13.1. Példa: Nem kötött lánc szerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei. m 1. c 12. c 23 q 3

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM

ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK

13. MECHANIKA-REZGÉSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Fehér Lajos, tsz. mérnök; Tarnai Gábor, mérnök tanár; Molnár Zoltán, egy. adj., Dr. Nagy Zoltán, egy. adj.) Diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása 13.1. Példa: Nem kötött lánc szerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei Adott: m1  2 kg, m2  1 kg, m3  1 kg,

m1

m2 c12

4

c12  0,5 10 m/N,

q1

4

m3 c23

q2

q3

c23  10 m/N. Feladat: a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián Megoldás: a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása: A karakterisztikus egyenlet betűkkel:

 

 m1c12m2c23m3  2

3

 

  m1c12m2  m1  c12  c23  m3  m2c23m3   2

2



  m1  m2  m3  2  0.

Behelyettesítve: 2  4 4 2  2  0,5 10 110 1     2  0,5 104 1  2  0,5 104  104 1  1104 1  2   

 





  2  1  1 2  0.

Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényező nulla, így  02  0 megoldást, illetve

 

108  2

2 12



2

 5 104  2  4  0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei:

5 104 

5 104  2 108

2

 4 108  4



4 104 , 53 4 10  2 104.

13_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása

1/8

1  104  100 rad/s,  2  4 104  200 rad/s, amit 0  0 egészít ki. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. m1

 c12

 c12

m2

 c23

c12

q1 m1

 c23 m3 c23

q2

 c12  c12

 c23  c23

q3

m3

m2

A   c12

baloldali 1 m112



egyszabadságfokú 1

2 10

4

rezgőrendszerből

12 

1 ,  m1c12

amiből

 0,5 104 m/N.

  c12  c12   0,5 104  0,5 104  0 , vagyis a c12 rugón a csomópont a 2 jelű tömegre c12 esik. Ez azt jelenti, hogy a 2 jelű tömeg helyben marad, ha a rezgőrendszer 1  100 rad/sec frekvencián rezeg. A 2 jelű tömeg, vagyis a középső egyszabadságfokú rezgőrendszer vizsgálatának így nincs értelme. 1 A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből , amiből 12   m3c23 1 1   c23   1104 m/N adódik. 2 4 m31 1 10   c23  c23   104  104  0 , vagyis a c23 rugón is a csomópont a 2 jelű tömegre esik. c23 A rezgőrendszernek tehát egy csomópontja van, és az a 2 jelű tömegre esik. A rezgéskép ábrázolása:   0,5 104 c12  c12   104 c23  c23 K12  K 23 m1 m2 m3 q11 q31 q 0 21

1 q31 c23 q11   Az amplitúdókra igaz, amiből q31     0 . q11  2q11 , illetve q      01   c12 c12 c23  2 

13_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása

2/8

c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián.

 c12

m1

 c12

m2

 c23

c12

q1

c23 q2

 c12

m1

 c23 m3

 c12

q3

 c23

m3

 c23 m2

2  200 rad/s, esetén  22 

1 1 1     0,125 104 m/N. , amiből c12 2 4  m1c12 m11 2  4 10

  c12  c12   0,5 104  0,125 104  0,375 104 , vagyis a c12 rugón a csomópont c12 valóságos. c  c A középső egyszabadságfokú rezgőrendszerből 12  12 23 , amiből  m2c23  c12   c23

 c12  m212 c12

A

1 jobboldali



0,375 104 4

 0, 75 104 m/N.

0,375 10 1 4 10  1 egyszabadságfokú rezgőrendszerből 4

  c23  c23  c23

illetve

  c23  c23   104  0,75 104  0, 25 104 m/N, a csomópont valóságos. c23 1 1   c23   0, 25 104 2 4 m31 1 4 10 q q q c q Az amplitúdókra 12   22 igaz, amiből q22   12 q12  3q12 , illetve 32   22      c12 c12 c12 c23 c23 igaz, amiből q32

c 1 1   23 q22   q22    3 q12  q12  c23 3 3

1  q    3 .  02     1 

A rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvenciánál: 0,125 104 0,375 104 0,5 104

m1 q12

K12

0, 25 104

0, 75 104

104 m2

q22

K 23

m3 q32

13_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása

3/8

13.2. Példa: Kötött lánc szerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei Adott: m1  2 kg, m2  1 kg, c01  104 m/N, c12  2 104 m/N. m1

m2

c01

c12 q1

q2

Feladat: a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián Megoldás: a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása: A karakterisztikus egyenlet betűkkel:

 

c01m1c12 m2  2

2

 c01m1   c01  c12  m2   2  1  0.

