Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
23. tétel: Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával Területszámítás elemi úton: Axiómák: 0. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy nemnegatív valós számot (ez a sokszög területe) úgy, hogy az alábbiak teljesüljenek: 1. Az egységnyi oldalhosszú négyzet terülte 1. 2. Az egybevágó sokszögek területe megegyezik. 3. Ha egy sokszöget véges sok darab sokszögre bontunk akkor a részsokszögek területeinek összege az eredeti sokszög területével egyenlı. Téglalap területe: Tétel: A téglalap területe a szomszédos oldalak szorzata Lemma: Ha két téglalap egyik oldala megegyezik, akkor a területük aránya egyenlı a másik oldalak arányával. Vagyis, ha a1=a2 akkor:
T2 b2 = . T1 b1
Biz:
Lemma alapján:
T2 b = T1 1
T3 a = T2 1
⇓ T2 = b
⇓ T3 = a ⋅ b
Paralelogramma területe: A paralelogramma olyan négyszög melynek szemközti oldalai párhuzamosak. Tétel: A paralelogramma területe az egyik oldalának és a hozzátartozó magasságának szorzata: Tparale logramma = a ⋅ m a Biz: Hosszabbítsuk meg a paralelogramma egyik párhuzamos oldalpárját, és a párhuzamosok közé helyezzünk el egy a paralelogramma alapjával egyenlı oldalú téglalapot. →
Ekkor: AA’DD’ ≅ BB’CC’, mivel AB vektorral való eltolás egymásba viszi ıket. tehát a 2. axióma miatt TAA′ D′ D = TBB′ C′C
TA′B′C′D′ = TBB′ C′ C − TBA′D′C 3. axióma miatt ⇒ TABCD = TA′B′C′D′ = a ⋅ m TABCD = TAA′ D′ D − TBA′D′C (mivel a paralelogramma és a téglalap adatai megegyeznek)
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Trapéz területe: A trapéz olyan négyszög, melynek van egy párhuzamos oldalpárja. Tétel: A trapéz területe a középvonalának és magasságának szorzata. a+c Trapéz = k ⋅ m = ⋅m 2 Biz: Tükrözzük a trapézt az egyik szárának felezıpontjára, F-re A tükrözés miatt: ABCD ≅ A’B’C’D’ így AD’A’D paralelogramma ( 2.ax .) ( 3.ax .) 1 1 TABCD = TA’B’C’D’ = TAD’A’D= ⋅ (a + c) ⋅ m 2 2 (mivel a paralelogramma és a trapéz adatai megegyeznek)
Háromszög területe: Tétel: A háromszög területe az egyik oldal és a hozzá tartozó c ⋅ mc magasság szorzatának fele. Tháromszög = 2 Biz:
Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának F felezıpontjára A tükrözés miatt: ABC ≅ A’B’C’ így ABA’C négyszög paralelogramma ( 3.ax .) ( 2.ax .) 1 1 TABA’C = ⋅ c ⋅ m c TA’B’C’ = TABC = 2 2 mivel a háromszög és a paralelogramma adatai megegyeznek
Egyéb háromszög területképletek:
K 2 a ⋅b ⋅c beírt kör sugarával: T = r ⋅ s , körülírt kör sugarával: T = 4R hozzáírt körök sugaraival T = ra ⋅ (s − a ) = rb ⋅ (s − b ) = rc ⋅ (s − c ) a ⋅ b ⋅ sin γ két oldal és közbezárt szögükkel: T = 2
Heron - képlet: T = s ⋅ (s − a ) ⋅ (s − b ) ⋅ (s − c )
ahol s =
Deltoid területe: A deltoid olyan négyszög, melynek két-két szomszédos oldala egyenlı. e⋅f Tétel: A deltoid területe átlói szorzatának a fele. Tdeltoid = 2 Biz: ACB ≅ ACD (mivel oldalai páronként megegyeznek) ( 2.;3.ax.) AC ⋅ TB DB e ⋅ f TABCD = 2 · TACB = 2 ⋅ = AC ⋅ = 2 2 2 Sokszögek területe: Háromszögekre való bontással.
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Kör területe: A kör azon pontok halmaza a síkon, melyek egy adott ponttól adott egyenlı távolságban vannak. Tétel: A kör területe a sugarának négyzete szorozva π − vel . Tkör = r 2 ⋅ π Biz: szabályos sokszögek területével közelítjük (alulról és felülrıl) π 2π 2r 2 tg r 2 sin n ⋅n ≤ T ≤ n ⋅n Tbeírt sokszög ≤ Tkör ≤ Tköréírtsokszög vagyis: kör 2 2
2π 2π sin 2 n = r 2π n ⋅ n = lim r ⋅ 2π ⋅ n →∞ 2 2π 2 n
r 2 sin
nodehát
és
lim
n →∞
π lim r 2 ⋅ tg ⋅ n = lim r 2 ⋅ π ⋅ n →∞ n →∞ n
1 π cos n
sin ⋅
π n
sin y lim = 1 y→ 0 y
π n = r 2π
és ekkor a rendır elv miatt: r 2 π ≤ Tkör ≤ r 2 π ⇒ Tkör = r 2 π Területszámítás integrálszámítással: Függvény alatti terület: A függvény görbéje és az x tengely között létrejött elıjeles terület mérıszáma.
