V. TERMOMECHANIKA A TERMOKINETIKA SDÍLENÍ TEPLA VE VÝMĚNÍCÍCH TEPLA Ve výměnících tepla dochází obecně ke všem třem možným způsobům sdílení tepla. Nejčastěji dochází ve výměnících tepla ke sdílení tepla vedením (kondukcí) a prouděním (konvekcí). K tomuto způsobu dochází např. u chladících výměníků spalovacích motorů, chladících kondenzátorů chladících oběhů, v ohřívácích vody či jiných tekutin, topných tělesech atp. Méně často dochází ke sdílení tepla sáláním (tepelným zářením). 1.0 Druhy sdílení tepla Vedení tepla se vyznačuje tím, že je vázáno na látku (pevnou, ale i kapalnou a plynnou). Může se dít jen mezi zcela bezprostředně sousedícími částicemi hmoty. Sdílení tepla prouděním (konvekcí) se uskutečňuje tím, že částice hmoty (kapalin, plynů) mění své místo v prostoru a tím současně přenášejí tepelnou energii. Tento děj v tekutinách je současně provázen vedením tepla od částice k částici hmoty, protože v proudící látce neexistuje teplotní rovnováha. Proto podle II. věty termodynamiky dochází ke sdílení tepla v této proudící kapalině i vedením z částic vyšší teploty na částice nižší teploty. Sdílení tepla sáláním (tepelným zářením) je v podstatě elektromagnetickým vlněním. Sálání mezi dvěma tělesy je složitý proces vyzařování, pohlcování a propouštění zářivé tepelné energie. Zářivá tepelná energie prochází prostorem a při dopadu na druhé těleso se zcela nebo zčásti mění v teplo. Sálání se uskutečňuje i ve vzduchoprázdnu. Dochází k němu např. u sálavých topných ploch, při sdílení tepla ze stěny válce spalovacích motorů atp.
1.1 Vedení tepla v tělesech Řešení vedení tepla je založeno na dvou základních zákonech. První zákon vyjadřuje závislost mezi tepelnými toky a teplotními spády. Druhý zákon je zákon zachování energie, který je aplikován na tepelné jevy. Závislost mezi tepelnými toky a teplotními spády vyjadřuje Fourierův zákon, který je základním zákonem vedení tepla. Tento zákon byl experimentálně ověřen. Podle tohoto zákona a II. věty termodynamické se uskutečňuje tepelný tok resp. výkon (Pt) kolmo na isotermické plochy, tj. plochy na nichž je teplota stálá, a to z ploch o vyšší teplotě na plochy o nižší teplotě (obr. č. V-1a).
2
Obr. V-1 Vedení tepla jednoduchou rovinnou stěnou a) Podle tohoto obrázku se tepelný výkon (Pt) sdílí rovinou deskou síly (s) mezi teplotami (t1) a (t2). Plochou (S) je veden tepelný výkon (Pt) určený rovnicí: Pt =
λ · (t1 – t2) · S s
(V –1)
kde (λ) je látkovou konstantou teploměnné plochy a nazývá se součinitelem tepelné vodivosti. Později bude dokázáno, že teplotní spád (t1 – t2) má lineární průběh. Pro nekonečně blízké (dx) isotermické plochy lze rovnici (V – 1) přepsat do obecného tvaru: Pt = – λ · S ·
∂t ∂x
(V – 2)
kde dt/dx je teplotní gradient, který má opačné znaménko jak teplotní rozdíl. Pro výpočty se užívá měrný tepelný výkon (q) jež je dán: AT = – λ ·
∂t ∂x
(V – 3)
Je-li známo teplotní pole tělesa, lze pomocí rovnici V – 2 a V – 3 vypočítat tepelné výkony sdílené vedením. Po separaci proměnných a integraci rovnice V – 3 v mezích 0-x bude platit: ∂t = –
x qt q · ∂x, t = ∫ ∂t = – t · x + C λ λ 0
integrační konstanta (C) se určí z mezní okrajové podmínky pro: x = 0 , t = t1 je C = t1 a
3
(V – 4)
qt · x + t1 λ
t=–
(V – 5)
tato rovnice potvrzuje dřívější tvrzení, že průběh rozdílu teplot (t1 – t2) je lineární při stacionárním toku (qt = konst) a stálé hodnotě (λ). Pro x = s je T = t2 a pak t2 = –
qt · s + t1 λ
(V – 6)
odkud neznámý měrný tepelný výkon (qt) pro známé teplotové poměry určuje rovnice: qt =
λ · (t1 – t2) s
[W·m-2]
(V – 7)
Poměr λ/s [W·m-2·K-1] se nazývá tepelnou vodivostí stěny a jeho převrácená hodnota s/λ [m2·K-1·W-2] tepelným odporem stěny. Tepelný výkon (Pt) sdílený stěnou plochy (S) určuje rovnice: Pt = qt · S =
λ · (t1 – t2) · S s
[W]
(V – 8)
b) Ve skutečnosti bývá stěna, jíž je vedeno teplo, složena z více vrstev (obr. č. V-2). Jsouli součinitele vedení tepla této třívrstevné stěny λ1, λ2, λ3 a povrchové teploty t1 a t4 známy, lze teploty styčných vrstev t2 a t3 určit. Stýkají-li se stěny dokonale a je-li tepelný šok stacionární (qt = konst), musí být tento měrný tepelný výkon stejný u všech vrstev. Pro každou jednoduchou stěnu (vrstvu) musí platit: qt =
λ λ λ1 · (t1 – t2) = 2 · (t2 – t3) = 3 · (t3 – t4) [W·m-2] s1 s2 s3
(V – 9)
odkud rozdíly teplot jednotlivých vrstev jsou dány vztahy: t1 – t2 = qt ·
s s s1 , t2 – t3 = qt · 2 , t3 – t4 = qt · 3 λ3 λ2 λ1
(V – 10)
sečtením rovnic V – 10 se určí celkový teplotní spád (t1 – t4): ⎛s s s ⎞ (t1 – t2) + (t2 – t3) + (t3 – t4) = t1 – t4 = qt · ⎜⎜ 1 + 2 + 3 ⎟⎟ ⎝ λ1 λ 2 λ 3 ⎠
4
(V – 11)
odkud měrný tepelný výkon (qt) je dán: qt =
t1 − t 4 s1 s 2 s 3 + + λ1 λ 2 λ 3
[W·m-2]
(V – 12)
pro tepelné výpočty se zpravidla vyjadřuje tzv. ekvivalentní součinitel vedení tepla (λek) vícevrstevné stěny:
qt =
λ t1 − t 4 = ek · (t1 – t4) s1 s 2 s 3 s + + λ1 λ 2 λ 3
[W·m-2]
(V – 13)
[W]
(V – 14)
Obr. V-2 Vedení tepla složenou rovinnou stěnou Pak tepelný výkon (Pt) sdílný stěnou je dán rovnicí: Pt = S ·
λ ek · (t1 – t4) s
Z rovnic V – 10 lze vyjádřit neznámé hodnoty teplot ve styčných plochách vrstev (t2, t3): t2 = t1 – qt ·
s1 λ1
t3 = t2 – qt ·
s2 = t1 – qt · λ2
⎛ s1 s 2 ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ = t4 + qt · ⎝ λ1 λ 2 ⎠
⎛ s3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ λ3 ⎠
(V – 15)
Z rovnice plyne, že při stacionárním toku (qt = konst) a konstantních součinitelích vedení tepla (λ1, λ2, λ3) se mění teplota uvnitř každé vrstvy lineárně.
