B AB 1 DISTRIBUSI PELUANG DALAM EVALUASI KEANDALAN SISTEM 1.1
Konsep Distribusi
P
ada bab sebelumnya telah beberapa konsep tentang distribusi peluang (probability distribution) seperti probability mass function, probability density function, cummulative distribution function, expected value, variance, standard
distribution dan konsep-konsep lainnya. Pada bab ini akan diuraikan teknik memanfaatkan distribusi peluang dalam melakukan evaluasi keandalan. Seperti telah dijelaskan pada bab – bab sebelumnya, parameter-parameter yang dipergunakan dalam evaluasi keandalan adalah parameter-parameter distribusi peluang. Nilai dari parameter-parameter ini sangat tergantung pada waktu kegagalan, waktu perawatan dsb. Dengan kata lain, komponen-komponen di dalam sistem akan gagal tidak pada waktu yang sama, dan juga akan diperbaiki tidak pada waktu yang sama pula. Dengan demikian maka time to failure (TTF) komponen pun akan berbeda satu sama lain. Perbedaan TTF ini akan mempengaruhi karakter sebaran data kegagalannya yang direpresentasikan dengan perbedaan nilai parameter distribusinya.
TTF komponen tertentu mungkin diwakili oleh distribusi peluang yang sama, namun memiliki nilai paramterer yang berbeda. TTF komponen juga sangat mungkin diwakili oleh jenis distribusi yang berbeda, sehingga parameter yang mewakili masing-masing distribusi tersebut juga berbeda.
1
Komponen yang TTF nya diwakili oleh distribusi Weibull akan memiliki jenis parameter distribusi β (shape parameter), γ (location parameter) dan η(scale parameter). Sementara itu TTF yang terdistribusi eksponensial akan diwakili oleh parameter distribusi λ (failure rate) dan TTF yang terdistribusi normal akan diwakili oleh jenis parameter σ (standard deviation) dan μ (mean). Pada bab sebelumnya jenis distribusi juga dikelompokkan menjadi dua kelompok utama yakni distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. Yang termasuk kedalam kelompok distribusi diskrit adalah distribusi Poisson, distribusi hypergeometric, dan distribusi binomial. Sementara yang termasuk kelompok distribusi kontinyu adalah distribusi eksponensial, distribusi normal, distribusi Weibull dsb.
1.2
Terminologi Distribusi
Terminologi dan signifikansi dari distribusi peluang telah sebagian dijelaskan pada bab-bab sebelumnya. Properti seperti probability density (mass) function, expected value, mean, variance dan standard deviation telah pula dijelaskan pada bab sebelumnya. Pada evaluasi keandalan, properti tersebut sering diistilahkan berbeda menyesuaikan dengan properti keandalan. Pada bab ini akan dijelaskan terlebih dahulu terminologi distribusi yang akan dipergunakan di dalam evaluasi keandalan. Cummulative distribution function memiliki nilai mulai dari 0 (nol) hingga 1 (unity). Pada data diskrit, pertambahannya terjadi secara diskrit dan pada data kontinyu pertambahan diwakili oleh sebuah fungsi kontinyu. Pada evaluasi keandalan, random variabel yang umum dipergunakan adalah waktu (t). Saat t=0 maka diasumsikan komponen mulai beroperasi dan peluang kegagalannya adalah 0. Dengan bertambahnya waktu operasi maka pada waktu t=∞ peluang kegagalan komponen adalah 1. Karakteristik ini sesuai dengan konsep cummulative distribution function dan merupakan peluang kegagalan komponen sebagai fungsi waktu. Pada terminologi keandalan, cummulative distribution function lebih dikenal dengan sebutan cummulative failure distribution function atau lebih sederhana sering disebut dengan cummulative failure distribution (Q(t)).
