2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: •
jak je definována reálná nebo ko m p lexní matice a co ro zu míme je jím typ em;
•
co jsou to p rvk y matice, co vyjad řu jí jejich in d exy a jak je de finován a rov nost matic;
•
co je to sto pa čtverco v é matice;
•
jak vypad ají nejp oužív anější spe ciální matice a jak je d efinová na matice transponov aná k dané matici;
•
definici symetrické a antisymetrick é matice;
•
jak je d efin ována hodn ost matice;
•
co jsou to tzv. elementární úprav y matic a jak je defin ován a ek vivalence matic.
Klíčová slova této kapitoly: matice, typ matice, prvek matice, hlavní a vedlejší diagonála matice, stopa matice, rovnost matic, nulová matice, diagonální matice, jednotková matice, pravá (horní) trojúhelníková matice, levá (dolní) trojúhelníková matice, transponovaná matice, symetrická a antisymetrická matice, hodnost matice, elementární úprava matice, ekvivalence matic.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,5 + 0 ,25 hodin y (teo rie + řešení p říkladů )
Definice. Maticí A typu ( m, n ) nazýváme schéma m ⋅ n čísel (reálných nebo i komplexních) sestavených do m řádků a n sloupců: a11 a12 a13 a21 a22 a23 A= ..... ..... ..... a m1 am 2 am3
..... ..... ..... .....
a1n a2 n . ..... amn
Často používaný zkrácený zápis (pokud víme, o jaký typ matice se jedná) je A = ( aik ) . Je-li m = n , pak se A nazývá čtvercovou maticí n -tého stupně ( n -tého řádu), jinak hovoříme o matici obdélníkové. Poznámka. a) Prvky aik , 1 ≤ k ≤ n , pro daný index i tvoří i-tý řádek, prvky aik , 1 ≤ i ≤ n , pro daný index k tvoří k -tý sloupec. První index v označení prvku aik nazýváme řádkovým, druhý sloupcovým. Řádky a sloupce se souhrnně nazývají řady. b) Prvky a11 , a22 , a33 , ... tvoří hlavní diagonálu a nazývají se hlavní prvky, prvky a1n , a2,n −1 , a3,n − 2 , ... tvoří vedlejší diagonálu. c) Stopou čtvercové matice řádu n nazýváme součet jejích hlavních prvků: Tr A ≡ Sp A ≡ a11 + a22 + ... + ann . Označení „Tr“ pochází z anglického „trace“, označení „Sp“ z německého „Spur“. Rovnost matic. Definice. Matice A ≡ ( aik ) se rovná matici B ≡ ( bik ) právě tehdy, jsou-li obě matice stejného typu a rovnají se jejich stejnolehlé prvky . Stručný zápis: A = B ⇔ ∀i,k : aik = bik . Speciální matice. Definice. a) Nulovou maticí nazýváme matici, jejíž všechny prvky se rovnají nule. Značíme obvykle symbolem 0 nebo i číslem 0. b) Diagonální maticí nazýváme čtvercovou matici, u které prvky na hlavní diagonále jsou různé od nuly a všechny ostatní prvky rovny nule. c) Jednotkovou maticí nazýváme takovou diagonální matici, jejíž všechny hlavní prvky jsou rovny 1. Jednotková matice se obvykle značí E , I nebo i číslem 1. d) Horní (také pravou) trojúhelníkovou maticí nazýváme čtvercovou matici A = ( aik ) , jestliže pod hlavní diagonálou jsou všechny prvky nulové, tzn. ∀i > k : aik = 0 .
e) Dolní (také levou) trojúhelníkovou maticí nazýváme čtvercovou matici A = ( aik ) , jestliže nad hlavní diagonálou jsou všechny prvky nulové, tzn. ∀i < k : aik = 0 .
Definice. Transponovanou maticí k matici A typu ( m,n ) nazýváme matici A T typu ( n,m ) takovou, kterou dostaneme z matice A záměnou (transpozicí) řádků a sloupců. Označíme-li prvek v itém řádku a k-tém sloupci transponované matice aikT , pak můžeme psát: aikT = aki . Jinak řečeno, transponovaná matice A T vznikne „překlopením“ matice A kolem její hlavní diagonály. Věta.
