2. KINETIKA. A kinetika tárgya és felosztása

81

2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület. Feladata ezeknek az okoknak a feltárása, leírása és a mozgás kinematikájában megismert jellemzőivel való összekapcsolása. A vizsgálatok során messzemenően felhasználja a sztatika erőkre, erőrendszerekre és a kinematika és a kinematika mozgásokra vonatkozó megállapításait, alapjában véve a két területet kapcsolja össze. Kinetikai alapfogalmak A kinetikában előforduló alapfogalmakat – tér, idő, anyagi pont, merev test, tömeg – már a Mechanika I. tárgyalása során definiáltuk. 2.1. AZ ANYAGI PONT KINETIKÁJA A térbeli kiterjedéssel és az anyag sűrűségének megfelelő tömeggel rendelkező, merev test mozgásának vizsgálatakor – mint azt már láttuk – bizonyos feltételek mellett a geometriai méretek elhanyagolhatók s a testet kiterjedés nélküli m tömeggel rendelkező anyagi (tömeg-) pontként kezelhetjük. Newton törvényei – bár mindenütt testet említenek – értelmezésük szerint ilyen anyagi pontra vonatkoznak. Az anyagi pont absztrakció a testre ható erőrendszer eredőjének meghatározását is egyszerűsíti. Az erőrendszer értelemszerűen csak közös metszéspontú, térbeli erőrendszer lehet, eredőjének támadáspontja tehát maga a tömegpont, vektora pedig: n

F = F(r, r&, t) = ∑ Fi (r, r&, t), i =1

ahol Fi (r, r&, t) − a tömegpontra ható i-edik erő (i=1,2,…,n), amely általános esetben a hely a sebesség és az idő függvénye. 2.1.1. A KINETIKA ALAPTÖRVÉNYE Newton II. axiómája értelmében a mozgásmennyiség megváltoztatása arányos a tömegpontra ható erővel:

82

F=

d(mv) . dt

A műszaki gyakorlatban szokásos sebességek mellett a tömeg állandónak tekinthető. Így a fenti kifejezés a következő alakot ölti:

F=m

dv = ma dt

2.1/a

2.1. ábra

Az axióma, melyet ebben a formában mozgásegyenletnek vagy a kinetika alaptörvényének nevezünk, tehát azt mondja ki, hogy az anyagi pont gyorsulásvektora arányos a ható erő a ható erő vektorával, az arányossági tényező pedig a tömeg (külön kiemeljük, hogy – mivel a tömeg csak pozitív mennyiség lehet - az erő és a gyorsulás vektora azonos hatásvonalú és nyílértelmű). Ha ismert a pont m tömege és a rá ható erők F eredője, helyvektorát, mint az idő függvényét az alapegyenletből, az F = ma = m&r&(t) másodrendű differenciálegyenlet megoldásával nyerjük. Ez azonban már kinematikai feladat. Abban a speciális esetben, ha F(r, r&, t) = 0 , a tömegpont gyorsulása is nulla. Ez azt jelenti, hogy a sebesség is állandó. Ha a kezdősebesség nulla, a tömegpont továbbra is nyugalomban marad, v 0 kezdősebesség esetén a tömegpont egyenes vonalú egyenletes sebességű mozgást végez. Az egyensúly és a nyugalom tehát különböző fogalmakat jelentenek. Az előbbi az erőrendszerre, az utóbbi a mozgásállapotra vonatkozik. Mint látjuk, adott erők mellett a pont mozgásának meghatározása a mozgásegyenlet integrálásából áll. Ezek a számítások alkalmasan bevezetett fogalmak segítségével sokszor jelentősen csökkenthetők. Az erők bizonyos csoportjánál ugyanis az alaptörvény egy vagy több elsőrendű differenciálegyenlet formájában írható fel. A bevezetett alapfogalmak és az alaptörvényből levezethető tételek és elvek segítségével a pont mozgására nézve sok fontos következtetést vonhatunk le. E következtetéseknek különösen a merev testek kinetikájában lesz fontos szerepük. 2.1.2. A TÖMEGPONT KINETIKÁJÁNAK TÉTELEI ÉS ELVEI A kinetika alapegyenletének egy sajátos értelmezéséből alakult ki a D’Alembert-elv. Ha a tömeg és a gyorsulás negatív szorzatát erőnek fogjuk fel és D’ Alembert-féle inerciaerőnek vagy tehetet-lenségi erőnek nevezzük, akkor a

D = − ma 2.2. ábra

és az alaptörvény felhasználásával az F + (−ma) = F + D = 0

2.1/b

2.1/c

83

kifejezést kapjuk, ami a sztatikában használatos egyensúlyi egyenlet analógiájának tekinthető. A D’Alembert-elv tehát azt mondja ki, hogy a kinetikai probléma formailag sztatikaira vezethető vissza, ha az anyagi pontra ható szabad erőkhöz hozzáadjuk az inerciaerőt. Bár az elv az alaptörvényhez képest semmi újat nem mond, mégis fontos, mert vele a mozgás törvényeit kényelmes és szemléletes módon a sztatikai egyensúly jóval egyszerűbb törvényeiből állapíthatjuk meg. Az inerciaerő bevezetése az alaptörvény kétféle értelmezését teszi lehetővé. Maga az F = ma alapegyenlet az erő és a gyorsulás oksági viszonyáról nem mond semmit. Az ún. dinamikai erőfelfogás szerint az erőt tekintjük a gyorsulás okának. Az ún. sztatikai erőfelfogás szerint az alapegyenletet a következőképpen értelmezhetjük. Az a gyorsulással mozgó testre a D = − ma inerciaerő is hat, úgyhogy a testre ható erők eredője mindig nulla: F + D = 0 . A kétféle értelmezés (megállapodás) az alapegyenletnek csak két egyenrangú kifejezési módja. Mindkettő alkalmazható, de nem egyidejűleg. A dinamikai erőfelfogás esetén inerviaerőről nincs értelme beszélni, a sztatikai erőfelfogás esetén pedig nem tekinthetjük a gyorsulást az erő okának, hiszen az összes erő eredője nulla. Az anyagi pont tömegének és pillanatnyi sebességének szorzatát impulzus vagy mozgásmennyiség-vektornak nevezzük: I = mv, t2

az

∫ Fdt

mennyiség pedig a t2 – t1 időszakra vonatkozó erőlökés. Mindkét mennyiség SI-beli

t1

mértékegysége [kgm/s]. Tétel: Az impulzusvektor idő szerinti deriváltja az anyagi pontra ható erő vektorával egyenlő (az impulzus tétel differenciál alakja). Bizonyítás: Differenciáljuk az impulzusvektort az idő szerint és használjuk fel az alaptörvényt:

&I = dI = m dv = ma = F. dt dt

2.2/a

Tétel: Az impulzusvektor abszolút értékének idő szerinti deriváltja az anyagi pontra ható erő érintő irányú komponensével, az ún. pályameneti erőkomponenssel egyenlő. Bizonyítás: Legyen e az adott pillanatban az érintő egységvektora. Ezzel

Ie = mve = mv

2.2/b

és

&I = m dv = ma = F . e e dt Tétel: Adott időintervallumban az impulzusvektor megváltozása egyenlő az erőlökéssel, azaz az erővektornak a t2-t1 időszakra vonatkozó időintegráljával (az impulzus tétel integrál alakja). Bizonyítás: Alakítsuk át (2.2/a)-t a következő módon:

84

m

dv = F, dt

A változók szétválasztásával: m.dv = F.dt , mindkét oldalt integrálva: v2

t2

v1

t1

m ∫ dv = ∫ Fdt, t2

mv 2 − mv1 = ∫ Fdt .

2.2/c

t1

Tétel: Adott intervallumban az impulzus nagyságának megváltozása egyenlő az erő érintő irányú komponensének (a pályamenti erőkomponensnek) a t2-t1 időszakra vonatkozó időintegráljával. Bizonyítás: (2.2/b)-ből kiindulva az előzővel analóg eljárással kapjuk, hogy t2

mv 2 − mv1 = ∫ Fe dt.

2.2/d

t1

A (2.2/c és (d) kifejezések azt mutatják, hogy minél nagyobb a vizsgált időtartamban a sebességváltozás, annál nagyobb a ható erő. Ez a jelenség különösen ütközésnél érzékelhető jól, ahol igen rövid idő alatt nagy sebességváltozáshoz nagy erőhatásra van szükség. Innen származik az erőlökés elnevezés. A gyakorlatban nagy jelentősége van annak a speciális esetnek, mikor az anyagi pontra nem ható erő. Ilyenkor a tétel szerint a vizsgált időszakban

I 1 = I 2 = áll. Az impulzusvektor valamely pontra vagy tengelyre számított π0 = r0 j xI = r0 j xmv ,

ill.

π n = π0 n = ( r0 j xmv ) n t2

nyomatékát perdületnek nevezzük, az

∫ Mdt

mennyi-

t1

2.3. ábra

séget az erőlökés analógiájára a t2-t1 időszakra vonatkozó nyomatéklökésnek nevezzük. Mindkét mennyiség mértékegysége [kgm2/s].

Tétel: Valamely pontra vagy tengelyre számított perdület idő szerinti deriváltja a tömegpontra ható erőnek az adott pontra vagy tengelyre számított nyomatékával egyenlő ( a perdülettétel differenciál alakja).

85

Bizonyítás: Deriváljuk az idő szerint az 0 pontra számított perdületvektort: π& 0 =

d(r0j xmv) dt

=

dr0j dt

xmv + r0j xm

dv = vxmv + r0j xma = r0j x F = M 0 dt

2.3/a

Tengelyre számított perdület esetén: π& n =

d(π 0 n) & = π0n = Mn . dt

2.3/b

Tétel: A pontra vagy tengelyre számított perdület adott időszakra eső megváltozása egyenlő a pontra, illetve tengelyre vonatkozó nyomatéklökéssel (a perdület tétel integrál alakja). Bizonyítás: Alakítsuk át (2.3/a-t): 2.4. ábra dπ 0 = M0 , dt

dπ 0 = M 0 dt , t2

π 02 − π 01 = ∫ M dt. t1

2.3/c

0

Tengelyre számított perdület esetén analóg módon: t2

π n2 − π n1 = ∫ M n dt.

2.3/d

t1

Ha a vizsgált idő-intervallumban M 0 = 0 , ill. M n = 0, a perdület – (2.3/c,d) alapján – állandó: π 01 = π 02 = áll .,

π n1 = π n2 = áll.

Alakítsuk át az alaptörvényt a láncszabály alkalmazásával a következő módon:

F = ma = m

dv dv d r dv =m = mv . dt dr dt dr

Válasszuk szét a változókat, integráljuk mindkét oldalt és vegyük figyelembe, hogy az r1 helyvektorhoz v1 sebesség, r2 -höz v 2 tartozik: v2

r2

v1

r1

∫ mvdv = ∫ Fdr

86

A bal oldalon az integrálást elvégezhetjük: r

2 1 1 2 2 mv 2 − mv1 = ∫ Fdr. 2 2 r1

2.4

A fenti kifejezés értelmezéséhez először definiálnunk kell a bal és jobb oldali mennyiségeket. A jobb oldali integrált munkának nevezzük. Az erő munkát végez, ha az anyagi pontot elmozdítja. Kicsiny dr elmozdulásnál az ún. elemi munkát a dW = Fdr

2.5. ábra

skalárszorzattal számítjuk. A skalárszorzat tulajdonsága, ill. a dr = ds e miatt:

dW = F dr cosα = Fds e = Fe ds. Az elemi munka pozitív, negatív vagy nulla értéket vehet fel, aszerint, hogy az erő az elmozdulás irányával hegyes, tompa vagy derékszöget zár be. Ha az anyagi pont a pályagörbe P1 pontjától a P2 pontba jut, az F erő, melynek értéke általában a hely függvényében változik, munkája alatt az elemi munkák összegét értjük: r

r2

s2

W = ∫ dW = ∫ Fdr = ∫ Fe ds, r r1

r1

2.5

s1

a teljes munka tehát az erőnek az elmozdulás, ill. az ívkoordináta szerinti (vonal) integrálja. A végzett munka általában a kezdő és végponton kívül a pályagörbétől is függ. A munka SI-beli mértékegysége: [1Nm = 1J (joule)]. Tétel: Egy erőrendszer eredőjének munkája az egyes erők munkájának algebrai összege. n

Bizonyítás: Az n eredőből álló Fi erőrendszer eredője: F = ∑ Fi . Szorozzuk meg mindkét oldalt i =1

az elemi dr elmozdulással: n

n

n

i =1

i =1

i =1

Fdr = dW = dr ∑ Fi = ∑ Fi dr = ∑ dWi . Így n

n

i =1

i =1

W = ∫ dW = ∫ ∑ dWi = ∑ Wi .

2.6

87

A munkával kapcsolatos fogalom a teljesítmény. A pillanatnyi teljesítmény a munka idő szerinti deriváltja, de a r dW Fd r dr P= = = F = Fv 2.7 dt dt dt összefüggés szerint az erő és a sebesség skalárszorzataként is definiálható. A teljesítmény SI-beli mértékegysége 1Js −1 = 1W ( watt ) . A teljesítmény ismeretében a munkát (2.7) alapján a teljesítmény időintegráljaként számíthatjuk:

[

]

t2

W = ∫ P(t)dt.

2.8

t1

(2.4) bal oldalán a skalármennyiség a v pillanatnyi sebességű, m tömegű anyagi pont mozgási vagy kinetikai energiája:

E=

1 1 mv 2 = mv 2 . 2 2

2.9

A mozgási energia – a munkával való kapcsolata miatt – munka jellegű mennyiség, tulajdonképpen a test munkavégző képességét jelenti. Dimenziója is egyezik a munkáéval. A mozgási energia kinetikai jelentőségét alábbi tulajdonságai is alátámasztják. Tétel: A mozgási energia idő szerinti deriváltja a pillanatnyi teljesítmény. Bizonyítás:

1  d  mv 2  dE 2  = 1 2mv. dv = mva = Fv = P. =  dt dt 2 dt

2.10/a

Tétel: A mozgási energia ívkoordináta szerinti deriváltja a tömegpontra ható erő érintő irányú összetevője. Bizonyítás:

1  d  mv 2  dE 2  = 1 2mv. dv . dt = m v a = ma e = F e = F . =  e ds ds 2 dt ds v

2.10/b

Tétel: A mozgási energiának a sebesség abszolút értéke szerinti deriváltja az impulzus nagyságát adja. Bizonyítás:

1  d  mv 2  dE 2 = =  dv dv

1  d  mv 2  2  = 1 2mv = mv = I. dv 2

2.10/c

88

A munka és a mozgási energia definíciójának ismeretében a (2.4)-es összefüggés, amely az új szimbólumokkal a E 2 − E1 = W

2.11

alakban írható, a következő formában értelmezhető. Tétel: A mozgási energia egyenlő az adott időintervallumban a tömegpontra ható erők munkájával (munkatétel). Az F = F(r, t) vektorfüggvény a tér minden pontjához hozzárendel egy tetszőleges időpillanatban egy erővektort. Az ilyen erőtulajdonságokkal felruházott teret erőtérnek hívjuk. Konzervatív erőtérnek nevezzük azt az időben állandó erőteret, melyet egy egyenértékű skalárfüggvény negatív gradienseként nyerünk. Azaz F = F(r) = −grad U(r) = −

 ∂U(x, y, z) dU (r) ∂U(x, y, z) ∂U(x, y, z)  = − i+ j+ k . dr ∂x ∂y ∂z  

2.12

Az U(r) = U(x, y, z) skalárfüggvényt potenciálnak vagy potenciális energiának hívjuk. Tétel: Konzervatív erőtérben a pályagörbe két pontja között a tömegpontra ható erő munkája csak a kezdő és végponttól függ – a két pontot összekötő pálya alakjától független – és a két ponthoz tartozó potenciálérték különbségével egyenlő. Bizonyítás: r2

r2

r

2 dU(r) W = ∫ F dr = − ∫ dr = − ∫ dU(r1 ) − U(r2 ) = U 1 − U 2 . dr r4 r1 f1

2.13

Tétel: Konzervatív erőtérben bármely zárt görbe mentén végzett munka nulla. Bizonyítás: Zárt görbe esetén a kezdő és végpont helyvektora megegyezik (r1 = r2 ). Így W = U(r1 ) − U(r1 ) = U 1 − U 1 = 0. (2.13) mutatja, hogy a potenciális energia – gyakran helyzeti energiának is nevezzük – munka jellegű mennyiség, így dimenziója is megegyezik a munkáéval. A munkatétel módot ad a kinetikai és a potenciális energiafajták összekapcsolására. Tétel: Konzervatív erőtérben az anyagi pont kinetikai és potenciális energiájának összege a mozgás folyamán állandó (a mechanikai energia megmaradásának tétele). Bizonyítás: Az erő munkáját a munkatételben a mozgási energiával, konzervatív erőtérben a helyzeti energiával fejeztük ki. A kétféle módon számított munkának természetesen meg kell egyezni. W = E 2 − E1 = U 1 − U 2 ,

89

innen E1 + U 1 = E 2 + U 2 .

2.14/a

A fenti kifejezés bármely időintervallumban érvényes, tehát a mozgás folyamán E + U = áll.

2.14/b

Ezt az összeget a teljes mechanikai energiának nevezzük. Nem konzervatív ún. disszipatív erőtérben a mechanikai energia megmaradásának tétele csak módosított formában áll fenn. Disszipatív erőkkel kapcsolatos jelenségeknél nem pusztán mechanikai természetű, hanem más energiaformák – pl. hőmennyiség – is szerepelnek. A mechanikai mozgásoknál az egyik leggyakrabban előforduló disszipatív erő a súrlódási erő. Ennek munkája a mozgás folyamán hővé alakul és nem nyerhető vissza. Ilyenkor az energiamegmaradás tételét úgy módosítjuk, hogy az energiaveszteséget hozzáadjuk (2.14/a) jobb oldalához:

E1 + U1 = E 2 + U 2 + Wveszteség .

2.14/c

2.1.3. AZ ANYAGI PONT NÉHÁNY SPECIÁLIS MOZGÁSA. 2.1.3.1. SZABAD MOZGÁS Szabad mozgást végez az anyagi pont, ha a ható erők eredőjétől függően a tér tetszőleges irányba elmozdulhat, azaz a mozgás szabadságfoka három. A/ Mozgások a Földön A Földhöz kapcsolt koordinátarendszerben vizsgálva a szabad mozgást az anyagi pontra általánosan a súlyerő, a közegellenállás, a közeg felhajtóereje és valamilyen gerjesztőerő hat (2.6. ábra). Mindig az adott mozgás jellege, ill. a vizsgálat szempontjai döntik el, hogy a fenti erőfajták közül melyek hanyagolhatók el, pontosabban milyen egyszerűsíthető feltevésekkel vehetők figyelembe.

a/ Mozgás állandó súlyerő hatására Ha a mozgás a Föld méreteihez képest kis térrészben zajlik le, akkor a nehézségi gyorsulást, ill. a neki megfelelő súlyerőt az időtől és helytől független állandónak tekinthetjük. A szabad mozgás tehát homogén erőtérben játszódik le. Ha úgy vesszük fel a koordinátarendszert, hogy a függőleges irány a felfelé mutató z tengely legyen, az erőteret az

F ( x, y, z ) = G = mg = − mgk = áll.

2.6. ábra

90

összefüggéssel adhatjuk meg. Ez - a definíció szerint – konzervatív erőtér. A súlyerő munkája míg a tömegpont r1 -ből r2 -be jut: r2

r2

r2

r1

r1

r1

W = ∫ G dr = − ∫ mgk dr = − mgk ∫ dr = = −mg (r2 − r1 )k = mgz1 − mgz 2 , tehát csak a kezdő és a végpont szintkülönbségétől függ. A potenciálfüggvény (egy additív állandótól eltekintve):

U ( x, y, z ) = U( z ) = mgz = Gz.

2.15

Az F = G = mg = ma alaptörvényből rögtön látszik, hogy a tömegpont állandó g gyorsulású. g és a kezdeti feltételek a mozgást egyértelműen meghatározzák. A mozgásjellemzőket az impulzus-, a munka- és a mechanikai energia megmaradási tételével általában igen egyszerűen számíthatjuk.

b/ Mozgás változó súlyerő hatására Ha a magasságkülönbség olyan nagy, hogy a nehézségi gyorsulás változása már nem hanyagolható el, a súlyerő is változó lesz. Amennyiben a mozgás vízszintes méretei nem nagyok a súlyerőt továbbra is függőleges hatásvonalúnak képzelhetjük. Az általános tömegvonzás szerint az m tömegű anyagi pontra ható erő ( a koordinátarendszer kezdőpontját a földfelszínen, a Föld középpontjától R távolságra vesszük fel).

F = Fz k = − γ

Mm k = − mg(z)k , (R + z) 2

2.16

ahol M – a Föld tömege, γ - az ún. gravitációs állandó, SI-ben γ = 6,672 . 10-13 m3 kg-1 s-2. (2.16) most is konzervatív erőteret ad. A potenciálfüggvény (az additív állandótól eltekintve): Mm U(x, y, z) = U(z) = − γ , 2.17 R+z melynek helyességéről differenciálással könnyen meggyőződhetünk: ∂U dU ( z ) γMm − =− =− = Fz . ∂z dz (R + z)2 Ha figyelembe vesszük, hogy a földfelszínen a gyorsulás g = g( z = 0) = γM / R 2 és a tömegpont nem távolodik el nagyon a Földtől, azaz z2 << R2, a nehézségi gyorsulás a magasság függvényében (2.16) alapján:

91

g( z ) = γ

M ≅γ R + 2 Rz + z 2 2

M  2z  R 1 +  R  2

=

g . 2z 1+ R

2.18

A munkatétellel például könnyen kiszámíthatjuk a h magasságban elejtett, szabadon eső test Földre érkezési sebességét (ha a légellenállást elhanyagoljuk): 0

0

1 mv 2 − 0 = − ∫ mg(z)dz = −mg ∫ 2 h h

h

1 dz mgR  2h  dz = mg ∫ = ln 1 + , 2z 2z 2 R  0 1+ 1+ R R

ahonnan  2h  v = v(h) = gRln 1 +  . R  Állandó gyorsulást feltételezve a végsebesség, mint tudjuk: v = 2gh.

c/ Mozgás ellenálló közegben Gázokban vagy folyadékokban való mozgásnál az anyagi pontra a súlyán és az Archimédesz-féle felhajtó erőn kívül még egy fékező erő is hat, melyet közegellenállásnak nevezünk. A közegellenállás iránya a tömegpont sebességével ellentétes, nagysága függ a test alakjától, sebességétől és a közeg viszkozitásától. Igen kicsi testek és sebességek esetén az ellenállás v-vel, egyébként közelítőleg v2-tel vehető arányosnak:

Fe (v) = − Kve, Fe (v) = −Cv 2 e,

2.19/a,b

ahol e – a pályagörbe érintőjének egységvektora, K > 0, C > 0 – arányossági tényezők. A fentiek értelmében a közegellenállás disszipatív erő. A mozgás alapegyenlete ( G alatt a felhajtóerővel csökkentett súlyerőt értjük):

F = G + Fe (v) = ma = m

dv , dt

ahonnan a v x integrálási állandóval mdv t=∫ + vx . G + Fe (v) Ennek inverze adja a v = v(t) függvényt, melyből a többi mozgásjellemző meghatározható.

2.7. ábra

92

Számítsuk ki az ellenálló közegben szabadon eső test sebességét állandó súlyerőt feltételezve (2.7. ábra). A tömegpont mozgásegyenlete (a pálya a z koordináta-tengellyel párhuzamos egyenes):

−m

dv .k = − mg.k + Fe (v)k. dt

Skaláregyenletben:

m

dv = mg − Fe ( v ). dt

Átrendezve: t=∫

dv + vx. Fe (v) g− m

A megoldás attól függ, hogy (2.19/a)-t vagy (2.19/b)-t vesszük figyelembe: Lineáris csillapítás: Fe = Kv.

t=∫

dv m  K  + v ∗ = − . ln g − v  + v ∗ . K K  m  g− v m

t = 0, v = 0 kerületi feltétel esetén v x =

m .lng. K

Visszahelyettesítés és rendezés után: − t   mg  v = v(t) = 1 − e  m  . K   K 

A sebesség bár állandóan növekszik, a vmax =

2.20

mg értéknél nem lehet nagyobb. K

Négyzetes csillapítás: Fe = Cv2

t=∫

=

dv 1 dv 1 dv + v∗ = ∫ + v∗ = ∫ + v∗ = 2 2 C 2 g 1 − k v g ( 1 + kv )( 1 − kv ) g− v m

1  1 1  1 ∗ + dv + v = (ln(1 + kv ) − ln(1 − kv )) + v ∗ ∫   2g 1 + kv 1 − kv  2gk

Az előzővel megegyező kerületi feltételek mellett v* = 0. Visszahelyettesítve és rendezve:

93

v = v(t) =

e 2gkt − 1 1 1 e gkt − e − gkt 1 sh(gkt) 1 = = = th(gkt). e 2gkt + 1 k k e gkt + e −gkt k ch(gkt) k

Ezzel a sebességfüggvény: mg  Cg  th  .t . 2.21 C  m  mg értéket csak végtelen idő múlva éri el. A sebesség most is folyamatosan nő, de a v max = C A pályabefutás törvényei (2.20) és (2.21) differenciálásával kaphatók. v = v(t) =

B/ Centrális mozgások Centrális mozgásnál a tömegpontra ható erő, s az alaptörvény szerint a gyorsulás is, mindig ugyanabba a pontba, a mozgás centrumába mutat (2.8. ábra). Ha a koordinátarendszer kezdőpontját ebben a centrumban vesszük fel, akkor a pont r helyvektora, a gyorsulása és az F erő minden időpillanatban párhuzamosak egymással. Bármilyen centrális erőnél (erőtérnél) fennáll a következő: Tétel: Centrális erőtérben az anyagi pont felületi sebessége (vektora) állandó, azaz a pálya síkgörbe és a helyvektor egyenlő idő alatt egyenlő területeket súrol (felületi tétel, a bolygómozgásokra vonatkoztatva Kepler másik törvénye). Bizonyítás: Szorozzuk meg az F = m&r& alaptörvényt az r helyvektorral balról vektorálisan:

2.8. ábra

rxm&r& = rx F . A jobb oldali vektorszorzat a definíció értelmében nulla, a bal oldali az m(rx&r&) = m

d(rxr&) dt

formára hozható, melynek helyességéről a differenciálás elvégzésével meggyőződhetünk. Végeredményben tehát: d(rxr&) = 0, dt amiből az következik, hogy

2.9. ábra

94

rxr& = rxv = áll.

