23 - Diskrétní systémy
Michael Šebek Automatické řízení 2015 3-5-15
Vzorkování dané metodou měření Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Systémy používající radar • měření polohy cíle jednou za otáčku radaru • motivace v počátcích historie diskrétních modelů Analytické měřicí nástroje • proměnné veličiny měří off-line analytickými nástroji (hmotnostní spektrometr, chromatograf) • např. při výrobě fotografických filmů Ekonomické systémy • účetní procedury v ekonomických systémech jsou často svázány s kalendářem (datem) • procesy mohou probíhat kdykoli, ale účtují se (data se statisticky sečítají) za den, týden, měsíc, … • zůstatek na účtu, zisk, náklady, měnový kurs, cena akcií, výroba, stav skladu, … Michael Šebek
ARI-23-2012
2
Pulzně fungující systémy nebo aktuátory Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Tyristorové řízení • Výkonová elektronika s tyristory funguje pulzně Biologické systémy • Signály v nervové soustavě jsou pulzy Motory s vnitřním spalování • Zápal generuje pulz momentu (= hodiny synchronizující motor) • Klasický rotační spalovací motor (potřebuje klikovou hřídel)
• Nový princip: lineární spalovací motor, katedra řídicí techniky: doc. Vysoký Michael Šebek
ARI-23-2012
3
Nobelova cena „za řízení“ Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Urychlovače částic • Holandský inženýr Simon van der Meer výrazně vylepšil urychlovač zavedením ZV do řízení dráhy • To umožnilo zvětšit intenzitu a zlepšit podstatně kvalitu paprsku, což bylo klíčovým faktorem úspěšného experimentu v CERN, který vedl k objevu částic W a Z bosonů, zprostředkujících slabou sílu • metoda byla nazvána stochastic cooling • za to dostal van der Meer a Carlo Rubia Nobelovu cenu za fyziku 1984 • částice je vidět jen v detektoru = vzorkování v senzoru • „postrčit“ se dá jen v „kickeru“ = vzorkování v aktuátoru Michael Šebek
ARI-23-2012
4
Aplikace v počítačových oborech Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Řízení emailového server (IBM Lotus Domino), řízení front (Queuing Systems), detekce přetížení routeru, Streaming Media a další příklady viz kniha autorů z IBM • Řízení web serveru (Apache web server) • Konečný automat sleduje procesy a odpovídá na čekající požadavky • Pro rychlou odezvu na požadavky z Webu nesmí být přetížena výpočetní kapacita ani vyčerpaná paměť - zpětnovazební řídicí algoritmus • 2 výstupy a 2 reference: zatížení procesoru, využití paměti • 2 akční zásahy = mění se parametry MaxClients = maximální počet současně obsluhovaných požadavků KeepAlive maximální dobu, po kterou se udržuje nečinné spojení, než je přerušeno • Pracovní bod = xcpu 0.58, = xmem 0.55, = umc 600, = uka 11s , v něm linearizace • Stavový model a přenosová matice xcpu ( k + 1) 0.54 −0.11 xcpu ( k ) −0.0085 0.00044 uka ( k ) x k + −0.00025 0.00028 u k x k + 1 0.026 0.63 − ( ) mem ( ) mc ( ) mem
0.0054 − 0.0085 z xcpu ( z ) 0.34 − 1.2 z + z 2 = x z ( ) mem 0.00036 − 0.0002 z 0.34 − 1.2 z + z 2
−0.00031 + 0.00044 z 0.34 − 1.2 z + z 2 uka ( z ) −0.00016 + 0.00028 z umc ( z ) 0.34 − 1.2 z + z 2
