Matematick´y u ´stav Slezsk´e univerzity v Opavˇe ´ ´I ANALYZA ´ Uˇcebn´ı texty k pˇredn´aˇsce GLOBALN I, zimn´ı semestr 2010/2011 Michal Marvan
Hladk´e struktury Klasick´a anal´ yza pojedn´ av´ a o re´ aln´ ych funkc´ıch definovan´ ych na podmnoˇzin´ach prostoru Rn . Glob´ aln´ı anal´ yza usiluje o uplatnˇen´ı podobn´ ych metod na obecnˇejˇs´ıch mnoˇzin´ach prostˇrednictv´ım tzv. hladk´e struktury. Podstatou hladk´e struktury je lok´aln´ı ztotoˇznˇen´ı dan´e mnoˇziny s prostorem Rn podobnˇe jako v kartografii je prostˇrednictv´ım mapy povrch koule lok´ alnˇe ztotoˇzn ˇov´an s podmnoˇzinou v R2 . Mnoˇziny s hladkou strukturou splˇ nuj´ıc´ı dalˇs´ı pˇrirozen´e topologick´e podm´ınky se naz´ yvaj´ı hladk´e variety. Bˇeˇznˇe se vyskytuj´ı v matematick´ ych modelech reality: povrchy obl´ ych tˇeles i prostory moˇzn´ ych konfigurac´ı nejr˚ uznˇejˇs´ıch fyzik´aln´ıch syst´em˚ u je moˇzno ˇ povaˇzovat za hladk´e variety. Casoprostor obecn´e teorie relativity je ˇctyˇrrozmˇern´a varieta a v (dosud hypotetick´e) teorii strun je vesm´ır komplikovan´a varieta dimenze nejm´enˇe 10. Variety obecnˇe mohou m´ıt netrivi´aln´ı topologii a nemus´ı b´ yt orientovateln´e. Jedn´ım z c´ıl˚ u glob´ aln´ı anal´ yzy je studium hladk´ ych zobrazen´ı mezi varietami. Hladk´a jsou ta zobrazen´ı mezi dvˇema varietami, kter´a jsou pˇrirozen´ ym zp˚ usobem sluˇciteln´a s hladk´ ymi strukturami. Hladk´a struktura je jen technick´ y prostˇredek k uplatnˇen´ı matematick´e anal´ yzy na varietˇe. V glob´ aln´ı anal´ yze se pˇrednostnˇe pouˇz´ıvaj´ı takov´e pojmy, kter´e nez´avis´ı na ˇ ık´ volbˇe mapy. R´ ame, ˇze jsou invariantn´ı v˚ uˇci z´amˇen´am souˇradnic nebo jen invariantn´ı. Patˇr´ı k nim zejm´ena teˇcn´e vektory, vektorov´a pole a hladk´e formy. Velmi pˇrehlednˇe se na variet´ach formuluje integr´ aln´ı poˇcet s vyuˇzit´ım antisymetrick´ ych forem. 1. Mapy Lok´aln´ıho ztotoˇznˇen´ı prostor˚ u M a Rn se dosahuje prostˇrednictv´ım bijektivn´ıch zobrazen´ı zvan´ ych mapy. 1.1. Definice. Je-li M mnoˇzina a n ∈ N pˇrirozen´e ˇc´ıslo, pak n-rozmˇern´ a mapa na mnoˇzinˇe M je podmnoˇzina U ⊆ M spolu s bijektivn´ım zobrazen´ım x : U −→ xU , jehoˇz ˇ ıslo n se naz´ obraz xU je otevˇren´ a mnoˇzina v Rn . Takov´a mapa se znaˇc´ı (U, x). C´ yv´a dimenze mapy. Poˇzadavek otevˇrenosti mnoˇziny xU vych´az´ı z potˇreby definovat hladk´e funkce, coˇz m´a rozumn´ y smysl pr´ avˇe na otevˇren´ ych mnoˇzin´ach. Pˇripomeˇ nme, ˇze hladk´ a funkce f : V −→ R je funkce definovan´ a na otevˇren´e mnoˇzinˇe V ⊆ Rn , kter´a je spojit´a a m´a spojit´e parci´ aln´ı derivace vˇsech ˇr´ ad˚ u. ˇ 1.2. Definice. Bud’ (U, x) mapa na M . Rekneme, ˇze funkce f : M −→ R je hladk´ a −1 vzhledem k mapˇe (U, x), je-li f ◦ x |xU : xU −→ R hladk´a funkce. V obecn´em pˇr´ıpadˇe mapa (U, x) pˇriˇrazuje bodu a mnoˇziny U jednoznaˇcnˇe urˇcenou ˇ ısla xi (a) se naz´ n-tici re´aln´ ych ˇc´ısel (x1 (a), . . . , xn (a)) ∈ Rn . C´ yvaj´ı souˇradnice bodu a ∈ U , funkce xi se naz´ yvaj´ı souˇradnicov´e funkce nebo t´eˇz prostˇe souˇradnice na U .
