Semestrální práce Deskriptivní geometrie II
TAPETOVÉ VZORY Michal Holpuch FA ČVUT 2011/12 LS
OBSAH
str.02
Obsah Úvod
3
Třída p1
7
Třída p1m (pm)
10
Třída p1g (pg)
13
Třída c1m (cm)
16
Třída p2
19
Třída p2gg (pgg)
22
Třída p2mg (pmg)
25
Třída p2mm (pmm)
28
Třída c2mm (cmm)
31
Třída p3
34
Třída p31m
37
Třída p3m1
40
Třída p4
43
Třída p4gm (p4g)
46
Třída p4mm (p4m)
49
Třída p6
52
Třída p6mm (p6m)
55
Zdroje
58
ÚVOD
str.03
Tapetové vzory Tapetový vzor je druh ornamentu, u kterého se nějáká jeho část opakuje ve dvou na sobě nezávislých směrech. Tímto opakováním vzniká síť čtyřůhelníků - buněk. Podle tvaru buněk uřčujeme celkem 5 druhů sítí: obdélníkovou, čtercovou, kosodélníkovou a šestiúhlníkovou, které jsou tvořeny primitivními buňkami a vystředěnou obdélníkovou, která je tvořena vystředěnou obélíkovu buňkou, která v sobě obsahuje primitivní kosočtvercovou buňku.(viz. str. 4, Druhy sítí) Buňky v sobě podle svého tvaru mohou mít tři druhy symetrie, na které je vyšetřujeme: osovou souměrnost (zrcadlení), posunutou osovou souměrnost a n-četnou rotační symetrii. Díky těmto vlastnostem je možné buňky, pomocí výše uvedených operací, vyplnit nějákou menší částí. Té té budeme říkat generátor. Pokud bychom vyšetřili všechny možné kombinace čtyřúhelníků a symetrií, zjistili bychom, že nám může vzniknout přesně 17 různých kombinací, které budem nazývat třídy. Každý tapetový vzor lze do jedné z těchto tříd zařadit. Způsob značení Jméno každé třídy má v sobě skryté určité informace o tom jak tapetový vzor vzniká z generátoru. Celý název každé třídy se skládá ze 4 znaků. Písmeno na prvním místě nám říká, o jakou buňku se jedná. Najdeme zde "p", jestli se jedná o primitivní buňku (primitive cell) nebo "c" když se jendá o vycentrovanou obdélníkovou buňku (centred rectangular). Číslice na druhém místě nám říká kolika nejvícčetná rotační symetrie se v buňce vyskytuje. Písmeno na třetím místě nás informuje o tom, jaký druh symetrie se při prvotním rozložení buňky ve vzoru nachází. Pokud se ve vzoru nachází osová symetrie najdeme zde "m" (mirror reflection), pokud se ve vzoru nachází osová symetrie s posunutím, najdeme zde "g" (glide reflection) a pokud se zde nenachází žádná symetrie, najdeme zde "1". Na čtvrtém místě můžeme najít ty samé znaky jako na třetím, pouze popisují symetrie při dalším rozložení buňky. Pro zjednodušení se některé znaky ze jmen vypouští. Běžně to jsou třetí a čtvrtý znak u tříd které nemají žádnou symetrii (p1 místo p111 a pod.) a čtvrtý znak u všech tříd kromě p3m1 a p31m (p1m místo p1m1), protože jeho vynechání nezpůsobí žádnou duplicitnost označení. Také se ještě vynechávají znaky, jejichž užití je zbytečné, jelikož vlastnost jimi definovaná je již zřejmá z ostatních znaků. Například vzor p2mm se běžně zkracuje na pmm, protože z dvojice osových souměrnosí je zřejmé, že třída 2-četnou rotaci obsahuje. Například jméno třídy p31m nám říká, že buňka je primitivní, obsanuje 3-četnou rotaci, při prvním rozložení buňky nenalezneme žádnou osovou symetrii a při jejím dalším rozložení nalezneme osovou symetrii. Třídy Jak jsem již psal, tříd je 17. Každá jednotlivá třída může být konstruována jen na určitém typu sítě. Pouze tak mohou být zachovány všechny její vlastnosti (viz. str. 6, Tabulka sítí a tříd) Pokud určujeme třídu již existujícího vzoru, je potřeba vždy nejprve najít nejmenší část vzoru, která se opakuje pouhým posouváním, to je buňka, a v té pak hledat symetrie a určit tak třídu. Podle výše uvedeného, je ale jasné, že již samotný tvar buňky nám určité třídy z možností vyřadí. K určení lze s výhodou použít Schéma určování tříd (viz. str. 5)
ÚVOD
str.04
Druhy sítí
obdélníková síť
čtvercová síť
kosodélníková síť
obdélníková vystředěná síť
šestiúhelníková síť
ÚVOD
str.05
Schéma určováni tříd
ANO c1m ANO
1
kosočtvercová síť? NE
p1m
ANO
p1g
NE
p1
osová souměrnost? NE
osová souměrnost s posunutím?
největší možná četnost rotační symetrie?
ANO c2mm ANO osy souměrnosi ve dvou ANO směrech? 2
osová souměrnost?
osová souměrnost?
osová souměrnost s posunitím?
všechny středy ANO otáčení na osách souměrnosti?
