A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. roˇ cn´ık SS)
pˇ r´ıklad 1 Pˇrenesme se do roku 1930, kdy bylo poprv´e na fotografick´ ych desk´ach identifikovan´e nov´e tˇeleso sluneˇcn´ı soustavy, pozdˇeji oznaˇcovan´e (aˇz do roku 2006) za dev´atou planetu s n´azvem Pluto. V okamˇziku, kdy se Pluto nach´azelo pro pozorovatele na Zemi v opozici a pobl´ıˇz perihelu sv´e dr´ahy, namˇeˇrili astronomov´e pomoc´ı velmi v´ ykonn´eho dalekohledu vizu´aln´ı hvˇezdnou velikost tohoto tˇelesa mP = 13,85 mag. Z pozorov´an´ı polohy Pluta na obloze byla rovnˇeˇz vypoˇctena velk´a poloosa a numerick´a excentricita jeho dr´ahy, a = 39,3 au a e = 0,249. Pˇredstavy o sloˇzen´ı tohoto tˇelesa vedly k odhadu jeho vizu´aln´ıho geometrick´eho albeda Ag = 0,65. Na z´akladˇe uveden´ ych u ´daj˚ u spoˇctˇete pravdˇepodobn´ y polomˇer RP Pluta. M˚ uˇze se v´am hodit, ˇze vizu´aln´ı hvˇezdn´a velikost Slunce je mS = −26,74 mag. Dr´ahu Zemˇe povaˇzujte za kruhovou a zanedbejte sklon roviny dr´ahy Pluta v˚ uˇci ekliptice. N´ apovˇeda: Vizu´aln´ı geometrick´e albedo Ag sf´erick´eho tˇelesa definujeme tak, aby platilo I = I0 Ag
R2 , r2
kde R je polomˇer tˇelesa, r je vzd´alenost od tˇelesa k pozorovateli, I0 je intenzita svˇetla pˇrich´azej´ıc´ıho k tˇelesu a I je intenzita odraˇzen´eho svˇetla pˇrich´azej´ıc´ıho od tˇelesa k pozorovateli pˇri nulov´em f´azov´em u ´hlu (tj. v pˇr´ıpadˇe, ˇze tˇeleso je v u ´plˇ nku“). ” (10 bod˚ u) ˇ sen´ı Reˇ . Oznaˇc´ıme si vzd´alenosti Pluta od Slunce rP = a(1 − e) = 29,5 au, Zemˇe od Slunce rZ = 1,0 au a Pluta od Zemˇe rPZ = 28,5 au. K nalezen´ı polomˇeru Pluta n´am pom˚ uˇze Pogsonova rovnice ve tvaru mP − mS = −2,5 log
IP , IS
kde mP , resp. IP je vizu´aln´ı hvˇezdn´a velikost Pluta (z formulace zad´an´ı jasnˇe plyne, ˇze danou hodnotou mysl´ıme hvˇezdnou velikost osamocen´eho Pluta bez dalˇs´ıch komponent jeho syst´emu), resp. intenzita svˇetla pˇrich´azej´ıc´ıho od Pluta v opozici v perihelu a mS , resp. IS = VS /4πrZ2 je vizu´aln´ı hvˇezdn´a velikost Slunce, resp. intenzita svˇetla pˇrich´azej´ıc´ıho od Slunce pro pozorovatele ze Zemˇe (VS jsme oznaˇcili z´aˇriv´ y v´ ykon Slunce ve vizu´aln´ım oboru elektromagnetick´eho spektra). Pro IP potom p´ıˇseme dle n´apovˇedy (uvaˇzujeme, ˇze IP je intenzita pouze odraˇzen´eho svˇetla, a tedy ˇze rovnov´aˇzn´a povrchov´a teplota Pluta je dostateˇcnˇe mal´a na to, abychom mohli zanedbat term´aln´ı z´aˇren´ı ve vizu´aln´ım oboru) R2 IP = I0 Ag 2P , rPZ kde I0 = VS /4πrP2 je intenzita svˇetla pˇrich´azej´ıc´ıho k Plutu od Slunce a RP jsme oznaˇcili hledan´ y polomˇer Pluta. Dosazen´ım do Pogsonovy rovnice a nˇekolika u ´pravami dostaneme 2 RP rZ 0,4(mS −mP ) 10 = Ag rP rPZ 1/8
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. roˇ cn´ık SS) a odtud uˇz rP rPZ RP = rZ
s
1 . · 100,4(mS −mP ) = 1 190 km , Ag
coˇz velmi dobˇre souhlas´ı se skuteˇcnost´ı.
