2.11. Feladatok megoldásai

Elektrotechnikai alapismeretek

Váltakozó feszültség

2.11. Feladatok megoldásai

1. feladat: Egy szinuszosan változó áram a polaritás váltás után 1 μs múlva éri el első maximumát. Mekkora az áram frekvenciája? Megoldás: T = 4 ⋅ t = 4 ⋅ 1 = 4 µs 1 1 f = = = 0,25 ⋅ 10 6 Hz = 250 kHz T 4 ⋅ 10 −6 2. feladat: Egy 1 MHz frekvenciájú szinuszosan változó feszültség mennyi idő múlva éri el az effektív értékével azonos pillanatértéket? Mekkora a pillanatértékhez tartozó fázisszög? Megoldás: ω = 2 ⋅ π ⋅ f = 2 ⋅ π ⋅ 10 6 c / s Up 1 1 = U p ⋅ sin 2 ⋅ π ⋅ 10 6 ⋅ t → t = ⋅ arcsin = 0,125 ⋅ 10 −6 s = 125 ns 6 2 ⋅ π ⋅ 10 2 2 Φ = ω ⋅ t = 2 ⋅ π ⋅ 10 6 ⋅ 0,125 ⋅ 10 −6 =

π

4

rad = 45°

3. feladat: Egy 159 Hz frekvenciájú váltakozó áramú körben a szinuszosan változó feszültség effektív értéke 10,6 V, az áram effektív értéke 3,5 mA. A feszültség 0,52 ms-mal előbb éri el a maximumát, mint az áram. Mekkora a fázisszög a feszültség és az áram között? Írja fel a feszültség és az áram időfüggvényét! Mekkora a feszültség és az áram pillanatértéke az áram fázisváltása után 0,3 ms múlva? Mekkora a feszültség pillanatértéke, ha az áram pillanatértéke 1 mA? Megoldás: A feszültség és az áram közötti fázisszög kiszámításához szükségünk lesz a körfrekvenciára: ω = 2 ⋅ π ⋅ f = 2 ⋅ π ⋅ 159 ≅ 1000 c / s A két jel közötti fáziskülönbséget radiánban a körfrekvencia és az idő szorzata adja: Φ = ω ⋅ t = 1000 ⋅ 0,52 ⋅ 10 −3 = 0,52 rad A radiánban kapott fázisszöget alakítsuk fokká: 360 ≅ 57,3° → 0,52 rad ≅ 30° 2 ⋅ π rad = 360° → 1 rad = 2π Tehát a feszültség 30°-kal siet az áramhoz képest. Az időfüggvények felírásához ismernünk kell a jelek amplitúdóját is, amelyeket az effektív értékekből számíthatunk ki: U p = U ⋅ 2 = 10,6 ⋅ 2 ≅ 15 V és I p = I ⋅ 2 = 3,5 ⋅ 2 ≅ 5 mA

Készítette a Centroszet Szakképzés-Szervezési Nonprofit Kft.



Most már ismerjük az amplitúdókat, a körfrekvenciát és a jelek közötti fázisszöget, tehát felírhatók az időfüggvények. A fáziseltérést a gyakorlatban mindig az áramhoz viszonyítjuk, tehát az áram fázisszögét nullának vesszük fel, és a fázisszög a feszültség időfüggvényében szerepel (VIII-3. ábra). u (t ) = U p ⋅ sin(ω ⋅ t + Φ ) = 15 ⋅ sin(1000 ⋅ t + 30°) (V )

i (t ) = I p ⋅ sin ω ⋅ t = 5 ⋅ sin 1000 ⋅ t (mA) [KÉP: Szücs 188/] A VIII-3. ábrán látható, hogy az áram kétszer vált fázist egy periódus alatt. A negatívból pozitívba történő átmenet után 180°-kal (π radiánnal) pozitív negatív átmenet lesz, és a két átmenet után a feszültség és az áram is különböző pillanatértéket vesz fel. A behelyettesítésnél a fázisszöget át kell alakítanunk radiánba, hiszen a másik tagot is radiánban kapjuk meg: u1 = 15 ⋅ sin(1000 ⋅ 0,3 ⋅ 10 −3 +

