MATEMATIKA – ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel. Kdo se matiku pilně učil, a jen si není jistý zadanými příklady, tomu stačí ty kousky podbarvené oranžově. Kdo najde nějakou mou chybu, o které ještě nevím, má u mě pivo.(Malé.) Komu se na některých místech zobrazují nesmysly typu {EQ \r(1 + x\s(2))}, ten nechť na ně klikne pravým tlačítkem myši a zvolí „přepnout zobrazení polí“. Kdo nevidí v tomto dokumentu obrázky ani odvozování, odmocniny a zlomky, ten má smůlu a hlavně nejvyšší čas pořídit si pořádný textový editor. Kdo chce tento výtvor distribuovat, může pod podmínkou, že zdarma.
1) ZADÁNÍ: Rozhodněte, zda je funkce f(x) sudá nebo lichá: TEORIE: Definice: f(x) je funkce a D(f) její definiční obor. f je sudá funkce znamená, že pro všechna x z D(f) platí f(-x) = f(x). f je lichá funkce znamená, že pro všechna x z D(f) platí f(-x) = -f(x). Ilustrační příklady: f(x) = 2x2 je sudá funkce, protože např.: f(-1) = 2.(-1)2 = 2.1 = 2 f(1) = 2.12 = 2.1 = 2 f(-10) = 2.(-10)2 = 2.100 = 200 f(10) = 2.102 = 200 f(x) = 3x je lichá funkce, protože např.: f(-2) = 3.(-2) = -6 f(2) = 3.2 = 6 f(-5) = 3.(-5) = -15 f(5) = 3.5 = 15 a) f(x) = x není ani lichá, ani sudá funkce, protože pro záporná x vůbec není definována: např. f(25) = 25 = 5, kdežto f(-25) = − 25 neexistuje. b) f(x) = x2-2x není ani lichá, ani sudá, protože např.: f(-1,5) = 2,25 – 3 = -0,75 f(1,5) = 2,25 – 2.(-1,5) = 2,25 + 3 = 5,25 ...výsledky vůbec nesouhlasí. Pozn.: Všimni si, že poslední příklad je součet funkcí: f(x) = x2 + (-2.x) g(x) = x2
h(x) = -2.x
f(x) = g(x) + h(x)
Ponaučení: Dá se dokázat věta: Součet sudých funkcí je opět sudá funkce. Součet lichých funkcí je zase lichá funkce. Součet sudé a liché funkce není zpravidla lichá ani sudá funkce – viz př. b). Součin sudých funkcí je opět sudá funkce. Součin 2 lichých funkcí je sudá funkce. Součin sudé a liché funkce je lichá funkce. Tuto větu se raději neuč, protože je to jinak než u čísel a tudíž by se to pletlo: čísla: liché + liché = sudé sudé + sudé = sudé liché + sudé = liché liché . liché = liché sudé . sudé = sudé sudé . liché = liché
funkce: lichá + lichá = lichá sudá + sudá = sudá lichá + sudá ... jak kdy, většinou nic lichá . lichá = sudá sudá . sudá = sudá sudá . lichá = lichá
Projev sudosti/lichosti funkce na grafu: 1 Lichá: např.: f(x) = 2 x3
... její graf je symetrický podle počátku (tj. bod [0;0]).
Sudá: např. f(x) = cos x, D(f) = od –π do π včetně
... její graf je symetrický podle osy y. Př.: Konstantní funkce je sudá. Např. f(x) = 14:
POSTUP ŘEŠENÍ: 1. možnost „PODLE DEFINICE“ Přepíšeme vzorec funkce, kdy místo „x“ píšeme „-x“. A upravujeme, až dostaneme jednu z možností nebo až to dál upravit nejde a je vidět, že vychází něco úplně jiného než bylo zadání. Doporučuje se napřed dosadit pár čísel s plusem i mínusem a udělat si tak názor, co má vyjít, před samotným formálním upravováním. x− 1 1+ x2 − 1− 1 − 2 = f(-1) = = -1 2 1+ 1 1 + (− 1) 1− 1 0 = f(1) = = 0 Tedy aspoň pro jedničku neplatí f(-x) = f(x) 1+ 1 2 ani f(-x) = -f(x). Funkce tedy není ani sudá, ani lichá. Jakmile to vyjde „ani sudá, ani lichá“, stačí to dosazení jednoho čísla jako řešení a dál se to nemusí rozepisovat. Kdyby to ale vypadalo na sudou nebo lichou, nestačí to, protože v definici se totiž mluví o „pro všechna x“. Př. 1)a)
f(x) =
Tento postup je ideální i pro zbývající dva příklady v zadání, takže: Př. 1)b)
f(x) = 2x + 2-x f(-1) = 2-1 + 2-(-1) =
1 + 21 = 0,5 + 2 = 2,5 2
1 = 2,5 2 1 f(-2) = 2-2 + 2-(-2) = + 4 = 4,25 4 1 f(2) = 22 + 2-2 = 4 + = 4,25 4 Asi tedy sudá, musíme ale ještě formálně odvodit vztah z definice: f(-x) = 2-x + 2-(-x) = 2-x + 2+x =1 2x + 2-x =2 f(x) f(-x) = f(x) sudá! f(1) = 21 + 2-1 = 2 +
Př. 1)c)
f(x) =
1+ x2 x
1 + (− 1) 2 3 1 + 1 = = − 2 1 −1 1 + 12 f(1) = = 2 1 Takže to vypadá na lichou funkci, to musíme ale ještě formálně odvodit: f(-1) =
f(-x) =
1 + ( − x) 2 ‡ 1 + ( − x) 2 4 = = − x x
1+ x2 = - f(x) f(-x) = -f(x) lichá! x
2. možnost je POUŽITÍM VĚT, které jsem doporučil se neučit. sin x 1 Např.: f(x) = Nejprve přepíšeme na f(x) = . sin x x x 1 je lichá funkce ... x
1
změníme pořadí sčítanců (komutativita sčítání a+b = b+a) Tohle je to hlavní – dospěli jsme zpět k zadání. 3 vytkneme mínus před zlomek 4 druhá mocnina sežere mínus, neboli (-x).(-x) = x2 (mínus krát mínus rovná se plus) 2
sin x je také lichá funkce ...
