SPSKS
-1-
ÚVOD Technická mechanika je předmět, s nímž se někteří žáci, pro které je učebnice určena, setkávají poprvé. Přívlastek "technická" vyjadřuje její vyčlenění z obecnější, tzv. "klasické mechaniky". Aby se klasická mechanika odlišila od mechaniky kvantové, nazývá se velmi často newtonovská. Klasická mechanika je nejstarší fyzikální disciplína, která má přesně formulované zákony a po dlouhou dobu sloužila jako vzor elegance ve vědě vůbec. V době celkem nedávné bylo rozšířeno i ve filozofii přesvědčení, že newtonovská mechanika dokáže vysvětlit chování čehokoliv, tedy i lidské společnosti. Obtížnost řešení by byla úměrná pouze času nutnému pro provádění výpočtů. Za zakladatele klasické mechaniky je pokládán Sir Isaac Newton (1643 - 1727) ve svém fundamentálním díle Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Pro matematický popis mechanických jevů zavedl Newton diferenciální a integrální počet, který je dnes základem vyšší matematiky. Sami zakladatelé kvantové mechaniky měli ve své době potíže překonat rámec myšlení Newtonovy mechaniky (Einstein: "Bůh nehrál v kostky"). Dnes však představuje klasická mechanika poměrně skromné odvětví fyziky. Učebnice, z níž budete studovat, si klade za cíl pomoci při pochopení základních pojmů technické mechaniky a získání přehledu o postupech nejjednodušších výpočtů z technické praxe. Dosavadní technické znalosti tak získají vedle popisu funkčnosti ještě rozměr mechanický. Matematický aparát, který je v ní používán, vychází ze středoškolské matematiky a nesmí být chápán jako cíl výuky, ale pouze jako prostředek, jímž se lze dopracovat řešení. Učebnice svým obsahem pokrývá potřeby vzdělávání v předmětu stavba a provoz strojů oboru „Těžba a zpracování ropy a zemního plynu“ a obor „Těžba a zpracování kamene“. Jejím cílem je proto zvládnutí nejjednodušších praktických aplikací daných oborů. Tím se učebnice bude výrazně odlišovat od učebnic mechaniky středních odborných škol, jejichž cílem vzdělání je získání kvalifikace pro konstrukční a projekční práce. Tato redukce obsahu bude částečně kompenzována poznámkami, psanými kurzívou, které budou probíranou tématiku spojovat s ostatními znalostmi nebo odkazovat na obecnější problematiku. Učebnice obsahuje řadu vzorových příkladů, podle jejichž algoritmů lze potom řešit příklady složitější. Některé tabulky jsou pak vhodné i pro jednoduché příklady v praxi. Pro správnou komunikaci je třeba bezpečně pracovat s pojmovým aparátem, který je v učebnici používán. Zkušenost ukazuje, že běžný, zejména hovorový, jazyk dává některým slovům jiný obsah, než je pro zvládnutí předmětu potřebné. Na tyto odlišnosti je rovněž poukázáno v poznámkách. Postupy výpočtu obsahují kromě komentáře i dílčí výsledky sestavené do různých tabulek. Nikoli pouze pro jejich přehlednost, ale i pro technologii výpočtu, takže lze používat i jednoduchých programů pro běžné počítače.
SPSKS
Josef Moravec
-2-
1.0 ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SOUSTAVY SI V technické praxi se setkáváme s veličinami jako čas, rychlost, síla apod. Veličina je tedy pojem, kterého používáme ke kvalitativnímu i kvantitativnímu popisu jevů, stavů a vlastnosti těles. Jednotka (dříve míra) je číselná hodnota veličiny. Jednotky musí být určeny normou, která je dnes vyjádřením určité mezinárodní dohody. V ČR platí od roku 1974 ČSN 01 1300 mezinárodní soustava jednotek SI. Tato soustava jednotek se dělí na jednotky: -
základní, doplňkové, odvozené, násobky a díly.
Základní jednotky - metr [m] - jednotka délky - je vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 459 s. Pozn. Původní definice metru byla odvozena od 10-7 délky zemského kvadrantu. Poté byla jeho definice založena na měření vlnových délek atomu kryptonu. Důvodem poslední definice je možnost měření času s přesností, která převyšuje možnosti měření délky, - kilogram [kg] - jednotka hmotnosti - je definován jako hmotnost mezinárodního prototypu, který je uložen v Sévres u Paříže. Pozn. Původní definice kilogramu byla odvozena od hmotnosti destilované vody určité teploty o objemu 11. Hmotnost zásadně nesmíme chápat jako váhu (váha je přístroj), ale jako míru setrvačných vlastností, - sekunda [s] - jednotka času - je doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které přísluší přechodu mezi dvěma velmi jemnými hladinami základního stavu atomu cesia 133. Pozn. Dřívější definice vycházela z délky tropického roku 1900,
SPSKS
- ampér [A] - jednotka elektrického proudu - je stálý elektrický proud, který při průtoku dvěma rovnoběžnými, nekonečně dlouhými přímkovými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1m vyvolá mezi těmito vodiči sílu rovnou 2.10-7 N na metr délky, - kelvin [K] - jednotka termodynamické teploty - je definován jako 1/273,16 termodynamické teploty trojného bodu vody. Pozn. Velikost stupně absolutní teploty je stejná jako velikost nám známější Celsiovy stupnice. Obě stupnice se liší jen počátkem, - kandela [cd] - jednotka svítivosti - je svítivost v kolmém směru (1/600 000) m2 povrchu černého tělesa při teplotě tuhnoucí platiny a tlaku 101 325 Pa, - mol [mol] - látkové množství - soustava, která obsahuje tolik základních jednotek, kolik atomů uhlíku obsahuje přesně 0,012 kg uhlíku C. Pozn. Základní jednotka zde musí být specifikována a může to být atom, molekula, iont, elektron apod.
Doplňkové jednotky Jsou to jednotky, o nichž CGPM ještě nerozhodla, a proto se mohou používat jako jednotky základní nebo odvozené. Jedná se o tyto: - radián [rad] - jednotka rovinného úhlu - je to rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které vytínají na kružnici opsané z jejich počátečního bodu oblouk o délce rovné jejímu poloměru, Pozn. Převod radiánů na stupně je dán 1°= π /180 rad, 1 rad = 57° 17 '44,8" = 57,29578°, -3-
- steradián [sr] - jednotka prostorového úhlu - je to prostorový úhel s vrcholem ve středu koule, který vytíná na jejím povrchu plochu s obsahem rovnajícím se druhé mocnině poloměru koule. Odvozené jednotky Odvozené jednotky jsou odvozeny koherentně z jednotek základních, doplňkových i jiných odvozených. Některé odvozené jednotky, které se používají v technické praxi nejčastěji, uvádí tabulka. odvozené jednotky SI se zvláštním pojmenováním veličina kmitočet
název (značka)
vztah k základním nebo
jednotky SI
jiným jednotkám SI
hertz [Hz]
s-1 m . kg . s-2 N . m-2 = m-1 . kg . s-2
(frekvence) síla
newton [N]
tlak
pascal [Pa]
mech. napětí práce, energie teplo výkon
N . m = m2 . kg . s-2 joule [J]
SPSKS watt [W]
J . s-1 = m2 . kg . s-3
Pozn. S dalšími odvozenými jednotkami se setkáváme ve fyzice,. Patři k nim coulomb, volt, farad, ohm, siemens, weber, henry, tesla, lumen, lux, becquerel, gray. Násobky a díly Násobky a díly základních jednotek se vyjadřují písmeny, která postupují v řádech 103 nebo 10-3. Z historických důvodů používáme vedle desítkové soustavy u některých jednotek systém šedesátinový, a to u měření času a úhlových stupňů. V jiných oblastech života se používají násobky 102 (hekto), 10-1 (deci). V mechanice však budeme používat důsledně násobků 103.
1.1 ZÁKLADNÍ ZÁKONY MECHANIKY Základní zákony mechaniky formuloval Newton. Jejich přesné a důsledné pochopení je základem pro pochopení celého předmětu technická mechanika. 1. Princip setrvačnosti - každé těleso zůstává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento pohybový stav změnit. Setrvačnost je tedy odpor tělesa proti změně pohybového stavu. Pozn. Relativně jednoduchá formulace v sobě skrývá genialitu Newtona. Byl první, kdo pochopil, že pohyb těles by byl věčný, pokud by nebylo vnějších sil. Běžná zkušenost, kdy uvedeme těleso do pohybu, totiž ukazuje, že pohyb po čase ustane. K zastavení dojde vlivem tření, odporu v pohybu apod. Přímočarý pohyb je zde pohybem po přímce, nikoli po nějaké jiné křivce. Rovnoměrný pohyb znamená, že nedochází ke zpomalování ani zrychlování. 2. Princip síly - mírou setrvačnosti tělesa je jeho setrvačná hmotnost m, její velikost lze stanovit ze vztahu: -4-
F = m . a, kde: F [N] síla , m[kg] hmotnost, a [m.s-2] zrychlení. Z tohoto základního vztahu mechaniky lze odvodit definici jednotky síly. Jeden newton je síla, která udělí hmotnému bodu o hmotnosti 1 kg zrychlení a = 1 m.s-2. Pozn. Hmotnost nemá nic společného s tím, co se nazývá váha. Váha, jako přístroj, měří tíži těles v gravitačním poli Země. Protože jednotka síly 1 N nevyvolává v mnohých představu o její velikosti, použijeme pro názornost závaží o hmotnosti m = 1 kg, jež se nachází v gravitačním poli Země, které má zrychlení a g = 9,806 m.s-2. Síla, kterou je tedy závaží o hmotnosti 1kg přitahováno k Zemi, je 9,806 N. Nebo obráceně 1 N je síla, jakou je přitahováno k Zemi závaží o hmotnosti 98,06 g. 3. Princip akce a reakce - každá akce vyvolává reakci stejně velkou, ale opačného smyslu.
1.2 ZÁKLADNÍ POJMY Prostor. V mechanice používáme tzv. Euklidův prostor, který je trojrozměrný, homogenní a izotropní. Známe jej dobře z geometrie, aniž bychom věděli, že se nazývá Euklidův. Pro takový prostor umíme počítat strany trojúhelníků, objemy, obsahy a povrchy těles. Z fyziky víme, že prostor, resp. časoprostor, je čtyřrozměrný, přičemž tři rozměry patří prostoru a čtvrtý rozměr tvoří čas. Třírozměrnost je nejobecnější možnost, která je také nejnáročnější na matematické zpracování. Řada technických aplikací se odehrává ve dvou rozměrech (v rovině), nebo dokonce v jednorozměrném prostoru (na přímce). Homogennost prostoru vyjadřuje skutečnost, že v každém bodě prostoru jsou fyzikální vlastnosti stejné. Takový prostor může být tvořen vzduchem, vakuem, amorfními látkami, ale s velkým přiblížením to platí i pro materiály s krystalickou stavbou. Izotropní prostor vyjadřuje skutečnost, že vlastnosti prostoru jsou ve všech směrech stejné. Například dřevo není izotropní materiál (je anizotropní), protože napříč kmenem jde pouze řezat, ale podél vláken jde snadno štípat. Řada přírodních i umělých materiálů je anizotropní (slída – desková odlukovost, azbest – vláknová odlukovost). U většiny technických materiálů je s velkým přiblížením podmínka izotropie splněna. Jak znázorňujeme jednotlivé prostory, je patrno z obrázku.
SPSKS
jednorozměrný
dvourozměrný
Obr. 1 Prostor -5-
trojrozměrný
Pro snadnější pochopení problematiky n-rozměrného prostoru si uvedeme několik příkladů z technické praxe. n = 1 jednorozměrný prostor - přímka - potrubí, v němž může proudit kapalina pouze jedním nebo druhým směrem, železniční dráha, silnice apod. (vektor rychlosti), - řetězy, lana, táhla, jež mohou přenášet sílu v tahu nebo v některých případech i tlaku (vektor síly), n = 2 dvourozměrný prostor - rovina - pohyb rovinných mechanizmů (klikový, vačkový), pohyb lodi na hladině, vodorovný a šikmý vrh apod. (vektory rychlostí), - ozubená kola, mechanizmy stavebních strojů, síly vzniklé při jednoduchém obrábění, zápřah stavebních strojů apod. (vektory sil), n = 3 trojrozměrný prostor - prostor - pohyb letadel v atmosféře, prostorové mechanizmy, pohyby nástrojů při složitém obrábění apod. (vektory rychlosti), - složité těžní stroje a jejich mechanizmy, obrábění ve více souřadnicích najednou (vektory sil). Čas je protenzívní (nelze mu dát "zpětný chod") základní fyzikální veličina, která se trvale spojitě mění a nelze ji zpětně reprodukovat. Má charakter skaláru. Pro technickou mechaniku není nutné pro různé vztažné soustavy počítat s kontrakcí času tak, jak byla odvozena ve speciální teorii relativity A. Einsteinem.. Hmotnost (dříve hmota) je fyzikální veličina charakterizující základní vlastnost všech materiálních objektů, která se ve fyzikálních jevech projevuje setrvačností, tj. zrychlení vnucené tělesu nějakou silou je nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Projevuje se rovněž vzájemnou přitažlivostí.
SPSKS
Pozn. V běžném životě výraz "těleso má hmotnost X kg" znamená, že jsme jej obvykle zvážili na váze. Pro technickou mechaniku je toto chápání nepřijatelné, protože vážením neměříme hmotnost, ale sílu, kterou je těleso přitahováno k zemi. Tato síla působí ve váze na pružinu, páku se závažím, piezokrystal apod. Kdybychom však váhu i s tělesem přenesli do jiných zeměpisných šířek nebo například na Měsíc, naměřili bychom hodnotu jinou. To nás ovšem neopravňuje ke konstatování, že těleso má jinou hmotnost, ta zůstává stejná. Jediné, co se změnilo, je hodnota gravitačního zrychlení, která se na Zemi mění vlivem nadmořské výšky, podloží a podobně. Vztahy: F = m . a, jsou projevem obou základních vlastností hmoty, při použití stejných jednotek jsou podle posledních pokusů sobě rovné. To tedy znamená, že síla je jakýmsi zprostředkovatelem mezi vlastnostmi hmoty setrvačnými a gravitačními. Síla je základní fyzikální veličina, která vyjadřuje vzájemné působení (interakci) mezi tělesy. 1.3 SÍLA JAKO VEKTOR Fyzikální veličiny můžeme rozdělit na veličiny skalární a vektorové. Skalár je fyzikální veličina, která je úplně popsána reálným číslem a příslušnou měřicí jednotkou. Mezi skalární veličiny patří délka, čas, objem, měrná hmotnost, práce, plošný obsah apod. Vektor je fyzikální veličina, která ke svému určení potřebuje znalost nejen velikosti, ale i orientovaného směru. Mezi vektorové veličiny patří rychlost, zrychlení, síla apod. Pozn. V některých speciálních případech, s nimiž se v praxi často setkáme, může i vektorová veličina mít vlastnosti skaláru. Pro sílu jako vektor, např. u lineárního hydromotoru, postačí informace, "že vyvíjí sílu x N". Tato informace může být úplná, protože víme, že lineární hydromotor má nositelku síly totožnou s osou pístnice. Pro vektor rychlosti je údaj "vlak jede rychlostí x m.s-1" rovněž úplný, protože vlak se pohybuje v jednorozměrném prostoru po kolejích. -6-
Jakmile však hovoříme o vektorových veličinách v dvourozměrném, nebo dokonce trojrozměrném prostoru, potřebujeme pro úplné určení více údajů. směr
působiště
velikost vektoru (měřítko)
Obr. 2 Vektor a jeho části jako symbolika S vektory lze provádět základní operace, jako jsou sčítání, odečítání, skalární součin a vektorový součin. Vektor symbolicky kreslíme jako orientovanou úsečku (šipku), bod je zde symbolem působiště síly, délka úsečky v měřítku vypovídá o velikosti síly (obecně vektorové veličiny) a šípka určuje směr působení.
SPSKS
sčítání vektorů a + b = c
odečítání vektorů a – b = c
skalární součin vektorů a . b (plocha a skalár)
vektorový součin a x b (vektor)
Obr. 3 Základní matematické operace s vektory 1.4 ROZDĚLENÍ TECHNICKÉ MECHANIKY Technická mechanika je částí klasické mechaniky. Její dělení je podřízeno studovaným technickým disciplínám. Definujeme ji jako nauku o pohybu těles. Pohybem v definici není myšlen pouze pohyb mechanický, ale rozumíme jím různé změny. Ty mohou být chemické, elektrické, mechanické apod. Statika je disciplína mechaniky tuhého tělesa, zabývá se řešením problému vnitřních sil jako reakce na působení vnějších sil (zatížení). Pružnost a pevnost je disciplína mechaniky pružného tělesa, která se zabývá vyšetřováním vnitřních sil a jimi způsobeného namáhání a podmínkami pevnosti, pružnosti, deformace apod. -7-
Kinematika je disciplína mechaniky, která se zabývá vyšetřováním pohybu těles, tj. zjišťováním rychlosti, zrychlení, dráhy v závislosti na čase. Nehledá však příčiny, které pohyb vyvolaly. Dynamika je disciplína mechaniky, která spojuje statiku a kinematiku. Vytváří tak komplexnější pohled na pohyb těles a soustav. Zkoumá tedy vztahy mezi pohybem těles a silami, které na ně působí. Hydromechanika je disciplína mechaniky, která se zabývá jevy vznikajícími při pohybu kapalin. Termomechanika je disciplína mechaniky, která se zabývá změnami tepelných soustav. Pozn. Jednotlivé disciplíny technické mechaniky lze obvykle dále dělit. Případné dělení bude provedeno v samostatných statích.
SPSKS
-8-
2.0 ÚVOD DO STATIKY Statika se zabývá rovnováhou sil působících na tuhá tělesa a statickou ekvivalencí silových soustav (vzájemného působení těles). Dvě různé soustavy sil působící na tuhé těleso jsou staticky ekvivalentní, pokud mají stejný účinek na těleso v klidovém stavu nebo způsobují stejnou změnu pohybu. Statická rovnováha tělesa (soustavy těles) pod účinkem sil odpovídá stavu klidu nebo rovnoměrného pohybu, tedy nulovému výslednému účinku sil na těleso (soustavu). Rovnovážná soustava nevyvolává žádné změny pohybového stavu tuhého tělesa (soustavy těles). Dokonale tuhé těleso se pod účinkem působících sil v klidu nebo za pohybu nedeformuje, tj. vzdálenosti jeho bodů jsou neměnné. Pozn. Pojem dokonale tuhé těleso předpokládá určitou abstrakci, protože z praxe víme, že tělesa se vlivem vnějšího zatížení deformují. Ve statice musíme tyto deformace zanedbat, protože by se veškeré výpočty staly mnohem složitějšími. Platí zde úměra, čím menší deformace reálně existují, tím je výpočet přesnější. Proto aparát statiky můžeme použít jen u takových reálných těles (soustav těles), jejichž deformace je o několik řádů menší než jejich rozměr. To je pro součásti a stavby z materiálů, jako jsou kovy, beton apod., vždy splněno. 2.1 DRUHY VNĚJŠÍHO ZATÍŽENÍ Síla je z pohledu statiky vektorová míra vzájemného působení těles. Vektor síly je modelem (symbolem) silového působení v jediném bodě. Vnější zatížení však nemusí působit na jeden bod tuhého tělesa. Podle působení vnějšího zatížení rozeznáváme tyto druhy sil: - osamělá síla F [N] je síla, která působí pouze na jeden bod tělesa. Bude to nejčastěji používaný model vnějšího zatížení. V praxi se používá tam, kde se styk dvou těles odehrává na malé ploše, kterou nahradíme bodem. Osamělá síla bude matematickým modelem styku ložisek s hřídelí, namáhání šroubů, čepů, nýtů, břemen zavěšených na laně apod.,
SPSKS
- liniová síla q [N.m-1] je vnější zatížení, které je spojitě rozloženo podél nějaké křivky. Takové zatížení se v praxi vyskytuje v podobě přitažlivé síly prověšeného nebo zavěšeného lana, řetězů apod., - měrná plošná síla p [N.m-2] nebo [Pa] je vnější zatížení rozložené spojitě po ploše. Takovým zatížením je tlak vzduchu nebo vodního sloupce na dno nádoby nebo podloží, - měrná objemová síla o [N.m-3] je síla rozložena po objemu.
osamělá síla F [N]
liniová síla q [N. m-1]
Obr. 4 Matematický model vnějšího zatížení
-9-
plošná síla [N. m-2] [Pa]
2.2 STABILITA ROVNOVÁŽNÉ POLOHY Tuhé těleso nebo soustava těles v poli tíhových sil mohou zaujímat rovnovážnou polohu: - stabilní je poloha, při níž má těleso nebo soustava nejnižší energii. Při vychýlení tělesa z jeho rovnovážné polohy se samo vrací zpět, - neutrální (indiferentní) je poloha, kdy těleso při vychýlení nemění svoji energii a v nové poloze zůstává, - nestabilní je taková poloha, při níž tělesa mají nejvyšší energii. Při vychýlení přechází na nižší energii a ztrácí svoji stabilitu. Obrázek 5 znázorňuje stabilitu těles jak pro translační pohyb, tak pro rotační pohyb (ve formě fyzikálního kyvadla). Pro konstrukce technických zařízení je žádoucí nalézt řešení v podobě stabilní polohy. Nestabilní řešení je krajně nežádoucí.
SPSKS stabilní Obr. 5 Stabilita rovnovážné polohy
neutrální
-10-
labilní
2.3 EKVIVALENCE SIL V JEDNOROZMĚRNÉM PROSTORU Jednorozměrný prostor je popsán v kapitole 1.2 a je nejjednodušším případem řešení ekvivalence sil. Protože všechny síly leží na jedné nositelce, jejich odlišnost spočívá pouze ve velikosti jednotlivých sil a jejich orientaci.
F2
F1
F3
F4
+x
Ekvivalentní síla je jejich výslednice nebo obecněji, je to jedna síla, která nahrazuje soustavu více sil se stejnými účinky. Modelem takové soustavy je například lano, které je napínáno několika lidmi různé síly podél svojí délky. Nalezení ekvivalentní síly je zde jednoduché, protože síla jako vektor má v jednorozměrném prostoru vlastnosti skaláru a lze ji proto sčítat jako skalár. Předpokladem řešení je pouze dohoda o tom, který směr vektoru budeme pokládat za kladný a který za záporný. Osu souřadného systému budeme označovat "x" a znaménkem + směr nárůstu souřadnice.
F1
F2
F3
Fn
+x
Numerické řešení spočívá ve skalárním součtu jednotlivých sil: Fv = F1 + F2 + F3 + …… Fn. Grafické řešení předpokládá znázornění soustavy sil orientovanými úsečkami v příslušném měřítku, které spojujeme od 0 v krajních bodech po sobě jdoucích sčítanců. Pro přehlednost kroků každý součet oddělíme spuštěním o řádek.