6

) ≅ 11 V

+ π ) ≅ − 11 V 6 ≅ 1,48 mA

u 2 = 15 ⋅ sin(1000 ⋅ 0,3 ⋅ 10 −3 + i1 = 5 ⋅ sin 1000 ⋅ 0,3 ⋅ 10 −3

π

π

i 2 = 5 ⋅ sin(1000 ⋅ 0,3 ⋅ 10 −3 + π ) ≅ − 1,48 mA Az áram az 1 mA-es pillanatértéket két időpontban veszi fel egy perióduson belül. Először ezeket az időpontokat kell meghatároznunk az áram időfüggvényéből: 1 1 ⋅ arcsin ≅ 0,2 ⋅ 10 −3 s = 0,2 ms 5 ⋅ sin 1000 ⋅ t1 = 1 → t1 = 1000 5 1 1 5 ⋅ sin(π − 1000 ⋅ t 2 ) = 1 → t 2 = ⋅ (π − arcsin ) ≅ 0,294 ⋅ 10 −3 s = 2,94 ms 1000 5 A t1 és t2 értékeket behelyettesítve a feszültség időfüggvényébe, megkapjuk a keresett pillanatértékeket: u1 = 15 ⋅ sin(1000 ⋅ t1 + u 2 = 15 ⋅ sin(1000 ⋅ t 2 +

π

6

) = 15 ⋅ sin(1000 ⋅ 0,2 ⋅ 10 −3 +

π 6

π

6

) = 15 ⋅ sin(1000 ⋅ 2,94 ⋅ 10 −3 +

) ≅ 9,93 V

π 6

) ≅ − 4,75 V

4. feladat: Egy áramkörben I = 0,5 A erősségű és 200 Hz frekvenciájú áram folyik. a) Számítsuk ki az áramkör R = 100 Ω értékű ellenállásán eső feszültség csúcsértékét! b) Írjuk fel az áram és feszültség időbeli lefolyásának kifejezését, ha feltételezzük, hogy az áram cosinus függvény szerint változik! c) Rajzoljuk fel az áram és a feszültség idő szerinti változását és a vektoriális képet,az áram a cos függvény szerint változik!




Megoldás: a) Először írjuk fel az áram időfüggvényét a feltételnek megfelelően! i = I p cos ωt , az áramerősség csúcsértéke: I p = I 2 = 0,5 2 = 0,707 A

,

behelyettesítve: i = 0,707 ⋅ cos ωt A . A feszültség ohm törvénye szerint: U p = I p ⋅ R = 0,707 A ⋅ 100 Ω = 70,7 V . b) Az ohmos jelleg miatt a feszültség menete megegyezik az áraméval: u = U p cos ωt = 70,7 ⋅ cos ωt V . Az áram és a feszültség periódusideje: 1 1 T= = = 0,005 s = 5 ms . f 200 Hz c) A tisztán ohmos jelleg miatt az ellenálláson átfolyó áram és az általa létrehozott feszültség azonos fázishelyzetű, vektoraik is azonos irányúak:

5. feladat: Egy tisztán induktív jellegű áramkörben I = 10 mA erősségű, 500 Hz frekvenciájú szinuszos áram folyik. a) Számítsuk ki, mekkora feszültség esik az L = 10 mH értékű induktivitáson! b) Írjuk fel az áramerősség és feszültség időfüggvényét! c) Rajzoljuk fel az áramerősség és a feszültség idő függvénye szerinti változását! Megoldás: a) Az áram időfüggvénye: i = I p sin ωt = I ⋅ 2 sin ωt = 14,1 ⋅ sin ωt mA . A feszültségesés meghatározásához ismernünk kell, hogy a tekercsnek az adott frekvencián mekkora a látszólagos ellenállása (reaktancia). X L = ω ⋅ L = 2π ⋅ f ⋅ L = 6,28 ⋅ 5 ⋅ 10 2 Hz ⋅ 0,01 H = 31,4 Ω . Az induktív látszólagos ellenálláson átfolyó áram és az általa létrehozott feszültségesés között φ = 90° fáziseltérés van. b) A feszültség időfüggvénye a 90°-os fáziseltérés miatt: u = U p cos ωt , az U p = I p ⋅ X L = 14,1 ⋅ 10 −3 A ⋅ 31,4 Ω = 0,44 V

u = 0,44 ⋅ cos ωt V . c) Rajzoljuk meg a feszültség és az áramerősség időfüggvényét! 1 1 = 0,002 s = 2 ms T= = f 500 Hz


,

behelyettesítve:



A feladatban szereplő feszültség és áram φ = 90° fáziseltérésű, a feszültség

π 2

-vel

hamarabb éri el a maximális és a nulla értékeket, mint a körben folyó áram.

