Měřicí a řídicí technika – Bakalářské studium
2007/2008
MODELOVÁNÍ • • • •
základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady
Základní pojmy matematický model procesu je způsob vyjádření chování procesu (systému) formou matematických vztahů Dynamické chování je chování procesu (systému) v čase
matematické modely:
• získané zpracováním experimentů (induktivní) matematický popis je formální, systém je považován za „černou skříňku“
• získané fyzikální analýzou procesu (deduktivní, deterministické) matematický popis vyjadřuje podstatu procesu, vychází z fyzikálních, fyzikálně-chemických a chemických zákonů
>
Obecný postup vytváření induktivních modelů vzruch
odezva
reálný proces
odhad chování procesu
experiment
formální matematický vztah s neznámými parametry
naměřené časové řady vzruch - odezva zpracování exper. dat vstupní funkce
za účelem
určení hodnot parametrů výstupní funkce
matematický model
u(t)
y(t)
algoritmus řešení vstupní informace
simulační program
výstupní informace
využití simulačního programu (pouze v oblasti pokryté experimentem)
>
MRT-08-P6-Bc.doc
1/7
Měřicí a řídicí technika – Bakalářské studium
2007/2008
Obecný postup vytváření deduktivních modelů vzruch
odezva
reálný proces analýza procesu
vzruch
odezva
teoretický model matematický popis
vstupní funkce
výstupní funkce
matematický model
u(t)
y(t)
algoritmus řešení vstupní informace
model nevyhovuje
simulační program
výstupní informace
VERIFIKACE model vyhovuje
využití simulačního programu >
Obecný postup vytváření deduktivních modelů Analýza procesu
• specifikace dějů probíhajících v procesu a určení jejich podstaty • vymezení vlivů působících na proces • určení veličin (fyzikálních,...) popisujících proces • výběr dílčích dějů a vlivů podstatných pro popis procesu • výběr možných zjednodušení a jejich realizace rozhodující pro kvalitu modelu Zásady: -- v úvahách vycházet z účelu vytvářeného modelu -- začínat od co nejjednoduššího modelu teoretický model
>
Obecný postup vytváření deduktivních modelů Obvyklé zjednodušující předpoklady
• rozdělení systému na subsystémy, • zavádění neexistujících forem hmoty, • nezávislost látkových vlastností na stavových veličinách, • homogenita a isotropnost materiálu, • při současném průběhu pomalého a rychlého děje rychlý děj dosahuje okamžitě rovnovážného stavu,
• zanedbávání ztrát, • linearizace nelineárních závislostí, • používání empirických vztahů a závislostí, • zavádění korekčních koeficientů, • zjednodušování geometrických proporcí, volba vhodné souřadnicové soustavy,
• užití představy systému se soustředěnými parametry. >
MRT-08-P6-Bc.doc
2/7
Měřicí a řídicí technika – Bakalářské studium
2007/2008
Obecný postup vytváření deduktivních modelů Matematický popis
• výběr matematického vyjádření vztahů použitých v teoretickém modelu a) definiční rovnice: ─ definice veličin fyziky, chemie, fyzikální chemie,... b) matematické vyjádření zákonů: ─ pohybové rovnice ─ rychlostní rovnice ─ rovnovážné rovnice ─ věty (zákony) o zachování
• vytvoření modelových rovnic a jejich základní kontrola • určení podmínek řešení (počátečních, okrajových) matematický model
>
Obecný postup vytváření deduktivních modelů Řešení modelových rovnic
• volba metody řešení rovnic matematického modelu • analýza přesnosti řešení • vytvoření algoritmu řešení • sestavení a odladění programu pro počítač (ve vhodném simulačním jazyce) • definice souboru vstupních dat a parametrů (veličiny, jednotky)
simulační program
>
Obecný postup vytváření deduktivních modelů Verifikace modelu
• kontrola zachovávání ustálených stavů • kontrola adekvátnosti odezvy na definovaný vzruch (logickou úvahou na základě fyzikálních představ)
• kontrola ustálených stavů po odeznění přechodových jevů • kontrola reálnosti výsledků simulace pro mezní stavy • kontrola porovnáním simulovaných časových průběhů se známými daty (získanými experimentálně nebo z literatury)
další možné kontroly (podle povahy modelovaného procesu)
použitelný matematický model (ve formě simulačního programu)
>
MRT-08-P6-Bc.doc
3/7
Měřicí a řídicí technika – Bakalářské studium
2007/2008
Vytváření matematických modelů na základě bilancí Základní pojmy okolí systému
bilancovaná veličina
bilancovaný systém
bilanční časový interval rozhraní základní bilanční rovnice: AKUMULACE = VSTUP - VÝSTUP + ZDROJ
>
Vytváření matematických modelů na základě bilancí AKUMULACE = VSTUP - VÝSTUP + ZDROJ
• AKUMULACE změna množství (zádrže) bilancované veličiny uvnitř bilancovaného systému za bilanční časový interval,
• VSTUP (přítok)
množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vstoupí z okolí přes rozhraní do bilancovaného systému,
• VÝSTUP
(odtok) množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vystoupí z bilancovaného systému přes rozhraní do okolí,
• ZDROJ
množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval přeměnou uvnitř bilancovaného systému vznikne (znaménko +) nebo zanikne (znaménko -)
>
Vytváření matematických modelů na základě bilancí Hranice a velikost bilancovaného systému
• Systémy se soustředěnými parametry ─ bilancovaný systém obvykle totožný s modelovaným systémem ─ hranice a geometrické rozměry se volí podle tvaru a uspořádání modelovaného systému
─ souřadnicová soustava se nemusí zavádět
• Systémy s rozloženými parametry ─ pro bilancovaný systém se volí jednoduché geometrické tvary ─ rozměr bilancovaného systému ve směru souřadnice, která v popisu vystupuje jako nezávisle proměnná (x) je infinitesimálně malý (dx)
─ souřadnicová soustava se zavádí tak, aby popis byl co nejjednodušší:
>
MRT-08-P6-Bc.doc
4/7
Měřicí a řídicí technika – Bakalářské studium
2007/2008
Vytváření matematických modelů na základě bilancí Bilanční časový interval
• Bilance ustáleného stavu systému (pro statické modely) bilanční časový interval libovolný (obvykle jednotkový)
• Bilance neustáleného stavu systému
(pro dynamické modely)
bilanční časový interval infinitesimálně malý ( dt )
>
Vytváření matematických modelů na základě bilancí Znaménka členů bilanční rovnice
• Systémy se soustředěnými parametry
─ členy VSTUP a VÝSTUP formulovat jako kladné, ─ znaménko členu ZDROJ určit úvahou podle charakteru procesu, ─ znaménko členu AKUMULACE pak vychází automaticky.
