M13/I.
A 2006/2007. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első (iskolai) fordulójának
javítási-értékelési útmutatója
Fizika I. kategóriában
A 2006/2007. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai f i z i k á b ó l A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható. Megoldandó az első három feladat és a 4./A és 4./B sorszámú feladatok közül egy szabadon választott. Csak 4 feladat megoldására adható pont. Ha valaki 5 feladat megoldását küld be, a 4./A és 4./B feladat közül a több pontot elérő megoldást vesszük figyelembe.
I. kategória 1. feladat. Az ábrán egy áramkörben lévő telep kapcsain mérhető feszültséget láthatjuk a terhelő ellenállás függvényében. a) Adjuk meg az Uk(Rk) függvényt! b) Mekkora a rövidzárási áram? c) Mekkora a külső ellenálláson leadott teljesítmény maximuma? Megoldás. a) A rövidzárási áram erősségének kiszámításához meg kell határoznunk a telep üresjárási feszültségét és a belső ellenállását. Két egyenletet szolgáltat a mellékelt diagram. Az ábrából leolvasható egy-egy összetartozó értékpár felhasználásával írhatjuk: I1 =
U k1 6 V = = 1,2 A, Rk1 5 Ω
és
I2 =
U k2 10 V = = 0,4 A. Rk2 25 Ω
Ezek felhasználásával az ismeretlen üresjárási feszültségre és belső ellenállásra a következő egyenleteket kapjuk: U 0 = I1 (Rb + Rk1 ), és U 0 = I 2 (Rb + Rk2 ). (2) Innen I1Rb + I1Rk1 = I 2 Rb + I 2 Rk2 ,
ahonnan a telep ismeretlen belső ellenállása: Rb =
I 2 Rk2 − I1Rk1 0,4 A ⋅ 25 Ω − 1,2 A ⋅ 5 Ω = = 5 Ω. I1 − I 2 1,2 A − 0,4 A
Ezzel az üresjárási feszültséget is megkapjuk, ui. (2) bármelyikébe helyettesítve a kapott áramerősség és belső ellenállás értékeket az üresjárási feszültségre a következő adódik: (Ellenőrzés:
U 0 = 1,2 A ⋅ (5 Ω + 5 Ω ) = 12 V. U 0 = 0 ,4 A ⋅ (5 Ω + 25 Ω ) = 12 V. )
A kapott adatokkal már felírhatjuk a kapocsfeszültség – külső ellenállás-függvényt: U k = IRk =
12 V ⋅ Rk U0 ⋅ Rk = . 5 Ω + Rk Rb + Rk
b) A rövidzárási áram erőssége a maximális áram erősségével egyenlő, ami akkor jön lére, ha a telep kapcsait elhanyagolható (0-nak vehető) ellenállású (vastag, kis fajlagos ellenállású) vezetékkel kötjük össze: I max =
U 0 12 V = = 2,4 A. Rb 5 Ω
c) A feladat egy ún. „illesztési probléma”. Kérdés, hogy hogyan kell megválasztani a külső ellenállás értékét, hogy az az adott telepből a lehető legnagyobb teljesítményt vegye ki. Mint tudjuk, ez akkor valósul meg, amikor a külső, terhelő ellenállás megegyezik a telep belső ellenállásával. Ez az állítás a következőképpen látható be.
Ha a terhelő ellenállás nagyon kicsi, akkor a telep belső ellenállásán fejlődik nagy hő, a kivett teljesítmény (a külső ellenálláson fejlődő hő) kicsi. Ha nagyon nagy a terhelő ellenállás, akkor az áramerősség lesz kicsi, és így a kivett teljesítmény ismét csak kicsi. A 0 és végtelen ellenállás (mindkét esetben 0 a kivett teljesítmény) között kell lennie egy akkora ellenállásnak, amelynél ez a teljesítmény maximális. Ennek meghatározása egyszerű szélsőérték-feladat megoldására vezethető vissza. Felhasználjuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget, vagyis azt, hogy két szám mértani közepe mindig kisebb, vagy legfeljebb egyenlő e két szám számtani közepével. Az egyenlőség akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő. A külső ellenálláson leadott teljesítmény Pk = IU k =
Ub Uk . Rb
Ennek a kifejezésnek keressük a maximumát azzal a feltétellel, hogy Ub + Uk = U0 = állandó. Elegendő csak a számláló maximumát meghatározni, mert a belső ellenállás állandó, nem befolyásolja a szélsőértékhez tartozó feszültségek értékét. Mivel U bU k ≤