2.22

rxdr kifejezésnek azonban igen szemléletes a jelentése. Az rxdr nagysága a dt vektorális szorzat értelmezése szerint az r és dr által alkotott háromszög df elemi területének a kétszerese, iránya pedig a háromszög síkjára merőleges. df tehát nem más, mint a helyvektor Az rxr& =

által dt idő alatt súrolt terület. Ezért a df 1 & = (rx r) dt 2 kifejezéssel kapott vektormennyiséget felület-befutási sebességnek nevezzük, melynek nagysága az időegység alatt súrolt területet, iránya pedig a felületdarab síkját és a befutás irányát határozza meg (2.9. ábra). A felületi sebességvektor (2.22) szerint állandó. Az irány állandósága azt jelenti, hogy r és r& = v mindig ugyanabban a (pálya-)síkban van, a nagysága állandósága pedig azt bizonyítja, hogy a súrolt területek – az f = C(t2-t1) alapján, ami a df = C = áll. integrálásából rögtön következik – dt arányosak a t2 – t1 időszakkal. Szűkebb értelemben vett centrális erőkön olyan erőket (erőteret) értünk, amelyek nagysága csak a centrumtól számított r távolságtól függ, annak valamilyen függvénye. 2.10. ábra Tétel: A szűkebb értelemben vett centrális erők erőtere konzervatív. Bizonyítás: Az erőtér konzervatív, ha van potenciálja, azaz az erőtér munkája csak a kezdő és végpont helyétől függ. A szűkebb értelemben vett centrális erőt az

r F = F(r). = F(r)e R r általános érvényű kifejezéssel adhatjuk meg, ahol e R - a helyvektor irányának egységvektora, F(r) - az előjeltől eltekintve az erő nagysága. Bontsuk fel a pillanatnyi sebességet - a polárkoordinátás megadásnak megfelelően – az r&, sugárirányú és az rϕ& keringő összetevőkre (2.10. ábra) és számítsuk a munkát a teljesítmény időintegráljaként: t2

t2

t2

t1

t1

t1

W = ∫ Pdt = ∫ F vdt =

∫

t2

r2

t1

r1

F v cosαos = ∫ F(r)r&dt = ∫ F(r)dr.

Az utolsó integrál értéke csak az r1 és r2 távolságoktól függ, a munka tehát egyedül a centrumtól mért távolság függvénye, az erőtér konzervatív.

95

a/ Mozgás gravitációs erőtérben Vegyük fel a koordinátarendszerünk kezdőpontját az M tömegű test (anyagi pont) középpontjában (2.11. ábra). Az r helyvektorú, m tömegű anyagi pontra ható erő az általános tömegvonzás törvénye szerint: Mm r F = F( r ) = − γ 2 . 2.23/a r r Descartes-féle koordinátarendszerben:

Mm x Mm z i−γ 2 k. 2 r r r r 2.23/b Mivel γ, M és m állandók, F szűkebb értelemben vett centrális erő, tehát konzervatív erőteret alkot. Potenciálfüggvénye: F = Fx i + Fy j + Fz k = − γ

U(x, y, z) = U(r) = − γ

2.11. ábra

Mm , r

2.24

amiről könnyen meggyőződhetünk, hiszen ∂U ∂U ∂r Mm ∂ ( x 2 + y 2 + z 2 ) 0,5 Mm x − =− = −γ 2 = −γ 2 = Fx . ∂x ∂r ∂x r ∂x r r A másik két erőkomponenst is hasonlóan kapjuk, azaz −

∂U = F(r), ami a potenciális erőtér de∂r

finíciója. Az m tömegű pont mozgásának meghatározásához írjuk fel az alaptörvényt:

F = −γ

Mm r = ma = m&r&, r2 r

innen

&r& + γM r = 0 . r3

2.25

Ennek a másodrendű homogén (vektori) differenciál-egyenletnek a megoldása adja az m tömegű pont mozgástörvényét. A feladatot azonban egyszerűbben megoldhatjuk a tömegpont kinematikájára vonatkozó tételek felhasználásával. A felületi tétel alapján tudjuk, hogy a mozgás síkmozgás, ezért célszerű olyan polárkoordinátarendszert választani, melynek kezdőpontja az M tömeg középpontja. Ezen kívül df 1 & 1 = rxr = re R x(re R x(r&e R + rϕ&eϕ ) = dt 2 2

96

=

1 1 c rr&(e R xe R ) + r 2ϕ& (e R eϕ ) = r 2ϕ& = = áll. 2 2 2

2.26

A mechanikai energia megmaradásának tételéből:

1 Mm m( r& 2 + r 2 .ϕ& 2 ) − γ = E m = áll. 2 r

2.27

Először határozzuk meg az r = r(ϕ) függvényt, azaz a tömegpont pályáját. (2.26)-ból ϕ& =

c r2

r& =

és

dr dr dϕ dr c dr . = = ϕ& = 2 dt dϕ dt dϕ r dϕ

Ezt (2.27)-be helyettesítve, rendezés után a következő elsőrendű differenciálegyeletet kapjuk:

c

dϕ = r

2

2 E m 2 γM c 2 + − 2 m r r

dr ,

amely a k2 =

2E m ε2 M 2 + 2 = áll. m c

és

u=

γM c − c r

2.28/a,b

helyettesítéssel a

du c = dr r 2 miatt a

dϕ =

du k − u2 2

alakra hozható, amely már elemi integrál. Általános megoldása: u ϕ + ϕ∗ = arccos , ahol ϕ∗ - integrálási állandó. k A függvény inverze: u = kcos ( ϕ + ϕ∗ ). Ide (2.28)-at behelyettesítve, rendezés után megkapjuk a keresett függvényt: c2 γM r= 2.29 c 2E m γ 2 M 2 ∗ 1− + 2 cos(ϕ + ϕ ) γM m c Ha a ϕ szöget a maximális r-től mérjük, akkor ϕ = 0-nál r = rmax, ami (2.29) alapján akkor teljesül, ha cos (0+ϕ*) = 1, azaz ϕ* = 0.

97

Vezessük be a p=

c γM

c e= γM Ezekkel a pálya egyenlete:

- ún. fokális paramétert és az

2E m γ 2 M 2 + 2 m c

r = r ( ϕ) =

- numerikus excentricitást.

p , 1 − e cos ϕ

2.30 2.31

2.32

ami olyan kúpszelet egyenlete, amelynek középpontja a polárkoordináta-rendszer kezdőpontja, azaz az M tömegű pont. A pályagörbe ellipszis, parabola vagy hiperbola attól függően, hogy e ≤≥ 1. e = 0 esetén a pálya p sugarú kör. (2.32) tulajdonképpen Kepler bolygómozgásokra vonatkozó első törvénye, mi szerint a bolygók pályái ellipszisek és az ellipszis egyik centrumában a Nap áll. Tétel: Gravitációs erőtérben az anyagi pont pályája ellipszis, parabola vagy hiperbola aszerint, hogy teljes mechanikai energiája negatív, nulla vagy pozitív vagy – másképpen kifejezve – kezdő sebességének nagysága 2 γM v o = v krit = , ro tehát egy maghatározott vkrit sebességnél kisebb, vele egyenlő vagy nagyobb. Bizonyítás: Mint láttuk, a pálya alakja a numerikus excentricitás értékétől függ: e ≤ ≥1. Helyettesítsük e helyére (2.31)-et. Négyzetre emelés és rendezés után: 2Em c 2 ≤ ≥ 0. γ 2M 2 A bal oldali mennyiség értéke – mivel γ, c, M ill. ezek négyzete csak pozitív lehet – tehát Em-től a teljes mechanikai energia előjelétől függ. De

Em =

1 Mm 1 Mm mv 2 − = mv 2o − , 2 r 2 ro

2.33

ahol vo – az ro távolságra lévő m tömegű pont kezdősebességét jelenti. (2.33) alapján Em=0, ha 2M = v krit . ro Ekkora kezdősebességet választva, e=1, a pálya parabola. Ezek szerint, ha vo = γ

v o 〈 v krit ,

akkor

Em 〈 0

és

e 〈 1 → ellipszis,

v o 〉 v krit ,

akkor

Em 〉 0

és

e 〉 1 → hiperbola.

98

Mm kifejezés adja, ellipszis pályánál a teljes mer chanikai energia a nagy negatív értékű potenciális energia és a viszonylag kicsi mozgási energia miatt mindig negatív. A tömegpont mozgási energiája nem elegendő ahhoz, hogy kiszakadjon a centrumból és egy bizonyos távolságnál messzebb kerüljön. A pálya csak ellipszis lehet, mert annak nincs végtelenben lévő pontja. A tömegpont pályájának ismeretében az r = r(t) és ϕ = ϕ (t) függvények is meghatározhatók.(2.26)-ból r = r(ϕ) ismeretében: 1 t = ∫ r 2 (ϕ) dϕ + r ∗ , 2.34 c ahol r* - integrálási állandó. A fenti függvény inverze a keresett ϕ = ϕ(t) függvény és a pályagörbe egyenletéből r = r ( t ) = r[ϕ( t )]. 2.35 Mivel a potenciális energiát az U = − γ

Ezzel a probléma – legalábbis elvileg – megoldódott. A (2.34)-es integrál azonban nem fejezhető ki zárt explicit alakban. A konkrét számításokhoz általában sorbafejtéses formulákat használnak. Ellipszis pályánál az egy körbefutás T ideje könnyen számítható. Megint a felületi tételt használjuk: df 1 2 c = r ϕ& = = áll. dt 2 2 Innen c ∫ df = ∫ 2 dt, itt a bal oldali mennyiség az ellipszis területe. A= ∫ df = πab, ahol a és b – az ellipszis nagy és kis féltengelyei. Integrálás és rendezés után a keringési idő:

T=

2πab c

A féltengelyeket kifejezhetjük a fokális paraméterrel és a numerikus excentricitással (2.12. ábra): b2 p= , a

e=

a 2 − b2 . a

Ezzel: 1, 5

 m  a3 T = 2π = 2πγM   . γM  2 Em 

2.36

2.12. ábra Tétel: Az azonos M tömegű centrum körül keringő anyagi pontok keringési idejének négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a pályák félnagytengely-távolságainak köbei (a bolygató mozgásokra vonatkoztatva Kepler harmadik törvénye).

99

Bizonyítás : (2.36) első fele alapján látjuk, hogy a keringési idő a fél nagy tengelyen kívül γ -tól és M-től függ. E két utóbbi állandó az egyes tömegpontokra nézve, így két, a1 és a2 fél nagytengelyű tömegpontra: T12 T22 4π 2 = = = áll. vagy a 13 a 32 γM

T12 a 13 = T22 a 32

Mind a bolygómozgások – például a Földnek a Nap körüli mozgása – mind a Föld körüli erőtérben végbemenő mozgások gravitációs erőtérben lejátszódó mozgások. A Nap, a Föld, ill. a Föld környezetében mozgó testek (űrszondák, műholdak) geometriai méretei a pályák méreteihez képest elhanyagolhatók, így azok a mozgás leírása szempontjából tömegpontnak tekinthetők. A Föld körüli erőtérben végbemenő mozgásoknál fontos szerepe van az ún. kozmikus sebességnek. Ahhoz, hogy a mesterséges hold elhagyhassa a Föld erőterét, azaz pályája parabola vagy hiperbola legyen e ≥ 1-nek kell fennállnia. A Föld felszínén (r0=R) kilőtt testnek tehát minimálisan a kritikus sebességgel kell rendelkeznie. Ez a földi viszonyok esetén (R=6371000 m, MFöld = 5,963.1024 kg): 2γγ v 0 = v krit = v II = = 1118369 ms −1 = 11,18 kms −1 , R melyet második kozmikus sebességnek nevezünk. Körpályán mozog a mesterséges hold, ha e = 0. (2.26), (2.31) és (2.33) alapján a Föld felszínén kilőtt testnek ekko v0 = vI = γ

M v krit = = 7908,06 ms −1 = 7,91 kms −1 R 2

Kezdősebességgel kell rendelkeznie, melyet első kozmikus sebességnek nevezünk. Ha a kezdősebesség kisebb, mint v I , a test ellipszis pályán (melyet állandónak tekintett erőtérben parabolával közelítünk) visszatér a Földre, ha nagyobb mint v II , akkor hiperbola pályán elhagyja. Ha a kezdősebesség a két kozmikus sebesség közé esik, a mesterséges égitest pályája ellipszis. A gravitációs erőtérben való mozgás leírása hosszú évszázadok megfigyeléseinek és szellemi erőfeszítéseinek eredménye. A bolygó mozgások Tycho de Brahe által kimért geometriai adatai alapján Kepler empirikusan következtette ki három törvényét. Newton ezeken a törvényeken próbálta ki a mechanika által felállított alaptörvényének helyességét. Úgy találta, hogy a Mm Kepler-féle törvények akkor teljesülnek, ha F = γ 2 alakú centrális erőt feltételez és rájött arra r is, hogy ugyanez a gravitációs törvény szabályozza a Földön szabadon eső test mozgását is. Ezek a felismerések az emberi szellem legnagyobb felfedezései közé tartoznak.

b/ Harmonikus rezgőmozgás (lengőmozgás) A műszaki gyakorlatban gyakran előfordul olyan centrális erőhatás, melyet – a koordinátarendszer kezdőpontját a centrumban felvéve – az F = F(r) = −sr

2.37

100

függvénykapcsolat ír le (2.13. ábra). Az erő tehát arányos a helyvektorral, az arányossági tényező s 〉 0, neve rugómerevség, amely tulajdonképpen az egységnyi elmozdításhoz szükséges erő, mértékegysége [N/m]. Ez az erőtörvény tulajdonképpen a rugalmasságtan Hooke-törvényének felel meg, s így bármely rugalmas test tömegpontra gyakorolt hatása ezzel a függvénykapcsolattal adható meg. A szemléletesség és az egyszerűsítés kedvéért a rugalmas testet rugóval modellezzük, innen a rugómerevség kifejezés. Az alaptörvény szerint E

m&r& = sr, ahonnan ν =

s = áll. helyettesítéssel: m

2.13. ábra

&r& + ν 2 r = 0.

2.38

Ennek az általánosan ismert másodrendű homogén differenciálegyenletnek az általános megoldása: r = r(t) = Acosνo+ Bsinνt.

2.39

Kezdeti feltételként t = 0, r = r0 és v = v 0 értékeket választva a partikuláris megoldás: r = r(t) = r0 cosνo+

v0 sinνin ν

2.40

A keresett helyvektor tehát – a centrális mozgásnak megfelelően – az r0

és v 0 vektorok által

meghatározott síkban van. Ha a v 0 sebesség az r0 irányába esik, r ( t ) mindig ugyanebben az egyenesben lesz. Ha ezt az irányt választjuk x tengelynek, (2.40) a következőképpen alakul:

x = x ( t ) = x 0 cos νt +

v0 sin νt, ν

2.41

ami a kinematikából már ismert lineáris harmonikus rezgőmozgás törvénye. Ha r0 és v 0 iránya különbözik, akkor v 0 − nak az r0 irányába eső komponense legyen v 0x , rá merőleges komponense pedig v 0 y . Ekkor (2.40) skaláregyenletekben így írható: x = x ( t ) = x 0 cos νt +

v 0x sin νt, ν

y = y( t ) =

v 0y ν

sin νt,

2.42

101

amelyet elliptikus rezgésnek nevezünk. Könnyen beláthatjuk, hogy a pályagörbe ellipszis. Az ellipszis síkját és adatait a választott kezdőfeltételek teljesen meghatározzák. Mint látjuk a rezgőmozgás periódikus. Egy teljes rezgés ideje:

T=

2π m = 2π . ν s

s szögsebesség jellegű mennyiség, mértékegysége [1/s], de a műszaki gyakorlat körm frekvenciának nevezi. Mind a periódusidő, mind a körfrekvencia csak a rugómerevségnek és tömeg nagyságának a függvénye. Annál nagyobb frekvenciával rezeg a tömegpont, minél kisebb a tömege és minél merevebb a rugó. A harmonikus rezgőmozgást létrehozó erő – mint szűkebb értelemben vett centrális erő – konzervatív. Potenciálja (egy additív állandótól eltekintve): A ν=

U = − ∫ Fdr = − ∫ (−sr)dr =

s 2 s 2 r = r , 2 2

2.43

teljes mechanikai energiája:

Em = E + U =

1 1 mv 2 + sr 2 = áll. 2 2

2.44

Vizsgáljuk meg egy olyan tömegű anyagi pont mozgását, melyre a G súlyerőn kívül az A pontban felfüggesztett rugón keresztül F rugóerő is hat (2.14. ábra). Az alaptörvény szerint: m&r&p = G + F = − mgk − s(rp − rA ) = mg   = −s rp − (rA − k) = −s(rp − rC ). s   2.14. ábra Mint látjuk rC annak a C pontnak a helyvektora, amely az A ponttól függőlegesen lefelé

mg tás

volságra található. Ebben a pontban a tömegpontra ható erők eredője:

mg k − rA ) = 0 , s azaz itt a tömegpont egyensúlyban van. Ha a koordinátarendszer kezdőpontját itt vesszük fel, ami annyit jelent, hogy az r = rp − rC helyettesítést kell elvégeznünk, akkor &r&P = &r& miatt (hiszen rC R = −mgk − s(rC − rA ) = −mgk − s(rA −

független az időtől) a mozgás alaptörvénye a következő alakot ölti:

&r& + ν 2 r = 0, ami (2.38)-al egyezik. Tehát a súlyerő és a rugóerő együttes hatására keletkező mozgás r C centrumú harmonikus rezgőmozgás, a kezdeti feltételektől függően lineáris vagy elliptikus.

102

c/ Lineáris rezgések 1. Csillapítatlan szabad rezgés (lengés) Csillapítatlan szabad rezgésről akkor beszélünk, ha az anyagi pontra csak az F- = -ax alakú rugalmas erők hatnak. Az előzőekben láttuk, hogy ilyen esetben a lineáris harmonikus rezgés mozgásegyenletét (2.14) adja, melyet az alábbi formában is felvehetünk: x = A sin( νt + ϕ 0 ),

2.45

ahol A – a rezgés amplitúdója (a középponttól mért legnagyobb kitérés), ϕ 0 - a fázisállandó. Az A és ϕ 0 tulajdonképpen integrálási állandók, értékük a kezdeti feltételektől függ. A (2.41)nek megfelelő kerületi feltétellel A = x 02 +

v 02 ν2

és

ϕ 0 = ar ctg

x0ν . v0

2.46

A csillapítatlan rezgés erőtere, mint láttuk, konzervatív, érvényes tehát a mechanikai energia megmaradási tétele. A tételt a csillapítatlan szabad rezgés speciális esetére vonatkoztatva, annak m&x& + sx = 0 alakú alaptörvényéből x& -tal való szorzással könnyen le is vezethetjük:

m&x&x& + sx& x = 0, vagy

1  1  d  mx& 2  d  sx 2  2  + 2  = 0. dt dt Integrálva:

1 1 mx& 2 + sx 2 = E 0 = áll., 2 2 E + U = E0

,

azaz 2.47/a,b

ahol E0 – a kezdeti teljes mechanikai energia. (2.47/a) tulajdonképpen a (2.44)-es kifejezés lineáris rezgésekre vonatkozó változata. Az összefüggést jól szemléltethetjük, ha a potenciális energiát az x függvényében ábrázoljuk 2.15. ábra Ez a parabola, melynek alakja a rugómerevmegfelelő, az x tengellyel párhuzamos egyenes és az x tengely közötti távolságot a parabola két részre osztja. Az alsó rész a potenciális, a felső rész a mozgási energiának megfelelő szakasz. Ahol E0 egyenese metszi a parabolát, ott a potenciális energia maximális, a mozgási energia ér-

103

téke pedig nulla. A metszéspontnak megfelelő x = ± A koordináták a tömegpont szélső helyzeteit, azaz az amplitúdó értékét adják. 2. Csillapított szabad rezgés (lengés) A harmonikus rezgőmozgást okozó, (2.37) típusú erőkön kívül a valóságban mindig fellépnek olyan hatások, amelyek a mozgást gátolni igyekeznek. Ezeknek az ellenállásoknak az a következménye, hogy a magukra hagyott szabad rezgések előbb-utóbb lecsillapodnak és megszűnnek. A mozgást gátló erők mindig a pillanatnyi sebességgel ellentétesen hatnak. A gyakorlatban leggyakrabban előforduló csillapításfajták: - Száraz (Coulomb-féle) súrlódás: az ellenállást a

R = −Fs .

v v

2.48

kifejezéssel adhatjuk meg, ahol Fs – a mozgásbeli súrlódóerő (2.16/a. ábra). - A sebességgel arányos ellenállás: R = − Kv ,

2.49

ahol K – pozitív állandó (2.16/b. ábra). - A sebesség négyzetével arányos ellenállás:

v , 2.50 v 2.16. ábra ahol C – pozitív állandó (2.16/c. ábra). Vizsgálatainkat csak lineáris rezgésekre és az első két ellenállásfajtára korlátozzuk. R = −Cv 2

α/ Száraz súrlódással csillapított szabad rezgés Az m tömegű anyagi pont mozgástörvénye: m&x& = −sx m Fs ,

2.51/a

&x& + ν 2 x = m Fs ,

2.51/b

vagy

ahol s 2.52 m a körfrekvencia. v > 0 esetén a negatív, v < 0 esetén a pozitív előjel érvényes. Mivel a súrlódó erő függvényének a v = 0 helyen ugrása van (2.16.a. ábra), a feladatot két részre bontva oldjuk ν=

104

meg. A két megoldás között csak annyi a különbség, hogy a súrlódóerő előjele az ellenkezőjére változik. Szorozzuk meg (2.51/a)-t x& -tal és vegyük a v > 0 esetet: m&x&x& + sx& x = − Fs x& , vagy

1  d  mx& 2  2 + dt

1  d  sx 2  2  = − F dx s dt dt

.

Integrálva:

1 1 mx& 2 + sx 2 = E 0 − Fs x , 2 2

2.53

ahol E0 - a kezdeti teljes mechanikai energia. A kifejezés tulajdonképpen az általánosított mechanikai energia megmaradási tétele, ahol a kezdeti teljes mechanikai energiából le kell vonni az energiaveszteségeket. A veszteség most a súrlódóerő munkája: Fsx . Ábrázoljuk most is a (2.52) összefüggésnek megfelelő kapcsolatot. Indítsuk a tömegpontot az x = -A0 helyzetből v0 = 0 kezdősebességgel (így ebben a mozgási szakaszban v pozitív). Legyen a kezdő pillanatban a teljes mechanikai energia E0, amely a mozgás folyamán a súrlódó erő munkájával csökken. Az energiaegyenes tehát nem vízszintes, mint csillapítás nélküli mozgásnál, hanem -Fs iránytangensű. Az első fordulópont 2.17. ábra azon az x = A1 helyen lesz, ahol az energiaegyenes metszi a parabolát. A1 a jobb oldali amplitúdó értéke. Azonnal látszik, hogy −A 0 > A1, tehát a súrlódóerő hatása amplitúdó-csökkenésben nyilvánul meg. A fordulópont után a sebesség és ezzel a súrlódóerő is előjelet vált (v < 0). Az energiaegyenlege most +Fs iránytangensű, a parabolával való metszépontja adja az x = -A2 helyen a következő fordulópontot. Az eljárást hasonlóan folytatva meghatározhatjuk az összes fordulópontot, azaz az egyes mozgásszakaszoknak megfelelő maximális kitéréseket. A mozgás akkor akad meg, amikor az utolsó amplitúdó An ≤ e = Fs/s. A középponthoz képest szimmetrikusan felvett 2e hosszúságú szakaszt érzéketlenségi sávnak nevezzük. Mivel az egyre csökkenő szélső helyzetekben a rugóerő is egyre kisebb lesz, a súrlódóerő pedig állandó, lesz egy olyan An végkitérés, ahol sAn ≤ Fs , azaz a rugóerő már nem elegendő a súrlódóerő legyőzéséhez. Ez mindig az érzéketlenségi sávon következik be. Mivel

105

1  d  sx 2  2  = sx , dt az érzéketlenségi sáv e értékét az se = Fs szerint ott kapjuk , ahol az energiaegyenes érinti a parabolát. Térjünk vissza a súrlódással csillapított mozgás (2.51/b) differenciálegyenletéhez. Ennek általános megoldása: x( t ) = C1 cos νt + C 2 sin νt m

Fs s

,

2.53

ahol C1 , C2 - integrálási állandók. Meghatározásukhoz legyenek a kezdeti feltételek a következők: t = 0-nál x = -A0 , v = 0 , ami azt jelenti, hogy a tömegpontot az egyensúlyi helyzettől A0 távolságra eltávolítjuk és álló helyzetből indítjuk. Ekkor v > 0, így (2.53)-ban a felső, negatív előjel érvényes. A kezdeti feltételek felhasználásával C1 = − A 0 +

Fs s

és C2 = 0

adódik. A mozgásegyenlet partikuláris megoldása a balról jobbra történő elmozdulás során: F F  x( t ) = − A 0 + s  cos νt − s , s s 

2.54/a

a sebességfüggvény F   v ( t ) = x& ( t ) = − ν  − A 0 + s  sin νt s 

,

2.54/b

a gyorsulásfüggvény F   a ( t ) = &x&( t ) = − ν 2  − A 0 + s  cos νt . s 

2.54/c

A jobb oldali szélső helyzetet, A1 értékét, abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy ebben a pontban a sebesség nulla. (2.54/b)-t nullával egyenlővé téve, kifejezhetjük a megálláshoz tartozó időpillanatot: π t1 = . ν Ezzel (2.54/a)-val:

106

F F F 2F π F   A 1 = − A 0 + s  cos ν − s = − − A 0 + s  − s = A 0 − s = A 0 − 2e . s ν s s s s  

2.55

Az amplitúdó tehát éppen az érzéketlenségi sáv nagyságával csökkent. A balról jobbra történő mozgásnál ismét a (2.53) partikuláris megoldását kell megkeresnünk (most a súrlódóerőt pozitív előjellel kell figyelembe venni). x( t ) = C 3 cos νt + C 4 sin νt + A kerületi feltételek: t = 0 -nál (az időszámítás kezdetét áttettük t2-be) Ezekkel C3 = A 1 −

Fs s

,

Fs s

x = A1 ,

v=0 .

C4 = 0 .

A mozgásfüggvények visszafelé történő mozgásnál: F F  F 3F   x( t ) =  A 1 − s  cos ν( t ) + s =  A 0 − s  cos ν( t 1 ) + s s s  s  s  3F   v ( t − t 1 ) = − ν  A 0 − s  sin ν( t ) s  

,

3F   a( t − t 1 ) = − ν 2  A 0 − s  cos ν( t ) s   A következő, bal oldali amplitúdó: sin( t 2 ) = 0

,

⇒

,

2.56/a

2.56/b

.

t2 =

2.56/c

π ν

,

F F 2F 4F  A 2 = −  A 1 − s  + s = − A 1 + s = − A 1 + 2e = − A 0 + s = − A 0 + 4e s s s s 

.

Általánosíthatjuk a kapott eredményt, hiszen látjuk, hogy az egyoldali kitérések maximuma mindig 2e-vel csökken, az amplitúdó-csökkenés mértéke a súrlódóerő nagyságával egyenes arányban, a rugóállandó nagyságával fordított arányban változik. 2π Egy periódus lefutásához szükséges idő: T = t 1 + t 2 = , ami - érdekes módon ν ugyanakkora, mint a csillapítatlan rezgés periódusideje. A száraz súrlódással csillapított rezgő-

107

mozgás tehát ugyanakkora körfrekvenciával zajlik, mint a csillapítatlan, csupán az amplitúdók lesznek kisebbek (218. ábra). Ha n-nel jelöljük a félrezgések számát, akkor áll meg a mozgás, ha A 0 − n 2e ≤ e , innen 1  A 0s  − 1 , 2.57  2  Fs  n-t a jobb oldal felkerekített egész értéke adja. A 2.18. ábrán egy olyan súrlódással csillapított rezgőmozgás foronómiai görbéjét látjuk, ahol 5 félrezgés után áll meg az anyagi pont. n≥

2.18. ábra β/ Sebességgel arányos csillapítás. Az anyagi pont mozgástörvénye: m&x& = −sx − Kx& .

