BAB I HIMPUNAN
1.1 PENGERTIAN Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal – hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau halhal lain tersebut disebut elemen atau unsure atau anggota himpunan. Himpunan biasanya diberi symbol huruf capital dan anggota himpunan dibatasi dengan tanda kurung kurawal. { … } Contoh : 1. A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota himpunan A. Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi anggota suatu himpunan digunakan lambang � dan untuk menyatakan bahwa suatu objek bukan merupakan anggota himpunan digunakan symbol �. 2. A = {b,c,d} dan B = {e,f} maka b � A dan b � B c � A dan c � B d � A dan d � B 1.2 PENULISAN HIMPUNAN Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu; A. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua anggota himpunan dianta dua kurung kurawal Contoh : 1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 hurup pertama. 2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil. 3. C = { 11, 13, 17, 19 }
menyatakan himpunan 4 bilangan prima.
B. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal. BAB I HIMPUNAN
1
Contoh : 1. A = { x | x = lima hurup pertama abjad }. 2. B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }. 3. C = { x | 10 < x < 20 , x � bilangan prima }.
C. Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunanhimpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan lingkaran. Contoh : U
A
B
CONTOH : 1. Tuliskan
dalam
bentuk
enumerasi
himpunanhimpunan
berikut
serta
kardinalitasnya: a. A = { x | x � himp bil bulat, 2 < x < 10 } b. B = { x | x � himp bil bulat, x2 + 1 � 10 } c. C = { x | x � himp bil bulat, x bilangan ganjil, 5 < x < 5 } JAWAB a. A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } dan n ( A ) = 7 b. B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan x2 + 1 = 10, sehingga B = { 2, 3, 1, 2, 3 } dan n ( B ) = 5 c. C = { 3, 1, 1, 3 } dan n ( C ) = 4
BAB I HIMPUNAN
2
1.3 KEANGGOTAAN HIMPUNAN Pada dasarnya himpunan dipakai untuk mengelompokan anggota yang sejenis atau memiliki sifat yang mirip saja, tapi bila dipakai untuk menyatakan himpunan dari himpunan lain atau kelompokkelompok yang berbedapun tidak dapat disalahkan, sebagai contoh ;
A = { a, 1, b, 2, c, 3 } P = { a, b, { a, b }, c, d } S = { a, {a}, {{a}} }
1.4 KARDINALITAS HIMPUNAN Misal S adalah himpunan yang angotaangotanya berhingga banyaknya, maka jumlah banyaknya angota didalam himpunan S disebut kardinalitas dari himpunan S Notasi : n (S) atau |S|
1.5 SIMBOLSIMBOL BAKU HIMPUNAN Dalam mempelajari himpunan ada beberapa himpunan yang memakai simbul baku yang sering dipakai oleh beberapa buku. Simbulsimbul himpunan baku ini diantaranya : P = Himpunan bilangan positip = { 1, 2, 3, 4 . . . } N = Himpunan bilangan asli = { 0, 1, 2, 3 . . . } Z = Himpunan bilangan bulat = { . . . 2, – 1, 0, 1, 2, . . . } R = Himpunan bilangan riil
1.6 JENISJENIS HIMPUNAN Dalam ilmu matematika dikenal ada beberapa macam himpunan, antara lain : 1.6.1 HIMPUNAN KOSONG Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {} atau �. Contoh : A = { } atau A = �
BAB I HIMPUNAN
3
1.6.2 HIMPUNAN SEMESTA (S) Hinpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objekobjek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga sering disebut himpunan universum atau semesta pembicaraan. Himpunan semesta biasa diberi symbol S Contoh : Besi dan tembaga termasuk logam, jika orang menyebut besi dan tembaga berarti orang tersebut sedang membicarakan masalah logam maka dikatakan { logam } merupakan himpunan semesta dari { besi, tembaga } atau dapat ditulis S = { besi, tembaga }
1.6.3 HIMPUNAN LEPAS Yaitu dua buah himpunan yang tidak memiliki anggota yang bersekutu. Himpunan lepas diberi symbol // Contoh : Jika A = { x | x � P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
1.6.4 HIMPUNAN SAMA Definisi : himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap angota himpunan A juga merupakan angota himpunan B demikian pula sebaliknya. Notasi : A = B Contoh ; 1. P = { a, b, c, d } dan Q = { d, c, b, a} , maka P = Q 2. Perhatikan himpunanhimpunan berikut : { a }, { a, b, c }, { a, c, D }, { c, b, a }, { a, b } Manakah dari himpunanhimpunan tersebut yang sama dengan himpunan A = { b, c, a}? Jawab : Himpunan { a, b, c } dan { c, b, a } identik atau sama dengan himpunan A karena mereka mempunyai tiga buah elemen yang sama. Himpunanhimpunan yang lain
BAB I HIMPUNAN
4
tidak sama dengan himpunan A karena mereka tidak mengandung semua elemen dari himpunan A atau mengandung elemen lain.
