25 – Dopravní zpoždění
Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13
Dopravní zpoždění Automatické řízení - Kybernetika a robotika
(Time delay, transport delay, dead time, delay-differential systems) p
• V reálných systémech se často vyskytuje dopravní zpoždění
y (t ) = u (t − τ )
p
8
6
4
2
0
τ
• Je to obvykle čas potřebný na přenos informace Srovnej: pozemní tele-operace, Lunochod, Spirit-Opportunity, Cassini-Huygens • Nebo čas potřebný na přemístění hmoty
Michael Šebek
ARI-25-2012
2
Systémy s dopravním zpožděním Automatické řízení - Kybernetika a robotika
V řídicích systémech se často vyskytuje dopravní zpoždění • buď v samotném procesu • anebo při zpracování naměřených signálů Příklady • chemické procesy • zpoždění reprezentuje čas potřebný k nutné dopravě materiálu potrubím, pásovým dopravníkem,… • válcování, výroba papíru,… • vytápění • řízení na dálku – raketa na Mars • velké zpoždění signálu dané konečnou rychlostí světla • malé zpoždění při zpracování signálu • Biologické a biomedicínské systémy Důsledky • Dopravní zpoždění vždy zhoršuje stabilitu ZV systému • Dopravní zpoždění reprezentuje systém nekonečného řádu Michael Šebek
ARI-25-2012
3
Dopravní zpoždění Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Čisté dopravní zpoždění
y (= t ) u (t − τ )
y ( s ) = u ( s )e −τ s
• Systém s dopravním zpožděním na vstupu a na výstupu x (t ) = Ax(t ) + Bu (t − τ ) y (t ) = Cx(t ) H ( s, e
−τ s
det ( sI − A )
C ( sI − A ) B e )= −1
−τ s
G ( s )e =
• Systém s dopravním zpožděním uvnitř x= (t ) A 0 x(t ) + A1x(t − τ ) + Bu (t ) y (t ) = Cx(t )
Michael Šebek
H ( s, e
−τ s
−τ s
= x (t ) Ax(t ) + Bu (t ) y= (t ) Cx(t − τ )
b( s ) −τ s =e a(s) det ( sI − A 0 − A1e −τ s )
)= C ( sI − A 0 − A1e ARI-25-2012
)
−τ s −1
b( s, e −τ s ) B= a ( s, e −τ s ) 4
Složitější případy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Více různých zpoždění (souměřitelné nebo nesouměřitelná)
(
x (t ) = A 0 x(t ) + ∑ i =1 A i x(t − τ i )
det sI − A 0 − ∑ i =1 A i e −τ i s
N
H ( s, e
−τ1s
,e
−τ 2 s
,, e
−τ N s
(
N
)= C sI − A 0 − ∑ i =1 A i e N
−τ i s
)
−1
)
b( s, e −τ1s , e −τ 2 s , , e −τ N s ) B= a ( s, e −τ1s , e −τ 2 s , , e −τ N s )
• Rozprostřené zpoždění (distributed delay): raketový motor na tekuté palivo, dlouhé vedení, biologické systémy,… τ Obecně x= (t ) A 0 x(t ) + A1x(t − τ ) + ∫ A v ( v ) x(t − v)dv 0 ne-racionální funkce det ( sI − A 0 − A1e −τ s − A( s ) )
∫
= A( s) H ( s, e
∞
0
−τ s
−
A (= v ) e dv = − {A (t )} − sv
, A( s ))= C ( sI − A 0 − A1e
∫
τ
0
−τ s
−
A ( v ) e − sv dv
− A( s) )
−1
b( s, e −τ s , A( s )) B= a ( s, e −τ s , A( s ))
• Systémy s rozprostřenými parametry – parciální diferenciální rovnice Michael Šebek
