4
Számítógépes irányításelmélet
1. Számítógéppel irányított rendszerek A fejezetnek az a célja, hogy bevezesse a számítógéppel irányított rendszerek alapfogalmait. Bemutatja a folytonos jel mintavételezését, a mintavételezési jelenséget és annak fő jellemzőit, az időfüggést és a látszólagos frekvencia jelenségét. Tanácsot ad a mintavételezési idő megválasztásához. Bevezeti az időben diszkrét időanalízis eszközét, a Z-transzformációt. A fejezet végén az időben diszkrét jelanalízisre és az időben diszkrét átviteli függvény analízisére mutat be példákat.
1.1 Számítógéppel irányított rendszerek Napjainkban egyre több számítógépet használunk a folyamat automatizálásban: a természetüknél fogva analóg, időben folytonos folyamatokat (is) digitális, időben diszkrét működésű egységekkel szabályozzuk. A szabályozó hurok így időben folytonos és diszkrét időpillanatokban jelentkező jeleket egyaránt tartalmaz, amelyek egymással nem egyszerűen mérhetők össze. Ezért bizonyos jelfeldolgozás szükséges. Előbb azonban tekintsük a digitális számítógép működését. A digitális számítógép a számításokat csak bizonyos időpillanatokban hajtja végre – ezek a szimulációs lépések. A k-adik szimulációs lépésben a [k-1]-edik a [k-2]-edik,.....[k-i]-edik időpillanatokban rendelkezésre álló információkat használja fel. (lásd az 1.a ábrát) h
mintavételezés instants dt
k-3
k-2
k-1
k
idő
szimulációs lépések 1.a ábra A digitális számítógépi rendszerek számítási eljárása
Mivel a digitális szabályzót is magával a digitális számítógéppel valósítjuk meg, a szabályzó a jelet is csak bizonyos időpillanatokban vagyunk képesek előállítani. Mindemellett a mintavételezési idő (h) – a mintavételezési időpillanatok közötti időtartam – nem feltétlenül egyezik meg a szimulációs időlépés (dt) értékével. (lásd az 1.a ábrát) A számítógépek a szimulációt általában belső órajelűk által meghatározott sebességgel végzik, míg a mintavételezési időt (h) alapvetően a szabályozandó folyamat „lomhasága” határozza meg. A digitális szabályzó mintavételezési ideje (h) értéke a milliszekundumtól a perc értékig terjedhet. A folytonos idejű szabályozó digitális szabályozóval történő helyettesítését az 1.b ábra mutatja be. Az alapjel y*(t) és a szabályozott jellemző y(t) között mért hibát e(t) először mintavételezzük, majd állandó értéken tartjuk a mintavételezési időpillanatok között (S/H = Sample and Hold => Mintavételezés és tartás ). A tartási funkció azért szükséges,
5
Számítógépes irányításelmélet
mert a bemenő jel minden egyes szimulációs lépésben szükséges még akkor is, ha h >dt. A mintavételezett analóg jelet az analóg-digitális átalakító (ADC = Analog Digital Converter) alakítja át digitális jellé. A számítógép értelmezi az átalakított hibát e[k] és egy új ellenőrző jel sorozatot u[k] állít elő a szabályozó algoritmus segítségével. Mind a digitális számítógépbe érkező, mind pedig az onnan távozó jelek egy-egy számsorozatot alkotnak. A kimenő jelsorozatot a digitális-analóg jelátalakító (DAC = Digital Analog Convereter) alakítja vissza analóg jellé. Ez a jel a mintavételezési időpontokban megjelenő impulzusok sorozata. A természetükből eredően az időben folytonos folyamatnak azonban folytonos jelre van szükségük. Ezért egy olyan jelformáló függvényt alkalmazunk (Hold = Tartó függvény), amely a jelet állandó értéken tartja a mintavételezési időpontok között. A mintavételezést és a jel visszaalakítást egy digitális órajel szinkronizálja.