SPSKS F1
F2
F3
F4
+x
Fv
Př. Vypočítejte výslednou sílu, kterou je tažen skrejpr při nabírání materiálu. Skrejpr má dva motory, přední náprava vyvozuje tážnou sílu F1= 50 kN, zadní náprava sílu F2 = 65 kN. Celý stroj je ještě tažen dozerem o tažné síle F3 = 70 kN, který se pohybuje ve směru podélné osy skrejpru. Řešení: 1. Reálné zadání strojů nahradíme matematickým modelem, v němž figurují pouze vektory sil. (Pro matematický model je zde jedno, zda představuje zadanou úlohu nebo například vlakovou soupravu taženou třemi hnacími jednotkami či jiné podobné zadání).
-11-
Výsledná síla je dána součtem jednotlivých sil: Fv = F1 + F2 + F3 = 50 + 65 + 70 = 185 kN. Grafické řešení: F1
F2
F3
Fv
Př. Na zavěšeném laně jsou upnuta čtyři břemena (viz obrázek). Jednotlivé hmotnosti jsou: m1 = 50 kg, m2 = 35 kg, m3 = 55 kg, m4 = 65 kg. Vypočítejte výslednou sílu, kterou je namáháno lano v gravitačním poli Země. Hmotnosti jednotlivých břemen vyjádříme jako sílu vzniklou v gravitačním poli Země. Zrychlení g = 9,81 m.s-2 podle vztahu prvního Newtonova zákona F = m .a, kde a = g.
SPSKS
reálné zadání F1 = F2 = F3 = F4 =
matematický model
m1. g = 50 . 9,81 m2. g = 35 . 9,81 m3. g = 55 . 9,81 m4. g = 65 . 9,81
= = = =
grafické řešení
490,5 N 343,4 N 539,6 N 637,7 N
——————————————— výsledná síla
Fv =
2 011,2 N -12-
2.4 EKVIVALENCE ROVNOBĚŽNÝCH SIL V DVOUROZMĚRNÉM PROSTORU V dvourozměrném prostoru (rovině) musíme síly chápat jako vektory, které mají vedle své velikosti a orientovaného směru také svoje působiště v rovině. Tato úloha je speciálním případem obecné soustavy tím, že nositelky vektorů jsou rovnoběžky. Souřadný systém může být volen obecně, ale úlohu lze značně zjednodušit správnou volbou souřadného systému, a to tak, že jednu ze souřadnic (x nebo y) orientujeme jako rovnoběžku s nositelkami soustavy sil.
obecné řešení
natočením souřadného systému
Obr. 6 Volba souřadného systému Výslednice (ekvivalentní síla) proto nebude určena pouze svojí velikostí, ale také polohou vzhledem ke zvolenému souřadnému systému. Tato úloha se dále člení na:
SPSKS
- soustavu rovnoběžných sil, která má svoje působiště na přímce kolmé na nositelky sil, - soustavu rovnoběžných sil, která má souřadnice působišť v obecných polohách.
s působišti na přímce Obr.7 Soustavy rovnoběžných sil
s obecnými souřadnicemi působišť
Každé reálné zadání, které lze transformovat na soustavu rovnoběžných sil, je nutné převést do určitého standardního stavu, který vyhovuje výpočtu. Postup převodu reálného zadání je tento: 1. Pro zadanou soustavu zvolíme souřadný systém tak, aby jedna jeho osa byla rovnoběžná s jednou z os souřadného systému. 2. Polohy působišť ve směru osy x a y zakótujeme v absolutních souřadnicích x1, x2, x3,....xn a y1, y2, y3,.... yn -13-
s působišti sil na přímce s obecnými souřadnicemi působišť Obr. 8 Převedení reálného zadání na matematický model Výpočet velikosti ekvivalentní síly a její polohy předpokládá použití podmínky statické rovnováhy. Její slovní vyjádření je: součet všech momentů k bodu musí být roven 0. Bez odvozování si uveďme, že moment je vždy součin síly a ramene, na němž síla působí. Musí však být splněn požadavek, že nositelka vektoru síly je kolmá na rameno.
SPSKS
M = F . r, [N . m] = [N] . [m].
Pozn. Pojem momentu jako abstraktní veličiny lze osvětlit praktickou zkušeností. Když je třeba povolit velmi silně utaženou matici nebo ohnout ocelovou tyč a nestačí k tomu běžný nástroj, každý zkušený pracovník ví, že postačí klíč nebo ohýbací páku nastavit, např. trubkou. Nastavení délky je prodloužení ramene, kolikrát zvětšíme rameno, tolikrát zvětšíme moment síly. Později se dovíme, že moment může být ohybový nebo kroutící. Soustavu rovnoběžných sil F1, F2, F3, .... Fn máme zadanou, volili jsme souřadný systém, který má jednu osu rovnoběžnou s nositelkami sil. V absolutních souřadnicích známe polohu jednotlivých působišť x1, x2, x3,…xn a y1, y2, y3, ….yn. Tyto souřadnice nechť jsou ramena sil. Kolmost nositelek jednotlivých vektorů sil k pomyslným ramenům je splněn rovnoběžností a vhodnou volbou souřadného systému. Součet všech momentů bude nulový, pokud bude platit podmínka: F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 + ........................ Fn . xn = Fv . xv, F1 . y1 + F2 . y2 + F3 . y3 + ........................ Fn . yn = Fv . yv. Bez důkazů provedeme úvahu, jaké řešení můžeme očekávat. Pro soustavu rovnoběžných sil, jejichž působiště leží na přímce kolmé k nositelkám vektorů soustavy sil, bude platit: - výslednice (ekvivalentní síla) bude rovněž rovnoběžka vzhledem k ostatním silám soustavy (neočekáváme vybočení), - její velikost bude dána součtem velikostí jednotlivých sil soustavy, - působiště výsledné síly bude na téže přímce jako působiště ostatních sil soustavy. Pro soustavu rovnoběžných sil, jejichž působiště neleží v jedné přímce, bude třeba pro určení působiště namísto jedné souřadnice dvou souřadnic xv, yv. Z výchozích rovnic tedy vyplývá, že jedinou neznámou je zde xv pro soustavu rovnoběžných sil s působišti na přímce kolmé k nositelkám soustavy sil. Proto platí: -14-
F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 + ………Fn . xn xv = —————————————————. F1 + F2 + F3 + ….Fn Pro soustavu rovnoběžných sil, která má obecné polohy působišť, bude platit uvedená rovnice pro nalezení souřadnice xn a navíc rovnice pro nalezení polohy souřadnice yn: F1 . y1 + F2 . y2 + F3 . y3 + ………Fn . yn yv = —————————————————. F1 + F2 + F3 + ….Fn
SPSKS s působišti sil na přímce Obr. 9 Řešení ekvivalentní síly
s obecnými souřadnicemi působišť
Grafické řešení této úlohy v dnešní době ustupuje numerickému řešení, vyniká ale jednoduchostí. Úprava reálného zadání předpokládá pro standardní grafické řešení tyto kroky: 1. Reálné zadání transformovat v měřítku sil i souřadnic na matematický model. 2. Jednotlivé vektory sil v pořadí narůstání souřadnice (zleva doprava) nanést v měřítku (nejlépe stejném). měřítku jako na matematickém modelu) na nositelku rovnoběžnou se soustavou sil. Jejich "řetězením" získáme v měřítku výslednou (ekvivalentní) sílu. 3. Zvolíme bod 0, kterému se říká pól, a to nejlépe tak, že tvoří se seřazenými vektory rovnoramenný trojúhelník. 4. Jednotlivé začátky a konce vektorů soustavy sil spojíme s pólem 0. 5. Na nositelky jednotlivých sil soustavy budeme "vázat" řetězec jednotlivých vláken 1, 2, 3, .... n. -15-
6. Průsečík rovnoběžky 1 a n (poslední) je bod, kterým prochází nositelka výsledné síly.
Obr. 10 grafické řešení soustavy rovnoběžných sil v rovině
SPSKS
Př. Tři lineární hydromotory jsou mechanicky spojeny příčníkem. Jednotlivé hydromotory vyvozují sílu: F1 = 1 kN, F2 = 2 kN, F3 = 3 kN. Vzdálenosti os jednotlivých lineárních hydromotorů jsou uvedeny na obrázku. Určete velikost výsledné síly hydromotoru a navrhněte na příčníku umístění oka pro přenos výsledné síly do mechanizmu (polohu výsledné síly vzhledem k osám hydromotoru). Řešení: 1. Reálné zadání transformujeme na matematický model zvolením vhodného souřadného systému. Pro souřadnice y1, y2 , y3 musí platit: y2 - y1 = 300, y3 - y2 = 300. Tyto podmínky musí vyhovovat každému souřadnému systému, který jsme si zvolili. Kóta 50 mm ve směru osy y je zvolena libovolně pro výhodnou polohu kartézských souřadnic.
-16-
2. Dosadíme do podmínky momentové rovnováhy. Jedinou neznámou je zde poloha výslednice yv. Velikost výslednice zjistíme prostým skalárním součtem: F1 . y1 + F2 . y2 + F3 . y3 yv = ——————————— = 450 mm. F1 + F2 + F3 Grafické řešení
SPSKS Polohu umístění osy oka na příčníku podle zadání můžeme zakótovat od libovolné osy kteréhokoliv z lineárních hydromotorů. Její velikost snadno odvodíme z absolutního zakótování. Př. Na mostě o rozpětí 100 m stojí tři motorová vozidla, jejichž hmotnosti jsou: m1 = 2 000 kg x1 = 20 m, m2 = 4 000 kg x2 = 40 m, m3 = 3 500 kg x3 = 80 m. Nalezněte velikost a polohu ekvivaletní síly (tj. síly, která by měla na mostní konstrukci stejný statický účinek). Řešení:: 1. Reálnou situaci nahradíme modelem matematickým. Protože se v zadání nevyskytuje zmínka o počtu či rozvoru náprav zmíněných motorových vozidel, budeme motorová vozidla nahrazovat osamělými silami. Působiště gravitačních sil bude v těžišti vozidel. Jejich velikosti budou: F1 = m1 . g = 19,62 kN, F2 = m2 . g = 39,24 kN, F3 = m3 . g = 34,34 kN. -17-
2. Vypočítané síly a zadané souřadnice dosadíme do podmínky momentové rovnováhy. Jedinou neznámou je zde poloha výslednice ve směru osy x (ve směru narůstající délky mostu):
SPSKS
F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 xv = ——————————— = 50,52 m, F1 + F2 + F3 Fv = 93,2 kN.
3. Grafické řešení vychází z matematického modelu, který je nakreslen v měřítku sil a měřítku délek. Poznámka: Řešení příkladu říká, že z hlediska statických účinků je možné tři motorová vozidla nahradit jedinou silou o velikosti 93,2 kN, která by musela mít působiště ve vzdálenosti 50,52 m ve směru kladné osy x (po délce mostu). Zde je nutno zdůraznit, že jde pouze o statickou ekvivalenci. Z hlediska například pevnosti mostu nebo velikosti jeho deformací se o ekvivalenci nejedná. Pro soustavy rovnoběžných sil v dvourozměrném prostoru, které mají působiště v obecných polohách, je řešení nutné provádět ve dvou směrech x a y. K tomuto typu úloh se dostaneme při řešení souřadnic těžišť. Př. Nalezněte velikost ekvivalentní síly a její působiště u soustavy rovnoběžných sil v rovině dle zadání: síla [kN]
souřadnice x [mm]
y [mm]
35
15
10
45
25
25
20
50
35 -18-
Řešení: 1. V měřítku sil a souřadnic si nakreslíme matematický model zadání.
2. Vypočítáme souřadnici působiště ekvivalentní síly ve směru osy x podle vztahu:
SPSKS
F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 xv = ——————————— = 26,5mm. F1 + F2 + F3
Pro techniku výpočtu je zde třeba poznamenat, že zadání je tabelizováno a výpočet má jednoduchý algoritmus - vynásobit dva sloupce tabulky a jednotlivé součiny (řádky) pak sečíst. 3. Vypočítáme souřadnici působiště ekvivalentní síly ve směru osy y podle vztahu: F1 . y1 + F2 . y2 + F3 . y3 yv = ——————————— = 21,75 mm. F1 + F2 + F3 4. Vypočítané souřadnice xv a yv vyneseme v měřítku do matematického modelu zadání. Průsečíkem obou souřadnic je bod, který je působištěm síly. Její nositelka je logicky rovnoběžná s ostatními silami zadání a její velikost je dána skalárním součtem velikostí jednotlivých sil Fv = 100 kN. 5. Grafické řešení provedeme pro každou osu zvlášť a působiště výsledné síly je opět v průsečíku obou výslednic.
-19-
Pozn. U grafického řešení je třeba dát bedlivý pozor na "řetězení" sil ve směru narůstající osy, k níž hledáme řešení. Sled sil například podle indexů nemusí být obecně stejný.
SPSKS
2.5 DVOJICE SIL
Soustava rovnoběžných sil v dvourozměrném prostoru nemusí mít obecně splněnou podmínku, že všechny síly mají stejný směr. Musí pouze platit, že jejich vektory jsou rovnoběžné. Pod pojmem dvojice sil rozumíme soustavu rovnoběžných sil stejně velkých, opačného smyslu a neležících na jedné přímce.
Obr. 11 Dvojice sil Snadno bychom dokázali, že ekvivalentní síla obou vektorů je nulová a její působiště bychom nalezli jako bod, který půlí vzdálenost mezi působišti sil F1 a F2 (bod 0) . Výsledným účinkem silové dvojice je otáčivý účinek. Takový účinek se v technické praxi nazývá moment. Velikost (numerická hodnota) momentu je dána součinem jedné síly z dvojice a jejich ramene: M = F . r [N.m]. Pozn. Rozměr [N.m] je podle odvozených jednotek SI [J]. Pro odlišení od práce se v technické mechanice pro momenty používá jednotky N.m a jednotka J se používá pro práci a teplo. Výraz 1 N.m je moment, který vznikne na rameni 1 m, na jehož konci působí kolmo síla 1 N. -20-
Z obrázku 11 je patrné, že otáčivý účinek může mít dva směry. Pravotočivý a levotočivý. Je proto nutné zavést určitou konvenci, který otáčivý účinek budeme považovat za kladný +M a který za záporný -M.. Budeme nadále důsledně dodržovat dohodu: Snaží-li se dvojice sil natáčet rovinu, v níž leží proti smyslu chodu hodinových ručiček, budeme moment dvojice sil považovat za kladný. A naopak. Pro dvojice sil obecně platí: - statický moment dvojice sil k libovolnému bodu S jeho roviny má stálou hodnotu, - dvojici sil lze v její rovině nahradit libovolnou jinou dvojicí sil téže roviny, která má s původní dvojicí stejnou velikost a smysl. Platí podmínka: F1 . r1 = F2 . r2 = …………Fn . rn - dvojici sil lze v její rovině zcela libovolně posunout nebo pootočit, aniž by se změnilo něco na jejím účinku.
ekvivalence silových dvojic Obr. 12 Vlastnosti silových dvojic
pootočení silové dvojice
Výsledným účinkem (ekvivalentní) silovou dvojicí v rovině silových dvojic je algebraický součet jednotlivých silových dvojic podle vztahu:
SPSKS
Mv = M1 + M2 + M3 +…….Mn.
Př. Zjistěte velikost momentu silové dvojice vzhledem ke kterémukoliv bodu v rovině, je-li dáno: F1= F2 = 55 N, r1 =. 450 mm r2 = 220 mm Řešení: 1. Zadanou úlohu nakreslíme v měřítku sil a délek.
2. Statický moment dvojice sil má k libovolnému bodu S jeho roviny stálou hodnotu: -21-
M = F1. r = F1.(r1- r2) = 55 . 0,23 = 12,65 N.m. Př. Při montáži je třeba pojistit šroubový spoj přítužnou maticí (kontramaticí). Matice je dotahována klíčem, jehož rameno je dlouhé r1 = 1 000 mm, silou F1 = 350 N. Přítužná matice je dotahována klíčem o délce ramene r2 = l 200 mm, silou F2 = 400 N. Vypočítejte velikost výsledného kroutícího momentu, který je vyvozován oběma klíči. Řešení: 1. Nakreslíme v měřítku sil a délek matematický model úlohy.
2. Výsledný moment je dán algebraickým součtem obou momentů: Mv = M1 + M2 = F1 . r1 + F2 . r2 = 350 . 1 + 400 . 1,2 = 830 N.m.
SPSKS
2.6 EKVIVALENCE SOUSTAVY SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM VE DVOUROZMĚRNÉN PROSTORU Tento problém se v technické praxi vyskytuje velice často. Skládání sil se společným působištěm znázorňuje obrázek 13. Volba souřadného systému, s nímž budeme s výhodou dále počítat, se provádí tak, že působiště soustavy sil se ztotožní s počátkem souřadné soustavy. Jednotlivé síly jsou pak zadány velikostí vektoru a polohovým úhlem, který svírá vektor s osou x. Orientace úhlu je tedy totožná s praxí analytické matematiky.
Obr. 13 Soustava sil se společným působištěm v dvourozměrném prostoru Hledání ekvivalentní síly, tj. síly, která má stejný statický účinek jako celá soustava sil, je základní úlohou. Její řešení je možné provést opět numericky nebo graficky. Způsoby řešení volíme s ohledem na počet sil, pro něž hledáme ekvivalentní sílu. Jde-li o řešení ekvivalentní síly pro dvě zadané síly, postačí ke grafickému řešení známé doplnění vektorů na rovnoběžník a výslednice je úhlopříčka rovnoběžníka. Grafické řešení -22-
umožňuje nalézt najednou jak velikost ekvivalentní síly, tak její polohu vůči sčítaným vektorům sil. Numerické řešení předpokládá použití zobecněné Pythagorovy věty, což je kosinova věta. Výsledkem je toliko velikost ekvivalentní síly, její polohu (úhel) je nutné vypočítat zvlášť: Fv = [F1 + F2 + 2F1 . F2 . cos ( φ1 - φ 2)] ½.
Pozn. Z matematiky znáte podobu kosinovy věty se znaménkem ve tvaru pod odmocninou F1+ F2 - 2F1 . F2 cos (φ1- φ2). Proto je třeba si uvědomit rozdílnost úhlů, které jsou předpokládány v matematice a které v technické mechanice.
Obr. 14 Řešení ekvivalence sil pro dvě síly
SPSKS
Pokud zadání obsahuje více než dvě síly, je grafické řešení sice možné prováděním jakýchsi mezisoučtů, které jsou následně přičteny k další síle, ale přesnost řešení se zmenšuje. Numerické řešení předpokládá, že každou sílu rozložíme na dvě složky. Tyto dvě složky jsou navzájem kolmé a ztotožňujeme je se zvoleným nebo zadaným souřadným systémem. Takto rozdělíme dvourozměrnou úlohu na dvě úlohy jednorozměrné. Každou z nich snadno vyřešíme nalezením ekvivalentní síly a následně složíme zpět do dvourozměrného prostoru. Protože je rozložení provedeno na kolmé souřadnice, lze s výhodou použít běžných znalostí pravoúhlého trojúhelníka. Obecný postup výpočtu vypadá takto: 1. Reálné zadání převedeme na matematický model obvykle v měřítku sil. 2. Polohové úhly jednotlivých vektorů přepočítáme tak, že jejich odpočet bude v souladu s matematikou proti směru otáčení hodinových ručiček. 3. Složky každé síly potom jsou: F1x = F1 . cos φ1 F2x = F2 . cos φ2
F1y = F1 . sin φ1, F2y = F2 . sin φ2,
.
.
. Fnx = Fn . cos φn —————— Fvx =
. Fny = Fn . sin φn —————— . Fvy =
Jednotlivé složky algebraicky sečteme stejným způsobem jako u jednorozměrného prostoru. Tyto výslednice jsou na sebe kolmé. Pozn. Je třeba si uvědomit, že znaménka jednotlivých složek se budou měnit funkce cosinus resp. sinus a podle kvadrantu, ve kterém je zadaná síla.
-23-
podle
funkce
kvadrant I
II
sin
+
+
cos
+
-
III
IV
-
-
+
-
4. Výsledné síly průmětů do obou os (x a y) vektorově sečteme, to znamená při kolmosti obou složek provést výpočet přepony pravoúhlého trojúhelníka pomocí Pythagorovy věty: Fv = (F2vx + F2vy )1/2. 5. Nalézt velikost polohového úhlu ekvivalentní síly je nejsnazší tak, že si nakreslíme obě výsledné složky průmětů do obou os ve směru, který jsme vypočítali (pozor na znaménko). Pomocí funkce tangens vypočítáme úhel, který svírá výslednice. Ten je pak třeba pro zachování odečítání úhlů od osy x přičíst podle kvadrantu, v němž se ekvivalentní síla nachází.
SPSKS Obr. 15 Grafická interpretace postupu výpočtu Př. Dva remorkéry táhnou po řece vlečnou loď na stejně dlouhých lanech o délce 1 = 50 m. Z bezpečnostních důvodů se svými boky nesmějí přiblížit na vzdálenost menší než h = 15 m. První remorkér vyvíjí tažnou sílu 120 kN a druhý remorkér 90 kN. Vypočítejte výslednou tažnou sílu, kterou je vlečná loď tažena, a směr, jakým se bude pohybovat vzhledem k ose řeky.
Ř e š e n í : l -24-
1. Reálné zadání nahradíme matematickým modelem, který nám umožní definovat velikosti tažných sil a jejich polohový úhel vzhledem k ose řeky. Počátek souřadné soustavy bude v místech úvazu lan na vlečné lodi. Velikosti úhlů φ1, φ2 vypočítáme pomocí goniometrických funkcí: φ1 = arsin h/2/l = 8º 37', φ2 = 360 - φ1 = 351º 23'. 2. Síly F1, F2 rozložíme na složky do osy řeky (x) a do osy kolmé na osu řeky (y): F1x = F1 . cos φ1 = 118,64 kN
F1y = F1 . sin φ1 = 17,98 kN,
F2x = F2 . cos φ2 = 88,98 kN
F2y = F2 . sin φ2 = -13,48 kN,
————————————
————————————
Fvx =
F2y =
207,62 kN
4,50 kN.
3. Vypočítáme velikost výslednice podle Pythagorovy věty: Fv = ( F2vx + F2vy)1/2 = 207,66 kN. 4. Úhel, který bude svírat vektor síly s osou koryta řeky bude: φv = arctg Fvx / Fvy = 1º 14'.
SPSKS Př. Zapadlý těžní stroj vytahují tři dozery o tažných silách: F1 = 5 kN, F3 = 12 kN. F2 = 8 kN, Délky lan jsou stejné 1 = 20 m. Nejmenší přípustná vzdálenost úvazů lan na tažných dozerech je h = 6 m. Vypočítejte, jakou výslednou tažnou sílu dozery vyvinou a v jakém úhlu se bude vyprošťovaný stroj pohybovat vzhledem k ose prostředního dozeru. l. Reálné zadání nahradíme matematickým modelem. Souřadný systém budeme volit tak, že osu x ztotožníme s osou lana prostředního dozeru (2).
-25-
Z geometrických charakteristik úlohy zjistíme: φ1 = 17° 27', φ2 = 0, φ3 = 342° 33'. 2. Zadané síly rozložíme do zvolených souřadnic x a y: F1x = F1 . cos φ1 = 4,76 kN
F1y = F1 . sin φ1 = 1,49 kN,
SPSKS
F2x = F2 . cos φ2 = 8,00 kN
F2y = F2 . sin φ2 = 0,00 kN,
F3x = F3 . cos φ3 = 11,44 kN
F3y = F3 . sin φ3 = -3,50 kN,
———————————
———————————
Fvx =
Fvy =
24,20 kN
3.. Výsledná velikost vektoru síly je: Fv = ( F2vx + F2vy)1/2 = 24,29 kN.