Takže součin f(x) je sudá funkce – viz poslední tabulka. čísla: liché + liché = sudé sudé + sudé = sudé liché + sudé = liché
funkce: lichá + lichá = lichá sudá + sudá = sudá lichá + sudá ... jak kdy...
liché . liché = liché sudé . sudé = sudé sudé . liché = liché
lichá . lichá = sudá sudá . sudá = sudá sudá . lichá = lichá
Graf vypadá takto:
Možnost dle vět ale není vhodná ani pro jeden ze zadaných příkladů. 3. možnost – NEMATEMATICKÁ, ZATO NÁZORNÁ a celkem spolehlivá, je jak už obrázky napovídají ta, že namalujeme graf třeba v Excelu (1. vytvořit vhodnou aritmetickou řadu, 2. jednotlivé členy dosadit do předpisu funkce a udělat tak jinou řadu, 3. z obou řad vytvořit graf typu x-y). Když je pak ten graf souměrný podle bodu [0;0], je to lichá funkce; když je souměrný podle osy y, je to sudá funkce; a když je souměrný podle jiného bodu nebo jiné přímky nebo není souměrný vůbec, nejde o sudou ani lichou funkci.
Grafy zadaných funkcí vypadají takto: x− 1 Př. 1)a) f(x) = 1+ x2
Př. 1)b)
f(x) = 2x + 2-x
Př. 1)c)
f(x) =
1+ x2 x
2) ZADÁNÍ: Nalezněte inverzní funkci k funkci f(x): TEORIE: Řečeno jazykem pomocné školy: Funkce je recept, který říká, jak udělat z jednoho čísla číslo jiné. Když máme nějaký ten recept – funkci, tak k ní inverzní funkce je takový recept, podle kterého se vrátíme od toho nového čísla k tomu původnímu. Přitom jsou recepty, kdy provedeme něco, co se už nedá vrátit (jako vajíčko do skořápky), a jiné, které teoreticky vrátit lze (rozehřáté sádlo naleješ zpět do obalu, necháš ztuhnout a nic se nestalo). Stejně tak inverzní funkce existuje pouze k některým funkcím. Těm, které inverzní funkci mají, říkáme prosté funkce a poznají se podle toho, že vždy pro různá x dávají různá f(x). U rozumných funkcí kromě konstanty se dá vždy vybrat kousek té funkce (představ si kousek grafu), který je prostý, a dá se tedy o nějaké inverzní funkci uvažovat. Pro potřeby této látky je vhodné zapisovat funkce takto: f: y = něco s x. Když je f prostá, lze ten zápis upravit jako rovnici do tvaru: f: x = něcoJiného s y. Protože ale chceme dostat obdobnou funkci té původní, provedeme nyní záměnu písmen: -1 f : y = něcoJiného s x.