Pro transpozici matic platí ( A T ) = A . T
Definice. Pokud pro čtvercovou matici A platí rovnost A T = A , hovoříme o symetrické (souměrné) matici. Pokud pro čtvercovou matici A platí rovnost A T = − A , hovoříme o antisymetrické matici. Poznámka. Je zřejmé, že pro prvky symetrické matice platí aik = aki . Obdobně pro prvky antisymetrické matice platí aik = −aki , odkud dále plyne, že diagonální prvky antisymetrické matice musí být nulové. Hodnost matice. Definice. Hodností h = h ( A ) matice A typu (m, n ) nazýváme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A . Věta. a) h ( A ) = h ( A T ) . Odtud plyne, že v definici hodnosti můžeme hovořit o sloupcích místo o řádcích. b) h ( A ) ≤ min {m,n} neboli hodnost matice je menší nebo rovna menšímu číslu z počtu řádků a sloupců. Elementární úpravy a ekvivalence matic. Věta. Hodnost matice se nezmění provedením následujících, tzv. elementárních úprav: a) Přehozením pořadí řádků (sloupců). b) Vynásobením některého řádku (sloupce) číslem různým od nuly. c) Přičtením lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k vybranému řádku (sloupci). d) Přidáním nebo vynecháním řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců). Definice. O matici B , která je stejného typu jako matice A a vznikla z matice A elementárními úpravami, říkáme, že je ekvivalentní s maticí A . Zapisujeme A ∼ B .
Věta. Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. Důkaz. Plyne snadno z definice ekvivalence matic a z toho, že elementární úpravy nemění hodnost matice.
Shrnutí kapitoly: Reálnou nebo komplexní maticí typu ( m, n ) nazýváme schéma (tabulku) m ⋅ n reálných nebo komplexních čísel (prvků matice) sestavených do m řádků a n sloupců. Je-li počet řádků roven počtu sloupců, hovoříme o čtvercové matici, jinak o matici obdélníkové. Každý prvek matice je dán svým řádkovým a sloupcovým indexem. Matice se rovnají, pokud se rovnají stejnolehlé prvky (tj. prvky se stejným indexem). Rozlišujeme hlavní (zleva doprava) a vedlejší (zoprava doleva) diagonálu. Prvky hlavní diagonály označujeme také jako hlavními prvky. Součet hlavních prvků u čtvercových matic nazýváme stopou matice. U speciálních matic existuje určitá pravidelnost v hodnotách jejich prvků. V praxi má význam matice nulová, diagonální, jednotková a horní (pravá) nebo dolní (levá) trojúhelníková. Záměnou řádků a sloupců (jejich transpozicí) lze ke každé matici A sestrojit matici transponovanou A T . U symetrických matic definitoricky platí A T = A , u antisymetrických A T = − A . Důležitým pojmem je tzv. hodnost matice. Je definována jako maximální počet lineárně nezávislých řádků (také sloupců, obě formulace jsou ekvivalentní) této matice. Hodnost je vždy menší nebo rovna menšímu z počtu řadků a sloupců matice. Definujeme čtyři tzv. elementární úpravy matice. Tyto úpravy nemění hodnost matice. Matice B , která vznikla z matice A elementárními úpravami, je definitoricky ekvivalentní s původní maticí. Zapisujeme A ∼ B . Je zřejmé, že ekvivalentní matice mají stejnou hodnost.
Otázky: •
Jak je definován pojem mati ce? Co označuje její typ?
•
Co rozumíme p rv k y matice a co v yjad řují jejich in dex y? Co je to hlavn í a vedlejší diagonála matice? Jak je d efin ován a stopa matice?
•
Jak je defin ována rovnost matic?
•
Jak é základní speciální matice znáte? Jak v ypadají tro júhelníko vé matice? Čím se liší matice jedno tk o vá od diagon ální?
•
Jak je defin ována matice transpono vaná?
•
Jakou matici nazýváme symetricko u , resp . an tisymetrickou ? Co nu tně platí p ro hlavní prvky antisymet rické matice a proč?
•
Definujte h odnost matice.
•
Co víte o hodnosti transponované matice?
•
Vyjmenujte jedno tliv é elemen tární úprav y.
•
Jak je defin ována ekviv alen ce ma tic? Co p latí pro hodno st ekviv alentních matic?
Příklad 1: K uvedeným maticím sestrojte matice transponované. 0 −2 1 −2 8 a) A = , b) B = ( 3 −5 2 ) ; c) C = ; d) D = 1 3 . 3 2 −3 −1 4
Řešení příkladů: 3 1 3 0 1 −1 T T T 1a) A = , 1b) B = −5 ; 1c) C = ( 8 −3) ; 1d) D = . −2 2 −2 3 4 2 T
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
