2001 Michal Marvan

Matematick´y ustav ´ Slezske´ univerzity v Opaveˇ Uˇcebn´ı texty k pˇrednaˇ ´ sce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

16. Skal´arn´ı souˇcin Vektory obecnˇe jsme definovali jako prvky vektorov´eho prostoru. Algebraick´a struktura vektorov´eho prostoru urˇcuje, jak se vektory sˇc´ıtaj´ı a n´asob´ı skal´ary. V geometrii (napˇr. v prostorech E 2 , E 3 ) se s vektory spojuj´ı dalˇs´ı uˇziteˇcn´e veliˇciny, napˇr. d´elka vektoru cˇ i odchylka dvou vektor˚u, kter´e nejsou odvoditeln´e z pouh´ych algebraick´ych operac´ı vektorov´eho prostoru. Tyto veliˇciny mohou b´yt zavedeny i v pˇr´ıpadˇe obecn´eho vektorov´eho prostoru, je k tomu ovˇsem potˇrebn´a jeˇstˇe jist´a dodateˇcn´a struktura s vlastn´ımi axiomy. Pˇr´ısluˇsn´e axiomy vych´azej´ı velmi jednoduˇse, je-li onou dodateˇcnou strukturou skal´arn´ı souˇcin. Je to speci´aln´ı zobrazen´ı, kter´e dvojici vektor˚u pˇriˇrazuje skal´ar. Obecn´y skal´arn´ı souˇcin nejen obohacuje algebru o geometrick´e ideje, ale m´a i d˚uleˇzit´e fyzik´aln´ı aplikace. Definice. Bud’ V vektorov´y prostor nad polem re´aln´ych cˇ´ısel R. Eukleidovsk´y skal´arn´ı souˇcin na V je zobrazen´ı g : V × V → R, splˇnuj´ıc´ı pro libovolnou trojici vektor˚u u, v, w ∈ V a libovoln´y skal´ar a ∈ R 1◦ g(u +v, w) = g(u, w)+g(v, w) a g(au, w) = ag(u, w) (linearita v prvn´ım argumentu); 2◦ g(u, v) = g(v, u) (symetrie); 3◦ Jestliˇze u = 0, pak g(u, u) > 0 (pozitivn´ı definitnost). Cviˇcen´ı. (1) Ukaˇzte, zˇ e eukleidovsk´y skal´arn´ı souˇcin je line´arn´ı i v druh´em argumentu. (2) Ukaˇzte, zˇ e pro libovoln´y vektor u plat´ı g(0, u) = g(0, u) = 0. N´avod: g(0, u) = g(0 · u, u). (3) D˚usledek: g(u, u) ≥ 0 pro kaˇzd´e u ∈ V , pˇriˇcemˇz g(u, u) = 0 ⇔ u = 0. Pˇr´ıklad. Ve vektorov´em prostoru E 3 nad polem R uvaˇzujme o dvou vektorech u, v. Kolm´y pr˚umˇet vektoru u do podprostoru [[v]] oznaˇcme u [[v]] . Je-li φ odchylka vektor˚u u, v a |u| d´elka vektoru u, je |u| cos φ = ±|u [[v]] | d´elka vektoru u [[v]] opatˇren´a znam´enkem + nebo − podle toho, jsou-li vektory u [[v]] a v orientov´any souhlasnˇe cˇ i opaˇcnˇe. Souˇcin ❆❑❆ u ❆ g(u, v) = ±|u [[v]] | |v| = |u||v| cos φ ☛ ❆ φ ·✛ ❆ ✲ [[v]] v splˇnuje axiomy 1◦ –3◦ skal´arn´ıho souˇcinu (cviˇcen´ı). u [[v]] Pˇr´ıklad. Pro vektory u = (u 1 , . . . , u n ), v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn poloˇzme g(u, v) = u 1 v1 + · · · + u n vn . Pak g je skal´arn´ı souˇcin na Rn . Naz´yv´a se standardn´ı skal´arn´ı souˇcin na Rn .

Kromˇe standardn´ıho skal´arn´ıho souˇcinu m´ame na Rn jeˇstˇe nekoneˇcn´e mnoˇzstv´ı dlaˇs´ıch skal´arn´ıch souˇcin˚u. Cviˇcen´ı. Bud’te a1 , . . . , an kladn´a re´aln´a cˇ´ısla. Pro vektory u = (u 1 , . . . , u n ), v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn poloˇzme g(u, v) = a1 u 1 v1 + · · · + an u n vn . Pak g je skal´arn´ı souˇcin na Rn .