ŘEŠENÍ f(x): y = 2x+3 Upravujeme rovnici: y = 2x+3 /-3 y-3 = 2x /:2, y− 3 x= 2 Tím máme odbytu první šipku, teď už vlastně jen prohodíme písmenka: x− 3 f-1: y = . 2
3) Volně navážu na předchozí příklad. Byla to ta nejjednodušší verze, jelikož jde o tzv. lineární funkci, na které se toto probírá již na ZŠ. Lineární funkce jsou všechny stejné a mají tvar: f(x): y = a.x + b, kde a a b jsou čísla – konstanty (narozdíl od proměnných x, y). V zadání je, že máme určit funkční předpis lineární funkce g , jestliže g ( x ) prochází body [3;7] a [1;3] . Je třeba si uvědomit, že v hranatých závorkách zde jsou [ x ; g(x) ] ixové a ypsilonové souřadnice bodů, tj.: [ 3 ; 7 ] [ 1 ; 3 ] Když pak rozepíšeme mustr lineární funkce a dosadíme za x a y, dostaneme tedy soustavu 2 rovnic o neznámých a a b: 7 = a.3 + b 3 = a.1 + b
~ /.(-1) ~
7 = a.3 + b -3 = -a – b
~ nyní sečteme rovnice a vyjde: 4 = 2a, tj.: a = 2.
dvojku za a dosadíme třeba do druhé rovnice a dostaneme: 3 = 2.1 + b, tj.: b = 1. Zbývá jen napsat požadovaný předpis: g(x): y = 2.x + 1.
4) TEORETICKÉ MINIMUM K LOGARITMŮM: Logaritmus je funkce kterou se vypočítává NA KOLIKÁTOU se UMOCNÍ ZÁKLAD, ABY VYŠEL ARGUMENT. Vryj si do paměti toto schéma:
Neboli logaritmus je inverzní funkce k exponenciele.
Vysvětlivka k nejprapodivnější věci: Jednou říkáme logaritmus a píšeme log x, jindy mluvíme také o logaritmu a píšeme ln x, někdy dokonce máme log s malým číslem za tím, a je to zase logaritmus. Jedná se o vžitou symboliku, jednotlivé zápisy vyjadřují logaritmy s různými základy. 1) dekadický logaritmus neboli logaritmus se základem 10 píšeme jenom log (i když zápis „log10“ by byl vlastně také dobře);
př.: 1 = 0,01 10 2 2) přirozený logaritmus má základ e (čti Eulerovo [ojlerovo] číslo), které dostaneme např. 1 1 1 jako součet nekonečné řady: 1 + + + + ... . Nebo se dá říci, že ex je taková 1 1.2 1.2.3 exponenciální funkce, která v bodě x = 0 stoupá přesně s úhlem 45°. e je iracionální číslo, tzn, že nelze úplně přesně zapsat desetinným rozvojem, a to ani periodickým. Přibližná hodnota: 2,7183. př.: ln e = 1, ln 1 = 0 3) obecný logaritmus př.: log3 81 = 4, protože 3.3.3.3 = 9.9 = 81, log2 256 = 8, protože 28 = 256 log 100 = 2, protože 102 = 100; log 1.000.000 = 6; log 0,01 = -2, protože 10-2 =
ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ log2 8 = 3, protože 2.2.2 = 8; log 0,0001 = -4, protože 0,0001 je 10-4; ln 1 = 0, cokoliv na nultou (kromě nuly) je 1, proto je také každý logaritmus z jedničky nula; eln 2 = 2, protože exponenciela a přirozený logaritmus jsou navzájem inverzní funkce, tak se tzv. sežerou; stejně tak by ln e2 bylo 2, jenom v případě, kdy logaritmus není definován to tak nebude: eln(-2) není -2, protože ln(-2) je zakázáno; ln e10 = 10, jak jsem zrovna vysvětlil.
5) ŘEŠENÍ DALŠÍHO PŘÍKLADU 1
1
3 1
4
+ 3 1+ log(100. 100 ) =1 log(1001. 100 3 ) =2 log(100 3 ) = log( 100 3 3 ) = log( 100 3 ) = 4 8 4 4 2. 2. 2 3 3 3 = log(( 10 ) ) = log 10 = 3 = 3
6) PRINCIP URČENÍ STÁŘÍ ORGANICKÉHO MATERIÁLU METODOU RADIOAKTIVNÍHO UHLÍKU Dokud organismus provádí látkovou výměnu, obměňuje se v něm stejné složení uhlíku jako v prostředí (asi v důsledku kosmického záření je přírodní uhlík směsí stabilního izotopu C612 a radioaktivního C614 (který má v jádře o 2 neutrony víc, proto se rozpadá). Jakmile organismus odumře, v důsledku radioaktivního rozpadu v tom materiálu ubývá C614 podle uvedeného vzorce. My jsme změřili, že oproti normálu je toho izotopu 15%, je třeba dopočítat čas t.
ŘEŠENÍ Jde o tzv. exponenciální rovnici. Problém může být, jak dosadit těch 15%.