Ub + Uk U0 = , 2 2
ahol az egyenlőség Ub = Uk esetén áll fenn, a feszültségek szorzata, tehát a fogyasztó által felvett teljesítmény is akkor a legnagyobb, ha U bU k =
U 02 , 4
amit a fogyasztó által felvett teljesítmény képletébe írva: Pk, max =
U 02 144 V 2 = = 7,2 W. 4 Rb 4 ⋅ 5 Ω
2. feladat. Asztalon álló m1 = 100 g tömegű kiskocsihoz fonalat erősítünk, és a csigán átvetett fonál másik végére m2 = 50 g tömegű kis vödröt akasztunk, Van még 350 g tömegű homokunk, aminek egyik részét a kocsira, a maradékot pedig a vödörbe öntjük. A rendszert magára hagyjuk. (A súrlódás mindenütt elhanyagolható.) a) Mennyi homokot kell a vödörbe öntenünk, hogy a fonalat 0,8 N erő feszítse? b) Mennyit kell a homokból a vödörbe öntenünk, hogy a fonál a lehető legfeszesebb legyen? Mekkora erővel terheli ekkor a vödör a fonalat? (Számoljunk g = 10 m/s2-tel!) Megoldás. a) Jelöljük a kísérletben szereplő össztömeget m-mel, amely tehát m = m1 + m2 + m3 = 500 g = 0,5 kg. Legyen a vödör és a benne levő homok együttes tömege x. Ekkor a kocsi tömege a benne levő homokkal m – x. A fonálerőt jelöljük K-val! Ezekkel a két test mozgásegyenlete (figyelembe véve, hogy a fonál nyújthatatlan vagyis a két test gyorsum-x K lásának nagysága egyenlő): xg − K = xa K = (m − x ) a.
A két egyenletet összeadva:
xg = ma ,
K x xg
ahonnan a testek gyorsulásának nagysága: a=
x g. m
Ezt a fonálerő képletébe írva: x x2 mx − x 2 g− g= g. m m m
K =m
Ahhoz, hogy a fonálerő a 0,8 N éréket vegye fel, x-re másodfokú egyenlet adódik: 0,8 N =
0,5 kg ⋅ x − x 2 m ⋅10 2 , 0,5 kg s
mérőszám-egyenlet formájában (tehát dimenzió nélkül): 0,8 =
5 x − 10 x 2 , 0,5
azaz x 2 − 0,5 x + 0 ,04 = 0.
Ennek az egyenletnek két megoldása van: x1,2 =
0 ,5 ± 0,25 − 4 ⋅ 0 ,04 x1 = 0 ,4 = x2 = 0 ,1 2
Eszerint két érték esetén is felveheti a fonálerő ugyanazt a mértéket. E kettő között kell, hogy legyen legnagyobb. A vödör és a benne levő homok együttes tömege tehát lehet.
x1 = 0,4 kg, vagy
x2 = 0,1 kg
Levonva ebből a vödör 0,05 kg tömegét, a vödörbe öntendő homok tömegére 0,35 kg = 350 g,
vagy
0,05 kg = 50 g adódik.
b) A fonálerő az x-nek másodfokú függvénye: K=
(m − x )x g . mx − x 2 g= m m
Ennek a maximuma a számláló maximumánál van, ami a számtani és mértani közép közötti összefüggésből adódóan akkor a legnagyobb, amikor (m – x) = x teljesül (e két tényező összege ui. állandó: m). Ebből következik, hogy x=
m . 2
Ez belátható még a következőképpen is: az mx –mx2 másodfokú függvény zérushelyeit kell megkeresnünk, ui. a kettő között „félúton” van a függvény maximális értéke: K
0
Esetünkben
m 2
m
x
m = 250 g. Levonva a vödör tömegét, a vödörben levő homok tömegére mx = 200 g 2
adódik. A fonálerő legnagyobb érékére tehát
mm m − mx − x 250 g ⋅ 250 g m m 22 g= g= 10 2 = 1250 g 2 = 1,25 N = m m 500 g s s 2
K max
adódik. 3. feladat. Héliumból és nitrogénből álló gázkeveréket állandó nyomáson melegítünk. A gázzal közölt hő és a gáz munkájának aránya 8/3. Hányszorosa a He atomok száma az N2 molekulákénak? Mekkora a gázok tömegének aránya? Megoldás. Jelöljük a He atomok számát N1-gyel, a N2 molekulák számát N2-vel. A feladat szerint a felvett hő és végzet munka aránya Q/W = 8/3. Az első főtétel szerint ∆E = Q + Wgázon = Q − W =
Q 8 5 Q W − W = W − 1 = W − 1 = W . W 3 3 W
Állandó nyomáson a gáz által végzett munka nagysága: W = p∆V = (N1 + N 2 ) k ∆T.
A belső energia magváltozása: ∆E =
3 5 5 3 N1k ∆T + N 2 k ∆T = N1 + N 2 k ∆T. 2 2 2 2
Az energia és a munka hányadosa: 5 3 N1 + N 2 k ∆T ∆E 5 2 2 = = . (N1 + N 2 )k ∆T W 3
Innen 5 (N1 + N 2 ) =
3 (3N1 + 5 N 2 ) → 10 N1 + 10 N 2 = 9 N1 + 15 N 2 . 2
Rendezve: N1 = 5 N 2 ,
azaz N1 = 5. N2
A keverékben tehát ötször annyi He-atom van, mint N2 molekula. A hélium móltömege M 1 = 4
g g , a nitrogéné M 2 = 28 . mol mol
A gázok tömege külön-külön: m1 =
N1 M 1 és A
m2 =
N2 M2, A
ahol A az Avogadro-szám. A két egyenletet osztva egymással: m1 N1M 1 20 = = = 0,714. m2 N 2 M 2 28
4./A feladat. Alapjára állított R = 2 cm sugarú henger r = 1 cm sugarú nyitott csőben folytatódik. A hengerben l = 20 cm magas, 0 oC hőmérsékletű levegőoszlop felett m = 0,4 kg tömegű, súrlódásmentesen mozgatható dugattyú helyezkedik el. A dugattyú felett a hengerben H = 12 cm, a csőben h = 26 cm magas higanyoszlop található. A külső légnyomás p0 = 101 kPa, a higany sűrűsége ρ = 13600 kg/m3, számoljunk g = 10 m/s2-tel! a) Mennyivel emelkedik a higany felső szintje, ha a bezárt levegőt 100 oC-ra melegítjük? b) Mennyi hőt vesz fel eközben a bezárt levegő? Megoldás. a) A kezdeti hőmérséklet: a végső hőmérséklet: a henger keresztmetszete: a levegő kezdeti térfogata: a levegő kezdeti nyomása:
T1 = 273 K, T2 = 373 K, A = R2π = 12,56.10–4 m2 V = Al = 251,2.10–6 m3
m 0 ,4 kg ⋅10 2 kg m mg s = 1,56 ⋅105 Pa. A p1 = p0 + (h + H ) ⋅ ρ ⋅ g + = 1,01 ⋅105 Pa + 0,38 m ⋅13600 3 ⋅10 2 + A m s 12 ,56 ⋅10 − 4 m 2
levegő mennyisége: n=
p1V1 1,56 ⋅105 Pa ⋅ 251,1 ⋅10 −6 m 3 = = 0,017 mol. J RT1 8,31 ⋅ 273 K mol ⋅ K
Ha a dugattyú emelkedése x, akkor a területarányok miatt a higanyoszlop a hengerben x-szel csökken, és a csőben 4x-szel nő, tehát a higanyoszlop teljes hossznövekedése 3x. Így a higanyoszlop hidrosztatikai nyomása megnő. A levegő végső állapotára felírható állapotegyenlet:
( p1 + 3xρ g )(V1 + A x) = nRT2 . Behelyettesítés után az x-re kapott másodfokú egyenlet dimenzió nélkül: x 2 + 0 ,582 x − 0 ,027 = 0.
Ennek megoldása: x1,2 =
− 0,582 ±
(− 0,582)2 + 4 ⋅ 0,027 2
=
0,043 − 0,625
Fizikailag értelmes megoldás az x = 0,043 m. A higanyszint emelkedése a felső csőben ∆h = 4 x = 4 ⋅ 0 ,043 = 0,172 m = 17,2 cm.
b) A térfogatváltozás során egyenletesen nő a nyomás: p
V2 = V1 + Ax = 306 ,2 ÷ 10 −6 m 3 ,
p2
p2 = p1 + 3x ρ g =1,735 ⋅105 Pa
p1
A felvett hő az első főtétel alapján határozható meg:
V1
V2 V
Q = ∆E − W , p + p2 ⋅ ∆V = −8,9 J, A gázon végzett munka: W = − 1 2
f 2
5 2
a belső energia megváltozása: ∆E = nR∆T = 0 ,017 mol ⋅ 8,31
J 100 K = 35,3 J. Ezek felmol ⋅ K
használásával a gáz által felvett hő:
Q = ∆E − W = 35,3 J + 8,9 J = 44,2 J.
4./B feladat. Egy kerékpárjával együtt m = 96 kg tömegű versenyző nyugalomból indulva R = 20 m sugarú körön úgy hajt, hogy a talaj által kifejtett erő érintőleges komponense állandó Fé = 80 N nagyságú. Így haladva ϕ = 120o-os körívet fut be, majd egyenes pályán folytatja útját. Legalább mekkora volt a talaj és a kerékpár közötti tapadási súrlódás együtthatója? A közegellenállástól tekintsünk el! Megoldás. Adatok:
Keressük:
m = 96 kg R = 20 m Fé = 80 N ϕ = 120o v0 = 0 µmin = ?
A kerékpáros által a köríven megtett út:
s = Rϕ = R
2π . 3
A kerékpáros érintő menti gyorsulása: aé =
Fé . m
A kerékpáros sebessége a körív végén: F 2π Fé Rϕ = 2 é R . m 3 m A kerékpáros normál (sugármenti) gyorsulása a körív végén: v2 4F π ar = max = é . R 3m A kerékpárosra ható sugármenti (normál, centripetális) erőkomponens: 4F π Fr = mar = é . 3 A kerékpárosra ható eredő erő nagysága a körív végén: vmax = 2aé s = 2
2
4π + = Fé + 1. ∑F = 3 Ezt az erőt a talaj fejti ki, a csúszásmentes kerékpározásnál a tapadási súrlódási erővel. A tapadási súrlódási erő legnagyobb értéke: Ftap = µ min mg . Fr2
Fé2
(Ha ennél nagyobb a tapadási együttható, azt a mozgás nem használja ki.) Innen: F µ min = ∑ = mg
2
2
Fé 4π 80 4π + 1 = 0 ,3658 ≈ 0,37. +1 = mg 3 96 ⋅ 9 ,81 3
A 2006/2007. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának pontozási útmutatója az I. kategória számára A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható. Megoldandó az első három feladat és a 4./A és 4./B sorszámú feladatok közül egy szabadon választott. Csak 4 feladat megoldására adható pont. Ha valaki 5 feladat megoldását küld be, a 4./A és 4./B feladat közül a több pontot elérő megoldást vesszük figyelembe.
Minden feladat teljes megoldása 20 pontot ér. Részletes, egységes pontozás nem adható meg a feladatok természetéből következően, ugyanis egy-egy helyes megoldáshoz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet. A feladat numerikus végeredményével megközelítően azonos eredményt kihozó megoldó erre a részfeladatra 0 pontot kap, amennyiben elvileg helytelen úton jut el. Fizikailag értelmes gondolatmenet estén a kis numerikus hiba elkövetése ellenére (a részfeladat terjedelmétől függően) 2 – 5 pont vonható le. Az I. kategória feladatmegoldásainak pontozása 1. feladat. a) A diagram helyes értékelése, két adatpárból a belső ellenállásra és üresjárási feszültségre kapott egyenlet felírása A belső ellenállás és az üresjárási feszültség meghatározása b) A rövidzárási áram erősségének helyes meghatározása c) Annak magyarázata, hogy miért van a teljesítménynek maximuma A szélsőértéke feladatnak a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenségére való visszavezetése (vagy ezzel egyenértékű geometriai megfontolás kifejtése) A szélsőérték meghatározása
5 pont. 1-1 pont. 4 pont. 2 pont. 5 pont. 2 pont.
2. feladat. a) A két mozgásegyenlet helyes felírása
4 pont.
A két test gyorsulásának kifejezése
1 pont.
A fonálerő kifejezése a tömegek eloszlásával
4 pont.
A keresett homoktömeg két lehetséges értékének kiszámítása
4 pont.
b) A fonálerő szélsőértékét meghatározó függvény helyes felírása
4 pont.
A szélsőértékhez tartozó tömegeloszlás meghatározása
2 pont.
A maximális fonálerő kiszámítása
1 pont.
3. feladat. Az első főtétel helyes felírása a feltétel figyelembevételével
5 pont.
Az izobár folyamatban végzett munka helyes felírása a részecskeszámokkal
2 pont.
A belső energiaváltozás helyes felírása a részecskeszámokkal
2 pont.
A belsőenergia-változás és munka arányának felírása a részecskeszámokkal
4 pont.
A molekulafajtás számarányának helyes meghatározása
4 pont.
A kétféle gáz tömegarányának meghatározása
3 pont.
4./A feladat. a) A bezárt levegő kezdeti nyomásának meghatározása
3 pont.
A levegő mennyiségének meghatározása
2 pont.
Az állapotegyenlet helyes felírása
5 pont.
A szintemelkedés kiszámítása
3 pont.
b) A gázon végzett munka kiszámítása
4 pont.
A belső energia változásának meghatározása
1 pont.
A felvett hő meghatározása
2 pont.
4./B feladat. A kerékpáros által a körív végéig megtett út meghatározása
1 pont.
Az érintőmenti gyorsulás felírása
1 pont.
A körív végére elért maximális sebesség meghatározása
4 pont.
A gyorsulás sugármenti összetevőjének helyes felírása
2 pont.
Az eredő erő sugármenti összetevőjének meghatározása
2 pont.
Az eredő erő helyes felírása
4 pont.
Az eredő erő a tapadási erővel való azonosítása
3 pont.
A tapadási súrlódás együtthatójának helyes felírása
2 pont.
A helyes számérték meghatározása
1 pont.
