Vraag 1 Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen met een debiet van s liter per minuut. Het (door roeren) homogeen mengsel verlaat de tank met een debiet van r liter (r < s) per minuut. Na m minuten wordt de eerste faze stopgezet. Tijdens de tweede faze is het instromend water zuiver. De in- en uitstroomdebieten blijven onveranderd. Gevraagd: 1. Bepaal op elk ogenblik van de eerste faze, t ∈ [0, m], de hoeveelheid zout in de tank. 2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? 3. Schets de grafiek van het volledige verloop (eerste en tweede faze) van de hoeveelheid zout in de tank in het concrete geval waar V = 100, s = 10, r = 5, m = 30, k = 1/2. Geef de telkens de verschillende stappen in de oplossingsmethode voor de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen. Vraag 1 Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter water waarin Z kilogram zout is opgelost. Tijdens de eerste faze stroomt zuiver water de tank binnen met een debiet van s liter per minuut. Het (door roeren) homogeen mengsel verlaat de tank met een debiet van r liter (r < s) per minuut. Na m minuten wordt de eerste faze stopgezet. Tijdens de tweede faze bevat het instromend water zout met een concentratie van k kilogram per liter. De in- en uitstroomsnelheden blijven onveranderd. Gevraagd: 1. Bepaal op elk ogenblik van de eerste faze, t ∈ [0, m], de hoeveelheid zout in de tank. 2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, te verdubbelen? 3. Schets de grafiek van het volledige verloop (eerste en tweede faze) van de hoeveelheid zout in de tank in het concrete geval waar V = 100, Z = 20, s = 10, r = 5, m = 30, k = 1/2. Geef de telkens de verschillende stappen in de oplossingsmethode voor de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen. Vraag 1 Gegeven: de functie f met f (x) =
p
1 + tan (3x), x ∈
π 3
, π2
Gevraagd: 1. Toon aan dat de inverse functie φ bestaat; bepaal desgevallend domein en bereik van φ.
2. Onderzoek, zonder φ expliciet te bepalen, de continu¨ıteit en afleidbaarheid van φ. q √ 0 3+ 3 3. Bereken, zonder φ expliciet te bepalen, φ . 3 4. Bepaal nu de expliciete gedaante van φ. Vraag 1 Gegeven: de functie f met f (x) = √
1 , 1+sin (2x)
x ∈ π, 5π 4
Gevraagd: 1. Toon aan dat de inverse functie φ bestaat; bepaal desgevallend domein en bereik van φ. 2. Onderzoek, zonder φ expliciet te bepalen, de continu¨ıteit en afleidbaarheid van φ. √ 0 3. Bereken, zonder φ expliciet te bepalen, φ 23 . 4. Bepaal nu de expliciete gedaante van φ. Vraag 1 Gegeven: de causale functie f , laplacetransformeerbaar in het halfvlak {z ∈ C : Re(z) > −1} met L (f (t)) = L(z). Gevraagd: 1. Onderzoek de convergentie van de oneigenlijke integraal Z +∞ f (t)dt. −∞
2. Onderzoek de fouriertransformeerbaarheid van de functie f en stel een formule op die het fourierbeeld van f uitdrukt in functie van het laplacebeeld van f . 3. Maak gebruik van het gekende laplacebeeld van f (t) = cos (t)Y (t) en de formule afgeleid in (b) om het fourierbeeld te bepalen van exp(−t) cos (t)Y (t). 4. Bepaal, met behulp van de formule afgeleid in (b), een fourierorgineel van 1 . 1 − iaω Vraag 1 Gegeven: de causale functie f , laplacetransformeerbaar in het halfvlak {z ∈ C : Re(z) > −1} met L (f (t)) = L(z). Gevraagd: 1. Onderzoek de convergentie van de oneigenlijke integraal Z +∞ f (t)dt. −∞
2. Onderzoek de fouriertransformeerbaarheid van de functie f en stel een formule op die het fourierbeeld van f uitdrukt in functie van het laplacebeeld van f . 3. Maak gebruik van het gekende laplacebeeld van f (t) = sin (t)Y (t) en de formule afgeleid in (b) om het fourierbeeld te bepalen van exp(−t) sin (t)Y (t). 4. Bepaal, met behulp van de formule afgeleid in (b), een fourierorgineel van 1 . 1 + iaω Vraag 1 Een massa van 8 kg rekt een veer 1, 5 dm uit. Het verticaal opgehangen veersysteem heeft een dempingselement dat een weerstandskracht uitoefent die recht evenredig is (evenredigheidsconstante γ) met de grootte van de snelheid van het voorwerp. Er is geen externe aandrijvingskracht. Op het begintijdstip wordt het voorwerp 2 dm omhoog geduwd en zonder meer losgelaten. Gevraagd: 1. Bepaal de beweging van het voorwerp met bespreking naargelang γ. 2. Visualiseer voor een zelfgekozen waarde van γ in elk van de bekomen gevallen. Geef de telkens de verschillende stappen in de oplossingsmethode voor de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen. Vraag 1 Een massa van 12 kg rekt een veer 22, 5 cm uit. Het verticaal opgehangen veersysteem heeft een dempingselement dat een weerstandskracht uitoefent die recht evenredig is (evenredigheidsconstante γ) met de grootte van de snelheid van het voorwerp. Er is geen externe aandrijvingskracht. Op het begintijdstip wordt het voorwerp 30 cm omhoog geduwd en zonder meer losgelaten. Gevraagd: 1. Bepaal de beweging van het voorwerp met bespreking naargelang γ. 2. Visualiseer voor een zelfgekozen waarde van γ in elk van de bekomen gevallen. Geef de telkens de verschillende stappen in de oplossingsmethode voor de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen. Vraag 2 Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur. 1. Als f en g integreerbaar zijn over [a, b] en g(x) > 0 voor alle x ∈ [a, b] dan is het quoti¨ent f /g integreerbaar over [a, b].