1 2
přepis něco1 = něco,
n
1
x je totéž jako x n
podle vzorečku pro umocňování: xa.xb = xa+b 3 podle vzorečku pro umocňování ( x a )b = xa.b
Prakticky se měří koncentrace, ale je to jako, kdybychom změřili současnou hmotnost m(t). Zjistili jsme, že to je 15% původní hmotnosti, tedy 0,15m0. Teď teprve přichází ke slovu ta matika: m(t) = m0. e
−
t ln 2 T
0,15.m0 = m0. e 0,15 = e
−
t ln 2 T
t − ln 2 5570
t . ln(2) ln(0,15) = 5570
/ m(t) je naměřené množství radioaktivního uhlíku, m0 je odpovídající množství v čerstvém vzorku, T je poločas rozpadu radioaktivního uhlíku / :m0, dosadit za T / zlogaritmujeme obě strany, aby logaritmus sežral exponencielu / ln vlevo je z té úpravy, vpravo se už ln a exp. sežraly a tento ln tam zbyl z toho exponentu,
t . ln2 = ln 0,15 5570 -t .ln2 = ln(0,15).5570 t = -5570.ln(0,15)/ln2 t = 15 245 let.
/ .5570 / :(-ln2) /kalkulačkou
7) JEN PÁR VZOREČKŮ PRO DERIVACE funkce 1. y = c 2. y = xk, k∈Z
derivace 0 k.xk-1
3. y = ex
ex
4. y = ax, a > 0, a ≠ 1 5. y = ln x
axln a 1 x
6. y = loga x, a > 0
1 x. ln a cos x - sin x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 1 - x 2 -1 1 - x 2 1 2 1+x
7. y = sin x 8. y = cos x 9. y = tg x 10. y = cotg x 11. y = arcsin x 12. y = arccos x 13. y = arctg x
poznámka derivace konstanty je nula pokud je k ≤ 0, platí všude mimo x = 0, jinak bez omezení „Exponenciela je vůči derivaci imunní (dokud se nederivuje třeba podle y)“ samozřejmě pouze pro kladná x; to je speciální vlastnost přirozeného logaritmu, která může také definovat Eulerovo číslo – viz bod 2) teorie k příkladu 4 Samozřejmě pouze pro kladná x, jinde totiž neexistuje ten logaritmus. Pozor na to mínus! Samozřejmě pouze tam, kde cos x ≠ 0. Samozřejmě pouze tam, kde sin x ≠ 0. Pouze tam, kde má výsledek smysl, tj. na: (-1;1) Pouze tam, kde má výsledek smysl, tj. na: (-1;1)
-1 2 1+x g`(x) + h`(x) „Derivace součtu je součet derivací.“ Platí též pro mínus. c.g`(x) „Konstanty vytýkáme před derivaci.“ f’.g + f.g‘ „Derivace součinu funkcí: první zderivovaná krát druhá nechaná plus první nechaná krát druhá zderivovaná.“ V učebnicích bývá tento vzoreček napsaný s funkcemi u a v. Pro přehlednost jsem vynechal (x) u každé funkce. f`.g − f.g` Samozřejmě pouze tam, kde g(x) ≠ 0. Pro 2 přehlednost jsem zase vynechal (x). g f‘(g(x)).g‘(x) „Derivace složené funkce: derivace vnější funkce krát derivace vnitřní funkce.“
14. y = arccotg x 15. g(x) + h(x) 16. c.g(x) 17. f(x).g(x)
18. f( x) g( x) 19. f(g(x))
ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ a)
y = 2x2 – 4x + 4,
y` = 2.2x – 4 = 4x -4,
D = ℝ (pro x žádné omezení)
Pozn.: výrazu typu a1xn + a2xn-1 + ... + anx + an+1, např. 5x3 – 2x2 + 12 x – 1 říkáme polynom neboli mnohočlen. Mnohočlen derivujeme podle pravidel 1, 2, 16; a to je to nejjednodušší. b)
3 − x2 je taky polynom, jenom to chce přepsat: 5 3 − x2 − x2 + 3 x2 3 = = − + = − 15 x 2 + 53 5 5 5 5 2 ( − 15 x + 53 )` = 2.( − 15 )x + 0 = − 52 x D = ℝ (pro x žádné omezení) y=
y = 4sin2 x; použijeme pravidlo 19, kde vnější funkce je 4z2, vnitřní funkce je sin x. Derivace vnější funkce jakožto polynomu je: (4z2)` = 2.4z = 8z, ale místo z píšeme sin x, takže derivace vnější funkce je 8sin x. Derivace vnitřní funkce je podle vzorečku 7 je cos x. Všehovšudy tedy dostaneme: (4sin2 x)` = 8.sin x.cos x ... toto může být výsledek, komu se to nelíbí, přepíše si osmičku zpět na 4.2: 4.2sin x.cos x; a nalistuje si tzv. součtové vzorce pro sin a cos, kde je vzoreček: sin 2α = 2. sin α. cos α Podle tohoto je celý výsledek: (4sin2 x)` = 8.sin x.cos x = 4.2sin x.cos x = 4.sin 2x, což je o pár znaků kratší. D = ℝ (pro x žádné omezení). c)
d) f f` g g`
x3 − 1 x+ 1 x3 – 1 3x2 x+1 1
y=
použijeme pravidlo 18, kam budeme dosazovat:
g2
x2 + 2x + 1
′ 3 x 2 .( x + 1) − ( x 3 − 1).1 3 x 3 + 3 x 2 − x 3 + 1 2 x 3 + 3x 2 + 1 x3 − 1 = , přičemž již = = x 2 + 2x + 1 x 2 + 2x + 1 x 2 + 2x + 1 x+ 1 definiční obor původní funkce je D = R \ {-1}, protože je zakázaná nula ve jmenovateli, tj.: x+1≠0 / -1 x ≠ -1 Další omezení už nepřibude, protože x2 + 2x + 1 má jeden dvojnásobný kořen, a to -1 (prostě jsme ten jmenovatel umocnili na druhou). e) y = ln(2x-1) použijeme pravidlo 19, kde vnější funkce je ln z, vnitřní funkce je opět 1 1 polynom 2x – 1. Jelikož (ln z)` = , je derivace vnější funkce: . z 2x − 1 Derivace vnitřní funkce je: (2x – 1)` = 2. Výsledek bude součin obou uvedených derivací: 1 2 (ln(2x – 1))` = .2 = . 2x − 1 2x − 1 Definiční obor funkce y: v argumentu logaritmu (jakéhokoliv) je zakázaná nula a záporné hodnoty, takže máme podmínku: 2x – 1 > 0 / +1 2x > 1 / :2 1 x> 2 tj.: D = (0,5; ∞). (Výpočet derivace zase nepřinesl žádné nové omezení.)
