K¨ornyezeti sug´arz´asok Csan´ad M´at´e 2010. m´ajus 4.
1.
Bevezet´ es a hull´ amok elm´ elet´ ebe
1.1.
Motiv´ aci´ o
• Zajszennyez´es: hanghull´ amok • Elektroszmog: elektrom´ agneses hull´amok • Radioaktivit´ as: r´eszecsk´ek ´es elektrom´agneses hull´amok
1.2.
Sug´ arz´ asok ´ es hull´ amok
• A sug´ arz´ as nem m´ as, mint hull´ amterjed´es. • Az alap-jelens´eg egy t´erben ´ertelmezett f¨ uggv´eny, f (x). Itt x a t´er-koordin´ata, f pedig egy t´erf¨ ugg˝ o mennyis´eg (l´ asd az 1. ´ abr´at): – – – – • • • •
egy h´ ur kit´er´ese (von´ os hangszeren), egy folyad´ek szintj´enek ´ert´eke (v´ız felsz´ın´enek alakja), az aut´ ok s˝ ur˝ us´ege az aut´ op´ aly´an, egy rug´ o spir´ aljainak s˝ ur˝ us´ege,
Ez a f¨ uggv´eny minden t id˝ opillanatban m´as, azaz ft (x)-nek ´ırhatjuk. A legegyszer˝ ubb eset a halad´ o hull´am (l´asd a 2. ´abr´at). Halad´ o hull´ am: ft (x) = ft+∆t (x − ∆x). Mostant´ ol ft (x) = f (t, x). A fenti egyenl˝os´eg ´ıgy teh´at: f (t + ∆t, x) = f (t, x − ∆x)
(1)
• Szavakkal (az aut´ op´ aly´ as esetre): az aut´ok s˝ ur˝ us´ege (f ) ugyanakkora lesz itt (x) egy perc m´ ulva (t + ∆t), mint most (t) egy kilom´eterrel h´atr´ebb (x − ∆x).
1.3.
Hull´ amterjed´ es
• A hull´ amterjed´es alapja teh´ at a hull´amegyenlet, azaz az (1) egyenlet. • Ezt teljes´ıti b´ armely f (x − ct) f¨ uggv´eny, ekkor f (x − c(t + ∆t)) = f (x − ∆x − ct), ez biztosan teljes¨ ul, ha
(2)
x − c(t + ∆t) = x − ∆x − ct, azaz
(3)
c∆t = ∆x, azaz ∆x =c ∆t
(4)
azaz c a hull´ am ,,terjed´esi sebess´ege”. ¨ • Osszefoglalva: adott f¨ uggv´enyalak, t = 0 eset´en f (x), k´es˝obbi id˝opontokban f (x − ct).
1
(5)
1. ´ abra. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o jelens´egek, ahol egyfajta t´erf¨ ugg˝o kit´er´est lehet ´ertelmezni
2. ´ abra. Hull´amok terjed´ese
2
3. ´ abra. Peri´ odikus hull´ am. J´ ol l´ athat´ o, hogy c∆t = λ eset´en ´erj¨ uk el a peri´odusid˝ot, azaz T = λ/c.
1.4.
Periodikus hull´ amok terjed´ ese
• Klasszikus hull´ am-alak: periodikus t´erben a t = 0 id˝opillanatban is, azaz f (x + nλ) = f (x) minden x-re, n eg´esz sz´ amra. Ekkor λ a hull´amhossz. • Ekkor id˝ oben is lesz egy peridocit´as (ennek reciproka a frekvencia), hiszen az (2) egyenlet szerint (ha ∆x = λ, ´es ∆t = T ): f (x − λ − ct) = f (x − c(t + T )), azaz f (x − ct) = f (x − c(t + T ).
(6) (7)
• Teh´ at ha t´erben λ periodicit´ assal (hull´amhosszal) rendelkezik a hull´am, akkor id˝oben T = λ/c peri´ odusideje lesz, ´es ν = 1/T = c/λ frekvenci´aja. • Ekkor f (x−ct) helyett f (kx−kct)-t ´ırunk, ´es defini´aljuk az ω = kc mennyis´eget. A hull´amunk teh´ at f (kx − ωt) lesz. • Fontos l´ atni, hogy a t = 0 id˝ opillanat kiv´alaszt´asa tetsz˝oleges, ez´ert ´altal´anoss´agban f (kx − ωt + φ) f¨ ugg´est ´ırunk, ahol φ egyfajta f´azis-eltol´as. • A hull´ amtan alapvet˝ o egyenletei teh´at: k = ω/c
(8)
λ = Tc
(9)
• Klasszikus hull´ amalak: szinuszhull´am. Azaz f (x, t) = A sin(kx−ωt+φ). A sin(x) hull´amhossza λ = 2π, a sin(kx) hull´ amhossza pedig λ = 2π/k. Ekkor T = 2π/ω. L´asd err˝ol a 3. ´abr´at.
1.5.
T´ erbeli hull´ amok
• A legegyszer˝ ubb esetet t´ argyaltuk eddig, ahol egy t´erdimenzi´o van (azaz egy t´erkoordin´ata, x), ´es a kit´er´es is skal´ armennyis´eg. • Bonyol´ıtsuk a helyzetet azzal, hogy helyezz¨ uk az eg´eszet egy h´aromdimenzi´os t´erbe, ahol a koordin´ at´ ak x, y ´es z • Ekkor legyen a f¨ uggv´eny¨ unk f (x, y, z, t) = A sin(kx x + ky y + kz z − ωt + φ). Itt t = 0 eset´en konstans f , ha kx x + ky y + kz z =const. • Ez a k vektorra mer˝ oleges fel¨ uleteket jel¨ol ki, ez´ert ezt s´ıkhull´ amnak h´ıvjuk. • A terjed´esi sebess´eg ugyan´ ugy sz´ am´ıthat´o, csak most vektori´alisan: k = ωc/|c|2 . • Ekkor kijel¨ olhetj¨ uk az u ´j koordin´ ata-rendszert a k¨ovetkez˝ok´eppen: legyen az x0 ir´any k ir´anya, ekkor ebben az u ´j rendszerben k = (kx0 , 0, 0) • Teh´ at a s´ıkhull´ amok egydimenzi´ os hull´amk´ent is ´ertelmezhet˝oek, l´asd a 4. ´abr´at.