6. feladat: Egy tisztán kapacitív jellegű áramkörben a C = 10 nF kapacitású kondenzátoron 2,5 V szinuszosan váltakozó feszültségesés jön létre. Az áramkört tápláló generátor frekvenciája 10 kHz. a) Számítsuk ki az áramkörben folyó áram erősség csúcsértékét! b) Írjuk fel a feszültség-áramerősség időfüggvényét! c) Rajzoljuk fel az áramerősség és a feszültség idő függvénye szerinti változását, és a vektoriális képet! Megoldás: a) Írjuk fel a feszültség időfüggvényét: u = U p sin ωt az U p = U ⋅ 2 = 2,5 V ⋅ 1,41 = 3,53 V , u = 3,53 ⋅ sin ωt V . Az áramkörben folyó áram erősségét a kondenzátor reaktanciája és a rajta eső feszültség értékéből tudjuk meghatározni. 1 1 A kapacitív reaktancia: X C = = = 1,6 ⋅ 10 3 Ω . 4 −8 ω ⋅ C 6,28 ⋅ 10 Hz ⋅ 10 F Az áramkörben folyó áram csúcsértéke: U p 3,53 V Ip = = = 2,21 ⋅ 10 −3 A = 2,21 mA . X C 1,6 kΩ b) A kondenzátor reaktanciáján eső feszültség 90°-kal később éri el a maximális (és a nulla) értéket, mint a körben folyó áram. A kiindulási feltétel szerint a feszültség szinuszosan változik, a kör árama siet 90°-kal, ezért cosinus függvény szerint írjuk fel az időfüggvényét: i = I p ⋅ cos ω ⋅ t = 2,21 ⋅ cos ωt mA .




c) Rajzoljuk fel a feszültség és az áramerősség idő szerinti változását, valamint az áramkörre jellemző vektorábrát! A periódusidő: 1 1 T= = 4 = 0,1 ms = 100 µs f 10 Hz

7. feladat: Számítsuk ki, mekkora a hatásos teljesítménye az L = 0,5 H és R = 200 Ω elemekből álló soros körnek, ha f = 200 Hz frekvenciájú és U = 24 V feszültségű generátorra kapcsoljuk! Megoldás: L = 0,5 H R = 200 Ω f = 200 Hz U = 24 V P=? X L = 2πfL = 2π ⋅ 200 ⋅ 0,5 = 628,3 Ω Z = R 2 + X L2 = 200 2 + 328,3 2 = 659,4 Ω R cos ϕ = (soros RL impedancia vektorábra; link 6.8.1) Z cos ϕ = 0,303 U 24 I= = = 0,0364 A Z 659,4 P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 24 ⋅ 0,0364 ⋅ 0,303 = 0,26 W

8. feladat: Számítsuk ki egy 450 VA látszólagos teljesítményű motornak a hatásos és meddő áramát! A motort 42 V feszültségű és 50 Hz frekvenciájú hálózatról működtetjük, a teljesítménytényezője cosφ = 0,6. Megoldás: S = 450 VA U = 42 V f = 50 Hz cosφ = 0,6 Ih = ? Im = ? P cos ϕ = → P = S ⋅ cos ϕ = 450 ⋅ 0,6 = 270 W S P 270 P =U ⋅ Ih → Ih = = = 6,43 A U 42




A fogyasztó áram vektorábrája (link 6.7 fejezet, TKIII. 66. ábra) cos ϕ = 0,6 → ϕ = 53,13° I tgϕ = m → I m = I h ⋅ tgϕ = 6,43 ⋅ 1,34 = 8,62 A Ih

9. feladat: Számítsuk ki, mekkora annak a berendezésnek a hatásos teljesítménye, amely a 230 V-os hálózatból 12 A áramot vesz fel! A berendezés hatásfoka η = 85 %, a teljesítménytényezője cosφ = 0,6. Megoldás: U = 230 V I = 12 A η = 85 % cosφ = 0,6 P=? S = U ⋅ I = 230 ⋅ 12 = 2760 VA Pfel = S ⋅ cos ϕ = 2760 ⋅ 0,6 = 1656 W (a hálózatból felvett teljesítmény) Ple = Pfel ⋅ η = 1407,6 W (a berendezés által leadott teljesítmény)