Diskrétní stavový model a jeho řešení Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Diskrétní stavový (v čase neproměnný) model x= Fx k + Gu k , x 0 k +1 uk = y k Hx k + Ju k G • Řešení = x1 Fx0 + Gu 0
x k +1
J
z −1
xk
H
yk
F
x 2 =Fx1 + Gu1 =F ( Fx0 + Gu 0 ) + Gu1 =F 2 x0 + FGu 0 + Gu1 = x k F x0 + ∑ j =0 F k − j −1Gu j k
odezva na počáteční stav
k −1
Stavová matice přechodu:
odezva na vstupní signál
Φ( k ) = F k
yk = HF k x0 + H ∑ j =0 F k − j −1Gu j + Juk k −1
Michael Šebek
ARI-23-2012
6
Stavový a vnější popis Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Stavový popis diskrétního systému
z-Transformace
= ( z) { x} x=
x= Fx k + Gu k , x 0 k +1 = y k Hx k + Ju k
∞
-k x z ∑ k k =0
{ xk +1} = zx( z ) - zx0
• Vnější popis v z
b( z ) H ( zI - F ) G + J = a( z ) = y( z) cx0 ( z ) -1 zH ( zI - F ) x 0 = a( z )
pozor
-1
• Vnější popis v z −1 = d
přenos
bˆ(d ) H (I - dF ) Gd + J = aˆ ( d ) = y (d ) cˆx0 (d ) -1 H ( I - dF ) x 0 = aˆ (d ) -1
cx0 ( z ) b( z ) u( z) + a( z ) a( z )
b( z ) z − n bˆ( z −1 ) = −n a( z ) z aˆ ( z −1 )
cˆx0 (d ) bˆ(d ) u (d ) + aˆ (d ) aˆ (d )
• Stavové realizace se z přenosu najdou stejně jako ve spojitém případě Michael Šebek
ARI-23-2015
7
Kauzalita, ryzost, řád a zesílení Automatické řízení - Kybernetika a robotika
b( z ) a ( z ) = : deg z a ( z ) n= , deg z b( z ) m Přenos v z: y ( z ) = 1× u ( z ) • „Fyzikální“ diskrétní přenos v z bývá striktně ryzí y (k ) = u (k ) • pro n = m reaguje okamžitě (počítá ∞ rychle) y ( z ) = zu ( z ) • pro n < m předpovídá budoucnost (nekauzálnost) y (= k ) u (k + 1)
Do přenosu v d = z-1 se to promítne jinak bˆ(d ) aˆ (d ) • Ryzosti odpovídá kauzální jmenovatel aˆ (0) ≠ 0 • Striktní ryzosti navíc ještě bˆ(0) = 0 Řád z přenosu se pozná takto: • U přenosu v z: řád systému = stupeň jmenovatele (jako u spojitého) • U přenosu v d: řád systému = max deg d aˆ (d ), deg d bˆ( z )
(
DC zesílení Michael Šebek
)
b( z ) bˆ( z −1 ) b(1) bˆ(1) = ⇒ k DC = = −1 a ( z ) aˆ ( z ) a (1) aˆ (1) ARI-23-2015
8
Póly a nuly Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• mezi póly obrazů spojitého a vzorkovaného signálu, např. impulzní odezvy, platí α + ω )h sh = z e= e( j = eα h ( cos ω h + j sin ω h ) • z je bezrozměrné, s (operátor derivace) má rozměr 1/[čas] • mez stability: imaginární ose ose odpovídá jednotková kružnice
z
ωs jω h = z e= e j 2πω= e jπω ωN
2π h = 2ω N • Jedna celá kružnice odpovídá intervalu ω ∈ [ 0, ωs ] , ωs = vyšší frekvence jsou překryté odpovídajícími nižšími (aliasing) • záporná reálná osa reprezentuje Nyquistovy frekvence α + jω N , ω N = ωs 2 = π h konkrétně α < 0 → (-1,0), α > 0 → (- ∞,-1), • reálné ose odpovídá nezáporná reálná osa: R+ → [1,∞), R- → (0,1) • dominantní polohy: okolí bodu s = 0 odpovídá okolí bodu z = 1 • nevýznamné polohy: reálným polohám „hodně vlevo“ odpovídají polohy „hodně blízko 0 zprava“ Michael Šebek
ARI-23-2012
9
Vliv polohy pólů Automatické řízení - Kybernetika a robotika
>> f=z/(1+z) f = z / 1 + z >> ft=f{0:-1:-10} ft = 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 >> plot(0:1:length(ft)-1,ft) >> picture(f,10)
Michael Šebek
1
ARI-23-2012
10
Diskrétní Bodeho graf Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Komplexní exponenciála je periodická funkce e jω h = 1 jω h ∠ = e s periodou 2π a uvnitř periody symetrická = ω h [rad] jω h = e cos ω h + j sin ω h • Amplituda frekvenčního přenosu G ( z ) = G (e jω h )je periodická funkce ω s periodou 0 ≤ ω ≤ ω N= ωs = 2 π h a uvnitř periody je symetrická (při lineárním měřítku ω ) Fáze je „posunutě periodická a antisymetrická“ • Graf proto kreslíme jen pro 2ω Bode Diagram
60
ωN = ωs 2 =π h
40
= ωs 2= ω N 2π h
Magnitude (dB)
20
0
N
= ωs = 2π h
-20
-40
tedy na horní polovině kružnice • Nelze ho kreslit pomocí asymptot • Vzorkování + tvarování způsobuje −ω h 2 přídavné fázové zpoždění ( e ) ∆ϕ = ∠G ( jω ) − ∠Gz ( jω ) = Michael Šebek
ωh 2
[ rad ] =
-60
-80 -90
-180
Phase (deg)
-270
-360
-450
-540
-630 0
10
20
30
40
50
60
70
Frequency (rad/s)
180 ω h [ deg ] ≈ 29ω h [ deg ] 2π
ARI-23-2012
11
Diskrétní Nyquistův graf Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ωs 2= ω N 2π h • G ( z ) = G (e jωh ) je periodická funkce ω s periodou = • proto Diskrétní Nyquistův graf G (e jωh ) často kreslíme jen pro 0 ≤ ω ≤ ωN= ωs = 2 π h (na horní polovině kružnice) • Control System Tbx ho (default) kreslí na celé kružnici −ωN ≤ ω ≤ ωN
Příklad 1 G (s) = 1+ s
ω= ∞
Michael Šebek
G=1/(1+s); nyquist(tf(G),c2d(tf(G),0.2), c2d(tf(G),1),c2d(tf(G),2))
ω =0
ω =0
ω = π hs ≈ 15, 7
ARI-23-2012
Gz=c2d(tf(G),0.2), nyquist(Gz) Transfer function: 0.1813 ---------z - 0.8187 Sampling time: 0.2
12
Diskrétní Nyquistovo kritérium Automatické řízení - Kybernetika a robotika
stab nestab Na rozdíl od spojitého případu nestabilita je vně jednotkové kružnice, není jednoduché obkroužit konturou, proto naopak obkroužíme oblast stability ! z Uvažujeme L striktně ryzí → H ( z ) = 1 + L( z ) má stejně nul a pólů = n Z … počet nestabilních CL pólů Označíme P … počet nestabilních OL pólů N … počet obkroužení kritického bodu -1 ve stejném směru jako té oblasti (zde obvykle proti hodinovým ručičkám)
Z principu argumentu plyne:
N = (n − Z ) − (n − P) = P – Z
CL systém má Z = P – N nestabilních pólů Nyquistovo kritérium stability: CL systém je stabilní P = N (a to proti ručičkám) Zvláštní případ: Je-li OL systém stabilní, pak je i CL systém stabilní Nyquistův graf L(s) neobkrouží kritický bod -1 Michael Šebek
ARI-23-2012
spojité - pro srovnání
N= Z − P Z= N + P P = −N
ale také proti hod.ručičkám
13
Diskrétní verze Bodeho integrálního omezení Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Sung a Hara (1988) Pro systém, kde L(z) má np nestabilních jφi , ri > 1 platí omezení pi re = pólů i
∫
π
0
ln S (e ) d ω = π ∑ 0 ln ri jω
np
srovnej spojitý případ
∫
∞
0
ln S ( jω ) dω = π ∑ 0 p Re pi n
Rozdíly proti spojité verzi: • není podmínka relativního řádu • integrál je přes konečný interval, proto • přelévat můžeme jen na tomto konečném intervalu frekvencí
Michael Šebek
ARI-23-2012
14