5
c) Při stacionárním vedení tepla válcovou plochou (trubkou) se teplota mění jen v radiálním směru (obr. č. V-3). Teplotní pole je jednorozměrné je-li λ = konst a teploty t1 a t2 jsou rovněž stálé (t1 > t2). Elementární válcovou plochou tloušťky (∂r) je podle Fourierova zákona veden tepelný výkon (Pt): Pt = − λ ⋅ S ⋅
∂t ∂t = −λ ⋅ 2 ⋅ π + L ⋅ ∂r ∂r
(V – 16)
po separaci proměnných a integraci v mezích 0 až r bude: ∂t =
∂r Pt ⋅ 2⋅π⋅λ⋅L r
či t = ∫ ∂t = −
r
Pt ∂r Pt ⋅∫ = − ⋅ lnr + C 2⋅π⋅λ⋅L 0 r 2⋅π⋅λ⋅L
(V – 17)
Obr. č. V-3 Vedení tepla jednoduchou válcovou plochou Pro okrajové podmínky r = r1 je t = t1 a pro r = r2 je t = t2. Pak platí: t1 = −
Pt Pt ⋅ lnr1 + C, t 2 = − ⋅ lnr2 + C 2⋅π⋅λ⋅L 2⋅π⋅λ⋅L
(V – 18)
Po odečtení rovnic V – 18 bude: t1 − t 2 =
Pt Pt r ⋅ (lnr2 − lnr1 ) = ⋅ ln 2 2⋅ π⋅λ ⋅L 2⋅π⋅λ⋅L r1
odkud hledaný tepelný výkon (Pt) sdílený vedením bude:
6
(V – 19)
Pt =
2⋅π⋅λ⋅L 2⋅π⋅λ⋅L ⋅ (t 1 − t 2 ) ⋅ (t 1 − t 2 ) = r2 d2 ln ln r1 d1
[W]
(V – 20)
[W·m-1]
(V – 21)
nebo měrný tepelný výkon (qt) pro 2-1 bude: qt =
Pt 2 ⋅ π ⋅ (t1 − t 2 ) = 1 d L ⋅ ln 2 λ d1
Z rovnice V – 19 plyne, že průběh změny teploty (t1 – t2) ve válcové stěně je dán logaritmickou křivkou. Teplotu v libovolném místě (poloměru r) lze vyjádřit tak, že se do rovnice V – 17 dosadí hodnota konstanty (C) vyjádřená z rovnice V – 18: Pt Pt Pt ⋅ lnr + t1 + ⋅ lnr1 = t1 − ⋅ (lnr − lnr1 ) = 2⋅π⋅λ⋅L 2⋅π⋅λ⋅L 2⋅π⋅λ⋅L r ln (V – 22) Pt r d t1 − t 2 r1 = t1 − ⋅ ln = t1 − ⋅ ln = t1 − (t1 − t 2 ) ⋅ d2 d 2⋅ π⋅λ ⋅L r1 d1 ln ln 2 d1 d1 t=−
d) Přivedením tepla vícevrstevnou válcovou plochou (obr. č. V-4) lze tepelné a teplotové poměry řešit obdobně jako u složené rovinné stěny. Jsou-li známy součinitelé vedení tepla vrstev (λ1, λ2, λ3) a povrchové teploty (t1, t4), musí při dokonalém styku vrstev, při stacionárním vedení tepla procházet všema vrstvama stejný měrný tepelný výkon (qt) pro nějž platí: qt =
Pt 2 ⋅ π ⋅ (t1 − t 2 ) 2 ⋅ π ⋅ (t 2 − t 3 ) 2 ⋅ π ⋅ (t 3 − t 4 ) = = = 1 d2 d´3 1 d 1 L ⋅ ln ⋅ ln ⋅ ln 4 λ1 d1 λ3 d3 λ2 d2
(V – 23)
odkud rozdíly teplot jednotlivých vrstev jsou určeny rovnicemi: t1 − t 2 =
qt d qt d ⋅ ln 2 , t 2 − t 3 = ⋅ ln 3 , 2 ⋅ π ⋅ λ1 d1 2 ⋅ π ⋅ λ2 d2
qt d t3 − t4 = ⋅ ln 4 , 2 ⋅ π ⋅ λ3 d3
7
(V – 24)
Obr. č. V-4 Vedení tepla složenou válcovou plochou Z rovnice plyne, že změna teploty v jednotlivých vrstvách je dána logaritmickou závislostí. Celková změna složení válcové stěny je lomená logaritmická křivka. Součet teplotních rozdílů vrstev podle rovnice V – 24 dává celkový rozdíl teplot složené válcové stěny. (t1 – t2) + (t2 – t3) + (t3 – t4) = t1 – t4 =
qt ⎛ 1 d d 1 1 d ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⋅ ln 2 + ⋅ ln 3 + ⋅ ln 4 ⎟⎟ (V – 25) 2 ⋅ π ⎝ λ1 d1 λ 2 d 2 λ3 d3 ⎠
Pro známé povrchové teploty (t1, t2) lze z rovnice V – 25 určit hledaný měrný tepelný výkon (qt): qt =
2 ⋅ π ⋅ (t1 − t 4 ) d 1 d2 1 1 d ⋅ ln + ⋅ ln 3 + ⋅ ln 4 λ1 d1 λ 2 d 2 λ3 d3
[W·m-1]
(V – 26)
Hodnoty teplot ve styčných plochách vrstev (t2, t3) lze vyjádřit z rovnic V – 24: t 2 = t1 −
qt d ⋅ ln 2 2 ⋅ π ⋅ λ1 d1
t3 = t2 −
qt d q ⎛1 d 1 d ⎞ qt d ⋅ ln 3 = t1 − t ⋅ ⎜⎜ ⋅ ln 2 + ⋅ ln 3 ⎟⎟ = t 4 + ⋅ ln 4 (V – 27) 2 ⋅ π ⋅ λ2 d2 2 ⋅ π ⎝ λ1 d1 λ 2 d2 ⎠ 2 ⋅ π ⋅ λ3 d3
Měrný tepelný výkon (qt) pro výpočet teplot (t2, t3) se vypočte z rovnice V – 26 a do rovnice V – 27 se dosadí.
8
1.2 Sdílení tepla prouděním Sdílení tepla prouděním v sobě obsahuje dva mechanizmy přenosu tepla, které spolu neodlučitelně souvisí. Jak již bylo uvedeno, existuje v proudící tekutině (kapalině, plynu) vedení tepla mezi částicemi různé teploty a přenos tepla přemísťováním těchto částic tepla. Přestup tepla je tedy neoddělitelně vázán na proudění tekutiny. Přestup tepla se může uskutečňovat přímo, tj. že proudící teplonosná tekutina je přímo ve styku s materiálem, do něhož tepelná energie přestupuje, např. při konvekčním teplovzdušném sušení atp. Je-li ohřívaný materiál – zpravidla kapalina a plyn oddělena od teplonosné tekutiny pevnou stěnou, uskutečňuje se nepřímý přestup tepla, tj. přestup tepla z tekutiny do stěny, jíž je teplo dále sdíleno vedením a na druhé straně této teplosměnné stěny dochází znovu k přestupu tepla do proudícího ohřívacího media. Proudí-li podél povrchu pevné stěny (obr. č. V-5) turbulentně větší množství tekutiny, pak podle směru toku tepelné energie – tepelného výkonu (Pt) dochází v relativně tenké vrstvě k velké změně teplot (∆t) jež se dále v tekutině více – méně nemění (obr. č. V-5). Teplotní mezní vrstva je pro (Pr > 1) slabší nežli je rychlostní mezní vrstva turbulentního proudění. Dějům přestupu tepla podle obr. č. V-5 dochází ve výměnících tepla způsobem dříve popsaným. Přestup tepla, tj. přenášený tepelný výkon (Pt) určuje Newtonova rovnice: Pt = α · S · (tk – ts)
- pro přestupy do stěny
[W]
Pt = α · S · (ts – tk)
- pro přestupy ze stěny
[W]
(V – 28)
Obr. č. V-5 Přestup tepla a) z tekutiny do pevné stěny, b) z pevné stěny do tekutiny
9
kde: tk
- je střední teplota tekutiny,
ts
- je teplota stěny. Rozhodující veličinou přestupu tepla je součinitel “α“, tj. součinitel přestupu tepla,
který vyjadřuje tepelný výkon (tok) přestupující jednotku teplosměnné plochy při jednotkovém teplotovém spádu. Má tedy jednotku [W·m-2·K-1]. Součinitel přenosu tepla (α) závisí na mnoha činitelích, zejména na vlastnostech tekutiny, na jejím pohybovém stavu, na tvaru povrchu tělesa, ale nezávisí na materiálu stěny. Závislost součinitele přestupu tepla (α) na uvedených činitelích je složitou funkcí, kterou lze obecně formulovat: α = (w, ts, tk, λ , cp , ρ , η , L1 , L2 , L3 … )
(V – 29)
kde: L1,2,3 - vyjadřují tvar a velikost tělesa [m], w
- rychlost tekutiny [m·s-1],
λ
- tepelnou vodivost tekutiny [W·m-1·K-1],
cp
- měrnou tepelnou kapacitu tekutiny [J·kg-1·K-1],
ρ
- měrnou hmotnost [kg·m-3],
η
- dynamickou viskozitu tekutiny [Pa·s]. Uřčení velikosti součinitele přestupu tepla (α) je analyticky dosti složité, a proto se
zpravidla určuje prostřednictvím kriteriálních rovnic bezrozměrných kritérií (Re, Nu, Pr, We), které byly experimentálně ověřeny pro různé podmínky přestupu tepla např. při volné konvekci, nucené konvekci, varu kapaliny, kondenzaci či blánové kondenzaci atp. Proudící tekutina vytváří podél pevné stěny mezní vrstvu (obr. č. V-5), ve které se rychlost proudění snižuje k nulové hodnotě, takže se v ní teplo sdílí pouze vedením. Pak pro měrný tepelný výkon (qt), sdílený prouděním a vedením v mezní vrstvě, musí platit rovnost: ⎛ ∂t ⎞ qt = α · (ts – tk) = λ · ⎜ ⎟ ⎝ ∂n ⎠ρ
(V – 30)
kde ∂t/∂n je teplotní spád ve směru normály při konstantní měrné hmotnosti tekutiny (ρ = konst) a stálém součiniteli vedení tepla (λ) mezní vrstvy. Za předpokladu klidné mezní vrstvy konečné tloušťky (δ) při teplotním rozdílu (ts – tk) bude platit:
10
qt = α · (ts – tk) =
λ · (ts – tk) δ
[W·m-2]
(V – 31)
odkud platí δ=
λ α
tzn., že v mezní vrstvě (δ) je teplo pouze vedeno. V předešlých rovnicích se uvažuje s teplotou tekutiny (tk). V blízkosti stěny se teplota tekutiny rovná teplotě stěny. Opačně musí existovat místo (vzdálenost) tekutiny, kde její teplota již není ovlivněna teplejší a chladnější stěnou. Při proudění v trubkách, což je pro techniku nejčastější případ, neexistuje taková oblast tekutiny a s přibývající délkou potrubí je také teplota jádra proudu ovlivňována teplotou stěny. Tímto procesem se pak tloušťka teplotní mezní vrstvy (δ) nakonec rovná poloměru trubky. Odsud plyne, že po určité náběžné dráze je součinitel přestupu tepla (α) nezávislý na délce trubky. Za těchto podmínek je možno určující teplotu tekutiny definovat: -
teplotou tekutiny v ose trubky – tato teplota je jednoznačná a současně je rozdíl teplot mezi stěnou a osou trubky největší, takže tento rozdíl je charakteristickou veličinou. Nedá se však jednoduše měřit.