NE
4
NE
p2mg
p4
ANO p6m osová souměrnost? NE
ANO p2gg
NE
p2
ANO p3m1
NE
p31m
p3
osy souměrnosti ANO ve čtyřech směrech
NE
6
NE p2mm
osová souměrnost? NE
3
kosočtvercová siť?
p6
ANO p4mm
NE
p4gm
ÚVOD
str.06
Tabulka sítí a tříd Síť
čtvercová
obdélníková
kosodélníková
šestiúhelníková
p1m, p1g, p2mm, p2mg, p2gg
p1, p2
Možné třídy
p4, p4mm, p4gm
p3, p3m1, p31m, p6, p6mm
vycentrovaná obdélníková c1m, c2mm
Na následujících stránkách jsou rozkreslené jednotlivé třídy tapetových vzorů. U každé třídy je vždy vyobrazen základní jednoduchý vzor, jeho tvorba a síť na které byl vytvořen, dále pak příklad již existujícího vzoru který je rozebrán a určen a nakonec jeden vlastní vzor. Ve všech vyobrazeních je použito následujícího značení: Použité značení osa symetrie osa posunuté symetrie naznačení generátoru hranice buňky hranice generátoru
- střed 2-četné rotační symetrie - střed 3-četné rotační symetrie - střed 4-četné rotační symetrie - střed 6-četné rotační symetrie
provedeme posunutou osovou symetrii podle vyznačené osy
provedeme osovou symetrii podle vyznačené osy
provedeme kopírování buňky ve dvou směrech
n
provedeme n-četnou rotaci kolem vyznačeného středu
P1
str.07
P1 Tapeta Anglie, 12.stol.
str.08
P1 Vlastní vzor
str.09
P1M (PM)
str.10
P1M (PM) Vzor z látky hrobka ve Westminsteru, Anglie, 16.stol
str.11
P1M (PM) Vlastní vzor
str.12
P1G (PG)
str.13
P1G (PG) Daniel Wyllie - Journey to Infinity, 2004
str.14
P1G (PG) Vlastní vzor
str.15
C1M (CM)
str.16
C1M (CM) Vzor z oděvu Anglie, 16.stol
str.17
C1M (CM) Vlastní vzor
str.18
P2
str.19
2
P2 Vzor z oblečení divokých kmenů Sandwichovy ostrovy, 16. stol.
str.20
P2 Vlastní vzor
str.21
P2GG (PGG)
2
str.22
P2GG (PGG) Bronzová nádoba Nimrod, Izrael, 12.stol. př. n. l.
str.23
P2GG (PGG) Vlastní vzor
str.24
P2MG (PMG)
2
str.25
P2MG (PMG) Zdobení stropu Hrobka v Údolí králů, Egypt, 10.stol př.n.l.
str.26
P2MG (PMG) Vlastní vzor
str.27
P2MM (PMM)
2
str.28
P2MM (PMM) Zdobení stropu Hrobka v Údolí králů, Egypt, 10.stol př.n.l.
str.29
P2MM (PMM) Vlastní vzor
str.30
C2MM (CMM)
2
str.31
C2MM (CMM) Zdobení zdí vycházející ze vzoru rohoží pro panovníky hrobka, Egypt, 10.stol př.n.l.
str.32
C2MM (CMM) Vlastní vzor
str.33
P3
str.34
3
P3 Trey Kirk - Fiddling Harlequin, 2004
str.35
P3 Vlastní vzor
str.36
P31M
str.37
3
P31M Perský vzor Sbírka Britského národního muzea, 5.stol
str.38
P31M Vlastní vzor
str.39
P3M1
3
str.40
P3M1 Ornament užitý na obrazu Čína, 14.stol
str.41
P3M1 Vlastní vzor
str.42
P4
str.43
4
P4 Obložení středového výklenku sálu velvyslanců Palác Alhambra v Granadě, Španělsko
str.44
P4 Vlastní vzor
str.45
P4GM (P4G)
4
str.46
P4GM (P4G) Zdobení stropu Katedrála v Segovii, Španělsko
str.47
P4GM (P4G) Vlastní vzor
str.48
P4MM (P4M)
4
str.49
P4MM (P4M) Perský vzor sbírka Britského národního muzea, 5.stol
str.50
P4MM (P4M) Vlastní vzor
str.51
P6
str.52
3
2
P6 Obložení zdí v domě Sancheze Palác Alhambra v Granadě, Španělsko
str.53
P6 Vlastní vzor
str.54
P6MM (P6M)
3
2
str.55
P6MM (P6M) Mramorová dlažba kostel St. Maria Maggiore v Římě, Itálie
str.56
P6MM (P6M) Vlastní vzor
str.57
ZDROJE
str.58
Zdroje obrázků vzorů: p1: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Middle Ages n°3, obr.19 p1m: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Elizabethan n°3, obr.9 p1g: http://www.peda.com/tess/contest.html ročník 2007, Daniel Wyllie - Journey to Infinity c1m: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Elizabethan n°3, obr.16 p2: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Savage Tribes n°1, obr.6 p2gg:Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Niniveh & Persia n°2, obr.10 p2mg: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Egytpian n°7, obr.14 p2mm: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Egytpian n°7, obr.24 c2mm: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Egytpian n°6, obr.19 p3: http://www.peda.com/tess/contest.html ročník 2004, Trey Kirk - Fiddling Harlequin p31m: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Persian n°2, obr.19 p3m1: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Chinesse n°1, obr.19 p4: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Moresque n°4, obr. 3 p4gm: http://lh3.ggpht.com/-ekVgEsmMgHQ/TJaPT3FRiBI/AAAAAAAAHY4/ 1bHTqYLahzc/DSCN2919M.JPG p4mm: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Persian n°1, obr.8 p6: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Byzantine n°3, obr.19 Zdroje informací: S. J. Abas, Amer Shaker Salman - Symmetries of Islamic geometrical patterns, 1995 http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_planar_symmetry_groups http://is.muni.cz/th/106039/pedf_b/tapetove_vzory.pdf http://euler.slu.edu/escher/index.php/Wallpaper_Patterns http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/www/content/download/525/1484/file/ornament.pdf http://www.singsurf.org/wallpaper/wallpaper.php http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/projects/
