17 de T 3 Vlaanderen Symposium

18-19 augustus 2014 Vives-Kulab Campus Oostende

www.t3vlaanderen.be

17de T3 Vlaanderen Symposium Wiskunde en Wetenschappen ondersteunen met ICT Numeriek, grafisch, symbolisch

17de T3 Vlaanderen Symposium Oostende 18 & 19 augustus 2014

Wiskunde en wetenschappen ondersteunen met ICT Numeriek, grafisch, symbolisch

________________________________________

www.t3vlaanderen.be

Inhoud

Tijdschema en abstracts Tijdschema 17de symposium 18 & 19 augustus 2014 ...................................................... 1 Abstracts ......................................................................................................................... 3

Plenaire lezingen 17de symposium 1.

Using TI-Nspire CAS to gain an understanding of concepts............................................. 9 Gert Schomacker

2.

Zinvol realiseren van competenties in de derde graad: visie en werkvormen ................. 19 Koen De Naeghel

Werkgroepen 1.

Using TI-Nspire CAS to gain an understanding of concepts ……… ................. zie abstract Gert Schomacker

2.

Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes ....... ……33 Koen De Naeghel

3.

Wiskunde uit het dagelijkse leven, een inspiratiebron voor vaardigheden en attitudes... 95 Philip Bogaert

4.

Wiskundige uitdagingen aanpakken met een grafische rekenmachine .....zie cahier nr. 40 Johan Deprez

5.

Statistiek in de 2de graad met de TI-Nspire app........................................................... 125 Annelies Droessaert

6.

Teaching aids for CAS-compliant lessons ................................................................... 135 René Hugelshofer

7.

Sterkteleer met Lua... ...................................................................................... zie abstract Cedric ’t Jampens

8.

Wiskunde in een economische context ........................................................................ 139 Dominiek Ramboer

9.

Aan de slag met TI-Nspire CX CAS.. .............................................................. zie abstract Jürgen Schepers

10. Lineaire regressie: een dom receptje of echte wiskunde?.. ......................................... 159 Jan Vermeylen

11. Wiskunde met “machientjes” ....................................................................................... 171 Bert Wikkerink

17de T3 Vlaanderen symposium Tijdschema Maandag 18 augustus 2014 8.15 – 9.15

Ontvangst en registratie in gebouw C, conferentielokaal

9.15 – 10.30 lokaal A01

Opening Plenaire lezing door Gert Schomacker

10.45 - 12.15

Werkgroepkeuze:

lokaal B54A

6) Teaching aids for CAS-compliant lessons (3de graad) – René Hugelshofer

D205

9) Aan de slag met TI-Nspire CX CAS (2de en 3de graad) – Jürgen Schepers

D206

5) Statistiek in de 2de graad met de TI-Nspire app – Annelies Droessaert

D207

8) Wiskunde in een economische context (3de graad, versieTI-84 Plus) Dominiek Ramboer

12.15 – 13.45

Middagmaal & Strandwandeling of bezoek infostand. Infostand van 13.15 tot 13.45 in lokaal D201

13.45 – 15.15

Werkgroepkeuze:

lokaal B54A

1) Using TI-Nspire CAS to gain an understanding of concepts (3de graad) Gert Schomacker

D206

5) Statistiek in de 2de graad met de TI-Nspire app – Annelies Droessaert

D207

8) Wiskunde in een economische context (3de graad, versie TI-Nspire) Dominiek Ramboer

D210

4) Wiskundige uitdagingen aanpakken met een grafische rekenmachine (2de en 3de graad) – Johan Deprez

15.15 – 16.00 lokaal D201

Koffie & Infostand

16.00 –17.30

Werkgroepkeuze:

lokaal B54A

7) Sterkteleer met Lua (3de graad) – Cedric ’t Jampens

D206

2) Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes (3de graad) – Koen De Naeghel

D207

11) Wiskunde met “machientjes” (3de graad) – Bert Wikkerink

D208

10) Lineaire regressie: een dom receptje of echte wiskunde? (2de graad) Jan Vermeylen

17.30-18.30 18.30

Receptie T3 Vlaanderen in gebouw A, eetzaal Avondmaal

1

17de T3 Vlaanderen symposium Tijdschema Dinsdag 19 augustus 2014 08.45 - 10.15 lokaal B54A

Werkgroepkeuze: 1) Using TI-Nspire CAS to gain an understanding of concepts (3de graad) Gert Schomacker

D206

3) Wiskunde uit het dagelijkse leven, een inspiratiebron voor vaardigheden en attitudes (2de en 3de graad) – Philip Bogaert

D210

4) Wiskundige uitdagingen aanpakken met een grafische rekenmachine (2de en 3de graad) – Johan Deprez

D207

11) Wiskunde met “machientjes” (3de graad) – Bert Wikkerink

10.15 - 10.45 lokaal D201 10.45 - 12.00 lokaal A01

Koffie & Infostand

Plenaire lezing door Koen De Naeghel

12.00 – 13.30

Middagmaal & Strandwandeling of bezoek infostand. Infostand van 13.00 tot 13.30 in lokaal D201

13.30 – 15.00

Werkgroepkeuze:

lokaal B54A

6) Teaching aids for CAS-compliant lessons (3de graad) – René Hugelshofer

D206

3) Wiskunde uit het dagelijkse leven, een inspiratiebron voor vaardigheden en attitudes (2de en 3de graad) – Philip Bogaert

D210

2) Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes (3de graad) – Koen De Naeghel

D208

10) Lineaire regressie: een dom receptje of echte wiskunde? (2de graad) Jan Vermeylen

15.00 – 15.45 lokaal D201 15.45 – 16.00 lokaal A01

Koffie & Infostand

Evaluatie en Sluiting

2

Abstracts 17de T3 Vlaanderen Symposium Maandag 18 en dinsdag 19 augustus 2014 Vives-Kulab Campus Oostende

Plenaire lezingen 17de symposium Using TI-Nspire CAS to gain an understanding of concepts (Gert Schomacker, Denemarken) TI-Nspire CAS is a brilliant tool for calculations, graphing, statistics e.g. In the plenary talk I will show examples from several different areas of mathematics of using TI-Nspire CAS to gain an understanding of concepts.

Zinvol realiseren van competenties in de derde graad: visie en werkvormen (Koen De Naeghel) Willen we leerlingen voorbereiden op hun vervolgstudies in het hoger onderwijs dan horen we hen bekwaam te maken in o.a. · zelfstandigheid, leervaardigheid en zelfregulatie bij het maken van oefeningen, · vermogen om nieuwe leerstof te verwerken, · maken van een correcte wiskundige redenering met aandacht voor het goed verwoorden (wiskundig schrijven), · competentie om een (klein) onderzoek uit te voeren. De manier waarop we deze competenties aanleren, stimuleren, evalueren en opvolgen moet afgestemd worden op het doelpubliek. Zo leidt niveauverschil bij leerlingen bijvoorbeeld tot de noodzaak aan differentiatie in de aangeboden oefeningen. En onderzoekscompetenties bij leerlingen zijn maar zinvol als we onze verwachtingen realistisch houden. Daarnaast willen we in het vak wiskunde – dat doorgaans een groot aantal wekelijkse lestijden kent – de verantwoordelijkheid niet ontlopen om ook maatschappelijke competenties aan te brengen zoals het samenwerken in teamverband, kritische zin en presentatievaardigheden. In een poging om deze doelstellingen te bereiken, stellen we een drietal concrete werkvormen voor. Uitgangspunt is telkens een visie op de te realiseren competenties. ·

·

Het practicum wiskunde bestaat uit een aantal 15-tal practica voor in de klas, met als doel het stimuleren van vaardigheden en attitudes zoals vermeld in het leerplan. De meeste lessen kunnen geïntegreerd worden in de reguliere leerstofonderdelen. In het bijzonder worden de onderzoekscompetenties gerealiseerd. De takenreeks problem solving wiskunde bestaat uit opdrachten die wat complexer van aard zijn. De uitdaging ligt zowel in het vinden van een oplossing als het correct opschrijven van een redenering. Deze takenreeks staat dan ook in functie probleemoplossend denken en wiskundig schrijven.

3

·

Het Portfolio wiskunde ontstaat uit een aanbod van oefeningen over de volledige leerstof van de derde graad wiskunde ASO met 6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde. Op basis hiervan maken leerlingen zelfstandig en gedifferentieerd oefeningen, zowel in de klas als na school. Ze stellen een portfolio samen waarmee ze laten zien in welke mate ze de leerstof verwerkt hebben.

Bijhorende uitleg voor leerlingen, evaluatiesystemen en oplossingen voor de leerkracht worden (digitaal) aangeboden.

Werkgroepen 1 Using TI-Nspire CAS to gain an understanding of concepts (Gert Schomacker) A collection of workshop activities in various math topics, the participants will use the TINspire CAS software version as a tool for understanding concepts.

2 Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes (Koen De Naeghel) Het volgen van een leerplan betekent meer dan het zien van de inhoudelijke doelstellingen. Men verlangt ook dat leerlingen een aantal vaardigheden verwerven en (leer)attitudes ontwikkelen. De overdracht van competenties dringt zich ook op vanuit maatschappelijke eisen als probleemoplossend denken, kritische zin, onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, overleg plegen, etc. Uit een poging van de spreker om wiskundige competenties op een uitgesproken manier te ontwikkelen, is het ‘practicum wiskunde’ ontstaan. Het bestaat uit practica, met als streefdoel het effect van het ontwikkelen van competenties te meten en verder op te volgen: · probleemoplossend denken, · hoe studeer je een bewijs, · werken met een wiskundig model, · leren uit opgeloste problemen, · een wetenschappelijk verslag maken, · een wetenschappelijke presentatie geven. 3 Wiskunde uit het dagelijkse leven, een inspiratiebron voor vaardigheden en attitudes (Philip Bogaert) De workshop vertrekt vanuit “klasklaar” materiaal dat reeds uitgeprobeerd is in de praktijk. In deze workshop proberen we leerplandoelstellingen rond vaardigheden, attitudes, mathematiseren en actief leren te concretiseren via thema’s uit het dagelijkse leven. Aan de hand van enkele uitgewerkte voorbeelden worden ideeën aangereikt om zelf creatief (en met behulp van de TI-84) aan de slag te gaan om de beoogde doelstellingen te realiseren binnen de interessesfeer van jouw leerlingen.

4

4 Wiskundige uitdagingen aanpakken met een grafische rekenmachine (Johan Deprez) Vertrekkend van een probleem kan men via de grafische rekenmachine (GRM) verwondering opwekken. Het gebruik van de GRM biedt dus niet enkel de mogelijkheid om een bepaalde eigenschap vast te stellen en te controleren maar roept vaak ook meteen een nieuwe vraag op of nodigt uit tot een veralgemening. Men zal dan hopelijk spontaan naar kladpapier grijpen en pogen een verklaring of een bewijs op papier te zetten. De GRM zal in vele gevallen toelaten deze uitwerking concreet te controleren en kan meteen uitdagen tot een nieuwe vraag of tot een analoge vraag met gewijzigde gegevens. De sessie is gebaseerd op het T3-cahier 40 van Luc Gheysens. In dit cahier wordt via 20 wiskundige problemen getoond welke rol een GRM kan spelen bij de fase van het oriënteren en het controleren. De keuze valt op de eerste plaats op het onderzoek en het ontdekken van eigenschappen bij diverse soorten functies. De GRM biedt daarnaast ook uitdagingen bij de studie van rijen en matrices, bij toepassingen uit de kansrekening en de statistiek. Het cahier bevat 20 werkbladen voor direct gebruik in de wiskundelessen en de uitwerking van de verschillende opdrachten met behulp van een GRM.

5 Statistiek in de 2de graad met de TI-Nspire app (Annelies Droessaert) In deze workshop gaan we actief aan de slag met iPads, voorzien van de TI-Nspire app. U zal zelf kunnen ervaren hoe deze gebruiksvriendelijke app zinvol kan ingezet worden bij het verwerken van de leerinhoud statistiek in de 2de graad aso. Daarom zullen we vertrekken vanuit concrete voorbeelden om zo stapsgewijs de mogelijkheden van TI-Nspire op de iPad te verkennen. Er zullen iPads ter beschikking zijn voor de deelnemers.

6 Teaching aids for CAS-compliant lessons (René Hugelshofer, Zwitserland) With the third booklet on "Functions and Models" the three authors B. Frei, R. Märki, R. Hugelshofer have completed the teaching materials for Algebra for high schools (previously published “Linear and Quadratic Functions”, and “Analysis” from R. Märki). In the workshop, the teaching materials for Algebra are briefly introduced, and then shown together on the basis of examples and exercises from the four booklets how CAS can reasonably be used as an aid in teaching.

7 Sterkteleer met Lua (Cedric ‘t Jampens) Lua is een krachtige programmeertaal die als applicatie kan worden ingezet met de TI-Nspire CAS handheld en software. Een groep van zes studenten van het tweede jaar academische bachelor Kulab campus Oostende, heeft als projectwerk een nuttig programma gemaakt voor sterkteleer met Lua. Hun opdracht was een programma te ontwerpen dat de dwarskracht- en momentenlijnen voor 6 basisopstellingen kan berekenen en grafisch voorstellen, voor een

5

eenvoudige ligger langs twee zijden ingeklemd en een uitkragende ligger ingeklemd in zijn steunpunt. De eindgebruiker moest hierbij een aantal parameters vrij kunnen aanpassen. De uitdaging was om dit overzichtelijk te realiseren met de handheld.

Tijdens de workshop wordt het programma en de realisatie ervan in Lua besproken. Voorkennis van sterkteleer is niet noodzakelijk.

8 Wiskunde in een economische context (Dominiek Ramboer) Wiskunde in een economische context komt slechts beperkt aan bod in het wiskundeonderwijs. Nochtans zijn er heel wat economische toepassingen met wiskundige uitdagingen. De workshop is gebaseerd op het T3-cahier 41 van Dominiek Ramboer en Guido Herweyers. Aan bod komen economische toepassingen met inzet van grafieken, matrices, afgeleiden en integralen, differentiaalvergelijkingen. Voorkennis van economische begrippen is niet vereist. De toepassingen worden uitgewerkt met de TI-84 Plus color in de eerste workshop en TI-Nspire CX CAS in de tweede workshop.

9 Aan de slag met TI-Nspire CX CAS (Jürgen Schepers) Om wiskundige eigenschappen of problemen te verduidelijken, om wiskunde dynamischer en aantrekkelijker te maken, kan men gebruiken van de krachtige grafische en symbolische rekenmachine TI-Nspire CX CAS. Deze workshop is een kennismaking met dit toestel aan de hand van concrete lessituaties. Volgende onderwerpen komen o.a. aan bod: · tekenen van grafieken (functies, poolkrommen, parametervergelijkingen, ...), · bepalen van snijpunten van rechten grafisch en algebraïsch, · oplossen van vergelijkingen en stelsels, · ontbinden in factoren, · werken met sliders bij een grafiek, · vergelijking van een parabool door drie punten, · beschrijvende statistiek, · regressie,

6

· · ·

anti-spiekfunctie, wat is nieuw in de versie 3.9 ? o.a oppervlakte berekenen tussen twee krommen, vragen en problemen van de deelnemers oplossen.

Enige voorkennis voor deze workshop is niet vereist.

10 Lineaire regressie: een dom receptje of echte wiskunde ? (Jan Vermeylen) Met de hedendaagse ict-middelen is het bepalen van een regressierechte op een dataset niet meer dan het aanklikken van enkele knoppen. Voorwaar geen rijke wiskundig activiteit. Toch kan dit onderwerp aanleiding geven tot echt wiskundig denken en exploratief leren. In deze workshop wordt een voorbeeld uitgewerkt van actief leren in het kader van de onderzoekscompetentie. Deelnemers krijgen gebruiksklare werkbladen en bestanden.

11 Wiskunde met “machientjes” (Bert Wikkerink, Nederland) In de wiskunde van vandaag neemt de computer een grote plaats in. Voor bijvoorbeeld het tekenen van grafieken en in de (dynamische) meetkunde is het een waardevol instrument. Maar we moeten niet het handwerk vergeten. Het tekenen van bijvoorbeeld een parabool of ellips kan prima met een computer maar het kan ook heel goed met eenvoudige zelfgemaakte “machientjes”. De Nederlandse wiskundige Frans van Schooten beschreef al in de 17e eeuw dergelijke instrumenten om kegelsneden mee te tekenen. In deze workshop gaan we dit soort instrumenten onderzoeken. We gaan kijken hoe ze werken en hoe we deze instrumenten met behulp van de TI-Nspire software kunnen simuleren.

7

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

8

17de T3 Vlaanderen Symposium Oostende 18 & 19 augustus 2014 _____________________________________ Using TI-Nspire CAS to gain an understanding of concepts Gert Schomacker

Interactive

Dynamic

Static

Connected Apps: 4: Lists and Spreadsheet/ 5: Data and Statistics Data capture Dynamic geometry Drag points Sliders Animations Simulations input/output solve Calculator and Graph App

Tool competencies

_____________________________________

9

Maandag 18 augustus 2014

Using TI‐Nspire CAS to gain a better understanding of concepts Gert Schomacker Frederiksborg Gymnasium Hilleroed, Denmark

Leuven, 2001

More TI-83, less math ? Gert Schomacker, Frederiksborg Gymnasium, Hillerød, Danmark This article is a short written version of a presentation in Leuven, August 2001.

My answer to the above question is no - as you may have guessed. In this article examples will be given to show how to enhance mathematics when using a graphic calculator like TI-83. Three main aspects of using TI-83 will be discussed: I TI-83 as a tool in interplay with mathematics II TI-83 as a tool for discovering “new” results III TI-83 as a tool for the teacher to produce a desire for – or at least to justify the need for – a rigorous mathematical proof. Graphic calculators are often accused of being a poor replacement for doing “real” mathematics. I would rather emphasize the cooperating roles of TI-83 and mathematics, as shown in example 1. …

10

Outline  Example: The area of a triangle  Didactics and CAS: Levels of understanding SOLO Taxonomy Activities Tool competences Representations  Examples  Conclusion

Area of a triangle 1 A   hb 2

A fine way of teaching this topic can be found at www.mathgoodies. Let’s have a look. http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_triangle.html

11


At mathgoodies we found  Introduction  justification of the formula  examples  Quiz Do we wish more than that?


Q: Do we wish more than that? A: Yes, higher level of understanding using TInSpireCAS Use files below, or make them yourself: triangle‐area1‐hhd triangle‐area2‐hhd

12

As learning progresses it becomes more complex. SOLO, which stands for the Structure of the Observed Learning Outcome, is a means of classifying learning outcomes in terms of their complexity, enabling us to assess students’ work in terms of its quality not of how many bits of this and of that they got right.

I. At first we pick up only one or few aspects of the task (unistructural), II. then several aspects but they are unrelated (multistructural), III. then we learn how to integrate them into a whole (relational), IV. and finally, we are able to generalise that whole to as yet untaught applications (extended abstract). The diagram lists verbs typical of each such level. John Biggs

John Biggs

13

Activities Connected Apps: 4: Lists and Spreadsheet/ Interactive 5: Data and Statistics Data capture Dynamic geometry Dynamic

Drag points Sliders Animations Simulations

Static

input/output solve Calculator and Graph App

Tool competencies

Representations

  

Using multiple representations, e.g. text/equation/table/graph

Represen‐ tation competence

Translating between 2 representations, e.g. textual  graphical Solving a problem using one representation

14

Example Pythagoras’ theorem

Standard proof + Animation Pythagoras

Example Taxi driving

Multiple representations + slider taxi

15

Example Optimisation

Multiple representations Optimising‐box

Example Canal barge

Also called: Ladder in the corridor Optimisation Multiple representations barge‐canal

16

Example Coin throwing

Throw 3 coins. Count the number of heads. Simulation 3coins

Conclusion

Do your usual math topics, but  Add dynamic activities  Add interactive activities  Use multiple representations Yes, you can!  It is not difficult  It is more fun for you  It is more fun for the students.

17

Conclusion

Ikke alle skal alt! MEN alle skal have mulighed for at flytte sig!  Bodil Bruun, national advisor, Denmark

Iedereen moet niet alles doen! Maar iedereen moet de kans krijgen om te verbeteren! 

18

17de T3 Vlaanderen Symposium Oostende 18 & 19 augustus 2014 _____________________________________ Zinvol realiseren van competenties in de derde graad: visie en werkvormen Koen De Naeghel

_____________________________________

19

ZINVOL REALISEREN VAN COMPETENTIES IN DE DERDE GRAAD: VISIE EN WERKVORMEN KOEN DE NAEGHEL

Samenvatting. Willen we leerlingen voorbereiden op hun vervolgstudies in het hoger onderwijs dan horen we hen bekwaam te maken in o.a. • zelfstandigheid, leervaardigheid en zelfregulatie bij het maken van oefeningen, • vermogen om nieuwe leerstof te verwerken, • maken van een correcte wiskundige redenering met aandacht voor het verwoorden (wiskundig schrijven), en • competentie om een (klein) onderzoek uit te voeren. De manier waarop we deze competenties aanleren, stimuleren, evalueren en opvolgen moet afgestemd worden op het doelpubliek. Zo leidt niveauverschil bij leerlingen bijvoorbeeld tot de noodzaak aan differentiatie in de aangeboden oefeningen. En onderzoekscompetenties bij leerlingen zijn maar zinvol als we onze verwachtingen realistisch houden. Daarnaast willen we in het vak wiskunde - dat doorgaans een groot aantal wekelijkse lestijden kent - de verantwoordelijkheid niet ontlopen om ook maatschappelijke competenties aan te brengen zoals het samenwerken in teamverband, kritische zin en presentatievaardigheden. In een poging om deze doelstellingen te bereiken, stellen we in deze lezing een drietal concrete werkvormen voor. Uitgangspunt is telkens een visie op de te realiseren competenties. (1) Het practicum wiskunde bestaat uit een aantal practica voor in de klas, met als doel het stimuleren van vaardigheden en attitudes zoals vermeld in het leerplan. De meeste lessen kunnen ge¨ıntegreerd worden in de reguliere leerstofonderdelen. In het bijzonder worden de onderzoekscompetenties gerealiseerd. (2) De takenreeks problem solving wiskunde bestaat uit opdrachten die wat complexer van aard zijn. De uitdaging ligt zowel in het vinden van een oplossing als het correct opschrijven van een redenering. Deze takenreeks staat dan ook in functie van probleemoplossend denken en wiskundig schrijven. (3) Portfolio wiskunde is uit een aanbod van oefeningen over leerstof van de derde graad wiskunde ASO met 6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde. Op basis hiervan maken leerlingen zelfstandig en gedifferentieerd oefeningen, zowel in de klas als na school. Ze stellen een portfolio samen waarmee ze laten zien in welke mate ze de leerstof verwerkt hebben. Bijhorende uitleg voor leerlingen, evaluatiesystemen en oplossingen voor de leerkracht worden (digitaal) aangeboden. De in deze voordracht aangeboden visie en werkvormen maken integraal deel uit van Wiskunde In zicht [4], een cursus in opbouw voor leerlingen van de derde graad ASO in de studierichtingen met zes of acht wekelijkse lestijden wiskunde.

Inhoudsopgave 1. 2. 3.

Realiseren van vaardigheden en attitudes: visie en bedenkingen Uitgelicht: onderzoekscompetenties Werkvorm practicum wiskunde 3.1. Inhoud 3.2. Structuur 3.3. Evaluatie 4. Uitgelicht: probleemoplossend denken 4.1. Stappenplan voor probleemoplossend denken 4.2. Richtlijnen voor wiskundig schrijven 4.2.1. Wiskundige correctheid 4.2.2. Wiskundig verwoorden 5. Werkvorm problem solving wiskunde 5.1. Inhoud en structuur 5.2. Evaluatie 6. Uitgelicht: zelfgereguleerde differentiatie 7. Werkvorm portfolio wiskunde 7.1. Inhoud 7.2. Werkwijze 7.3. Evaluatie Referenties

2 4 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 11 12 12

1

20

1. Realiseren van vaardigheden en attitudes: visie en bedenkingen Wanneer een leerkracht wiskunde er een leerplan bij neemt, dan is de kans groot dat hij of zij meteen naar de inhoudelijke doelstellingen grijpt en de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen links laat liggen. Nochtans valt ook die laatste categorie onder de leerplandoelstellingen, met onder meer: rekenvaardigheid wiskundige taalvaardigheid probleemoplossende vaardigheid onderzoeksvaardigheden leervaardigheden zin voor nauwkeurigheid kritische zin zin voor samenwerking en overleg waardering voor wiskunde Hoewel een leerplan wel beschrijft wat deze vaardigheden en attitudes zijn en men er een gedetailleerde beschrijving op na houdt, vermeldt een leerplan niet hoe deze competenties concreet bereikt kunnen worden. Uiteraard kan het leerplan nooit de enige motivatie zijn om doelstellingen bewust te realiseren. En het feit dat competenties binnen het onderwijs een trend zijn, kan niet de drijfveer zijn om er aandacht aan te besteden. Maar het zou er de leerkacht wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dat hij/zij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele van die bedenkingen en geven duiding binnen een maatschappelijke context. (1) Vakgebonden vaardigheden en attitudes worden toch automatisch gerealiseerd bij de verwerking van de inhoudelijke doelstellingen? Dat hangt af van de soort werkvormen die de leerkracht hanteert. Zo heeft frontaal lesgeven zeker waarde, maar dat zal de zin voor samenwerking en overleg niet bevorderen. En lost men alle oefeningen klassikaal op, dan kan men een brede waaier van modelvoorbeelden aanbieden maar dan bekwamen leerlingen zich niet in onderzoeksvaardigheden. Daardoor wordt in voorgaande argumentatie de term automatisch niet evident. Een passage uit de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen in het leerplan geeft diezelfde toon aan [7, p.22]: Vaardigheden worden niet automatisch gegenereerd door de studie van ermee verwante inhouden. Ze moeten precies meermaals bij spontaan gebruik geëxpliciteerd worden. (2) Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? (uit [12]) Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennis enorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerd elektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd de helft van diens kennis was verouderd. In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar [5]. De consequenties van die ontdekking zijn enorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weer verouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht. Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom is het onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties. (3) Wat met de verhouding tussen kennis en competenties? Tegenwoordig hebben we te maken met een generatie die een overgang gemaakt heeft van te veel kennis naar vaardigheden en attitudes. Men denkt dat de slinger wat teveel doorgeslagen is en we nu naar een evenwicht moeten streven [8]. Het is dan ook onze mening dat een gezond evenwicht tussen kennis en competenties pas bereikt kan worden als de leerkracht streeft naar een doordachte visie op didactiek en in dialoog treedt met andere collega’s om die visie bevestigd te zien en elkaar te verrijken met nieuwe inzichten. Het bewaken van de kwaliteit van het onderwijs is hier een logisch gevolg van. Het streven naar competenties hoeft daarom niet te betekenen dat het niveau wiskunde van de leerlingen daalt. (4) Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleem kan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net de vaardigheid om problemen op te lossen zijn die binnen de maatschappij erg gegeerd is. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test, en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen en numeriek, verbaal en technisch inzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden. (5) Wat is het belang van samenwerken? Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde en wetenschappen gigantisch groot geworden. Naar schatting komen er elk jaar ongeveer 300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij. De volledige kennis hiervan is voor één enkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen en wetenschappers een noodzaak. 2

21

(6)

(7)

(8)

(9)

Ook in een breed maatschappelijke context is samenwerking onmisbaar. Het al of niet maken van carrière hangt in sterke mate vaak af van het succesvol omgaan met anderen: voor veel hogere functies geldt dat niet alleen vakinhoudelijke kwaliteiten nodig zijn, maar ook het vermogen om effectief samen te werken. Sociale eigenschappen zoals tact, empathie en gedrag als teamspeler worden dan ook best aangeleerd en onderhouden over de vakken heen. Ook op dat vlak dient het wiskunde onderwijs zijn verantwoordelijkheid te nemen. Dat kan bijvoorbeeld met co¨ operatief leren, dat niet geheel gericht is op de ontwikkeling van de eigen persoonlijkheid en kennis, maar juist ook om de ander verder te helpen met de kwaliteiten die het zelf al bezit. Binnen co¨ operatief leren worden de leerlingen uitgedaagd om zelf initiatief te nemen, elkaar te helpen en problemen samen op te lossen. Typisch hierbij is de mate waarin zij van elkaar afhankelijk zijn om hun doel te bereiken. Wat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven? (uit [12]) Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten. Zo is een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren ook in staat om te notuleren. Maar als zij een andere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas prima functioneerde met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzaken van bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leveren product, was ze beter af geweest. Waarom volstaat een klassieke toets niet? Eens een leerkracht kiest voor het bewust ontwikkelen van competenties dan is het wenselijk om het effect ervan te meten en verder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typisch daarbij zijn opmerkingen in het genre: • let op je notatie; • na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?; • maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafische) rekenmachine, indien mogelijk; • bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen; • maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde. Doorgaans zal een leerling die een toets afneemt zich eerder focussen op het reproduceren van de kennis en demonstreren van basistechnieken. Het bewust tonen van competenties hoort daar niet meteen bij. Ook bij het krijgen van de gecorrigeerde toets achteraf zal een leerling eerder interesse hebben in de punten dan in de opmerkingen in verband met competenties. Hoewel kwaliteit in competenties op termijn zal leiden tot hogere punten zal de leerling die link niet onmiddellijk aannemen. Moet de beoordeling van vaardigheden en attitudes meetellen voor het cijfer dagelijks werk? Het evalueren van attitudes moet gebeuren, maar het moet niet op punten. Recent overleg tussen de inspectie en pedagogische begeleiding wiskunde klaarde uit dat er maximum 10% op jaarbasis mag gequoteerd worden op attitudes. Daarnaast moet het al of niet op punten zetten van vaardigheden en attitudes stroken met de afspraken binnen de school. Het is zelfs zo dat in sommige scholen de leerkrachten enkel punten mogen geven op inhoudelijk werk, naar onze mening een gevolg van de kwalijke trend dat ouders bij het falen van hun zoon of dochter meteen naar de beroepscommissie stappen. Een nul geven voor het te laat indienen of punten zetten op nauwkeurigheid, orde en samenwerking zijn er uit den boze. Binnen het kader van rationeel-legaal gezag is deze visie inderdaad verdedigbaar. Maar het brengt een complicatie met zich mee: de leerkracht kan de daarmee gekoppelde vaardigheden en leerattitudes niet op punten zetten. Voor de leerling een reden te meer om de interesse in die competenties te laten varen. Daarmee schiet de nobele theorie van competentieontwikkeling bij jongeren in de praktijk zijn doel compleet voorbij. Moeten vaardigheden en attitudes los van de inhoud worden ge¨ evalueerd? Het is de mening van de auteur dat zoiets niet zinvol is. Sterker nog: het is een illusie om competenties te scheiden van de inhoud. Het een is onlosmakelijk verbonden met het ander. We vinden het dan ook geen goed idee om de evaluatie van een taak op te splitsen in een veelheid van deelcategorieën, om daarna het eindcijfer vast te leggen als de som van die afzonderlijke punten. Leerkrachten horen competent genoeg te worden geacht om aan een taak één cijfer vast te hechten dat de waarde van die taak weerspiegelt. Zeggen dat leerkrachten zoiets niet kunnen, getuigt van een fundamenteel wantrouwen. Wel kunnen leerkrachten dat eindcijfer best motiveren met enkele afzonderlijke beoordelingen: een paar competenties die in het oog springen, zowel in positieve als in negatieve zin. 3

22

2. Uitgelicht: onderzoekscompetenties Voor de studierichtingen van de derde graad ASO leerplan a (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) vermeldt men drie specifieke eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd [7, p.77]: OC1 Zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, ordenen en bewerken. OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren. OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten. Deze onderzoekscompetenties kunnen we als volgt schematiseren.