V kapitole o kvadratick´ych form´ach z´ısk´ame u´ pln´y popis vˇsech skal´arn´ıch souˇcin˚u na vektorov´em prostoru V dimenze n > 1.

16. Skal´arn´ı souˇcin

V matematick´e anal´yze se zav´adˇej´ı d˚uleˇzit´e skal´arn´ı souˇciny na nekoneˇcnˇerozmˇern´ych vektorov´ych prostorech. Studuj´ı se r˚uzn´e prostory Lebesgueovsky integrovateln´ych funkc´ı, jako je prostor L 2 (a, b) b 2 vˇsech funkc´  bı f takov´ych, zˇ e existuje a f d x. Skal´arn´ı souˇcin dvou takov´ych funkc´ı se definuje formul´ı ( f, g) = a f g d x. V takov´ych prostorech pak hraj´ı d˚uleˇzitou roli i ot´azky konvergence a spojitosti. V algebˇre se proto budeme drˇzet koneˇcnˇerozmˇern´ych vektorov´ych prostor˚u. Tvrzen´ı a vˇety vˇsak budeme formulovat a dokazovat v nejvˇetˇs´ı dostupn´e obecnosti.

Existuje jeˇstˇe hermiteovsk´y skal´arn´ı souˇcin ve vektorov´ych prostorech nad polem komplexn´ıch cˇ´ısel C. Hermiteovsk´a geometrie m´a fyzik´aln´ı aplikace zejm´ena v kvantov´e mechanice. Definice. Bud’ V vektorov´y prostor nad polem C. Hermiteovsk´y skal´arn´ı souˇcin na V je zobrazen´ı g : V × V → C, splˇnuj´ıc´ı pro libovolnou trojici vektor˚u u, v, w ∈ V a skal´ar a ∈ C 1◦ g(u + v, w) = g(u, w) + g(v, w) a g(au, w) = ag(u, w) (linearita v prvn´ım argumentu); 2 g(u, v) = g(v, u)∗ (kos´a symetrie; ∗ oznaˇcuje komplexn´ı sdruˇzen´ı); 3◦ Jestliˇze u = 0, pak g(u, u) > 0 (pozitivn´ı definitnost). Cviˇcen´ı. Bud’te a1 , . . . , an kladn´a re´aln´a cˇ´ısla. Pro vektory u = (u 1 , . . . , u n ), v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn poloˇzme g(u, v) = a1 u 1 v1∗ + · · · + an u n vn∗ . Pak g je hermiteovsk´y skal´arn´ı souˇcin na Cn . Hermiteovsk´y skal´arn´ı souˇcin nen´ı line´arn´ı ve druh´em argumentu: Cviˇcen´ı. Pro hermiteovsk´y skal´arn´ı souˇcin plat´ı v druh´em argumentu aditivita g(u, v +w) = g(u, v)+ g(u, w), ale nam´ısto homogenity m´ame rovnost g(u, av) = a ∗ g(u, v). Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e pro hermiteovsk´y skal´arn´ı souˇcin je g(u, u) vˇzdy re´aln´e cˇ´ıslo. Proto se v axiomu 3◦ sm´ı vyskytnout nerovnost. (Pro u = v nerovnost g(u, v) ≥ 0 obecnˇe nem´a smysl!)

Vektorov´y prostor s eukleidovsk´ym skal´arn´ım souˇcinem se naz´yv´a eukleidovsk´y prostor, s hermiteovsk´ym skal´arn´ım souˇcinem se naz´yv´a hermiteovsk´y nebo unit´arn´ı prostor. Oba dva typy prostor˚u budeme spoleˇcnˇe naz´yvat prostor se skal´arn´ım souˇcinem. Pˇredpokl´adejme nad´ale, zˇ e je d´an vektorov´y prostor V s pevnˇe zvolen´ym skal´arn´ım souˇcinem g. Zjednoduˇs´ıme si oznaˇcen´ı a symbol g budeme vynech´avat. Tedy (u, v) = g(u, v). Definice. Bud’ v ∈ V . Oznaˇcme v =



(v, v)

ˇ ıslo v se naz´yv´a (odmocnina se bere s kladn´ym znam´enkem; pˇripomeˇnme, zˇ e (v, v) ≥ 0). C´ d´elka vektoru v. Vektor d´elky 1 se naz´yv´a jednotkov´y nebo normovan´y. D´elka vektoru je zˇrejmˇe re´aln´e cˇ´ıslo i v pˇr´ıpadˇe hermiteovsk´eho skal´arn´ıho souˇcinu. Cviˇcen´ı. (1) v = 0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz v = 0. (2) Pro kaˇzd´y vektor v = 0 je vektor v/v normovan´y:    v     v  = 1. (3) Ukaˇzte, zˇ e av = |a|v pro kaˇzd´y vektor v a skal´ar a; |a| pˇritom oznaˇcuje absolutn´ı hodnotu cˇ´ısla a. Vˇse plat´ı i v pˇr´ıpadˇe hermiteovsk´eho skal´arn´ıho souˇcinu.