10. feladat: Egy egyfázisú motor 20 A áramot vesz fel a 230 V-os hálózatból. Számítsuk ki a teljesítménytényezőjét, ha 80%-os hatásfok mellett 2640 W hatásos teljesítményt fejt ki! Megoldás: I = 20 A U = 230 V η = 80 % Ple = 2640 W cosφ = ? S = U ⋅ I = 230 ⋅ 20 = 4600 VA P 2640 = 3300 W Pfel = le = η 0,8 Pfel 3300 W cos ϕ = = = 0,72 S 4600 VA

11. feladat: Számítsuk ki, mekkora kapacitású kondenzátorral tudjuk kompenzálni a 230 V, 50 Hz-es hálózatról működő, 6 A áramfelvételű induktív fogyasztó fázistolását, ha a berendezés teljesítménytényezője cosφ = 0,84! Megoldás: U = 230 V f = 50 Hz I=6A cosφ = 0,84




C=? A fogyasztó áram vektorábra (link ugyanaz mint a 12/4-ben) cos ϕ = 0,6 → ϕ = 32,86° I sin ϕ = m → I m = I ⋅ sin ϕ = 6 ⋅ 0,5426 = 3,255 A I Olyan értékű kondenzátort kell alkalmazni, amelyen ugyanakkora áram folyik keresztül, mint a tekercs gerjesztő árama (Im). U 230 XC = = = 70,66 Ω I m 3,255 1 1 1 XC = →C = = = 0,000045 = 45 µF 2πfC 2πfX C 2π ⋅ 50 ⋅ 70,66 12. feladat: Egy soros kapcsolás 540 Ω-os ellenállásból és 95 mH induktivitású tekercsből áll. Mekkora az áramkörben folyó áram effektív értéke, és mekkora az ellenálláson ill. az induktivitáson eső feszültség, ha a soros R-L kapcsolásra 21,2 V amplitúdójú, 1 kHz frekvenciájú feszültséget kapcsolunk? Számítsuk ki a feszültség és az áram közötti fáziseltérést! Megoldás: R = 540 Ω L = 95 mH U0 = 21,2 V f = 1 kHz I = ?; UR = ?; UL = ?; φ = ? X L = 2πfL = 2π ⋅ 10 3 ⋅ 95 ⋅ 10 −3 = 596,9 Ω Z = R 2 + X L2 = 540 2 + 596,9 2 = 804,9 Ω U U = 0 = 15 V 2 U 15 I= = = 18,7 mA Z 804,9 U R = I ⋅ R = 0,0187 ⋅ 540 = 10,1 V U L = I ⋅ X L = 0,0187 ⋅ 596,9 = 11,1 V X 596,9 tgϕ = L = = 1,1053 → ϕ = 47,8° R 540 13. feladat: Számítsuk ki, mekkora ohmos ellenállás kell bekötnünk az L = 100 μH induktivitású soros körbe, hogy az áramkör határfrekvenciája 30 kHz legyen!




Megoldás: L = 100 μH Fh = 30 kHz R=? R fh = → R = 2πL ⋅ f h = 2π ⋅ 100 ⋅ 10 −6 ⋅ 30 ⋅ 10 3 = 18,84 Ω 2πL 14. feladat: Kapcsoljunk párhuzamosan egy 10 mH induktivitású tekercset és egy 300 Ω értékű ellenállást. Az áramkört tápláló generátor frekvenciája 1200 Hz és 5 V feszültség esik a párhuzamosan kapcsolt R-L áramkörön.