2.58/a,b

Legyen

ν=

s , m

κ=

K , 2m

2.58/a,b

ν - a csillapítatlan rezgésnél már megismert körfrekvencia, melyet a továbbiakban saját körfrekvenciának nevezünk, κ - az ellenállásra jellemző csilapítási tényező. Ezeket behelyettesítve az alapegyenletbe egy másodrendű homogén differenciálegyenletet kapunk:

&x& + 2κx& + ν 2 x = 0.

2.59

Tegyük fel, hogy az x = e λ 5 t (λ - egyelőre ismeretlen állandó) a differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása. Visszahelyettesítve (2.59)-be, λ -ra az alábbi másodfokú egyenletet nyerjük:

108

λ2 + 2κλ + ν 2 = 0 innen λ 1,2 = − κ ± κ 2 − ν 2 . λ t

A differenciálegyenlet általános megoldása az e 1

2.60 és

λ

t

e 2 partikuláris megoldások összege:

x = x ( t ) = C1e λ 1t + C 2 e λ 2 t ,

2.61

C1 és C2 integrálási állandók. A λ 1,2 gyökök lehetnek komplexek, valósak, ill. kettős gyökök. Ennek megfelelően három különböző megoldást nyerünk igen szemléletes fizikai jelentéssel. κ < ν, gyenge csillapítás Ebben az esetben a gyökök komplexek:

λ1, 2 = κ ± iω,

ahol

ω = ν2 − κ2 .

Az általános megoldás: x = x(t) = e − κt (C1e iωω + C 2 e − iωω) = e − κt [C1 (cosωc + isinωsi + C 2 [cos[ωt ] − isin[ωt ]]] =

e − κt [(C1 + C 2 )cosωc + i(C1 − C 2 )sinωs] = e − κt (K 1cosωo+ K 2 sinωinω vagy a (2.45)-nek megfelelő alakban: x = x ( t ) = (Ae − κt )sin(ωt + ϕ 0 )

2.62

az integrálási állandók közti kapcsolat:

A = K12 + K 22 ,

ϕ 0 = arc tg .

K1 . K2.

(2.62)-ből már látszik, hogy olyan harmonikus rezgésről van szó, amelynek az amplitúdója az idővel exponenciálisan csökken. A rezgés körfrekvenciája: ω = ν2 − κ 2 ,

2.63/a

tehát kisebb, mint a csillapítatlan rezgés (ott κ =0) körfrekvenciája. Egy mozgásperiódus ideje: 2κ 2κ T= = . 2.63/b 2 ω ν − κ2

109

ω és T is csak m, s és K függvénye, a mozgás folyamán tehát változatlan. A mozgás x, t foronomiai görbéjét megrajzolhatjuk (2.19. ábra).

2.19. ábra Bármely két egymás uráni, egyirányú maximális kitérés aránya (2.62) alapján, ha Ai-hez ti idő tartozik: Ae − κt i.sin(ω. i + ϕ 0 ) Ai e − κt i = = = e κT = k. A i + 2 Ae − κ(t i + T) .sin(ω[t i + T ] + ϕ 0 ) e − κ(t i + T)

2.64

Két szomszédos, azonos irányú amplitúdó hányadosa tehát állandó. Az azonos irányú kitérések maximumai geometriai sort alkotnak. k-t csillapítási hányadosnak nevezzük, természetes logaritmusát (lnk = κ T) pedig logaritmikus dekrementumnak. Hasonlóan határozhatjuk meg két szomszédos, de különböző irányú maximális kitérés hányadosát is: T

κ Ai == −e 2 = − k A i +1 .

2.65

A szomszédos amplitudók és a periódusidő mérésével (2.64) vagy (2.65) felhasználásával meghetározhatjuk a csillapítási tényezőt. A foronomiai görbén jól látszik, hogy a csillapított rezgőmozgás függvénye az amplitudócsökkenés exponenciális görbéjét nem a maximális kitérések pillanatábannérinti, hanem mindig egy kicsit később. Mivel az érintkezés a sin ( ωt + ϕ 0 ) = ±1 -nek megfelelő időpillanatban történik, két azonos irányú érintkezés között eltelt idő megegyezik a periódusidővel. A tömegpont sebességét (2.62) differenciálásával nyerjük:

v = v(t) = Ae − κt [ωcos(ωt + ϕ 0 ) − κsin(ωt + ϕ 0 )].

2.66

110

A maximális kitérések idejét ott kapjuk, ahol a fenti sebesség nullával egyenlő. κ > ν, erős csillapítás Ebben az esetben mindkét gyök valós és negatív. A differenciálegyenlet általános megoldása:

x = x ( t ) = C1e λ 1t + C 2 e λ 2 t.

2.67

A negatív kitevők miatt x exponenciálisan csökken és - κ -tól, ill. a C1 és C2 integrálási állandók megválasztásától függően rövid növekedés vagy egyszeri középpontátlépés után aszimptotikusan a nulla felé tart (2.20. ábra). Rezgésről tulajdonképpen már nem is beszélhetünk. A mozgást gátló, igen nagy ellenállás miatt ún. aperiódikus rezgés keletkezik. κ = ν aperiódikus határeset

A két gyök most egyenlő: λ1 = λ 2 = − κ.

A differenciálegyenlet általános megoldása: x = x ( t ) = (C1 + C 2 )e − κt .

2.68

2.20. ábra Itt az első ábrarészletnek megfelelő aperiódikus mozgás lép fel. A kitérés aszimptotikusan tart a nulla felé. 3. Gerjesztett (kényszerített) rezgés (lengés) Gerjesztett rezgésről akkor beszélünk, ha a tömegpontra a rugó- és a csillapítóerőn kívül még valamilyen egyéb zavaró, általában időben periódikusan változó erő is hat. A zavaróerőnek az egy perióduson belüli változása igen bonyolult lehet, a gyakorlat szempontjából legfontosabb esetekben azonban sinus vagy cosinus függvénnyel adható meg. Így például F( t ) = F0 sin Ωt, ahol

F0 - a gerjesztőerő maximuma, Ω - a gerjesztő körfrekvencia.

A tömegpont mozgásának alapegyenlete:

2.69

111

mx = −sx − Kx& + F0 sin Ωt. A korábban alkalmazott és a f 0 =

F0 helyettesítésekkel: m 2 &x& + 2κx& + ν x = f 0 sin Ωt.

2.70

Ennek a másodrendű inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldása egy partikuláris megoldásának és a homogén differenciálegyenlet általános megoldásának és a homogén differenciálegyenlet általános megoldásának összegeként adódik. A homogén egyenlet általános megoldását azonban már ismerjük, mert az nem más mint a gerjesztés nélküli, csillapított szabad rezgés mozgásegyenlete (κ értékétől függően (2.61), (2.67) vagy (2.68). Keressük a partikuláris megoldást az x = D1 cos Ωt + D 2 sin Ωt

2.71

alakban (D1 és D2 egyelőre ismeretlen állandók). Visszahelyettesítés és rendezés után:

[D (ν 1

2

]

[

]

− Ω 2 ) + 2 D 2 Ωκ cos Ωt + − 2 D1Ωκ + D 2 ( ν 2 − Ω 2 ) − f 0 sin Ωt = 0.

Ez az egyenlőség a sinus és cosinus függvények lineáris függetlensége miatt csak úgy állhat fenn, ha a szögletes zárójelben lévő mennyiségek nullával egyenlők. A két kifejezésből: D1 = −

2f 0 κΩ , 2 ( ν − Ω 2 ) 2 + 4Ω 2 κ 2

D2 =

f 0 (ν 2 − Ω 2 ) . ( ν 2 − Ω 2 ) 2 + 4Ω 2 κ 2

Ezzel a partikuláris megoldást meg is találtuk. Írjuk át (2.71)-et az amplitúdós formába: x = x ( t ) = A sin(Ωt − ϕ 0 ),

2.72

ahol A = D12 + D 22 =

f0 ( ν − Ω ) + 4Ω 2 κ 2 2

2 2

 D  2 Ωκ ϕ 0 = ar ctg  − 1  = ar ctg 2 . ν − Ω2  D2 

,

2.73

2.74

Ezzel a (2.70) általános megoldása (κ<ν feltételezéssel):

x = x(t) = Asin(Ωs − ϕ 0 ) + A ' e -κκsin(ωi + ϕ 0' ). 2.75 A kapott eredmény fizikai jelentése a következő. Gerjesztett rezgés esetén az anyagi pont mozgása egy Ω körfrekvenciájú csillapítatlan és egy ω körfrekvenciájú csillapított rezgésből ( κ ≥ ν

112

esetén egy aperiodikus mozgásból) tevődik össze. A csillapított mozgás bizonyos idő múlva elhanyagolható, így tartósan csak az első rész marad meg. A tömegpont a gerjesztő Ω körfrekven

2.21. ábra ciával csillapítatlan rezgést, azaz kényszerrezgést végez (2.21. ábra). A rezgés amplitúdója, valamint a gerjesztő erő és a kényszerrezgés között fellépő ϕ 0 fáziskülönbség a gerjesztő körfrek2 Ωκ venciától függ. A 2.22. ábrán a (2.74)-nek megfelelő ϕ 0 = arc tg függvényt ábrá2 ν ν Ω 1−   ν  κ zoltuk különböző paraméterek mellett. A ϕ 0 fázisszög 0 és π között változhat, a gerjesztett ν Ω rezgés tehát a ϕ 0 =0 eset kivételével mindig késéssel követi a gerjesztő rezgést. Ha = 1, azaz a ν gerjesztő körfrekvencia megegyezik a csillapítatlan rezgés saját körfrekvenciájával, akkor a fázisπ Ω szög függetlenül a csillapítási tényezőtől mindig . Ha ≠ 1 és κ = 0, a rezgés vagy fázisban 2 ν ( ϕ 0 = 0, ha Ω 〈 ν) vagy ellenfázisban (ϕ 0 = π, ha Ω 〉 ν) van a gerjesztő-rezgéssel. A gerjesztett rezgés amplitúdójának vizsgálatához vizsgáljuk meg először az Ω=0 esetet, ami időben állandó gerjesztőerőnek (sztatikus terhelésnek) felel meg. (2.73)-ból A sztat =

F0 F = 0. 2 s mν

2.76

Mivel most ϕ 0 =0, nem rezgőmozgást kapunk végeredményül. A tömegpont az F0 erő hatására Asztat= F0/s értékkel elmozdul és ebben a helyzetben marad. A másik szélső esetben Ω = ∞. Ekkor A → 0, ami azt jelenti, hogy a tömegpont tehetetlenségénél fogva nem tudja követni az igen gyorsan változó gerjesztőerőt. Számítsuk ki az

113

2.22. ábra

A = A sztat

1  Ω 1 −     ν 

2

2

 Ω  + 4  ν 

. 2

κ .  ν

2.77

2

hányadost, melyet nagyítási függvénynek nevezünk, mert azt mutatja meg hányszor nagyobb a κ kinetikusa kitérés a sztatikus kitérésnél. Ha ezt a függvényt különböző csillapítási paraméteν rek mellett ábrázoljuk (2.23. ábra) az ún. rezonanciagörbéket kapjuk. Mint látjuk a különböző csillapítási tényezőkhöz tartozó rezonanciagörbéknek bizonyos Ω krit értékeknél maximumuk van. A jelenséget rezonanciának nevezzük, az Ω krit -t pedig kritikus vagy rezonancia-körfrekvenciának dA hívjuk. Ezt az értéket (2.73) Ω szerintidifferenciálásával kapjuk. A = 0 kifejezésből dΩ (2.63/a)-t is figyelembe véve: Ω krit = ν 2 − 2κ 2 = ω2 − κ 2 .

2.78

114

2.23. ábra A kritikus körfrekvencia tehát nemcsak a saját körfrekvenciánál, de a csillapított rezgés körfrekvenciájánál is kisebb. Csak κ = 0 -nál, azaz csillapítatlan rezgésnél egyezik meg a saját körfrekvenciával. A maximális kitérés (2.73) és (2.78) felhasználásával:

A max =

F0 2mκ ν − κ 2

2

=

F0 . 2mωκ

2.79

Az ábrán is jól látható, hogy a kis csillapítási tényezőknél az amplitúdók maximuma jelentős lehet. Növekvő κ -val a kitérések maximumai egyre csökkennek, sőt κ 2 ≥ ν 2 / 2 -nál a rezonanciagörbének nincs is maximuma ( Ω krit ilyenkor képzetes vagy nulla). A rezonanciának rendkívül jelentős szerepe van a fizika minden területén és a mindennapi életben is. A műszaki gyakorlatban általában igyekezni kell a rezgések maximális kitéréseit lehetőleg kis értéken tartani. Ezt az ábra szerint a leghatásosabban úgy érhetjük el, ha a gerjesztő körfrekvenciát (lényegesen) nagyobbra választjuk a tömegpont (szerkezet) saját frekvenciájánál. 2.1.3.2. KÉNYSZERMOZGÁS Kényszermozgást végez az anyagi pont, ha pályáját bizonyos (geometriai) feltételek korlátozzák, ill. megszabják. Ezek a feltételek olyan más testek hatásaként jönnek létre, amelyek mechanikai szempontból – éppúgy mint a sztatikában – erőt, ún. kényszererőt jelentenek. A kényszermozgást

115

előíró erők lehetnek nyugalomban, de mozoghatnak is (álló és mozgó kényszerek), ennek megfelelően a kényszerítők általános esetben a hely, az idő és a viszonyított sebesség függvényei. A műszaki gyakorlatban előforduló mozgások többsége kényszermozgás, hiszen valamely szerkezet egyes elemeinek jól meghatározott mozgást kell végezniük, amit más szerkezeti elemekkel, mint kényszerekkel valósítunk meg. A kényszer leggyakrabban azt jelenti, hogy az anyagi pontok állandóan egy megadott , merevnek tekinthető, nyugvó, esetleg álló felületen vagy görbén kell mozognia. Az előírt kényszerfeltételt a felület, ill. a görbe egyenlete jelenti, amit a tömegpont helykoordinátáinak minden pillanatban ki kell elégíteniük. Megszabott felület esetén a mozgás szabadságfoka kettő, megszabott pályagörbe esetén egy. A kényszer általában az

f ( r , r&, t ) = 0

2.80

matematikai függvénnyel adjuk meg. A kényszerek csoportosítása a független változók szerint történhet:

holonom anholonom

rheonom f (r, t) = 0 f ( r , r&, t ) = 0

szkleronom f (r ) = 0 f ( r , r& ) = 0

Ha a kényszerfeltétel csak a helynek és az időnek a függvénye, akkor holonom, egyébként anholonom kényszerről beszélünk. Ha a feltétel az időt explicit tartalmazza, azaz a kényszer mozog, rheonom, álló kényszer esetén szkleronom kényszer az elnevezés. Legyen a kényszer által létrehozott erő K. Az F szabaderőket is figyelembe véve a tömegpont mozgásáénak alapegyenlete: ma = F + K ,

2.81

azaz a kényszererők és szabaderők együttes hatására az anyagi pont úgy mozog, mintha szabad mozgást végezne. Konkrét számításokhoz azonban (2.81) nem használható, hiszen nemcsak a gyorsuláskomponenseket, de a kényszererő komponenseit sem ismerjük. A D’Alambert-elv megfogalmazásában az alapegyenlet így szól: A szabad- és kényszererők, valamint a tehetetlenségi erő egyensúlyban van. Az elv számtalan esetben itt is igen szemléletesen alkalmazható. A/ Sima kényszerek Amennyiben a súrlódóerő hatása a többi erő mellett elhanyagolható, az anyagi pont és a vele érintkező testek felületét abszolút simának tekinthetjük és sima kényszerekről beszélünk. a/ Mozgás előírt felületen Ha nincs súrlódás, akkor a felület minden pillanatban támasztókényszerként működik, tehát a kényszererő iránya mindig merőleges a felületre. Mivel a gradiens vektornak is az a tulajdonsága, hogy adott pontban a felület érintősíkjára merőleges, a kényszererőt általános alakban a

116

K = λgradf = λ

df dr

2.82

kifejezéssel adhatjuk meg, ahol λ - egyelőre ismeretlen szorzótényező. A (2.81) alapegyenletben így – holonom kényszert véve – négy ismeretlen lesz. A negyedik egyenletet pedig a felület kifejezése adja:

df m&r& = F + λ , f(r, t) = 0. dr

2.83/a

Descartes-féle koordinátarendszerben:

m&x& = Fx + λ

δf δf , m&y& = Fy + λ , δx δy

m&z& = Fz + λ

δf , f(x, y, z, t) = 0 δz

2.83/b

b/ Mozgás előírt görbén Súrlódóerő hiányában a kényszererő hatásvonala adott pillanatban a görbe érintőjére merőleges. Amennyiben a görbét az f1 ( r , t ) = 0

és

f 2 ( r, t ) = 0

2.84/a,b

felületek metszéspontjaiként adjuk meg a kényszererő vektora:

K = λ 1gardf1 + λ 2 gardf 2 = λ 1

df1 df + λ2 2 , dr dr

2.85

λ1 és λ 2 - egyelőre ismeretlen tényezők. Ezzel a tömegpont mozgásegyenlete: df df m&r& = F + λ 1 1 + λ 2 2 . dr dr

2.86

Ebben öt ismeretlen van, a hiányzó két összefüggést (2.84/a,b) szolgáltatja. Az előbbi eljárásnál sokszor gyorsabban célhoz érhetünk, ha az előírt pályagörbe természetes koordinátarendszerében írjuk fel (2.81)-et:

ma e = Fe = m

dv , dt

2.87/a

117

ma n = Fn + K n = m

v2 , ρ

2.87/b

ma b = Fb + K b = 0,

2.87/c

annak megfelelően, hogy sima pályán a kényszererőnek nincs érintő irányú komponense, azaz a sebesség nagyságát csak szabaderő tudja megváltoztatni és a binormális gyorsulás nulla, tehát a szabad- és kényszererőnek a binormális irányú komponensei egymással egyensúlyban vannak. Megemlítjük, hogy kényszermozgás esetén is jól alkalmazhatók a tömegpont mozgására vonatkozó kinetikai tételek, különösen, ha meggondoljuk, hogy akár álló, akár mozgó kényszerek esetén a kényszererők munkája zérus, így sem a munkatételben sem az energiamegmaradás tételében nem szerepelnek. 1. Matematikai sík inga Egyik végén felfüggesztett súlytalannak és merevnek képzelt, 1 hosszúságú fonál másik végére egy m tömegű anyagi pontot erősítünk. Ha a fonál függőleges helyzetében a tömegpontnak ω0 kezdő szögsebességet adunk ( a kerületi feltételek tehát t=0-nál ϕ = 0 és ϕ& = ω0 ), a tömegpont síkmozgást fog végezni és a szerkezetet matematikai síkingának nevezzük. A tömegpont egy sugarú köríven mozog, pályája tehát megszabott, azaz kényszermozgásról van szó. A kényszer a kötél, s mint látjuk, mozog. A szabaderő a G súlyerő, a kényszererő az ismeretlen K nagyságú, de kötélirányú kötélerő. A (2.87)nek megfelelő kifejezések: − Gsinϕ = m

2.24. ábra

dv d 2s d 2ϕ = m 2 = ml 2 , dt dt dt

− G cos ϕ + K = m

v2 . 1

Az elsőből:

ϕ&& +

g sinϕ = 0. 1

2.88

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása elliptikus integrálra vezet, zárt formában tehát nem adható meg. A tömegpont sebességét (legalábbis a helyzet függvényében) a teljes mechanikai energia megmaradási tételével is kiszámíthatjuk (a szabad erő konzervatív erőteret alkot):

118

1 1 mv 2 + mgl(1 − cosϕ ) = E 0 = mv 02 2 2

(v 0 = ω 0 l).

Így

v = v (ϕ) = v 02 − 2gl(1 − cos ϕ),

2.89/a

vagy

ω = ω(ϕ) = ω02 −

2g (1 − cos ϕ) . 1

2.89/b

A sebesség ismeretében a kötélerő:

K = G cos ϕ +

[

]

m 2 v 0 − 2gl(1 − cos ϕ) . 1

2.90

Amennyiben csak kis kitéréseket engedünk meg, a (2.88) differenciálegyenlet a ϕ ≅ sin ϕ közelítéssel a

ϕ&& + ν 2ϕ = 0 alakba megy át, ahol ν =

2.91

g . Az általános megoldás 1 ϕ = ϕ( t ) = A sin( νt + ϕ 0 ),

2.92/a

ami a már jól ismert rezgő vagy lengő mozgás egyenlete. A korábban megadott kezdeti feltételekkel a partikuláris megoldás:

ϕ = ϕ( t ) =

ω0 sin νt, ν

2.92/b

a periódikus mozgás körfrekvenciája:

ν=

g , 1

2.93

periódusideje: T = 2π

1 , g

2.94

Mindkét mennyiség független az anyagi pont tömegétől és a kitérés nagyságától (természetes kis kitéréseken belül).

119

B/ Kényszerek súrlódással

Amennyiben a súrlódás nem hanyagolható el, akkor a kényszererőnek lesz egy, a kényszerfelület vagy kényszerpálya érintősíkjába eső komponense. A Coulomb-féle mozgásbeli súrlódásnál a súrlódóerő nagysága arányos a normális erővel és a sebességvektorral ellentétes irányú. A súlódóerő általános alakja tehát:

v df v = −µ λ , 2.95 v dr v ahol µ - a mozgásbeli súrlódási tényező. Ezt az erőt hozzáadva (2.83/a) jobb oldalához, megkapjuk a kényszerfelületen mozgó anyagi pont alaptörvényét a súrlódást is figyelembe véve. Hasonlóan járunk el előírt pályagörbe esetén is. Az ily módon kibővített differenciálegyenletek megoldása még a legegyszerűbb kényszerek esetén is meglehetősen bonyolult (ha egyáltalán van megoldás).Éppen ezért a kinetikai tételek alkalmazása sokszor gyorsabban eredményre vezet. Vigyáznunk kell azonban, mert mozgó kényszer esetén a súrlódóerő munkája nem nulla és a súrlódóerő nem is konzervatív, így a munkatételt és az energiamegmaradás tételét csak ezek figyelembevételével szabad használni. S = −µN.

2.2. A RELATÍV MOZGÁS KINEMATIKÁJA Newton kinetikai alaptörvényét – hallgatólagosan – abszolút nyugalomban lévő koordinátarendszerben ún. inerciarendszerben értelmeztük. Az álló koordinátarendszerhez képest tetszőleges mozgást végző koordinátarendszerben az anyagi pont gyorsulását, ill. a gyorsulások közötti kapcsolatot (1.101) adja. Fejezzük ki ebből az összefüggésből a relatív gyorsulást és szorozzuk meg mindkét oldalt az anyagi pont tömegével: ma ' = ma − ma C − ma sz = F − 2 mωxv '− ma 0 − mεxr '− mωx ( ωxr ' ).

2.96/a

Az anyagi pont relatív koordinátarendszerbeli mozgástörvénye: m&r&' = F + FC + Fsz ,

2.96/b

ahol r '− a tömegpont helyvektora a relatív koordinátarendszerben, F − a ténylegesen ható, „valódi” erők eredője, FC − a Coriolis erő, Fsz − a szállító vagy vezető erő. A mozgó koordinátarendszerben tehát a mechanika m&r& = F alaptörvénye nem érvényes, mert (2.96/b) jobb oldalán az anyagi pontra ható erőkön kívül általános esetben még két erő dimenziójú mennyiség is szerepel. Ezek fellépését a mozgó rendszerbeli megfigyelő éppen saját rendszere mozgásának tulajdonítja és a következőképpen gondolkodhat. Mivel nem inerciarendszerben van, a mechanikai jelenségeket csak úgy értelmezheti helyesen, ha a valóságos erőkhöz hozzáadja a Coriolis és a szállítóerőket. E két – fizikai értelemben nem erő, de erő dimenziójú – mennyiség eredőjét tehetetlenségi erőnek nevezzük. A tehetetlenségi erőt (2.96/a)

120

alapján tulajdonképpen négy összetevőre bontjuk. Ha F = 0, azaz a tömegpontra valódi erő nem hat, akkor ezzel a négy taggal lehet leírni a test tehetetlenségét, amelynek hatására a magára hagyott test a nyugvó koordinátarendszerben gyorsulás nélkül mozog. A kinetika alaptörvényét ezek után így fogalmazhatjuk meg. Az alapegyenletet bármely vonatkoztatási rendszerben alkalmazhatjuk, ha a valóságos erőkhöz hozzáadjuk a tehetetlenségi erőket. A tehetetlenségi erő fogalmának bevezetése tehát nagyon praktikus, mert segítségével a mechanikai jelenségek bármely rendszerben a korábbiaknak megfelelő módon magyarázhatók. A tehetetlenségi erők egyébként hatás szempontjából a mozgó koordinátarendszerbeli megfigyelő számára éppúgy megnyilvánulnak és éppúgy mérhetők, mint a valódi erők. Ha a mozgó koordinátarendszer az állóhoz képest egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgást végez, akkor a 0 = 0 és ω = 0 , tehetetlenségi erők tehát nem lépnek fel. Az alapegyenlet mindkét rendszerben ugyanolyan alakú: m&r& = F és m&r&' = F . Ha a mozgó koordinátarendszerbeli megfigyelő valamilyen mechanikai kísérletet végez, eredményeit ugyanolyannak fogja találni, mint az álló koordinátarendszerbeli megfigyelő, a megfelelő saját kísérleteinek eredményét. Azaz mindegyik joggal állíthatja magáról, hogy saját koordinátarendszere inerciarendszer. Ez azt jelenti, hogy minden egymáshoz képest egyenes vonalú, egyenletes sebességgel mozgó koordinátarendszer ugyanolyan joggal tekinthető inerciarendszernek. A végtelen sok inerciarendszer közül egynek sincs kitüntetett szerepe. Gyorsuló transzlációt végző rendszerekben a 0 ≠ 0 és ω = 0, így

m&r&' = F − ma 0 , a tehetetlenségi erő tehát − ma 0 . Forgómozgást végző rendszerekben, ha a 0 = 0 és ω ≠ 0 az alapegyenlet mr' = F − 2mω xv'− mεxr'− mω x( ω xr' ) alakú. A tehetetlenségi erőnek tehát három összetevője van. A − mεxr ' a szögsebességvektor változásából adódik, állandó ω -nál, azaz álló tengely körüli, egyenletes szögsebességű forgásnál nulla, az FC = −2mω xv' Coriolis erő csak akkor lép fel, ha a tömegpont a forgó rendszerhez képest mozog, a − mω x( ω xr' ) = −mRω 2 n az ún. centrifugális erő a forgástengelytől radiális irányban kifelé mutat. Az állócsillagokhoz kötött koordinátarendszer gyakorlatilag inerciarendszernek tekinthető. Ebben a rendszerben a Föld transzlációs és rotációs mozgást végez. Az ω = 7.272.10 −5 s −1 nagyságú (gyakorlatilag állandó) szögsebesség következtében fellépő centrifugális erőnek tulajdonítható a Föld lapultsága és a nehézségi gyorsulásnak a földrajzi szélességgel való változása. A Föld sugara R = 6370 km, így az egyenlítőn a szállító gyorsulás, ami a Föld középpontja felé mutat a sz = Rω 2 = 0,0201 m/s2. Ez szuperponálódik a nehézségi gyorsulás valódi értékéhez, ami az egyenlítőn g 0 = 9,815 m/s2, a mérhető gyorsulás tehát g=9,7949 m/s2. A Coriollis erővel magyarázható a szabadon eső test pályájának a függőleges irányától való eltérése, a hosszútávú lövedék, a szél, a tengeri áramlatok pályájának oldalirányú kitérése. A Föld for-

121

gása annak is az oka, hogy az északi és déli féltekén a kádból kifolyó víz ellenkező irányban forog. A Föld viszonylag kicsi szögsebessége miatt a műszaki gyakorlatban előforduló mozgások többségénél a tehetetlenségi erőket elhanyagolhatjuk, a Földhöz kötött koordinátarendszert inerciarendszernek tekinthetjük. 2.3. A MEREV TEST KINETIKÁJA Newton anyagi pontra vonatkozó alapegyenlete közvetlenül alkalmazható minden olyan problémánál, ahol egyszerre n számú, különálló egyenként anyagi pontnak tekinthető – és egymással kölcsönhatásban lévő test mozgását kell meghatározni. Ha az ilyen ún. diszkrét pontrendszer Pj-edik anyagi pontjának tömege mj, helyvektora rj és a rá ható összes erő eredője R j , akkor a rendszer mozgásegyenlete: m j&r&j = R j , j = 1,2,....n.