2

16. Skal´arn´ı souˇcin

Nerovnosti N´asleduj´ıc´ı Cauchy–Buˇnakovsk´eho–Schwarzova nerovnost je z´akladem mnoha dalˇs´ıch v´ysledk˚u. V literatuˇre se vyskytuj´ı r˚uzn´e d˚ukazy; uvedeme jeden, kter´y se snadno pamatuje. Tvrzen´ı (Cauchy–Buˇnakovsk´eho–Schwarzova nerovnost). Pro libovoln´e dva vektory u, v ∈ V plat´ı |(u, v)| ≤ uv. Rovnost nast´av´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz jsou vektory u, v z´avisl´e. Dukaz. ˚ Je-li u = 0 nebo v = 0, pak jsou u, v z´avisl´e a zˇrejmˇe plat´ı i (ne)rovnost. Necht’tedy u = 0 a v = 0. Staˇc´ı dokazovat pˇr´ıpad u = v = 1; obecn´y se na nˇej pˇrevede z´amˇenou u za u/u a v za v/v (cviˇcen´ı). V eukleidovsk´em pˇr´ıpadˇe pak m´ame 0 ≤ 12 u ± v2 = 12 (u ± v, u ± v) =

1 2 (u, u)

± (u, v) ± (v, u) + (v, v)



= 1 ± (u, v). Odtud ∓(u, v) ≤ 1, a tedy |(u, v)| ≤ 1. Jestliˇze plat´ı rovnost |(u, v)| = 1, pak (u, v) = ±1, naˇceˇz 0 = 1 ∓ (u, v) = 12 u ∓ v2 , a tedy u ∓ v = 0 a u, v jsou z´avisl´e. V hermiteovsk´em pˇr´ıpadˇe je d˚ukaz sloˇzitˇejˇs´ı. Zaˇcneme v´ypoˇctem   0 ≤ 12 u − v2 = 12 (u − v, u − v) = 12 (u, u) − (u, v) − (v, u) + (v, v)   = 1 − 12 (u, v) + (u, v)∗ = 1 − re(u, v). V t´eto formuli sm´ıme vektor u vydˇelit libovoln´ym cˇ´ıslo φ ∈ C takov´ym, zˇ e |φ| = 1, jeˇzto t´ım z˚ustane zachov´ana podm´ınka u = 1; dostaneme  2    1 u u   0 ≤  − v  = 1 − re ,v . 2 φ φ Pˇr´ıpad (u, v) = 0 je trivi´aln´ı (nerovnost zˇrejmˇe plat´ı), pˇredpokl´adejme tedy, zˇ e (u, v) = 0. Nyn´ı zvol´ıme φ = (u, v)/|(u, v)|. Pak skuteˇcnˇe |φ| = 1 (cviˇcen´ı), naˇceˇz   (u, v) u |(u, v)| = re |(u, v)| = re = re , v ≤ 1. φ φ Plat´ı-li rovnost |(u, v)| = 1, pak (pˇri stejn´em φ jako nahoˇre) m´ame re(u/φ, v) = |(u, v)| = 1, naˇceˇz 0 = 1 − re(u/φ, v) = 12 u/φ − v2 , a tedy u/φ − v = 0 a u, v jsou z´avisl´e.

N´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı lze interpretovat jako zn´amou nerovnost mezi stranami troj´uheln´ıka: Tvrzen´ı (Troj´uheln´ıkov´a nerovnost). Necht’ u, v ∈ V . Pak u + v ≤ u + v a rovnost plat´ı pr´avˇe tehdy, jsou-li vektory u, v z´avisl´e. Dukaz. ˚ Eukleidovsk´y pˇr´ıpad: u + v2 = u2 + 2(u, v) + v2 ≤ u2 + 2uv + v2 = (u + v)2 . Zbytek: cviˇcen´ı. 3

16. Skal´arn´ı souˇcin

Odchylka vektoru˚ V eukleidovsk´em pˇr´ıpadˇe lze Cauchy–Buˇnakovsk´eho–Schwarzovu nerovnost zapsat i ve tvaru (u, v) −1 ≤ ≤ 1. uv Goniometrick´a funkce cos zn´am´a z matematick´e anal´yzy je spojit´a a klesaj´ıc´ı na intervalu [0, π] a nab´yv´a na nˇem vˇsech hodnot z intervalu [−1, 1], kaˇzd´e pr´avˇe jednou. Definice. Pro kaˇzdou dvojici nenulov´ych vektor˚u u, v eukleidovsk´eho vektorov´eho prostoru se jedin´e re´aln´e cˇ´ıslo φ takov´e, zˇ e 0 ≤ φ ≤ π a cos φ =