| {z }

rapporteren confronteren

| {z }

competentie 1

verzamelen ordenen bewerken

competentie 3 onderzoekscompetenties

| {z }

competentie 2

voorbereiden uitvoeren evalueren

De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerling informatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concrete onderzoeksvraag [6]. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge van het gebeuren. Denk bijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige. Opdrachten waarbij gevraagd wordt om informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken zijn dan ook beschrijvende opdrachten. Pas als de onderzoeker een voor hem of haar relatief onbekend wiskundig terrein betreedt, kunnen we spreken over een onderzoekende opdracht wiskunde. Daarbij haal je informatie niet zozeer uit boeken, maar ga je die in de eerste plaats genereren door zelf te redeneren. Informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van wiskunde in het middelbaar onderwijs - meestal geen stap vooruit. Het ontwikkelen van onderzoekscompetentie 1 kan in een afzonderlijke, beschrijvende opdracht wiskunde gebeuren, bijvoorbeeld met een schrijfopdracht. Via een aanbod van wiskundige onderwerpen (zoals Egyptische breuken, tekenregel van Descartes, ladenprincipe van Dirichlet, etc.) zoeken leerlingen meer specifieke informatie op. Typisch hierbij is de aanwezigheid van een historische component. Gevraagd wordt om de bekomen informatie te schematiseren en hiervan een samenvatting te maken. Het aanbod van 250 onderwerpen in [10] en meer dan 407 onderwerpen in [2] leent zich daar uitstekend toe. Bij een onderzoekende opdracht wiskunde maken leerlingen zelf een redenering. Ze krijgen een concrete probleemsituatie, al of niet in een context geplaatst, waarbij ze een inhoudelijk onderzoek moeten voeren. Bij wijze van voorbeeld verwijzen we naar de opgaven uit de Wiskunnend Wiske Wedstrijd [13] en de Wiskunde B-dag [14]. Bij zo’n onderzoekende opdracht is het niet realistisch om aan leerlingen te vragen vooraf een eigen onderzoeksvraag te formuleren, een onderzoeksdomein af te bakenen of een tijdsplan op te stellen. Dit motiveren we als volgt. (1) Om binnen de wiskunde een haalbaar onderzoeksdomein af te bakenen heb je heel wat expertise nodig. Omdat het een onderzoek betreft, gaan we ervan uit dat de onderzoeker niet vertrouwd is met het onderwerp. Academici vinden het niet eenvoudig om een eigen onderzoeksvraag op te stellen, die haalbaar is zowel naar inhoud als naar tijdsbesteding. Is het dan wel zinvol dat wij zoiets van leerlingen verwachten? (2) In een onderzoeksopdracht wiskunde wordt de haalbaarheid van een onderzoeksvraag pas duidelijk tijdens het onderzoek zelf. Net hierin onderscheidt een wiskundig onderzoek zich met een taalkundig of historisch onderzoek. 4

23

Deze argumentatie doet ons besluiten dat het vooraf opstellen van een onderzoeksvraag gewoonweg niet relevant is. Men kan zelfs de omgekeerde conclusie trekken: pas na een uitvoerig onderzoek wordt duidelijk wat een haalbare en zinvolle onderzoeksvraag is. Net het zoeken naar de onderzoeksvraag leidt tot een redenering, die de onderzoeksvraag afbakent. In de wiskunde noemt men dit het formuleren van een vermoeden. Of, om het in de woorden van de wiskudige Emil Artin te zeggen [1, p.592]: Our difficulty is not in the proofs, but in learning what to prove. We pleiten er dan ook voor om, binnen het kader van een onderzoekende opdracht wiskunde, de leerling een vooraf gestelde onderzoeksvraag te geven, al of niet voorzien van een aantal kleinere vragen die tot de oplossing van de onderzoeksvraag zullen leiden, of vanuit een aangestuurde reeks van mogelijkheden binnen Emil Artin een begeleide aanpak. Daarnaast wordt de leerling aangemoedigd om zelf kleinere (1898 - 1962) onderzoeksvragen te formuleren om zo een eigen redenering op touw te zetten die de grotere, hier gestelde onderzoeksvraag beantwoordt. Dat stellen van kleinere onderzoeksvragen is een heuristiek en maakt eigenlijk al deel uit van het onderzoek zelf. Wel zinvol is om de leerling aan te moedigen na het onderzoek een eigen vermoeden te formuleren, bijvoorbeeld op basis van een veralgemening of een alternatieve interpretatie van de onderzoeksvraag. Het opstellen van zo’n vermoeden gebeurt op basis van zijn eerder onderzoek en getuigt van het inzicht die de leerling gedurende zijn onderzoek verworven heeft. De leerling kan zijn vermoeden motiveren door te verwijzen naar aanwijzingen in het eerder onderzoek, en/of een mogelijke aanpak tot het oplossen van zijn vermoeden suggereren. Deze alternatieve aanpak strookt wel degelijk met de visie van de onderwijsinspectie. Op de website Doorlichten: extra informatie van de onderwijsinspectie [11] stelt men als minimumeisen voor het realiseren van de DSETOC, die de school moet kunnen aantonen bij inspectie, dat in het werk van de leerling een onderzoeksvraag/-opdracht moet aanwezig zijn (al dan niet expliciet gekoppeld aan een hypothese). Men verwacht dus niet dat de leerling een eigen onderzoeksvraag opstelt. Bovendien aanvaardt men voor de pool wiskunde dat een confrontatie met andere standpunten niet (steeds) haalbaar is. 3. Werkvorm practicum wiskunde Uit een poging van de spreker om vaardigheden en attitudes, en in het bijzonder de onderzoekscompetenties, op een uitgesproken en zinvolle manier te realiseren is het practicum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica genaamd, en zijn vrij beschikbaar op http://www.koendenaeghel.be/practicumwiskunde.htm Het doel van deze practica is dat de leerkracht kan beoordelen of de leerling beoogde vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf of in groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het managen van zijn eigen leerproces: • Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren? • Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studieen beroepskeuze? • Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben? • Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren? 3.1. Inhoud. Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot klassieke didactiek - een aantal onderwerpen aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Sommige zijn zelfs essentieel in de uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. Zo kan het rapporteren van een wiskundig onderwerp of onderzoeksresultaat pas zinvol gebeuren als er aan leerlingen ook verteld wordt wat een wetenschappelijk verslag of presentatie inhoudt: structuur, schrijfstijl, tips en valkuilen. De hier aangeboden practica zijn geordend volgens de volgorde waarin leerstofonderdelen wiskunde in de derde graad (meestal) gegeven worden. Andere practica zijn dan weer niet meteen verbonden met een bepaald leerstofonderdeel. In onderstaand overzicht is de vermelding van het aantal lessen slechts richtinggevend. De meeste practica zijn ge¨ıntegreerd in de reguliere lessen van leerstofonderdelen. Men hoeft dus niet noodzakelijk uitbreidings- en verdiepingsleerstof te schrappen om deze practica te kunnen inrichten. Bovendien kan men de onderzoekscompetenties realiseren aan de hand van practica 1, 7, 8, 9, 10 en 14. Desgewenst kan men uit deze practica wiskunde ook een selectie maken. 5

24

nr.

practicum

ge¨ıntegreerd in

uitvoering

lessen

1

Informatie verzamelen, ordenen en bewerken

per twee (PC)

2-3

2

Probleemoplossend denken (1)

per twee

1-2

3

Probleemoplossend denken (2)

precalculus

per drie

2

4

Toepassingen in groep verwerken

matrices

per vier

2

5

Hoe studeer je een bewijs

lineaire stelsels en matrices bepaalde integralen

individueel individueel

1/2 1/2

6

Samenwerken

lineaire stelsels en matrices

per twee

2

7

Een wetenschappelijk verslag schrijven

vectoren, parametervergelijkingen

per drie

2

8

Onderzoeksopdracht (1)

logica

individueel

1

9


precalculus, rijen

per twee

2

10


per vier

4

11

Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels

bepaalde integralen

individueel

1

12

Werken met een wiskundig model

integralen

per vier

2

13

Leren uit opgeloste problemen

onbepaalde integralen

per vier

2-3

14

Een wetenschappelijke presentatie geven

per drie (PC)

2

3.2. Structuur. Werkbundels voor de leerlingen worden best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso met C-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzien van een inleiding waarin de doelstellingen voor dat practicum verduidelijkt worden. We kiezen er bewust voor om de doelstellingen ook naar toe leerlingen te expliciteren. De laaste pagina van elk practicum dient als evaluatieformulier, waarin de competenties zijn opgenomen die voor dat practicum relevant zijn. Onderstaande afbeelding is een verkleinde versie van zo’n practicumbundel in A3-formaat (recto-verso met C-vouw). A3-voorkant A4-pagina Pr-4 A4-pagina Pr-1

A3-achterkant A4-pagina Pr-2 A4-pagina Pr-3

3.3. Evaluatie. Het verschil met een klassieke taak of toets is dat practica wiskunde ook geëvalueerd worden op vaardigheden en attitudes, al dan niet op punten. Bovendien weten de leerlingen aan de hand van hun gekregen bundel op welke competenties zij oefenen en beoordeeld worden. Typisch is dat de leerkracht bij het quoteren enkele in het oog springende competenties aanduidt. Dat kan op een efficiënte manier door deze met een groene (positief) of rode (negatief) fluorescerende stift aan te duiden. De meeste practica kunnen probleemloos worden geëvalueerd op inhoud, wat verwerkt kan worden in de punten voor tussentijdse evaluatie. Sommige scholen voorzien naast een klassiek puntenrapport ook een attituderapport. Hierin kan de leerkracht wiskunde dan de vakgebonden (leer)attitudes op aanbrengen die beoordeeld werden in de practica. 6

25

4. Uitgelicht: probleemoplossend denken In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan probleemoplossend denken. Willen we leerlingen hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadruk liggen op het ontwikkelen van vaardigheden die hen kunnen helpen bij het oplossen van (nieuwe) problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiële troef in hun verdere studieen beroepsloopbaan. Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordt bevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onderzoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen, voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren. 4.1. Stappenplan voor probleemoplossend denken. Naast het normale lesgebeuren is het ook noodzakelijk dat leerlingen zelf haalbare maar ietwat complexere problemen trachten op te lossen. Daarbij kunnen ze terugvallen op het onderstaand stappenplan voor probleemoplossend denken, gebaseerd op het baanbrekend boek [9] van de wiskundige en didacticus George Polya. Stap 1. Het probleem begrijpen. Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagd wordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op andere manieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen. Stap 2. Zoekstrategie¨ en en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieën kunnen helpen. Voorbeelden van strategieën, ook wel heuristieken genoemd, zijn: • • • • • • •

gegeven en gevraagde wiskundig vertalen raad en controleer maak een lijst zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld elimineer de mogelijkheden gebruik analogie of symmetrie zoek een patroon

• • • • • • •

maak een tekening los een eenvoudiger probleem op gebruik een model onderzoek bijzondere gevallen los een vergelijking op werk omgekeerd gebruik een formule

Het is belangrijk om deze strategieën ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoe je straks te werk zal gaan. Stap 3. Het plan uitvoeren. Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandigheden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebra¨ısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerking van het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen. Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomst op één of andere manier controleren? Bij een fout herneem je Stap 3 nauwgezet. 4.2. Richtlijnen voor wiskundig schrijven. Voor een wiskundige is het oplossen van een probleem slechts het halve werk: een redenering op papier zetten is minstens even belangrijk. Het opschrijven van een wiskundige redenering, een bewijs of meer uitgebreid een nota, artikel of thesis wordt ook wel wiskundig schrijven genoemd. Het vergt heel wat oefening om hierin bedreven te worden. Zo’n redenering opschrijven is niet zomaar iets wat je doet nadat je de oplossing gevonden hebt. Het is dan ook belangrijk om leerlingen hierin te ondersteunen. Dat kan door enkele richtlijnen voor wiskundig schrijven mee te geven. 4.2.1. Wiskundige correctheid. Een correcte, consistente en ondubbelzinnige redenering maken is moeilijker dan je denkt. Een nodige voorwaarde is dat je zelf 100% overtuigd bent van datgene wat je opschrijft. We overlopen enkele typische valkuilen. • Rekenvaardigheid. Het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, stelsels, etc. uit de eerste en de tweede graad is gekend verondersteld. Enkele misverstanden die aan de basis liggen voor heel wat elementaire rekenfouten in de √ derde graad (voor gepaste √ keuze van a, b,p c, d ∈ R): √ √ √ – rekenen met vierkantswortels: a + b 6= a + b want 9 + 16 6= 3 + 4; a2 6= a want (−3)2 6= −3; 2a + b a+b 2a + b a+b 2a + 2b a+b – vereenvoudigen van breuken: 6= , 6= , 6= ; 2c + d c+d 2c + 2d c+d 2c + d c+d – ongelijkheden: uit ac > bc volgt niet noodzakelijk dat a > b want 5 · (−2) > 7 · (−2) en toch is 5 < 7. 7

26

• Correct gebruik van implicatie en equivalentie. Vaak is een redenering wiskundig fout omdat men de enkele pijl ⇒ verwart met de dubbele pijl ⇔. Onderstaande tabel geeft aan wat het onderscheid is. Voor de formele definitie van deze logische operaties verwijzen we naar het leerstofonderdeel logica. naam

symbool

voorbeeld

lees als

implicatie ⇒ x = −2 ⇒ x2 = 4 als x = −2 dan x2 = 4 equivalentie ⇔ x = ±2 ⇔ x2 = 4 x = ±2 als en slechts als x2 = 4 • Letters voor onbekenden eerst introduceren. Wanneer je een nieuwe letter gebruikt dan hoor je eerst aan te geven waar die letter voor staat. Enkel op die manier kan de lezer jouw redenering volgen. 4.2.2. Wiskundig verwoorden. Een wiskundige redenering bestaat zeker niet alleen uit symbolen (formules, vergelijkingen, . . . ). Je hoort ook bindtekst te schrijven: taalkundige zinnen die aangeven wat je van plan bent, hoe uit de ene vergelijking de andere volgt, hoe je een controle kan maken, etc. Slechts dan zal een lezer weten wat jij bedoelt, ook al heeft hij/zij het probleem niet zelf opgelost. Typische voorbeelden van bindwoorden- en zinnen vind je in onderstaande tabel. Wanneer je een deel van de redenering weg laat, hoor je de aard en de lengte van het weggelaten deel te duiden (tweede kolom). Houd de lezer op de hoogte waar je je ergens in je redenering bevindt, en wat er nog moet gebeuren (derde kolom). Bindwoorden anders gezegd, anderzijds is, dan geldt, dientengevolge, dus, echter, enerzijds is, equivalent is, er geldt dat, ergo, gelijkstellen levert, hieruit volgt, met als gevolg dat, neem, noem, of nog, omdat . . . is, op die manier is, terwijl, uit . . . volgt dan, veronderstel dat, voor . . . vinden we, voor . . . bekomen we, want, waaruit, waaruit we vinden dat, waaruit volgt dat, we besluiten dat, we hebben, we vinden, zij, zodat, zodoende is Bindzinnen Ons eerste doel is om . . . Men kan eenvoudig aantonen dat . . . Eerst tonen we aan dat . . . Wa vermoeden dat . . . Twee keer toepassen van . . . geeft . . . Het probleem is te vereenvoudigen tot . . . Het idee van het bewijs is . . . Een gelijkaardig argument toont . . . Tenslotte moeten we aantonen dat . . . Tenslotte geven we nog enkele algemene schrijftips mee. • Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin, maar je mag formules en tekst niet dooreen halen. Gebruik in een taalkundige zin ook geen losse symbolen als ∀, ∃, ⇒, ⇔. Laat een regel nooit beginnen met een wiskundig symbool. Verwijs ook eenduidig naar een eerdere vergelijking. NIET: x is positief ⇒ de oplossing van de vergelijking = 17. WEL: Nu is x positief, zodat de oplossing van de vergelijking gegeven wordt door x = 17. • Hoe verwijs je naar jezelf ? De meest gangbare keuze voor het persoonlijk voornaamwoord is we, ook al is er slechts één schrijver: we kan ook verwijzen naar de lezer en ikzelf. Gebruik van het voornaamwoord Ik is vrijpostig en vereist een meer persoonlijk contact met de lezer. NIET: Ik heb het idee om / Ik heb eerder al gezegd dat / Nu ga ik aantonen waarom WEL: Het idee is om / We hebben eerder gezien dat / Vervolgens tonen we aan waarom 5. Werkvorm problem solving wiskunde Om de hierboven geformuleerde doelstellingen bij probleemoplossend denken te realiseren, werd de takenreeks problem solving wiskunde ontworpen. Deze takenreeks kan integraal geraadpleegd worden op http://www.koendenaeghel.be/problemsolvingwiskunde.htm Daarbij worden leerlingen niet alleen beoordeeld op de juistheid van de redenering maar ook op de manier waarop ze hun redenering hebben verwoord. Deze twee kwaliteiten zijn onafscheidelijk: enkel door een redenering degelijk op papier te zetten, laten leerlingen zien hoe ze een probleem hebben opgelost. 5.1. Inhoud en structuur. De tot op heden ontwikkelde taken hebben betrekking op de leerstofonderdelen precalculus en goniometrie. Elke week van het eerste trimester krijgen leerlingen uit het vijfde jaar een bundel (geplooid A3-formaat) met daarop één of twee problemen. Zij krijgen een week de tijd om over de opgave na te denken. Dat gebeurt niet tijdens de lessen wiskunde of andere vakken, maar thuis of in de studie. Pagina’s 1 en 4 van de bundel worden gebruikt als klad, Op pagina 2 wordt het net genoteerd. Op pagina 3 schrijven leerlingen niets, want daar komt de beooordeling met opmerkingen van de leerkracht. Hoewel enkel het 8

27

net wordt beoordeeld, kunnen leerlingen verplicht worden om ook hun klad te noteren. Op die manier kunnen zij aantonen dat ze individueel hebben gewerkt. Onderstaande afbeelding is een verkleinde versie van zo’n opgavebundel in A3-formaat (recto-verso met C-vouw). A3-voorkant klad (leerling) klad (leerling)

A3-achterkant net (leerling) evaluatie (leerkracht)

5.2. Evaluatie. Elke taak wordt beoordeeld volgens de criteria • wiskundige correctheid: de redenering is correct, logisch consistent, ondubbelzinnig en leidt tot de volledige oplossing van het probleem; • wiskundig verwoorden: de leerling is in staat om je gedachten op een kwalitatieve manier te communiceren; • nauwkeurigheid en orde: de leerling werkt ordelijk en systematisch, zowel bij het aanpakken van het probleem als het noteren van de oplossing; na de uitvoering van de opdracht kijkt de leerling terug als een vorm van controle om zo tot nauwkeurige resultaten te komen; • kritische zin: De leerling heeft de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen. Zowel bij nauwkeurigheid en orde als bij kritische zin is de grafische rekenmachine een grote meerwaarde. Deze competenties dienen als basis voor het beoordelen van vakattitudes wiskunde. Is het resultaat onvoldoende, dan kan aan de leerling gevraagd worden om het net te herschrijven met behulp van de concrete aanwijzingen van de leerkracht. Omdat ze een tweede kans krijgen, zullen zij minder geneigd zijn om over te schrijven. De focus gaat dan louter uit naar het vervolmaken van hun persoonlijke redenering. Soortgelijk argument vinden we ook in het leerplan terug [7, p.30]: Sommige leerlingen geraken ontmoedigd als ze geen succes kennen. Daarom moeten ze aangezet worden eenzelfde stap meermaals te hernemen. [. . . ] Het is evident dat leerlingen fouten zullen maken. Het is belangrijk in te zien dat fouten maken inherent deel uitmaakt van het leerproces. Een goede leerkracht zal deze aanwenden als belangrijke leerkansen. Een aanmoedigende en respectvolle benadering zal leerlingen zeker stimuleren en uiteindelijk leiden tot betere resultaten. 6. Uitgelicht: zelfgereguleerde differentiatie Zelfs in klassen ASO met zes tot acht wekelijkse lestijden wiskunde kennen leerlingen grote verschillen. Dat hoeft op zich geen probleem te zijn, maar een leerkracht wiskunde dient er wel de gebruikte werkvormen op af te stemmen. Alle oefeningen klassikaal maken kan leiden tot frustraties, zowel bij de sterke leerlingen (tempo en/of niveau te laag) als bij de minder sterke leerlingen (behoefte aan succeservaring en beginnen met eenvoudigere oefeningen). Daarnaast is het onze taak om leerlingen voor te bereiden tot het zelfstandig maken van oefeningen, zowel in het licht van komende toetsen en proefwerken als bij de voorbereiding tot het hoger onderwijs [7, p.30]: Met het oog op vervolgstudies moet in de derde graad de zelfstandigheid bij het verwerken van opdrachten toenemen.

9

28

Het is de mening van de spreker dat het zelfstandig oefenen op een zinvolle, realistische manier kan gebeuren met zelfgereguleerde differentiatie. • Het is aan te raden om oefeningen af en toe van een context te voorzien. Niet alleen kan het oplossen van vragen binnen een bepaalde referentiekader meer motiverend werken, men kan op die manier ook nieuwe leerstof inoefenen. Bovendien bevordert het de leesvaardigheid. • Elke leerling hoort op eigen tempo aan oefeningen op aangepast niveau te werken. Er wordt een minimumdoel voor de klas als geheel gesteld, en elke leerling kan een eigen oefentraject uitstippelen, aangepast naar eigen kunnen. • De leerling moet in staat zijn aan zelfregulatie en zelfevaluatie te doen door zijn/haar oplossingen te toetsen aan de hand van modeloplossingen. Hierin schuilt een belangrijke leervaardigheid: het onderzoeken van de gemaakte fouten [7, p.27]. • Daarna dient de leerling te reflecteren over de eigen ontwikkeling: welke competenties en leerstofonderdelen beheers ik goed, en hoe kan ik de zwakke punten verbeteren? Op die manier speelt de leerling de hoofdrol bij het managen van het eigen leerproces. • De leerkracht waakt over het studieproces van de leerling (procesevaluatie), waarbij de leerling ook feedback krijgt. 7. Werkvorm portfolio wiskunde Uit de behoefte om in heterogene klasgroepen de leerlingen zelfstandig aan oefeningen te laten werken is de werkvorm portfolio wiskunde ontstaan. Het bevat een aanbod van oefeningen, gerangschikt volgens leerstofonderdelen, en is vrij beschikbaar op http://www.koendenaeghel.be/portfoliowiskunde.htm Met een portfolio wiskunde laten leerlingen zien welke oefeningen ze tijdens de les en thuis gemaakt hebben, of ze die oefeningen verbeterd hebben en hoe ze reflecteren op hun fouten. De portfoliomap wijst leerlingen op hun verantwoordelijkheid in het ontwikkelen van hun eigen leerproces. Bij een onvoldoende op toets of proefwerk kan het portfolio inzicht geven waar het studieproces fout loopt. 7.1. Inhoud. Elke portfoliomap bevat oefeningen die onderverdeeld worden in drie categorieën: basis, verdieping en uitbreiding. Een overzicht van die oefeningen ziet er bijvoorbeeld als volgt uit (zie [4, Deel I Hoofdstuk 1]): 1 Herhaling

Basis ?

1.1 Cartesische coördinaten en grafieken

1

2

1.2 Basisbegrippen in verband met functies

3

4

??

Verdieping ? ?? 2

5

6

7

1.3 Elementaire functies, symmetrieën van de grafiek van een functie 1.4 Transformaties van functies

14 15

16

Uitbreiding ? ??

17

18

19

8

9

10

11

12 13

20

De interpretatie van deze categorieën is als volgt. • Basis. Deze oefeningen zijn bedoeld om de theorie te verwerken en de in de les geziene basistechnieken in te oefenen. Alle leerlingen horen dit niveau te halen. In eigen praktijk bestaat gemiddeld 85% van de oefeningen op toetsen en proefwerken uit basisoefeningen, voor leerlingen met acht wekelijkse lestijden is dat 70%. • Verdieping. Deze categorie veronderstelt een grotere beheersingsgraad. Het zijn oefeningen die niet rechtstreeks met de in de les geziene technieken kunnen opgelost worden. Verdiepingsoefeningen zijn uitdagend, vergen extra creativiteit en laten leerlingen toe door te groeien in hun probleemoplossend denken. Leerlingen die een wetenschappelijke studierichting in het hoger of universitair onderwijs nastreven, horen zich ook tot deze categorie te richten. • Uitbreiding. Een extra leerinhoud die niet noodzakelijk is voor het vervolg van de leerstofonderdelen. Dit is dus niet een nog hoger niveau dan de verdieping. Bij deze oefeningen worden meestal nieuwe begrippen gedefinieerd. Aan te raden voor leerlingen die studies zoals burgerlijk ingenieur ambiëren. Verder is elke categorie voorzien van een niveau: 0, 1 of 2 sterren. Al is een verschil in sterren bij basisoefeningen anders te interpreteren dan een verschil in sterren bij uitbreidings- en verdiepingsoefeningen. Zo vergt een basisoefening met 0 sterren wellicht minder werk dan een basisoefening met 2 sterren (maar is niet noodzakelijk 10

29

eenvoudiger), en is een verdiepingsoefening met 0 sterren eenvoudiger dan een verdiepingsoefening met 2 sterren (maar vergt niet noodzakelijk minder werk). Het is de bedoeling dat een leerling zelf kiest op welk niveau hij/zij oefeningen maakt. Dat kan door te starten met een basisoefening met bijvoorbeeld 0 sterren. Kost dit veel moeite dan oefent de leerling best wat verder op dit niveau. Bij succes kan de volgende oefening al een basisoefening met 1 of 2 sterren zijn, om later over te gaan naar verdieping en/of uitbreiding. Zo stelt een leerling een persoonlijk, op maat gemaakt oefentraject samen. Sommige vragen uit de voorgaande edities van de Vlaamse Wiskunde Olympiade werden opgenomen, alsook vragen uit de vroegere toelatingsexamens van burgerlijk ingenieur, burgerlijk ingenieur-architect, (tand)arts, Koninklijke Militaire School en Burgerluchtvaartschool. Een afspraak is dat deze oefeningen moeten opgelost worden zonder gebruik te maken van een grafische rekenmachine of enig ander computerrekenpakket zoals TI-Nspire, Maple of Sage. Maar ook in deze context is de grafische rekenmachine een meerwaarde, hetzij om een redenering op het spoor te komen of om achteraf een controle uit te voeren. Het feit dat een leerling hiertoe in staat is, getuigt van fundamenteel inzicht. 7.2. Werkwijze. Bij aanvang van een leerstofonderdeel krijgt elke leerling een portfoliomap met daarin oefeningen van dat onderdeel. Op de laatste pagina is een reflectieformulier voorzien. Onderstaande afbeelding is een verkleinde versie van zo’n portfolio in A3-formaat (recto-verso met C-vouw). A3-voorkant reflectiefiormulier oefeningen pagina 1

A3-achterkant oefeningen pagina 2 oefeningen pagina 3

Om deze werkvorm toe te passen wordt het doceren beperkt tot de klassikale opbouw van de theorie en het demonstreren van enkele modelvoorbeelden. Op die manier komt er tijd vrij om leerlingen ook tijdens de les zelfstandig aan oefeningen te laten werken. Daarnaast wordt er verwacht dat elke leerling ook buiten de les regelmatig oefeningen maakt. In die zin wordt het werken aan oefeningen uit het portfolio wiskunde opgevat als het maken van een taak. Elke leerling maakt oefeningen naar keuze, op eigen tempo en niveau. Hij/zij verbetert de gemaakte oefeningen met een rode pen, aan de hand van modeloplossingen in de klas en op een digitaal leerplatform. Na het verbeteren kleurt de leerling het vakje van die oefening in de overzichtstabel: • groen als de oefening goed en volledig zelfstandig werd opgelost (minstens 70% correct), • oranje als de oefening matig en/of met wat hulp werd opgelost (tussen 50% en 70% correct), • rood als de oefening onvoldoende en/of met veel hulp werd opgelost (minder dan 50% correct). Na het doorlopen van je oefentraject kan een gedeelte van de overzichtstabel er bijvoorbeeld als volgt uit zien: 2 Veeltermfuncties

Basis ?

2.3 Algebra¨ısch bepalen van nulwaarden, tekentabel en snijpunten

15 16 17

15 18 19 20

?? 21

Verdieping ? ?? 22 23

24 25

Uitbreiding ? ?? 26

11

30

Aangeraden wordt dat de leerling ook het reflectieformulier invult. Met behulp van de gekleurde overzichtstabel en het reflectieformulier weet de leerling bij het voorbereiden van een toets of proefwerk meteen welke oefeningen hij/zij moet hernemen en bij welke paragraaf er nog wat extra moet geoefend worden. 7.3. Evaluatie. Tijdens het lesuur dat er een toets wiskunde gepland is, hebben de leerlingen hun portfoliobundel(s) van de ondervraagde leerstofonderdelen bij. In eigen praktijk wordt in het eerste semester de portfoliobundels van alle leerlingen ingediend, in het tweede semester wordt het leerproces meer individueel opgevolgd. Is het resultaat op de toets nipt of onvoldoende dan kan de leerkracht via het portfolio nagaan of de leerling wel voldoende oefeningen gemaakt heeft, of die oefeningen ten gronde gemaakt zijn, of de leerling voldoende gevarieerd heeft en vooral: of de leerling die oefeningen ook verbeterd heeft. Zo niet, dan kan de leerling worden aangemaand om in het vervolg meer oefeningen te maken, en/of die oefeningen ook nauwgezet te verbeteren. Is het portfolio wel behoorlijk, dan kan de leerling worden uitgenodigd op een gesprek met de leerkracht om te reflecteren over zijn/haar studiemethode. Leerlingen die geneigd zijn om oefeningen over te schrijven van de modelantwoorden en deze in hun portfoliomap te voegen, vallen bij zo’n gesprek snel door de mand. In elk geval kan het studieadvies - vaak onder de vorm van remediëringsmaatregelen - gecorrespondeerd worden via de schoolagenda en/of het digitaal puntenrapport. Het portfolio wiskunde hoeft dus niet op punten dagelijks werk te staan. Wel: • is het het de verantwoordelijkheid van de leerling hoeveel en op welk niveau oefeningen gemaakt worden (ken jezelf); • is de portfoliomap een bewijsstuk van hoe zelfstandig een leerling te werk gaat, of hij/zij al dan niet een juiste studiehouding toont, en of de eventuele raadgevingen om te groeien naar een goede studiemethode wel ter harte worden genomen; • dient het portfolio als procesevaluatie, wat een gefundeerde evaluatie van de bijhorende leerattitudes mogelijk maakt. Referenties [1] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991. [2] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, online beschikbaar op http://users.ugent.be/ jebossae/docs/curiosa.pdf. [3] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: co¨ operatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demand online publishing Lulu.com (2013). Handboek online beschikbaar op http://www.koendenaeghel.be/practicumwiskunde.htm [4] K. De Naeghel, Wiskunde In zicht, print-on-demand online publishing Lulu.com (2013). Handboeken online beschikbaar op http://www.koendenaeghel.be/wiskundeinzicht.htm [5] F. den Hertog en E. Huizenga, De kennisfactor: concurreren als kennisonderneming, Deventer : Kluwer BedrijfsInformatie, 1997. [6] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge. Online beschikbaar op http://home.scarlet.be/deprez.johan/100203− eekhoutcentrum− onderzoekscompetenties/ [7] Leerplan A derde graad ASO, studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019. Online beschikbaar op http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf [8] M. Van Hecke, directeur-generaal katholiek onderwijs (De Morgen 14/11/12). [9] G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945). [10] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010). [11] DOORLICHTEN EXTRA INFORMATIE: http://www.ond.vlaanderen.be/inspectie/opdrachten/doorlichten/extra-info.htm [12] LEREN.NL: http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html [13] WISKUNNEND WISKE WEDSTRIJD: http://www.wiskunnendwiske.be [14] WISKUNDE B-DAG: http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ Koen De Naeghel, Onze-Lieve-Vrouwecollege, Collegestraat 24, 8310 Brugge. E-mail address: [email protected]

12

31

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

32

Practicum wiskunde Werkbundels voor de leerlingen

Digitale versie en bijlagen voor de leerkracht (A-61 tot en met A-166) beschikbaar op http://www.koendenaeghel.be

Pr

.

33

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1 INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN

1. Inleiding De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd: OC1 Zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken. OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren. OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten. De tweede en derde eindterm zullen worden gerealiseerd bij de uitvoering van latere practica, onder meer door onderzoeksopdrachten, het schrijven van een wetenschappelijk verslag en het geven van een wetenschappelijke presentatie.

| {z }


| {z }

competentie 1



| {z }

competentie 2


Het verzamelen, ordenen en bewerken van informatie wordt hier afzonderlijk behandeld, want ze komt niet expliciet aan bod bij latere practica in verband met onderzoeksopdrachten. Dat is een bewuste keuze, en berust op wat wij bedoelen met de term onderzoeksopdracht wiskunde. Het is de mening van de auteur dat onderstaande invulling van deze term strookt met de visie van een ruime meerderheid binnen de wiskundige gemeenschap. Hoe we tegen de fasen van een onderzoeksopdracht wiskunde aankijken wordt verhaald in de inleiding van Practicum 9. De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerling informatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concrete onderzoeksvraag. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge1 van het gebeuren. Denk bijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige. Een onderzoeksopdracht wiskunde waarbij gevraagd wordt om informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken, noemen we een beschrijvende opdracht wiskunde. Pas als de onderzoeker een voor hem of haar relatief onbekend wiskundig terrein betreedt, spreken we over een onderzoekende opdracht wiskunde. We zijn dan ook van mening2 dat bij wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boeken haalt, maar genereert door zelf te redeneren. Probleemoplossende vaardigheden komen hierbij goed van pas, dat komt dan ook aan bod in latere practica. Maar informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van de wiskunde in het middelbaar onderwijs - geen stap vooruit. 1 Binnen de context van het wiskundeonderwijs is de eerste eindterm wel relevant bij onderzoek dat steunt op statistische informatie (zesde jaar). 2 Deze verwoording werd ontleend aan de voordracht J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge. De visie van de auteur sluit hier naadloos bij aan.