3
4. ´ abra. S´ıkhull´ am ´es koordin´ atarendszere. A jel¨olt s´ıkban l´ev˝o pontokon f ´ert´eke konstans.
5. ´ abra. K¨ork¨or¨osen polariz´alt hull´am.
1.6.
Vektori´ alis hull´ amok
• A k¨ ovetkez˝ o el˝ orel´ep´es az, hogy f nem skal´armennyis´eg, hanem vektormennyis´eg, h´ıvjuk E = (Ex , Ey , Ez )-nek. Minden komponense v´altozik t´erben ´es id˝oben. • Ugyan a hull´ am f¨ ugg az x, y, z koordin´at´akt´ol, a fentiek alapj´an el´eg az egydimenzi´os f¨ ugg´es´et t´ argyalni. • Ekkor Ex = Ex0 sin(kx − ωt + φx )
(10)
Ey = Ey0 sin(kx − ωt + φy )
(11)
Ez = Ez0 sin(kx − ωt + φz )
(12)
• Minden komponens f¨ uggetlen¨ ul v´altozhat, ak´ar m´as frekvenci´aval ´es hull´amsz´ammal is (a sebess´eg az´ert t¨ obbnyire ugyanaz), de a f´azis mindenk´eppen m´as lehet. • A halad´ asi ir´ anyra mer˝ oleges, k¨ ork¨or¨osen forg´o vektort kapunk, ha Ex = 0 (ez a hull´am halad´asi ir´anya)
(13)
Ey = Ey0 sin(kx − ωt)
(14)
Ez = Ez0 sin(kx − ωt + π/2)
(15)
azaz Ex0 = 0, φy = 0, φz = π/2. • Ezt k¨ ork¨ or¨ osen polariz´ alt hull´ amnak h´ıvjuk, l´asd a 5. ´abr´at.
2.
Rezg´ esek, a hull´ amok alapjai
2.1.
Harmonikus rezg˝ omozg´ as
• Legegyszer˝ ubb p´elda: m¨ x = −Dx, l´asd 6 ´es 6. ´abra. • Megold´ as (val´ os sz´ amokkal): x(t) = A · sin(ωt + phi) q p D odusid˝o T = 2π m • A k¨ orfrekvencia ω = m , a peri´ D. • Azonos frekvenci´ aj´ u rezg´esek ¨ osszet´etele: x1 (t) = A1 · sin(ωt + φ1 ) ´es x2 (t) = A2 · sin(ωt + φ2 ). 4
6. ´ abra. Balra fent: harm´ onikus oszcill´ator rezg´ese. Jobbra fent: harm´onikus rezg˝omozg´as ´es k¨ ormozg´ as. Balra lent: kiolt´ as ´es er˝ os´ıt´es. Jobbra lent: er˝oleges rezg´esek ¨osszet´etele. • Ekkor x(t) = A · sin(ωt + δ), ahol q A = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(φ2 − φ1 ), tan δ =
A1 sin φ1 + A2 sin φ2 . A1 cos φ1 + A2 cos φ2
(16) (17)
• Maxim´ alis er˝ os´ıt´es: A = A1 +A2 , φ1 = φ2 . Maxim´alis gyeng´ıt´es: A = |A1 −A2 |, |φ2 −φ1 | = π. L´ asd 6. ´ abra. • K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o frekvenci´ aj´ u rezg´esek ¨ osszet´etele: x1 (t) = A · sin(ω1 t) ´es x2 (t) = A · sin(ω2 t). ω1 +ω2 2 2 t) sin( t), ahol A∗ = 2A · cos( ω1 −ω t) az u ´j amplid´ ut´o. • Ekkor x(t) = 2A · cos( ω1 −ω 2 2 2 • Ez a lebeg´es. • Mer˝ oleges rezg´esek ¨ osszet´etele: x(t) = A · sin(ωt) ´es y(t) = B · sin(ωt + δ), l´asd 6. ´abra. y2 xy 2 x2 • Az ered˝ o mozg´ as: ellipszis, egyenlete A or, ha a f´azisk¨ ul¨onbs´eg 2 + B 2 − 2 AB cos δ = sin δ. K¨ π/2 ´es A = B.
2.2.
Csillap´ıtott rezg˝ omozg´ as
• Mozg´ asegyenlet: m¨ x + cx˙ + kx √ = 0. • Megold´ as: x(t) = Ae−zωt cos( 1 − z 2 ωt + φ), l´asd 7. ´abra. • K´enyszerrezg´esek: rezget˝ o er˝ o ⇒ ,,rezonanciakatasztr´ofa” (fa lenget´ese, h´ıd), l´asd 8. ´abra.
2.3.
A hull´ amegyenlet eredete
´ • ,,Hamis” hull´ am: egyenletesen eltolt f´azis´ u rezg´esek. Erdekesebbek az ,,igazi” hull´amok. • Rug´ oval o ¨sszek¨ ot¨ ott ing´ ak (rug´ ora mer˝oleges leng´es, l´asd 10. ´abra) 5
7. ´ abra. Csillap´ıtott rezg´es.
8. ´ abra. Er˝ os´ıt´es (azaz a rezget´es ´es a v´alasz-rezg´es amplit´ ud´oj´anak h´anyadosa) a frekvencia f¨ uggv´eny´eben (1 ´eppen a saj´ at-frekvenci´anak felel meg). L´athat´o, hogy csillap´ıt´as n´elk¨ ul a saj´ atfrekvencia k¨ orny´ek´en bek¨ ovetkezik a rezonancia-katasztr´ofa, m´ıg el´eg nagy csillap´ıt´as eset´en nem j¨ on l´etre er˝ os´ıt´es m´eg a saj´ atfrekvenci´an sem.