(u, v) uv

naz´yv´a odchylka vektor˚u u, v. V hermiteovsk´em vektorov´em prostoru m´ame alespoˇn 0≤

|(u, v)| ≤ 1. uv

Druh´a mocnina tohoto cˇ´ısla m´a pravdˇepodobnostn´ı interpretaci v kvantov´e mechanice.

Ortogonalita V´yklad se opˇet t´yk´a eukleidovsk´eho i hermiteovsk´eho pˇr´ıpadu. ˇ ık´ame, zˇ e vektory u, v ∈ V jsou kolm´e cˇ ili ortogon´aln´ı, je-li (u, v) = 0. Zapisujeme Definice. R´ u ⊥ v. Cviˇcen´ı. Dva vektory jsou kolm´e tehdy a jen tehdy, je-li jejich odchylka π/2.

Definice. Soustava vektor˚u u 1 , . . . , u n se naz´yv´a ortogon´aln´ı, je-li u i ⊥ u j pro vˇsechna i = j. Ortogon´aln´ı soustava normovan´ych vektor˚u se naz´yv´a ortonorm´aln´ı. Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e pro ortogon´aln´ı soustavu u 1 , . . . , u n plat´ı Pythagorova vˇeta v podobˇe u 1 + · · · + u n 2 = u 1 2 + · · · + u n 2 .

Gramm–Schmidtova ortogonalizace Tvrzen´ı. V kaˇzd´em koneˇcnˇerozmˇern´em vektorov´em prostoru se skal´arn´ım souˇcinem existuje ortonorm´aln´ı b´aze. D˚ukaz je zaloˇzen na proceduˇre zvan´e Gramm–Schmidtova ortogonalizace. 4

16. Skal´arn´ı souˇcin

Dukaz. ˚ Bud’ u 1 , . . . , u n libovoln´a b´aze ve V . Nalezneme vektory e1 , . . . , en podle n´asleduj´ıc´ıho n´avodu: 1) Poloˇz´ıme e1 = u 1 . 2) Jsou-li jiˇz stanoveny (navz´ajem kolm´e) vektory e1 , . . . , ek , poloˇz´ıme ek+1 = u k+1 −

k (u k+1 , ei )

(ei , ei )

i=1

ei .

Pak ek ⊥ el pro vˇsechna l = k. Dokaˇzme to pro dvojice l < k indukc´ı vzhledem ke k. Pro k = 1 nen´ı co dokazovat, protoˇze zˇ a´ dn´e l neexistuje. Je-li tvrzen´ı jiˇz dok´az´ano pro nˇejak´e k, m´ame pro l < k + 1 (tj. l ≤ k) 

(ek+1 , el ) = u k+1 −

k (u k+1 , ei ) i=1

(ei , ei )

k (u k+1 , ei )

= (u k+1 , el ) −

i=1

(ei , ei )



ei , el

(ei , el )

= (u k+1 , el ) − (u k+1 , el ) = 0, protoˇze (ei , el ) = 0 pro i = l (indukˇcn´ı pˇredpoklad). Nakonec normalizujeme: poloˇz´ıme e¯i = ei /ei . Protoˇze soustava vektor˚u e¯1 , . . . , e¯n vznik´a element´arn´ımi u´ pravami b´aze u 1 , . . . , u n , je rovnˇezˇ baz´ı. Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e pˇri Gramm–Schmidtovˇe ortogonalizaci plat´ı [[e¯1 , . . . , e¯n ]] = [[e1 , . . . , en ]] = [[u 1 , . . . , u n ]].

Geometrick´a podstata Gramm–Schmidtovy ortogonalizace je n´asleduj´ıc´ı: k vektoru u k+1 pˇriˇc´ıt´ame vhodn´y vektor wk+1 z podprostoru [[e1 , . . . , ek ]] tak, aby vznikl´y souˇcet ek+1 byl

k kolm´y ke vˇsem vektor˚um e1 , . . . , ek . Pˇriˇc´ıtan´y vektor wk+1 = − i=1 (u k+1 , ei )ei /(ei , ei ) je shodou okolnost´ı jedin´y moˇzn´y (cviˇcen´ı). ❖❈ ❈