2
Pada kasus praktis akan lebih menguntungkan jika kita menghitung peluang sukses pada waktu tertentu (R(t)), bukan peluang gagalnya (Q(t)). Peluang sukses merupakan komplemen dari peluang gagal sehingga: R(t) = 1 – Q(t)...................................................................... Turunan pertama dari cummulative distribution function sebuah random varaibel kontinyu akan menhasilkan probability density function. Pada evaluasi keandalan turunan pertama dari cummulative distribution function sebuah random varaibel kontinyu akan menghasilkan fungsi yang kurang lebih sama dengan probability density function, dan sering disebut dengan failure density function, dimana: f(t) = dQ(t)/dt = -dR(t)/dt...................................................... sehingga t
Q (t ) =
∫ f (t )dt ....................................................................... 0
Dengan demikian t
R (t ) = 1 −
∫ f (t )dt ................................................................... 0
f(t) Q(t)
R(t)
time
Gambar 1.2-1 Failure density function
Karena luasan total dibawah kurva failure density function adalah satu, maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai: ∞
R (t ) = 1 −
∫ f (t )dt ................................................................... t
3
Selain konsep cummulative distribution function dan failure density function, terdapat konsep-konsep lainnya yang sangat sering dipergunakan dalam evaluasi keandalan yakni hazard rate, failure rate, repair rate, force of mortality, age specific failure rate, dsb. Pada bab ini hanya akan dijelaskan tentang hazard rate. Konsep lainnya akan dibahas pada bab VI tentang metode Markov. Hazard rate adalah ukuran laju kegagalan pada waktu tertentu. Ini berbeda dengan failure rate, yang memiliki makna jumlah kegagalan dalam rentang waktu tertentu. Hazard rate sangat tergantung dengan jumlah sampel yang dianalisa. Sebagai contoh, jumlah kegagalan pada komponen tertentu dan pada rentang waktu tertentu antara sampel yang berjumlah 100 akan lebih kecil dari jumlah kegagalan dari sampel sejumlah 1000, sekalipun hazard rate nya adalah sama. Sama halnya juga, jumlah kegagalan antara sampel sejumlah 100 dan 1000 akan sama jika komponennya berbeda dan rentang waktu operasinya juga berbeda. Dalam hal ini komponen pada sampel yang pertama akan memiliki hazard rate yang lebih besar dibandingkan dengan sampel yang kedua. Dengan demikian hazad rate λ(t) sangat tergantung pada jumlah kegagalan dalam satuan waktu tertentu dan jumlah komponen yang dijadikan obyek analisa. Dengan demikian λ(t) = jml gagal per unit waktu/jml obyek yang dianalisa ....
1.3
Fungsi Umum Keandalan
Jika sejumlah No buah komponen diuji, dan Ns(t) adalah jumlah komponen sukses (survive) dan Nf(t) jumlah komponen gagal dan No = Nf(t) + Ns(t) Keandalan atau peluang sukses dari komponen tertentu sebagai fungsi waktu akan menjadi: R (t ) =
Ns (t ) No − Nf (t ) Nf (t ) ........................................ = = 1− No(t ) No No
Peluang gagalnya komponen atau cummulative failure distribution Q(t) akan menjadi:
4
Q(t ) =
Nf (t ) .......................................................................... No
Dari kedua persamaan diatas diperoleh dR (t ) − dQ(t ) −1 dNf (t ) .................................................. = = . dt dt No d (t )
Jika dtÆ 0, maka f (t ) =
1 dNf (t ) .................................................................. . No d (t )
Dengan demikian ekspresi hazard rate akan menjadi: λ (t ) =
dNf (t ) No 1 dNf (t ) 1 No 1 dNf (t ) ........ . = . = . Ns (t ) d (t ) No Ns (t ) d (t ) Ns (t ) No d (t )
λ (t ) =
1 1 dR(t ) ................................................ . f (t ) = − . R (t ) R(t ) dt
Dari ekspresi diatas diketahui bahwa saat t=0, maka f(0) = 0 karena R(0) = 1. Disamping itu juga terlihat baha hazard rate fungsi yang tergantung pada failure density function. Dalam konteks phisik dapat diterjemahkan bahwa failure density function memungkinkan peluang gagal dihitung disetiap waktu pada masa yang akan datang, sementara hazard rate memungkinkan peluang kegagalan dihitung pada masa yang akan datang dimana diketahui bahwa sistem/komponen dalam kondisi sukses sampai waktu t. Dari persamaan diatas diperoleh: R (t )
∫ 1
t
∫
1 .dR (t ) = − λ (t )dt ..................................................... R(t ) o
t
∫
ln R (t ) = − λ (t )dt o
R(t ) = e − λt
................................................................
...........................................................................
5
1.4
Evaluasi Fungsi Keandalan
Guna memberikan ilustrasi prosedur dalam melakukan evaluasi berbagai fungsi keandalan, contoh berikut akan dievaluasi. 1000 buah komponen yang identik dievaluasi . Diperoleh hasil evaluasi seperti pada tabel berikut: 1
2
3
4
5
6
7
8
time interval dalam 100 jam
jumlah l gagal
cummulative failures
Jumlah
cummulative failure dist.