Hladk´e struktury
Nam´ısto bijekc´ı x : U −→ xU ⊆ Rn pochopitelnˇe m˚ uˇzeme zad´avat jejich inverze y = x−1 : V −→ yV ⊆ M , kde V je otevˇren´a podmnoˇzina v Rn . Mnoˇzina U se naz´ yv´ a definiˇcn´ı obor mapy (U, x). Ve v´ yjimeˇcn´em pˇr´ıpadˇe, kdy U = M , se souˇradnice naz´ yvaj´ı glob´ aln´ı, jinak jsou lok´ aln´ı. Zobrazen´ı f ◦ x−1 |xU z definice 1.2 je vlastnˇe vyj´adˇren´ı funkce f v promˇenn´ ych x1 , . . . , xn ; poˇzaduje se, aby z´ avislost f (x1 , . . . , xn ) byla hladk´a. 1.3. Pˇ r´ıklady. (1) Trivi´ aln´ım pˇr´ıkladem mapy na mnoˇzinˇe Rn je identick´e zobrazen´ı id : n n R −→ R . Jde o glob´ aln´ı souˇradnice. (2) Pˇr´ıklad lok´ aln´ıch souˇradnic: Bud’ S 1 jednotkov´a kruˇznice. Vyberme pevn´ y bod a ∈ S 1 libovolnˇe. Pro jin´ y bod u necht’ φ(u) oznaˇcuje kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo rovn´e u ´hlov´e vzd´alenosti ´ bodu u od bodu a v kladn´em smyslu ob´ıh´ an´ı kruˇznice. Uhlov´ a vzd´alenost φ nen´ı jednoznaˇcn´a funkce na S 1 : po jednom obˇehu kruˇznice se jej´ı hodnota zv´ yˇs´ı o 2π (a proto φ nen´ı glob´aln´ı souˇradnice na S 1 ). Bud’ vˇsak Ua = S 1 \ {a} ⊂ S 1 mnoˇzina vznikl´a vynˇet´ım bodu a. Zobrazen´ı φ|Ua : Ua −→ φUa ⊂ R je bijekce mnoˇziny Ua na otevˇren´ y interval φUa = (0, 2π). Tud´ıˇz, (Ua , φ) je 1-rozmˇern´ a mapa. Glob´ aln´ı souˇradnice na kruˇznici neexistuj´ı. (3) Funkce f : S 1 −→ R je hladk´ a vzhledem k mapˇe (Ua , φ), je-li f (φ) hladk´a funkce u ´hlu φ vˇsude na Ua . Napˇr´ıklad cos φ je korektnˇe definovan´a funkce S 1 −→ R (geometricky pˇredstavuje pr˚ umˇet do osy x), kter´ a je hladk´ a vzhledem k libovoln´e mapˇe (Ua , φ). 1.4. Pˇ r´ıklady. (1) Jednotkov´ a sf´era S 2 je mnoˇzina bod˚ u (x, y, z) ∈ R3 splˇ nuj´ıc´ıch x2 + y 2 + z 2 = 1. Vloˇzen´ı ι : S 2 −→ R3 , ι(x, y, z) = (x, y, z), nepˇredstavuje souˇradnice, protoˇze obraz ιU nen´ı otevˇren´ a mnoˇzina v R3 pro ˇz´ adnou nepr´ azdnou podmnoˇzinu U ⊆ S 2 (ˇz´adn´ y bod z S 2 totiˇz 2 nem´ a trojrozmˇern´e okol´ı leˇz´ıc´ı cel´e v S ). Nicm´enˇe, zobrazen´ı ξ : S 2 −→ R2 , ξ(x, y, z) = (x, y), poskytuje souˇradnice, a to napˇr´ıklad na podmnoˇzinˇe U+ zadan´e podm´ınkou z > 0 (severn´ı otevˇren´a polosf´era), nebo na podmnoˇzinˇe U− zadan´e podm´ınkou z < 0 (jiˇzn´ı otevˇren´a polosf´era). Obrazem obou polosf´er je jeden a t´ yˇz otevˇren´ y kruh ξU+ = ξU− = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1}. (2) Aproximujeme-li zemsk´ y povrch sf´erou, pak zemˇepisn´a d´elka φ (z´apadn´ı d´elky opatˇr´ıme znam´enkem minus) a zemˇepisn´ a ˇs´ıˇrka θ (jiˇzn´ı ˇs´ıˇrky opatˇr´ıme znam´enkem minus) pˇredstavuj´ı bijektivn´ı zobrazen´ı mnoˇziny U vznikl´e vynˇet´ım 180t´eho poledn´ıku vˇcetnˇe obou p´ol˚ u, pˇriˇcemˇz obrazem xU je kart´ezsk´ y souˇcin otevˇren´ ych interval˚ u (−π, π) a (−π/2, π/2), coˇz je otevˇren´a podmnoˇzina v R2 . Souˇradnice φ, θ se naz´ yvaj´ı sf´erick´e souˇradnice. Pro bod (x, y, z) ∈ S 2 se zemˇepisnou v´ yˇskou θ a zemˇepisnou ˇs´ıˇrkou φ plat´ı x = cos φ cos θ, y = sin φ cos θ, z = sin θ. (3) Stereografick´ a projekce sf´ery m˚ uˇze b´ yt definov´ana jako stˇredov´e prom´ıt´an´ı se stˇredem v libovoln´em bodˇe sf´ery na libovolnou rovinu neproch´azej´ıc´ı stˇredem prom´ıt´an´ı. Pro urˇcitost m˚ uˇzeme stˇred prom´ıt´ an´ı volit v severn´ım p´olu N = (0, 0, 1) a prom´ıtat na rovinu rovn´ıku, kterou ztotoˇzn´ıme s R2 . Kaˇzd´ y bod mnoˇziny U = S 2 \ {N } m´a bijektivnˇe pˇriˇrazenu dvojici 2 re´ aln´ ych ˇc´ısel (x, y) ∈ R a (U, (x, y)) je mapa. Existuje cel´ a ˇrada analogick´ ych kartografick´ ych zobrazen´ı S 2 −→ R2 , napˇr´ıklad rovnobˇeˇzn´e nebo stˇredov´e prom´ıt´ an´ı na rovinu nebo alespoˇ n rozvinutelnou plochu (v´alec ˇci kuˇzel). Stereografick´ a projekce mezi nimi vynik´ a t´ım, ˇze pokr´ yv´a celou sf´eru kromˇe jedin´eho bodu.
2
Hladk´e struktury
Pˇr´ıpad sf´ery S 2 je typick´ y: Existuje ˇrada r˚ uzn´ ych moˇznost´ı, jak zav´est ‘rozumn´e’ (sf´erick´e, stereografick´e, atd.) lok´ aln´ı souˇradnice, ale ˇz´adn´ y zp˚ usob, jak zav´est glob´aln´ı souˇradnice. ˇ Hladkost funkc´ı ve smyslu definice 1.2 je z´avisl´a na volbˇe mapy. Casto vˇsak dok´aˇzeme mnoˇzinu M celou pokr´ yt mapami tak, aby dan´a funkce f : M −→ R byla hladk´a vzhledem ke vˇsem zadan´ ym map´ am. 1.5. Pˇ r´ıklad. Zemˇepisn´ a ˇs´ıˇrka θ : S 2 −→ R. Ve sf´erick´ ych souˇradnic´ıch (2) je to pˇr´ımo jedna ze souˇradnicov´ ych funkc´ı. V souˇradnic´ıch (x, y) z (1) m´ame p θ = arcsin z = ± arcsin 1 − x2 − y 2 , coˇz je hladk´ a funkce na obou polosf´er´ ach.
1.6. Pozn´ amka. Pˇri volbˇe map se ˇr´ıd´ıme pragmatick´ ymi hledisky – c´ılem je pokr´ yt mnoˇzinu M mapami (U, x), kter´e umoˇzn´ı zav´est diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı relevantn´ıch pro pr´avˇe ˇreˇsenou u ´lohu. M˚ uˇzeme se pˇritom ˇr´ıdit intuitivn´ım pravidlem, podle nˇehoˇz je dimenze n rovna poˇctu nez´ avisl´ ych spojit´ ych parametr˚ u, urˇcuj´ıc´ıch “obecn´ y” prvek mnoˇziny M . Pˇr´ıklady, kter´e toto pravidlo potvrzuj´ı, naleznete vˇsude v t´eto kapitole. Existuj´ı pˇr´ıklady “exotick´ ych” map, kter´e naopak pravidlu odporuj´ı. 1.7. Exotick´ y pˇ r´ıklad. Bud’ U pˇr´ımka v rovinˇe R2 rovnobˇeˇzn´a s osou x. Jej´ı kolm´e prom´ıt´an´ı na osu x pˇredstavuje bijekci U −→ R, tedy jednorozmˇernou mapu. R˚ uzn´e pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e s osou x se neprot´ınaj´ı a jejich sjednocen´ı pokr´ yv´a celou rovinu. Diferenci´aln´ı poˇcet v takov´e rovinˇe bude tak´e jednorozmˇern´ y – funkce je hladk´a vzhledem k takov´emu souboru map pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´ a vˇsechny derivace ∂ k /∂xk , nemus´ı vˇsak m´ıt derivaci ∂/∂y.
