Michal Musílek,

Michal Musílek, 2009 [email protected] http://www.musilek.eu/michal/

• Počítání na prstech (včetně násobení) • Zápis číslic v různých kulturách, vrubovky • Abakus (5+2, 4+1, 10) a výpočty na něm • Mechanické kalkulátory a jejich tvůrci

 Nejstarší početní pomůcka a současně nejstarší   



vnější paměť (přenos mezi řády při písemném …) Založeno na vzájemně jednoznačném zobrazení mezi počítanými předměty a prsty Různé kultury mohou stejné číslo znázorňovat různě (vztyčování prstů X pokládání do dlaně) Na prstech lze nejen sčítat, ale i násobit (stačí umět zpaměti násobilku do 5 a vyšší čísla mezi sebou násobíme pomocí prstů (malíčky = 6, prsteníčky = 7, prostředníčky = 8, … palce = 10) Násobení na prstech se užívalo ve středověku, ale postupně se stalo „zapomenutým uměním“

 Jak funguje? Dotkneme se špičkami prstů, které

odpovídají příslušným číslům (6 až 10), volné prsty nahoře představují doplňky těchto dvou čísel do 10ti, označme doplňky a a b  (10 – a) (10 – b) = 100 – 10 (a + b) + ab = = [10 – (a + b)] 10 + ab  Tedy počet prstů dole (směrem k malíčkům), včetně dotýkajících se, udává počet desítek, zatímco součin prstů nahoře udává jednotky výsledku násobení.  Šlo by podobný postup uplatnit i pro násobení větších čísel?

 Co může znamenat následující zápis?  (10 + a) (10 + b) = 100 + 10 (a + b) + ab =

= [10 + (a + b)] 10 + ab  Pro tento vzorec označíme prsty čísly 11 = malíček, 12 = prsteníček, … 15 = palec.  I zde počet prstů dole (směrem k malíčkům), včetně dotýkajících se, udává počet desítek, ale pozor! Vždy je zde také jedna stovka a jednotky tentokrát získáme jako součin prstů dole, opět počítáno včetně dotýkajících se prstů.  Zkuste sami vymyslet pravidlo pro násobení dvou čísel od 16 do 20.

 Počet prstů na ruce, na obou rukou, případně na

všech čtyřech končetinách, ovlivnil nejen základ naší (desítkové) poziční číselné soustavy, ale také:  Zápis číslic klínovým písmem  Zápis číslic ve dvacítkové soustavě Mayů  Tvar římských číslic I, V, X

 Dodnes používaná početní pomůcka s tisíciletou

tradicí:

 Umožňuje všechny 4 základní početní operace.  Při tréninku je stejně rychlý a přesný jako

kalkulátor.

 Starověký abakus = destička s drážkami a

    

kamínky (hladkými oblázky) … kalkulus Čínské počítadlo suan pan Drát nebo drážka jsou rozděleny na dvě části: kratší horní (váha 5) delší dolní (váha 1) na prvních 3 drátech vidíme čísla 7 1 8

 Japonské počítadlo soroban  Japonská pečlivost důsledně odstranila vše

nadbytečné. Má opět dvě části. Kratší horní (váha 5) a delší dolní (váha 1)

 Ruské počítadlo sčot  Podobné počítadlo používají

i naši prvňáčci, ale učí se na něm pouze sčítat a odčítat  My se naučíme všechny 4 základní početní operace  Simulace sčotu je připravena na mém webu v sekci matematika  Ve stejné sekci je brožura vysvětlující výpočty na sčotu s řadou názorných ilustrací

 John Napier, 1550 – 1617, skotský matematik,

fyzik a astronom

 Napier se snažil vyřešit problém s násobením

velkých čísel, tj. co nejvíc ho usnadnit a zrychlit  Podařilo se mu to dvěma různými způsoby, a to jednak vytvořením pomůcky (Napierových kostí) pro zautomatizování násobení užitím algoritmu gelosia, jednak objevem logaritmů  Násobením užitím algoritmu gelosia, pomocí Napierových kostek i pomocí logaritmických tabulek a logaritmického pravítka se budeme zabývat v příští přednášce

 1623 Schickardův kalkulátor (počítací hodiny)  1642 Pascalina (první sériově vyráběný model)

 1673 Morlandův kalkulátor  1675 Leibnizův kalkulátor (Leibnizovo kolo)  1862 Colmarův Arithmometer (sériová výroba)

 1878 Odhnerova konstrukce (Odhnerovo kolo)

 Wilhelm Schickard, 1592 – 1635, profesor

astronomie na univerzitě v Tübingenu, sestrojil první počítací stroj, který ovládal 4 základní početní operace  Mimo jiné využil princip Napierových kostek  Korespondoval také s Johanem Keplerem, chtěl pro něj jeden kalkulátor sestrojit, ale během 30leté války Schickard zahynul a kalkulátor byl zničen  Naštěstí se dochovaly původní plány, podle kterých byl počítací stroj až roku 1960 znovu postaven a fungoval

Blaise Pascal, 1623 - 1662

 Blaise Pascal, francouský

matematik, fyzik, filozof  Kalkulátor Pascalina uměl pouze sčítat a odčítat, ale byl naprosto spolehlivý  Blaise ho sestrojil v 19ti pro svého otce

 Pascalův kalkulátor byl vyroben v desítkách

exemplářů, s lehkou nadsázkou lze hovořit o prvním sériově vyráběném kalkulátoru

 1625 – 1695, anglický

královský mechanik, sestrojil kalkulátor, který uměl násobit a dělit  Konstrukce stroje však byla mnohem méně spolehlivá než u Pascaliny  Přenos do vyššího řádu nebyl zautomatizován  Kvůli horší spolehlivosti nebyl vyráběn ve větších sériích

 Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716

 Charles Xavier Thomas de Colmar, 1785–1870  Francouzský vynálezce komerčně úspěšného,

ve velkých sériích vyráběného kalkulátoru  Je známyý i pod jménem Thomasův kalkulátor  http://www.artithmometre.org/

 Willgodt Theophil Odhner

 1845 – 1905

Vyráběny až do 70. let 20. století

 Jak násobit na prstech čísla od 16 do 20? Prsty

značí čísla: malíček = 16, prsteníček = 17, … palec = 20. Prsty nahoře představují doplňky těchto dvou čísel do 20ti, označme je a a b  (20 – a) (20 – b) = 400 – 20 (a + b) + ab = = 200 + 2 [10 – (a + b)] 10 + ab  Tedy vezmeme základ 200 a k němu přičteme tolik desítek, kolik je dvojnásobek počtu prstů dole (směrem k malíčkům), včetně dotýkajících se prstů. Součin volných prstů nahoře udává jednotky výsledku násobení.