihlasov ”pˇredterm´ın” se nekona´
strany skript 49 - 61
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
2 / 29
1
´ ı Opakovan´
2
Determinant
3
Adjungovana´ matice
4
Cramerovo pravidlo
5
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory matic
6
ˇ a´ matematika; . . . Zkouˇska; konzultace; v´yberov
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
3 / 29
´ ı Opakovan´ Operace s maticemi . . . Souˇcet matic
a c
b d
+
−1 3
1 0
b−1 d +3
a+1 c
=
´ ı nasobek ´ ´ ı) skalarn´ matice (ev. vyt´ykan´ a b 15 a 15 = c d 15 c
,
15 b 15 d
,
transpozice matice
a c
b d
T
a c
b d
=
a b
c d
.
Souˇcin matic (nekomutativn´ı !!!)
Nulova´ matice a jednotkova´ matice 0 0 0 0
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
0 0
1 0
−1 3
,
Matematika 1
1 0
=
0 1
.
4 / 29
´ ı Opakovan´ Operace s maticemi . . . Souˇcet matic
a c
b d
+
−1 3
1 0
=
b−1 d +3
a+1 c
´ ı nasobek ´ ´ ı) skalarn´ matice (ev. vyt´ykan´ a b 15 a 15 = c d 15 c
,
15 b 15 d
,
transpozice matice
a c
Souˇcin matic (nekomutativn´ı !!!) a b 1 c d 0 Nulova´ matice a jednotkova´ matice 0 0 0 0
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
T
b d
=
−1 3
0 0
a b
=
,
Matematika 1
c d
.
a c
−a + 3b −c + 3d
1 0
0 1
.
.
4 / 29
´ ı Opakovan´ Inverzn´ı matice.
1 −3
”(A | E) → (E | A−1 )”, 2 −2
1 0
0 1
1 0
∼ ∼
1 0
2 4
1 3 − 21
0 1
3 4
0 1
∼
− 12 1 4
1 0
2 1
1
0
3 4
1 4
∼
.
AX = E. Maticove´ rovnice. =
B − XB
XA + 7X + XB
=
B
X (A + 7E + B)
=
B
XA + 7X
a budˇ a) ˇreˇsit soustavu X (A + 7E + B) = B (neboli (A + 7E + B)T X T = B T ), ´ ı. nebo b) vypoˇc´ıtat X = B(A + 7E + B)−1 , jestliˇze je matice A + 7E + B regularn´
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
5 / 29
1
´ ı Opakovan´
2
Determinant
3
Adjungovana´ matice
4
Cramerovo pravidlo
5
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory matic
6
ˇ a´ matematika; . . . Zkouˇska; konzultace; v´yberov
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
6 / 29
´ Permutace uspoˇradan e´ n-tice prvku˚ 1, 2, 3, . . . , n. Inverze je dvojice cˇ ´ısel v permutaci, pro kterou plat´ı, zˇ e hodnoty jsou v opaˇcne´ relaci neˇz pozice. Poˇcet inverz´ı v permutaci (s1 , s2 , . . . , sn ) oznaˇc´ıme P(s1 , s2 , . . . , sn ). Napˇr. (1, 3, 2, 4) ma´ jen jednu inverzi (3, 2), tedy P(1, 3, 2, 4) = 1. Napˇr. P(2, 3, 1, 4, 5, 6, 7) = 2. Znamen´ı permutace je (−1)P(s1 ,s2 ,...,sn ) . Napˇr. (−1)P(2,1,3) = −1,
(−1)P(1,2,3) = 1,
....
Definice Je-li A cˇ tvercova´ matice typu n × n, je jej´ı determinant X det A = (−1)P(s1 ,s2 ...,sn ) a1,s1 a2,s2 . . . an,sn , (s1 ,s2 ...,sn )
´ kde sˇc´ıtame pˇres vˇsechny permutace (s1 , s2 . . . , sn ) cˇ ´ısel (1, 2 . . . , n) (poˇcet sˇc´ıtancu˚ ve vzorci je tedy n!). ˇ ıslo P(s1 , s2 . . . , sn ) je poˇcet inverz´ı v permutaci (s1 , s2 . . . , sn ). C´
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
7 / 29
´ Determinant matice typu 1 × 1 je hodnota jedineho prvku matice. Determinant matice typu 2 × 2 je det A = a11 a22 − a12 a21 . Determinant matice typu 3 × 3 je det A = a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 . ´ ı dvou posledn´ıch vzorcu, ´ Pro snadne´ zapamatovan´ ıc´ı schemata ˚ muˇ ˚ zeme pouˇz´ıt nasleduj´ × . . × det A = − , . × × .
det A
=
−
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
× . . . . ×
. × . . × .