2. Souhlasnost map a atlasy D´ıky souˇradnic´ım m˚ uˇzeme pˇri studiu funkc´ı definovan´ ych na M uplatˇ novat n´astroje matematick´e anal´ yzy. Kupˇr´ıkladu, funkce f : M −→ R hladk´a vzhledem k mapˇe (U, x) m´a parci´ aln´ı derivace ∂(f ◦ x−1 )/∂xi . K tomu, abychom mohli studovat funkce definovan´e na cel´e mnoˇzinˇe M , mus´ıme mnoˇzinu M pokr´ yt souborem (atlasem) pˇrekr´ yvaj´ıc´ıch se map. D˚ uleˇzit´e je, aby v m´ıstech pˇrekryv˚ u existovala transformace souˇradnic, kter´ a by byla, pro potˇreby anal´ yzy, dostateˇcnˇekr´at spojitˇe diferencovateln´a. Pˇripomeˇ nme, ˇze zobrazen´ı F : U −→ Rn tˇr´ıdy C ∞ neboli hladk´e zobrazen´ı je zobrazen´ı, jehoˇz komponenty F 1 , . . . , F n jsou hladk´e funkce. Kompozice dvou hladk´ ych zobrazen´ı je hladk´e zobrazen´ı. Nakonec, difeomorfismus je bijektivn´ı hladk´e zobrazen´ı takov´e, ˇze zobrazen´ı k nˇemu inverzn´ı je rovnˇeˇz hladk´e. 2.1. Definice. Mapy (U, x) a (V, y) na mnoˇzinˇe M se naz´ yvaj´ı souhlasn´e, plat´ı-li n 1. x(U ∩ V ) a y(U ∩ V ) jsou otevˇren´e mnoˇziny v R ; 2.
y ◦ x−1 |x(U ∩V ) : x(U ∩ V ) −→ y(U ∩ V ), x ◦ y −1 |y(U ∩V ) : y(U ∩ V ) −→ x(U ∩ V )
jsou hladk´e bijekce. 3
Hladk´e struktury
Zobrazen´ı y ◦ x−1 |x(U ∩V ) je transformace souˇradnic na pˇrekr´ yvaj´ıc´ıch se map´ach. Pro nepˇrekr´ yvaj´ıc´ı se mapy jsou obˇe podm´ınky trivi´alnˇe splnˇeny. Poˇzadavek 2 m˚ uˇzeme zestruˇcnit: Zobrazen´ı y ◦ x−1 |x(U ∩V ) : x(U ∩ V ) −→ y(U ∩ V ) mus´ı b´ yt difeomorfismus. 2.2. Pˇ r´ıklady. (1) Ukaˇzme, ˇze vˇsechny mapy (U, φ) na jednotkov´e kruˇznici z pˇr´ıkladu 1.3(2) jsou souhlasn´e. Transformaˇcn´ı vztah mezi dvˇema r˚ uzn´ ymi mapami (U, x) a (U 0 , x0 ) je line´arn´ı, 0 potaˇzmo hladk´e zobrazen´ı x = x−α, kde α je u ´hlov´a vzd´alenost lev´ ych krajn´ıch bod˚ u oblouk˚ u U a U 0 . Inverzn´ı zobrazen´ı x = x0 +α je rovnˇeˇz line´arn´ı, a tedy hladk´e. Obˇe jsou difeomorfismy. (2) Rovnˇeˇz mapy na sf´eˇre z pˇr´ıklad˚ u 1.4(1) a (2) jsou souhlasn´e. Formulemi x = cos φ cos θ,
y = sin φ cos θ
je d´ an transformaˇcn´ı vztah od sf´erick´ ych souˇradnic φ, θ k souˇradnic´ım x, y v oblasti −π < φ < π, 0 < θ < π/2 resp. v oblasti −π < φ < π, −π/2 < θ < 0. Opaˇcn´a transformace je p y θ = arcsin z = ± arcsin 1 − x2 − y 2 ; φ = arctg , x znam´enko vol´ıme podle toho, zda se jedn´a o oblast U+ nebo U− (s vyjmut´ ym poledn´ıkem x = 0, y ≤ 0). (3) Rovnˇeˇz mapa na sf´eˇre z pˇr´ıkladu 1.4(3) je souhlasn´a s mapou z pˇr´ıkladu 1.4(2). Pˇr´ımka p spojuj´ıc´ı severn´ı p´ ol (0, 0, 1) ∈ R3 s bodem (x, y, z) ∈ S 2 o souˇradnic´ıch x, y prot´ın´a rovinu rovn´ıku v bodˇe (u, v, 0) ∈ R3 o souˇradnic´ıch u, v tehdy a jen tehdy, kdyˇz p x y u± = , v± = , kde z± = ± 1 − x2 − y 2 1 − z± 1 − z± podle toho, zda prom´ıtan´ y bod leˇz´ı na severn´ı ˇci jiˇzn´ı polokouli. T´ım je d´an transformaˇcn´ı vztah od souˇradnic x, y k souˇradnic´ım u+ , v+ v oblasti 0 < x2 + y 2 < 1 resp. k souˇradnic´ım u− , v− v oblasti x2 + y 2 < 1. Opaˇcnou transformaci naleznˇete jako cviˇcen´ı. Cviˇ cen´ı. V astronomii se sf´erick´e souˇradnice v´azan´e k rovinˇe rovn´ıku naz´ yvaj´ı rektascenze α (d´elka) a deklinace δ (ˇs´ıˇrka) a nab´ yvaj´ı hodnot v intervalech 0 < α < 2π a −π/2 < θ < π/2. Analogick´e souˇradnice v´ azan´e k rovinˇe ekliptiky, v n´ıˇz ob´ıh´a Zemˇe kolem Slunce, budeme oznaˇcovat α0 a δ 0 . Rovina ekliptiky je urˇcena u ´hlem sklonu k rovinˇe rovn´ıku a polohou jarn´ıho bodu Υ, coˇz je jeden ze dvou pr˚ useˇc´ık˚ u roviny ekliptiky a rovn´ıku. Obˇe rektascenze se 0 podle definice mˇeˇr´ı od jarn´ıho bodu, a proto αΥ = αΥ = 0. Je-li (x, y, z) ∈ S 2 bod o rovn´ıkov´e rektascenzi α a deklinaci δ, pak x = cos α cos δ, y = sin α cos δ, z = sin δ. Podobnˇe, je-li (x0 , y 0 , z 0 ) ∈ S 2 bod o ekliptik´ aln´ıch souˇradnic´ıch α0 , δ 0 , pak x0 = cos α0 cos δ 0 , y 0 = sin α0 cos δ 0 , 0 0 z = sin δ . Dokaˇzte transformaˇcn´ı vztahy tg α0 = tg α cos +
tg δ sin , cos α
sin δ 0 = sin δ cos − sin α cos δ sin . Hodnotu α0 v intervalu (0, 2π) je nutno vyb´ırat tak, aby cos α0 a cos α mˇely stejn´e znam´enko. N´ avod: Od bodu (x, y, z) k bodu (x0 , y 0 , z 0 ) pˇrejdeme rotac´ı o u ´hel kolem osy proch´azej´ıc´ı jarn´ım bodem: x0 = x, y 0 = y cos + z sin , z 0 = −y sin + z cos . Cviˇ cen´ı.