Disturbance
Digital Controller r(t)
e(t)
S/H and ADC
e(k)
u(k) DAC
u(t)
y(t)
1.b ábra Az analóg szabályozó helyettesítése digitális szabályozóval: S/H – mintavételező és tartó; ADC analóg-digitális jelátalakító; DAC digitális-analóg jelátalakító
2. ábra A digitális szabályozó rendszer jelei a szabályozási kör meghatározott pontjain
A szabályozási eltérés ( e(t) ) bemenő jelű digitális szabályozót és a szabályozott jellemző mért jelének digitális szűrését rendszerint ugyanazzal a számítógéppel valósítják meg. Egy másik értelmezés pontosabban leírja a szabályozó rendszert. (3. ábra)
6
Számítógépes irányításelmélet
A [ DAC – szabályozott folyamat – ADC ] csoport egy olyan diszkretizált rendszerként értelmezhető, amely a szabályozóból kijövő jelet u[k] alakítja át kimenő jel sorozattá y[k]. A diszkretizált rendszer egy diszkrét időpillanatokban értelmezett átviteli függvénnyel jellemezhető G(z), amely a szabályozott folyamat G(s) folytonos átviteli függvényéből határozható meg. Ez az értelmezés azzal az előnnyel rendelkezik, hogy biztosítja a diszkretizált szabályozott folyamat modelljéhez illeszkedő szabályozó algoritmus tervezését.
digital signal
Clock
analogue signal
y(k)
u(k)
Computer
DAC+ZOH
Plant G(s)
ADC
Discretised plant G(z)
3. ábra Digitális szabályozott rendszer
A mintavételezési művelet amplitúdó modulált impulzus jelet ad. A jelformáló művelet rekonstruálja az analóg jelet. A cél az, hogy kitöltsük a mintavételezési időpillanatok közötti űrt, és így állítsuk vissza az (időben) folytonos analóg jelet. A jelformáló áramkör extrapolációval adja meg a jelet két egymást követő mintavételi pont között. (2. ábra) A lépcsős hullámalak a legegyszerűbb módja az analóg jel rekonstruálásának: a mintavételezett érték állandó értéken tartása a következő jel megérkezéséig. (4. ábra) A lépcsős alakú hullámformát adó jelformáló áramkör neve nullad-rendű tartó (ZOH). Kifinomultabb, magasabb-rendű jelformáló tagok is léteznek, például első-rendű jelformáló illetve magasabb rendű jelformálók. (5. ábra) Az első-rendű jelformáló átlagolja az előző és a jelenlegi jel értéket, és így határozza meg a mintavétel pontban az aktuális értéket.
4. ábra A nullad-rendű jelformáló (ZOH) kimenete
7
Számítógépes irányításelmélet
5. ábra Az első-rendű jelformáló (FOH) kimenete
Egy digitálisan szabályozott rendszer legfontosabb elemeinek fizikai megvalósítását a 6.-9. ábrák mutatják: ADC analóg-digitális jelátalakító; DAC digitális-analóg jelátalakító; ZOH nullad-rendű jelformáló. (A 4. illetve 6.-9. ábrák K. Ogata(1995): Discrete-time Control Systems című munkája nyomán)
6. ábra Analóg csatorna kiválasztó (multiplexer)
8. ábra Fokozatos közelítés elvén működő A/D jelátalakító
7. ábra Mintavételező és jelformáló
9. ábra Súlyozott ellenállásokat alkalmazó D/A jelátalakító
8
Számítógépes irányításelmélet
1.2 Időben folytonos jelek mintavételezése A Random House Compact Unabridged Dictionary-nek megfelelően, a mintavételezés „tesztelés, analízis céljából egy minta kiválasztásának folyamata”, ahol a minta „egy kis része valaminek”. A mintavételezés a szabályozásban vagy a kommunikációban, az időben folytonos jel helyettesítését jelenti egy olyan számsorozattal, amely a jel értékét meghatározott időpillanatokban – a mintavételezési időpontban - mutatja. ( 10. ábra ) A mintavételezés egy lineáris művelet. A mintavételezési időpillanatok (amikor a mintavételezés történik), gyakran egyenlő időközönként követik egymást, t k = k * h , ahol h a mintavételezési periódus, a mintavételezési pillanatok közötti időintervallum. Ha h állandó, akkor periodikus mintavételezésről beszélünk. A megfelelő mintavételezési frekvencia fs = 1 / h (Hz) vagy ωs = 2π/h (rad/s). A mintavételezési frekvencia fele, a Nyquist frekvencia, ami a későbbiekben fontos szerepet játszik: f N = 1/2h (Hz) vagy