(1000-‘2’)
failure density function ‘2’/1000
survivor function 1-‘6’
Hazard Rate ‘2’/ave’4’
Ns 1000 860 775 700 632 572 519 471 428 390 356 325 297 257 197 122 62 20 5 0
f 0,14 0,085 0,075 0,068 0,06 0,053 0,048 0,043 0,038 0,034 0,031 0,028 0,04 0,06 0,075 0,06 0,042 0,015 0,005 0
Q 0 0,14 0,225 0,3 0,368 0,428 0,481 0,529 0,572 0,61 0,644 0,675 0,703 0,743 0,803 0,878 0,938 0,98 0,995 1
R 1 0,86 0,775 0,7 0,632 0,572 0,519 0,471 0,428 0,39 0,356 0,325 0,297 0,257 0,197 0,122 0,062 0,02 0,005 0
λ 0,151 0,104 0,102 0,102 0,100 0,097 0,097 0,096 0,093 0,091 0,091 0,090 0,144 0,264 0,470 0,652 1,024 1,200 2,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Sukses
Nf 0 140 225 300 368 428 481 529 572 610 644 675 703 743 803 878 938 980 995 1000
140 85 75 68 60 53 48 43 38 34 31 28 40 60 75 60 42 15 5
Hazard rate sebagai fungsi waktu 0,700 0,600
hazard rate
0,500 0,400
I
0,300
II
III
0,200 0,100 0,000 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
interval waktu
Gambar 1.4-2 Hazard Rate sebagai fungsi interval waktu
6
Keandalan
indeks keandalan
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
waktu interval
Gambar 1.4-3 Keandalan sebagai fungsi interval waktu
f(t)
f a i l ure dens i ty f uncti on 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0
III
II
I
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
interval
Gambar 1.4-4 Failure Density Function
Cumm ul a ti v e F a i l ure D i s tri buti on 1,2 1
Q(t)
0,8 0,6 0,4 0,2 0 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
interval
Gambar 1.4-4 Cummulative Failure Distribution
7
Hazard rate seperti terlihat pada gambar 2 menunjukkan bentuk umum dari komponen non-elektronik yang sering dikenal dengan istilah ”bath-tub curve”. Kurva ini dibedakan menjadi 3 periode; periode I, periode II dan periode III. Periode I sering dikenal dengan istilah burn in period atau infant mortality period ataupun debugging period, yang ditunjukkan dengan penurunan hazard rate sebagai fungsi usia komponen atau waktu operasi. Tingginya hazard rate pada awal periode ini sering disebabkan karena kesalahan produksi, kesalahan disain ataupun kesalaham assembly. Periode II dikenal dengan istilah useful life period yang ditandai dengan nilai hazard rate yang konstan. Hanya distribusi eksponensial yang berlaku pada periode II ini. Periode ke III merepresentasikan daerah dimana keausan komponen sudah mulai terjadi. Periode ini dikenal dengan istilah wear-out period yang ditandai dengan peningkatan hazard rate sebagai fungsi waktu. Ketiga periode ini juga dapat terlhat pada gambar 4 yang menunjukkan failure density function. Pada gambar ini terlihat bahwa periode II tepat mewakili kurva negatif eksponensial. Periode III dapat diwakili oleh distribusi normal, Weibull ataupun Gamma. Secara umum bath-tub curve dapat digambarkan untuk komponen elektronik dan mekanik. Komponen elektronik umumnya diwakili oleh useful life period yang agak panjang, sementara komponen mekanik memiliki useful life period yang relatif pendek.
1.5
Distribusi Poisson
Sebuah random variabel x dikatakan memiliki distribusi poisson jika probability mass function dari x adalah: p( x; λ ) =
e −λ λ x dimana x = 0,1,2....... untuk λ>0 x!
Poison distribution (sama seperti eksponential distribution) hanya berlaku jika λ (dalam konteks reliability sering disebut dengan hazard rate atau failure rate) adalah konstan di sepanjang waktu. λ disini bisa laju per unit waktu atau per unit luas, miss: laju kegagalan komponen pada sistem mekanik, dsb. ”e” adalah nilai dasar logaritmik natural yang besarnya adalah 2.71828.