ARI-25-2012
5
Nuly, póly, stabilita Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Protože exponenciála je v komplexním oboru periodická, má obecně kvazipolynom p ( s, e −τ s ) nekonečně mnoho oddělených kořenů • Systém s dopravním zpožděním tedy může mít nekonečně mnoho (oddělených) nul a/nebo pólů • Je stabilní právě když všechny kořeny charakteristického (kvazi)polynomu leží v otevřené levé polorovině q ( s ) = s + 1 + 5e − s • Stabilní a nestabilní p ( s ) = s + 1 + 2e − s
• Rozlišujeme stabilitu závislou na zpoždění (stabilní pro dané τ ) a stabilitu nezávislou na zpoždění (stabilní pro každé τ ) – „iod“ Michael Šebek
ARI-25-2012
6
Návrh řízení systému se zpožděním Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Laplaceova transformace • OK, ale obrazy nejsou racionální funkce • Frekvenční metody • fungují: Nyquistovo kritérium, PM, GM, … • Root locus • je k ničemu (pólů je nekonečně mnoho), • leda snad pro dominantní póly • Stavové metody • Něco, s problémy. • Skutečný stavový prostor je totiž nekonečně-dimensionální, užívají se „pseudostavové“ modely • Polynomiální metody: • něco jde pomocí 2-D polynomů −τ s b s e b( s, d ) ( , ) −τ s −τ s H s e H s d ( , ) ( , ) = → = d =e a ( s, e −τ s ) a ( s, d ) • Fungují některé triky, ad hoc metody apod. Michael Šebek
ARI-25-2012
7
Řízení systému se zpožděním Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Aproximace na začátku
Aproximace na konci
• dopravní zpoždění aproximujeme členem konečného řádu • a pak pokračujeme standardním postupem
• provádíme návrh pro systém se zpožděním • často vychází regulátor, který také obsahuje zpoždění • takový regulátor realizujeme aproximací nebo diskrétně
Diskretizace
Robustní řízení
• Soustavu na začátku diskretizujeme, tím dopravní zpoždění „zmizí“ • pak provedeme diskrétní návrh
• zpoždění zahrneme do neurčitosti • účinné zvlášť při proměnném nebo neznámem zpoždění • provedeme robustní návrh pro neurčitou soustavu bez zpoždění
Michael Šebek
ARI-25-2012
8
Padého aproximace dopravního zpoždění Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• chceme aproximovat racionální funkcí exponenciálu e −τ s −s • pro jednoduchost nejprve dosadíme τ s = s a aproximujeme e . Až aproximaci najdeme, dosadíme do ní zpátky s = τ s • funkci e − s komplexní proměnné můžeme rozvinout v McLaurinovu řadu (Taylorovu řadu v bodě 0): s 2 s3 s 4 −s 1 s + − + − (funkce je holomorfní → rozvoj platí všude) e =− 2! 3! 4! b1s + b0 Aproximace 1. řádu • nahradíme e − s přenosem 1. řádu a1s + 1 tak, aby jejich rozdíl byl malý • rozvineme i přenos v řadu (dlouhým dělením od nulových mocnin) • 3 neznámé porovnáme 3 členy 3 rovnice −s
e = 1
−s
s 2 s3 s 4 + − + − 2! 3! 4!