8) ZADÁNÍ Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f: y = x2 v bodě se souřadnicí x0 = 1.
TEORIE Význam pojmu derivace je ten, že potřebujeme něco, co by nám určilo, jak moc funkce stoupá nebo klesá. Logické by bylo říci třeba o kolik se funkce změní na jednom milimetru na vodorovné ose. Když vyroste o 0,05 mm, tak roste málo, když klesne o 4 mm, tak hodně klesá. Zde ilustrace:
Abychom dostali něco obecného, protože se funkce může různě kroutit,
vezmeme pouze nekonečně malý úsek – dostaneme sice také nekonečně malé převýšení, ale poměr zůstane rozumný. Takto se dojde k definici derivace funkce v bodě: Pokud pro funkci f v bodě x = x0 existuje limita f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) , nazýváme ji derivace funkce v bodě x0 a značíme ji f( x0). lim h h→ 0 Na obrázku to vypadá takto:
A zde je vidět, že geometrický význam derivace funkce v bodě je směrnice tečny k jejímu grafu v tom bodě. Dále k nějaké rozumné funkci f definujeme funkci f `, která každému x z definičního oboru přiřadí derivaci funkce f v bodě x. Té nově definované funkci pak říkáme derivace funkce (nikoliv v bodě) a platí pro ni vzorce uvedené v předchozím příkladu (tabulka vzorečků k příkladu 7). Hodnotu derivace v bodě pak dostaneme tak, že ji nepočítáme jako tu limitu v definici, ale k funkci spočítáme derivaci a do té dosadíme x0. My pak budeme chtít napsat rovnici tečny ke grafu funkce f v bodě x0. Rovnice přímky je sice látka z analytické geometrie, ale dokud jsme pouze u přímek a navíc jen v rovině, vystačíme si s tím, co už jsme zde probírali, a to s rovnicí lineární funkce – viz příklad 3). Tam se píše o mustru pro lineární funkce:
y = a.x + b, kde a a b jsou čísla – konstanty (narozdíl od proměnných x, y). „f(x)“ jsem takticky vynechal, aby se to nepletlo s funkcí, ke které hledáme tu tečnu. Bez dalšího odvozování prozradím, že v uvedené rovnici přímky je člen a zrovna směrnice té přímky čili tg ϕ (rozuměj – tangens úhlu, který ta přímka svírá s vodorovnou osou). Čili pro tu tečnu ke grafu funkce f v bodě x0 platí y = a.x + b, a = f`(x0). Konstantu b pak dopočítáme stejně jako v příkladu 3) tím, že víme, že ta tečna musí procházet bodem [x0; f(x0)]. Ukážeme si to rovnou na tom zadaném příkladu:
ŘEŠENÍ t: tečna ke grafu funkce f: y = x2 v bodě x0 = 1 určíme derivaci funkce podle pravidla 2: f ` = 2x t: y = a.x + b, a = f `(1) = 2.1 = 2; takže t: y = 2.x + b, kdy této rovnici má vyhovovat i bod [x0; f(x0)] = [1; 12] = [1; 1], tj.: 1 = 2.1 + b 1=2+b / -2, b=1–2 b = -1 Výsledek: t: y = 2x – 1. A teď si ukážeme, jak se dělá ten graf v Excelu. K otevření vloženého listu na něj můžeš dvojkliknout, v něm pak pomocí tlačítek myši zjistíš vlastnosti všech objektů včetně čáry grafu, vzorečků, atd. Ve formátu .pdf Ti to samozřejmě fungovat nebude. x
f(x) -2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -2,8E-16 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
4 3,24 2,56 1,96 1,44 1 0,64 0,36 0,16 0,04 7,70372E-32 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1,44 1,96 2,56 3,24 4 4,84 5,76 6,76 7,84 9
t(x) -5 -4,6 -4,2 -3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1 -3 1,4 1,8 2,2 2,6 3 3,4 3,8 4,2 4,6 5
Není to ještě jasné? Zde je další příklad:
10
8
6
4
-2
2
f(x)
0
t(x)
-1
0 -2
-4
-6
1
2
3
4
Rozšíření Najděte rovnici tečny grafu funkce f(x) =
4−x 2
v bodě x0 = -1,6.
