Bab
1.1
1
Analisis Vektor
I
Besaran-besaran Skalar dan Vektor Besaran-besaran skalar adalah besaran-besaran fisika atau kimia yang hanya memiliki harga mutlak (harga absolut) dan tidak memiliki arah tertentu. Contoh besaran skalar adalah massa (n), waktu (r), temperatur (7), volume (V), resistansi (R), kapasitansi (Q, induktansi (l), fluks magnetik (p), permeabilitas magnetik (p), permitivitas listrik (e), frekuensi (f, entropi (s), enthalpi (II), daya (P), energi (@, kalori/panas (O), kerja (W), dan lain-lainnya. Besaran-besaran vektor adalah besaran-besaran fisika atau disiplin ilmu teknik yang memiliki harga absolut dan arah tertentu. Contoh besaran vektor adalah gaya (F), kecepatan (v), percepatan (a), intensitas medan listrik (E), intensitas medan magnetik (H), rapat fluks listrik (D), rapat fluks magnetik (B), energi torsi (T), vektor jarak (r, s), vektor luas bidang datar (S, A), vektor Poynting, dan lain-lainnya. Simbol yang biasa digunakan untuk besaran-besaran vektor adalah huruf yang dicetak tebal atau huruf yang dilengkapi dengan tanda anak panah di atasnya. Sebagai contoh, vektor F ditulis F. Arah vektor ditunjukkan oleh arah vektor satuannya a, yar'g dilengkapi dengan subskrip huruf yang menjadi simbol besaran vektor tersebut. Sebagai contoh vektor gaya F ditulis F = Far di mana F adalah harga absolut vektor F, lFl. Di dalam sistem koordinat kartesian tiga dimensi, sembarang vektor F dapat ditulis
F = Fa" = di mana l-
T* lF3*
f
=
(4* 4 *
\
+ F,
*
F. =
\a, *
Fru,
* F.".
Fl)I/2 = harga absolut vektor F.
Uraian tiga dimensi dari vektor satuan dF adalah
ar.= di mana
o= P= / =
F/F
+ FlFar+ F!Fa.= cos aa.r + cos pa, + cos g
sudut antara sumbu-x dengan vekror saruan sudut antara sumbu-y dengan a" dan sudut antara sumbu-z dengan a, cos
adalah koefisien-koefisien arah
F a= 1l;
a_
a,
-n.F, = ;i; cos ), = ;i
cos B
di sepanjang sumbu-x,
sumbu-_r. dan
sunbu-: dari vektor F.
Komponen-komponen Vektor pada Sisfem Koordinat Di dalam disiplin ilmu
medan elektromagnetika, untuk mendapa*an solusi tasus per kasus diperlukan pendekatan dengan sistem koordinat tertentu. Sebagai contoL tmr\ Eodapatkan rumus kapasitansi suatu kapasitor pelat datar sejajar, kita cukup mempergrmatan sisn koadinat kartesian; untuk mendapatkan rumus kapasitansi suatu kapasitor silinder diperluta FDdettu dengan sistem koordinat silinder: dan untuk mendapatkan rumus kapasitansi gntu k4asitor yang berbentuk kerucut diperlukan pendekatan dengan sistem koordinat bola Sembarang vektor F di dalam sistem koordinat kartesian tig dimi dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya, yaitu vektor \ di sepanjang sumbo-r a sejajar sumbu-x, vektor F, di sepanjang sumbu-y atau sejajar sumbu-y, dan vektor F- di :pjang sumbu-z atau sejajar sumbu-2. Jadi
F = F. + F,, + F. = Fra, +
Er, *
F_l-
Di dalam sistem koordinat silinder tiga dimensi, komponen-kompooen vektor F adalah F., masing-masing dalam arah radial. arah sudut azimut. dan arah
pgg$Ilder-atau
dengannya. Jadi
3?r'.;f;S: J.,1
F*
dan
I F = Fo + F, + F- = Frao+ Fpo + F-a-
.>\,.-
Fo,
yang sejajar
#,.;ffi
{
T I
:l
ii i!,t
M e d an Elektrom ag netika
Terapan
Pada sisteL koordinat bola tiga dimensi, komponen-komponen vektor F adalah F., Fp dan masing-masing dalam arah jari-jari bola r, arah sudut 4 dan arah sudut azimuth Q. Jadi
F'
F = F, + Fo + FQ= F,^,+ F&e+ Fra, dengan ar, as, dan
1.2
a, masing-masing adalah vektor-vektor satuan arah dan r, 0, dan
Q.
Aljabar Vektor Aljabar vektor terdiri dari perkalian antara besaran skalar dengan besaran vektor, penjumlahan atau pengurangan dua atau lebih besaran vektor, perkalian titik atau perkalian skalar antara dua besaran vektor, dan perkalian vektor antara dua atau lebih vektor.
