1.2.7
Sbírka příkladů - vozíčky
Předpoklady: 1206 Při řešení vozíčků určujeme dvě veličiny: • zrychlení soustavy, • síly, kterými provázky působí na jednotlivé předměty. F , kde F je výsledná efektivní vnější m síla působící na soustavu a m je součet hmotnosti všech předmětů. Do výsledné síly započítáváme všechny vnější síly (tedy ne síly, kterými působí provázky na předměty, nebo síly, kterými působí předměty na provázky. Ke všem těmto silám existují partnerské síly, které působí na stejnou soustavu a vynulují je), které se snaží uvést soustavu do pohybu. Znaménko volíme podle směru, ve kterém se síla snaží soustavu rozpohybovat.
Zrychlení soustavy určíme pomocí 2. NZ ze vzorce a =
Při výpočtu síly provázku si nakreslíme konkrétní předmět a všechny působící síly. Využíváme toho, že známe zrychlení soustavy a tedy i velikosti výsledné síly Fv = ma . Způsob výpočtu však musíme zvolit vždy až podle konkrétní situace. Nic dalšího vědět nepotřebujeme. Př. 1:
Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Jakou silou působí provázek na každé ze závaží? Tření, hmotnost kladky i provázku zanedbej. 1,5kg
1
2 1kg Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží. Fs1 1,5kg 1 Fg1 2 1kg Fg2 • Síly Fg1 a Fs1 působí kolmo na provázek a navzájem se vyruší ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. ⇒ Jedinou silou, která způsobuje urychlování soustavy je síla Fg 2 . a=
Fg 2 F m2 g 1 ⋅10 = = = m/s 2 = 4 m/s 2 m m1 + m2 m1 + m2 1 + 1,5
1
Výpočet sil Fp1 a Fp 2 (zkoumáme vždy pouze závaží, na které působí): Fs1 1,5kg
Síly Fg1 a Fs1 se navzájem vyruší ⇒ síla Fp1 je rovna výslednici, Fp1
Fg1
která urychluje závaží 1 ⇒ Fp1 a= ⇒ Fp1 = am1 = 4 ⋅1,5 N = 6 N m1 Síla Fp 2 působí proti síle Fg 2 a jejich rozdíl se rovná výslednici Fv 2 , která urychluje závaží 2 ⇒ platí Fv 2 = Fg 2 − Fp 2 ⇒ Fp 2 = Fg 2 − Fv 2 .
Fp2
Dosadíme: a =
2 1kg
Fv 2 ⇒ Fv 2 = am2 m2
Fp 2 = Fg 2 − Fv 2 = m2 g − m2 a = m2 ( g − a ) = 1(10 − 4 ) N = 6 N Fg2 Síly Fp1 a Fp 2 jsou stejně velké, prakticky jde o dvojici partnerských sil (akce a reakce z 3. Newtonova zákona), sílu Fp1 můžeme považovat za sílu, kterou působí závaží 3 na závaží 1, sílu Fp 3 za sílu, kterou působí závaží 1 na závaží 3. Provázek pak můžeme považovat za zprostředkovatele vzájemného působení obou závaží. Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 4 m/s 2 , provázek působí na obě závaží silami o stejné velikosti 6 N. Př. 2:
Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Jakou silou působí provázek na každé ze závaží? Tření, hmotnost kladky i provázku zanedbej.
1 100kg
50kg 2
Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží.
Fk
1 100kg
2 50kg Fg2
Fg1 • Síly Fg1 a Fg 2 urychlují soustavu na opačné strany, síla Fg1 je větší. ⇒ Urychlování soustavy způsobuje síla Fv = Fg1 − Fg 2 .
2
Fv Fg1 − Fg 2 m1 g − m2 g 100 ⋅10 − 50 ⋅10 = = = m/s 2 = 3,33 m/s 2 m m1 + m2 m1 + m2 100 + 50 Výpočet sil Fp1 a Fp 2 (zkoumáme vždy pouze závaží, na které působí): a=
Síla Fp1 působí proti síle Fg1 a jejich rozdíl se rovná výslednici Fv1 , která urychluje závaží 1 směrem dolů ⇒ platí Fv1 = Fg1 − Fp1 ⇒ Fp1 = Fg 1 − Fv1 .
