2001 Michal Marvan

Matematick´y ustav ´ Slezske´ univerzity v Opaveˇ Uˇcebn´ı texty k pˇrednaˇ ´ sce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

11. Line´arn´ı zobrazen´ı V cel´e pˇredn´asˇce pojedn´av´ame o vektorov´ych prostorech nad jedn´ım a t´ymˇz polem P. Definice. Bud’te U, V vektorov´e prostory. Zobrazen´ı f : U → V se naz´yv´a line´arn´ı, pˇresnˇeji line´arn´ı nad polem P, jestliˇze plat´ı (i)

f (a + b) = f (a) + f (b)

(ii)

f (ra) = r f (a)

(aditivita) (homogenita)

pro kaˇzd´e dva vektory a, b ∈ U a kaˇzd´y skal´ar r ∈ P. Jin´y n´azev pro line´arn´ı zobrazen´ı je homomorfismus vektorov´ych prostor˚u. Pˇr´ıklad. (1) Identick´e zobrazen´ı id : U → U , id(a) = a, je line´arn´ı. (2) Nulov´e zobrazen´ı 0 : U → U , 0(a) = 0, je line´arn´ı. (3) N´asoben´ı skal´arem c ∈ P: Zobrazen´ı f c : U → U , f c (a) = ca, je line´arn´ı. Naz´yv´a se homotetie. Vˇsimnˇete si, zˇ e (1) resp. (2) jsou speci´aln´ı pˇr´ıpady pro c = 1 resp. c = 0. (4) Zobrazen´ı C → C, z → z ∗ , kde z ∗ je cˇ´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e k cˇ´ıslu z ∈ C, je line´arn´ı zobrazen´ı vektorov´ych prostor˚u nad R. Toto zobrazen´ı nen´ı line´arn´ı zobrazen´ı nad C. Ovˇerˇte. (5) Zobrazen´ı re : C → R, z → re z = 12 (z + z ∗ ) (re´aln´a cˇ a´ st cˇ´ısla z) je line´arn´ı zobrazen´ı vektorov´ych prostor˚u nad R. (6) Je-li U ⊆ V podprostor, pak vloˇzen´ı ιU : U → V , ιU (u) = u, je line´arn´ı zobrazen´ı. Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e zobrazen´ı f : R → R je line´arn´ı nad R pr´avˇe kdyˇz existuje skal´ar c ∈ R takov´y, zˇ e f (a) = ca. N´avod: Poloˇzte c = f (1).

Uved’me dva pˇr´ıklady v´yznamn´ych geometrick´ych zobrazen´ı, kter´a jsou line´arn´ı co se t´ycˇ e u´ cˇ inku na vektory. 1. Ot´acˇ en´ı. Pˇri ot´acˇ en´ı Eukleidovsk´e roviny kolem pevn´eho bodu o u´ hel α se vˇsechny vektory ot´acˇ ej´ı o t´yzˇ u´ hel α, nez´avisle na jejich um´ıstˇen´ı. Vznik´a zobrazen´ı φα : E 2 → E 2 . Ot´acˇ en´ı pˇrev´ad´ı souˇcet vektor˚u na souˇcet vektor˚u a podobnˇe c-n´asobek vektoru na c-n´asobek vektoru. Napˇr´ıklad aditivita se velmi n´azornˇe ovˇeˇr´ı poukazem na to, zˇ e ot´acˇ en´ım kolem vrcholu ✸ ✑ ✑ ✂ v ✂✍✂ u+v ✑ ✂

O

✑

✂✑ ✂✑

✑

u

✂ ✲✂

✂

✂

se rovnobˇezˇ n´ık pˇrev´ad´ı v rovnobˇezˇ n´ık a d´elka jeho stran a u´ hlopˇr´ıcˇ ek se pˇritom nemˇen´ı. Podobnˇe ot´acˇ en´ı kolem pevn´e osy v trojrozmˇern´em Eukleidovsk´em prostoru pˇredstavuje line´arn´ı zobrazen´ı vektor˚u E 3 → E 3 .