Pr-1

34

Informatie verzamelen met behulp van het internet Informatie opzoeken is wellicht de belangrijkste functie van het internet. Als je niet beschikt over een lijst met relevante adressen, dan valt het tegen om iets rechtstreeks te vinden in deze enorme informatieberg. Het losweg intypen van url’s die eventueel met het gezochte onderwerp iets te maken hebben is uit den boze. Los van het feit dat zo’n pagina waarschijnlijk geen interessante informatie voor je bevat, is kans dat het ingetypte adres bestaat heel klein. Daarom moet je opzoeken op het internet wat meer gestructureerd aanpakken. Een zoekmachine is een webdienst waarmee met behulp van trefwoorden een volledige tekst kan worden gezocht. De volgende tabel geeft enkele zoekmachines weer, alsook enkele populaire sites voor (wiskundige) informatie. zoekmachine

beschrijving en tips

voor- en nadelen

google www.google.be/

In veel landen is Google de populairste zoekmachine. Gebruik:

Omdat Google een grote zoekmachine is, wordt het steeds moeilijker om gericht te kunnen zoeken op een bepaald gebied of in een andere taal dan het Engels. Vaak geeft Google gewoon te veel resultaten weer, waardoor een gebruiker door het bos de bomen niet meer ziet.

3 aanhalingstekens bij het zoeken van een zin, vb. “vectoren in het vlak” 3 sterretje als joker, op die plaats kan alles staan, vb. “een dodecaëder heeft ∗ vlakken” 3 site bij het zoeken binnen een site, vb. “wiskunde site:deredactie.be” 3 define bij het zoeken naar een definitie, vb. “define:googol” 3 afbeeldingen: tik je zoekterm, klik afbeeldingen. wikipedia www.wikipedia.org/

Wikipedia is een gratis encyclopedie. 3 Engelse trefwoorden genieten voorkeur boven Nederlandse. In vergelijking met het Nederlands worden artikels in het Engels door een grotere groep mensen opgesteld, gecontroleerd en aangepast. Net daarom zijn pagina’s in het Engels doorgaans juister dan pagina’s in het Nederlands. 3 Gebruik synoniemen van bepaalde woorden wanneer een zoekopdracht niet het gewenste resultaat geeft.

MacTutor History of Mathematics Archive http://www-history.mcs. st-and.ac.uk/Search/ historysearch.html/

Bevat gedetailleerde biografieën over wiskundigen en wiskundige onderwerpen. Categorieën: 3 History Topics: artikels volgens cultuur of tak van de wiskunde, vb. “Ancient Greek mathematics”

Wikipedia is een handige manier om op een begrijpbaar niveau kennis op te doen. De meeste artikels zijn voorzien met links naar andere websites. Maar omdat iedereen artikels kan wijzigen, is er geen garantie dat een artikel in wikipedia juist en betrouwbaar is. Aan te raden is dat je de informatie vergelijkt met andere bronnen. Mac Tutor staat bekend als een uitgebreid en betrouwbaar geschiedenisarchief van wiskunde.

3 Famous curves: bekende en minder bekende krommen. vb. “lemniscate of Bernoulli ” google scholar scholar.google.be/

Scholar Google is een zoekmachine waarmee je bijna elk wetenschappelijk artikel kunt opzoeken dat ooit gepubliceerd is. Een korte samenvatting van het onderzoek kun je bijna altijd gratis raadplegen.

Pr-2

Jammer genoeg is leesbaarheid niet altijd de beste kant van wetenschappelijke artikels. Maar even doorbijten loont zeker de moeite.

35

Informatie ordenen en bewerken Het is onmogelijk om alle verzamelde informatie op te nemen. Daarom moet de informatie eerst verwerkt worden. Door elke vraag of onderwerp afzonderlijk te behandelen, werk je overzichtelijk. Dat kan erg handig door de informatie eerst te kopiëren naar een Word-document . Om ervoor te zorgen dat je later nog weet waar je welke informatie gevonden hebt, noteer je onder elke passage de (eventueel verkorte) bronbeschrijving, bijvoorbeeld de url waarop je de informatie gevonden hebt. Op deze manier krijg je meteen de antwoorden van verschillende bronnen op dezelfde vraag bij elkaar. Daardoor wordt het makkelijker om de verschillende antwoorden op zo’n vraag met elkaar te vergelijken. Daarna moet je de bekomen informatie verwerken. Dat kan door eerst een schema te maken. 1. Het allerbelangrijkste daarbij is dat je een goed onderscheid maakt tussen hoofdzaken en bijzaken. Dat is lang niet altijd makkelijk. Aan te raden is dat je gebruikt maakt van: 3 titel en tussenkopjes: deze vertellen je waar gedeelten van de tekst over gaan; 3 eerste en laatste alinea van de tekst: in de eerste vertelt de schrijver vaak waarover de tekst gaat, in de laatste wordt het belangrijkste nog eens kort samengevat; 3 afwijkende druk: als een woord bijvoorbeeld vet gedrukt is, dan is dat woord (meestal) extra belangrijk. 2. Alleen de belangrijke dingen weergeven: niet allerlei voorbeelden of onbelangrijke weetjes. 3. Je moet in het schema de verbanden tussen de onderdelen van je schema goed duidelijk maken. 4. Als in de tekst nieuwe begrippen behandeld worden, kun je onderaan het schema een begrippenlijst te maken: de nieuwe begrippen met daarachter de betekenis. Daarna maak je van elke vraag of ondewerp een samenvatting . 3 De structuur van je tekst bestaat uit een aantal alinea’s die een overzichtelijk geheel vormen. 3 Zorgt dat je tekst aangenaam om lezen is en een informatief karakter heeft. 3 Neemt geen zinnen letterlijk van je bronnen over. 3 Zorgt dat je datgene wat je opschrijft ook voor 100% begrijpt. 3 Zaken die niet van belang zijn voor de hoofdlijn van de tekst en andere detils moet je verwaarlozen. 3 Sluit je samenvatting af door het vermelden van je bronnen.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee tot drie. . Zoek nevenstaande poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op. . Op de poster staat een vraag. Zoek eerst het antwoord op die vraag. Je moet dus het vraagteken achterhalen. . Daarna kies je in je groepje één rij of kolom. In die rij of kolom kies je drie afbeeldingen (maar niet het vraagteken). Bijvoorbeeld drie van de vijf plaatjes uit de tweede rij. . Van die drie afbeeldingen zoek je informatie op het internet. Die informatie orden je en bewerk je tot een samenvatting zoals beschreven in de inleiding. Schrijf tussen een halve en één bladzijde per afbeelding. . Daarna zorg je voor een wiskundige afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken weergeeft (afbeelding zelf maken of opzoeken). Ook daarvan maak je een samenvatting (maximaal één bladzijde). 3 Verslag (tijdens de lessen, thuis afwerken) Je verslag bevat: . van elk van de drie afbeeldingen een samenvatting;

poster Vlaamse Wiskunde Olympiade

. een afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken weergeeft; . ook van die afbeelding een samenvatting. Het verslag voeg je in deze practicum map. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient één practicumbundel met verslag in. Daarnaast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina A-62). Pr-3

36

11. Kritische zin Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

Attitudes

Pr-4

14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. 3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak. 15. Waardering voor de wiskunde Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen.

6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen. 3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken. 3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren. 3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren. 3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren. 3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze. 3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces. 7. Leervaardigheden 3 Je kan losse gegevens verwerken. 3 Je kan samenhangende informatie verwerken. 3 Je kan informatiebronnen raadplegen. 3 Je kan studietijd plannen. 3 Je kan je eigen leerproces bijsturen. 8. Reflectievaardigheden 3 Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies. 3 Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?). 3 Je kan reflecteren over de efficiëntie van je werken en je leren. 3 Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht. 3 Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?). 3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

Beoordeling

Evaluatieformulier Practicum 1

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

37

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

2 PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)

1. Inleiding In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan probleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadruk liggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van nieuwe problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiële troef in je studieen beroepsloopbaan. Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordt bevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onderzoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen, voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren. Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf haalbare problemen tracht op te lossen. Bovendien vindt het leren oplossen van problemen op school en daarbuiten ook plaats in een sociale context. Men verwacht dan ook dat je met anderen kan samenwerken. Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het volgend G. P´ olya, How to solve It

Stappenplan1 voor probleemoplossend denken Stap 1. Het probleem begrijpen Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagd wordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in eigen woorden wat het probleem inhoudt. Door het op een andere manier te verwoorden, zal je het probleem beter begrijpen. Stap 2. Zoekstrategie¨ en en een plan opstellen Eerst denk je na welke zoekstrategieën kunnen helpen. Voorbeelden van zo’n strategieën (ook wel heuristieken genoemd) zijn: 3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen,

3 maak een tekening,

3 raad en controleer,

3 los een eenvoudiger probleem op,

3 maak een lijst,

3 gebruik een model,

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld,

3 onderzoek bijzondere gevallen,

3 elimineer de mogelijkheden,

3 los een vergelijking op,

3 gebruik analogie of symmetrie,

3 werk omgekeerd,

3 zoek een patroon,

3 gebruik een formule.

Het is belangrijk om deze strategieën ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen bij het oplossen van het probleem. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoe je straks te werk zal gaan. Stap 3. Het plan uitvoeren Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandigheden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebra¨ısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerking van het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen. Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomst op één of andere manier controleren? Bij een fout herneem je nauwgezet Stap 3. 1 Het stappenplan dat we hier vermelden is gebaseerd op pagina’s A-64 en volgende in het baanbrekend boek G. P´ olya, How to solve It, Princeton University Press (1945).

Pr-5

38

Modelvoorbeeld Opgave. Een natuurlijk getal dat uit vier cijfers bestaat, elk gelijk aan 1, 5 of 9, is deelbaar door 37. Als de som van de cijfers 16 is, dan is de som van de laatste twee cijfers gelijk aan

2

6

10

12

14 Oplossing. We volgen de stappen voor probleemoplossend denken. Stap 1. Het probleem begrijpen Het probleem gaat over een getal van vier cijfers: x= a

b

c

met a, b, c, d ∈ {1, 5, 9}.

d

Bovendien moet dat getal x deelbaar zijn door 37. En we weten ook dat a + b + c + d = 16. Gevraagd is c + d. Stap 2. Zoekstrategie¨ en en een plan opstellen 3 Zoekstrategieën: gegeven en gevraagde wiskundig vertalen (zie Stap 1), maak een lijst. 3 Plan: We lijsten veelvouden van 37 op, en kijken welke getallen voldoen aan de opgave. We kunnen ook de mogelijkheden zoeken voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a + b + c + d = 16, en nagaan welke getallen x deelbaar zijn door 37. Stap 3. Het plan uitvoeren De lijst van alle veelvouden van 37 met vier cijfers is nogal lang (243 mogelijkheden). In plaats daarvan zoeken we eerst de mogelijkheden voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a + b + c + d = 16. 3 Het cijfer 9 kan hoogstens één keer voorkomen. Want als het meer dan één keer voorkomt, dan is de som van de cijfers minstens 18, en dat is teveel. 3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet er ook minstens één 5 in voorkomen. Want als er geen 5 is, dan moeten de drie andere cijfers telkens 1 zijn. Maar dan is de som 12, en dat is te weinig. 3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet dus ook 5 voorkomen, en dan nog twee keer een 1. Dan is de som inderdaad 16. 3 Als het cijfer 9 niet voorkomt, dan moet de 5 minstens drie keer voorkomen, aangevuld met een 1. Onze lijst telt 16 mogelijkheden: a 9 9 9 5 1 1 5 1 1 5 1 1

b 5 1 1 9 9 9 1 5 1 1 5 1

c 1 5 1 1 5 1 9 9 9 1 1 5

d 1 1 5 1 1 5 1 1 5 9 9 9

a 5 5 5 1

b 5 5 1 5

c 5 1 5 5

d 1 5 5 5

Nu kunnen we elk van deze getallen delen door 37 en kijken wanneer de rest nul is. Dat kan met de grafische rekenmachine. We vinden dat 1591 deelbaar is door 37. Dus de som van de laatste twee cijfers is 10. Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Het natuurlijk getal 1591 bestaat uit vier cijfers, elk gelijk aan 1, 5 of 9. Bovendien is 1591/37 = 43 dus het getal 1591 is deelbaar door 37. Tenslotte is de som van de cijfers gelijk aan 1 + 5 + 9 + 1 = 16. Het getal voldoet dus aan de opgave. De som van de laatste twee cijfers is gelijk aan 9 + 1 = 10. Het juiste antwoord is dus 10.

Pr-6

39

Opmerking. De uitwerking van Stap 3 kan ook zonder grafische rekenmachine, bijvoorbeeld als volgt. Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Om een analoog kenmerk van deelbaarheid door 37 te vinden kunnen we als volgt te werk gaan: 1000a + 100b + 10c + d x = 37 37 100 10 1 1000 a+ b+ c+ d = 37 37 37 37 1 11 10 1 = 27 + a+ 3− b+ c+ d 37 37 37 37 a − 11b + 10c + d = 27a + 3b + 37 Wil x deelbaar zijn door 37, dan lijst, dan bekomen we: a 9 9 9 5 1 1 5 1

moet a − 11b + 10c + d deelbaar zijn door 37. Passen we dit toe op bovenstaande b 5 1 1 9 9 9 1 5

c 1 5 1 1 5 1 9 9

d 1 1 5 1 1 5 1 1

a − 11b + 10c + d −35 49 13 −83 −47 −83 85 37

deelbaar door 37? nee nee nee nee nee nee nee ja

We vinden dat 1591 deelbaar is door 37.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee. . In het begin van de les krijg je een bundel met opdrachten (pagina’s A-66 tot en met A-77). De opdrachten zijn gerangschikt volgens moeilijkheidsgraad: van niveau 1 (voor 1p.) tot niveau 6 (voor 6p.). . Je kiest een aantal opgaven, in totaal ter waarde van . . . . . . punten (vul aan). Je mag maximum twee opgaven van een zelfde niveau kiezen. . Tijdens de les start je met het oplossen van je gekozen opgaven. Volg daarbij de stappen uit het stappenplan voor probleemoplossend denken in de inleiding. Op het einde van de les moet vastliggen welke opgaven je in je groepje gekozen hebt. 3 Verslag (tijdens de lessen, thuis afwerken) Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elke opgave start op een nieuw cursusblad, met de volgende structuur: . Opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad kleven. . Stap 1. Het probleem begrijpen. . Stap 2. Zoekstrategiën en een plan opstellen. . Stap 3. Het plan uitvoeren. . Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Bij multiple choice vink je ook het juiste bolletje aan. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. Het verslag voeg je in deze practicum map. De opgaven die je niet behandeld hebt bewaar je thuis. Een goed idee is om de taken te verdelen: spreek tijdens de lessen af wie welke opgaven zal oplossen en/of uitschrijven. Toch blijf je als verantwoordelijk voor wat de anderen geschreven hebben, wnt ook jouw naam staat op het verslag als geheel. Lees daarom de oplossingen van de anderen na, en speel je feedback tijdig door. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient één practicumbundel met verslag in.

Pr-7

40

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen. 3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen). 10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

Pr-8

13. Zelfregulatie 3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen. 3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te oriënteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken. 14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. 3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

1. Rekenvaardigheid 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit. 3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt. 2. Meet-en tekenvaardigheid 3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig. 3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen. Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt. 5. Probleemoplossende vaardigheden 3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen. 3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.). 3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren). 3 Je kan zoekstrategieën toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen. 3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategieën en je plan. 3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

41

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

3 PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)

1. Inleiding In Practicum 2: Probleemoplossend denken (1) heb je kennis gemaakt met de kunst van het oplossen van problemen. Hierbij kreeg je het advies om te werken volgens een stappenplan (zie ook hieronder). In dit Practicum ga je nadenken over problemen die wat complexer zijn. Deze opdracht voer je dan ook uit in groepjes van drie, want je zal merken dat je elkaars hulp en inzet nodig hebt om de taak succesvol te volbrengen. Om efficiënt te werken, worden de volgende rollen verdeeld: 3 Schrijver Als de groep een idee of antwoord geeft, vraag dan of iedereen het eens is. Deze persoon schrijft de redenering van de groep op. Dat zal hoofdzakelijk in het klad zijn. In de tweede les worden de antwoorden goed leesbaar opgeschreven. Uiteraard helpen de anderen hierbij. 3 Tijdbewaker Wanneer de groep erg lang bij een vraag blijft hangen, waarschuw je, bijvoorbeeld door te zeggen: “we moeten aan de volgende vraag beginnen, anders krijgen we het niet af”. Af en toe vertel je de groep hoeveel tijd er nog over is. 3 Aanmoediger/leider Moedigt aan, bijvoorbeeld als de groep vast zit bij een probleem: “heeft iemand een idee?”. Je toont ook initiatief bijvoorbeeld met: “deze strategie lijkt te kunnen werken, laten we die uitproberen” of “deze redenering leidt niet meteen tot iets, laten we iets anders proberen”. Daarnaast blijft iedereen wel mee verantwoordelijk. De leerkracht kan ieder groepslid aanspreken op zijn of haar bijdrage aan het groepswerk. Dit om te voorkomen dat iemand meelift: een groepslid laat de rest van de groep het werk opknappen. Pas wanneer alle groepsleden hun rol naar behoren vervullen kan de groepstaak succesvol worden uitgevoerd.

Stappenplan voor probleemoplossend denken Stap 1. Het probleem begrijpen. Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op andere manieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen. Stap 2. Zoekstrategie¨ en en een plan opstellen Eerst denk je na welke zoekstrategieën kunnen helpen. Voorbeelden zijn: 3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen,

3 maak een tekening,

3 raad en controleer,

3 los een eenvoudiger probleem op,

3 maak een lijst,

3 gebruik een model,

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld,

3 onderzoek bijzondere gevallen,

3 elimineer de mogelijkheden,

3 los een vergelijking op,

3 gebruik analogie of symmetrie,

3 werk omgekeerd,

3 zoek een patroon,

3 gebruik een formule.

Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen. Stap 3. Het plan uitvoeren Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Kun je je uitkomst op één of andere manier controleren? Pr-9

42

Modelvoorbeeld Opgave. Als r en s de wortels zijn van 3x2 − 16x + 12 = 0, bepaal dan 2 log r + 2 log s. Oplossing. Ons idee is om eerst de waarden r en s te vinden, en daarna 2 log r + 2 log s te berekenen. √ −(−16) ± 162 − 4 · 3 · 12 2 3x − 16x + 12 = 0 ⇔ x = 6 √ 16 ± 112 ⇔ x= 6√ 16 ± 4 7 ⇔ x= 6 √ √ 8+2 7 8−2 7 zodat we mogen stellen dat r = en s = . Invullen geeft alvast 3 3 √ ! √ ! 8−2 7 8+2 7 2 2 2 2 + log log r + log s = log 3 3 We zien niet in hoe we beide logaritmen afzonderlijk moeten berekeken. Maar met behulp van een rekenregel van logaritmen kunnen we beide termen wel samenvoegen tot één logaritme: steunend op de rekenregel 2

log + 2 log 4 = 2 log ( · 4)

bekomen we 2

2

2

log r + log s = log = 2 log

√ ! √ ! 8+2 7 8−2 7 2 + log 3 3 √ √ ! 8+2 7 8−2 7 · 3 3

64 − 4 · 7 9 = 2 log 4 =2 = 2 log

Opmerking. Achteraf gezien was het niet nodig om de waarden r en s eerst afzonderlijk te vinden. Want wegens log r + 2 log s = 2 log (r · s) hebben we enkel het product r · s nodig. En het product van de wortels van een kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 wordt gegeven door de formule c/a. Op die manier krijgen we volgende alternatieve - en meer elegante - oplossing: 2

2

log r + 2 log s = 2 log (r · s) het product van de wortels van 3x2 − 16x + 12 = 0 is gelijk aan 12/3 = 4 = 2 log 4 =2

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (. . . lessen) Het practicum voer je uit in groepjes van drie. . Leg vast wie de rol van schrijver, tijdbewaker en aanmoediger/leider op zich neemt. . Op de volgende pagina vind je een tiental problemen. De leerkracht beslist welke problemen jullie krijgen. De bedoeling is om elk probleem algebra¨ısch op te lossen, en jullie redenering zo goed mogelijk op te schrijven. Dat betekent dat iemand die het probleem niet opgelost heeft in staat moet zijn om jullie redenering te volgen. 3 Verslag Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elk probleem start op een nieuw cursusblad, te beginnen met de nummer van het probleem. 3 Practicum indienen Indenen op het einde van de laatste les. Elke groep dient één practicumbundel met verslag in. Pr-10

43

Tien problemen - Opgave Probleem 1. (a) Stel f (x) = 3x3 − 4x2 + ax − 11 een reële veelterm zodat f (1) = 2. Bepaal de waarde van a. (b) Stel (3x − 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + . . . + a0 voor zekere a0 , a1 , . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . . + a1 + a0 . Probleem 2. Er is precies één veelterm A(x) van de vorm A(x) = 7x7 +a6 x6 +a5 x5 +. . .+a1 x+a0 met a0 , a1 , a2 , . . . , a6 ∈ R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0). Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig dan wanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12 uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Probleem 4. Stel f (x) =

5x2 − 4x + 8 . x2 + 1

(a) Voor welke reële waarden van k bestaat er een reëel getal x waarvoor f (x) = k? (b) Bepaal het bereik van de functie f .

Probleem 5. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de vergelijking

√ √ √ 3 3 13x + 37 − 3 13x − 37 = 2.

√ Probleem 6. Stel f (x) = x+ x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f (g(f (g(f (7)))))). Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm. 2

Probleem 7. De vergelijking 2x = 323x+8 heeft twee reële oplossingen. Bepaal algebra¨ısch hun product. Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant te houden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen van de stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nieren elimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid. Cafe¨ıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, de hartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dat het je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafe¨ıne kan giftig zijn. nieren in digitaal ontwerp Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaam overblijvende cafe¨ıne. Is de overblijvende dosis cafe¨ıne groter dan 20mg, dan werkt het stimulerend. We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafe¨ıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikje cola drinkt, en je het derde en laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafe¨ıne die je uit deze blikjes opnam niet langer stimulerend werken? Algebra¨ısch oplossen, en je resultaat afronden op één minuut nauwkeurig. Probleem 9. Los algebra¨ısch de volgende exponentiële vergelijking op: 8(4x + 4−x ) − 54(2x + 2−x ) + 101 = 0 Probleem 10. Bepaal algebra¨ısch het grootste reëel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

allen gehele getallen zijn.

210

log (x2b )

2

=

Pr-11

210

log x4

44

1. Rekenvaardigheid 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit. 3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt. 4. Denk- en redeneervaardigheden 3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen. 3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen. 3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken. 3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken. 5. Probleemoplossende vaardigheden 3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen. 3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.). 3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren). 3 Je kan zoekstrategieën toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen. 3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategieën en je plan. 3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.


Vaardigheden

Attitudes

Pr-12


Beoordeling


Doelstellingen

45

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

4 TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN

1. Inleiding Heel wat problemen uit de maatschappelijke leefwereld kunnen aangepakt worden met wiskunde. Het oplossen van zo’n problemen valt onder de noemer toepassingen. Het proces waarbij men met wiskunde naar oplossingen zoekt, kan uitgevoerd worden aan de hand van het stappenplan voor probleemoplossend denken die we in Practicum 2 besproken hebben. Wat het oplossen van een probleem als toepassing specifiek maakt, is de keuze van de zoekstrategie in Stap 2. Bij een toepassing komt het er doorgaans op neer om in de opgave een wiskundig begrip te herkennen: een rechthoekige driehoek, een functie, een matrix, etc. Het oplossen van het oorspronkelijk probleem als toepassing vertaalt zich dan in het uitvoeren van bewerkingen met die begrippen. Men verwijst naar deze zoekstrategie als mathematiseren of modelleren. Zo kan het oplossen van een toepassing zien als een bijzonder geval1 van probleemoplossend denken uit Practicum 1 en Practicum 2: Stap 1. Exploreren Het probleem begrijpen door het op een andere manier te verwoorden. Stap 2. Mathematiseren Herkennen van een wiskundig begrip en inzien dat het gevraagde kan vertaald worden naar een model: een bewerking, een vergelijking, een stelsel vergelijkingen, een extremumprobleem, een matrixvermenigvuldiging, een rechthoekige of een willekeurige driehoek, etc. Stap 3. Berekenen Als het wiskundig model opgebouwd is, probeer je dit via rekentechnieken op te lossen. Stap 4. Controleren Interpretatie van het resultaat, waarbij je rekening houdt met de context van het probleem.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van vier. Les 1

Let op de terugkerende pijl!

Toepassing 1 op pagina A-90 en volgende verwerken.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden. Doe dat in groep: overleg wat er ingevuld moet worden, deel je inzichten met de anderen. 2. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie: pagina A-98 en volgende. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten stip je aan in het rood. Zorg dat iedereen in de groep nu elke (verbeterde) stap begrijpt. 3. Maak nadien Oefening 1 op pagina A-106 (staat ook op de volgende pagina). Les 2

Toepassing 2 op pagina A-94 en volgende verwerken, analoog als in les 1.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden. 2. Vergelijk met de ingevulde versie pagina A-102 en volgende. 3. Maak nadien Oefening 2, 3 of 4 op pagina A-106 (beslist door tossen, staan ook op de volgende pagina’s). 3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat één exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-90 tot en met A-97, en de twee gemaakte oefeningen op een cursusblad. Opgave overschrijven hoeft niet. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient één practicumbundel met verslag in. 1 Inspiratie en schema werd ontleend aan G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaanderen nr.9 (2006).

Pr-13

46

Oefeningen - Opgave Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op onderstaande graaf. (a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met één tussenstop op een willekeurig eiland. (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland. ?

(d) Is het mogelijk om via ten hoogste één tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op met behulp van matrices.

B

C

A

D

E

Pr-14

47

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde. Na één jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van het jaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren het jaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jonge dieren zijn en 30 volwassen dieren. (a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 2 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van de markt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgende wijzigingen voor: . Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest. . Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest. . Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest. We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet. (a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf. (b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door een lage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Leslie-model, de volgende gegevens zijn bekend: . slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar, . éénjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven, . geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar, . alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes. (a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf. (b) Stel de Leslie-matrix op. (c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 éénjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijn vangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

2 Enige

gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

Pr-15

48

1. Rekenvaardigheid 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit. 3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt. 3. Wiskundige taalvaardigheid 3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde: . je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.). 3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra¨ısch/grafisch, teken, contrueer). 3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren). 3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram). 3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken. 4. Denk- en redeneervaardigheden 3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen. 3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen. 3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken. 3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken.

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen. 3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen). 11. Kritische zin Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

Vaardigheden

Attitudes

Pr-16

14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. 3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Beoordeling


Doelstellingen

49

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

5 HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?

1. Inleiding Het studeren van een wiskundig bewijs - en algemener, het studeren van theorie wiskunde - verloopt in vijf stappen: Stap 1. Begrijp elke overgang Stap 2. Begrijp het geheel Stap 3. Test jezelf Stap 4. Controleer Stap 5. Herhaal We lichten deze stappen toe aan de hand van een bewijs die je in het derde jaar gestudeerd hebt.

Voorbeeld Stelling. Het getal

√ 2 is een irrationaal getal. √ 2 een irrationaal getal, ofwel is het geen irrationaal getal.

Bewijs. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel is Mocht

√ 2 geen irrationaal getal zijn, dan is √ a 2= b

voor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0

(1)

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben. Nemen we in (1) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we a2 b2

2=

⇒

2b2 = a2

Omdat het linkerlid deelbaar is door 2, is ook het rechterlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van a2 . Dus 2 is een deler van a. Dus a = 2k voor een zekere k ∈ Z. Vervangen we a = 2k in (1) dan verkrijgen we √ 2k 2= b

(2)

Nemen we in (2) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we 2=

4k 2 b2

⇒

b2 = 2k 2

Omdat het rechterlid deelbaar is door 2, is ook het linkerlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van b2 . Dus 2 is een deler van b. Maar nu is 2 een deler van a en 2 is een deler van b, terwijl we √ ervoor hadden gezorgd dat a en b geen deler gemeen hebben. Een strijdigheid: het is dus niet waar dat 2 geen irrationaal getal is. We besluiten dat

√ 2 een irrationaal getal is.

Pr-17

50

Stap 1. Begrijp elke overgang Je begint met het bewijs regel per regel door te nemen. Zorg dat het duidelijk is hoe je van de ene regel naar de andere gaat (een berekening, steunen op een eerder geziene eigenschap, etc.). Het doel van een les wiskunde is dat je tijdens de les alle overgangen begrijpt. Stap 1 dient dus om na te gaan of dat nu nog steeds zo is. Wellicht is het geheel van het bewijs nog niet duidelijk, maar dat komt pas in Stap 2. Voorbeeld. Mocht

√ 2 geen irrationaal getal zijn, dan is √ a 2= b

voor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0

(1)

Waarom? Als een getal niet irrationaal is, dan is het rationaal (breuk). Waarom is b 6= 0? Delen door 0 mag niet. Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben. a Waarom? Mochten a en b toch een deler gemeen hebben, dan kun je die breuk vereenvoudigen. b Etc. Stap 2. Begrijp het geheel Om het geheel te begrijpen, ga je na: 3 Wat moeten we eigenlijk bewijzen (opgave)? 3 Toont de redering van het bewijs nu wel de opgave aan? 3 Is er een truc in het bewijs? Voorbeeld.

√ √ 2 irrationaal is. M.a.w. we moeten aantonen dat 2 geen breuk is. √ 3 In het bewijs doen we alsof 2 wel een breuk is. Maar √ dan loopt er blijkbaar iets fout. Dus op het einde van het verhaal zullen we bewezen hebben dat 2 toch geen breuk is. √ a 3 Door te doen alsof 2 een breuk is, kunnen we het schrijven als . De truc is om die gelijkheid b √ a 2 = te kwadrateren. En dan later nog eens toe te passen eens we a geschreven hebben als 2k. b 3 We moeten aantonen dat

Tracht daarna het bewijs in twee of drie regels samen te vatten. Door die regels te onthouden, zul je het bewijs later kunnen reconstrueren. Voorbeeld. √ √ a 1. Doen alsof 2 een breuk is: 2 = b 2. Kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van a, dus a = 2k. 3. Vervangen, opnieuw kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van b. Stap 3. Test jezelf Leg je cursus of boek weg, en neem een leeg cursusblad. Je schrijft op wat je gaat bewijzen (opgave), en probeert het bewijs nu helemaal zelf op te schrijven. Als je vast komt te zitten, geef het niet onmiddellijk op door terug in je cursus te kijken. In plaats daarvan denk je even na: 3 Kan ik een regel open laten, en het verder verloop van het bewijs toch opschrijven? Denk aan je samenvatting in Stap 2. 3 Is er een truc in het bewijs die ik vergeten ben? 3 Weet ik nog wat ik wil bewijzen? Kijk pas terug in je cursus als je het echt niet meer weet. Maar beperk je dan niet tot het lezen van die ene regel die je vergeten bent: ga ook eens na waarom je die regel vergeten bent. Daarna neem je een leeg cursusblad en begin je opnieuw het bewijs op te schrijven. Pr-18

51

Stap 4. Controleer Als je denkt dat je klaar bent, neem dan je cursus en vergelijk jouw bewijs met dat in de cursus. Wees streng op jezelf, en ga nauwkeurig na of je bewijs nu ook correct is: 3 Heb ik de opgave juist? 3 Heb ik elke tussenstap opgeschreven? Minstens evenveel zoals in de cursus? 3 Heb ik de eventuele tekeningen of schetsen nauwkeurig gemaakt en alles aangeduid? Als je iets vergeten bent, of iets fout geschreven hebt, dan duid je de fout op je cursusblad aan met een fluoriserende stift. Houd je cursusblad bij (zie Stap 5). Stap 5. Herhaal Op het einde van de dag test je jezelf opnieuw (Stap 3), met controle (Stap 4). Bij die controle vergelijk je ook met de fouten die je op je eerste cursusblad hebt gemaakt. De kracht van de herhaling kan nauwelijks onderschat worden. Daags nadien test je jezelf nog een derde keer. Je zal ervan versteld staan dat je zelfs dagen later het bewijs nog kan opschrijven. Tip. Om het jezelf gemakkelijk te maken kun je steekkaarten maken. Op elke steekkaart schrijf je de vraag op zoals de stelling (of een definitie, etc.) gevraagd kan worden op een toets of examen. Telkens je het bewijs herhaalt, neem je die steekkaart en lees je de opgave. Je schrijft je antwoord uiteraard niet op die steekkaart, zodat die later nog bruikbaar is. Op het einde van elk hoofdstuk (en dus ook bij de voorbereiding van je examens) heb je dan een aantal steekkaarten waaruit je de theorie kan studeren. Voorbeeld. Vul de volgende stelling aan (schrappen wat niet past), en bewijs: Het getal

√ 2 is wel/niet een irrationaal getal.

