FELADATOK FIZIKA tantárgyból a Kertészmérnök BSc szak levelező tagozatos hallgatói számára 2015/16. I. félév 1. Két város közötti autóbuszjáraton a buszok átlagsebessége egyik irányban 40 km/h, a másik irányban 60 km/h. Mekkora az átlagsebesség, egy teljes fordulót figyelembe véve? 2. Egy gépkocsi útjának harmadrészét 40 km/h sebességgel, a fennmaradó út felét 50 km/h sebességgel tette meg. Mekkora sebességgel mozgott az út harmadik részén, ha a teljes útra számított átlagsebessége 55 km/h volt? 3. Milyen mélyre kell a víz alá merülni, hogy az ott mérhető nyomás háromszorosa legyen a normál légnyomás 105 Pa értékének? A víz sűrűsége 1000 kg/m3, g=10 m/s2. 4. Mekkora erővel nyomja a vízzel telt 10 cm alapsugarú, 20 cm fedősugarú 30 cm magasságú csonkakúp alakú edény alját a benne levő víz? 5. Hidraulikus emelő munkahengerének átmérője 60 cm, a nyomóhenger átmérője 6 cm. Mekkora erőt kell kifejteni a nyomóhengerre, ha 1 tonnás terhet emel a szerkezet? 6. Uszályhajó merülési mélysége 90 cm-rel növekedett. Hány m3 1,6 kg/dm3 sűrűségű homokot raktak rá? A hajó alapterülete 374 m2. 7. Egy 40 cm állandó vastagságú jégtábla vízből kiálló részének magassága felére csökken, ha egy 75 kg tömegű ember lép a közepére. Mekkora a jégtábla vízszintes felülete? 8. Legalább mekkora sebességgel áramlik a porlasztó szűkületében a levegő, ha a benzintartályban lévő benzin felszíne 20 cm-re van a szűkület alatt, és a porlasztó felszívja a benzint? (A benzin sűrűsége 0,7 g/cm3, a levegőé 1,3 kg/m3.) 9. Egy locsolócsőből, melynek keresztmetszete 3 cm2 a folyadék 2 m/s sebességgel folyik ki. Mekkora keresztmetszetre kell leszűkíteni a csövet, ha azt akarjuk, hogy 5 m/s sebességgel áramoljon ki a folyadék? 10. Becsüljük meg, hogy mekkora erő igyekszik letépni a tető egy négyzetméterét, ha 80 km/h sebességű szél fúj? 11. Igen széles edényben, melynek alján 1 mm sugarú lyuk van 1 dm magasan vízoszlop van. Az edényben az utántöltés miatt a vízmagasság mindig 1 dm! Mennyi víz folyik ki a csőből 1 perc alatt, ha a vizet ideális folyadéknak tekintjük? 12. Mekkora a szedimentációs sebessége 0,001 mm átmérőjű olajcseppnek levegőben, ha az olaj sűrűsége 0,93 g/cm3, a levegő viszkozitása pedig 1,7·10-5 Pas? 13. 0,9 kg/dm3 sűrűségű olajba ejtett 4 mm átmérőjű, 2,4 kg/dm3 sűrűségű golyó 2 cm/s maximális sebességet ért el. Mekkora az olaj viszkozitása? Mennyi az ülepedéshez tartozó Reynolds szám? 14. Legfeljebb mekkora térfogatú cseppeket képezhet a víz egy 2 mm átmérőjű kapilláris cső alján? (A víz sűrűsége 1000 kg/m3, a felületi feszültsége 0,073 N/m.) 15. 0,8 g/cm3 sűrűségű, 22·10-3 N/m felületi feszültségű alkoholból ugyanakkora térfogatot cseppentettünk ki, mint vízből, melynek felületi feszültsége 73·10-3 N/m. Hányszor több csepp képződik az alkoholból, mint a vízből? Hányszor nagyobb 1 vízcsepp tömege, mint egy alkoholcseppé? 1
16. Egyfajta agyagos talajban azt találták, hogy a víz a hajszálcsövesség következtében 60 cm-re emelkedett. Mekkora a vizsgált talaj kapillárisainak átlagos átmérője ezen adatok alapján? (A víz felületi feszültsége 73·10-3 N/m, illeszkedési szöge zérus.) 17. Mennyi hő kell ahhoz, hogy 20 dkg tömegű -10 oC hőmérsékletű jeget megolvasszunk? A jég fajhője 2100 J/kgK, olvadáshője 335000 J/kg. 18. A radioaktiv kobalt 60Co 1 g-jának hány atomja bomlik el másodpercenként, ha felezési ideje 5,3 év? (A = 6,023·1023 1/mol) 19. Mennyi idő alatt csökken a 10 év felezési idejű radioaktív elem aktivitása a kezdeti érték 1 százalékára? 20. Egy radioaktív elem felezési ideje 7,5 nap. Hány g marad a kérdéses elem 20 g-jából 50 nap elteltével? Megoldások: 1. v1 = 40 km/h v2 = 60 km/h ___________ vátlag = ? Ha a két város közti távolság s, akkor odafelé s/40, visszafelé s/60 óra a menetidő. Az átlagsebesség definícióját alkalmazva: s összes 2s 2 v átlag 48 km/h. s s 1 1 t összes 40 60 40 60 2. Adjuk meg mindhárom szakaszra az s utat, a v sebességet és a t időt, km, km/h illetve h mértékegységekben: s s s s1 = v1 = 40 t1 = 1 = 3 120 v1 s s 2s s s2 :2 v2 = 50 t2 = 2 = 3 3 150 v2 s s s s3 = s (s1 + s2) = v3 = ? t3 = 3 = 3 v3 3v 3 vá = 55. Az átlagsebesség definíciója: s összes s vá , így 55 , s-sel egyszerűsítve: s s s t összes 120 150 3 v 3 1 55 , 1 1 1 120 150 3 v 3 1 Amiből v 3 104,7 km/h. 1 1 1 3 55 120 150 2
3.
pk=105 Pa p=3kk ----------------h=? A keresett h mélységben a nyomás a külső nyomás és a h magasságú vízoszlop hidrosztatikai nyomásának összege. Így p=pk+ph=3pk. Ebből 2pk=ph,, vagyis 2pk= gh , amiből h=
4.
2 pk g
2 10 5 1000 10
20 m.
ra=10 cm =0,1 m rf=20 cm =0,2 m h=30 cm=03 m --------------------F=? Az alaplapra ható nyomóerő a hidrosztatikai nyomás és az alaplap területének szorzata, így F p h ra2 94,2 N. gh ra2
5. d1 = 6 cm d2 = 60 cm m = 1 t = 1000 kg _______________ F=? A hidraulikus berendezések működése G F Pascal törvényén alapul: p A2 A1
F A1
A2 G
Ahol G = mg = 104 N és a dugattyúk keresztmetszete: A2 = (
d2 2 ) 2
ill. A1 = (
Ezeket az egyenletbe helyettesítve és rendezés után: 6.
d1 2 ) . 2
F
G(
d1 2 ) = 100 N. d2
A = 374 m2 3 3 h = 1,6 kg/dm = 1600 kg/m 3 v = 1000 kg/m h = 90 cm = 0,9 m __________________ V=? Kezdetben egyensúlyban van a hajó, így súlya megegyezik a bemerülő részére ható felhajtóerővel. Miután V m3 homokot raknak rá, ismét egyensúlyba lesz. Ebből következik, hogy a rárakott homok G súlya meg kell hogy egyezzen a teher hatására bemerülő részre ható F felhajtóerővel. Mivel G = V hg és F = Ah vg így V hg = Ah vg. Ah v Ebből V = = 210,375 m3. h
3
7. h = 0,4 m m = 75 kg 3 v = 1000 kg/m x h 3 x/2 j = 900 kg/m ______________ A=? Mielőtt az ember rááll a jégre, a jég súlya megegyezik a bemerülő részre ható felhajtóerővel: jAhg
=
x)g,
vA(h
amiből
v
x=
j
h
0,04 m.
v
Az ember ráállását követően egy új egyensúly alakul ki, így az ember súlya meg kell hogy egyezzen a ráállása miatt bemerülő jégdarabra ható felhajtóerővel. Ha a kiálló rész a felére csökken, akkor ennek a bemerülő jégdarabnak a vastagsága: h = x/2 = 0,02 m,
és így
mg = A
hg,
v
amiből
A=
m v
h
3,75 m2.
8. Δh = 20 cm = 0,2 m kg g ρb = 0,7 =700 3 3 m cm kg ρl = 1,3 3 m ______________ v=? A Bernoulli egyenlet szerint ideális folyadék vagy gáz esetén az áramlási csövek bármely, az áramlás irányára merőleges keresztmetszetén az alábbi nyomások összege állandó érték: v2 p gh const. 2 Ezt alkalmazva a vízszintes csőben nyugalomban levő ill. áramló levegőre adódik, hogy v2 , ahol pa az atmoszférikus nyomás és pc a levegő áramlásakor mérhető p a pc l 2 nyomás.. Másrészt a nyugalomban levő levegő és az áramló levegő esetén mérhető nyomások különbsége megegyezik a függőleges csőszárba felszívódott benzin hidrosztatikai nyomásával.
pa Tehát:
pc
b
bg h
ahonnan a keresett sebességérték:
4
pa
g h, pc
l
v2 , 2
kg m 3 10 m 0,2m 2 kg s2 1,3 3 m 700
v
b
2
g h
l
9.
46,4095
m s
m 46,11 . s
A1 = 3 cm2 10-4 m2 m v1 = 2 s m v2 = 5 s ______________ A2 = ? A kontinuitási törvény alapján: A1v1
A2 v2 .
Innen a megoldás:
A2
A1v1 v2
3 10 4 m 2 2 5
m s
m s
1,2 10 4 m 2
1,2cm 2 .
10. km =22,22 m/s h ______________ F1 = ? A Bernoulli egyenlet segítségével oldjuk meg a feladatot.
v = 80
A tető egységnyi felülete (jelöljük ezt most A1 (= 1 m2 ) –el) alatt lévő nyugvó légtömeg (feltételezzük, hogy ennek nyomása megegyezik a normális légköri nyomással) és a felette átáramló levegő p nyomása közötti különbség: v2 p pa p . 2 Mivel az atmoszferikus pa légnyomás értéke nagyobb, nyilvánvaló, hogy a nyomáskülönbség folytán keletkező, egységnyi felületre ható F1 A1 p erő a tetőre merőlegesen, a tetőtérből kifelé irányul. Az erő nagysága:
F1
A1
p
A1
v2 2
1m 2 1,3
kg m3
22,22
11. h = 1 dm = 0,1 m r = 1 mm = 10-3 m t = 1 min = 60 s η=10-3 Pas ____________ Vki = ? 5
m s
2
636,91N .
V Av kontinuitási törvény és a t v 2 gh Torricelli-képlet együttes alkalmazásával figyelembe véve, hogy a kifolyócső keresztmetszete kör alakú, r sugárral: 2 m Vki Avt r 2 2 gh t 10 3 m 2 10 2 0,1m 60 s s 5 3 3 26,6573 10 m 266,573cm .
A megoldás az ideális fluidumok áramlásánál használt
12.
d = 0.001 mm = 10-6 m kg g ρo = 0,93 = 930 3 3 m cm ηl 10-5 Pas ______________ v=? A feladat megoldása a viszkózus folyadékban állandó sebességgel mozgó gömb alakú testekre vonatkozó (a Stokes-képlet alapján levezetett) általános összefüggés által írható fel: 2r 2 g o l v , 9 l kg ahol ρl = 1,3 3 a levegő sűrűsége. Ennek megfelelően: m
v
d 2 2
13.
2
g 9
o
l
10 6 m 2 2
l
2
m kg kg 930 3 1,3 3 2 s m m 5 9 1,7 10 Pas 10
30,35 10
6
m s
0,003
cm . s
10-3 m kg kg = 900 3 3 dm m kg kg ρt = 2,4 = 2400 3 3 dm m cm m vm = 2 = 0,02 s s ______________ η = ?, Re=? A szedimentációra vonatkozó összefüggés alapján: 2r 2 g t o . 9v 2 d 2 m kg 2 g t 10 2 4 10 3 m 2400 900 3 o gd 2 t 2 s m o m 9v m 18vm 18 0,02 s
ρo = 0,9
=0,0539
6
0,667 Pas.
14.
d = 2 mm = 2·10-3 m = 1000 kg/m3 = 0,073 N/m V=? A keletkező cseppet a felületi feszültségből származó erő tartja fenn mindaddig amíg képes azt ellensúlyozni. Jelöljük egy csepp maximális térfogatát V-vel, ekkor a rá ható gravitációs erő G = mg = Vg. Ezt a lefele húzó erőt a felületi feszültségből származó F erő kompenzálja, ha tudja, ahol F = ·2r ·d , hiszen a folyadék felülete egy d átmérőjű kör mentén érintkezik a csővel. Behelyettesítve a
d
Vg
egyenlethez jutunk, ahonnan
V
d g
0,073 0,002 3,14 . 1000 10
Behelyettesítve egy csepp térfogata V = 4,58·10-8 m3 = 0,0458 cm3. 15. = 0,8 g/cm3 = 800 kg/m3 -3 a = 22·10 N/m 3 v = 800 kg/m -3 v = 73·10 N/m na ? nv ma ? mv a
a, Jelöljük a a V térfogat során keletkezett vízcseppek számát nv-vel, az alkoholcseppek számát na-val ! Egy csepp leszakadásakor a rá ható gravitációs erőt már nem képes ellensúlyozni a felületi feszültségből származó tartóerő (lásd az előző feladat megoldását), azaz határesetben (alkoholra és vízre is felírva): V g a d a na V g v d v nv A két egyenlet hányadosát képezve a a v
na v
a
nv
a
v
na
, azaz
nv
na nv
na
v
a
v
v
a
nv
7
Az egyenletbe behelyettesítve
na nv
0,073 800 1000 0,022
azaz az alkoholcseppek száma 2,65 – szöröse a vízcseppekének. b, a vízcseppek és az alkoholcseppek tömegének aránya:
mv ma
v
V1v a V1a
v
a
V nv V na
v a
na . nv
Az a, részben kiszámolt arány felhasználásával behelyettesítve
mv ma
1000 2,65 , 800
azaz a vízcseppek tömege 3,31-szerese az alkohol cseppekének. 16. h = 60 cm = 0,6 m = 1000 kg/m3 = 73·10-3 N/m = 0° d=? A hajszálcsövesség jelenségénél a kapillárisban felkúszó nedvesítő folyadékra (esetünkben a vízre) ható gravitációs erőt a felületi feszültségből származó tartóerő ellensúlyozza: A gravitációs erő G = mg = Vg = Ahg = R2 hg. A felületi feszültségből származó erő: F = L = A két erőt egyenlővé téve és egyszerűsítve: R Behelyettesítve: R =
2 0,073 1 1000 10 0,6
2R ·cos( ). 2
cos gh
2,43·10-5 m, azaz az átmérő d = 4,86·10-5 m.
17. m= 20 dkg =0,2 kg tj= -10 oC cj=2100 J/kgK L=335000 J/kg ______________ Q=? Az igényelt hő a – 10 oC-os jég 0 oC-os jéggé melegítéséhez és a 0 oC-os jég 0 oC-os vízzé olvasztásához szükséges hők összege, Így
Q c j m Tj
Lm 2100 0,2 10 335000 0,2 71200 J.
8
18.
T = 5,3 év = 5,3·365·24·3600 s = 1,67·108 s a felezési idő NA = 6,023·1023 /mol M = 60 g/mol a kobalt moláris tömege m=1g ______________________________ A=? Az aktivitás A = N· , ahol N a radioaktív magok száma és a bomlási állandó. Mivel = ln2/T = 0,6931/1,67·108 = 4,147·10-91/s N = NA ·m/M = 6,023·1023·1/60 1,004·1022 A = N· = 1,004·1022·4,147·10-91/s = 4,163·1013 Bq Tehát másodpercenként 4,163·1013 kobalt atom bomlik el.
19. T = 10 év A = 0,01 t0,01 = ? ________________________________ A radioaktív bomlástörvény alapján: N(t) = N ·e– t 0
= ln2/T = 0,6931/10 = 0,0693 1/év 0,01· N = N ·e– ·t0,01 0
0
ln0,01 = – ·t0,01 t0,01 = ln0,01/– = – 4,605/–0,0693 1/év = 66,45 év t0,01 = 66,45 év 20. T = 7,5 nap m0 = 20 g mt = ? t= 50 nap _________________________________ mt=m0·0,5t/T mt = 20· 0.550/7,5=0,19686 g
9