Perkalian Bilangan Skalar dengan Vektor Perkalian bilangan skalar dengan suatu besaran vektor akan menghasilkan sebuah vektor baru, yang arahnya tidak berubah tetapi harga absolut vektor baru tersebut adalah harga vektor sebelumnya dikalikan dengan bilangan skalar tadi. Sembarang vektor A ketika dikalikan dengan bilangan skalar ft akan menghasilkan vektor baru B, dengan kata lain B = k. Arah vektor B sama dengan arah vektor A tetapi harga absolut vektor B menjadi ft kali harga absolut vektor A. Perkalian bilangan skalar dengan besaran vektor mengikuti hukum-hukum berikut ini:
1. 2.
sHi .i{
HukumAsosiatif:
(k+ /XA +B) -ft(A +B) +/(A +B), ftdan ladalahbilangan skalar.
Hukum Distributif: (ft + /XA + B) = kA + kB + /A + /8.
.ir ...4
I
c*
{ t $ it
i
Penjumlahan Dua atau Lebih Vektor Penjumlahan sembarang vektor A dan sembarang vektor B akan menghasilkan vektor baru C yang
mengikuti hukum-hukum berikut ini:
1.
Hukum Komutatif:
A+B=B+A=C
I
Secara grafik, vektor C adalah diagonal dari jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah vektor A dan vektor B, seperti terlihat dalam Gambar 1.1. Dengan demikian, harga absolut vektor C ditentukan oleh harga absolut vektor A, harga absolut vektor B, dan sudut antara vektor A dan vektor B, dengan demikian harga absolut vektor C akan mengikuti aturan cosinus berikut ini:
2.
C = (A2 + 82 + 2AB cos
0)1tz
Hukum asosiatif:
(A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B
Garnbr
f
.t Perirrfalat vebr A dan veldor B secara grafik.
Bab
1
Analisis Vektor
, Perkalian Titik antara Dua Vektor Perkalian titik antara sembarang vektor A dengan sembarang vektor B akan menghasilkan besaran skalar C. Sifat perkalian titik ini mengikuti hukum komutarif:
o
":l,;::,
di mana 0 adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B. Perkalian titik antara vektor-vektor satuan untuk tiap{iap sistem koordinat dituliskan di bawah ini Untuk sistem koordinat kartesian:
8r'8" = 1; Perkalian
titik
a).ay = 1;
Ar.zr=
1
antara vektor-vektor lainnya akan bernilai nol, karena saling tegak lurus.
Untuk sistem koordinat silinder:
?-r'
Ar=l'
aO.
aQ=l;
ar. Ar=I
lainnya bemilai nol, karena saling tegak lurus. Untuk sistem koordinat bola:
7r' O,=1'
a6. ar=
l;
ao. an- |
lainnya bernilai nol, karena saling tegak lurus. Dengan demikian, perkalian titik antara sembarang sistem koordinat kartesian tiga dimensi adalah
.
reltcr -{
dengan sembarang vektor
B dalam
A.B = (ArNr+A,r++A_a.)-tB,t,-8,,a+Bl,
-
Ap, * AP, + A!, = (A2, + A2, + Az-'1ttr lE, * d, * d-r:: Sehingga sudut antara sembarang vektor
A dan semboag
rcbr
B
css 0
&Lb
e="or-'[44.A'4_:_*8.
JikadiketahuivektorAB=3a,+4a_,+5a.mdanvektorAC=le.--:.,--I.-m-enrukanluassegitigaABC Solusi
AB = = AC = = cos 0 =
harga absolut vektor AB
-
(32
+ 4l
*
-
(22
+ 3l
*
7,05 meter harga absolut vektor AC
4,69 meter (3)(2) + (a)(3) + (5X3)/(7,05X.1.69)
1i,L?
Med a n Elektrom ag netika Tera pa n
rcos0
33/33,06 = 0,998
cos2 o
0,996
Dengan demikian, kita peroleh
Luas segitiga
ABC ==
-
cos2 g)r/2
T]rr;,i,ir^Yrir;'_i;^r, ^'" 2 ^,(1 Produk Titik antara Vektor Satuan Sisfem Koordinat Kariesian dengan Sisfem Koordinat Silinder A*' vp- cos @, lr' zQ= -sin Q, ar' ar= 0 ar' ap - sin @, ay. aQ- cos @, &, . t. = 0 zr. Np= 0, ar. a, = 0, Lr. zr= | Produk Titik antara Vektor Satuan Sisfem Koordinat Kartesian dengan Sisfem Koordinat Bola
ir.