11. Line´arn´ı zobrazen´ı

2. Rovnobˇezˇn´e prom´ıt´an´ı. Prom´ıt´an´ı Eukleidovsk´eho prostoru E 3 do 2-rozmˇern´eho podprostoru (pr˚umˇetny) R ve zvolen´em smˇeru L je zobrazen´ı E 3 → R. Smˇerem se rozum´ı ˙ R. Pr˚umˇet do roviny R je sˇc´ıtanec libovoln´y 1-rozmˇern´y podprostor L takov´y, zˇ e E 3 = L + x R v (jednoznaˇcn´em) vyj´adˇren´ı x = x L + x R , kde x L ∈ L a x R ∈ R. L

✯ ✟ ✟ ✟✟u

✿ ✘ ✘ ✘✘ p(u)

R

Prom´ıt´an´ı p : E 3 → R je line´arn´ı zobrazen´ı. Aditivita se projevuje v tom, zˇ e pr˚umˇetem rovnobˇezˇ n´ıka je rovnobˇezˇ n´ık. Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e line´arn´ı zobrazen´ı U → V je homomorfismem abelovsk´ych grup (U, +, 0, −) → (V, +, 0, −). Speci´alnˇe, f (0) = 0, f (−a) = − f (a).

Tvrzen´ı. Bud’te f : U → V, g : V → W homomorfismy. Pak je g ◦ f : U → W tak´e homomorfismus. Dukaz. ˚ Ovˇeˇrme aditivitu zobrazen´ı g ◦ f . Pro libovoln´a a, b ∈ U m´ame (g ◦ f )(a + b) = g( f (a + b)) = g( f (a) + f (b)) = g( f (a)) + g( f (b)) = (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b). Homogenita podobnˇe. J´adro a obraz Definice. Bud’ f : U → V homomorfismus. Oznaˇcme Ker f = { u ∈ U | f (u) = 0 }, Im f = f U = { f (u) | u ∈ U }. Ker f se naz´yv´a j´adro a Im f se naz´yv´a obraz homomorfismu f . Tvrzen´ı. Bud’ f : U → V homomorfismus. Pak (1) Ker f je podprostor v U . (2) Im f je podprostor ve V . Dukaz. ˚ (1) (i) 0 ∈ Ker f , protoˇze f (0) = 0. (ii) Necht’ a, b ∈ Ker f . Pak a + b ∈ Ker f , protoˇze f (a + b) = f (a) + f (b) = 0 + 0 = 0. (iii) Necht’a ∈ Ker f , r ∈ P. Pak ra ∈ Ker f (cviˇcen´ı). (2) Cviˇcen´ı. Cviˇcen´ı. (1) Pro homomorfismus re z pˇr´ıkladu (5) plat´ı: Im re = R,

Ker re = Ri = {r i | r ∈ R}.

(2) Pˇri rovnobˇezˇ n´em prom´ıt´an´ı p : E 3 → E 2 je podprostor Ker f totoˇzn´y se smˇerem prom´ıt´an´ı, kdeˇzto Im f = E 2 . (3) Pˇri ot´acˇ en´ı φα : E 2 → E 2 o u´ hel α = 2kπ je Im φα = E 2 , zat´ımco Ker φα je nulov´y podprostor.