Számítsuk ki az ágáramokat és az eredő áramerősséget! Határozzuk meg a feszültség – áram fázisszögét! Megoldás: L = 10 mH R = 300 Ω f = 1200 Hz U = 5V IR = ?; IL = ?; I = ? φ=? X L = 2πfL = 2π ⋅ 1200 ⋅ 0,01 = 75,36 Ω U 5 IR = = = 0,0167 A R 300 U 5 IL = = = 0,066 A X L 75,36 I = I R2 + I L2 = 0,0167 2 + 0,066 2 = 0,068 A tgϕ =

R 300 = = 3,98 → ϕ = 75,8° X L 75,36

15. feladat: Írjuk fel a párhuzamos RL-tagra kapcsolt szinuszos feszültség időfüggvényét, ha a tekercsen átfolyó áram időfüggvénye: i = 85 ⋅ sin(3141,6t − 30°) mA , a tekercs induktivitása 42 mH! Mekkora az RL-tagon átfolyó eredő áram csúcsértéke, ha az R ellenállás 70 Ω-os? Ellenőrizzük számításainkat áramköri szimulációval!




Megoldás: u = 11,2 ⋅ sin(3141,6t + 60°) V ; R = 74,1 Ω I ecs = 181,2 mA , mivel i = I Lcs ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ iL ) = 85 ⋅ sin(3141,6t − 30°) I Lcs = 85 mA 1 ω = 3141,6 s U cs = X L ⋅ I Lcs = 3141,6 ⋅ 42 ⋅ 10 −3 ⋅ 85 ⋅ 10 −3 = 11,2 V ϕ u = ϕ i + 90° = −30° + 90° = 60° u − U cs ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ u ) = 11,2 ⋅ sin(3141,6t + 60°) V u = 11,2 ⋅ sin(3141,6t + 60°) V A feszültség 90°-kal siet az induktivitás áramához képest. U 11,2 = 160 mA i Rcs = cs = 70 R 2 2 iecs = I Rcs + I Lcs = 160 2 + 85 2 = 181,2 mA

16. feladat: Egy nagy vasmagos tekercsen, 50 hertzes hálózatban: U = 80 V, I = 2 A, P = 8 W. Mekkora a tekercs induktivitása és veszteségi ellenállása? Megoldás: S = U ⋅ I = 80 ⋅ 2 = 160 VA; Z =

U = 40 Ω I

P 8 = = 0,05; ϕ = 87,1°; sin ϕ = 0,998; S 160 U X L = Z ⋅ sin ϕ = ⋅ sin ϕ = 40 ⋅ 0,998 ≈ 40 Ω ; I rv = Z ⋅ cos ϕ = 40 ⋅ 0,05 = 2 Ω ; X 40 L= L = ≈ 0,127 H . ω 2π ⋅ 50 Más úton: P 8 P = Pv = I 2 ⋅ rv ; rv = 2 = = 2 Ω ; 4 I cos ϕ =

U Z = = X L2 + rv2 ; I

2

U  X L =   − rv2 = 40 2 − 4 ≈ 40 Ω I 




17. feladat: Az ábrán látható áramkört 12 V, 400 Hz frekvenciájú feszültséggel tápláljuk. Számítsuk ki, mekkora: – az áramkör eredő impedanciája, – az ohmos és kapacitív tagon eső feszültség, – az eredő feszültség, – az áramkör fázisszöge! Rajzoljuk meg: – az eredő feszültség és az áramerősség időfüggvényét, – a feszültség – áramerősség vektorábrát

Megoldás: Az áramkör eredő impedanciája: Z = R 2 + X C2 Határozzuk meg a kapacitív reaktanciát! 1 1 1 1 XC = = = = = 3980 Ω . 2 −7 ω ⋅ C 2π ⋅ f ⋅ C 6,28 ⋅ 4 ⋅ 10 ⋅ 10 25,1 ⋅ 10 −5 Számítsuk ki az eredő impedanciát! Z = R 2 + X C2 = (2 ⋅ 10 3 ) 2 + (3980) 2 = 22,4 ⋅ 10 6 = 4454 Ω A részfeszültségek kiszámításához ismerni kell a körben folyó áramot: 12 V U I= = = 2,69 ⋅ 10 −3 A = 2,69 mA . Z 4454 Ω Az ohmos tagon eső feszültség: U R = I ⋅ R = 2,69 ⋅ 10 −3 A ⋅ 2 ⋅ 10 3 Ω = 5,38 V A kapacitív tagon eső feszültség: U C = I ⋅ X C = 2,69 ⋅ 10 −3 A ⋅ 3,98 ⋅ 10 3 Ω = 10,7 V . Az eredő feszültség: U e = U R2 + U C2 = 5,38 2 + 10,7 2 = 28,9 + 114,5 = 11,97 V . Az eredő feszültség tulajdonképpen a generátor feszültsége. A 0,03 V eltérés a számolási elhanyagolások következménye. A fázisszög az áramkör feszültség és áramerősség forgásvektorainak egymáshoz viszonyított helyzetét adja meg. Rajzoljuk meg a vektorábrákat, számítsuk ki az áramkör fázisszögét!




