22. ÖSSZETETT SZŰRŐKÖRÖK VIZSGÁLATA
Célkitűzés: • A műveleti erősítőkben és oszcillátorokban alkalmazott összetett szűrőkörök összeállítása és fizikai jellemzőinek (amplitúdó- és fáziskarakterisztikájának) vizsgálata. • Az erősítés és fázistolás meghatározására szolgáló mérési módszerek gyakorlása. I. Elméleti áttekintés Az előzőekben megvizsgáltuk a legegyszerűbb RC elemekből álló alul-, illetve felüláteresztő szűrőkörök tulajdonságait. Ebben a gyakorlatban RC tagokból felépített összetett szűrőkörök (speciális kétpóluspárok) jellemzőit vizsgáljuk. A vizsgálandó áramkörök kiválasztását elterjedt felhasználásuk indokolja. 1. A kettős aluláteresztő szűrő: az integrált áramkörökben alkalmazott többfokozatú erősítők és egyes zajgenerátorok modellezhetők sorbakapcsolt aluláteresztő szűrőkkel. 2. A sáváteresztő szűrő: szelektív visszacsatolások, mérőerősítők alapeleme. 3. A proporcionális integráló áramkör: műveleti erősítők frekvencia-kompenzálására alkalmas. 4. A Wien-osztó: fontos szerepet játszik a hangolható frekvenciájú oszcillátorokban (pozitív visszacsatoló tagként). 1. A kettős aluláteresztő szűrő Ha két különböző pólusfrekvenciájú aluláteresztő szűrőt az 1. ábrán látható módon sorba kapcsolunk, az eredő erősítés közelítőleg az egyes aluláteresztő áramkörök erősítésének szorzata, azaz
Ube (ω )
R1
R2
Uki (ω )
C2
C1
1. ábra a(ω ) = a1 (ω ) ⋅ a2 (ω ) =
1
⋅
1
ω ω 1+ j 1+ j ω p1 ω p2
,
(1)
173
, a (ω ) = a1 (ω ) ⋅ a 2 (ω ) =
1 ω 1 + ω p1
2
1
⋅
ω 1 + ω p2
2
,
(2)
illetve a Bode-diagramon ábrázolt logaritmikus erősítés: 20 lg a (ω ) = 20 lg a1 (ω ) + 20 lg a 2 (ω ) .
(3)
Az eredő fáziseltolás pedig a két kör fáziseltolásának összege:
ϕ (ω ) = ϕ 1 (ω ) + ϕ 2 (ω ) = − arctg
ω ω . + arctg ω p1 ω p2
(4)
Meg kell jegyeznünk, hogy a fenti közelítés csak abban az esetben kielégítő (hasonlóan a sáváteresztő szűrőnél is), ha az R1 ellenálláson átfolyó áram döntő többségében a C1 kondenzátoron folyik tovább, és csak elhanyagolhatóan kis része halad át az R2 ellenálláson. (A második integráló kör csak kismértékben terheli az elsőt.) A láncparaméterekből képzett láncmátrix megadásával az R2-n átfolyó áramot is figyelembe vevő pontos megoldás nyerhető. Tehát a dB-ben kifejezett eredő a erősítés a két részáramkör a1, valamint a2 erősítéseinek összege. A kettős aluláteresztő szűrő Bode-diagramja és fázisdiagramja a 2. ábrán látható. A a(ω) lg ω p1 lg ω p2 Bode-diagram három különböző meredekségű [dB] 1 2 3 4 5 szakaszra osztható: az ωp1-nél kisebb körfrek0 venciákra 0, az ωp1 - ωp2 tartományon −20 dB/ lg ω /dekád, az ωp2 után pedig −40 dB/dekád. A _ 20 _ 20 dB/dekád fáziseltolás a frekvencia növelésével a második szűrő kimenetén 0o-tól −180o-hoz tart, az _ 40 első pólusnál ϕ = −45o, a másodiknál ϕ = _ 40 dB/dekád = −135o. ϕ (ω )
1
2
3
0°
2. A sáváteresztő szűrő
5
lg ω
_ 45° _ 90° _135° _180 °
2. ábra
174
4
Ha a 3. ábrán vázolt elrendezés szerint sorba kapcsolunk egy felüláteresztő szűrőt (differenciáló áramkört) egy aluláteresztő szűrővel (integráló áramkörrel), olyan szűrőt kapunk, amely csak egy − a pólusfrekvenciáktól függő − keskeny sávban engedi át a jelet. Az eredő erősítés ebben az esetben is − közelítőleg − a két részáramkör erősítésének a szor-
zata, azaz
Ube (ω )
C1
R2 R1
Uki (ω )
C2
3. ábra
ω ω p1 1 , a(ω ) = a1 (ω ) ⋅ a2 (ω ) = ⋅ ω ω 1+ j 1+ j ω p1 ω p2 j
a(ω ) = a1 (ω ) ⋅ a 2 (ω ) =
ω ω p1
(5)
2
ω 1 + ω p1
2
⋅
1 ω 1 + ω p2
2
,
(6)
illetve a dB-ben kifejezett logaritmikus erősítés: 20 lg a (ω ) = 20 lg a1 (ω ) + 20 lg a 2 (ω ) .
(7)
Az eredő fáziseltolás a két kör fáziseltolásának az összege:
ϕ (ω ) = ϕ 1 (ω ) + ϕ 2 (ω ) = arctg
ω p1 ω
− arctg
ω . ω p2
(8)
A sávszűrő Bode-diagramját és fáziskarakterisztikáját a 4. ábra mutatja. Az ábrán látható, hogy az erősítés maximummal rendelkezik. A maximum annál a frekvenciánál van, ahol a két kör erősítése megegyezik (| a1 | = | a2 |). A maximumhoz tartozó
ω max = ω p1ω p2 =
1 R1 R2 C1C2
(9)
frekvencia az ωp1 és ωp2 frekvenciák mértani középértéke. Ez a sáváteresztő szűrő „rezonancia-frekvenciája”, logaritmikus ábrázolásban pedig:
175
lgω max = a (ω ) [dB] 0 _
1
2
lg ω p1 3
lg ω p 2 4
lgω p1 + lgω p2 2
5
lg ω
lg ω 0
a
max
=
ω p2 ω p1 + ω p2
.
(11)
20 dB/dekád
_ 40
A fázisdiagramon megfigyelhetjük, hogy a sáváteresztő szűrő fáziseltolása + 90otól − 90o-ig változik a frekvencia növelésével, és a nulla értéket annál az ω 0 frekvenciánál éri el, amelyre ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 = 0oból következően ϕ 1 = −ϕ 2 áll fenn. Az az arctg(ω p1/ω 0) = arctg(ω 0/ω p2), követ-
_ 20 dB/dekád
ϕ (ω ) 90 ° 45 ° 1
2
3
ϕ1 4
ϕ2
_ 45 °
kezésképpen
5
lg ω
ω p1 ω0
=
ω0 , vagy ω p2
ω 0 = ω p1ω p2 ,
_ 90 °
R1
(12)
tehát a fáziseltolás a maximális erősítés frekvenciáján nulla.
4. ábra
Ube (ω )
(10)
Az ωmax frekvenciát behelyettesítve az | a(ω) | erősítés (3) kifejezésébe megkapjuk az erősítés maximális értékét:
20
0°
.