6
9. ´ abra. Rug´oval ¨osszek¨ot¨ott testek. • Torzi´ os sz´ alra r¨ ogz´ıtett v´ızszintes ,,s´ ulyz´ok” • Visszat´er´ıt˝ o er˝ o a szomsz´ed egys´eghez k´epesti elmozdul´ast´ol f¨ ugg. • Egyszer˝ u p´elda (l´ asd 9. ´ abra): sok test rug´okkal ¨osszek¨otve. Ekkor a rug´oer˝o, amely az i. poz´ıci´ oban l´ev˝ o testre hat: ∂2 ui (t) ∂t2 = −D[ui (t) − ui+1 (t)] − D[ui (t) − ui−1 (t)]
FNewton = m · a(t) = m · FHooke
(18) (19)
• Csin´ aljuk meg a k¨ ovetkez˝ o helyettes´ıt´est: ui → ux,t , mivel xi = i · h, ha minden k´et test k¨ oz¨ ott h a t´ avols´ ag. 2 2 ∂ 2 u(x,t) • Ad infinitum: ∂ u(x,t) = Dh ∂t2 m ∂x2 2 2 • Klasszikus hull´ amegyenlet: ∂∂t2u = c2 ∂∂xu2 avagy u = 0. • Hasonl´ oan a torzi´ os sz´ alra r¨ og´ıztett rudakkal, itt M = Θβ a Newton t¨orv´eny, ´es M = Gα a torzi´ os er˝ o. • A forgat´ onyomat´ekokra vonatkoz´ o egyenlet teh´at, ha az egyes rudak k¨oz¨ott a magass´agk¨ ul¨ onbs´eg h (azaz xi = ih): ∂2 αi (t) = G[αi+1 (t) − αi (t)] + G[αi−1 (t) − αi (t)] ∂t2 ∂2 ∂2 Θ · 2 α(x, t) = −h2 G 2 α(x, t) ∂t ∂x Θ·
(20) (21)
∂(vn) • M´ as egyszer˝ u eset: kontinuit´ asi egyenlet. ∂n ∂t + ∂x = 0. • Egyenlet magyar´ azata: az id˝ obeli v´altoz´as a cell´aba val´o ki/be ´araml´asb´ol eredhet csak. 2 2 • Itt, ha v =´ alland´ o, akkor egyszer˝ uen kij¨on: ∂∂tn2 = v 2 ∂∂xn2 .
2.4.
Az ´ altal´ anos hull´ amegyenlet
2 2 ´ • Altal´ anos forma: c12 ∂∂tφ2 = ∂∂xφ2 . • Vezess¨ unk be u ´j v´ altoz´ okat: a = x + ct ´es b = x − ct.
7
10. ´ abra. Elforgatott torzi´os sz´alon testek. • Ekkor a deriv´ altak ´ıgy m´ odosulnak: ∂φ ∂t ∂φ ∂x ∂2φ ∂t2 ∂2φ ∂x2
∂φ ∂φ + ∂a ∂b ∂φ ∂φ =c −c ∂a ∂b ∂2φ ∂2φ ∂2φ = 2 +2 + 2 ∂ a ∂a∂b ∂b 2 2 ∂ φ ∂ φ ∂2φ = c2 2 − 2c2 + c2 2 ∂ a ∂a∂b ∂b =
(22) (23) (24) (25)
2
∂ φ • Innen az egyenlet¨ unk ´ıgy ´ırhat´ o fel: ∂a∂b = 0. Ennek megold´asa φ(a, b) = F (a) + G(b) • Az eredeti koordin´ at´ akban az ´ altal´anos megold´as: φ(x, t) = F (x − ct) + G(x + ct). • Pontszer˝ u forr´ as eset´en ´erdemes a pontt´ol val´o t´avols´ag f¨ uggv´eny´eben vizsg´alni a megold´ asokat. n−1 • A hull´ amegyenletet n-dimenzi´ oban, pol´arkoordin´at´akban fel´ırva, ´es φ = r 2 ψ pr´obaf¨ uggv´enyt bevezetve:
∂ 2 φ (n − 1)(n − 3) ∂2φ − φ= 2 2 2 ∂r 4r ∂t
(26)
• Ez n = 1 esetben visszaadja az 1D hull´amegyenletet term´eszetesen, ´es ψ = φ. • K´et dimenzi´ oban nem a sima s´ıkhull´am g¨ombi (itt k¨ornek megfelel˝o) alakja a megold´as, teh´at a k¨ or-alak´ u hull´ amok terjed´ese bonyolultabb, ,,ut´orezg´esek” l´epnek fel. • H´ arom dimenzi´ oban is sima s´ıkhull´am-megold´as ´erv´enyes φ-re, ´es ψ = φ/r. Ez mutatja az amplit´ ud´ o kifel´e val´ o gyeng¨ ul´es´et.
2.5.
A Fourier-t´ etel
• 1807., Joseph Fourier: 2π-periodikus f¨ uggv´enyek, amelyek integr´alhat´oak a [−π, π] intervallumon, ,,sorba fejthet˝ o ek”, l´ a sd 11. a ´ bra. P∞ • A sor: f (x) = a20 + n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)]. • Egyszer˝ u p´elda: f (x) = x, ha −π < x < π ´es periodikusan v´altozik. Z 1 π an = x cos(nx) dx = 0, n ≥ 0. (27) π −π Z 1 π 2 2 (−1)n+1 bn = x sin(nx) dx = − cos(nπ) + 2 sin(nπ) = 2 , n ≥ 1. (28) π −π n n π n 8
11. ´ abra. A Fourier t´etel alkalmaz´asa. ´ • Altal´ anos´ıt´ as: komplex sz´ amok, t¨ obb dimenzi´o, m´as intervallumok. • Nincs periodicit´ as ⇒ Fourier-transzform´aci´o (nem index´alt koefficiensek, hanem u ´j f¨ uggv´eny). • Ha van periodicit´ as ⇒ Fourier-t´etel ´erv´enyes ⇒ szinuszf¨ uggv´enyek ¨osszegek´ent ´ertelmezhet˝o minden f¨ uggv´eny a Fourier t´etel miatt. • Ez´ert hull´ amok eset´eben a Fourier-komponensek ¨osszeg´ere bontjuk a hull´amalakot, ´es ´ıgy mindig szinuszhull´ amokr´ ol vagy azok ¨osszeg´er˝ol besz´elhet¨ unk.
3.
Mechanikai hull´ amok, a hanghull´ am
3.1.