8
Jika dt adalah interval yang cukup kecil, dimana probabilitas terjadinya lebih dari satu kejadian (kegagalan) adalah nol (0) maka λdt = probability of failure dalam interval dt, i.e. dalam periode (t, t+dt) Kasus zero failure Jika Px(t) adalah probabilitas terjadinya kegagalan sejumlah x kali dalam interval (0,t) , maka probability of zero failure dalam rentang (0, t+dt) adalah probability of zero failure dalam interval (0,t) x probability of zero failure dalam interval (t, t+dt) Po(t + dt) =Po(t) . (1 - λdt) Jika kedua kejadian tersebut adalah bebas satu sama lain (independent) maka [ Po(t + dt) - Po(t) ] / dt = -λPo(t) Jika dtÆ 0, atau interval menjadi sangat kecil dan mendekati nol (0), maka dPo(t)/dt = -λPo(t) Î jika di integralkan akan menjadi ln Po(t) = -λt + C Pada t=0, di asumsikan bahwa komponen dalam keadaan beroperasi, sehingga pada t=0 Po(0) = 1, Ln Po(t) = 0 dan ini memberikan nilai C = 0, sehingga : Po(t) = e-λ t ................................................................................... Rumus diatas adalan ekspresi pertama dari poisson distribution yang menunjukkan probability of zero failures dalam rentang waktu t. Dalam konteks reliability, maka: Keandalan sebagai fungsi waktu adalah R(t) = e-λ t Ketidakhandalannya adalah Q(t) = 1- R(t) = 1- e-λ t Probability of failure density function-nya adalah f(t) = -dR(t)/dt = λe-λ t Kasus multiple failure Jika Px(t) adalah peluang/probabilitas kegagalan terjadi x kali dalam interval (0, t), maka:
9
Px (t+dt) =
Px(t) . [ P(zero failure pada interval t, t+dt ) ] + Px-1(t) . [ P(one failure pada interval t, t+dt ) ] + Px-2(t) . [ P(two failure pada interval t, t+dt ) ] + ..... P0(t) . [ P(x failure pada interval t, t+dt ) ]
Akan tetapi karena dt adalah interval yang sangat kecil sehingga peluang terjadinya kegagalan lebih dari satu adalah nol (0), maka: Px (t+dt) =
Px(t) . [ P(zero failure pada interval t, t+dt ) ] + Px-1(t) . [ P(one failure pada interval t, t+dt ) ]
=
Px (t)(1-λ dt) + Px-1(t)( λ dt)
=
Px (t) - λ dt [ Px (t) - Px-1(t) ]
Dengan demikian, maka: Px (t)=[ (λt)x . e-λ t ]/ x! ................................................................ Ekspresi λt diatas sering disimbolkan dengan μ yang tidak lain adalah expected value (E(x) (nilai harapan). Contoh 6.1: Jika x adalah jumlah retak pada permukaan boiler yang dipilih secara acak dan terdistribusi poisson dengan λ = 5, maka berapakah probabilitas boiler yang secara acak dipilih akan memiliki retak sejumlah 2. P(X=2) = [e-5 . (5)2] / 2! = 0.084 Peluang boiler memiliki paling banyak 2 retak adalah: 2
P(XO2) =
∑ x =0
e −5 5 x 25 = e −5 (1 + 5 + ) = 0.125 x! 2!
Pada beberapa buku statistik, distribusi Poisson dipergunakan sebagai pendekatan terhadap distribusi binomial. Hubungan antara distribusi Poisson dan binomial dapat diuraikan sebagai berikut:
10
Peluang sebuah kejadian sukses sejumlah r kali dalam n kali eksperimen dirumuskan dengan: Pr =
n! p r q n − r ............................................................ r! (n − r )!
Jika n >> r, maka: n! = n(n − 1)(n − 2)......(n − r + 1) ≅ n r (n − r )!
Sehingga, Pr =
n r r n−r p q r!
Demikian juga halnya jika nilai p adalah sangat kecil dan r relatif kecil jika dibandingkan dengan n, maka qn-r ≈ (1-p)n, sehingga akan memberikan
Pr =
( np ) r ( np) r (1 − p) n = r! r!
n(n − 1) ⎡ ⎤ 2 ⎢1 − np + 2! (− p ) + .....⎥ ⎣ ⎦
Jika nilai n adalah besar, maka n(n-1) ≈ n2, sehingga akan menghasilkan
Pr =
(np ) r r!