Ar= sin 0cos
Q,
zy'2,=
sin 0 sin 0,
Lr. Zr=
COS
9,
ar.ae= cos 0cos
ar'ar=
@,
ar'ao = -sin 0
cos 0cos Q, ar'aQ = cos 0
a.' a0= -sin 0, ar' ar=
0
Perkalian Silang antara Dua Vektor Perkalian silang (cross product) antara dua vektor yang berlainan jenis besaran fisiknya akan menghasilkan satu vektor baru yang jenis besaran fisiknyajuga berbeda. Sebagai contoh, perkalian silang antara vektor momen magnetik m dengan vektor rapat fluks magnetik B akan menghasilkan vektor energi torsi magnetik T. Jika vektor m memiliki satuan ampere metef dan vektor rapat fluks magnetik B memiliki satuan tesla (f, maka vektor torsi magnetik memiliki satuan Joule
T=mxBJoule Perkalian silang antara vektor kecepatan v dari muatan i'jrlk Q dengan vektor rapat fluks magnetik B yang serbasama (homogen) menghasilkan vektor gaya Lorentz per satuan muatan. Perkalian silang antara vektor arus listrik I yang mengalir pada kawat lurus sepanjang / dengan vektor rapat fluks B yang serba sama di sekitar kawat lurus yang dialiri arus l akan menghasilkan veklor gaya per satuan panjang, yang juga sering disebut vektor gaya Lorentz per saruan panjatrg. Vektor momen torsi mekanik T adalah perkalian silang antara vektor jarak r den-gan velror gaya F. Demikian juga, vektor poynting P adalah produk silang antara vektor kuar rFlaD listrik E dengan vektor kuat medan magnetik H.
P=ExH\\'rn-: Secara umum. perkalian silang
r,c&rrr -t d-ra rmbarang vektor B akan n uff basifr kmuutif, karena FErbbr Ax D=JxA=C
anr.ara
menghasilkan vektor baru C- n ttrrn
di mana vektor C tegak lurus dengan vehor a den juga tegak lurus dengan vektor B,
CI-A
dan Cl-B
r -t:f
Bab
1
Analisis Vektor
Harga absolut vektor B.
vetlr C adalah lcl = lAl lBl sin g, di mana g adalah sudut anrara vektor A dan
Berikut ini adalah perkalian silang antara vektor-vektor satuan di dalam sistem koordinat
kartesian:
8rX&y =-alxar=a, a)Xaz =-arXAr=A, AzX Ax = -O, X lr= 7y
".d
x
Ax t,'
.;\
Dengan demikian, perkalian silang antara sembarang vektor karresian tiga dimensi adalah
A
dengan vektor B di dalam sistem
,\oor{inat
i
t;
.: t,
A x B = (Ara,+ Ayay+
_ /j''i \ i4 rl -:r F-;o i\ i:
/*ir-
= (AFr-
ArBr)a,
x(B,a,* Br^r+ g-a_) + (Ap,- A,B,)a, + (AFr-- A,B.,)az
Arar)
=C,ar+Crar+Cra,
€
Jadi harga absolut vektor C adalah
C = (A2, + A2, + A2r)t/2 {82,+ 82, + 82.)t/z sin 0 = ((Ap, - AF), + (Ap, _ AF,), + (AF, _ A,B,)\t/2
(l.l)
Dari Persamaan (1.1) kita peroleh
sin0=
((A,B:- A:B))l +(A.4 - A,B-l: +(ArBr. -
Muatan titik 0 = 50 pC bergerak dengan keceparan yang serba sama B = (4a, + 5a, + 3a_; mT-
r
=
le, - {e
g1 3 d1
ArBy)2)v2
.'Lrlm rctrcr induksi magnetik
Tentukan:
(a) (b) (c)
gaya Lorentz per satuan muatan padrsudut antara vektor v dan B, 0
e
vektor gaya, F. *
Solusi
(a) FlQ=yyg
(3a,
+
(20a, (b)
S
= fooo
lvl = (32
+
+
225
-
4ar)
x (4a, + 5a, +
15a,
-
a.)
x
+ gtrz 1gz = 2s,o4-3
42)r/2 m/s
5a-) x
10-3 N/C
5
= 5 m/s
Dari hasil di atas kita peroleh maka, sin a =
$ffi --llPl!!f-
g = sin-r(o,7lo6) .15. 3o' =
= o.7ro6
M ed an El e
ktromagneti ka
Te
ra pa n
(c) P -rQvxb = 5 x lo-5(20a" - l5a, - a.) x lo-3 N = (100a, -75ar- 5a.) x l0-8 N
1.3
Vektor Jarak Vektor jarak dari sebuah titik ke titik lain atau vektor jarak dari sebuah titik ke sebuah bidang tertentu penting dipelajari karena kita akan membutuhkannya dalam pemecahan persoalan-persoalan tertentu.