2. De uitgebreide riemannintegraal P
Z 1
ua du (u − 1)a+1
is convergent voor alle P > 1 en a ∈] − 1, 0[. 3. Zij f en f 0 continue functies in ]0, +∞[ en f 00 stuksgewijze continu in elk begrensd interval; onderstel verder dat f , f 0 en f 00 laplacetransformeerbaar zijn voor Re(z) > γ. Dan geldt er in het beschouwde halfvlak dat L[f 00 (t)](z) = z 2 L[f (t)](z) − zf (0+) − f 0 (0+). 4. Als een re¨eel tijdssignaal f (t) fouriertransformeerbaar is, geldt voor het fourierbeeld F (ω) dat |F (ω)| = |F (−ω)|. +∞ P < 1 dan convergeert ze. 5. Als voor alle termen van de reeks an geldt dat an+1 an n=1
6. De negatieve-machtenreeks
+∞ P n=1
3n x2n
convergeert uniform in [2, 5].
1. Als limx→x0 f (x) = 1 en g is begrensd in een omgeving van x0 , dan bestaat limx→x0 f (x).g(x). 2. De uitgebreide riemannintegraal P
Z 0
xa dx (x + 1)a+1
is convergent voor alle P > 0 en a ∈] − 1, 0[. 3. Als f (t) een re¨eelwaardige, absoluut integreerbare, stuksgewijze gladde functie is met fourierbeeld F (ω), dan is voor elke R > 0 Z
R
F (ω) exp(itω)dω −R
re¨eelwaardig. 4. Zij f en f 0 continue functies in R en f 00 stuksgewijze continu in elk begrensd interval; onderstel verder dat f , f 0 en f 00 laplacetransformeerbaar zijn voor Re(z) > γ. Dan geldt er in het beschouwde halfvlak dat L[f 00 (t)](z) = z 2 L[f (t)](z). 5. Als de rij van positieve getallen (an ) naar nul nadert, dan convergeert
+∞ P
(−1)n an .
n=1
6. De negatieve-machtenreeks
+∞ P n=0
2n x2n+1
convergeert uniform in [2, 5].
1. Als a, b en c positieve getallen zijn, dan naderen alle oplossingen van ay 00 (t) + by 0 (t) + cy(t) = 0 tot 0 als t → +∞. 2. De differentiaalvergelijking x2 y 00 + xy 0 + y = 0 bezit in ] − ∞, +∞[ een algemene oplossing met twee arbitraire constanten.