⎡ ⎤ (np ) r − np (np ) 2 + .....⎥ = e ⎢1 − np + 2! r! ⎢⎣ ⎥⎦
Persamaan diatas terlihat identik dengan persamaan 412, dimana np = λt dan r = x. Harus diingat bahwa kesetaraan ini hanya berlaku jika nilai n relatif besar, n>>r dan p sangat kecil. Acuan yang biasa dipergunakan adalah jika nilai n >20 dan p<0.05. Harus juga diingat bahwa expected value untuk distribusi binomial adalah (np) atau (λt) dalam distribusi Poisson. Standar deviasi untuk distribusi binomial adalah σ = (npq)1/2 atau nilainya setara dengan (λt)1/2 pada distribusi Poisson. Contoh 6.2:
11
Peluang sukses dari satu eksperimen adalah 0.1, berapakah peluang dalam 10 kali eksperimen akan diperoleh 2 sukses dengan distribusi binomial dan Poisson? Dengan distribusi binomial diperoleh: P(2) = 10C2 0.12 x 0.98 = 10!/(2!. 8!) x 0.12 x 0.98 = 0.1937 Dengan distribusi Poisson diperoleh: np = 10 x 0.1 = 1.0 P(2) = 1.02/2! e-1.0 = 0.1839 Contoh 6.3: Ulangi soal 6.2 diatas dengan jumlah eksperimen adalah 20 serta peluang sukses satu eksperimen adalah 0.005. Dengan distribusi binomial diperoleh: P(2) = 10C2 0.12 x 0.98 = 20!/(2!. 18!) x 0.0052 x 0.99518 = 0.0043 Dengan distribusi Poisson diperoleh: np = 20 x 0.005 = 0.1 P(2) = 0.12/2! e-0.1 = 0.0045
1.6
Distribusi Normal
Distribusi normal sering disebut dengan distribusi Gaussian adalah salah satu jenis distribusi yang paling sering digunakan dalam menjelaskan sebaran data. Probability density function dari distribusi normal adalah simetris terhadap nilai rata-rata (mean) dan dispersi terhadap nilai rata-ratanya diukur dengan nilai standard deviasi. Dengan kata lain parameter distribusi normal adalah mean dan standard deviation.
12
Probability density function dari distribusi normal dapat ditulis dengan: f ( x) =
⎡ (x − α ) 2 ⎤ exp ⎢− ⎥ 2 β 2 ⎥⎦ β 2π ⎢⎣ ....................................................... 1
Jika mean (μ) dan standard deviasi (σ), maka ekspresi diatas dapat ditulis: f ( x) =
⎡ (x − μ) 2 ⎤ exp ⎢− ⎥ 2σ 2 ⎥⎦ σ 2π ⎢⎣ ....................................................... 1
f(x)
0.399/σ σ=1
σ=2 σ=3 μ x
Gambar 1.4-5 Probability density function distribution normal
λ(x)
Q(x) 1 0.841
0.5 0.798/σ 0.159 0
μ-σ
μ
μ+σ
0 x
μ
x
Gambar 1.4-6 Cummulative distribution function dan Hazard rate
Terlihat bahwa kurva melewati titik dengan probabilitas 0.5 jika random variabel x memiliki nilai μ. (expected value). Ini adalah karakteristik khusus dari distribusi normal yang menunjukkan bahwa distribusi normal sangat simetris terhadap nilai rata-rata.
13
Nilai μ menunjukan posisi dari kurva dan sering disebut dengan istilah location parameter. Nilai σ menunjukkan derajat kemencengan (dispersi) dan sering dikenal dengan istilah scale parameter. Luar daerah dibawah p.d.f adalah sama dengan satu (unity), dengan demikian maka: 1
σ 2π
∞
∫
−∞
⎡ (x − μ) 2 ⎤ exp ⎢− ⎥ dx = 1 2σ 2 ⎦⎥ ⎣⎢
Persamaan diatas berarti bahwa luasan daerah dibawah kurva density function antara dua titik tidak terbatas harus mencakup semua random variable x yang mungkin dan harus sama dengan satu. Akan tetapi hitungan integral ini sangat kompleks. Karena itu, dalam kasus distribusi normal umum digunakan teknik pendekatan dengan hitungan manual, dengan konversi sebagai berikut: z = (x-μ)/σ, yang akan menyederhanakan persamaan failure density function menjadi: f ( z) =
⎡ z2 ⎤ exp ⎢− ⎥ 2π ⎢⎣ 2 ⎥⎦ , ................................................................ 1
dimana random variabel sekarang adalah z, nilai rata-rata (mean) nya adalah 0 (nol) dan standar deviasinya adalah 1 (unity). Substitusi ini menghasilkan kurva standard dimana deviasi dari random variabel terhadap mean diekspresikan dalam parameter z. (lihat tabel z pada buku-buku statistik). Pada tabel ini luasan daerah dibawah kurva density function dapat dicari berdasarkan nilai μ dan nilai σ. Dari gambar 1.4-7 terlihat bahwa total luas dalam interval ± 3σ adalah 0.9972 atau mendekati 1 (unity). Dengan demikian nilai ± 3σ sering dipergunakan sebagai confidence limit dari distribusi normal.