5. Polohový úhel je φv = arctg Fvy/Fvx - 3 60 = 355° 03'.
-26-
-2,20 kN.
2.7 EKVIVALENCE SOUSTAVY ROVNOBĚŽNÝCH SIL V TROJROZMĚRNÉM PROSTORU Soustava rovnoběžných sil v trojrozměrném prostoru je lépe zvládnutelná, když jednu souřadnou osu kartézského souřadného systému volíme rovnoběžnou s nositelkami sil. To znamená, že ke zbývajícím osám, které tvoří rovinu, jsou zadané vektory sil kolmé. Souřadný systém je tvořen osami x, y, z. Obvykle je však souřadný systém apriori zadán svým technickým řešením.
Obr. 16 Soustava rovnoběžných sil v trojrozměrném prostoru Podobně jako u dvourozměrného prostoru lze konstatovat, že velikost ekvivalentní síly je dána algebraickým součtem velikostí jednotlivých sil. Její velikost tedy známe ze zadání. Výpočtem řešíme pouze problém nalezení souřadnic jejího působiště. Vektor ekvivalentní síly je rovněž rovnoběžný se soustavou zadaných sil. Souřadnice působiště ekvivalentní síly proto vypočítáme z podmínky momentové rovnováhy:
SPSKS
F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 + ………Fn . xn xv = —————————————————, F1 + F2 + F3 + ….Fn
F1 . y1 + F2 . y2 + F3 . y3 + ………Fn . yn yv = —————————————————, F1 + F2 + F3 + ….Fn
F1 . z1 + F2 . z2 + F3 . z3 + ………Fn . zn zv = —————————————————. F1 + F2 + F3 + ….Fn
Velikost výslednice sil: Fv = F1 + F2 + F3 +......+ Fn.
-27-
2.8 EKVIVALENCE SOUSTAVY SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM V TROJROZMĚRNÉM PROSTORU Řešení této úlohy spočívá podobně jako v rovině ve volbě vhodné souřadné soustavy. Její počátek se proto s výhodou situuje do společného působiště sil. Ekvivalentní síla má tu vlastnost, že její působiště je totožné s působištěm zadaných sil. Princip numerického řešení spočívá v tom, že zadané síly F1 až Fn rozložíme do složek souřadné soustavy: Fnx = Fn . cos αn
pro n = 1, 2, …..n,
Fny = Fn . cos βn
pro n = 1, 2, …..n,
Fnz = Fn . cos γn pro n = 1, 2, …..n. Zároveň platí rovnice: cos2 α +
cos2 β +
cos2 γ = 1.
Je tedy zřejmé, že pro definici vektoru síly v prostoru je třeba znát velikost síly a dva ze směrových úhlů (třetí vyplývá z rovnice). Velikost ekvivalentní síly je dána: Fv = (F2vx + F2vy + F2vz)1/2. Z rovnice je patrné, že se zde jedná o výpočet tělesové úhlopříčky kvádru o stranách rovných velikosti výsledných sil v jednotlivých osách.
SPSKS Obr. 17 Soustava sil se společným působištěm v trojrozměrném prostoru Př. Tři navíjedla postavená v prostoru vyvíjejí tažné síly: F1= 15 kN, F2= 20 kN, F3= 30 kN. Osy jejich lan jsou navzájem kolmé podle obrázku. Vypočítejte ekvivalentní sílu (výslednici), kterou vyvíjí lana v bodě, kde jsou upnuta k břemenu. Vypočítejte polohové úhly výslednice. -28-
Řešení: 1. Nakreslíme matematický model úlohy a zvolíme souřadný systém, s „nějakou“ výhodou např. F1 ≡ x, F2 ≡ y, F3 ≡ z.
2. Vypočítáme ekvivalentní sílu: Fv = ( F2X + F22 + F23)1/2 = 39,05 kN.
SPSKS
3. Polohové úhly vypočítáme ze vztahu:
Fnx = Fv . cos αn (pro n = 1) → arccos F1 / Fv = 67º 24', Fny = Fv . cos βn (pro n = 1) → arccos F2 / Fv = 59º 11',
Fnz = Fv . cos γn (pro n = 1) → arccos F3 / Fv = 39º 48'. 4. Pro kontrolu musí pro směrové kosiny platit: cos2α +
cos2β +
cos2γ = 1.
-29-
2.9 STATIKA DOKONALE TUHÉHO TĚLESA Volné tuhé těleso, které není ve svém pohybu nijak omezeno, se může pohybovat v závislosti na počtu rozměrů prostoru. V trojrozměrném prostoru se může pohybovat translačním (přímočarým) pohybem ve směru tří os x, y, z a rotačním pohybem kolem os x, y, z. Má tedy šest stupňů volnosti. Stupeň volnosti je tedy možnost posunutí tělesa nebo jeho pootočení kolem dané osy. Zatížené volné těleso je v rovnováze tehdy, je-li v rovnováze soustava sil na něho působící. Tuhé těleso, které je vedeno (vázáno), je ve svém pohybu omezeno, jeho počet stupňů volnosti je snížen. Vazby působí podle zákona akce - reakce na tuhé těleso určitými silami, které znemožňují volný pohyb tělesa. Vazby - vedení tuhého tělesa Hladká kluzná plocha - je-li jeden bod tuhého tělesa vázán při pohybu na určitou plochu (rovinu). Takováto vazba se realizuje: - kulovým kloubem posuvným po ploše (kuličkové vedení na ploše), - kyvným prutem (speciální podpěry).
SPSKS Obr. 18 Schéma vazby kulovým kloubem a kyvným prutem Kluzná křivka či přímka - je-li při pohybu tuhého tělesa jeden bod vázán na jistou křivku. Takováto vazba se realizuje: - kulovým kloubem posuvným po křivce (válečkové ložisko), - dvěma kyvnými pruty.
Obr. 19 Schéma vazby kulovým kloubem a kyvnými pruty
-30-
Pevný - neposuvný kulový kloub - lze ho realizovat: - pevným kulovým kloubem, kolem něhož se těleso může volně otáčet (kulový čep), - třemi kyvnými pruty, které neleží v jedné rovině.
Obr. 20 Schéma vazby pevného kulového kloubu a kyvných prutů
SPSKS
Posuvný kloub válcový - ruší tuhému tělesu čtyři stupně volnosti. Je realizován válcovým vedením a objímkou (sloup radiální vrtačky). Neposuvný válcový kloub - je charakteristický odejmutím poslední vazby translačního pohybu. Těleso může pouze rotovat kolem své osy.
Obr. 21 Schéma vazby posuvným válcovým kloubem a neposuvným válcovým kloubem Dokonalé vetknutí - je vazba, která odnímá tělesu všechny stupně volnosti. Tomu odpovídá obecně i počet reakcí. Technickou realizací je vetknutí nosníků. Pozn. Je zřejmé, že počet stupňů volnosti závisí na počtu rozměrů daného prostoru. Značnou část aplikací problematiky technické mechaniky lze převést na dvourozměrný problém. Tomu odpovídají i potřebné vazby a jejich reakce.
-31-
2.10 TĚŽIŠTĚ TĚLES Těžiště tělesa je bod, jímž prochází při libovolném pootočení tělesa přímka (nositelka), na které leží vektor tíhy. Těleso zavěšené v těžišti leží vždy v rovnovážné poloze. Těžiště je hmotný střed, v němž se protínají výslednice všech soustav rovnoběžných sil udělujících všem bodům soustavy stejné zrychlení. Pozn. Tak jako lze nalézt těžiště každého tělesa, je možné nalézt i těžiště soustavy těles. V technické mechanice je výhodné pro některé aplikace nahradit reálné těleso hmotným bodem. Takový bod je určen svými souřadnicemi a hmotností. Připomeňme si definici 1 N jako síly, která udělí hmotnému bodu o hmotnosti 1kg zrychlení 1m.s-1. Samotný pojem hmotný bod zdůrazňuje, že vedle popisu jeho polohy je třeba i znalosti jeho hmotnosti. Pojmu bod odpovídá v trojrozměrném prostoru koule, jejíž poloměr je v limitě r = 0, v dvourozměrném prostoru je to kružnice. Je dobré si uvědomit, že těžiště nemusí ležet uvnitř objemu tělesa. SOUŘADNICE TĚŽIŠTĚ ROVINNÉ KŘIVKY Rovinná křivka je křivka, která leží v rovině, tedy v dvourozměrném prostoru (nepatří sem např. šroubovice). Řešení této problematiky spočívá v tomto postupu: 1. K zadané rovinné křivce zvolíme souřadnou soustavu x y. 2. Zadanou křivku rozdělíme na konečný počet úseků "n", které jsou tvořeny elementárními křivkami. Těmi budou úsečka a kruhový oblouk. 3. Všem elementárním křivkám výpočtem určíme polohy těžiště ve zvolené souřadné soustavě. 4. Vypočítáme délky jednotlivých částí rozdělené rovinné křivky, které budou symbolizovat velikosti budou úsečka a kruhový oblouk.
SPSKS
Těžiště elementárních křivek (úsečka a kruhový oblouk) a stanovení jejich délky udává tabulka:
5. Tímto způsobem jsme získali soustavu rovnoběžných sil v dvourozměrném prostoru s obecnými polohami jejich působišť:
-32-
Obr. 22 Schéma rozdělení rovinné křivky na elementární části a jejich souřadnice 6. Výpočtem hledáme ekvivalentní sílu a souřadnice jejího působiště. Velikost ekvivalentní síly známe, protože je dána součtem vektorů (celkovou délkou křivky): l1 . x1T + l2 . x2T + ….. ln . xnT xvT = ————————————, l1 + l2 + ……. ln
SPSKS
l1 . y1T + l2 . y2T + ….. ln . ynT yvT = ————————————. l1 + l2 + ……. ln
Souřadnice xnT a ynT jsou působištěm ekvivalentní síly, které jsou z definice zároveň souřadnicemi těžiště křivky.
Př. Vypočítejte polohu těžiště zadané rovinné křivky podle obrázku. Řešení: 1. Zadaná křivka je opatřena pravoúhlým kótováním, proto jí přiřadíme souřadný systém, který bude rovnoběžný se systémem kót. 2. Zadaná křivka je složena ze tří úseček, proto je její rozdělení jednoduché - na tři úsečky. 3. Vypočítáme délky jednotlivých úseček pomocí Pythagorovy věty: ln = (x2n + y2n)1/2.
Pro přehlednost a zpracování zapíšeme výsledky do tabulky.
-33-
ln
xnT
ynT
291,5
125
75
200
350
150
304,1
475
300
4. Určíme souřadnice těžišť, jednotlivých úseček podle vztahu: xn ynT xnT = —— ynT = —— . 2 2
SPSKS
Výsledky zapíšeme do tabulky. 5. Vypočítáme souřadnice těžiště:
l1 .x1T + l2 . x2T + l3 . x3T xvT = ——————————— = 315,3 mm, 11 + 12 + 13 l1 . y1T + l2 . y2T + 13 . y3T yvT = —————————— = 179,8 mm. 11 + 12 + 13 Výsledné souřadnice vyneseme zpět do obrázku. Př. Vypočítejte analyticky souřadnice těžiště rovinné křivky podle obrázku. Řešení: 1. Pro zadanou křivku zvolíme souřadný systém x y a zakótujeme důležité rozměry. 2. Vypočítáme délky jednotlivých oblouků, středový úhel je 180°: π . rn ln = ——— . αn. 180 Výsledky zapíšeme do tabulky. 3. Vypočítáme polohy obou těžišť,
-34-
výpočet provedeme podle vztahu: tn TOn = rn . ——. ln Výsledky opět zapíšeme do tabulky s tím, že vzhledem k symetrii oblouků je poloha těžiště na ose y dána osou, která spojuje střed kruhového oblouku se středem kóty t. Je nutné si uvědomit, že kóty v tabulce je třeba ještě přepočítat jako absolutní souřadnice těžiště. ln
xnT
ynT
785,4
90,8
250
471,2
345
350
4. Vypočítáme souřadnice těžiště celé rovinné křivky podle vztahů: l1 . x1T + 12 .. x2T xvT = ————————— = 186,1 mm, 11 + 12 l1 . y1T + 12 . y2T yvT = ————————— = 287,5 mm. l1 + l2
SPSKS
Výsledné souřadnice zaneseme zpět do souřadné soustavy, jejich průsečík je těžiště rovinné křivky. Pozn. Řešení souřadnic těžiště rovinné křivky lze provést i grafickou cestou. Řešení je totožné s řešením soustavy rovnoběžných sil v dvourozměrném prostoru (kapitola 2.4). SOUŘADNICE TĚŽIŠTĚ PLOCHY Výpočet těžiště plochy patří k velmi častým výpočtům technické praxe, protože dvourozměrným prostorem lze nahradit většinu technických problémů. Pokud existuje ještě třetí rozměr, není obvykle problémem. Obecné řešení vypadá následovně: 1. Pro zadanou plochu zvolíme výhodnou souřadnou soustavu x y. Zadanou plochu rozdělíme na konečný počet elementárních ploch, které mají známou polohu těžiště. Vypočítáme velikost obsahu jednotlivých ploch. 2. Vypočítáme hodnotu absolutních souřadnic jednotlivých těžišť; x1T, x2T,…… ,xnT a y1T, y2T,…….. ,ynT
-35-
SPSKS
Obr. 23 Schéma rozdělení plochy na konečný počet elementárních ploch -36-
3. Vypočítáme souřadnice výsledné polohy těžiště:
xvT
S1 . x1T + S2 . x2T + ..... Sn . xnT = ———————————————————————————————————, S1 + S2 + ....Sn
S1 . y1T + S2 . y2T + ..... Sn . ynT yvT = ———————————————————————————————————. S1 + S2 + ....Sn
Pozn. Speciálním případem hledání souřadnic těžiště plochy jsou plochy, které mají jednu osu symetrie. Poloha těžiště je proto na této ose a není třeba ji počítat, výpočet provádíme pouze pro druhou souřadnici (kruhová výseč). Pokud má plocha dvě osy symetrie, je poloha těžiště v průsečíku obou os (kruh, čtverec, obdélník apod.). Někdy je velmi výhodné těchto vlastností využívat. Př. Vypočítejte polohu těžiště plechové figury podle obrázku. Řešení: 1. Pro zadanou plochu zvolíme vhodnou souřadnou soustavu. 2. Zadanou plochu rozdělíme například na dva obdélníky. Vypočítáme obsah každé plochy a zapíšeme do tabulky: Sn = an . bn.
SPSKS
3. Vypočítáme souřadnice těžiště T1 a T2: bn xnT = ——— 2
ynT
=
hn —— . 2
-------------------1-----——|x---------------1 sn yn n
Výsledky zapíšeme do tabulky. xn
yn -37-
100 000
200
225
134 000
500
335
xvT
4. Vypočítáme souřadnice těžiště zadané plochy: S1 . x1T + S2 . x2T = ——————————————————— = 371,8 mm, S1 + S2
S1 . y1T + S2 . y2T yvT = ——————————————————— = 288 mm. S1 + S2 5. Výsledné souřadnice zaneseme zpět do zadání. Př. Vypočítejte polohu těžiště plechové figury podle obrázku. Řešení: 1. Pro zadanou plochu zvolíme vhodnou souřadnou soustavu. 2. Zadanou plochu rozdělíme na trojúhelník a kruhovou výseč se středovým úhlem 180°. Plocha má svislou osu symetrie, proto souřadnice x těžišť jsou stejné a těžiště celé plochy musí ležet na ose symetrie. Obsahy ploch zapíšeme do tabulky. 3. Vypočítáme polohy obou těžišť elementárních ploch s tím, že jejich souřadnice musí být kótována od počátku zvolené souřadné soustavy. Výsledky zapíšeme do tabulky.
SPSKS SnT 90 000 125 000
xnT 200 200
ynT 300 535
4. Vypočítáme souřadnici yVT, souřadnice xvT je vzhledem k symetrii xvT = 200 mm:
S1 . y1T + S2 . y2T yvT = ———————. S1 + S2 5. Souřadnice vyneseme do obrázku. Pozn. Obecně je nutné rozlišovat těžiště uzavřené křivky od těžiště plochy. Křivka je pouze čára, -38-
plocha je čárou ohraničena. To ovšem neznamená, že obecně platí, že těžiště uzavřené křivky je totožné s těžištěm plochy, kterou tato křivka vymezuje. To platí pro kružnici a kruh a pro čtverec a obdélník. Tedy pro plochy, které mají dvě osy symetrie
SPSKS
-39-
2.11 GULDINOVY VĚTY Věta o povrchu tělesa (první věta): Povrch rotačního tělesa se rovná součinu délky kružnice opsané těžištěm vytvářející křivky při jedné otočce a délky vytvářející křivky. Pomocí této věty lze s výhodou počítat povrchy rotačních těles, které pro svoji složitost tvořící křivky vyžadují zdlouhavý výpočet. Zde stačí nalézt souřadnici (jednu) těžiště vzhledem k ose rotace. Matematická formulace první věty Guldinovy je: S = 2 . π . rT . l. kde: S [m2 ] povrch rotačního tělesa, rT [m] kolmá vzdálenost osy rotačního tělesa od těžiště (poloměr), 1 [m] délka tvořící křivky. Postup výpočtu: 1. Zadané tvořící křivce zavedeme souřadnou soustavu. Výhodné je jednu osu souřadného systému ztotožnit s osou rotace. 2. Vypočítáme analyticky nebo graficky souřadnici těžiště tvořící křivky tak, jak je popsána v kapitole 2.10. Popřípadě její hodnotu přepočítáme k ose rotace, která je zároveň jednou z os souřadného systému. 3. Pomocí první věty Guldinovy vypočítáme povrch rotačního tělesa.
SPSKS Obr. 24 Schéma řešení výpočtu povrchu rotačního tělesa pomocí Guldinovy věty Př. Vypočítejte spotřebu plechu na pokrytí rotační věže podle zadání. Řešení: 1. Zadané úloze přiřadíme souřadnou soustavu, a to tak, že osu y ztotožníme s osou rotace. Osu x budeme pokládat za kladnou ve směru doleva.
-40-
2. Vypočítáme jednotlivé délky úsečky a souřadnice jejich těžišť ve směru osy x. Výsledná souřadnice xvT bude totožná s rT z Guldinovy věty. Bez podrobného výpočtu uvedeme potřebné hodnoty do tabulky:
ln
xnT
SPSKS
2 062
3 750
3 202
2 500
3 808
750
9 072
l1 . x1T + l2 . x2T + l3 . x3T xvT = rT = ——————————— = 2 050 mm. l1 + l2 + l3 3. Dosazením vypočítaných hodnot do Guldinovy věty vypočítáme povrch rotační věže, který zároveň převedeme na rozměr m2: S = 2 . π . rT . l = 116,85 m2.
Věta o objemu rotačního tělesa (druhá věta): Objem rotačního tělesa se rovná součinu délky kružnice opsané při jedné otočce těžištěm té části roviny, která prochází osou otáčení a je omezena rovinami podstav, a jejího plošného obsahu. Matematická formulace této věty je: V = 2 . π . rT . S, kde: V [m3] objem rotačního tělesa, rT [m] kolmá vzdálenost těžiště od osy rotace, S [m2] obsah tvořící plochy.
-41-
Obr. 25 Schéma řešení výpočtu objemu rotačního tělesa pomocí Guldinovy věty Př. Vypočítejte hmotnost ocelového prstence (ρ = 7 850 kg m-3) podle zadání. Řešení: 1. K zadání zvolíme souřadný systém, který bude mít osu y totožnou s osou rotace. 2.Tvořící plocha splňuje předpoklady Guldinovy věty a má jednu osu symetrie. Poloha těžiště tvořící plochy má proto jednoduché řešení a víme, že xvT = rT = 400 mm. 3. Vypočítáme obsah tvořící plochy jako součet tří elementárních ploch (kruhová výseč, obdélník a trojúhelník): S1 = 20 000 mm2, S2 = 40 000 mm2, S3 = 15 708 mm2, S = 75 708 mm2.
SPSKS
4. Objem rotačního prstence převedený na m3je: V = 2 . π . rT . S = 0,1902 m3. 5. Hmotnost rotačního prstence je dána: m = V.ρ = 1 493,65 kg.
Př. Vypočítejte objem zeminy, která musí být uložena na stavbu zemního tělesa směrového oblouku podle obrázku.
-42-
Řešení: 1. Souřadný systém ztotožníme s osou oblouku a patou násypu. 2. Protože průřez zemním tělesem je lichoběžník s osou symetrie, je jednoznačně dána souřadnice xvT = rT = 312,5 m. 3. Velikost tvořící plochy je rovna obsahu lichoběžníka: a+c S = ——— . v = 156 m2. 2
SPSKS
4. Objem zemního tělesa bude dán poměrnou částí celého rotačního tělesa. Guldinovu větu postačí modifikovat: 2 . π . rT. S V = ————— . α = 38 288,16 m3. 360
Pozn. Při některých aplikacích v technické mechanice je někdy výhodnější při výpočtu souřadnic těžiště využít namísto dělení zadané plochy na elementární plochy jiný postup. Jeho uplatnění je vhodné u ploch, které mají otvory mimo obrysovou čáru. Díra se zde bere jako opačně působící plocha, kdy vektor směřuje proti směru působení gravitačního pole. Postup výpočtu zůstává stejný, pouze se mění znaménko pro sčítání na odečítání. Výhodou tohoto postupu je menší množství elementárních ploch a snazší dělení zadané plochy na elementární plochy. To se týká zejména kruhových otvorů. S1 . x1T – S2 . x2T xvT = ——————— S1 – S2
S1 . y1T – S2 . y2T yvT = ——————— S1 – S2
Obr. 26 Schéma výpočtu těžiště plochy "odečítáním vnitřních ploch" -43-
2.12 TŘENÍ Tření je pasivní odpor, který vzniká při silovém styku dvou suchých vzájemně se pohybujících ploch. Tření bez pohybu tedy nemá smysl. Pokud se body stýkajících se ploch vzhledem k sobě pohybují, jde o tření smykové. To se projevuje jako odpor (pasivní účinek). Mezi pasivní odpory však patří i vzájemný pohyb, při němž jsou styčné body v relativním klidu, např. při valení těles. V takovém případě hovoříme o tření valivém. Tření vyvolává mezi styčnými plochami "navíc" tečnou reakci k normále. TŘENÍ SMYKOVÉ Jde o základní případ tření, které je vyvozeno vlastnostmi třecích ploch. Základním pohybem je translační pohyb. Základní vztah pro třecí sílu je: Ft = Fn . f, kde: Ft [N] třecí síla, Fn [N] normálová síla, f [-] součinitel tření.
SPSKS
Obr. 27 Schéma třecí síly
Normálová síla je síla, jejíž vektor působí kolmo na třecí plochu. Součinitel tření je experimentálně zjištěná hodnota vztahu mezi normálovou sílou (obvykle tíhou) a třecí sílou. Jeho hodnota není konstantní, nýbrž závisí na rychlosti, a to zejména při velmi malých relativních rychlostech třecích ploch.