1 XC ω ⋅C 1 A fázisszög: tgϕ = , = = R R ω ⋅C ⋅ R 10 2 1 behelyettesítve: tgϕ = = = 1,99 , 2 ⋅ 10 3 ⋅ 6,28 ⋅ 4 ⋅ 10 2 ⋅ 10 −7 50,24 ebből ϕ = arc tg1,99 = 63,3° . Időfüggvények:

18. feladat: Számítsuk ki, mekkora az ábrán látható négypólus határfrekvenciája és az ezen a frekvencián mérhető kimeneti feszültsége! Számítsuk ki, mekkora U be frekvencián lesz az áramkör kimeneti feszültsége , ha a kimenetével 2 párhuzamosan kötünk egy 50 nF kapacitású kondenzátort! Adatok: Ube = 10 V R = 600 Ω C = 100 nF




Megoldás: 1 1 fh = = = 2654 Hz 2πRC 2π ⋅ 600 ⋅ 10 −7 XC U ki = U be ⋅ X C2 + R 2 U ki = U be ⋅

R

= U be ⋅

1

= 10 ⋅

1

= 7,07 V R⋅ 2 2 2 Ha a 100 nF kondenzátorral párhuzamosan kapcsolunk még egy 50 nF-os kondenzátort, az eredő kapacitásuk 150 nF lesz. (Ce) 1 1 fh = = = 1769 Hz 2π ⋅ R ⋅ C e 2π ⋅ 600 ⋅ 150 ⋅ 10 −9 Mivel határfrekvencián XC = R

19. feladat: Egy 85 Ω-os ellenállással 500 nF kapacitású kondenzátor van párhuzamosan kötve. A kondenzátoron 5 kHz frekvenciájú, 540 mA effektív értékű áram folyik. Mekkora az ellenálláson folyó áram? Mekkora a két áram közötti fáziskülönbség és az eredő impedancia? Ellenőrizzük az áramkörben folyó eredő áramot a feszültség és impedancia, valamint az áramháromszög felhasználásával! Megoldás: R = 85 Ω C = 500 nF f = 5 kHz IC = 540 mA IR = ?; Z = ?; φ = ? 1 1 XC = = = 63,69 Ω 2πfC 2π ⋅ 5000 ⋅ 500 ⋅ 10 −9 Z = R 2 × X C2 = 85 2 × 63,69 2 = 51 Ω U 34,4 = = 0,4 A U = I C ⋅ X C = 540 ⋅ 10 −3 ⋅ 63,69 = 34,4 V R 85 R 85 tgϕ = = → ϕ = −53,2° X C 63,69 IR =

20. feladat: Egy kondenzátor kapacitása 0,72 μF. A vele párhuzamosan kapcsolt fogyasztó ellenállása 57 Ω. Mekkora áram folyik az áramkör két ágában, ha a kétpólus kapcsain 24 V amplitúdójú, 16 kHz frekvenciájú szinuszos feszültség mérhető? Mekkora az eredő áram és mekkora a fázisszöge? Megoldás: C = 0,72 μF R = 57 Ω U0 = 24 V f = 16 kHz IC = ?; IR = ?; I = ?; φ = ? U U = 0 = 17 V 2