. . + × × . − .
. . ×
× . .
. × .
× . .
Matematika 1
. × + . . . − ×
. × .
. . ×
× . .
. . ×
× . . . × . .
8 / 29
. ×
. . + × × . − .
. . ×
× . .
. × .
× . .
det A =
det A
=
−
× . . . . ×
. × . . × .
× .
−
. ×
× .
,
. × + . . . − ×
. × .
. . ×
× . .
. . ×
× . . . × . .
Napˇr´ıklad pro A=
7 −3
2 1
,
7 B = −3 1
2 1 3
−1 0 5
je det A = 7 · 1 − (−3) · 2 = 13, det B = 7 · 1 · 5 + 2 · 0 · 1 + (−3) · 3 · (−1) − 1 · 1 · (−1) − 2 · (−3) · 5 − 7 · 3 · 0 = 75.
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
9 / 29
ˇ Veta ˇ zn´ıka urˇceneho ´ Absolutn´ı hodnota determinantu matice typu 2 × 2 je rovna obsahu rovnobeˇ ´ vektory, ktere´ jsou rˇadky (nebo sloupce) matice. ˇ znostenu ˇ urˇceneho ´ Absolutn´ı hodnota determinantu matice typu 3 × 3 je rovna objemu rovnobeˇ ´ vektory, ktere´ jsou rˇadky (nebo sloupce) matice.
det
1 5
3 1
,
1 det 5 −2
3 −1 8
7 1 2
7 5
[1,3,7]
6 4
[1,3]
5
3 4 2
[5,1]
3
1
[−2,8,2]
2 0
[0,0,0]
1 −1 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
[5,−1,1] 0 0
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
2
4
−1
0
1
2
3
4
5
10 / 29
ˇ Veta ´ Pro determinanty matic plat´ı nasleduj´ ıc´ı a) det AB = det A det B; b) det A = det AT ; ´ ı, je det A−1 = c) je-li A regularn´
1 ; det A
´ ı, prav ´ eˇ kdyˇz det A 6= 0; d) A je regularn´ ´ u˚ nebo sloupcu, e) jestliˇze B vznikne z A prohozen´ım dvou ruzn´ ˚ ych rˇadk ˚ je det B = − det A; ´ ´ f) jestliˇze B vznikne z A vynasoben´ ım rˇadku nebo sloupce cˇ ´ıslem s, je det B = s det A; ´ nasobku ´ ´ ´ ´ g) jestliˇze B vznikne z A pˇriˇcten´ım libovolneho rˇadku (sloupce) k jinemu rˇadku (sloupci), je det B = det A. Napˇr. det
1 0
det
1 3 1 0
= − det
1 3
0 1
= det
3 1 1 5
,
1 8
...
3 = −(−3),
,
...
3 = 3.
´ Jak pomoc´ı v´ypoˇctu detereminantu pozname, zˇ e sada 2 resp. 3 vektoru˚ z R2 resp. R3 je baz´ı ?
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
11 / 29
´ Budeme pouˇz´ıvat nasleduj´ ıc´ı oznaˇcen´ı. ´ ım k-teho ´ ˇradku ´ ´ Aki je matice (submatice matice A), ktera´ vznikne z A vynechan´ a i-teho sloupce. Matice Aki je take´ cˇ tvercova´ (ale menˇs´ı neˇz A), a tedy muˇ ˚ zeme poˇc´ıtat jej´ı determinant. Napˇr. pro
1 A= 0 −1
1 3 0
0 2 7
je det A12 = det
0 −1
det A33 = det
2 7 1 0
= 0 · 7 − (−1) · 2 = 2,
1 3
=1·3−0·1=3
Plat´ı det A = a11 · det A11 − a12 · det A12 + a13 · det A13 .