Bevezet´ es
• G´ aznem˝ u k¨ ozegekben a kontinuit´asi egyenlet alapj´an hull´amok szabad terjed´ese val´osulhat meg. • Ezek t¨ obbnyire longitudin´ alis hull´ amok: a hull´amterjed´es ir´any´aban oda-vissza mozg´o r´eszecsk´ek hozz´ ak l´etre a s˝ ur˝ us´eg-fluktu´ aci´okat • Szil´ ard testekben oszcill´ atorok lehetnek, itt transzverz´alis ´es longitudin´alis hull´amok is haladhatnak ´es keletkezhetnek • V´ızben a felsz´ınen l´ev˝ o r´eszecsk´ek kb k¨ormozg´ast v´egeznek (ahogy ezt kimutatt´ak); itt a gravit´ aci´ o ´es a fel¨ uleti fesz¨ ults´eg adja a hull´amz´ast
9
• El´eg m´ely v´ızhull´ amokn´ al a terjed´esi sebess´eg c = • • • • • •
3.2.
q
gλ 2π
+
2πα ρλ ,
ahol λ a hull´amhossz, g a √ neh´ezs´egi gyorsul´ as, ρ a s˝ ur˝ us´eg ´es α a fel¨ uleti fesz¨ ults´eg. Sek´ely v´ızben c = gh. q ∂p G´ aznem˝ u k¨ ozegekben, kis s˝ ur˝ us´egfluktu´aci´ok eset´en a hull´am terjed´esi sebess´ege c = ∂ρ Ez leveg˝ oben nulla Celsius fokon kb 330 m/s, hidegben lassabb, melegben gyorsabb. Hidrog´eng´ azban az 1300 m/s ´ert´eket is el´erheti, mivel az atomt¨omeggel ford´ıtottan ar´anyos. Egyatomos g´ azokban 1.1× nagyobb, mint hasonl´o k´etatomos h´azban. V´ızben 1500 m/s k¨ or¨ ul van, m´ as folyad´ekokban 1000-2000 m/s k¨oz¨ott van. Szil´ ard anyagokban a kem´enys´eg gy¨ok´evel ar´anyos, ac´elban 5-6000 m/s, gy´em´antban 12000 m/s, m´ıg ´ olomban alig 1000 m/s f¨ol¨otti.
Szeizmikus hull´ amok
• A szeizmikus hull´ amok terjed´ese a fentiekhez hasonl´oan m˝ uk¨odik. A t¨or´esn´el a F¨old k¨ ul¨onb¨oz˝o s˝ ur˝ us´eg˝ u r´etegei befoly´ asolj´ ak a terjed´est, l´asd 17. ´abra • N´egyf´ele alaphull´ am: fel¨ uleti ´es t´erfogati, longitudin´alis (P, azaz primary, ez a fenti sebess´eggel terjed) ´es transzverz (S, azaz secondary, mert ez felakkora sebess´eg˝ u) • T´ avols´ ag meghat´ arozhat´ o a k´et hull´am id˝ok¨ ul¨onbs´eg´eb˝ol. Pontos id˝o ´es m´elys´eg (40-700 km) meghat´ aroz´ as´ ahoz sok m´er´est haszn´alnak. Marad´ek: 0.1 s.
3.3.
A hang fizik´ aj´ anan alapjai
• A rugalmas k¨ ozegekben fell´ep˝ o mechanikai rezg´est h´ıvjuk hangnak; 20-20000 Hz k¨oz¨ott a leveg˝ on kereszt¨ ul halljuk. • A Fourier-t´etel miatt sok rezg´esnek esik ebbe a tartom´anyba valamely komponense; tiszta hangn´ al is vannak felhangok. • Els˝ o vizsg´ alatok a hang terjed´es´er˝ol: mechanikus szir´en´ak, l´asd 12. ´abra. • Hangban r´eszecsk´ek kit´er´ese, sebess´ege ´es a k¨ozeg nyom´asa is hull´amszer˝ uen v´altozik. ¨ • A kit´er´es v´ altoz´ asa: ξ = ξ0 sin(ω(x − ct)). A nyom´as gradiense az er˝o, teh´at p0 = −ρξ. • A nyom´ as v´eg¨ ul p = p0 + ρωcξ0 cos(ω(x − ct)). • A nyom´ ashull´ a ud´ oja teh´ at pA = ρωcξ0 , ezt logaritmikusan ´erz´ekelj¨ uk: m amplit´ pA Lp = 20 log10 pr • Ezt h´ıvjuk decibelnek [dB], itt a referencia-nyom´as pr a legkisebb ´erz´ekelhet˝o nyom´asampli´ t´ ud´ o. Altal´ aban 20 µPa leveg˝ oben. • Az energias˝ ur˝ us´eg: = 0.5ρω 2 ξ02 = 0.5p2A /(c2 ρ). Az intenzit´as: I = c0.5ρ0 ωξ02 = 0.5p2A /(cρ0 ) • A legkisebb ´erz´ekelhet˝ o energias˝ ur˝ us´eg frekvenciaf¨ ugg˝o, l´asd 13. ´abra, 1000 Hz frekvenci´an kb. I0 = 10−12 W/m2 . Leveg˝ o eset´en ebb˝ol ξ0 = 10−11 m. • A hangintenzit´ as a t´ avols´ aggal n´egyzetesen cs¨okken. Tipikus intenzit´asok: besz´ed 10−5 2 −1 W/m m, zongora 10 W/m2 , er˝ os hangsz´or´o 102 W/m2 .
• Hangoss´ ag vagy hangnyom´ asszint d = 10 log10 II0 , dB-ben. A phon eset´en I0 (f ) frekvenciaf¨ ugg˝ o k¨ usz¨ ob´ert´eket haszn´ alunk. • Az intenzit´ as a nyom´ asamplit´ ud´ o n´egyzet´evel ar´anyos, ez´ert ez n´egyzetesen cs¨okken a t´avols´aggal. Ezt j´ ozan ´esszel is l´ athatjuk: ugyanakkora teljes´ıtm´eny oszlik el egyre nagyobb g¨ombugg´est k´ıs´erletileg is igazolhatjuk. fel¨ uleteken, ugyanis I = P/A = P/(4πR2 ). Ezt a f¨ • A hangnyom´ asszint t´ avols´ agf¨ ugg´ese ekkor d = 10 log II0 = 10 log 4πRP2 I0 . P P = 10 log 4π4R = 10 log 4πRP2 I0 − • A t´ avols´ agot k´etszeres´ere n¨ ovelve: d0 = 10 log 4π(2R) 2I 2I 0 0 10 log 4. • A t´ avols´ agot fix ar´ anyban n¨ ovelve teh´at ugyanannyit cs¨okken a hangnyom´asszint, azaz a hang´erzet.
3.4.
A hang forr´ asai
• Testek saj´ at rezg´esei a saj´ atfrekvenci´akon, ´all´ohull´amok t¨obbnyire • Er˝ os´ıt´es: rezonancia a hangsug´ arz´oval; ez befoly´asolja a hangsz´ınt. A hangsug´arz´o adja a hangszer l´enyeg´et von´ os hangszerek eset´eben. 10
12. ´ abra. Mechanikus hangkelt´es Seebeck-f´ele szir´en´aval.
13. ´ abra. A hangintenzit´as, hangoss´ag ´es frekvencia ¨osszef¨ ugg´ese.
11
14. ´abra. Chladni ´abr´ak. • Legjobb a g¨ omb alak´ u membr´ an lenne, de a s´ık membr´anok is j´ol adj´ak ´at a hangot. • H´ urok rezg´ e sei: l hossz´ u s´ a g´ u h´ uron fn = nc/2l frekvenci´ak lehets´egesek ´all´ohull´ammal. Itt p c = F/Aρ, ahol F a fesz´ıt˝ o er˝ o, A a keresztmetszet ´es ρ a s˝ ur˝ us´eg. Az f1 frekvenci´an fel¨ ul az fn felhangok is megjelennek, a sug´arz´o t´erfogat er˝os´ıt´es´et˝ol f¨ ugg˝oen k¨ ul¨onb¨oz˝o ar´anyban. • Egyes hangok gyenge ´erint´essel megsz˝ untethet˝oek - pl k¨oz´epen l´ev˝o ´erint´esn´el az alaphang ak´ ar. • A h´ ur igen rossz hangsug´ arz´ o egy´ebk´ent. • P´ alc´ ak ´es membr´ anok rezg´esei bonyolultabbak, t¨obb lehet˝os´eg van. L´asd 14. ´abra, a Chladni abr´ ´ ak eredeti rajza. • S´ıpok: leveg˝ ooszlop rezg´esei. Itt a k¨ozegbeli hangsebess´eg hat´arozza meg a frekvenci´akat. • Hangszerek hangsz´ın´et a felhangok ar´anya hat´arozza meg, l´asd 15. ´abra.
3.5.
A hang terjed´ ese
• Visszaver˝ od´es ´es elnyel˝ od´es, indik´ ator l´anggal vizsg´alhat´o p´eld´aul. Visszhang jelens´ege haszn´alhat´ o m´elys´egm´er´esre p´eld´ aul. • Fontos alkalmaz´ as: sz´ ocs˝ o ´es hall´ ocs˝o • T¨ or´es ugyan´ ugy, mint a f´enyhull´amokn´al: alapja a Huygens-Fresnel elv (a hull´amfel¨ ulet minden pontja elemi hull´ amok kiindul´opontja). • A terjed´esi sebess´eg v´ altoz´ asa miatt elhajlik a hull´amfront, l´asd 16. ´abra. • D´elib´ abhoz hasonl´ oan felfel˝ o n¨ oveked˝o h˝om´ers´eklet eset´en messzebbre hallatszik a hang, ´es ford´ıtva. • Nem nagyon magas hanghoz k´epest a term´eszetes akad´alyok m´erete el´eg nagy, ´ıgy k¨onnyen jelentkezik elhajl´ as. • Elnyel´es: exponenci´ alisan cs¨ okken˝o intenzit´as (bels˝o s´ url´od´as, h˝ovezet´es; ultrahangokn´al molekul´ an bel¨ uli rezg´esek). • Doppler-hat´ as: f = • Levezet´es: ´ or´ an volt
1±vm /c 1∓vf /c
f0 (vm a megfigyel˝o, vf a forr´as k¨ozeghez k´epesti sebess´ege).
12
15. ´ abra. Az egyes hangforr´ asok hangsz´ın´et az alap-frekvenci´ahoz kapcsol´od´o felhangok adj´ak meg.
16. ´ abra. A Huygens-Fresnel elv alkalmaz´asa hull´amok terjed´es´en´el
17. ´ abra. Szeizmikus hull´amok mozg´asa, s ´es p hull´amok 13
3.6.
Hangsorok, konszonancia ´ es disszonancia
• Hangok egyszerre hangz´ as´ an´ al a f1 /f2 hangk¨oz hat´arozza meg a konszonanci´at. abszol´ ut konszonancia: 2:1 (okt´ av), teljes konszonancia: 3:2 (kvint), 4:3 (kvart), egy´eb: 5:4 (nagy terc) 6:5 (kis terc). • Helmholtz szerint a lebeg´esek miatt lesz k´et hang disszon´ans, m´as magyar´azatok is vannak (pl Stumpf: ¨ osszeolvad´ asi ´erzet). • Konszon´ ans h´ armashangzat: ha minden hangk¨oz konszon´ans (1:5/4:3/2 vagy 1:6/5:3/2). • Hangsor: 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2 (d´ ur); 1, 9/8, 6/5, 5/4, 4/3, 3/2, 8/5, 9/5, 2 (moll). • Szomsz´edos hangok k¨ oz¨ ott 9/8 (nagy eg´esz hang), 10/9 (kis eg´esz hang) vagy 16/15 (nagy f´elhang). Egym´ as k¨ oz¨ otti k¨ ul¨ onbs´eg lehet 25/24 is, ez a kis f´elhang. • Legyen ugyanaz a hangsor (hangk¨oz¨ok egym´asut´anja) m´asik hangr´ol kiindulva is lej´atszhat´o! Ez t´ ul b˝ o sk´ al´ at k¨ ovetelne meg, ez´ert csak azokat nevezik u ´j hangoknak, ahol 25/24 a k¨ ul¨ onbs´eg lefel´e ´es felfel´e is (’isz’ ´es ’esz’). Ez 21 hang. Sok, ez´ert 12 egyenl˝o hangk¨oz. Ekkor 2 = δ 1/12 , azaz δ = 1.0595. • J´ oltempor´ alt sk´ ala: a kvint (g) 1,05955 =1,4983 3/2 helyett. R¨ogz´ıtett hangokkal b´ır´o hangszerekben ezt a hangol´ ast alkalmazz´ak. H´ uros hangszerekn´el persze lehet vari´alni. • A hangol´ ashoz haszn´ alt alaphang: 1939 ´ota 440 Hz (azel˝ott 435 Hz volt). Eszerint az egyvonalas c, azaz c1 261,63 Hz (9 hangk¨ozzel arr´ebb), fizikai hangol´asban viszont 256 Hz. ¨ • Szubkontra: kis c-n´el 3 okt´ avval lejjebb. Otvonalas c: 4096 Hz. • Ultra- ´es infrahangok: nem hallhat´oak, de sok alkalmaz´asuk van...