2.97

A pontrendszer mozgásának meghatározása tehát n számú, vektorális, másodrendű differenciálegyenlet, vagy 3n számú skaláris másodrendű differenciálegyenletből álló egyenletrendszer megoldására vezethető vissza. A merev test mozgásának tanulmányozásához is célszerű a testet anyagi pontrendszerre visszavezetni. Bontsuk fel a testet kisméretű, ún. elemi nagyságú térfogatelemekre, ill. a térfogatelemek súlypontjában elképzelt és a térfogatelemmel megegyező tömegű, véges számú anyagi pontok rendszerére (2.25. ábra). Minél kisebbek a térfogatelemek, annál nagyobb számú anyagi pontból áll a rendszer, de kinetikai szempontból annál jobban megközelítjük a merev testet. 2.25. ábra 2.3.1.A MEREV TESTRE HATÓ ERŐK ÉS CSOPORTOSÍTÁSUK A merev testet helyettesítő anyagi pontok rendszerében a Pj tömegpontra ható erőket két nagy csoportra oszthatjuk: az Fj − vel jelölt külső erők, amelyek a rendszeren kívüli testek hatásából származnak, az Fjk − val jelölt belső erők, melyek a rendszeren belül, az egyes diszkrét pontok között hatnak. Az Fjk az a belső erő, amelyet a k-adik tömegpont fejt ki a j-edik tömegpontra. A külső erők általában adottak, míg a belső erőket legtöbbször nem ismerjük. A kísérleti tapasztalatok azonban azt mutatják, hogyha a merev test belső erőit szűkebb értelemben vett centrális erőnek tekintjük – azaz a belső erőknek van potenciálja - , akkor a merev test mozgása a gyakorlat számára kielégítő pontossággal leírható. Ez a feltételezés azt jelenti, hogy az Fjk belső erő a Pj és Pk pontot összekötő irányban hat. Az akció-reakció elve miatt pedig

122

Fkj = − Fjk .

2.98

Ezek a megállapítások – mint azt később látni fogjuk – a merev test kinetikájában döntő jelentőségűek. Az erőket más szempontok szerint is csoportosíthatjuk. Ha a tömegpontrendszer egyes pontjainak mozgására valamilyen megszorítást teszünk, a rendszer kényszermozgást végez. A kényszererők azok az erők, amelyek a kényszerfeltételek miatt lépnek fel, ill. éppen a kényszerfeltételt helyettesítik. A kényszererőket geometriai eredetű erőnek is nevezhetjük, mert ezek a rendszeren kívüli vagy a rendszer egyes részei között fennálló geometriai jellegű előírásoktól, feltételektől függenek. A rendszerre ható összes többi erő szabaderő. Ezeket fizikai eredetű erőknek nevezhetjük, mert hatásuk valamilyen fizikai jelenségből, törvényből ered. A szabad erők általában ismertek, a kényszererők nem, meghatározásuk éppen a feladat egyik része. Mind a szabaderők, mind a kényszererők lehetnek külső és belső erők is. A kétféle csoportosítás más szempont szerint történik. Amennyiben a merev testet különálló anyagi pontok összességének tekintjük, akkor a Pj és Pk anyagi pontok közötti, tömegvonzásból származó erő belső szabad erő, a merevségi feltétel miatt pedig az anyagi pontok egymáshoz viszonyított mozgása nem szabad ( r jk = áll.), e kötöttség miatt két tetszőleges pontot összekötő irányban belső kényszererő ébred. Ha a merev testnek – tehát a kötött pontrendszernek, mint egésznek - a mozgását valamilyen módon akadályozzuk, akkor az előírt mozgásfeltételek a külső kényszererők hatására valósulnak meg. Ha a merev test mozgására nézve semmiféle kikötést sem teszünk, akkor az a külső szabad erők hatására végez szabad mozgást. A merev test Pj pontjának alaptörvényét ugyanúgy írhatjuk fel, mint az anyagi pont kényszermozgásánál, azaz a szabad erőkhöz hozzávesszük a kényszererőket is és a mozgást szabad mozgásként kezeljük. Az előbbi csoportosításnak megfelelően: kényszer kényszer szabad kényszer ma j = m&r&j = R j = Fj + Fj + ∑ Fjk + ∑ Fjk , k =1

2.99/a

k =1

vagy összefoglalva a szabad és kényszererőket: m&r&j = R j = Fj + ∑ Fjk ,

2.99/b

k

ahol Fj – a j-edik tömegpontra ható összes külső erő eredője,

∑F

jk

– pedig a j.-edik tömegpontra ható összes belső erő eredője. (2.99/b)-ben a belső erőknél

k

az összegzés pontos jelölését elhagytuk és így tesszük a továbbiakban is mert mint látni fogjuk, a konkrét n érték, tehát az anyagi pontok számának ismerete csak elvi jelentőségű. A szumma alatt csak azt jelezzük, hogy melyik futóindex szerint kell az összegzést elvégezni. (2.99/b) ugyan formailag megadja a tetszőlegesen kiválasztott tömegpont gyorsulását, konkrét számításokhoz mégsem használható, mert – most az esetleg ismeretlen kényszererőktől eltekintve – a belső erők nagyságát nem ismerjük. A következőkben azonban látni fogjuk, hogy a belső erők tulajdonságaira vonatkozó feltételezések elegendőek ahhoz, hogy a merev test mozgását meghatározó összefüggéseket, tételeket levezessük. Mielőtt ezekre rátérnénk, meg kell ismerkednünk a merev test egy fontos geometriai jellemzőjével.

123

2.3.2. A MEREV TEST TEHETETLENSÉGI (INERCIA) NYOMATÉKA A merev test valamely n tengelyre vonatkozó tehetetlenségi vagy inercianyomaték vektora alatt a

J n = ∑ m j r j x(nxr j ),

2.100/a

j

vagy határátmenettel a J n = ∫ rx(nxr)dm

2.100/b

m

összefüggéssel definiált mennyiséget értjük, ahol n – az n jelű tengely egységvektora (2.26. ábra). Az így definiált mennyiség meglehetősen bonyolultnak tűnik és nemigen értelmezhető szemléletesen, de később látni fogjuk, hogyan alakult ki ez a kettős vektorszorzat, a vektormennyiség analízisével pedig szemléletes mennyiségeket nyerünk. Határozzuk meg a J n vektor n tengelyre és arra merőleges m tengelyre vett vetületét.

J n = J n n = n ∑ m j rj x ( nxrj ) = n ∑ m j [n ( rj rj ) − rj ( nrj )] = j

∑ m [n j

2

j

]

[

]

r j2 − (n r j ) 2 = ∑ m j r j2 − r jn2 = ∑ d 2j m j ,

j

j

j

2.101/a vagy határátmenettel J n = ∫ d 2 dm.

2.101/b

2.26. ábra

Az m tengely merőleges az n-re, így n.m = 0.

[

]

[

]

J nm = J n m = m ∑ m j r j x (nxr j ) = m ∑ m j n(rj r j ) − r j (nr j ) = ∑ m j (mn)(rj r j ) − (mr j )(nr j ) = j

j

= −∑ r jn r jm m j ,

j

2.102/a

j

határátmenettel

J nm = ∫ rn rm dm. m

2.102/b

124

A (2.101) és (2.102) kifejezések azt mutatják, hogy Jn és Jnm a szilárdságtanban megismert másodrendű nyomaték. A különbség csak anynyi, hogy most térbeli idomról van szó és a jellemző mennyiség a tömeg. (2.101)-ben a d a merev test pontjainak n tengelytől mért távolságát jelenti, ezért ezt tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. (2.102)ben rn a merev test pontjainak az n – m tengelyekre merőleges, de az m tengelyt tartalmazó síktól mért távolsága, rm pedig az erre a síkra merőleges, tehát az n tengelyt tartalmazó síktól mért távolság (2.27. ábra). Ezt a mennyiséget vagy deviációs tehetetlenségi centrifugális nyomatéknak hívjuk. 2.27. ábra Tétel: A merev test tetszőleges tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékvektorát mindig megadhatjuk egy tenzor mátrixának és a tengely egységvektorából alkotott oszlopmátrixnak a szorzatával, ami azt jelenti, hogy a merev test tehetetlenségi nyomatéka tenzormennyiség. Bizonyítás: Helyettesítsük be az n = n x i + n y j + n z k egységvektort (2.100/b)-be:

[

]

J n = ∫ rx (n x i + n y j + n z k)xr dm = n x ∫ rx( i xr)dm + n y ∫ rx(jxr)dm + n z ∫ rx(kxr)dm = m

m

m

m

= Ji n x + J jn y + J k n z . 2.103/a Itt J i , J J , J k − a definíció értelmében – a merev test tehetetlenségi nyomatékvektora az x, y és z tengelyre. Az iránycosinuszok átalakításával: J n = J i (n i ) + J j (nj) + J k (nk),

2.103/b

Ezek szerint, ha ismerjük három egymásra merőleges és egy pontban metsződő tengelyre a merev test tehetetlenségi nyomatékvektorát, akkor a metszésponton átmenő bármely tengelyre vonatkozót (2.103/b)-vel 2.28. ábra meghatározhatjuk. A kifejezésben J n vektor, ill. komponensei az n változónak (komponenseinek) lineáris homogén függvénye. Az ilyen vektoregyenletet, ill. skalár egyenletrendszert mindig felírhatjuk egy tenzormennyiség mátrixának és az egységvektor mátrixának szorzataként:

125

J n, = Tj n

2.103/c

Tj -t tehetetlenségi (inercia-) tenzornak nevezzük. A tenzort reprezentáló mátrixnak a térben 32=9 eleme van. (2.103/b)-ből megállapíthatjuk, hogy a mátrix oszlopait a J i , J j és J k vektorok komponensei alkotják. Jelöljük a J i három komponensét Jx, Jxy, Jxz-vel. Ekkor a 2.28. ábra

[

]

J x = J i i = i ∫ rx( i xr)dm = i ∫ i (rr) − r( i r) dm = m

m

∫ [(i i)(r) − (i r)(i r)]dm = m

= ∫ (r 2 − x 2 )dm = ∫ (y 2 + z 2 )dm. m

2.104/a

m

Az utolsó zárójelben lévő mennyiség az r helyvektorú pont x tengelytől mért távolsága. Jx tehát a merev test x tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka. Hasonló módon kapjuk az y és z tengelyre vonatkozó inercianyomatékokat: J y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm,

J z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm.

m

2.104/b,c

m

J i − nek az y tengelyre vett vetülete:

[

]

[

]

− J xy = − J i j = j∫ rx( i xr)dm = − j∫ i (rr) − r( i r) dm = − ∫ (j i )(rr) − (jr)( i r) dm = ∫ xydm, ... m

m

m

m

2.105/a Hasonlóan − J xy = J j i = ∫ xydm = ∫ yxdm = − J yx . m

m

Jxy = Jyx tehát a merev testnek az x – z és y – z koordinátasíkokra vonatkozó deviációs nyomatéka. Analóg számítással kapjuk a másik négy deviációs nyomatékot:

J yx = J zy = ∫ yzdm,

J xz = J zx = ∫ xzdm.

m

2.105/b,c

m

Ezzel a tehetetlenségi tenzor mátrixa:

 Jx  TJ = − J xy  − J xz 

− J yx Jy − J yz

− J zx   − J zy  J z 

2.106

(2.105) miatt a mátrix szimmetrikus, így a tehetelenségi tenzort hat skaláradattal jellemezhetjük.

126

Bevezethetjük még a síkra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték fogalmát, a koordinátarendszer síkjaira:

J xx = ∫ x 2 dm,

J yy ∫ y 2 dm,

m

J zz = ∫ z 2 dm,

m

2.107/a,b,c

m

valamint a pontra vonatkozó vagy poláris tehetetlenségi nyomatékot:

J 0 = ∫ r 2 dm

2.108

m

Tétel: Több részre bontható merev test tengelyre (síkra, síkokra, pontra) vett tehetetlenségi nyomatéka egyenlő részeinek ugyanazon tengelyre (síkra, síkokra, pontra) vett tehetetlenségi nyomatékainak algebrai összegével (összegzési tétel). Bizonyítás: A definícióból következik, hiszen

J n = ∑ d 2j m j = ∑ J nj j

2.109

j

Tétel: Ha a merev testet ki lehet egészíteni úgy, hogy mind a kiegészítés, mind a kiegészített test tehetetlenségi nyomatékát ismerjük, akkor az eredeti test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a kiegészített merev test és a kiegészítés tehetetlenségi nyomatékának különbségével (kiegészítési tétel). Bizonyítás: Legyen J a 2.29. ábrán látható „kiegészített” test tehetetlenségi nyomatéka. Egészítsük ki a testet derékszögű hasábbá és alkalmazzuk az összegzési tételt:

J kiegészített = J + J kiegészítés , innen

J = J kiegészített − J kiegészítés .

2.29. ábra

2.110

Tétel: A poláris tehetetlenségi nyomaték egyenlő a vonatkoztatási ponton átmenő, három egymásra merőleges síkra vett tehetetlenségi nyomaték összegével vagy a ponton át felvett három, egymásra merőleges tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték összegének felével. Bizonyítás:

(

)

J 0 = ∫ r 2 dm = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dm = ∫ x 2 dm + ∫ y 2 dm + ∫ z 2 dm = J xx + J yy + J zz , m

ill.

m

m

m

m

127

J 0 = ∫ r 2 dm = m

=

[

]

1 x 2 + y 2 + x 2 + z 2 + y 2 + z 2 dm = 2 m∫

,

  2   2   1 1  2 2 2 2  ∫ y + z dm +  ∫ x + z dm +  ∫ x + y dm  = (J x + J y + J z ) . 2  m  m  m   2

2.112

Tétel: A merev test deviációs nyomatéka nulla, ha legalább az egyik vonatkoztatási sík szimmetriasík. Bizonyítás: Könnyem beláthatjuk, hogy két szimmetrikusan elhelyezkedő tömegelem deviációs nyomatéka csak előjelben különbözik, tehát a kettő összege zérus. A teljes szimmetria miatt minden tömegelemnek van párja, így a teljes deviációs nyomaték is nulla. Tétel: A merev test súlypontsán átmenő tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot úgy kapjuk, hogy a súlyponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékhoz hozzáadjuk a terst tömegének és a két tengely közötti távolság négyzetének szorzatát (Steiner -tétel). Bizonyítás: Vegyük fel a merev test súlypontján át egy nS tengelyt és tőle t távolságra egy párhuzamos n tengelyt (2.30. ábra). A párhuzamosság miatt mindkét tengely egységvektora n. A definíció szerint az n tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékvektor:

J n = ∑ m j r j x(nxr j ). j

Az ábra szerint

r j = rS + rSj , így

[

]

J n = ∑ m j (rS + rSj )x(nx rS + rSj ) = ∑ m j rS x(nxrSj ) + j

j

+ ∑ m j rS x(nxrS ) + rS x(nxrS + ∑ m j rS j x(nxrS ) =∑ m j rS x(nxrSj ) = j

j

j

    = ∑ m j rS j x(nxrSj ) + rS x(nxrS )∑ m j + ∑ m j rSj  x(nxrS ) +rS x(nx ∑ m j rSj  ) . j j  j   j  A fenti kifejezés harmadik és negyedik tagja nulla, mert a

∑m r / ∑m j Sj

j

j

a súlypont helyvekto-

j

ra egy olyan koordinátarendszerben, melynek kezdőpontja éppen a súlypont, az első tag pedig a súlyponton átmenő nS tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékvektor. Ezzel J n = J nS + mrS x(nxrS ).

2.113

128

A tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték:

[

]

J n = J n n = J nS n + mn [rS (nxrS )] = J nS + mn [n(rS rS ) − rS (nrS )] == J nS + m rS2 − (nrS ) 2 = J nS + mt 2 , 2.114 hisz az utolsó szögletes zárójelben lévő mennyiség éppen a két tengely közötti távolságot jelenti. Nem szabad szem elől tévesztenünk, hogyha egyik tengely sem megy át a súlyponton a tétel nem igaz. (2.114) szerint Jn-t vagy JnS-t kell ismerni, hogy a másikat meghatározhassuk. Az olvasó könnyen bizonyítja, hogy a Steiner-tétel párhuzamos síkok esetén síkra vett és deviációs nyomatékokra is érvényes. Két párhuzamos sík esetén 2.30. ábra 2.115 J xx = J x S x S + mt 2 , ahol JxxS – a súlyponton átmenő síkra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, t – a két párhuzamos sík távolsága. Deviációs nyomaték esetén

J xy = J x S yS + mt 1 t 2 ,

2.116

Itt J xS yS – a súlyponton metsződő két, egymásra merőleges síkra vett deviációs nyomaték, t1 és t2 a párhuzamos síkok előjelhelyes távolsága. Mivel a tengelyre és a síkra vett tehetetlenségi nyomaték a definíció értelmében csak pozitív lehet, a Steiner-tétel azt mutatja, hogy a súlyponton átmenő tengelyre vagy síkra számított inercianyomaték a legkisebb. A fenti tételek alkalmazása lehetővé teszi, hogy a merev test tehetetlenségi nyomatékát ne mindig a definícióból kiindulva határozzuk meg. Általában arra törekszünk, hogy megkeressük a súlypontra vonatkozó tehetetlenségi tenzor mátrixát, ennek ismeretében ugyanis bármely tehetetlenségi jellemző számítható. Célszerű felírni a tengelyre vonatkozó, ill. deviációs nyomatékokat skalár alakban is. Ha ismerjük valamilyen pontban a tehetetlenségi tenzor mátrixát, akkor a ponton átmenő n tengelyre:

[

J n = n Tn = n x

ny

 Jx  n z − J xy  − J xz 

]


− J zx  n x   − J zy   n y  = J z   n z 

= J x n 2x + J y n 2y + J z n 2z − 2J xy n x n y − 2J yz n y n z − J zx n z n x A deviációs nyomaték ( m ⊥ n ):

.

2.117

129

[

Jnm = m Tn = n Tm = J mn = m x

my

 Jx  m z − J xy  − J xz 

]


− J zx  n x   − J zy  n y  = J z   n z 

= J x n x m x + J y n y m y + J z n z m z − J xy (n x m y + n y m x ) − J yz (n y m z − n z m y ) − J zx (n z m x − n x m z ) . 2.118 Tétel: Valamely pontban az n tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékvektor k irányú vetülete megegyezik a k tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékvektor n irányú vetületével (reciprocitási tétel). Bizonyítás: A tehetetlenségi tenzor mátrixának szimmetriája miatt a T b = b T a, ahol a és b tetszőleges vektorok. Így J nk = kJ n = k Tn = n Tk = nJ k = J kn .

2.119

A tétel formailag megegyezik a feszültségelmélet reciprocitási tételével. Ha k ⊥ n , akkor a deviációs nyomatékokat kapjuk, amelyek egyenlőségét már más úton beláttuk, és ami a dualitástétel megfelelője. Tétel: Egy adott ponthoz mindig három, egymásra merőleges tengely (irány), amelyekre a megfelelő tehetetlenségi nyomatékvektorok beleesnek a tengelyekbe (a főtehetetlenségi nyomatékok tétele). Bizonyítás: Legyen az egyik - tételnek megfelelő tengely egységvektora e q = e qx i + e qy j + e qz k

(q = 1,2,3).

A tétel értelmében: J q = J q eq . A reciprocitási tétel értelmében a J q x, y, z tengelyekre vett vetületei megegyeznek a J i , J j és J k vektornak az e q irányra eső vetületeivel.

2.31. ábra

J qx = J q i = J q e q i = J q e qx = J i e q = J x e qx − J xy e qy − J xz e qz ,

J qy = J q j = J q e q j = J q e qy = J j e q = −J yx e qx + J y e qy − J yz e qz ,

130

J qz = J q k = J q e q k = J q e qz = J k e q = − J x e qx − J zy e qy + J z e qz . Rendezés után az iránycosinuszokra vonatkozó feltételt is figyelembe véve, egy négy ismeretlent tartalmazó, négy egyenletből álló egyenletrendszert nyerünk:

( J x − J q )e qx − J yx e qy − J zx e qz = 0,

2.120/a

− J xy e qx + ( J y − J q )e qy − J zy e qz = 0,

2.120/b

− J xz e qx − J yz e qy + ( J z − J q )e qz = 0,

2.120/c

2 2 2 e qx + e qy + e qz = 1.

2.120/d

Az utolsó kifejezésből következik, hogy mindhárom iránycosinusz egyszerre nem lehet nulla. A nem triviális megoldás feltétele pedig az, hogy a (2.120/a, b, c) együttható mátrixának determinánsa nullával legyen egyenlő. A determinánst kifejtve egy harmadfokú egyenletet nyerünk a Jq ismeretlenre: J 3q − T1J q2 + T2 J q − T3 = 0,

2.121

melyet karakterisztikus egyenletnek nevezünk, s amelyben

T1 = J x + J y + J z , T2 =

Jx − J xy

Jx T3 = − J xy − J xz

Jx − J yx + Jy − J xz

− J yx

− J zx

Jy − J yz

− J zy , Jz

Jy − J zx + Jy − J yz

− J zy , Jz

az invariáns együtthatók. A tehetetlenségi tenzor mátrixának szimmetriájából és a tengelyre vett inercianyomaték definíciójából következik, hogy (2.121) mindhárom gyökre valós és pozitív. Megállapodás szerint a gyököket nagyság szerint sorbaállítjuk: J1 ≥ J 2 ≥ J 3 , és főtehetetlenségi nyomatéknak nevezzük őket. Ha valamelyik főtehetetlenségi nyomatékot viszszahelyettesítjük (2.120) első két egyenletébe és hozzávesszük (2.120/d-t, akkor meghatározhat-

131

juk az adott főtehetetlenségi nyomatékhoz tartozó e q irányt, melyet főtehetetlenségi iránynak (tengelynek) hívunk. A főirányok által alkotott síkok neve tehetetlenségi fősík (2.31. ábra). Lássuk be most, hogy a főirányok egymásra merőlegesek. A reciprocitási tétel alapján J 12 = J 21 ,

azaz

J 1 e1 e 2 = J 2 e 2 e1 ,

átrendezve ( J 1 − J 2 ) e1 e2 = 0 . Ha J 1 ≠ J 2 , akkor az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha e1 e 2 = 0, tehát e1 ⊥ e 2 . Amennyiben J1 = J2, akkor az egyenlőség a skalárszorzattól függetlenül teljesül, ami azt jelenti, hogy e1 és e 2 tetszőleges szöget zárhat be egymással. Könnyen bizonyíthatnánk, hogy ebben az esetben minden 1 – 2 fősíkban lévő irányhoz ugyanaz a tehetetlenségi nyomaték tartozik, vagyis ebben a síkban minden irány főirány, benne tetszőlegesen választhatunk ki két egymásra merőleges tengelyt. Teljesen analóg módon igazolható az e1 , e 3 és az e 2 , e 3 tengelyek merőlegessége is. A főirányok tehát páronként merőlegesek egymásra. Ha J1 = J2 = J3, akkor nincsenek kitüntetett irányok, minden tengely főtengelynek tekinthető és minden tengelyre ugyanaz a tehetetlenségi nyomaték (pl. gömb, vagy kocka esetén). A főtehetetlenségi irányokat a kiinduló koordinátarendszer tengelyeinek is tekinthetjük. A koordinátarendszer síkjaira, mint fősíkokra deviációs nyomatékok – a tétel értelmében – eltűnnek (J12 = J23 = J31 = 0), a tehetetlenségi nyomaték tenzorának mátrixa igen egyszerű formát ölt:

J 1 T J =  0  0

0 J2 0

0 0  J 3 

2.120

A főtehetetlenségi tengelyrendszer egyik előnye éppen az, hogy a számítások technikai része lényegesen leegyszerűsödik a mátrix sok nulla eleme miatt. (2.117) például az alábbi alakot ölti:

J n = J 1 n 12 + J 2 n 22 + J 3 n 32 ,

2.121

természetesen nem szabad szem elől tévesztenünk, hogy az n egységvektort is a főtengelyrendszerben kell megadnunk. Szimmetrikus testeknél a főtehetetlenségi irányok meghatározása egyszerűsödik. Ha a testnek van legalább egy szimmetriasíkja, akkor az egyben egyik fősíkja is, hiszen erre a síkra lés bármely másik, a szimmetriasíkra merőleges síkra vett deviációs nyomatékok nullák. A szimmetriasíkban tehát két főirány van, a harmadik főirány pedig ezekre merőleges. Ha a merev test forgástest, azaz szimmetriatengelye, akkor ez a tengely egyben egyik főirány, a másik két főirány pedig merőleges a forgástengelyre. Képzeljük a test tömegét egy pontba sűrítve, ha a pont távolsága valamely n tengelytől in, akkor az m tömegű anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka

132

J n = mi 2n

2.122

a definíció értelmében in-t a merev test n tengelyre vonatkozó inerciasugarának nevezzük. Tétel: Ha egy 0 ponton át felvehető összes n irányra felmérjük a 0 ponttól kezdve az in inerciasugarak reciprokát, akkor ezek végpontjainak összessége egy elipszoid felületet alkot. Bizonyítás: Legyen az n egyenesen az 0 ponttól felmért 1 r= in távolságú pont három koordinátája x, y, z. Ekkor az iránycoszinuszok:

nx =

x = xi n , r

ny =

y = yi n , r

nz =

z = zi n . r

(2.117)-be helyettesítve és (2.122)-t is figyelembe véve: J x 2 J y 2 J z 2 2J xy xy − x + y + z − m m m m 2J yz 2J − yz − zx zx = 1 . m m

2.32. ábra

2.123

Ez egy olyan másodrendű felület (ellipszoid, paraboloid vagy hiperboloid) egyenlete, melynek centruma az 0 pont (ez a lineáris tagok hiányából következik). Jn sohasem lehet nulla, így in sem, ami azt jelenti, hogy – r 〈 ∞ miatt – a felületnek nincsen végtelen távoli pontja, tehát csak ellipszoid lehet. A felületet tehetetlenségi ellipszoidnak nevezzük (2.32. ábra). Ha tudjuk, hogy az ellipszoidot az n tengely mekkora r távolságban metszi, akkor a merev testnek erre a tengelyre vonatkozó inerciasugara, ill. tehetetlenségi nyomatéka:

1 in = , r

Jn =

m . r2

Az ellipszoid egyenlete egyszerű alakot vesz fel, ha a koordinátarendszernek a főtehetetlenségi tengelyek irányait választjuk. Ebben a rendszerben a deviációs nyomatékok eltűnnek, a tengelyekre vonatkozók pedig J1, J2, J3. (2.123) tehát így alakul:

J1 2 J 2 2 J 3 2 x + y + z = 1, m m m

2.124

133

amiből rögtön látszik, hogy az ellipszoid nagytengelyei egybeesnek a főtehetetlenségi irányokkal, a féltengelyek nagysága pedig

r1 =

1 = i1

m , J1

r2 =

1 = i2

m , J2

r3 =

1 = i3

m . J3

Ebből már igen szemléletesen látszik, hogy az 1-es és a 3-as főtehetetlenségi tengely az az irány, amelyre a lehető legnagyobb, ill. legkisebb a tehetetlenségi nyomaték. Adott merev test esetén a tér minden pontjához tartozik egy, pontonként különböző helyzetű és nagyságú ellipszoid. Ezek közül gyakorlatilag a legnagyobb jelentőségű a súlyponthoz tartozó, ún. centrális ellipszoid. A centrális ellipszoid a legnagyobb, mert – a Steiner-tétel értelmében – a súlyponton átmenő tengelyekre a legkisebb a tehetetlenségi nyomaték s így az inerciasugárzás is. A térbeli szerkesztés kényelmetlensége miatt a tehetetlenségi nyomatékokat a feszültségelméletben megismert Mohr-féle körök segítségével síkban is ábrázolhatjuk. Az analógiát felhasználva a tehetetlenségi nyomatékokra vonatkozó tételt bizonyítás nélkül mondjuk ki. Tétel: Egy adott ponton átmenő, tetszőleges irányhoz tartozó tehetetlenségi nyomatékvektor végpontja a Mohr-féle tehetetlenségi körívháromszögbe vagy speciális esetben valamelyik körívre esik. A vektor vízszintes vetülete a tengelyre vett, függőleges vetülete a deviációs nyomaték. A főkörök megrajzolásához a három főtehetetlenségi nyomaték ismeretére van szükség.