3. Proporcionális integráló (PI) kör R2
Uki (ω )
Ha az aluláteresztő szűrőbe a kondenzátor mellé egy ellenállást (R2) is elhelyezünk (l. 5. ábra), az a kimenő feszültséget magasabb frekvenciatartományokon sem engedi egy 5. ábra bizonyos érték alá csökkenni. Tehát ez a kör az alacsonyabb frekvenciákon úgy viselkedik, mint egy aluláteresztő szűrő, majd konstanssá válik a csillapítása. Megmutatható, hogy az erősítés: C
ω ωz , a (ω ) = ω 1+ j ωp 1+ j
illetve 176
(13)
ω2 ω 2z a (ω ) = , ω2 1+ 2 ωp 1+
(14)
ahol
ωz =
1 R2 C
és ω p =
1 . ( R1 + R2 ) C
(15a,b)
Látható, hogy ω p < ω z. Az áramkör fáziseltolása: tgϕ =
A proporcionális integráló kör Bodediagramja és fáziseltolása a 6. ábrán látható. Vizsgáljuk meg az erősítést a következő három frekvenciatartományban: − ω « ω p (egyúttal ω « ω z); − ω p « ω « ω z; − ω z « ω (egyúttal ω p « ω). Az alacsonyfrekvenciájú tartományban (ω « ω p) az erősítés abszolút értéke [a (14) kifejezésből jól kiolvashatóan]: |a(ω)| = 1 ,
(17)
tehát a Bode-diagram első harmada 0 dBes vízszintes egyenes. Az ω p « ω « ω z frekvenciatartományban az erősítés a következő:
ω ω − . ωz ωp a(ω) [dB] 0
(16) lg ω z
lg ω p 1
2
3
4
5
lgω
_ 20
20 lg _
_ 40
ϕ (ω) 0°
1
20 dB/dekád
2
3
4
R2 R1 + R 2
5
lgω
_ 45° _ 90°
6. ábra
ω2 ωp ω 2z 1 a (ω ) = ≈ ≈ , 2 2 ω ω ω 1+ 2 1+ 2 ωp ωp
(18)
20lg a (ω ) = 20(lgω p − lgω ) ,
(19)
1+
illetve dB-ben
177
az aszimptota meredeksége −20 dB/dekád. A magasabb frekvenciákon(ω » ω z):
ω2 ω2 ω 2z ω 2z ω p a (ω ) = ≈ = , ω2 ω2 ω z 1+ 2 ωp ω 2p 1+
(20)
illetve dB-ben 20 lg a (ω ) = 20 lg
ωp ωz
A Bode-diagram harmadik harmada tehát 20 lg
= 20 lg
R2 . R1 + R2
(21)
R2 értéknél húzott vízszintes egyenes. R1 + R2
A fáziseltolás fenti kifejezéséből látható, hogy ω → 0 és ω → ∞ esetén tgϕ → 0, tehát ϕ → 0°. A két karakterisztikus frekvencia között a fáziseltolás negatív és minimummal rendelkezik. A minimumhoz tartozó ω min frekvencia a d(tgϕ)/dω = 0 feltételből kiszámíthatóan a két pólusfrekvencia mértani középértéke, azaz
ω min = ω zω p ,
(22)
a fáziseltolás ezen a frekvencián:
ϕ min = arctg
ω p −ω z 2ω min
.
(23)
4. A Wien-osztó A Wien-osztó egy felül- és egy aluláteresztő szűrő − az eddigiektől eltérő − összekapcsolásával előálló szelektív RC-kör (7. ábra). Az áramkörben a két ellenállás, R illetve kondenzátor értéke megegyezik C R C Uki (ω ) Ube (ω ) (R1 = R2 = R, C1 = C2 = C). Kis frekvenciákon a nagy impedanciájú kondenzátorok miatt az áramkör egy differenciáló körhöz hasonlóan viselkedik [ω 0 = 7. ábra (RC)−1], nagy frekvencián a szűrő integráló jellegű. A szűrő átviteli függvénye a feszültségosztó képletéből számítható ki:
178
a(ω ) =
Z2 , Z1 + Z 2
(24)
ahol Z1 = R +
1 , jCω
Z2 =
1 . 1 + jCω R
(25a,b)
Egyszerű számítások után
ω ω0 a (ω ) = , ω ω2 − 1+ 3j ω 0 ω 20 j
(26)
ahol
ω0 =
1 . RC
(27)
Megmutatható, hogy |a(ω)| maximális értékét az
ω =ω0 =
1 RC
(28)
1 , 3
(29)
frekvencián veszi fel, amely: a(ω 0 ) =
illetve ω 0-nál a logaritmikus erősítés 1 20 lg = −9,54 dB . 3
(30)
A rezonanciafrekvenciától távoli tartományban: a(ω ) ≈ j
ω ω0
(ha ω « ω 0) ,
(31)
(ha ω 0 « ω ) .