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
12 / 29
´ Pro v´ypoˇcet determinantu matice A muˇ ıc´ı pravidlo. ˚ zeme pouˇz´ıt nasleduj´
ˇ Veta Nechtˇ A je matice typu n × n a 1 ≤ k ≤ n. Potom det A =
n X
(−1)k+i aki det Aki .
i=1
´ ˇradku. ´ Uveden´y vzorec pro v´ypoˇcet determinantu se naz´yva´ rozvoj determinantu podle k -teho ´ Obdobneˇ lze toto pravidlo formulovat pro sloupce (rozvoj determinantu podle k-teho sloupce). ˇ Napˇr. spoˇcteme usporn eˇ determinant matice A, ´ 7 A = −3 1
2 0 3
−1 0 . 5
´ ˇradku ´ ´ Ve druhem je ”hodneˇ nulov´ych prvku”, ˚ pouˇzijeme tedy rozvoj determinantu podle druheho ´ rˇadku, det A = (−1)2+1 · (−3) · det A21 = 3 · (2 · 5 − 3 · (−1)) = 39.
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
13 / 29
1
´ ı Opakovan´
2
Determinant
3
Adjungovana´ matice
4
Cramerovo pravidlo
5
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory matic
6
ˇ a´ matematika; . . . Zkouˇska; konzultace; v´yberov
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
14 / 29
Oznaˇcme Adj A matici sloˇzenou z determinantu˚ v´ysˇ e uveden´ych submatic Aij
− det A21 det A22 ... (−1)2+n det A2n
det A11 − det A12 Adj A = ... (−1)1+n det A1n
... ... ... ...
(−1)n+1 det An1 n+2 (−1) det An2 , ... det Ann
cˇ ili na pozici (i, j) je cˇ ´ıslo (−1)i+j det Aji . ´ Matici Adj A naz´yvame matic´ı adjungovanou k matici A. Napˇr´ıklad pro matice A=
7 −5
2 1
,
7 B = −3 1
2 1 3
−1 0 5
jsou matice adjungovane´ Adj A =
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
1 5
−2 7
,
Adj B =
Matematika 1
5 15 −10
−13 36 −19
1 3 . 13
15 / 29
ˇ Veta Pro cˇ tvercovou matici A plat´ı A · AdjA = AdjA · A = det A · E.
Dukaz. ˚ Pro souˇcin B = A · Adj A ´ plat´ı, zˇ e bii = det A a bij pro i 6= j je roven determinantu matice, ktera´ ma´ dva stejne´ ˇradky, tedy nule.
ˇ Veta ´ ı, plat´ı Je-li A regularn´ A−1 =
1 Adj A. det A
Tedy napˇr´ıklad
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
7 −3
2 1
−1 =
1 13
Matematika 1
1 3
−2 7
.
16 / 29
1
´ ı Opakovan´
2
Determinant
3
Adjungovana´ matice
4
Cramerovo pravidlo
5
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory matic
6
ˇ a´ matematika; . . . Zkouˇska; konzultace; v´yberov
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
17 / 29
´ ren´ı ˇreˇsen´ı soustavy linearn´ ´ ıch rovnic. Adjungovane´ matice lze vyuˇz´ıt take´ k vyjadˇ
ˇ Veta ˇ (Cramerovo pravidlo) Mejme soustavu rovnic Ax = b ´ ı matic´ı A. Potom s regularn´ xi =
1 det Bi , det A
ˇ en ˇ za vektor prave´ strany b. kde Bi je matice A, ve ktere´ byl i-t´y sloupec vymen
Dukaz. ˚ Jestliˇze Ax = b, potom x = A−1 b =
1 (AdjA) b, det A
´ eˇ i-ta´ sloˇzka ˇreˇsen´ı je specialn xi =
=
1 ((AdjA)i1 b1 + (AdjA)i2 b2 + · · · + (AdjA)in bn ) = det A
1 1 ((−1)i+1 b1 detA1i + (−1)i+2 b2 detA2i + · · · + (−1)i+n bn detAni ) = det Bi , det A det A
ˇ en ˇ za vektor prave´ strany b. Pouˇzili jsme rozvoj kde Bi je matice A, ve ktere´ byl i-t´y sloupec vymen ´ determinantu podle i-teho sloupce. ´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
18 / 29
Pˇr´ıklad. Pomoc´ı Cramerova pravidla urˇceme napˇr´ıklad posledn´ı sloˇzku ˇreˇsen´ı v rovnici 1 0 1 x1 4 0 2 1 x2 = 1 . 1 1 1 x3 3
Determinant matice soustavy je det A = 2 + 0 + 0 − 2 − 0 − 1 = −1. ˇ en ˇ za vektor prave´ strany Determinant matice soustavy, kde je posledn´ı sloupec vymen 1 0 4 0 2 1 1 1 3 je det B3 = 6 + 0 + 0 − 8 − 1 = −3. ˇ sen´ı x3 je tedy Reˇ x3 =
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
−3 det B3 = = 3. det A −1
Matematika 1
19 / 29
V´ypoˇcet inverzn´ı matice pomoc´ı matice adjungovane´ i ˇreˇsen´ı soustavy rovnic pomoc´ı Cramerova pravidla
´ ˇ ı ulohy jsou pro rozsahlej s´ ´ nepouˇzitelne´ !