Vektor Jarak dari Titik ke Titik vektor jarak dari sembarang
titik
A(xo, 16, za) ke sembarang titik B(x",
ro, = (x6 - xo)a,+ Sedangkan vektor jarak dari sembarang
ruo = (x1
Diketahui
-
titik B(xr,
xu)a"+
titikA(1,2,3)m, titik8(4,6,8)
-
(ya
Cva
Ja)au
yB,
z)
+
(26
-
!8,
(r.2)
zo)a,
ke sembarang titik A(xo,
- !s)a, + (zo - z)a,
m, dan titik
z6) adalah
c(3,3,5) m,
lt, z)
adalah (
1.3)
tentukan:
(a) ren, (b) rlo (c) 0, sudut antara rAB dan rr., dan (d) luas segitiga ABC. Solusi
(a)
Vektor
(b) (c)
Vektor ro. = 2a,
t
t
I i
ro, = (4 - 1)a" + (16 - 2)a, + (8 -3)a,- 3a"+ 4ar+ 5ar; lrrrl = (9 + 16 + 25)tt2 = 7,05 m
*
Sudut antara vektor rou dan vektor ror, 0, dapat diperoleh dari penurunan rumus perkalian titik antara vektor ro, dan ro., yaitu B
(d)
ar+ 2arm; lro.l = 3 m
=
Luas segitiga ABC =
"or-t (
3.2+4.1+5.2
(7,05) (3)
7,05
x
3
0 = cos-r 0,9302
=
21._s.
Sin 21,5' = 3.8 ml
Vektor Jarak dari Titik ke Bidang \tisalkan kita ingin mengetahui vekror jarak dari sembarang titik P(xo, !r, zo)ke sembarang bidang r: .,Lr + By + Cz = D, kita memerlukan titik-titik potong antara bidang u ddngan sumbu-x, sumbu-r- dan sumbu-: yang secara berturut-turut adalah: x = DlA, y = D/8, dan 1= DlC. Ambil jarak dari
1
Bab
Analisis Vektor
titikasal Okebidang u=a,cos bidang a
a= aAlD;cos B-
a BlD;coS Jz= a ClD.Vektor satuannormal
ou,'=cosaax+cosBar+cos/u,=-+
0.4)
+-+
Vektor garis normal N di sepanjang aM atau vektor jarak bidang a ke
titik asal O adalah
!Bu' aca. ) ,'_-[=( -oAu' D ---D----6-)
hl ff
Bidang yang melalui titik p(xr,lo,
z)
dan sejajar bidang
Ax + By + Cz =
ho *
Blo
u
*
il
adalah bidang w.
Czo
= D,
Dari Persamaan (1.4) diperoleh
lal = cosz d+
maka
cos2 B
+
y- l
cosz
l#F .Fg)'*lE)'='
,i
(1.s)
'=(*rSr..)"' Kita misalkan
a'
adalahjarak dari bidang
a= Jarak skalar dari
(
,' ke titik asal O, maka
G4#vryE=fff,;fi*
titik P ke bidang z
1.6)
adalah jarak dari bidang w ke bi.rrng rr].arru d
(r.7) =
la,
-
al atau
AxorByo+Cye-Dl
'=l -(ffiF)-l
l I !
Vektor jarak dari titik
p ke bidang u
adalah
* ,,, -!^tzlcv,:2]f_g. Yu=(A*,Jot+82+c2 D
I
i.:r'i'
'': :'.: i,
l'
:
]t
_
rou=
da*
(1.8)
Maka
!!3, _ acaD D,
,
_r--.11,-h,-Ce.
- l-.i- - tF-::l
I .' Irr:ii:
Tentukan harga skalar dan harga
".U
Solusi Jarak skalar dari ritik p(5, 5, 5) m ke bidang
u
adalah
*lst+l(5t- I , _(Axo+ B)'o+C:ol- D _=-ffi=6.e3m h'=-(Gr--}= lr51
(1'e)
Medan Eleffiromagnetika TeraPan
/ektor jarak dari titik P ke bidang u adalah
*-BY
+ Ba" + ca-)
=-l(tu, oti4aL(Aa, dA"+B'+C') tpu - -4a, - 4a, - 4a, m
tpu
Titik potong-titik potong antara bidang a dengan sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z berturut-turut adalah dan R(0, 0' 5) m' P(3, 0, 0) m, O(0, 4, 0) m, Tentukan:
(a) (b) (c) (d) (e)
vektor r"n, vektor r"o luas segitiga PQR, persamaan bidang u,
vektor satuan normal bidang u terhadap vektor rapat fluks D =
yi
(a, + 2a, + a.)
YanB menembus
bidang z secara serbasama,
f)
flukslistrik0=D'u.
Solusi
(a) rrn = -3a, + 4a, m (b) tro = -3a,+ 5a. m (c) Luas segitiga PQR
(d)
=
lVrn,
,rol
adalaha.
Titik-titik
|tmlZnn
=
= 13'865 m2
adalah Ax + By + Cz = D dan misalkan jarak dari titik asal ke bidang potong bidung a dengan sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z berturut-turut adalah P(3.
Misalkan persamaan bidang
u
= tl2Qa, + t5a, + t2a,l
I
0, 0), Q(0, 4, 0), dan R(0, 0, 5). Dari sini kita peroleh koefisien-koefisien arah bidang u.
cosa=tro dengan bantuan persamaan cos2q,
"o"P=lo +
cos2B
"o"y
+ cos2y=
=lo
1
kita akan memperoleh harga a = 2,22.
(e)
Vektor satuan normal adalah o,v =cos q, ax
(0
+cosBa, + cos /
^,
=+
^,
*+
^,
*!',
Fluks listrik adalah
D.Sron = 5 x 10{(a, +2ay + a,)'(!a, *T", +!a)13,865 = (51,282 + 76,95 + 30,78) x l0{ c = 1589,01 pC.
Tentukan vektor jarak dari titik P(4, 5, 6) m ke bidang u: 3x + 2y + z = 6 m'
Solusi Tnrt poong-titik potong
dn
antara bidang a dengan sumbu--r, .t'.
r0. 0. 61. Kafisien-koefisien arah bidang u:
d"' :
b.tEr*rr fl
{l-
I 1
'!'
3' Ot
10
Bab
1
Analisis Vektor
"ota=t;
dan berlaku
F=!;
cos
"oty =ft:
"'(i*+. +)= I arau o2 (0,:sss) = l, sehinsga a=1,6 Vektor satuan normal bidangnya adalah
a,
= 0.8a* + 0.553a, + 0.267a,
+, =
(ffi)",
= 5,882(0,82a, + 0,533a, + 0,267a,) m Jadi vektor
iarakro,= 4,71a,+ 3,135 ar+
1,57
arm
ffi Diketahui bidang u: x -t
(a) (b) (c)
!
-r
1= l.
Tentukan koefisien-koefisien arah bila arah vektor lr,rs bidang menuju titik asal O(0, 0. 0). Seperti bagian (a), namun arah vektor menjauhi titik asal O(0, 0, 0),
juga vektor jarak titik asal O(0, 0, 0) ke bidang rr.
Tentukan
rn,,.
Solusi
.l^ll cosa=-r6i (a)
cosp=---i
cos/=---:
(b) "o.o=*#; cosB=a-l' cosT=+-L (c)
Jarak dari O(0, 0, 0) ke bidang u
cosd=f
=.s., jadia={
Jadi vektor jarak dari titik asal O(0, 0, 0) ke bidang a adalah
"*=+u,*1",*1.-
1.4
Transformasi Sistem Koordinat Transformasi sistem koordinat yang akan dibahas di sini mlipri rrfui kartesian ke sistem koordinat silinder, transformasi sistem koudforr & kartesian, transformasi sistem koordinat kartesian ke sistem koa&r boh koordinat bola ke sistem koordinat kartesian.
Transformasi Sisfem Koordinat Kartesian ke Srsferrr Variabel posisi x, y, dan z diubah menjadi p, Q, dan z denSn
sforem koordinat
tr
ci{rem koordinat
dr rasfqmasi
sistem
Sru
IEF-ltfr
Fnmaan-persamfful
di bawah ini.
p=(^Fiv),
4 = cos-r
-=+ x' + \
)'-
= sia-l
-+.rbn; -r- + .
-;
_r'-
Jadi sembarang titik P(x, y, z) di dalam sistem kmrdinat tatesian dapat ditransformasi ke sistem koordinat silinder menjadi P(p, Q, z). Sembarang veltor F = F,a. + F,a, + F-a- di dalam sistem
i.'t
Medan Elektromagnetika
Terapan
11
koordinafkartesian bila ditransformasikan ke sistem koordinat silinder akan menjadi vektor Fo Fo^r* Fraf + Frar, di mana:
Fr= (F,a*+ Fyay+
Frar)
. zp= F,cos @+ F, sin =
Fr= (F*ar+ Fyay+
Frar\
.ao= -Frsin
@
@
+ F, sin
@
=
* #= v,r +y
v.r +y =p-rrF J^x t2 +y2
xF t2 +y 2
,
y
vx
"Jx
Fr= Fr, tidak berubah dalam transformasi ini.
W Transformasikan vektor gaya F= 3a, + 4arN ke sistem koordinat silinder di titik P(3, 4, 5) m. Apakah harga absolut F berubah setelah transformasi?
Solusi
F = Frar+ Fra, ')
*0, .* ,L l^ ( -rF, , xF. =( -lT I.(JE7J i7;7j "'. [F i4. 1,1.{1j "' = - (3x3)_+_l4l(4) * tf${)p
({?;F
("F * +,) ",
"n
= 5aoN. harga absolut F tidak berubah setelah transformasi yaitu 5 Newton.
W Transformasikan F = 25a" N ke sistem koordinat silinder di titik P (p = 3 m, Q
=
60", e = 5 m).
Solusi
F =Frar+Fra,
=[er.ffi)",.[6, =
(4
=
12.5
cos Q)
ap
-
ap + (-sin
@
{)
.d?q]",
a4
21.65 ap Newton
Transformasi Sisfem Koordinat Silinder ke Sistem
KmtM
lbrtesian
Variabel posisi suatu titik (p, Q, z) di dalam sistem koordinat
x-pcosa- -r-psinG Sembarang vektor dalam sistem koordinar
silinfu F = Ff,
rlen z=2. +F
Vr+ F-a, apabila ditransformasikan
ke sistem koordinat kartesian akan menjadi velxor F = F,a- + F-4..