3. Perhatikan himpunanhimpunan { 4, 2 }, { x | x2x 6x + 8 = 0 } , { x | x adalah genap, 1 < x < 5 } Manakah dari himpunanhimpunan tersebut yang sama dengan
B = { 2, 4 } ?
Jawab : Semua himpunan di atas sama dengan himpunan B karena mereka semua memuat elemen 2 dan 4 (tidak elemen lainnya).
1.6.5 HIMPUNAN BERPOTONGAN Dua himpunan dikatakan saling berpotongan jika terdapat minimal 1 anggota yang menjadi anggota kedua himpunan tersebut.
1.6.6 HIMPUNAN BAGIAN DefInisi : Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B Notasi : A � B A � B; A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B. Contoh: A = { 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , maka A � B Catatan : Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan misalkan A, adalah 2 n(A). Dimana n(A) adalah bilangan kardinal yang menunjukkan jumlah elemen dari himpunan A.
1.6.7 HIMPUNAN EKUIVALEN Definisi : himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B
BAB I HIMPUNAN
5
Contoh ; X = { p, q, r, s } dan Y = { 2, 3, 5, 7 } , maka X ~ Y
1.6.8 HIMPUNAN KUASA Himpunan kuasa (Power Set) adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan. Contoh : S = { 0, 1 } maka himpunan kuasanya Ρ(S) = { Ø, {0}, {1}, {0, 1} }
1.6.9 HIMPUNAN TERHINGGA Definisi : Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotannya terhingga. Contoh: P = { x | x adalah bilangan asli yang kurang dari 10 } P adalah himpunan terhingga, karena elemenelemennya terhingga yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
1.6.10 HIMPUNAN TAK HINGGA Definisi : Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak terhingga atau tidak terbatas. Contoh: A = { x | x adalah bilangan asli } A adalah himpunan tak hingga, karena elemenelemennya tidak terbatas atau tak berhingga.
BAB I HIMPUNAN
6
1.7 OPERASI HIMPUNAN 1.7.1 UNION (GABUNGAN) Definisi : Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua angota yang termasuk dalam himpunan A atau atau himpunan B atau keduanya. Notasi : A
B dibaca A union B
A Contoh 1. A = { a, b, c, d } dan B = { e, f, g } Maka A � B = { a, b, c, d, e, f, g } Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut A � B = { x | x � A atau x � B } Berlaku hukum A � B = B � A A dan B keduaduanya juga selalu berupa subhimpunan dari A � B, yaitu ; A � (A � B) dan B � (A � B)
2.. Terdapat himpunan : U = {1, 2, 3, …, 9} A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6, 8} ; C = {3, 4, 5, 6} Tentukan :
BAB I HIMPUNAN
a. A � B
c. B � C
b. A � C
d. B � B
7
Jawab : a. Untuk menentukan A dan B, kita gabung semua elemenelemen dari A bersama sama dengan elemenelemen B. Dengan demikian,
A � B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
b. Begitu pula dengan A � C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} c. B � C = {2, 4, 6, 8, 3, 5} d. B � B = B = {2, 4, 6, 8} 1.7.2 INTERSECTION (IRISAN) Definisi : Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari angota angotanya dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu angotaangota yang termasuk A dan juga termasuk B. Notasi : A
B yang dibaca ”A irisan B”
S
A
B
Contoh : 1. S = { a, b, c, d } dan T = { b, d, f, g } Maka S � T = { b, d } Dapat dinyatakan dengan A � B = {x | x � A dan x � B} Setiap himpunan A dan himpunan B mengandung A � B sebagai subhimpunan, yaitu (A � B) � A dan (A � B) � B Jika himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai elemenelemen yang dimiliki bersama, berarti A dan B terpisah, maka irisan dari keduanya adalah himpunan kosong. BAB I HIMPUNAN
8
2. Terdapat himpunan sebagai berikut A = {0, 1, 3, 4, 6} ; B = {0, 3, 6} ; C = {5, 6} Tentukan : a. A � B
b. A � C
c. B � C