14
0.3413
0.3413
0.1359
0.1359
0.0214 -3
0.0214 -2
-1
0
1
2
3
Gambar 1.4-7 Standard normal density function
Kasus: PLN memasang 2000 lampu yang memiliki usia rata-rata 1000 jam pemakaian dengan standard deviasi 200 jam. Berapa lampu yang diharapkan gagal setelah 700 jam operasi? μ = 1000 dan σ = 200 z = (700-1000)/200 = -1.5, Dari tabel didapat luasannya adalah: 0.5 – 0.4332 = 0.0668, sehingga:
x 700
1000
1300
-1.5
0
1.5
Q(1.5) = 0.0668 , Q(-1.5) = 0.0668 E(x) = 2000x0.0668 = 134 lampu
z x
Berapa lampukah diharapkan akan gagal dalam interval waktu 900 dan 1300 jam. A1: z = (900-1000)/200 = -0.5 A1
A2: z = (1300-1000)/200 = 1.5
A2
Dari tabel A1 = 0.1915 A2 = 0.4332 Total area adalah = 0.1915+0.4332 = 0.6247 x 900 1000 -0.5 0
E(x) = 2000 x 0.6247 = 1250 lampu
1300 1.5
z
Dalam
berapa
waktukah
diperkirakan
15
bahwa 10% dari lampu akan mengalami kegagalan: harus dicari nilai z yang memberikan luasan 10%
seperti
pada
gambar
disamping. x
744 -1.2817
10%
0.5 - 0.1= 0.400, dimana z = -1,2817
1000 0
z
Jadi (x-1000)/200 = -1.2817 X = 744 jam.
1.7
Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial, atau distribusi negatif eksponensial merupakan salah satu distribusi yang paling sering muncul dalam konteks evaluasi keandalan. Pada distribusi ini, laju kegagalan adalah konstan (λ = C).
Distribusi
eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Poisson jika hanya kegagalan yang pertama saja yang diperhitungkan. Distribusi eksponensial hanya berlaku pada useful life period saja pada bath-tub curve. Pada penjelesan sebelumnya telah diuraikan bahwa peluang sebuah komponen sukses daram rentang waktu t jika hazard rate nya konstan adalah: R(t) = e-λt ......................................................................................
Dengan demikian, failure density function nya adalah: f(t) = -dR(t)/dt =λe-λt .................................................................... Density function (a) diwakili oleh cummulative failure distribution (Qt) dan survivor function (Rt). Dua area ini dapt dihitung dengan: ∞
t
∫
Q(t ) = λ.e −λ .t dt = 1 − e −λ .t 0
dan
∫
R(t ) = 1 − Q(t ) = λ.e −λ .t dt = e −λ .t t
16
f(t) λ (a)
Q(t) R(t)
0 f(t)
(b)
t λ (t)
(c)
f(t) 1.0
λ
time (d)
λ
0.632
0.368λ 1/λ
1/λ
t
t
t
Gambar 1.4-8 (a) Q(t) dan (R(t), (b) failure d.f, (c) cum. Fail. Dist., (d) hazard rate
Nilai harapan (expected value (E(x)) untuk distribusi eksponensial dan standard deviation-nya adalah 1/λ . Expected value ini berkorespondensi dengan Mean Time To Failure (MTTF) yang merupakan kebalikan dari nilai failure rate (λ). MTTF dan MTBF (Mean Time Between Failure) adalah dua hal yang berbeda. MTTF akan relatif sama dengan MTBF jika repair time (pada kasus repairable component) adalah sangat kecil jika dibandingkan dengan waktu operasi.
1.8
Distribusi Weibull
Distribuisi weibull juga merupakan salah satu jenis distribusi kontinyu yang sering digunakan,
khususnya
dalam
bidang
keandalan
dan
statistik
karena
kemamapuannya untuk mendekati berbagai jenis sebaran data.