Behelyettesítve:

 

104  2  2 10 4  2

2



 

Megoldandó a 4 108  2

2 12 

5 104 



 10 4  2  10 4  2 10 4 1  2  1  0  

5 104 

2

2  4 108

2

 5 104  2  1  0 másodfokú egyenletet, amelynek gyökei:

 4  4 10 8



53 4 104 , 10  8 2500.

1  2500  50 rad/s,  2  104  100 rad/s.

13_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása

4/8

b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián: c01 c12 m1 m2 q1

 m1 c12

c01

q2 m2

q1

A

jobboldali

  c12

1 m212



 c12

q2

egyszabadságfokú

rezgőrendszerből

12 

1 ,  m2c12

amiből

1  4 104 m/N. 1 2500

  c12  c12   2 104  4 104  2 104 , vagyis a c12 rugón a csomópont virtuális. c12 A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, így teljesülnie kell a c  c 12  01 12 egyenletnek, ami  c01m1c12

12

 

 

104  2 104  c01  c12    2500 teljesül is.  c01m1c12 104  2  2 104

A rezgéskép ábrázolása:

  4 104 c12   2 104 c12 c01  104

c12  2 104 m2

m1

q21

K12 K 01 Az amplitúdókra

q11 q11 q c   21 igaz, amiből q21   12 q11  2q11 , illetve    c12 c23 c12

 q   1  .  01   2 

c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián: 1 1 1     104 m/N. , amiből c12 2  100 rad/s, esetén  22  2 4  m2c12 m21 110

  c12  c12   2 104  104  104 , vagyis a c12 rugón a csomópont valóságos. c12 A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, így teljesülnie kell a c  c  22  01 12 egyenletnek, ami  c01m1c12  c01  c12 104  104  4  104 teljesül is. 4  c01m1c12 10  2 10 A rezgéskép ábrázolása:

12 

13_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása

5/8

  104 c12   104 c12

c01  104

c12  2 104

m2

m1 K 01

q22

K12 q12

A kitérésekre

1 q12 q c   22 igaz, amiből q22   12 q12  q12 , illetve  q     .  02   1    c12 c12 c23

13.3. Példa: Két oldalon kötött lánc szerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei Adott: m1  100 kg, m2  50 kg, c01  104 m/N, c12  104 m/N, c20  2 104 m/N. m1

m2

c01

c20

c12 q1

q2

Feladat: A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása, majd a differenciálegyenletrendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvencián. Kidolgozás: A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása, majd a differenciálegyenletrendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvencián: A karakterisztikus egyenlet betűkkel:

 

c01m1c12m2c20  2

2

 c01m1  c12  c20    c01  c12  m2c20   2   c01  c12  c20   0.

Behelyettesítve:

 

104 100 104  50  2 104  2

2



 



 104 100  104  2 104  104  104  50  2 10 4   2   

104  104  2 104  0

 

Megoldandó a 108  2

2

 5 106  2  4 104  0 másodfokú egyenletet, amelynek

gyökei:

13_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása

6/8

2 12



5 106 

5 106 

2

 4 108  4 104

2 108

4 102 , 53 2  10  2 102.

1  102  10 rad/s,  2  4 102  20 rad/s. Amplitúdók a saját körfrekvencián:  1 1   1    m  c12    q1i  0    1 0  2  c01 c12       ,    i   0 m 1 1 1    q2i  0  2       c12 c12 c20    Első saját körfrekvencián ( 1  10 rad/s ):

 i  1, 2 

 1 1  1   4  4  100 0      q  0  4  10 10 10     11     , behelyettesítve  100     q 0 50 1 1 1 0        21       104  104 2 104    104 104   q11  0         , azaz q11  q21 . Ez azt jelenti, hogy a két tömegnek azonos  104 104   q21   0  nagyságú és előjelű a kitérése. Nincs a c12 rugónak zérus helye az első saját 1 körfrekvencián:  q     .  01  1 Rezgéskép ábrázolása az első saját körfrekvencián:

104 m1 K 01

104

2 104

m2 q11  q21

K 20

Második saját körfrekvencián (  2  20 rad/s ):  1 1  1   4  4  100 0      q  0  4  10 10 10    12     , behelyettesítve 400      1 1    q22  0    1   0 50     104 104 2 104    2 104 104   q12  0         , azaz q12  0,5q22 . Ez azt jelenti, hogy a két tömegnek  104 0,5 104   q22  0  ellentétes előjelű a kitérése. A c12 rugónak a zérus helye az m1 tömegtől a rugó egyharmad 1 részén van a második saját körfrekvencián:  q     .  02   2  13_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása

7/8

Rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvencián: 104

104 m1

m2  c12

 c12 K12 K 01

2 104

q22 K 20

q12

13_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása

8/8