-
střední teplotou tekutiny vztaženou na průřez (ts) – tento průřez se rozdělí na soustředné elementární plochy (∂S) a pro každou plošku se měřením určí teplota (t). Pro střední teplotu tekutiny (ts) pak platí: S
S
1 t S ⋅ S = ∫ t ⋅ ∂S resp., t S = ⋅ ∫ t ⋅ ∂S S 0 0
(V – 32)
Tato střední teplota (ts) však nerespektuje vůbec rychlostní profil proudící tekutiny. -
střední teplotou vztaženou na průtočný objem (ts′) – na rozdíl od předešlé teploty budou měřené teploty vztaženy na průtočný objem (∂Qv = w·∂S), čímž je zohledněn i rychlostní profil. Pak pro teplotu ts′ platí: S
S
1 ts′· Qv = ∫ t ⋅ w ⋅ ∂S odkud ts′ = ⋅ t ⋅ w ⋅ ∂S Q v ∫0 0
(V – 33)
kde Qv
- je průtočný objem tekutiny [m3·s-1]. Tato střední určující teplota (ts′) ještě nezahrnuje vliv tepelných vlastností
proudových vláken (soustředných elementárních válců), které se mohou lišit.
11
-
střední teplotou vztaženou na průtočnou hmotnost (ts″), která i předchozí nedostatek určující veličiny odstraňuje, neboť vychází z elementárních průtočných hmotností (∂Qm = ρ·w·∂S) odpovídajících elementárním soustředným plochám (∂S), které se násobí měrnou tepelnou kapacitou za daného tlaku (cp). Pro tuto určující teplotu (ts″) platí: S
ts″·Qm · cp = ∫ t ⋅ w ⋅ ρ ⋅ c p ⋅ ∂S odkud ts″ = 0
S
1 ⋅ t ⋅ w ⋅ ρ ⋅ c p ⋅ ∂S Q m ⋅ c p ∫0
(V – 34)
kde Qm je hmotnostní průtok trubkou [kg·s-1].
Obr. č. V-6 Tepelně isolující vliv mezní vrstvy tekutiny
1.2.1 Bezrozměrná kriteria a jejich význam K základním bezrozměrným kriteriím náleží Reynoldsovo číslo (Re), Nuseltovo číslo (Nu), Prandtlovo číslo (Pr), Grashoffovo číslo (Gr) a Weberovo číslo (We). Reynoldsovo číslo (Re) Je dáno poměrem mezi zrychlujícími a třecími silami proudění vazké tekutiny, které lze vyjádřit: Re =
ρ⋅ w2 ⋅d w ⋅d ρ⋅w ⋅d = = ν η⋅ w η
[-]
kde: d
- je průměr nebo charakteristický rozměr potrubí [m],
w
- rychlost proudění [m·s-1],
ν
- kinetická viskozita [m2·s-1],
η
- dynamická viskozita [Pa·s-1]
ρ
- měrná hmotnost tekutiny [kg·m-3].
12
(V – 35)
Nuseltovo číslo (Nu) Toto číslo má geometrický význam. Bude-li celý tepelný odpor přestupu tepla, tj. povrchový odpor způsobovat tenká mezní vrstva na povrchu stěny o tloušťce δ [m] a tepelné vodivosti λ [W·m-1·K-1], působí tato vrstva jako tepelný isolátor odpovídající celému teplotnímu spádu (∆t). Takže tepelný odpor je při přestupu stejný jako odpor vedení tepla uvažovanou mezní vrstvou. Čili platí: 1/α=δ/λ Tloušťka mezní vrstvy je tedy δ = λ/α a Nuseltovo číslo (Nu) vyjádřené vztahem: Nu =
α⋅d d = λ δ
[-]
(V – 36)
Je poměrem charakteristického rozměru trubky (d) [m] a tloušťky (δ) [m] isolující mezní vrstvy. Prandtlovo číslo (Pr) Vyjadřuje poměr mezi dynamickou viskozitou (η) a součinitelem teplotní vodivosti: Pr =
η ⋅ cp λ
=
ν ⋅ ρ ⋅ cp
[-]
λ
(V – 37)
Prandtlovo číslo je tedy také směrodatné pro vztah mezi teplotním a rychlostním polem. Odsud vyplývá kriteriální funkce Nu = f (Re, Pr), tj. že sdělované teplo závisí na vytvoření rychlostního pole (Re) a jeho vztahu k teplotnímu poli (Pr). V této rovnici je “cp“ měrná tepelná kapacita za stálého tlaku. Grashoffovo číslo (Gr) Určuje poměr vztlakové síly (ρ g γ ∆t) pro element objemu k jeho setrvačným silám ρ·w2 / d γ [K-1] vyjadřuje isobarický součinitel roztažnosti: Gr =
ρ ⋅ g ⋅ γ ⋅ ∆t ⋅ d ρ ⋅ w2
[-]
(V – 38)
Při volné konvekci má velký význam vytvoření rychlostního pole vztahovými silami způsobenými rozdílem teplot (∆t) a tedy i Grashoffovo číslo je pro volnou konvekci důležité.
13
Weberovo číslo (We) Je dáno poměrem: We =
σ (ρ′ − ρ′′) ⋅ d 2
(V – 39)
kde: ρ′, ρ″ - jsou měrné hmotnosti syté kapaliny a syté páry [kg·m-3], d
- charakteristický rozměr trubky či kanálu [m],
σ
- je povrchové napětí [Pa].