4.
Az elektrom´ agneses hull´ amok eredete
4.1.
A differenci´ alsz´ am´ıt´ as alapjai
• A Maxwell-egyenletek meg´ert´es´ehez ez sz¨ uks´eges... • Fogalmak: r = (x, y, z) koordin´ ata-vektor, φ(r) skal´arf¨ uggv´eny, a(r) vektorf¨ uggv´eny vagy mez˝ o, l g¨ orbe, A fel¨ ulet, V t´erfogat. • Gradiens – – – –
Vessz¨ uk az ir´ anymenti deriv´ altakat k¨ ul¨onf´ele e egys´egvektorok ir´any´aba: A gradiens ir´ anya ez az ir´ any A legnagyobb ir´ anymenti deriv´alt a gradiens nagys´aga Bel´ athat´ o, hogy gradφ = (∂x φ, ∂y φ, ∂z φ).
d ds φ(r
+ se).
• Divergencia – Az a vektorf¨ uggv´eny integr´ alja egy z´ uleten nem m´as, mint az abb´ol a fel¨ uletb˝ol Rart fel¨ val´ o ,,ki´ araml´ as”, vagy fluxus, ΦA = A adA – Ha ezt a fluxust elosztjuk a fel¨ uleten bel¨ uli t´erfogattal, akkor az ´atlagos forr´ass˝ ur˝ us´eget kapjuk, ez ΦA /V . – Ha ezt a t´erfogatot annyira cs¨okkentj¨ uk, hogy m´ar csak egy pont van benne (matematikailag a hat´ ar´ert´ek seg´ıts´eg´evel), akkor az adott pontban vett forr´ass˝ ur˝ us´eget kapjuk. – Ez ´eppen az abban a pontban vett divergencia: diva = limV →0 ΦVA . – Ha egy mez˝ onek vannak forr´asai, akkor van divergenci´aja is. Forr´asmentess´eg: nulla divergencia. – Matematikailag bel´ athat´ o, hogy diva = ∂x ax + ∂y ay + ∂z az . • Rot´ aci´ o R Az a vektormez˝ o integr´ alja egy z´art g¨orb´en: ¨orv´eny vagy cirkul´aci´o: Ol = l adl. ´ Atlagos orv´enyer˝ ¨ oss´eg a fel¨ uleten: Ol /A Ha a g¨ orb´et r´ ah´ uzzuk egy pontra (hat´ar´ert´ekkel), akkor az adott pontban vett ¨orv´enyer˝ oss´eget kapjuk. – Ez m´ asn´even a rot´ aci´ o: rota = limA→0 OAl ¨ enymentess´eg: nulla rot´aci´o. – Ha egy mez˝ oben vannak ¨ orv´enyek, akkor van rot´aci´oja. Orv´ – Matematikailag bel´ athat´ o, hogy rota = (∂y az − ∂z ay , ∂z ax − ∂x az , ∂x ay − ∂y ax ) – – –
14
18. ´ abra. Illusztr´aci´o a Stokes t´etel bizony´ıt´as´ahoz • Ha vessz¨ uk a ∇ = (∂x , ∂y , ∂z ) vektort, akkor gradφ = ∇φ, diva = ∇a ´es rota = ∇ × a, ahol az utols´ o szorz´ as a vektorszorz´ as, el˝otte pedig skal´aris szorz´as van. • Stokes-t´etel – Ha egy fel¨ uletet felosztunk kis elemekre, akkor egy infinitezim´alisan kicsi, dA fel¨ ulet˝ u R elemre rotadA = l adlR R – Ezeket fel¨ osszegezve A rotadA = l adl, mivel a kis fel¨ uletek hat´ar´ara vett vonalintegr´ al´ as kiesik, csak a k¨ uls˝ o g¨orbe marad (l´asd (18 ´abra). – Ez a Stokes-t´etel, ahol az l z´art g¨orbe az A fel¨ ulet hat´ara. • Gauss-t´etel – Ha egy t´erfogatot Rfelosztunk kis elemekre, akkor egy infinitezim´alisan kicsi, dV fel¨ ulet˝ u elemre divadV = A adA – Ezeket fel¨ osszegezve aR Stokes-t´etelhez uletek. R hasonl´oan kiesnek a hat´arol´o fel¨ – V´eg¨ ul a Gauss-t´etel: V divadV = A adA, ahol az A z´art fel¨ ulet a V t´erfogat hat´ara. • A Laplace-oper´ atort is defini´ alhatjuk: ∆ = ∇2 , azaz ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 . • Egy dimenzi´ oban a m´ asodik deriv´ alt a f¨ uggv´eny konvexit´as´at vizsg´alja: f 00 > 0 eset´en konk´av, 00 f < 0 eset´en konvex. • Ezt u ´gy is megfogalmazhatjuk, hogy a f¨ uggv´eny az adott pontban kisebb vagy nagyobb mint a ,,k¨ ornyezeti ´ atlag”. • A Laplace-oper´ atornak is ez a szeml´eletes jelent´ese, a f¨ uggv´eny ´ert´eke a k¨ornyezeti ´atlaghoz k´epest.
4.2.