1 1 = = 13,8 Ω 3 2πfC 2π ⋅ 16 ⋅ 10 ⋅ 0,72 ⋅ 10 −6 U 17 IC = = = 1,23 A X C 13,8 U 17 IR = = = 0,3 A R 57 XC =

I = I R2 + I C2 = 0,3 2 + 1,23 2 = 1,27 A tgϕ =

R 57 = → ϕ = −76,4° X C 13,8

21. feladat: Egy kondenzátor veszteségi ellenállás 3,7 Ω, kapacitása 3 μF. Mekkora frekvencián mértünk 60-as jósági tényezőt? Mekkora a kondenzátor eredő impedanciája, fázisszöge és veszteségi tényezője ezen a frekvencián? Megoldás: f = 239 Hz; Z = 222 Ω; ϕ = 89°; tgδ = 0,0166, mivel X Q= C ; rv 1 XC = = Q ⋅ rv ; 2π ⋅ f ⋅ C 1 1 f = = = 239 Hz; 2π ⋅ C ⋅ Q ⋅ rv 2π ⋅ 3 ⋅ 10 −6 ⋅ 60 ⋅ 3,7 1 1 1 XC = = = = 221,97 ≅ 222 Ω ; ω ⋅ C 2π ⋅ f ⋅ C 2π ⋅ 239 ⋅ 3 ⋅ 10 −6 Z = R 2 + X C2 = 3,7 2 + 222 2 = 222,03 ≅ 222 Ω ; XC 222 = arctg = 89° ; rv 3,7 1 1 1 tgδ = = = = 0,0166 . tgϕ Q 60

ϕ = arctg




22. feladat: Adatok Ube = 5 V f = 10 kHz XC = 1,6 kΩ R = 800 Ω XL = 1 kΩ Feladatok a) Határozza meg a generátort terhelő impedanciát és áramot (Z, I)! b) Határozza meg a reaktaniák és az ohmos ellenállás feszültségét (UC, UL, UR)! c) Készítsen vektorábrát! Az ábrának minden feszültséget és áramot tartalmaznia kell! d) Határozza meg a bemeneti (Ube) és a kimeneti (Uki) feszültség közötti fázisszöget (φ)! e) Határozza meg a kapacitás és az induktivitás értékét (C, L)!

Megoldás: a)

Z = R 2 + ( X C− X L ) 2 = (0,8 kΩ) 2 + (1,6 kΩ − 1 kΩ) 2 = 1 kΩ

b)

U be 5 V = = 5 mA Z 1 kΩ U C = I ⋅ X C = 5 mA ⋅ 1,6 kΩ = 8 V I=

U L = I ⋅ X L = 5 mA ⋅ 1 kΩ = 5 V

U R = I ⋅ R = 5 mA ⋅ 0,8 kΩ = 4 V c)

d) e) f)

U ki 4 V = = 0,8 ⇒ ϕ = 36,9° U be 5 V 1 1 C= = = 9,95 nF 4 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 10 Hz ⋅ 1,6 ⋅ 10 3 Ω cos ϕ =

L=

XL 10 3 Ω = 15,9 mH = 2 ⋅ π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 10 4 Hz




23. feladat: Adatok: L = 200 mH C = 120 nF R = 500 Ω U=4V f = 800 Hz Feladatok: a) Határozza meg az RLC kör impedanciáját (Z) és áramfelvételét (I)! b) Határozza meg UL, UC és UR értékét a megadott frekvencián! c) Készítsen vektorábrát! A vektorábrának tartalmaznia kell I, UR, UL és UC értékét. d) Határozza meg a tápfeszültség (U) és a tápáram (I) közötti fázisszög (φ) abszolút értékét! Megoldás: X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 10 2 Hz ⋅ 0,2 H = 1,01 kΩ a) 1 1 XC = = = 1,66 kΩ 2 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 10 Hz ⋅ 1,2 ⋅ 10 −7 F Z = ( X C − X L ) 2 + R 2 = (1,66 kΩ − 1,01 kΩ) 2 + (0,5 kΩ) 2 = 0,82 kΩ 4V U = = 4,88 mA Z 0,82 kΩ U L = I ⋅ X L = 4,88 mA ⋅ 1,01 kΩ = 4,93 V U C = I ⋅ X C = 4,88 mA ⋅ 1,66 kΩ = 8,1 V U R = I ⋅ R = 4,88 mA ⋅ 0,5 kΩ = 2,44 V I=

b)

c)

d)

tgϕ =

U C − U L 8,1 V − 4,93 V = = 1,3 ϕ = 52,4° UR 2,44 V

24. feladat: Egy rezgőkör adatai: Q0 = 100 f0 = 10000 Hz C = 20 nF a) Mekkora a kapcsolás tekercsének önindukciós tényezője? b) Mekkora soros kapcsolás esetében a veszteségi ellenállás? c) Mekkora a kapcsolás sávszélessége? (a két határfrekvencia különbsége) d) Ha a soros kapcsolásra 2V-os, rezonancia frekvenciájú feszültséget kapcsolunk, mekkora feszültséget mérhetünk a kondenzátoron? Készítette a Centroszet Szakképzés-Szervezési Nonprofit Kft.