ω N = π/h (rad/s). Az időben folytonos jelet általában x(t ) -vel jelöljük, a mintavételezett jelet pedig x[k] -val. A jelölések a következők: időben folytonos jel mintavételezési periódus (vagy idő) mintavételezési frekvencia mintavételezési időpillanat (periodikus mintavételezés) mintavételezett sorozat
x(t) h
f = 1/h tk = k ⋅ h
t ∈R
(Ts néhány irodalomban) (Hz) k = ...-2, -1, 0, 1, 2, ...
x[t k ] vagy egyszerűen x[k]
Ebben a leírásban feltételezzük, hogy a mintavételezés periodikus, a mintavételezési periódus állandó, és csak egy mintavételezési periódust alkalmazunk a zárt-hurkú rendszerben.
h 10. ábra Az időben folytonos jel mintavételezése (alul-mintavételezés)
9
Számítógépes irányításelmélet
1.2.1 Mintavételezési tétel A mintavételezés akkor jó, ha az eredeti időben folytonos jel amplitúdó jellemzői megőrződnek a mintavételezett jelben is (A folytonos jel a mintavételezett jelből adott pontossággal visszaállítható.). Ezért a mintavételezési frekvenciát az időben folytonos jel legmagasabb frekvencia összetevőjének figyelembe vételével kell megválasztani. Shannon (Nyquist) mintavételezési tétele: ha a mintavételezési frekvencia ωs = 2π / h nagyobb minta az időben folytonos jel legmagasabb frekvencia összetevő ω 0 kétszerese
ωs > 2 ⋅ ω0 , akkor az eredeti jel visszaállítható a mintavételezett jelből. A Nyquist-frekvencia felhasználásával a mintavételezés ki kell, hogy elégítse a következő egyenlőtlenséget:
ω0 <
ωs 2
⇒
ω0 < ωN .
A 11. ábra bemutatja az f0 frekvenciával jellemzett szinuszos jel mintavételezését. Az ábrasorozat felső sora mutatja azt az esetet, amikor a mintavételezési frekvencia f s = 8 ⋅ f 0 ; az időben folytonos jel jellemzője megmaradt. Csökkentve a mintavételezési frekvenciát f s = 2 ⋅ f 0 , a periodikus jellemzői és az amplitúdó jellemzői még mindig megmaradnak, ha a mintavételezési időpillanatok t k = 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ t . Az ábrasorozat alsó sora azt az esetet mutatja, amikor a mintákat rossz időpontokban kaptuk. A mintavételezés inverz művelete a jelrekonstrukció, a számsorozat „visszafordítása” időben folytonos jellé. A számítógép szabályozású rendszerekben a számított szabályozási műveletet (számsorozatot) a folyamat által használható, időben folytonos jellé kell vissza alakítani. Különböző rekonstrukciós technikák adottak a mintavételezett függvény, x[k] időben folytonos alakra, x(t)-re való átalakítására, amelyek a következők:
10
Számítógépes irányításelmélet
11. ábra A szinuszos jel mintavételezése
11
Számítógépes irányításelmélet
a) Shannon rekonstrukció:
x (t ) =
sin(ω (t − k ⋅ h ) / 2) ∑ x(k ⋅ h )⋅ ω (st − k ⋅ h ) / 2 ∞
k = −∞
s
Az alábbiakban felsoroljuk ennek a rekonstrukciónak néhány hátrányát: • • •
Az x értékét a t időpillanatban a megelőző ( x[k ⋅ h ] : k > t/h ) értékekből határozzuk meg; bonyolult; csak periodikus jelek esetén alkalmazható.