pˇ r´ıklad 2 Stejnˇe jako mohly v dubnu 1965 p´ary na romantick´ ych veˇcern´ıch proch´azk´ach pozorovat pˇrelety lodi Voschod 2, m˚ uˇzeme i my spatˇrit na veˇcern´ım nebi nespoˇcet pohybuj´ıc´ıch se teˇcek – umˇel´ ych druˇzic. a) Vysvˇetlete, proˇc pˇri pˇreletech druˇzic doch´az´ı k n´ahl´emu poklesu jejich jasnosti a n´asledn´emu zmizen´ı“ z oblohy. Neuvaˇzujte jevy zp˚ usoben´e konkr´etn´ım tvarem druˇzice ani zmˇenou jej´ı ” orientace v prostoru. Veˇcer v den jarn´ı rovnodennosti pozoruje astronom nach´azej´ıc´ı se na rovn´ıku pˇrelet druˇzice, kter´a Zemi ob´ıh´a po kruhov´e obˇeˇzn´e dr´aze ve v´ yˇsce h = 300 km nad povrchem. Druˇzice let´ı po obloze ve smˇeru pˇresnˇe od z´apadu na v´ ychod a v okamˇziku, kdy prol´et´a smˇerem s azimut´aln´ımi souˇradnicemi A = 270◦ a H = 60◦ , zaˇcne jej´ı jasnost rychle klesat, aˇz po chv´ıli u ´plnˇe zmiz´ı“ z oblohy. Na z´akladˇe ” tˇechto u ´daj˚ u urˇcete: b) ˇc´ıselnou hodnotu u ´hlov´e rychlosti ω pohybu druˇzice po obloze, kterou n´aˇs pozorovatel zaznamen´a, kdyˇz druˇzice prol´et´a zenitem, c) ˇcas τ , kter´ y ubˇehl od konce z´apadu Slunce po okamˇzik, kdy jasnost druˇzice zaˇcala klesat. Pˇri v´ ypoˇctech m˚ uˇzete zanedbat vliv efekt˚ u spojen´ ych s pˇr´ıtomnost´ı zemsk´e atmosf´ery. (20 bod˚ u) ˇ sen´ı Reˇ a) Druˇzice pozorujeme v odraˇzen´em sluneˇcn´ım svˇetle. Pokles jejich jasnosti a n´asledn´e zmizen´ı jsou zp˚ usobeny vstupem druˇzice do polost´ınu a n´aslednˇe pln´eho st´ınu Zemˇe. b) Zˇrejmˇe plat´ı ωh = v − ωZ RZ , kde
v=
GMZ RZ + h
21
jsme oznaˇcili kruhovou rychlost druˇzice a ωZ jsme oznaˇcili u ´hlovou rychlost rotace Zemˇe kolem jej´ı osy. M´ame tedy 1 1 GMZ 2 ωZ RZ ω= − . h RZ + h h . ˇ ıselnˇe ω = C´ 1,39 ◦ · s−1 .