Obr. 28 Závislost součinitele tření na relativní rychlosti Hodnoty součinitele tření nalezneme v tabulkách, kde jsou uvedeny vždy třecí materiály, např. ocel - ocel, pryž - beton, a zda se jedná o tření v klidu nebo za pohybu. Pozn. Velmi často se vyskytuje názor, že velikost třecí síly závisí na velikosti třecích ploch. Z rozboru základního vztahu vyplývá, že tomu tak není. Pro ilustraci lze provést „myšlenkový“ pokus, který dokazuje, že třecí síla závisí na součiniteli tření a normálové síle.
-44-
Na obrázku je vidět, že obě pokusné sestavy jsou složeny ze tří kvádrů stejné hmotnosti a materiálu. Sestava v jakékoliv podobě bude mít stejnou třecí sílu. Tření, při němž třecí síla je úměrná normálové síle, nazýváme coulombovské tření.
Obr. 29 Schéma pokusu pro důkaz základní rovnice pro třecí sílu Př. Vypočítejte, jaké síly bude třeba pro odtržení a tažení lyžiny o hmotnosti 2 000 kg, jejíž povrch je pokryt pryží, po asfaltovém povrchu. Součinitele tření nalezněte v tabulkách.
SPSKS Řešení: 1. V tabulkách nalezneme hodnoty součinitelů tření za klidu fo = 0,6 a za pohybu f = 0,3. 2. Vypočítáme velikosti třecích sil: třecí síla na odtržení z klidu třecí síla pro tažení
F0 = m . g . fQ = 11,772 kN, F = m . g . f = 5,886 kN.
Z výpočtu je vidět, že v tomto případě je pro odtržení lyžiny z klidu třeba dvojnásobné síly než pro vlastní tažení.
Př. Vypočítejte, jaké síly bude třeba pro vytažení břemene o hmotnosti m = 200 kg po nakloněné rovině se sklonem α = 10°. Součinitel tření uvažujte f = 0,15. Řešení: 1. Nakreslíme si úlohu tak, abychom ctili úhel sklonu nakloněné roviny.
-45-
2. Tíha břemene působí ve směru gravitačního zrychlení, tj. svisle. Její velikost je dána vztahem: G = m . g = 1962 N. 3. Pro výpočet třecí síly však potřebujeme znát velikost normálové síly, která je kolmá na třecí plochu. Jestliže známe tíhu, můžeme ji rozložit do dvou směrů vůči nakloněné rovině: - normálový směr Fn = G . cos α = 1932,2 N, - tečný směr
FT = G . sin α = 340,7 N.
4. Vypočítáme velikost třecí síly:
SPSKS
Ft = Fn . f = 289,83 N.
Tato třecí síla působí proti pohybu a pohyb břemene má směřovat "nahoru". Vektor třecí síly je kolmý na normálovou sílu, to znamená, že je na jedné nositelce se složkou v tečném směru. Obě síly sečteme (součet je výpočet ekvivalentní síly v jednorozměrném prostoru): F = FT + Ft = 630,53 N. Potřebná síla pro vytažení břemene po nakloněné rovině bude F = 630,53 N. Pozn. Rozložení vektoru síly do libovolných směrů, jako například v předcházejícím příkladu, lze provést i graficky. Předpokládá to vynesení tíže v měřítku a dodržení úhlu sklonu nakloněné roviny. Tření v klínové drážce V klínové drážce dochází při rozkladu síly, jejíž vektor působí v ose úhlu klínové drážky, ke vzniku značných normálových sil, které mohou vyvolávat značné hodnoty třecí síly. Toho se v praxi využívá např. u klínových řemenů, radiálních kotoučových brzd apod. Z obrázku je patrné, že velikost normálových složek roste nepřímo úměrně s velikostí úhlu.
-46-
Obr.30 Schéma tření v klínové drážce a rozklad síly na normálové složky Pozn. Podmínkou třecí funkce klínové drážky je mezera pod klínem, pokud by nebyla, efekt klínové drážky nemůže nastat. Př. Vypočítejte, jakou sílu bude třeba vyvinout na posunutí klínu v drážce, který je zatížen silou F = 200 N. Úhel sklonu boků drážky je β = 20°, součinitel tření vyhledejte v tabulkách pro tření za pohybu a kombinaci materiálů litina na bronzu nemazané. Řešení: 1. Zatěžující sílu rozložíme analyticky a paralelně graficky na normálové složky: F/2 Fn1 = Fn2 = ———— = 575,8 N. sin β / 2
SPSKS
2. Vypočítáme výslednou třecí sílu jako součet tření od obou normálových sil. Protože klínová drážka je symetrická, jsou normálové síly stejně velké a velikost třecí síly je pro f = 0,1: Ft = Fnl . f + Fn2 . f = 11575 N. Samosvornost Samosvornost je pojem, který v technické praxi znamená, že vlivem pasivních odporů (tření) nedojde k samovolnému pohybu součástí. Do kategorie samosvorných součástí patří především šrouby jako spojovací materiál. Jejich závit je nakloněná rovina navinutá na válec. Podmínkou samosvornosti je, že za daného součinitele tření nemůže dojít k samovolnému pohybu ve směru zatěžující síly. V obecnějším pojetí sem řadíme i samosvorné převodovky (šnekové), samosvorné diferenciály apod. Př. Vypočítejte úhel nakloněné roviny, který pří součiniteli tření f = 0,15 nedovolí samovolný pohyb.
-47-
Řešení: 1. Obecnou sílu F rozložíme na složky FT a Fn: Fn = F . cos α, FT = F . sin α. 2. Podmínka rovnováhy je ve směru nakloněné roviny: FT = Ft = F. sin α = F . cos α . f, sin α Z této nerovnice plyne, že —— = f, cos α protože poměr sin α / cosα = tg α = f . Je-li tedy zadán součinitel tření 0,15, je úhel α = 8° 31'. Bude-li tedy úhel nakloněné roviny menší než 8° 31', bude tato nakloněná rovina samosvorná. Pozn. Pro spojovací šrouby se obvykle uvažuje součinitel tření f - 0,1, tomu odpovídá úhel stoupání šroubovice α = 50 42'. Z bezpečnostních důvodů se stoupání závitů volí ještě menší. Pokud jsou šrouby namáhány střídavou silou (mění se znaménko vektoru síly), je nutné další snížení úhlu, což znamená změnit stoupání šroubu na jemné stoupání. VALIVÉ TŘENÍ
SPSKS
Valivé tření nemůže existovat pro tuhá tělesa. V tomto případě statika opouští jeden ze základních předpokladů, že tělesa se vlivem vnějšího zatížení nedeformují. Při valení lze předpokládat tři teorie deformace: - absolutně tuhá podložka, netuhé valivé těleso, - absolutně tuhé valivé těleso, netuhá podložka, - podložka i valivé těleso jsou netuhé.
Obr. 31 Schéma teorií vzniku valivého tření Nejblíže realitě je varianta netuhé podložky i valivého tělesa. Důsledkem všech teorií je, že reakce jako vektor není na stejné nositelce jako zatěžující síla, ale předbíhá ji ve směru pohybu o určitou excentricitu. Excentricita spolu s reakcí vytváří moment M = Fn . ξ, který působí proti pohybu. Velikost excentricity je udávána v tabulkách v závislosti na materiálu valivého tělesa i podložky. Ze vzorce potom platí, že čím je měkčí podložka nebo valivé těleso, tím vzniká větší excentricita a moment, který brzdí valení. Platí: ξ Ft . r = Fn . ξ, z čehož plyne, že Ft = Fn —— . r Pro praktické použití se však pracuje se součinitelem valivého tření. Velikost třecí síly je zde -48-
vypočítána stejně jako u tření smykového: Ft = F n . µ. Součinitel valivého tření je pak mnohem menší než součinitel smykového tření. Pozn. Z uvedeného rozboru vyplývá, že excentricita reakce valivého tělesa musí být co nejmenší, abychom nemuseli překonávat velké valivé odpory. Nejmenší hodnotu excentricity má ocel - ocel. To je případ valivých ložisek, železniční dopravy apod. Například pneumatika na asfaltovém povrchu má excentricitu asi 2 500x větší a tomu odpovídají i hodnoty valivého odporu. Při jízdě vozidel měkkým terénem je odpor ještě výraznější. Pro hutnící práce se na dalším zvyšování excentricity podílí tzv. příďová vlna. TŘENÍ OHEBNÉHO VLÁKNA Nejčastějším technickým řešením ohebného vlákna je pás. Díky tomuto tření přenášíme točivý moment na rovnoběžné hřídele a řadu strojů brzdíme pásovými brzdami. Základním vztahem pro třecí sílu je: FT = Ft . e α.f, kde: FT[N] tahová síla ve směru kroutícího momentu, Ft[N] tahová síla proti směru kroutícího momentu, e [-] Eulerovo číslo 2,7183, f [-] součinitel tření, α [rad] úhel opásání.
SPSKS
Obr. 32 Schéma pásového tření Př. Vypočítejte velikost napínací síly pro napnutí plochého řemene, který má přenášet výkon P = 4 kW při otáčkách n = 20 s-1. Průměr řemenice je 200 mm, úhel opásání α = 170° a součinitel tření f = 0,5. Řešení: 1. Do vzorce pro tření v pásu potřebujeme zjistit velikost obvodové síly, kterou je třeba přenášet plochým řemenem. Nejprve vypočítáme kroutící moment ze vztahu: P Mk = ——— = 31,83 N.m. 2. π .n Pokud známe velikost kroutícího momentu, jsme schopni vypočítat při zadaném průměru kladky velikost síly FT: -49-
D 2Mk Mk = FT — = FT —— = 318,3 N. 2 D 2. Ze základního vztahu pro pásové tření pak vypočítáme velikost napínací síly (tahové síly proti kroutícímu momentu): FT Ft = —— = 807 N. eαf Potřebná velikost napínací síly je 807 N. Pozn. Velkou výhodou zařízení, která pracují na principu tření ve vláknech nebo pásu, je, že velikost třecí síly můžeme měnit v nebývale velkém rozsahu, aniž bychom zvyšovali napínací sílu, která například namáhá ložiska. Postačí měnit úhel opásání, který nemusí být omezen, protože jeho velikost lze zvyšovat několikanásobným opásáním dokola. Nebo jinak, velikost úhlu opásání může být větší než 2π (360º).
2.13 STATICKY URČITÉ NOSNÍKY Nosníky jsou ve strojařské a stavařské praxi nejpoužívanější prvky konstrukce. Nosník jako pojem mechaniky je matematickým modelem například nosných i hybných hřídelí, mostů, trámů, lyžin, ocelových a betonových konstrukcí apod. Pojem statická určitost znamená, že všechny reakce nosníku na své okolí dokážeme úplně popsat rovnicemi statiky a nepotřebujeme znát žádnou deformační podmínku.
SPSKS
Existují staticky neurčité nosníky, ale jejich řešení překračuje pro svoji složitost obsah této učebnice. Pro naši praxi budeme pracovat s modifikacemi dvou základních nosníků staticky určitých.
nosník o dvou podporách
vetknutý nosník
Obr. 33 Schéma staticky určitých nosníků a jejich reakce Z obrázku je patrno, že nosník o dvou podporách je dvourozměrný problém (rovinný) a k jeho úplnému vyřešení rovnováhy postačí vedle znalosti vnějšího zatížení vypočítat velikosti reakcí RAx , RAy RBy . Pokud by vnější síla byla kolmá k nosníku (což je v praxi velmi často), byla by hodnota reakce RAx = 0 (vodorovná reakce). Pozn. Na obrázku si povšimněme symbolu pravé podpory (B), která musí být posuvná. Kdyby byla stejně neposuvná jako podpora levá, stal by se z nosníku staticky určitého nosník staticky neurčitý. -50-
Vodorovnou reakci dokáže pochopitelně zachytit pouze pevná podpora. Z hlediska řešení nosníků se jedná o problém soustavy sil ve dvourozměrném prostoru. Zde však není cílem nalézt ekvivalentní sílu a její polohu, ale velikosti reakcí, u nichž známe jejich směr a působiště. Navíc nás bude zajímat průběh ohybového momentu jako vnějšího zatížení a posouvající síla. Zatížení nosníků může být velmi složité, ale platí zde tzv. zákon superpozice. Ten říká, že výsledný účinek soustavy vnějšího zatížení je dán součtem účinků jednotlivých zatížení zvlášť. Tento fakt vyplývá ze soustav lineárních rovnic.
Obr. 34 Symbolika platnosti superpozice vnějšího zatížení Praktické řešení reakcí, průběhu ohybového momentu a průběhu posouvající síly se provádí pomocí tabulek podle tohoto postupu: 1. Obecné zatížení nosníku vyřešíme tak, že zadané zatížení rozdělíme na jednoduchá zatížení několika jednoduchých nosníků, které jsou zatíženy jediným vnějším zatížením. 2. Podle tabulek vypočítáme reakce v podporách a průběhy ohybových momentů a posouvajících sil pro každý samostatný nosník zvlášť. 3. Reakce a hodnoty ohybových momentů a posouvajících sil sečteme pro všechny jednoduše zatížené nosníky (superponujeme).
SPSKS
Př. Vypočítejte reakce v podporách staticky určitého nosníku a vypočítejte průběh ohybového momentu. Ten v měřítku zakreslete. F = 300 kN a = 2 000 mm 1 = 6 000 mm. Řešení: 1. Staticky určitý nosník si v měřítku sil i rozměrů nakreslíme a okótujeme. 2. Výpočet reakcí v podporách A, B vychází ze známé poučky, že součet všech momentů musí být roven 0. Symbolicky odstraníme podporu A. Kdybychom její existenci nenahradili silou RA, nejednalo by se o nosník, ale mechanizmus, protože by se celý nosník začal pohybovat jako kyvadlo kolem kloubu podpory B. Aby se mohlo jednat o statiku (nesmí dojít k pohybu), musí platit rovnost momentů: F . (l-a) RA = ——— = 200 kN. l Nyní symbolicky odstraníme podporu B a musí platit totéž: F.a RB . l = F . a = RB = ——— = 100 kN. l RA .l = F. (l - a),
z čehož
Výpočet reakcí lze vyřešit i graficky.
-51-
3. Průběh ohybového momentu je jednoduchý, protože víme, že v podporách má nulovou hodnotu a ve vzdálenosti a od podpory A má hodnotu maximální: F.a.b M = ———. l Podle zadání příkladu to je:
Momax
SPSKS
F . a . (1-a) = —————— = 300 kN . m.. l
Pozn. Příklad ukazuje, že v případě vnějšího zatížení osamělou silou jsou velikosti reakcí v poměru vzdáleností od podpory. Platí logické pravidlo, že čím je osamělá síla blíže podpoře od středu nosníku, tím je velikost reakce větší. Reakce budou stejné tehdy, bude-li osamělá síla uprostřed délky nosníku. Protože jde o statický problém, musí platit, že součet osamělé síly a jejích reakcí je roven 0. Důležitým pravidlem je konvence o znaménku ohybového momentu. Ohybové momenty potřebujeme orientovat proto, že v případech složitých nosníků potřebujeme superponovat. Pravidlo je velmi jednoduše formulovatelné. Pokud vnější zatížení bude mít snahu osu nosníku prohýbat do tvaru konvexní křivky (úsměvu), bude mít ohybový moment kladné znaménko. Budeli vnější zatížení mít snahu prohýbat nosník do tvaru konkávní křivky (úšklebku), bude mít záporné znaménko.
Obr. 35 Schématické znázornění konvence znamének ohybových momentů Př. S použitím strojnických tabulek vypočítejte velikosti reakcí v podporách a průběh ohybového momentu zadaného nosníku. Řešení: 1. Vypočítáme hodnoty reakcí RA1' RB1, Momaxl , jako by nosník byl zatížen pouze silou F1. Hodnoty zapíšeme do tabulky. -52-
F1 . b ——— = 87,5 kN, l F1 . a RB1 = ——— = 12,5 kN, l F1 . a . b Momaxl = ———— = 87 500 . l RA1 =
SPSKS 2. Vypočítáme hodnoty reakcí RA2, RB2, Momax2, jako by nosník byl zatížen pouze silou F2. Hodnoty zapíšeme do tabulky.
RA2 =
F2 . b ——— = 125 kN, l
RB1 =
F2 . b ——— = 75 kN, l
F2 . a . b Momax2 = ———— = 375 kN.m. l -53-
účinky síly F1
účinky síly F2
superponované výsledky
RA
87,5
125
212,5
RB
12,5
75
87,5
Momax
87,5
375
462,5
3. Výsledný průběh ohybového momentu je dán součtem průběhů ohybových momentů od jednotlivých sil. Nelze zde provést algebraický součet. Pro výpočet hodnot v důležitých uzlech použijeme například podobnost trojúhelníků. Příklad lze řešit podobně jako předcházející příklad graficky. Vnější zatížení ve formě osamělých sil se nanáší na přímku rovnoběžnou se soustavou osamělých sil v pořadí od podpory a - tedy zleva. Př. Vypočítejte velikost zatížení ložisek mostu o rozpětí l = 20m, na kterém stojí uprostřed dvounápravový nákladní automobil o hmotnosti m = 30 t. Rozvor jeho náprav činí r = 8 m. Obě nápravy přenáší stejnou část tíže nákladního automobilu. Hmotnost jednoho metru mostní konstrukce činí mm = 1,2 t. Vedle výpočtů reakcí nakreslete průběh ohybového momentu. Řešení: 1. Nakreslíme si matematický model zadané úlohy s tím, že zadaná hmotnost jednoho metru mostu bude liniovou silou (spojitým zatížením). Ze zadaných hodnot vypočítáme vnější zatížení:
SPSKS
síla od první i druhé nápravy: m F1 = F2 = — . g = 294,3 kN. 2 Hodnota liniové síly: q = mm .g = 11772 N.m-1.
-54-
SPSKS
2. Úlohu lze rozdělit na dva staticky určité nosníky zatížené osamělou silou (oba nosníky jsou symetrické vzhledem ke svislé ose) a jeden staticky určitý nosník, který je namáhán liniovou silou q. 3. Podle strojnických tabulek provedeme výpočty reakcí a Momax. Výsledky zapíšeme do tabulky:
RA RB Momax
síla F1 206 88 1 236 060
síla F2 88 206 1 236 060
liniová síla q 118 118 588 600
superpozice 412 412
4. Graficky sečteme průběhy ohybového momentu. Pokud chceme řešit součet analyticky, musíme vypočítat v několika uzlových bodech hodnotu MQ vzniklou jako důsledek zatížení liniovou silou. Průběh ohybového momentu od liniové síly po délce nosníku je parabola druhého stupně. Pozn. Grafické řešení předcházející úlohy při vypočtu reakcí v podporách je možné. Předpokladem takového řešení je nahradit liniovou sílu ekvivalentní osamělou silou. Ta by měla působiště uprostřed délky nosníku, a to proto, že její velikost je po délce nosníku konstantní. Matematický model pro grafické řešení by tedy obsahoval tři síly. Důležité je zde však zdůraznit, že takováto statická ekvivalence je přípustná ve statice, ale naprosto nevyhovující pro přesné výsledky průběhu ohybového momentu, a tím pro řešení v rámci pružnosti.
-55-
Průběhy Mo a Q u staticky určitých nosníků
SPSKS
-56-
SPSKS
-57-
SPSKS 2.14 STATIKA TUHÉ DESKY Naše dosavadní úlohy se odehrávaly na nosnících, prutech apod. Z hlediska matematického modelu se jedná o jednorozměrná tělesa. Jejich symbolikou byla čára (nejčastěji přímka), i když například hřídel nebo most má určitý průřez, který jsme pro zjišťování reakcí, sil, posouvající síly a ohybového momentu nepotřebovali znát. Délka reálných těles, která jsme matematicky modelovali, byla mnohanásobně větší než jeho příčné rozměry. Deska je však dvourozměrný matematický model a použijeme jej tam, kde nám nepostačí nahradit reálnou úlohu osou. Desku budeme používat tam, kde dva rozměry reálného tělesa jsou výrazně větší než jeho tloušťka. Takovými úlohami jsou stropy staveb, tuhé i netuhé vozovky, dna nádob apod. Statika desek je výrazně složitější než statika prutů, proto si vyjasníme pouze jeden nejjednodušší případ - pevně podepřenou desku, která je matematickým modelem například tuhé vozovky.
PEVNÉ PODEPŘENÍ DESKY V ROVINĚ Aby byla tuhá deska v rovině pevně podepřena, je nutno zrušit její tři stupně volnosti. Toho lze dosáhnout třemi způsoby: - třemi jednonásobnými vazbami, jejichž nositelky vektorů reakcí se neprotínají v jednom bodě. Příkladem jsou panelové komunikace bez vzájemného spojení panelů, - jednou vazbou dvojnásobnou (pevný kloub) a jednou vazbou jednonásobnou (posuvný kloub). -58-
Příkladem jsou tuhé vozovky typu SPOVYCED, - trojnásobnou vazbou, tj. dokonalým vetknutím. Příkladem je strop stavby, který je spojen se svislými stěnami.
tři jednonásobné vazby
jedna dvojnásobná a jedna jednonásobná
jedna vazba trojnásobná Obr. 36 Schéma pevně podepřených desek
SPSKS
-59-
3.0 ZÁKLADNÍ POJMY PRUŽNOSTI A PEVNOSTI Pružnost a pevnost navazuje na statiku, a proto používá základní pojmy, jak je známe ze statiky. K nim přibudou pojmy nové. Je třeba si předem ujasnit, že pružnost a pevnost nepoužívají pojmu dokonale tuhého tělesa. Druhy těles Z hlediska teorie pružnosti a pevnosti není třeba rozlišovat tělesa podle jejich technického názvosloví nebo účelu. Podobně jako ve statice potřebujeme pracovat s matematickým modelem. Proto hutní materiál typu trubky, profilu U I T, kolejnice apod., u kterých je jeden jejich rozměr (délka) výrazně větší než rozměry průřezu, budeme nazývat prutem. Jeho matematickým modelem je úsečka. Součásti typu dna pístu, dna nádoby, panel, strop apod., které mají dva rozměry podstatně větší než rozměr třetí budeme nazývat desky. Jejich matematickým modelem je rovina. Vnější zatížení Ve statice jsme si uvedli základní druhy vnějších sil, a to osamělou sílu, liniovou sílu, plošnou sílu a objemovou sílu. V pružnosti a pevnosti budeme za vnější zatížení považovat ještě ohybový moment a kroutící moment. typ zatížení
symbol
rozměr
osamělá síla
F
N
SPSKS
liniová síla
q
N.m-1
plošná síla
p
N.m-2
objemová síla
o
N.m-3
ohybový moment
MQ
N.m
kroutící moment
Mk
N.m
Napětí Základním pojmem v pružnosti je napětí, protože jde o klíčový pojem, je třeba si uvědomit, že napětí popisuje stav namáhání materiálu. Ten nelze úspěšně popsat silou, protože by k popisu prostě nestačila. Napětí vyjadřuje sílu, která je promítnutá na jednotku plochy. Pozn. Nejlepší představu (fyziologickou) si můžeme udělat o napětí v souvislosti s tlakem vzduchu např. v pneumatice nebo tlakem vody ve vodovodním kohoutku. Zde se jedná o tlak, ale napětí v pružnosti a pevnosti může mít opačné znaménko. Napětí je tedy definováno jako podíl síly na jednotku plochy. Pokud si představíme sílu pro jednoduchost jako sílu osamělou (vektor) a jednotku plochy, může vektor síly zaujmout vůči jednotkové ploše dvě polohy. Podle vzájemné polohy proto dělíme napětí na: - normálová napětí, je takové napětí, kdy vektor síly je kolmý (je na normále) k jednotkové ploše. Takové napětí budeme značit symbolem σ (sigma) a jeho rozměr je [N.m-2], tj. [Pa]. Protože Pa je pro práci s technickými materiály velmi malá jednotka, budeme používat [MPa], -tečné napětí, je takové napětí, kdy vektor síly leží v rovině jednotkové plochy. Toto napětí budeme značit symbolem τ (tau), jeho rozměr je stejný jako u normálového napětí. -60-
normálové napětí Obr. 37 Schéma napětí
tečné (tangenciální) napětí
3.1 DRUHY NAMÁHÁNÍ V této kapitole si uvedeme jenom nejjednodušší druhy namáhání, které je třeba zvládnout. Složitější druhy namáhání a jejich kombinace si uvedeme později. V tabulce uvedeme vedle napětí ještě symbolicky deformace jednoduchého prutu. Pozn. Jednoduché druhy namáhání jsou takové druhy namáhání, při kterých jsou velmi malé deformace. Tento pojem je zaveden proto, že v pojetí středoškolské pružnosti a pevnosti není vhodné zavádět problematiku deformovaného elementu. Mezi složitá namáhání, která budou probrána v rámci této učebnice, patří vzpěr a únava materiálu.
