Függvények tanulmányozása 211

Függvények tanulmányozása

211

KÚPSZELETEK A KÖR

A kör értelmezését mint mértani helyet már az általános iskolából ismeritek. A fogalmak rögzítése céljából felelevenítjük ezt az értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságra levő pontok mértani helye a síkban az O középpontú r sugarú kör. A kör egyenlete Tekintsük az O(0, 0) középpontú r sugarú kört. Az M (x , y ) pont távolsága az origótól x 2 + y 2 , tehát ha M a körön van, akkor az értelmezés alapján x 2 + y 2 = r . Így az O középpontú r sugarú kör egyenlete: x 2 + y 2 = r 2 (1), (C ) (Az ekvivalens átalakításokból következik, hogy minden (1) egyenletet teljesítő koordinátájú pont rajta van a körön) y

y

r

O

x

89. ábra

90. ábra

x0

M

y0

y0 O1 O

M1

M(x,y) r

M(x,y)

y

x

O

O1 x0

x

91. ábra

Írjuk fel most egy tetszőleges O1(x 0 , y 0 ) középpontú r sugarú kör egyenletét. Az

M (x , y ) pont pontosan akkor van rajta a körön, ha (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 = r , ez pedig egyenértékű a (C ) (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 . (2) egyenlettel, ez utóbbi egyenlet az O1(x 0 , y 0 ) középpontú r sugarú kör egyenlete. Megjegyzés. Tulajdonképpen a C (O1, r ) kör a C (O, r ) kör (x 0 , y0 ) vektorral való párhuzamos eltolás általi képe (91. ábra), innen pedig az (1) összefüggésből azonnal következik, hogy a C (O1, r ) egyenlete a (2) egyenlet. Végezzük el a (2) összefüggésben a négyzetre emeléseket és rendezzük: x 2 + y 2 − 2x 0x − 2y0y + (x 02 + y02 − r 2 ) = 0 , Ezt az egyenletet az általános másodfokú kétismeretlenes Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 egyenlettel összevetve megállapíthatjuk, hogy az általános kétismeretlenes egyenlet csak akkor lehet kör egyenlete, ha A = C ≠ 0 és B = 0 . Osszunk A -val: (C ) x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 . (3)

212


Ez az egyenlet a kör általános (descartesi) egyenlete vagy normál egyenlete. 2 (x + a )2 + (y + b ) − (a 2 + b 2 − c ) = 0 , Az egyenletet az alakba is írhatjuk, tehát a, b, c ∈

függvényében a következő esetek lehetségesek:

1° ha a + b < c , akkor nem létezik (x , y ) ∈ 2

2

2

pár, amelyre teljesül a (3)

összefüggés, azt is szoktuk mondani, hogy ekkor képzetes körünk van, vagy hogy a mértani hely üres halmaz (ha csak 2 -ben dolgozunk); 2° ha a 2 + b 2 = c , akkor a mértani hely egy pont P(−a, −b ) és azt mondjuk, hogy elfajult (degenerált) körünk van; 3° ha a 2 + b 2 > c , akkor a (3) egyenlet a P(−a, −b ) középpontú és r = a 2 + b 2 − c sugarú valódi kör egyenlete.

A kör grafikus ábrázolása Tekintsük a C (a, b ) középpontú és r sugarú kört. A kör egyenlete: (C )

(x

2

− a )2 + (y − b ) = r 2 .

Kifejezzük az y változót x függvényében: 2

(y − b ) = r 2 − (x − a )2 , y1,2 = b ± r 2 − (x − a )2 , így a kör a következő két folytonos függvény grafikus képének egyesítése:

f1(x ) = b + r 2 − (x − a )2 és f2 (x ) = b − r 2 − (x − a )2 . Tehát C = G f1 ∪ G f2 . Ábrázoljuk grafikusan az f1(x ) = b + r 2 − (x − a )2 függvényt! I. A maximális értelmezési tartományt az r 2 − (x − a )2 ≥ 0 feltételből kapjuk meg. Az (x − a )2 ≤ r 2 egyenlőtlenség ekvivalens a x − a ≤ r egyenlőtlenséggel, tehát −r ≤ x − a ≤ r és így D = [a − r , a + r ] . II. f1′(x ) =

−2(x − a )

(x − a )

, tehát f1 növekvő az [a − r , a ] 2 r − (x − a r − (x − a )2 intervallumon és csökkenő az [a, a + r ] intervallumon. A másodrendű deriváltból megállapítható, hogy a függvény konkáv. III. Mivel az értelmezési tartomány zárt intervallum és a függvény folytonos, nincsenek aszimptoták. IV. A függvény változási táblázata: a +r x a −r a |+∞ + 0 f1′ (x ) −∞| 2

)2

=−

2

– – – – – f1′′(x ) f (x ) b +r b b Így elkészíthetjük a 92. ábrán látható grafikus képet. Az f2 pedig a 93. ábrán látható


213

y

92. ábra

y

93. ábra b

b a

x

a

x

Egyenes és kör kölcsönös helyzetei Az általános iskolából tudjátok, hogy egy egyenes és egy kör kölcsönös helyzetére a következő három esetünk lehetséges: 1. a két halmaz diszjunkt, tehát az egyenes nem metszi a kört (94. ábra) 2. a két halmaznak egy közös pontja van, tehát az egyenes érinti a kört (95. ábra) 3. a két halmaznak két közös pontja van, tehát az egyenes metszi a kört (96. ábra)