2.33. ábra Az n irányhoz tartozó nyomatékvektor szerkesztésének módja a 2.33. ábráról leolvasható. 2.3.3. A MEREV TEST KINETIKAI TÉTELEI Sztatikai tanulmányainkból tudjuk, hogy az

134

∑m r

j j

rS =

j

∑m

,

2.125/a

j

j

vagy határátmenettel

∫ rdm

rS =

m

∫ dm

2.125/b

m

kifejezés a merev test tömegközéppontjának helyét adja (ha a merev test nem túl nagy és sűrűsége homogén eloszlású, akkor a tömegközéppont egybeesik a súlyponttal, amit a továbbiakban mindig felteszünk). A merev test (teljes) impulzusa vagy mozgásmennyisége alatt az anyagi pontnak képzelt résztömegeinek mozgásmennyiségéből képzett vektoriális összeget értjük. Tehát 2.34. ábra

I = ∑ I j = ∑ m jv j j

2.126

j

Tétel: A merev test impulzusát megkapjuk, ha teljes tömegét szorozzuk súlypontjának sebességvektorával (első súlyponttétel). Bizonyítás: (2.126)-ban helyettesítsük v j = v p + ωxrpj − t :

ˆ xmrpS , I = ∑ m j v j = ∑ m j ( v p + ω xrpj ) = ∑ m j v p + ω x ∑ m j rpj = mv p + ω j

mert (2.125/a) szerint

j

j

∑m r

j pj

j

a súlypont helyvektorának az m-szerese a P kezdőpontú koordiná-

j

tarendszerben. Ha a súlypontot választjuk vonatkoztatási pontnak, azaz P ≡ S, akkor rSS = 0, így I = mv S .

2.127

A teljes impulzus meghatározásához tehát – a tömegen kívül – csak a súlypont sebességének ismerete szükséges. Tétel: A merev test impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható külső (szabad és kényszer) erők eredőjével (az impulzuss tétel differenciál alakja).

135

Bizonyítás: Ha a merev test Pj pontjára a (2.99/b)-vel megadott külső és belső erők hatnak, akkor a pontra vonatkozó impulzustétel szerint:

&I = R , összegezve a test minden pontjára: j j

∑ &I j

j

=

d dI & Ij = = I = ∑ R j = ∑ Fj + ∑ ∑ dt j dt j j j

∑ k

Fjk = ∑ Fj = F, j

hiszen a két szummás tag eltűnik, mert az Fjk és Fkj belső erők csak előjelben különböznek, a belső erők páronként egyensúlyban vannak. Ha F -fel jelöljük a külső erők eredőjét, akkor &I = F.

2.128

A tételt integrál formában is megfogalmazhatjuk: Tétel: A t2 – t1 időintervallumban a merev test impulzusának megváltozása egyíenlő a külső erők eredőjének lökésével (az impulzus tétel integrál alakja). Bizonyítás: Alakítsuk át (2.128)-at: I2

t2

I1

t1

∫ dI = ∫ Fdt,

ahonnan t2

I 2 − I1 = ∫ Fdt .

2.129

t1

Tétel: A merev test súlypontjának gyorsulása megegyezik a súlypontban egyesített m tömegű anyagi pont gyorsulásával, ha arra a (z önmagukkal párhuzamosan a súlypontba tolt) külső erők eredője hat (második súlyponttétel). Bizonyítás: (2.127) és (2.128) felhasználásával:

d d F = &I = I = mv S = ma S . dt dt

2.130

Mint látjuk, a súlypontnak a kinematikában is kitüntetett szerepe van. A merev test mozgását súlypontjának mozgásával jellemezhetjük, a test mozgását tehát anyagi pont mozgásaként tárgyalhatjuk, mint ahogy a Newton törvénye is hallgatólagosan ezt teszi. A tétel szerint a belső erők nincsenek hatással a súlypont mozgására. A nyugvó súlypontot belső erők sohasem hozhatják mozgásba, annak mozgásállapotát csak belső erőkkel lehet megváltoztatni. Ezeknek a megállapításoknak különösen több merev testből álló szerkezetek esetén van nagy jelentősége.

136

Tétel: Ha a merev testre ható külső erők eredője zérus, súlypontja egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgást végez vagy nyugalomban van (az impulzus megmaradási tétele). Bizonyítás: (2.128) szerint &I = 0, azaz

I = mv S = áll.

2.131

Ha a kezdő pillanatban a súlypont sebessége nulla, a test impulzusa és sebessége a vizsgált időszakban mindig nulla marad. A merev test pontra vagy tengelyre vonatkozó (teljes) perdülete vagy impulzusmomentuma alatt a

π 0 = ∑ π 0 j = ∑ ( r0 j xm j v j ), ill. a π n = ∑ π nj j

j

2.132/a,b

j

mennyiséget értjük. Tétel: A merev test súlypontra vonatkozó perdületének és impulzusának ismeretében a tetszőleges P pontra vonatkozó perdület π p = πS + rPS xI ,

2.133

ahol rPS - a P pontból a súlypontba mutató helyvektor (2.35. ábra). Bizonyítás:

π P = ∑ π Pj = ∑ ( rPj xm j v j ) = ∑ ((rPS + rSj ) xm j v j ) = j

j

j

= rPs x ∑ m j v j + ∑ ( rSj xm j v j ) = πS + rPS xmv S = πS + rPS xI. j

j

A tétel értelmében elegendő, ha a súlypontra vonatkozó perdület meghatározásának törvényszerűségét ismerjük.

2.35. ábra

Tétel: A merev test saját súlypontjára vonatkozó pillanatnyi perdületét megkapjuk, ha a súlyponton átmenő, a pillanatnyi szögsebességvektorral párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték vektorát szorozzuk a pillanatnyi szögsebesség nagyságával, vagy a súlypontra vonatkozó tehetetlenségi tenzorának mátrixát szorozzuk a pillanatnyi szögsebességvektorral.

137

Bizonyítás: Válasszuk vonatkoztatási pontnak a vP sebességgel mozgó P pontot a 2.36. ábrának megfelelően. (1.39) és ω = ωeω felhasználásával a definíció szerint:

π P = ∑ ( rPj xm j v j ) = ∑ (rPj xm j ( v P + ω xrPj )) = j

j

= ∑ ( rPj m j xv P ) + ∑ (m j rPj x ( ω xrPj ) = j

j

= (∑ m j rPj ) xv P + ω∑ (m j rPj x ( e ω xrPj )). j

2.36. ábra

j

∑m r

A

j Pj

most is a súlypont helyvektorával

j

arányos mennyiség a P kezdőpontú koordinátarendszerben. A második tag ω utáni kifejezése – mint már tudjuk – a merev tehetetlenségi nyomatékvektora a P ponton átmenő eω tengelyre (a 2.100)-as definíciót éppen ez az összefüggés indokolja). A (2.103)-t is figyelembe véve: π P = rPS xmv P + ωJ Pe = rPS xmv P + ω(T J P e ω ) = rPS xmv P + T J P ω.

2.134

ω

Ha a P pont rögzített, azaz v P = 0, (2.134)-ben az első tag nulla. De eltűnik az első tag abban a gyakorlatilag igen fontos esetben is, ha vonatkozási pontnak a súlypontot választjuk. Ilyenkor ugyanis rSS = 0, így πS = ωJ Se = T JS ω.

2.135/a

ω

Tétel: A merev test valamely helytálló pontra vagy tengelyre vett perdületének idő szerinti deriváltja egyenlő a külső erők ugyanazon pontra vagy tengelyre számított forgatónyomatékával (a perdülettétel differenciál alakja). Bizonyítás: dπ d π& 0 = 0 = ∑ ( r j xm j v j ) = ∑ ( r j xm j v j ) + ∑ ( r j xm j v j ) = ∑ ( v j xm j v j ) + dt dt j j j j

+ ∑ ( r j xm j a j ) = ∑ ( r j xR j ) = ∑ ( r j x ( Fj + ∑ Fjk )) = ∑ ( r j x Fj ) + ∑ ( r j x ∑ Fjk ) = j

j

j

k

= ∑ ( r j x Fj ) = ∑ M 0 j = M 0 , j

j

mert a belső erők nyomatéka páronként nulla, hiszen

j

j

k

138

r j x Fjk + rk x Fkj = r j x Fjk − rk x F = ( r j − rk ) x Fjk = r jk x Fjk = 0, ugyanis rjk Fjk . A belső erők nyomatéka tehát bármely pontra nulla. Végeredményben

π& 0 = ∑ ( r j xFj ) = M 0 .

2.135/b

j

Az 0 ponton átmenő n irányú tengelyre vonatkoztatva: π n = π0 n , ezzel d( π0 n ) & dπ π& n = n = = π 0 n = M 0 n = M n . 2.135/c dt dt 2.37. ábra Tétel: A t2 – t1 időintervallumban a merev test valamely helytálló pontra vagy tengelyre vett perdületének megváltozása egyenlő a külső erők ugyanazon pontra vagy tengelyre számított nyomatéklökésével (a perdület-tétel integrál alakja). Bizonyítás: (2.135/c)-ből: π02

∫ dπ

π01

t2

0

= ∫ M 0 dt , t1

ahonnan t2

π 02 − π 01 = ∫ M 0 dt ,

2.136/a

t1

vagy hasonlóan πn 2

∫

πn1

t2

dπ n = ∫ M n dt t1

és t2

π n 2 − π n1 = ∫ M n dt.

2.136/b

t1

A belső erők a perdülettételben sem szerepelnek, így azok a test perdületét sem tudják megváltoztatni. Tétel: Ha a merev testre ható külső erők nyomatéka valamely helytálló pontra vagy tengelyre nulla, akkor a mozgás folyamán a perdület állandó (a perdület megmaradásának tétele, ill. a felületi tétel általánosítása). Bizonyítás: ( 2.135/a) alapján:

139

π& 0 = 0,

π& n = 0,

így

π 0 = áll.

és π n = áll.

2.137

Az impulzus és a perdület megmaradási tételeinek elsősorban a pontrendszerek, ill. a szerkezetek kinematikájában van nagy jelentőségük. A merev test mozgásának vizsgálata során sokszor célszerű a perdülettételt a test valamelyik mozgó pontjára vagy a testtől függetlenül mozgó pontra felírni. Nézzük meg, nem változik-e meg a perdülettétel alakja, ha v P sebességű P pontra vonatkoztatjuk. Tétel: A mozgó pontra vonatkoztatott perdület idő szerinti deriváltja a merev testre ható külső erők nyomatékának és a v p xI vektorális szorzat különbségével egyenlő. Bizonyítás:

d d π& P = ∑ ( rPj xm j v j ) = ∑ ((rj − rP ) xm j v j ) = dt j dt j =

d d ( r j xm j v j ) − ∑ ( rP xm j v j ) = ∑ dt j dt j

2.38. ábra

[

]

− ∑ ( v P xm j v j ) + ( rP xm j a j ) = ∑ (( rj − rP ) xR j ) − v P x ∑ m j v j = ∑ ( rPj xR j ) − v P xmv S , j

j

j

j

végül

π& P = M P − v P xI = M P − v P xmv S .

2.138

Mozgó vonatkoztatási pont esetén a perdülettétel tehát csak ebben a módosított formában érvényes. (2.138) második tagja azonban eltűnik, ha v S = 0 vagy v P v S . Abban a gyakorlatilag legfontosabb esetben, mikor vonatkoztatási pontnak a súlypontot választjuk, a súlypont mozgásától függetlenül a

π& S = M S ,

2.139

eredeti alakban érvényes. A merev test (teljes) kinetikai energiájának az

1 E = ∑ E j = ∑ m j v 2j j j 2 mennyiséget nevezzük.

2.140

140

Tétel: A merev test kinetikai energiájának megváltozása a t2 – t1 időszakban egyenlő a külső erők ezen időszak alatt végzett munkájával (munkatétel). Bizonyítás: Alakítsuk át a Pj pont mozgásegyenletét a már ismert módon:

m ja j = R j → m j

dv j dr j dr j dt

= Rj

innen m j v j dv j = R j dr j . Összegezzük a fenti mennyiséget a merev testet alkotó összes anyagi pontra és integráljuk mindkét oldalt:

∑ m v dv = ∑ R dr = ∑ ( F + ∑ F j

j

j

j

j

j

jk

j

j

j

)dr j = ∑ Fj drj + ∑∑ Fjk dr j .

k

j

j

k

Ha figyelembe vesszük, hogy merev test esetén

drk = dr j + d ϕxr jk , hiszen a Pk pont Pj-hez viszonyított elmozdulása (1.42)-nek megfelelően csak köríven való elmozdulás lehet és Fjk r jk , akkor a belső erők elemi – s ezzel a véges is – munkája páronként nulla: Fjk drj + Fkj drk = Fjk (dr j − drk ) = Fjk (dr j − dr j − d ϕ xrjk ) = − Fjk (d ϕ xr jk ) = 0.

Térjünk vissza az eredeti kifejezésünkhöz és végezzük el az integrálást: 1 ∑j 2m j v12

rj 2 v j2 v j1

=

∫ ∑ F dr = ∑ W j

rj1

j

j

j

=W

2.141

j

(2.140)-t is figyelembe véve: E2 - E1 = W Tétel: A merev test pillanatnyi teljesítménye független a belsőerőktől és mindig felbontható egy transzlációs és egy rotációs részre. Bizonyítás: A v j sebességű Pj pontra ható R j eredő erő teljesítménye (2.39. ábra): Pj = R j v j .

A merev testre ható összes erő teljesítménye (1.39)-et is figyelembe véve:

141

P = ∑ Pj = ∑ R j v j = ∑ (( Fj + ∑ Fjk )( v 0 + ω xr0 j )) = j

j

j

k

+ ∑ Fj v 0 + ∑∑ Fjk v 0 + ∑ Fj ( ω xr0 j ) + ∑ (∑ Fjk ( ω xr0 j )) = j

j

k

j

j

k

= v 0 ∑ Fj + v 0 ∑∑ Fjk + ω ∑ ( r0 j x Fj ) + ω(∑ ( r0 j x ∑ Fjk )). j

j

k

j

j

k

Már korábban is beláttuk, hogy a kifejezés második és negyedik tagja nulla. A belső erők összteljesítménye eltűnik, összhangban azzal, hogy a belső erők munkája is zérus. Mivel F = ∑ Fj a külső erők eredője, j

M 0 = ∑ ( r0 j xFj ) pedig a külső erők nyomaj

téka a 0 pontra a kifejezés a

P = F.v 0 + M 0 ω = Ptransz + Prot

2.142

alakot ölti. A teljesítmény ilyen felosztása természetesen a vonatkoztatási pont választásától függ. Ha a vonatkoztatási pont pillanatnyi sebessége nulla, akkor a teljesítmény transzlációs része eltűnik.

2.39. ábra

Tétel: A merev test kinematikai energiájának idő szerinti deriváltja a külső erők pillanatnyi teljesítményével egyenlő. Bizonyítás: Az anyagi pontra vonatkozó analóg tétel: E& j = R j v j = Pj + ∑ Pjk . k

Az egész testre összegezve:

∑ E& j

j

=

d E j = E& = ∑ Pj + ∑∑ Pjk = ∑ Pj = P, ∑ dt j j j k j

2.143

hisz már előbb beláttuk, hogy a belső erők összteljesítménye nulla. Tétel: A merev test kinematikai energiája mindig felírható a kinematikai mozgásjellemzőkhöz kapcsolódó részenergia összegeként.

142

Bizonyítás: Alakítsuk át (2.140)-et a v j = v 0 + v 0 j , a v 0 j = ω xr0 j , az ω = ω e ω kifejezések és a négyes vektorális szorzat azonosságának felhasználásával (2.40. ábra).

1 1 E = ∑ m j v 2j = ∑ M j ( v 0 + v 0 j ) 2 = j 2 J 2 1 1 = v 02 ∑ m j + v 0 ∑ m j v 0 j + ∑ m j v 02 j = 2 2 j j j 1 = mv 02 + v 0 ∑ ( ωxr0 j )m j + 2 j 1 1 + ∑ m j (α ω xr0 j )( ω xr0 j ) = mv 02 + 2.40. ábra 2 j 2 1 1 1 + ∑ m j (α ω xr0 j )( ω xr0 j ) = mv 02 + ω((∑ m j r0 j ) xv 0 ) + ∑ m j ( ω ω)(r0 j r0 j ) − ( r0 j ω)(r0 j ω ) = 2 j 2 2 j j

[

[

]

]

1 1 mv 02 + ω( ∑ m j r0 j ) xv 0 + ω2 ∑ m j r02j − ( r0 j eω ) 2 = 2 2 j j

1 1 mv 02 + ω( ∑ m j r0 j ) xv 0 + ω2 ∑ d 2j m j = 2 2 j j 1 1 mv 02 + ω( ∑ m j r0 j ) xv 0 + J 0e ω2 = E transz + E kölcs + E rot . 2 2 j

2.144

Az első tagot, amely a haladó mozgásból származik transzlációs, a forgómozgásból eredő harmadik tagot rotációs energiának nevezzük. A középső tag, az ún. kölcsönös energia, a vonatkoztatási pont alkalmas megválasztásával el is tűnhet, sőt maga az energiák részesedésének aránya is függvénye a vonatkoztatási pont választásának. Például, ha a 0 pont helytálló, azaz v 0 = 0, akkor a mozgási energiát egyedül a rotációs energia teszi ki. Gyakorlatilag az a legfontosabb eset, mikor a súlypontot választjuk vonatkoztatási pontnak. Ilyenkor ∑ m j r0 j = ∑ m m rSj = 0 miatt a kölcsöj

j

nös energia nulla, a teljes mozgási energia pedig a súlypontba képzelt tömeg haladó mozgásának energiájából és a merev test súlypont körüli forgómozgásának energiájából tevődik össze:

E=

1 1 mv S2 + J Se ω2 . 2 2

A rotációs energiakomponenst mátrix alakban is felírhatjuk:

2.145/a

143

E rot =

[

]

1 1 1 1 J 0e ω 2 = e ω T J 0 eβω ω 2 = ω e ω T J 0 ω e ω = ωT J 0 ω. 2 2 2 2

Ha bevezetjük az 1 0 0   m 0 0  M = m E = m 0 1 0 =  0 m 0  0 0 1  0 0 m  mennyiséget, az ún. tömegmátrixot, ami a merev test tömegének és az energiamátrixnak a szorzata, akkor (2.145/a) a következő alakot ölti:

E=

1 1 v S Mv S + ωT JS ω. 2 2

2.145/b

Itt hívjuk fel a figyelmet a haladó és forgó mozgás közti formai analógiájára (amely a képletek megjegyzését teszi könnyebbé). A haladó mozgás ívkoordinátájának, pályameneti sebességének, gyorsulásának, tömegének és eredő erejének a forgó mozgásnál – az adott sorrendben – a szögelfordulás, a szögsebesség, a szöggyorsulás, a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték és a külső erők forgatónyomatéka felel meg. A merev test belső erőiről már a kiindulásnál feltételeztük, hogy van potenciáljuk. Jelöljük Ujk-val az Fjk belső erő potenciálját, akkor a teljes belső erőrendszer potenciális energiája – bizonyítás nélkül – az alábbi összefüggéssel adható meg:

Ub =

1 ∑∑ U jk , ahol 2 j k

Fjk = −gradU jk = −

dU jk dr j

2.146/a,b

Ha a testre ható külső erőknek is van potenciáljuk, akkor a teljes külső erőrendszer potenciális energiája:

U k = ∑ U j , ahol

Fj = −grad U j = −

j

dU j dr j

2.147/a,b

A merev test teljes potenciális energiája pedig: U = Uk + Ub .

2.148

Tegyük fel, hogy a merev test a t2-t1 időintervallum alatt az rj1 vektorrenszerrel megadott helyzetből az rj2 − be kerül. Ezen időszak alatt a belső erők munkája - mint már korábban beláttuk zérus. Így

144

rj 2

∑ ∫∑F

jk

j

rj1 k

rj 2

dr j = − ∑ ∫ ∑ j

rj1 k

dU jk dr j

dr j = −∑∑ U jk j

Ub 2 U b1

= 2( U b1 − U b 2 ) = 0,

k

tehát U b1 = U b 2 = áll. Ha azt is figyelembe vesszük, hogy a potenciális energia egy integrálási állandó erejéig határozatlan, akkor nincs akadálya, hogy a t1 időponthoz tartozó potenciált nullának vegyük. Ezzel U b = 0.

2.149

A merev test teljes potenciális energiája tehát a külső erők potenciáljával egyenlő:

U = U k = ∑ U j.

2.150

j

Tétel: A merev test teljes mechanikai energiája a mozgás folyamán állandó, ha a külső erők konzervatív erőteret alkotnak (kötött mozgásnál a tétel csak akkor marad érvényben, ha a kényszererők munkája nulla) (a mechanikai energia megmaradásának tétele). Bizonyítás: Amíg a test az rj1 -gyel jelölt helyzetből az rj2 -be kerül, az összes erő munkája: rj 2

rj 2

rj 2

W = ∑ ∫ R j dr j = ∑ ∫ Fj dr j = −∑ ∫ j

rj1

j

rj1

j

rj1

dU j dr j

dr j = − ∑ U j

Uk 2 U k1

= U k1 − U k 2 ,

j

(2.150)-et is figyelembe véve: W = U1 − U 2 ,

2.151

a külső erők mozgása során végzett munkája tehát a teljes külső potenciál megváltozásával egyenlő. (2.141/b) és (2.151) összevetésével: W = E 2 − E1 = U 1 − U 2 , ahonnan E1 + U1 = E 2 + U 2 vagy E + U = áll. 2.152 Mivel a kényszererőknek nincs potenciálja, a tétel csak szabasd mozgásra, vagy kényszermozgás esetén azzal a megkötéssel érvényes, hogy a kényszererők munkája nulla. 2.3.4. A MEREV TEST MOZGÁSÁNAK ALAPEGYENLETEI A szabad mozgást végző merev test mozgásállapotát megadja valamely P vonatkoztatási pontjának v P transzlációs sebessége és ω szögsebessége, illetve a P gyorsulása és ε szöggyorsu-

145

lása (2.41. ábra). A legáltalánosabb esetben hat szabadságfokkal rendelkező mozgás fenti jellemzőinek meghatározásához az impulzus- és a perdülettételt használhatjuk fel. Az &I = F

és

a

π& P = M P − v P xI

2.153/a,b

összefüggést a merev test mozgásegyenlet-rendszerének tekinthetjük. A két vektoregyenlet hat skaláregyenletnek felel meg, tehát éppen a szabadságfoknak megfelelő számú összefüggés áll rendelkezésre. Célszerű vonatkoztatási pontnak a súlypontot választani, mert ilyenkor (2.153/a,b) egyszerűbb alakot ölt: d I& = ma S = F, π& S = ( ωJ Se ω ) = M S . 2.154/a,b dt Abban a gyakran előforduló esetben, mikor a külső erők F eredője nem függ a forgómozgás jellemzőitől és viszont, a külső erők M S forgatónyomatéka is független a súlypont mozgásjellemzőitől, (2.145/a) és (2.145/b) egymástól függetlenül kezelhetők. Az első, három egyenletből álló egyenletrendszer a súlypont mozgását adja és a pont kinematikájában megismert problémák megoldását jelenti. A második, szintén három egyenletből álló egyenletrendszer pedig a rögzített pont körüli (ennél a részmegoldásnál a mozgó súlypontban vesszük fel a koordinátarendszer kezdőpontját, ebben a relatív rendszerben a súlypont áll) forgómozgás, az ún. pörgettyűmozgás problémájának megoldását szolgáltatja.

2.41. ábra

Természetesen, ha F és M S a haladó és forgómozgás jellemzőinek is függvénye, akkor a két egyenletrendszer nem választható szét, hanem a sokkal több matematikai nehézséget okozó, hat egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldanunk. Sokszor egyszerűsödik a megoldás, ha a korábbiak során tárgyalt tételek valamelyikét használjuk a probléma jellegének megfelelően. A d’Alembert-elv – némi módosítással – a merev testek esetében is szemléletesen használható. Alakítsuk át a merev test Pj pontjának (2.99/b) alapegyenletét: Fj + ∑ Fjk + (−m j a j ) = 0

2.155

k

az egész testre összegezve:

∑ F + ∑∑ F j

j

jk

j

k

+ (−∑ m j a j ) = 0. j

2.42. ábra

146

A második tag eltűnik és legyen D = ∑ D j = −∑ m j a j = − ma S . Így j

j

F + D = 0,

2.156

D - a merev test d’Alembert vagy inerciaereje, amit tehát úgy számítunk, hogy a test teljes tömegét szorozzuk a súlypont gyorsulásával és a gyorsulással ellentétes irányúnak vesszük. Szorozzuk be (2.155)-öt balról az rPj helyvektorral: rPj x Fj + rPj x ∑ Fjk + rPj x (− m j a j ) = 0, k

ez tulajdonképpen a Pj pontra ható külső és belső erők, valamint a D j inerciaerő P pontra vett nyomatéka. Összegezve az egész testre:

∑ (r

Pj

[

]

x Fj ) + ∑ ( rPj x ∑ Fjk ) + ∑ rPj x (− m j a j ) = 0

j

j

k

j

A második tag most is nulla, a harmadik pedig:

∑ [r

Pj

j

= −∑ j

)]

(

[

]

dv j   m j dv j x − m j a j = ∑ (r j − rP )x (− m j a j ) = −∑  r j x − rP xm j = dt dt  j j 

[

)]

(

[

]

d (rj xm j v j ) − rP xm j v j + ∑ (v j xm j v j ) − (v P xm j v j ) = dt j

d  = −  ∑ (rPj xm j v j ) + v P x ∑ m j v j  = −[π& P + v P xI ] j  dt j 

,

ami a merev test d’Alembert- vagy inercianyomatéka a mozgó P pontra. Az első tag a külső erők P pontra vett forgatónyomatéka, így M P + (− π& P − v P xI ) = 0.