Bewijs. .. .

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (1/2 les) Dit practicum voer je individueel uit. 1. Tijdens de les studeer je het bewijs op pagina A-112 (vijfde jaar) of A-113 (zesde jaar) op de manier zoals beschreven in de inleiding (Stappen 1-4 uitvoeren). 2. In de les krijg je ook een blanco steekkaart. Die steekkaart maakt je klaar zoals beschreven in Stap 5. Die steekkaart kan je later gebruiken om het bewijs te herhalen (Stap 5). 3. Na deze vijf stappen reflecteer je even over jouw studiemethode bij het studeren van theorie. Beschrijf in enkele regels: . Hoe pak je het studeren van theorie meestal aan? . Heeft die aanpak in het verleden tot gewenste resultaten geleid? . Denk je met de methode uit dit practicum je theorie efficiënt(er) te kunnen studeren? 3 Verslag Je verslag bestaat uit het cursusblad die je in Stap 3 gemaakt hebt. Vergeet je eventuele fouten niet aan te duiden met een fluorescerende stift. Op dat blad heb je ook de reflectie van jouw studiemethode geschreven. Je voegt het cursusblad samen met je steekkaart in deze practicumbundel. 3 Practicum indienen Op het einde van de les. Pr-19

52

3. Wiskundige taalvaardigheid 3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde: . je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.). 3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra¨ısch/grafisch, teken, contrueer). 3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren). 3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram). 3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken. 7. Leervaardigheden 3 Je kan losse gegevens verwerken. 3 Je kan samenhangende informatie verwerken. 3 Je kan informatiebronnen raadplegen. 3 Je kan studietijd plannen. 3 Je kan je eigen leerproces bijsturen. 8. Reflectievaardigheden 3 Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies. 3 Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?). 3 Je kan reflecteren over de efficiëntie van je werken en je leren. 3 Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht. 3 Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?). 3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen. 3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen). 11. Kritische zin Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

Vaardigheden

Attitudes

Pr-20

12. Zelfvertrouwen en zelfstandigheid 3 Je toont zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten. 3 Je ziet in dat fouten maken inherent deel uitmaken van het leerproces.

Beoordeling


Doelstellingen

53

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

6 SAMENWERKEN

1. Inleiding1 In onze maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan samenwerking. Dat belang wordt in bedrijven en overheidsinstanties erg benadrukt. Immers, een goede samenwerking van personeelsleden impliceert een grotere rentabiliteit en betere resultaten. Dat men bij het aanwerven van nieuwe personeelsleden hierop zal inspelen spreekt voor zich. De kans is dan ook erg groot dat je bij een toekomstige sollicitatie of proefcontract zal getest worden hoe vaardig je bent in het samenwerken met de anderen. Concreet deelt men de competentie samenwerken in vier niveaus op. Die zijn cumulatief gerangschikt, wat wil zeggen dat iemand pas een hoger niveau kan bereiken als hij/zij ook de lagere niveau’s beheerst.

Niveaus van samenwerking Niveau 1. Je werkt mee en informeert de anderen: 3 je houdt rekening met de mening van anderen; 3 je behandelt de anderen met respect; 3 je geeft informatie en kennis door die voor anderen nuttig of belangrijk kan zijn; 3 je aanvaardt groepsbeslissingen. Niveau 2. Je helpt anderen en pleegt overleg: 3 je steunt de voorstellen van anderen en bouwt daarop voort om tot een gezamenlijk resultaat te komen; 3 je houdt rekening met de gevoeligheden en met de verscheidenheid van mensen; 3 je biedt hulp aan bij problemen, ook al valt de taak niet onder de eigen opdracht; 3 je vraagt spontaan en proactief de mening van anderen. Niveau 3. Je stimuleert de samenwerking binnen de eigen entiteit, werkgroepen of projectgroepen: 3 je komt met ideeën om het gezamenlijk resultaat te verbeteren; 3 je moedigt anderen aan om onderling te overleggen over zaken die het eigen werk overstijgen; 3 je betrekt anderen bij het nemen van beslissingen die op hen een impact hebben; 3 je bevordert de goede verstandhouding, de teamgeest en het respect voor verscheidenheid van mensen; 3 je geeft opbouwende kritiek en feedback. Niveau 4. Je creëert gedragen samenwerkingsverbanden met en tussen andere groepsleden: 3 je creëert structuren om de samenwerking met andere groepsleden te verbeteren; 3 je neemt informele initiatieven om de samenwerking met en tussen andere groepsleden te verstevigen; 3 je draagt samenwerking uit als belangrijke waarde en spreekt anderen daarop aan; 3 je werkt actief aan het scheppen van een goede vertrouwensband met andere groepsleden. 1 Inspiratie werd gehaald uit de website http://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/ .

van

de

Vlaamse

Pr-21

Overheid

Agentschap

voor

Overheidspersoneel

54

Ook in je verdere studieloopbaan kan samenwerken een grote rol spelen. Niet zelden krijg je bij hogere studies te maken met het maken van projecten in groep. Het vaardig zijn in samenwerken kan hier een grote troef betekenen om zowel sneller als beter te presteren in groep. Daarom bieden we je nu al af en toe activiteiten in groep aan om je beter te kunnen voorbereiden op het functioneren in de maatschappij. Concreet kennen we in de klas drie graden van samenwerking.

Graden van samenwerking in de klas Graad 1. De leerkracht bepaalt het doel, de (meeste) activiteiten en (bijna) de hele evaluatie. Dit is wat men meestal onder samenwerken in klas begrijpt. Graad 2. De groep krijgt meer verantwoordelijkheid: de structuren verdwijnen want de groep bepaalt zelf steeds meer de manier waarop samengewerkt wordt. In dat geval spreken we over samen leren. Deze structuur acht men meer complex dan samen werken, omdat ze een zelfstandigere houding van de leerlingen vereisen en de docent meer terugtreedt. Graad 3. Er is sprake van totale sturing vanuit de leerlingen. Deze graad noemt men samen reguleren. Naast het verwerken van toepassingen in groep uit Practicum 4 is dit practicum gericht op samenwerken, in groepen van twee of drie. Het beoogde doel is welomlijnd (zie opdracht). Toch is er nu al een zekere vorm van: 3 Positieve wederzijdse afhankelijkheid Je werkt aan een gezamelijk doel, en daarbij is de bijdrage van ieder groepslid van belang. 3 Individuele aanspreekbaarheid Ieder groepslid is aanspreekbaar op zijn/haar bijdrage aan het groepsproduct. Het kan dus niet zo zijn dat een groepslid al het werk doet. 3 Directe interactie Je praat met elkaar over de leerstof. Dus er moet ook echt gepraat worden. Het is dus niet de bedoeling dat je individueel de opdracht uitvoert en achteraf controleert of de andere groepsleden hetzelfde resultaat bereikt hebben. 3 Sociale vaardigheden Dit betekent dat er aandacht is voor het functioneren in een groep en niet alleen productgericht maar vooral procesgericht: wat verliep goed en wat kunnen we de volgende keer anders doen?

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Toepassing 1 op pagina A-116 verwerken. Hier en daar moet je een vraag beantwoorden. 3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee of drie. 1. In groep de antwoorden op pagina A-118 vergelijken. Waak er over dat iedereen in de groep de toepassing op die pagina volledig begrijpt. 2. In groep maak je de twee modelvoorbeelden op pagina A-117. Neem actief deel in het groepsgesprek. 3. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie pagina A-119. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten of extra uitleg schrijf je in het rood. 4. Daarna maak je in groep de oefeningen 1, 2 en 3 op pagina A-120 (staan ook op de volgende pagina). Mocht je klaar zijn tijdens de lessen, dan maak je ook Oefening 4. 5. Tot slot reflecteer je over de groepsopdracht (zie volgende pagina). 3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat . één exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-116 en A-117, en . één exemplaar van de drie gemaakte oefeningen op een cursusblad. Eén oefening per pagina. Opgave overschrijven hoeft niet. Elk groepslid dient zijn practicum bundel in (met ingevulde reflectie). Het verslag steekt in een bundel van één groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopiëren. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-22

55

Oefeningen - Opgave Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboekt door Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanders zijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten om de voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen als Nederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in het hotel? Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de som van de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd dan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Calpe

Costa Blanca, Spanje

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkuren nodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk 32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als de vraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elk model zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses? ?Oefening 4 (het probleem van Bachet 2 ). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Eén van hen verdubbelt met een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijn centen het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van de andere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Reflectie Deze reflectie is individueel, dus elk voor zich. Eigen inzet Beschrijf in enkele regels je eigen inzet tijdens de groepsopdracht. Geef jezelf daarna een cijfer tussen 0 en 5. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Groep Beschrijf in enkele regels de gezamelijke aanpak en overleg tijdens de groepsopdracht. Wat zou je de volgende keer zeker op dezelfde manier doen? En wat zou je liever op een andere manier doen?. Geef de groep een cijfer tussen 0 en 5. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Niveau van samenwerking In welk van de vier niveaus op de vorige pagina hoor je thuis? Stip enkele onderdelen van dat niveau aan met een gele fluorescerende stift. .............................................................................................................

2

Claude Gaspard Bachet de M´ eziriac

(1581-1638).

Pr-23

56

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen. 3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen). 14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. 3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Attitudes

Pr-24

1. Rekenvaardigheid 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit. 3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt. 3. Wiskundige taalvaardigheid 3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde: . je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.). 3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra¨ısch/grafisch, teken, contrueer). 3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren). 3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram). 3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken. 8. Reflectievaardigheden 3 Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies. 3 Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?). 3 Je kan reflecteren over de efficiëntie van je werken en je leren. 3 Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht. 3 Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?). 3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

57

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

7 EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN

1. Inleiding1 Het schrijven en publiceren van verslagen is voor wetenschappers een belangrijk onderdeel van hun werk. Een verslag kan dienen om je uitgevoerd werk, project, ideeën en conclusies aan anderen uit te leggen of kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dat een verslag tot in de puntjes verzorgd moet zijn; niet alleen qua lay-out, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard qua inhoud. In veel hogere studies en ook in je latere werkomgeving is het een oefening die je nog vaak zal maken. Wat is nu een verslag Het is een tekst, maar geen proza. Je gebruikt de tekst om op een zakelijke manier te rapporteren, over de meest uiteenlopende onderwerpen: een zakenreis, een chemisch experiment, een wiskundig probleem, etc. Een verslag moet 3 volledig maar eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn, 3 een logische structuur hebben, en 3 gemakkelijk te lezen zijn. Hiermee bedoelen we dat de lezer snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van het verslag. Het is niet aan de lezer om bepaalde passages verschillende keren te moeten herlezen om te achterhalen en te interpreteren wat precies wordt verteld. De vorm van een exact-wetenschappelijk verslag is specifiek Het verschilt van bijvoorbeeld een boekbespreking of taalkundig onderzoek. In wat volgt leggen we de structuur van een wetenschappelijk verslag uit en preciseren we hoe je moet omgaan met wiskundig schrijven. Een goed verslag schrijven vraagt oefening Het is een opdracht waarin je door rigoureus en volledig te zijn, duidelijk kan tonen aan de lezer dat je volledig het onderwerp van het verslag beheerst. Onderstaande richtlijnen in verband met de inhoud, de vorm en de stijl van een verslag moeten niet zozeer naar de letter, maar wel naar de geest gevolgd worden. De opdrachtgever kan uiteraard nog specifieke eisen stellen naargelang het onderwerp van de opdracht.

2. Structuur van een wetenschappelijk verslag In principe heeft een wetenschappelijk verslag de volgende structuur: Titel Samenvatting Inleiding Hoofddeel Besluit Bij lange verslagen is het beter om nog een inhoudstafel en een referentielijst toe te voegen. Dit is de basisstructuur zoals die voor wiskundige verslagen wordt toegepast2 . 1 Gebaseerd

op E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven (2006). de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore (1994). 2 Bij

Pr-25

58

Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgelegd3 . Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet het onderwerp van het verslag onmiddellijk uit de titel kunnen halen. Een titel als Verslag practicum ecologie is te algemeen. Ook woorden als Studie van en onderzoek naar worden best vermeden, alsook afkortingen, formules of merknamen. Bij een langer verslag maak je best een titelblad. NIET: ‘Practicum 11 februari 2010’ of ‘Oefening 28 pagina 40’ WEL: ‘Elliptische baan van een planeet’ of ‘Lineaire groei versus exponentiële groei’ Samenvatting De samenvatting van een verslag is enkele regels lang: onderwerp van het het onderzoek, het belang en eventueel wat je eruit concludeert. Inleiding In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt en in welke context het geheel kadert. In tweede instantie licht je de opbouw van het verslag toe. Hier wijs je op de samenhang tussen de hoofdstukken. De bedoeling is dat de lezer inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Hoofddeel De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk dat op een samenhangende manier geschreven is. Dat is zeker geen opsomming van antwoorden op de gestelde vragen! Bovendien moet de redenering op een heldere manier zijn opgeschreven zodat een lezer uit je doelgroep niet al te veel moeite moet doen om je argumenten en overgangen te begrijpen. Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding. Samen met de inleiding geeft het besluit een volledige samenvatting van het probleem en zijn oplossing. Je verwijst hier niet naar ingevoerde formules of methodes die je besproken hebt in de tussenliggende delen, maar je geeft aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen, het formuleren van vermoedens en suggesties voor verder onderzoek in thuis.

2. Richtlijnen voor wiskundig schrijven Het opschrijven van een wiskundige redenering, een bewijs of meer uitgebreid een nota, artikel of thesis wordt ook wel wiskundig schrijven genoemd. Zo’n redenering opschrijven is niet zomaar iets wat je doet nadat je de oplossing gevonden hebt. Het vergt heel wat oefening om hierin bedreven te worden. Deze richtlijnen4 dienen dan ook om je hierin te ondersteunen.

Wiskundige correctheid Een correcte, consistente en ondubbelzinnige redenering maken is moeilijker dan je denkt. Een nodige voorwaarde is dat je zelf 100% overtuigd bent van datgene wat je opschrijft. We overlopen enkele typische valkuilen. 3 Rekenvaardigheid Het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, stelsels, etc. uit de eerste en de tweede graad is gekend verondersteld. Enkele misverstanden die aan de basis liggen voor heel wat elementaire rekenfouten in de derde graad (de uitspraken gelden voor gepaste keuze van a, b, c, d ∈ R): √ √ √ p √ √ . rekenen met vierkantswortels, o.a. a + b 6= a + b want 9 + 16 6= 3 + 4; a2 6= a want (−3)2 6= −3; 2a + b a+b 2a + b a+b 2a + 2b a+b 6= , 6= , 6= ; . vereenvoudigen van breuken, o.a. 2c + d c+d 2c + 2d c+d 2c + d c+d . ongelijkheden, o.a. uit ac > bc volgt niet noodzakelijk dat a > b want 5 · (−2) > 7 · (−2) en toch is 5 < 7; −7 a uit > 0 volgt niet noodzakelijk dat a > 0 en/of b > 0 want > 0 en toch is − 3 < 0 en − 7 < 0; b −3 2 2 2 2 uit a > b volgt niet noodzakelijk dat a > b want (−7) > 3 en toch is − 7 < −3. 3 Correct gebruik van implicatie en equivalentie Vaak is een redenering wiskundig fout omdat men de enkele pijl ⇒ verwart met dubbele pijl ⇔. Onderstaande tabel geeft aan wat het onderscheid is. Voor de formele definitie van deze logische operaties verwijzen we naar het leerstofonderdeel logica. naam implicatie equivalentie

symbool ⇒ ⇔

voorbeeld

lees als 2

x = −2 ⇒ x = 4 x = ±2 ⇔ x2 = 4

als x = −2 dan x2 = 4 x = ±2 als en slechts als x2 = 4

3 Voor een voorbeeld van een wetenschappelijk verslag (althans wat de structuur betreft) verwijzen we naar K. De Naeghel, Vijf bewijzen √ voor de irrationaliteit van 2, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011) . Zie ook pagina A-124. 4 Referenties voor wiskundig schrijven zijn N.J. Higham, Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics (1998) en F. Vivaldi, Mathematical writing for undergraduate students, The university of London (2013) .

Pr-26

59

3 Letters voor onbekenden eerst introduceren Wanneer je een nieuwe letter gebruikt dan hoor je eerst aan te geven waar die letter voor staat. Enkel op die manier kan de lezer jouw redenering volgen.

Wiskundig verwoorden Een wiskundige redenering bestaat zeker niet alleen uit symbolen (formules, vergelijkingen, . . . ). Je hoort ook bindtekst te schrijven: taalkundige zinnen die aangeven wat je van plan bent, hoe uit de ene vergelijking de andere volgt, hoe je een controle kan maken, etc. Slechts dan zal een lezer weten wat jij bedoelt, ook al heeft hij/zij het probleem niet zelf opgelost. Typische voorbeelden van bindwoorden- en zinnen vind je in onderstaande tabel. Wanneer je een deel van de redenering weg laat, hoor je de aard en de lengte van het weggelaten deel te duiden (tweede kolom). Houd de lezer op de hoogte waar je je ergens in je redenering bevindt, en wat er nog moet gebeuren (derde kolom). Bindwoorden anders gezegd, anderzijds is, dan geldt, dientengevolge, dus, echter, enerzijds is, equivalent is, er geldt dat, ergo, gelijkstellen levert, hieruit volgt, met als gevolg dat, neem, noem, of nog, omdat . . . is, op die manier is, terwijl, uit . . . volgt dan, veronderstel dat, voor . . . vinden we, voor . . . bekomen we, want, waaruit, waaruit we vinden dat, waaruit volgt dat, we besluiten dat, we hebben, we vinden, zij, zodat, zodoende is Bindzinnen Ons eerste doel is om . . . Men kan eenvoudig aantonen dat . . . Eerst tonen we aan dat . . . Wa vermoeden dat . . . Twee keer toepassen van . . . geeft . . . Het probleem is te vereenvoudigen tot . . . Het idee van het bewijs is . . . Een gelijkaardig argument toont . . . Tenslotte moeten we aantonen dat . . .

3. Schrijftips Bij het maken van een verslag (in het bijzonder voor exacte wetenschappen) moet je ontzettend veel aandacht besteden aan de duidelijkheid. Je moet een tekst schrijven die voor doelpubliek gemakkelijk te lezen is. Met je verslag wil je de lezer laten begrijpen wat jij te rapporteren hebt. Zorg dat hij/zij de aandacht bij het onderwerp kan houden. Je hebt er dus alle belang bij dat de lezer geen nutteloze aandacht moet besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin of redenering. Duidelijk schrijven betekent dat je wetenschappelijke taal correct gebruikt zodat de betekenis niet verloren gaat. Om dat doel te bereiken geven we enkele tips in verband met het integreren van wetenschappelijke informatie in een Nederlandse tekst. De opsomming die daarna volgt, gaat over het gebruik van het Nederlands en is evengoed bruikbaar in elk deel van een verslag waar geen wetenschappelijke gegevens meer zijn ingevoerd. Tip 1. Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin, maar je mag formules en tekst niet dooreen halen. Gebruik in een taalkundige zin ook geen losse symbolen als ∀, ∃, ⇒, ⇔. Laat een regel nooit beginnen met een wiskundig symbool. En verwijs eenduidig naar een eerdere vergelijking. NIET: x is positief ⇒ de oplossing van de vergelijking = 17. WEL: Nu is x positief, zodat de oplossing van de vergelijking (∗) gegeven wordt door x = 17. Tip 2. Hoe verwijs je naar jezelf De meest gangbare keuze voor het persoonlijk voornaamwoord is we, ook al is er slechts één schrijver. We kan ook verwijzen naar de lezer en ikzelf. Ik is vrijpostig en vereist een meer persoonlijk contact met de lezer. NIET: Ik heb het idee om . . . / Ik heb eerder al gezegd dat. . . / Nu ga ik aantonen waarom . . . WEL: Ons idee is om . . . / We hebben eerder gezien dat. . . / Vervolgens tonen we aan waarom . . . Tip 3. De gegeven opdracht moet ge¨ıntegreerd zijn in het verslag Terwijl je het verslag maakt hou je best een lezer in gedachten die de opdracht niet kent. Het is niet zo elegant om de gestelde vraag letterlijk over te nemen en dan je antwoord te formuleren. Verwerk dus de probleemstelling in de tekst. NIET: Wat is de snelheid in functie van de tijd? Op t = 0 is v(0) = . . . WEL: Om het verband te kennen tussen de snelheid en de tijd, berekenen we de eerst de beginsnelheid v(0) . . . Tip 4. Geef geen droge opsomming van gegeven, gevraagd, oplossing Door eerst het gegeven op te schrijven, het gevraagde te formuleren en tenslotte de berekening te maken, vind je het antwoord op een vraagstuk. Dat is je oplossingsmethode (of werkwijze). Het behoort tot het voorbereidend werk van je verslag. Het verslag zelf gebruikt een andere invalshoek.

Pr-27

60

Tip 5. Vervang in de tekst geen woorden of zinsdelen door symbolen De symbolen ∀ en ∃ hebben alleen maar betekenis in wiskundige uitspraken. Beter is om voor alle en er bestaat voluit te schrijven, alsook dus, daaruit volgt etc. in plaats van het symbool ⇒. Dat verhoogt de duidelijkheid. Zie ook Tip 1. Tip 6. Getallen in een tekst schrijf je liefst voluit, tenzij ze de waarde van een variabele zijn NIET: Uit de 3 gegevens leiden we af dat de functiewaarde van drie gelijk is aan f (3) = 7. WEL: Uit de drie gegevens leiden we af dat de functiewaarde van 3 gelijk is aan f (3) = 7. Tip 7. Verwijzingen naar tabellen en figuren gebeuren op dezelfde manier als verwijzingen naar langere formules Omvangrijke tabellen of figuren, of tabellen en figuren waarnaar in de tekst slechts zijdelings wordt verwezen, kun je ook toevoegen als bijlage. Tip 8. Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijk verslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Nederlandse zinnen moeten de formules duiden en in een context plaatsen. Je kan bijvoorbeeld uit formules alleen, niet afleiden wat oorzaak en wat gevolg is, wat er gegeven is, wat je hebt berekend of wat bewezen is (we verwijzen naar het eerder gegeven pleidooi voor wiskundig verwoorden). De tekst die de formules omkadert - letterlijk en figuurlijk - moet daarom helder en ondubbelzinnig zijn. Tip 9. Maak je zinnen niet te lang NIET: Omdat de exponentiële functie met voorschrift f (x) = ex als domein R heeft en als bereik + R+ 0 , zal de inverse functie van f , met voorschrift g(x) = ln x, als domein R0 en als bereik R hebben. WEL: De functies met voorschrift f (x) = ex en g(x) = ln x zijn elkaars inverse. Daarom is het domein van f gelijk aan het bereik van g en vice versa. Dus is dom f = R = bld g en dom g = bld f = R+ 0. Tip 10. Vermijd tangconstructies NIET: De sinusfunctie heeft, in tegenstelling tot de tangensfunctie die niet voor alle reële getallen gedefinieerd is, als domein R. WEL: De sinusfunctie heeft als domein R, terwijl de tangensfunctie niet voor alle reële getallen gedefinieerd is. Tip 11. Zeg het in kernachtige bewoordingen Vermijd breedsprakerige en lege woorden als aspect, facet, gebeuren, aard, mate van, in feite, in principe. Vermijd omslachtige aanlopen als Het is interessant te melden dat. . . , Opgemerkt kan worden dat. . . , etc. Vermijd overbodige woorden zoals enorm, fantastisch, gigantisch, etc. Tip 12. Ook de toon is belangrijk Pas op met overdreven zekerheid: ongetwijfeld, het spreekt voor zich, etc. Maar wees ook zuinig met relativerende begrippen. Tip 13. Schrijf of druk niet af op kladpapier Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Die moeite is tevergeefs geweest wanneer je aan het papier niet de nodige aandacht besteedt. Geef dus niets af op kladpapier met ezelsoren of vlekken.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) In het begin van de eerste les krijg je twee pagina’s A-126 en volgende uit een handboek 5 . Deze kopieën behandelen een onderwerp, voorzien van enkele taken (in de tekst taak 11.3, taak 11.4 en taak 11.5 genoemd). De opdracht bestaat erin om deze taken in groepen van drie uit te voeren en hiervan een verslag te maken (één verslag per groep). Naast de kopieën uit het handboek krijg je ook het verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft, zie pagina’s A-128 en volgende. Dit kan je helpen om de taken uit het handboek uit te voeren. Het verslag van die leerling is zeker geen modelvoorbeeld van een wetenschappelijk verslag! Er wordt van jullie veel beter verwacht. 3 Verslag Het verslag beantwoordt aan de criteria uit de inleiding waarbij je de schrijftips zo goed mogelijk tracht na te leven. Het verslag is mag handgeschreven zijn. Nummer je pagina’s onderaan. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Eén groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verslag. Je hoeft het verslag dus niet te kopiëren. 5 P.

Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn) (2006).

Pr-28

61

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

Pr-29

Evaluatiepunten:



2. Meet-en tekenvaardigheid 3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig. 3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen. Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt. 6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen. 3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken. 3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren. 3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren. 3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren. 3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren. 3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze. 3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

62

zie volgende pagina

Commentaar

63

2

3

4

5

Schrijfstijl Het verslag is geen opeenvolging van ‘antwoorden op de vraagjes’, en ‘gegeven, gevraagd, oplossing’. Dat behoort enkel tot het voorbereidend werk. Het verslag zelf gebruikt een andere invalshoek. De probleemstelling is verwerkt in de tekst.

Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijk verslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Ook de verbanden tussen de zinnen moeten voldoende helder zijn.

Less is more Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een helder en bondig verslag, dat leidt tot het opwekken van interesse bij de lezer, waarna hij zich actief kan inleven in het probleem.

Maak je verslag effici¨ ent Gebruik je in je verslag figuren, dan verwijs je ook in de tekst naar deze figuren, leg je uit hoe je deze bekomt en wat er uit af te leiden valt.

Lay-out Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Een uitgetikt verslag is geen verplichting, wel een meerwaarde. Noodzakelijk is dat de gebruikte figuren voldoende duidelijk afgebeeld zijn.

Wees creatief en origineel Zo kan je je verslag onderscheiden van een gemiddelde tekst over dat onderwerp. Leg een niet voor de hand liggende link, neem historische aspecten op, bedenk een relevante toepassing. Overdrijf echter niet: je verslag is in de eerste plaats een zakelijke tekst.

Pr-30

Inhoud Zorg dat je overtuigd bent van je antwoord. Je attitude ‘kritische zin’ speelt hier een grote rol. Raden naar de oplossing is uit den boze: ken je een antwoord niet, dan geef je dat ook toe. Dat weerdhoudt je niet om na te denken om toch met een goed antwoord voor de dag te komen.

Totaal:

. . . / 60

Totaal verdediging: . . . / 10

Stijl Bij de verdediging geef je enkel antwoorden op de gestelde vragen. Dat doe je in het algemeen Nederlands, en op een heldere en beknopte manier. Zorg dat je het volledige verslag beheerst. Dat een ander groepslid de ondervraagde passage geschreven heeft, is geen excuus.

Totaal inhoud: . . . / 40

Helder en duidelijk Het verslag is ‘gemakkelijk’ te lezen. De lezer kan begrijpen wat jij te rapporteren hebt, en kan de aandacht bij het onderwerp houden door geen nutteloze aandacht te besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin of redenering.

C. Verdediging

Totaal opbouw: . . . / 10

Doelgroep Het niveau van het verslag is goed afgestemd op een lezer met wiskundige kennis op niveau van jouw studierichting, maar die het onderwerp en de opdracht niet kent. Neem geen te grote denksprongen, maar weidt ook niet uit over evidente zaken.

B. Inhoud

1

Hoofddeel en besluit In het hoofddeel staan niet alleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt, weergeven. In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding, en geef je aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties thuis.

0

Evaluatiepunten

Titel, samenvatting, inhoudstafel, inleiding en referentielijst De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslag kunnen halen. De samenvatting van een verslag geeft een overzicht van het onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert. In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt, en wijs je op de samenhang tussen de hoofdstukken.

A. Opbouw

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

8 ONDERZOEKSOPDRACHT (1)

1. Inleiding Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige en wetenschappelijke vaardigheden leerden door middel van het observeren van een expert (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo ijverde de wiskundige en didacticus George Pólya in 1945 reeds dat het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskundeonderwijs, en dit op elk niveau: Goed onderwijs betekent dat leerlingen de kans krijgen om zelf te ontdekken.

1

De komende onderzoeksopdrachten hebben dan ook als bedoeling om ofwel een nieuwe techniek op zelfstandige basis meester te worden, ofwel zelf een probleem op te lossen en nadien een redenering op een haalbaar niveau te leveren. Je kan dit realiseren door de vaardigheden en attitudes die in de vorige practica aan bod kwamen te bundelen en je hierin verder bekwamen: 3 probleemoplossende vaardigheden (Practica 2 en 3), 3 mathematiseren (Practica 4 en 6), 3 kritisch evalueren van wiskundige modellen (Practica 4 en 6), 3 logisch redeneren en argumenteren (Practicum 7), 3 zin voor samenwerking en overleg (Practica 1, 2, 3, 4, 6 en 7), 3 wiskundige taalvaardigheid (Practica 4, 5 en 6). De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd: OC1 Zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken. OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren. OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten. De eerste eindterm werd gerealiseerd bij de uitvoering van Practicum 1. Daar werd ook gemotiveerd waarom we het verzamelen, ordenen en bewerken van informatie niet zozeer aan bod komt in deze en volgende onderzoeksopdrachten. In dit practicum komt de tweede eindterm aan bod, de derde eindterm is voor volgende practica.

| {z }


| {z }

competentie 1



| {z }

competentie 2


1 What is good education? Systematically giving opportunity to the student to discover things by himself. uit How to solve it: A new aspect of mathematical method, Princeton (1945).