3. Het beginvoorwaardenprobleem x 1p 2 y0 = − − x + 4y, 2 2
y(0) = 1
bezit een unieke oplossing in ] − 2, +∞[. 4. De uitgebreide riemannintegraal 1
Z 0
xa dx (x − 1)a+1
is convergent voor alle a ∈] − 1, 0[. 5. Als de fouriertransformeerbare functie f (t) re¨eelwaardig en oneven is, dan is haar fourierbeeld F (ω) zuiver imaginair en oneven. 6. De complexe fourierreeks van een re¨eelwaardige, stuksgewijze gladde, periodieke functie is re¨eelwaardig. 1. Als a, b en c positieve getallen zijn, en g(x) is een continue functie, dan nadert het verschil van twee oplossingen van ay 00 (t) + by 0 (t) + cy(t) = 0 tot 0 als t → +∞. 2. De differentiaalvergelijking x2 y 00 − xy 0 + y = 0 bezit in ] − ∞, +∞[ een algemene oplossing met twee arbitraire constanten. 3. Het beginvoorwaardenprobleem x 1p 2 y0 = − − x + 4y, 2 2
y(0) = 1
bezit een unieke oplossing in ] − ∞, 2[. 4. De uitgebreide riemannintegraal Z
0
−1
(x + 1)a dx xa+1
is convergent voor alle a ∈] − 1, 0[. 5. Als de fouriertransformeerbare functie f (t) zuiver imaginair en even is, dan is haar fourierbeeld F (ω) zuiver imaginair en even. 6. De complexe fourierco¨effici¨enten ck van een re¨eelwaardige, stuksgewijze gladde, periodieke functie voldoen aan |ck | = |c−k |. 1. Voor alle x > 0 geldt er dat arctan(x) = − arctan( x1 ) + π2 . 2. De Wronskiaanse determinant W van twee lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = 0, in hetzelfde interval, voldoet aan W 0 +p(x)W = 0. 3. Het beginvoorwaardenprobleem x2 y 00 + xy 0 + x2 y = 0, y(0+) = 1, y 0 (0+) = 0 bezit een unieke oplossing in ]0, +∞[.
4. Het beginvoorwaardenprobleem y0 =
x 1p 2 + x − 4y, 2 2
y(1) = 0
bezit een unieke oplossing in ] − ∞, 2[. 5. De uitgebreide riemannintegraal
x
Z 0
cos(t) √ dt t
is convergent voor elke x > 0. 6. Zij f stuksgewijze glad op het interval [−L, L] en daarbuiten periodiek uitgebreid. Als f oneven is en de rechte x = L2 als symmetrie-as van haar grafiek bezit, dan bevat de fourierreeks van f enkel termen van de vorm sin( (2k+1)πx ), k = 0, 1, 2, . . .. L 1. Voor alle x < 0 geldt er dat arctan(x) = − arctan( x1 ) − π2 . 2. De Wronskiaanse determinant W van twee lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = 0, in hetzelfde interval, neemt een exponenti¨ele gedaante aan. 3. Het beginvoorwaardenprobleem x2 y 00 + xy 0 + (x2 − 1)y = 0, y(0+) = 0, y 0 (0+) = 1, bezit een unieke oplossing in ]0, +∞[. 4. Het beginvoorwaardenprobleem y0 =
x 1p 2 + x − 4y, 2 2
y(1) = 0
bezit een unieke oplossing in ]2, +∞[. 5. De uitgebreide riemannintegraal Z 0
x
sin(t) √ dt t
is convergent voor elke x > 0. 6. Zij f stuksgewijze glad op het interval [−L, L] en daarbuiten periodiek uitgebreid. Als f oneven is en bovendien het punt ( L2 , 0) als punt van symmetrie van haar grafiek bezit, dan bevat de fourierreeks van f enkel termen van de vorm sin( 2kπx ), k = 1, 2, . . .. L 1. Het beginvoorwaardenprobleem y 00 + xy 0 2 = 0, y(1) = 0, y 0 (1) = 1 heeft een unieke oplossing in ] − ∞, +∞[. 2. De uitgebreide riemannintegraal Z 0
a
ln(x) dx x 2 − a2
is voor geen enkele positieve waarde van a convergent. 3. Voor alle waarden van p waarvoor beide leden bestaan, voldoet de Gamma-functie aan de eigenschap Γ(p + 1) = pΓ(p).