Relace souhlasnosti map je reflexivn´ı a symetrick´a. Dokaˇzte.
4
Hladk´e struktury
2.3. Pˇ r´ıklad. Mapa (R, id) na pˇr´ımce R je nesouhlasn´a s mapou (R, x), kde x(t) = t3 (tˇret´ı mocnina). Zobrazen´ı id ◦x−1 : t 7−→ t1/3 nen´ı hladk´e v bodˇe nula. Pˇritom obˇe mapy jsou souhlasn´e s mapou (R+ , id |R+ ). Tento pˇr´ıklad ukazuje, ˇze relace souhlasnosti nen´ı tranzitivn´ı. Cviˇ cen´ı. Bud’te (U, x), (V, y) souhlasn´e mapy na M . Necht’ je f funkce hladk´a vzhledem k mapˇe (U ∩ V, x). Pak je f hladk´ a i vzhledem k mapˇe (U ∩ V, y). Dokaˇzte.
2.4. Definice. Soubor U = {(Ui , xi )}i∈I map na mnoˇzS inˇe M se naz´ yv´a atlas, jestliˇze (a) mnoˇziny Ui pokr´ yvaj´ı mnoˇzinu M , to jest, M = i∈I Ui ; (b) mapy (Ui , xi ), (Uj , xj ) jsou souhlasn´e pro kaˇzdou dvojici index˚ u i, j. V pˇr´ıkladech 2.2 jsme zˇrejmˇe nalezli atlasy na kruˇznici S 1 a sf´eˇre S 2 (zde dokonce dva). Dalˇs´ı pˇr´ıklady atlas˚ u uvedeme n´ıˇze. 2.5. Pˇ r´ıklad. (1) Bud’ P 1,2 mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek v rovinˇe R2 (nenechte se zm´ast t´ım, ˇze “body” mnoˇziny P 1,2 jsou pˇr´ımky). V kart´ezsk´ ych souˇradnic´ıch x, y m´a pˇr´ımka, kter´a nen´ı rovnobˇeˇzn´ a s osou y, rovnici y = ax + b. Parametry a, b, jimiˇz mohou b´ yt libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla, urˇcuj´ı takovou pˇr´ımku jednoznaˇcnˇe, to jest, existuje bijekce mezi mnoˇzinou U vˇsech pˇr´ımek v rovinˇe nerovnobˇeˇzn´ ych s osou y a mnoˇzinou R2 vˇsech dvojic re´aln´ ych ˇc´ısel a, b. Obdrˇzeli jsme mapu (U, (a, b)) na P 1,2 . (2) Podobnˇe m´ a pˇr´ımka, kter´ a nen´ı rovnobˇeˇzn´a s osou x, rovnici x = cy + d. Dost´av´ame dalˇs´ı mapu (V, (c, d)) na P 1,2 , kter´ a spolu s prvn´ı mapou pokr´ yv´a P 1,2 . Vskutku, doplnˇek 1,2 P \ (U ∪ V ) sest´ av´ a z pˇr´ımek rovnobˇeˇzn´ ych s obˇema osami a je tedy pr´azdn´ y. (3) Mapy (U, (a, b)) a (V, (c, d)) jsou souhlasn´e. Ovˇeˇrme podm´ınky z definice 2.1. 1. Pr˚ unik U ∩ V obou map je tvoˇren pˇr´ımkami nerovnobˇeˇzn´ ymi s ˇz´adnou osou, to jest pˇr´ımkami splˇ nuj´ıc´ımi a 6= 0, c 6= 0. Obrazem pr˚ uniku je v r´amci mapy (U, (a, b)) mnoˇzina {(a, b) ∈ R2 | a 6= 0}, v r´ amci mapy (V, (c, d)) mnoˇzina {(c, d) ∈ R2 | c 6= 0}. Oba obrazy jsou 2 otevˇren´e mnoˇziny v R . 2. Najdˇeme transformaci od souˇradnic a, b k souˇradnic´ım c, d. Rovnici y = ax+b pˇrevedeme na rovnici x = y/a − b/a pokud a 6= 0. Dost´av´ame transformaci c=
1 , a
b d=− , a
coˇz je difeomorfismus mnoˇziny {(a, b) ∈ R2 | a 6= 0} na mnoˇzinu {(c, d) ∈ R2 | c 6= 0} (podrobnˇe ovˇeˇrte sami). 2.6. Pˇ r´ıklad. Bud’ podobnˇe P 2,3 mnoˇzina vˇsech rovin v prostoru R3 . V kart´ezsk´ ych souˇradnic´ıch x, y, z m´ a rovina, kter´ a nen´ı rovnobˇeˇzn´a s osou z, rovnici z = ax + by + c. Parametry a, b, c opˇet urˇcuj´ı takovou pˇr´ımku jednoznaˇcnˇe, ˇc´ımˇz vznik´a bijekce mezi mnoˇzinou U vˇsech rovin v prostoru nerovnobˇeˇzn´ ych s osou z a mnoˇzinou R3 vˇsech trojic re´aln´ ych ˇc´ısel a, b, c, vlastnˇe mapa (U, (a, b, c)) na P 2,3 . K pokryt´ı prostoru P 2,3 potˇrebujeme tˇri mapy, pˇriˇcemˇz it´a mapa sest´ av´ a z rovin nerovnobˇeˇzn´ ych s itou osou. Dokaˇzte souhlasnost map jako cviˇcen´ı. 2.7. Pˇ r´ıklady. (1) Uvaˇzujme znovu o mnoˇzinˇe P 1,2 vˇsech pˇr´ımek v rovinˇe R2 . Zvolme bod O = (x0 , y0 ) ∈ R2 . Bud’ p pˇr´ımka neproch´ azej´ıc´ı bodem O, oznaˇcme ξ(p) bod pˇr´ımky p nejbliˇzˇs´ı bodu O (pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p a kolmice spuˇstˇen´e z bodu O). Korespondence mezi pˇr´ımkami p a body ξ(p) je bijekce mezi mnoˇzinou U pˇr´ımek neproch´ azej´ıc´ıch bodem O a otevˇrenou podmnoˇzinou V = R2 \ {O} av´ ame tak 2-rozmˇernou mapu (U, ξ) na P 1,2 . roviny R2 . Dost´
5
p
Q Q Q ξ(p) = (x, y) Qa
Q
QQ Q a
O = (x0 , y0 )
Hladk´e struktury