JAWAB a. A � B = { 0, 3, 6 } b. A � C = { 6 } c. B � C = { 6 } 1.7.3 DIFFERENCE (SELISIH) Definisi : Selisih dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B. Notasi : A – B dibaca ”selisih A dan B” atau ”A kurang B” dapat dinyatakan dengan A – B = { x � x � A dan x � B} Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti (A – B) � A Contoh : 1. Terdapat himpunan sebagai berikut A = { 0, 1, 3, 4, 6 } ; B = { 0, 3, 6 } ; C = { 5, 6 } Tentukan : a. A – B
b. A – C
c. B C
JAWAB a. A B = { 1, 4 } b. A C = { 0, 1, 3, 4, } c. B C = { 0, 3 }
BAB I HIMPUNAN
9
1.7.4 COMPLEMENT (KOMPLEMEN) Definisi : Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemenelemen yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A. Notasi : A’ = { x � x � U dan x � A} atau A’ = {x � x � A} A
1.7.5 SYMETRIC DIFFERENCE (BEDA SETANGKUP) Definisi : Beda setangkup dari himpunana A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tapi tidak dikeduanya. Notasi : A � B dibaca ” Beda setangkup A dan B dapat dinyatakan pula dengan : A � B = ( A � B ) – ( A � B )
S A B
1.7.6 CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN CARTESIAN) Definisi : Perkalian kartesian dari himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan yang agotaangotanya semua pasangan berurutan ( ordered pair ) yang mungkin dibentuka dengan unsur pertama dari himpunan A dan unsur kedua deari himpunan B. Notasi : A x B = { ( a, b) | a � A dan b � B .
BAB I HIMPUNAN
10
Contoh : A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b } , maka A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) }
Latihan Soalsoal 1. Tulislah dalam bentuk enumerasi himpunan berikut, lalu berapa nilai kardinalitasnya. a. P = { x | x adalah bilangan ganjil, 4 ≤ x < 7 } b. Q = { x | x adalah bilangan prima. 15 < x ≤ 31 } 2. Sebutkanlah kardinalitas himpunan berilut ; a. A = { a, b, { a, b, c }, c, d } b. P = { a, {a}, {{a}} } c. Z = { a, {a, 1, 2 }, { a, b, {a, b}} } 3. Tulislah dalam bentuk enumerasi himpunan a. I = { x | 2 < x ≤ 19 , x � bilangan prima }. b. S = { x | x = lima hurup pertama abjad }. 4. Jika S merupakan 6 bilangan ganjil dihitung dari 1, A merupakan bilangan ganjil yang ke3 dan ke4, B merupakan bilangan ganjil dari 1 sampai 7. Lukiskan diagram venn dan tunjukkan anggota himpunan masingmasing! 5. Jumlah taruna AKPELNI adalah 1215 taruna, terdiri dari 578 taruna semester I, 470 taruna semester III sisanya taruna semester V dan VII. Gambarkan dengan diagram venn dan tunjukkan anggotanya. 6. Diagram venn berikut menunjukkan data 45 taruna.
A : taruna yang senang bermain catur B : taruna yang senang bermain basket BAB I HIMPUNAN
11
Berapakah taruna yang : a. Senang bermain catur b. Senang bermain basket c. Senang bermain catur dan basket d. Tidak senang bermain catur e. Tidak senang bermain basket f. Tidak senang bermain catur dan basket 7. Suatu perusahaan pelayaran mempunyai 44 kapal. Masingmasing kapal digunakan untuk kapal penumpang 25 armada, untuk kapal barang 30 armada dan untuk keduaduangya 20 armada. a. Gambarkan diagram venn berdasar data tersebut! b. Berapa banyak kapal yang tidak digunakan untuk penumpang maupun barang? 8. Suatu perusahaan pelayaran memiliki 14 kapal, 2 kapal diantaranya tidak dioperasikan karena rusak. Hal ini menyebabkan 8 kapal digunakan untuk penumpang dan barang, 11 kapal sebagai kapal barang. a. Gambarkan diagram venn berdasar data tersebut! b. Berapa kapal yang digunakan untuk kapal penumpang c. Berapa kapal yang digunakan khusus untuk kapal penumpang d. Berapa kapal yang digunakan khusus untuk kapal barang 9. Di Jakarta terdapat 14 kantor perusahaan pelayaran. 11 kantor mengusahakan untuk penumpang dan 9 kantor mengusahakan penumpang dan barang secara bersamaan. Gambarkan diagram vennnya!
BAB I HIMPUNAN
12
��������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������
