22

TERAPAN INTEGRAL

Departemen Matematika FMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

1 / 22

Topik Bahasan

1

Luas Daerah Bidang Rata

2

Nilai Rataan Fungsi


Kalkulus I

Bogor, 2012

2 / 22


Perbedaan Perhitungan Integral Tentu dan Luas Daerah Ilustrasi

Integral: Rc Rb Rc f x dx = a f (x) dx + b f (x) dx = 5 8 = 3. X a ( ) Luas: Rc Rb Rc f x dx = a f (x) dx + b f (x) dx = 5 ( 8) = 13. X a j ( )j SALAH:R Rb Rc c luas = a f (x) dx = a f (x) dx + b f (x) dx = j5 8j = 3.


Kalkulus I

Bogor, 2012

3 / 22


Luas antara Kurva Sekatan Tegak

, Metode 3S: (Skets, Sekat, Sum (Integral)

Skets

Sekat

Sum

∫

b

a


Kalkulus I

 f (x ) − g (x ) dx Bogor, 2012

4 / 22


Luas antara Kurva Sekatan Tegak

Metode 3S: Skets ! Sekat ! Sum (Integral) Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x) dan y = g (x) serta garis x = a dan x = b, lakukan: 1

Buat sketsa gra…k, tandai daerah yang akan dicari luasnya.

2

Buat sekatan/irisan tegak persegi panjang kecil pada daerah tsb. Formulasikan hampiran luas sekatan tsb. dengan lebar 4x, panjang/tinggi = selisih ordinat kurva atas dan kurva bawah.

3

Integralkan dalam dx (jumlahkan luas takhingga banyaknya sekatan) dari a sampai b.


Kalkulus I

Bogor, 2012

5 / 22


De…nisi (Luas antara Kurva Sekatan Tegak) Luas daerah di antara kurva y = f (x) dan y = g (x) serta garis x = a dan x = b adalah Rb (1) A = a jf (x) g (x)j dx


Kalkulus I

Bogor, 2012

6 / 22


y y = g(x)

S1

S2

S3

y = f(x) 0

Karena jf (x)

a

x1

x2

8 < f (x) g (x)j = : g (x)

b

g (x) ; f (x)

x

g (x)

, formula f (x) ; f (x) < g (x) (1) bermakna memecah seluruh daerah S menjadi daerah S1 , S2 , . . . dengan luas A1 , A2 , . . . sehingga A = A1 + A2 + Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapat diabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada (atas bawah). (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

7 / 22


Soal (Sekatan Tegak) Buat sketsa daerah bidang rata berikut, lalu tentukan luas daerahnya. x2 dan g (x) =

1

f (x) = 2

2

f (x) = ln x, sb-x, x = 1, x = e, jawab: 1.

3

f (x) = cos x, g (x) = sin x, x = 0, x = π/2,

4

f (x) = ex , g (x) = e


x, x

=

x.

1, x = 2 ln 2,

Kalkulus I

jawab: 2

p

2

1

jawab: 1/4 + 1/e + e

Bogor, 2012

8 / 22


Luas antara Kurva Sekatan Datar


Kalkulus I

Bogor, 2012

9 / 22


De…nisi (Luas antara Kurva Sekatan Datar) Luas daerah di antara kurva x = f (y) dan x = g (y) serta garis y = c dan y = d adalah Rd (2) A = c jf (y) g (y)j dy Catatan: Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapat diabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada (kanan - kiri).


Kalkulus I

Bogor, 2012

10 / 22


Soal (Sekatan Datar/Tegak) 1

Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva x = y2 , x = y + 2, y

2

Tentukan luas daerah antar kurva y = ln x, sumbu-y, sumbu-x, garis y = 1. Jawab: e 1

3

Tinjaulah kurva y = 1/x2 , 1

x

0.

5,

Hitunglah luas di bawah kurva tersebut. Jawab: 4/5 Tentukan c sedemikian rupa sehingga garis x = c membagi-dua luas pada (a) sama besar. Jawab: 5/3 c Tentukan d sedemikian rupa sehingga garis y = d membagi-dua luas pada (a) dengan perbandingan luas di bawah garis : luas di atas garis = 4 : 1. Jawab: 9/25.

a

b

4

Andaikan f kontinu dan naik pada [1, 2] , f (1) = 1, f (2) = 2. Jika R2 R2 f x dx = 1, tentukanlah 1 f 1 (y) dy. Petunjuk: buat gra…knya. 1 ( ) Jawab: 2.


Kalkulus I

Bogor, 2012

11 / 22


Soal Tentukan luas daerah A, B dan C dengan menggunakan sekatan tegak dan datar. Perlukah menghitung masing-masing luas dengan integral? Jawab: luas A, B, C = 1/3.

A

x = y2

B

y = x2

C

0


Kalkulus I

Bogor, 2012

12 / 22


Soal Luas Plus I Soal Terdapat suatu garis yang melalui titik asal yang membagi daerah yang dibatasi parabola y = x x2 dan sumbu x tepat menjadi dua daerah 1 dengan luas sama. Berapakah kemiringan garis itu? Jawab: 1 p 3 . 2

y = x − x2 y=mx

0 (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

13 / 22


Soal Luas Plus II Soal Kurva f pada gambar berikut bersifat, untuk setiap titik P pada kurva bagian tengah y = 2x2 , luas A dan B sama. Tentukan persamaan kurva f . 2 Jawab: f (x) = 32 9x .

y = 2 x2

y f

•P B

y = x2

A

x

0 (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

14 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Nilai Rataan Fungsi

Rataan n nilai y1 , y2 , . . . , yn adalah y =

y1 +y2 + +yn n

Berapa nilai rataan fungsi y = f (x), pada a

x

b?

Bagi interval [a, b] menjadi n bagian dengan lebar ∆x, dan pilih xi pada anak interval ke-i, f

= =

f (x1 )+f (x2 )+ +f (xn ) +f (xn ) = f (x1 )+(fb(x2a)+ n )/∆x [f (x1 )+f (x2 )+ +f (xn )]∆x = b 1 a ∑ni=1 f (xi ) ∆x (b a)

Bila n ! ∞, maka nilai rataan fungsi f pada [a, b] adalah Rb f = limn!∞ b 1 a ∑ni=1 f (xi ) ∆x = b 1 a a f (x) dx


Kalkulus I

Bogor, 2012

15 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Teorema (Teorema Nilai Rataan (TNR) untuk Integral) Jika f kontinu pada [a, b], maka ada bilangan c 2 [a, b] sedemikian sehingga Z b 1 f (c) = f = f (x) dx b a a atau

Z b a

f (x) dx = f (c) (b

a) . Bilangan f (c) disebut nilai rataan f

pada [a, b] .

∫

b

a

f ( x)dx = f (c)(b − a),

c ∈ [a, b ]


Kalkulus I

Bogor, 2012

16 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Soal 1

Tentukan nilai rataan fungsi berikut pada interval yang diberikan dan tentukan nilai c yang dimaksud pada TNR Integral. f (x) = x2 + 1, [ 1, 2] , jawab: 2, c = 1 b f (x) = ln (x) , [1, e] , jawab: 1/ (e 1) , c = e1/(e c f (x) = 1/x, [1, 2] , jawab: ln 2, c = 1/ ln 2 a

2

3

1)

Tunjukkan bahwa integral nilai rataan fungsi sama dengan integral Rb Rb fungsi pada interval; a f dx = a f (x) dx.

Jika f [a,b] menyatakan nilai rataan f pada interval [a, b] dan a < c < b, tunjukkan bahwa f [a,b] =


c b

a b f [a,c] + a b

Kalkulus I

c f a [c,b]

Bogor, 2012

17 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Soal (Terapan Nilai Rataan) Titik-titik pada gra…k berikut menyatakan hasil pengukuran suhu kota Jakarta (T dalam o C) setiap 2 jam pada suatu hari tertentu. Kurva yang merepresentasikan gugus data pengamatan tersebut adalah π T (t) = 28 + 5 sin 12 (t 1) , dengan t menyatakan lama waktu (dalam jam) setelah pukul 6 pagi. Tentukan rataan suhu kota Jakarta selama satu hari. Petunjuk: cos (2π θ ) = cos θ, jawab: 28o C. π  T (t ) = 28 + 5sin  (t − 1)  12 


Kalkulus I

Bogor, 2012

18 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Soal Terapan Integral I Pengendalian Populasi Serangga Secara Alami

Salah satu metode untuk memperlambat pertumbuhan populasi serangga tanpa pestisida adalah dengan menambahkan sejumlah serangga jantan mandul ke dalam populasi. Serangga jantan mandul akan kawin dengan betina subur tetapi tidak memproduksi benih. Jika P = P (t) menyatakan banyaknya serangga betina dalam populasi pada waktu t, S adalah jumlah serangga jantan mandul yang ditambahkan tiap generasi, dan r laju pertumbuhan alami populasi tersebut, maka populasi serangga betina P dikaitkan dengan waktu t dapat dimodelkan dengan t=


Z

P+S P [(r 1) P

Kalkulus I

S]

dP

Bogor, 2012

19 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Soal Terapan Integral II Pengendalian Populasi Serangga Secara Alami

Andaikan di awal pengamatan (t = 0) , pada 10000 populasi betina yang tumbuh dengan laju r = 0.1 ditambahkan 900 jantan, tunjukkan bahwa t = ln

10000 1 11000 + ln P 9 P + 1000

Di sini P tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalam t. Namun dengan bantuan sistem aljabar komputer, dinamika berkurangnya populasi serangga betina dapat diamati dari waktu ke waktu, sbb.


Kalkulus I

Bogor, 2012

20 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Soal Terapan Integral III Pengendalian Populasi Serangga Secara Alami


Kalkulus I

Bogor, 2012

21 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika, FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Kalkulus I

Bogor, 2012

22 / 22

22

Recommend Documents