I. Nejdříve se podíváme na definiční obor té funkce, protože je tam odmocnina, mohlo by totiž vyjít něco nepěkného a kdybychom se na definiční obor teď vykašlali, hrozí, že bychom pak za výsledek třeba považovali něco, co je zakázáno. Jak víme, co je pod odmocninou nesmí být záporné, čili: 4 – x2 ≥ 0 -x2 ≥ -4 x2 ≤ 4 1) x ≤ 2 2) -x ≤ 2 x ≥ -2
/ -4 / .(-1)1 / √2 / .(-1)*
x ≤ 2 & x ≥ -2 neboli D = 〈-2; 2〉. Pozn.: Vidíš, původně jsem se překoukl a vymyslel do zadání x0 = -3. Kdybych to zadání tak nechal, už teď bychom viděli, že taková úloha nemá řešení, protože funkce f v tom bodě není definovaná, čili tam nemá žádný graf, čili tam ani ten graf nemůže mít tečnu. II. Určíme derivaci té funkce, což nebude zrovna triviální: Jedná se o složenou funkci, takže budeme postupovat podle pravidla 19. 1
• Vnější funkce je g = z neboli g = z 2 , její derivaci určíme podle pravidla 2, kde za k dosadíme 0,5; čili se ta jedna polovina dostane před z a exponent se sníží o jedničku, což je 1 1 1 1 2 -1 1 -2 0,5 – 1 = -0,5. Takhle vypadá celkový zápis: g` = = = = . z z 2 z 2 2 1 2 4−x 2 • Vnitřní funkce je polynom h = 4 – x2, který má derivaci: h` = 0 – 2x = -2x. - 2x 1 • Derivace této složené funkce je tedy součin: f `(x) = = 2 .(-2x) = 2 4−x 2 2 4−x -x 4−x 2 III. Do vztahu pro derivaci dosadíme hodnotu x0 = -1,6: - - 1,6 1,6 1,6 f`(-1,6) = = = = 2 4−2,56 1,44 4 - - 1,6
1
1,6 1,2
=
4 3 . 3
násobíme mínus jedničkou neboli měníme znaménka; při násobení nebo dělení záporným číslem se musí otočit znaménko nerovnosti – to je pravidlo řešení nerovnic 2 Ach jo, tahle úprava se těžko vysvětluje, jde o to, že pouhou odmocninou nám uteče půlka řešení nerovnice, což je dáno tím, že x2 je zároveň (-x)2 3 Mohlo by se stát, že by ta funkce neměla v některých bodech derivaci. V tomhle příkladě jsou to například body –2 a 2, kde v oranžově podbarveném vztahu pro derivaci vychází nula pod zlomkovou čárou. Kdybychom se takovým bodem trefili zrovna do toho zadaného bodu, opět by to znamenalo, že neexistuje tečna v tom bodě, případně - jako zde v té mínus dvojce a dvojce – že ji nelze zapsat rovnicí v tom tvaru lineární funkce, nýbrž že to je svislá přímka, jejíž rovnici lze napsat nějak takto: x = -2. Taková havárie by se v tomto výpočtu ale projevila tím, že by nám vyšlo něco zakázaného nebo neřešitelného, takže nemá cenu se tím zabývat dopředu.
Ještě vypočítáme hodnotu funkce v zadaném bodě, neboli f(-1,6) = úprava jmenovatele o dva řádky výše).
4 - - 1,62
= 1,2 (viz
IV. Nyní víme, že ta tečna má rovnici: 4 y= x+b a že prochází bodem [-1,6; 1,2]. 3 Ten bod tedy dosadíme do té rovnice: 4 .(-1,6) + b 3 3,6 = - 4.1,6 + 3b 3,6 = - 6,4 + 3b 10 = 3b 10 b= 3 1,2 =
/ .3 / +6,4 / :3,
V. Píšeme výsledek: „Rovnice hledané tečny je y =
4 10 x+ .“ 3 3
Zde ještě obrázek: Ano, ta funkce je opravdu horní půlkružnice se středem v počátku a poloměrem 2.