Pr-31

64

Je eerste onderzoeksopdracht kadert in het onderwerp logica, en heeft als bedoeling dat je de techniek van het logisch redeneren wat meester wordt. Dat we vooraf zelf een onderzoeksvraag geven, en niet gevraagd wordt om een eigen onderzoeksvraag op te stellen, wordt in Practicum 9 gemotiveerd.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en onderzoeksopdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Je beantwoord de onderzoeksvraag op de volgende pagina. Deze opdracht voer je individueel uit. 3 Verslag Je verslag bestaat uit de zes bewijzen. Let erop dat je je bewijzen in dezelfde stijl als de twee modelvoorbeelden schrijft. Pagina’s onderaan nummeren. Het verslag voeg je in deze practicum bundel. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met inferentieregels Logische wetten zijn tautologiën van de vorm ⇒ 4, waarbij staan voor een aantal uitspraken A, B, C, . . . (gegevens, ook wel premissen genoemd, genoteerd als PREM), en 4 een uitspraak die hieruit volgt (conclusie genoemd). Meestal vervangt men dan het symbool voor implicatie ⇒ door het symbool `. Men schrijft dus ` 4. We geven een overzicht van de meest courante inferentieregels die gebruikt worden om logische wetten te bewijzen. Elk van deze kunnen aangetoond worden met behulp van een waarheidstabel. naam modus ponens conjunctie simplificatie

logische wet

afkorting

A ⇒ B, A ` B

MP

A∧B À A∧B `B

SIM

A, B ` A ∧ B

CONJ

AÀ∨B B À∨B

ADD

A ∨ B, A ⇒ C, B ⇒ C ` C

DIL

A ⇒ B, B ⇒ A ` A ⇔ B

GI

eliminatie van de gelijkwaardigheid dubbele negatie

A⇔BÀ⇒B A⇔B`B⇒A

GE

reductio ad absurdum

A ⇒ B, A ⇒ (¬B) ` ¬A

additie dilemma introductie van de gelijkwaardigheid

¬(¬A) ` A

DN RAA

Modelvoorbeeld 1 Als eerste voorbeeld van een bewijs met behulp van deze inferentieregels beschouwen we een eenvoudig bewijs van de logische wet P ∧ Q, P ⇒ R ` R: 1 2 3 4

P ∧ Q, P ⇒ R ` R P ∧Q

PREM

P ⇒R

PREM

P

1; SIM

R

2,3;MP

Het eigenlijk bewijs wordt gevormd door de uitspraken in de tweede kolom. De nummers uit de eerste kolom gebruiken we om te verwijzen naar de uitspraken uit de tweede kolom; de verantwoording daarvoor staat in de derde kolom. We overlopen het bewijs. 1,2 We schrijven de gegevens (ook wel premissen genoemd). 3 We schrijven een uitspraak die volgt uit 1 door de inferentieregel SIM (simplificatie). 4 We schrijven een uitspraak die volgt uit 2 en 3 door de regel MP (modus ponens). Let even op volgende afspraak: in de derde kolom van lijn 4 staat een komma tussen de nummers van de uitspraken waaruit R werd afgeleid, en een kommapunt tussen de nummers en de naam van de regel waaruit R uit die uitspraken volgt. Pr-32

65

De lijnen 1-4 tonen aan dat we uit de gegevens P ∧ Q en P ⇒ R de R kunnen afleiden. Zo hebben we de logische wet P ∧ Q, P ⇒ R ` R bewezen. Modelvoorbeeld 2 In het vorig bewijs werden eerst de premissen neergeschreven en werden daarna stap voor stap inferentieregels toegepast op uitspraken die in het bewijs voorkomen. Een heel andere en bijzonder interessante bewijsmethode maakt gebruik van zogenaamde subbewijzen. Hier is een voorbeeld:

1 2 3 4 5 6

P ⇒ Q ` (P ∧ R) ⇒ Q P ⇒Q

PREM

(P ∧ R) ⇒ Q

2,5;VB

P ∧R P P ⇒Q Q

HYP 2; SIM 1; REIT 3,4; MP

Laat ons dit even bekijken. 1 We schrijven de premisse op. 2 We veronderstellen P ∧ R. Deze stap volgt dus niet uit de premisse, maar is een veronderstelling (ook hypothese genoemd, genoteerd als HYP). Om dat duidelijk te maken trekken we er een verticale lijn naast. We laten die lijn doorlopen zolang we nagaan wat uit de hypothese volgt. 3 Uit P ∧ R volgt P . 4 In een subbewijs mogen we een beroep doen op alle gegevens die beschikbaar waren voor we de hypothese invoerden - in dit geval de premisse P ⇒ Q uit lijn 1. We drukken dit uit door P ⇒ Q te re¨ıtereren op lijn 4. Re¨ıtereren betekent: iets wat we ter beschikking hebben, binnen het subbewijs halen. We noteren dit met REIT. 5 We passen modus ponens toe. 6 Het subbewijs 2-5 toont aan dat, gegeven de premisse, Q volgt uit P ∧ R. Met andere woorden, gegeven P ⇒ Q hebben we getoond: als P ∧ R, dan Q. Dit staat op lijn 6. De regel die we hier gebruiken noemen we een voorwaardelijk bewijs, notatie VB. Onderzoeksvraag Zoek bewijzen met behulp van inferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor de volgende logische wetten. (a) P ∧ Q ` P ∨ Q (b) (P ∨ Q) ⇒ (R ∧ S), P ` R (c) ¬(¬P ), (P ∨ Q) ⇒ R, S ` R ∧ S (d) P ⇔ Q, Q ∨ R, R ⇒ P ` P ?

(e) P ⇒ Q, ¬Q ` ¬P

?

(f) P ⇒ (Q ∧ R), P ⇒ ¬R ` ¬P

Pr-33

66

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde. 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen. 3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen). 12. Zelfvertrouwen en zelfstandigheid. 3 Je toont zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten. 3 Je ziet in dat fouten maken inherent deel uitmaken van het leerproces. 13. Zelfregulatie. 3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen. 3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te oriënteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

Attitudes

Pr-34

5. Probleemoplossende vaardigheden. 3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen. 3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.). 3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren). 3 Je kan zoekstrategieën toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen. 3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategieën en je plan. 3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken. 6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen. 3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken. 3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren. 3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren. 3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren. 3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren. 3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze. 3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

67

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .


1. Inleiding In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie: OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren. OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

| {z }


| {z }

competentie 1



| {z }

competentie 2


Het leerplan onderscheidt volgende fasen in het aanpakken van een onderzoeksopdracht. (1) De leerling stelt zichzelf een onderzoeksvraag, al of niet vanuit een aangestuurde reeks van mogelijkheden binnen een begeleide aanpak. (2) De leerling werkt aan een probleemverkenning. Dat betekent: maakt een analyse, probeert het probleem te begrijpen, te omvatten en om het als dusdanig beter te omschrijven (antwoord op de vraag: weten wat aan te pakken). In deze fase kan al gewerkt worden aan het documenteren van de opdracht, bijv. feitenmateriaal en kennis verzamelen. (3) De leerling stelt een plan van uitvoering op (antwoord op de vraag: weten hoe het aan te pakken). Dat kan inhouden: het formuleren van deelaspecten, deelopdrachten, maar ook het opstellen van een tijdskader. (4) De leerling voert het plan uit. Dat kan betekenen: verder documenteren, effectief gegevens verzamelen, effectief verbanden onderzoeken, de bevindingen verder uitwerken, etc. (antwoord op de vraag: weten waarom het zo aan te pakken). (5) De leerling formuleert conclusies en legt ze neer in een meestal schriftelijke neerslag. Daarop volgt nog het terugkijkend reflecteren (weten over weten). De fasen (2) tot en met (5) zijn een herformulering van het stappenplan voor probleemoplossend denken (zie Practicum 1) en kwamen meermaals aan bod in de vorige practica. Fase (1) kwam alsnog niet aan bod, en daar is een reden voor. Iedereen die wat ervaren is in het onderzoeken1 van wiskundige problemen komen al snel tot de volgende bevindingen. 3 Om binnen de wiskunde een haalbaar onderzoeksdomein af te bakenen heb je heel wat expertise nodig. Omdat het een onderzoek betreft, gaan we ervan uit dat de onderzoeker niet vertrouwd is met het onderwerp. In deze context is het verlangen dat hij of zij een haalbaar tijdsplan opstelt gewoon niet realistisch. Academici vinden het niet eenvoudig om een eigen onderzoeksvraag op te stellen, haalbaar naar inhoud en tijdsbesteding. Is het dan wel zinvol dat wij zoiets van leerlingen verwachten? 3 In een onderzoeksopdracht wiskunde wordt de haalbaarheid van een onderzoeksvraag pas duidelijk tijdens het onderzoek zelf. Net hierin onderscheidt een wiskundig onderzoek zich met een taalkundig of historisch onderzoek. Reeds in Practicum 1 haalden we we aan dat bij een wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boeken of het internet haalt, maar genereert door zelf te redeneren. 1 We

hanteren onze invulling van de term wiskundig onderzoek zoals beschreven in de inleiding van Practicum 1.

Pr-35

68

Deze argumentatie doet ons besluiten dat het vooraf opstellen van een onderzoeksvraag gewoonweg niet relevant is. Men kan zelfs de omgekeerde conclusie trekken: pas na een uitvoerig onderzoek wordt duidelijk wat een haalbare en zinvolle onderzoeksvraag is. Net het zoeken naar de onderzoeksvraag leidt tot een redenering, die de onderzoeksvraag afbakent. In de wiskunde noemt men dit het formuleren van een vermoeden. Of, om het in de woorden van de wiskudige Emil Artin te zeggen2 : Our difficulty is not in the proofs, but in learning what to prove. Daarom vervangen we fase (1) door fase (1’) en voegen we een extra fase (5bis) toe. (1’) De leerling krijgt een vooraf gestelde onderzoeksvraag, al of niet voorzien van een aantal kleinere vragen die tot de oplossing van de onderzoeksvraag kunnen leiden of een aangestuurde reeks van mogelijkheden binnen een begeleide aanpak. Daarnaast wordt de leerling aangemoedigd om zelf kleinere onderzoeksvragen te formuleren om zo een eigen redenering op touw zetten die de grotere, hier gestelde onderzoeksvraag beantwoordt.

Emil Artin (1898 - 1962)

(5bis) De leerling wordt aangemoedigd om een eigen vermoeden te formuleren. Het opstellen van zo’n vermoeden gebeurt op basis van zijn eerder onderzoek en getuigt van het inzicht die de leerling gedurende zijn onderzoek verworven heeft. De leerling zal zijn vermoeden motiveren door te verwijzen naar aanwijzingen in het eerder onderzoek, en/of een mogelijke aanpak tot het oplossen van zijn vermoeden suggereren.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en de vier onderzoeksopdrachten lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van drie tot vier. De leerkracht beslist hoe de opdrachten onder de groepen verdeeld worden. Daarna krijg je de wat meer informatie over je onderwerp, inclusief enkele onderzoeksvragen (pagina A-134 en verder). Jullie eindresultaat is een verslag dat beantwoordt aan de criteria uit Practicum 7. Let hierbij op de aandachtspunten die toen aan bod kwamen en de doelstellingen uit de inleiding: . niet de kleinere vragen overschrijven en beantwoorden, maar wel een eigen redenering opbouwen; . zorg dat jullie verslag vlot leesbaar is (voor een medeleerling uit de klas); . op het einde van je opdracht wordt gevraagd een eigen vermoeden te formuleren en te motiveren; . het is een meerwaarde om in je verslag een toepassing op te nemen. Ook een diepere historische of wiskundige analyse, randinformatie, afbeeldingen en andere relevante creatieve vondsten zijn een bonus. Het verslag mag handgeschreven zijn, pagina’s onderaan nummeren. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Eén groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopiëren.

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeerplanning Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingen is het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet men door een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenen die nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvoudige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardige principes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer. In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen. 1. We nemen aan dat op elk moment een constant aantal auto’s auto’s op het wegennet rijden. Dat aantal noteren we met n. Uiteraard kent zo’n model ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennet volledig dichtgeslipt zijn, zodat er geen doorstroom meer mogelijk is. 2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet, en past die informatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij of zij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost. Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag. 2 M.

Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

Pr-36

69

Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemd naar Josephus, een befaamde historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens de Joods-Romeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in een grot. De rebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring te gaan staan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. Maar Josephus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie, en - zo gaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijven om zich nadien aan de Romeinen over te geven. In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om het probleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onderzoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.

Flavius Josephus (37 - ±100)

Onderzoeksopdracht 3 - Winnende strategie¨ en Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeld het spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdracht hebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers, waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beide spelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is één van de belangrijkste vragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler, ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaat er zo’n winnende strategie, en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is de uitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemen een spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategie toepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegenspeler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategieën en de beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie. In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie. Is die beginsituatie gunstig, en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerd het spel. Is de beginsituatie ongunstig, en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest de eerste speler gegarandeerd. In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangt van de beginsituatie.

Onderzoeksopdracht 4 - Afstand, snelheid en tijd Dat de fundamentele begrippen afstand, snelheid en tijd eenvoudig te begrijpen zijn, is slechts schijn. Zo hebben de beruchte paradoxen van Zeno (naar Zeno van Elea, ca. 490 v. Chr. - ca. 430 v. Chr.) en zijn uiteenzettingen over de onmogelijkheid van beweging eeuwenlang voor ophef gezorgd: Op elk tijdstip bevindt een vliegende pijl zich op een vaste plaats in de ruimte. Ten opzichte van die plaats in de ruimte is hij dan in rust. Maar dan is de pijl op elk moment in rust zodat de pijl niet beweegt? De paradoxen konden pas in de 17e eeuw worden aangepakt door het inzicht van de calculus dat een som met oneindig veel termen toch een eindig resultaat kan hebben. Veel kon ook worden opgehelderd met behulp van de concepten functie en grafiek van een functie. Een snelheid-tijd diagram is een grafiek van de snelheid in functie van de tijd. Is de snelheid v over een tijdsinterval [t1 , t2 ] constant, dan is de afgelegde weg over dat interval gelijk aan v · (t2 − t1 ), en dus de oppervlakte tussen de grafiek en de horizontale as. Dat is ook het geval wanneer de snelheid niet constant is (zie figuur), wat men kan inzien door zo’n snelheid-tijd diagram op te delen in zeer kleine tijdsintervallen waarbij de snelheid als constant kan worden beschouwd. Deze onderzoeksvraag gaat over afstand, snelheid en tijd. Daarbij kunnen zowel rekenvaardigheid als bovenstaande interpretatie in verband met het snelheid-tijd diagram van pas komen. Pr-37

v y = v(t)

Opp. = afgelegde weg

t1

t2

t 70

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie. Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

Pr-38

13. Zelfregulatie. 3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen. 3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te oriënteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken. 15. Waardering voor de wiskunde. Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen.

11. Kritische zin. Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

4. Denk- en redeneervaardigheden. 3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen. 3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen. 3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken. 3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken. 6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen. 3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken. 3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren. 3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren. 3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren. 3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren. 3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze. 3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

71

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .


1. Inleiding In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.

| {z }


| {z }

competentie 1



| {z }

competentie 2


Deze onderzoeksopdracht is de grootste onderzoeksopdracht uit je practicum wiskunde. Het is de bedoeling dat jullie een echt wiskundig onderzoek uitvoeren en jullie bevindigen rapporteren in een verslag (werkstuk). In de beschrijving van de opdracht krijg je enkele vragen die je kunnen helpen om het onderwerp te onderzoeken. Hierbij is het noodzakelijk om alle verworven competenties uit de vorige practica te bundelen.

2. Afspraken en tips Om het denkwerk te verrichten beschik je over een aantal lesuren verspreid over een week. Daarna heb je nog voldoende tijd om het verslag af te werken. Wellicht zal het nodig zijn om je gedurende die tijd nog enkele keren met je groep samen te komen. Daarna volgt er een verdediging. Tijdens één les komt elke groep beurtelings bij de leerkracht (ongeveer 10 minuten). Groepen die niet aan de beurt zijn werken verder aan opgegeven oefeningen.

Richtlijnen bij het onderzoek 3 Opgaven en deeltaken hangen nauw samen. Lees eerst de hele opgave goed door. Werk je in groep in, en maak daarna een taakverdeling. 3 Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het stappenplan voor probleemoplossend denken (zie Practicum 1): het probleem begrijpen, zoekstrategieën bedenken en een plan opstellen, het plan uitvoeren, controleren. 3 Bespreek je werk op meerdere momenten in groep. Herzie eventueel je planning. 3 Ervaring wijst uit dat leerlingen het moeilijk hebben om tot veralgemeningen te komen. Veel groepen kijken daarenboven onvoldoende kritisch naar een gevonden resultaat. Tracht een vermoeden ook ten gronde te bewijzen. 3 De leerkracht heeft niet als taak vragen van leerlingen te beantwoorden en zo het denkwerk in hun plaats uit te voeren. De leerkracht heeft enkel de taak om de teams gemotiveerd te houden. Opvragen van formules aan de leerkracht kan wel (databank-functie). Om je de kans te geven informatie op te zoeken kan de leerkracht enkele boeken, cursussen of het internet ter beschikking stellen. Pr-39

72

Richtlijnen bij het verslag 3 Begin tijdig aan het verslag, je hoeft niet te wachten tot alle lesuren om zijn. Start met het maken van een structuur (of ‘kapstok’): welke onderverdelingen bespreek je in het hoofddeel van het verslag? 3 Voor je verslag pas je de structuur, richtlijnen bij wiskundig schrijven en schrijftips uit Practicum 7 toe. 3 Let erop dat het verslag geen opeenvolging is van antwoorden op de vraagjes. Het kan zijn dat je beter begint met de laatste opgave of een meer ingewikkelde opgave waarvan de vorige vragen een onderdeel vormen. Denk aan de a,b,c,. . . vraagjes die bij een toets op examen vaak bedoeld zijn om je naar het grotere probleem te gidsen. 3 Het is van groot belang dat het verslag helder leesbaar is. Het is niet altijd eenvoudig om in iemands redenering te komen. Voor de beoordelaar is het erg belangrijk dat de stappen voldoende uitgewerkt en toegelicht zijn. 3 De leerkracht kan de mogelijkheid geven om - bij wijze van illustratie - werkstukjes van vorige jaren in te kijken (uiteraard handelen die over een ander onderwerp).

3. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding, afspraken en tips en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van vier. In het begin van de eerste les krijg je een bundel die het onderwerp en de onderzoeksopdracht beschrijft (pagina’s A-141 tot en met A-144). Tijdens de lessen voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een werkstuk waarin je het onderwerp behandelt. . Typen mag, maar hoeft niet (een getypt verslag kan een meerwaarde zijn). In elk geval nummer je de bladen onderaan in het midden. . Een diepere historische of wiskundige analyse, afbeeldingen, randinformatie en andere relevante creatieve vondsten zijn een bonus. . Per groep één verslag indienen. Het verslag zal verbeterd en gekopieerd worden door de leerkracht. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Eén groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopiëren. 3 Verdediging per groep Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-40

73

74

2

3

4

5

Schrijfstijl Het verslag is geen opeenvolging van ‘antwoorden op de vraagjes’, en ‘gegeven, gevraagd, oplossing’. Dat behoort enkel tot het voorbereidend werk. Het verslag zelf gebruikt een andere invalshoek. De probleemstelling is verwerkt in de tekst.

Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijk verslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Ook de verbanden tussen de zinnen moeten voldoende helder zijn.

Less is more Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een helder en bondig verslag, dat leidt tot het opwekken van interesse bij de lezer, waarna hij zich actief kan inleven in het probleem.

Maak je verslag effici¨ ent Gebruik je in je verslag figuren, dan verwijs je ook in de tekst naar deze figuren, leg je uit hoe je deze bekomt en wat er uit af te leiden valt.

Lay-out Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Een uitgetikt verslag is geen verplichting, wel een meerwaarde. Noodzakelijk is dat de gebruikte figuren voldoende duidelijk afgebeeld zijn.

Wees creatief en origineel Zo kan je je verslag onderscheiden van een gemiddelde tekst over dat onderwerp. Leg een niet voor de hand liggende link, neem historische aspecten op, bedenk een relevante toepassing. Overdrijf echter niet: je verslag is in de eerste plaats een zakelijke tekst.

Pr-41

Inhoud Zorg dat je overtuigd bent van je antwoord. Je attitude ‘kritische zin’ speelt hier een grote rol. Raden naar de oplossing is uit den boze: ken je een antwoord niet, dan geef je dat ook toe. Dat weerdhoudt je niet om na te denken om toch met een goed antwoord voor de dag te komen.

Totaal:

. . . / 60

Totaal verdediging: . . . / 10

Stijl Bij de verdediging geef je enkel antwoorden op de gestelde vragen. Dat doe je in het algemeen Nederlands, en op een heldere en beknopte manier. Zorg dat je het volledige verslag beheerst. Dat een ander groepslid de ondervraagde passage geschreven heeft, is geen excuus.

Totaal inhoud: . . . / 40

Helder en duidelijk Het verslag is ‘gemakkelijk’ te lezen. De lezer kan begrijpen wat jij te rapporteren hebt, en kan de aandacht bij het onderwerp houden door geen nutteloze aandacht te besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin of redenering.

C. Verdediging


Doelgroep Het niveau van het verslag is goed afgestemd op een lezer met wiskundige kennis op niveau van jouw studierichting, maar die het onderwerp en de opdracht niet kent. Neem geen te grote denksprongen, maar weidt ook niet uit over evidente zaken.

B. Inhoud

1

Hoofddeel en besluit In het hoofddeel staan niet alleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt, weergeven. In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding, en geef je aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties thuis.

0

Evaluatiepunten

Titel, samenvatting, inhoudstafel, inleiding en referentielijst De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslag kunnen halen. De samenvatting van een verslag geeft een overzicht van het onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert. In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt, en wijs je op de samenhang tussen de hoofdstukken.

A. Opbouw


Attitudes

Pr-42

14. Zin voor samenwerking en overleg. 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. 3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Evaluatiepunten:

11. Kritische zin. Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

4. Denk- en redeneervaardigheden. 3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen. 3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen. 3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken. 3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken. 6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen. 3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken. 3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren. 3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren. 3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren. 3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren. 3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze. 3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

75

zie vorige pagina

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

11

ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS 1. Inleiding1 In dit practicum maak je zelfstandig oefeningen tijdens de les waarbij je gebruik maakt van oplossingssleutels. Dat lijkt erg handig, maar je moet er wel verstandig mee omgaan. Dat kan het beste als volgt. Ga ervan uit dat je het meeste leert door zelf de oefeningen uit de cursus te maken. Van de fouten die je daarbij maakt, leer je veel over de leerstof én over jezelf. Maak die fouten dan ook eerst en bekijk pas daarna de oplossingen of oplossingssleutels. Lees dus nooit de oplossingen van tevoren door, want dan leer je zelf niet genoeg. De modelvoorbeelden uit de cursus laten je zien hoe de aanpak, oplossingsroute (recept) en uitwerkingen van een type oefening er uit zien. Bij het herhalen van je les wiskunde (elke dag!) bekijk je die voorbeelden dus goed en ga je bij elke stap na of je begrijpt waarom juist die stap gezet wordt.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Tijdens de les maak je zelfstandig de reeks oefeningen op pagina A-147 uit Deel Integralen (bepaalde integralen). Je doet dat aan de hand van de oplossingssleutels op de volgende pagina’s. 3 Verslag Je schrijft je oplssingen op cursusbladen, elke opgave start op een nieuw cursusblad. Je volgt de volgende structuur: . “Oefening” met nr. opschrijven, . “Oplossing”. Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Op het einde van de les.wordt gezegd welke van de vier reeksen oefeningen moet indienen. Dat cursusblad voeg je in deze practicumbundel. Nummer die pagina onderaan in het midden (eventuele volgende pagina’s nummeren met 2, 3, etc.). De overige drie oefeningen hoef je niet af te geven. Die kun je later zelf verbeteren.

1 Gebaseerd op de studiewijzer uit R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, T.M. van Pelt, wiskunde voor het hoger onderwijs: uitwerkingen, Noordhoff Uitgevers (2009).

Pr-43

76

Oefeningen - Oplossingssleutels Oefening 1. Bereken algebra¨ısch de term in de gevraagde Riemann-som, en duid deze aan op een schets: f (x) =

1 x

vierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]

Oplossingssleutel. (i) Maak eerst een schets van de grafiek van f . Omdat [a, b] = [1, 2], kun je je voor het tekenen van de x-as beperken tot het interval [−1, 4] of zelfs [0, 3]. (ii) Er is gevraagd om een vierde term in een rij van Riemann-sommen te berekenen. Je moet het interval [1, 2] dus verdelen in vier lijnstukken van gelijke lengte. Dat wordt dus: [1; 1, 25], [1, 25; 1, 5], [1, 5; 1, 75] en [1, 75; 2]. (iii) Op elk van de vier deelintervallen teken je nu een rechthoek. Linkersom betekent: de hoogte van zo’n rechthoek is de functiewaarde van het getal links in het interval. Dus de eerste rechthoek heeft als basis [1; 1, 25] en als hoogte f (1). (iv) Bereken nu de Riemann-som R4 met behulp van de formule op pagina A-148 (XI-7 midden): R4 = f (1) · (1, 25 − 1) + . . . (v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma2 curvatur). Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = ex . (a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid? (b) Bepaal algebra¨ısch de waarde van de aangeduide oppervlakte

.

y y = ex 4 3 2 1

−1

1

2

3

4

x

Oplossingssleutel. (a)

(i) De hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van een bepaalde x-waarde. Welke x-waarde neemt men telkens? (ii) Opgelet: misschien zijn er wel meerdere mogelijkheden voor je antwoord op vraag (a).

(b)

(i) Van elke rechthoek bereken je de oppervlakte. Nadien tel je die oppervlaktes op. (ii) De basis van elke rechthoek is 0, 5. De hoogte is telkens de functiewaarde van een bepaalde x-waarde: f (−1), f (−0, 5), etc. (iii) Om f (−1), f (−0, 5), etc. te berekenen: gebruik dat f (x) = ex . (iv) Denk er aan dat men vraagt om de waarde algebra¨ısch te bepalen. Je moet dus de exacte√waarde geven. √ Zo stelt bijvoorbeeld 2 een exacte waarde voor, en 1, 41 . . . slechts de decimale voorstelling van 2. (v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma curvatur).

2 Niet

standaard voorzien. Gratis downloaden kan via http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html

Pr-44

.

77

Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafische rekenmachine de volgende bepaalde integralen, en maak een schets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt. Z 1 (a) x3 dx −1 2

(b) (c)

Z

Z

2x dx

−1 π 4

tan xdx

0

Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan, kunnen als volgt te werk gaan MATH 9:fnInt

fnInt(f(x),x,a,b)

Oplossingssleutel. (a)

(i) Volg de stappen in bovenstaande schermafdrukken om de bepaalde integraal te berekenen. (ii) f (x) = x3 is een elementaire functie, er wordt dus verwacht dat je de grafiek van die functie zonder grafische rekenmachine kan schetsen. (iii) Duid in je schets van de grafiek van f de relevante georiënteerde oppervlakte aan. (iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ook aanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

(b) Analoog aan (a). (c) Analoog aan (a). De functie in het integrandum is een goniometrische functie, dus zorg ervoor dat je grafische rekenmachine “in radialen staat”, via mode. Oefening 4. Gegeven is de functie f (x) = 3x . (a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1. Z 1 (b) Bereken 3x dx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde −1

integraal aan in een schets.

Oplossingssleutel. Deze oefening maak je met behulp van Werkwijze 1 op pagina A-148 (XI-12). Ze is dan ook gelijkaardig aan de twee modelvoorbeelden op die pagina. (a)

(i) De oppervlaktefunctie A(t) bepaal je uit de voorwaarden A0 (t) = f (t) en A(a) = 0. (ii) Wat is f (t)? Wat is a? Vervang dit in de vorige regel. (iii) Als je niet meteen weet voor welke functie A(t) geldt dat A0 (t) = 3t , denk er dan aan dat de afgeleide van 3t “bijna” zichzelf is. Als eerste poging probeer je dus A(t) = 3t uit.

(b)

(i) Om de integraal te berekenen met behulp van de oppervlaktefunctie grijp je terug naar Werkwijze 1 op pagina A-148 (XI-12). (ii) Wat is b? Vervang dit. (iii) Maak een schets van de grafiek van f (x) = 3x , en duid de relevante georiënteerde oppervlakte aan. (iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ook aanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers. Pr-45

78

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde. 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen. 3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen). 12. Zelfvertrouwen en zelfstandigheid. 3 Je toont zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten. 3 Je ziet in dat fouten maken inherent deel uitmaken van het leerproces.

Attitudes

Pr-46

1. Rekenvaardigheid. 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit. 3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt. 2. Meet-en tekenvaardigheid. 3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig. 3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen. Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt. 3. Wiskundige taalvaardigheid. 3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde: . je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.). 3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra¨ısch/grafisch, teken, contrueer). 3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren). 3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram). 3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

79

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

12 WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL

1. Inleiding1 Een wiskundig model is een wiskundige beschrijving van een systeem, vaak een waarneembaar verschijnsel. Het doel van het model is om met wiskundige technieken een systematische analyse te maken, om zo inzicht te verwerven in het verschijnsel en voorspellingen over het systeem te doen. Dat is de kern van de wetenschap. Het proces waarbij men een model ontwikkelt noemt men modelleren. Een model kan nooit een volledig beeld van de werkelijkheid geven. Het is altijd een vereenvoudiging. Een goed model zoekt een evenwicht tussen eenvoud en nauwkeurigheid: het moet eenvoudig genoeg zijn om mee te kunnen rekenen en zinvolle conclusies te kunnen trekken, en het moet nauwkeurig genoeg zijn om die conclusies betrouwbaar te doen zijn. Als een eenvoudig model een even goede beschrijving van de waarnemingen geeft als een ingewikkeld model, dan verdient het eenvoudige model de voorkeur. Wiskundige modellen worden zowel gebruikt in natuur- en ingenieurswetenschappen (fysica, elektrotechniek, biologie, geologie, meteorologie) als in sociale wetenschappen (economie, psychologie, sociologie, politicologie). We sommen enkele voorbeelden op. 3 Plantenteelt (allometrie2 ) Bij grassen en granen is de groeisnelheid van de wortelmassa vaak anders dan die van de bladmassa. Dit leidt ertoe dat de verhouding tussen beide geleidelijk verandert als de plant groeit. Observaties wijzen uit dat het verband tussen de wortelmassa w en de spruit s (de groene delen) vaak gemodelleerd kan worden met de vergelijking w(s) = c · sk

waarbij c, k ∈ R+ 0

De parameter k noemt men de allometrische constante. Zo geldt voor Italiaans raaigras de waarde k = 1, 12 tot aan de bloei, daarna krijgt k een (lagere) waarde. 3 Econometrie3 den:

In een bedrijf beschouwt men volgende economische grootheItaliaans raaigras (Lolium Multiflorum)

L het arbeidersinkomen, Z het niet-arbeidersinkomen, kortweg ‘winst’ te noemen, U de waarde der verkochte consumptiegoederen, V de waarde der verkochte investeringsgoederen. Als model neemt men de volgende betrekkingen tussen deze grootheden aan. (1) De winstvergelijking: Z = U + V − L

(2) Een vertraging aangenomen van één tijdseenheid: Vt = βZt−1 (3) De uitgaven voor consumptiegoederen: Ut = Lt + 1 Zt−1 + 2 (Zt−1 − Zt−2 ) Hierbij stellen β, 1 en 2 parameters die men kan schatten door de grootheden L, Z, U en V te oberveren over een aantal tijdseenheden. 1 Gebaseerd

op M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002). betekent: Verandering van de verhoudingen van de verschillende lichaamsdelen gedurende de groei. 3 Uit J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). Econometrie is de discipline binnen de economische wetenschap die zich richt op het kwantificeren (het in getallen uitdrukken) van de relaties tussen economische grootheden. Econometrie kan het beste worden omschreven als de wetenschap van het economisch modelleren, waarbij een groot beroep wordt gedaan op technieken uit de wiskunde, de waarschijnlijkheidsrekening en de statistiek. Informatica neemt een belangrijke plaats in, zowel bij het ontwerp als bij het toetsen en gebruiken van econometrische modellen. 2 Allometrie

Pr-47

80

Hieruit kan men achterhalen dat de winst Z op tijdstip t als volgt afhangt van de winst op de twee voorgaande tijdstippen: Zt = (β + 1 + 2 )Zt−1 + 2 Zt−2 3 Milieukunde Op grond van waarnemingen vanaf 1970 voorspelde het IPCC (Intergovernmental Panel on Climate Change) dat zonder reductie van de uitstoot van broeikasgassen de gemiddelde temperatuur elke tien jaar met 0, 3◦ C zou stijgen. In 1970 was de gemiddelde temperatuur 15◦ C. Een ander model voorspelt een stijging van de zeespiegel met 65 cm ten opzichte van 1970 niveau als de gemiddelde temperatuur 19◦ C is. 3 Marktkunde Een nieuw product wordt vaak gelanceerd met een reclamecampagne die de eerste gebruikers overhaalt. Daarna volgt vaak nog een fase waarin het verbruik kan toenemen door mond-tot-mond reclame. Mond-totmond reclame werkt als een besmetting, waarin niet-gebruikers het gedrag van gebruikers waarmee ze sociaal contact hebben geleidelijk overnemen. Noemen we p(t), met 0 ≤ p ≤ 1 de fractie gebruikers binnen de doelgroep op tijdstip t, dan wordt een eenvoudig model gegeven door een zogenaamde logistische functie p(t) =

1 1 + c e−r t

waarbij c, r ∈ R+ 0

De figuur hiernaast geeft de toename in het gebruik van een nieuw herbicide onder de graanboeren in de Amerikaanse staat Iowa weer, met t de tijd in jaren. De parameters bij deze data zijn geschat als r = 0, 8691 en c = 47, 2797.

