11 - Regulátory
Michael Šebek Automatické řízení 2015 24-3-15
Nejjednodušší regulátory Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• • • •
v jistém smyslu nejjednodušší regulátor je On-Off (Bang-bang) má jen dvě možné výstupní hodnoty umax , if e > 0 u = vždy použije maximální korektivní akci umin , if e < 0 je to vlastně nelinearita typu u
signum e
u e
pásmo necitlivosti
u e
hystereze
• udrží výstup poblíž požadované hodnoty, ale vede na oscilace (sign funguje jen když má soustava velké zpoždění) • tento regulátor řídicí zásahy „přehání“ (nejsou totiž úměrné velikosti odchylky) • to napraví proporcionální regulátor Michael Šebek
ARI-11-2015
2
Proporcionálně - Integrační - Derivační: PID Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• PID regulátor znáte z cvičení: má tři členy – tzv. školní verze: P
I
D
t
u (t ) = k P e(t ) + k I ∫ e(τ )dτ + k D e(t ) t0
P
I
D
k U (s) = DC ( s ) = k P + I + k D s E (s) s
• při řízení průmyslových procesů se také užívá označení 1 kde TI je „časová integrační konstanta“ [s] + TD s DC ( s ) = k P 1 + T s kde TD je „časová derivační konstanta“ [s] I P
I
D
• PID využívá znalosti současných, minulých i budoucích (extrapolovaných) hodnot odchylky
P
PI Michael Šebek
ARI-11-2014
PID
3
Proporcionální akce Automatické řízení - Kybernetika a robotika
V literatuře o regulátorech se referenci často říká set point takže = r y= ysp ref
P regulátor
u (t ) = k P e(t )
• Větší kP zmenšuje ustálenou odchylku, • ale často (ne vždy) výstup rozkmitává a vede až ke ztrátě stability
kP = 5 kP = 2 kP = 1
G (s) =
ARI-11-2015
(1 + s )
3
u ( s ) = k P e( s ) ysp ( s ) =
Michael Šebek
1
1 s 4
Integrální akce Automatické řízení - Kybernetika a robotika
I složka t = u (t ) k I ∫ e(τ )dτ 0
(
+ e(0)
)
• v ustáleném stavu je odchylka na skok vždy nulová • pro větší kI se odchylka blíží k nule rychleji, ale více kmitá - to platí ale často, ale ne vždy kI = 1
k I = 0.5 G (s) =
k I = 0.2
kI = 0
Michael Šebek
ARI-11-2015
1
(1 + s )
3
1 u ( s= ) 1 + k I e( s ) s 1 ysp ( s ) = s 5
Derivační akce Automatické řízení - Kybernetika a robotika
D složka
u (t ) = k D e(t )
• při konstantním e je nulová • vylepšuje dynamiku • se zvětšováním kD tlumení nejprve roste a pak zase klesá - to platí ale často, ale ne vždy k = 0.3
>> K=3,Ti=2,G=(1+s)^-3 D >>for Td=[.1,.7,4.5], C=K*(1+1/s/Ti+Td*s);L=C*G;T=L/(1+L);step(tf(T),0:.1:25),h old on, end
kD = 2
3 C ( s ) =+ G (s) =
TD = 12 Michael Šebek
ysp ( s ) =
ARI-11-2015
1.5 + kD s s 1
(1 + s )
3
1 s 6
Kdy můžeme použít PID regulátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• K řízení většiny průmyslových procesů (i mnoha jiných systémů) překvapivě stačí PID, pokud nejsou požadavky na chování příliš vysoké Kdy postačí PI • Všechny stabilní procesy můžeme řídit regulátorem I při mírných požadavcích na chování, nemusí-li být řízení přesné • Složka P ještě chování vylepší • Proto je nejužívanějším regulátorem PI (i pro soustavy s integrální akcí), plně vyhovuje pro soustavy (skoro) 1. řádu • Derivační složka se užívá méně často – mnohdy je vypnuta Kdy je užitečná D složka: • Např. pro dvojitý integrátor, málo tlumenou soustavu, • Pro soustavy (skoro) 2. řádu stačí PID (zanedbáme-li saturace, robust.) Složitější řízení je potřeba: • složitější soustavy (vyšších řádů, se zpožděním,..) • větší nároky na řízení (přesné, optimální), robustnost, … Michael Šebek
ARI-11-2015
7
Obecný regulátor prvního řádu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Obecný regulátor 1. řádu s+z • má přenos s reálnou nulou –z a reálným pólem –p DC ( s ) = k s+ p • může být realizován pasivními obvody • Převažuje vliv toho, co je dominantní = více napravo Regulátor typu Lead (s fázovým předstihem) • převažuje vliv nuly p > z neboli − p < − z • aproximuje PD regulátor, blíží se mu s rostoucím p • zrychluje odezvu, snižuje Tr a %OS, výstup vede vstup • název podle frekvenční charakteristiky: lead (kladný fázový posuv) Regulátor Lag (s fázovým zpožděním) • převažuje vliv pólu p < z neboli − p > − z • aproximuje PI regulátor - je to realistický PI! • vylepšuje ustálenou přesnost, výstup se opožďuje za vstupem • název dle frekvenční charakteristiky: lag (fázové zpoždění) s 2 + 2ζωo s + ωo2 Různé kombinace (už vyššího řádu): DC ( s ) = ( s + ωo ) 2 • kaskáda lead-lag, notch Michael Šebek
ARI-11-2013
8
Ziegler-Nicholsovo ladění PID regulátoru Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Klasické metody ladění PID: Ziegler a Nichols 1941, dnes význam upadá 1. metoda: změříme skokovou 2. metoda: opatrně zvyšujeme zesílení odezvu (jen až systém začne ustáleně kmitat → kU , PU pro stabilní !) soustavu) tečna v Inflexním bodě
A L kP = 1 A P k p 0.9 = A , TI PI = k P 1.2 = A , TI PID =
kU
proces
y (t )
PU
t
k P = 0.5kU P = k P 0.45 = kU , TI PU 1.2 PI = k P 0.6 = kU , TI P= PID U 2, TD
3L
2= L, TD 0.5L
mezní perioda
PU 8
• Výhody: Nepotřebují model, jsou jednoduché, založeny na experimentu s procesem, vyzkoušené, mnohdy fungují rozumně • Nevýhody: Nikdy nebyly pořádně vysvětleny, nalezeny pokusy a omyly, teoreticky je ukázáno, že mnoho procesů nedokážou ani stabilizovat • Empirická pravidla pro doladění, např. (Z. Hurák) : Když-je-to-pomalé-zvyš-P-a-když-je-tam-chyba-zvyš-I-a-když-to-kmitá-zvyš-D Michael Šebek
ARI-11-2013
9
Umístění pólů Automatické řízení - Kybernetika a robotika
q( s) b( s ) • Když soustava ani regulátor nemají skryté módy, p( s) a( s) je CL charakter. polynom = c ( s ) a ( s ) p ( s ) + b( s ) q ( s ) a jeho kořeny = CL póly • Při umístění pólů: volíme c(s) a řešíme rovnice pro neznámý regulátor Příklady pro různé soustavy a regulátory • 1. řád + P: 1 rovnice, 1 neznámá: umístí 1 pól libovolně • 1. řád + PI: 2 rovnice, 2 neznámé: libovolně 2 póly • 2. řád + PI: 3 rovnice, 2 neznámé: 2 póly libovolně, třetí „vyjde“ • 2. řád + PID: 3 rov., 3 neznámé: 3 póly libovolně (neboť PID není ryzí) Pravidla • PI regulátor libovolně umístí póly pro soustavu 1. řádu • PID regulátor libovolně umístí póly pro striktně ryzí soust 2. řádu Soustava vyššího řádu než 2 ? • složitější regulátor (později): řád n „potřebuje“ regulátor řádu n-1 • zjednodušíme model soustavy pro návrh nebo vyšlý regulátor • umístíme jen některé z pólů - a doufáme, že vyjdou v CL dominantní?
Michael Šebek
ARI-11-2015
10
Umístění pólů: Soustava 1. řádu a P regulátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Soustava
b( s ) K = a( s) s + z
a regulátor
q( s) = kP p( s)
q( s) p(s)
b( s ) a( s)
• Požadovaná poloha CL pólů dána požadovaným CL charakteristickým polynomem
c( s )= s + v
• Rovnice má tvar
a ( s ) p ( s ) + b( s ) q ( s ) = c( s)
• Řešení
( s + z )1 + Kk P =+ s ν
s + ( Kk P + z ) = s+v
Kk P + z = v
k= P Michael Šebek
( v0 − z )
1 rovnice pro 1 neznámou
P regulátorem můžeme libovolně nastavit pól pro soustavu 1. řádu
pro každou zvolenou polohu existuje řešení a to právě jedno
K ARI-11-2015
11
Umístění pólů: Soustava 1. řádu a PI regulátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Soustava
k k s + kI q( s) b( s ) K a regulátor = kP + I = P = p( s) s s a( s) z + s
q( s) p(s)
b( s ) a( s)
• Požadovaná poloha pólů dána požadovaným CL charakteristickým polynomem
c( s ) = s 2 + 2ζω0 s + ω02 a ( s ) p ( s ) + b( s ) q ( s ) = c( s)
• Rovnice má tvar
( z + s ) s + K ( k P s + k I ) =s 2 + 2ζω0 s + ω02
• Řešení
s 2 + ( Kk P + z ) s + Kk I =s 2 + 2ζω0 s + ω02 Kk P + z = 2ζω0
= kP Michael Šebek
( 2ζω0 − z )
Kk I = ω02
K
k I = ω02 K ARI-11-2013
2 rovnice pro 2 neznámé
PI regulátorem můžeme libovolně nastavit 2 póly pro soustavu 1. řádu
pro každou zvolenou polohu existuje řešení a to právě jedno
12
Umístění pólů: Soustava 2. řádu a PI regulátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
b( s ) K = a ( s ) ( z1 + s )( z2 + s )
k k s + kI q( s) = kP + I = P p( s) s s
q( s) p(s)
b( s ) a( s)
• CL charakteristický polynom je stupně 3 a nemůže být vybrán libovolně • zvolíme ho tedy ve tvaru c( s= ) ( s + αω0 ) ( s 2 + 2ζω0 s + ω02 ) kde za parametr považujeme i ω0 2 neznámé parametry 3 rovnice • Rovnice má tvar
a ( s ) p ( s ) + b( s ) q ( s ) = c( s)
Volba nemůže být libovolná
( z1 + s )( z2 + s ) s + K ( kP s + kI ) = ( s + αω0 ) ( s 2 + 2ζω0 s + ω02 ) s 3 + ( z1 + z2 ) s 2 + ( z1 z2 + Kk P ) s + Kk I = s 3 + (αω0 + 2ζω0 ) s 2 + (α 2ζω02 + ω02 ) s + αω03 s2 :
z1 + z2 = αω0 + 2ζω0
2 2 s1 : z1 z2 + Kk P= α 2ζω0 + ω0
s0 :
Kk I = αω03
ω0 = ( z1 + z2 ) (α + 2ζ ) k P = (α 2ζω02 + ω02 − z1 z2 ) K k I = αω03 K
• zapamatujte si postup, vzorečky nemusíte! Michael Šebek
ARI-11-2013
Jak je to přesně: Polynom 3. stupně má 4 koeficienty! Ale jeden z nich můžeme zvolit bez změny dynamiky 13
Umístění pólů: Soustava 2. řádu a PID regulátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
b s + b0 b( s ) = 2 1 a ( s ) s + a1s + a0
kI kD s 2 + kP s + kI q( s) = kP + + kD s = p( s) s s
q( s) p( s)
b( s ) a( s)
• CL char. polynom je stupně 3 a 3. parametr může být vybrán libovolně • polynom zvolíme ve tvaru c= ( s ) β ( s + αω0 ) ( s 2 + 2ζω0 s + ω02 ) a rovnice má tvar
(s
2
+ a1s + a0 ) s + ( b1s + b0 ) ( k D s 2 + k P s + k I ) = β ( s + αω0 ) ( s 2 + 2ζω0 s + ω02 )
• porovnáním koeficientů u 3. mocniny dostaneme „vyrovnávací faktor“ β = 1 + b1k D • porovnáním dalších dostaneme 3 rovnice pro 3 neznámé parametry a1 + b1k P + b0 k D = (αω0 + 2ζω0 ) (1 + b1k D ) a0 + b1k I + b0 k P = (1 + 2αζ ) ω02 (1 + b1k D ) b0 k I = αω03 (1 + b1k D )
Je to takhle možné jen proto, že PID regulátor není ryzí systém
• soustavu vyřešíme a dostaneme k D , kP , k I Michael Šebek
ARI-11-2013
14
Umístění dominantních pólů Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Bude ten umístěný pól dominantní?
• Umístíme jen některé CL póly, ty ostatní „vyjdou.“ • K tomu stačí jednoduchý regulátor Regulátor I • Pro I regulátor
q( s) kI = p( s) s
a obecnou soustavu
b( s ) G (s) = a( s)
a ( s ) p ( s ) + b( s ) q ( s ) = a ( s ) s + b( s ) k I • je CL charakteristický polynom c( s ) = • protože regulátor má jen jeden parametr, dokáže umístit jen jeden CL pól • chtějme ho tedy umístit do pozice s = −h, h > 0 • až se nám to podaří, bude s = − h kořenem CL charakteristického polynomu takže musí platit c(− h) = a (− h)(− h) + b(− h)k I = 0 • řešením této rovnice pro hledaný parametr dostaneme ha (−h) h
= kI
Michael Šebek
ARI-11-2013
= b( − h) G ( − h)
15
Praktická realizace PID Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Vztah u ( s ) = k P 1 + 1 + TD s e( s ) popisuje školní verzi PID regulátoru Ts I HandbookOfPIDs.pdf • Praktické realizace obsahují různé modifikace – desítky různých verzí • Např. TD s 1 ( ) ( ) ( ) y s − y s − y s u ( s ) = k ( bysp ( s ) − y ( s ) ) + ( sp ) 1+ T s N T s I D Oddělujeme odezvu od reference a poruchy, vlastně umisťujeme CL nuly
derivaci filtrujeme a umisťujeme jen v ZV, aby nereagovala přímo na referenci
• Nebo v průmyslu častá interagující forma 1 u (s) = k P′ 1 + (1 + TD′ s ) e( s ) ′ TI s
• Zapojíme do série zpoždění 1. řádu • Zařadíme nelinearitu Ke e nebo pásmo necitlivosti a mnohé další Michael Šebek
ARI-11-2013
TD s 1 + TD s N
derivuje jen na nízkých frekvencích na vysokých je omezena
≈ TD s ≈ N ∈ [3, 20]
tzv. „high frequency roll-of“ 16