94. ábra

A fenti eseteket jellemezhetjük:

a

96. ábra

95. ábra

következő

egyenletrendszer

megoldásainak

számával

⎧ ⎪⎪C : (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 = r 2 ⎨ ⎪ d : ax + by + c = 0 ⎪ ⎪ ⎩ Ha a megoldások száma 0 , akkor a d egyenes nem metszi a C kört, ha a megoldások száma 1 , akkor d érinti C -t, ha pedig 2 megoldás van, akkor d metszi a C kört. Ha a második egyenletből kiküszöböljük valamely változót, akkor a kapott másodfokú egyenlet Δ < 0 , Δ = 0 vagy Δ > 0 esetei szerint osztályozva az előbbi esetekhez jutunk. Adott pontban húzott érintő és normális egyenlete Először egy általánosabb problémát vizsgálunk. Tekintsük az Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 egyenletű görbét és határozzuk meg az (x1, y1 ) pontjában húzott érintő egyenletét. Az egyenletből y kifejezhető x függvényeként. Ha az egyenlet bal oldalát, mint x függvényét tekintjük és deriváljuk majd kifejezzük y ′ -at, ugyanazt az eredményt kapjuk, mint ha előbb kifejeznénk y -t és kiszámolnánk a deriváltját:

214


2Ax + 2Byy ′ + Cy + Cxy ′ + D + Ey ′ = 0 , 2Ax + cy + D tehát y ′ = − , tehát az (x1, y1 ) pontban húzott érintő iránytényezője 2By + Cx + E 2Ax 1 + cy1 + D m =− . Így az érintő egyenlete: 2By1 + Cx 1 + E y − y1 2Ax 1 + cy1 + D =− ⇔ x − x1 2By1 + Cx 1 + E 2Ax1x + 2By1y + C (x1y + y1x ) + D (x − x1 ) + E (y − y1 ) − 2 (Ax 12 + By12 + Cx1y1 ) (4) Az (x1, y1 ) a görbe pontja, tehát Ax12 + By12 + Cx1y1 = −Dx1 − Ey1 − F és így (4) ⇔ 2Ax 1x + 2By1y + C (x 1y + y1x ) + D (x + x 1 ) + E (y + y1 ) + 2F = 0 ⇔ x y + y1x x + x1 y + y1 Ax 1x + By1y + C ⋅ 1 +D⋅ +E ⋅ + F = 0 (5) 2 2 2 Az (5) egyenletet az érintő duplázott egyenletének nevezzük, mert a görbe egyenletéből az x y + y1x x +x y +y x 2 → x1x , y 2 → y1y , xy → 1 ,x→ 1 és y → 1 2 2 2 helyettesítésekkel kapjuk. Így az (1) egyenletű körhöz az (x1, y1 ) ∈ C pontban húzott érintő egyenlete:

x1x + y1y = r 2 (6) Megjegyzés. Ugyanehhez az eredményhez jutunk, ha felírjuk az f1 illetve f2 grafikus képéhez az (x 1, f1 (x 1 )) illetve (x 1, f2 (x 1 )) pontokban húzott érintő egyenletét. Valóban az f1 grafikus képéhez az x1 abszcisszájú pontban húzott érintő egyenlete y − f1 (x 1 ) y − y1 x1 − a y − y1 x −a ⇔ ⇔ =− 1 = f1′(x1 ) ⇔ =− 2 2 x − x1 y1 − b x − x1 x − x1 r − (x 1 − a ) ⇔ x1x + y1y − ax + ax1 − by + by1 − x12 − y12 = 0 ⇔ ⇔ x1x + y1y − ax + ax1 − by + by1 − 2ax1 − 2by1 + a 2 + b 2 − r 2 = 0 ⇔ x + x1 y + y1 x 1x + y1y − 2a − 2b + a 2 + b2 − r 2 = 0 . 2 2

n

e

97. ábra

Értelmezés. . Egy görbe adott pontjában húzott érintőre merőleges egyenest a görbe ezen pontjához tartozó normálisának nevezzük. (97. ábra) A (6) egyenlet alapján az (1) körhöz az (x 1, y1 ) ∈ C pontban húzott normális egyenlete y1x − x1y = 0 (7)