+
F-a-
Bab
12
1
Analisis Vektor
(
di
mana:
Fr=F'at =
+ Frar. a, + Frar.
Fp^p. a,
= F, cos Fy= F .
- Frsin Q +Fpap ' ar+ Frar. ay+ Fzaz. ay
(1.10)
+ Frcos
(1.u)
Q
^y=
= F, sin
a,
Q
Q
Fr= F,
Diketahui vektor di dalam sistem koordinat silinder F = dalam koordinat kartesian di P(3,45",4).
Sap
+
6a, + 8a., transformasikan vektor tersebut ke
Solusi
p =(Fncos @-Frsinp)a,+
(Fosin Q+ FOcosQ)ar+ Fra, 6 sin 45o)a, + (5 sin 45" + 6 cos 45o)au + 8a.
-
(5 cos 45'
-
=
4,70ia,+
7,78a, + 8a.
ffi Transformasikan F = 25a, ke dalam sistem koordina kartcsian di
riril A3-
45.- 4r.
Solusi
F =Frar+Fra, 1Fra, -Focos @,+Frsinpar+0 = 25 cos 45oa, + 25 sin
=
17,675^"
+
$"
45oa,
17,675a, $fi ,:1
Transformasi Slsfem Koordinat Kartesian ke Srslem
l(mffi
fula
.1'r
Variabel posisi suatu titik (x, I, z) pada koordinat kartesian dry dlrdcmasikan ke variabel posisi (r, 0, 0 pada sistem koordinat bola dengan menggunalen prrlr'lpersamaan di bawah
ini
,=(rt +y'+22)
(r.12)
0 = sudut antara sumbu-z dan r
-co*-l-4 .l*2+y2+a2
(
1.13)
0 = sudut antara sumbu-x dan r sin 0 rV = tall '1
;i:E ":
'*;: ^-..\
L
***o 8*,',:'i
\. i:
i.t t{1
.f
(1.14)
Med a n Eleffirom ag netika Tera pan
(
Sembarang vektor
13
di dalam sistem koordinat kartesian
F = Fra, + Fyay+ Fzaz dapat kita ubah ke dalam sistem koordinat bola menjadi
F = Fp,+ F&e+ Fra, di mana
Fr= F. ar= Frar. ar+ kita ketahui
sin0= sin d =
dan
Fyay. ar+ Fzaz. ar
cos0=
--=-l:, (J"' * y')
cos@=
(1. l
Fo= F, cos 0 cos
Q
FQ=-F'
Fzaz. ae
+ F, cos 0 sin Q - Frsin 0
F, = F . a, = Fra* . ao+
kita peroleh juga
x
(,F;t)
Fe= F.ae= FFr. ae+ Fyay. ae+
kita peroleh
Fyay
s)
. ao+
Fzaz.
(1.16)
aQ
sin @+Frcos @+0
(
1.17)
Jika diketahui vektor F = 5a, dalam sistem koordinat kartesian, transformasikan vektor F ini ke dalam sistem
koordinat bola di titik P(r = 2 m,0 = 60o, Q - 30').
Solusi
F
= F, sin gcos ta,+ F*cos gcos = 3,75x, + 2,1655a, - 2,5s,
@e- Frsin @,
Transformasi Slsfem Koordinat Bola ke Sisfem Koordinat Kartesian Variabel posisi suatu
variabel posisi (x, persamaan
l,
titik (r, e, O di dalam sistem koordinat bola dapat ditransformasikan ke z) di dalam sistem koordinat kartesian dengan menggunakan persamaan-
di bawah ini.
r=rsin0cos@ )=rsin0cos@
z=rcos0
(1.18) (1.1e) (
1.20)
Sembarang vektor F = F F,+ F rar+ F ,ardi dalam sistem koordinat bola apabila ditransformasikan F = F,ar+ Fuan + Fra.di dalam sistem koordinat kartesian akan menjadi
ke vektor
ir+ Fra, . ax+ Foaa' r, = { sin Ocos @+ Fo cos 0 cos d- Fosin d F. = F, ' 2.,= F,a,' a,+ Fp"' e, + Fal, ' 1
F, = F. t"= F pr.
tl.2tI
14
Bab
'l
Analisis VeWor
{ sin 0 sin + Fa cos 0 sin + Frcos F, = F.tr= FF,. ar+ Fp, . az+ Foao . az - F, cos 0 - F, sin I + 0 =
@
@
(1.22)
@
(1.23)
ffi Diketahui vektor di dalam sistem koordinat bola F = 3a,+ 4a, + 4ar. Nyatakan vektor F tersebut dalam sistem koordinat kartesian di titik P(r = 2 m,0 = 135o, 0= 30').