e1 = u 1 ❈

u2

✒❈

❈ w2 ∈ [[e1 ]] ❈ ✿❈ ✘✘

❈

✘ ❈✘✘✘e2

Gramm–Schmidtova ortogonalizace m˚uzˇ e prob´ıhat i soubˇezˇ nˇe s normalizac´ı, podle vzorc˚u ek+1 = u k+1 −

k

(u k+1 , e¯i )e¯i ,

e¯i =

i=1

ei . ei 

Uvˇedomme si vˇsak, zˇ e vektory e¯i mohou obsahovat iracionality (odmocniny) i v pˇr´ıpadech, kdy jsou vektory u i celoˇc´ıseln´e cˇ i racion´aln´ı. V takov´ych pˇr´ıpadech je pˇri praktick´em poˇc´ıt´an´ı v´yhodnˇejˇs´ı odloˇzit normalizaci aˇz nakonec, tj. postupovat podle procedury uveden´e v d˚ukazu. 5

16. Skal´arn´ı souˇcin

Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e kaˇzd´a ortogon´aln´ı soustava nenulov´ych vektor˚u je line´arnˇe nez´avisl´a. N´avod: Rovnici c1 e1 + · · · + cn en = 0 skal´arnˇe n´asobte jednotliv´ymi vektory e1 , . . . , en . Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e pokud jsou vektory u i z´avisl´e, pak pˇri Gramm–Schmidtovˇe ortogonalizaci nˇekter´y z vektor˚u ei vyjde nulov´y. (N´avod: vyuˇzijte v´ysledek pˇredchoz´ıho cviˇcen´ı.)

V ortonorm´aln´ıch baz´ıch poˇc´ıt´ame souˇradnice vektoru u jako skal´arn´ı souˇciny s vektory b´aze: Cviˇcen´ı. Souˇradnice (x1 , . . . , xn ) vektoru u v ortonorm´aln´ı b´azi e1 , . . . , en jsou xi = (u, ei ). Cviˇcen´ı. Jsou-li (x1 , . . . , xn ) souˇradnice vektoru u a (y1 , . . . , yn ) souˇradnice vektoru v v nˇekter´e ortonorm´aln´ı b´azi, pak (1) v eukleidovsk´em pˇr´ıpadˇe (u, v) = x1 y1 + · · · + xn yn ; (2) v hermiteovsk´em pˇr´ıpadˇe (u, v) = x1 y1∗ + · · · + xn yn∗ .

Ortogon´aln´ı doplnˇek Definice. Je-li U ⊆ V podprostor vektorov´eho prostoru V se skal´arn´ım souˇcinem, poloˇz´ıme U ⊥ = {v ∈ V | v ⊥ u pro vˇsechna u ∈ U }. Podmnoˇzina U ⊥ ⊆ V se naz´yv´a ortogon´aln´ı doplnˇek podprostoru U . U⊥ U Tvrzen´ı. Ortogon´aln´ı doplnˇek U ⊥ je podprostor ve V . Dukaz. ˚ Cviˇcen´ı. ˙ U ⊥ a plat´ı Tvrzen´ı. Je-li prostor V koneˇcnˇerozmˇern´y, dim V = n, pak V = U + dim U ⊥ = n − dim U. Dukaz. ˚ Necht’dim U = m. Zvolme b´azi u 1 , . . . , u m v U a doplˇnme ji vektory u m+1 , . . . , u n do b´aze ve V . Ortonormalizac´ı necht’vzniknou vektory e1 , . . . , en . Pˇritom U = [[u 1 , . . . , u m ]] = [[e1 , . . . , em ]] (soustava e1 , . . . , em vznik´a element´arn´ımi u´ pravami soustavy u 1 , . . . , u m ). Ukaˇzme, zˇ e U ⊥ = [[em+1 , . . . , en ]]. Inkluze U ⊥ ⊇ [[em+1 , . . . , en ]] plat´ı, protoˇze kaˇzd´y vektor ei , i = m + 1, . . . , n, je kolm´y ke vˇsem vektor˚um ei , i = 1, . . . , m, a potaˇzmo i ke vˇsem vektor˚um podprostoru [[e1 , . . . , em ]] = U (cviˇcen´ı). Nyn´ı dok´azˇ eme inkluzi U ⊥ ⊆ [[em+1 , . . . , en ]]. Necht’ v = y1 e1 + · · · + yn en ∈ U ⊥ . Pak v ⊥ ei pro i = 1, . . . , m, a tedy 0 = (v, ei ) = (y1 e1 + · · · + yn en , ei ) = yi (ei , ei ) = yi pro i = 1, . . . , m. Tud´ızˇ , v = ym+1 em+1 + · · · + yn en ∈ [[em+1 , . . . , en ]]. ˙ [[em+1 , . . . , en ]] = Odtud dim U ⊥ = n − m a t´ezˇ V = [[e1 , . . . , en ]] = [[e1 , . . . , em ]] + ⊥ ˙ U . U+ 6

