1.7
Magnetické pole stacionárního proudu
Pohybující se el. náboje (el. proud) vytvářejí magnetické pole. Naopak pole působí silou na pohybující se el. náboje.
1.7.1
El. proud, Ohmův zákon v diferenciálním tvaru
→ ρ . . . hustota pohybujícího se náboje, − v . . . rychlost pohybujícího se náboje − → → − − →→ → Definice proudové hustoty i ≡ ρ− v , i = i (− r , t). Náboj, který proteče ploškou − → d S za časový interval dt:
− → → − → − → dQ = ρdV = ρ− v d S dt = i d S dt = idS cos αdt = idS⊥ dt |{z} → − i Proud dI plochou dS: dI =
dQ → → − − = i dS dt
Celkový proud I tekoucí plochou S: Z
I=
Z
dI = S
S
→ − → − i dS
− → −−−→ Speciální případ: i = konst, S . . . rovinná plocha kolmá k I
Z
I= S
i=
I S
→ − → − i dS =
Z
idS cos 0 = iS S
→ − (proudová hustota = proud jednotkovou plochou kolmou k i )
1.7.2
El. proud ve vodičích
Z vodiče protékaného proudem vydělíme malý váleček s osou ve směru pole. Pro něj napíšeme Ohmův zákon.
U = RI, U = El, I = Si, R =
1 l 1 l 1 − → − → ⇒ El = Si, E = i, i = γ E | {z } γS γS γ Ohmův zákon v dif. tvaru
(γ . . . měrná el. vodivost) − → − Poznámka: Uvnitř baterií působí vedle el. sil E i síly elektrochemické povahy → ε. − → − → − → Pak i = γ( ε + E ), i = γ(ε − E). V nehomogenních a anizotropních prostředích je → − → → − − závislost i = i ( E ) složitější, Ohmův zákon neplatí.
1.7.3
Rovnice kontinuity
Experiment ukazuje, že platí zákon zachování el. náboje. Tento zákon zachování el. náboje chceme formulovat lokálně.
V prostředí protékaném proudem zvolíme libovolnou uzavřenou plochu S. Za čas H− − → → dt vyteče z objemu V náboj dQvýtok = i d S dt (viz úvahy v bodu 1.7.2). S
Náboj, který za čas dt z objemu vyteče je roven úbytku náboje v tomto objemu, dQvýtok = dQúbytek . Z
Q(t) = V
→ ρ(− r , t)dV, Q(t + dt) =
Z V
→ ρ(− r , t + dt)dV
Z
dQúbytek = Q(t) − Q(t + dt) = I
→ − → − i d S dt =
S
Z V
V
→ → [ρ(− r , t) − ρ(− r , t + dt)]dV
V
I − → ρ(→ r , t) − ρ(− r , t + dt) − − → → dV + i dS = 0 dt | {z } S
≡ Z " V
Z
− → [ρ(→ r , t) − ρ(− r , t + dt)]dV
∂ρ ∂t
(v limitě dt → 0)
R
|
{z
}
→ − div i dV (Gaussova věta)
V
#
∂ρ ∂ρ − → − → + div i dV = 0 ⇒ + div i = 0 ∂t ∂t
Poslední rovnice platí díky tomu, že objem V je libovolný. Poznámka: Rovnice kontinuity je obecnou lokální formulací zákona zachování spojitě rozložených veličin. Např.: − → ρ . . . hustota náboje, i . . . tok náboje ⇒ zákon zachování náboje − → ρ . . . hustota hmotnosti, i . . . tok hmotnosti ⇒ zákon zachování hmotnosti − → ρ . . . hustota energie, i . . . tok energie ⇒ zákon zachování energie, atd. − → → − → Tok i nemusí mít ani tvar i = ρ− v (např. v kvantové fyzice tok pravděpodobnosti).