2

11. Line´arn´ı zobrazen´ı

Tvrzen´ı. Bud’ f : U → V homomorfismus. Pak (1) f je injektivn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz Ker f = 0. (2) f je surjektivn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz Im f = V . Dukaz. ˚ (1) Bud’ f injektivn´ı, bud’ u libovoln´y prvek z Ker f . Pak f (u) = 0, ale souˇcasnˇe f (0) = 0, naˇceˇz z injektivity u = 0. Naopak, necht’Ker f = 0 a necht’ f (a) = f (b). Pak f (a − b) = f (a) − f (b) = 0, a tedy a − b ∈ Ker f , naˇceˇz a − b = 0, cˇ ili a = b. (2) Zˇrejm´e. Jsou-li oba prostory U, V koneˇcnˇerozmˇern´e, pak se cˇ´ıslo dim Ker f naz´yv´a defekt a cˇ´ıslo dim Im f hodnost line´arn´ıho zobrazen´ı. Plat´ı o nich n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı. Bud’ f : U → V homomorfismus mezi koneˇcnˇerozmˇern´ymi prostory U, V . Pak dim Ker f + dim Im f = dim U. Dukaz. ˚ Oznaˇcme dim U = n, dim Ker f = m a dim Im f = p. Zvolme b´azi u 1 , . . . , u m v Ker f , doplˇnme ji do b´aze u m+1 , . . . , u n v U . Ovˇeˇrme, zˇ e vektory f (u m+1 ), . . . , f (u n ) tvoˇr´ı b´azi v Im f . Zaprv´e, f (u m+1 ), . . . , f (u n ) generuj´ı Im f . V´ıme totiˇz, zˇ e u 1 , . . . , u n generuj´ı U , naˇceˇz f (u 1 ), . . . , f (u n ) generuj´ı f U = Im f (ovˇeˇrte podrobnˇe), ale f (u 1 ) = 0, . . . , f (u m ) = 0, takˇze je m˚uzˇ eme z generuj´ıc´ı mnoˇziny bez n´asledk˚u vyˇskrtnout. Zadruh´e, f (u m+1 ), . . . , f (u n ) jsou line´arnˇe naz´avisl´e. Vskutku, uvaˇzujme o nulov´e line´arn´ı kombinaci xm+1 f (u m+1 ) + · · · + xn f (u n ) = 0, cˇ ili, f (xm+1 u m+1 + · · · + xn u n ) = 0, tj. xm+1 u m+1 + · · · + xn u n ∈ Ker f, naˇceˇz xm+1 u m+1 + · · · + xn u n = x1 u 1 + · · · xm u m pro vhodn´e koeficienty x1 , . . . , xm . Ale z´ucˇ astnˇen´e vektory u 1 , . . . , u m , u m+1 , . . . , u n jsou nez´avisl´e, a proto jsou vˇsechny koeficienty nulov´e, zejm´ena xm+1 , . . . , xn jsou nuly, coˇz se mˇelo dok´azat. Naˇsli jsme b´azi v Im f cˇ´ıtaj´ıc´ı n−m vektor˚u, takˇze dim Im f = n−m = dim U −dim Ker f . D˚ukaz je hotov. Izomorfismy Podobnˇe jako u jin´ych algebraick´ych struktur, invertibiln´ı homomorfismy se naz´yvaj´ı izomorfismy. Definice. Izomorfismus vektorov´ych prostor˚u je bijektivn´ı line´arn´ı zobrazen´ı. Tvrzen´ı. Bud’ f : U → V izomorfismus. Pak je f −1 : V → U t´ezˇ izomorfismus. 3