c) Je zˇrejm´e, ˇze okamˇzik, kdy se jasnost druˇzice zaˇc´ın´a rychle zmenˇsovat, odpov´ıd´a okamˇziku vstupu druˇzice do zemsk´eho polost´ınu. Na obr´azku je zn´azornˇen pohled na Zemi ze smˇeru severn´ıho svˇetov´eho p´olu. Body Z, resp. K odpov´ıdaj´ı bod˚ um na rovn´ıku, kde pr´avˇe zaˇc´ın´a, resp. konˇc´ı z´apad Slunce. V pˇr´ıpadˇe absence atmosf´ery je hranice polost´ınu zn´azornˇena polopˇr´ımkou z bodu Z, kter´a je kolm´a na polomˇer Zemˇe veden´ y do bodu Z. Bod D zn´azorˇ nuje polohu druˇzice v okamˇziku vstupu do polost´ınu. Bod P znaˇc´ı polohu pozorovatele na rovn´ıku, kter´ y ◦ pr´avˇe pozoruje n´ahl´e zeslaben´ı druˇzice ve smˇeru s azimut´aln´ımi souˇradnicemi A = 270 a 2/8
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. roˇ cn´ık SS) H = 60◦ . Koneˇcnˇe, ρ = 160 je u ´hlov´ y polomˇer Slunce pˇri pozorov´an´ı ze Zemˇe. N´akres jsme mohli udˇelat v jedn´e rovinˇe d´ıky faktu, ˇze situace nast´av´a v den jarn´ı rovnodennosti. hranice polost´ınu
β′
D v
H
α′
Z K P
smˇer od Slunce
RZ
∆
2ρ β
R α
S ωZ − ωrok Zemˇe
Hledan´ y ˇcas τ spoˇcteme pomoc´ı u ´hlu ∆ opraven´eho o (roˇcn´ı) pohyb pln´eho st´ınu jako ∆ + ωrok τ = ωZ τ , a tedy ∆ , ωZ − ωrok kde ωrok jsme zde oznaˇcili u ´hlovou rychlost obˇehu Zemˇe kolem Slunce. Vzhledem k pˇresnosti zadan´e hodnoty u ´hlu H si vˇsak m˚ uˇzeme dovolit zanedbat ωrok oproti ωZ (viz vztah pro τ n´ıˇze). D´ale tedy p´ıˇseme ∆ τ≈ . ωZ Stejnˇe tak neuvaˇzujeme zmˇenu u ´hlov´eho polomˇeru Slunce, na ˇc´ıseln´ y v´ ysledek by tento jev mˇel podobn´ y vliv. Zb´ yv´a urˇcit u ´hel ∆. Zˇrejmˇe plat´ı (R je polomˇer dr´ahy druˇzice) τ=
RZ R = cos H sin α0 a sin β 0 =
RZ . R
M´ame tedy 0
0
∆ = β − α − 2ρ = α − β + H − 2ρ = arcsin ˇ ıselnˇe potom vyjde 1h 1min . C´
3/8
RZ cos H R
− arcsin
RZ R
+ H − 2ρ .
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. roˇ cn´ık SS) pˇ r´ıklad 3 Prvn´ı pokusy o detekci r´adiov´ ych sign´al˚ u od mimozemsk´ ych civilizac´ı datujeme do 60. let minul´eho stolet´ı, tedy dlouho pˇredt´ım, neˇz byla v˚ ubec potvrzena existence planet mimo sluneˇcn´ı soustavu. Doba pokroˇcila a dnes se poˇcet objeven´ ych exoplanet ˇsplh´a k ˇc´ıslu 2000. Nˇekter´e z nich (jako napˇr´ıklad Kepler-22 b) dokonce ob´ıhaj´ı svou mateˇrskou hvˇezdu v tzv. obyvateln´e z´onˇe, v n´ıˇz mohou nastat podm´ınky vhodn´e k ˇzivotu. Pro u ´ˇcely t´eto u ´lohy obyvatelnou z´onu definujme jako oblast kolem hvˇezdy, ve kter´e se rovnov´aˇzn´a povrchov´a teplota sf´erick´ ych tˇeles bez atmosf´ery a s Bondov´ ym albedem podobn´ ym zemsk´emu ◦ ◦ (tj. A ≈ 0,3) pohybuje v rozmez´ı 0 C aˇz 100 C. Zamˇeˇr´ıme se na hvˇezdu Pollux (vzd´alenost d = 10,4 pc, bolometrick´a hvˇezdn´a velikost m = 0,89 mag, hmotnost M∗ = 2,0MS , polomˇer R∗ = 8,8RS ), u n´ıˇz byla v roce 2006 detekov´ana planeta (Pollux b), ob´ıhaj´ıc´ı po kruhov´e dr´aze o polomˇeru 1,64 au. Bude se v´am tak´e hodit, ˇze absolutn´ı bolometrick´a hvˇezdn´a velikost Slunce (z´aˇriv´ y v´ ykon LS = 3,85 · 1026 W) je µS = 4,83 mag. a) Na z´akladˇe uveden´ ych u ´daj˚ u urˇcete hranice obyvateln´e z´ony hvˇezdy Pollux a rozhodnˇete, jestli planeta Pollux b ob´ıh´a v t´eto z´onˇe. Nyn´ı uvaˇzujme hypotetickou planetu Pollux c s hmotnost´ı a velikost´ı Jupitera, o n´ıˇz pˇredpokl´ad´ame pouze to, ˇze ob´ıh´a Pollux v obyvateln´e z´onˇe po kruhov´e dr´aze. b) Jak´ y nejvˇetˇs´ı posuv ˇca´ry Hα (laboratorn´ı vlnov´a d´elka λ = 656,3 nm) ve spektru Polluxu m˚ uˇze tato planeta zp˚ usobit? (20 bod˚ u) ˇ sen´ı Reˇ a) Najdˇeme nejdˇr´ıve vztah pro rovnov´aˇznou teplotu Teq rychle rotuj´ıc´ıho tˇelesa (uvaˇzujeme, ˇze povrchov´a teplota je vˇsude stejn´a) bez atmosf´ery s Bondov´ ym albedem A a polomˇerem R nach´azej´ıc´ıho se ve vzd´alenosti a od hvˇezdy s z´aˇriv´ ym v´ ykonem L. Pro ˇsed´a tˇelesa pak m˚ uˇzeme ps´at radiaˇcn´ı rovnov´ahu ve tvaru 4 πR2 F0 (1 − A) = 4πR2 σSB Teq ,
kde F0 = L/4πa2 je pˇr´ıchoz´ı z´aˇriv´ y tok od hvˇezdy a σSB je Stefanova-Boltzmannova konstanta. M´ame tedy 1 L(1 − A) 4 . Teq = 16πσSB a2 Vid´ıme, ˇze teplota z´avis´ı pouze na vzd´alenosti tˇelesa od hvˇezdy, obyvateln´a z´ona tedy bude ohraniˇcena dvˇema sf´erick´ ymi plochami o polomˇerech amax a amin , kde
L(1 − A) 4 16πσSB Tmin
21
L(1 − A) 4 16πσSB Tmax
21
amax = amin = a kde Tmin = 273 K, resp. Tmax = 373 K.
4/8
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. roˇ cn´ık SS) Z´aˇriv´ y v´ ykon Polluxu dopoˇc´ıt´ame pomoc´ı jeho absolutn´ı bolometrick´e hvˇezdn´e velikosti µ = m + 5 − 5 log(r/pc) = 0,80 a Pogsonovy rovnice jako L = LS · 10−0,4(µ−µS ) , kde vyuˇz´ıv´ame znalosti z´aˇriv´eho v´ ykonu Slunce LS = 3,85·1026 W a jeho absolutn´ı bolometrick´e . ˇ ıselnˇe pro Pollux dostaneme L = 1,57 · 1028 W = hvˇezdn´e velikosti µS = 4,83 mag. C´ 41LS a . . n´aslednˇe amax = 5,6 au a amin = 3,0 au. Planeta Pollux b tedy ob´ıh´a mimo obyvatelnou z´onu. b) Planeta a hvˇezda ob´ıhaj´ı po kruhov´ ych trajektori´ıch kolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇe. Oznaˇc´ıme-li a∗ , resp. ap vzd´alenosti hvˇezdy, resp. planety od tˇeˇziˇstˇe (takˇze a = a∗ + ap , kde a je vzd´alenost hvˇezdy a planety), pak plat´ı M∗ a∗ = Mp ap , kde Mp jsme oznaˇcili hmotnost planety. M˚ uˇzeme tedy ps´at a∗ =
Mp Mp a ≈a , Mp + M∗ M∗
protoˇze pro zadan´e parametry m´ame Mp M∗ . Pro velikost rychlosti hvˇezdy ve dr´aze kolem tˇeˇziˇstˇe pak m´ame (P znaˇc´ıme periodu obˇehu syst´emu kolem tˇeˇziˇstˇe) r 2πa Mp 2πa∗ Mp GM∗ = , v∗ = = P P M∗ M∗ a kde posledn´ı rovnost plyne z 3. Keplerova z´akona. Koneˇcnˇe, periodick´ y posun ˇcar ve spektru hvˇezdy je zp˚ usoben Dopplerov´ ym jevem. Amplitudu ∆λ tohoto posuvu pro ˇc´aru s laboratorn´ı vlnovou d´elkou λ spoˇcteme jako r λv∗ cos i λ cos i Mp GM∗ ∆λ = = , c c M∗ a kde i jsme oznaˇcili u ´hel, kter´ y sv´ır´a zorn´ y paprsek pozorovatele s rovinou obˇehu hvˇezdy. Vid´ıme, ˇze ∆λ bude maxim´aln´ı pro a = amin a i = 0◦ (tedy pohled z boku), tedy r λ Mp GM∗ ∆λmax = , c M∗ amin . ˇ ıselnˇe pak pro M∗ = 2 Ms a Mp = 1,90 · 1027 kg dostaneme ∆λmax = C´ 2,5 · 10−5 nm.
5/8
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. roˇ cn´ık SS) praktick´ a u ´loha V t´eto u ´loze si sestav´ıte jednoduch´ y pˇr´ıstroj k bezpeˇcn´emu pozorov´an´ı Slunce, tzv. d´ırkovou komoru (lat. camera obscura), se kterou se pokus´ıte zmˇeˇrit u ´hlovou velikost Slunce. a) Popiˇste princip zobrazen´ı d´ırkovou komorou a jej´ı vyuˇzit´ı k mˇeˇren´ı u ´hlov´e velikosti Slunce na obloze. Sv˚ uj v´ yklad doplˇ nte vhodn´ ymi n´akresy a komentujte vliv velikosti d´ırky a vzd´alenosti d´ırky od st´ın´ıtka na pˇresnost mˇeˇren´ı. Potˇrebn´e informace si dohledejte na internetu. b) Sestrojte funkˇcn´ı d´ırkovou komoru vhodnou k mˇeˇren´ı u ´hlov´eho pr˚ umˇeru Slunce na obloze. Pro z´ısk´an´ı pln´eho poˇctu bod˚ u z t´eto a n´asleduj´ıc´ıch ˇca´st´ı pˇ riloˇ zte k ˇ reˇ sen´ı fotografii vaˇ seho pˇ r´ıstroje. Pro konstrukci doporuˇcujeme pouˇz´ıt alespoˇ n 1 m dlouhou rouru z kartonu, jej´ıˇz jeden konec zaslep´ıte alobalem a do jeho stˇredu udˇel´ate ˇspiˇckou ˇspendl´ıku velmi malou d´ırku. Druh´y konec zaslepte