2 SKS

POKOK BAHASAN 1.INTEGRAL 1.1 Integral tertentu 1.2 Aplikasi integral tertentu 1.3 Integral tak tentu 1.4 Integral rangkap 2. FUNGSI 2.1 Fungsi eksponensial dan logaritma 2.2 Fungsi hiperbolik 2.3 Fungsi trigonometri

KALKULUS TPE 4201/2 SKS

2

Bobot Penilaian

REFERENSI ______www.mathworld.com ______http://ltcconline.net ______www.maths.soton.ac.uk Baisuni H. 1995.Kalkulus. UI Press Finney-Thomas.1993. Kalkulus & Geometri Analitik.Erlangga Kastroud.1990. Matematika untuk Teknik Purcell E.J. 1995.Kalkulus & Geometri Analitis.Erlangga Steward J. 2001. Kalkulus. Erlangga Tordballa.1967.Calculus.Academic Press.London

DMM 50% BDA 50% Kriteria penilaian DMM Quiz 30% Tugas 40% UTS 30%

3

4

APLIKASI KALKULUS

Ф PEMODELAN DLM PENELITIAN

1. FUNGSI DAN MODEL

pemodelan laju respirasi, umur simpan buah, pengeringan padi

Ф Kardiograf listrik  detak jantung Ф Poligraf  mendeteksi kebohongan

25

15

10

y = 1,0239x R = 0,95 5

0 0

5

10

15

20

25

Laju Respirasi O2 (mg/kg.jam)

Laju Respirasi O2 Observasi (mg/kg.jam)

Ф Seismograf  aktivitas gempa

35

20

30 25

30 kP a -20C

20

50 kP a -20C 70 kP a -20C

15

Ko ntro l Da la m Ko ntro l Lua r

10 5 0 0

1

2

Laju Respirasi O2 Prediksi (mg/kg.jam)

3

5

2. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN

4

5

6

7

8

9

10

Lama Simpan (hari) 6

3. TURUNAN

Ф Memperkirakan berapa lama kue menjadi dingin setelah dikeluarkan dari oven

Ф Laju perubahan kecepatan darah terhadap bertambahnya jarak dari dinding (darah mengalir lebih lambat dekat dinding pembuluh darah) Ф Mengetahui kecepatan pembalap pada suatu waktu tertentu

Ф Pembacaan speedometer

7

8

Ф Dapat digunakan untuk menghitung luasan

4. INTEGRAL

dari kurva tidak beraturan

Ф Pengukuran laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu

Ф Menghitung volume buah yang tidak beraturan

Ф Penggunaan kecepatan pesawat ulak-alik untuk menentukan ketinggian yang dapat dicapai dalam waktu tertentu

Dengan cara membagi luasan daerah/volume menjadi bagian yang kecil

9

Rumus umum integral b

INTEGRAL

 f (x) dx a

f(x) = integran a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = lambang yang tidak bermakna resmi 11

12

Penjumlahan Riemann

Bernhard Riemann, matematikawan Jerman

Perbedaan integral tentu dan tak tentu

Suatu pembagian P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian memakai titik-titik a = x0< x1<x2,…<xn =b dengan mengandaikan xi = xi – xi-1

b

Integral tentu  f(x) dx  bilangan a

Integral tak tentu

 f(x) dx

 fungsi

Pada tiap selang bagian [xi-1, xi] diambil titik xi yang disebut titik sampel 13

14

Tafsiran geometri

Terbentuk penjumlahan n

R p   f ( x i ) Δx i i 1

6

Rp = jumlah Riemann untuk f yang berpadanan dengan partisi P

 f( xi ) Δxi

15

i 1

 A1  ( A2 )  ( A3 )  ( A4 )  A5  A6 16

1 Gambar :

Hitunglah jumlah Riemann (Rp) untuk f(x) = x3 - 5x2 + 2x + 8 pada selang [0,5] memakai P dengan titik partisi 0 < 1.1 < 2 < 3.2 < 4 < 5 dan titik sampel x1 = 0.5 ; x2 = 1.5 ;x3 = 2.5 ; x4= 3.6 ; x5 = 5

17

2

Jika suatu partisi P memiliki titik sampel berupa titik ujung kanan dimana a = 0, b = 12 dan n = 6, Tentukan jumlah Riemann untuk f(x) = 2x2 + 3x +2

19

18

Hubungan differensial dan integral

Sifat pembandingan integral Sifat-sifat integral tentu

b

6. Jika f(x)  0 utk a  x  b, maka  f(x) dx  0

b

1.

 c dx  c(b  a) dengan c konstanta sembarang

a

a

2. 3.

b

b

b

a

a

a

 f(x)  g(x) dx   f(x) dx   g(x) dx b

b

a

a

b

a

a

8. Jika m  f(x)  M utk a  x  b, maka m(b - a)   f(x) dx  M (b - a) a

b

 f(x)  g(x) dx   f(x) dx   g(x) dx a

5.

b

b

 cf(x) dx  c  f(x) dx ; dgn c konstanta sembarang b

4.

b

7. Jika f(x)  g(x) utk a  x  b, maka  f(x) dx   g(x) dx

a

a

c

b

b

a

c

a

 f(x) dx   f(x) dx   f(x) dx 21

22

b

1.  c dx  c(b  a) dengan c konst anta sembarang a

b

Contoh Soal

a

b

b

3.

c(b  3a)integral dengan c konstanta sembarang  c dx2dan sifat b

b

b

a

a

a

a

4.

b

dx 1   g(x)1dx 1f(x)2  g(x) dx1   f(x) 2 2

 (5x c a

5.

b

0

 4x) dx  b



0

b

0

a

c (5x )  2  a 3 3

0

10

00

0

 8 8 c 10 10

b

10

a

10 8

a

10

8

10 8

88

00

9 13

6 13

9

6

0

 f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx 17- 12  17- 12 5 5

6

0

sehingga 23

0 0

0 a

8 8 menurutsifat 5; 1010 sehingga f ( x ) dx  f ( x ) dx   f (x )dx 9 sehingga 13 f(x)dx 13 f(x)dx   f(x)dx

1

a a 5x dx   4x dx  5 x dx   4x dx

 f(x) dx   f(x)1 dx  11f(x) dx

0

b

10

a

 cf(x) dx  c  f(x) dx ; dgn c konstantasembarang b

13

(x )dxf(x)  bdx f (x)17 dxdan b f(x)dx f (xf(x)dx )dx  12, carilah f(x)dx Jika  fcf(x)dx f(x)dx  dx  5. f(x)dx   f(x) dx   f(x)

 f(x)  g(x) dx   f(x) dx   g(x) dx a

0

8a 8

a

b

a

9

b

sifat 5;  dx 4menurut .menurut  f(x)  g(x) sifat 5;   f(x) dx   g(x) dx

b

b

a

13

a Jika  12, carilah f(x)dx 6f(x) dxa 17 dan f(x)dx 6 9

0

2.

b

10 dx  c  f(x) dx ; dgn 10 .  cf(x) c konstant a sembarang 2.3Jika 12, carilah  f(x) dx  23 dan8  f(x)dx  f(x)dx

1

1. Hitunglah  (5x 2  4 x ) dx 1. Dari

b

2.  f(x)  g(x) dx   f(x) dx   g(x) dx

0

9

 f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx 6

 23 - 12  11

24

3. Carilah luas total dari daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3-4x dan sumbu x

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 - 6x + 5,

Ingat : Luas tidak memiliki nilai negatif

sumbu x, dan absis pada x = 1

dan x = 3

25

Terima Kasih Wassalamualaikum wr.wb

27

26