Marktpenetratie4 van een herbicide in Iowa

3 Natuurkunde (kinematica) Een voorwerp met massa m valt naar beneden. We wensen de snelheid van het voorwerp uit te drukken in functie van de tijd t. . Model I. De versnelling van het voorwerp in functie van de tijd t wordt gemodelleerd door de formule a(t) = g waarbij gelijk is aan de valversnelling. Dit getal g is afhankelijk van de plaats op aarde. In België is g ≈ 9, 91m/s2 . Dit model geeft een goede benadering weer van de versnelling van het voorwerp indien men (1) de luchtweerstand verwaarloost, en (2) men het voorwerp op relatief kleine hoogte laat vallen. Integratie van de versnelling geeft de snelheidsfunctie v(t), en een tweede integratie geeft ons de plaatsfunctie. Binnen dit model is de snelheid van het voorwerp onafhankelijk van de massa en de vorm van het voorwerp:  a(t) = g    v(t) = v(0) + gt    x(t) = x(0) + v(0)t + 1 gt2 2

. Model II. Een model dat wel rekening houdt met de luchtweerstand is meer accuraat, maar ook meer ingewikkeld. Binnen zo’n model wordt de snelheidsfunctie beschreven in termen van de tangens hyperbolicus ! r r mg gk v(t) = tanh t k m waarbij k een constante is die bepaald wordt door de vorm van het voorwerp en de dichtheid van de lucht. Binnen dit model is de snelheid van het voorwerp wel afhankelijk van de massa m. De tangens hyperbolicus staat voor de functie tanh(x) =

ex − e−x ex + e−x

y H.A. y = 1 graf f x

H.A. y = −1 de grafiek van de functie f (x) = tanh x

De rechte y = 1 is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van tanh(x), want

∞ ex − e−x (ex − e−x )/ex 1 − e−2x 1 − e−∞ = = lim = lim = =1 x→+∞ (ex + e−x )/ex x→+∞ ex + e−x x→+∞ 1 + e−2x ∞ 1 + e−∞

lim tanh(x) = lim

x→+∞

Bijgevolg bereikt het voorwerp na verloop van tijd zekere een limietsnelheid, die we wiskudig berekenen als ! r r r r mg gk mg mg lim v(t) = lim tanh t = tanh(+∞) = t→+∞ t→+∞ k m k k 4 Marktpenetratie is de mate waaraan een product of dienst door potenti¨ ele klanten bekend is en/of gebruikt wordt, met als formule (aantal gebruikers)/(potentieel aantal gebruikers) · 100. De marktpenetratie geeft dus een indicatie van de groeimogelijkheden in de markt.

Pr-48

81

3 Bosbouw Een laboratorium aan een universiteit onderzoekt, in opdracht van de vereniging van bosuitbaters, het groeiproces van lariksen (ook wel lork genoemd, een geslacht van coniferen). Op 1 januari vorig jaar waren de bomen bij aanplant 80cm groot. Op basis van de hoogtegegevens die tijdens het afgelopen jaar op verschillende tijdstippen werden opgemeten, schat men dat de groeisnelheid (in centimeter per jaar) van de lariksen x jaar na de aanplant gelijk is aan 40 g(x) = 25 + x 2 2 + 20 Hieruit kan men de hoogte van de lariksen t jaar na de aanplant bepalen, namelijk als de oorspronkelijke hoogte vermeerdert met de toename van de hoogte sinds 1 januari vorig jaar: Z t g(x) dx h(t) = 80 +

Europese lariks (Larix decidua)

0

3 Toxicologie, milieuhygi¨ ene, veeteelt Een koe heeft gras gegeten dat verontreinigd was met asdeeltjes uit een afvalverwerkingsinstallatie. Het gif wordt in het vet opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk. Dagelijks wordt de concentratie gif in de melk gemeten. De waargenomen concentraties in g/m3 zijn te modelleren met c(t) = 4te−0,2 t met t in dagen na het eten van het verontreinigde gras. De koe levert 15 liter melk per dag. De functie G(t) geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in g) als functie van de tijd (in dagen). Uit

G0 (t) = 0, 06 te−0,2 t

kan men nagaan dat

G(t) = −0, 3 te−0,2 t − 1, 5 e−0,2t + c

waarbij c ∈ R

De integratieconstante c bepaalt men via G(0) = 0.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum voer je uit in groepen van drie tot vier leerlingen. 1. In groep kies je één van de volgende onderwerpen (zie pagina’s A-151 tot en met A-156): Onderwerp Onderwerp Onderwerp Onderwerp Onderwerp Onderwerp

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Ruimtelijke ordening Milieukunde Celbiologie Visteelt Plantenteelt I (gewassen) Plantenteelt II (kamerplanten)

2. Van het gekozen onderwerp krijg je een model, voorzien van een opgave. 3. In groep los je de vragen op. 3 Verslag (thuis afwerken) Iedereen dient een verslag in, dat bestaat uit cursusblad(en), met de volgende structuur. . Onderwerp en opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken. . “Oplossing.” . Enkel recto schrijven, cursusbladen onderaan nummeren. . Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen. Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient practicumbundel met verslag in.

Pr-49

82

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde. 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen. 3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen). 14. Zin voor samenwerking en overleg. 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. 3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Attitudes

Pr-50

1. Rekenvaardigheid. 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit. 3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt. 2. Meet-en tekenvaardigheid. 3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig. 3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen. Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt. 5. Probleemoplossende vaardigheden. 3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen. 3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.). 3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren). 3 Je kan zoekstrategieën toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen. 3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategieën en je plan. 3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken. 7. Leervaardigheden 3 Je kan losse gegevens verwerken. 3 Je kan samenhangende informatie verwerken. 3 Je kan informatiebronnen raadplegen. 3 Je kan studietijd plannen. 3 Je kan je eigen leerproces bijsturen.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

83

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

13 LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN

1. Inleiding Leren uit opgeloste problemen is een manier om je vaardigheid in het zelfstandig oplossen van oefeningen aanzienlijk te verbeteren. Deze techniek werd gepopulariseerd door de befaamde Schaum’s Outlines 1 , een reeks van werkboeken over diverse onderwerpen in wiskunde, wetenschappen (chemie, natuurkunde, biologie) en talen. Voor wiskunde alleen al bestaan er ruim vijftig zo’n werkboeken, en elk werkboek bevat ongeveer 1000 opgeloste problemen, variërend van gemakkelijke basisoefeningen tot ware hersenkrakers. Daarnaast zijn ook extra problemen opgenomen, met vermelding van het eindresultaat.

2. Opdracht 3 Voorbereiding Deze bundel lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee. Op de volgende pagina’s staan een zestal opgeloste problemen2 in verband met eenvoudige differentiaalvergelijkingen. De oplossing is echter wat beknopt opgeschreven (sommige tussenstappen zijn niet vermeld, er worden geen grafieken gemaakt die de redenering kunnen verduidelijken, etc.).

Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus 2

1. In het begin van de (eerste) les toon je met behulp van een kladblad dat je de problemen 1 tot en met 5 thuis gelezen en verwerkt hebt. 2. Per twee krijg je een aantal extra problemen (zonder oplossing), zie pagina A-159. Door tossen wordt beslist welke reeks je oplost: Reeks Reeks Reeks Reeks Reeks Reeks

1: 2: 3: 4: 5: 6:

Problemen 7(c) en 10 (biologie) Problemen 7(d) en 11 (natuurkunde) Problemen 7(b) en 12 (bevolkingsleer) Problemen 7(a) en 13 (economie) Probleem 14 (besmettingsleer) Probleem 15 (sociologie)

3. In groep los je die reeks op. De opgeloste problemen in deze bundel kunnen je daar uiteraard bij helpen! 3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat één exemplaar van de reeks oefeningen. Elk probleem start op een nieuw cursusblad, met de volgende structuur: . opgave van het probleem netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken; . oplossing, voorzien van minstens één grafiek die je redenering of oplossing verduidelijkt. Schrijf je redenering duidelijk op, die gemakkelijk te lezen is. Dit houdt in dat je alle tussenstappen opschrijft. Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel. Nummer die pagina’s onderaan in het midden. De overige problemen bewaar je thuis. 3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elk groepslid dient zijn/haar practicum bundel in. Het verslag steekt in een bundel van één groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopiëren.

1 Officiele

website: http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145 . Schaum’s Outlines werd bezield door Daniel Schaum in de jaren ’50. 1 F.Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill (1990).

Pr-51

84

Toepassingen op onbepaalde integralen: eenvoudige differentiaalvergelijkingen Als we de vergelijking van een kromme y = f (x) kennen, dan is de helling (i.e. rico van de raaklijn) in een punt P (x, y) aan de kromme gelijk aan m = f 0 (x). dy = f 0 (x), dan kunnen we dx een familie van krommen y = f (x) + c vinden door te integreren. Om een specifieke kromme uit die familie te bepalen moeten we een bepaalde waarde aan c toekennen. Dit kunnen we doen door bijvoorbeeld te eisen dat die specifieke kromme door een gegeven punt gaat (zie Problemen 1-3).

Omgekeerd, als de helling van een punt P (x, y) aan een kromme gegeven wordt door m =

Opgeloste problemen Probleem 1. Bepaal de vergelijking van de familie van krommen waarvoor de helling in elk punt gelijk is aan het tegengestelde van het dubbel van de abscis van dat punt. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(1, 1) bevat. Oplossing. We schrijven y = f (x) voor de vergelijking van zo’n kromme. De helling van een punt P (x, y) van de dy dy . De eis is dat die helling gelijk is aan −2x, met andere woorden = −2x. Dus dy = −2x dx, waaruit kromme is dx dx Z Z dy = −2x dx en dus y = −x2 + c . Dit is de vergelijking van een familie van parabolen. Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(1, 1) bevat. Stellen we x = 1 en y = 1 in de vergelijking van deze familie dan bekomen we 1 = −1 + c, waaruit c = 2. De vergelijking van de kromme door het punt A(1, 1) is dus y = −x2 + 2 . Probleem 2. Bepaal de vergelijking van een familie van krommen waarvoor de helling in eender welk punt P (x, y) gelijk is aan m = 3x2 y. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(0, 8) bevat. Oplossing. De voorwaarde is dat

dy dy = 3x2 y, zodat = 3x2 dx. Hieruit volgt dat ln |y| = x3 + c. Als y > 0 dan is dx y

ln |y| = x3 + c

⇒ ⇒

eln y = ex

3

+c

3

⇒

y = ex · |{z} ec

⇒

ln(−y) = x3 + c

Als y < 0 dan vinden we analoog ln |y| = x3 + c

ln y = x3 + c

⇒

⇒

y = c1 ex

⇒

y = c2 ex

noem c1

eln(−y) = ex

3

3

waarbij c1 > 0

+c

3

⇒

−y = ex · ec

⇒

y=

3

−ec ex |{z}

noem c2

3

waarbij c2 < 0

3

We kunnen beide gevallen dus samenvatten als y = C ex waarbij C ∈ R0 . Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(0, 8) bevat. Dan moet 8 = C e0 , zodat C = 8. 3

De vergelijking van de kromme door het punt A(0, 8) is dus y = 8 ex . Algemeen. Uit dit probleem onthouden we: ln |y| = + c

⇒

y = C e waarbij C ∈ R0

In de toekomst zullen we deze stap meteen uitvoeren (zonder de gevallen y > 0 en y < 0 afzonderlijk te bespreken). Pr-52

85

Probleem 3. In elk punt P (x, y) van een kromme geldt dat y 00 = x2 − 1. Bepaal de vergelijking van die kromme als bovendien gegeven is dat Q(1, 1) behoort tot de kromme, en de raaklijn in Q aan die kromme gegeven wordt door x + 12y = 13. Z Z d 0 1 d2 y d 0 2 = (y ) = x − 1. Dus (y ) dx = (x2 − 1) dx en y 0 = x3 − x + c1 . Oplossing. Hier is dx2 dx dx 3 1 1 1 In het punt Q is de helling gelijk aan de helling van de gegeven rechte, en dus gelijk aan − . Dus − = − 1 + c1 , 12 12 3 7 1 3 dy 7 0 waaruit we vinden dat c1 = . Dus y = = x − x + , en integreren levert 12 dx 3 12 Z Z 1 3 1 4 1 2 7 7 dy = x −x+ dx waaruit y= x − x + x + c2 3 12 12 2 12 Eisen dat Q tot de kromme behoort levert 1 = kromme is dus y =

1 1 7 5 − + + c2 en dus is c2 = . De vergelijking van de gezochte 12 2 12 6

1 4 1 2 5 7 x − x + x+ . 12 2 12 6

Probleem 4. Een hoeveelheid q hangt af van de tijd t. Bovendien is op elk moment de mate waarin die hoeveelheid toeneemt een vast veelvoud van de waarde van die hoeveelheid op dat moment. Voor t = 0 is q = 25, en voor t = 2 is q = 75. Bepaal q als t = 6. dq . Voor elk moment t is dus Oplossing. De mate van de toename van q op tijdstip t is gelijk aan de afgeleide q 0 (t) = dt dq dq = k q voor een zekere k ∈ R, waaruit = k dt. Integreren levert ln |q| = kt + c. Wegens Algemeen op de vorige dt q pagina kunnen we dit herschrijven als q = C ekt waarbij C ∈ R0 . 3 Als t = 0 dan is q = 25 = C e0 dus C = 25.

3 Als t = 2 dan is q = 75 = 25 e2k . Dus e2k = 3, waaruit volgt dat k =

ln 3 = 0, 54 . . .. 2

Uiteindelijk, als t = 6 dan is q = 25 e3 ln 3 = 675 . Probleem 5. Een stof A wordt omgezet in een andere stof B aan een snelheid die evenredig is aan de hoeveelheid niet-omgezette stof A. Als de hoeveelheid van A oorspronkelijk gelijk is aan 50, en op t = 3 gelijk is aan 25, wanneer 1 van de stof A overblijven? zal er slechts 10 dq Oplossing. Noem q de hoeveelheid (omgezette) stof B op tijdstip t. Dan is = k(50 − q) voor een zekere k ∈ R, dt waaruit dq = k dt zodat ln(50 − q) = −kt + c of nog 50 − q = C e−kt 50 − q waarbij C ∈ R0 . Dus q = 50 − C e−kt .

3 Als t = 0 dan is q = 0 = 50 − C e0 en zo vinden we dat C = 50. 3 Als t = 3 dan is q = 25 = 50 − 50 e−3k en dus is k =

ln 2 = 0, 23 . . . 3

We zoeken nu het tijdstip t waarvoor q = 45 = 50−50 e−(t ln 2)/3 . Een eenvoudige berekening leert dat t = 9, 9657 . . . . ?Probleem 6. De snelheid waarmee water uit een “klein” gaatje in een watertank stroomt is gelijk aan √2gh, met g = 9, 81m/s2 en h de afstand van het gaatje tot de oppervlakte van het water in de tank. Bepaal de tijd die een cilindervormige (rechtopstaande) tank met een hoogte van 5 meter en straal 1 meter nodig heeft om leeg te lopen, als men onderaan een gat met straal 1cm maakt. Oplossing. Noem h de hoogte van het waterniveau op tijdstip t. In een tijdspanne dt ontsnapt er een kleine cilinder water uit√het gaatje, met hoogte v dt en straal 0, 01m. Zo’n kleine cilinder water heeft dus volume van π(0, 01)2 v dt = π(0, 01)2 2gh dt kubieke meter. In een tijdspanne dt zal het waterniveau zakken met afstand dh. Het volume zal dus “toenemen” met −π · 12 dh kubieke meter. Hieruit volgt dat p 10000 dh 20000 √ √ π(0, 01)2 2gh dt = −π · 12 dh waaruit dt = − √ en dus t=− √ h+c 2g 2g h 20000 √ 0 + 10096, 38 = 10096, 38 dus Voor t = 0 is h = 5 dus c ≈ 10096, 38. De tank is leeg als h = 0, en dan is t ≈ − √ 2g ongeveer 168, 25 minuten . Pr-53

86


Attitudes

Pr-54

13. Zelfregulatie. 3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen. 3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te oriënteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

1. Rekenvaardigheid. 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit. 3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt. 2. Meet-en tekenvaardigheid. 3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig. 3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen. 3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen. Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt. 4. Denk- en redeneervaardigheden. 3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen. 3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen. 3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken. 3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken. 7. Leervaardigheden 3 Je kan losse gegevens verwerken. 3 Je kan samenhangende informatie verwerken. 3 Je kan informatiebronnen raadplegen. 3 Je kan studietijd plannen. 3 Je kan je eigen leerproces bijsturen.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

87

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

14 EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN

1. Inleiding Het presenteren van resultaten is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeel van hun werk. Een presentatie kan dienen om een uitgevoerd werk, project, ideeën of conclusies aan anderen kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dat een presentatie tot in de puntjes verzorgd moet zijn; niet alleen qua voorkomen, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard qua inhoud. In je hogere studies en latere werkomgeving zul je meer dan waarschijnlijk nog vaak (wetenschappelijke) presentaties moeten geven. Wat is nu een wetenschappelijke presentatie? Het is een informatieve voordracht, waarbij je op een zakelijke manier rapporteert over een onderwerp met een wetenschappelijke ondertoon: een statistisch onderzoek, een chemisch experiment, een wiskundig probleem, etc. Een presentatie moet 3 een hoofdboodschap bevatten, 3 eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn, 3 een logische structuur hebben, en 3 gemakkelijk te volgen zijn. Hiermee bedoelen we dat het publiek snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van je verhaal. Het is niet aan de toehoorder om je voordracht verschillende keren te moeten horen om te achterhalen wat je bedoelt. De vorm van een exact-wetenschappelijke voordracht is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een taalkundige presentatie. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijke voordracht uit, en tonen met enkele tips hoe je je optimaal kan voorbereiden en de slaagkansen van je presentatie kan vergroten.

Opbouw In principe heeft een wetenschappelijke presentatie de volgende structuur 1 : Titel Inleiding Hoofddeel Besluit Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd. Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de presentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of ’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden. NIET: ‘Practicum 13 mei 2011’ of ‘Oefening 28 pagina 40’ WEL: ‘Het probleem van de 36 officieren’ of ‘Duiventilprincipe’ 1 Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag of presentatie uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

Pr-55

88

Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is, en in welke context of geheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorder inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeel zal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek. Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel je meer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je één aspect wat meer doorgronden, en een redenering maken die typisch is voor het onderwerp. Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Je geeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.

Voorbereiding Een succesvolle presentatie begint met een goede voorbereiding. Om een presentatie in de steigers te zetten, doorloop je de volgende fasen2 : Ontwerp 1. Bepaal het doel.

Uitwerking

2. Bepaal de hoofdboodschap.

6. Maak een nieuwe presentatie aan.

3. Werk de structuur inhoudelijk uit.

7. Zet het geraamte op.

4. Bepaal de verhaallijn.

8. Maak beeldende dia’s.

5. Ontwerp een structuurdia. Als extra ondersteuning bij het voorbereiden en aanmaken van je powerpoint bieden we je tien tips

3

aan.

Tip 1. Ken je publiek. Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders. Probeer te ontdekken waar je boodschap samenvalt met de interesse van het publiek. Op dat raakvlak liggen namelijk de aanknopingspunten voor een boeiende presentatie. Breng je publiek in beeld met de volgende vragen: 3 Wat weten de toehoorders van het onderwerp? 3 Wat zijn de verwachtingen? 3 Welk belang heeft het publiek bij je verhaal? 3 Welk inhoudelijk niveau kunnen ze aan? Pik in op wat de gemiddelde toehoorder weet, en breng hem als het ware naar een hoger niveau. Je publiek onderschatten leidt tot verveling, overschatten zorgt ervoor dat ze afhaken. NIET: ‘From somewhere to nowhere’ of ‘From nowhere to nowhere’ WEL: ‘From nowhere to somewhere’ Tip 2. Let je doelstellingen vast. Probeer je doelstelling te omschrijven in termen van eindresultaten. Bedenk wat het publiek na jouw presentatie minimaal moet onthouden. Wees realistisch in je ambities. Er is een grens aan de hoeveelheid informatie die de toehoorders in korte tijd kunnen verwerken. Beperk je tot informatie die voor het publiek van belang is. Niet alles wat je weet, is van belang voor je publiek. NIET: Wat wil ik kwijt? WEL: Wat wil mijn publiek weten? Tip 3. Leg een hoofdboodschap vast. Aan de hand van je doelstellingen formuleer je één kernboodschap. Die kun je al bij je eerste slides vermelden. Nuttig is om die hoofdboodschap enkele keren tijdens je presentatie herhalen. Uiteraard komt die ook nog eens op het einde van je presentatie aan bod. TEST: Vraag een toehoorder drie dagen nadien: ‘Wat heb je van mijn voordracht onthouden?’ 2 M.

Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn , Mechelen, 2014. op Philip E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007) en http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ . 3 Gebaseerd

Pr-56

e77.

89

Tip 4. Less is more. Een veelvoorkomende fout bij sprekers is dat ze teveel willen vertellen. Ze vinden het nodig om van meet af aan te bewijzen dat ze veel weten. Bijgevolg gaat de kernboodschap verloren, en kun je zelfs in tijdsnood komen. Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidt tot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden. Op dat moment zal wel duidelijk worden dat je veel over het onderwerp weet. Als er op het einde van je presentatie geen vragen gesteld worden, dan is dat eerder een slecht signaal: hoogstwaarschijnlijk was je presentatie dan onduidelijk of afgezaagd. Tip 5. Maak je Powerpoint effici¨ ent. Een dia dient enkel 3 om het publiek te prikkelen, 3 om structuur te brengen in wat je zegt (kernwoorden), 3 als aanvulling op wat je zegt. Breng je teveel tekst op je dia’s aan, dan zal het publiek zich eerder bezig houden met het lezen van de tekst in plaats van naar jou te luisteren. Reken per dia minstens één minuut. Wat de lay-out van je dia’s betreft, opteer voor kleuren met maximaal contrast (donkere op wit of wit op zwart). Vermijd een gekleurde tekst op een gekleurde achtergrond. Om kernwoorden in de verf te zetten gebruik je best contrast en grootte in plaats van kleur. NIET: Een Powerpoint vervangt de spreker. WEL: Een Powerpoint ondersteunt de spreker. Tip 6. Oefen je presentatie in. Zeker bij je allereerste voordrachten. Let daarbij ook op de timing. Even belangrijk is om je te houden aan wat je voorbereid hebt. Helemaal uit den boze is spreken over zaken waar het publiek meer vanaf weet dan jij. Een belangrijke voordracht geef je best eerst aan een kleine, informele groep (enkele medeleerlingen of ouders). Hou rekening met de kritiek die je krijgt. TEST: Film jezelf tijdens het geven van een voordracht, en leer daaruit.

Presenteren Of een presentatie slaagt, hangt niet alleen af van de inhoud van je betoog maar ook van de manier waarop je de boodschap overbrengt. De beste maatstaf hiervoor is de interactie met het publiek, tijdens en na de voordracht. Onthoud dat het hoofddoel van een presentatie is: het publiek doen nadenken over wat je brengt. Tip 7. Wees jezelf. Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen. Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes, vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kan overbrengen. Tip 8. Hou je aan de voorziene tijd. Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordt je in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden, en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch in tijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen. Tip 9. Woord van dank. Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op het einde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeel van de presentatie. Is je voordracht er op uitnodiging gekomen, bedank dan ook de organisator of het instituut die je die kans gegeven heeft. Tip 10. Zijn er nog vragen? Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aandacht. Neem het applaus in ontvangst, en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeks voordrachten (zoals bij een congres), dan zal iemand van de organisatie het publiek uitnodigen om vragen te stellen. In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus. Hoe kun je omgaan met vragen? 3 Herhaal of herformuleer de vraag. Niets is zo vervelend om na een antwoord te constateren dat de vraagsteller iets anders bedoelde. 3 Hou je antwoord terzake, kort en bondig. 3 Wees niet niet arrogant, stel je niet vijandig op. Dreigt de situatie te escaleren, zeg dan “Misschien koppelen we dit gesprek beter los van de voordracht, we praten straks verder.” NIET: Dat weet ik niet. WEL: Interessante vraag, daar moet ik langer over nadenken. Pr-57

90

Verantwoording De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd: OC1 Zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken. OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren. OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten. In dit practicum komen vooral de eerste en de derde eindterm aan bod.

| {z }


| {z }

competentie 1



| {z }

competentie 2


2. Opdracht 3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen). 3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum wordt uitgevoerd in groepen van . . . leerlingen. In het begin van de les krijgt elke groep 15 tot 20 onderwerpen uit nevenstaand boek. Elk onderwerp is voorzien van een halve pagina tekst en een mooie illustratie. De leerkracht kan een inkijkexemplaar van het boek vooraan in de klas leggen. Jullie nemen de onderwerpen door, en beslissen in groep over welk onderwerp jullie een presentatie willen maken (duur: . . . minuten). Daarna doorlopen jullie de stappen bij het ontwerpen van een presentatie: welke doelstellingen willen we bereiken, welke kernboodschap willen we meegeven, etc. Jullie presentatie beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de tips zo goed mogelijk tracht na te leven.

Het wiskunde boek 4

Na de les(sen) krijgen jullie voldoende tijd om dit practicum af te werken. Afspreken buiten de schooluren kan moeilijk liggen. Daarom maken jullie op het einde van de eerste les enkele concrete afspraken, aan de hand van de volgende tabel (vul in): Taak Extra informatie opzoeken (internet), in document plaatsen en doorsturen naar de anderen. Uit dit document informatie selecteren voor presentatie, doorsturen naar de anderen. Ontwerpen van een structuurdia, doorsturen naar de anderen. Maken van een eerste versie van de presentatie, doorsturen naar de anderen. Afdrukken van de finale versie van de presentatie, indienen in de practicumbundel (datum: zie practicum indienen). Finale versie van de presentatie op stick zetten, meebrengen naar de les (datum: zie presentatie geven). Geven van de presentatie.

Wie?

Tegen wanneer?

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Eén groepslid drukt de dia’s af en dient ze in. Daarnaast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina A-163). 3 Presentatie geven Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Maximaal . . . minuten. 4 C.A.

Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).

Pr-58

91

Pr-59

Evaluatiepunten:


Attitudes

14. Zin voor samenwerking en overleg. 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. 3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak. 15. Waardering voor de wiskunde. Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen.

6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen. 3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken. 3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren. 3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren. 3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren. 3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren. 3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze. 3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces. 8. Reflectievaardigheden 3 Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies. 3 Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?). 3 Je kan reflecteren over de efficiëntie van je werken en je leren. 3 Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht. 3 Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?). 3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

Beoordeling


Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

92

zie volgende pagina

Commentaar

93

Maak je Powerpoint effici¨ ent Prikkelen van het publiek, niet teveel tekst op de dia’s, lay-out, geen vervangende maar ondersteundende functie.

Woord van dank Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op het einde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeel van de presentatie.

Zijn er nog vragen/omgaan met vragen Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aandacht. Neem het applaus in ontvangst, en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeks voordrachten, dan wordt het publiek uitgenodigd om vragen te stellen. In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus.

Pr-60

Hou je aan de voorziene tijd Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordt je in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden, en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch in tijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen.

Totaal:

. . . / 60

Totaal presenteren: . . . / 20

Totaal voorbereiding: . . . / 20

Wees jezelf Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen. Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes, vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kan overbrengen.

C. Presenteren

Less is more Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidt tot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden.

Hoofdboodschap Is het achteraf duidelijk wat de hoofdboodschap van de presentatie was?


Ken je publiek Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders.

B. Voorbereiding

5

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Je geeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.

4

3

Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel je meer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je één aspect wat meer doorgronden, en een redenering maken die typisch is voor het onderwerp.

2

1

Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is, en in welke context of geheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorder inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeel zal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek.

0

Evaluatiepunten

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de presentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of ’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden.

A. Opbouw

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

94

17de T3 Vlaanderen Symposium Oostende 18 & 19 augustus 2014 _____________________________________ Wiskunde uit het dagelijkse leven, een inspiratiebron voor vaardigheden en attitudes Philip Bogaert

_____________________________________

95

Wiskunde u it h e t dagelijkse le v e n samenstelling Philip Bogaert

96

Wiskunde uit het dagelijkse leven, een inspiratiebron voor vaardigheden en attitudes 1. Leerplandoelstellingen 1.1. Vaardigheden De leerlingen ontwikkelen (1)

rekenvaardigheid, o.m. -

(2)

meet- en tekenvaardigheid, o.m. -

(3)

het analyseren en opbouwen van een figuur bij een redenering; ruimtelijk voorstellingsvermogen; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het opbouwen van figuren en grafieken.

wiskundige taalvaardigheid, o.m. -

(4)

het vlot rekenen met getallen, formules en algebraïsche vormen; het oplossen van vergelijkingen, ongelijkheden, stelsels, …; het voorspellen en inschatten van de grootteorde van een resultaat; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het uitvoeren van bewerkingen.

het begrijpen van wiskundige uitdrukkingen (zowel mondeling als schriftelijk); het lezen van figuren, tekeningen, grafieken en diagrammen; het analyseren, schematiseren en structureren van wiskundige informatie; het verwoorden van hun gedachten en hun inzichten (zowel mondeling als schriftelijk).

denken redeneervaardigheid, o.m. -

-

het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde; het begrijpen van een redenering of argumentering bij een eigenschap; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het opbouwen van een redenering; het opbouwen van een redenering ter verklaring van een eigenschap of de oplossing van een probleem, dit houdt onder meer in: - een hypothese (vermoeden) formuleren en argumenteren; - een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden, een inductieve redenering; een gegeven redenering op geldigheid onderzoeken.

97

(5)

probleemoplossende vaardigheden, zoals -

-

-

(6)

onderzoeksvaardigheden, o.m. -

(7)

de onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen; een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken; informatie verwerven en op relevantie selecteren; een doelmatig wiskundig model selecteren of opstellen; een bij het model passende oplossingsmethode correct uitvoeren; de resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren; reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze; het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

leervaardigheden, o.m. -

(8)

een probleem leren ontdekken en behoorlijk leren stellen; een probleem analyseren en vertalen naar een passend wiskundig model; bijv. onderscheid maken tussen gegevens en gevraagde, de relevantie van de gegevens nagaan en verbanden leggen ertussen; probleemoplossende vaardigheden (i.h.b. heuristische methoden) toepassen bij het werken aan problemen, zowel over alledaagse als over wiskundige situaties; bijv. een opgave herformuleren, een goede schets of een aangepast schema maken, notaties invoeren, onbekenden kiezen, voorbeelden analyseren; reflecteren op de keuzen voor representatie, oplossingstechnieken en resultaten; resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid; ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

het verwerken van losse gegevens; het verwerken van samenhangende informatie; het raadplegen van informatiebronnen; het plannen van de studietijd; het sturen van het eigen leerproces.

reflectievaardigheden, o.m. over -

de aanpak van hun werk, hun leren; hun leerproces en hun inzet; de effectiviteit bij het werken, het leren; de sterke en zwakke elementen in de uitvoering van hun opdracht; het concretiseren in een plan tot verbetering; de gezamenlijke aanpak en hert overleg bij een groepsopdracht.

98

1.2. Attitudes De leerlingen ontwikkelen (9)

zin voor nauwkeurigheid en orde, o.m. -

een houding van gecontroleerd uitwerken en terugkijken op uitgevoerde opdrachten.

(10) zin voor helderheid, bondigheid, volledigheid, eenvoud en doelmatigheid van de gebruikte wiskundetaal, o.m. -

-

de ervaring dat gegevens uit een probleemstelling toegankelijker worden door ze doelmatig weer te geven in een geschikte wiskundige representatie; de doelmatigheid van het rekenen, voor een adequate keuze tussen het manuele werken en het gebruik van ICT-hulpmiddelen.

(11) kritische zin, o.m. -

een kritische houding tegenover de eigen berekeningen, beweringen, handelingen, ...; een reflectieve houding ten aanzien van gemaakte keuzen voor representatie en oplossingstechnieken; een kritische houding tegenover de mogelijkheden en de beperkingen van het gebruik van wiskunde.

(12) zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten. (13) zelfregulatie, o.m. -

een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen; het oriënteren, plannen, uitvoeren en bewaken van een oplossingsproces.

(14) zin voor samenwerking en overleg, o.m. -

de ervaring dat ze hun mogelijkheden kunnen vergroten door samenwerking met anderen; appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

(15) waardering voor wiskunde door inzicht in de bijdrage ervan in de culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkeling, o.m. -

zin voor de rol van wiskunde bij de ontwikkeling van exacte en humane wetenschappen en de techniek; zin voor de rol van wiskunde bij het beschrijven van reële problemen;

99

-

zin voor verwondering en bewondering voor de elegantie van een redenering of een oplossing.

(16) inzicht in hun studieen beroepskeuzeproces, o.m. door het inwinnen van informatie over het aandeel van wiskunde in een vervolgopleiding en die vergelijken met hun voorbereiding.

1.3. Onderzoekscompetenties OC1

Zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2

Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.

OC3

De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

1.4. Mathematiseren MA1

Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van hun wiskundekennis.

MA2

Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken.

MA3

Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem.

MA4

Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg en de uitgevoerde berekeningen.

MA5

Vertrouwen verwerven door hun wiskundekennis zinvol in te schakelen.