Megoldás: a) b) c) d)

1

f0 =

L = 12,6 mH 2 ⋅π ⋅ L ⋅C 1 L Q0 = rs = 7,93 Ω rs C f B = 0 = 100 Hz Q0 Ug I= = 0,25 A U e = I ⋅ X e = 199,04 V rs ( U e = Q ⋅ U g = 200 V )

25. feladat: Adatok: L = 10 mH QL = 200 C= 20 nF tgδc ≈ 0 Ug = 5V Feladatok: a) Határozza meg a rezgőkör rezonancia frekvenciáját (f0)! b) Határozza meg a rezgőkör eredő párhuzamos veszteségi ellenállását (Rp)! c) Határozza meg a rezgőkör sávszélességét (B)! d) Határozza meg az R értékét, hogy a kapcsoló zárásával duplájára növekedjen a sávszélesség ( B* = 2B)! e) Határozza meg a rezonanciafrekvencián a generátort terhelő áramot a kapcsoló nyitott állapotában (I) és a kapcsoló zárt állapotában (I*)!

Megoldás: a) b) c) d)

f0 =

1

1

=

= 11,26 kHz 2π LC 2π 10mH ⋅ 20nF Rp Q0 = Q L = ⇒ R p = Q L ⋅ ω 0 ⋅ L = 200 ⋅ 2π ⋅ 11,26 kHz ⋅ 10 mH ≈ 142 kΩ ω0 ⋅ L f 11,26 kHz = 56,3 Hz B= 0 = Q0 200

B * = 2 B = 2 ⋅ 56,3 Hz = 112,6 Hz Q0 = *

Q0 = *

f 0 11,26 kHz = = 100 B * 112,6 Hz

Rp

*

ω0 ⋅ L

⇒ R p = 100 ⋅ 2π ⋅ 10 mH = 71 kΩ *



Rp = Rp × R = *

e)

I=

Ug Rp

I* =

=

Ug Rp

*

Rp ⋅ R Rp + R


Rp ⋅ Rp *

⇒R=

Rp − Rp

*

=

71 kΩ ⋅ 142 kΩ = 142 kΩ 142 kΩ − 71 kΩ

5V = 35,2 µA 142 kΩ =

5V = 70,4 µA 71 kΩ

26. feladat: Adatok f0 = 1 MHz L = 150 μH R = 80 kΩ U = 400 mV Feladatok: a) Határozza meg a rezgőköri kondenzátor kapacitását (C)! b) Határozza meg a rezgőkör jósági tényezőjét (Q) és sávszélességét (B)! c) Határozza meg I, IL, IR és IC értékét rezonanciafrekvencián! d) Mekkora külső ellenállást (Rp) kell a fenti rezgőkörrel párhuzamosan kapcsolni, hogy a sávszélesssége 20 kHz-re növekedjen? Megoldás: a)

b)

f0 =

1

2π L ⋅ C 1 1 C= = 168,9 pF = 2 2 2 6 4 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L 4 ⋅ π ⋅ (10 Hz 2 ) ⋅ 1,5 ⋅ 10 − 4 H X L = 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 10 6 Hz ⋅ 1,5 ⋅ 10 −4 H = 942,5 Ω f 80 kΩ 1000 kHz R = = 84,9 B= 0 = = 11,8 kHz X L 0,9425 kΩ Q 84,9 U 400 mV IR = = = 5 µA I = I R = 5 µA R 80 kΩ 400 mV U = = 424,4 µA IL = I C = I L = 424,4 µA X L 0,9425 kΩ f 1000 kHz Q' = 0 = = 50 R' = Q'⋅ X L = 50 ⋅ 0,9425 kΩ = 47,1 kΩ B' 20 kHz 1 1 1 R ⋅ R' 80 kΩ ⋅ 47,1 kΩ = + ⇒ Rp = = = 114,5 kΩ R' R R p R − R' 80 kΩ − 47,1 kΩ

Q=

c)

d)


2.11. Feladatok megoldásai

Recommend Documents