K pokryt´ı P 1,2 potˇrebujeme tˇri mapy urˇcen´e tˇremi body O1 , O2 , O3 neleˇz´ıc´ımi v jedn´e pˇr´ımce. Jako cviˇcen´ı dokaˇzte jejich souhlasnost. (2) V prostoru R3 m˚ uˇzeme analogicky zav´est bijektivn´ı korespondenci mezi rovinami neproch´ azej´ıc´ımi pevn´ ym bodem O a body r˚ uzn´ ymi od O. Dost´av´ame 3-rozmˇernou mapu na P 2,3 . 2,3 K pokryt´ı P potˇrebujeme ˇctyˇri mapy urˇcen´e ˇctyˇrmi body O1 , O2 , O3 , O4 neleˇz´ıc´ımi v jedn´e rovinˇe. Jako cviˇcen´ı dokaˇzte jejich souhlasnost. 2.8. Pˇ r´ıklady. (1) Uvaˇzujme znovu o mnoˇzinˇe P 1,2 vˇsech pˇr´ımek v rovinˇe R2 . Zvolme pevnˇe dvˇe rovnobˇeˇzn´e P PP a PP pˇr´ımky q1 , q2 a jejich bijektivn´ı zobrazen´ı ξ1 , ξ2 na R. PP Bud’ U mnoˇzina pˇr´ımek p r˚ uznobˇeˇzn´ ych s pˇr´ımkami q1 , q2 . p PPP Pa P Pr˚ useˇc´ıky p ∩ q1 a p ∩ q2 jednoznaˇcnˇe pˇr´ımku p urˇcuj´ı a ˇc´ısla ξ1 (p ∩ q1 ), ξ2 (p ∩ q2 ) mohou slouˇzit jako souˇradnice q1 q2 na mnoˇzinˇe U . Korespondence mezi pˇr´ımkami p a dvojicemi x1 , x2 je bijekce mezi mnoˇzinou U pˇr´ımek nerovnobˇeˇzn´ ych s pˇr´ımkami `1 , `2 a celou mnoˇzinou R2 . Dost´av´ame tedy 2-rozmˇernou mapu 1,2 (U, ξ) na P . K pokryt´ı P 1,2 potˇrebujeme dvˇe mapy. Najdˇete druhou a jako cviˇcen´ı dokaˇzte jejich souhlasnost. (2) Bud’ P 1,3 mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek v prostoru R3 . Zvolme pevnˇe dvˇe rovnobˇeˇzn´e roviny Σ1 , Σ2 a bijektivn´ı zobrazen´ı ξ1 , ξ2 kaˇzd´e z nich na R2 . Bud’U mnoˇzina pˇr´ımek p, r˚ uznobˇeˇzn´ ych s rovinami Σ1 , Σ2 . Pr˚ useˇc´ıky p ∩ Σ1 a p ∩ Σ2 jednoznaˇcnˇe pˇr´ımku p urˇcuj´ı a dvojice ˇc´ısel ξ1 (p ∩ Σ1 ), ξ2 (p ∩ Σ2 ) mohou slouˇzit jako souˇradnice na mnoˇzinˇe U . Korespondence mezi pˇr´ımkami p a ˇctveˇricemi x11 , x21 , x12 , x22 je bijekce mezi mnoˇzinou U pˇr´ımek nerovnobˇeˇzn´ ych s rovinami Σ1 , Σ2 a celou mnoˇzinou R4 . Dost´av´ame tedy 4-rozmˇernou 1 2 1 mapu (U, (x1 , x1 , x2 , x22 )) na P 1,3 . K pokryt´ı P 1,3 potˇrebujeme tˇri mapy. Najdˇete je a jako cviˇcen´ı dokaˇzte jejich souhlasnost. 2.9. Pˇ r´ıklady. (1) Zvolme v rovinˇe libovolnou kruˇznici k a oznaˇcme M2 mnoˇzinu vˇsech dvouprvkov´ ych podmnoˇzin {x1 , x2 } ⊂ k, kde x1 6= x2 . Budeme jim ˇr´ıkat dvojice bod˚ u (nikoliv uspoˇr´ adan´e). Kaˇzd´ y z bod˚ u dvojice je urˇcen jednou u ´hlovou souˇradnic´ı φ1 resp. φ2 . Abychom z´ıskali bijekci s otevˇrenou podmnoˇzinou v R2 , mus´ıme pˇrej´ıt od neuspoˇr´adan´e dvojice {φ1 , φ2 } k uspoˇr´ adan´e dvojici. Dohodnˇeme se, ˇze souˇradnice φ1 , φ2 uspoˇr´ad´ame podle velikosti, to jest, mnoˇzinˇe {x1 , x2 } pˇriˇrad´ıme dvojici φ1 , φ2 jestliˇze φ1 < φ2 a dvojici φ2 , φ1 v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe. Poˇc´ıt´ ame-li u ´hlov´e vzd´ alenosti φ1 , φ2 od pevnˇe zvolen´eho bodu a ∈ k, z´ısk´ame souˇradnice na mnoˇzinˇe Ua vˇsech dvojic {x1 , x2 }, pro nˇeˇz a 6∈ {x1 , x2 }. Obrazem mnoˇziny Ua je otevˇren´a mnoˇzina {(φ1 , φ2 ) ∈ R2 | 0 < φ1 < φ2 < 2π} ⊂ R2 . Mnoˇzinu M2 pokryjeme tˇremi mapami Ua , Ub , Uc , kde a, b, c jsou tˇri r˚ uzn´e body kruˇznice k (dvˇe mapy Ua , Ub by nepokr´ yvaly dvojici {a, b}). (2) Zvolme v rovinˇe libovolnou kruˇznici k a oznaˇcme Mn mnoˇzinu vˇsech n-prvkov´ ych podmnoˇzin {x1 , . . . , xn } ⊂ k, kde body xi jsou po dvou r˚ uzn´e. Budeme jim ˇr´ıkat ntice bod˚ u (nikoliv uspoˇr´ adan´e). Zvol´ıme-li bod a ∈ k, je kaˇzd´ y z bod˚ u xi urˇcen jedinou souˇradnic´ı φi . Souˇradnice opˇet pro jednoznaˇcnost uspoˇra´d´ame podle velikosti. Oznaˇcme Ua mnoˇzinu vˇsech ntic neobsahuj´ıc´ıch bod a, libovoln´e ntici z Ua pˇriˇrad’me ntici souˇradnic φ1 , . . . , φn uspoˇr´adanou podle velikosti. Obrazem mnoˇziny Ua je otevˇren´a mnoˇzina {(φ1 , . . . , φn ) ∈ Rn | 0 < φ1 <· · · < φn < 2π}. K pokryt´ı Mn potˇrebujeme n + 1 takov´ ych map (pouh´ ych n map Ua1 , . . . , Uan by nepokr´ yvalo ntici {a1 , . . . , an }).