Solusi
p = (3)(sin 135")(cos 30') + (4)(cos 135")(cos 30") -
= +1,837
2,449
-
2 = -2,579
Fr= (3)(sin 135')(sin 30") + (4)(cos =
1,058
-
(4)(sin 30')
:€
135")(sin 30') + (4)(cos 30')
v€i: ':.!i,-
1,414 + 3,464 = 3,059
F' = (3)(cos 135")
-
(4)(sin 135") = 4,935
F =Fra r+Frar+Fzlaz Maka F = -2,579a, + 3,059a, -
4,935a"
ffi F = -2579 a, + 3,059 a, 0=135",0=30').
Nyatakan vektor
4,935 a- dalam sisrem koudina bola di titik P(r = 2 m,
Solusi
i.
F, = F"sin 0cos
Fe
@
+ F, sin
I
=
(-2,579)(sin 135')(cos 30') + (3,09)(sin 135'Xsin 30")
=
-1,579
+
"t
sin @ + Fz cos 0 (lihat Persanaan (l-l5D
-
t--l-9-r5lcc
135"t
1,081 + 3,493 = 3
= F"cos 0cos
@+ F, cos 0 sin @-
{
sin 0
= -(2,579)(cos 135')(cos 30') + (3,059)(cos 135'Xsin 3(Ft - rJ-935rsb = +1,579
-
108135 + 3,489 = 4
E-F, sin @ + F, cos Q = +2,579(0,5) '0-
+ 3,059(0,866)
= 1,2895+2,649=4
Maka
F= F,a,+ Fra, + Fra, F = 3a, + 4ar + 4aQ .
ffi Nyatakan vektor F = 5a. dalam sistem koordinat kartesian di titik P(3, 2,
l)
m
135")
Med an Elektrom agneti ka Tera pan
15
Solusi F = Fra* + Fra, + Fra ,
F,= Frd,= Fp,. I Fy = F
"=
Frsin 0cos p=
x \^F;l) (^F;l;z) (]7=7
jL
. dr= FFr.n r= F, sin 0 sin p= = z.an (n14)
F. = tr'. a. = F.cos 0= 5 = 1,337 Maka F = 4a,
t
2,673a,
+ 1,337a,
Soal-soal 1.1
Dikerahui titik-titik A(5, 0, 0), B(0, 4, 0), dan c(0, 0,3) m. Tentukan:
(a) rAB; rr.; lrsl; dan lrocl, (b) produk skalar r* . roo (c) produk silang rru x ro. (d) sudut antara vektor rou dan ror. (e) luas segitiga ABC. (fl'vektor luas segitiga ABC, S. (g) vektor satuan normal dari S, a* (c) vektor jarak dari titik asal O(0, 0, 0) ke bidang z yang melalui titik A, B, dan C.
(i) 0)
(k) 1.2
persamaan bidang a.
w yang melalui titik Z(3, 2, vektor jarak dari bidang w ke bidang z.
persamaan bidang
Vektor kecepatan sebuah muatan titik Q adalah v
l)
dan sejajar bidang u.
r'
= 2ar+ 3a, + 6a. m/s di
dalam pengaruh medan
magnetik homogen sebesar B = 50ay nT. (a) Tentukan produk silang v x B, dan tuliskan satuannya. (b) Tentukan sudut antara vektor v dan vektor B.
(c)
Apakah vektor v dan B dapat dijumlahkan?
1.3
Diketahui vektor A = 6ar+ 3ar+ 2ardan B = 3ao+ 4ar+ 5ar. (a) Nyatakan bentuk kartesian dari vektor A dan vektor B. (b) Tentukan produk silang A x B.
1.4
(a) (b)
Tentukan vektor jarak
irlk
T(2, 1,2) m ke bidang u: 3x + 2y + 4z
=
12.
Tentukan vektor satuan normal bidang.
1.5
Sebuah kawat konduktor berbentuk lingkaran dengan jari-jari r = l0 cm. terleta\ dr arus listrik 1= l0 Ampere. Perangkat ini di pengaruhi oleh medan ma€rr x fi4 f. Tentukan vektor energi torsi yang bekerja T dan harga atr:ofop tll
1.6
Jikadiketahui vektor-vektorberikuC
A=
5a.,
tidog -tOZ didiri I = r-lt, + {e.)
g = -1a,..{ra C = _ir,+\ +5e- rmta:
(a) AxB. (b) BxC. (c) (AxB)xC. rdr Ax(BxC). re
r
transformasi A- B. dan C kc
dah
sislco
toadim
silindcr di titik
f(1, I, l)
m.
16
Bab
1
Analisis Vektor
(0
1.7
(g) (h)
transfornlasi A, B, dan C dalam sistem koordinat bola di titik persamaan bidang datar melalui vektor A dan vektor B. persamaan bidang datar melalui vektor A dan vektor C.
(i)
persamaan bidang datar melalui vektor
Diketahui vektor A = 4a, + 3a,
(a) (b) 1.8
+
f(1, l,
1) m.
B dan vektor C.
5ar.