SPSKS
schéma namáhání a deformace
namáhání
-61-
zatížení
výpočet napětí
tah
síla
F σt = —— S
[MPa]
tlak
síla
F σd = —— S
[MPa]
krut
kroutící moment
Mk τk = —— [MPa] Wk
střih
síla
ohyb
ohybový moment
F τs = —— S
[MPa]
Mo σo = —— [MPa] Wo
Vlastnosti materiálu z hlediska pružnosti a pevnosti Základním materiálem, který se používá ve stavebnictví a strojírenství, je ocel. Proto se v této kapitole budeme zabývat především ocelí. Pro pochopení základních vlastností materiálu se provádí zkouška tahem a tlakem. Z jejího průběhu lze odvodit několik významných vztahů a nalézt významné body diagramu.
SPSKS Obr. 38 Diagram závislosti napětí na poměrném prodloužení oceli Na svislou osu je vynášeno napětí v tahu (tlaku) jako poměr zatěžující síly a okamžitého průřezu. Okamžitý průřez je pojem, který vystihuje změnu průměru zkoušeného vzorku. Ten se při tahu zmenšuje a při tlaku zvětšuje. Na vodorovnou osu vynášíme tzv. poměrné prodloužení:
(l – l0) ∆l ε = ——— = —, l0 l0 kde: ε [-] poměrné prodloužení (zkrácení), l [m] rozdíl původní délky od okamžité délky zkušebního tělíska, l0 [m] velikost původní délky zkušebního tělíska. -62-
Pozn. Poměrné prodloužení zavádíme proto, zkušební tyčinky.
že jeho hodnoty nemohou být ovlivněny délkou
Pro hodnoty σkt, σkd je evidentní, že křivka je lineární (přímka). Závislost σ - ε je tedy přímá úměra. σk je napětí na mezi elasticity. Je to hodnota napětí, při které po odlehčení materiál znovu nabývá původní tvar, chová se pružně. Pokud tuto hranici napětí překonáme, tak po odlehčení vnějších sil materiál získá určitou plastickou (trvalou deformaci). Proto součásti, které se musejí chovat pružně, můžeme namáhat pouze po tuto mez elasticity daného materiálu. Dalším poznatkem je, že ocel má hodnotu meze elasticity stejnou pro tlak i tah. Další významnou hodnotou je mez pevnosti σpt. Je to taková hodnota napětí, při které se zkušební tyčinka přetrhne. Pozn. Většina materiálů nemá při podobné zkoušce žádnou lineární část, a to značně komplikuje vypočet. Dalším technickým materiálem, který je hojně používán, je šedá litina. Pro ni je charakteristické, že její schopnosti přenášet tah jsou velmi malé a hodnoty σpt a σpd jsou odlišné. To platí i pro beton. Zjednodušeně řečeno, beton a šedá litina se mohou namáhat pouze tlakem a při řešení se vyhýbáme tahovému napětí. Drtivá většina hornin má poměr σpd/ σpt v rozsahu 3 – 8. To lakonicky řečeno znamená, že v tlaku snesou několikanásobně větší napětí než v tahu, proto se konstrukce z těchto materiálů musí této realitě přizpůsobovat.
SPSKS šedá litina prostý beton Obr. 39 Schéma zkoušky normalizovaného vzorku HOOKEŮV ZÁKON Z předcházející kapitoly vyplývá, že pokud součást nebo konstrukci namáháme takovým vnějším zatížením, které vyvolá v konstrukci menší napětí, než je napětí na mezi elasticity, platí pro poměrnou deformaci a velikost napětí lineární závislost. To je nesmírně výhodné, protože taková závislost je velmi jednoduchá a navíc víme ze statiky, že pro fyzikální děje popsané lineárními rovnicemi platí princip superpozice. Hookeův zákon tedy platí pouze pro lineární část diagramu zkoušky oceli v tahu. Jeho verbální definice zní: Normálové napětí je přímo úměrné poměrnému prodloužení. Matematická formulace je potom: σ = E . σ,
-63-
kde: σ [MPa] napětí v tahu nebo tlaku s platností do mezí σkt a σkd, E [MPa] konstanta úměrnosti nazývaná modul pružnosti v tahu nebo tlaku, někdy také Youngův modul. Jeho hodnota je E = 2,1.10 Mpa, ε [-] poměrné prodloužení. Youngův modul má hodnotu vždy stejnou pro jakoukoliv ocel bez závislosti na její pevnosti, tvrdosti apod. Odlišnost jednotlivých ocelí nespočívá v odlišnosti modulu pružnosti, ale v hodnotě σkt a σkd. Pozn. Popsané hodnoty meze elasticity a meze pevnosti nejsou vyjmenovány všechny. Lze nalézt ještě jiné meze i další "konstanty" materiálu, ale jsou mimo rozsah této učebnice.
SPSKS
Obr. 40 Schéma namáhání tahem ocelí s různým obsahem uhlíku 3.2 MEZNÍ STAVY
Mezní stav bychom mohli definovat jako dosažení určité kvantitativní hodnoty nějaké veličiny. Mezních stavů lze definovat velmi mnoho, ale pro naši potřebu bude postačovat pouze několik: - mezní stav elasticity je stav napětí reálného tělesa, kdy v žádném jeho bodě nedojde k překročení hodnoty meze elasticity daného materiálu. Je to s ohledem na naši praxi nejpoužívanější mezní stav. Vzhledem k tomuto meznímu stavu se dimenzují součásti, jako jsou ocelové konstrukce, pružiny, součásti mechanizmů, spojovací materiál apod. Jsou to součásti, u kterých požadujeme po odlehčení navrácení do původního tvaru. Pokud u nich posuzujeme napětí, tak je to ve vztahu k mezi elasticity daného materiálu. Hodnota - kolikrát je vypočítané napětí menší než napětí meze elasticity zvoleného materiálu, se nazývá bezpečnost (vzhledem k meznímu stavu), - mezní stav pevnosti - je stav napětí reálného tělesa, které poměřujeme vzhledem k mezi pevnosti materiálu. V praxi jej můžeme používat tam, kde nevadí plastická deformace. Takových příkladů je mnohem méně, ale patří sem např. potrubí. Tohoto mezního stavu využívají především technologové pro dělení materiálu, tváření apod. Poměr vypočítaného napětí a napětí na mezi pevnosti daného materiálu je bezpečnost vzhledem k meznímu stavu pevnosti, - mezní stav deformace - je hranice deformace tělesa nebo soustavy těles, kterou považujeme za mezní (hraniční). Tato nesouvisí s charakteristikou materiálu, ale volí se podle jiných kriterií.
-64-
3.3 TAH Tah je elementárním namáháním. Vektor vnější síly je kolmý na plochu a jeho směr jde z plochy ven. Napětí v tahu je podle známého vzorce: F σt = —, S kde: σt [MPa] napětí v tahu, F [N] osová síla, S [m2] plocha průřezu. Vypočítané napětí porovnáváme: - s mezním stavem a zvoleným koeficientem bezpečnosti daného materiálu, - s dovoleným napětím v tahu daného materiálu. Př. Vypočítejte, jaký průměr musí mít táhlo kruhového průřezu, které je namáhané tahovou silou F = 15 kN. Materiál táhla nechť je ocel 11 500. Výpočet proveďte: - vzhledem k meznímu stavu elasticity s bezpečností k = 2, - vzhledem k dovolenému napětí . Řešení: 1. Nalezneme potřebné hodnoty materiálu v tabulkách: 6kt = 260 - 290 MPa - volím 270 MPa σdt = 130 - 193 MPa - volím 160 MPa. 2. Vypočítáme velikost průřezů: vzhledem k meznímu stavu elasticity a bezpečnosti dosadíme za napětí hodnotu napětí na mezi kluzu: σkt σt = —— = 135 MPa, k F potom S1 = —— = 0,11 . 10-3 m2, σt
SPSKS
vzhledem k dovolenému napětí: průřez vypočítáme stejným způsobem, ale do jmenovatele zlomku dosadíme hodnotu dovoleného napětí: F S2 = —— = 0,09 . 10-3 m2. σdt 3. . Z vypočítaných průřezů nalezneme jejich průměry, když známe S podle obou předpokladů: π . d2 S = ———, z čehož je d1(2) = (4 . S1(2) / π)1/2, 4 - průměr vzhledem k meznímu stavu elasticity je d1_ = 11,8 mm, - průměr vzhledem k dovolenému napětí je d2 = 10,7 mm. 4. S ohledem na sortiment hutního materiálu volíme nejbližší vyšší hodnotu normalizované kruhové tyče d = 12 mm. Pozn. Uvedený příklad ukazuje, že v pružnosti a pevnosti zadání nemusí vést k jednomu výsledku. Výsledek je dán zvolením materiálu a především volbou mezních stavů. I když mezní stavy vypadají formálně velmi jednoduše, jejich volba je velice složitá a vyžaduje hluboké znalosti. -65-
Př. Vypočítejte rozměry táhla, které je zatíženo břemenem o hmotnosti m = 2 t a jeho délka 1 = 5 m. Průřez nechť je čtvercový. Vypočítejte potřebné rozměry a prodloužení táhla. Výpočet provádějte s ohledem na dovolené napětí v tahu. Řešení: 1. Zvolíme materiál táhla například ocel 11 600 σdt = 190 MPa. 2. Vypočítáme velikost vnějšího zatížení: F = m.g = 19 620 N.
3. Vypočítáme potřebnou velikost průřezu: F S = —— = 0,1032 . 10-3 m2. σdt
SPSKS
4. Z příčného průřezu vypočítáme stranu čtverce: a = (S) ½ = 10,16 mm.
5. S ohledem na normalizované rozměry čtvercové tyče volím nejbližší vyšší normalizovaný rozměr: a = 12 mm. 6. Normalizovaný rozměr je větší, proto musíme vypočítat skutečné napětí na tyči o rozměru a = 12 mm: F σt = — = 136,25 MPa. a2 7. Pro výpočet prodloužení táhla použijeme Hookeův zákon: ∆l σ = E —, l0
l 0 . σt úpravou ∆l = ——— = 3,24 mm. E
Př. Vypočítejte průměry táhla délky 25 m, na kterém je zavěšeno břemeno o hmotnosti m = 3,5 t s ohledem na: - mezní stav pevnosti, - mezní stav elasticity, - mezní stav prodloužení. Hmotnost vlastního táhla pro jednoduchost zanedbejte. Řešení: 1. Vypočítáme velikost zatěžující síly vzniklé zemskou gravitací: -66-
F = m . g = 34 335 N.
2. Zvolíme materiál táhla 11 500 a nalezneme v tabulkách potřebné hodnoty: σpt = 500 MPa, σkt = 270 MPa. 3. Vypočítáme potřebný průměr táhla s ohledem na mezní stav pevnosti (index 1): F S1 = —— = 6,867 . 10-5 m2, z toho průměr táhla d1 = (4 . S1 / π)1/2 9,3 mm. σdt
SPSKS
4.Vypočítáme potřebný průměr táhla s ohledem na mezní stav elasticity (index 2):
F S2 = —— = 1,271 . 10-4 m2 , z toho průměr táhla d2 = (4 . S2 / π)1/2 = 12,7 mm. σkt
5. Vypočítáme potřebný průměr táhla s ohledem na mezní stav deformace. Použijeme Hookeův zákon a ze zadané délky táhla a jeho dovoleného prodloužení vypočítáme velikost napětí (index 3): ∆l σ = E —— = 84 MPa. l0 Toto napětí dosadíme do rovnice: F S3 = —— = 0,4087 . 10-4 m2, z toho průměr táhla d2 = (4 . S3 / π)1/2 = 12,7 mm σ Pozn. Předcházející příklad ilustruje filozofii výpočtu podle nám patrných mezních stavů. Je logické, že pokud bude náš požadavek na konstrukci táhla, aby se pouze nepřetrhlo, bude průměr táhla nejmenší. Při požadavku pružných deformací v táhle je již třeba většího průměru. Pokud však výpočet provádíme vzhledem k meznímu stavu deformace a "mezní deformaci" definujeme malou, vychází průměr táhla velký. Pokud bychom výpočet provedli vzhledem k meznímu stavu deformace 1 = 50 mm, vyšel by průměr táhla již 32 mm. Dalším velmi důležitým poznatkem je, že prodloužení táhla nezávisí na jakosti oceli. Při výpočtu průměru táhla, s ohledem na mezní stav deformace, výsledek nezáleží na jakosti oceli. Je to způsobeno konstantou E, která je na ni nezávislá -67-
Vypočítejte příčné rozměry tyče, která je namáhána tahem silou F = 250 kN. Průřez tyče volte: - kruhový, - čtvercový, - obdélníkový a/b = 0,5, - trojúhelníkový (rovnoramenný).
Řešení: 1. Pro zadanou tyč navrhneme materiál 11 700. Na mezní stav nemáme žádné požadavky, proto vyhledáme v tabulkách hodnotu: σdt = 220 MPa.
SPSKS
2. Vypočítáme velikost potřebného průřezu: F S = — = 1,136 .10-3. σdt
4. Z velikosti průřezu budeme vypočítávat požadované rozměry podle jednoduchých vzorců o plochách: kruh d = 38,03 mm, čtverec a = 33,7 mm, obdélník a = 23,83 mm b = 47,66 mm, trojúhelník a = 51, 22 mm. Pozn. Předcházející příklad je ilustrací faktu, že geometrické provedení průřezu nemá vliv na pevnost nebo tuhost. Součást, která je namáhaná tahem, může mít libovolný průřez, jedinou podmínkou je, že vektor vnější síly má působiště v těžišti průřezu. Uvedené platí i pro tlak a střih, tedy pro taková elementární namáhání, která mají v tabulce kapitoly 2.1 ve jmenovateli plochu "S". Toto však neplatí však pro ohyb a krut! Průřez součásti namáhané tahem nemusí být ani souvislý, což znamená, že jej nelze obejít jednou křivkou. Takové případy se vyskytují v technické praxi poměrně často. Př. Proveďte kontrolu řetězové lamely namáhané tahem silou F = 5 kN. .Materiál lamely volte 11 700 a bezpečnost k = 6 vzhledem k meznímu stavu elasticity.
-68-
Řešení: 1.V tabulkách nalezneme hodnotu meze elasticity zadaného materiálu: σkt = 360 MPa. 2. Vypočítáme hodnotu dovoleného napětí v tahu s ohledem na zadaný koeficient bezpečnosti: σkt σ dt- = —— = 60 MPa. k
3. Kontrolujeme oba průřezy a porovnáme hodnotu dovoleného napětí s napětím, které vypočítáme. - napětí uprostřed délky lamely (souvislá plocha):
SPSKS
F σt = —— = 56,6 MPa, platí σt < σdt - průřez vyhovuje, S1 napětí v ose díry (nesouvislá plocha): F σt = —— = 50,0 MPa, platí σt < σdt - průřez vyhovuje. S2
Pozn. Předcházející příklad ilustruje postup výpočtu, který je založen na iteraci (přibližování). Ta spočívá v tom, že nemusíme vypočítat určitý rozměr průřezu, ale že průřez navrhneme a poté kontrolujeme, zda vyhovuje podmínce, že dovolené napětí je rovno nebo větší než napětí vypočítané. Tento postup vyžaduje určitou zkušenost, protože je nutné několikrát opakovat celý výpočet, než se dopracujeme uspokojivého výsledku. Důvodem tohoto postupu bývá i obtížnost matematického řešení, neboť je nutné řešit rovnice vyšších řádů. Další poznatek spočívá v tom, že součást namáhaná tahem, pokud není prizmatická, může mít několik průřezů, ve kterých není známa hodnota napětí. Všechny tyto průřezy je nutné kontrolovat. 3.4 TLAK Tlak je elementární namáhání, které je dáno normálovým napětím. Vektor síly zde působí kolmo na plochu a jeho směr je do těžiště plochy. Je tedy opakem tahu. Podmínky pro vznik tlaku již nejsou tak jednoduché jako v případě tahu, protože ze zkušenosti víme, že při určité délce prutu, který namáháme tlakem, začne prut vybočovat. Takové namáhání již není jednoduché a nazývá se vzpěr. Podmínky pro použití potřebných rovnic, které rozdělí namáhání tlakem od namáhání vzpěrem, budou probrány později. V této kapitole budeme předpokládat, že zadání je takové, že není třeba kontrolovat tzv. štíhlostní poměr.
-69-
Napětí v tlaku je dáno: F σd = —, S kde:
F [N] síla v tlaku, S [m2 ] plocha namáhaného průřezu, σd [MPa] napětí v tlaku. Pro namáhání tlakem platí Hookeův zákon σd = E . ε. Pouze zkrácení.
ε je v tomto případě poměrné
Z hlediska vlastností materiálů je třeba připomenout, že ocel má hodnoty mezních stavů v tlaku i tahu prakticky stejné. Pro materiály: šedá litina, beton, horniny, minerály, dřevo apod. je nutné mít tento fakt na paměti a hledat příslušné hodnoty dovolených napětí, případně mezních stavů v tabulkách. Součásti, které jsou namáhány tlakem, jsou zvlášť citlivé na polohu vektoru zatěžující síly. I velmi malá odchylka od těžiště průřezu způsobuje změnu charakteru namáhání, proto konstrukce součástí, které mají být namáhány tlakem, věnují pozornost "vystředění" vektoru síly.
SPSKS
Obr. 41 Schéma uložení součástí namáhaných tlakem Př. Vypočítejte potřebné příčné rozměry podložek, které mají nést betonový kvádr o hmotnosti 50 t. Materiál podložek nechť je ocel 11 500 a jejich výška 250 mm. Návrh proveďte bez udání mezního stavu a bezpečnosti. Dále vypočítejte, o kolik se podložky zkrátily po zatížení.
-70-
Řešení: 1. Za předpokladu, že betonový kvádr je homogenní, určíme zatížení jedné podložky podle obrázku m.g F1 = ——— = 122 625 N. 4 2. V tabulkách nalezneme dovolené napětí v tlaku pro zadaný materiál: σDd = 160 MPa. 3. Průřez podložek volíme např. čtverec se stranou a a vypočítáme jeho rozměr: F S = —— = 0,766 . 10-3 m2. σDd
SPSKS
Nejblíže vyšší rozměr normalizovaného čtyřhranu je 30 mm.
4. Na skutečný čtyřhran, kde a = 30 mm přepočítáme hodnotu skutečného napětí: F F σd = — = —— = 136,25 MPa. S a2
5. Ze skutečného napětí průřezu podložky vypočítáme pomocí Hookeova zákona zkrácení podložek: l0 . σd ∆l = ——— = 0,16 mm. E Pozn. U tohoto příkladu je třeba si uvědomit, že zkrácení (platí i u tahu pro prodloužení) nezávisí na jakosti použité oceli. Ta pouze definuje dovolené napětí, případně mezní stavy. Závisí však na délce podložky. Pokud bychom stejný betonový blok uložili na podložky s výškou např. 1 m, bylo by absolutní zkrácení 0,6 mm. Př. Prizmatický betonový nosník o hmotnosti m = 670 t je uložen na vodorovné konce sloupů nestejných výšek. Sloup 1 má výšku h1 = 0,5 m, sloup 2 má výšku h2 = 5 m. Vypočítejte polohu nosníku po uložení na sloupy. Průřez sloupů nechť je tvořen trubkou o 380 x 16. Materiál sloupu je ocel 11 500.
-71-
Řešení: 1. Z hmotnosti betonového nosníku určíme velikosti reakcí v podpěrách: m.g F1 = F2 = ——— = 3 286 350 N. 2 2. Z navrženého průřezu trubky vypočítáme velikost napětí v průřezu: F1 (F2) σd = ———— = 172 MPa, platí σt < σdt - průřez vyhovuje. S1 3. Použitím Hookeova zákona vypočítáme zkrácení obou sloupů: l1 . σd ∆l = ——— = 0,4 mm, E
SPSKS
l2 . σd ∆l = ——— = 4 mm. E 4. Nosník ztratí svoji vodorovnou polohu, protože sloup 2 je l0x vyšší, musí mít i l0x větší deformaci. Pozn. V technické praxi se řešení, jaké je obsahem předcházejícího příkladu, obvykle vyhýbáme. Pokud podmínky řešení nedovolují podpěry stejné délky, můžeme vyšší podpěru vyrobit větší o vypočítaný rozdíl deformací. Jiným řešením je hledat rozměry průřezu sloupu vzhledem k meznímu stavu deformace, kdy je podmínkou, že deformace sloupu 1 bude stejná jako u sloupu 2. Takové řešení však vede k jiným průřezovým rozměrům sloupu 2, což nevyhovuje např. u silničních staveb požadavkům estetiky. Stejných výsledků i řešení se dopracujeme u opačné úlohy, kdy by byl nosník zavěšen namísto podepřen a sloupy by se staly táhly. Př. Vypočítejte hodnoty napětí, která vzniknou při teplotních změnách počasí (léto, zima). Délka vzpěry je 1 = 5 m a její konce jsou zabetonovány v absolutně tuhých blocích. Materiál vzpěry je ocel 11 373 a její profil je I 100. Předpokládejme, že vzpěra byla uchycena v betonu za teploty 20 °C a výkyvy teploty jsou léto + 50 °C, zima –30 °C. Koeficient roztažnosti oceli je: α= 0,000 012 K-1.
-72-
-
Řešení: 1. Vypočítáme prodloužení (zkrácení) ocelové vzpěry volně uložené (bez vetknutí): léto ∆l = l0 (l + α∆T) = 5,002 mm ( ∆T = 30 °C), zima ∆l = l0 (l + α∆T) l = 5,004 mm
(∆T = 70 °C).