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
20 / 29
1
´ ı Opakovan´
2
Determinant
3
Adjungovana´ matice
4
Cramerovo pravidlo
5
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory matic
6
ˇ a´ matematika; . . . Zkouˇska; konzultace; v´yberov
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
21 / 29
V mnoha inˇzen´yrsk´ych v´ypoˇctech se objevuje potˇreba poˇc´ıtat jeˇsteˇ dalˇs´ı charakteristiky matic ´ u. n´ızk´ych i vysok´ych ˇrad ˚
Definice ˇ ıslo λ, pro ktere´ ma´ rovnice Nechtˇ A je cˇ tvercova´ matice. C´ Ax = λx asponˇ jedno nenulove´ rˇeˇsen´ı x (tedy x 6= (0, 0, . . . , 0)), se naz´yva´ vlastn´ı cˇ ´ıslo matice A. Vektor x, kter´y je t´ım nenulov´ym rˇeˇsen´ım je vlastn´ı vektor matice A.
Napˇr.
2 0
3 7
3 5
=7
3 5
.
´ ı vlastn´ıch cˇ ´ısel a vlastn´ıch vektoru˚ . . . Hledan´ ´ ı hlavn´ıch smer ˇ u˚ napet´ ˇ ı, vlastn´ıch frekvenc´ı nebo mezn´ıch zat´ızˇ en´ı system ´ u. . . . urˇcovan´ ˚ Rozloˇzen´ı vlastn´ıch cˇ ´ısel matic ma´ vliv na rychlost ˇreˇsen´ı a pˇresnost v´ysledku pˇri ˇreˇsen´ı velk´ych ´ ıch rovnic na poˇc´ıtaˇci. soustav linearn´
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
22 / 29
Odvod´ıme praktick´y v´ypoˇcet vlastn´ıho cˇ ´ısla matice A typu n × n.
ˇ Veta ˇ ıslo λ je vlastn´ım cˇ ´ıslem matice A, prav ´ eˇ kdyˇz je λ koˇrenem polynomu det(A − λE). C´
Dukaz. ˚ Plat´ı Ax = λx, neboli (A − λE)x = 0 a pˇritom x 6=
(0, 0, . . . , 0)T ,
´ eˇ kdyˇz matice A − λE je singularn´ ´ ı, a tedy prav det(A − λE) = 0.
ˇ ıslo λ tedy spoˇcteme tak, zˇ e vyˇreˇs´ıme rovnici det(A − λE) = 0 vzhledem k λ. Rovnice se C´ naz´yva´ charakteristicka´ rovnice matice A. V´yraz p(λ) = det(A − λE) ´ ˇ e´ λ a naz´yva´ se chrakteristick´y polynom matice A. je polynomem n-teho stupneˇ v promenn Ma´ nejv´ysˇ e n ruzn´ ˚ ych koˇrenu, ˚ a tedy je nejv´ysˇ e n vlastn´ıch cˇ ´ısel, obecneˇ komplexn´ıch. ´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
23 / 29
ˇ Vypoˇcteme vlastn´ı cˇ ´ısla a pˇr´ısluˇsne´ vlastn´ı vektory matice 2 3 A= . 1 0 Charakteristick´y polynom matice A je determinant matice 2−λ 3 A − λE = , 1 −λ p(λ) = det(A − λE) = (2 − λ)(−λ) − 3 = λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1), tedy vlastn´ı cˇ ´ısla matice A jsou λ1 = −1,
λ2 = 3.