Tentukan koefisien-koehsien arahnya (cos a, cos Tentukan vektor satuan ao dan harga absolut larl.
fl
cos
/.
Diketahui bidang datar u; x + y - 2 m. (a) Tentukan vektor jarak dari titik T(4, 4, O) m dan harga absolutnya. (b) Tentukan vektor jarak dari titik asal O ke bidang z: ro, dengan mempergunakan persamaan
,o, =
F;#ir(A
a, + B a, + c a,).
1.9 DiketahuiA=ar i 2ar+ arm; B = 2a"+ ar+ (a) (b)
Tentukan vektor satuan dari Tentukan vektor satuan dari
3ar.
A x B. A + B.
(c) .Tentukan vektor
(d)
satuan dari A - B. Buktikan bahwa vektor produk silang antara A dengan B adalah tegak lurus A dan tegak lurus B.
1.10 Diketahui vektor jarak dari titik asal O ke titik A adalah roo= 3a, + 2a, + a. m dan dari titik asal o ke titik B adalah toB= z, + 3a) + 4a.. Tentukan vektor-vektor satuan yang:
(a) (b)
tegak lurus dengan produk silang roAx roB. tegak lurus dengan (roo+
ro).
= 4 ml dznorp =,4m. o= -15'.:= 2 m). (a) Transformasikan titik-titik P dmt Q ke dalam koordinar katesian di titik I(2. 3, 2) m. (b) Tentukan r"n di titik T(2,3, 2) m.
1.11 Diketahuititik P(p
-2m,Q =60o,:
1.12 Diketahui vektor A = 3(x + ) + z)a, - (Oz)a, (a) Transformasikan vektor ke sistem koordinat bola. (b) Tentukan lAl di titik Q(r = 4 m, 0 = 30', 4 = 66";. 1.13 Diketahui vektorkuat
medan
listrikE
0=45",Q=45"). (a) Nyatakan vektor E di dalam (b) Tentukan vektor satuan au.
=Zg44a, r"
+ 5 cos Osin
o.rddi
titik
(r=
2 m,
sistem koordinat kartesian,
l.l4 (a) TentukanvektorjarakdarititikP(r=10cm,0={-{'-o=tr t "i"aQr=20 cm,0=90", (b)
Q = 90"). Tentukan pula aon.
1.15 Diketahui titik P(3, 4, 5) m.
(a) (b)
l.16
Tentukan vektor OP dan nyatakan vektor satuan e, dutr fugsi dari ar ae, ao. Nyatakan vektor OP di dalam sistem koordinil bob d- + r*rgai fungsi dari
Diketahui titlk P(2, 3, 4) cm dan
^x,
titik p,
sehingga aigcrcfa
rrtror satum a pe = 0,5a, + 0,6a,
+ 0.62550,5a.. Dapatkan titik O.
1.17 Transformasikan vektor F = 10a, ke dalam: (a) sistem koordinat bola di titik A(r = 8 m- O = 45--, = l)'). (b) sistem koordinat silhder di titikA(p = 8 m-O= ff.: = 5 m).
fr'*a:l
,\r^
'sF
f;* ..,{..' !q,
?
ar, az.
Medan Elektromagnetika Terapan
17
(
1.18 Diketahui A = ryz(ax+ ay + az). Transformasikan vektor A ke sistem koordinat: (a) bola di titik P(r = 5 m. 0 = 30o, @ = 90". (b) silinder di titik Q@ - 5 m, 0 = 45", z= 4 m). 1.19 Jika diketahui irlk A(2, 3, 4) m, B(3, 4, 5) m, dan C(5, 2,
(a) luas segitiga ABC. (b) bidang melalui A, B, C. (c) vektor jarak dari titik asal O(0, 0, 0) ke bidang (d) r,ls dan ro.. (e) ro, x ro..
(f)
melalui tittk A, B, C.
"
-
50 sin 0
a, +
!Q+!9
a,
Tentukan E dalam sistem koordinat kartesian di titik P(r ='5 45",Q- 45"). 0 ^, Tentukan vektor satuan au dalam sistem koordinat kartesian di titik P(r = 5 m, 0 = 45" , Q = 45").
1.21 Diketahui vektor F =
(a) (b)
m, renrukan:
sudut antara rA8 dan ro..
1.20 Diketahui vekror intensitas medan listrik
(a) (b)
l)
ao
*
8 sin
@a,
+
8az N.
Nyatakan F dalam sistem koordinat kartesian di titik P(3, 4, 5) m. Tentukan vektor satuan a"
1.22 DiketahuititikP(3,3,3)mdanbidang u:x+y *z= I m. (a) Tentukan bidang v yang melaui titik P dan sejajar bidang r.
(b) (c)
Tentukan vektor jarak rou. Tentukan vektor satuan normal bidang u.
4, -3) m dan bidang u: x + 2y bidang u dan tentukan juga harga absolutnya.
1.23 Diketahui titik P(-3,
* z= 2 m. Tentukan vektor jarak dari titik P ke