a Fp1
Dosadíme: a =
1
Fv1 ⇒ Fv1 = am1 m1
Fp1 = Fg 1 − Fv1 = m1 g − m1a = m1 ( g − a ) = 100 (10 − 3,33) N = 667 N
100kg Fg1
Síla Fp 2 působí proti síle Fg 2 a jejich rozdíl se rovná výslednici Fv 2 , která
a
Fp2
urychluje závaží 2 směrem nahoru ⇒ platí Fv 2 = Fp 2 − Fg 2 ⇒ Fp 2 = Fg 2 + Fv 2 . Dosadíme: a =
Fv 2 ⇒ Fv 2 = am2 m2
2 50kg Fp 2 = Fg 2 + Fv 2 = m2 g + m2 a = m2 ( g + a ) = 50 (10 + 3,33) N = 667 N Fg2 Síly Fp1 a Fp 2 jsou stejně velké, prakticky jde o dvojici partnerských sil (akce a reakce z 3. Newtonova zákona), sílu Fp1 můžeme považovat za sílu, kterou působí závaží 3 na závaží 1, sílu Fp 3 za sílu, kterou působí závaží 1 na závaží 3. Provázek pak můžeme považovat za zprostředkovatele vzájemného působení obou závaží. Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 3, 33m/s 2 , provázek působí na obě závaží silami o stejné velikosti 667 N. Př. 3:
Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Urči síly, kterými působí provázek na závaží 1 a 3. Proč nejsou obě síly stejné? Jakými silami působí provázek na závaží 2? Ověř správnost výpočtu. Tření, hmotnost kladek i provázku zanedbej. 2kg 2 3 2kg
1kg 1
Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží. 2kg 2 Fs2 Fg2 1kg 1
3 2kg
Fg3 Fg1 • Síly Fg 2 a Fs 2 se navzájem vyruší (navíc jsou kolmé na směr zrychlování) ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. • Síly Fg1 a Fg 3 urychlují soustavu na opačné strany, síla Fg 3 je větší.
3
Fg 3 − Fg1 m g − m1 g F 2 ⋅10 − 1 ⋅10 = = 3 = m/s 2 = 2 m/s 2 m m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3 1+ 2 + 2 Výpočet síly Fp1 a=
Síla Fp1 působí proti síle Fg1 a jejich rozdíl se rovná výslednici Fv1 , která urychluje závaží 1. ⇒ Platí Fv1 = Fp1 − Fg1 (závaží zrychluje směrem nahoru).
a F p1
Fp1 = Fg 1 + Fv1 = m1 g + m1a = m1 ( g + a ) = 1(10 + 2 ) N = 12 N
Výpočet síly Fp 3
Fp3 3 2kg a
Závaží zrychluje směrem dolů ⇒ platí Fv 3 = Fg 3 − Fp 3 .
Fp 3 = Fg 3 − Fv 3 = m3 g − m3 a = m3 ( g − a ) = 2 (10 − 2 ) N = 16 N
Fg3 Síly Fp1 a Fp 3 nejsou stejně velké, protože nejde o dvojici partnerských sil, sílu Fp1 můžeme považovat za sílu, kterou působí závaží 2 na závaží 1, sílu Fp 3 za sílu, kterou působí závaží 2 na závaží 3. Síly na závaží 2 a Platí: Fpl = Fp1 = 12 N , Fpp = Fp 3 = 16 N . F s2 Fpl 2kg Fpp Závaží zrychluje doprava ⇒ platí: Fv 2 = m2 a = Fp 3 − Fp1 . 2 Dosadíme: 2 ⋅ 2 = 16 − 12 Fg2 4 = 4 ⇒ zkouška vyšla. Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 2 m/s 2 , provázek působí na závaží 1 silou 12 N, na závaží 3 silou 16 N.
Př. 4:
Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Urči síly, kterými působí provázek na závaží 1 a 3. Proč nejsou obě síly stejné? Jakými silami působí provázek na závaží 2? Ověř správnost výpočtu. Tření, hmotnost kladek i provázku zanedbej. 2kg 1kg 1 2
3 3kg
Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží.
4
2kg 2 Fs2
1kg Fs1 1 Fg1
Fg2 3 3kg Fg3
•
Síly Fg1 a Fs1 se navzájem vyruší (navíc jsou kolmé na směr zrychlování) ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. Síly Fg 2 a Fs 2 se navzájem vyruší (navíc jsou kolmé na směr zrychlování) ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. Zrychlování soustavy ovlivňuje pouze síla Fg 3 .
• •
Fg 3 m3 g F 3 ⋅10 = = = m/s 2 = 5 m/s 2 m m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3 3 + 2 + 1 Výpočet síly Fp1 a Síly Fg1 a Fs1 se navzájem vyruší, zbývá síla Fp1 , která se rovná výslednici 1kg Fs1 1 Fp1 Fv1 , která urychluje závaží 1. ⇒ Platí Fp1 = Fv1 . Fp1 = Fv1 = m1a = 1 ⋅ 5 N = 5 N Fg1 Výpočet síly Fp 3 a=
Závaží zrychluje směrem dolů ⇒ platí Fv 3 = Fg 3 − Fp 3 .
Fp 3 = Fg 3 − Fv 3 = m3 g − m3 a = m3 ( g − a ) = 3 (10 − 5 ) N = 15 N
Fp3 a 3 3kg Fg3
Síly Fp1 a Fp 3 nejsou stejně velké, protože nejde o dvojici partnerských sil, sílu Fp1 můžeme považovat za sílu, kterou působí závaží 2 na závaží 1, sílu Fp 3 za sílu, kterou působí závaží 2 na závaží 3. Síly na závaží 2 a Platí: Fpl = Fp1 = 5 N , Fpp = Fp 3 = 15 N . Fs2 2kg Fpl Závaží zrychluje doprava ⇒ platí: Fv 2 = m2 a = Fp 3 − Fp1 . Fpp 2 Dosadíme: 2 ⋅ 5 = 15 − 5 Fg2 10 = 10 ⇒ zkouška vyšla. Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 5 m/s 2 , provázek působí na závaží 1 silou 5 N, na závaží 3 silou 15 N.
Př. 5:
Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Urči síly, kterými působí provázek na závaží 1 a 3. Proč nejsou obě síly stejné? Jakými silami působí provázek na závaží
5
2? Ověř správnost výpočtu. Tření, hmotnost kladek i provázku zanedbej.
2kg 2 1kg 1
3 1kg
Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží.
2kg 2 Fg2 3 1kg 1kg 1 Fg3 Fg1 • Síly Fg1 a Fg 2 se snaží přetáhnout provázek na levou stranu. •
Síla Fg 3 se snaží přetáhnout provázek na pravou stranu.
•
Součet sil Fg1 a Fg 2 je větší než síla Fg 3 ⇒ provázek se začne přetahovat doleva.
F Fg 1 + Fg 2 − Fg 3 m1 g + m2 g − m3 g 1 ⋅10 + 2 ⋅10 − 1 ⋅10 = = = m/s 2 = 5 m/s 2 m m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3 1+ 2 +1 Výpočet síly Fp1 a=
Fp1 a
Závaží zrychluje směrem dolů ⇒ platí Fv1 = Fg1 − Fp1 .
Fp1 = Fg 1 − Fv1 = m1 g − m1a = m1 ( g − a ) = 1(10 − 5 ) N = 5 N
Výpočet síly Fp 3 Fp3 a
Závaží zrychluje směrem nahoru ⇒ platí Fv 3 = Fp 3 − Fg 3 .
Fp 3 = Fg 3 + Fv 3 = m3 g + m3 a = m3 ( g + a ) = 1(10 + 5 ) N = 15 N
Fg3 Síly Fp1 a Fp 3 nejsou stejně velké, protože nejde o dvojici partnerských sil, sílu Fp1 můžeme považovat za sílu, kterou působí závaží 2 na závaží 1, sílu Fp 3 za sílu, kterou působí závaží 2 na závaží 3. Síly na závaží 2 Platí: Fpd = Fp1 = 5 N , Fph = Fp 3 = 15 N . Fph Závaží zrychluje dolů ⇒ platí: F = F + F − F . v2 g2 p1 p3 2 2kg Dosadíme: 2 ⋅ 5 = 20 + 5 − 15 a 10 = 10 ⇒ zkouška vyšla. Fpd Fg3
6
Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 5 m/s 2 , provázek působí na závaží 1 silou 5 N, na závaží 3 silou 15 N.
Př. 6:
Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Urči síly, kterými působí provázek na závaží 1 a 3. Proč nejsou obě síly stejné? Jakými silami působí provázek na závaží 2? Ověř správnost výpočtu. Tření, hmotnost kladek i provázku zanedbej. 5kg 3
3kg 2 2kg 1 Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží.