( x[k ⋅ h ] : k ≤ t/h )
és következő
Néhány kommunikációs- és jel-feldolgozó folyamatban alkalmazzák.
b) Nullad-rendű jelformáló (ZOH): A 4. ábrán bemutatott ZOH egy szakaszos állandót eredményez, és a mintavételezési időpillanatban megegyezik a mintavételezett jellel. (véletlenszerű)
x (t ) = x[t k ] ,
t k ≤ t ≤ t k +1 .
c) Első-rendű jelformáló (FOH): Az 5. ábrán bemutatott FOH lineáris (elsőfokú) extrapolációval dolgozik a mintavételezési időpillanatok között:
x (t ) = x[t k ] +
t − tk ⋅ [x[t k ] − x[t k −1 ]] , t k − t k −1
t k ≤ t < t k +1 .
A magasabb-rendű polinomokkal történő extrapolációval kisebb rekonstruálási hibák és egyenletesebb függvényalak érhető el.
12
Számítógépes irányításelmélet
1. példa: Az időben folytonos jel mintavételezése. Ismételje meg a szimulációt más mintavételezési idővel is ! Jel:
x(t ) = sin(ω 0⋅ t) Tperiod = 10 sec ω0 = f =
2⋅π rad = 0.628 Tperiod s 1
= 0.1 Hz
Tperiod
ωs > 2ω0 : Tperiod h< = 5 sec , 2
Shannon mintavételezési tétele alapján
2π 2π >2 h Tperiod
->
h = 2 sec
Simulink modell:
dim(h) = [sec] 1
1
h=2
h = 1.2
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
5
10 Time
15
20
0
5
10 Time
15
20
13
Számítógépes irányításelmélet
1
h = 0.4
0.5 0 -0.5 -1 0
5
10 Time
15
20
14
Számítógépes irányításelmélet
1.2.2 A periodikus mintavételezés jellemzői A periodikus mintavételezéssel a szabályozott rendszer egy olyan zárt-hurkú rendszert eredményez, amely: lineáris periodikus rendszer. A számítógéppel szabályozott rendszerek periodikus tulajdonságából eredően adó két speciális tulajdonság jelenik meg: az időfüggés és a látszólagos frekvencia jelensége.
1.2.2.1 Időfüggés A rendszer egy külső jelre (ingerre) adott válasza (pl. alapjel változása) a külső esemény és a számítógép belső órájának összehangolásától függ. (Lásd az órajelet a 3. ábrán.) A 12. ábra négy esetet mutat be, amikor a külső esemény, a bemenő jel lépésköz változása a mintavételezési időpontban (h = 2), illetve amikor két mintavételezési időpont között történik. Ha a szinkronban vannak, akkor a mintavételezési rendszernek mindig egymintavételezési időnyi késése van.
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0 0
1
2
3
4 5 6 Time (second)
7
8
9
0 0
10
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
2
3
4 5 6 Time (second)
7
8
9
10
1
2
3
4 5 6 Time (second)
7
8
9
10
0.4
0.4
0.2
0.2
0 0
1
1
2
3
4 5 6 Time (second)
7
8
9
10
0 0
12. ábra Idő szinkronizáció
15
Számítógépes irányításelmélet
1.2.2.2 Látszólagos frekvencia jelensége A mintavételezés másik következménye a látszólagos frekvencia jelensége: két különböző jelhez ugyanaz a mintavételezett jel tartozhat. A következő példával mutatjuk be a problémát. Két különböző időben folytonos jel adott f1 = 0,1 Hz illetve f 2 = 1,1 Hz frekvenciával. A mintavételezési frekvencia: fs = 1 Hz . Mindkét jelnek azonos a mintavételezési jele f sampled = 0,1 Hz frekvenciával. (13. ábra) . Hz frekvenciájú jelnek; i.e. Vegyük észre, hogy a fs = 1 Hz nem megfelelő a f2 = 11 fs < 2f2 .
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
f1 = 0.1 Hz
-0.6 -0.8
f1 = 11 . Hz
-1
0
1
2
3
4
5 Time (second)
6
7
8
9
10
13. ábra Látszólagos frekvencia jelenség problémája A látszólagos frekvencia jelenség: adott az időben folytonos jel frekvenciája ω 1 és a mintavételezési frekvencia ωs = 2π / h (ω1 < ωs / 2) ; a mintavételezett jel frekvenciája egyenlő a következő időben folytonos jelek mintavételezett jelével
ω = ω1 ± n * ωs , ahol ω ∉ [− ωs / 2 ωs / 2] , n tetszőleges egész A mintavételezett jel frekvenciája
(
)
ωsampled = ω + ωN ⋅ mod(ωs ) − ωN = ω1 amit ezért látszólagos (alias) frekvenciának nevezünk. Vegyük észre, hogy
(ω1 + ωN ) ⋅ mod (ωs ) − ωN
= ω1 ,
ha a mintavételezési időt a mintavételezési tételnek megfelelően választjuk meg, akkor a mintavételezett jel frekvenciája megegyezik az eredeti időben folytonos jellel.
16
Számítógépes irányításelmélet
2. példa Látszólagos frekvencia jelenség bemutatására készítsen egy Simulink modellt! Mintavételezze az alábbi jeleket x1 (t) = sin(ω1 ⋅ t) ω1 = 2π ⋅ 0.1 = 0.2 ⋅ π x 2 (t) = sin(ω 2 ⋅ t) ω2 = 2π ⋅1.1 = 2.2 ⋅ π x 3 (t) = sin(ω 3 ⋅ t) ω3 = 2π ⋅ 2.1 = 4.2 ⋅ π
(f1 = 0.1 Hz) (f2 = 1.1 Hz) (f 2 = 2.1 Hz)
a következő mintavételezési frekvencia használatával
(fs = 1 Hz) ,
ωs = 2π
ami csak az első jel esetében elégíti ki a Shannon mintavételezési tételt,
ωs > 2 ⋅ ω1 .
A rétegződés azért fordul elő, mert
ω2 = 2.2 ⋅ π ⇒ = 0.2 ⋅ π + 2 ⋅ π = ω1 + n ⋅ ωs = ω1 + ωs , ω3 = 4.2 ⋅ π ⇒ = 0.2 ⋅ π − 4 ⋅ π = ω1 + n ⋅ ωs = ω1 + 2ωs .