Az elektrom´ agnesess´ eg t¨ orv´ enyei
• Elektromos t´erer˝ oss´eg: er˝ o/pr´ obat¨olt´es. Er˝ovonal: t´erer˝oss´eg ennek ´erint˝oje, s˝ ur˝ us´eg¨ uk a t´erer˝ oss´eg nagys´ aga. Fluxus: fel¨ uleti er˝ovonal-s˝ ur˝ us´eg, t´erer˝oss´eg×fel¨ ulet • Gauss: z´ art t´erben l´ev˝ o t¨ olt´es ar´ anyos a fel¨ uleten m´ert t´erer˝oss´eggel. G¨ombre ´es pontt¨olt´esre 2 2 egyszer˝ uen bel´ athat´ o : E = kQ/R , A = 4πR , EA = 4πkQ. H R Q 1 • Integr´ alis alakban: EdA = 0 = 0 ρdV . H R • A Gauss (vagy Gauss-Bolyai) t´etel alapj´an EdA = divEdV . Ezt alkalmazva: R matematikai R divEdV 10 ρdV • Mivel ez tetsz˝ oleges t´erfogatra igaz, ez´ert a k´et oldal ,,integr´al´as n´elk¨ ul” is megegyezik: divE = ρ0 . • M´ agneses indukci´ ovektort defini´ aljuk, RR ez mozg´o t¨olt´esekre hat Lorentz-er˝ovel. M´agneses fluxust ugyan´ ugy defini´ alhatjuk: ΦB = BdA. • Mivel a ,,t¨ olt´ess˝ ur˝ us˝ ug” itt nulla, azaz nincsenek m´agneses t¨olt´esek (monop´olusok), a m´agneses Gauss-t¨ orv´eny szerint art fel¨ uleten a m´agneses fluxus nulla. RR z´ • Integr´ alis alakban ⊂⊃∂VBdA = 0, differenci´alisan ∇B = 0. B • Indukci´ o jelens´ege: Uind = − ∂Φ ∂t .
15
H R RR • Ez art vonalra fel´ırva: Edl = − ∂B etel szerint: rot EdA = ∂t dA. A matematikai Stokes t´ H z´ Edl. ∂B • Innen j¨ on a Maxwell-Faraday egyenlet: ∇ H × E = − ∂t • Az utols´ o t¨ orv´eny az Ampere t¨ orv´eny: Bdl = µ0 I, azaz a m´agneses indukci´o z´art vonal menti integr´ alja ar´ anyos a vonal a´ltal bez´art fel¨ uleten ´atfoly´o ´arammal. E • Maxwell: ezt igaz´ ab´ ol ki kell eg´esz´ıteni az u ´.n. eltol´asi ´arammal, I → I + 0 ∂Φ ∂t , mivel az elektromos t´erer˝ oss´eg v´ altoz´ asa is m´agneses teret kelt. • Ezt megintcsak a Stokes-t´etel alapj´an ´atalak´ıtva ∇ × B = µ0 J + µ0 0 ∂E ∂t .
4.3.
Maxwell-egyenletek
• A fentiek alapj´ an ¨ ossze´ all´ıthatjuk a Maxwell-egyenletek rendszer´et: ρ 0 divB = 0 ∂B rotE = − ∂t divE =
rotB = µ0 J + µ0 0
(29) (30) (31) ∂E ∂t
(32)
• T¨ olt´esek (´es ´ aram) n´elk¨ uli t´erben: divE = 0
(33)
divB = 0
(34)
∂B rotE = − ∂t ∂E rotB = µ0 0 ∂t
(35) (36)
• Ezt a rendszert kell megoldanunk!
4.4.
Elektrom´ agneses sug´ arz´ as
• A rot rot A = grad div A - ∆A ¨osszef¨ ugg´est felhaszn´aljuk, ´es egym´asba helyettes´ıtj¨ uk az egyenleteket. • Ekkor
• • • • •
∂2E − c2 · ∇ 2 E = 0 (37) ∂t2 ∂2B − c2 · ∇2 B = 0 (38) ∂t2 √ √ √ ahol c = 1/ µ a f´enysebess´eg. V´akuumban c = 1/ µ0 0 . A t¨or´esmutat´o: n = µr r Az ´ altal´ anos megold´ as a szok´ asos G(ωt − kr). Spektr´ alis dekompoz´ıci´ o a Fourier t¨orv´eny szerint: minden egyes hull´amhosszn´al adott amplit´ ud´ oj´ u komponens. Visszahelyettes´ıtve a rot´ aci´ ot tartalmaz´o egyenletbe azt kapjuk, hogy k × E0 = ωB0 . Azaz egyr´eszt k, E ´es B mindig mer˝ olegesek egym´asra. M´asr´eszt |E| = c|B|. Polariz´ aci´ o: a k´et mer˝ oleges vektor kezd˝of´azis´at´ol f¨ ugg. Vezess¨ uk be a k ir´ any´ u koordin´ atarendszert, azaz k = (|k|, 0, 0). Ekkor a t´erkoordin´at´akb´ol csak az x marad. A megold´ asunk ´ıgy n´ez ki teh´at: Ex = Ex0 sin(kx − ωt + φx )
(39)
Ey = Ey0 sin(kx − ωt + φy )
(40)
Ez = Ez0 sin(kx − ωt + φz )
(41)
16
• Minden komponens f¨ uggetlen¨ ul v´altozhat, ak´ar m´as frekvenci´aval ´es hull´amsz´ammal is (a sebess´eg az´ert t¨ obbnyire ugyanaz), de a f´azis mindenk´eppen m´as lehet. • Ha minden f´ azis ugyanakkora (azaz vehet˝o null´anak), akkor adott ir´anyban polariz´alt a hull´ am. Egyszerre t¨ obb ir´ any´ u hull´am is jelen lehet. • Erre hatnak a polariz´ aci´ os sz˝ ur˝ ok (f´enyk´epez˝og´ep sz˝ ur˝ok, polaroid napszem¨ uveg). A visszavert napf´eny polariz´ aci´ ojat ki lehet sz˝ urni. • Vikingek navig´ aci´ oja: sz´ ort napf´eny polariz´aci´oja mutatja a Nap ir´any´at felh˝os id˝oben is. • A halad´ asi ir´ anyra mer˝ oleges, k¨ ork¨or¨osen forg´o vektort kapunk, ha Ex = 0 (ez a hull´am halad´asi ir´anya)