9) ZADÁNÍ Zjistěte průběh funkce y = 1 – x2
(kde je funkce klesající, rostoucí, maxima a mimina)
TEORIE V teorii k příkladu 8) jsem nedotáhl do konce tu ústřední myšlenku, a to, jak tedy poznáme z derivace jestli funkce v tom bodě klesá nebo roste a jak moc. •Je to tak, když je derivace kladná, znamená to, že funkce roste. •Když je derivace záporná, znamená to, že funkce klesá. Čím větší je hodnota derivace v bodě, tím větší je změna funkce v okolí toho bodu.
Funkce může mít maximum nebo minimum pouze tam, kde ani neroste ani neklesá. (Když něco ještě pořád roste, tak to není maximální, největší to bude, až to přestane růst, než se to začne zmenšovat, to je jasné.) Takže pokud hledáme • minima a maxima funkce (dohromady se jim říká extrémy), víme jistě, že můžou být pouze v bodě, kde buď má funkce nulovou derivaci nebo kde funkce nemá žádnou derivaci. Nulová derivace ještě neznamená, že tam je minimum nebo maximum. Např. funkce x3 má derivaci 3x2, což v bodě 0 dává derivaci rovnu nule, ale tato funkce roste na celém svém definičním oboru, takže nemá žádné minimum ani maximum.
Ale nenulová derivace na tutti znamená, že tam extrém není!
ŘEŠENÍ Průběh funkce y = 1 – x2. Je dobrým zvykem začínat tím, že se určí definiční obor funkce. Zde není nic zakázaného, takže D = ℝ . Dále vyšetříme třeba obor hodnot, což by nebylo nutné, ale pro pořádek. Je tam x2, o kterém víme, že může být nulové, ale není nikdy záporné. Funkční hodnoty se dostanou tak, že se něco odečte od jedničky, nikdy se nebude nic přičítat, takže obor hodnot je od mínus nekonečna do jedničky H = (-∞; 1〉. Nez začneme derivovat, požaduje se obvykle u průběhu funkce určit průsečíky jejího grafu s osami. Tak to uděláme: • Jednodušší je průsečík s osou y, ten je tam, kde je na ose x nula. Stačí tedy tu nulu za x dosadit. Jsou samozřejmě funkce, které průsečík s osou y nemají, to se projeví tím, že nula je v zakázaných hodnotách – viz funkce y = ln x ... druhý graf v příkladu 4) nebo funkce 1+ x2 y= ... těsně před příkladem 2). Proto ten vžitý postup, že definiční obor se určí ze x všeho nejdřív. Tedy dosaďme: y(0) = 1 – 02 = 1 • Průsečík s osou x je tam, kde y vyjde nula. Sestavíme tedy rovnici: y=0 / za y dosadíme ze zadání funkce 1 – x2 = 0 /-1 2 -x =-1 / .(-1) x2 = 1, což platí pro dvě čísla, a to 1 a – 1. Samozřejmě i zde platí, že funkce nemusí mít žádný průsečík s osou x. Projevilo by se to tím, že by obor hodnot neobsahoval nulu. Příklad pro toho, koho z toho ještě nebolí hlava, může si jako rozcvičku zkusit předchozí postup na funkci y = 1 + x2.
• Celkem jsme tedy dostali tři body grafu: [0;1], [1; 0], [-1; 0]. Poznamenávám, že druhá varianta zadání tohoto příkladu zní: „Načrtněte graf funkce ...“ Myslí se tím, že se provede toto všechno jako u „Vyšetřete průběh funkce...“ a co vyjde se od ruky nakreslí do obrázku. V tom případě se tyto body budou moc hodit, protože jsou to body u kterých se obejdeme bez pomocných čar. Podstatné je také, zda se jedná o sudou nebo lichou funkci, takže si zopakujeme příklad 1). Postupuji podle definice: y(-x) = 1 – (-x)2 =1 1 – x2 = y(x) ... sudá funkce. Teď vypočítáme derivaci (je to jenom polynom, tedy to nejlehčí): y` = 0 – 2x = -2x. • Najdeme bod(y), kde je derivace nulová: a sice z rovnice y` = 0 -2x = 0 / :(-2) x=0 Z předchozího již bezpečně víme, že v nule nabývá funkce své maximální hodnoty 1. Jinde není derivace nulová, takže jinde nemůže být minimum ani maximum. Dále určíme, znaménko derivace všude mimo její nulové body. Zde máme 1 nulový bod derivace, takže stačí zkusmo dosadit do derivace jedno číslo menší než je výsledek té poslední rovnice a pak jedno číslo větší: např.: y`(- 1) = -2.(-1) = 2 > 0, tzn. pro x z intervalu (-∞; 0) je derivace kladná tedy funkce je rostoucí. A např. y`(2) = -2.2 = - 4 < 0, tzn. pro x z intervalu (0; ∞) je derivace záporná a funkce tudíž klesající. Zbývá připojit graf. V 21. století se ho nebudu pokoušet črtat od ruky, ale udělám ho jako všechny grafy dosud.