11. Line´arn´ı zobrazen´ı

Dukaz. ˚ Zobrazen´ı f −1 je bijektivn´ı. Dokaˇzme, zˇ e je line´arn´ı. Ovˇeˇrme aditivitu, tj. rovnost f −1 (a + b) = f −1 (a) + f −1 (b). Poˇc´ıtejme: f ( f −1 (a + b)) = a + b = f ( f −1 (a)) + f ( f −1 (b)) = f ( f −1 (a) + f −1 (b)). Poˇzadovan´a rovnost plyne z injektivnosti zobrazen´ı f . Homogenita podobnˇe. Definice. Vektorov´e prostory U, V , mezi nimiˇz existuje izomorfismus, se naz´yvaj´ı izomorfn´ı. Zapisujeme U ∼ = V. Tvrzen´ı. (1) Reflexivita: U ∼ = U. (2) Symetrie: je-li U ∼ = U. = V , pak V ∼ ∼ ∼ (3) Tranzitivita: je-li U = V , V = W , pak V ∼ = W. Dukaz. ˚ (1) id : U → U je izomorfismus. (2) Viz pˇredchoz´ı tvrzen´ı. (3) Kompozice bijekc´ı je bijekce, kompozice homomorfism˚u je homomorfismus. Cviˇcen´ı. (1) Homotetie f c : a → ca z pˇr´ıkladu (3) je izomorfismus pr´avˇe tehdy, kdyˇz c = 0. (2) Homomorfismus z → z ∗ z pˇr´ıkladu (4) je izomorfismus C ∼ = C. (3) Homomorfismus re z pˇr´ıkladu (5) nen´ı izomorfismus (nen´ı injektivn´ı). (4) Ot´acˇ en´ı je vˇzdy izomorfismus. Rovnobˇezˇ n´e prom´ıt´an´ı E 3 → E 2 nen´ı nikdy izomorfismus.

Tvrzen´ı. Bud’te U ∼ = V dva izomorfn´ı koneˇcnˇerozmˇern´e vektorov´e prostory. Pak dim U = dim V . Dukaz. ˚ Bud’ f : U → V izomorfismus. Pak dim Ker f = 0, dim Im f = dim V , a proto dim U = dim Ker f + dim Im f = dim V . Cviˇcen´ı. Bud’ f : U → V izomorfismus koneˇcnˇerozmˇern´ych prostor˚u. Je-li u 1 , . . . , u n ∈ U b´aze prostoru U , pak f (u 1 ), . . . , f (u n ) ∈ V je b´aze prostoru V . Dokaˇzte. Tot´ezˇ pro mnoˇziny gener´ator˚u resp. mnoˇziny line´arnˇe nez´avisl´ych vektor˚u.

Izomorfni prostory se z hlediska line´arni algebry prakticky neliˇs´ı a nen´ı mezi nimi zˇ a´ dn´y rozd´ıl odhaliteln´y prostˇredky line´arn´ı algebry. V koneˇcnˇerozmˇern´em pˇr´ıpadˇe je situace obzvl´asˇt’ pˇr´ıjemn´a: kaˇzd´y prostor U je izomorfn´ı s nˇekter´ym prostorem P n . Tvrzen´ı. (1) Libovoln´y vektorov´y prostor U nad polem P je izomorfn´ı s prostorem P dim U . (2) Koneˇcnˇerozmˇern´e vektorov´e prostory U, V jsou izomorfn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz maj´ı stejnou dimenzi. Dukaz. ˚ (1) Necht’dim U = n. Zvolme libovolnˇe b´azi e1 , . . . , en v U . Pak m´a libovoln´y vektor u ∈ U souˇradnice x1 , . . . , xn , jednoznaˇcnˇe urˇcen´e vztahem u = x1 e1 + · · · + xn en . Zaved’me zobrazen´ı U → P n pˇredpisem u → (x1 , . . . , xn ). O nˇem je zn´amo, zˇ e je line´arn´ı, protoˇze pˇri sˇc´ıt´an´ı vektor˚u se jejich souˇradnice sˇc´ıtaj´ı a pˇri n´asoben´ı skal´arem se n´asob´ı t´ymˇz skal´arem. (2) Implikace ,,⇒“ jiˇz byla dok´az´ana. Implikace ,,⇐“: Je-li dim U = dim V , pak U ∼ = dim P U = P dim V ∼ = V. 4

11. Line´arn´ı zobrazen´ı

Vid´ıme, zˇ e poˇc´ıt´an´ı s vektory v souˇradnic´ıch je vlastnˇe v´ypoˇctem v izomorfn´ım prostoru U ∼ = Pn. Na druh´e stranˇe, tento izomorfismus z´avis´ı na volbˇe souˇradnic, a to je d˚uvod, proˇc nen´ı vhodn´e prostory U a P n ztotoˇznˇ ovat.