2.157

Ha vonatkoztatási pontként most is a súlypontot választjuk, (2.156) és (2.157) nem más, mint a merev test mozgását leíró (2.154/a,b) egyenletek átrendezett alakja:

( )

F + − &I = 0,

2.158/a

M S + (− πS ) = 0

2.158/b

147

Szavakban megfogalmazva, a merev testre ható külső erők a d’Alembert-féle tehetetlenségi erő és nyomaték egyensúlyi erőrendszert alkot. Ezzel a merev test mozgásával kapcsolatos kinetikai problémát sztatikaira vezettük vissza. 2.3.5. A MEREV TEST SPECIÁLIS MOZGÁSAINAK VIZSGÁLATA A merev testek mozgásával kapcsolatos feladatok során – a legáltalánosabb esetben – meg kell határozni a test mozgásállapotát (tehát helyét, helyzetét, sebesség- és gyorsulásterét) az idő függvényében. Ehhez elegendő a kezdeti feltételek ismeretében a test kinematjának, ill. annak időbeli változásának ismerete. Egyszerűsödik a feladat, ha csak bizonyos – kritikus – pillanatokban, helyzetekben kell a mozgásjellemzőket meghatározni. A műszaki gyakorlatban a legnagyobb jelentőségük a kényszermozgásoknak van. A kötött mozgás jellegéből következik, hogy a kényszermozgásra ítélt test szabadságfoka kisebb, mint hat. A merev test mozgásának hat skaláregyenlete ilyen esetben a mozgásjellemzők meghatározásán kívül a reakcióerők számítására szolgál. Ha a test mozgáslehetőségeinek és a kényszererőkomponensek számának összege nagyobb, mint hat, akkor csak a mozgást tudjuk egyértelműen meghatározni, a reakcióerőket már nem. 2.3.5.1. HALADÓ MOZGÁS Tudjuk, hogy a merev test haladó mozgását az jellemzi, hogy minden pontjának azonos a mozgásállapota, így elegendő egy pont – célszerű a súlypont – mozgásának meghatározása. A súlypont mozgásának alapegyenletét pedig az impulzus tétel, ill. a második súlyponttétel adja: & I = F = ma S

,

2.159

ami három skaláregyenletet jelent, annak megfelelően, hogy a transzlációs mozgás szabadságfoka három. Kényszermozgásnál a test szabad mozgáslehetőségeinek száma kettőre vagy egyre csökkenhet, így egy, ill. két reakcióerőt lehet egyértelműen meghatározni. Annak eldöntése, hogy a test valóban haladó mozgást végez-e, a perdülettétel segítségével lehetséges. Ha M S = ∑ (rSj x Fj ) = 0 és a kezdeti szögsebesség is nulla, akkor csak haladó mozj

gásról lehet szó. A merev test transzlációs mozgásával kapcsolatos feladatokat külön nem részletezzük, azok a pont kinematikájában tárgyalt feladatokkal analóg módon oldhatók meg. 2.3.5.2. FORGÓ MOZGÁS A/ Egy pontban rögzített test mozgása Ha a merev test egyetlen egy pontját rögzítjük, az ezen pont körül tetszőleges, térbeli forgómozgást végezhet. A test pontjai az alátámasztási pont köré írt gömbfelületeken mozognak. A mozgástípust pörgettyűmozgásnak is nevezik. A feladat megoldásának azért is van különösen nagy jelentősége, mert a merev test általános mozgásánál a test súlypont körüli forgómozgása is pörgettyűmozgásnak tekinthető a súlyponthoz kötött koordinátarendszerben.

148

A mozgás szabadságfoka három. A mozgás törvényeit a rögzített 0 pontra felírható perdülettétel írja le:

( )

d π& 0 = T J0 ω = M 0 . dt

2.160

Az alátámasztási pontban ébredő kényszererők a külső erők nyomatékában nem szerepelnek, hiszen átmennek az 0 ponton. A reakció erők 0x, 0y, 0z komponensei az impulzus tétel felhasználásával számíthatók: Fsz + 0 = &I = ma S . Rögtön látszik, hogy a reakciók nagysága nemcsak a külső szabad erőktől, hanem az inerciaerőktől is függ. Az 0 ponton át felvett, álló x.y.z koordinátarendszerben a perdület idő szerinti deriválását a szorzat a szorzat differenciálási szabálya szerint kell elvégezni, tehát

& &, M 0 = TJ 0 ω + T J 0 ω

2.161

mert a térben rögzített koordinátarendszerhez képest az időben nemcsak az ω komponensei, hanem a T J 0 komponensei is változnak. Így például:  d d  J x = ∑ m j ( y 2j + z 2j ) = 2∑ m j ( y j y& j + z j z& j ), dt dt  j j  ami azt jelenti, hogy(2.161)-ből egy meglehetősen bonyolult differenciál-egyenletrendszert kapnánk a szögsebesség-komponensek számára. Egyszerűbben célhoz jutunk, ha a perdülettételt a testhez kötött x’, y’, z’-t koordinátarendszerben írjuk fel. Ha a test ω szögsebességgel mozog, akkor a mozgó, testhez kötött koordinátarendszer is ugyanekkora szögsebességgel mozog az állóhoz képest. A két rendszer közötti differenciálási szabály kapcsolatát (1.100) fejezi ki. A mozgó rendszerben megadott π' 0 − amely ebben a rendszerben állandó – differenciálása az álló rendszerből: dπ' 0 d ' π' 0 = + ω xπ' 0 = M 0 . dt dt 2.162

2.43. ábra

149

Ha a testhez kötött koordinátarendszert úgy vesszük fel, hogy tengelyei essenek egybe a főtehetetlenségi tengelyekkel (2.43. ábra), akkor (2.135) szerint:

π' 0 = T ' J 0 ω és (2.162) mátrix egyenlet formájában kiírva, ill. a műveletek elvégzése után ( az egyszerűség kedvéért a vesszős jelölést elhagyva):

 J 1 d  0 dt     0 J1

0 J2 0

 J 1 0   ω1        0  ω 2   + ω x   0   0 J 3  ω3  

0 J2 0

0   ω1    0  ω 2   = M 0 J 3  ω3  

és

dω 3 dω1 dω 2 i '+ J 2 j'+ J 3 k '+ (J 3 − J 2 )ω 2 ω3 i '+ dt dt dt

+ (J 1 − J 3 )ω1ω3 j'+ (J 2 − J 1 )ω1ω 2 k ' = M 0 ,

illetve

skaláregyenletekben dω1  − ( J 2 − J 3 )ω 2 ω 3 = M 1 ,  dt  dω 2 J2. − (J 3 − J 1 )ω1ω3 = M 2 ,  dt  dω 3 J3. − (J 1 − J 2 )ω1ω 2 = M 3 ,  dt J1 .

2.163/a,b,c

A fenti három összefüggést Euler-féle (pörgettyű-) egyenletnek nevezzük, amely három elsőrendű differenciálegyenletet jelent a test főtengelyeinek az álló koordinátarendszerhez viszonyított ω1 , ω2 , ω3 szögsebességkomponensei számára, J1, J2 és J3 a test főtehetetlenségi nyomatékei, M1, M2 és M3 pedig a külső szabad erők nyomatékai a főtehetetlenségi tengelyekre, melyek általában az idő, a helyzet és a szögsebességek függvényei. Igen általános esetben a differenciálegyenletrendszer megoldása most is komoly matematikai nehézségeket okozhat. Tegyük fel, hogy a merev test főtehetetlenségi nyomatékai különbözőek és a külső erők nyomatéka az alátámasztási pontra nulla. Ez utóbbi esetben ún. erőmentes pörgettyűről beszélünk, aminek tehát az a feltétele, hogy a külső erők eredője átmenjen az alátámasztási ponton, vagy a külső erők egyensúlyi erőrendszert alkossanak. A perdülettétel értelmében ilyenkor a szöggyorsulás nulla, azaz állandó szögsebességű (nagyságú és irányú) forgó mozgásról van szó. Az Euler-egyenletek értelmében ez csak úgy lehetséges, ha – mivel J 1 ≠ J 2 ≠ J 3 –

ω 2 ω3 = ω3 ω1 = ω1ω 2 = 0 . A nyugalom esetét (ω1 = ω2 = ω3 = 0) leszámítva ez csak akkor teljesül, ha a három szögsebességkomponens közül kettő nulla. A merev test szögsebességvektora tehát mindenképpen valamelyik főtengelybe esik. A test úgy forog, mintha a főtengelyt csapágyakkal rögzítettük

150

volna. Ha a testet a súlypontban támasztjuk alá és a külső erők eredője nulla, azaz egyensúlyi erőrendszert alkotnak, akkor a súlyponti alátámasztásban reakcióerők nem ébrednek, (hiszen a súlypont most áll, a S = 0, tehát az inerciaerők is nullák). A kényszererők hiánya miatt a test szabad mozgást végez, mégpedig valamelyik főtehetetlenségi tengelye körül forog állandó szögsebességgel. A főtehetetlenségi tengelyeket ezért szabad tengelyeknek is nevezzük. Az Euler-féle differenciálegyenletek integrálásával bizonyos egyszerű esetekben a szögsebességkomponensek, mint az idő függvényei meghatározhatók. Ezzel azonban még csak a test sebességállapotát ismerjük. Differenciálással megkapjuk a gyorsulásállapotot. A test helyzetének meghatározásához a főtengelynek az álló koordinátatengelyekkel bezárt szöget kell megadnunk. Ez legegyszerűbben a ϑ, ψ, ϕ Euler-féle szögekkel történhet. Az Euler-féle szögek idő szerinti deriváltjai ω komponenseivel – bizonyítás nélkül – az alábbi összefüggésekkel fejezhetők ki: ω1 = ϑ& cos ϕ + ψ& sin ϑ sin ϕ, 2.164/a

ω 2 = −ϑ& sin ϕ + ψ& sin ϑ cos ϕ,

2.164/b

ω3 = ϕ& + ψ& cos ϑ.

2.164/c

Ebből a három elsőrendű differenciálegyenletből az Euler-féle szögek, mint az idő függvényei meghatározhatók. B/ Merev test mozgása rögzített tengely körül Ez a mozgás tulajdonképpen a pörgettyűmozgás speciális esete. Ha a testhez kötött koordinátarendszer egyik tengelyét (nem kell feltétlenül főtengelynek lennie) a térben rögzítjük, akkor az Euler-egyenletek éppen a feladat megoldását szolgáltatják. Most azonban a feladatot az alapegyenletek felhasználásával oldjuk meg. Legyen a merev test forgástengelye az A és B pontokban megtámasztott (csapágyazott) (2.44. ábra). Legyen az álló koordinátarendszer kezdőpontja az A támasz, z tengelye a forgástengely. Kössünk a testhez is egy A kezdőpontú koordinátarendszert úgy, hogy a z’ a z tengellyel esse egybe. A kényszerfeltételek miatt a test mozgása csak z tengely körüli forgómozgás lehet. A test helyzetét egyértelműen megadhatjuk azzal a ϕ z szöggel, amelyet például az x és x’ ten2.44. ábra gelyek zárnak be egymással. A mozgás szabadságfoka egy. Legyen a test súlypontjának helyvektora a relatív koordinátarendszerben:

r 'S = x 'S i '+ y'S j'+ z'S k '.

151

Hasson a testre Fj külső szabad erő. Ezek eredője és nyomatéka az A pontra:

F = ∑ Fj ,

M A = ∑ ( rj x Fj ).

j

j

Külső kényszererők csak az A és B pontokban ébredhetnek. Ha A-t gömbcsuklónak, B-t csapnak képzeljük, akkor a kényszererők vektora: A ' = A ' x i '+ A ' y j'+ A ' z k ' ,

B' = B' x i '+ B' y j'+0k ' .

2.165/a,b

Ha a B támaszpont helyvektora rB = z' B k ' , akkor a kényszererőket is figyelembe véve, a mozgás alapegyenletei: &I = ma = F + A + B, 2.166/a S

π& A = M A + rB x B.

2.166/b

A súlypont abszolút gyorsulásának meghatározásához differenciáljuk rS − t. Ezt a relatív rendszerben adtuk meg, így az (1.100)-as differenciálási szabályt kell alkalmaznunk: vS =

dr ' S d ' r ' S = + ω xr ' S = v ' S + ω xr ' S = ω xr ' S , dt dt

hiszen a relatív rendszerben a súlypont áll. aS =

dv S & dr ' = ω xr 'S + ω x S = ε xrS + ω x ( ω xrS ) = dt dt

i'

j'

= 0

0 y'S

x 'S

k'

i'

εz + 0 z 'S − ω z y'S

j'

k'

0 ω z x 'S

ω z = (− y'S ε z − ω 2z x 'S ) i '+ ( x 'S ε z − ω 2z y'S ) j'+0k ' . 0

2,167

Most is a perdület idő szerinti deriváltjára van szükség, így célszerű a tehetetlenségi tenzort a relatív rendszerben megadni. A perdület:

π' A = T ' J A

 J' x  ω = − J ' xy  − J ' xz 

− J ' yx J' y − J ' yz

− J ' zx   0   − J ' zy   0  = J ' z  ω z 

= −J ' zx ω z i '− J ' zy ω z j + J ' z ω z k ' .

152

Az (1.100)-as differenciálási szabállyal: dπ' A d ' π&' A & + ω xπ' = π& A = = + ω xπ' A = T ' J A ω A dt dt

 J' x  = − J ' xy  − J ' xz 

− J ' yx

− J ' zx   0  i'   − J ' zy   0  + 0 & z  − J ' zx ω z J ' z  ω

J' y − J ' yz

j' 0 − J ' zy ω z

= (− J ' zx ε z + J ' zy z )i'+(− J ' zy ε z − J ' zx ω 2z ) j'+ J ' z ε z k ' . 2

k' ωz = J' z ωz 2.168

A fenti kifejezésekkel írjuk át (2.166)-ot skaláralakba:

m(− y'S ε z − x 'S ω 2z ) = F' x + A' x + B' x ,  m( x 'S ε z − y'S ω 2z ) = F' y + A' y + B' y ,  0 = F' z + A' z ,   2 − J ' zx ε z + J ' zy ω z = M ' Ax −B' y z' B  − J ' zy ε z + J ' zx ω 2z = M ' Ay −B' x z' B ,    J ' z ε z = M ' Az .

2.169

Az utolsó egyenlet éppen az álló tengely körüli forgómozgás alapegyenlete. Belőle a test szöggyorsulása a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték és a külső szabad erők nyomatékának ismeretében számítható. A szögsebesség és a szögelfordulás integrálással adódik. Az első öt egyenlet a reakcióerők meghatározására használható. Abban a speciális esetben, mikor a külső erők egyensúlyi erőrendszert alkotnak ( F = 0 és M A = 0 ), (2.169) a következőképpen alakul. Az utolsó egyenletből ε z = 0 , tehát a kezdeti szögsebességgel egyenlő egyenletes szögsebességű forgómozgásról van szó. A reakcióegyenletek: A' x + B' x = −ω 2z mx 'S ,  A ' y + B' y = −ω 2z my'S ,   2.170 A' z = 0,  B' y z' B = −ω 2z J ' zy ,   B' x z' B = −ω 2z J ' zx . 

Annak feltétele, hogy reakcióerők ne ébredjenek az, hogy

x 'S = y 'S = 0

és

J ' zx = J ' zy = 0

2.170/a

153

Ez akkor teljesül, ha a forgástengely a merev test súlypontján átmenő főtengely. Amennyiben ez a feltétel teljesül, a forgástengely támaszaiban reakciók ébrednek, azaz a test szabad mozgást végez. Így jutunk el megint a szabad tengely fogalmáig, (2.170)-ben a reakcióerőket a relatív koordinátarendszerben adtuk meg, ami azt jelenti, hogy a reakciókomponensek a z tengely körül ω szögsebességgel forognak. A reakcióerők, ill. annak ellenerői a csapágyakban dinamikus igénybevételt okoznak, ami a szerkezet működése szempontjából nagyon káros lehet. Fontos feladat tehát a reakcióerők kis értékben tartása, optimális esetben teljes kiküszöbölése. A valóságos testek inhomogenitása, ill. a pontatlan szerelés következtében (2.170/a) gyakorlatilag sohasem teljesül (legfeljebb véletlenül), így szükség van egy utólagos korrigálásra, melyet kiegyensúlyozásnak nevezünk. A/ Forgó alkatrészek sztatikus és dinamikus kiegyensúlyozása Láttuk, hogy a reakcióerők eltűnésének egyik feltétele, hogy a súlypont a forgástengelybe essen, a másik, hogy a forgástengely főtengely legyen vagy másként kifejezve, a forgástengelyben metsződő, két egymásra merőleges síkra vonatkozó deviációs nyomatékoknak nullával kell egyenlőnek lenniük. 1. Sztatikus kiegyensúlyozás: Feladat a súlypont eltolása a forgástengelybe (2.45. ábra). Ha a merev testet forgástengelyén sima csapágyakra helyezzük, akkor nyugalmi állapotban a súlypont a tengelyen átmenő függőleges síkban van. Ebben a síkban a testhez erősíthetünk –a tengelytől felfelé eső részre – egy mo nagyságú, tömegpontnak tekinthető kiegyensúlyozó tömeget. A forgástengelyre felírható sztatikai nyomaték mxS – moR = 0 2.45. ábra kifejezésből az m0 kiegyensúlyozó tömeg meghatározható, vagy ha m0-t próbálgatással határozzuk meg (m0-nak akkorának kell lennie, hogy a test bármely elforgatott helyzetben nyugalomban maradjon), akkor számítható az eredeti, m tömegű test súlypontjának xS koordinátája. 2.Dinamikus kiegyensúlyozás: Itt azt kell elérni, hogy a deviációs nyomatékok nullával legyenek egyenlők. Ehhez a gyakorlatban négy kiegyensúlyozó tömeget szoktak elhelyezni a forgó test felületén az xz és yz koordinátasíkokban. Természetesen a súlypontnak továbbra is a forgástengelybe kell esnie, ami azt jelenti, hogy az azonos síkba eső két tömeget a forgástengelytől jobbra és balra kell elhelyezni. A 2.46. ábra jelöléseivel a súly. A 2.46. ábra jelöléseivel a súlypontra vonatko-

2.46. ábra

154

zó feltétel: m1x1 – m4x4 = 0, m2y2 – m3y3 = 0. Az eredeti test és a kiegészítő tömegek deviációs nyomatékának szintén nullát kell adnia: Jzx + m1x1z1 – m4x4z4 = 0, Jzy + m2y2z2.– m3y3z3 = 0. A fenti négy egyenletből a szükséges tömegek meghatározhatók. A gyakorlatban a dinamikai kiegyensúlyozás végezhető próbálgatással. A dinamikailag kiegyensúlyozatlan forgó test alátámasztásaiban reakcióerőként – (2.170) szerint – erőpárok ébrednek. ezeket mérve, a kiegyensúlyozó tömegek helyét és nagyságát addig kell változtatni, míg a reakcióerők nagyságát mutató műszerek nullát nem jeleznek. B/ Forgó részek (tengelyek) kritikus szögsebessége (fordulatszáma) A forgó alkatrészek kiegyensúlyozatlansága sohasem szüntethető meg tökéletesen. A sztatikai kiegyensúlyozatlanság következtében – (2.170) alapján – tehetetlenségi erők lépnek fel, melyek a forgó test rugalmas tengelyét hajlításra veszik igénybe. A tengely kihajlása következtében a súlypont még távolabb kerül az elméleti forgástengelytől, ez tovább növeli a tehetetlenségi erőt, ami még nagyobb kihajlást eredményez. Kedvezőtlen esetben a tengely kihajlása olyan nagy mértékű lehet, ami maradandó alakváltozáshoz, esetleg töréshez vezet. A jelenség elméleti vizsgálatához tegyük fel, hogy a merev test a vele mereven összekapcsolt tengellyel együtt dinamikailag kiegyensúlyozott (a megfelelő deviációs nyomatékok tehát nullák), sztatikailag azonban nem. Nyugalmi állapotban a súlypont távolságát a forgástengely középvonalától jelöljük e-vel. (2.47. ábra). Ha a tengely ω = áll. Szögsebességgel forgatjuk, a tengely meghajlik, kitérése a súlypont magasságában y. A súlypont tehát r = y + e sugarú köríven mozog. A tehetetlenségi erővel a tengely rugalmas visszatérítő ereje tart egyensúlyt: sy − m( y + e)ω 2 = 0 Innen y=

ω2 s − ω2 m

e=

2

ν −ω 2

2

e=

1 ν  ω − 1   2

e,

2.171

s , az egy szabadságfokúnak tekintett m rezgőrendszer saját körfrekvenciája (természetesen –ennek ellenére – itt nem rezgőmozgásról van szó).

ahol ν =

2.47. ábra

155

A kifejezés szerint a tengely kihajlása annál nagyobb, minél közelebb esik a szögsebesség értékéhez. Ha ω = ν, y elméletileg végtelen. Ezt a szögsebességet ezért kritikus szögsebességnek nevezzük: ω krit = ν =

s . m

2.172

A kritikus szögsebesség tehát annál nagyobb érték, minél nagyobb a tengely rúgómerevsége és minél kisebb a merev test tömege. Vezessük be az r=y+e mennyiséget, amely a súlypont elméleti forgástengelyétől mért távolságát jelenti. (2.171) felhasználásával:

r=

e ν  ω − 1   2

+e =

e  ω 1−   ν

2

2.173

.

Ábrázoljuk ezt a függvényt úgy, hogy a koordinátarendszer vízszintes tengelyére az ω/ν, a függőleges tengelyre az r/e dimenzió nélküli mennyiségeket mérjük (2.48. ábra). Az ábráról jól látszik és 82.173)-ból kiszámítható, hogy ω = 2 ν esetén a súlypont közelebb kerül az elmélet forgástengelyhez, mint alacsonyabb szögsebességeknél. Gyakorlatilag ez azt jelenti, hogy a kisebb inerciaerők következtében a szerkezet „nyugodtabban” jár. A jelenséget önkiegyensúlyozásnak nevezzük (2.49. ábra). Ha előírjuk hogy a súlypont legfeljebb rmax sugarú körpályán mozoghat, (2.173)-ból meghatározhatjuk azt a szögsebességtartományt, amelyen a szerkezet tartósan nem működhet: ν 1−

e rmax

≤ ω ≤ ν 1+

e rmax

.

Ha a magasabb határérték felett kívánjuk a tengelyt forgatni, akkor a fenti szögsebességtartományon gyorsan kell áthaladni, hogy ne legyen elegendő idő a nagy kihajlások kialakulására. Vizsgáljuk meg egy olyan merev testnek a mozgását, amely álló tengely körüli forgó mozgásra képes, s melyre a kitéréssel arányos, de azzal ellentétes nyomaték hat. A nyomatéktörvény tehát:

M = −s' ϕ,

2.174

ahol s’>0, neve torziós rugómerevség, az egységnyi szögelforduláshoz szükséges nyomaték nagysága. A visszatérítő nyomatékot szemléletesen alkalmasan elhelyezett spirálrugóval modellezhetjük.

156

2.48. ábra

2.49. ábra

C/ Torziós rezgések (lengések) Ilyen nyomatékhatást érhetünk el, ha a merev test egy konzoltartó szabad végére erősítjük és a z tengely körül kis szöggel elforgatjuk, azaz a tartószerkezeteket csavarásra vesszük igénybe (2.50. ábra). Használjuk fel a D’Alambert-elvet a z tengely körüli forgás alapegyenletének felírásához: && = 0, M − J z ε = −s' ϕ − J z ϕ

ahol Jz – a merev test tehetetlenségi nyomatéka a z tengelyre. Átalakítva: 2 ϕ && + ν ϕ = 0.

2.175

Ez a (2.38)-al analóg skalár differenciálegyenlet és tudjuk, hogy ez a rezgőmozgások jellemző differenciálegyenlete. Így

ν=

s' Jz

2.176

2.50. ábra

a rezgés körfrekvenciája. (2.175) általános megoldása:

ϕ = ϕ( t ) = A cos νt + B sin νt,

2.177

157

Az A, B integrálási állandókat a kezdeti feltételekből határozhatjuk meg. Ha pl. t = 0-nál ω = ω0 és ϕ = ϕ 0 , a partikuláris megoldás:

ϕ = ϕ( t ) = ϕ 0 cos νt +

ω0 sin νt. ν

2.178

A szögsebesség és szöggyorsulás függvényét a fenti kifejezés differenciálásával nyerjük. 2.3.5.3. SÍKMOZGÁS A síkmozgás szabadságfoka három, így három skaláregyenletre van szükség a szabad mozgás leírásához. Kényszermozgás esetén a szabadságfoktól függően egy, ill. két reakcióerőkomponenst tudunk egyértelműen meghatározni. Ha a koordinátarendszer x,y tengelyét a mozgás síkjában vesszük fel, akkor (2.153/a) x és y irányú, valamint a (2.153/b) z irányú komponensegyenletét használjuk. Célszerűen most is álló pontot, vagy a súlypontot választjuk vonatkoztatási pontnak a perdület tétel egyszerűbb alakban valófelírásának kedvéért. (2.154) alapján:      d (J Sz ω z ) = M Sz.  dt  m&x& S = Fx , m&y& s = Fy ,

2.179/a,b,c

Mivel a súlyponton átmenő. A mozgás síkjára merőleges tengelyre vonatkozó JSz tehetetlenségi nyomaték állandó, az utolsó összefüggés a J Sz

dω z = J Sz ε z = M Sz dt

2.179/d

alakba megy át, ami megegyezik az álló tengely körüli forgó mozgás alapegyenletével. (2.179/a,b) tehát a síkmozgást végző test súlypontjának mozgásjellemzőit adja, (2.179/d) pedig a tetszőlegesen mozgó súlypont körüli forgómozgás jellemzőit. A/ A fizikai inga mozgása Fizikai ingának nevezzük azt a merev testet, amelyik álló vízszintes tengely körül a nehézségi erő hatására mozog. A mozgást álló tengely körüli vagy síkmozgásként is kezelhetjük. Legyen a forgástengely az álló és mozgó koordinátarendszer z ill. z’ tengelye, 2.51. ábra

158

a felfüggesztési pont A. A test súlypontját és az A pontot összekötő egyenes legyen a relatív koordinátarendszer x’ tengelye, melynek a térhez rögzített, függőleges helyzetű x tengellyel bezárt ϕ z szöge jellemzi az inga helyzetét. (2.51. ábra). A z tengelyre, ill. az A álló pontra vonatkozó perdülettétel: && z . M Az = mgrS sin ϕ z = − J Az ε z = −J Az ϕ

Rendezés után: && z + ϕ

mgrS sin ϕ z = 0. J Az

Ha csak kis kitéréseket engedünk meg, sin ϕ z ≅ ϕ z , a fenti differenciálegyenlet linearizálható: && z + ν 2 ϕ z = 0, ϕ

2.180

ahol ν2 =

mgrS . J Az

(2.180) szerint a test lengő (rezgő) mozgást végez, a mozgás saját körfrekvenciája ν . Az általános megoldás: ϕ z ( t ) = A sin(νt + ϕ 0 ), a t=0-nál ϕ z =0, ωz = ω0 kezdeti feltétel felhasználásával a partikuláris megoldás: ϕ z (t) =

ω0 sin νt , ν

ω z ( t ) = ω 0 cos νt ,

2.181/a,b,c

ε z ( t ) = −ω 0 ν sin νt. A szögsebesség a ϕ z helyzet függvényében: ω z (ϕ z ) = ω 0 1 − sin 2 νt = ω 02 − ν 2 ϕ 2z .

A fenti függvényt az energiamegmaradás tételével is számítjuk:

1 1 J Az ω 2 + mgrS (1 − cos ϕ z ) = J Az ω02 , 2 2

2.182/a

159

innen ω z (ϕ z ) = ω 02 − 2

mgrS ((1 − cosϕ z ). J Az

2.182/b

Ez a kifejezés a kitérés nagyságától függetlenül pontos eredményt ad. Kis kitéréseknél a ϕ 2z = 2(1 − cos ϕ z ) közelítéssel éppen (2.182/a)-t kapjuk. Az inga egy teljes lengésének ideje: T=

J Az 2π = 2π . ν mgrS

Ha ezt egyenlővé tesszük a matematikai inga lengésidejével, meghatározhatjuk, mi a feltétele annak, hogy a fizikai és matematikai inga lengésideje megegyezzen: T = 2π

1 J Az = red , mgrS g

ahonnan

1red =

J Az , mrS

melyet a fizikai inga redukált hosszának nevezünk. A lengésidő egyeztetése miatt azt mondhatjuk, hogy a fizikai inga úgy mozog, mint egy 1red hosszúságú matematikai inga. Az x’ tengelyen az A ponttól felmért lred távolságú A’ pontot lengési középpontnak nevezzük. Mivel 1red =

J J Az J Sz + mrS2 = = rS + Sz , mrS mrS mrS

az A’ pont mindig a súlyponton túl, attól JSz/mrS távolságra van. A lengési középpontnak érdekes tulajdonsága van. Ha itt függesztjük fel a testet, annak lengésideje meg fog egyezni Az A pontú felfüggesztéssel. 2

J + ( red −rS ) 2 m J A 'z T ' = 2π = 2π Sz == 2π mg(1red − rS ) mg (1red − rS ) 2π

J Sz  J Sz + mr 2 J Az 1 r + = 2 π = 2π = T. S  g mrS  mgrS mgrS

J Sz

J  +  Sz  m  mrS  = J Sz mg mrS

160

A felfüggesztési pontban ébredő reakcióerőket a súlyponttétellel határozhatjuk meg:

A + G = ma S . A relatív koordinátarendszerben: G ' = mg cos ϕ z i '− mg sin ϕ z j' ,

a 's = −mrS ω 2z i '−mrS ε z j' . Így a reakciókomponensek a testhez kötött koordinátarendszerben:

A' x = − m(g cos ϕ z + rS ω 2z ), A' y = −m(g sin ϕ z + rS ε z )

2.183/a

.

2.183/b

B/ Gördülés előírt pályán A gördülő mozgás előírt elemi mozgások egymásutánja, melynél az álló pólusgörbe maga az előírt pálya, a mozgó pólusgörbe pedig a test körvonala. Ha a pillanatnyi forgástengelyek mindig párhuzamosak egymással, a test síkmozgást végez. Kinetikai szempontból a test akkor végez síkmozgást, ha a kezdeti sebességek és a mozgás folyamán a testre ható erők egy és ugyanabban a síkban vannak. A számítás szempontjából a legegyszerűbb, de a gyakorlatban a legfontosabb eset, mikor a mozgó pólusgörbe, azaz a gördülő test alakja kör és a test súlypontja a kör geometriai középpontjába esik. Ha R a kör sugara és ω a pillanatnyi szögsebesség, a tiszta gördülés feltétele: v S = ωR. Ha a súlypont sebessége ettől különbözik, akkor a támasztó felület (pálya) és a mozgó test érintkezési pontja meg is csúszik egymáson, tiszta gördülésről nem beszélhetünk. Az álló pólusgörbe, azaz a pálya alakja tetszőleges lehet (2.52. ábra). A pillanatnyi póluspontban a sebesség nulla. Ezt az érintkező felületek érdessége, ill. az itt fellépő kényszererő biztosítja. Az elméleti számításoknál először mindig feltételezzük, hogy a tiszta gördüléshez szükséges súrlódó erő fellép és a megoldás ismeretében ellenőrizzük, hogy a kérdéses kényszererő létrejöhet-e. Amíg a tiszta gördülés feltétele biztosított, azaz vΩ=0, a nyugvásbeli súrlódási tényezővel számolhat-S=maunk. Csúszásos gördülésnél pedig a mozgásbeli súrlódási tényezőt kell figyelembe venni. A mozgás analitikai tárgyalásánál célszerű a külső szabad erőket a súlypontba redukálni. Általános esetben ezek eredője F és MS. A külső kényszererők három komponense az N pályanyomás (normálerő), az S súrlódó erő és az Mg = fgN nagyságú gördülési ellenállás.

161

2.52. ábra A pálya természetes koordinátarendszerében a súlyponttétel: Fe − S = ma e = mRε z ,

2.184/a

Fn − N = ma n = mRω 2z ,

2.184/b

a súlypontra vonatkozó perdülettételből:

M S M g + SR = J SZ ε z .

2.184/c

Helyettesítsük be (2.184/a)-ba az utolsó egyenletből ε z -t és fejezzük ki a súrlódó erőt: Fe − S=

mR (m S − M g ) Fe J Sz − mR (M S − M g ) J Sz = , mR 2 J Sz + mR 2 +1 J Sz

ez a tiszta gördüléshez szükséges súrlódóerő, a súrlódóerő maximuma azonban µ 0 N. A tiszta gürdülés feltétele tehát S ≤ S max = µ 0 N. Az abszolút értékre azért van szükség, mert a súrlódóerő a külső szabad erők alakulásától függően ellenkező értelmű, azaz negatív előjelű is lehet. 2.4. SZERKEZETEK KINEMATIKÁJA Vegyünk egy n tagból álló szerkezetet (mechanizmust), melyben az egyes tagok egymáshoz képest elmozdíthatóan – a kinematikai párokon keresztül – kapcsolódnak egymással. A szer-

162

kezet tagjainak mozgásállapotát a szerkezet tagjaira ható külső erők ismeretében kinetikai vizsgálattal határozhatjuk meg. A vizsgálathoz az átmetszési elvet alkalmazzuk, azaz a szerkezet kinematikai párjait feloldva, működtetjük az egyes tagokra az eleve rájuk ható, külső erőket, a külső reakcióerőket, valamint a kinematikai párok jellegének megfelelő erőket, melyek a szétszedés előtt belső erőként , nullapárok formájában léteztek, a szétszedés után pedig külső reakcióknak számítanak. Végül minden tagra alkalmazzuk a merev test általános mozgásának alapegyenleteit, a (2.153/a,b) vagya (2.154/a,b) összefüggéseket, azaz az impulzus- és perdülettételt. Ily módon térbeli mozgás esetén 6n számú skaláregyenlethez jutunk. Ha a szerkezet szabadságfoka f és az ismeretlen reakciók száma r, akkor F + r = 2n esetén a szerkezetet kinematikailag határozottnak mondjuk. Ebben az esetben mind a mozgásjellemzők, mind a reakcióerők egyértelműen meghatározhatók. Ha f + r > 6n, akkor az alapegyenletből csak a gyorsulások határozhatók meg egyértelműen, a reakciók már nem. Ilyenkor kinetikailag határozatlan szerkezetről beszélünk. Sokszor előfordul, hogy nincs szükség az összes ismeretlen meghatározására. Ebben az esetben úgy könnyíthetünk a feladat megoldásán, hogy nem szedjük szét a szerkezetet az összes lehetséges részre, hanem csak alkalmasan megválasztott kisebb szerkezeti egységekre. Az ezekre felírt alapegyenletekből bizonyos belső erők eleve hiányozni fognak. Természetesen az alapegyenleten kívül az azokkal ekvivalens tételek (súlyponttétel, munkatétel, perdülettétel, a mechanikai energia megmaradásának tétele) is sokszor gazdaságosan használhatók. 2.4.1. A SZERKEZETEK (MECHANIZMUSOK) TAGJAIRA HATÓ ERŐK MEGHATÁROZÁSA A mechanizmusok erőtani tervezésének egyik alapfeltétele a mechanizmus tagjaiban ébredő igénybevételek ismerete. Ehhez azonban a tagokra ható erőket kell ismernünk. Az ismeretlen erők meghatározásához a d’Alambert-elvet használhatjuk a legelőnyösebben, amely kimondja, hogy a testre, szerkezetre ható külső aktív és passzív erők, valamint az inerciaerők egyensúlyi erőrendszert alkotnak. Kis tömegű és lassan mozgó szerkezetek esetén az inerciaerők el is hanyagolhatók. Ilyenkor sztatikai, egyébként dinamikai vizsgálatról beszélünk. A tehetetlenségi erőket célszerű a merev test súlypontjára redukálni. Ehhez ismernünk kell a súlypont gyorsulását és a súlyponton átmenő tengely körüli forgómozgás szöggyorsulását a szerkezet vizsgált helyzetének a pillanatában. (2.158/a,b)-nek megfelelően a tehetetlenségi erő: D = − &I = −ma S , támadáspontja tehát a súlypont. A tehetetlenségi nyomaték:

163

d M Sinercia = − π& S = − (ωJ Se ω ). dt Síkmozgás esetén a D = − ma S tehetetlenségi erő a mozgás síkjában van. A tehetetlenségi nyomaték vektora merőleges a mozgás síkjára, nagysága:

M Sinercia = ε J S , ahol JS – a súlyponton átmenő, a mozgás síkjára merőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Síkmozgás esetén az inerciaerőrendszer egyetlen inerciaerővé redukálható. A redukált tehetetlenségi erő hatásvonala párhuzamos a súlypont gyorsulásvektorával s attól rD =

ε JS aS m

távolságra van (2.54. ábra).

2.53. ábra

2.54. ábra

2.4.2. ÜTKÖZÉSI FOLYAMATOK A szerkezetek kinematikájának egyik igen érdekes esete az ütközés. Ha egy tömegpontnak, egy testnek vagy egy testekből álló rendszernek e sebességállapota hirtelen lényegesen megváltozik, ütközésről beszélünk. A sebességállapot megváltozása olyan rövid ∆t idő alatt megy végbe, amely alatt a rendszer helyzete nem változik észrevehetően. Ütközés keletkezik pl, ha két test egy-egy felületi pontja ugyanabban a pillanatban ugyanarra a helyre érkezik és a pontok relatív sebessége nem nulla, vagy, ha egy mozgó rendszer valamely pontjának elmozdulását hirtelen megakadályozzuk vagy megváltoztatjuk. Az ütközési folyamatok pontos matematikai leírása rendkívül bonyolult, ezért nagyfokú idealizálással (egyszerűsítéssel) kell élnünk. Ez egyrészt abban áll, hogy eltekintünk a test belsejében lejátszódó összetett fizikai folyamatoktól és a sebességállapot pillanatszerű (ugrásszerű) megváltozását tételezzük fel. A sebességek hirtelen változása a ∆t→0 ütközési idő mellett a gyorsulások és velük az ütközésben résztvevő erők minden határon túli növekedését vonja maga után. További egyszerűsítést jelent, hogy az ütközés által kiváltott sebességeloszlásra a megtámasztási módokkal összeegyeztethető feltételezésekkel élünk. Ehhez a testet gyakran merevnek tekintjük.

164

Ezek után alkalmazzuk az impulzustételt az ütközés kezdetének t1 és végének t2 időpontjára (t2-t1=∆t): t2

I 2 − I1 = ∑ ∫ Fj dt. j

t1

A fenti kifejezésben elvileg az összes testre ható erő szerepel. Nyilvánvaló azonban, hogy csak azok az erők növekszenek meg a ∆t ütközési idő alatt, amelynek az ütközés következtében lépnek fel. Ezek mellett az összes többi erő elhanyagolhatóan kicsi lesz, nem kell őket figyelembe venni (ilyen pl. a súlyerő). Annak ellenére, hogy az ütközési erők ∆t→0-val a végtelenbe tartanak a lim t 2 Φj = Fj dt 2.185 ∆t → 0 ∫t1 melyet az Fj erő ütközési erőlökésnek nevezünk, véges mennyiség, hiszen az impulzusváltozás is véges mennyiség. Így

I 2 − I1 = ∑ Φ j = Φ ,

2.186

j

az impulzustételt tehát speciálisan az ütközésre a következőképpen fogalmazhatjuk: Tétel: Az impulzusváltozás az ütközés következtében fellépő erők ütközési erőlökésének összegével egyenlő. Bizonyítás: Írjuk fel a perdülettételt valamely álló 0 pontra: t2 t2   π 02 − π 01 = ∑ ∫ ( r0 j x Fj )dt = ∑ r0 j x ∫ Fj dt . j t1 j   t1  r0 j azért emelhető ki az integrájel elé, mert korábbi feltevéseinknek megfelelően a test helyzetét a ∆t időtartományban változatlannak tekintjük. Természetesen most is csak az ütközés következtében fellépő erőket kell figyelembe venni és az előbbi esethez hasonlóan a lim ∆t → 0

t1 + ∆t

( r0 j x

∫ Fjdt ) = r0 j x t1

lim ∆t → 0

t1 + ∆t

∫ F dt = r j

0j

x Φ j = Ψ0 j

2.187

t1

mennyiség véges a perdület véges megváltozása miatt. A Ψ0 j mennyiséget az Fj erő 0 pontra vonatkozó ütközési nyomatéklökésének nevezzük. Ezzel a perdülettétel az ütközés speciális esetére:

π 2 − π1 = ∑ ΑΨ0 j = Ψ0 ,

2.188

j

Szavakban: Tétel: Valamely álló pontra vonatkozó perdületváltozás az ütközés következtében fellépő erők 0 pontra vonatkozó ütközési nyomatéklökésének összegével egyenlő.

165

Tegyük fel, hogy két, egymással ütköző test az ütközés folyamán egy pontban érintkezik egymással. Ebben a pontban a közös érintő sík normálisa az ún. ütközési normális, egységvektora legyen n . Ha az ütközési normális átmegy mindkét test súlypontján centrikus, egyébként excentrikus ütközésről beszélünk. Ha a felületeket abszolút simának tekintjük, akkor az ütközési erőlökés vektora a normális irányba esik: Φ j = ±Φ jn és mindig a vizsgált test irányába mutat. Ha az ütköző testek egyébként szabad mozgást végeznek, akkor ütközési erőlökés csak az érintkezési pontban ébredhet. Ha ez n irányú, a (2.186) tétel szerint csak a normális irányú impulzuskomponensek változnak meg, azaz csak a normális irányú sebességkomponenesek változnak. (2.188) alapján pedig az ütközési normális bármely pontjára felírt perdületváltozás nulla. A (2.186) és (2.188) összefüggések azt mutatják, hogy a lökés által kiváltott sebességváltozásra az ütközési erőlökésnek jelentős szerepe van. Ezek azonban szintén az ütközési feladat ismeretlenei közé tartoznak. A fenti két egyenlet tehát nem elegendő az ismeretlenek (az ütközés utáni két sebességvektor és az ütközési erőlökés) meghatározására. A probléma megoldásához újabb idealizáló feltevésekkel kell élnünk. Így jutunk el a tökéletesen rugalmas és töké2.55. ábra letesen rugalmatlan test, ill. ütközés fogalmáig. Tökéletesen rugalmas ütközésről beszélünk, ha az ütközés folyamán a teljes mechanikai energia változtalan marad. Mivel a potenciális energia a test helyzetétől függ s ezt az ütközésnél változatlannak tételezzük fel, a kinetikai energiának kell az ütközés t1 és t2 pillanatában megegyeznie: E ( t 2 ) − E ( t 1 ) = 0.

2.189

Az ütközés folyamán a testek alakváltozást szenvednek, de a tiszta rugalmas deformáció miatt az ütközési idő végére teljes mértékben visszanyerik eredeti alakjukat. Az alakváltozásra fordított energiát tehát teljes mértékben visszanyerjük. Tökéletesen rugalmatlan ütközésnél az ütközési idő végére a testek érintkező pontja az ütközési normális irányban azonos sebességgel együtt mozog, tehát

[v 1 ( t 2 ) − v 2 ( t 2 )]n = 0.

2.190

Tangenciális (érintő) irányú elmozdulás természetesen felléphet, érintő irányban a sebességkomponensek különbözőek lehetnek. Az ütköző testek itt is deformálódnak, de a tiszte rugalmatlan alakváltozás következtében eredeti alakjukat nem nyerik vissza, sőt az ütközési időszak első ré-

166

szében megszerzett deformációjukat teljes mértékben megtartják. Az alakváltozásra fordított mechanikai energia hőenergiává alakul. A valóságos testek nem tökéletesen rugalmasak vagy rugalmatlanok, bizonyos mértékig mindkét tulajdonsággal rendelkeznek, így kisebb-nagyobb mértékű mechanikai energiaveszteséggel mindig kell számolni. A rendkívül bonyolult mechanikai folyamat matematikai leírásához bevezetjük a k, lökési tényező fogalmát, amely az ütközésben résztvevő testeket együttesen jellemzi, azok anyagi tulajdonságaitól függ. K értéke azonban jelenleg csak kísérleti úton határozható meg. Az ütközési tényező a két test ütközés utáni és előtti normális irányú relatív sebességkomponensének hányadosával egyenlő: k=

[v 2 ( t 2 ) − v1 ( t 2 )]n [v 2 ( t 1 ) − v1 ( t 1 )]n

0 ≤ k ≤1

és

2.191

Az összefüggés k = 1-re a tökéletesen rugalmas, k = 0-ra a tökéletesen rugalmatlan ütközés határeseteit adja. A (2.189) – (2.191) egyenletek valamelyikének felhasználásával lehetőség nyílik – legalábbis elvileg – az ütközési folyamatok ismeretleneinek meghatározására. 2.5. MECHANIKAI RENDSZEREK VIZSGÁLATA Az anyagi pont mozgásával kapcsolatos eredmények (pl. a bolygómozgások elméleti magyarázata) a 17. és 18. században azt a felfogást erősítették meg, hogy bármilyen anyagi rendszer, így a véges kiterjedésű test is, igen kis kiterjedésű anyagi pontok összességének tekinthető. n számú anyagi pontból álló rendszer esetén a mozgásegyenleteket az m i&r&i = Fi ,

i = 1,2,3,..., n

összefüggések adják. Ha ismerjük az anyagi pontokra ható Fi erőket a pontok helyének, sebességének és az időnek a függvényében, akkor a pontrendszer mozgásának meghatározása 3n számú skaláris másodrendű differenciálegyenletből álló egyenletrendszer megoldására vezethető vissza. Az anyagi pontokra ható erők külső és belső erőkre bonthatók. Ennek figyelembe vételével az anyagi pontrendszer alapfeltevései a következők: - a Newton-féle mozgástörvény:

m i&r&i = Fi + ∑ Fij

i, j = 1,2,....., n ,

j

ahol Fi - az i-edik pontra ható külső erők eredője, Fij - a j-edik pont által az i-edikre kifejtett belső erő, mi - az i-edik anyagi pont tömege, ri - az i-edik pont inerciarendszerbeli helyvektora. Az akció-reakció elve a belső erőkre: Fij = − Fji ,

167

ami egyben azt is feltételezi, hogy a belső erők centrálisak, azaz mindig az i és j pontokat összekötő egyenes mentén hatnak. A fenti értelmezés alapján természetesen Fii = 0, hiszen egy pont önmagára nem hat. Ezekből az alapfeltevésekből levezethető a pontrendszer három általános alaptétele: az impulzus-, a perdület- és az energiatétel. Ezeket a 2.3. pontban, a merev testek kinetikájánál megismertük. A pontrendszert szabadnak nevezzük, ha pontjainak mozgását semmi sem akadályozza. Kötött rendszernél néhány vagy az összes pont koordinátái vagy azok változásai között bizonyos, előírt összefüggéseknek kell fennállniuk, amelyeket mellék- vagy kényszerfeltételeknek nevezzük. Merev test esetén pl. azt a kényszerfeltételt kell előírni, hogy a pontok közti távolság a mozgás folyamán nem változhat meg: ( ri − r j ) 2 = ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 + (z i − z j ) 2 = áll. , i, j = 1,2,....., n. Kötött pontrendszernél a ható erőket két csoportba oszthatjuk. Kényszererők vagy reakcióerők azok az erők, amelyek a kényszerfeltételek miatt lépnek fel, ill. sztatikai szempontból azokat helyettesítik. A többi erő szabaderő. Ha a szabad erőkhöz hozzáadjuk a kényszererőket, a pontrendszer szabadnak tekinthető, azaz fennáll: m i&r&i = Fi + K i ,

i = 1,2......, n.

2.192

Az Fi -vel jelölt szabad erőket fizikai eredetű erőknek nevezhetjük, megadásuknál valamilyen fizikai méréssel meghatározható adatra van szükség. Szabad erő pl. a gravitációs erő, az elektromos, mágneses térben kialakuló erők. A K i -vel jelölt kényszererőket geometriai eredetű erőknek hívhatjuk, mert ezek a pontrendszerek egyes részei között fennálló, geometriai természetű kényszerfeltételektől függenek. Kényszererők lépnek fel pl. testek érintkezési felületein, pontjain. Természetesen mind a szabad, mind a kényszererők lehetnek külső és belső erők. A kétféle osztályozás szempontjai nem ugyanazok. A szabad erők rendszerint előre megadott erők, a kényszererők általában ismeretlenek. A mechanikai feladat egyik része éppen ezeknek a kényszererőknek a meghatározása. A mechanikai rendszerekkel kapcsolatos szerteágazó feladatok arra késztették a tudósokat, hogy a mechanika törvényeit minél egyszerűbb és általánosabb alakban, ún. mechanikai elvekben foglalják össze. Ezek az elvek egyrészt a Newton-féle axiómákat helyettesítik, ill. bizonyos szempontból kiegészítik, másrészt pedig lehetővé teszik a mozgásegyenletek tetszőleges koordinátákban való egyszerű felállítását azokban a bonyolultabb, kényszerfeltételeket is tartalmazó esetekben is, amelyeknél az eredeti Newton-féle törvények alkalmazása igen körülményes és nem mindig célravezető. Az alábbiakban röviden bemutatjuk a mechanika legfontosabb elveit Budó Á.(1) műve alapján. 2.5.1.. A VIRTUÁLIS MUNKA ELVE ÉS A D’ ALAMBERT-FÉLE ELV Vizsgáljunk egy olyan rendszert, amely tagjainak (pontjainak) mozgását előírt feltételek korlátozzák. Az ilyen kötött rendszerek speciális esetben – mikor nincsen semmiféle kötöttség – szabad rendszert is jelenthetnek. Ha a kényszerfeltételeket erőkkel helyettesítjük, akkor a rendszer mi tömegű pontjára ható Fi szabad erők és K i kényszererők hatására a pont formailag szabad

168

mozgást végez és alkalmazható rá a Newton alaptörvényének megfelelő (2.192) összefüggés. Ebben azonban a kényszererőket nem ismerjük, ezért azokra valamilyen feltevést kell tennünk. Az anyagi pont kényszermozgásánál (2.1.3.2. fejezet) azzal a feltevéssel éltünk, hogy a kényszererő hatásvonala merőleges az előírt kényszerfelületre vagy pályára. Pontrendszer esetén azonban ez a feltevés nem elegendő, mert más fajta, összetettebb kényszerek is előfordulhatnak (pl. előírhatjuk, hogy a pontok közti távolság a mozgás folyamán ne változzon). Általánosítható azonban egy, a kényszererők virtuális munkáján alapuló feltevés. A virtuális elmozdulás és virtuális munka fogalmát az előző szemeszterben már alaposan megismertük, most mégis röviden összefoglaljuk a virtuális elmozdulás ismérveit. A virtuális elmozdulás: - geometriailag lehetséges, azaz a megtámasztási és egyéb kényszerfeltételekkel, valamint a rendszer geometriai tulajdonságaival összeegyeztethető (kompatíbilis), - csak képzelt, nem kell a valóságban fellépnie, e feltevés lehetővé teszi, hogy a virtuális elmozdulás létrejöttéhez szükséges időt elhanyagoljuk, ill. nullának tekintsük ( δt = 0), - az elmozdulás a test méreteihez képest kicsi, a virtuális elmozdulás következtében a rendszernek csak olyan szomszédos helyzetei jöhetnek szóba, amelyek a kiindulási helyzethez tetszőlegesen közel vannak. A pontrendszer i-edik pontjának virtuális elmozdulását δri − vel jelöljük. Könnyen beláthatjuk, hogy a megfogásokban, megtámasztásokban ébredő kényszererők virtuális munkája a 2.56. ábrának megfelelően nulla (vagy azért, mert a kényszererő hatásvonala merőleges a virtuális elmozdulásra, vagy azért, mert erő virtuális forgásánál nem végez munkát, vagy mert a kényszer olyan, hogy nem léphet fel virtuális elmozdulás).

2.56. ábra Ha a rendszer két anyagi pontja között az előírt feltétel, hogy a köztük lévő távolság nem változhat meg, akkor kézenfekvő a kényszererőkről feltételeznünk, hogy azok hatásvonala a két pontot összekötő egyenesbe esik és K j = − K i . A két pont virtuális elmozdulása közötti kapcsolat

δr j = δri + δ ϕ xrij

169

formában írható fel a merevségi feltétel miatt. A két kényszererő teljes virtuális munkája ennek megfelelően: δW = K i δri + K j δr j = K i δri − K i (δri + δ ϕ xrij ) = K i (δ ϕxrij ) = 0. mert

Ki

rij .

A fentiek alapján a kényszererőkre a következő általános érvényű feltételezést tesszük: Bármely anyagi pontrendszerben a kényszererők teljes virtuális munkája nulla:

∑ K δr i

i

= 0.

2.193

1

Ez a megállapítás – mint a fenti példákon láttuk – bizonyos esetekben egyszerűbb feltevésekre vezethető vissza, de pusztán a Newton-féle axiómákból nem következik, így új posztulátumnak tekinthető. A feltételt más formában is kifejezhetjük, ha rendezzük (2.192)-t és beszorozzuk az egyenletet σri -vel, a virtuális elmozdulással:

∑ K δr i

i

= −∑ ( Fi − m i&r&i )δri ,

i

i

majd (2.193)-at is figyelembe véve:

∑ ( F − m &r& )δr i

i i

i

= 0,

2.194/a

i

amely a virtuális munka elvének és a d’Alembert elvének egyesített alakja. A d’Alembert-elv eredeti tartalma az volt, hogy a dinamikai probléma formálisan sztatikaira vezethető vissza úgy, hogy az adott szabad erőkhöz hozzáadjuk a − m i&r&i inerciaerőket. Más szavakkal, a rendszer úgy mozog, hogy a szabad erők és az ineciaerők minden pillanatban egyensúlyban vannak. Az egyensúlyra viszont alkalmazható a virtuális munka elve (melyet J.Bernoulli fogalmazott meg először általánosan: egy mechanikai rendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a rendszerre ható szabad erők teljes virtuális munkája nulla, ∑ Fi δri = 0). E gondolatmenetet alkalmazva Lagrange i

a (2.194) összefüggés felállításánál, melyet a d’Alembert-elv Lagrange-féle megfogalmazásának is nevezünk. Az elv a mechanika önálló elve, melyet – mivel a belőle levont következtetéseket a tapasztalat mindig igazolta általános érvényűnek tekintünk. Az elvet egyszerűbb formában is felírhatjuk derékszögű koordinátarendszerben az alábbi egyszerűsítő jelölés alkalmazásával n tömegpontból álló mechanikai rendszernél: x 1 ≡ x 1 , y1 ≡ x 2 , a helyvektor koordinátáinak jelölése.

z 1 ≡ x 3 ,....y n ≡ x 3n −1 ,

z n ≡ x 3n ,

170

X1 ≡ X1 , Y1 ≡ X 2 ,

Z1 ≡ X 3 ,....Yn ≡ X 3n −1 ,

Z n ≡ X 3n ,

az erővektor komponenseinek jelölése, m1 ≡ m1 = m 2 = m 3 ,...m n ≡ m 3n −2 = m 3n −1 = m 3n , az anyagi pontok tömegének jelölése. A jelölés figyelembevételével a d’Alembert-elv Lagrange-féle megfogalmazásának új alakja: 3n

∑ (X i =1

i

− m i &x& )δx i = 0.