[a;b] intervallum egy lehetséges felosztása (F): a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b véges számú pont. Legyen f: [a;b]→R korlátos Alsó összeg: s F = Σ m i ⋅ (x i − x i−1 ) ahol m i = inf {f ( x ) x ∈ [x i−1; x i ]}, n
i =1
(tehát mi az „i”-edik intervallumban a legkisebb függvényérték – infimum)
Felsı összeg: SF = Σ M i ⋅ (x i − x i−1 ) ahol M i = sup {f ( x ) x ∈ [x i−1; x i ]} n
i =1
(tehát Mi az „i”-edik intervallumban felvett legnagyobb függvényérték – szuprémum) Az [a; b] intervallumon értelmezett korlátos f(x) függvényt integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amelyik az f(x) függvény egyetlen alsó közelítı összegénél sem kisebb, és egyetlen felsı közelítı összegénél sem nagyobb. Ezt a számot nevezzük f(x) [a; b] intervallumon vett határozott avagy Riemann- integráljának.
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Newton – Leibniz formula: Ha F(x) differenciálható, és F′( x ) = f ( x ) integrálható, akkor: a
∫ f (x ) dx = F(b ) − F(a ) = [F(x )] a
b
b
Definíciók, tételek:
Ha F′( x ) = f ( x ) akkor F(x) az f(x) függvény egy primitívfüggvénye. Ha F(x) az f(x) primitívfüggvénye egy I intervallumon, akkor f(x) összes primitívfüggvénye F+c alakú. (ahol c∈R tetszıleges). f(x) függvény határozatlan integrálja f(x) primitívfüggvényeinek halmaza. Jele: ∫ f ( x ) dx Az elızı tétel értelmében tehát : ∫ f ( x ) dx = { F( x ) + c } Alapintegrálok:
∫x
n
dx =
1 ⋅ x n +1 + c n +1
∫ c dx = c ⋅ x + c1 ax +c ln a ∫ cos x dx = sin x + c 1 ∫ 2 dx = tg x + c cos x x ∫ a dx =
n ≠ −1 esetén
azaz például:
x x ∫ e dx = e + c
∫ sin x dx = − cos x + c x≠
Mőveleti szabályok: 1. ∫ (f + g ) dx = ∫ f dx + ∫ g dx
3.
n = −1 esetén
n=0, konstans integrálása
π + kπ 2 π ∫ tg x dx = − ln | cos x | +c x ≠ 2 + kπ 1 dx = arc tg x + c ∫ 1 + x2
2.
1
∫ x dx = ln | x | +c
∫ c ⋅ f dx = c ⋅ ∫ f dx ∫ g' ( x) ⋅ f (g( x)) dx = F(g(x )) + c
∫
1 dx = − ctg x + c sin 2 x
x ≠ kπ
∫ ctg x dx = ln | sin x | +c x ≠ kπ
összeg tagonként integrálható konstans kiemelhetı ha egy összetett függvénynél ott van
szorzóként a belsı függvény deriváltja, akkor „elég” a külsı függvényt integrálni 1 ha a belsı függvény lineáris 4. ∫ (f (ax + b) dx = ⋅ F(ax + b) + c a 5. ∫ f '⋅ g = f ⋅ g − ∫ f ⋅ g ' parciális integrálás 6.
∫ f ( x) dx = ∫ f (g(t )) ⋅ g' (t ) dt
helyettesítéses integrálás
itt az x=g(t) helyettesítést végeztük, és g’(t)=
dx dt
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Területek kiszámításának különbözı módjai: Tehát az [a; b] intervallumon folytonos, nem negatív f(x) függvény görbéje alatti területet a határozott integrál fogalmából a
következıen a T = ∫ f (x ) dx képlettel számolhatjuk. b
Ha az f(x) folytonos függvényre nincs elıjelkikötés, akkor az f(x) integrálja az x tengely feletti és alatti területek elıjeles összegét adja. b
∫ f (x ) dx = T − T 1
2
a
a
c
∫ f (x ) dx
T=
T1 + T2 = ∫ f (x ) dx +
b
a
b
∫ f (x ) dx c
f és g függvények metszéspontjai: ⇒ a; b b
T=
∫ g(x ) − f ( x) dx a
Kör területének kiszámítása integrálszámítás alkalmazásával: Tétel: Az r sugarú kör terület: T = r 2π Bizonyítás: Legyen a középpont O(0;0) a kör középpontja A felsı félsíkba esı félkörvonal az f: [-r;r]→R, f ( x) = r 2 − x 2 függvény grafikonja. A félkör területe tehát: . r
T=
∫
−r
= r2
π 2
2
2
π 2
π 2
2
2
x x r 2 − x 2 dx = ∫ r 1 − dx = r ∫ 1 − dx = r ∫ 1 − sin 2 t ⋅ r ⋅ cos t dt =r 2 ∫ cos 2 t dt = r r π π −r −r − − r
r
π 2
sin 2t sin π π sin (− π) r 2 π 1 + cos 2 t 2 t 2 π r dt r = + − − − = + ∫π 2 = 2 4 π 2 4 4 4 4 − − 2
2
Az r sugarú kör területe tehát: T = r π 2
Alkalmazások: - területszámítások (kör részeinek területe, szabályos sokszögek területe) - felszínszámítás (forgástestek felszíne integrálszámítással) - lakások alapterülete - grafikon alatti terület meghatározása (fizikai folyamatok, munka) - földrajzi területmeghatározás (földmérés) - csillagászat (szektor-terület a szektorsebességhez) - integrálszámítással forgástestek térfogata, testek súlypontja meghatározható