st´ın´ıtkem, pˇriˇcemˇz si ke st´ın´ıtku vytvoˇrte pr˚ uhled, abyste mohli pozorovat obraz. Bude se v´am rovnˇeˇz hodit, pokud st´ın´ıtko polep´ıte milimetrov´ym pap´ırem. c) Pomoc´ı vaˇs´ı d´ırkov´e komory zmˇeˇrte u ´hlov´ y pr˚ umˇer Slunce na obloze. Mˇeˇren´ı nˇekolikr´at opakujte a n´aleˇzitˇe zpracujte. Bezpeˇ cnostn´ı pokyny Pˇri plnˇen´ı praktick´e u ´lohy se vyvarujte pˇr´ım´eho pohledu na sluneˇcn´ı disk, a to jak pouh´ ym okem, tak i jak´ ymkoli optick´ ym pˇr´ıstrojem! Nezapomeˇ nte detailnˇe popsat metodiku vaˇseho mˇeˇren´ı a zaznamenat do ˇreˇsen´ı vˇsechny namˇeˇren´e hodnoty. Urˇcete rovnˇeˇz nejistoty z´ıskan´ ych hodnot. V´ ysledek, kter´ y z´ısk´ate, porovnejte s oˇcek´avanou hodnotou (dohledejte v roˇcence nebo na internetu) a diskutujte. (30 bod˚ u) ˇ sen´ı Reˇ a) D´ırkov´a komora je jednoduch´e zobrazovac´ı zaˇr´ızen´ı funguj´ıc´ı na principu pˇr´ımoˇcar´eho ˇs´ıˇren´ı paprsk˚ u. Na internetu lze dohledat, ˇze se skl´ad´a ze st´ın´ıtka, na nˇejˇz zobrazujeme paprsky od pˇredmˇetu pomoc´ı velmi mal´e d´ırky. Odpov´ıdaj´ıc´ı sch´ema zobrazen´ı vid´ıme na obr´azku 1 n´ıˇze. Odtud taky plyne jednoduch´a metoda mˇeˇren´ı u ´hlov´eho pr˚ umˇeru α Slunce na obloze: pokud zn´ame kolmou vzd´alenost d´ırky od st´ın´ıtka L a zmˇeˇr´ıme pr˚ umˇer zobrazen´eho kotouˇcku h, urˇc´ıme α jako h α≈ . L Mˇejme na pamˇeti, ˇze takto vyj´adˇren´ y u ´hel α vyjde v radi´anech a ˇze pˇribl´ıˇzen´ı plat´ı pouze pro mal´e hodnoty α. Mus´ıme si ovˇsem d´avat pozor a nam´ıˇrit d´ırkovou komoru na Slunce tak, aby smˇer ke Slunci souhlasil s osou d´ırkov´e komory. Sch´ema zobrazen´ı pro obecnˇejˇs´ı orientaci vid´ıme na obr´azku 2. Vid´ıme, ˇze velikost obrazu na st´ın´ıtku potom bude h0 6= h. Pro mal´e odchylky od osy pˇr´ıstroje se ale dopouˇst´ıme zanedbateln´e chyby. Je potˇreba zd˚ uraznit, ˇze sch´emata jsou pˇresn´a pro nekoneˇcnˇe malou d´ırku. Toho ovˇsem nen´ı moˇzn´e dos´ahnout a i kdyby bylo, nebylo by to k uˇzitku, protoˇze by d´ırkou neprostupovalo ˇza´dn´e svˇetlo. V praxi tedy vol´ıme koneˇcnˇe velkou d´ırku, coˇz m´a za d˚ usledek neostrost obrazu na st´ın´ıtku. Plat´ı pˇritom, ˇze ˇc´ım menˇs´ı d´ırka, t´ım ostˇrejˇs´ı, ale z´aroveˇ n m´enˇe jasn´ y obraz. Ukazuje se, ˇze pouˇzitelnou d´ırku lze udˇelat ˇspiˇckou ˇspendl´ıku, tak jak rad´ıme v zad´an´ı. 6/8
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. roˇ cn´ık SS)
obraz d´ırka h α Slunce
L st´ın´ıtko
Obr´ azek 1: Sch´ema zobrazen´ı Slunce d´ırkovou komorou, kde L je kolm´a vzd´alenost d´ırky a st´ın´ıtka, α je u ´hlov´a velikost Slunce na obloze a h je pr˚ umˇer disku Slunce, kter´ y se zobraz´ı na st´ın´ıtko.
d´ırka Slunce
obraz
α h′
L st´ın´ıtko
Obr´ azek 2: Sch´ema zobrazen´ı Slunce d´ırkovou komorou pro obecn´ y smˇer pˇr´ıchoz´ıch paprsk˚ u.