1.2.2 Určení hodnoty součinitele přestupu tepla (α) Hodnoty (α) se zpravidla určují pomocí kriteriálních rovnic bezrozměrných kriterií pro jednotlivé druhy proudění a tvary teplosměnných ploch. A. Přestup tepla při všech druzích přirozeného proudění (konvekce) se dá na základě experimentů vyjádřit mocninou kriteriální funkcí ve tvaru: Nu = c (Gr, Pr)n
(V – 40)
Průběh této funkce v logaritmických souřadnicích je znázorněn na obr. č. V-7. Obecná mocninná funkce (V – 40) může být pro jednotlivé oblasti vyjádřena následujícími rovnicemi: a) Pro Gr, Pr > 2.107 je mezní vrstva turbulentní a odpovídající část křivky (3-4) lze nahradit rovnicí: Nu = 0,135 ⋅ 3 Gr ⋅ Pr
(V – 41)
Obr. č. V-7 Přestup tepla při volném proudění tekutiny
14
Platnost této rovnice byla prokázána experimentálně na svislých a vodorovných deskách i trubkách až do hodnoty Gr·Pr = 109. Pro tyto podmínky se součinitel přestupu tepla (α) určí dosazením rovnic (V – 37) a (V – 38) do rovnice (V – 41): α⋅d = 0,135 · λ
⎛ ν ⋅ ρ ⋅ cp ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ λ ⎠
0,33
⎛ g ⋅ γ ⋅ ∆t ⋅ d ⎞ ·⎜ ⎟ w2 ⎠ ⎝
0,33
odkud λ ⎛d⎞ α = 0,135 · · ⎜ ⎟ d ⎝λ⎠
0 , 33
⎛ν ⋅ ρ ⋅ c p ⋅ γ · ⎜⎜ w2 ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
0 , 33
·∆t0,33 · g0,33
po úpravě ⎛λ⎞ α = 0,135 · g0,33 · ⎜ ⎟ ⎝d⎠
0 , 67
· (η ⋅ c p ⋅ γ )
0 , 33
·
∆t 0,33 w 0,67
či ⎛λ⎞ α = 0,289 · ⎜ ⎟ ⎝d⎠
0 , 67
∆t 0,33 0 , 33 · · (η ⋅ c p ⋅ γ ) 0,67 w
(V – 42)
b) Pro Gr·Pr % 5·102 až 2·107 je v mezní vrstvě intenzivní vírnatý pohyb. V tomto rozsahu leží většina případů přirozeného proudění. Odpovídající část křivky (2-3) lze vyjádřit rovnicí: Nu = 0,54 · (Gr · Pr)0,25
(V – 43)
Rovnice je potvrzena na svislých deskách ve vzduchu i kapalinách. Na vodorovných trubkách dosahuje “α“ asi 90 % hodnoty naměřených na svislých deskách. V plynech dosahuje Pr = 0,925 a pak lze rovnici V – 43 přibližně psát: Nu = 0,54 · Gr0,25
(V – 44)
Rovnice součinitele přestupu tepla (α) pro tuto oblast se vyjádří dosazením rovnic (V – 37) a (V – 38) do rovnice (V – 44): ⎛ ν ⋅ ρ ⋅ cp ⎞ α⋅d ⎟⎟ = 0,54 ⋅ ⎜⎜ λ λ ⎝ ⎠
0,25
⎛ g ⋅ γ ⋅ ∆t ⋅ d ⎞ ⋅⎜ ⎟ w2 ⎝ ⎠
0,25
odkud α = 0,54 ⋅ g
0,25
λ ⎛d⎞ ⋅ ⋅⎜ ⎟ d ⎝λ⎠
0,25
⎛ ν.c .γ ⎞ ⋅ ⎜⎜ p2 ⎟⎟ ⎝ w ⎠
0,25
⋅ ∆t 0,25
po úpravě
15
λ 0,75 α = 0,995 ⋅ 0,75 d
⎛ ν ⋅ cp ⋅ γ ⎞ ⎟ ⋅ ⎜⎜ 0,5 ⎟ ⎝ w ⎠
0,25
⋅ ∆t 0,25
(V – 45)
c) Pro Gr = 10-3 až 5·102 je v mezní vrstvě laminární proudění. V této oblasti (1-2) má kriteriální rovnice tvar: Nu = 1,18 · (Gr, Pr)1/8
(V – 46)
a ⎛λ⎞ α = 1,569 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝d⎠
0,875
⎛ ν.c p .γ ⎞ ⋅ ⎜⎜ 0,25 ⎟⎟ ⎝w ⎠
0,125
⋅ ∆t 0,125
(V – 47)
d) Pro Gr·Pr < 10-3, tj. pro oblast (0-1) je Nu = konst (log Nu = -0,3) a součinitel přestupu tepla (α) je dán: α = 0,5 ⋅
λ d
(V – 48)
a závisí pouze na tepelné vodivosti tekutiny (λ). Uvedené vztahy Nu = c (GrPr)n platí pro libovolné kapaliny a plyny, pro tělesa libovolného tvaru a rozměrů. Pouze u vodorovných desek, je-li ohřívací plochou horní povrch, se hodnota “α“ zvětší o 30 % a je-li ohřívací plochou dolní povrch, pak se “α“ zmenší o 30%. B. Při nuceném proudění (konvekci) v trubkách a kanálech lze pro jednotlivé oblasti proudění vyjádřit kriteriální rovnice následovně: a) Pro laminární proudění podél rovné stěny délky [m]: Nu = 0,664 · Re0,5 · Pr0,33
(V – 49)
Grashoffovo číslo vyjadřuje volné proudění vyvolané vztlakovou silou a je u nuceného proudění nahrazeno Reynoldsovým číslem vyjadřující nucené proudění rychlosti (w). Součinitel přestupu tepla (α) pro tuto oblast je dán rovnicí: α = 0,664 ⋅
ρ 0,5 ⋅ c p
0,33
⋅ λ 0,67 ⎛ w ⎞ 0,5 ⋅⎜ ⎟ η0,17 ⎝L⎠
[W·m-2·K-1]
(V – 50)
b) Pro turbulentní proudění podél rovné stěny délky L [m] platí: Nu = 0,0568 · Re0,78 · Pr0,78
(V – 51)
a α = 0,0568 · ρ0,78 · cp0,78 ·
w 0, 78 L0, 22
[W·m-2·K-1]
16
(V – 52)
c) Pro laminární proudění v trubkách a nekruhových kanálech charakteristického rozměru d [m] a délky L [m] platí: Nu = 1,86 · ψ · Re
0,33
· Pr
0,33
⎛d⎞ ·⎜ ⎟ ⎝L⎠
0,33
⎛η⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ηs ⎠
0,14
(V – 53)
kde ηs je dynamická viskozita [N·s·m-2] při teplotě (odhadnuté) stěny (ts) trubky (kanálu) a ψ vyjadřuje vliv přirozeného proudění při Pr Gr > 5000 je dán:
ϕ=
2,25 ⋅ (1 + 0,01 ⋅ Gr 0,33 ) logRe
(V – 54)
L je délka trubky či kanálu [m]. Pak součinitel přestupu tepla (α) je dán dosazením definičních vztahů Nu, Re a Pr do rovnice V – 53: 0,33
α = 1,86 · ψ · ρ
· cp
0,33
·λ
0,67
⎛ w ⎞ ·⎜ ⎟ ⎝ d⋅L ⎠
0,33
⎛η⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ηs ⎠
0,14
⎛η ⎞ · ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ηs ⎠
0 ,14
[W·m-2·K-1] (V – 55)
d) Při turbulentním proudění v přímých trubkách a nekruhových kanálech vnitřního průměru a charakteristického rozměru d [m] platí: Nu = 0,023 · εt · εn · Re0,8 · Pr0,4
(V – 56)
a α = 0,023 · εt · εn ·
ρ 0,8 ⋅ c p
0,4
⋅ λ 0,6 w 0,8 ⋅ 0,2 0,4 d
[W·m-2·K-1]
(V – 57)
Korekční součinitele mají hodnotu: εn = 1 pro L/d > 50
εn < 1 pro L/d < 50
εt = 1 pro Re ≥ 10 000
εt < 1 pro Re = 2300 až 10 000
e) Pro turbulentní proudění v zakřivených kanálech a trubkách charakteristického rozměru d [m] platí rovnice V – 56 a V – 57 zvětšené na pravé straně o korekční součinitel (εk) zvyšující turbulenci v zakřivení a tím zvyšuje přestup tepla: ε k = 1 + 1,18 ⋅
d R
[-]
(V – 58)
f) Při nuceném proudění vně trubkového svazku závisí přestup tepla na směru obtékání sazku trubek (podélně, příčně), protože tento ovlivňuje nejvíce charakter (turbulenci) proudění.
17
Při podélném obtékání trubkového svazku z “n“ trubek vnějšího průměru de [m] umístěných ve výměníku průměru vnitřního průměru D [m] platí: Nu = 1,16 ·
de0,6 ·
0,6
Re · Pr
0,33
⎛ η · ⎜⎜ ⎝ ηs
⎞ ⎟⎟ ⎠
0 ,14
(V – 59)
a α = 1,16 ⋅
ρ 0,27 .c p
0,33
.λ 0,67 ⎛ η ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ η0,27 ⎝ ηs ⎠
0,14
2
⋅w
0,6
D 2 − nd e [W·m-2·K-1] ⋅ 2 2 D + nd e
(V – 60)
g) Při příčném proudění svazkem trubek stejných rozměrů platí: Nu = 0,6 · Re0,5 · Pr0,31
(V – 61)
a α = 0,6 ⋅
ρ 0,5 ⋅ c p
0,31
⋅ λ 0,69 w 0,5 ⋅ 0,5 η0,19 de
[W·m-2·K-1]
(V – 62)
kde rychlost (w) je vypočtena pro nejmenší průtočný průřez svazku. Zde jsou menší rozdíly mezi uspořádáním trubek v zákrytu (a) a vystřídaně (b) (obr. č. V-8).