16. Skal´arn´ı souˇcin

Tvrzen´ı. Bud’ V koneˇcnˇerozmˇern´y vektorov´y prostor se skal´arn´ım souˇcinem, bud’te U, U1 , U2 jeho podprostory. (i) Jestliˇze U1 ⊆ U2 , pak U1⊥ ⊇ U2⊥ . (ii) U ⊥⊥ = U . (iii) (U1 + U2 )⊥ = U1⊥ ∩ U2⊥ . (iv) (U1 ∩ U2 )⊥ = U1⊥ + U2⊥ . Dukaz. ˚ (i) Cviˇcen´ı. (ii) Kaˇzd´y vektor z U je kolm´y ke kaˇzd´emu vektoru z U ⊥ , a proto U ⊆ (U ⊥ )⊥ . Pˇritom dimenze jsou stejn´e: dim(U ⊥ )⊥ = dim V − dim U ⊥ = dim V − (dim V − dim U ) = dim U . Tud´ızˇ , (U ⊥ )⊥ = U . (iii) a (iv): Pro i = 1, 2 m´ame Ui ⊆ U1 + U2 , a proto podle (i) je Ui⊥ ⊇ (U1 + U2 )⊥ . Pak ale (1) U1⊥ ∩ U2⊥ ⊇ (U1 + U2 )⊥ . Analogicky U1⊥ + U2⊥ ⊆ (U1 ∩ U2 )⊥

(2)

(cviˇcen´ı). Ale pro dvojici U1⊥ , U2⊥ plat´ı (1) t´ezˇ : U1 ∩ U2 = U1⊥ ⊥ ∩ U2⊥ ⊥ ⊇ (U1⊥ + U2⊥ )⊥ , naˇceˇz podle (i) je (U1 ∩ U2 )⊥ ⊆ (U1⊥ + U2⊥ )⊥⊥ = U1⊥ + U2⊥ . Odtud a z (2) pak dost´av´ame rovnost (iii). Analogicky (iv). ˙ 2 Cviˇcen´ı. Bud’V koneˇcnˇerozmˇern´y vektorov´y prostor, U1 , U2 jeho podprostory takov´e, zˇ e V = U1 +U ⊥ ⊥ a zˇ e u 1 ⊥ u 2 pro libovoln´e dva vektory u 1 ∈ U1 a u 2 ∈ U2 . Pak U2 = U1 a U1 = U2 .

Ortogon´aln´ı projekce Bud’ U podprostor v koneˇcnˇerozmˇern´em vektorov´em prostoru V se skal´arn´ım souˇcinem; ˙ U ⊥ . Pro kaˇzd´y prvek v ∈ V m´ame jednoznaˇcn´y rozklad uvaˇzujme o pˇr´ım´em souˇctu V = U + v = vU + vU ⊥ , kde vU ∈ U a vU ⊥ ∈ U ⊥ . Vektor vU se naz´yv´a ortogon´aln´ı projekce vektoru v do prostoru U . Vznik´a zobrazen´ı prU : V → U , v → vU , kter´e nazveme ortogon´aln´ı projekce do podprostoru U . Analogicky vznik´a zobrazen´ı prU ⊥ : V → U , v → vU ⊥ . Cviˇcen´ı. Ortogon´aln´ı projekce prU je line´arn´ı zobrazen´ı. Dokaˇzte.

Tvrzen´ı. Bud’e1 , . . . , em ortonorm´aln´ı b´aze v podprostoru U koneˇcnˇerozmˇern´eho vektorov´eho prostoru V se skal´arn´ım souˇcinem. Pak pro kaˇzd´e v ∈ V m´ame prU v = (v, e1 )e1 + · · · + (v, em )em . Dukaz. ˚ Cviˇcen´ı. N´avod: Oznaˇcme em+1 , . . . , en doplˇnuj´ıc´ı vektory do ortonorm´aln´ı b´aze ve V , pak v = (v, e1 )e1 + · · · + (v, em )em + (v, em+1 )em+1 + · · · + (v, en )en . Cviˇcen´ı. V pˇr´ıpadˇe, zˇ e b´aze e1 , . . . , em je pouze ortogon´aln´ı, formule pro ortogon´aln´ı projekci zn´ı prU v =

(v, e1 ) (v, em ) e1 + · · · + em . (e1 , e1 ) (em , em )

Dokaˇzte ji.