7/8
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. roˇ cn´ık SS) Koneˇcnˇe, je tˇreba si uvˇedomit, ˇze u ´hlov´ y pr˚ umˇer Slunce na obloze dosahuje pˇribliˇznˇe 0,5 obloukov´eho stupnˇe, coˇz n´am pro L = 1 m vytvoˇr´ı obraz o velikosti necel´ ych 9 mm. Jelikoˇz m˚ uˇzeme odeˇc´ıtat velikost obrazu s pˇresnost´ı maxim´alnˇe 0,5 mm aˇz 1 mm, je tˇreba volit L > 1 m, abychom zaruˇcili relativn´ı nejistotu mˇeˇren´ı menˇs´ı neˇz 10 %. b) D´ırkovou komoru sestroj´ıme podle pokyn˚ u v zad´an´ı, kdy L vol´ıme dostateˇcnˇe velk´e (s ohledem na diskusi pˇresnosti mˇeˇren´ı ˇca´sti a)), v naˇsem pˇr´ıpadˇe L = 1,2 m. Tato konstrukce s sebou nese velkou v´ yhodu: to, ˇze je d´ırkov´a komora nam´ıˇrena pˇresnˇe na Slunce (tj. ˇze osa d´ırkov´e komory a smˇer ke Slunci souhlas´ı), pozn´ame tak, ˇze se n´am sluneˇcn´ı disk zobraz´ı pˇresnˇe do stˇredu kruhov´eho st´ın´ıtka. c) Nejdˇr´ıve provedeme mˇeˇren´ı u ´hlov´eho pr˚ umˇeru Slunce na obloze. Pˇri kaˇzd´em mˇeˇren´ı odeˇc´ıt´ame pr˚ umˇer h obrazu Slunce na st´ın´ıtku s pˇresnost´ı na 0,5 mm. Mˇeˇren´ı desetkr´at opakujeme a d´av´ame si pozor, abychom h odeˇc´ıtali pobl´ıˇz stˇredu st´ın´ıtka. Pro L = 1,2 m m˚ uˇzeme do. ¯ = stat hodnoty v tabulce 1. Dost´av´ame aritmetick´ y pr˚ umˇer hodnot h 11,1 mm a statistickou i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
h mm
10,5
11,0
11,0
11,5
10,5
11,0
11,5
11,5
11,0
11,
Tabulka 1: Mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru sluneˇcn´ıho disku zobrazen´eho na st´ın´ıtku.
. smˇerodatnou odchylku jednoho mˇeˇren´ı σh = 0,4 mm. K t´e pythagorejsky pˇriˇcteme nejistotu . v odeˇc´ıt´an´ı hodnot ∆ = 0,5 mm a dost´av´ame odchylku jednoho mˇeˇren´ı σh0 = 0,6 mm. Odchylku aritmetick´eho pr˚ umˇeru σh¯ potom dopoˇcteme jako σ0 . σh¯ = √ h = 0,2 mm , n1 kde n1 = 10 jsme oznaˇcili poˇcet mˇeˇren´ı. P´ıˇseme tedy h = (11,1 ± 0,2) mm. D´ale budeme pˇredpokl´adat, ˇze zn´ame vzd´alenost L velmi pˇresnˇe, ˇreknˇeme s pˇresnost´ı σL = 1 mm. Potom spoˇc´ıt´ame nejistotu ve vypoˇcten´e hodnotˇe α jako r σ σL 2 σh¯ 2 ¯ σα = α ¯ + ¯ ≈α ¯ ¯h , L h h protoˇze v naˇsem pˇr´ıpadˇe
σh¯ σL . ¯ L h . . M´ame tedy α ¯ = 31,80 a σα = 0,60 . Dohromady p´ıˇseme α = (31,8 ± 0,6)0 . V´ ysledek se v r´amci nejistoty shoduje s oˇcek´avanou hodnotou pˇribliˇznˇe 320 .
8/8