Kaˇzd´e line´arn´ı zobrazen´ı je jednoznaˇcnˇe urˇceno obrazy vektor˚u libovoln´e b´aze a tyto obrazy lze volit libovolnˇe: Tvrzen´ı. Zvolme b´azi u 1 , . . . , u n v koneˇcnˇerozmˇern´em prostoru U . Pak ke kaˇzd´e n-tici vektor˚u v1 , . . . , vn ∈ V existuje pr´avˇe jedno line´arn´ı zobrazen´ı f : U → V takov´e, zˇe f (u 1 ) = v1 , . . ., f (u n ) = vn . Dukaz. ˚ Zvolme n-tici vektor˚u v1 , . . . , vn ∈ V . Obecn´y prvek u ∈ U je tvaru x1 u 1 +· · ·+ xn u n . Poloˇzme f (u) = x1 v1 +· · ·+ xn vn . Ovˇeˇrte samostatnˇe, zˇ e (a) zobrazen´ı f : U → V je line´arn´ı a f (u i ) = vi ; (b) je-li f  : U → V line´arn´ı zobrazen´ı takov´e, zˇ e f (u i ) = vi , pak f  = f . Pˇritom lze snadno rozeznat injektivn´ı a surjektivn´ı homomorfismy: Tvrzen´ı. Bud’ f : U → V zobrazen´ı z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı (1) f je injektivn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz jsou vektory v1 , . . . , vn ∈ V nez´avisl´e; (2) f je surjektivn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz vektory v1 , . . . , vn generuj´ı V . Dukaz. ˚ Cviˇcen´ı. Dusledek. ˚ Zobrazen´ı f z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı je izomorfismus pr´avˇe tehdy, kdyˇz v1 , . . . , vn je b´aze.

Pˇr´ım´y souˇcet vektorov´ych prostoru˚ Jiˇz dˇr´ıve jsme zavedli pˇr´ım´e souˇcty podprostor˚u. Nyn´ı uvedeme konstrukci pˇr´ım´eho souˇctu libovoln´ych prostor˚u, pokud maj´ı spoleˇcn´e pole skal´ar˚u. Definice. Bud’te U1 , . . . , Un libovoln´e vektorov´e prostory nad polem P. Na kart´ezsk´em souˇcinu U1 × · · · × Un zaved’me strukturu vektorov´eho prostoru pˇredpisem (u 1 , . . . , u n ) + (v1 , . . . , vn ) = (u 1 + v1 , . . . , u n + vn ), r (u 1 , . . . , u n ) = (r u 1 , . . . , r u n ) pro libovoln´e prvky (u 1 , . . . , u n ), (v1 , . . . , vn ) ∈ U × V . Vektorov´y prostor U1 × · · · × Un s touto algebraickou strukturou se znaˇc´ı U1 ⊕ · · · ⊕ Un a naz´yv´a se pˇr´ım´y souˇcet vektorov´ych prostor˚u U1 , . . . , Un . Cviˇcen´ı. Ovˇeˇrte, zˇ e U1 ⊕ · · · ⊕ Un skuteˇcnˇe splˇnuje vˇsechny axiomy vektorov´eho prostoru.

Tvrzen´ı. Jsou-li U1 , . . . , Un koneˇcnˇerozmˇern´e vektorov´e prostory, pak plat´ı dim(U1 ⊕ · · · ⊕ Un ) = dim U1 + · · · + dim Un . 5