215

Gyakorlatok és feladatok 1. Határozd meg a következő körök középpontját és sugarát: a) x 2 + y 2 − 4x = 0 b) x 2 + y 2 + 6y − 7 = 0 c) x 2 + y 2 + 2x − 10y + 1 = 0 d) 3x 2 + 3y 2 − 4x − 6y − 15 = 0 2. Írd fel az M (−3, 2) középpontú és d = 8 átmérőjű kör egyenletét! Írd fel az x 1 = 0 abszcisszájú pontjaiban húzható érintőinek egyenletét! 3. Határozd meg az x 2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0 egyenletű kör középpontjának koordinátáit és sugarát! Írd fel a körhöz az M (3, 7) pontból húzható érintők egyenletét! 4. Írd fel az ABC köré írt kör egyenletét, ha a csúcsok koordinátái: A (−2, −1) , B (0, −5) és C (6, 3) . 5. Írd fel azon kör egyenletét, amelynek középpontja M (6, 7) és érinti az 5x − 12y − 24 = 0 egyenletű egyenest! 6. Írd fel az x 2 + y 2 − 4x + 2y − 5 = 0 egyenletű kör x − 2y + 1 = 0 egyenletű egyenesre merőleges normálisának egyenletét. 7. Egy M (3, −1) középpontú kör a 2x − 5y + 18 = 0 egyenletű egyenesen egy 6 hosszúságú húrt határoz meg. Írd fel a kör egyenletét! 8. Egy O középpontú kör AB átmérőjének hossza 4a ( a > 0 ). M a kör egy változó pontja. a) Írd fel az AOM és BOM háromszögek köré írt P illetve Q középpontú körök egyenletét; b) Bizonyítsd be, hogy a P és Q pontok AB egyenestől mért távolságainak szorzata állandó és AP ⊥ BQ . c) Határozd meg az AP és BQ egyenesek metszéspontjának mértani helyét! 9. Határozd meg a d1 : x cos α + y = 1 és d2 : x − y cos α = 1 ( α ∈ ) egyenletű egyenesek metszéspontjának mértani helyét AZ ELLIPSZIS Értelmezés. Azon M pontok mértani helyét, amelyek két adott A és B ponttól mért távolságainak összege állandó (és nagyobb, mint az AB távolság) ellipszisnek nevezzük. Az A és B pontok az ellipszis fókuszai vagy gyújtópontjai, az AB egyenes az ellipszis fokális tengelye, míg a fókuszok és az ellipszis egy tetszőleges pontja által meghatározott szakaszok vezérsugarak. Ahhoz, hogy legyen egy elképzelésünk az ellipszis alakjáról, végezzük el a következő szerkesztés: Rögzítsük le egy l hosszúságú madzag két végét az A és B pontokba

216


és feszítsük ki egy ceruzával, ha minden ilyen ponton végighúzzuk a ceruzát, akkor kirajzolódik az ellipszis (98. és 99. ábra)

98. ábra

99. ábra

Megjegyzés. Ha a fókuszok egybeesnek, akkor a mértani hely egy kör. Tehát a kör egy sajátos ellipszis. Az ellipszis kanonikus egyenlete Tekintsünk egy olyan koordinátarendszert, amelyben a fokális tengely az Ox és fókuszok által meghatározott szakasz felezőmerőlegese az Oy . Így feltételezhetjük, hogy a fókuszok koordinátái F1(c, 0) és F2 (−c, 0) . Jelöljük 2a -val az ellipszis tetszőleges M (x , y ) pontjának fókuszoktól mért távolságainak összegét (100. ábra). Ez a két távolság kapjuk:

(x − c )2 + y 2 és

(x + c )2 + y 2 , tehát a következő egyenleteket

(x − c )2 + y 2 + (x + c )2 + y 2 = 2a ⇔

(x − c )2 + y 2 = 2a − (x + c )2 + y 2

⇔ (x − c )2 + y 2 = 4a 2 + (x + c )2 + y 2 − 4a (x + c )2 + y 2 (ha (x + c )2 + y 2 < 4a 2 (1)). Egyszerűsítjük az előbbi egyenletet: 2

a (x + c )2 + y 2 = a 2 + xc ⇔ a 2 ((x + c )2 + y 2 ) = (a 2 + xc )

ha a 2 + xc ≥ 0 (2), tehát az egyenletet (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) , azaz x2 y2 + = 1 (3) a2 a2 − c2 alakban is írhatjuk. Ha az (1) és (2) feltételek nem teljesülnek, akkor ellentmondáshoz jutunk, tehát nincsenek olyan pontok az ellipszisen, amelyekre nem teljesülnek ezek a feltételek. Másrészt, ha x és y teljesíti a (3) feltételt, akkor az (1) és (2) feltételek is teljesülnek. Így (3) az ellipszis egyenlete a választott koordinátarendszerben. Ha az ellipszis az Oy tengelyt a B(0, b ) és B ′(0, −b) pontokban metszi, akkor az OBF1

derékszögű háromszögből b 2 = a 2 − c 2 . Így megkapjuk az ellipszis kanonikus egyenletét:

b

B

Függvények tanulmányozása -a A’

-c

c F1

217

a A

x 2 y2 = 1 (4) + a 2 b2 (x , y ) ∈ E , Ha akkor -b B’ (−x , y ),(x , −y ),(−x , −y ) ∈ E , tehát az 100. ábra ellipszis szimmetrikus a koordináta tengelyekre nézve és az origóra nézve. Ha A és A′ az Ox tengellyel való metszéspontjai, akkor: 2a = AF1 + AF2 = A′F2 + AF2 = AA′ , tehát az A és A′ pontok abszcisszái a és −a . Az AA′ az ellipszis nagytengelye, míg BB ′ a kistengely. Így a és b a féltengelyek hosszai. A c számot, ami az ellipszis középpontja (O ) és a fókuszok közötti távolság, az ellipszis lineáris excentricitásának nevezzük, a lineáris excentricitás és a fél nagytengely hányadosát pedig numerikus excentricitásnak nevezzük. Ha az ellipszis excentricitásáról beszélünk (anélkül, hogy hangsúlyozva legyen, hogy lineáris vagy numerikus), akkor a numerikus excentricitásra utalunk. Ezt e -vel jelöljük és: O