Obr. č. V-8 Přestup tepla trubkami, a) v zákrytu, b) vystřídanými C. Přestup tepla stékající vrstvy po teplosměnné ploše je ovlivněn geometrickým tvarem plochy a charakterem stékání. a) pro gravitačně stékající vrstvu po vnější nebo vnitřní ploše trubek výšky κ [m] platí: Nu = 137 · Re0,6 · Pr0,33 · κ0,935
(V – 63)
a α = 137 ⋅
cp
0,15
⋅ λ 0,85 Q m 0,5 ⋅ 0,065 η0,35 H
[W·m-2·K-1]
(V – 64)
kde Qm′ [kg·s-1·m-1] je průtočná hmotnost stékající vrstvy připadající na metr obvodu trubky při turbulentním stékání (Re > 580).
18
b) při gravitačním stékání vrstvy po svazku vodorovných trubek platí: ″0,39 Qm α = 1,855 ⋅ 0,61 de
[W·m-2·K-1]
(V – 65)
kde Qm″ [W·m-2·K-1] je průtočná hmotnost připadající na 1 m délky vodorovných trubek. D. Přestup tepla při kondenzaci par uvnitř svazku vodorovných trubek vnitřního průměru d [m] např. u chladících kondenzátorů platí: 0,3
0,5
-0,3
Nu = 1,26 · Re · We
⎛ ρ′ ⎞ ⎛ L ⎞ · ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ρ′′ ⎠ ⎝ d ⎠
0,35
(V – 66)
a α = 1,26 ⋅
ρ 0,6 ⋅ λ · q0,5 · L0,35 · d0,25 10,5 ⋅ η0,5 ⋅ σ 0,3 ⋅ ρ′′0,3
[W·m-2·K-1]
(V – 67)
kde q
- je měrný tepelný výkon [W·m-2]. Literatura (Chlumský V., 1971) uvádí řadu dalších specifických příkladů určujících
závislosti pro výpočet součinitele přestupu tepla (α).
1.3 Sdílení tepla sáláním Sálavost tělesa je podle Stefan – Boltzmannova zákona dána rovnicí: ⎛T ⎞ qt = A · c · ⎜ n ⎟ ⎝ 100 ⎠
4
[W·m-2]
(V – 68)
Součinitel pohltivosti (A) a součinitel sálání (c) včetně součinitele sálání absolutně černého tělesa (cn) jsou v následující tabulce V-1: Z některých hodnot tabulky plyne, že hrubé a oxydované povrchy mají výrazně vyšší pohltivost tepla (A) a současně vyšší součinitel sálání (c). Povrch hladší a lesklejší u téhož materiálu má nižší pohltivost (A) a nižší sálání (c). Přenos tepla sáláním je případ od případu specifický. P č. Látka a povrch 1
Absolutně černé těleso cn
Součinitel
Součinitel
pohltivosti
sálání
A
c [W·m-2·K-1]
1
5,77
19
2
Litina – čerstvě obrobená
0,44
2,6
Litina – velmi okysličená
0,93
5,8
Ocel – po válcování (tažení)
0,66
3,8
Ocel – velmi okysličená
0,82
4,8
Ocel - vyleštěná
0,26
1,5
4
Zinek – nelesklý povrch
0,20
1,2
5
Beton - hrubý
0,89
5,1
6
Cihly – hrubý povrch
0,93
5,3
7
Omítka - vápenná
0,91
5,2
8
Sádra
0,89
5,1
9
Led s hladkým povrchem
0,63
3,6
10
Lakové nátěry
0,91
5,2
3
Tab. č.V-1: Hodnoty součinitelů pohltivosti a sálání různých materiálů
1.4 Prostup tepla Jsou-li dvě tekutiny teplot (t1, t2) odděleny pevnou stěnou síly (s) a vodivosti (λ), dochází ke sdílení tepla podle II. zákona termodynamiky z tekutiny teplejší (t1) do tekutiny chladnější (t2). Teplo z teplejší tekutiny přestupuje (α1) do stěny, ve které je vedeno (λ) a pak znovu přestupuje (α2) do tekutiny chladnější. Mechanismus jednotlivých fází sdílení tepla (přestup – vedení – přestup) již byl popsán. I v tomto případě jsou známy teploty tekutin (t1, t2), síla stěny (s) a součinitel vedení tepla (λ) a přestupu tepla (α1, α2). Známy nejsou teploty stěny (ts1, ts2) na obou stranách. Měrný tepelný tok (qt) přestupu tepla z prostředí 1 do stěny (obr. č. V-9) určují rovnice: qt = α1 · (t1 – ts1)
[W·m-2]
(V – 69)
[W·m-2]
(V – 70)
[W·m-2]
(V – 71)
tentýž tepelný tok (qt) je veden stěnou: qt =
λ · (ts1 – ts2) s
a dále přestupuje do prostředí 2: qt = α2 · (ts2 – t2)
20
Obr. č. V-9 Prostup tepla stěnou Rozdíly teplot z předešlých rovnic jsou dány tvary: t1 – ts1 =
q q qt , ts1 – ts2 = t , ts2 – t2 = t λ α1 α2
(V – 72)
Sečtením rovnic V – 72 je určen celkový rozdíl teplot (t1 – t2): ⎛1 s 1 ⎞ t1 – t2 = qt · ⎜⎜ + + ⎟⎟ ⎝ α1 λ α 2 ⎠
[K]
(V – 73)
[W·m-2]
(V – 74)
odkud qt =
t1 − t 2 1 s 1 + + α1 λ α 2
Pro tepelné výpočty se zpravidla zavádí tepelný tok (k) při jednotkovém rozdílu teplot (∆t = 1 K), který je dán: k=
1 1 s 1 + + α1 λ α 2
[W·m-2·K-1]
(V – 75)
Pak tepelný výkon (Pt) sdílený stěnou mezi tekutinami 1 a 2 je dán: Pt = S · k · (t1 – t2)
[W]
(V – 76)
Je-li teplo sdíleno složenou stěnou o součinitelích vedení tepla (λ1, λ2, λ3 …), je součinitel přestupu tepla (k) dán rozšířeným výrazem V – 76 na tvar: k=
1
[W·m-2·K-1]
1 1 s1 s 2 s 3 + + + + ... + α2 α1 λ1 λ 2 λ 3
21
(V – 77)
Vztahy (V – 74 až V – 77) platí pro rovinnou jednoduchou a složenou stěnu. Jedná – li se o kruhové potrubí s jednoduchou a složenou stěnou, bude součinitel prostupu tepla (k′) s použitím rovnic V – 21 a V – 26 dán vztahy: k=
1
[W·m-2·K-1]
d 1 1 1 + ⋅ ln 2 + d1 α 2 α1 λ
(V – 78)
či k′ =
1 [W·m-2·K-1] 1 d4 d3 1 d2 1 1 1 + ⋅ ln + ⋅ ln + ⋅ ln + ... + α2 d3 d 2 λ3 d1 λ 2 α1 λ1
(V – 79)
Tento součinitel prostupu tepla (k′) potrubí je vztahován na jednotku délky (L = 1 m) trubky. Povrchové teploty stěny (ts1, ts2) jsou určeny rovnicemi: ts1 = t1 –
qt k ·(t1 – t2) = t1 – α1 α1
ts2 = t2 +
qt k = t2 + ·(t1 – t2) α2 α2
(V – 80)
Pro známé hodnoty (k, α1, α2) a teploty (t1, t2) lze určit povrchové teploty stěny (ts1, ts2). Teplotní rozdíly povrchu stěny, tj. v teplotní mezní vrstvě (∆1, ∆2) pak jsou dány vztahy: ∆1 = t1 – ts1 =
qt k = ·(t1 – t2) α1 α1
[K]
∆2 = ts2 – t2 =
qt k = ·(t1 – t2) α2 α2
[K]
(V – 81)
Z rovnic plyne, že na této straně teplosměnné plochy, kde je “α“ menší, je větší teplotní rozdíl (∆), což potvrzuje podíl obou rovnic V – 81: ∆1 α = 2 ∆2 α1
(V – 82)
Tepelný tok (qt) podle rovnic V – 69 až V – 71 musí být shodný. Pak platí: (t1 – ts1) · α1 = (ts1 – ts2) ·
λ = (ts2 – t2) · α2 s
⎛α ⎞ podělením prvního členu výrazem ⎜⎜ 1 ⎟⎟ a třetího členu výrazem ⎝ α1 ⎠
22
(V – 83) ⎛ α2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ bude: ⎝ α2 ⎠
t 1 − t s1 t −t t −t = s1 s 2 = s 2 2 s 1 1 λ α1 α2
/·
1 λ
t −t t 1 − t s1 t −t = s1 s 2 = s 2 2 λ λ s α1 α2
Nanesením úseček AB =
(V – 84)
λ λ a CD = na teplotní přímky t1, t2 je určena úsečka B D , α1 α2
která na povrchu stěny určuje body E, F (obr. č. V-10), jimž odpovídají teploty stěny (ts1, ts2), které lze touto grafickou konstrukcí určit ze známých hodnot (t1, t2, λ, α1, α2).