3.a példa Látszólagos frekvencia probléma – magas frekvencia zavar. Határozza meg a látszólagos (alias) frekvenciát és futtassa a Simulink szimulációt. Jel: Magas frekvenciás zavar: Mintavételezés: Vegyük észre:
négyszög jel szinuszos fs = 1 Hz , ωd > ωs / 2
Mintavételezési frekvencia: fs = 1 Hz
→
ω = 0.2 rad/sec ωd = 5.65 rad/sec ωs = 6.28 rad/sec látszólagos frekvencia jelenség ωs = 6.2831 rad / sec
→
Nyquist frekvencia:
f N = 0.5 Hz
→
ω N = 3.1415 rad / sec
Zavar jel:
f d = 0.9 Hz
→
ωd = 5.6548 rad / sec
Az látszólagos (alias) frekvencia:
ωa = (ωd + ω N ) ⋅ mod (ωs ) − ω N
ωa = (5.6548 + 3.1415) ⋅ mod(6.2831) − 3.1415 = 0.6283 rad/s fa =
ωa = 0.09999 ≅ 0.1 Hz → 2π
Talias =
1 = 10 sec . fa
Számítógépes irányításelmélet
17
Talias = 10sec
Úgy tűnik, mintha a mintavételezett jel a négyszög jel és a szinuszos jel összege lenne 0,1 Hz-es frekvenciával. A látszólagos frekvencia jelenség gyakorlati következménye: a mintavételezés után lehetetlen megállapítani, hogy az időben folytonos jel frekvenciája ω1 vagy ω1 + n ⋅ ωs . Ez azt jelenti, hogy a magas frekvenciájú jel alacsony frekvenciájú jelként fog megjelenni a látszólagos frekvencia jelenség miatt. Alacsony frekvencia esetén elsődlegesen fontos a magas frekvenciájú komponensek kiszűrése. Az anti-aliasing szűrés hatását a következő Simulink példa mutatja be.
3.b példa A látszólagos frekvencia jelenségére megoldás a mintavételezendő jel szűrése Bessel szűrő:
sávszélesség f = 0.25 Hz ≡ 1.57 rad/sec (sávszélesség = ahol az erősítés 3 dB-el csökken)
18
Számítógépes irányításelmélet
Bode Diagrams
3 dB 0
Phase (deg); Magnitude (dB)
-20 -40 -60
0 -100 -200 -300 -400
10
-1
10
0
Frequency (rad/sec)
5.6548 rad / sec
10
1
19
Számítógépes irányításelmélet
1
0.5
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20 Time (second)
25
30
35
40
A mintavételezett jel az eredeti négyzet hullámot ábrázolja.
20
Számítógépes irányításelmélet
1.2.3 A mintavételezési periódus megválasztása A digitális szabályozott rendszerek mintavételezési frekvenciáját a zárt-hurkú rendszer tranziens (dinamikus) viselkedésének megfelelően választjuk meg, függetlenül a megkívánt teljesítéstől. Az eredeti jel visszaállítása nehézkes túl hosszú mintavételezési időt használva. Túl rövid mintavételezési időt alkalmazva szükségtelenül nagy adathalmaz keletkezik, a számítási idő megnő, és ezzel stabilitási problémákat okozhat. (Lásd későbbi fejezetekben.) A mintavételezési periódus Åström szerint (1997):
h ≈ (0.1 − 0.25) ⋅ Tr Ahol Tr az a lépésidő, ami alatt 4 – 10 mintavételezés történik. A első rendű rendszer lépésideje egyenlő az időállandóval:
G (s ) =
1 1+ T ⋅s
⇒
h ≈ (0.1 − 0.25) ⋅ T .
A másod-rendű rendszer mintavételezési ideje a csillapítási tényezőből sajátfrekvenciából ωo határozható:
Tr = ωo−1 ⋅ e ϕ / tan ϕ ,
ξ = cos(ϕ) .
A ξ = 0.7 (≈ 0.7983 rad ) csillapítási tényező esetén Tr = ωo ⋅ 2.18 , és így −1
h ≈ (0.1 − 0.25) ⋅ Tr = (0.21 − 0.55 ) ⋅ ωo−1 .
ξ
és a
Számítógépes irányításelmélet
21
1. Számítógéppel irányított rendszerek ............................................................................................... 4 1.1 Számítógéppel irányított rendszerek ......................................................................................... 4 1.2 Időben folytonos jelek mintavételezése .................................................................................... 8 1.2.1 Mintavételezési tétel ........................................................................................................... 9 1.2.2 A periodikus mintavételezés jellemzői .............................................................................. 14
1.2.2.1 Időfüggés ....................................................................................................... 14 1.2.2.2 Látszólagos frekvencia jelensége .................................................................. 15 1.2.3 A mintavételezési periódus megválasztása ....................................................................... 20