1.5. Actieve werkvormen “Van leerlingen van de derde graad mag verwacht worden, dat ze een vorm van zelfstandig leren en werken opbouwen. De opbouw van het leerproces moet er op gericht zijn dat leerlingen actief deelnemen aan de wiskundelessen. Die moeten zo ingericht worden dat leerlingen zelf een deel van het werk aanpakken, weliswaar binnen hun wiskundig kunnen. Door goed gekozen, progressief opgebouwde opdrachten moeten leerlingen vertrouwd gemaakt worden met het opnemen van verantwoordelijkheid voor het eigen leren en werken.”

100

2. Exponentiële functies: financiële algebra 2.1. startpunt In de meeste leerplannen staat het onderwerp “exponentiële functies” op het menu. Na invoering van definities en de grafiek van een exponentiële functie krijgen leerlingen al gauw volgend klassiek vraagstuk voorgeschoteld: Toon plaatst een kapitaal van 5000 euro op een spaarrekening met een rente van 2,4 % per jaar. Hoeveel staat er op de spaarrekening na 6 jaar?

of iets moeilijker: Toon stort jaarlijks (in het begin van het jaar) een bedrag van 1000 euro op een spaarrekening met een rente van 2,4 % per jaar. Hoeveel staat er op de spaarrekening op het einde van het 6de jaar?

Naast de klassieke oplossingsmethode (via een exponentiële functie) kan men de leerlingen ook vertrouwd maken met de applicatie “Finance – TVM Solver”.

101

2.2. duo-opdracht Jij en je vriend(in) zijn allebei afgestuurd als professionele bachelor in het onderwijs. • • •

Hoeveel bedraagt jullie gezamenlijke beginwedde? Hoe groot is jullie wedde na 5 jaar dienstanciënniteit? En na 10 jaar dienst?

Jullie zijn bereid om maandelijks 1000 euro te spenderen aan de afbetaling van jullie lening. Momenteel hebben jullie een financieel potje van 110.000 euro (= spaargeld + bedrag dat jullie toegestopt krijgen van de (groot)ouders). •

Stap minstens twee verschillende banken binnen en vraag aan welk percentage jullie in deze situatie een woonlening kunnen aangaan.

Als je een huis koopt van 100.000 euro heb je eigenlijk 120.000 euro nodig. Immers er moeten registratiekosten worden betaald en zelf een instapklare woning moet worden opgefrist (behangen, verven, nieuwe gordijnen, een paar kleine veranderingen, …). (m.a.w. voor een huis van 200.000 euro heb je 240.000 euro nodig, enz …). •

Bereken op basis van je financieel potje en het bedrag dat je kan lenen hoe duur de aankoop van je huis maximaal mag zijn. Je mag zelf de periode van afbetaling kiezen (minimaal 10 jaar, maximaal 30 jaar).

102

•

Ga op Immoweb op zoek naar een huis dat aan deze voorwaarden voldoet. De woning moet op minder dan 20 km van de school gelegen zijn.

Hoeveel van jullie gezamenlijke wedde houden jullie nu nog over? •

Vraag aan jullie ouders wat ze maandelijks betalen voor water, elektriciteit en verwarming. Indien jullie ouders dit niet maandelijks maar bvb. driemaandelijks betalen, zet je de bedragen om naar een maandelijkse kost. Bereken de maandelijkse kost voor twee gsm’s (die van jou en je vriend(in)), internetaansluiting en kabeltelevisie. Een keer per jaar betaal je kadestraal inkomen (KI) en provinciebelasting. Vraag aan je ouders hoeveel deze kosten bedragen en deel deze door twaalf (= omzetting naar een maandelijkse kost). Verzekeren kost geld. Vraag aan je ouders hoeveel de brandverzekering en de familiale verzekering samen jaarlijks kosten en deel dit bedrag door twaalf. Gezondheid kost geld. Hoeveel bedraagt de maandelijkse bijdrage voor de mutualiteit? Jaarlijks is er tevens een bijdrage voor de zorgverzekering (25 euro pp/jaar = 2,08 euro pp/maand). Mobiliteit kost geld. Jullie hebben pech en kunnen niet genieten van een bedrijfswagen. Jullie hebben elk een wagen nodig en rijden allebei ongeveer 900 km per maand. Kosten: twee verzekeringen (geen omnium wegens te duur), tweemaal verkeersbelasting, benzine en minstens één jaarlijks onderhoud voor beide wagens.

• • • • •

Gezamenlijke wedde Lening

- 1000

Kosten: •

water, elektriciteit, verwarming

- …………

•

gsm, internet, tv

- …………

•

KI, provinciebelasting

- …………

•

brand- en familiale verzekering

- …………

• •

mutualiteit en zorgverzekering mobiliteit: o verzekering o belasting o benzine o onderhoud Restbedrag

- ………… - ………… - ………… - ………… - …………

Restbedrag = voeding, kleding, ontspanning, reizen, sparen, verbouwen, …

103

Hoeveel moet je van dit restbedrag maandelijks sparen als je binnen 5 jaar de keuken wilt vernieuwen? Je hebt hiervoor een bedrag van 10000 euro nodig en je geld brengt je op je spaarrekening 1,7 % intrest op.

2.3. vaardigheden en attitudes V.01 V.02 V.03 V.04 V.05 V.06 V.07 V.08 A.09 A.10 A.11 A.12 A.13 A.14 A.15 A.16

rekenvaardigheid meet- en tekenvaardigheid wiskundige taalvaardigheid denken redeneervaardigheid probleemoplossende vaardigheden onderzoeksvaardigheden leervaardigheden reflectievaardigheden zin voor nauwkeurigheid en orde zin voor helderheid, bondigheid, volledigheid, eenvoud en doelmatigheid van de gebruikte wiskundetaal kritische zin zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen zelfregulatie zin voor samenwerking en overleg waardering voor wiskunde inzicht in studieen beroepskeuzeproces

104

3. Statistiek met een appel 3.1. startpunt In een klas van het zesde jaar wordt een bak appels aangekocht. De leerlingen moeten (thuis) het gewicht (in gram) en het volume (in cl) van de appels bepalen. Het volume wordt bepaald door de appels onder te dompelen in een maatbeker gevuld met water. 23 leerlingen, elk twee appels geeft volgend resultaat: gram 268 229 290 331 328 349 193 271 324 237 252 212 206 241 249 195

cl 36 30 31 42 45 57 26 45 34 36 32 30 32 34 42 32

gram 257 264 285 265 267 265 334 277 273 259 359 315 375 254 346

cl 34 28 39 32 32 28 37 36 35 39 47 36 45 27 46

gram 216 302 316 357 277 259 307 265 310 222 246 219 265 279 281

cl 40 40 46 47 40 36 43 33 40 30 29 29 31 34 41

3.2. onderzoeksopdracht • • • • •

Ga na of het gewicht van de appels normaal verdeeld is. Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking. Ga na of het volume van de appels normaal verdeeld is. Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking. Ga de correlatie na tussen het gewicht en het volume van de appels. Bepaal de regressierechte, neem het gewicht als onafhankelijke veranderlijke. Bepaal het soortelijk gewicht (kg/m³) van elke appel afzonderlijk, bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking.

105

3.3. uitwerking Gegevensinvoer in twee lijsten

Is het gewicht van de appels normaal verdeeld?

106

Het gewicht van de appels is normaal verdeel met gemiddelde 276 gram en standaardafwijking 45 gram.

Is het volume van de appels normaal verdeeld?

Het volume van de appels is normaal verdeel met gemiddelde 36,6 cl en standaardafwijking 6,7 cl.

107

Is er een correlatie tussen het gewicht en het volume van de appels?

correlatie:

0,72 m.a.w. er is een goed verband tussen het gewicht en het volume.

regressierechte: y = 0,106 x + 7,384

108

Bepalen van het soortelijk gewicht.

sg ( kg / m3 ) =

massa(kg ) massa( g ) . 100 = volume(m3 ) volume(cl )

109

4. Matrices en de Afrikaanse olifanten 4.1. startpunt Afrikaanse olifanten leven in groepjes, families of kuddes van wijfjes met hun jongen van verschillende leeftijden, onder leiding van een matriach. De draagtijd is ongeveer 22 maanden, waarna er één jong geboren wordt. Tweelingen komen voor, maar zijn uiterst zeldzaam. Een baby wordt 2 jaar gezoogd. Meestal baart een wijfje eens in de 4 jaar een jong. Een Afrikaanse olifant is volwassen na 10 jaar. Rond deze leeftijd verlaat de jonge bull de kudde en zwerft solitair rond. De gemiddelde leeftijd van een olifant in het wild is 60 jaar. Elke jaar wordt, ondanks een totaal jachtverbod, minstens 5% van de populatie door stropers gedood. Een natuurreservaat bevat momenteel 80 olifanten; 10 baby’s (-2 jarigen), 20 jongen (2 tot 10 jarigen) en 50 volwassenen (+10 jarigen). Hoe verloopt onder de gegeven voorwaarden de aantallen binnen deze populatie?

4.2. verwerken van de gegevens De olifanten indelen in klassen, bijvoorbeeld: • • •

klasse I = baby’s = -2 jarigen klasse II = de jongen = 2 tot 10 jarigen klasse III = de volwassenen = 10+ jarigen

Tijdseenheid : bijvoorbeeld tweejarig Verwerken van de gegevens • • • • • •

op 2 jaar tijd wordt er 10% van de populatie weggestroopt; 90% van de baby’s evolueert naar een jong; ¾ van 90% van de jongen blijft jong = 67,5%; ¼ van 90% van de jongen wordt volwassen = 22,5% , hiervan verlaat de helft (= de bulls) de kudde; 4% van de volwassenen sterft van ouderdom. Overlevingskans is dus 86%; om de vier jaar één baby per volwassen (vrouwelijke) olifant, geeft ¼ baby per olifant om de twee jaar.

110

4.3. opstellen van de graaf en de Lesliematrix van I I L = naar

II III

II

III

0 0,25   0  0,9 0,675 0    0 0,225 0,86   

0,675 II

0,9

0,225

0,86

0,25 I

III

111

4.4. evolutie m.b.v. TI-84 start

na 1j

na 2j

na 3j

na 4j

na 5j

na 6j

na 7j

na 8j

na 9j

na 10j

I

10

13

12

11

11

11

11

12

12

12

12

II

20

23

26

29

30

30

31

31

31

32

32

III

50

48

46

45

45

46

46

47

47

47

48

80

84

84

85

86

87

88

90

90

91

92

4.5. (duo)opdracht Werk een gelijkaardige evolutieschema uit met een ander Afrikaans dier.

112

5. Stapelproblemen 5.1. Bollen stapelen Hoeveel sinaasappels krijg je in een doos? Of anders gevraagd: wat is de meest efficiënte stapeling van sinaasappels, en bollen in het algemeen? Elke groenteboer weet dat je meer sinaasappels in een doos krijgt als je ze netjes in een regelmatig patroon opstapelt. Bij die ordening hoort een zogeheten pakkingsfractie van 0,7405. Dat betekent dat je de doos dan voor 74% van zijn inhoud met sinaasappels gevuld krijgt. Al in 1611 stelde Johannes Keppler dat je bollen niet efficiënter kunt stapelen dan met die fractie van 0,7405. Pas in 1998 wist de Amerikaan Thomas Hales dit ook echt wiskundig te bewijzen. Meestal echter heeft de groenteboer geen tijd om de sinaasappels netjes een voor een te stapelen. Hij gooit ze in de doos, schudt die en klaar. Er ontstaat dan wat wetenschappers noemen de willekeurig dichtste pakking; die heeft een pakkingsfractie van 0,64. De pakkingsfractie van 0,64 is het maximaal haalbare voor willekeurig dichtste pakking van bollen. Waarom dit maximum die waarde heeft, is overigens nog altijd niet afdoende verklaard.

5.2. 4 bollen stapelen Hoe hoog is de driezijdige piramide die ontstaat door 4 bollen met straal 2 dm op elkaar te stapelen (drie bollen onderaan, één erop). Oplossing Wanneer we de vier middelpunten van de bollen met elkaar verbinden, krijgen we een tetraëder met ribbe = 4 dm. De gevraagde hoogte is dan gelijk aan de hoogte van de tetraëder + ………… keer de straal van de bollen. Omdat ABCT een tetraëder is, valt de loodrechte projectie van T op het vlak ABC samen met het punt Z, het zwaartepunt van de driehoek ABC. De rechte AZ snijdt het lijnstuk [BC] in M, het midden van [BC]. lengte |AB| = ……………… lengte |BM| = ……………… Driehoek ABM is rechthoekig (waarom ?), dus geldt wegens de stelling van Pythagoras: |AB|² = …………………………………………… Waaruit je de lengte |AM| kan berekenen:

113

|AM| = ……………… Omdat Z het zwaartepunt is geldt :

AZ =

... | AM | = .................. ...

Nu is driehoek TZA rechthoekig, zodat wegens de stelling van Pythagoras geldt: |TA|² = ……………………………………………… Waaruit je de hoogte van de tetraëder kan bereken: |TZ| = ……………… De gevraagde hoogte is dus : ……………………………………………………………. Hoe hoog is de driezijdige piramide die ontstaat door 10 bollen met straal 2 dm op elkaar te stapelen (zes bollen onderaan, drie erop en één bovenaan).

5.3. 5 bollen stapelen Hoe hoog is de vierzijdige piramide die ontstaat door 5 bollen met straal 2 dm op elkaar te stapelen (vier bollen onderaan vormen een vierkant, één erop). Oplossing Wanneer we de vijf middelpunten van de bollen met elkaar verbinden, krijgen we een piramide met als grondvlak een vierkant met zijde 4 dm en schuine zijden eveneens 4 dm. De gevraagde hoogte is dan gelijk aan de hoogte van de piramide + ………… keer de straal van de bollen.

Bepaal eerst de lengte van een diagonaal van het grondvlak: |AC| = …………………… De lengte van de halve diagonaal is dus: |AS| = …………………… Driehoek TSA is rechthoekig, waaruit:

114

|TS| = …………………… Antwoord : ……………………………………………………………… Hoe hoog is de vierzijdige piramide die ontstaat door 14 bollen met straal 2 dm op elkaar te stapelen (negen bollen onderaan, vier erop en één bovenaan).

5.4. bollen tellen Als je bollen stapelt volgens een vierzijdige piramide en deze telt zes lagen, heb je in totaal:

sv _ 6 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91 bollen

Als je n lagen hebt, heb je in totaal:

sv _ n = 12 + 22 + ... + n 2 =

1 n ( n + 1)( 2n + 1) 6

Bewijs deze formule !!

Als je bollen stapelt volgens een driezijdige piramide en deze telt zes lagen, heb je in totaal:

sd _ 6 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56 bollen

115

Als je n lagen hebt, heb je in totaal:

1 1 sd _ n = 1 + 3 + ... + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + 2 ) 2 6 Bewijs deze formule !!

Een vierzijdige piramide van zes lagen kan je herstapelen in twee driezijdige piramiden, een driezijdige piramide van zes lagen en een driezijdige piramide van vijf lagen. Ga dit na. Een vierzijdige piramide van zeven lagen kan je herstapelen in twee driezijdige piramiden, een driezijdige piramide van zeven lagen en een driezijdige piramide van zes lagen. Ga dit na. Algemeen kan je een vierzijdige piramide van n lagen, herstapelen in twee driezijdige piramiden, een driezijdige piramide van n lagen en een driezijdige piramide van n-1 lagen. Toon dit aan.

116

5.5. Cirkels stapelen Probleem A Hoeveel cirkels met een diameter van 4 cm kan ik stapelen in een cirkel met diameter 38 cm? Oplossing Hoeveel cirkels met diameter van 4 cm kunnen er in een cirkelring met stralen 6 cm en 10 cm ? De middelpunten van al deze cirkels liggen op een cirkel met straal ………… cm. De afstand |OQ| = |OP| = ………… cm en de afstand |PQ| = ………… cm.

berekenen? Kan je nu nog de hoek POQ = ……………… POQ Hoeveel keer kan je deze hoek nemen zonder de 360° te overschrijden? …………

Hoeveel cirkels met diameter van 4 cm kunnen er in een cirkelring met stralen 7 cm en 11 cm ?

117

Voor het berekenen van het aantal cirkels met een diameter van 4 cm in een cirkel met straal 19 cm kan je werken van binnen naar buiten of van buiten naar binnen:

Bereken voor beide gevallen het aantal cirkels. In welk van beide gevallen heb je duidelijk meer cirkels? Hoeveel meer?

Probleem B : super uitdaging !! Als ik 100 cirkels met een diameter van 4 cm zou willen stapelen in een nieuwe grote cirkel, hoe groot moet dan de diameter minstens zijn van deze nieuwe cirkel?

118

6. Speltheorie: wiskunde & verkiezingen 6.1. Zetelverdeling Bij de laatste verkiezingen behaalde partij A 2400 stemmen, partij B 3300, partij C 1600 en partij D 2700. In totaal zijn er 13 zitjes te verdelen. Hoeveel zitjes krijgt elke partij?

stemmen

B

D

A

C

3300

2700

2400

1600

deler

quotiënt

zetel

quotiënt

zetel

quotiënt

zetel

quotiënt

zetel

1

3300

(1)

2700

(2)

2400

(3)

1600

(5)

2

1650

(4)

1350

(6)

1200

(7)

800

(12)

3

1100

(8)

900

(9)

800

(11)

533

(18)

4

825

(10)

675

(13)

600

(15)

400

5

660

(14)

540

(17)

(19)

320

6

550

(16)

450

480 400

7

471

(20)

385

342

8

412

9

366

Bij de meeste verkiezingen in België maakt men bij de zetelverdeling gebruik van de Methode-D'Hondt. De methode is bedacht door Victor D'Hondt (1841– 1901), Belgisch jurist en wetenschapper, en wordt in diverse landen gebruikt (België, Bulgarije, Finland, Portugal, Spanje, Zwitserland, Turkije, …). In ons voorbeeld zouden partij B en D vier zetels krijgen, partij A drie en partij C twee. Bij de gemeenteraadsverkiezingen gebruikt men een soortgelijke methode, de Methode-Imperiali. Deze methode geeft een licht voordeel aan de grotere partijen. Methode-Imperiali is hetzelfde als de Methode D’Hondt waarbij men de eerste rij gewoon weglaat. In ons voorbeeld zou bij de zetelverdeling volgens Methode-Imperiali partij C een zetel moeten inleveren ten gunste van partij B.

119

(a)

In een gemeente zijn er 15 zetels te verdelen. Verdeel deze zetels over de vier partijen A (4000 stemmen), B (3000 stemmen), C (2000 stemmen) en D (1000 stemmen) eenmaal via de methode d’Hondt en eenmaal via de methode Imperiali. A

(b)

B

= 15

Imp

= 15

In een gemeente zijn er 23 zetels te verdelen. Verdeel deze zetels over de vijf partijen A (3200 stemmen), B (2000 stemmen), C (1500 stemmen), D (2500 stemmen) en E (800 stemmen) eenmaal via de methode d’Hondt en eenmaal via de methode Imperiali. B

C

D

E

d’H

= 23

Imp

= 23

In een gemeente zijn er 26 zetels te verdelen. Verdeel deze zetels over de zes partijen A (2400 stemmen), B (2000 stemmen), C (1800 stemmen), D (1600 stemmen), E (1200 stemmen) en F (1000 stemmen) eenmaal via de methode d’Hondt en eenmaal via de methode Imperiali. A

(d)

D

d’H

A

(c)

C

B

C

D

E

F

d’H

= 26

Imp

= 26

In een gemeente zijn er 13 zetels te verdelen. Verdeel deze zetels via de methode Imperiali over de vijf partijen A(3300 stemmen), B(2600 stemmen), C(1900 stemmen), D(1500 stemmen) en E(700 stemmen). Hoe ziet de zetelverdeling eruit als A en E vooraf een Kartel A&E hadden gevormd. Op welke partijen heeft dit invloed? A

B

C

D

E = 13

A&E

B

C

D = 13

120

6.2. Macht Veronderstel dat op een vergadering partij A 18 stemmen heeft, partij B 14 stemmen en partij C 3 stemmen. Personen uit eenzelfde partij hebben dezelfde belangen en stemmen dus hetzelfde. Ze stemmen allemaal voor of allemaal tegen. De personen gedragen zich als een blok. In sommige partijen eist men zelfs dat iedereen hetzelfde stemt. Partij A heeft 6 keer meer stemmen dan partij C, wil dit dan zegen dat partij A 6 keer meer macht heeft dan partij C? Als er afgesproken wordt dat een voorstel aangenomen wordt bij meerderheid van stemmen dan zijn 18 stemmen nodig en voldoende om een voorstel aangenomen te krijgen. Dat getal noemt men het quotum. Het quotum is het minimaal aantal stemmen dat nodig is om een voorstel aangenomen te krijgen. Je ziet onmiddellijk dat partij A op zijn eentje een voorstel kan doen aannemen. Anderzijds kunnen partij B en C samen nooit zonder de medewerking van partij A een voorstel doen aannemen. A heeft dus de absolute macht. aantal stemmen 18 14 3

partij A B C

machtsindex 1 0 0

De machtsindex is een getal groter of gelijk aan nul en kleiner of gelijk aan 1. De som van alle machtsindexen samen is 1.

Banzhaf machtsindex Hoe is de macht verdeeld onder vier partijen als partij A 5 stemmen heeft, partij B 4 stemmen, partij C 3 stemmen en partij D 1 stem als een voorstel wordt aangenomen bij meerderheid? M.a.w. het quotum q ligt hier op 7. Hiervoor bekijken we de mogelijke coalities om het quotum te bereiken: AB AC BC ABC ABD ACD ABCD

9 stemmen 8 stemmen 7 stemmen 12 stemmen 10 stemmen 9 stemmen 13 stemmen

121

Partijen die in sommige van deze coalities niet echt nodig zijn, plaatsen we tussen haakjes (= worden weggestreept): AB AC BC (A) (B) (C) A B (D) A C (D) (A) (B) (C) (D) De Banzhaf machtsindex is nu de verhouding van het aantal keren dat een partij nog overblijft na wegstreping op het totaal aantal niet weggestreepte partijen. partij A B C D

aantal stemmen 5 4 3 1 quotum q = 7

machtsindex 4 / 10 3 / 10 3 / 10 0 / 10

m.a.w. partijen B en C hebben elk evenveel macht, partij D heeft geen enkele macht en is dus een dummy.

Door het quotum te veranderen, verandert ook de machtsindex. Hoe is de macht verdeeld onder vier partijen als partij A 20 stemmen heeft, partij B 15 stemmen, partij C 13 stemmen en partij D 6 stemmen als een voorstel wordt aangenomen bij tweederden meerderheid? M.a.w. het quotum q ligt hier op 36. Winnende coalities zijn: ABC ABD ACD A (B) (C) (D) partij A B C D


machtsindex 4 / 10 2 / 10 2 / 10 2 / 10

122

opmerkingen •

Naast de Banzhaf machtsindex bestaat er en tweede vaak gebruikte machtsindex, de machtsindex van Shapley-Shubik (Google maar even). Beide machtindexen wijken soms lichtjes van elkaar af maar geven allebei een realistisch beeld van hoe de macht eigenlijk is verdeeld.

•

Om het rekenwerk te vereenvoudigen kan je gebruik maken van het programma “windisc” uit de “Peanut-reeks” (math.exeter.edu/rparris/).

Bereken de Banzhaf machtsindex in volgende gevallen: (a) partij A B C D


machtsindex


machtsindex

aantal stemmen 9 7 7 4 4 quotum q = 18

machtsindex

aantal stemmen 9 9 7 7 4 quotum q = 20

machtsindex

(b) partij A B C D

(c) partij A B C D E

(d) partij A B C D E

123

(e) partij A B C D


machtsindex

C en D besluiten nu om een kartel te vormen, de nieuwe verdeling van het aantal stemmen wordt dus: partij A B C&D

aantal stemmen 10 8 9 quotum q = 14

machtsindex

Welke partij wint hierdoor het meest aan macht?

124

17de T3 Vlaanderen Symposium Oostende 18 & 19 augustus 2014 _____________________________________ Statistiek in de 2de graad met de TI-Nspire app Annelies Droessaert

_____________________________________

125

Beschrijvende statistiek in de 2de graad met de TI-Nspire app 1.

Van start Wanneer je de app opent krijg je een beginscherm waarin je linksboven verschillende icoontjes opmerkt. Wanneer je + aanduidt, krijg je een menu waarin je kan kiezen welk soort document je wil. Voor statistiek gaan we vooral in “lijsten & spreadsheet” werken om de bewerkingen op de lijst(en) zelf uit te voeren. Om de gegevens verder te verwerken en aanschouwelijk voor te stellen zullen we dan weer “Gegevensverwerking & statistiek” gebruiken.

2.

Gegevens invoeren Voorbeeldgegevens: Op het laatste examen werden de volgende resultaten behaald:

-

67

73

91

51

62

71

85

69

75

83

41

84

64

73

79

79

68

67

80

49

70

Kies in het venster hierboven voor “’Lijsten en spreadsheet”. In de bovenste rij kan je een naam intypen (dit doe je best altijd) en daaronder kan een eventuele formule komen. Vanaf dan kunnen alle gegevens onder elkaar ingegeven worden. Merk op: je krijgt automatisch een basisvenster onderaan, gelijkend op een klavier van een rekentoestel. Wil je enkel letters typen, dan kan dat door links bovenaan van dit venster “ABC” te activeren.

126

3.

Gegevens verwerken Gegevens sorteren

-

Druk op het “tools” symbool (zie afbeelding hieronder) en kies “Acties”, 6: Sorteren. Vul het venster dat verschijnt in zoals hieronder en druk op OK.

Absolute frequenties -

Geef in de 2de kolom de eventuele klassenmiddens in.

-

De absolute frequentie komt in de 3de kolom (AF). Deze kan je bekomen door gewoon alle gegevens te tellen of:

127

-

Activeer de formulecel en ga naar de hulpprogramma’s, waardoor het onderstaande dialoogvenster opent.

-

Ga naar catalogus, Kies dan eerst voor “lijst”, dan voor “logisch” en selecteer “frequency”. De syntax van de formule is de volgende: frequency(lijst, {eindwaardes van de klassen}). De TI-Nspire ziet de klassen als halfopen intervallen waarvan het eerste element er niet bijhoort en het laatste wel. Dit is omgekeerd als in sommige handboeken. 

Ga in de haakjes staan, druk op VAR en selecteer de eerste kolom

“resultaat”.

komma

en

Typ

geef

een

tussen

accolades de eindwaardes in van de verschillende klassen (behalve van de laatste). 

We

hebben

dus

in

het

formulevak: frequency(resultaat,{50,60,70,8 0,90}). 

Bevestig en alle frequenties zijn aangevuld.

Relatieve frequentie -

Noem de volgende kolom RF en typ in het formulevak “=af/21” (al dan niet vermenigvuldigd met100).

128

Opmerking: De resultaten worden standaard weergegeven in breukvorm. Je kan dit aanpassen door naar de instellingen te gaan (icoontje links boven) en dan de berekeningsmodus op “Benaderend” te zetten.

Cumulatieve frequenties Er zijn 2 mogelijkheden om de cumulatieve frequenties weer te geven. We gebruiken verder voor de caf en crf een verschillende methode:

Cumulatieve absolute frequentie -

Ga naar een volgende kolom en noem deze “caf”

-

Ga in het formulevak staan en druk op het boekje links boven, ga naar het onderdeel

“Lijst”,

“Bewerkingen”

kies en

daaruit selecteer

“Cumulatieve som lijst”. -

Druk op VAR, kies de juiste lijst (“af”) en bevestig. Cumulatieve relatieve frequentie

-

Ga naar een volgende kolom en noem deze “crf”.

129

-

Ga in de eerste cel staan van die kolom en typ “=” en selecteer vervolgens cel d1 (dit is de eerste RF).

-

In de cel daaronder typ je “=f1+d2”.

-

We kopiëren deze formule nu naar onder door de cel te activeren en vervolgens nogmaals aan te klikken. Kies dan kopiëren. Selecteer dan de cellen eronder en tik deze opnieuw aan. Kies dan plakken. Berekening van gemiddelde, mediaan, …

-

Tik “tools” aan en kies statistiekberekeningen. Neem nu statistieken voor één variabele.

-

Geef in hoeveel lijsten geanalyseerd moeten worden.

-

Kies in het volgende venster de lijst, de eventuele frequentielijst en dergelijke. Onderaan staat er in welke kolom de resultaten worden weergegeven. Standaard is dat altijd een lege kolom. Je kan dit natuurlijk aanpassen als je dat wenst.

-

Het resultaat verschijnt op je scherm:

130

4.

Het document benoemen

-

Tik op “home”

-

Tik dan “document 1” aan en vervang de naam.

5. -

Grafische voorstellingen Druk op + en kies “Gegevensverwerking en Statistiek”. Je krijgt onderstaande weergave.

-

Tik respectievelijk op x- en y-as en selecteer de juiste variabele.

131

-

Tik “tools” aan, kies “Plot-type” en maak een keuze. Histogram

-

Je krijgt onmiddellijk een histogram te zien wanneer je dit bij plottype hebt gekozen

-

Het

is

nu

mogelijk

om

aanpassingen

aan

te

brengen

door

bij

tools

histogrameigenschappen te selecteren.

132

Boxplot -

Ga in het “tools”-menu opnieuw naar “Plot-type” en selecteer “boxplot”.

-

Door de verschillende delen aan te tikken, kan je de boxplot verder bestuderen. Je krijgt dan de punten te zien, waardoor je aan leerlingen mooi kan tonen hoe de resultaten gespreid waren.

133

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

134

17de T3 Vlaanderen Symposium Oostende 18 & 19 augustus 2014 _____________________________________ Teaching aids for CAS-compliant lessons René Hugelshofer

_____________________________________

135

Teaching Aids for CAS-compliant Lessons René Hugelshofer (CH), [email protected] In this Workshop I will present you a series of booklets for students, which use CAS in a reasonable way. They cover the whole range of Algebra and Analysis for high schools. The main focus will be on the new book that you got in your folder. The Authors are Benno Frei, Robert Märki and myself. All the booklets can be downloaded for free as a PDF on the material server www.ti-unterrichtsmaterialien.net Final exam question Let me start with a task that was placed on the final exam of a vocational high school in Switzerland this year. It should be noted that vocational high schools in Switzerland usually have no Analysis. Problem 1 1.1 Find the equation of a parabola that goes through the point P(5,18) and is touching the straight lines 1: = + 4 and 2: = 4 − 2 1.2 The parabolas 1: = − 5 + 15 and 2: = − + 4 − 12 touch each other at point B. a) Calculate the coordinates of point B. b) Determine the equation of the common tangent of the two parabolas in point B. Student’s average achievement for this problem was 75% of the possible points. It was the best solved problem. The Students used our book “Quadratische Gleichungen und Funktionen” and they had a TI-Nspire CAS. This booklet was translated in Flemish by Guido Herweyers (cahier 27: Functies en vergelijkingen van de tweede graad). In this booklet you can find a method which I call “tangent method” and with which you can easily solve the above problem using CAS (see tns-file 1). In any of the 4 booklets we have new aspects that show how you can treat Mathematics in a more efficient way. The second book we produced was “Lineare Funktionen und Gleichungen” (Linear Functions and Equations). As in all the books the emphasis is on dynamic aspects. Therefore we start with functions and transformations of functions, rather than with equation solving. Usually teachers use the general form = + for solving most problems. We prefer the slope form =

⇔

− 1=

∙ ( − 1) ⇔

=

∙ ( − 1) + 1

With that form you can solve most problems with only one equation. E.g. if you have a given Point and the slope of a straight line you get at once its equation. Or if you have two points you have directly the slope. The first formula represents the important notion of “rate of change”. The second formula is the translation form of = ∙ through point (x1,y1). You will find in this book a lot of real world problems from different areas of application. Before I start with the new book let me mention two other booklets: Robert Märki: Differenzial und Integralrechnung (Analysis). An innovative introduction to Analysis based on the rate of change. Robert had presented this book last year at this Symposium. R. Burkart, R. Hugelshofer: Kombinatorik (combinatorics with a first introduction to probability). We usually treat this subject in Switzerland in the 9th school year.