Obr. č. V-10 Grafické určení teploty stěnou 2.0 Výpočet výměníku tepla
2.1 Konvenční výměníky Výměník tepla je zařízení, jehož úkolem je sdělit teplo z jedné tekutiny tekutině druhé. Výměníky tepla jsou rekuperační, regenerační a směšovací. Podle směru proudění tekutin (ohřívací, ohřívané) jsou výměníky souproudé, protiproudé a křížoproudé. Rekuperační výměníky jsou používány nejčastěji. V nich je ohřívací a ohřívané medium odděleno pevnou stěnou, tzv. teplosměnnou plochou. V regeneračním výměníku proudí podél téže plochy střídavě ohřívací a ohřívané medium. Při průtoku ohřívacího média se v této ploše nebo náplni výměníku akumuluje teplo, které pak přijímá ohřívané médium. Tohoto principu se např. používá v regeneračním větracím zařízení. Směšovací výměníky ohřívají chladnější tekutinu přímým přívodem – směšování s ohřívací tekutinou, např. ohřev vody přívodem páry. Při návrhu nových výměníků se zpravidla má vypočítat velikost potřebné teplosměnné plochy pro zadaný či požadovaný teplotový režim a velikost tepelného
23
výkonu (Pt). U existujících výměníků se pak může změnou technologických tepelných požadavků počítat řešení při jiných teplotových poměrech. Z rovnice zachování energie plyne, že tepelný výkon (Pt) odevzdaný ve výměníku ohřívací tekutinou se rovná tepelnému výkonu přivedenému ohřívané tekutině zvětšeného o tepelné „ztráty“ (Pz). Při předběžném výpočtu se „ztráty“ neuvažují. Lze je zahrnout až po výpočtu velikosti výměníku: Pt = Qm1 · cp1 · (t1′ – t1″) = Qm2 · cp2 · (t2′ – t2″) + Pz [W]
(V – 85)
kde Qm1, Qm2 jsou hmotnostní průtoky ohřívací a ohřívané tekutiny [kg·s-1], cp1 a cp2 jsou jejich měrné tepelné kapacity [J·kg-1·K-1] a “t“ jsou teploty těchto tekutin [K]. Přitom index 1 přísluší ohřívací (teplejší) tekutině, index 2 ohřívané (chladnější) tekutině. Dále index (′) značí teplotu na vstupu do výměníku a index (″) značí teplotu na výstupu z výměníku. Současně platí rovnice pro sdílený tepelný výkon (Pt) teplosměnnou plochou (S): Pt = k · S · ∆tslog
[W]
(V – 86)
Kde k
- je součinitel prostupu tepla [W·m-2·K-1] definovaný dříve,
s
- je teplosměnná plocha [m2],
ts
- je střední logaritmický rozdíl teplot [K]. Rozdíl teplot podél teplosměnné plochy (S) se obecně mění a to nejen s rostoucí
velikostí této plochy (S), ale také podle směru proudění obou tekutin (souproud, protiproud, křížové proudění). Je proto nutné nalézt adekvátní rozdíl teplot, který lze přiřadit celé teplosměnné ploše. Pro souproudé a protiproudé výměníky lze adekvátní rozdíl teplot určit společným postupem. Tepelný výkon (∂Pt), který je sdílen elementem teplosměnné plochy (∂S) z ohřívací tekutiny do ohřívané tekutiny (obr. č. V-11) vyjadřuje diferenciální rovnice: ∂Pt = k · (t1 - t2)x ∂S
(V – 87)
při tom se teplota ohřívací tekutiny zmenší o “dt1“ a ohřívané tekutiny se zvětší o “dt2“, přičemž platí: ∂Pt = - Qm1 · cp1 · ∂t1 = Qm2 · cp2 · ∂t2
[W]
(V – 88)
odkud: ∂t1 = −
∂Pt ∂Pt , ∂t2 = Q m1 ⋅ c p1 Q m2 ⋅ c p2
(V – 89)
24
změna teplotního rozdílu obou tekutin je dána rozdílem rovnic V – 89:
⎛ ⎞ 1 1 ⎟ · ∂Pt = -φ · ∂Pt + ∂t1 – ∂t2 = ∂(t1 – t2) = − ⎜ ⎜ Q ⋅c ⎟ ⋅ Q c m2 p2 ⎠ ⎝ m1 p1
(V – 90)
kde tzv. vodní hodnota (φs) souproudého výměníku je dána: φs =
1 1 + Q m1 ⋅ c p1 Q m2 ⋅ c p2
[K·W-1]
Obr. č. V-11 Střední rozdíl teplot výměníků a) souproudého b) protiproudého při Qm1·cp1
Qm2·cp2 e) s neproměnnou teplotou ohřívací tekutiny f) s neproměnnou teplotou ohřívané tekutiny
25
(V – 91)
U protiproudého výměníku bude ∂t2 = −
1 , protože s rostoucí vzdáleností Q m2 ⋅ c p2
(x) teplota t2 klesá a tedy dt2 je záporné. Pak vodní hodnota (φp) protiproudého výměníku je určen vztahem:
ϕp =
1 1 − Q m1 ⋅ c p1 Q m2 ⋅ c p2
[K·W-1]
(V – 92)
Po dosazení rovnice V – 87 do V – 90 platí: ∂(t1 – t2) = – φ · k · (t1 – t2) · ∂S
(V – 93)
podle obr. č. V-11 je t1 – t2 = ∆tx . S tím označením lze rovnici V – 93 upravit na tvar:
∂ (∆∆x ) = – φ · k · ∂S ∆t x
(V – 94)
jsou-li vodní hodnota (φ) a součinitel prostupu tepla (k) stálé, konstantní parametry, lze integrací rovnice V – 94: ∆t x
∂ (∆∆ ) ∫∆t´ ∆t xx = – φ · k ·
Sx
∫ dS 0
získat rovnici: ln
∆t x = – φ · k · Sx ∆t´
(V – 95)
odtud ∆tx = ∆t′ · e-φ·k·Sx
(V – 96)
z této rovnice plyne, že se rozdíl teplot (∆tx) podél teplosměnné plochy (S) mění podle exponenciálního zákona. Po tomto zjištění lze snadno určit adekvátní rozdíl teplot (∆t), který charakterizuje teplotní podmínky celé teplosměnné plochy (S). Z výchozí podmínky teplotního rozdílu (∆t), která koresponduje s rovnicí V – 32 lze psát s použitím rovnice V – 96 závislost: S
S
1 ∆t´ ∆t = ⋅ ∫ ∆t x ⋅ ∂S = ⋅ ∫ e −ϕ .k.Sx ∂S S 0 S 0
(V – 97)
Rovnici V – 97 je nutno rozšířit o derivaci vnitřní funkce, tj. (–φ · k): S
–φ · k · ∆t =
∆t´ · e −ϕ .k.Sx ∂S · (–φ · k) S ∫0
odkud:
26
[
S
p ⋅ ∆t =
∆t´ ∆t´ ⋅ ∫ e −ϕ ⋅k⋅Sx ∂S ⋅ (-ϕ ⋅ k ) = ⋅ e −ϕ ⋅k⋅Sx −ϕ ⋅ k ⋅S 0 −ϕ ⋅ k ⋅S
[
]
[
]
S 0
=
]
S ∆t´ ∆t´ ⋅ e −ϕ ⋅k⋅S − e 0 0 = ⋅ e −ϕ ⋅k⋅S − 1 −ϕ ⋅ k ⋅S −ϕ ⋅ k ⋅S
(V – 98)
Po dosazení rovnic V – 95 a V – 96 do předešlé rovnice a zavedení označení ∆tx = ∆t″ pro konec teplosměnné plochy bude pro souproudý výměník platit:
⎛ ∆t ′′ − ∆t ′ ⎞ ∆t ′.⎜ ⎟ ∆t ′ ⎛ ∆t ′′ ⎞ ∆t ′ ⎠ ∆t ′′ − ∆t ′ ⎝ ∆t slog = = ⋅⎜ − 1⎟ = = ∆t ′′ ⎝ ∆t ′ ⎠ ∆t ′′ ∆t ′′ ln ln ln ∆t ′ ∆t ′ ∆t ′ ′ ″ ″ ′ (t − t 2 ) − (t1 − t 2 ) = 1 ′ ′ t − t2 ln 1 ″ ″ t1 − t 2
(V – 99)
tento adekvátní rozdíl teplot se nazývá středním logaritmickým rozdílem teplot pro souproudé výměníky. Pro protiproudé výměníky (obr. č. V-11b) se logaritmický rozdíl teplot (∆tplog) stanoví stejným postupem s použitím rovnice V – 92. Výsledná rovnice (∆tplog) je následující: ∆tplog =
″ ″ ′ ′ (t1 − t 2 ) − (t1 − t 2 ) ′ ″ t1 − t 2 ln ″ ′ t1 − t 2
[K]
(V – 100)
Pro jinak stejné podmínky je střední logaritmický rozdíl teplot protiproudu větší nežli souproudu, a proto pro stejný tepelný výkon (Pt) výměníku je požadovaná (vypočtená) teplosměnná plocha protiproudého výměníku menší nežli u souproudého výměníku. Jsou-li vodní hodnoty obou tekutin výměníku shodné (Qm1·cp1 = Qm2·cp2), je rozdíl teplot v každém místě teplosměnné plochy (S) stejný (obr. č. V-11c). Ostatní možnosti teplotových poměrů výměníků tepla znázorňuje tentýž obrázek. Varianta “e“ odpovídá ohřívacímu médiu, které za stálé teploty kondenzuje (parní topná tělesa, kondenzátor – chladič chladícího oběhu atp.) Naproti tomu varianta “f“ představuje např. ohřev na teplotu vypařování u chladnější – ohřívané tekutiny (chladivo ve výparníku). Střední logaritmický rozdíl teplot (∆tslog, ∆plog) takto určený (V – 99, 100) lze použít při výpočtu navrhovaných výměníků tepla, u nichž se zpravidla pro zadaný tepelný výkon (Pt) a teplotový režim (t1, t2) hledá velikost teplosměnné plochy (S)-