7

16. Skal´arn´ı souˇcin

Shodnosti a unit´arn´ı transformace Shodnost je line´arn´ı transformace, kter´a zachov´av´a skal´arn´ı souˇcin. Definice. Bud’ V vektorov´y prostor se skal´arn´ım souˇcinem, bud’ f : V → V line´arn´ı transˇ formace. Rekneme, zˇ e f je shodnost, jestliˇze plat´ı ( f (u), f (v)) = (u, v). V hermiteovsk´em pˇr´ıpadˇe se shodnost naz´yv´a unit´arn´ı transformace, v eukleidovsk´em pˇr´ıpadˇe se bˇezˇ nˇe uˇz´ıv´a n´azev ortogon´aln´ı transformace. Kaˇzd´a shodnost zˇrejmˇe zachov´av´a i d´elky vektor˚u: plat´ı rovnost  f (u) = u, protoˇze plat´ı rovnost  f (u)2 = ( f (u), f (u)) = (u, u) = u2 a d´elky jsou nez´aporn´a cˇ´ısla. Plat´ı vˇsak i opaˇcn´e tvrzen´ı: zobrazen´ı zachov´avaj´ıc´ı d´elky zachov´av´a i skal´arn´ı souˇcin. Tvrzen´ı. Line´arn´ı transformace f : V → V je shodnost pr´avˇe tehdy, kdyˇz zachov´av´a d´elky vektor˚u. Dukaz. ˚ Necht’ f zachov´av´a d´elky vektor˚u. Ukaˇzme, zˇ e f je shodnost. V eukleidovsk´em pˇr´ıpadˇe m´ame u + v2 = (u + v, u + v) = u2 + 2(u, v) + v2 , naˇceˇz (u, v) =

1 2 u

+ v2 − u2 − v2



pro libovoln´e dva vektory u, v ∈ V . Odtud 1 2 2 2  f (u) + f (v) −  f (u) −   1 2 2 2 2  f (u + v) −  f (u) −  f (v)  1 2 2 2 2 u + v − u − v

( f (u), f (v)) = = =

 f (v)2



= (u, v) Podobnˇe postupujeme v hermiteovsk´em pˇr´ıpadˇe, pouze vztah mezi skal´arn´ım souˇcinem a d´elkou je sloˇzitˇejˇs´ı. M´ame u + v2 = u2 + (u, v) + (u, v)∗ + v2 = u2 + 2 re(u, v) + v2 , coˇz staˇc´ı pouze k urˇcen´ı re´aln´e cˇ a´ sti re(u, v). Nicm´enˇe, potom u + iv2 = u2 + 2 re(u, iv) + iv2 = u2 + 2 re i∗ (u, v) + v2 = u2 + 2 im(u, v) + v2 , coˇz staˇc´ı k urˇcen´ı imagin´arn´ı cˇ a´ sti im(u, v). (Dokonˇcete d˚ukaz jako cviˇcen´ı.) Pˇr´ıklad. Rotace kolem poˇca´ tku je shodnost v eukleidovsk´em prostoru E 2 . Podobnˇe rotace kolem libovoln´e osy v eukleidovsk´em prostoru E 3 . Obˇe totiˇz zachov´avaj´ı d´elky vektor˚u.

Tvrzen´ı. Kaˇzd´a shodnost v koneˇcnˇerozmˇern´em vektorov´em prostoru je izomorfismus. Dukaz. ˚ Bud’ f : V → V shodnost. Bud’ u ∈ Ker f libovoln´y vektor, tj. necht’ f (u) = 0. Potom u =  f (u) = 0 = 0, a tedy u = 0. Odtud Ker f = 0 a f je injektivn´ı. D´ale dim Im f = dim V − dim Ker f = dim V , a proto Im f = V a f je surjektivn´ı. Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e shodnosti koneˇcnˇerozmˇern´eho vektorov´eho prostoru se skal´arn´ım souˇcinem tvoˇr´ı grupu vzhledem k bin´arn´ı operaci skl´ad´an´ı transformac´ı.