• Systémy s rozloženými parametry ─ ve vybrané souřadnicové soustavě zvolit pro každou nezávisle proměnnou kladný směr a důsledně jej dodržovat,
─ znaménka členů VSTUP a VÝSTUP, které jsou funkcemi souřadnic, pak vycházejí automaticky,
─ členy VSTUP a VÝSTUP, které nejsou funkcemi souřadnic, formulovat jako kladné,
─ znaménko členu ZDROJ určit úvahou podle charakteru procesu, ─ znaménko členu AKUMULACE pak vychází automaticky. >
Vytváření matematických modelů na základě bilancí Důležité momenty postupu
• volba bilančního časového intervalu ustálené děje: libovolný,
neustálené děje: dt
• volba hranic (rozměrů) bilancovaného systému jednoduché geometrické tvary se snadno matematicky vyjádřitelnými hranicemi, plochami a objemy bude-li souřadnice (např. x) nezávisle proměnnou modelu, pak rozměr bilancovaného systému v jejím směru musí být infinitesimálně malý (dx)
• volba souřadnicové soustavy kartézská cylindrická sférická
x, y, z r, ϕ, z r, ϕ, ψ
(obecné použití) (pro systémy symetrické kolem osy) (pro systémy symetrické kolem středu)
• volba kladných směrů na počátku zvolit a pak důsledně dodržovat >
MRT-08-P6-Bc.doc
5/7
Měřicí a řídicí technika – Bakalářské studium
Kartézský souřadnicový systém
2007/2008
x,y,z x, y, z ∈ (−∞, ∞)
dV = dx.dy.dz
>
Cylindrický souřadnicový systém
r,φ,z r ∈ 〈 0, ∞) , φ ∈ 〈 0, 2π〉 , z ∈ (-∞, ∞)
x = r. cos φ y = r. sin φ z=z
dV = r.dφ.dr.dz
>
Sférický souřadnicový systém
r,φ,ψ r ∈ 〈 0, ∞ ) , φ ∈ 〈 0, 2π〉 , ψ ∈ 〈 0, π〉
x = r. sin ψ. cos φ y = r. sin ψ. sin φ
dV = r. sin ψ.dφ.r.dψ.dr
z = r. cos ψ >
MRT-08-P6-Bc.doc
6/7
Měřicí a řídicí technika – Bakalářské studium
2007/2008
Příklad 1 Vytvořit matematický model směšovače za účelem sledování časového průběhu výstupní koncentrace
Známe: • objem směšovače V • objemový průtok Q1 • koncentraci c1 (kg/m3) • objemový průtok Q2 • koncentraci c2 (kg/m3)
Q1, x1
Q2, c2
V Q, c
Hledáme: vztah pro závislost c na čase t
>
Příklad 2 Vytvořit matematický model elektrického průtokového ohřívače vody za účelem sledování časového průběhu výstupní teploty
Známe: • objem ohřívače V • průtok vody Q • teplotu T1 • příkon topení P • účinnost topení η • hustotu vody ρ • měrné teplo vody cp
Q, T1
Q, T2
V
P,η
Hledáme: vztah pro závislost T2 na čase t
>
Příklad 3 Vytvořit matematický model plynem ohřívaného průtokového ohřívače vody za účelem sledování časového průběhu výstupní teploty Známe: • objem ohřívače V • teplosměnná plocha ohřívače A • vstupní teplotu vody T1 • průtok vody Q1 • účinnost plynového topení η • objemovou výhřevnost plynu qV • objemový průtok plynu ventilem Q2 • konstantu úměrnosti k • zdvih ventilu x • přetlak na ventilu Δp • měrné teplo vody cp • koeficient přestupu tepla α • teplotu okolí Tok
Q3 Q1, T2 Q1, T1 V, A qv, η Q 2 = k x √ Δp
Hledáme: vztah pro závislost T2 na čase t >
MRT-08-P6-Bc.doc
7/7