11. Line´arn´ı zobrazen´ı i b´ Dukaz. ˚ Je-li e1i , . . . , em aze prostoru Ui , pak je i 1 n (e11 , 0, . . . , 0), . . . , (em , 0, . . . , 0), . . . . . . , (e1n , 0, . . . , 0), . . . , (em , 0, . . . , 0) 1 n

b´aze prostoru U1 ⊕ · · · ⊕ Un (cviˇcen´ı). Jsou-li U1 , . . . , Un podprostory nˇejak´eho vektorov´eho prostoru U , pak mohou existovat dva ˙ ···+ ˙ Un a U1 ⊕ · · · ⊕ Un . Prvn´ı z nich je podprostor v U , kdeˇzto r˚uzn´e pˇr´ım´e souˇcty, U1 + druh´y nen´ı. Nicm´enˇe, oba pˇr´ım´e souˇcty jsou izomorfn´ı. Plyne to z n´asleduj´ıc´ıho tvrzen´ı. Tvrzen´ı. Bud’te U1 , . . . , Un podprostory koneˇcnˇerozmˇern´eho vektorov´eho prostoru U . Pak jsou n´asleduj´ıc´ı v´yroky ekvivalentn´ı: (1) souˇcet U1 + · · · + Un je pˇr´ım´y; (2) zobrazen´ı p : U1 ⊕ · · · ⊕ Un → U1 + · · · + Un , (u 1 , . . . , u n ) → u 1 + · · · + u n , je izomorfismus prostoru U1 ⊕ · · · ⊕ Un na prostor U1 + · · · + Un . (3) dim U1 + · · · + dim Un = dim(U1 + · · · + Un ). Dukaz. ˚ (1) ⇒ (2). Zobrazen´ı p je line´arn´ı (cviˇcen´ı). D´ale, ke kaˇzd´emu u ∈ U1 + · · · + Un existuje rozklad u = u 1 +· · ·+u n , kde u i ∈ Ui pro kaˇzd´e i = 1, . . . , n. Je-li souˇcet U1 +· · ·+Un pˇr´ım´y, potom je rozklad u = u 1 + · · · + u n jedin´y a u → (u 1 , . . . , u n ) je zobrazen´ı U1 + · · · + Un → U1 ⊕ · · · ⊕ Un , inverzn´ı k p. Potom je p bijektivn´ı, a tedy izomorfismus. (2) ⇒ (3). Je-li U1 + · · · + Un ∼ = U1 ⊕ · · · ⊕ Un , pak dim(U1 + · · · + Un ) = dim(U1 ⊕ · · · ⊕ Un ) = dim U1 + · · · + dim Un . (3) ⇒ (2). Necht’ dim U1 + · · · + dim Un = dim(U1 + · · · + Un ). Homomorfismus p je surjektivn´ı (cviˇcen´ı). M´ame pak dim Ker p = dim(U1 ⊕ · · · ⊕ Un ) − dim Im p = dim U1 + · · · + dim Un − dim(U1 + · · · + Un ) = 0. Tud´ızˇ , p je injektivn´ı, a proto izomorfismus, naˇceˇz je n´asˇ souˇcet pˇr´ım´y podle pˇredchoz´ıho tvrzen´ı. (2) ⇒ (1). Cviˇcen´ı. Cviˇcen´ı. Dokaˇzte, zˇ e zobrazen´ı p z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı je opravdu line´arn´ı. Cviˇcen´ı. Pro kaˇzd´e i = 1, . . . , n m´ame zobrazen´ı πi : U1 ⊕ · · · ⊕ Un → Ui , zadan´e pˇredpisem (u 1 , . . . , u n ) → u i . Naz´yv´a se i-t´a projekce. Pro kaˇzd´e i = 1, . . . , n m´ame t´ezˇ zobrazen´ı ιi : Ui → U1 ⊕ · · · ⊕ Un , zadan´e pˇredpisem u → (0, . . . , 0, u, , 0 . . . , 0), kde u stoj´ı na i-t´em m´ıstˇe. Naz´yv´a se vloˇzen´ı i-t´eho sˇc´ıtance. Ukaˇzte, zˇ e projekce πi a vloˇzen´ı ιi jsou line´arn´ı zobrazen´ı. Spoˇctˇete πi ◦ ι j .

6