2. Velikosti dilatací dosadíme do Hookeova zákona a vypočítáme velikost napětí, které by vyvolalo stejnou deformaci: ∆l léto σd = E —— = 21,01 MPa tlak, l0 ∆l zima σt = E —— = 21,01 MPa tah. l0
SPSKS
3. Porovnáním s dovoleným napětím pro zadaný materiál je patrné, že nedosáhneme žádného mezního stavu. 4. Pokud známe průřez vzpěry a jeho plochu S (v tabulkách), můžeme si vypočítat velikosti sil, které tepelnou dilatací vznikají: léto F = σd . S = 22 270,6 N tlak, zima F = σt . S = 22 270,6 N tah. Pozn. Uvedený příklad dokazuje vliv teplotní roztažnosti na ty části konstrukce, které nemají možnost tepelných dilatací. V konstrukční praxi je třeba na tyto dilatace pamatovat, protože pokud nemají např. ocelové konstrukce mostů apod. možnost dilatovat, vytváří se přídavné napětí, které snižuje hodnotu dovoleného napětí, protože superponuje (lze jej algebraicky sečíst) s napětím od zatížení konstrukce. Z výsledku je patrné, že vznikající síly jsou dosti velké a řádově srovnatelné se zatížením. 3.5 OHYB Ohyb patří mezi elementární druhy namáhání, ale jeho řešení je poněkud složitější. Vnějším zatížením zde není síla, ale ohybový moment MQ. Jeho průběh po délce prutu obvykle nebývá konstantní, viz statika. Proto ani napětí nebude po délce nosníku konstantní. Největším problémem ohybu je, že velikost napětí závisí nejenom na velikosti příčného průřezu prutu, ale také na rozložení průřezu vzhledem k souřadnicím příčného průřezu s počátkem v těžišti průřezu. 3.5.1 KVADRATICKÉ MOMENTY PLOCH Pro výpočet kvadratických momentů ploch je obecně třeba vyšší matematiky. Proto středoškolská problematika řeší tyto úlohy metodami, které známe ze statiky. Libovolnou plochu opatříme souřadným systémem, který má počátek v těžišti plochy. Pokud zadaná plocha má osu -73-
symetrie, natočíme průřez tak, že osu symetrie ztotožníme s některou z os souřadného systému. Kvadratické momenty ploch, již podle svého názvu, chápeme jako moment, tedy součin ramene a velikosti plochy. Výraz kvadratické vyjadřuje fakt, že rameno je svou velikostí ve druhé mocnině. Součet všech ploch je potom výsledný kvadratický moment plochy.
Obr. 42 Schéma výpočtu kvadratických momentů plochy
Tento postup výpočtu je velice náročný, vyžaduje znalost základů vyšší matematiky. Proto uvedeme známé kvadratické momenty elementárních ploch. Na tyto plochy můžeme rozdělit libovolnou zadanou plochu a provést výpočet. Uvedená tabulka vedle kvadratického momentu k dané ose udává i průřezový modul v ohybu. Kvadratické momenty počítající se k souřadnicím a mající počátek v těžišti plochy se nazývají centrální kvadratické momenty ploch.
SPSKS
-74-
SPSKS
Př. Vypočítejte hodnotu kvadratického momentu obdélníkové plochy podle zadání, a to k ose z i k ose y.
b = 20 mm, h = 80 mm.
Řešení: 1. Do zadaného obdélníku zakreslíme souřadný systém s počátkem totožným s těžištěm plochy. 2. Dosadíme do vzorců uvedených v tabulce: b . h3 Jz = —— = 0,85333.10-6 m4, 12 b3 . h Jy = —— = 0,05333.10-6 m4. 12 Pozn. Povšimněme si, že kvadratický moment k ose z předcházejícího příkladu je o řád vyšší než kvadratický moment k ose y. Je to proto, že kóta výšky k ose je ve vzorci ve třetí mocnině. Lze také říci, že zvětšením jednoho rozměru obdélníka na dvojnásobnou velikost, při současném ponechání -75-
druhého rozměru beze změny, vzroste hodnota kvadratického momentu plochy k ose kolmé na zvětšený rozměr 8 x (23x). Pro lepší pochopení významu kvadratických momentů si uvedeme příklad. Budeme sledovat numerické hodnoty kvadratického momentu k osám z a y. Př. Mějme plochu obdélníka, která bude mít konstantní hodnotu S = 0,0012 m2. Vytvořte v souřadném systému z y všechny možné obdélníky s kombinací šířky a výšky v řádu 0,01. Vypočítejte hodnoty kvadratických momentů. Řešení: 1. Nalezneme všechny varianty obdélníku v řádu 0,01 m. Ze vztahu S = b . h. Přičemž šířka b bude v násobcích 0,01 m a budeme za ni považovat vodorovný rozměr obdélníku. Výška h bude v násobcích 0,01 m a budeme za ni považovat rozměr ve svislém směru bez ohledu na souřadnou soustavu. Takto lze vytvořit šest různých obdélníků, které mají stejnou plochu, ale liší se rozměry stran. Je patrné z obrázku, že rozměrově existují pouze tři (první) kombinace. Ty ostatní jsou vytvořeny pootočením o 90°. Pro kvadratické momenty ploch má i pootočení význam. 2. Podle známých vzorců vypočítáme hodnoty Jz a Jy , které dosadíme do základních vztahů, a výsledky zapíšeme do tabulky:
SPSKS J
J
h
b
z
[m]
[m]
[m4]
[m4]
0,01
0,12
1,44.10-6
0,01.10-6
0,02
0,06
0,36.10-6
0.04.10-6
0,03
0,04
0,16.10-6
0,09.10-6
0,04
0,03
0,09.10-6
0,16.10-6
0,06
0,02
0,04.10-6
0,36.10-6
0,12
0,01
0,01.10-6
1,44.10-6
-76-
y
3. Diskuze. Z tabulky je patrné, že kvadratický moment svojí numerickou hodnotou závisí na poloze obdélníka vzhledem k souřadné soustavě. Např. první a poslední v řadě obdélníků mají stejné rozměry, stejnou plochu, ale jejich kvadratické momenty se liší 144x. V souvislosti s ohybem víme, že profil na posledním místě kombinací by při zatížení svislou silou byl tužší než poslední profil. Jinými slovy, pro ohyb jsou vhodné profily, které mají co největší rozměr ve směru roviny ohybového momentu. Pozn. Je evidentní, že předcházející příklad lze provádět pouze s elementárním průřezem obdélníkem. Nelze jej provést s průřezem, který by byl kruh. Důsledkem tohoto faktu je, že kruh má kvadratické momenty stejné k oběma osám z i y. To znamená, že nosníky s kruhovým průřezem (hřídele) nemají zvláštní nároky na polohu průřezu oproti rovině ohybového momentu. To je důvodem jejich vyšší hmotnosti. Kvadratické momenty složených ploch se společným těžištěm Složené plochy jsou takové plochy, které lze řešit rozdělením plochy na konečný počet elementárních ploch (nejčastěji jsou to obdélníky). Pokud všechny elementární plochy mají svoje vlastní těžiště totožné s těžištěm zadané plochy, je řešení jednoduché. Vzniká jako součet nebo rozdíl kvadratických momentů elementárních ploch.
SPSKS
-77-
Pozn. Z předcházející tabulky je patrné, že takto lze pracovat pouze za podmínky, že veškeré součty a sčítance ve formě ploch mají jedno společné těžiště, které má stálou polohu (nesmí se "pohnout"). Je dobré si ještě povšimnout jedné zajímavé vlastnosti kvadratických momentů ploch, které však platí pouze k jedné ose. Jejich rovnost je dána rozložením ploch po průřezu, které mohou mít k jedné ose nekonečný počet variant. Z pohledu pružnosti a pevnosti to znamená, že lze vyrobit nosníky namáhané na ohyb, které mají stejný průřez (tím i hmotnost), stejnou tuhost (ta je odvozena od kvadratického momentu plochy), avšak mají jiný tvar.
Obr. 43 Ekvivalence kvadratického momentu ploch k ose z
SPSKS
Př. Vypočítejte hodnotu kvadratického momentu plochy ve tvaru symetrického I k ose z s rozměry podle zadání. Řešení: l. Zadanou plochu rozdělíme na rozdíl dvou obrazců složených z obdélníků.
2. Provedeme výpočet kvadratických momentů pravé strany rovnice. Protože druhý činitel je nespojitá plocha, je třeba si uvědomit, že hodnota kvadratického momentu bude dvojnásobkem jedné plochy. Je to důsledek výpočtu kvadratického momentu plochy k ose z, kdy je šířka v první mocnině, a proto lze počítat s hodnotou 2.b. Pro výpočet kvadratického momentu plochy k ose y bychom museli volit jinou cestu, protože šířka druhého činitele je nespojitá a do vzorce se dosazuje ve třetí mocnině. Kvadratické momenty složených ploch bez společného těžiště - Steinerova věta Kvadratické momenty složených ploch, u kterých mají jednotlivé sčítance a součty různé polohy těžiště, jsou úlohy složitější. Řešení nalezneme pomocí Steinerovy věty. -78-
Steinerova věta říká, že kvadratický moment k libovolné ose, která je rovnoběžná se souřadným systémem procházejícím těžištěm, je rovna součtu kvadratického momentu k těžišťovým osám plus součin čtverce vzdálenosti os souřadných systémů a plochy. Matematický zápis této věty k ose z má tvar: Jz’ = Jz + a2 . S, Jz' [m4] kvadratický moment plochy vzhledem k ose rovnoběžné s osou z, která prochází těžištěm plochy, Jz [m4] kvadratický moment plochy k ose z, která prochází těžištěm plochy, a [m] kolmá vzdálenost: osy z a z' S [m2 ] velikost plochy.
Analogický vztah platí pro Steinerovu větu vzhledem k ose y: Jy' = Jy + b2 . S.
SPSKS Obr. 44 Schéma Steinerovy věty pro osy y' a z' Př. Vypočítejte hodnotu kvadratického momentu plochy kruhu dle zadání k ose z", která je od těžišťové osy vzdálena 150 mm. Řešení: l. Nakreslíme si zadanou úlohu a osu z":
-79-
2. Vypočítáme hodnotu Jz: π . d4 Jz = —— = 0,306 . 10-6. 64 3. Velikost kvadratického momentu plochy přepočítáme dosazením do Steinerovy věty: Jz' = Jz + a2 . S = 0,04410-3 m4. Pozn. Rozborem matematické formulace Steinerovy věty dojdeme k několika důležitým závěrům: - kvadratický moment plochy k libovolné ose je vždy větší než kvadratický moment k ose procházející těžištěm plochy, - při volbě mimotěžišťových souřadnic mohou hodnoty vzdáleností a i b nabývat záporných hodnot, ale na výsledek záporné znaménko nemá vliv, protože jev rovnici ve druhé mocnině. Steinerova věta se používá pro řešení nesymetrických ploch. Symbolicky ji lze vyjádřit podle obrázku tak, že každá elementární plocha musí být přepočítána k souřadnicím s počátkem v celkovém těžišti zadané plochy.
SPSKS Obr. 45 Symbolika řešení složených ploch Steinerovou větou Pozn. Pro přehled lze ještě konstatovat, že podobně, jako je možné řešit kvadratické momenty ploch k jiným souřadným systémům, které splňují podmínku rovnoběžnosti se souřadným systémem těžišťovým, existují vztahy, které řeší výpočet kvadratických momentů ploch i k pootočeným souřadným systémům. Obecné řešení potom předpokládá rozložení úlohy na rovnoběžné posunutí a pootočení. Tyto znalosti však přesahují problematiku střední školy. Př. Vypočítejte velikost kvadratického momentu plochy ve tvaru nesymetrického I podle zadání, a to k ose z i y. Řešení: 1. U zadané plochy vypočítáme polohu těžiště vzhledem k souřadnému systému z - y. Protože zadaná plocha je ve směru svislé osy symetrii, známe polohu těžiště ve směru osy z. Hodnoty yT budeme dosazovat v absolutních souřadnicích (viz statika):
-80-
plocha
ynT
0,4 .10-3
75
0,3.10-3
55
3,6.10-3
20
SPSKS
S1 . y1T + S2 . y2T + S3 . y3T ynT = ——————————— = 27,55 mm. S1 + S2 + S3
2. Vypočítáme kvadratické momenty elementárních ploch k jejich těžišťové ose z: 0,04 . 0,013 Jz1= —————— = 0,0033 . 10-6 m4, 12 Jz2 =
0,01.0,033 —————— = 0,025 . 10-6 m4, 12
0,09 . 0,043 Jz3 = —————— = 0,48 . 10-6 m4. 12 3. Pomocí Steinerovy věty přepočítáme elementární plochy k ose z, která prochází nalezeným celkovým těžištěm. Hodnoty a vypočítáme z obrázku: a1 = 47,45 mm, a2 = 27,45 mm, a3 = 7,55 mm, Jz1’= Jz1 + a12 . S1 = 0,0339.10-3 m4, Jz2’= Jz2 + a22 . S2 = 0,2510.10-6 m4, Jz3’= Jz3 + a32 . S3 = 0,6852.10-6 m4.
4. Výsledná hodnota kvadratického momentu zadané plochy je potom dána prostým součtem: -81-
Jz’ = Jz1’ + Jz2’ + Jz3’ = 3,48 . 10-5 m4 5. Výpočet kvadratického momentu k ose y je zde snazší, protože ve směru této osy leží těžiště elementárních ploch na jedné přímce, která je zároveň osou symetrie. Proto má nulové hodnoty b ve smyslu Steinerovy věty. Výsledný kvadratický moment je tedy dán prostým součtem elementárních obdélníků počítaných k ose. 0,043 . 0,01 Jy1 = ————— = 0,0533.10-6 m4, 12 0,0l3 . 0,03 Jy2 = ————— = 0,0025.10-6 m4, 12
0,093 . 0,04 Jy3 = ————— = 2,4300.10-6 m4, 12 Jy' =
2,4858.10-6 m4.
Rozbor úlohy: V bodě 2 postupu výpočtu jsme vyhodnocovali kvadratické momenty k těžišťové souřadné soustavě. Je zde vidět, že nejmenší elementární plocha 2 má hodnotu kvadratického momentu plochy vyšší než plocha 1. Je to způsobeno větší výškou, která je ve třetí mocnině. Jakmile však plochy 1 a 3 přepočítáme k ose z', která prochází celkovým těžištěm, je vidět, že numerická hodnota plochy l výrazně vzrostla. Nejmenší nárůst zaznamenáme u plochy 3, kde je nejmenší vzdálenost těžiště elementární plochy od celkového těžiště. Pro tuhost součástí je proto velmi důležité průřez nosníku upravit tak, aby plochy (1 a 3) byly od celkového těžiště co nejdále. Plocha 2 zde plní úlohu distanční plochy, která nosné plochy udržuje v potřebné vzdálenosti. Numerické hodnoty jednotlivých ploch, přepočítané k ose těžiště celkové plochy, naznačují i jejich podíl na přenosu ohybového momentu.
SPSKS
Př. Pro zadaný obdélníkový průřez b1 = 20 mm, h2 = 40 mm vypočítejte hodnotu kvadratického momentu plochy. Vypočítejte, jakou šířku by musel mít obdélník s výškou h2 = 20 mm (poloviční), aby měl stejnou hodnotu kvadratického momentu plochy. Úlohu řešte vzhledem k ose z. Řešení: 1. Pokud se mají rovnat kvadratické momenty zadané a počítané plochy musí platit:
b1 . h13 b2 . h23 b1 . h13 Jz1 = Jz2 = ———— = ———— = ———— = 160 mm 12 12 h2 3
-82-
Rozbor úlohy: Z náčrtku průřezů v měřítku je vidět, že obě srovnávané plochy mají stejný Jz, jejich plochy se však liší v poměru 1:4. Protože velikost průřezu prutu souvisí s jeho hmotností pro ohyb, vybrali bychom průřez, který má větší výšku. Jestliže zmenším výšku průřezu na polovinu, musím pro zachování ekvivalence kvadratického momentu plochy zvětšit šířku 8x (23 x). Př. Kolikrát vzroste numerická hodnota kvadratického momentu obdélníkové plochy, zvětšíme její výšku na trojnásobek? Úlohu řešte obecně vzhledem k ose z.
když
Řešení: l. Úloha je srovnáním dvou ploch, kde druhá plocha má trojnásobnou výšku. Dosadíme do základních vzorců: b . h3 Jz1 = ——— 12
SPSKS Jz2
=
b .3h3 ——— 12
=
b . 27 . h3 ———— . 12
Zvětšíme-li výšku průřezu na trojnásobek, vzroste kvadratický moment plochy 27x (33x).
3.5.2 OHYBOVÉ MOMENTY Při řešení staticky určitých nosníků jsme ve statice, za použití tabulek, schopni vyřešit průběh ohybového momentu po délce nosníku (prutu). Víme, že v převažující většině nemá ohybový moment konstantní hodnotu, a hledáme tedy maximální ohybový moment Momax. Pro výpočty spojené s ohybem je nutné si uvědomit, že průběh ohybového momentu je rovinný obrazec. V této rovině by měla ležet i osa souřadného systému celkového těžiště plochy. Pro ohybový moment, který leží ve svislé rovině, (nejčastěji gravitační účinky) musí osa y průřezu ležet v této rovině. Pro vodorovnou rovinu ohybového momentu musí ležet osa z průřezu v této rovině. Pokud tomu tak z nějakého důvodu není, jedná se o kombinovaný (prostorový) ohyb a jeho řešení bude uvedeno dále.
-83-
Obr. 46 Schéma ztotožnění roviny ohybového momentu s hlavní osou souřadné soustavy průřezu
3.5.3 PRŮŘEZOVÝ MODUL V OHYBU Ze základních vzorců víme, že pro výpočet napětí v ohybu potřebujeme znát tzv. průřezový modul v ohybu. Pro válcovaný materiál, který se běžně používá (U, I, T apod.) nalezneme jeho hodnoty v tabulkách. Pro výpočet nosníků, které je nutno vyrobit svařováním nebo ve formě či bednění, je nutné zvládnout výpočet průřezového modulu v ohybu. Průřezový modul v ohybu je podíl kvadratického momentu průřezu k neutrální ose a vzdálenosti nejvzdálenějšího bodu obrysové čáry od neutrální osy.
SPSKS
-84-
Př. Vypočítejte hodnotu průřezového modulu v ohybu zadaného uzavřeného nosníku k ose z. Řešení: 1. Nalezneme polohu těžiště průřezu. Protože průřez má dvě osy symetrie, leží těžiště průřezu na jejich průsečíku.
SPSKS 2. Vypočítáme kvadratické momenty elementárních ploch k ose z a vzdálenost jejich těžišť od souřadnic procházejících celkovým těžištěm. Výsledky pro přehlednost zpracujeme do tabulky: S
J
J
z
a
z’
[m2]
[m4]
[m]
[m4]
0,0040
0,133.10-6
0,190
144,533.10-6
0,0036
38,888.10-6
0,0
38,888.10-6
0,0040
0,133.10-6
0,190
144,533.10-6
0,0036
38,888.10-6
0,0
38,888.10-6
3. Kvadratický moment plochy bude dán součtem kvadratických momentů elementárních ploch přepočítaných Steinerovou větou k ose z procházející těžištěm celé plochy:
-85-
Jz = Jz1’ + Jz2’ + Jz3’ + Jz4’ = 366,842.10-6 m4. 4. Průřezový modul v ohybu je dán: Jz W oz = —— = 1834,21.10 -6 m3. h Př. Vypočítejte hodnotu průřezového modulu v ohybu průřezu nesymetrického I podle zadání z kapitoly 2.5.2, (str. 88) vzhledem k ose z. Řešení: 1. Nalezneme hodnoty Jz a polohu yvT z uvedeného příkladu: yvT = 27,55 mm, Jz = 0,970.10-6 m4.
SPSKS 2. Protože definice průřezového modulu v ohybu předpokládá dělitele jako největší vzdálenost obrysové čáry zadané plochy od těžiště, je třeba tuto vzdálenost vypočítat jako rozdíl výšky (souřadnice y) zadaného průřezu od yvT: h = 80 - 27,55 = 52,45 mm. 3. Vypočítáme průřezový modul v ohybu vzhledem k ose z: Jz Woz = —— = 18,49.10-6 m. h
3.5.4 VÝPOČET OHYBU Základním vztahem pro výpočet ohybu je: Mo σo = —— , Wo kde: σo [MPa] napětí v ohybu, MQ [N m] ohybový moment, Wo [m3] průřezový modul v ohybu. -86-
Napětí, které vypočítáme, musíme porovnat s mezním stavem. Technolog, který má za úkol například ohnout polotovar bude pracovat s napětím nad mezí elasticity. Konstruktér ocelové konstrukce nebo mostu bude pracovat s mezním stavem elasticity s určitou bezpečností.. Obecně existují dvě cesty nalezení řešení. První předpokládá, že technické řešení bude provedeno z válcovaného materiálu. Zde máme k dispozici tabulky, kde nalezneme příslušnou hodnotu průřezového modulu v ohybu. Podle zvoleného tvaru průřezu hledáme jeho velikost. Druhé řešení spočívá v tom, že navrhneme určitý průřez., který není ve formě válcovaného materiálu. Vypočítáme u něj průřezový modul v ohybu a ten porovnáváme s potřebným průřezovým modulem. Je nasnadě, že tato cesta je iterační (výpočtem se přibližujeme). Př. Vypočítejte, jaký rozměr profilu I bude třeba použít pro nosník dle zadání, který je namáhán ohybem. Materiál nosníku je ocel 11 373.00. Bezpečnost vzhledem k meznímu stavu elasticity σe k = 4. Řešení: .. l. V tabulkách nalezneme hodnotu meze elasticity zadané oceli: σk t = 220 MPa
SPSKS 2. Vypočítáme hodnotu dovoleného napětí vzhledem k meznímu stavu elasticity a zadané bezpečnosti: σkt σdo = —— = 220 MPa. k 3. Vypočítáme podle tabulek pro příslušné zatížení nosníku maximální hodnotu ohybového momentu. Průběh ohybového momentu po délce nosníku zakreslíme graficky:
F.a.b Momax = ———— = 18 750 N.m. l 4. V základním vztahu pro výpočet napětí v ohybu známe dovolené napětí a známe maximální ohybový moment. Jedinou neznámou je zde průřezový modul v ohybu, který ze vztahu vypočítáme: Momax Woz = —————— = 0,34.10-3. σdo -87-
5. Pro vypočítanou hodnotu W vyhledáme v tabulkách nejbližší vyšší rozměr válcovaného profilu I, který je I 240. Prizmatický nosník namáhaný ohybem bude vyroben z profilu I 240. Př. Navrhněte svařovaný průřez uzavřeného nosníku, který má mít rozpětí 1 = 20 m a má být zatížen uprostřed osamělou silou F = 46 kN. Materiál nosníku nechť je ocel 11 373.00. Na mezní stav nejsou žádné zvláštní požadavky. Řešení: 1. V tabulkách nalezneme hodnotu dovoleného napětí: σDo =13 0 MPa.