F2

(E )

2

⎛b ⎞ c = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ . ⎝a ⎠ a Az ellipszis fókuszán átmenő és a nagytengelyre merőleges húr félhosszúságát az ellipszis paraméterének nevezzük és p -vel jelöljük. A kanonikus egyenletből e=

p=

-a A’

-c F2

101. ábra: Az ellipszis adatai F1, F2 – fókuszok

B

O

p

c F1

r2 r1

2b

b

-b B’

2c 2a

b2 . a

M

a A

O – középpont F1F2 –fokális tengely F1F2 = 2c – fokúsztávolság

c – lineáris excentricitás

AA′ = 2a a BB ′ = 2b b r1, r2

– nagytengely – fél nagytengely – kistengely – fél kistengely – vezérsugarak

( r1 + r2 = 2a ) p – paraméter

Ha az ellipszist párhuzamosan eltoljuk az (a, 0) vektorral (vagy a koordinátarendszert (−a, 0) -val), akkor az ellipszis egyenlete: (x − a )2 y 2 2b 2x b 2x 2 p 2 1 = − 2 ⇔ E : y 2 = 2px − x 2 (5). y ⇔ + = a a a2 b2 a F2

O

F1

O1 c

102. ábra

a A

218


Ha az ellipszist párhuzamosan eltoljuk az (x 0 , y 0 ) (102. ábra), akkor az ellipszis egyenlete: 2

(x − x 0 )

(E )

a2

2

+

(y − y 0 ) b2

= 1 (6)

Az ellipszis grafikus ábrázolása x 2 y2 + = 1 , a, b > 0 egyenletű ellipszist fogjuk ábrázolni. a 2 b2 b 2 a − x 2 , tehát az A kör esetéhez hasonlóan járunk el y = ± a b 2 b a − x 2 és f2 : [−a, a ] → [−b, 0] , f2 (x ) = − a 2 − x 2 , f1 : [−a, a ] → [ 0, b ] , f1 (x ) = a a függvényeket kell ábrázoljuk, mert E = G f1 ∪ G f2 .

Az (E )

Ábrázoljuk az f1 függvényt! I. A maximális értelmezési tartományt az a 2 − x 2 ≥ 0 feltétel adja, így D = [−a, a ] . bx II. f1′(x ) = − , tehát f1 növekvő a [−a, 0 ] intervallumon és csökkenő a a a2 − x 2 [ 0,a ] -n. A másodrendű deriváltból megállapítható, hogy a függvény konkáv. III. Mivel az értelmezési tartomány zárt intervallum és a függvény folytonos, nincsenek aszimptoták. IV. A függvény változási táblázata:

−a |+∞

x f1′ (x )

a +

0

– – – f1′′(x ) f (x ) 0 b A grafikus képek a 103. és 104. ábrákon láthatók.

a -

−∞

–

–

0

y

103. ábra

b

-a

O

y b a

x

-a

-b

Egyenes és ellipszis kölcsönös helyzetei Itt is három eset lehetséges:

|

O

-b

104. ábra a

x


219

1. az egyenes nem metszi az ellipszist (105. ábra) 2. egy közös pontjuk van, tehát az egyenes érinti az ellipszist (106. ábra) 3. két közös pontjuk van, tehát az egyenes metszi az ellipszist (107. ábra) A metszéspontok koordinátáit itt is úgy kaphatjuk meg, ha megoldjuk az ellipszis egyenletéből és az egyenes egyenletéből álló rendszert.

105. ábra

106. ábra

107. ábra

Adott pontban húzott érintő és normális egyenlete Az általános egyenletből duplázással megkapjuk az (x1, y1 ) pontban húzott érintő egyenletét: x 1x y1y + 2 =1 a2 b (108. ábra). Ugyanebben a pontban a normális egyenlete: x 1y y1x 1⎞ ⎛1 − 2 = x 1y1 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ 2 ⎝a a b b ⎠

108. ábra

Gyakorlatok és feladatok 1. Írd fel az ellipszis egyenletét az alábbi esetekben, majd ábrázold is: a) fókuszai F1 (−1, 0) és F2 (1, 0) , a nagy féltengely hossza a = 5 ; b) egyik fókusza F1 (1, 2) , középpontja C (1, 4) és a nagy féltengely hossza a = 10 ; c) középpontja az origó, tengelyei a koordinátatengelyek és az ellipszis átmegy 12 ⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ az A ⎜⎜4, ⎟⎟ és A ⎜⎜−3, ⎟⎟ pontokon; ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ d) a nagytengely 26 , fókuszai pedig F1 (14, 0) és F2 (−10, 0) . 2. Írd fel a 16x 2 + 25y 2 + 32x − 100y − 284 = 0 ellipszis kanonikus egyenletét! 3. Határozd meg a 4x 2 + 9y 2 = 676 egyenletű ellipszis x1 = 5 abszcisszájú pontjához húzott érintő egyenletét! 4. Bizonyítsd be, hogy ha M egy O középpontú, F1 és F2 fókuszú ellipszis tetszőleges pontja, akkor MF1 ⋅ MF2 + MO 2 = a 2 + b 2 , ahol a illetve b a nagy illetve kis féltengely.