27
U existujících výměníků tepla se zpravidla se změnou technologických požadavků, které změní požadavek na tepelný výkon (Pt) kontroluje teplotní režim práce výměníku, tj. je nutno provést kontrolu výstupních teplot obou tekutin (t1″, t2″) zda se nachází v možném rozmezí. Tedy známé jsou teploty t1′, t2′, parametry S, k, Qm1, Qm2, cp. Za těchto podmínek jsou výstupní teploty (t1″, t2″) souproudého výměníku dány rovnicemi:
′ ′ t1 − t 2 ·(1 – e-φ·k·S) t1″ = t1′ – ϕ ⋅ Q m1 ⋅ c p1
[K]
′ ′ t1 − t 2 ·(1 – e-φ·k·S) ϕ ⋅ Q m2 ⋅ c p2
[K]
t2″ = t2′ +
(V – 101)
a u protiproudého výměníku pro Qm2·cp2 > Qm1·cp1 : t1 ″ =
′ t ′2 ⋅ ϕ ⋅ Q m2 ⋅ c p2 − t1 (1 - e -ϕ ⋅k⋅S )
[K]
ϕ ⋅ Q m2 ⋅ c p2 + (1 - e -ϕ ⋅k⋅S )
t2″ = t1′ –
′ ″ t1 − t 2 ·(1 – e-φ·k·S) ϕ ⋅ Q m1 ⋅ c p1
[K]
(V – 102)
Střední rozdíl teplot výměníků s křížovým prouděním (∆tk) je složitější, protože obě teploty na výstupu (t1″, t2″) jsou proměnlivé. Proto se střední rozdíl teplot křížoproudého výměníku určuje z výrazu: ∆tk = ξ · (t1′ – t2′)
[K]
(V – 103)
v této rovnici závisí součinitel “ξ“ na poměru rozdílů teplot a je funkcí veličin ψ a κ [ξ = f (ψ, κ)], které jsou dány výrazy (obr. č. V-12): ψ=
′ ″ ″ ′ t1 − t1 t − t2 , κ= 2 ′ ′ ′ ′ t1 − t 2 t1 − t 2
(V – 104)
Obr. č. V-12 Závislslost ξ = f(ψ,χ)
28
2.2 Solární výměník - kolektor U tekutinových výměníků tepla dochází ke kombinovanému sdílení tepla, jehož základem je sdílení tepla prouděním a vedením. U solárních výměníků – kolektorů dochází rovněž ke kombinovanému sdílení tepla. Nezastupitelnou úlohu zde sehrává sdílení tepla sáláním, při němž solární energie intenzity (I) [W·m-2] dopadá na účinnou plochu kolektoru, část dopadající energie je pohlcována a část odrážená (r). Pak měrný tepelný tok (qk), dopadající na absorpční plochu (2) kolektoru (obr. č. V-13) bude dán rovnicí: [W·m-2]
qk = (1 – r) · I
(V – 105)
Obr. č. V-13 Jednoduchý vzduchový kolektor kde r je poměrná reflexe transparentní vrstvy (1 – obr. č. V-13) kolektoru. Tento tepelný tok (qk) je převážně prouděním sdílen ohřívanému médiu, tj. kapalině zpravidla nemrznoucí směsi, oleje apod. nebo vzduchu. Řešení kapalinových solárních kolektorů lze řešit podle vztahů pro tekutinové výměníky. Poněkud odlišné je řešení vzduchových kolektorů, které lze využívat k teplovzdušnému vytápění objektů a v zemědělství rovněž k tepelnému zpracování produktů sušením. Proto je další výklad zaměřen na vzduchové kolektory. Kromě sdílení tepla sáláním a prouděním dochází zde i ke sdílení tepla vedením pláštěm kolektoru. Toto sdílení tepla vedením však představuje tepelné „ztráty“. Vzduchový kolektor (obr. č. V-14) je zahříván dopadajícím slunečním zářením (I) a naopak ochlazován vedením a sáláním či prouděním do okolí. Proudí-li kolektorem vzduch v množství Qm [kg·s-1], bude se jeho teplota zvyšovat ze vstupní teploty (t1) na výstupní teplotu (t2). V odlehlosti (x) od počátku (vstupu) kolektoru bude teplota vzduchu (tx). Pro toto místo (průřez) lze ve smyslu označení tepelných toků v obr. č. V-14 zapsat rovnici zachování energie, resp. rovnosti měrných tepelných toků v odlehlosti (x) na vytknutém elementu (dx): qk · b · ∂x – k1 · b · ∂x · ∆t – k2 · b · ∂x · ∆t = Qm · c · ∂t
29
(V – 106)
pro zjednodušení řešení uvažujeme podmínky prostupu tepla přední (k1) a zadní (k2) strany kolektoru součtově, tj. k = k1 + k2.
Obr. č. V-14 Schéma pro termický a tepelný výpočet kolektoru Pak rovnice V – 106 se zjednoduší na tvar: qk · b · ∂x – k · b · ∂x · ∆t = Qm · c · ∂t
(V – 107)
kde b
– je šířka kolektoru
[m]
k = k1 + k2 – součtový součinitel prostupu tepla přední a zadní stěny kolektoru [W·m-2·K-1] Qm
– hmotnostní průtok vzduchu kolektorem
[kg·s-1]
C
– měrná tepelná kapacita vzduchu
[J·kg-1·s-1]
∆t
– rozdíl teploty vzduchu v kolektoru v místě (x) a teploty okolí (tv) [K]
∂t
– změna teploty vzduchu v kolektoru odpovídající elementu (∂x) Řešením předešlé rovnice (V – 107) se odvodí vztah pro průběh teploty vzduchu
kolektoru: tx – tv = (t1 – tv) · e
−
k ⋅b ⋅x Qmc
q + k k
k ⋅b − ⋅x ⎞ ⎛ ⎜1 − e Q m c ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
[K]
(V – 108)
Na výstupu z kolektoru, tj. pro x = 1 bude výstupní teplota (t2) dána rovnicí: t2 = tv + (t1 – tv) · e
−
k ⋅b ⋅l Qmc
+
qk k
k ⋅b − ⋅l ⎞ ⎛ ⋅ ⎜1 − e Q m c ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
30
[K]
(V – 109)
Přivádí-li se do kolektoru okolní vzduch, jde o tzv. otevřený okruh vzduchového solárního kolektoru, pro nějž platí, že t1 = tv. Pak rovnice V – 109 se zjednoduší na tvar: k ⋅b − ⋅l ⎞ qk ⎛⎜ Qmc ⎟ t2 = tv + ⋅ 1− e ⎟ k ⎜⎝ ⎠
[K]
(V – 110)
Pro známé, resp. určené teploty (t1, t2) při průtoku vzduchu (Qm) kolektorem délky (l) lze užitečný tepelný výkon (Pk) kolektoru vyjádřit rovnicí: Pk = Qm · c · (t2 – t1)
[W]
(V – 111)
a účinnost kolektoru rozměrů (b x l ) lze stanovit podle rovnice: ηk =
Pk Q ⋅ c ⋅ (t 2 − t1 ) = m I⋅b⋅l I⋅b⋅l
[-]
(V – 112)
Hodnoty intenzity slunečného záření (I) a teploty okolního vzduchu (tv) se volí podle roční a denní doby a podle polohy kolektoru (např. ZTV 1981 č. 2 J. Cihelka). Poměrná reflexní schopnost (r) transparentní vrstvy (sklo, folie) se zpravidla volí v rozmezí 0,15 – 0,20. Součinitel prostupu tepla (k) je nutno určit podle konstrukce kolektoru. Pro předběžné výpočty lze uvažovat s hodnotami: k = 10 W·m-2·K-1 při chráněné (bezvětří) poloze kolektoru k = 15 W·m-2·K-1 při nechráněné (mírný vítr) poloze kolektoru. Podle předešlých rovnic byl vypočten průběh teploty (t2) v kolektoru o šířce b = 1 m, délce do 10 m a při intenzitě záření I = 600 W·m-2 a teplotě okolí tv = 22,5 °C, tj. při středních hodnotách těchto veličin v červnu až srpnu, kdy přichází v úvahu sušení zemědělských produktů. Průběhy teploty (t2) při průtocích vzduchu Qm = 0,1; 0,2; 0,3; kg·s-1 jsou znázorněny v obr. č. V-15.