(42)
Ey = Ey0 sin(kx − ωt)
(43)
Ez = Ez0 sin(kx − ωt + π/2)
(44)
azaz Ex0 = 0, φy = 0, φz = π/2. • Ezt k¨ ork¨ or¨ osen polariz´ alt hull´ amnak h´ıvjuk, l´asd a 5. ´abr´at. ∂ 0 E 2 /2 + B 2 /2µ0 , ha • A Maxwell-egyenletekb˝ ol m´eg kij¨ on a k¨ovetkez˝o is: −∇ µ10 E × B − ∂t a rot´ aci´ os egyenleteket E-vel ´es B-vel szorozzuk. • A sug´ arz´ as energi´ aj´ at a Poynting-vektor ´ırja le (teljes´ıtm´eny-s˝ ur˝ us´eg): S = E × B/µ0 . Az energias˝ ur˝ us´eg: 0 E 2 /2 + B 2 /2µ0 . Az impulzuss˝ ur˝ us´eg S/c2 lesz. Az energi´at kvantumok hordozz´ ak, a fotonok. Egy kvantum energi´aja E = hf , ahol h = 6, 6 × 10−34 m2 kg/s = 1240 MeV fm. • A frekvenci´ at´ ol f¨ ugg˝ oen sokf´ele t´ıpus´ u sug´arz´as k´epzelhet˝o el: Sug´ arz´ as t´ıpusa Frekvencia-tartom´any Hull´amhossz Energia Gamma > 30 EHz <10 pm > 100 keV Er˝ os RTG 3-30 EHz 10-100 pm 10-100 keV Gyenge RTG 3-3000 PHz 0,1-10 nm 0,1-10 keV Extr´em UV 3-30 PHz 10-100 nm 10-100 eV Ultraibolya 0,75-3 PHz 100-400 nm 1-10 eV L´ athat´ o f´eny 350-750 THz 400-800 nm 5 eV Infrav¨ or¨ os 0,3-350 THz 1-1000µ m 1-1000 meV Extr´em magas frekvencia (EHF) 30-300 GHz 1-10 mm Szuper-magas frekvencia (SHF) 3-30 GHz 1-10 cm Ultra-magas frekvencia (UHF) 0,3-3 GHz 10-100 cm Nagyon magas frekvencia (VHF) 30-300 MHz 1-10 m Magas frekvencia (HF) 3-30 MHz 10-100 m K¨ oz´ep frekvencia (MF) 0,3-3 MHz 100-1000 m Alacsony frekvencia (LF) 30-300 kHz 1-10 km Nagyon alacsony frekvencia (VLF) 0,3-30 kHz 10-1000 km Extr´em alacsony frekvencia (ELF) 100-300 Hz >1000 km • Sug´ arz´ asr´ ol szigor´ uan v´eve akkor besz´el¨ unk, ha a forr´ast´ol t¨obb hull´amhossznyi t´avols´agban vagyunk.
4.5.
Nagyfrekvenci´ as eszk¨ oz¨ ok sug´ arz´ asa
• • • • •
Mobiltelefon, mikrohull´ am´ u s¨ ut˝ o, WiFi eszk¨oz¨ok, vezet´ek n´elk¨ uli telefon, stb. Mindnek van saj´ at, keskeny frekvencias´avja, az 1-2 GHz-es tartom´anyban Itt a hull´ amhossz a cm-es tartom´ anyba esik, ez´ert sug´arz´asr´ol besz´elhet¨ unk. A sug´ arz´ as intenzit´ as´ at m´erhetj¨ uk, W/m2 m´ert´ekegys´egben. Pontszer˝ u forr´ asr´ ol van sz´ o, ez´ert az intenzit´as a hanghoz hasonl´oan a t´avols´ag n´egyzet´evel cs¨ okken ´ • Altal´ aban ezek az eszk¨ oz¨ ok adatcsomagokat k¨ uldenek, ez´ert nagyon v´altoz´o a sug´arz´as teljes´ıtm´enye
4.6.
Alacsonyfrekvenci´ as eszk¨ oz¨ ok sug´ arz´ asa
• Nagyfesz¨ ults´eg˝ u t´ avvezet´ek, h´ aztart´asi eszk¨oz¨ok (TV, hajsz´ar´ıt´o) 17
• Itt az elektromos h´ al´ ozat 50 Hz frekvenci´aj´at ´eszlelj¨ uk • Kiv´eve a TV eset´eben, ott az elektronokat elt´er´ıt˝o elektrom´agnes 20-30 kHz k¨or¨ uli frekvenci´ aj´ at • 50 Hz eset´eben a hull´ amhossz a F¨old sugar´aval egyezik meg k¨or¨ ulbel¨ ul • Szigor´ uan v´eve sug´ arz´ asr´ ol nem besz´elhet¨ unk, ez´ert nem az intenzit´ast m´erj¨ uk, hanem az elektromos vagy m´ agneses t´er v´ altakoz´as´at • Hajsz´ ar´ıt´ o eset´eben a m´ agneses t´er el´erheti a 100 µT k¨or¨ uli eg´eszs´eg¨ ugyi hat´ar´ert´eket (r¨ovid id˝ ore) • Itt az elektromotor elektrom´ agnese okozza a m´agneses teret µ0 I , ha I ´aram folyik a • T´ avvezet´ek eset´eben az Ampere t¨orv´ennyel sz´amolhat´o a t´er: B = 2πR vezet´ekben ´es R t´ avols´ agra vagyunk t˝ole • Mivel az ´ aram szinuszus, I = I0 sin(ωt), ez´ert a m´agneses t´er is szinuszosan v´altozik • A v´ altoz´ o m´ agneses teret tekerccsel lehet m´erni, a tekercsben ugyanis ez fesz¨ ults´eget induk´al, ˙ ahol N a tekercs menetsz´ama ´es A a fel¨ a Faraday t¨ orv´eny szerint: Ui = −N AB, ulete, B˙ pedig a m´ agneses t´er id˝ obeli v´ altoz´asa. 0 I0 cos(ωt), azaz a fesz¨ ults´eg amplit´ ud´oja U0 = • Behelyettes´ıtve azt kapjuk, hogy Ui = −N A µ2πR µ 0 I0 N A 2πR . • Ezt m´erhetj¨ uk szokv´ anyos fesz¨ ults´egm´er˝o eszk¨ozzel, ´ıgy meghat´arozhatjuk a vezet´ekben foly´o aram er˝ ´ oss´eg´et.
18