b1s + b0 =b0 + (b1 − b0 a1 ) s − a1 (b1 − b0 a1 ) s 2 + a1s + 1 Michael Šebek
ARI-25-2012
b0 = 1 (b1 − b0 a1 ) = −1 1 −a1 (b1 − b0 a1 ) = 2 9
Padého aproximace dopravního zpoždění Automatické řízení - Kybernetika a robotika
b0 = 1 −1 (b1 − b0 a1 ) = − a1 (b1 − b0 a1 ) = 12
1− s 2 1 1 −s b0 = 1, b1 = − , a1 = e ≈ 1+ s 2 2 2
e −τ s ≈
1−τ s 2 1+τ s 2
Aproximace 2. řádu 2 • Podobně: nahradíme e − s přenosem 2. řádu b1s + b1s + b0 2 a s + a1s + 1 2 tak, aby jejich rozdíl byl malý • rozvineme i přenos v řadu (dlouhým dělením) • 5 neznámých porovnáme 5 členů 5 rovnic 1 − s 2 + s 2 12 e ≈ 1 + s 2 + s 2 12 −s
e
−τ s
1 − τ s 2 + (τ s ) 2 12 ≈ 1 + τ s 2 +(τ s ) 2 12
pade(T,order)
• existují aproximace vyšších řádů, dostaneme je obdobně • pro velmi malá zpoždění τ ∈ ( 0,1) někdy aproximujeme velmi hrubě členem 1. řádu (lag) - pro něj souhlasí první 2 členy rozvojů Michael Šebek
ARI-25-2012
10
„Přesný“ návrh Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• soustava G ( s )e
−τ s
+ regulátor
C (s)
C (s)
G (s)
e−τ s
• přenos uzavřené smyčky C ( s )G ( s )e −τ s T (s) = 1 + C ( s )G ( s )e −τ s
b( s ) q(s) = G (s) = , C (s) a(s) p(s)
b( s )q ( s )e −τ s T (s) = a ( s ) p ( s ) + b( s )q ( s )e −τ s
• charakteristický „polynom“ je kvazipolynom • má obecně nekonečně mnoho nul (kořenů), protože exponenciála je v komplexním oboru periodická funkce Michael Šebek
ARI-25-2012
11
Řízení bez zpoždění v charakteristickém polynomu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jaké by měl být regulátor, aby výsledný přenos byl
CSmith ( s)
G (s)
e −τ s
C ( s )G ( s )e −τ s T (s) = 1 + C ( s )G ( s )
tj. aby neměl zpoždění ve jmenovateli? • Porovnáme oba přenosy
Abychom mohli měnit T návrhem C, musíme použít Csmith
CSmith ( s )G ( s )e −τ s C ( s )G ( s )e −τ s = T= (s) 1 + C ( s )G ( s ) 1 + CSmith ( s )G ( s )e −τ s
• a z toho vypočteme
a pro něj opravdu
C (s) CSmith ( s ) = 1 + C ( s ) G ( s ) − G ( s )e −τ s
C ( s )G ( s )e −τ s T (s) = 1 + C ( s )G ( s )
• Smithův prediktor – autor O.J.M. Smith 1958 Michael Šebek
ARI-25-2012
12
Smithův prediktor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
CSmith ( s ) =
C (s)
C (s) 1 + C ( s ) G ( s) − G ( s)e−τ s
G (s)
G (s)
• ZV s modelem soustavy v regulátoru vyruší G (s) vnější ZV • pak funguje jen ta vnitřní - bez zpoždění • Realizace: musíme realizovat čisté zpoždění – číslicově není problém – analogově obvykle Padého aproximací • prediktor je užitečný hlavně v případech, kdy je dopravní zpoždění velké ve srovnání s časovými konstantami soustavy • válcování, výroba papíru, pásový dopravník, … • citlivé na přesnou znalost délky zpoždění (jinak se vliv neodečte) Michael Šebek
ARI-25-2012
13
25 – Doplněk: Systémy proměnné v čase
Michael Šebek Automatické řízení 2012 21-4-13
Systémy proměnné v čase Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Lineární v čase proměnný systém: LTV (linear time-varying) • koeficienty jsou funkce času • Stavový model = x (t ) A(t )x(t ) + B(t )u(t ) = y (t ) C(t )x(t ) + D(t )u (t )
• Model typu vstup-výstup an (t ) y ( n ) (t ) + + a0= (t ) y (t ) bm (t )u ( m ) (t ) + + b0 (t )u (t )
• • • •
Pojmy přenos, pól a nula nemají smysl Stabilitu nutno zkoumat jinak Nastávají nové jevy, které u LTI nejsou Např. parametrická rezonance Michael Šebek
ARI-25-2012
15