Nyn´ı uvedeme dalˇs´ı pˇr´ıklady, o kter´ ych v dneˇsn´ı dobˇe slyˇsela uˇz i laick´a veˇrejnost. Konstruujeme je ‘slepov´ an´ım okraj˚ u’ jist´ ych uzavˇren´ ych podmnoˇzin v Rn . Kromˇe 6
Hladk´e struktury
dalˇs´ıch v´ yznam˚ u obou symbol˚ u, [a, b] oznaˇcuje uzavˇren´ y interval s konci a, b a (a, b) oznaˇcuje odpov´ıdaj´ıc´ı otevˇren´ y interval. 2.10. Pˇ r´ıklad. (1) M¨ obi˚ uv p´ as. Necht’ N je souˇcin [−1, 1] × (−1, 1). Necht’ M je faktorov´a mnoˇzina N /∼ podle relace ekvivalence ∼, ztotoˇzn ˇuj´ıc´ı body (1, y) a (−1, −y), y ∈ (−1, 1). M¨ obi˚ uv p´ as si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako p´ as d´elky i ˇs´ıˇrky 2, jehoˇz konce byly pootoˇceny o 180◦ a slepeny. Mnoˇzinu M lze pokr´ yt dvˇema mapami. Mapa U1 ⊆ M necht’ je souˇcin (−1, 1) × (−1, 1) spolu s vloˇzen´ım φ1 : U1 −→ R2 (zde a v n´ asleduj´ıc´ım vynech´av´ame symbol faktorizace, pokud se v uvaˇzovan´e oblasti ˇz´ adn´e dva r˚ uzn´e body neztotoˇzn ˇuj´ı). Mapa U2 ⊆ M necht’ je faktorov´ y prostor (([−1, 0) ∪ (0, 1]) × (−1, 1))/∼, kter´ y zobraz´ıme na otevˇrenou mnoˇzinu (−1, 1) × (−1, 1) pomoc´ı zobrazen´ı φ2 , kter´e je na ˇc´ asti [−1, 0) × (−1, 1) zad´ano pˇredpisem (x, y) 7−→ (−x − 1, y) a na ˇc´ asti (0, 1] × (−1, 1) pˇredpisem (x, y) 7−→ (−x + 1, −y). Na pr˚ uniku obou ˇc´ast´ı, coˇz je mnoˇzina (({−1} × (−1, 1)) ∪ ({1} × (−1, 1)))/∼, se oba pˇredpisy shoduj´ı, a proto je φ2 spojit´e zobrazen´ı. Dokaˇzte souhlasnost tˇechto map jako cviˇcen´ı. (2) Kleinova l´ ahev. Necht’ N je v´ alec, kter´ y je v cylindrick´ ych souˇradnic´ıch r, φ, z zad´an rovnicemi r = 1 a −1 ≤ z ≤ 1. Necht’ M je faktorov´a mnoˇzina N /∼ podle relace ekvivalence ∼, ztotoˇzn ˇuj´ıc´ı body (1, φ, −1) a (1, −φ, 1) (poˇrad´ı souˇradnic je r, φ, z). Kleinovu l´ahev si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako dut´ y v´ alec d´elky 2, jehoˇz koncov´e kruˇznice jsou pˇrilepeny jedna k druh´e s opaˇcnou orientac´ı. (Kleinovu l´ ahev nelze vloˇzit jako podvarietu do R3 , ale lze ji vloˇzit do R4 .) Podobnˇe jako M¨ obi˚ uv p´ as, i Kleinovu l´ahev lze pokr´ yt dvˇema mapami. Necht’ U1 je podmnoˇzina mnoˇziny M , kter´ a je v cylindrick´ ych souˇradnic´ıch r, φ, z vymezena nerovnostmi − 21 < z < 21 . Zobrazen´ı x1 : U1 −→ R2 , kter´e je v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch r0 , φ0 na R2 zad´ano formulemi r0 = 2 + z, φ0 = φ, je bijekce na otevˇrenou podmnoˇzinu v R2 , a sice na mezikruˇz´ı 3 5 0 y prostor mnoˇziny urˇcen´e podm´ınkami 0 < z ≤ 1 2 < r < 2 . Mapa U2 ⊆ M necht’ je faktorov´ a −1 ≤ z < 0 (vznikl´e z N vynˇet´ım kruˇznice z = 1) podle relace ∼0 . Dokonˇcete jako cviˇcen´ı.
Nespr´avn´ y v´ ybˇer dimenze n map, naruˇsuj´ıc´ı pravidlo uveden´e v pozn´amce 1.6, se projev´ı naruˇsen´ım souhlasnosti. Zvol´ıme-li n pˇr´ıliˇs velk´e, nebude xU otevˇren´a mnoˇzina v Rn , jak jsme vidˇeli pˇri pokusu o zaveden´ı tˇr´ı souˇradnic na sf´eˇre S 2 . Zvol´ıme-li naopak n pˇr´ıliˇs mal´e, nemus´ı b´ yt pr˚ uniky x(U ∩ V ) a y(U ∩ V ) otevˇren´e mnoˇziny. 2.11. Pˇ r´ıklad. Uved’me pˇr´ıklad dvou takov´ ych nesouhlasn´ ych map. Vyjdeme z pˇr´ıkladu 1.7. Bud’ M = R2 , U = {(u, v) ∈ M | v = 0} (osa u) a V = {(u, v) ∈ M | u = 0} (osa v). Bud’ x = id |U : U −→ R a y = id |V : V −→ R. Pak je U ∩ V = {(0, 0)} v R2 a ani x(U ∩ V ) = {0}, ani y(U ∩ V ) = {0} nejsou otevˇren´e mnoˇziny v R.