(32)
és 1
a(ω ) ≈ j
ω ω0
A Wien-osztó fáziseltolása:
179
tgϕ =
Im a (ω ) 1 ω 0 ω = − , Re a (ω ) 3 ω ω 0
(33)
amelyből: ω → 0 esetén ϕ → 90o, ω = ω 0 esetén ϕ = 0o, ω → ∞ esetén ϕ → −90o. a (ω ) [dB] 0
A Wien-osztó Bode-diagramját és fáziseltolását a 8. ábra szemlélteti.
lg ω 0
1
2
3
4
5
lg ω
II. A mérés menete
_ 20
A szűrőkörök erősítés és fáziseltolás frekvencia-karakterisztikáinak mérése „A felüláteresztő és az aluláteresztő szűrőkörök vizsgálata” című gyakorlat keretében leírtak alapján végezhető el. A mérés elvégzése során ügyeljen a frekvencia és a körfrekvencia értékeinek átszámítására!
20 dB/dekád
_ 40
_
20 dB/dekád
ϕ (ω ) 90 ° 45° 0° _ 45°
1
2
3
4
5
lg ω
Feladatok:
_ 90°
1. Állítsa össze az 1. ábrán látható kettős aluláteresztő szűrőkört! (A kiadott ellenál8. ábra lások és kondenzátorok pontos értékeit mérőhíddal határozza meg! Mérje ki az a(f ) és ϕ (f ) karakterisztikákat 0,1⋅fp1 és 10⋅fp2 frekvenciatartományban, logaritmikus léptékben. (A frekvenciákat úgy válassza meg, hogy lg f , illetve lgω ábrázolásnál a mérési pontok egyenlő távolságra legyenek.)
2. Állítsa össze a 5. ábrán látható proporcionális integráló kör kapcsolást! A kiadott R1 és C értékekhez ellenállás-dekád szekrényből állítson be olyan R2 értéket, hogy az erősítés értéke −20 dB és −30 dB között legyen! (A választott csillapításhoz R2 értékét számítással határozza meg!) Mérje ki az a(f ) és ϕ (f ) karakterisztikákat 0,1⋅fp és 10⋅fz között logaritmikus léptékben! (A frekvenciákat úgy válassza meg, hogy lg f , illetve lgω ábrázolásnál a mérési pontok egyenlő távolságra legyenek.) 3. Állítsa össze a sáváteresztő szűrőkörök egyikét (3., illetve 7. ábra) és mérje ki az erősítés, valamint a fáziseltolás frekvencia-karakterisztikákat! 4. Ábrázolja a lgω függvényében a vizsgált áramkörök Bode-diagramjait, továbbá az erősítés dB-ben kifejezett, valamint a fáziseltolódás mért értékeit!
180
5. Hasonlítsa össze a sáváteresztő szűrő és a Wien-osztó esetében az amax, továbbá a proporcionális integráló kör esetében a ϕmin számított és mért értékeit! Kérdések: 1. Hogy kaphatjuk meg a kettős aluláteresztő szűrő amplitúdó- és fáziskarakterisztikáját? 2. Hogyan számíthatjuk ki a sáváteresztő szűrő rezonanciafrekvenciáját? 3. Hasonlítsa össze a proporcionális integráló kör és az integráló kör felépítését és karakterisztikáit! 4. Hol használható a Wien-osztó? 5. Mekkora a Wien-osztó rezonancia-frekvenciája? Mekkora a maximális erősítés értéke ezen a frekvencián? Ajánlott irodalom: 1. Török M.: Elektronika, JATEPress, Szeged, 2000. 2. Budó Á.: Kísérleti Fizika II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1968. 3. Fodor Gy.: Elméleti Elektrotechnika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.
181