Urˇc´ıme take´ vlastn´ı vektory. Dosad´ıme λ1 = −1 do matice A − λI a ˇreˇs´ıme 3 3 v1 0 (A − λ1 E) = = . 1 1 v2 0 ´ Dostaneme v = (1, −1)T (a vˇsechny jeho nenulove´ nasobky). Podobneˇ pro λ2 = 3 zjist´ıme ˇreˇsen´ı −1 3 u1 0 (A − λ2 E)u = = . 1 −3 u2 0 ´ Zjist´ıme, zˇ e u = (3, 1)T (a vˇsechny jeho nenulove´ nasobky). ´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
24 / 29
Pro vlastn´ı cˇ ´ısla matic plat´ı mnoho zaj´ımav´ych tvrzen´ı.
ˇ Veta Determinant matice je souˇcinem jej´ıch vlastn´ıch cˇ ´ısel. (Tedy jestliˇze je jedno z nich nula, je nulov´y i determinant.)
ˇ Veta ˇ ´ polynomu matice A matici A za Cayleyova-Hamiltonova veta. Dosad´ıme-li do charakterisktickeho ˇ promennou λ, dostaneme nulovou matici.
ˇ Veta ´ ıch prvku˚ matice (tzv. stopa matice) je roven souˇctu vlastn´ıch cˇ ´ısel matice. Souˇcet diagonaln´
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
25 / 29
Pˇr´ıklady.
1. Jak´y determinant ma´ jednotkova´ matice? ´ ı matice? 2. Jak´y je determinant diagonaln´ 3. Jak´y je determinant horn´ı trojuheln´ ıkove´ matice? ´ ´ ı matici 4. Jaka´ je obecneˇ inverzn´ı matice k regularn´ a b A= ? c d 5. Jaka´ vlastn´ı cˇ ´ısla ma´ matice
A=
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
7 0
Matematika 1
31 5
?
26 / 29
1
´ ı Opakovan´
2
Determinant
3
Adjungovana´ matice
4
Cramerovo pravidlo
5
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory matic
6
ˇ a´ matematika; . . . Zkouˇska; konzultace; v´yberov
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
27 / 29
Zkouˇska: 120 minut, seˇsite´ pap´ıry, . . . ˇ na otazky ´ ˇ Odpovedi - vetami. ´ ´ ´ ´ Nasleduj´ ıc´ı den: nahledy, zkouˇsen´ı na A, zapis znamky do indexu.
ˇ a´ Matematika 2 . . . web Katedry matematiky V´yberov
ˇ z v matematice, aplikovane´ matematice a geometrii, kveten ˇ Vyˇcichlova souteˇ ˇ z v aplikovane´ matematice, listopad Rektorysova souteˇ Kapitoly ze souˇcasne´ matematiky XKSM, ´r seminaˇ . . . web Katedry matematiky
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
28 / 29
Zkouˇska: 120 minut, seˇsite´ pap´ıry, . . . ˇ na otazky ´ ˇ Odpovedi - vetami. ´ ´ ´ ´ Nasleduj´ ıc´ı den: nahledy, zkouˇsen´ı na A, zapis znamky do indexu.
ˇ a´ Matematika 2 . . . web Katedry matematiky V´yberov
ˇ z v matematice, aplikovane´ matematice a geometrii, kveten ˇ Vyˇcichlova souteˇ ˇ z v aplikovane´ matematice, listopad Rektorysova souteˇ Kapitoly ze souˇcasne´ matematiky XKSM, ´r seminaˇ . . . web Katedry matematiky
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
28 / 29
Zkouˇska: 120 minut, seˇsite´ pap´ıry, . . . ˇ na otazky ´ ˇ Odpovedi - vetami. ´ ´ ´ ´ Nasleduj´ ıc´ı den: nahledy, zkouˇsen´ı na A, zapis znamky do indexu.
ˇ a´ Matematika 2 . . . web Katedry matematiky V´yberov
ˇ z v matematice, aplikovane´ matematice a geometrii, kveten ˇ Vyˇcichlova souteˇ ˇ z v aplikovane´ matematice, listopad Rektorysova souteˇ Kapitoly ze souˇcasne´ matematiky XKSM, ´r seminaˇ . . . web Katedry matematiky
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
28 / 29
Katedra matematiky ˇ YZAI (Zaklady ´ pˇredmet informatiky)
MATLAB SCILAB - volneˇ
´ ska (15.12.2010) 11. pˇrednaˇ
Matematika 1
29 / 29