Failure density function: f (t ) =
⎡ ⎛ t ⎞β ⎤ β t β −1 exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ dimana t>=0 dan β>0, α>0 αβ ⎢⎣ ⎝ α ⎠ ⎦⎥
17
(a) f(t)
Q(t) 1.0
β=4
(c) β=4
β=1
1/α
0.632 β=1
0.368/αλ
λ (t)
(b)
β=0.5 t
α
β=1
1/α
β=0.5
β=0.5
β=4 α
t
t
Gambar 1.4-9 Weibull reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dist. (c) hazard rate ∞
Survivor function : R(t ) =
∫ t
⎡ ⎛ t ⎞β ⎤ f (t )dt = exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ α ⎠ ⎦⎥ ⎡ ⎛ t ⎞β ⎤
Cummulative faiure distribution: Q(t ) = 1 − R(t ) = 1 − exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ α ⎠ ⎥⎦
Hazard rate: λ (t ) =
f (t ) β .t β −1 = R (t ) αβ
Dimana β = shape parameter, α = η= scale patameter, γ = location parameter β < 1 Î decreasing hazard rate (burn-in period) β = 1 Î constant hazard rate (normal life period) β > 1 Î increasing hazard rate (wear-out period) Untuk weibull 3 parameter, variabel (t ) dikurangi dengan location parameter (γ) Ada dua kasus khusus berkaitan dengan distribusi Weibull. Kasus yang pertama adalah saat β = 1 dan yang kedua adalah saat β = 2. Saat β = 1, maka failure density function nya adalah: f (t ) =
⎡ ⎛t ⎞ ⎤ exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ ................................................................. α ⎢⎣ ⎝ α ⎠ ⎥⎦ 1
18
Dan f (t ) 1 = ........................................................................... R (t ) α
λ (t ) =
Kedua persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian pada distribusi eksponensial dengan α = 1/λ sebagai MTTF. Saat β = 2, maka failure density function nya adalah: ⎤ ⎥ ............................................................... ⎥ ⎦
f (t ) =
⎡ ⎛ 2 ⎢− ⎜ t exp 2 ⎢ ⎜⎝ α 2 α ⎣
λ (t ) =
f (t ) 2t = ........................................................................... R(t ) α 2
2t
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Dan
Kedua persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian pada distribusi Rayleigh dengan α = 1/λ sebagai MTTF. Nilai harapan (expected value) dari distribusi Weibull diekspresikan dengan: ∞
∫
E (t ) = t. 0
⎡ ⎛t ⎞ βt β −1 exp ⎢− ⎜ ⎟ αβ ⎢⎣ ⎝ α ⎠
β
⎤ ⎛1 ⎞ ⎥dt = αΓ⎜⎜ + 1⎟⎟ .................................. ⎥⎦ ⎝β ⎠
Dimana Γ adalah fungsi Gamma yang didifinisikan sebagai: ∞
∫
Γ(γ ) = t γ −1 e −t dt .......................................................................... 0
Standar deviasi distribusi Weibull adalah: ∞
∫
σ 2 = t 2. 0
⎡ ⎛ t ⎞β ⎤ β t β −1 exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥dt − E 2 (t ) β α ⎢⎣ ⎝ α ⎠ ⎦⎥
⎡ ⎛
σ 2 = α 2 ⎢Γ⎜⎜1 + ⎣ ⎝
⎛1 ⎞⎤ 2⎞ ⎟⎟ − Γ 2 ⎜⎜ + 1⎟⎟⎥ ..................................................... β⎠ ⎝β ⎠⎦
19
1.9
Distribusi Gamma
Distribusi Gamma memiliki karakter yang hampir mirip dengan distribusi Weibull dengan shape parameter β dan scale parameter α. Dengan memvariasikan nilai kedua parameter tersebut maka ada banyak jenis sebaran data yang dapat diwakili oleh distribusi Gamma.
Failure density function: f (t ) =
⎡ ⎛t ⎞ exp ⎢− ⎜ ⎟ α Γ(β ) ⎢⎣ ⎝ α ⎠ t β −1 β
∞
Survivor function : R(t ) =
∫
∞
f (t )dt =
t
∫ t
⎤ ⎥ dimana t>=0 dan β>0, α>0 ⎥⎦
⎡ ⎛t ⎞ exp ⎢− ⎜ ⎟ α β Γ(β ) ⎢⎣ ⎝ α ⎠ t β −1
t
Cummulative faiure distribution: Q(t ) = 1 − R(t ) =
∫ 0
⎤ ⎥dt ⎥⎦
⎡ ⎛t ⎞ ⎤ exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ dt α Γ(β ) ⎣⎢ ⎝ α ⎠ ⎥⎦ t β −1 β
Jika z=t/α dan αdz = dt, maka: Q(t ) =
t /α
z Γ(β ) ∫ 1
β −1
[
]
exp − (z ) dz
0
.....................................................