1.7.4
Silové účinky magnetického pole
→ − Silové účinky popisujeme pomocí vektoru magnetické indukce B . 1. Bodový náboj → − − → → F mg = Q− v ×B
− → − → → − → ( F elmg = Q( E + − v × B ))
Př.: Pohyb bodového náboje v homogenním magnetickém poli − → Osu z zvolíme ve směru pole, B = (0, 0, B). Řešíme pohybovou rovnici: m
− d→ v − → → = Q(− v × B) dt
Ve složkách: m
dvx = Q(vy Bz − vz By ) = QBvy dt
m
dvy = Q(vz Bx − vx Bz ) = −QBvx dt m
dvz = Q(vx By − vy Bx ) = 0 dt
Zavedeme cyklotronovou frekvenci ω ≡ dvx dt dvy dt
= ωvy
QB : m
vx = v0 cos(ωt + ϕ)
vy = −v0 sin(ωt + ϕ) = −ωvx ⇒ dvz vz = vz0 (ověřit dosazením) =0 dt
Další integrací určíme souřadnice: dx v0 = vx ⇒ x = x0 + sin(ωt + ϕ) dt ω dy v0 = vy ⇒ y = y0 + cos(ωt + ϕ) dt ω dz = vz ⇒ z = z0 + vz0 t dt (Konstanty v0 , ϕ, vz0 , x0 , y0 , z0 jsou určeny počáteční rychlostí a polohou.) Závěr: Náboj Q se v rovině kolmé k magnetickému poli pohybuje po kružnici: vx2 + vy2 = v02 = konst. (x − x0 )2 + (y − y0 )2 =
v02 ω2
Ve směru pole se náboj pohybuje s konstantní rychlostí vz0 . − → → 2. Objemový proudový element dV protékaný proudovou hustotou i = ρ− v − → − → − → − → → − → − → → dQ = ρdV, d E mg = dQ− v × B = ρdV − v × B , d F mg = i × B dV Celková mg. síla působící na objem V : − → F mg =
Z V
→ − d F mg =
Z
→ − → − i × B dV
V
− → 3. Síla působící na element d l úzkého vodiče (drát), protékaný proudem I
− → − → − → → − dV = Sdl, idV = iSdl = Idl, i k d l ⇒ i dV = Id l . . . přechod od objemových vodičů k vodičům lineárním − → − − → → → − → − d F mg = dV i × B = Id l × B − → −−−−→ → − B = konst., l . . . přímí vodič ⇒ F mg =
Z
− → − − → − → → Id l × B = I l × B
(Střední škola: Fmg = BIl sin α + pravidlo levé ruky)
1.7.5
Zdroje magnetického pole
Zdroji mg. pole jsou pohybující se náboje - proudy. Biotův-Savartův zákon (analogie Coulombova zákona v elektrostatice): 1. Objemové proudy
− → − → − → µ0 i dV × R dB = 4π R3 − → B =
Z
− → →− Z − i (→ r 0) × R − → µ0 dV dB = 4π R3 V
− → − → 2. Lineární proudy i dV → Id l
− → − → − → µ0 d l × R dB = I 4π R3 − → B =
Z
− → − Z → dl ×R − → µ0 dB = I 4π R3 l
− → − → Biotův-Savartův zákon platí pouze pro stacionární proudy (nezávislost i , I, B na čase). Př.: Magnetické pole přímého vodiče → − → − Z µ0 d l × R → − → → − − − → |d l | = dx, d B = I , B = dB 3 4π R R → − Všechny příspěvky d B jsou rovnoběžné ⇒ B = dB dB =
µ0 dxR sin α I 4π R3
Vyjádření všech veličin pomocí úhlu α: R=
a a , x = −acotg α, dx = dα sin α sin2 α µ0 sina2 α dα sin α µ0 I I = sin αdα 2 a 4π 4π a 2 sin α
dB =
π
µ0 I Z µ0 I B= sin αdα = 4π a 2π a 0
|
{z
}
2
(směr B kolmo z papíru) − → Z Biotova-Savartova zákona lze odvodit soustavu dif. rovnic pro B : − → div B = 0,
− → − → rot B = µ0 i
Integrální formulace: → − div B = 0 ⇒ − → − → rot B = µ0 i ⇒
Z
Z
− → div B dV = 0 ⇒
V
− → − → rot B d S = µ0
S
Z S
I
− → − → BdS = 0
S
→ − → − i dS ⇒
I
→ − → − B d l = µ0 I
l
Interpretace první rovnice: − → − → div B = 0 +* div E = ερ0 H− H− → − → → − → E d S = εQ0 BdS = 0
S
S
⇒ neexistují mg. náboje (ρmg = 0, Qmg = 0).
Mohly by však existovat mg. dipóly, složené z opačných mg. nábojů (analogie el. dipólů). Mg. dipóly skutečně existují, jsou ale vytvářeny uzavřenými proudovými smyčkami. Interpretace pomocí siločar: V elektrostatice siločáry začínají na kladných a končí na záporných nábojích. V teorii mg. pole neexistují mg. náboje, siločáry tedy nemají počátek a konec, jsou uzavřené nebo jdou z nekonečna do nekonečna.
1.7.6
Řešení mg. pole pomocí vektorového potenciálu − → → − → − →→ div B = 0 ⇔ B (− r ) = rot A (− r)
→ − A . . . vektorový potenciál
→ − → − − → → − − → − → − → rot B = µ0 i ⇒ rot (rot A ) = µ0 i ⇒ 4 A − grad (div A ) = −µ0 i |
{z
}
− → − → grad (div A )−4 A
− → Rovnice pro A je zatím dost složitá. Při jejím zjednodušení využijeme nejednoznač→ − − → − nosti vektorového potenciálu A k danému polio B . Skutečně nechť f (→ r ) je libovolná → −0 − → derivovatelná skalární funkce. Derivujeme pomocí ní nový potenciál A = A + grad f . Pak → −0 − → − → rot A = rot grad f = B | {z A} + rot | {z } − → − → B ≡0 − →0 − → Potenciál A vyhovuje proto stejné rovnici jako A : − →0 − →0 − → 4 A − grad (div A ) = −µ0 i − →0 Dosud libovolnou funkci f zvolíme tak, aby div A = 0: − →0 − → − → 0 = div A = div ( A + grad f ) = div A + div (grad f ), |
{z
}
− → 4f = −div A
4f
− → − →0 − →0 − → Shrnutí: B = rot A , 4 A = −µ0 i (Poissonova rovnice - umíme ji řešit), − →0 div A = 0 (Lorentzova nebo kalibrační podmínka). V dalším vynecháme čárku: − →0 − → A → A . Nejdříve vyřešíme Poissonovu rovnici: → − →0 r ) µ0 Z i (− − →− → dV A( r ) = 4π R V
→ → R ≡ (− r −− r 0)
0
0
dV = dx dy dz
0
Řešení pro jednoduchost přepíšeme do formy, platné pro tenký uzavřený vodič:
− µ0 I d→ r0 − → − → − →→ − → → I i dV → Id l , d l ≡ d− r 0 , A (− r)= 4π R l
(Je-li pole stacionární, nesmí nikde přibývat ani ubývat el. náboj ⇒ proudové smyčky musí být uzavřené.) Je třeba ještě ověřit, zda je u řešení Poissonovy rovnice splněna Lorentzova pod− → mínka div A = 0:
− → ∂Ax ∂Ay ∂Az div A = + + ∂x ∂y ∂z µ0 ∂ I 1 ∂Ax dx0 µ0 I ∂ = I I dx0 = 0 − → − → − → − ∂x 4π ∂x ( r − r ) 4π ∂x ( r − → r 0) l
l
µ ¶ ∂ 1 ∂ 1 ∂Ax µ0 I ∂ 1 = − dx0 = − , 0 0 → − → − → − → − 0 0 ∂x ( r − r ) ∂x ( r − r ) ∂x 4π ∂x R l
µ0 → − div A = − 4π (obecně
H
I " l
∂ ∂x0
µ
¶
∂ 1 dx0 + 0 R ∂y
µ
¶
∂ 1 dy 0 + 0 R ∂z
µ
# ¶ µ ¶ µ0 I 1 1 0 dz = − =0 d R 4π R l
df = 0 pro libovolnou funkci f)
l
Vektorový potenciál vyhovuje dif. rovnici a Lorentzově podmínce. Ã ! → d− r0 µ0 I → − − − →− → → rot B ( r ) = rot A ( r ) = → → 4π (− r −− r 0) l
1.7.7
Magnetické pole v látkovém prostředí
Vedle makroskopických (volných) proudů přispívají k mg. poli proudy atomární a molekulární (magnetizační, vázané). Můžeme si je modelově představit jako uzavřené proudové smyčky, vytvořené elektrony obíhající okolo jader nebo vytvořené rotací (spinem) elektronů a atomových jader. Magnetický dipól (uzavřená proudová smyčka)
→ − µ0 I d l → − →− − → − → A( r ) = , B = rot A = . . . (Biot-Savart) 4π R l
Pro velké vzdálenosti r À r0 od proudové smyčky je: → → 1 1 1 − r− r0 = − ≈ + → R r r3 (→ r −− r 0)
(viz odvození pro el. dipól)
I I µ0 1 I − → µ0 1 → − → − →→ 0 − − − → − → A( r ) ≈ I d l + I 3 ( r r )d l , d l = 0 4π r 4π r l
l
| {z }
|
→ − 0
{z
− → − S ×→ r
l
}
Věta: I
− → → − − → → (− r− r 0 )d l = S × → r
l
Důkaz: Stokesova věta: I
→ − → − Fd l =
Z
− → − → rot F d S
S
l
− →− → → → Za funkci F (→ r ) dosadíme − c f (− r ), kde − c = (cx , cy , cz ) je libovolný konstantní vektor. Úprava levé strany: I
→ → − → − Fd l =− c
I
l
− → fd l
l
Úprava pravé strany: − → − → rot F d S = Ã
= cx |
"
#
"
#
"
#
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (cz f ) − (cy f ) dSx + (cx f ) − (cz f ) dSy + (cy f ) − (cx f ) dSz = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
∂f ∂f dSy − dSz ∂z ∂y {z
− → (d S ×grad f )x
!
Ã
+cy }
|
∂f ∂f dSz − dSx ∂x ∂z {z
− → (d S ×grad f )y
!
Ã
+cz }
|
∂f ∂f dSx − dSy ∂y ∂x {z
− → (d S ×grad f )z
!
− → → =− c (d S ×grad f )
}
− → → Stokesova věta pro F = − c f dává tedy: − → c
I
− → → fd l = − c
Z
− → d S × grad f
S
l
−c , musí se proto rovnat integrály: Rovnost platí pro libovolný vektor → I l
− → − f (→ r )d l =
Z
→ − → d S × grad f (− r)
S
− → → → → Integrační proměnnou → r nejdříve přeznačíme na − r 0, − r →− r 0 , a poté za f (− r 0) → → → dosadíme − r− r 0 (− r bereme jako parametr či konstantu). Pak
∂ ∂ − → ∂ − 0 0 0 − 0 0 0 → 0 0 0 → → (xx + yy + zz ) (xx + yy + zz ) (xx + yy + zz ) k = grad0 f (− r 0) = i + j + ∂x0 ∂y 0 ∂z 0 − → − → − → − =x i +y j +zk =→ r. Tedy: I
− → → → (− r− r 0 )d l =
Z
− → → − → → dS × − r = S ×− r
S
l
→ − − r µ0 S × → − →− → I A( r ) ≈ 3 4π r − → − Zavedeme mg. dipólový moment → m ≡IS: → → µ0 − m ×− r − − →− → − → , B = rot A A (→ r)≈ 3 4π r Ve složkách: ∂ µ0 ∂ → − − → Az − Ay = B x = (rot A )x = ∂y ∂z 4π 3 ∂ − (mz x − mx z)(x2 + y 2 + z 2 )− 2 ∂z
)
(
3 ∂ (mx y − my x)(x2 + y 2 + z 2 )− 2 − ∂y
½
µ0 mx x + my y + mz z 1 = ... = 3 x − 3 mx 5 4π r r
¾
Vektorový zápis mg. pole elementárního dipólu: ( ) − → → m− r− 1 µ0 → − → 3 5 → r − 3− m B = 4π r r
Analogie s polem el. dipólu: − → E =
( ) → − − 1 p→ r− 1− → → 3 5 r − 3p 4πε0 r r
− → − → → − → → → Ovšem − p =Ql,− m = I S . Coulomb původně vycházel z představy − m = Qm l (Qm . . . magnetický náboj). Vektor magnetizace − → P→ → m i , suma přes jednotkový Elementární dipóly P (atomové, molekulární,. . .) − m i, M = − − → − → − → mi → objem; lépe M = ∆V , suma přes malý objem ∆V ; M = n− m (n . . . hustota dip. − → momentů, m . . . střední mg. dip. moment). Vektor magnetizace = hustota mg. dip. momentů.
Pole zmagnetovaných těles (magnetů)
− → → − → d− µ m R d m − → → − − → 0 → → d− m = M (− r 0 )dV, d B = 3 R − 4π R5 R3
− →− B (→ r)=
Z V
− → →0 − → − → →0 Z r )R M (− r ) − → µ0 M (− dB = 3 − dV 5 4π R R3 V
→ − → → → Pro velké vzdálenosti od magnetu, r À r0 , je přibližně R = − r −− r0≈− r a " # → − → − m ∗→ r m∗ µ0 − − →→ − B( r ) ≈ 3 5 − 3 , 4π r r R − → →0 → − → kde − m ∗ ≡ M (− r )d V je celkový dipólový moment magnetu. V
Vyjádření magnetizačních proudů pomocí magnetizace → − → − − → − H→ Problém: V rovnici mg. pole rot B = µ0 i ( B d l = µ0 I) je proud tvořen tokem l − → → − − → volných nábojů a tokem magnetizačním: i = i vol + i mg , I = Ivol + Img . Neznámý magnetizační proud chceme z rovnice eliminovat.
V daném prostředí zvolme libovolnou křivku l, ohraničující plochu S. K magnetizačnímu proudu Img přispívají pouze dipóly, ležící dostatečně blízko hranice l. m1 = I1 S1 . . . dipólový moment jednoho dipólu (např. atomu; uzavřenou proudovou smyčku vytváří např. obíhající elektron). → − Na úseku d l křivky l přispívají k magnetizačnímu toku pouze ty dipóly, jejich → − → − → − středy leží v objemu d V = S 1 d l . Jim odpovídá magnetizační proud : − → − → −→ − → → − dImg = ndV 1 I1 d l = M d l | {z } I1 = n |S{z } − → m1 počet dipólů v objemu dV I
Img =
I
dImg = l
→ − → − Md l
l
Pak I l
→ → − − B d l = µ0 Ivol +
I l
→ − → − Md l ⇒
I l
− → B − → − → − M d l = Ivol µ0
− → − → − → − → − → − → Definujme vektor el. intenzity H ≡ B − M , ( B = µ0 H + M ). Pak µ0 I
→ → − − H d l = Ivol
l
− → − → − → Díky přechodu od B k H pracujeme pouze s měřitelnými volnými proudy. Ale H =? Diferenciální tvar zákona celkového proudu: I
→ − → − Hd l =
− → → − rot H d S , Ivol =
S
l
Z
Z
− → − → rot H d S =
S
Z
Z
→ −→ − ivol d S
S
→ − → −→ −→ − ivol d S ⇒ rot H = ivol
S
Jiné odvození diferenciální formy zákona celkového proudu: Magnetizační proud pomocí vektoru magnetizace: I
Img =
− − → → Md l =
Z
− → − → rot M d S
S
l
Magnetizační proud pomocí proudové hustoty: Z
Img =
→ −→ − img d S
S
− → − → − → −→ − → −→ −→ −→ ⇒ img = rot M , rot B = µ0 i = µ0 (ivol + img ) = µ0 (ivol + rot M ) ⇒
− → B − → − → −→ −→ ⇒ rot − M = ivol , rot H = ivol µ0 |
Materiálový vztah
{z
− → H
}
− → − →− → − → − →− → M = M ( B ), resp. M = M ( H ), feromagnetika, složitá závislost M = M (H). − → − → Magneticky měkká prostředí M ≈ ψm H , ψm . . . magnetická susceptibilita. Na rozdíl od el. susceptibilita ψe může být kladná (látky paramagnetické) i záporná (látky diamagnetické). − → → − − → → − − → B = µ0 ( H + M ) ≈ µ0 (1 + ψm ) H = µ H | {z }
|
µr
{z
}
µ
→ µr . . . relativní permeabilita, µ . . . permeabilita prostředí, µ = µ(− r ), → − − → − → → − − → − → −→ −→ rot B = rot H = ivol . Pokud µ = konst. ⇒ rot B = µivol , rot B = µ0 (ivol + img ). µ − → − −→ − → → V dalším textu přeznačení ivol → i , Ivol → I, tedy např. rot H = i .
