Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 1
10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Význam a užití váženého aritmetického průměru ukážeme na následujících příkladech. Příklad 10.3 Ve firmě Gama Blatná máme soubor n = 6 zaměstnanců. Budeme sledovat číselný statistický znak zaměstnanců: hrubé měsíční mzdy v tis. Kč v měsíci srpnu 2012: 20, 24, 20, 20, 24, 30 Řešení: Příklad má několik zvláštností a nabízí zajímavé řešení:
Průměrnou mzdu samozřejmě můžeme počítat podle vztahu pro aritmetický průměr prostý.
Můžeme využít třídění podle jednoho nespojitého číselného znaku.
Když roztřídíme mzdy například od nejnižší po nejvyšší, pak vidíme, že některé hodnoty znaků se opakují.
Využijeme toho, že součet stejných znaků je roven součinu znaku počet opakujících se znaků.
x
20 20 20 24 24 30 20.3 24.2 30.1 138 23 tis . Kč 6 3 2 1 6
Zobecnění: Vidíme že:
mzda 20 tis. Kč se vyskytuje 3,
mzda 24 tis. Kč se vyskytuje 2,
mzda 30 tis. Kč se vyskytuje 1.
Označíme číselné znaky (mzdy v tis. Kč) a jim odpovídající četnosti (kolikrát se mzdy vyskytují) takto:
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
Hodnota x1 = 20 tis. Kč vyskytuje s četností (vahou) n1 = 3,
Hodnota x2 = 24 tis. Kč se vyskytuje s četností (vahou) n2= 2,
Hodnota x3 = 30 tis. Kč se vyskytuje s četností (vahou) n3= 1.
strana 2
Když
dosadíme do předchozího vzorce místo čísel proměnné za: o číselné znaky x1 = 20, x2 = 24, x3 = 30, o četnosti (váhy) n1 = 3, n2 = 2, n3 = 1
si uvědomíme, že existují k = 3 různé číselné znaky (mzdy v tis. Kč),
pak můžeme průměr počítat podle vzorce pro vážený aritmetický průměr: k 3
x .n x n x n x 1 1 2 2 3 3 n1 n2 n3
x .n i 1 k 3
i
i
n i 1
i
Pokud je počet různých číselných znaků obecně k, pak obecný vzorec pro vážený aritmetický průměr je: k
x
xi .ni i 1
n
k
x .n i 1 k
i
i
n
x1.n1 x2 n2 ... xk nk n1 n2 ... nk
i
i 1
Definice váženého aritmetického průměru Máme statistický soubor o n prvcích (např. n pracovníků, n prasat apod.). Prvky mají vlastnosti – číselné statistické znaky, které nabývají hodnot x1, x2, ... xk (např. mzdy, hmotnosti prasat apod.). Neboli máme k různých prvků, z nichž některé prvky se několikrát se opakují.
Hodnota x1 se vyskytuje s četností (vahou) n1,
Hodnota x2 se vyskytuje s četností (vahou) n2, ...
Hodnota xk se vyskytuje s četností (vahou) nk.
Vážený aritmetický průměr x hodnot znaků x1 , x2 ... xk se počítá podle vztahu k
x
xi .ni i 1
n
k
x .n i 1 k
i
i
n i 1
i
x1.n1 x2 n2 ... xk nk n1 n2 ... nk
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 3
Přitom platí, že počet prvků souboru n je roven součtu četností: k
n ni n1 n2 ... nk i 1
K zamyšlení
Jaký je rozdíl mezi prostým aritmetickým průměrem a váženým aritmetickým průměrem? (Rozdíl je v četnostech. Četnosti u prostého aritmetického průměru jsou 1.)
Může hodnota průměru ležet pod minimem či nad maximem? o Ne, vždy je mezi minimem a maximem. V příkladu 10.3 je průměrná mzda 23 tis. Kč a je mezi nejnižší mzdou 20 tis. Kč a nejvyšší mzdou 30 tis. Kč. o Průměr ale není uprostřed mezi minimem a maximem. V příkladu 10.3 není průměrná mzda 25 tis. Kč, ale je stržen na 23 tis. Kč vlivem toho, že velká váha znaku 20 tis. Kč i váha znaku 24 tis. Kč, což strhne průměr pod střed intervalu. Velké váhy jakoby strhávají průměr k sobě.
Při výpočtu váženého aritmetického průměru je častou chybou záměna xi a ni. o xi jsou číselných statistické znaky, ze kterých se stanoví průměr, o ni jsou četnosti, kolikrát se znak opakuje (někdy to mohou být váhy, viz později).
10.2.1 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR ZE TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO NESPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU Látka, která byla probíraná v předchozích odstavcích, je vlastně vážený aritmetický průměr počítaný ze třídění podle jednoho nespojitého číselného znaku. Probereme ještě na příkladech. Příklad 10.4 Soubor o rozsahu n = 30 studentů jsme roztřídili podle pololetních známek ze statistiky. Známku x1 = 1 měli n1 = 4 studenti, známku x2 = 2 mělo n2 = 15 studentů, známku x3 = 3 mělo n3 = 10 studentů, známku x4 = 4 měl n4 = 1 student. Jaká byla průměrná známka ze statistiky? Řešení: Již u středně velkého souboru s roztříděnými znaky oceníme výhodu váženého aritmetického průměru.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 4
Vážený aritmetický průměr x hodnot znaků x1 , x2 ... xk se počítá podle vztahu: k
x
k
x .n x .n i 1
i
i
n
i 1 k
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 ... xk nk n1 n2 ... nk
i
U nás počet různých statistických znaků (počet různých známek) je k = 4: k 4
x
xi .ni i 1
n
k 4
x .n i 1 k 4
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 x3n3 x4 n4 1.4 2.15 3.10 4.1 68 2,27 n1 n2 n3 n4 4 15 10 1 30
i
Průměrná pololetní známka ze statistiky je 2,27.
Tabulka malé organizace V dalších příkladu budeme používat tabulku malé organizace 10.1. Předpokládejme, že pracovník podniku Alfa Blatná, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku s některými sledovanými atributy (vlastnostmi), které jsou vypsané v tabulce 10.1. Tabulka 10.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k 30. 6. 2012
Číslo pracovníka
Příjmení
Pohlaví
Titul
Stav
Počet vyživovaných dětí
Pracovní kategorie
Hrubá měsíční mzda za červen
Zbývá dní dovolené
1
Adam
1
1
0
Dělník
15 000
4
2
Bartoš
1
2
1
Dělník
12 000
8
3
Beneš
1
2
4
Dělník
24 000
9
4
Berka
1
3
0
Provozní
23 000
6
5
Bláha
1
2
2
Technický
27 000
5
6
Bohuš
1
2
0
Dělník
18 000
7
7
Bouše
1
2
1
Dělník
17 000
4
8
Boušová
2
2
2
Hospodářský
32 000
5
Ing.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 5
9
Bůbal
1
2
1
Dělník
18 000
6
10
Bureš
1
2
4
Technický
20 000
9
11
Burešová
2
2
0
Provozní
24 000
5
12
Burgerová
2
2
2
Dělník
24 000
7
13
Černá
2
1
0
Dělník
14 000
3
14
Daněk
1
1
1
Dělník
19 000
6
15
Dlask
1
2
0
Dělník
18 000
6
16
Dobeš
1
2
3
Dělník
18 000
4
17
Drobník
1
2
2
Hospodářský
40 000
9
18
Erb
1
1
2
Dělník
16 000
3
19
Fichtner
1
2
1
Dělník
16 000
6
20
Gál
1
2
1
Hospodářský
14 000
4
21
Gott
1
2
6
Dělník
29 000
5
22
Havel
1
2
0
Hospodářský
28 000
4
23
Házová
2
2
0
Dělník
10 000
3
24
Hejral
1
2
0
Technický
19 000
6
25
Hrubín
1
2
4
Dělník
18 000
3
26
Hubač
1
2
2
Dělník
18 000
8
27
Hupová
2
2
2
Provozní
17 000
4
28
Hus
1
2
3
Hospodářský
34 000
5
29
Janda
1
2
1
Dělník
19 000
8
30
Janků
1
2
0
Dělník
18 000
4
31
Janků
2
3
3
Provozní
14 000
3
32
Jarý
1
2
1
Dělník
19 000
6
33
Jiřinec
1
2
2
Dělník
18 000
4
34
Jonáš
1
2
3
Dělník
27 000
8
35
Kobosil
1
2
1
Hospodářský
30 000
5
36
Korousová
2
2
2
Dělník
14 000
8
37
Kos
1
2
2
Dělník
21 000
7
38
Koucký
1
2
2
Dělník
23 000
7
39
Kulíšek
1
2
1
Dělník
16 000
6
40
Lahodný
1
2
1
Dělník
24 000
4
RNDr. Bc.
JUDr.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník 41
Lahodová
2
42
Líbenková
2
43
Lín
1
44
Linka
1
45
Líný
1
46
Mahel
47
strana 6
2
3
Dělník
14 000
3
2
0
Hospodářský
12 000
5
2
3
Dělník
12 000
6
Doc.
2
2
Hospodářský
23 000
7
Mgr.
2
1
Technický
24 000
8
1
2
2
Dělník
20 000
6
Masaryk
1
2
1
Dělník
18 000
6
48
Mocová
2
2
3
Dělník
17 000
5
49
Moravec
1
2
2
Technický
22 500
5
50
Nezval
1
2
3
Dělník
17 000
7
51
Nohavica
1
2
2
Technický
23 000
6
52
Novák
1
2
5
Dělník
19 000
6
53
Novák
1
2
2
Dělník
21 000
7
54
Nováková
2
2
0
Dělník
17 000
6
55
Ondráš
1
2
4
Dělník
17 000
5
56
Prádler
1
2
1
Hospodářský
19 000
5
57
Rus
1
3
2
Technický
20 000
7
58
Svoboda
1
1
2
Technický
21 000
7
59
Tatar
1
1
2
Technický
16 000
5
60
Tomšů
1
4
3
Technický
17 000
9
x
106
Celkem
x
Mgr.
x
x
Vysvětlivky:
Pohlaví
Kód
muž
1
žena
2
Stav
Kód
svobodný/á
1
vdaná/ženatý
2
vdova/vdovec
3
rozvedený/á
4
1 194 500
345
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 7
Příklad 10.5 Pracovník, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku Alfa Blatná s některými sledovanými atributy (vlastnostmi), které jsou vypsané v tabulce 10.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k 30. 6. 2012. a) V kapitole „Třídění podle jednoho nespojitého číselného znaku“ jsme z tabulky 10.1 roztřídili zaměstnance dle počtu vyživovaných dětí. Výsledek je v tabulce 9.4. Tabulku 9.4 upravíme na tabulku vhodnou pro výpočet průměrného počtu vyživovaných dětí na jednoho zaměstnance metodou váženého aritmetického průměru. b) Učiníme slovní popis pro průměrný počet vyživovaných dětí k 30. 6. 2012. Tab. 9.4: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná dle počtu vyživovaných dětí k 30. 6. 2012 Počet pracovníků Počet dětí
Celkem
absolutně
kumulativně
v%
kumulativně v%
0
12
20,0
12
20,0
1
14
23,3
26
43,3
2
19
31,7
45
75,0
3
9
15,0
54
90,0
4
4
6,7
58
96,7
5
1
1,7
59
98,3
6
1
1,7
60
100,0
60
100,0
x
x
Řešení: Ad a) V kapitole „Třídění podle jednoho nespojitého číselného znaku“ jsme z tabulky 10.1 roztřídili zaměstnance dle počtu vyživovaných dětí. Výsledek je v tabulce 9.4. Tabulku 9.4 upravíme na tabulku vhodnou pro výpočet průměrného počtu vyživovaných dětí na jednoho zaměstnance metodou váženého aritmetického průměru. Pro potřeby výpočtu průměrného počtu dětí upravíme tabulku 9.4 na novou tabulku 10.2 takto:
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 8
Můžeme přidat sloupec „Index i“, což je index v xi a ni. Například: o pro i = 1 je x1 = 0 a n1 = 12, o pro i = 2 je x2 = 1 a n1 = 14, atd., viz tabulka 10.2.
Z tabulky 9.4 opíšeme sloupec „Počet dětí“. Protože to jsou číselných statistické znaky, ze kterých se stanoví průměr, můžeme ještě doplnit symbol xi.
Z tabulky 9.4 opíšeme sloupec „Počet pracovníků absolutně". Můžeme vynechat slovo "absolutně" a protože to je četnost, doplníme ni.
Přidáme sloupec „Součin xi. ni“. Tím spočítáme čitatele vzorce pro vážený aritmetický průměr: k
x
xi .ni i 1
n
k
x .n i 1 k
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 ... xk nk n1 n2 ... nk
i
V řádku „Celkem“ potřebujeme součet četnosti ni a součet součinů xi. ni.
V řádku „Celkem“ součet hodnot xi nemá význam, dáme symbol "x".
Upravená tabulka pro výpočet váženého aritmetického průměru je následující:
Tab. 10.2: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná dle počtu vyživovaných dětí k 30. 6. 2012
Počet Index Počet dětí pracovníků i xi ni
Součin xi.ni
1
0
12
0
2
1
14
14
3
2
19
38
4
3
9
27
5
4
4
16
6
5
1
5
7
6
1
6
x
60
106
Průměrný počet vyživovaných dětí na jednoho pracovníka k 30. 6. 2012 se spočítá podle vztahu pro vážený aritmetický průměr, kde nejvyšší hodnota indexu i je rovna k = 7:
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník k 7
x
xi .ni i 1
n
k 7
x .n i 1 k 7
i
i
n i 1
x
strana 9
x1.n1 x2 n2 x3n3 x4 n4 x5 n5 x6 n6 x7 n7 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
i
0.12 1.14 2.19 3.9 4.4 5.1 6.1 106 1,77 12 14 19 9 4 1 1 60
Ad b) Učiníme slovní popis pro průměrný počet vyživovaných dětí k 30. 6. 2012. Průměrný počet vyživovaných dětí na jednoho pracovníka k 30. 6. 2012 je 1,77. Úkol 10.2 Pracovník, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku Alfa Blatná s některými sledovanými atributy (vlastnostmi), které jsou vypsané v tabulce 10.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k 30. 6. 2012. a) V kapitole „Třídění podle jednoho nespojitého číselného znaku“ jsme měli za úkol z tabulky 10.1 roztřídit zaměstnance dle počtu zbylých dní dovolené. Výsledek je v tabulce 10.3. Tabulku 10.3 upravíme na tabulku vhodnou pro výpočet průměrného počtu zbylých dní dovolené na jednoho zaměstnance metodou váženého aritmetického průměru. b) Učiníme slovní popis pro průměrný počet zbylých dní dovolené k 30. 6. 2012. Tab. 10.3: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná dle počtu zbylých dní dovolené k 30. 6. 2012 Počet zbylých dní dovolené
Celkem
Počet pracovníků absolutně
kumulativně
v%
kumulativně v%
3
6
10,0
6
10,0
4
9
15,0
15
25,0
5
12
20,0
27
45,0
6
14
23,3
41
68,3
7
9
15,0
50
83,3
8
6
10,0
56
93,3
9
4
6,7
60
100,0
60
100,0
x
x
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 10
10.2.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR LOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI
Z INTERVA-
V minulé kapitole jsme počítali vážený aritmetický průměr ze třídění podle jednoho nespojitého číselného znaku. Podobně lze odhadnout vážený aritmetický průměr ze třídění podle jednoho spojitého číselného znaku, které vede k intervalovému rozdělení četnosti. Problematiku si probereme na příkladech. Příklad 10.6 Pracovník, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku Alfa Blatná s některými sledovanými atributy (vlastnostmi), které jsou vypsané v tabulce 10.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k 30. 6. 2012. a) V kapitole „Třídění podle jednoho spojitého číselného znaku“ jsme z tabulky 10.1 roztřídili zaměstnance podle hrubé mzdy na 7 tříd za měsíc červen. Výsledek je v tabulce 9.5 níže. Tabulku 9.5 upravíme na tabulku 10.4 vhodnou pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen metodou váženého aritmetického průměru. b) Učiníme slovní popis pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen 2012. c) Porovnáme hrubou měsíční mzdu spočítanou z intervalového rozdělení četnosti se mzdou ze skutečných hrubých mezd. Tab. 9.5: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná podle hrubé mzdy za červen 2012 Počet pracovníků
Interval mezd dolní mez uzavřená
horní mez otevřená
absolutně
kumulativně
v%
kumulativně v%
9 000
13 500
4
6,7
4
6,7
13 500
18 000
17
28,3
21
35,0
18 000
22 500
21
35,0
42
70,0
22 500
27 000
10
16,7
52
86,7
27 000
31 500
5
8,3
57
95,0
31 500
36 000
2
3,3
59
98,3
36 000
40 500
1
1,7
60
100,0
60
100
Celkem
x
x
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 11
Řešení: Ad a) V kapitole „Třídění podle jednoho spojitého číselného znaku“ jsme z tabulky 10.1 roztřídili zaměstnance podle hrubé mzdy za měsíc červen. Výsledek je v tabulce 9.5. Tabulku 9.5 upravíme na tabulku 10.4 vhodnou pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen metodou váženého aritmetického průměru. Úpravu tabulky 9.5 na novou tabulku jsme prováděli v předchozí kapitole, nyní ji učiníme stejně.
Jediný problém navíc je, že místo hodnot znaků xi máme interval (u nás interval mezd).
Přepokládáme, že průměr hodnot (mezd) v každém intervalu je roven středu intervalu (mezd).
Každý interval nahradíme středem intervalu.
Střed intervalu se určí jako průměr horní a dolní meze intervalu. o Například střed intervalu <9 000,13 500) se určí jako:
x1
9 000 13 500 11 250 2
o Ostatní středy intervalu jsou vypočítány v tabulce 10.4. Tabulka 10.4 vypadá takto: Tab. 10.4: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná podle hrubé mzdy za červen 2012
Index Dolní mez Horní mez i mzdy uzavřená mzdy otevřená
Střed intervalu mezd xi
Počet pracovníků Součin xi.ni ni
1
9 000
13 500
11 250
4
45 000
2
13 500
18 000
15 750
17
267 750
3
18 000
22 500
20 250
21
425 250
4
22 500
27 000
24 750
10
247 500
5
27 000
31 500
29 250
5
146 250
6
31 500
36 000
33 750
2
67 500
7
36 000
40 500
38 250
1
38 250
60
1 237 500
x
x
x
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 12
Je zřejmé, že když nahradíme interval jeho středem, vzniká zde nepřesnost, protože nevíme, zda původní hodnoty mezd leží spíše u dolní, anebo spíše u horní meze každého intervalu. Výpočet, nebo spíše odhad průměrné mzdy, provedeme stejně jako u váženého aritmetického průměru: k
x
xi .ni i 1
n
k
x .n i
i 1 k
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 ... xk nk n1 n2 ... nk
i
U nás je k = 7 různých intervalů mezd, proto má vzorec pro výpočet váženého aritmetického průměru tvar: k 7
x
xi .ni i 1
n
k 7
x .n i 1 k 7
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 x3n3 x4 n4 x5 n5 x6 n6 x7 n7 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
i
Po dosazení středů intervalů mezd xi a četností ni:
x
11 250.4 15 750.17 20 250.21 24 750.10 29 250.5 33 750.2 38 250.1 4 17 21 10 5 2 1
x
1 237 500 20 625 60
Průměrnou hrubou mzdu stačilo z tabulky spočítat jako podíl součtů v řádku „Celkem“:
Ad b) Učiníme slovní popis pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen 2012. Průměrná hrubá mzda ve firmě Alfa Blatná za měsíc červen 2012 je odhadem 20 625 Kč.
Ad c) Porovnáme hrubou měsíční mzdu spočítanou z intervalového rozdělení četnosti se mzdou ze skutečných hrubých mezd. Spočítejme hrubou mzdu ze skutečných hodnot z tabulky 10.1. n
x
x i 1
n
i
x1 x2 ... xn n
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 13
U nás je n = 60 pracovníků a mzdy osadíme z tabulky 10.1: n60
x
x i 1
i
60
x1 x2 ... x60 15 000 12 000 ... 17 000 19 908 60 60
Průměrná hrubá mzda ve firmě Alfa Blatná za měsíc červen 2012 je přesně 19 908 Kč. Vidíme, že mzda spočítaná z intervalového rozdělení četnosti je opravdu jen odhadem, od skutečné průměrné mzdy trochu liší. Úkol 10.3 Pracovník, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku Alfa Blatná s některými sledovanými atributy (vlastnostmi), které jsou vypsané v tabulce 10.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k 30. 6. 2012. a) V kapitole „Třídění podle jednoho spojitého číselného znaku“ jsme z tabulky 10.1 měli za úkol roztřídit zaměstnance dle hrubé mzdy za červen s tím, že počet intervalů mezd jsme zvolili k = 8. Vytvoříme tak 8 tříd zaměstnanců. Vytvořenou tabulku upravíme na tabulku vhodnou pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen metodou váženého aritmetického průměru. b) Učiníme slovní popis pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen 2012. c) Porovnáme hrubou měsíční mzdu spočítanou z intervalového rozdělení četnosti se mzdou ze skutečných hrubých mezd i s odhadem mzdy, který vyšel v příkladu 10.6. Tab. 9.5: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná podle hrubé mzdy za červen 2012 Počet pracovníků
Interval mezd dolní mez uzavřená
horní mez otevřená
absolutně
v%
kumulativně
kumulativně v%
9 000
13 000
4
6,7
4
6,7
13 000
17 000
17
28,3
21
35,0
17 000
21 000
21
35,0
42
70,0
21 000
25 000
10
16,7
52
86,7
25 000
29 000
4
6,7
56
93,3
29 000
33 000
2
3,3
58
96,7
33 000
37 000
1
1,7
59
98,3
37 000
41 000
1
1,7
60
100,0
60
100,0
Celkem
x
x
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený ze třídění © Aleš Drobník
strana 14
PŘÍKLADY V EXCELU Propočítejte si příklady:
24AritmetickyPrumerVazenyNeresene.xlsx – zde je neřešený příklad.
24AritmetickyPrumerVazenyResene.xlsx – zde je ten samý příklad řešený.
24AritmetickyPrumerVazenyUkol.xlsx – zde je nový neřešený příklad.
24AritmetickyPrumerVazenyZIRCNeresene.xlsx – zde je neřešený příklad.
24AritmetickyPrumerVazenyZIRCResene.xlsx – zde je ten samý příklad řešený.
24AritmetickyPrumerVazenyZIRCUkol.xlsx – zde je nový neřešený příklad.
OPAKOVACÍ OTÁZKY 1. Napíšeme pomocí sumační symboliky i bez ní vztah pro vážený aritmetický průměr a objasníme všechny uvedené veličiny. 2. Jakým způsobem se užije vážený aritmetický průměr při výpočtu odhadu průměru s užitím intervalového rozdělení četnosti?