Ada dua kasus khusus berkaitan dengan distribusi Gamma. Kasus yang pertama adalah saat β = 1 dan yang kedua adalah saat β = integer.
Saat β = 1, maka failure density function nya adalah: f (t ) =
⎡ ⎛t ⎞ exp ⎢− ⎜ ⎟ α ⎢⎣ ⎝ α ⎠ 1
⎤ ⎥ ................................................................. ⎥⎦
Persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian pada distribusi eksponensial dengan α = 1/λ sebagai MTTF.
20
Saat β = integer, maka failure density function nya adalah: ⎡ ⎛t ⎞ exp ⎢− ⎜ ⎟ α β ( β − 1) ⎢⎣ ⎝ α ⎠ t β −1
f (t ) =
⎤ ⎥ ....................................................... ⎥⎦
Berturut-turut expected value dan standar deviasi untuk distribusi Gamma adalah E(t) = βα dan σ2 = βα2
f(t)
(b)
Q(t) 1.0
(a) 1/α
(c)
β=1
0.632
β=3
λ (t)
β=0.5
β=1 1/α
β=3
β=3
β=1
0.368/α α
β=0.5
β=0.5 t
α
t
α
t
Gambar 1.4-10 Gamma reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dist. (c) hazard rate
1.10
Distribusi Rayleigh
Distribusi Rayleigh adalah kasus spesial dari distribusi Weibull. Distribusi ini ditentukan oleh satu parameter sama seperti pada distribusi eksponensial. ⎡ ⎛ kt 2 ⎞⎤ ⎟⎥ dimana k adalah parameter tunggal ⎢⎣ ⎝ 2 ⎟⎠⎥⎦
Failure density function: f (t ) = kt exp ⎢− ⎜⎜
yang ekuivalen dengan kasus khusus distribusi Weibull saat β=2 dan k=2/α2 ⎡ − kt 2 ⎤ ⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥
Survivor / reliability function : R(t ) = exp ⎢
⎡ − kt 2 ⎤ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
Cummulative faiure distribution: Q(t ) = 1 − R(t ) = 1 − exp ⎢
Hazard rate : λ(t) = kt
21
f(t)
(a)
(k/c)
λ (t)
(b)
Q(t) 1.0
1/2
0.393
K
(c)
1/2
0.368/α 1/2
t
1/(k)
1/2
1/(k)
t
t
1/2
1/(k)
Gambar 1.4-11 Rayleigh reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dist. (c) hazard rate
1.11
Distribusi Lognormal
Distribusi lognormal sama seperti distribusi normal memiliki 2 distribusi parameter. Probability density function dari distribusi normal dapat ditulis dengan:
f (t ) =
⎡ (ln t − μ ) 2 ⎤ exp ⎢− ⎥ untuk tP0 2σ 2 ⎦⎥ tσ 2π ⎣⎢ 1
Dengan demikian maka random variabel X memiliki distribusi lognormal dengan parameter σ dan μ jika ln X terdistribusi normal dengan parameter σ dan μ. Namun perlu dicatat bahwa sekalipun σ dan μ adalah standar deviasi dan nilai rata-rata dari ln X, kedua parameter tersebut bukanlah standar deviasi dan nilai rata-rata dari X. t
Cummulative failure distribution: Q(t ) =
∫ 0
Jika z = (ln t - μ)/σ Q(t ) =
⎡ (ln t − μ )2 ⎤ exp ⎢− ⎥dt 2σ 2 ⎦⎥ tσ 2π ⎣⎢ 1
dan dz = dt/σt, maka: 1 2π
∫
(ln t − μ ) / σ
−∞
⎡ ( z )2 ⎤ exp ⎢− ⎥dz ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ...............................................
Persamaan tersebut diatas identik dengan cummulative failure distribution distribusi nornmal.
22
Expected value dan standar deviasi distribusi lognormal adalah: E(t) = exp(μ+0.5σ2)......................................................................
σ = [exp(2μ+2σ2)- exp(2μ+σ2)]1/2 ...............................................
(a) f(t)
Q(t) 1.0
0.3
λ (t)
(b) 0.3 1.0
(c) 0.3
1.5 1.5 0.5 1.0
1.0 1.5
eμ
t
e
μ
t
eμ
t
Gambar 1.4-12 Lognormal reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dist. (c) hazard rate
23