Vypočítáme hodnotu Momax podle
SPSKS
2. Vypočítáme hodnotu Momax podle tabulek. Průběh ohybového momentu zakreslíme: F.a.b M omax = ——— = 230 000 N .m. l 3. Ze základní rovnice pro ohyb vypočítáme hodnotu Woz:: Momax Woz = ——— = 1,769.10-3 m3. σDo 5.
Navrhneme průřez svařovaného uzavřeného nosníku podle příkladu kap. 2.5.3.
Hodnota WQZ je zde vypočítaná WQZ = l,834.10-3 m3, takový průřezový modul v ohybu vyhovuje. Pozn. Bez zkušeností není možné hned napoprvé navrhnout průřez, aby vyhovoval rovnici ohybu. Ale tato cesta je obvykle zvládnutelná na 3 - 4 aproximace (přiblížení). -88-
3.5.5 PRŮBĚH OHYBOVÉHO NAPĚTÍ PO PRŮŘEZU Dosavadní výpočty napětí v tahu a tlaku předpokládaly rovnoměrné rozložení napětí po ploše kolmé na osu prutu. Tento předpoklad je důvodem, proč základní rovnice pro výpočet napětí mají ve jmenovateli průřez S. U ohybu je situace složitější, napětí je zde rozloženo v rovině ohybového momentu nerovnoměrně. Jde o kombinaci tahu a tlaku. Rozložení napětí jako vnitřní síly je patrné z obrázku.
Obr. 47 Rozložení napětí v ohybu po průřezu Je patrné, že nejvyšší hodnoty napětí v tahu i tlaku jsou na nejvzdálenějších bodech obrysové čáry, měřeno v rovině ohybového momentu. Směrem k těžišti, kterým prochází neutrální rovina, napětí klesá. Teoreticky kolem neutrální osy by nemusel být žádný materiál, nebýt tzv. posouvající síly. Tam, kde je hodnota napětí nízká, je vyšší bezpečnost vůči meznímu stavu, a proto je snahou kolem neutrální osy průřez zmenšovat. Z tabulky je patrné, které průřezy jsou vhodné pro namáhání ohybem a které nikoli. Kruhový průřez má maximální napětí v površkách čili přímkách. V místě neutrální plochy je nejširší. Nosník kruhového průřezu, který by měl přenášet pouze ohyb, je proto nevhodný. Nosník obdélníkového průřezu má maximální napětí ve dvou plochách, což je výhodnější, ale neutrální plocha je velice široká a materiál kolem neutrální plochy není využit. Nosník profilu I a II je přímo koncipován pro přenášení ohybu. Maximální napětí jsou soustředěna v plochách a v okolí neutrální plochy je průřez silně redukován. Vzniká otázka. Které průřezy jsou vhodné pro namáhání ohybem a které vhodné nejsou?
SPSKS
Pozn. Pojem površka znamená povrchovou přímku tělesa. Je to pojem používaný v deskriptivní geometrii
-89-
3.5.6 NOSNÍKY Z PŘEDPJATÉHO BETONU Předpjatý beton je velice často používaný materiál pro stavbu mostů, skořepin apod. 0 betonu víme, že má vlastnosti podobné např. šedé litině. Vydrží značné hodnoty napětí v tlaku, ale při tahu je velice křehký. Vytvářet stavby, u kterých je použito prostého betonu, vyžaduje vytváření klenby, která má velké rozměry a velkou spotřebu materiálu. Předpjatý beton předpokládá, že při výrobě díla nebo polotovaru jsou vytvářeny dutiny, do kterých se umisťují tzv. kabely. V určité fázi se pomocí kabelů vyvine v nosníku nebo díle předpětí v tlaku. Po zatížení betonového polotovaru nebo díla ohybem není tahová složka schopna překonat hodnotu vytvořeného tlakového předpětí.
SPSKS
nosník v odlévací formě nebo bednění
nezatížený nosník je předepjatý tlakem
superpozice předpjatého nosníku po zatížení Obr. 48 Superpozice předpjatého nosníku s vnějším zatížením
-90-
Př. Betonový nosník o rozpětí 1 = 10 m zadaného průřezu má být vyroben z předpjatého betonu tř. 475 o pevnosti v tlaku σpd = 45 MPa. Vypočítejte, jaké předpětí je třeba vyvodit při výrobě nosníku, aby byl schopen zatížení osamělou silou F = 250 kN uprostřed své délky. Bezpečnost předpětí k = 2. Dále vypočítejte potřebnou sílu, kterou je nutné vyvodit v napínacích kabelech. Řešení: 1. Vypočítáme kvadratický moment průřezu nosníku a následně průřezový modul v ohybu:
0,0192 m
4
SPSKS =
0,05 . 0,83 ————— 12
-
2 . 0,2 . 0,43 —————— 12
Jz Woz = —— = 0,048 m3. 0,4
2. Vypočítáme velikost maximálního ohybového momentu podle typu nosníku: F.a.b Momax = ——— = 625 000 N.m. l 3. Vypočítáme hodnotu ohybového napětí:
Momax σo = ———— = 13, 02 MPa. Wo 4. Průběh napětí ve směru osy y:
-91-
5. Protože materiálem nosníku je beton o pevnosti 45 MPa, je třeba tahovou složku eliminovat s dvojnásobným bezpečností předpětím. Velikost napětí v tlaku (předpětí) je: σd = σo . 2 = 26,04 MPa.
6. Výsledný průběh napětí v nosníku po zatížení je dán superpozicí předpětí a ohybu.
SPSKS
7. Vypočítáme potřebnou sílu, kterou je třeba vyvodit v předepínacích kabelech. Vypočítáme plochu průřezu nosníku a ze známého předepínacího napětí zjistíme sílu Fp: Fp = σd . S = 6 249 kN. Pozn. Na předcházejícím příkladu je názorně vidět, že algoritmus výpočtu je, až po 5. bod řešení, prostý úvah o materiálu, ze kterého je nosník vyroben. Vlastnosti betonu jednoduše vstupují do výpočtu jako hodnoty mezních stavů. Dále stojí za povšimnutí velikost předepínací síly, která je značná a její vyvození je technicky velmi náročné. V praxi by takový nosník byl použit jako polotovar mostu malého rozpětí. Nosníky by ale byly sestaveny vedle sebe a spojeny deskou pro přenos zatížení na všechny nosníky. Hodnota WQZ je dána v takovém případě násobkem počtu použitých nosníků {mění se zde šířka nosníku, a ta je v první mocnině). 3.5.7 NOSNÍKY KONSTANTNÍHO NAPĚTÍ Dosavadní řešení nosníků vycházelo z předpokladu, že nosník je prizmatický prut (po své délce má stejný průřez). Takové nosníky jsou vhodné pro jednoduché aplikace při malých rozpětích, kde se používá jako polotovaru válcovaných materiálů nebo průmyslově vyráběných modulů. Jejich výpočet vychází z předpokladu, že nalezneme hodnotu maximálního ohybového momentu Momax. Průběhy ohybových momentů, podle typu nosníku a zatížení, však nejsou ani zdaleka konstantní. Je správné, že hledáme extrém hodnoty ohybového momentu a k němu dimenzujeme průřez vzhledem k meznímu stavu. Mimo extrém je však hodnota ohybového momentu vždy menší a nosník zde má vyšší bezpečnost neboli nižší napětí. V místech, kde je hodnota ohybového momentu MQ = 0, je dokonce bezpečnost nekonečná. Snahou techniků je proto hledat takový průřez po délce nosníku, který by měl v každém bodě délky nosníku stejné napětí (stejnou bezpečnost k meznímu stavu). Podle tvaru průřezu budeme pracovat se dvěma průřezy: - obdélníkový průřez, - kruhový průřez. -92-
Obdélníkový průřez nosníku Obdélník je charakteristický dvěma rozměry, šířkou b (kóta ve směru osy z) a výškou h (kóta ve směru osy y). Vzhledem k technologii výroby takového nosníku (polotovarem je plech) je výhodné rozdělit problematiku obdélníkového průřezu na dva směry: - průřez s konstantní výškou, - průřez s konstantní šířkou. Obdélníkový průřez nosníku s konstantní výškou
Pro jednoduchost použijeme krakorcový nosník (vetknutý), který je zatížen na konci osamělou silou. Průběh ohybového napětí je lineární. Velikost ohybového momentu je dána vztahem: Momax = F . 1. Z obrazce průběhu ohybového momentu je zřejmé, že v místě působiště osamělé síly je hodnota ohybového momentu 0. Dosazením do základního vztahu pro ohyb vypočítáme napětí v každém bodě délky nosníku: Mo σo = ———. Woz
SPSKS
Za Mo zde můžeme dosazovat hodnoty Mo po délce nosníku - tedy od M = 0 až po Mo = Momax.
-93-
Základní vztah pro výpočet napětí v ohybu upravíme dosazením za Woz: Mo 6 . Mo σo = ——— = ————. b . h2 b . h2 —— 6 Výšku h budeme považovat za konstantní a napětí v ohybu budeme rovněž považovat za konstantní. Při daném zatížení a geometrické velikosti nosníku je jedinou proměnnou šířka b. Za velikost napětí v ohybu dosadíme do rovnice. Mo b = ———. σdo . h2 Závisle proměnná je v první mocnině. Obdélníkový průřez bude měnit svoji šířku lineárně po délce nosníku. V místě vetknutí bude jeho šířka maximální a v místě působiště osamělé síly bude šířka 0, protože i ohybový moment je zde nulový. V půdorysném pohledu bude mít takový nosník tvar rovnoramenného trojúhelníku. Pozn. Podmínce WQZ by vyhovoval i pravoúhlý trojúhelník, ale ten je nepřípustný proto, že matematický model prutu je přímka, resp. úsečka, která koresponduje s osou procházející těžištěm průřezu. U pravoúhlého trojúhelníku by osa průřezu měnila geometrii zadání. Dále si všimněme, že kdybychom vypočítali obecně prizmatický nosník (čárkovaně) byla by jeho hmotnost dvojnásobná, aniž bychom zvýšili např. bezpečnost. Tento typ nosníku je výchozí úvahou pro konstrukci listových pružin.
SPSKS
Obdélníkový průřez nosníku s konstantní šířkou
Problematiku tohoto typu nosníku budeme řešit pro jednoduchost také na krakorcovém nosníku.
Hodnota Momax má stejný průběh jako u předcházejícího případu. Základní vztah pro napětí v ohybu opět nezavádí do čitatele extrémní hodnoty ohybového momentu, ale jeho hodnoty po délce nosníku: -94-
Mo σo = —— Woz Úpravou vztahu a dosazením za napětí v ohybu dovolené napětí v ohybu σdo získáme vztah: h = (Mo/b .σdo)1/2. Výška je zde druhou odmocninou vztahu. Pokud budeme dosazovat po délce nosníku jednotlivé hodnoty Mo, vypočítáme příslušnou výšku průřezu, která bude odrážet požadavek konstantního napětí. Je zřejmé, že zde se jedná z pohledu matematiky o kvadratickou parabolu. Výška nosníku se bude měnit po kvadratické parabole. Pozn. Nosník v nárysu podle zadání bude mít tvar kvadratické paraboly. Ta může být ve dvou formách, buď bude mít jednu větev přímku, což je technologicky výhodnější, nebo bude symetrická k ose. V obou případech zůstává splněn požadavek zachování totožnosti matematického modelu nosníku a těžišťové osy průřezu. Je to způsobeno tím, že obě osy zůstanou v rovině ohybového momentu. Parabola je však výrobně složitější, a proto se často nahrazuje lomenou čarou. Praktické využití tohoto typu nosníku je u mostových jeřábů a mostů. Z pohledu hmotnosti lze dokázat, že parabolický nosník má 2/3 hmotnosti prizmatického nosníku. Častějším případem aplikace jsou nosníky o dvou podporách, které jsou potom konstruovány v souladu s průběhem ohybového momentu.
SPSKS Obr. 49 Příklady konstrukcí nosníků konstantního napětí, kde šířka b = konst.
Nosník konstantního napětí kruhového průřezu Kruhový průřez je definován pouze jedním parametrem, a tím je průměr. Je to tedy pro konstrukci nosníku konstantního napětí jediná proměnná, která se může po délce nosníku měnit. Mějme staticky určitý nosník zatížený osamělou silou F. Standardním způsobem zde podle geometrie nosníku a druhu vnější síly nalezneme průběh ohybového momentu.
-95-
SPSKS
Dosazením za průřezový modul v ohybu dostaneme ze základního vztahu pro ohyb vztah: Mo 32 . Mo σo = ——— = ————. Woz π . d3
Za Mo dosazujeme hodnoty ohybového momentu po délce nosníku od Mo = 0 až po MQ = MQmax. Napětí v ohybu požadujeme za konstantní, a proto dosadíme vzhledem k meznímu stavu σDo. Závisle proměnnou je zde průměr d: d = ( 32 . Mo/ π . σDo)1/3. Z rozboru je patrné, že průměr nosníku se mění s třetí odmocninou. Tvar nosníku je potom dán rotačním paraboloidem třetího stupně. Protože maximální ohybový moment je v působišti osamělé síly, bude celý nosník tvořen dvěma rotačními paraboloidy třetího stupně, které mají společné body v místě působiště osamělé síly. Pozn: Parabola třetího stupně je "sevřenější" než parabola druhého stupně. Tento výpočet je ideou ke konstrukci osazených hřídelí. Podmínkou jejich konstrukce je, že křivky parabol musí být vepsány uvnitř rozměrů osazeného hřídele.
-96-
Obr. 50 Konstrukce osazeného hřídele z nosníku konstantního napětí
3.5.8 PROSTOROVÝ OHYB
SPSKS
Obr. 51 Schéma prostorového ohybu
U prostorového ohybu opouštíme podmínku totožnosti jedné hlavní osy (na obrázku osy y) s rovinou ohybového momentu. V takovém případě je nutné zavést další podmínku, že rovina ohybového momentu obsahuje osu x (těžišťovou osu). Pokud by tato podmínka splněna nebyla, jednalo by se o kombinované namáhání - prostorový ohyb + krut. Řešení této úlohy je poměrně zdlouhavé a znamená rozložit zadání na dva prosté ohyby ve směru hlavních os z a y. Nalézt příslušné průběhy ohybových momentů a vypočítat hodnoty napětí. Výpočtem se obvykle nehledá hodnota WQZ ani W, ale kontroluje se napětí. Závěr výpočtu tvoří sečtení napětí od obou vypočítaných ohybů a porovnání s dovoleným napětím nebo definovaným mezním stavem. Podle výsledku se upravuje tvar průřezu. Jde tedy opět o iterační metodu výpočtu, kdy navrhneme průřez a kontrolujeme, zda vyhovuje nerovnici σo < σDo . Pro ilustraci řešení si uvedeme příklad a jeho postup řešení. Př. Nosník o rozpětí 1=6 m průřezu I je namáhán osamělou silou F = 20 kN ve vzdálenosti a = 2 m pod příčným úhlem φ = 30° od osy y. Materiál nosníku je ocel 11 373.00. Navrhněte normalizovaný profil I a proveďte kontrolu maximálního napětí. Řešení: 1. Zadanou úlohu si nakreslíme. 2. Zatěžující sílu rozložíme do roviny nárysné a půdorysné: nárysná rovina
Fn = F.cosφ = 17,3 2 kN,
půdorysná rovina Fp = F.sinφ = 10,00 kN.
-97-
3. V rovině nárysné a půdorysné vypočítáme hodnoty maximálních ohybových momentů:
nárysná rovina
Fn . a . b Momaxn = ———— = 23 093 N.m, l
SPSKS
Fp . a . b půdorysná rovina Momaxp = ———— = 13 333 N.m. l
4. V tabulkách nalezneme hodnotu dovoleného napětí pro zadaný materiál: σ Do = 140 MPa. 5. Navrhneme průřez I 360 a odečteme hodnoty: WQz = 1 090 .10-6 m4, Woy = 114 .10-6 m4. 6.
Vypočítáme hodnoty ohybového napětí v obou rovinách.: Momaxn nárysná rovina σo = ————— = 21,2 Mpa, Woz Momaxp půdorysná rovina σo = ————— = 116,9 Mpa. Woy 7. Provedeme součet napětí superpozicí na průřezu nosníku, tah bude mít znaménko + a tlak - :
-98-
nárysná rovina
+
půdorysná rovina
=
superpozice
8. Nejvyšší hodnotu superponovaného napětí porovnáme s napětím dovoleným. Výsledkem je, že navržený nosník vyhovuje. Pozn. Z příkladu je patrné, že největším problémem byla vodorovná složka vnějšího zatížení. Právě ona měla vliv na nutnost volby tak mohutného nosníku. Je evidentní, že profil I je koncipován pro přenášení prostého ohybu. Prostorový ohyb vyžaduje složitější průřezy, např. II, který má menší rozdíly hodnot průřezových modulů ohybu k oběma osám. 3.6 SMYK (STŘIH) Smyk je namáhání, kdy vnější zatěžující síla leží v rovině průřezu součásti. Jedná se zde o tangenciální (tečné) napětí. Jeho velikost vypočítáme podle vztahu: F τs = ——. S
SPSKS
Z předcházejících kapitol je evidentní, že napětí je vzhledem ke ;jmenovateli rozloženo po průřezu rovnoměrně. Deformací u namáhání smykem je zkosení. Pokud bychom podobně, jako provádíme zkoušku materiálu tahem, provedli zkoušku smykem, získáme u houževnatého materiálu průběh, který známe u tahové zkoušky. Do určité hodnoty napětí bude zkos pružný, tzn. že po odeznění vnějšího zatížení se vrátí materiál do původního tvaru.
Závislost napětí na zkosu je po určitou mez lineární, a proto pro ni bude platit Hookeův zákon. Jeho definice pro smyk zní: Tangenciální napětí je přímo úměrné zkosení. Matematická formulace: τs = G . γ, -99-
kde: τs [MPa] tangenciální napětí, G [MPa] modul pružnosti ve smyku, γ [-] zkosení. Zkosení je i zde bezrozměrnou veličinou, ale není třeba zavádět relativní hodnotu, jako tomu bylo u tahu (poměrné prodloužení). Modul pružnosti ve smyku G, který je zde obdobou E pro tah (tlak), je ve vztahu konstantou. Nejedná se však o nějakou novou konstantu materiálu. Je závislý na modulu pružnosti v tahu E a tzv. Poissonově konstantě. Jeho hodnota pro ocel je přibližně: G = 3/8 . E, µ G = ———— . E. 2(µ + 1) Není problém, podobně jako u tahu, vypočítat deformace nebo zde pracovat s mezním stavem deformace při návrhu součásti. Pozn. Ve skutečnosti je smyk velice obtížně simulovatelný a složitý. Veškeré výpočty jsou proto zajištěny nízkou hodnotou dovolených napětí. Poissonova konstanta µ je skutečnou konstantou materiálu společně s modulem pružnosti v tahu. Její platnost je omezena mezí elasticity stejně jako Hookeův zákon. Po překonání této meze skokem, vzroste její hodnota na jinou "téměř" konstantu. Př. Vypočítejte potřebný průměr nýtů, které mají přenášet v táhle sílu F = 24 kN. Konstrukce spoje je provedena jako dvojstřižná. Materiál nýtů je ocel 10 340. Tloušťka pásnice nechť je s = 5 mm.
SPSKS
Řešení: 1. Zadanou úlohu si nakreslíme tak, že volíme pro přenos síly tři nýty (i = 3). Označíme si zde namáhané průřezy.
2. Síla na jeden nýt bude: F Fi = —— = 8 kN. i
3. Základní rovnice pro smyk je: Fi Fi τ s = —— = ——— = S (π . d2)/4
4 . Fi ——— π . d2
2 Fi pro dvojstřižný nýt je rovnice τ s = ——. S -100-
Protože každý nýt má dva střižné průřezy, musíme uvažovat, že ve jmenovateli základní rovnice bude dvojnásobné S. 4. Dosazením do rovnice dovoleného napětí ve smyku můžeme vypočítat přímo průměr nýtu (τ DS =55 MPa): D = (2 . Fi / π . τ DS)1/2 = 9,6 mm - volíme normalizovaný průměr nýtu d = 10 mm. Pozn. Je možné provést spojení i jednostřižnými nýty. Důvodem, proč se tomuto řešení vyhýbáme z pohledu pružnosti a pevnosti, je skutečnost, že spojení táhel vytváří určité rameno a vzniká tak kombinace smyku a ohybu, a ta je nevýhodná. Př. Vypočítejte minimální sílu, kterou musí být schopny vyvodit čelisti tabulových nůžek pro šířku tabule 2 m a maximální tloušťku plechu t = 10 mm. Předpokládáme zpracování plechů jakosti do 11 700. Sklon pohyblivé čelisti nechť je α = 5 . Řešení: l. Zadanou úlohu si schematicky nakreslíme.
SPSKS 2. Mezním stavem zde bude mezní stav pevnosti. 0 zadaném materiálu víme, že má minimální hodnotu meze pevnosti v tahu σpt = 700 Mpa. Pro smyk platí, že hodnoty mezních stavů, které naměříme při tahové zkoužce, jsou přibližně 60 % hodnot tahu. Proto minimální pevnost ve smyku bude: τps = 42 0 MPa. 3. Ze sklonu pohyblivé čelisti lze vypočítat maximální šířku tabule, která je v každém okamžiku stříhána: bmax = t . tg α = 875 mm. Průřez, který je maximální možnou hodnotou v každém okamžiku střihu, je dán: Smax = t . bmax = 0,00875 m2. 4. Dosadíme do základního vztahu pro smyk. Jedinou neznámou je zde síla: Fmin = Smax . τps = 3 675 kN. Pozn. Vypočítaná síla je skutečně minimální, a proto její skutečná hodnota musí být podstatně větší. Důvodem je rozptyl hodnot pevnosti materiálu ve smyku a potřeba určité rezervy.
-101-
3.7 KRUT Krut je posledním typem jednoduchého namáhání. Již rozborem jeho základního vztahu poznáme, že napětí je zde tangenciální, a proto vnější zatěžující účinek leží v rovině průřezu. Vnějším zatížením je zde kroutící moment. Velikost kroutícího momentu je dána součinem ramene a kolmé síly. V geometrické interpretaci je tento součin rovina. Tedy analogie ohybového momentu, kde jsme také ohybový moment a jeho průběh chápali jako rovinný obrazec. Základním vztahem je: Mk τk = ——, Wk kde: τk [MPa] napětí v krutu, Mk [N.m] kroutící moment jako vnější zatěžující účinek, Wk [m3] průřezový modul v krutu. Deformací prutu je zkroucení jeho průřezu podél osy prutu.
SPSKS Obr. 52 Schéma zkroucení průřezu podél osy Ve jmenovateli rovnice opět nalézáme průřezový modul v krutu, který má rozměr m3. To znamená, že napětí je po průřezu rozloženo nerovnoměrně. Nezáleží zde na velikosti průřezu, ale na jeho rozmístění v souřadném systému. Nalezení hodnot Wk je mnohem obtížnější, než tomu bylo u ohybu a přesahuje problematiku střední školy. Nejčastějším průřezem, kterým namáháme (kterým přenášíme) krut, je kruh a mezikruží. Bez odvozování si uvedeme hodnotu průřezového modulu v krutu pro kruh: π . d3 Wk = ——. 16 Jeho numerická hodnota je tedy dvojnásobná oproti průřezovému modulu v ohybu pro kruhový průřez. Pokud potřebujeme znát hodnotu průřezového modulu v krutu pro mezikruží, použijeme standardní postup.