1
protože dvojka v exponentu to mínus v závorce sežere podle pravidla „mínus krát mínus rovná se plus“
ROZŠÍŘENÍ Př.: Vyšetřete průběh funkce a načrtněte její graf: y = x3 + 6x2 + 9x D = ℝ , opět žádné omezení, je to zase prachobyčejný polynom H = ℝ , protože nejsilnější ze členů je x3, která není omezená zdola ani shora. Matematicky zapsáno: lim (x3 + 6x2 + 9x) = ∞, lim (x3 + 6x2 + 9x) = -∞ (O tom, jak se počítají limity, co to x ∞ x −∞ vlastně je, atd., je celá kapitola matematiky. Nechtějte po mně, abych vám to vysvětloval jenom kvůli obhájení názoru, že x na třetí jde z nedohledna vlevo dole do nedohledna vpravo nahoře, kdežto třeba x na druhou jde z nedohledna vlevo dole do nedohledna vpravo dole, když je před ním mínus, a z nedohledna vlevo nahoře do nedohledna vpravo nahoře, když je před ním plus.) Průsečík s osou y - dosadit za x nulu: 03 + 6.02 + 9.0 = 0 ... [0; 0] Průsečík s osou x – položit předpis funkce roven nule a dopočítat x: x3 + 6x2 + 9x = 0 / vytknout x x.( x2 + 6x + 9) = 0 / součin se rovná nule, když buď jeden člen se rovná nule, nebo když se druhý člen rovná nule, takže dvě možnosti: 1) x = 0 ... [0; 0] – nnss (nihil novum sub solem) 2) x2 + 6x + 9 = 0 kvadrat. rce. x1,2 =
- b±
b2−4 a c
2a dosazujeme podle:
, do vzorce
včetně případných mínusů, takže: - 6± 6 2 - 4.1.9 = 2.1 - 6± 36 - 36 - 6± 0 = = = 2 2 =-3 zkouška: (-3)3 + 6.(-3)2 + 9.(-3) = - 27 + 6.9 – 27 = 0 ... [-3; 0] x1,2 =
Sudá / lichá? Mám tuchy, že to nebude ani jedna z nich, tak to totiž bývá, když se míchají sudé a liché mocniny x. Proto před zběsilým odvozováním zkusím dosadit stejné číslo s plusem i s mínusem, pokud se nemýlím, mohlo by to pro ověření sudosti/lichosti stačit. Vyberu si čísla, která se mi budou snadno počítat: -1; 1: y(-1) = (-1)3 + 6.(-1)2 + 9.(-1) = -1 + 6 – 9 = -4 ⇒ Ani sudá, ani lichá! 3 2 y(1) = 1 + 6.1 + 9.1 = 1 + 6 + 9 = 16 Spočítáme derivaci: y` = 3x2 + 12x + 9. Kde je derivace nulová? Inu tam, kde: 3x2 + 12x + 9 = 0 / :3 2 x + 4x + 3 = 0/ opět kvadratická rovnice, takže x1,2 = - 4± 2 - 4± 16 - 12 - 4± 4 2 - 4.1.3 = = , tj.: 2 2 2a 2.1 x1 = -3; x2 = -1 Tyto dva body jsou tedy adepty na lokální extrémy. Lokální znamená, že se jedná o maximum nebo minimum jen na určité oblasti. Že to nemůžou být globální, tedy naprosté extrémy, je jasné z toho, že H = ℝ , tzn. funkce nemá žádnou minimální ani maximální hodnotu. Abychom ověřili, že se jedná o extrémy a zároveň určili, kde funkce roste a kde klesá, dosadíme za x do derivace něco z oblastí před, za a mezi těmi body. Pro přehlednost si udělám tabulku: x1,2 =
-b ±
b2 - 4 a c
x∈ (-∞; -3) např.: -10: 3.100-120+9=189 y` f(x)
⊕ roste
=
(-3; -1) -2: 3.4-24+9 = -3 klesá
(-1; ∞) 0: 0+0+9=9 ⊕ roste
U mínus trojky vyšlo, že před ní funkce roste, za ní klesá, čili tam bude lokální maximum (Když jedeme do kopce a pak z kopce, někde jsme přejeli jakýsi vrchol, že?) y(-3) = 0 výpočet viz bod ⇒ [-3; 0] je lokální maximum. U mínus jedničky vyšlo, že funkce nejdřív klesá a potom roste, takže tam bude lokální minimum y(-1) = - 4 výpočet viz bod ⇒ [-1;- 4] je lokální minimum. Graf vypadá nějak takto:
To byl krásný příklad, ne? Na 2 stránky a ještě se na ně nevešel graf. Tento příklad schválilo pro přijímací zkoušky na VŠ před 21 lety Ministerstvo školství ČSR, tak si ho važ a na matiku nezanevři. MateMati