4. Als de fouriertransformeerbare functie f (t) zuiver imaginair en even is, dan is haar fourierbeeld F (ω) zuiver imaginair en oneven. 5. Zij g(t), t ∈ R, een causale functie, afleidbaar in ] − ∞, b[ en in ]b, +∞[, met sprongpunt in b (b > 0), en onderstel dat de laplacebeelden van g en g 0 bestaan voor Re(z) > γ; dan is in dat gebied L[g 0 (t)](z) = zL[g(t)](z) − [g(b+) − g(b−)] exp(−bz) 6. Zij f (x) stuksgewijze glad en periodiek met periode 2L, dan voldoen de complexe fourierco¨effici¨enten ck van f aan 1 2L
Z
L 2
|f (x)| dx = −L
+∞ X
|ck |2
k=−∞
1. Het beginvoorwaardenprobleem y 00 − xy 0 2 = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0 heeft een unieke oplossing in ] − ∞, +∞[. 2. De oneigenlijke integraal +∞
Z a
ln(x) dx x2 − a2
is voor geen enkele positieve waarde van a convergent. 3. De Gamma-functie heeft oneindig veel vertikale asymptoten. 4. Als de fouriertransformeerbare functie f (t) zuiver imaginair en oneven is, dan is haar fourierbeeld F (ω) re¨eelwaardig en even. 5. Zij g(t), t ∈ R, een causale functie, afleidbaar in ]0, b[ en in ]b, +∞[, met sprongpunt in b (b > 0), en onderstel dat de laplacebeelden van g en g 0 bestaan voor Re(z) > γ; dan is in dat gebied L[g 0 (t)](z) = zL[g(t)](z) − [g(b+) − g(b−)] exp(−bz) 6. Zij f (x) re¨eelwaardig, stuksgewijze glad en periodiek met periode 2L, dan voldoen de re¨ele fourierco¨effici¨enten ak , bk van f aan 1 2L
Z
+∞
L
f 2 (x)dx =
−L
a20 1 X 2 (a + b2k ) + 4 2 k=1 k
Vraag 3 Gegeven: f (x) = x2 in [0, π] Gevraagd: 1. Ontwikkel de functie in een fourierreeks die enkel cosinustermen bevat. 2. Gebruik de gevonden fourierreeks om
+∞ P n=1
(−1)n n2
te berekenen.
+∞ P 1 3. Stel de formule van Parseval op en pas toe op de beschouwde functie om te bereken4 n=1 nen.
Vraag 3 Gegeven: f (x) = π − x in [0, π] Gevraagd: 1. Ontwikkel de functie in een fourierreeks die enkel cosinustermen bevat. 2. Gebruik de gevonden fourierreeks om
+∞ P n=0
1 (2n+1)2
te berekenen.
3. Stel de formule van Parseval op en pas toe op de beschouwde functie om
+∞ P n=1
1 (2n−1)4
te
berekenen. Vraag 3 Gegeven: de functie f (z) =
z2
z +z−6
Gevraagd: 1. Ontwikkel f (z) in een reeks van positieve machten van z. Waar is deze positieve machtreeks convergent? Preciseer het soort convergentie! 2. Ontwikkel f (z) in een reeks van negatieve machten van z. machtreeks convergent? Preciseer het soort convergentie!
Waar is deze negatieve
3. De functie f (z) is het Z-beeld van een numerieke rij. Bepaal deze rij en het convergentiegebied van haar Z-beeld. 4. Bepaal een orgineel van het Laplacebeeld f (z). In welk gebied geldt de convergentie? Vraag 3 Gegeven: de functie f (z) =
z2
z , a ∈ C\{0} + a2
Gevraagd: 1. Ontwikkel f (z) in een reeks van positieve machten van z. Waar is deze positieve machtreeks convergent? Preciseer het soort convergentie! 2. Ontwikkel f (z) in een reeks van negatieve machten van z. machtreeks convergent? Preciseer het soort convergentie!
Waar is deze negatieve
3. De functie f (z) is het Z-beeld van een numerieke rij. Bepaal deze rij en het convergentiegebied van haar Z-beeld. 4. Bepaal een orgineel van het Laplacebeeld f (z). In welk gebied geldt de convergentie?
Vraag 3 Gegeven: +∞ X 3(−1)k x 3k+1 3k + 1 3 k=0
Gevraagd: 1. Onderzoek de betrekkelijke en absolute puntsgewijze convergentie van de gegeven functiereeks voor x ∈ R. 2. Onderzoek de gelijkmatige convergentie van de gegeven functiereeks voor x ∈ R. 3. Bepaal (door termsgewijze afleiding of primitivering) de reekssomfunctie. Vraag 3 Gegeven: +∞ X
(−1)n+1 ncot (2x) met x ∈ ]0, π[.
n=1
Gevraagd: 1. Toon aan dat de reeks
∞ X 1 1 1 = 1 + p + ... + p + ... p n 2 n n=1
convergeert voor p > 1 en divergeert voor 0 < p < 1. 2. Bepaal nu, mede m.b.v. (1), de intervallen van absolute en betrekkelijke puntsgewijze convergentie van de gegeven reeks. Vraag 3 Gegeven: +∞ X
i π πh (−1)n+1 ntan (2x) met x ∈ − , . 2 2 n=1
Gevraagd: 1. Toon aan dat de reeks
∞ X 1 1 1 = 1 + p + ... + p + ... p n 2 n n=1
convergeert voor p > 1 en divergeert voor 0 < p < 1. 2. Bepaal nu, mede m.b.v. (1), de intervallen van absolute en betrekkelijke puntsgewijze convergentie van de gegeven reeks.