220


5. Bizonyítsd be, hogy az összes olyan háromszög közül, amelyeknek az egyik oldala l és félkerülete p , az egyenlőszárú háromszög területe a legnagyobb! 6. Bizonyítsd be, hogy az ellipszishez adott pontban húzott érintő és normális a vezérsugarak által meghatározott szög külső illetve belső szögfelezői. (Ezt az ellipszis optikai tulajdonságának nevezzük, mert az ellipszis egyik fókuszában elhelyezett fényforrásból kiinduló tetszőleges fénysugár az ellipszisről (elliptikus tükörről) történő visszaverődés után a másik fókuszon fog átmenni). A hiperbola Értelmezés. Azon M pontok mértani helyét, amelyekre MF1 − MF2 = 2a , ahol F1 és F2 rögzített pontok és F1F2 > 2a , hiperbolának nevezzük. F1 és F2 a hiperbola fókuszai, az F1F2 egyenes a fokális tengely, míg a fókuszok és a hiperbola tetszőleges pontja által meghatározott szakaszok vezérsugarak. 109. ábra

A hiperbola kanonikus egyenlete Tekintsünk egy olyan koordinátarendszert, amelyben a fokális tengely az Ox és az F1F2 szakasz felezőmerőlegese az Oy . Így feltételezhetjük, hogy a fókuszok koordinátái F1(c, 0) és F2 (−c, 0) . Ha M (x , y ) a hiperbola tetszőleges pontja, akkor:

(x − c )2 + y 2 − (x + c )2 + y 2 = 2a ⇔

(x − c )2 + y 2 = ±2a + (x + c )2 + y 2

⇔ (x − c )2 + y 2 = 4a 2 + (x + c )2 + y 2 ± 4a (x + c )2 + y 2 ⇔ 2

±a (x + c )2 + y 2 = a 2 + xc ⇔ a 2 ((x + c )2 + y 2 ) = (a 2 + xc ) ⇔ x2 y2 − =1. a2 c2 − a2 Ebből az egyenletből következik, hogy a hiperbola metszéspontjai az Ox tengellyel A(a, 0) és A′(−a, 0) . Ezeket a pontokat a hiperbola csúcsainak nevezzük és az AA′ egyenest a hiperbola valós tengelyének. Az AA′ = 2a távolság a valós tengely hossza. Ha megszerkesztjük az AA′ átlójú és c oldalú rombuszt, akkor a másik átlója a hiperbola képzetes tengelye, és 2b a képzetes tengely B hossza. A szerkesztés alapján b 2 = c 2 − a 2 , és így a hiperbola egyenlete: A F F A’ O x 2 y2 − = 1 (1) (H ) a 2 b2

(c 2 − a 2 ) x 2 − a 2y 2 = a 2 (c 2 − a 2 )

1

2

110. ábra

⇔


221

Ez az egyenlet a hiperbola kanonikus egyenlete. Ha (x , y ) ∈ H , akkor (x , −y ) , (−x , y ) , (−x , −y ) ∈ H , tehát a hiperbola szimmetrikus a tengelyeire és a választott koordinátarendszer origójára. Ezért az O pontot a hiperbola középpontjának nevezzük. A c távolságát a hiperbola lineáris excentricitásának, a lineáris excentricitás és a fél valós tengely hányadosát pedig numerikus excentricitásnak nevezzük. A numerikus excentricitást e -vel jelöljük és 2

⎛b ⎞ c = 1 + ⎜⎜ ⎟⎟⎟ . A hiperbola fókuszán átmenő és a valóstengelyre merőleges húr ⎝a ⎠ a félhosszúságát a hiperbola paraméterének nevezzük. A p paramétert a hiperbola (1) e=

egyenletéből x = ±c helyettesítéssel kapjuk: p = d2

d1 M r2

r1

B

2b

p F2

A’

A

O

F1

B’

b2 . a

111. ábra: A hiperbola adatai

F1, F2 – fókuszok O – középpont F1F2 = 2c – fókusztávolság

c – lineáris excentricitás

AA′ = 2a a BB ′ = 2b b r1, r2

– valós tengely – fél valós tengely – képzetes tengely – fél képzetes tengely – vezérsugarak

( r1 − r2 = 2a ) p – paraméter

2c

d1, d2 – aszimptoták

2a

Ha a hiperbolát párhuzamosan eltoljuk a (−a, 0) vektorral, akkor a hiperbola egyenlete: (x + a )2 y 2 2b 2x b 2x 2 2 = + 2 ⇔ y − = 1 a2 b2 a a p 2 2 y = 2px + x (4). ⇔ (H ) a (112. ábra)

O1 F2 A’

A

O

112. ábra

A hiperbola grafikus ábrázolása A

(H )

x 2 y2 − = 1 , a, b > 0 a 2 b2

F1

222


egyenletű hiperbolát fogjuk ábrázolni. Kifejezzük y -t az x függvényében:

b x 2 − a2 . a Így a hiperbola a következő függvények grafikus képeinek egyesítése: b f1 : (−∞, −a ] ∪ [a, +∞) → , f1(x ) = x 2 − a 2 és a b f1 : (−∞, −a ] ∪ [a, +∞) → , f1(x ) = − x 2 − a2 . a Az f1 függvényt fogjuk ábrázolni. Az f2 függvény grafikus képe ennek szimmetrikusa az Ox tengelyre nézve. I. lim f1(x ) = +∞, lim f1(x ) = +∞ , de y =±

x →−∞

x →+∞

(

)

b a b a x2 1 − 2 x 1− 2 f (x ) a x x = −b , m = lim = lim = lim a x →−∞ x x →−∞ x →−∞ x x a ⎡b ⎤ b n = lim [ f (x ) − mx ] = lim ⎢ x 2 − a 2 + x ⎥ = 0 , x →−∞ x →−∞ ⎢ a a ⎥⎦ ⎣ b tehát y = − x ferde aszimptota −∞ felé. a f (x ) b A +∞ felé pedig m = lim = , n = 0 , tehát ebben az esetben a ferde x →+∞ x a b aszimptota y = x . a b x , nem értelmezett az x = ± a pontokban, x < 0 esetén II. f1′ (x ) = a x 2 − a2 negatív és x > 0 esetén pozitív. −a a lim f1′(x ) = = −∞, lim f1′ (x ) = = +∞ , x −a x a +0 +0 tehát f1′ (−a ) = −∞ és f1′ (a +) = +∞ . III. A változási táblázat: x −∞ f1′ (x ) f (x )

-

-

+∞

−a −∞|

//////

a

//////

+∞

0

//////

O a

113. ábra

0

+

+

+∞

A 113. ábrán a folytonos vonal az f1 függvény grafikus képe, a pontozott egyenesek az aszimptotát, a szaggatott vonal pedig az f2 függvény grafikus képe.

y

-a

|

+∞

x


223

Egyenes és hiperbola kölcsönös helyzetei x 2 y2 − = 1 hiperbola metszéspontjait megkaphatjuk a 2 b2 a következő egyenletrendszer megoldásával: ⎧⎪ x 2 y 2 ⎪⎪ 2 − 2 = 1 . b ⎨a ⎪⎪ a x + b y + c = 0 1 1 ⎪⎪⎩ 1 Ez egy másodfokú egyenlethez vezet, tehát három esetet különböztetünk meg: 1. a d egyenes nem metszi a hiperbolát (114. ábra) 2. a d egyenes érinti a hiperbolát (115. ábra) 3. a d egyenes két különböző pontban metszi a hiperbolát (116. ábra)

A d : a1x + b1y + c1 = 0 és az

114. ábra

115. ábra

116. ábra

Adott pontban húzott érintő és normális egyenlete Az általános egyenletből duplázással megkapjuk az (x1, y1 ) pontban húzott érintő egyenletét: x 1x y1y − 2 =1 a2 b a normális egyenlete: x 1y y1x 1⎞ ⎛1 + 2 = x 1y1 ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ⎝a a2 b b ⎠

117. ábra

Gyakorlatok és feladatok 1. Számítsd ki a 9x 2 − 16y 2 = 144 egyenletű hiperbola féltengelyeit és fókuszait majd írd fel az aszimptoták egyenletét! 2. Írd fel a 9x 2 − 16y 2 + 90x + 32y − 367 = 0 egyenletű hiperbola kanonikus egyenletét és határozd meg a középpont koordinátáit! 3. Határozd meg annak a hiperbolának az egyenletét, amely átmegy a P(9, 4) ponton és teljesíti a következő két feltételt:

224

4.

5.

6. 7.


a) valós tengelye 6 ; b) valós tengelye az Ox tengely. Határozd meg az F1 (2, 2) és F2 (−2, −2) fókuszú hiperbola egyenletét, ha a képzetes tengely hossza 4 és írd fel az aszimptotáinak valamint az x1 = 3 abszcisszájú pontjaiban húzott érintőinek egyenletét! Határozd meg az F1 (4, 0) és F2 (−4, 0) fókuszú hiperbola egyenletét, ha a valós tengely hossza 6 és írd fel az aszimptotáinak valamint az x 1 = −5 abszcisszájú pontjaiban húzott érintőinek egyenletét! x 2 y2 − = 1 egyenletű hiperbola aszimptotáinak valamint az x 1 = −4 Írd fel az 8 9 abszcisszájú pontjaiban húzott érintőinek egyenletét! Bizonyítsd be, hogy ha M egy O középpontú, F1 és F2 fókuszú ellipszis tetszőleges pontja, akkor MO 2 − MF1 ⋅ MF2 = a 2 − b 2 , ahol a és b a tengelyek hossza.

x 2 y2 − = 1 egyenletű hiperbola aszimptotái és a 4 9 9x + 2y − 24 = 0 egyenletű egyenes által meghatározott háromszög területét! 9. Az xOy koordinátarendszer Ox tengelyén vegyünk fel két M és N pontot úgy, b hogy abszcisszáik szorzata a 2 legyen. Az M és N pontokon át meghúzzuk a a b illetve − iránytényezőjű egyeneseket, amelyek P -ben metszik egymást. a ( a, b ∈ *+ rögzítettek) Határozd meg a P pont mértani helyét! 10. Egy hiperbola síkjában lévő P ponton át párhuzamosokat húzunk a hiperbola aszimptotáihoz, amelyek a hiperbolát M és N -ben metszik. a) Határozd meg azon P pontok mértani helyét, amelyekre MN átmegy a hiperbola középpontján! b) Határozd meg azon P pontok mértani helyét, amelyekre az MN egyenes párhuzamos a hiperbola valamelyik tengelyével! 11. Bizonyítsd be, hogy a hiperbolához adott pontban húzott érintő és normális a vezérsugarak által meghatározott szög szögfelezői. (A hiperbola optikai tulajdonsága)

8. Számítsd ki az

A parabola

117. ábra


225

Értelmezés. Azon pontok mértani helyét, amelyek egy adott v egyenestől és egy adott F ponttól egyenlő távolsága vannak parabolának nevezzük. Az F pont a parabola fókusza, v a vezéregyenese és a fókuszból a vezéregyenesre állított merőleges a parabola tengely. A fókusz és a vezéregyenes közötti p távolság a parabola paramétere.

v M

A parabola kanonikus egyenlete

F

Tekintsünk egy olyan koordinátarendszert, amelyben az Ox tengely a parabola tengelye, az Oy tengely a fókusz és a vezéregyenesre eső vetülete által meghatározott szakasz 118. ábra ⎛p ⎞ felezőmerőlegese. Így a fókusz koordinátái F ⎜⎜ , 0⎟⎟ és a ⎝2 ⎠ p vezéregyenes egyenlete v : x = − (118. ábra). Ha M (x , y ) a parabola tetszőleges 2 pontja, akkor az értelmezés alapján: p

p ⎞2 p p2 p2 ⎛ ⎜⎜x − ⎟⎟ + y 2 = x + , azaz x 2 − px + + y 2 = x 2 + px + és így ⎝ 4 4 2⎠ 2

(P )

y 2 = 2px (1). Az (1) egyenlet a parabola kanonikus egyenlete. Ha (x , y ) ∈ P , akkor (x , −y ) ∈ (P ) , tehát az Ox tengely szimmetriatengely. Az O pont a parabola csúcsa. A parabola grafikus ábrázolása A következő parabolát fogjuk ábrázolni: y 2 = 2px . (P ) Feltételezzük, hogy p > 0 . Kifejezzük y -t az x függvényében: y = ± 2px , tehát a következő függvényeket kell ábrázoljuk: f1 : [0, +∞) → [0, +∞), f1(x ) = 2px , f2 : [0, +∞) → (−∞, 0], f2 (x ) = − 2px . Az f1 függvény változási táblázata: 0 x |+∞ + f1′ (x ) f1′′(x ) f1(x )

+∞

– 0

+∞

y

O x

119. ábra

226


Az előbbi esethez hasonlóan az f1 függvény grafikus képe a parabola felső ága (az Ox fölötti ág) az f2 függvény grafikus képe pedig az alsó ág (119. ábra) Egyenes és parabola kölcsönös helyzetei A kör, ellipszis és hiperbola esetéhez hasonlóan, a metszéspontok koordinátáit itt is a parabola és az egyenes egyenletéből álló rendszer megoldásával kapjuk. Ez az rendszer egy másodfokú egyenletre redukálódik, így a következő esetek lehetségesek: 1. az egyenes nem metszi a parabolát (120. ábra) 2. az egyenes érinti a parabolát (121. ábra) 3. az egyenes két különböző pontban metszi a parabolát (122. ábra)

120. ábra

121. ábra

122. ábra

Adott pontban húzott érintő és normális egyenlete Az (1) egyenletből duplázással megkapjuk az (x 1, y1 ) pontban

n e 123. ábra

húzott érintő egyenletét e : y1y = p (x + x 1 ) Innen pedig a normális egyenlete: n : py − y1x = ( p − x 1 ) y1 .

Gyakorlatok és feladatok 1. Írd fel annak a parabolának az egyenletét, amelynek csúcspontja az origóban van, a) szimmetrikus az Ox tengelyre nézve és átmegy az A (−1, 3) ponton; b) szimmetrikus az Oy tengelyre nézve és átmegy az B (4, −8) . 2. Határozd meg az y 2 − 10x 2 − 2y − 19 = 0 egyenletű parabola csúcspontjának koordinátáit, a paraméter nagyságát és tengelyének irányát! 3. Határozd meg az y 2 = 12x egyenletű parabola x 1 = 2 abszcisszájú pontjain átmenő érintőinek egyenletét! 4. Határozd meg az y 2 = 2x egyenletű parabola A (−1, 0) pontján átmenő érintőinek egyenletét! Számítsd ki a két érintő és a két normális által meghatározott négyszög területét! 5. Egy híd íve parabola alakú. Határozd meg ezen parabola paraméterét, ha a fesztávolság 24 m és az ívmagasság 6 m . 6. Határozd meg a 124. ábrán vázolt parabolikus tartószerkezet


227

a) felső és alsó parabolaívének egyenletét; b) az A1A2 és az AC 1 2 rudak hosszát. 2,4 m

124. ábra

A1

C2

5m

5m

2m

C1

A2

24 m

Miért kúpszeletek? A körrel, parabolával, hiperbolával ellipszissel gyakran találkozhatunk a természetben is. Ha ferdén vagy vízszintesen eldobunk egy testet, akkor annak pályája parabolaív. (125. ábra) Az előzőkben, ha az ellipszis, hiperbola, parabola paragrafusok utáni feladatokat megoldottátok beláthattátok az optikai tulajdonságaikat ezen görbéknek. A csillagászati alapismeretekhez tartoznak Kepler (1571–1630) törvényei. Az első törvényében megfogalmazta, hogy a bolygók a Nap körül ellipszispályán keringnek, és a Nap az ellipszispálya egyik fókuszában van. (126. ábra) v

Bolygó

v

Nap

125. ábra

126. ábra

Ma már közismert, hogy a mesterséges holdak, a szputnyikok, az űrhajók a Föld körül körpályán vagy ellipszispályán keringenek. Nagyobb indítási sebességgel, a Földtől távoli égitestek kutatására vissza nem térő szondákat küldtek, ezek hiperbola pályán haladnak. Ma már elemi fizikai ismeretnek számít, hogy a fellőtt rakéták, űrhajók pályája az indító sebességtől függően: • ellipszis, amelynek a fellövés helyétől távolabbi fókuszpontja a Föld középpontja • kör • ellipszis, amelynek a fellövés helyéhez közelebbi fókuszpontja a Föld középpontja • hiperbola, amelynek egyik fókuszpontja a Föld középpontja Ezek azt mutatják, hogy a kör, az ellipszis, a parabola, hiperbola rokonságban vannak.

127. ábra

128. ábra

129. ábra

130. ábra

228


A testek mozgását matematikai módszerekkel már a XVI–XVII. században kezdték vizsgálni, de a parabola, az ellipszis, a hiperbola fogalmát jóval korábban, a görög matematikusok már az ókorban, az i.e. II. században kialakították. Több matematikai probléma vizsgálatánál rájöttek, hogy ha egyenes körkúp palástját különböző helyzetű síkokkal elmetszik, akkor nevezetes görbéket kapnak. Ezeket közös néven kúpszeleteknek nevezzük. A kúpszelet ellipszis, ha a metszősík a kúp egyik alkotójával sem párhuzamos. Ha a metszősík merőleges a kúp tengelyére, akkor a síkmetszet egy kör, ez is bizonyítja, hogy a kör egy sajátos ellipszis. Ha a metszősík a kúp egyetlen alkotójával párhuzamos, akkor a kúpszelet parabola. Ha két alkotóval párhuzamos a metszősík, akkor hiperbola keletkezik.

131. ábra: Kör

135. ábra Elfajult kúpszeletek

132. ábra: Ellipszis

133. ábra: Parabola

134. ábra: Hiperbola

Ha a kúp csúcspontjára illeszkedő metszősíkot veszünk, akkor elfajult kúpszeletet kapunk, mégpedig ellipszis helyett pontot (elfajult ellipszis), parabola helyett egy egyenest (elfajult parabola) és hiperbola helyett két metsző egyenest (elfajult hiperbola). Egy tetszőleges kúpszelet egyenlete a következő Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ), sőt az előbbi egyenlettel megadott másodrendű görbék mind kúpszeletek (ide soroltuk az elfajult kúpszeleteket és az üres halmazt is). Ez az egyenlet egy-két transzformációval visszavezethető a következők valamelyikére: Kör x + y2 = r 2

Ellipszis x y2 + =1 a 2 b2

Hiperbola x 2 y2 − =1 a 2 b2

Parabola y 2 = 2px

Két metsző egyenes

Két párhuzamos egyenes x 2 − a2 = 0

2

2


229

x 2 y2 − =0 a 2 b2

Pont x 2 y2 + =0 a 2 b2

Két egybeeső egyenes x2 = 0

Üres halmaz x 2 y2 + +1 = 0 a 2 b2 ∅

136. ábra Másodrendű görbék

Gyakorlatok 1. Bizonyítsd be, hogy a K : x 2 + y 2 = 1 kör nem lehet egyetlen függvénynek sem a grafikus képe, de lehet két különböző függvény grafikus képének az egyesítése! x 2 y2 2. Számítsd ki a − − 1 = 0 hiperbola két a 9x + 2y − 25 = 0 egyenes által 4 9 alkotott háromszög területét! 3. Rajzold meg az alábbi függvények grafikus képét: a) f : D → , f (x ) = x + 1 ;

2 (1 + x )(5 − x ) ; 3 3 2 x − 2x − 3 . c) f : D → , f (x ) = 4 2 4. Az f : → , f (x ) = e −x függvény grafikus képét Gauss-féle görbének nevezik. Határozd meg azokat a pontokat, amelyben az O középpontú, egységsugarú kör metszi ezt a görbét! Bizonyítsd be, hogy a két görbének van közös érintője! x⋅ x y⋅y 5. Határozd meg azon M (x , y ) pontok mértani helyét, amelyekre + = 1! 4 9 b) f : D → , f (x ) =

6. Szerkeszd meg az f :

→

, f (x ) =

x2 − 1 függvény grafikus képét! 4

x 2 y2 + = 1 ellipszisbe egy maximális területű téglalapot úgy, hogy annak a 2 b2 oldalai a tengelyekkel párhuzamosak legyenek! (0 < b < a ) .

7. Írj az

8. Határozd meg az M ( p, p ) pont és az y 2 = 2px parabola pontjai közti legkisebb távolságot!

230


9. Határozd meg az A (2, 0) pont távolságát az x 2 + y 2 = 1 egyenletű körtől! x 2 y2 + = 1 (0 < b < a ) , ellipszis leghosszabb B (0, b ) a 2 b2 ponton átmenő húrját!

10. Határozd meg az

Függvények tanulmányozása 211

Recommend Documents