2.194/b

i

2.5.2. A LAGRANGE-FÉLE FELSŐFAJÚ MOZGÁSEGYENLETEK A kényszerfeltételek osztályozása, melyet anyagi pontra a 2.1.3.2. fejezetben megismertünk, pontrendszerre is kiterjeszthető. Ha az n számú anyagi pontra vonatkozó kényszerfeltételt f k ( x 1 ,..., x 3n , t ) = 0

k = 1,2,...., r

2.195/a

alakba írhatjuk, a kényszerfeltételeket és magát a pontrendszert holonomnak nevezzük, ezen belül pedig szkleronomnak, ha az időt explicite nem tartalmazza, ha igen, reonomnak . A rendszer egy valóságos kis elmozdulásánál, amikor a koordináták dt idő alatt dxi-vel megváltoznak, a valóságos elmozdulásoknak ki kell elégíteniük (2.195/a) differenciálásából adódó δf k δf δf δf dx 1 + ... + k dx i + ... + k dx 3n + k dt = 0, δx 1 δx i δx 3n δt

k=1,2,…,r

2.195/b

egyenleteket. A holonom rendszert (2.195/b)-vel is definiálhatjuk. A (2.195/b)-nél általánosabb kényszerfeltételek is hasonló alakba írhatók: a k1dx 1 + ... + a ki dx i + ... + a k 3n dx 3n + a ko dt = 0,

k = 1,2,..., r ,

2.196

Ahol aki együtthatók az xi, t változók megadott függvényei, melyek azonban nem írhatók δf k / δx i alakban, vagyis (2.196) bal oldalán álló kifejezések nem integrálhatók, azaz nem teljes differenciálok. Az ilyen kényszerfeltételeket és magát a pontrendszert is anholonomnak nevezzük. Az anholonom rendszer is lehet szkleronom vagy reonom. A fentiek alapján a d’Alembert-elvben szereplő δx i virtuális elmozdulásoknak ki kell elégíteniük az a k1δx 1 + ... + a ki δx i + ... + a k 3n δx 3n = 0, feltételeket.

k = 1,2,..., r.

2.197

171

A Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenleteket, amelyeket anyagi pont esetén a 2.1.3.2. fejezetben levezettünk, most úgy kapjuk, hogy a (2.917) egyenletrendszer k-adik egyenletét megszorozzuk az egyenlőre ismeretlen λ k tényezővel és az így nyert összes egyenlet bal oldalát hozzáadjuk a d’Alembert-elv (2.194/b) alakjához: 3n

∑ (X i =1

i

− m i &x& i + λ 1a 1i + ... + λ r a ri )δx i = 0.

2.198

A λ k tényezők értékének alkalmas megválasztásával elérhetjük, hogy (2.196) fennállása mellett is mind a 3n számú virtuális elmozdulás értékét tetszőlegesen vehetjük fel úgy, hogy (2.198) is teljesüljön. Ha a δx i -k tetszőlegesek, akkor választhatjuk őket olyan speciálisan, hogy egy kivételével mind nulla legyen. Ha csak az i-edik virtuális elmozdulás nem nulla, akkor (2.198) csak úgy állhat fenn, ha a δx i együtthatója nulla, azaz m i &x& i = X i + λ1a 1i + ... + λ r a ri ,

i = 1,2,...,3n.

2.l99

(2.199) 3n számú egyenlete a (2.196)-tal megadott r számú egyenlettel együtt éppen elegendő egyenletet jelentenek a meghatározandó x1,…x3n koordináták és a λ1 ,...λ r együtthatók számára. A (2.199) jelű egyenletek a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek. Ha sikerül az egyenletrendszer integrálása, ami egyben a λ k faktorok meghatározhatóságát is jelenti, a kényszererőket már könnyen számíthatjuk (2.192) felhasználásával: K i = m i &x& i − X i = λ1a 1i + ... + λ r a ri ,

i = 1,2,...,3n.

2.200

Az egyszerűbb, holonom rendszereknél a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek az alábbi formát öltik: δf δf m i &x& i = X i + λ1 1 + ... + λ r r , i = 1,2,....3n, 2.201 δx 1 δx i ahol a kényszerfeltételeket (2.195/a)adja λ k -k meghatározása után a kényszererők:

K i = λ1

δf1 δf + ... + λ r r , δx i δx i

i = 1,2,....,3n.

2.202

A Lagrange-féle előfajú egyenletek tulajdonképpen nem mások, mint a d’Alerbert-elv analitikai kifejezései derékszögű koordinátákban. Ha valamennyi pont gyorsulása nulla, akkor az egyenletek az egyensúlyra vonatkozó virtuális munka elvének explicit alakját adják. Számítsuk ki ezek után a kényszererők teljes munkáját a rendszernek egy dt idő alatt végzett valóságos dxi elmozdulásánál (2.200) figyelembevételével: 3n

3n

r

3n

r

i =1

i =1

k =1

i =1

k =1

∑ K i dx i = ∑ (1 a 1i + ... + λ r a ri )dx i = ∑ (λ k ∑ a kidx i ) = −∑ λ k a k 0dt,

172

az utolsó egyenlőségnél (2.196)-ot használtuk fel. ak0 azonban csak időtől független, szkleronom kényszerfeltételek esetén nulla, így a (2.193)-ban megfogalmazott feltevést a következőképpen pontosíthatjuk: a kényszererők teljes munkája csak szleronom kényszerfeltételek esetén nulla, reonom rendszereknél nem. A (2.151) és (2.152) összefüggésekkel megadott munka- ill, energiamegmaradás tételénél felsorolt megkötések a fenti megállapításból következnek. Reonom rendszernél tehát egyik tétel sem érvényes. 2.5.3. HAMILTON – ELV A mechanika alaptörvénye d’Alembert elvén kívül több más alakban is megfogalmazható, az egyik legfontosabb a Hamilton-féle elv. Felállítására az a kérdés vezetett, hogy mi tünteti ki egy rendszernek a valóságos, a mechanikai törvények szerint lezajló mozgását az ettől kissé eltérőknek képzelt mozgásokkal szemben. Legyen az n anyagi pontból álló kényszerrenszer i-edik pontja a t0 időpillanatban a Pio helyen, a t1 pillanatban pedig a Pi1 helyen. E két helyzetet és köztük a pont valóságos pályáját mutatja a 2.57.ábra. A valóságos pályától kissé különbözőnek képzelt pályák, az ún. variált pályák egyikét úgy kapjuk, hogy a valóságos pálya minden egyes pontjához egy másik pontot rendelünk. A hozzárendelés, más szóval a variálás módja bizonyos fokig meg2.57. ábra állapodás kérdése. Végezzük a variálást a következő feltételeknek megfelelően: δt = 0, δx i ( t ) = x 'i ( t ) − x i ( t ),

2.203

δx i ( t 0 ) = δx i ( t 1 ) = 0. az első egyenlőség azt jelenti, hogy a tényleges és a variált pálya P és P’ pontja ugyanahhoz az időponthoz tartozik, röviden úgy mondjuk, hogy az időt nem variáljuk, a harmadik összefüggés azt jelenti, hogy a valóságos és a variált pálya kezdő és végpontja egybeesik, azaz a határokon a pályakoordinátákat nem variáljuk, a második összefüggés azt jelöli, hogy a t1-t0 időintervallumban a pálya pontjainak variációi kielégítik a kényszerfeltételeket, azaz δx i -k tetszőleges virtuális elmozdulásokat jelentenek. A δx i -ket az idő differenciáléható függvényeinek tekintjük. Ekkor (2.203) második összefüggés alapján fennáll: d dx , i dx i (δx i ) = − = x& ' i ( t ) − x& i ( t ), dt dt dt a jobb oldal a variált és a valóságos mozgás sebességének különbsége, (2.203) alapján:

173

x& 'i ( t ) − x& i ( t ) = δx& i = δ

dx i , dt

azaz dx d δx i = δ i = δx& i , dt dt vagyis d/dt és δ operációk a variálás (2.203)-nak megfelelő módja esetén felcserélhetők. Használjuk fel ezt a megállapítást a d’Alembert-elv (2.194/b) alakjának második tagjára: 3n 3n d d d  & & & & m i x i δx i = ∑  ( x i δx i ) − x i δx i  m i = ∑ m i ( x& i δx i ) − ∑ dt dt  i =1 i =1  dt i =1 3n

3n

− ∑ m i x& i = i =1

3n d 3n 1 & m x δ x − δ m i x& i2 . ∑ ∑ i i i dt i =1 i =1 2

Helyettesítsük ezt vissza (2.194/b)-be, rendezés után: 3n 3n d 3n 1 2 & & m x δ x = δ m x + X i δx i = δE + δ ∗ W, ∑ ∑ ∑ i i i i i dt i =1 i =1 2 i =1

ahol δE a rendszer kinetikai energiájának a variációja, δ∗ W pedig a szabad erők virtuális munkája (nem a W függvény δW variációja, erre figyelmeztet a δ∗ jelölés). Integráljuk a fenti egyenletet az idő szerint a to és t1 határok között: t1

3n

∑ m i x i δx i i =1

t1 to

= ∫ (δE + δ ∗ W )dt. to

Ennek az összefüggésnek a bal oldala (2.203) harmadik feltétele miatt eltűnik ( δx i a határpontokban nulla). Az ily módon előálló egyenletet az általánosított Hamilton-féle elv: t1

∗

∫ (δE + δ W)dt = 0.

2.204

to

Ha csak egyszerűen Hamilton-elvről beszélünk, akkor azon az általánosított Hamilton-elv konzervatív erőrendszerekre értelmezett formáját értjük. Ilyenkor ugyanis a szabad erőknek van potenciáljuk: 3n

3n

i =1

i =1

δ∗ W = ∑ X i δx i = − ∑

δU δx i = − δU, δx i

ennek megfelelően (2.204) a következőképpen alakul:

174

t1

t1

t1

to

to

to

∫ δ( E − U)dt = δ ∫ ( E − U)dt = δ ∫ Ldt = 0,

2.205

mert az integrálás és a variálás sorrendje felcserélhető, hiszen a variálás az integrációs határokra (2.203) értelmében nem vonatkozik. A kinetikai és a potenciális energia különbségét Lagrangeféle függvénynek vagy kinetikai potenciálnak nevezzük. A Hamilton-elv, ill. (2.205) azt fejezi ki, hogy konzervatív rendszer két helyzete között a valóságosan bekövetkező mozgásnál (pályánál) a Lagrange-függvény idő szerinti integrálja stacionárius (szélső érték vagy inflexiós hely), azaz a szomszédos, variált pályákon számított értékekhez viszonyítva az t1

∫ Ldt = extrémum.

2.206

t0

Hamilton elve, amely a d’Alembert-féle differenciál-elvvel szemben integrál-elv, vagy szorosabb értelemben véve variációs elv, elsősorban azért nagy jelentőségű, mert megfogalmazásában koordinátarendszerre való hivatkozás nem szerepel. A kinetikai és potenciális energiát, mint a koordinátarendszer megválasztásától független fizikai mennyiségeket, bármilyen koordinátarendszerben kifejezhetjük, ezekből pedig a Hamilton-elv alapján a variációszámítás módszerével a mozgásegyenleteket közvetlenül, szinte automatikusan felírhatjuk. 2.5.4. A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ÉS A HAMILTON-ELV Mint oly sokszor a matematika történetében a variációszámítás kidolgozásának is a mechanika igénye adta a döntő lökést. J. Bernoulli 1696-ban közölte az alábbi feladatot, ill. annak megoldását. Függőleges síkban található két pont között mozog egy m tömegű pont a súlyerő hatására. Határozzuk meg ezt a pályát, amelyen a tömegpont a legrövidebb idő alatt és a felső pontból az alsóba (2.58. ábra). A feladat matematikai megfogalmazását a következőképpen adhatjuk meg. A tömegpont sebességét az energiamegmaradás tételéből számíthatjuk. Ha a kezdő sebesség nulla:

2

1 1  ds  mv 2 = M   = mg( h − y ), 2 2  dt 

2.58. ábra ennek befutásához szükséges idő:

ahol h – a kezdő- és végpont távolságának függőleges vetülete. A pálya elemi hosszúságú íveleme: ds = − 1 + y' 2 dx ,

175

dt = −

1 + y' 2 dx . 2g( h − y )

Ennek integrálásával kapjuk a mozgás idejét, amit minimalizálni kell:

T=−

1 2g

o

∫ a

1 + y' 2 dx = min imum. h−y

Keressük tehát a pályagörbének olyan y = y(x) függvényét, amelyre a fenti kifejezés minimumot ad és amelyre teljesül az a határfeltétel, hogy a görbe átmegy a kezdő- és végponton. A példát, mint a variációszámítás legegyszerűbb feladatát, a következőképpen általánosíthatjuk. Meghatározandó az x független változónak egy olyan y = y(x) függvénye, amelyre az x1

I = ∫ F( x , y, y' )dx = extrémum

2.207

x0

határozott integrálnak szélső értéke van, ahol y’ = dy/dx és F integrandusz – az ún. alkotó- vagy alapfüggvény – az x,y,y’ változók megadott függvénye. A keresett függvénynek az értéke a határokon általában kikötött: y = (x o ) = y o ,

y( x 1 ) = y 1

2.208

ezek az ún. határfeltételek. Előfordulhat, hogy x-nek több függvényét is keressük és a határfeltételeken kívül mellékfeltételeket is ki kell kötnünk. Természetesen x és y bármely mennyiséget jelenthetnek, pl. x lehet idő, y pedig távolság. A Hamilton-elv esetén a variációs feladat egy kicsit általánosabb (2.207)-nél. Keressük a t független változónak azokat az xi = xi(t) függvényeit, amelyeknél t1

I = ∫ F( x 1 ,..., x 3n ,

x& 1 ,...., x& 3n , t )dt = extrémum

2.209

to

x i ( t o ) = x io ,

x i ( t 1 ) = x 1i

i = 1,2,....,3n.

2.210

Az F alapfüggvény és a to, t1, x 1i értékek adottak. Adjuk meg az xi = xi(t) függvényektől kissé eltérő függvényeket a következő módon: x i' = x i ( t ) + ε i w i ( t ),

i = 1,2,....3n ,

2.211

i = 1,2,....3n

2.212

ahol wi(t) tetszőleges, csak a w i ( t o ) = w i ( t 1 ) = 0,

176

határfeltételeknek eleget tevő függvények. Ha az ε i eleve kicsi konstansok a nulla felé tartanak, az x ,i görbék a keresett xi függvényekbe mennek át. A (2.211) variált görbékre vonatkozó (2.207) integrál az ε i − k függvényének tekinthető: t1

& 1 ,...., t )dt = I(ε i ) = ∫ F( x 1 + ε1 w 1 ,...., x& 1 + ε1 w to 1   δF δF & 1 + ....dt , = ∫ F( x 1 ,...., x& 1 ,..., t ) + ε1 w 1 + .... + ε1 w δx 1 δx& 1  to 

t

2.213

ahol az F függvényt Taylor-sorba fejtettük az ε i -ben lineáris tagokig bezárólag. Ilyen módon a feladatot arra vezettük vissza, hogy az I( ε i ) többváltozós függvények az ε i = 0-ra szélső értéke legyen. Ennek szükséges feltétele:

 δI( ε i )  = 0,  δε  i  εi =0 

i = 1,2,....,3n.

A sorbafejtett F függvényre elvégezhetjük a differenciálást: 1  δI(ε i )   δF δF  &i = +w   w i  dt = 0, ∫ δx& i   δε i  ε =0 t o  δx i

t

i = 1,2,....,3n.

2.214

Az integrálás és a differenciálás sorrendje azért cserélhető fel, mert az integrál határai függetlenek ε i -ktől. Az előző egyenlet második tagját parciális integrálással átalakíthatjuk:  δF  δF ∫t w& i δx& i dt = w i δx& i o t1

t1

t1 t0

− ∫ wi to

d δF dt , dt δx& i

a jobb oldal első tagja a (2.212) határfeltételek miatt eltűnik, így (2.214) a következő alakba írható: t1  δF d δF  ∫t w i  δx i − dt δx& i dt = 0. 0

Mivel a wi(t) függvény tetszőleges, az integrál csak úgy lehet nulla, ha a zárójelben lévő kifejezés a to=t1 intervallum minden helyén nulla. Ezzel a variációs feladatot visszavezetjük az ún. Euler(vagy Euler-Lagrange-) féle differenciálegyenletre:

d δF δF − = 0, dt δx& i δx i

i = 1,2,.....3n ,

2.215

177

amelyek 3n számú közönséges másodrendű differenciálegyenletet jelentenek a keresett x1(t),…,x3n(t) függvények számára. Az Euler-féle egyenletek megoldásait jelentő görbék az ún. extremálisok. Ezek közül - az integrációs állandóknak alkalmas értéket adva – általában kiválasztjuk a (2.210) határfeltételeknek eleget tevő görbéket is. Annak eldöntése, hogy a meghatározott extremális mentén a variációs feladat 1 integráljának maximuma, minimuma vagy inflexiós pontja van, már nehezebb, de a mechanikában csak ritkán előforduló probléma. A Hamilton-féle elv a fentiek szerint a konzervatív pontrendszer mozgásának problémáját variációs feladatra vezeti vissza. A pontrendszer xi = xi(t) koordinátái úgy határozandók meg, hogy t1

∫ Ldt = extrémum to

legyen. n pontból álló rendszernél

L=E−U=

1 3n m i x& 12 − U( x 1 ,..., x 3n ). ∑ 2 i =1

A variációs feladat Euler-féle egyenleteit megkapjuk, ha (2.215)-öt L-re alkalmazzuk:

d δU (m i x& i ) + = Xi , dt δx i

i = 1,2,....,3n,

2.216

amelyek éppen a konzervatív szabad rendszerre vonatkozó Newton-féle mozgásegyenletek. Kötött rendszernél a (2.196) kényszerfeltételeket figyelembe véve, a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenleteket kapjuk. 2.5.5. A LAGRANGE-FÉLE MÁSODFAJÚ MOZGÁSEGYENLETEK Számtalan mechanikai probléma megoldása lényegesen egyszerűsödik, ha derékszögű koordinátarendszer helyett más koordinátákat választunk. Ha a mechanikai rendszer r számú kényszerfeltétele holonom, vagyis (2.195/a)-val adható meg, a 3n derékszögű koordináta közül csupán 3n – r független, azaz a rendszer szabadsági foka: f = 3n – r . Az ilyen rendszer helyzetét f számú, egymástól független q1 , q 2 ,...., q f

2.217

adat egyértelműen meghatározza. A qi mennyiségeket általános koordinátáknak hívjuk. Általános koordináták pl. a szabadon mozgó merev test f = 6 szabadságfokának megfelelően a súlypont mozgását (helyét) megadó 3 koordináta és az Euler-féle szögek, melyek a forgásból származó helyzetet rögzítik. A 2.59. ábrán vázolt, síkmozgást végző rendszer szabadságfoka f = 2, az általános koordináták a forgómozgást végző rúd helyzetét megadó szög: q1 = ϕ és a rúdon transzlációs mozgást végző csúszka rúdvégtől mért távolsága: q2 = x.

178

Az általános koordináták idő szerinti deriváltjait általános sebességkomponenseknek nevezzük: q& 1 , q& 2 ,...., q& f .

2.218

A qi-k a rendszer helyzetét egyértelműen meghatározzák, ezért a derékszögű koordináták a qi-kel kifejezhetők, xi-k a qi-k egyértékű és mindig meghatározható függvényei: xi = xi(q1,….,qf,t),

i = 1,2,….,3n.

2.219 2.59. ábra

Ennek az összefüggésnek a felhasználásával a derékszögű sebességkomponensek is kifejezhetők a qi és q& i mennyiségekkel: x& i =

δx 1 δx δx q& 1 + ... + i q& f + i , δq 1 δq f δt

i = 1,2,....,3n.

2.220

A keresett egyenletek levezetéséhez nem konzervatív rendszereknél az általánosított Hamilton-elvből indulhatunk ki. A rendszer mozgási energiája most az általános koordináták, az általános sebességkomponensek és az időnek a függvénye, így (2.204) zárójelének első tagja, amely a mozgási energia variációja: f  δE  δE δE = ∑  δq k + δq& k  δq& k k =1  δq k 

2.221

(Egy tetszőleges függvény variációja formailag a teljes differenciálra emlékeztet, a t-nek megfelelő tag azért hiányzik, mert a variálásnak (2.203) szerint olyan módját választottuk, amelynél δt = 0 ). (2.204) második tagja a szabad erők virtuális munkája: 3n

δ ∗ w = ∑ x i δx i , i =1

(2.219) szerint azonban xi variációi, vagyis a virtuális elmozdulások: δx i =

δx i δx δq 1 + ... + i δq f , δq 1 δq f

i = 1,2,....3n.

Ezeket behelyettesítve az előző egyenletbe megállapíthatjuk, hogy a virtuális munka a δq k − k homogén lineáris kifejezése lesz: f

δ ∗ W = Q1δq 1 + .... + Q f δq f = ∑ Q k δq k , k =1

2.222

179

ahol Q k = 3n ∑ X i i =1

δx i , δq k

k = 1,2,..., f .

2.223

Ezeket a Qk mennyiségeket, amelyeket a megadott Xi erőkomponensek és az előzetesen megválasztott koordináták (2.219)-en keresztül teljesen meghatároznak, s amelyek a qi, q& i és t mennyiségek függvényeinek tekinthetők: Q k = Q k (q 1 ,...., q f , q& 1 ,...., q& f , t ),

k = 1,2,...., f ,

2.224

általános erőkomponenseknek nevezzük. A qk-hoz tartozó Qk-k szorzata munka dimenziójú mennyiség, ennek megfelelően, ha qk hosszúságot jelent, Qk erő dimenziójú, ha qk szöget jelent, Qk nyomaték dimenziójú általános erő. Helyettesítsük be (2.221)-et és (2.223)-at (2.204)-be: t1 f

  δE

∫ ∑  δq

t 0 k =1



k

  δE + Q k  δq k + δq& k  dt = 0 . δq& k  

2.225

Ennek szumma jel utáni második tagja parciális integrálással átalakítható: δE d δE ∫t δq& k dt (δq k )dt = δq& k δq k o t1

d  δE    δq k dt , dt  δq& k  t0 t1

t1 to

−∫

ebben azonban a bal oldal első tagja a (2.203) harmadik kifejezésével megadott határfeltételek miatt eltűnik, ezért (2.225) a következő alakot ölti: t1 f

 δE

∫ ∑  δq

t o k =1

k

+ Qk −

d δE   δq k dt = 0. dt δq& k 

Ez – mivel δq k -ket tetszőlegesen választhatjuk – csak úgy teljesülhet, ha a zárójelben álló kifejezés nulla. Ily módon megkaptuk a holonom rendszerekre vonatkozó Lagrange-féle másodfokú másodfokú mozgásegyenleteket:

d δE δE − = Qk , dt δq& k δq k

k = 1,2,..., f .

2.226

Ha a rendszer konzervatív, vagyis van olyan U = U(xi), ill. (2.219) miatt olyan U = U(qk) potenδU ciál, amellyel X i = − , akkor az általános erő (2.223)definíciójának megfelelően: βδx i

180

3n

Qk = ∑ Xi i =1

3n δx i δU( x i ) δU δx i δU = −∑ =− =− . δq k δq k δq k i =1 δx i δq k

Ezt (2.226)-ba helyettesítve:

d δE δE δU − =− , dt δq& k δq k δq k

k = 1,2,....., f .

2.227

U nem függ az általános sebességkomponensektől, ezért (2.227)-et L=(E-U)-val, a kinetikus potenciállal is felírhatjuk:

d δL δL − = 0, dt δq& k δq k

k = 1,2,...., f .

2.228

Konzervatív rendszerek esetén (2.28)-at közvetlenül is felírhatjuk a Hamilton-elv felhasználásával. A Lagrange-függvényt az általános koordináták, az általános sebességkomponensek és az idő függvényének tekintve: L = E − U = L(q k q& k t ), a Hamilton-elvhez, mint variációs feladathoz tartozó Euler-féle egyenletek (2.215) szerint éppen (2.28)-at adják. Megemlítjük még, hogy anholonom rendszerek esetén a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek a

δE d δE − = Q k + λ 1a 1k + .... + λ r a rk , dt δq k δg k

k = 1,2,...., f

2.229

formában érvényesek, amelyek az r számú mellékfeltétellel együtt a keresett q1,…,qf és λ1 ,...λ r ismeretlenek számára a kellő számú egyenletet adják. A Lagrange-féle másodfokú egyenletek a mechanika számára az alkalmazások szempontjából az egyik legjobban használható módszert adják, elsősorban akkor, ha a kényszerfeltételek igen összetettek (bár – felhívjuk rá a figyelmet – csak véges szabadságfokú mechanikai rendszerek esetén érvényesek).

181

Felhasznált és ajánlott irodalom 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Budó, Á.: Mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest 1964. Falk, S.: Műszaki mechanika I. és II. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972. Hajdu, E.: Útmutató és példatár a Mechanika III. c. tárgyhoz. Kézirat, EFE Sopron, 1982. Huszár, I.: Mechanika III. Kinematika-kinetika. Jegyzet. GATE Gödöllő, 1980. Ludvig, Gy.: Gépek dinamikája. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. Magnus, K.: Schwingungen. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 1961. Muttnyánszky, Á.: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965. Parkus, H.: Mechanika der festen Körper. Springer-Verlag, Wien-New York, 1983. Terplan, Z.: Mechanizmusok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1962. Ziegler, H.: Mechanik der starren Körper und Systeme. Birkhauser-Verlag, Basel und Stuttgart 1966. Szabó, I.: Einführung in die technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin-GöttingenHeidelberg, 1954. Szabó,I.: Höhere technische Mechanik. Springer-Verlag. Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1958. Szabó, I.: Repertorium und Übungsbuch der technischen Mechanik. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1960.

82

E néhány dalban….

E néhány dalban ifjúságom, Minden szép álmom eltemetve. Csak a könny van még a szemembe, Elszállt sok édes, balga álmom. De mégis, míg az örök este Reám borultát félve várom, Dalokba olvadt ifjúságom Hadd jusson még egyszer eszembe. Még egyszer ….s aztán durva lábon Taposni a hervadt virágon, Jöjjön el hát, jöjjön az élet. E néhány dal megőriz téged, Ezerszer szent édes emléked, Hervadt virágom: ifjúságom! Ady Endre

2. KINETIKA. A kinetika tárgya és felosztása

Recommend Documents