Obr. č. V-15 Průběh výstupní teploty vzduchu solárního kolektoru
31
Užitečný tepelný výkon kolektoru (Pk) a účinnost kolektoru (ηk) jsou pro délku kolektoru l = 5 m a l = 10 m sestaveny do následující tabulky: 0,1
0,2
0,3
Výkonové
Qm / kg·s-1
parametry
L=5m L=10m L=5m L=10m L=5m L=10m
kolektoru Chráněná
∆t[K] 19,5
31,6
11,0
19,5
7,5
14,0
poloha
Pk[W] 1970
3190
2220
3940
2270
4240
0,66
0,53
0,74
0,66
0,76
0,71
nechráněná
∆t[K] 17,5
25,8
10,5
17,5
7,3
13,0
poloha
Pk[W] 1770
2610
2120
3540
2210
3940
0,43
0,71
0,59
,74
0,66
k=10W/m2K ηk[-]
k=15W/m2K ηk[-]
0,59
Tab.V-2: Výkonové parametry vzduchového kolektoru, pro b = 1m, I = 600 Wm-2 a tv = 22,5°C Z výpočtu vyplývá, že při menším průtoku vzduchu (Qm) se vzduch ohřeje na vyšší teplotu t2 = tv + ∆t. Užitečný výkon (Pk) a účinnost (ηk) však naopak klesají, zejména vlivem rostoucích ztrát tepla do okolí. Uvedený závěr platí pro srovnatelné podmínky, tj. shodnou délku (l) a polohy kolektoru. Solární vzduchové kolektory lze v zemědělství využít pro sušení zemědělských produktů nebo pro teplovzdušné vytápění. a) Podmínky užití kolektorů pro sušení zemědělských produktů – zemědělské produkty lze předsoušet nebo i nízkotepelně sušit již od teploty sušícího média 40 °C. Tomu v letních měsících odpovídá požadované zvýšení teploty vzduchu v kolektoru ∆t = t2 – tv o15 až 20 °C. Za těchto podmínek mohou kolektory šířky b = 1 m a délky ℓ = 5 m pracovat s průtokem Qm = 0,1 kg·s-1 (tj. 480 m3·h-1) a kolektory délky ℓ = 10 m, s průtokem Qm = 0,2 kg·s-1 (tj. 860 m3·h-1). Účinnost obou kolektorů je přibližně stejná – 60 %. Přitom užitečný tepelný výkon, vztažený na 1 m délky tohoto kolektoru, tj. na 1 m2 absorpční plochy, je přibližně 400 W. Na dva letní měsíce (červenec, srpen) připadá asi 500 hodin slunečního svitu dříve zmíněné intenzity. Za těchto podmínek se z 1 m2 kolektoru získat: 400 · 500 = 200 · 103 Wh = 200 kWh tepelné energie.
32
V zásadě lze shrnout: - délka vzduchových kolektorů pro sušení (obr. č. V-16) se volí podle konečné teploty vzduchu, které se má dosáhnout. Podle požadovaného zvýšení konečné teploty (t2) nad teplotu okolí (tv) se volí: l = 5 až 7 m
∆t = t2 – tv = 15 až 25 K
l = 8 až 10 m
∆t = t2 – tv = 20 až 30 K
Obr. č. V-16 Schéma temperace sušícího media ve vzduchových solárních kolektorech - průtok vzduchu kolektory je nutno řídit podle okamžité hodnoty intenzity slunečního záření a teploty okolního vzduchu. Čím větší je intenzita záření (I) a čím vyšší je teplota okolního vzduchu (tv), tím větší může být průtok vzduchu (Qm) při dosažení požadovaného zvýšení teploty vzduchu (∆t). U kolektoru šířky b = 1 m lze volit: Qm = 0,1 až 0,2 kg·s-1 -1
Qm = 0,2 až 0,3 kg·s
při l = 5 až 7 m při l = 8 až 10 m
- u kolektorů, navržených podle předešlých zásad, lze v letním provozu dosahovat účinnosti ηk = 0,5 až 0,6. Průměrně lze z 1 m2 kolektoru v této době získat 400 W, maximálně 700 W při nejvyšší intenzitě slunečního záření v poledních hodinách. b) Podmínky užití vzduchových kolektorů pro teplovzdušné vytápění: - pro tento účel jsou v tabulce V-3 vypočteny výkonové parametry vzduchového kolektoru šířky b = 1 m, délky ℓ = 5 m, jenž je orientován na jih a skloněn pod úhlem α = 45 °C. Při průtoku vzduchu qm = 0,1 kg·s-1 lze tímto kolektorem ohřívat vzduch v září až listopadu na teplotu 20 až 30 °C. Na tytéž teploty lze vzduch ohřívat v březnu až květnu. Pouze v zimních měsících (prosinec až únor) nelze tímto způsobem dosáhnut zpravidla požadované teploty t2 > 20 °C. Proto tato topná soustava musí být bivalentní
33
(dvouzdrojová). Protože se ve vytápěném prostoru požaduje stálá teplota, musela by se výstupní teplota (t2) vzduchu z kolektoru regulovat změnou průtoku vzduchu (Qm) kolektorem v průběhu dne. V dopoledních hodinách a odpoledních hodinách, při nižší intenzitě slunečního záření (I) se průtok (Qm) sníží. V poledních hodinách při vyšší intenzitě (I) a teplotě (tv) se průtok (Qm) zvětší. Požadované hodnoty lze vypočítat podle rovnic V – 109 a 110. Uvedeným kolektorem plochy 5 m2 lze za obě přechodná období (podzim, jaro) zachytit celkem 1589 kWh tepelné energie při průměrné účinnosti 60 %. Měsíc
Klimatické parametry
Výkonové parametry
pro Prahu
kolektoru
Střední
Teplota
Celková
intenzita
okol.vzd.
doba
slunečního
v době
záření
slun. svitu
svitu
I [W·m-2]
tv[°C]
[h]
září
558
19,4
říjen
490
listopad
Zvýšení Průměrný teploty
slunečního vzduchu
Užitečné
Teplota
denní
teplo získ. vzduchu na
tepelný
kolektorem výstupu z
výkon
za měsíc
kolektoru
∆t[K]
Pk[W]
[kWh]
[°C]
190
16,6
1680
319
36,0
13,8
117
14,5
1460
171
28,3
412
7,3
53
12,2
1230
65
19,5
březen
558
65
157
16,6
1680
264
23,1
duben
580
12,1
187
17,2
1740
325
29,3
květen
600
16,6
247
17,9
1800
445
34,5
Tab.V-3: Výkonové parametry kolektoru 1 x 5 m pro teplovzdušné vytápění (Qm=0,1 kg·s-1) Celkově lze pro toto užití kolektoru shrnout: -
délka kolektoru (ℓ) a průtok vzduchu (Qm) se volí podle stejných zásad jako u
kolektorů pro sušení tak, aby konečná teplota vzduchu neklesla pod hodnotu t2 = 20 °C, -
za celé přechodné období (září až květen) lze plochou 1 m2 zachytit 250 až
350 kWh.
34