136

The new book Our new book “Funktionen und Modelle, kontinuierlich und diskret” has 4 chapters: Powers, exponential and logarithmic functions, sequences and series and mathematical modelling of dynamic systems. Ch. 1: Powers: Often teachers drill students in the first high school year with all kind of term manipulations. Very motivating for students? We prefer to learn the necessary skills when they are needed. Therefore we have a lot of exercises by hand for potencies in the 1st chapter. Why by hand? Because taping in formulas for powers is time consuming and students often produce a big mess with the powers, because of the high position and the brackets. But students can verify the results with CAS as the following example shows: Problem 1.26 from the book (see tns-file 2) + 5 + 5)(

Find all solutions of the equation (

)

=1

Probably students will not find all the solutions, but by verifying with CAS (tns-file 2) they have to reconsider their solution and they learn much more by doing it themselves. In Ch. 1 you will also find a lot of exercises with powers of 10 (scientific or technical notation) and also transformations of power functions, including inverse functions. Ch. 2: This is classical stuff, but with a lot of real world exercises. Ch. 3 and 4: I want to concentrate on one aspect of these two chapters. How can you treat limited and logistic growth in a comprehensive way by introducing a limiting factor in linear and exponential functions? Damped linear and exponential functions (resp. arithmetic and geometric sequences) Linear and exponential growth has a rate of change which is constant or proportional to the actual value. In terms of sequences: =

( )

( (

) )

( )

=

( (

( ) = ( − 1) +

) )

=

∙ ( − 1)

( ) = ( − 1) + ∙ ( − 1) = (1 + ) ∙ ( − 1)

These sequences are not useful to describe growth processes as they tend to infinity. Therefore we introduce a damping factor with limit G: Limited Growth ( ) = ( − 1) +

(

)

= 1−

(

)

Logistic growth ∙ (1 −

(

)

)

( ) = (1 + ) ∙ ( − 1) ∙ (1 −

(

)

)

Take G=1: ( ) = ( − 1) +

∙ (1 − ( − 1))

( ) = (1 + ) ∙ ( − 1) ∙ (1 − ( − 1))

The corresponding iteration function is ( )=

+

∙ (1 − )

( ) = (1 + ) ∙

∙ (1 − )

Problem 3.47 from the book (tns-file 4) With the logistic growth you can get convergence to 1, periodic or chaotic behavior depending on the factor k. The reason for the different behavior can be seen nicely in the Cobweb presentation (fixed point theorem).

137

We know this behaviour from the Feigenbaum diagram (factor k instead k-1). The same can be done with the limited growth (problem 3.46). In Ch. 4 you can find a modern treatment of dynamic modelling. First the modelling with adequate functions and then modelling of dynamic systems. You get a modelling system Dynasim for free. It’s programed in Java and therefore needs no installation on your PC. And it is easy to handle (it will be improved in the near future and it is planed to translate it to LUA). For time reason we make a simple example, that you can also do with a spreadsheet (not easy for students). Just to show you that dynamic systems programs are quite easy to handle. Such programs are used more and more in Science. The advantage of such programs is, that you can see visualy at once when different dynamic problems have the same structure. Problem (Example 4, p 103 in the book) In a small pond there is a population of 500 fish (it could be any other population) which is increasing by 10% per year (birthrate). The capacity of the pond, confined by food, is 1000 fish. The deathrate is 3% of the actual population. Anglers want to use the pond for fishing. How does the fish population react on different catch quotas? See file 4 (start first the program Dynasim)

138

17de T3 Vlaanderen Symposium Oostende 18 & 19 augustus 2014 _____________________________________

Wiskunde in een economische context Dominiek Ramboer

_____________________________________

139

Het maximaliseren van de winst De winst wordt verkregen door de totale omzet (TO) te verminderen met de totale kostprijs (TK). De totale kostprijs voor de productie van x eenheden van een eerste goed en y eenheden van een tweede goed wordt gegeven door: TK  6 x  4 y  525 . Deze totale kosten kunnen opgesplitst worden in drie delen: de kostprijs om x eenheden van goed 1 te produceren, de kostprijs om y eenheden van goed 2 te produceren en vaste kosten onafhankelijk van de te produceren goederen, zoals afschrijvingen van machines en gebouwen. De verkoopprijs, per eenheid, van een goed is afhankelijk van het aantal geproduceerde eenheden van dit goed. Zo stellen we dat de verkoopprijs van goed 1 en goed 2 gegeven worden door px  36  x en p y  44  y . We nemen daarbij aan dat alle geproduceerde goederen verkocht worden. Vragen: a) Stel het voorschrift op van de winstfunctie W  x, y  . b) Voor welke goederenbundels (x,y) wordt er effectief winst gemaakt? Construeer dit gebied. Wanneer is de winst maximaal? c) Bereken de winst (verlies) voor de bundels (10,20) en (20,10). Duid die punten aan in het xy-vlak. d) Stel dat men eist dat er van beide goederen evenveel geproduceerd moet worden; wat is dan de maximale winst? Bepaal die door W  x, y  te maximaliseren. Voor welke goederenbundel wordt die winst bereikt. Leg uit hoe je die bundel ook uit een grafiek kunt bepalen. e) Zelfde vraag als (d) met y  2 x en algemeen voor y  mx . f) Toon grafisch aan dat als het aantal eenheden van de eerste soort het dubbel moet zijn van dat van de tweede soort er geen winst kan worden gemaakt. Toon evenzo aan dat er geen winst kan zijn als y  5x . g) Bereken algebraïsch voor welke waarden van m er winst mogelijk is als y  mx . h) Bepaal de verzameling van de punten zoals A, B, C, … (punten van maximale winst als y  mx ). Oplossing: a) De totale omzet: TO  x  px  y  p y

 x   36  x   y   44  y  De totale kostprijs: TK  6 x  4 y  525

140

De winst is het verschil tussen TO en TK: W  x, y   TO  TK  x  36  x   y  44  y    6 x  4 y  525   x 2  y 2  30 x  40 y  525

b) Eerste oplossingsmogelijkheid: Onderstel x een vast getal tussen 0 en 36. Dan krijgen we een vergelijking van de vorm:

W ( x, y )   y 2  40 y    x 2  30 x  525    C

  y  40 y  C We bepalen het maximum van deze tweedegraadsfunctie. Het maximum wordt verkregen als: 40 y  20 . 2   1 2

Deze waarde is onafhankelijk van de waarde van x. Na het invullen van de waarde van y gelijk aan 20, krijgen we opnieuw een tweedegraadsfunctie in de onbekende x. Het voorschrift van die functie wordt: W  x    x 2  30 x  125 . Deze functie bereikt een maximum voor de x-waarde

x

30  15 . 2   1

Besluit: De winst wordt maximaal voor 15, 20  .

141

Tweede oplossingsmogelijkheid: Als we het voorschrift verder omvormen krijgen we het volgende:

 x 2  y 2  30 x  40 y  525    x 2  30 x  225  ( y 2  40 y  400)  100 2 2    x  15    y  20   100    2 2  100   x  15    y  20    

De laatste uitdrukking gelijk aan 0 levert een cirkel met middelpunt (15,20) en straal 10. Laat ons eens de situatie simuleren. - We creëren twee lijsten L1 en L2 met willekeurige gehele getallen tussen 0 en 36 enerzijds en 0 en 44 anderzijds. Op die manier genereren we verschillende mogelijkheden voor de aantal geproduceerde goederen x en y. TI-84 Plus C

TI-Nspire

142

- We willen enkel de combinaties van x en y afbeelden waarbij winst wordt gemaakt. Daarom creëren we een lijst L3 waarin enkel twee waarden voorkomen: 0 voor geen winst en 1 voor winst. TI-84 Plus C

TI-Nspire

- We willen enkel dat de punten (x,y) worden geconstrueerd waarbij winst wordt gemaakt. Daarom vermenigvuldigen we de lijsten L1 en L2 van de willekeurige x- en y-waarden met de laatst gemaakte lijst L3 en bewaren de resultaten in de lijsten L4 en L5 TI-84 Plus C TI-Nspire

TI-84 Plus C

TI-Nspire

143

- Aan de hand van een scatterplot van de lijsten L4 en L5 kunnen we deze punten afbeelden. TI-84 Plus C

TI-Nspire

- We zien dat de punten bij benadering binnen een cirkel liggen. Daarom tekenen we een cirkel met 2nd DRAW circle(. Bepaal eerst het middelpunt door de cursor naar de plaats te brengen en op ENTER te drukken. Daarna wordt de straal vastgelegd door de cursor te verplaatsen en op ENTER te drukken. TI-84 Plus C

TI-Nspire

144

TI-84 Plus C

TI-Nspire

Het is duidelijk dat W  x, y  maximaal 100 is en wel in het punt (15,20). Men kan dit meetkundig interpreteren. De uitdrukking tussen de rechte haken is het kwadraat van de afstand van een punt (x,y) en het punt (15,20). Naarmate de afstand groter wordt, vermindert de winst om uiteindelijk nul te worden voor de punten die op een afstand 10 van het punt (15,20) liggen. Die punten vormen een cirkel met middelpunt (15,20) en straal 10. Binnen die cirkel is er winst en buiten de cirkel is er verlies. Voor punten van de cirkelomtrek is er een break-even situatie, noch winst noch verlies. c) Het punt (10,20) ligt binnen de cirkel. Dit levert een winst op van 100   25  0   75 . Het punt (20,10) ligt buiten de cirkel. Dit levert een verlies op van 100   25  100   25 . TI-84 Plus C

TI-Nspire

145

TI-84 Plus C

TI-Nspire

d) Als y  x dan wordt de winstfunctie gegeven door W  x    2 x 2  70 x  525 . Dit is de vergelijking van een bergparabool en levert dus een maximum. De winst wordt 70  17,5 . De winst bedraagt dan maximaal voor x  2  (2) 100   2,52  ( 2,5) 2   87,5 .

Meetkundig kan men dit als volgt zien. Teken de rechte met vergelijking y  x . Daar het middelpunt van de cirkel het punt is met maximale winst, komt het er op aan om het punt op de rechte en binnen de cirkelomtrek te vinden dat het dichtst bij het middelpunt van de cirkel ligt. Dit betekent dat A het voetpunt van de loodlijn uit het middelpunt C op de rechte y  x moet zijn. Dit punt A heeft coördinaten (17,5;17,5)

y  x want de coördinaten zijn oplossing van het stelsel:   y  35  x TI-84 Plus C

TI-Nspire

146

TI-84 Plus C

TI-Nspire

e) Voor y  2 x heeft de loodlijn door het middelpunt C van de winstcirkel als

1 55 vergelijking y   x  . Het snijpunt als coördinaten (11,22). 2 2

Voor y  m  x wordt de vergelijking van de loodlijn gegeven door

 15  20m 20m 2  15m  1 15  20m x , het snijpunt heeft als coördinaten  ,  2 m m m2  1   m 1 1 f) Teken de rechte met vergelijking y  x . We zien dat deze rechte geen snijpunten 2 heeft met de winstcirkel en volledig buiten de cirkel ligt. Er kan dus nooit winst worden gemaakt. Analoog voor y  5x . y

147

TI-84 Plus C

TI-Nspire

g) We bepalen de waarden van m waarvoor we een break-even operatie krijgen. Dit betekent dat de rechte y  m  x een raaklijn aan de winstcirkel moet zijn of twee samenvallende snijpunten met de winstcirkel moet hebben.

 x  15    mx  20  2

2

 100  1  m 2  x 2   30  40m  x  525  0

D     30  40m    4  1  m 2   525 2

 500m 2  2400m  1200 Daar de discriminant D nul moet zijn, kunnen we de voorwaarde vereenvoudigen tot

5m2  24m  12  0 . Deze vergelijking heeft twee oplossingen 0,567 en 4,233. Controleer dat de rechten y  m  x met m=0,567 en m= 4,233 de raaklijnen zijn aan de winstcirkel. Dus de voorwaarde voor winst wordt 0,567 < m < 4,233. h) Die punten moeten gelegen zijn op de rechte met vergelijking y  m  x en zo dicht mogelijk bij het middelpunt C van de winstcirkel. De kortste afstand tot dit punt is de loodrechte afstand. M.a.w. die punten zijn de voetpunten van de loodlijn door het punt C op de rechten y  m  x .

Zij A(x,y) zo’n voetpunt dan is de driehoek AOC rechthoekig in A en geldt dus de stelling van Pythagoras.

OC  OA  AC  152  202  x 2  y 2   x  15   y  20  2

2

2

2

2

 2 x 2  2 y 2  30 x  40 y  0  x 2  y 2  15 x  20 y  0   x  7,5    y  10   156, 25 2

2

Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt (7,5;10) en straal 12,5. Deze

148

cirkel snijdt de winstcirkel en dus het deel van de cirkel binnen de winstcirkel is de gevraagde meetkundige plaats. Controle (grafisch): - Daar parametervoorstellingen en functies grafisch niet gecombineerd kunnen met de TI-84 Plus, zullen we de cirkels afbeelden als scatterplots. Daarvoor moeten we de nodige lijsten generen: lijst L1 =seq(X,X,0,2π,0.13), lijst L2=15+10*cos(L1), lijst L3=20+10*sin(L1), lijst L4=7.5+12.5*cos(L1) en lijst L5=10+12.5*sin(L1)

TI-84 Plus C

TI-Nspire

1 15  20m x in met m m m als parameter en de vergelijking van de rechte door de oorsprong en het middelpunt 4 van de winstcirkel y  x . 3

- We voeren de vergelijkingen van de rechten y  mx en y  

149

TI-84 Plus C

TI-Nspire

De eerste keer dat we de grafiek vragen is de waarde van de parameter m nog gelijk aan nul. Indien de parameter een waarde krijgt, wordt de rechte en de loodlijn door het middelpunt C van de winstcirkel op die rechte getekend. - We bepalen nu de coördinaten van het snijpunt. TI-84 Plus C

TI-Nspire

150

TI-84 Plus C

TI-Nspire

- De coördinaten van de snijpunten voldoen aan de vergelijking van de gevonden cirkel.

151

Prijsaanpassingsmodel Probleem: Een marktmodel voor een economisch goed, gaat uit van de volgende hypothesen:  De vraagfunctie q(p) en de aanbodfunctie a(p) , met p de prijs, worden gegeven door: q  p   1  p met 0  p  1  2  a p 2 p     De prijs wijzigt volgens het vraagoverschot of

dp  q  p  a  p dt

Vraag: 1

Bepaal de prijs p in functie van de tijd t.

2

Ga na of de algemene oplossing stabiel is en zo ja, bepaal de evenwichtswaarde. Vergelijk die waarde met de waarde voor statisch evenwicht.

3

Teken en interpreteer het fasediagram.

Oplossing: 1

Uit de opgave kunnen we schrijven:

dp  1  p   2 p 2 dt Deze differentiaalvergelijking van de eerste orde is oplosbaar door scheiding van de variabelen dp dp   dt   2  t  C met C   2 p  p 1 2 p  p 1 2

Door splitsing in partieelbreuken vinden we: 1 2 1   2 2 p  p  1 3  2 p  1 3  p  1

152

waardoor

 2p

2

dp 1 2 p 1  ln  C met C   p 1  p 1 3

Uiteindelijk levert dit:

2 p 1  C  e 3 t . p 1

e3t  C 1  C  e 3 t Bij oplossing naar p bekomen we: p  t   of 3t 2  C  e 3 t 2e  C Opmerking: Er blijft nog een singuliere oplossing over p  t   1 , maar deze valt buiten het

interval [0,1] voor de waarde p (zie opgave). We houden dus verder geen rekening met deze oplossing. De algemene oplossing is: p  t   2

1  C  e 3t e3t  C = met C   2  C  e 3t 2e3t  C

Is de algemene oplossing een stabiele oplossing? Een oplossing is stabiel als lim p  t  eindig is en onafhankelijk van de integratieconstante t 

C. lim p  t   lim t 

t 

1  C  e 3t 1  2  C  e 3 t 2

Deze waarde van de limiet is eindig en onafhankelijk van de integratieconstante C.

1 De algemene oplossing is een stabiele oplossing met als dynamische evenwichtswaarde . 2 Statisch evenwicht betekent dat de vraag precies gelijk is aan het aanbod. Het statisch evenwicht is de prijs waarvoor de vraag en het aanbod in evenwicht zijn: q  p   a  p  .

153

Het statisch evenwicht is de x-coördinaat van het snijpunt van de grafieken van de vraag en het aanbod.

TI 84 Plus C

TI-Nspire CX CAS

Bemerk dat de vraagfunctie dalend is en de aanbodfunctie stijgend. Dit betekent dat als de prijs stijgt, de vraag daalt en het aanbod stijgt. Algebraïsch: 1  p  2 p 2  2 p 2  p  1  0 . Deze vergelijking heeft twee oplossingen p  1 en

p

1 . Enkel de laatste oplossing wordt, wegens de beginvoorwaarden, weerhouden. 2

154

Besluit: Het statisch en dynamisch evenwicht zijn in dit geval gelijk aan elkaar. De waarde 1 is . 2 3 Construeer de grafieken van de prijsfunctie voor verschillende waarden van de integratieconstante C (verschillende beginwaarden p0). Uit de algemene oplossing vinden we (voor t=0) dat: p0 

C 1 2 p 1 . Daar of C  0 2C p0  1

 1 p0   0,1 zal C   1,  . Kies voor C de waarden -1, -0,75; -0,5;-0,25; 0; 0,125; 0,25,  2 0,375 en 0,5. TI-84 Plus C TI-Npsire CX CAS

Voor C   1, 0  Alle grafieken starten vanaf een punt op de p-as tussen 0 en 0,5. Ze stijgen allemaal 1 naar de gemeenschappelijke horizontale asymptoot p  (de waarde van het 2 dynamisch evenwicht).

155

 1 Voor C  0,   2

Alle grafieken starten vanaf een punt op de p-as tussen 0,5 en 1. Ze dalen allemaal 1 naar de gemeenschappelijke horizontale asymptoot p  (de waarde van het 2 dynamisch evenwicht).

Interpretatie: Wat de beginprijs ook is, de prijs evolueert steeds naar dezelfde waarde 0,5 (asymptotisch gedrag). Dit is nu net wat wordt bedoeld met de stabiliteit van een oplossing.

Fasediagram of faselijn Als een differentiaalvergelijking van de vorm y '  f  y  is, dan kunnen we y’ tekenen in functie van y. Dergelijke grafiek heet een fasediagram of faselijn. In ons probleem wordt dit: p '  2 p 2  p  1

TI-84 Plus C

TI-Npsire CX CAS

1 , daar zal geen prijsverandering optreden (stabiele 2 oplossing, evenwichtswaarde). De evenwichtsprijs wordt onmiddellijk bereikt.

We zien dat p '  0 voor p 

156

1 dan geldt dat p '  0 , waaruit kan worden besloten dat de prijs zal stijgen 2 naar de evenwichtsprijs.

Als p 

1 dan geldt dat p '  0 , waaruit kan worden besloten dat de prijs zal dalen 2 naar de evenwichtsprijs. Als p 

Door pijltjes te plaatsen op het fasediagram kan worden aangeduid wat het gedrag rond de evenwichtswaarde is. Bij p '  0 plaatsen we een pijltje naar rechts en voor

p '  0 plaatsen we een pijltje naar links. Wijzen de pijltjes naar elkaar toe rond een evenwichtswaarde, kunnen we spreken van een stabiel evenwicht, wijzen de pijltjes van elkaar weg, dan hebben we een onstabiel evenwicht. Een fasediagram of faselijn kan ons informatie geven over het pad van p, zonder dat het pad expliciet gekend is.

TI-84 Plus C

TI-Npsire CX CAS

Opgaven: 1

Voor de prijs p van een economisch goed geldt de volgende vergelijking: p '  8 p  2 p 2 . Bepaal de evenwichtswaarde(n) voor de prijs p. Wat kun je vertellen over de stabiliteit?

2

Het prijsaanpassingsmodel van Evans. Stel dat de vraag- en aanbodfunctie lineair zijn en gegeven worden door:

 q  p       p met  ,  ,  ,   0  a  p       p en de prijsverandering in functie van de tijd t is recht evenredig met het vraagoverschot:

dp    q  p   a  p   met  >0 dt Toon aan dat de statische evenwichtsprijs gelijk is aan pe 

  .  

157

Toon aan dat de algemene oplossing gegeven wordt door

p t   C  e

    t

 pe met C  

Toon aan dat de dynamische evenwichtswaarde samenvalt met de statische waarde. Teken het fasediagram. Welke grafiek verkrijg je?

158


Lineaire regressie: een dom receptje of echte wiskunde ? Jan Vermeylen

_____________________________________

159

Lineaire Regressie Een dom receptje ? Of echte wiskunde ?

Lineaire functies • Leerplan tweede graad • Geen lineaire regressie o Wiskundige achtergrond “te moeilijk”

Derde graad • Lineaire regressie als keuzeonderwerp statistiek

•Toepassingsgericht •Statistische geletterdheid • Eventueel met bewijs KL_KW

160

Toepassingsgericht De tweede wet van Newton

F  m.a y  m.x

Statistische geletterdheid http://www.buzzfeed.com/kjh2110/the‐10‐most‐bizarre‐correlations

Tweede graad •Eerstegraads fcts & vgl •Kwadratische fcts & vgl

161

Voorbeeld : lineaire uitzettingscoëfficiënt Een metalen staaf wordt opgewarmd vanuit kamertemperatuur en zijn lengte l wordt zo nauwkeurig mogelijk gemeten bij verschillende temperaturen t,

Temperatuur °C = t

20

30

40

50

60

Lengte mm = l

102,34

103,89

108,91

109,01

112,75

Oriënterende vragen Temperatuur °C = t

20

30

40

50

60

Lengte mm = l

102,34

103,89

108,91

109,01

112,75

Wat was de lengte van de staaf bij 37,5° ? Wat was de lengte bij 10° ? Wat zal de lengte zijn bij 80° ? Wat is de lineaire uitzettingscoëfficiënt van het metaal ?

Grafisch onderzoek Uitzetting Metalen Staaf o.i.v. Temperatuur 115 110 105

L

100 95 20

30

40

y  y1  m.( x  x1 ) y  y1 m 2 x2  x1

50

60

Temp Lengte

30

40

103,89 108,91

Wat was de lengte van de staaf bij 37,5° ?

162

Grafisch onderzoek Uitzetting Metalen Staaf o.i.v. Temperatuur 115 110 105

L

100 95 20

30

40

50

60

• Wat was de lengte van de staaf bij 10° ? • Wat zal de lengte zijn bij 80° ? • Wat is de lineaire uitzettingscoëfficiënt van het metaal ?

Trendlijn 40 60  30 0.2684 * t 50 96.824

Temperatuur °C = t

20

Lengte mm = l

102,34

103,89

108,91

109,01

112,75

• Wat was de lengte van de staaf bij 10° ?

  0.2684 *10  96.824  99.508

Trendlijn Temperatuur °C = t

20

Lengte mm = l

102,34

40 60  30 0.2684 * t 50 96.824

103,89

108,91

109,01

112,75

• Wat zal de lengte zijn bij 80° ?

  0.2684 *80  96.824  118.296

163

Trendlijn   0.2684 * t  96.824

• Wat is de lineaire uitzettingscoëfficiënt van het metaal ?

  0.2684 * t  96.824

Is dat nu wiskunde ?

Hoe berekent de computer de trendlijn ?

164

Een eenvoudiger voorbeeld X 1 2 3 5

Y 3 2 4 5

Onderzoek van de trendlijn

Definities Puntenwolk

“Geobserveerde” waarde

“Voorspelde” waarde

165

Eigenschap van de trendlijn Neem het gemiddelde van de waarden x. Wat is de “voorspelde waarde” van dit gemiddelde ?

x is het gemiddelde van xi y  a.x  b is de vgl van de trendlijn

a.x  b  ?

Eigenschap van de trendlijn a.x  b  ?

Eigenschap van de trendlijn

a.x  b  y

166

Eigenschap van de trendlijn a.x  b  y De trendlijn gaat door het punt  x, y 

y  y  a.( x  x)

Definities Puntenwolk

“Geobserveerde” waarde

“Voorspelde” waarde

Residu

Definitie Residu = Observatie ‐ Voorspelling

ei  yi   yi

167

Trendlijn “Best passende” rechte “Zo klein mogelijke” residu’s

ei  yi   yi

Criterium van de kleinste kwadraten “Best passende” rechte “Zo klein mogelijke” residu’s Minimaliseer

e

2 i

Hoe de trendlijn berekenen ?

y  y  a.( x  x) ei  yi   yi ei  yi  ( y  a.( x  x))

ei  ( yi  y )  a.( x  x))

168

Criterium van de kleinste kwadraten Minimaliseer

e

2 i

 ei2   ( yi  y)  a.( x  x)) 

2

Criterium van de kleinste kwadraten Minimaliseer

e

2 i

  ( yi  y ) 2  2.a. ( yi  y )( xi  x)  a 2 . ( xi  x) 2

Criterium van de kleinste kwadraten   ( yi  y ) 2  2.a. ( yi  y )( xi  x)  a 2 . ( xi  x) 2

is minimaal voor :

a

 ( y  y)( x  x)  ( x  x) i

i

2

i

169

Besluit Voor de best passende rechte y = a.x + b door de puntenwolk (xi , yi) geldt : a

 ( y  y)( x  x)  ( x  x) i

i

2

i

b  y  a.x

Jan Vermeylen

[email protected]

http://be.linkedin.com/pub/jan-vermeylen/39/2b7/a41/

170


Wiskunde met “machientjes” Bert Wikkerink

_____________________________________

171

Wiskunde met machientjes Inleiding. Wiskunde met machientjes gaat over hulpmiddelen bij het tekenen van kegelsneden. We gaan daarbij uit van de instrumenten die ontwikkeld zijn door Frans van Schooten, een Nederlandse wiskundige uit de 17e eeuw. In deze workshop onderzoeken we eerst de instrumenten zelf. Vervolgens bewijzen we dat de getekende figuren ook werkelijk kegelsneden zijn. Tenslotte gaan we de instrumenten (re)construeren m.b.v. de software van TI-Nspire.

De kegelsnede Een kegelsnede is de figuur die ontstaat als je een kegel doorsnijdt met een vlak.

In de figuur hiernaast zie je een kegel met een vlak. De vorm van de doorsnede is afhankelijk van de plek en de stand van het vlak. Door het vlak te verschuiven of te draaien ontstaat op deze manier een lijn, een parabool, een ellips of een hyperbool. De vraag is hoe we die vormen nauwkeurig kunnen tekenen. Voor de verschillende kegelsneden bestaan ook meetkundige definities. Deze definities gebruikte Frans van Schooten om zijn instrumenten te maken.

172

Definities:

-

Parabool:

Een parabool is een verzameling punten die gelijke afstanden hebben tot een gegeven punt en een gegeven lijn. In de figuur hiernaast geldt voor elk punt P op de parabool: PF  d ( P, l ) .

-

Ellips:

Een ellips is de verzameling punten waarvoor geldt dat de som van de afstanden tot twee gegeven punten constant is. In de figuur hiernaast geldt voor elk punt P van de ellips: PF1  PF2 is constant.

-

Hyperbool:

Een hyperbool is een verzameling punten waarvoor geldt dat het verschil van de afstanden tot twee gegeven punten constant is. In de figuur hiernaast geldt voor elk punt P van de hyperbool: PF1  PF2 is constant.

Bovenstaande definities kun je meetkundig noemen. Soms is het voor een bewijs handig om een analytische definitie te gebruiken. Voor ellips geldt ook het volgende:

Neem het middelpunt van de ellips als oorsprong. Noem het snijpunt met de x-as A en het snijpunt met de y-as B.

Dan geldt voor een punt P ( x, y ) op de ellips: x2 y 2   1 , waarbij OA  a en OB  b . a2 b2

173

Voordat we met de instrumenten beginnen verkennen we eerst de verschillende vormen op speciaal papier. Op dit papier staan twee groepen concentrische cirkels met een vaste toename van de straal. Hierop is het eenvoudig punten te tekenen met een van bovenstaande eigenschappen. Op deze manier ontstaat dan een ellips, parabool of hyperbool.

We zullen nu verschillende tekeninstrumenten onderzoeken. We beginnen met relatief eenvoudig te maken “machientjes” voor ellipsen (ellipsografen).

Ellipsograaf 1: Het apparaat bestaat uit twee korte latjes van gelijke lengte en twee langer “gespleten” latjes ook van gelijke lengte. Als je twee aan elkaar grenzende hoekpunten vast houdt en de andere hoekpunten laat draaien beschrijft het snijpunt van de twee langste lijnstukken een (deel van een) ellips.

Bewijs: AB  CD , AC  BD en BC  BC Dus: ABC  DCB (ZZZ ) BAP  CDP , APB  DPC en AB  CD Dus: ABP  DCP (ZHH )

Hieruit volgt: BP  CP En dus AP  BP  AP  CP  AC is constant

174

Ellipsograaf 2: Als het bovenste latje rondgedraaid wordt bewegen twee houtjes door twee sleufjes (zie foto). Het uiteinde van het latje beschrijft dan een ellips.

Bewijs: Stel Q is het snijpunt van de verticale lijn door P en de horizontale lijn door B. Noem OB  c BQP is rechthoekig en dus geldt de stelling van

Pythagoras: x 2  ( y  c) 2  BP 2

………(1)

y c y  BP AP 2 y  BP y  BP 2 2 en dus ook ( y  c)  Hieruit volgt: y  c  ………..(2) AP AP 2 y 2  BP 2  BP 2 (1) en (2) combineren geeft: x 2  AP 2 x2 y2  1 Links en rechts delen door BP 2 geeft: BP 2 AP 2 BQP en ARP zijn gelijkvormig, dus geldt:

Ofwel:

x2 y 2   1 , met a  BP en b  AP a2 b2

175

Ellipsograaf 3: Als je het korte stokje ronddraait en het andere stokje over de lange lat laat slepen beschrijft het gaatje een ellips.

Bewijs O is de oorsprong. Noem OB  c en OC  d Dan is AB  c en AC  d Punt P zit op een vaste afstand van A, dus OB  c AP  k  c voor een bepaalde waarde van 0  k  1. BCA en PQA zijn gelijkvormig, dus QP  k  d

Nu is x  OA  QA  2  d  k  d  d  ( 2  k )

x2 x en dus d 2  ……….(1) (2  k ) 2 2k Verder geldt in PQA : AQ 2  PQ 2  AP 2 , dus Dus d 

(k  d ) 2  y 2  (k  c ) 2 Þ k 2  d 2  y 2  k 2  c 2 Þ d 2 

y2  c 2 …………(2) 2 k

(1) invullen in (2) geeft: x2 y2 x2 y2 2 Þ c    1 (2  k ) 2 k 2 c 2  (2  k ) 2 c 2  k 2 c en k zijn constanten, dus dit is te schrijven als:

x2 y 2   1 met a  c  ( 2  k ) en b  c  k a2 b2

en dus beschrijft punt P een ellips.

176

De instrumenten van Frans van Schooten In onderstaande afbeeldingen zien we instrumenten die Frans van Schooten in de 17e eeuw heeft gemaakt en waarmee kegelsneden getekend kunnen worden.

De ellipsograaf:

De parabolograaf:

De hyperbolograaf:

De instrumenten van Van Schooten zijn wat lastiger te maken. In de afbeelding hiernaast staat een model waarmee we alle drie bovengenoemde kegelsneden kunnen tekenen. Dat dit ook werkelijk kegelsneden zijn is relatief eenvoudig te bewijzen.

177

De ellipsograaf (Frans van Schooten): Als punt C ronddraait beschrijft punt P een ellips. Bewijs: DBEC is een ruit, dus DE is middelloodlijn van CP. P ligt op DE, dus CP = BP. Dat betekent dat AP + BP = AP + CP = AC En dus geldt: AP + BP is constant. Hieruit volgt dat punt P een ellips beschrijft.

De parabolograaf (Frans van Schooten): Als punt A over de horizontale lijn verschuift beschrijft punt P een parabool. Bewijs: BACF is een ruit, dus BC is middelloodlijn van AF. P ligt op BC, dus FP = AP. Dat betekent dat de afstand van P tot F gelijk is aan de afstand van P tot de horizontale lijn. Hieruit volgt dat punt P een parabool beschrijft.

De hyperbolograaf (Frans van Schooten): Als punt A ronddraait beschrijft punt P een hyperbool. Bewijs: ACFD is een ruit, dus CD is middelloodlijn van AF. P ligt op CD, dus FP = AP. Dat betekent dat BP - FP = BP + AP = BP En dus geldt: BP - FP is constant. Hieruit volgt dat punt P een hyperbool beschrijft.

178

Kegelsneden en TI-Nspire De meetkunde toepassing is een krachtige omgeving om kegelsneden te construeren. Natuurlijk is er de menu-optie voor de verschillende kegelsneden. Maar je kunt ook zelf een constructie maken. Hieronder staan drie voorbeelden waarbij de kegelsnede is geconstrueerd als meetkundige plaats.

Parabool als meetkundige plaats van punten P met gelijke afstand tot een punt (F) en een lijn (r).

Ellips als meetkundige plaats van punten P met gelijke afstand tot een cirkel en een punt (F) binnen de cirkel.

Hyperbool als meetkundige plaats van punten P met gelijke afstand tot een cirkel en een punt (F) buiten de cirkel.

In de workshop gaan we meer voorbeelden bekijken van kegelsneden met de TI-Nspire.

179

17 de T 3 Vlaanderen Symposium

Recommend Documents