F 5kg s3 3 Fg3 3kg 2 Fg2 2kg 1 •
Fg1 Síly Fg1 a Fg 2 se snaží přetáhnout provázek na levou stranu.
•
Síly Fg 3 a Fs 3 se navzájem vyruší (navíc jsou kolmé na směr zrychlování) ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. Fg1 + Fg 2 2 ⋅10 + 3 ⋅10 F m g + m2 g = 1 = a= = m/s 2 = 5 m/s 2 m m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3 2+ 3+5 Výpočet síly Fp1
a
Fp1
2kg 1
Závaží zrychluje směrem dolů ⇒ platí Fv1 = Fg1 − Fp1 .
Fp1 = Fg 1 − Fv1 = m1 g − m1a = m1 ( g − a ) = 2 (10 − 5 ) N = 10 N
Fg1 Výpočet síly Fp 3 a Fs2 Fp3 5kg 3 Fg2
Závaží zrychluje doleva ⇒ platí Fv 3 = Fp 3 .
Fp 3 = Fv 3 = m3 a = 5 ⋅ 5 N = 25 N
Síly Fp1 a Fp 3 nejsou stejně velké, protože nejde o dvojici partnerských sil, sílu Fp1 můžeme považovat za sílu, kterou působí závaží 2 na závaží 1, sílu Fp 3 za sílu, kterou působí závaží 2 na závaží 3. Síly na závaží 2
7
Platí: Fpd = Fp1 = 10 N , Fph = Fp 3 = 25 N .
Fph a
3kg 2 Fpd Fg3
Závaží zrychluje dolů ⇒ platí: Fv 2 = Fg 2 + Fp1 − Fp 3 . Dosadíme: 3 ⋅ 5 = 30 + 10 − 25 10 = 10 ⇒ zkouška vyšla.
Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 5 m/s 2 , provázek působí na závaží 1 silou 10 N, na závaží 3 silou 25 N.
Př. 7:
Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Urči vyznačené síly provázku. Tření, hmotnost kladek i provázku zanedbej. Fp3 4kg 3 F p4
1kg 2
4 2kg
3kg 1
Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží.
Fs3 4kg 3 1kg 2 Fg2
Fg3 4
Fg4 2kg
1 3kg Fg1 •
Síly Fg1 a Fg 2 se snaží přetáhnout provázek na levou stranu.
•
Síly Fg 3 a Fs 3 se navzájem vyruší (navíc jsou kolmé na směr zrychlování) ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. Síla Fg 4 se snaží přetáhnout provázek na pravou stranu.
•
Fg1 + Fg 2 − Fg 4 F m g + m2 g − m4 g 3 ⋅10 + 1 ⋅10 − 2 ⋅10 m/s 2 = 2 m/s 2 = = 1 = m m1 + m2 + m3 + m4 m1 + m2 + m3 + m4 3 +1+ 4 + 2 Výpočet síly Fp 4 (výpočet síly Fp 3 musíme provést později, protože na závaží 3 působí dvě síly od provázku a neznáme zatím ani jedinou): Závaží zrychluje směrem nahoru ⇒ platí Fv 4 = Fp 4 − Fg 4 . Fp4 Fp 4 = Fg 4 + Fv 4 = m4 g + m4 a = m4 ( g + a ) = 2 (10 + 2 ) N = 24 N a=
4 2kg a Fg4
8
Výpočet síly Fp 3 : a 4kgFs3 Fpp Fpl 3 Fg3
Platí: Fpp = Fp 4 = 24 N . Závaží zrychluje doprava ⇒ platí: Fv 3 = Fp 3 − Fp 4 .
Fp 3 = Fv 3 + Fp 4 = m3 a + Fp 4 = 4 ⋅ 2 + 24N = 32 N
Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 2 m/s 2 ´. Pro zakreslené síly platí: Fp 4 = 24 N , Fp 3 = 32 N . Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Urči vyznačené síly provázku. Tření, hmotnost kladek i provázku zanedbej. 1kg Fp2 2kg 3 2 Fp1
Př. 8:
4 2kg
3kg 1
Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží. Fs3 1kg Fs2 2kg 3 2 Fg2 Fg3
4
1
2kg Fg4
Fg1 3kg •
Síla Fg1 se snaží přetáhnout provázek na levou stranu.
•
Síly Fg 2 a Fs 2 se navzájem vyruší (navíc jsou kolmé na směr zrychlování) ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. Síly Fg 3 a Fs 3 se navzájem vyruší (navíc jsou kolmé na směr zrychlování) ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. Síla Fg 4 se snaží přetáhnout provázek na pravou stranu.
• •
Fg 1 − Fg 4 F m1 g − m4 g 3 ⋅10 − 2 ⋅10 = = = m/s 2 = 1, 25 m/s 2 m m1 + m2 + m3 + m4 m1 + m2 + m3 + m4 3 + 1 + 2 + 2 Výpočet síly Fp1 (výpočet síly Fp 2 musíme provést později, protože na závaží 2 působí dvě síly od provázku a neznáme zatím ani jedinou): Závaží zrychluje směrem dolů ⇒ platí Fv1 = Fg1 − Fp1 . F p1 a F = F − F = m g − m a = m ( g − a ) = 3 (10 − 1, 25 ) N = 26, 25 N a=
p1
g1
v1
1
1
1
3kg Fg1 Výpočet síly Fp 3 :
9
a Platí: Fpl = Fp1 = 26, 25 N . 1kg Fp2 Závaží zrychluje doleva ⇒ platí: Fv 2 = Fp1 − Fp 2 . Fpl Fs2 1 Fp 2 = Fp1 − Fv 2 = Fp1 − m2 a = 26, 25 − 1 ⋅1, 25 N = 25 N Fg2 Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 1, 25 m/s 2 . Pro zakreslené síly platí: Fp1 = 26, 25 N , Fp 2 = 25 N . Urči zrychlení soustavy závaží na obrázku. Urči vyznačenou sílu provázku. Tření, hmotnost kladek i provázku zanedbej. 3kg 2 Fp3
Př. 9:
3 1kg 4kg 1 4 2kg Nakreslíme do obrázku vnější síly, které působí na jednotlivá závaží.
3kg 2 Fs2 Fg2 3 1kg Fg3
4kg 1
4 2kg Fg4
Fg1 •
Síla Fg1 se snaží přetáhnout provázek na levou stranu.
•
Síly Fg 2 a Fs 2 se navzájem vyruší (navíc jsou kolmé na směr zrychlování) ⇒ neovlivňují urychlování soustavy. Síly Fg 3 a Fg 4 se snaží přetáhnout provázek na pravou stranu.
•
Fg 1 − Fg 3 − Fg 4 m g − m3 g − m4 g 4 ⋅10 − 1 ⋅10 − 2 ⋅10 F m/s 2 = 1m/s 2 = = 1 = m m1 + m2 + m3 + m4 m1 + m2 + m3 + m4 4 + 3 +1+ 2 Výpočet síly Fp 4 (výpočet síly Fp 3 musíme provést později, protože na závaží 3 působí dvě síly od provázku a neznáme zatím ani jedinou): Závaží zrychluje směrem nahoru ⇒ platí Fv 4 = Fp 4 − Fg 4 . a=
Fp4
a
Fp 4 = Fg 4 + Fv 4 = m4 g + m4 a = m4 ( g + a ) = 2 (10 + 1) N = 22 N
4 2kg Fg4 Výpočet síly Fp 3 :
10
Závaží zrychluje směrem nahoru ⇒ platí: Fv 3 = Fp 3 − Fp 4 − Fg 3
Fp 3 = Fp 4 + Fv 3 + Fg 3 = Fp 4 + m3 a + m3 g = 22 + 1 ⋅1 + 1 ⋅10 N = 33 N
Fp3 3 1kg a Fg3 Fp4
Soustava závaží na obrázku zrychluje se zrychlením 1m/s 2 . Síla Fp 3 ,á velikost 33 N.
Dodatek: Sílu Fp 3 můžeme určit rychleji, když "spojíme" závaží 3 a 4 dohromady. Pro spojené závaží platí: Fv 34 = Fp 3 − Fg 34 ⇒
Fp 3 = Fv 34 + Fg 34 = ( m3 + m4 ) a + ( m3 + m4 ) g = ( m3 + m4 )( a + g )
Fp 3 = (1 + 2 )(1 + 10 ) N = 33 N Stejný výsledek jako z klasického řešení.
Shrnutí:
11