ˇ 2.12. Definice. Rekneme, ˇze funkce f : M −→ R je hladk´a vzhledem k atlasu U = {(Ui , xi )}i∈I map na mnoˇzinˇe M , je-li hladk´a vzhledem ke kaˇzd´e mapˇe (Ui , xi ). 1 2.13. Pˇ r´ıklady. (1) Necht’ je v rovinˇe R2 zvoleno n bod˚ Pnu a1 , . . . , an 6∈ S . Je-li x bod po1 hybuj´ıc´ı se po jednotkov´e kruˇznici S , oznaˇcme V (x) = i=1 v(x, ai ) souˇcetP vzd´alenost´ı od x i i 2 1/2 k bod˚ um ai ; vzd´ alenost necht’ je Eukleidovsk´a, tedy v(x, y) = ky − xk = . i (y − x ) 1 Pak V je hladk´ a funkce na S vzhledem k atlasu z pˇr´ıkladu 1.3(2). Body kruˇznice, v nichˇz dV /dφ = 0, se naz´ yvaj´ı stacion´ arn´ı. Pˇredstavme si, ˇze bod x je spojen s body ai pruˇzinami stejn´e tuhosti, ale zanedbateln´e d´elky (pˇri nulov´em zat´ıˇzen´ı); pak funkce V pˇredstavuje energii tohoto fyzik´ aln´ıho syst´emu. Stacion´ arn´ı body energie jsou body, v nichˇz je bod x v rovnov´aze (stabiln´ı nebo nestabiln´ı).
2.14. Pˇ r´ıklad. Necht’ je v rovinˇe R2 zvoleno n bod˚ u z1 , . . . , zn . Je-li p pˇr´ımka, oznaˇcme
7
Hladk´e struktury
Pn v(p) = i=1 d(p, zi )2 souˇcet ˇctverc˚ u vzd´ alenost´ı od pˇr´ımky p k bod˚ um zi . Ukaˇzme, ˇze v je hladk´ a funkce na mnoˇzinˇe P 1,2 z pˇr´ıkladu 2.5. Vzd´ alenost bodu z = (x0 , y0 ) od pˇr´ımky y = ax + b se mˇeˇr´ı na pˇr´ımce veden´e bodem z kolmo k pˇr´ımce p a je d´ ana formul´ı d(p, z ) =
|y0 − ax0 − b| p . 1 + a2
Dvojmoc d(p, z)2 je hladk´ a funkce promˇenn´ ych a, b, a tud´ıˇz funkce v je hladk´a vzhledem k mapˇe (U, (a, b)); podobnˇe se ovˇeˇr´ı hladkost vzhledem k mapˇe V . Stacion´ arn´ı body funkce V jsou ˇreˇsen´ım probl´emu line´ arn´ı regrese (nalezen´ı pˇr´ımky, kter´a m´ a od dan´ ych bod˚ u minim´ aln´ı souˇcet vzd´ alenost´ı).
2.15. Oznaˇ cen´ı. Bud’ M mnoˇzina s atlasem U. Mnoˇzina vˇsech funkc´ı f : M −→ R, hladk´ ych vzhledem k atlasu U, se znaˇc´ı C ∞ (M, U). 3. Souhlasn´ e atlasy a hladk´ e struktury Jak jsem vidˇeli, na mnoˇzinˇe m˚ uˇze existovat v´ıce neˇz jeden atlas. Ve vˇsech shora uveden´ ych pˇr´ıkladech vˇsak r˚ uzn´e atlasy vytv´aˇrej´ı stejn´e soubory hladk´ ych funkc´ı ∞ C (M, U). Je tomu tak proto, ˇze pˇr´ısluˇsn´e atlasy jsou souhlasn´e. 3.1. Definice. Bud’ U atlas na mnoˇzinˇe M . Mapa (U, x) na M souhlasn´a s kaˇzdou mapou atlasu U se naz´ yv´ a souhlasn´ a s atlasem U. ˇ 3.2. Definice. Rekneme, ˇze dva atlasy U = {(Ui , xi )}i∈I a V = {(Vj , yj )}j∈J jsou souhlasn´e, je-li kaˇzd´ a mapa (Ui , xi ) jednoho atlasu souhlasn´a s kaˇzdou mapou (Vj , yj ) druh´eho atlasu. Cviˇ cen´ı. (1) Dokaˇzte, ˇze mapa (U, x) je souhlasn´a s atlasem U pr´avˇe tehdy, kdyˇz je U ∪ {(U, x)} opˇet atlas. (2) Dokaˇzte, ˇze dva atlasy jsou souhlasn´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz je jejich sjednocen´ı opˇet atlas.
3.3. Tvrzen´ı. Relace souhlasnosti atlas˚ u je reflexivn´ı, symetrick´ a a tranzitivn´ı. D˚ ukaz. Reflexivita plyne z podm´ınky (b) z definice atlasu. Symetriˇcnost plyne ze symetriˇcnosti relace souhlasnosti map. Tranzitivita plyne z toho, ˇze dvˇe mapy souhlasn´e s jedn´ım a t´ ymˇz atlasem jsou i vz´ ajemnˇe souhlasn´e, coˇz je obsahem n´asleduj´ıc´ıho lemmatu. 3.4. Lemma. Bud’te (U, x), (W, z) dvˇe mapy souhlasn´e s atlasem V = {(Vj , yj )}j∈J . Pak jsou mapy (U, x), (W, z) souhlasn´e. D˚ ukaz. Pˇredevˇs´ım ukaˇzme, ˇze x(U ∩ W ) je otevˇren´a mnoˇzina v xU . Protoˇze {Vi }i∈I je pokryt´ı a x je bijekce, m˚ uˇzeme ps´ at [ [ x(U ∩ W ) = x U ∩ W ∩ Vj = x U ∩ Vj ∩ W j∈J
=
[
j∈J
x(U ∩ Vj ∩ W ),
j∈J
8
Hladk´e struktury
