Készítette: Jánki Zoltán Richárd
Robert Aumann (1930) Izraeli-amerikai matematikus 1974-ben általánosította a
Nash-egyensúlyt 2005-ben közgazdasági Nobel-díjat kapott (kooperatív és nem-kooperatív játékok)
A stratégiák összes kombinációján (X) adjunk meg egy eloszlást (z) Az eloszlás (z) szerint egy megfigyelő választ egy x X-et, ami alapján mindkét játékos megkapja, hogy mely stratégiát kell játszaniuk (létezik publikus eset is) Csak a stratégiát ismerik, a választott x-et nem Az eloszlás korrelált egyensúly, ha egyik játékosnak sem éri meg eltérni a megfigyelő javaslatától (tfh.: más sem tér el)
Bimátrix játék vizsgálata (m x n) z eloszlás a mátrixon, és A
B
A
z11
z12
B
z21
z22
Várható kifizetések:
1. játékos (i. sor):
2. játékos (j. oszlop):
Nemek harca
R=
Opera Football
Opera (2,5) (0,0)
Football (0,0) (5,2)
Az eloszlásunkat határozza meg egy érmefeldobás (fej/írás) Fej esetén Opera/Opera Írás esetén Football/Football
½ - ½ valószínűség
Az egyes stratégiakombinációkhoz rendelt valószínűségek felírhatók mátrixként
A
B
A
z11
z12
B
z21
z22
O
F
O
1/2
0
F
0
1/2
½+0+0+½=1
A várható nyereséget az eloszlás és kifizetési mátrix lineáris kombinációja adja z11 * R(O,O) + z12 * R(O,F) + z21 * R(F,O) + z22 * R(F,F) ½ * 2 + 0 * 0 + 0 * 0 + ½ * 5 = 7/2 = 3,5
A bimátrix játék egyes mezőiben szereplő értékpárok a hozzájuk tartozó valószínűségekkel együtt korrelált stratégia párokat alkotnak
Ha az eloszlásban valamely stratégiapárt 1 valószínűséggel játsszák, akkor az tiszta stratégiapár.
Amennyiben a valószínűségek mátrixa az alábbi formában kerül felírásra: A B
A qr [1-q]r
B q[1-r] [1-q][1-r]
akkor kevert stratégiapárokról beszélünk.
Tulajdonképpen, ha az 1. játékosnak az A stratégiát javasoljuk, akkor azt ő z11 + z12 valószínűséggel játssza. Ennek ismeretében viszont, ha a 2. játékosnak az A stratégiát javasoljuk, akkor azt ő z11 / (z11 + z12) valószínűséggel játssza. A
B
A
z11
z12
B
z21
z22
Mindkét játékos maximalizálni szeretné a várható nyereségét a kapott javaslat függvényében Ennélfogva, ha az 1. játékos elfogadja a javaslatot az A stratégiára, akkor a várható nyeresége: z11*R(A,A) / (z11 + z12) + z12*R(A,B) / (z11 + z12)
Ha figyelmen kívül hagyja a javaslatot: z11*R(B,A) / (z11 + z12) + z12*R(B,B) / (z11 + z12)
z11*R(A,A) / (z11 + z12) + z12*R(A,B) / (z11 + z12) z11*R(B,A) / (z11 + z12) + z12*R(B,B) / (z11 + z12)
z11*R(A,A) + z12*R(A,B) z11*R(B,A) + z12*R(B,B)
Antoine Augustine Cournot (1801-1877) Francia filozófus, matematikus Nagyban hozzájárult a közgazdaságtanhoz
Cournot duopólium: Adott két vállalat, amely azonos minőségben ugyanazt a terméket állítja elő. Céljuk, a profit maximalizálása, és csak a kibocsátott termékek mennyiségéről dönthetnek.
A vállalatok rendelkeznek egy ún. reakciófüggvénnyel. A két vállalat reakciófüggvényének metszéspontjában található a Cournotegyensúly. Ebben a pontban a másik kibocsátására vonatkozó becslés = ténylegessel.
Maximalizálási feladatunk van, és a bevételt egy kétváltozós függvény adja meg. Ahol az első derivált 0, ott a függvénynek szélsőértéke van. Deriváljunk parciálisan, mégpedig a vállalat saját bevételi függvényét a saját kibocsátás szerint.