8

16. Skal´arn´ı souˇcin

Je-li e1 , . . . , en ∈ V ortonorm´aln´ı b´aze, existuje jednoduch´y zp˚usob, jak rozeznat shodnost. Tvrzen´ı. Bud’ e1 , . . . , en ortonorm´aln´ı b´aze prostoru V , bud’ f : V → V line´arn´ı transformace. Pak f je shodnost pr´avˇe tehdy, kdyˇz f (e1 ), . . . , f (en ) je t´ezˇ ortonorm´aln´ı b´aze Dukaz. ˚ Implikace ,,⇒“ je snadn´a (cviˇcen´ı). ,,⇐“: Budt’e u, v ∈ V libovoln´e vektory o souˇradnic´ıch (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn v b´azi e1 , . . . , en . Pak (u, v) = x1 y1 + · · · + xn yn , protoˇze b´aze e1 , . . . , en je ortonorm´aln´ı. Poˇc´ıtejme ( f (u), f (v)). M´ame u = x1 e1 + · · · xn en , naˇceˇz f (u) = x1 f (e1 ) + · · · xn f (en ). Vid´ıme, zˇ e vektor f (u) m´a v b´azi f (e1 ), . . . , f (en ) tyt´ezˇ souˇradnice (x1 , . . . , xn ), a podobnˇe vektor f (v). B´aze f (e1 ), . . . , f (en ) je vˇsak podle pˇredpokladu tak´e ortonorm´aln´ı, a proto ( f (u), f (v)) = x1 y1 + · · · + xn yn , coˇz je (u, v), jak se mˇelo uk´azat. V n´asleduj´ıc´ım tvrzen´ı budeme charakterizovat matice, kter´e mohou b´yt matic´ı shodn´eho zobrazen´ı v nˇejak´e ortonorm´aln´ı b´azi. ˇ Definice. Ctvercov´ a re´aln´a matice A, splˇnuj´ıc´ı podm´ınku A A = E, se naz´yv´a ortogon´aln´ı. Tvrzen´ı. Bud’ f : V → V line´arn´ı transformace eukleidovsk´eho vektorov´eho prostoru V , bud’ A jej´ı matice v ortonorm´aln´ı b´azi e1 , . . . , en . Pak f je shodnost pr´avˇe tehdy, kdyˇz je matice A ortogon´aln´ı. Dukaz. ˚ Sloupce Ak j , j = 1, . . . , n matice A jsou tvoˇreny souˇradnicemi vektor˚u f (e1 ), . . . , f (en ) v b´azi e1 , . . . , en : f (e j ) =

n

A k j ek .

k=1

Protoˇze e1 , . . . , en je ortonorm´aln´ı b´aze, m´ame (ei , e j ) = δi j , kde δi j je Kroneckerovo delta. Podle pˇredchoz´ıho tvrzen´ı je f shodnost pr´avˇe tehdy, kdyˇz je f (e1 ), . . . , f (en ) ortonorm´aln´ı b´aze, tj. kdyˇz plat´ı podm´ınka 



δi j = f (ei ), f (e j ) =

n 

Aki ek ,

k=1

=

n n

Aki Al j δkl =

k=1 l=1

n



Al j el =

l=1 n

Aki Ak j =

k=1

n n

Aki Al j (ek , el )

k=1 l=1 n

Aik Ak j = (A A)i j ,

k=1

to jest, kdyˇz A A je jednotkov´a matice. Cviˇcen´ı. (1) Dokaˇzte, zˇ e determinant ortogon´aln´ı matice je ±1. D˚usledek: kaˇzd´a ortogon´aln´ı matice je invertibiln´ı. (2) Dokaˇzte, zˇ e ortogon´aln´ı matice tvoˇr´ı grupu vzhledem k n´asoben´ı matic. N´avod: (1) det(A A) = det A · det A = (det A)2 .

Grupa vˇsech ortogon´aln´ıch matic typu n/n se znaˇc´ı O(n), jej´ı podgrupa O(n) ∩ SL(n, R) se znaˇc´ı SO(n). 9

16. Skal´arn´ı souˇcin

Cviˇcen´ı. (1) Ukaˇzte, zˇ e podm´ınka charakterizuj´ıc´ı matice unit´arn´ıch transformac´ı hermiteovsk´eho vektorov´eho prostoru zn´ı A∗ A = E, kde ∗ oznaˇcuje komplexn´ı sdruˇzen´ı. Komplexn´ı cˇ tvercov´a matice A, kter´a tuto podm´ınku splˇnuje, se naz´yv´a unit´arn´ı. (2) Ukaˇzte, zˇ e determinant unit´arn´ı matice A splˇnuje | det A| = 1. (3) Ukaˇzte, zˇ e unit´arn´ı matice tvoˇr´ı grupu.

Grupa vˇsech unit´arn´ıch matic typu n/n se znaˇc´ı U (n), jej´ı podgrupa U (n) ∩ SL(n, C) se znaˇc´ı SU(n). Cviˇcen´ı. Kaˇzd´a shodnost zachov´av´a i odchylky vektor˚u, ale opaˇcn´e tvrzen´ı neplat´ı. Naleznˇete pˇr´ıklad zobrazen´ı, kter´e zachov´av´a odchylky, ale pˇresto nen´ı shodnost.

10