kde kaˇzd´a z mnoˇzin x(U ∩ Vj ∩ W ) je otevˇren´a podmnoˇzina v otevˇren´e podmnoˇzinˇe x(U ∩Vj ) ⊂ xU . Vskutku, x(U ∩Vj ∩W ) je obrazem otevˇren´e mnoˇziny yj (U ∩Vj ∩W ) = yj (U ∩ Vj ) ∩ yj (Vj ∩ W ) v yj (U ∩ Vj ) pˇri homeomorfismu (protoˇze difeomorfismu) xyj−1 : yj (U ∩ Vj ) −→ x(U ∩ Vj ). Analogicky se uk´aˇze, ˇze z(U ∩ W ) je otevˇren´a podmnoˇzina v zW . Fakt, ˇze x◦z −1 |z(U ∩W ) : z(U ∩W ) −→ x(U ∩W ) je diffeomorfismus pak plyne z toho, ˇze pro kaˇzd´e j je x ◦ z −1 |z(U ∩Vj ∩W ) = (x ◦ yj−1 |yj (U ∩Vj ∩W ) ) ◦ (yj ◦ z −1 |z(U ∩Vj ∩W ) ) hladk´e zobrazen´ı s hladkou inverz´ı z ◦ x−1 |x(U ∩Vj ∩W ) = (z ◦ yj−1 |yj (U ∩Vj ∩W ) ) ◦ (yj ◦ x−1 |x(U ∩Vj ∩W ) ). 3.5. Definice. Maxim´ aln´ı atlas je atlas, kter´ y obsahuje vˇsechny mapy na mnoˇzinˇe M , kter´e jsou s n´ım souhlasn´e. – 3.6. D˚ usledek. Je-li V atlas, pak mnoˇzina V vˇsech map na mnoˇzinˇe M souhlasn´ych s V je maxim´ aln´ı atlas. – Maxim´aln´ı atlas V z tvrzen´ı 3.6 se naz´ yv´a hladk´ a struktura urˇcen´a atlasem V. Dva – – souhlasn´e atlasy U a V na mnoˇzinˇe M urˇcuj´ı jednu a tut´eˇz hladkou strukturu U = V – na M , protoˇze maxim´ aln´ı atlas obsahuj´ıc´ı U obsahuje i V a naopak, naˇceˇz U = U ∪ V = – V. Nakonec tedy m˚ uˇzeme hladkou strukturu alternativnˇe definovat jako tˇr´ıdu ekvivalence atlas˚ u podle souhlasnosti. Kaˇzd´ a tˇr´ıda {Vi }i∈I souhlasn´ ych atlas˚ u pak obsahuje – pr´avˇe jeden maxim´ aln´ı atlas Vi , stejn´ y pro vˇsechna i. Nyn´ı se vrat’me k ot´ azce hladkosti. 3.7. Tvrzen´ı. Bud’ U atlas na mnoˇzinˇe M , bud’ f : M −→ R funkce hladk´ a vzhledem k atlasu U. Pak je f hladk´ a i vzhledem ke kaˇzd´e mapˇe souhlasn´e s atlasem U. 3.8. D˚ usledek. Bud’ f : M −→ R funkce hladk´ a vzhledem k atlasu U, pak je hladk´ ai – vzhledem k maxim´ aln´ımu atlasu U . 3.9. D˚ usledek. Bud’ f : M −→ R funkce hladk´ a vzhledem k atlasu U, pak je hladk´ ai vzhledem ke kaˇzd´emu souhlasn´emu atlasu V. Jinak ˇreˇceno, pro souhlasn´e atlasy U, V plat´ı C ∞ (M, U) = C ∞ (M, V). 4. Kart´ ezsk´ y souˇ cin Jsou-li f1 : P1 −→ Q1 a f2 : P2 −→ Q ı f1 × f2 : P1 × P2 −→ 2 zobrazen´ı, pak zobrazen´ Q1 ×Q2 definujeme pˇredpisem p1 , p2 7−→ f1 (p1 ), f2 (p2 ) . Naz´ yv´a se kart´ezsk´y souˇcin zobrazen´ı f1 , f2 . 4.1. Tvrzen´ı. (1) Bud’ M mnoˇzina s m-rozmˇernou hladkou strukturou zadanou atlasem U = {(Ui , xi )}i∈I . Bud’ N mnoˇzina s n-rozmˇernou hladkou strukturou zadanou atlasem V = {(Vj , yj )}j∈J . Oznaˇcme W = {(Wij , zij )}(i,j)∈I×J , kde Wij = Ui × Vj a 9
Hladk´e struktury
zij = xi × yj : Ui × Vj −→ Rm × Rn = Rm+n . Syst´em W je (m + n)-rozmˇern´y atlas na mnoˇzinˇe M × N . (2) Jsou-li U a U 0 souhlasn´e atlasy na M a V a V 0 souhlasn´e atlasy na N , pak jsou jim odpov´ıdaj´ıc´ı atlasy W a W 0 rovnˇeˇz souhlasn´e. D˚ ukaz. (1) Je tˇreba ovˇeˇrit nˇekolik vˇec´ı. Zaprv´e, kaˇzd´e zobrazen´ı zij : Wij −→ Rm+n je bijektivn´ı na sv˚ uj obraz xi Ui × yj Vj , coˇz je souˇcin dvou otevˇren´ ych podmnoˇzin, a m+n . Tud´ tedy otevˇren´ a podmnoˇ z ina v R ıˇ z , prvky (W , z ) syst´ e mu W jsou mapy. ij ij S Zadruh´e, M × N = i∈I, j∈J Wij , tud´ıˇz mapy syst´emu W pokr´ yvaj´ı mnoˇzinu M × N . Zatˇret´ı, kaˇzd´e dvˇe mapy (Wi1 j1 , zi1 j1 ) a (Wi2 j2 , zi2 j2 ) jsou souhlasn´e. Vskutku, jsou-li (Ui1 , xi1 ), (Ui2 , xi2 ) souhlasn´e mapy na M a (Vj1 , yj1 ), (Vj2 , yj2 ) souhlasn´e mapy na N , pak zi1 j1 (Wi1 j1 ∩ Wi2 j2 ) = xi1 (Ui1 j1 ∩ Ui2 j2 ) × yj1 (Vi1 j1 ∩ Vi2 j2 ). D´ale, transformace −1 je hladk´ e = (xi2 × yj2 ) ◦ (xi1 × yj1 )−1 = (xi2 ◦ x−1 souˇradnic zi2 j2 ◦ zi−1 i1 ) × (yj2 ◦ yj1 ) 1 j1 zobrazen´ı; podobn´e tvrzen´ı pak plat´ı i po z´amˇenˇe i1 ←→ i2 a j1 ←→ j2 . Tud´ıˇz, W je atlas. (2) Podle jiˇz dok´ azan´e pˇredchoz´ı ˇca´sti (1) pro souhlasn´e mapy (U, x), (U 0 , x0 ) na M a souhlasn´e mapy (V, y), (V 0 , y 0 ) na N plat´ı, ˇze kart´ezsk´e souˇciny (U × V, x × y) a (U 0 × V 0 , x0 × y 0 ) jsou souhlasn´e mapy na M × N . Mnoˇzina M × N s hladkou strukturou popsan´a v pˇredchoz´ım tvrzen´ı se naz´ yv´a kart´ezsk´ y souˇcin mnoˇzin s hladkou strukturou. Jsou-li M, N variety, je i M ×N varieta (tˇr´ıda T2 -prostor˚ u se spoˇcetnou baz´ı je uzavˇren´a na koneˇcn´e souˇciny). 4.2. Pˇ r´ıklad. Kart´ezsk´ y souˇcin jednotkov´ ych kruˇznic se naz´ yv´a anuloid neboli torus 1 1 a znaˇc´ı se T . M´ ame tedy T = S × S .
10