Ágazati kibocsátás: q = q1 + q2 Keresleti függvény: 100 - q Bevétel: f1 = (100 - (q1 + q2)) * q1 f2 = (100 - (q1 + q2)) * q2 f1’ = 100 – 2q1 – q2=0 f2’ = 100 – 2q2 – q1=0
(q2 rögzített) (q1 rögzített)
q2 = 100 – 2q1 q1 = 100 – 2q2
Keresleti függvénybe visszahelyettesítve: 100-2(100-2q1)-q1 = 0 q1 = 100/3 = q2 f1 = 10000/9 f2 = 10000/9
-100+3q1 = 0 q = 200/3
Ha kartellba tömörülnek az előző példában szereplő vállalatok: Keresleti függvény: 100-q Bevétel: f = (100-q)*q = -q2 + 100q
▪ f’ = 100 – 2q = 0
q = 50, tehát q1 = q2 = 25
▪ f = 50*50 = 2500
f1 = f2 = 1250
Összegezve: kevesebb kibocsátás, magasabb ár.
Megfelelője a licitálás, azonban különböző variánsai terjedtek el. Angol aukció: adott (kikiáltási) árról felfelé haladva
licitálnak (a legtöbbet ajánló nyer) Holland aukció: magas (ideális) árról lefelé haladnak egészen addig, amíg legelőször valaki meg nem állítja (virágpiac, hal árusítás) Zárt licit: zárt borítékban hagyják a licitet, aki a legtöbbet ajánlja, az nyer, annyit fizet, amennyi ajánlott Vickrey-aukció: Olyan, mint a zárt licit, viszont csak a második legmagasabb árat kell kifizetni Multiunit aukció: Több ugyanolyan termékre licitálunk, de a termékek száma korlátozott.
Minden résztvevő kezdetben aktív. Az induló összeg és a növekedés mértéke fixált. Minden lépésben: A licitálók az utolsó összeg + növekedés mértékét
mondják be. Minden körben 0 vagy több játékos inaktív lesz (nem licitál az adott tárgyra tovább). Legalább 2 aktív résztvevő szükséges a következő lépéshez. Az egyetlen aktív játékos (aki bennmarad), ő nyer.
Kezdetben minden résztvevő inaktív. Az induló összeg és a csökkenés mértéke rögzített. Az első jelentkező nyeri az árut. Ha nincs ilyen, akkor csökkentik az utolsó árat a rögzített mértékkel.
William Vickrey nevéhez fűződik 1996-ban Nobel-díjat kapott az aukciók elemzéséért Tétel: A Vickrey-aukcióknál az optimális stratégia az igazmondás.
Bizonyítás: legyen n (>1) a játékosok száma. Legyen vi: az áru értéke az i. játékos számára bi: az érte adott ajánlat az i. játékos esetén
Az i. játékos nyeresége:
Belátható, hogy a domináns stratégia a bi = vi, hiszen ha az i. játékos többet fizet, akkor negatív haszonnal zár, ha kevesebbet fizet, akkor meg elvesztheti.
Egy termékből több példány is eladásra kerül A megvásárolható termékek száma ismert A licitáló meghatározza, hogy mennyit hajlandó fizetni az adott számú termékért Az ár növekszik, a vásárolni kívánt mennyiség csökken
Tfh. két játékos szeretne venni karórákat, majd azokat értékesíteni (6 db eladó) 1. játékos: 3000$-ral rendelkezik 2. játékos 2500$-ral rendelkezik Az árak növekszenek 100$-onként Ár/db
1. játékos
2. játékos
500$
6
5
600$
5
4
700$
4
3
800$
3
3
Az előző esetben „ész nélkül” licitáltak a vevők. Az értékesítők így nyertek 4800$-t a 6 db óráért. Az 1. kör után tudják a résztvevők egymásról, hogy mekkora az az összeg, aminél többet nem hajlandóak költeni. Mindketten egyre többet veszítenek, ezt kell belátniuk.
Ár/db
1. játékos
2. játékos
500$
6
5
600$
3
3
Az 1. játékos tudja, hogy nem szerezhet 3-nál több karórát, ha a 2. játékosnak is szüksége van rá minden áron. A 2. játékosnak nincs jobb lehetősége, mint kompromisszumot kötni. Ha mindketten alkalmazkodnak, akkor soksok dollárt spórolhatnak meg.
Ebben az esetben, ha 1000$-ért tudják továbbértékesíteni a megvásárolt órákat, akkor 3*400$ = 1200$-t nyernek az üzleten. Az aukción értékesítők viszont a 4800$ helyett csak 3600$-hoz jutottak a játékosok kompromisszuma miatt.
Pluhár András: Játékelmélet (jegyzet) Wikipedia David Ramsey: Correlated Equilibria (presentation) V.S. Subrahmanian: Auctions I.