-102-
Průběh napětí po průřezu je nerovnoměrný. Na povrchu je napětí v krutu největší, v ose těžiště klesá na 0. Mluvit o kladném napětí v krutu a záporném napětí v krutu, nemá smysl. Není to srovnatelné s protikladem tah - tlak. Stejný případ je i u smyku.
Obr. 53 Schéma průběhu napětí v krutu po průřezu Pro konstrukci hřídelí, které přenášejí krut, je evidentní, že pokud konstrukce vyžaduje nízkou hmotnost, použijeme duté hřídele, kde se zbavíme nefunkční hmoty kolem osy součásti. Př. Vypočítejte průměr hřídele, který má být namáhán pouze krutem. Hřídel má přenášet výkon P = 8 kW při otáčkách n = 25 s . Materiál hřídele je ocel 11 500.
SPSKS
Řešení: 1. Protože základní vztah pro krut vyžaduje znalost kroutícího momentu Mk, vypočítáme proto velikost kroutícího momentu z výkonu a otáček: P Mk = ——— = 50,92 N . m. 2.π.n
2. Základní rovnici krutu napíšeme ve tvaru: Mk 16 . Mk τk = ———— = ———— . (π . d3) / 16 (π . d3)
3. V tabulkách nalezneme hodnotu dovoleného napětí v krutu podle zadaného materiálu: τDk = 95 MPa. 4. Jedinou neznámou v základní rovnici pro krut je průměr hřídele: d = (16 . Mk/G . Jp)1/3 = 13,9 mm – volíme průměr 15 mm. Pro krut kruhového průřezu platí v rámci Hookeova zákona (po mez elasticity) deformační rovnice: Mk . l φ = ———, G . Jp -103-
kde: φ [-] úhel zkroucení podél osy prutu, 1 [m] délka prutu, Mk[N.m] kroutící moment, G [MPa] modul pružnosti v krutu, Jn [m 4] polární moment plochy. Polární moment plochy souvisí s kvadratickými momenty plochy kruhového průřezu k osám z a y. Jeho hodnota je bez odvozování: π . d4 Jp = ———. 32
Obr. 54 Zkroucení hřídele
SPSKS
Př. Vypočítejte průměr hřídele, který má přenášet pouze krut. Přenášený výkon P = 10 kw, otáčky hřídele n = 15 s, délka hřídele je l = 2 m. Materiál hřídele je ocel 11 600. Výpočet průměru proveďte s ohledem na mezní stav elasticity a mezní stav deformace, kdy dovolené zkroucení φ = 1°. Řešení: 1. Ze zadání vypočítáme kroutící moment, který hřídel přenáší: P Mk = ———— = 106,1 N . m. 2.π.n 2. V tabulkách vyhledáme hodnotu napětí v krutu na mezi elasticity: τ ek = 180 MPa. 3. Pro výpočet průměru hřídele, vzhledem k meznímu stavu elasticity, použijeme stejný vztah jako v předcházejícím příkladu. Do vztahu však dosadíme nikoli dovolené napětí v krutu, ale napětí v krutu na mezi elasticity τek:
d1 = (16 . Mk/π . τek)1/3 = 14,4 mm. 4. Z deformační rovnice lze vypočítat potřebný průměr dosazením mezní hodnoty zkroucení. Tato hodnota se dosazuje v radiánech! Mk . l 32 . Mk . l φ = ——— = —————, z toho dále vyplývá d2 = (32 . Mk . l/G . Jp . φ)1/4 = 35,1 mm. G . Jp G . π . d4
-104-
Pozn. Předchozí příklad ilustruje skutečnost, že pokud budeme počítat hřídel vzhledem k meznímu stavu deformace, budou se rozměry hřídele zvětšovat se zvyšováním požadavku na menší deformace. Dochází zde k jevu, který jsme nalezli již u tahu. Ze zkroucení hřídele lze vypočítat hodnotu natočení průřezu, kterou požadujeme např. při výpočtu torzních tyčí. 3.8 VZPĚR (STABILITA PRUTŮ) Vzpěr je prvním namáháním, které nelze považovat za elementární. Jde o kombinaci ohybu a tlaku. Oba typy napětí, jsou-li chápány samostatně, vyvozují vnitřní sílu - normálové napětí. V kapitole tlak bylo poukázáno na skutečnost, že prut budeme posuzovat na tlak, bude-li mít určitou délku. Pokud bude délka větší, bude se jednat o vzpěr. Z nám známých rovnic pro tlak a ohyb je patrné, že se tu střetávají vnější zatížení osamělou silou s ohybovým momentem (čitatel) a velikost průřezu s průřezovým modulem v ohybu (jmenovatel): F σd = — S
Mo σo = —————. Woz (Woy)
Nejdříve si vytvoříme určitý myšlenkový postup. Vezmeme libovolný prut, který se vyznačuje určitým průřezem a kvadratickým momentem. Pokud budeme zatěžovat osovou silou, krátký prut bude namáhán tlakem. Důsledkem namáhání tlakem je změna průřezu, který se bude zvětšovat. Postupně budeme zvyšovat délku prutu až namísto zvětšování průřezu, prut vybočí od svojí osy ve směru kolmém na osu, ke které je menší kvadratický moment plochy. Vlastnost, která dokáže oddělit v délce prutu vzhledem k průřezovým charakteristikám prostý tlak od vzpěru, nazýváme štíhlostní poměr.
SPSKS
l λ = —, i kde λ [-] štíhlostní poměr, l [m] délkový rozměr součásti, i [m] poloměr osového momentu, i = (J/S)1/2 -105-
Z geometrických charakteristik navrženého prutu jsme schopni vypočítat hodnotu štíhlostního poměr rozhoduje o tom, podle které teorie budeme vzpěr posuzovat. Hranicí mezi teoriemi Tetmajera a Eulera je mezní štíhlostní poměr λm.
Obr. 55 Diagram kritického napětí v závislosti na štíhlosti prutu Má-li navržený prut štíhlostní poměr menší než mezní štíhlost pro daný materiál, výpočet se provádí na tlak nebo podle rovnic Tetmajera. Je-li naopak vypočítaný štíhlostní poměr větší než mezní, výpočet se provádí podle Eulerových rovnic. materiál
SPSKS λm
dřevo šedá litina uhlíková ocel
10 80 90-105
pružinová ocel
60
dural
60
Př. Vypočítejte štíhlostní poměr součástí (1, 2, 3, 4) a určete, podle jaké teorie by byl prováděn výpočet. Materiál všech součástí je konstrukční ocel běžné jakosti (λm = 100).
-106-
Řešení: 1. Pro všechny pruty vypočítáme nebo nalezneme v tabulkách velikosti průřezů a minimální kvadratický moment. Pro přehlednost výsledky zapíšeme do tabulky. 2. Vypočítáme poloměr osového momentu pro jednotlivé úlohy a určíme i hodnotu štíhlostního poměru λ . Výsledky zapíšeme do tabulky. 3. Ze srovnání λm určíme, zda výpočet bude prováděn na tlak nebo podle Eulerových rovnic. č. souč. 1 2 3 4
S [m2] 0,706 . 1,2 . 0,8 . 1,06 .
Jmin [m4] -3
10 10-3 10-3 10-3
0,0397 . 0,04 . 0,0066 . 0,122 .
-6
10 10-6 10-4 10-8
i [m]
λ [-]
výpočet
0,0075 0,0057 0,0071 0,0107
113 79 105 224
Euler tlak Euler Euler
Eulerovy rovnice Eulerovy rovnice řeší pružnou oblast vzpěru. Řešením rovnice je hledání kritické síly Fkr, kterou je prut schopen přenést v pružné oblasti v závislosti na jeho materiálu a geometrických charakteristikách. Vzpěr je zde uvažován ve čtyřech možných modifikacích podle stupňů volnosti konců prutu. Ten může být volný, vázaný kloubem nebo vetknutý.
SPSKS Základním Eulerovým vztahem je: π2 . E . Jmin Fkr = ——————, n . k v . l2 kde: Fkr [N] E [MPa Jmin [m4]
kritická síla, modul pružnosti v tlaku, nejmenší kvadratický moment plochy, -107-
n [-] k [-] l [m]
koeficient vyjadřující druh vazby obou konců prutu, koeficient bezpečnosti proti vybočení, délka prutu.
Postup výpočtu, kdy navrhujeme prut s tím, že bude namáhán pružným vzpěrem, ilustruje následující příklad. Př. Pro vodojem o hmotnosti nádrže m = 15 t a výšce h =15 m navrhněte sloup v oblasti pružného vzpěru. Sloup uvažujte o průřezu mezikruží (trubka).
Řešení: 1. Reálnou úlohu nahradíme matematickým modelem, který je totožný s případem vzpěru 1, tj. jeden konec vetknutý, druhý volný.
SPSKS
2. Hmotnost nádrže nahradíme silou vzniklou gravitací: F = m .g = 147 150 N.
3. Dosadíme do vztahu Eulerovy rovnice pro první případ. Koeficient bezpečnosti kv = 2 (nalezneme jej v tabulkách): π2 . E . Jmin Fkr = ——————. 4 . kv . l 2 Jedinou neznámou ve vztahu je Jmin. Pro rotačně symetrický průřez trubky je J vůči souřadnému systému indiferentní. Provedeme výpočet J, přičemž za kritickou sílu dosadíme zatěžující sílu: 4 . F . kv . l 2 J = —————— = 0,1277.10-3 m4. π2. E Volím trubku 320 x 12 Pozn. Z rovnic platných pro vzpěr plyne, že velikost kritické síly nezávisí na jakosti materiálu (v rámci ocelí). Nemá proto smysl pro součásti namáhané vzpěrem používat drahé a kvalitní materiály. Jedinou souvislostí mezi vzpěrem a jakostí materiálů je hranice určená štíhlostním poměrem λm, kdy vysoce pevné materiály mají menší hodnotu mezního štíhlostního poměru. Pro první případ vzpěru (volný konec) je vhodné používat průřez trubky, protože jeho kvadratický moment plochy je nezávislý na souřadné soustavě. Pro ostatní případy je nutné volit průřez tak, aby nebyl kvadratický moment vzhledem k rovině kolmé na rovinu deformace vzpěrem zbytečně vysoký. -108-
Příkladem složitějšího výpočtu součásti na vzpěr je např. ojnice spalovacího motoru. Pro její výpočet potřebujeme v jedné ose použít Eulerovu rovnici pro druhý případ a pro druhý směr Eulerovu rovnici pro čtvrtý případ.
konstrukční provedení
mat. model v rovině z-x v rovině y-x
Obr. 56 Schéma matematického rovinách
modelu pro výpočet ojnice spalovacího motoru ve dvou
3.9 CYKLICKÉ NAMÁHÁNÍ Průřezy a rozměry součástí jsme doposud určovali s ohledem na mezní stavy, které se dají odečíst ze zkoušky normalizované zkušební tyčinky na jeden cyklus (tj. síla monotónně vzrůstá až do destrukce vzorku). Bezpečnost jsme zde vyjadřovali určitou číselnou hodnotou vzhledem k meznímu stavu určitého materiálu. Předpoklad zatížení konstantní silou je však v praxi velmi vzácný, např. zatížení sloupů el. vedení apod. Většina strojních i stavebních konstrukcí je zatížena proměnlivými silami v čase a mnohdy zde navíc alternují znaménka síly, např. tah - tlak.
SPSKS
Proměnlivé zatížení může mít v zásadě charakter: - periodického zatížení, - aperiodického zatížení.
Periodické zatížení je v čase pravidelná změna vnějšího zatížení. Matematickým modelem průběhu vnějšího zatížení v čase je sinusovka. Aperiodické zatížení je v čase naprosto nepravidelná změna vnějšího zatížení. Takové zatížení má stochastický charakter a nedá se obvykle modelovat žádnou jednoduchou matematickou funkcí.
periodický Obr. 57 Průběh zatížení
aperiodický
Pozn. Ostrá hranice mezi periodickým a aperiodickým zatížením neexistuje. U mnoha průběhů zatížení aperiodických lze s určitou chybou považovat zatížení za periodické. I aperiodické zatížení je do značné míry řešitelné. -109-
Periodické zatížení lze ještě dále dělit na: - pulzující, - míjivé, - střídavé – symetrické, - asymetrické.
SPSKS Pozn. Silně vytištěné římské číslice vyjadřují způsob zatížení, podle kterého vyhledáváme dovolené napětí vzhledem k meznímu stavu únavy. ÚNAVA MATERIÁLU Únavou materiálu nazýváme jev, při kterém dojde k destrukci normalizovaného vzorku po dosti velkém počtu zatěžovacích cyklů. Destrukce probíhá u houževnatých i křehkých materiálů obvykle bez viditelných počátečních změn nebo deformací, proto je velmi nebezpečná. Pokud budeme zatěžovat zkušební vzorek vnějším zatížením na přesnou hodnotu napětí a periodicky měnit jeho hodnotu podle některé skupiny zatíženi (viz předcházející tabulka), získáme tzv. Wöhlerovu křivku. Protože počty cyklů, které musí být provedeny, jsou v řádech milionů a desítek milionů, je nutné na vodorovnou osu vynášet počty cyklů v logaritmické stupnici.
-110-
Obr. 58 Wöhlerova křivka Na svislou osu vynášíme velikost maximálního výkmitu napětí zkušebního vzorku. Výsledná křivka je dána statistikou obvykle 90% pravděpodobnosti destrukce vzorku po n cyklech. Z matematického hlediska je Wöhlerova křivka hyperbolou. Její hodnota se asymptoticky přibližuje k hodnotě σc , což je tzv. mez únavy materiálu. Mez únavy materiálu je takové napětí, které vydrží zkušební vzorek nekonečný počet cyklů. Druhá větev hyperboly se blíží svislé ose, kterou protíná v hodnotě σpt, σps . Jsou to tedy hodnoty meze pevnosti, kdy vzorek vydrží pouze jeden cyklus a je porušen (například klasická zkouška tahem). Existuje ještě pojem nízkocyklové únavy, protože při nízkém počtu zatěžujících cyklů lze nalézt určité teorie, které souvisejí s vlastnostmi materiálu (např. zpevňováním). Jejich použití však patří odborníkům. Pokud tedy navrhujeme součást, která má být namáhána periodickým zatížením, musíme se rozhodnout pro dvě filozofie návrhu:
SPSKS
1. Součást dimenzujeme s ohledem na mezní stav únavy. Výpočet provádíme tak, že dovolené napětí, které hledáme v tabulkách, nalézáme pro střídavé zatížení pod symbolem III. Pro zatížení míjivé nebo pulzující nalézáme dovolené napětí pod symbolem II. Mezi součásti, které takto dimenzujeme, patří ocelové konstrukce mostů, rámy strojů, spojovací materiál apod. 2. Součást dimenzujeme nad mez únavy materiálu. V takovém případě je nutné určit životnost součásti nebo celého agregátu, např. v provozních hodinách. Mezi takovéto součásti patří valivá ložiska, agregáty leteckých motorů, raketové motory apod. Tato filozofie návrhu zajišťuje nízkou hmotnost, ale vyžaduje řízení procesu opotřebení. Celé zařízení musí mít během provozu výrobcem určeny uzly, kdy budou součásti vyměněny. Po výměně je nutné součásti i celé agregáty likvidovat a nelze je již použít. Výpočet součásti, která je cyklicky namáhána, souvisí tedy s určením skupiny dovoleného napětí. V praxi se používají ještě tzv. Smitovy diagramy, které umožňují s vysokou pravděpodobností určit životnost konstruované součásti, ale jsou dosti složité a nedostupné. K jejich získání jsou zapotřebí obrovská množství údajů pro každý druh materiálu, což znamená vysoké náklady na jejich pořízení. Př. Vypočítejte průměr táhla, které má udržet v gravitačním poli Země zařízení o hmotnosti m = 10 t. Průřez táhla nechť je kruhový a materiál táhla ocel 11 500. Výpočet provádějte s ohledem na: 1. Mezní stav elasticity, 2. Mezní stav pevnosti, 3. S předpokladem použití dovoleného napětí, 4. S ohledem na míjivé zatížení (součást zvedáme a pokládáme), 5. S ohledem na střídavé zatížení (mění se znaménko gravitačního zrychlení - tah - tlak), 6. Mezní, stav deformace, kdy je přípustné maximální prodloužení 1 = 0,5 mm. Řešení: 1. Vypočítáme zatěžující sílu F = m.g = 98 100 N. 2. 1 Průměr s ohledem na mezní stav elasticity bude: -111-
d1 = (4 . F/π . σkt)1/2 = 21,5 mm.
2.2 Průměr s ohledem na mezní stav pevnosti bude: d2 = (4 . F/π . σpt)1/2 = 15,8 mm. 2. 3 Průměr s předpokladem použití dovoleného napětí: d3 = (4 . F/π . σDt)1/2 = 29,3 mm. 2.4 Průměr s ohledem na míjivé zatížení: d4 = (4 . F/π . σII)1/2 = 33,7 mm. 2.5 Průměr s ohledem na střídavé napětí: d5 = (4 . F/π . σIII)1/2 = 35,7 mm. 2.6 Průměr s ohledem na mezní stav deformace: d6 = (4 . F . l/E . ∆l .π )1/2 = 77,1 mm. Pozn. Předcházející příklad názorně ukazuje, že podobný výpočet v pružnosti a pevnosti je poměrně snadno algoritmizovatelná úloha. Konstrukční požadavky se zde vyjadřují definicemi mezních stavů elasticity (pružnosti), pevnosti, „normálních požadavků“ symbolizovaných dovoleným napětím, míjivým a pulzujícím zatížením, střídavým zatížením až po mezní stav deformace. Ve výpočtu se mění pouze numerické hodnoty mezních stavů. Pokud mají reálné součásti velké rozměry, je největším problémem mezní stav deformace. Velmi dobře jej lze řešit u tahu, tlaku a krutu kruhových průřezů. Mezní stav deformace u ohybu nebo krutu obecného průřezu je dosti složitý problém a nelze jej vyřešit v rámci středoškolské matematiky. Základní vztahy pro deformaci jsou v kapitole 3.1.
SPSKS
3.10 KOMBINOVANÉ NAMÁHANÍ Z hlediska pružnosti pevnosti lze namáhání rozdělit na prosté, kdy dochází k zatížení pouze jedním elementárním napětím. Prosté zatížení je tah, tlak, ohyb, smyk a krut. Za kombinované namáhání považujeme např. vzpěr, který však má analytické řešení v podobě rovnic. Kombinovaným namáháním budeme myslet kombinaci nejméně dvou prostých namáhání. Takovým namáháním byl např. předpjatý nosník. Ten je namáhán ohybem od vnějšího zatížení a navíc tlakem ve formě předpětí. Vypočítat výsledné napětí, které je nutné pro porovnání s mezním stavem, bylo jednoduché:
σv je zde superponované napětí. Je na průřezu největším napětím, a proto jej porovnáváme s mezním stavem, např. s dovoleným napětím v tlaku. Jednoduchost takového postupu je dána tím, -112-
že obě prostá napětí jsou normální, a proto je lze jednoduše algebraicky sečíst. Problém nastává tehdy, když je kombinované namáhání složeno z kombinace tangenciálního a normálového napětí. Tato napětí jsou rozdílná svojí povahou a nelze je proto jednoduše algebraicky sečíst. Druhou otázkou je, k jakému meznímu stavu napětí porovnávat. Dodnes není tento úkol zcela uspokojivě vyřešen a existuje několik teorii, které dokáží výsledná napětí, určená superpozicí vnějších zatížení, přepočítat na jakési redukované napětí σred. Toto napětí se potom porovnává s mezním stavem podle požadavku. Nejpoužívanější jsou dvě teorie. Bez uvedení podrobností zde budou uvedeny jejich základní vztahy: teorie maximálního smykového napětí σred = (σ2 + 4τ2)1/2,
σred = (σ2 + 3τ2)1/2.
teorie HMH
Postup výpočtu se superponovaným zatížením předpokládá použití iteračního postupu. Tedy rozměr je navržen, následuje postupný výpočet prostých napětí. Výsledky normálových a tangenciálních napětí se sečtou. Součty normálových a tangenciálních napětí se dosadí do jednoho ze vzorců. Redukované napětí se porovná s mezním stavem. Pokud nevyhovuje, změníme rozměr a výpočet se opakuje. Př. Vypočítejte průměr hybného hřídele, který má přenášet výkon P = 15 kW, při otáčkách n = 20 s-1. Zároveň je uprostřed své délky zatížen osamělou silou F = 10 kN. Materiál hřídele je 11 600 a předpokládáme míjivé zatížení.
SPSKS
Řešení: 1. Vypočítáme velikost kroutícího momentu: M
P k = ——— = 119,4 N . m. 2. π . n
2. Vypočítáme maximální ohybový moment a zakreslíme jeho průběh:
-113-
F.a.b Momax = ———— = 2 000 N.m. l 3. Navrhneme průměr hřídele pro maximální zatížení (uprostřed): d volím 60 mm. 4. Vypočítáme velikost napětí od prostého ohybu: Mo σo = —— = 94,31 MPa. Wo 5. Vypočítáme velikost napětí od prostého krutu: M
k τk = —— = 28,15 MPa. Wk 6. Výsledná napětí dosadíme např. do vztahu pro teorii HMH: σred = (σ2 + 3τ2)1/2 = 106,6 MPa
SPSKS
7. Redukované napětí porovnáme s dovoleným napětím pro materiál 11 500 a míjivé zatížení: σred < σIII
- navržený hřídel vyhovuje.
Pozn. Z uvedeného příkladu je vidět, že největší zatížení hřídele je v místě působiště osamělé síly. Kroutící moment je po délce hřídele konstantní (tak tomu bývá). Proto lze dále spekulovat s průměry hřídele v ostatních řezech a konstrukcí se tak přibližovat nosníku konstantního napětí. Tento druh výpočtu svojí podstatou vyžaduje určitou zkušenost při přibližování se výsledku. Je teoreticky možné pracovat s takovým matematickým modelem, který by v sobě "nesl" jednu z teorií a rozměr bychom vypočítali z uzavřeného vztahu. Výsledek bychom však získali řešením rovnic vyšších stupňů, což ale činí značné potíže. Skládáním nehomogenních napětí vzniká v objemu těles tzv. napjatost. Je to veličina, která je ještě složitější než vektor, protože patří mezi tzv. tenzory. Pro její úplné určení je třeba obecně devíti čísel. Pro napjatost platí určitá symetrie, a proto postačí šest čísel. Takto lze vytvářet napjatosti, které umožňují technologické zpracováni materiálu, např. stříhání, objemové tváření, plošné tváření apod.
-114-
4.0 ÚVOD DO KINEMATIKY Mechanický pohyb je jednou z forem neustálého pohybu a změn hmotného světa. V kinematice budeme mechanický pohyb vyšetřovat bez ohledu na jeho příčiny. Pohyb definujeme jako změnu polohy bodu (tělesa) v prostoru. Podobně jako ve statice je nutné určit polohu bodu pomocí souřadného systému. Tady je pro výpočty velmi důležité zvážit počet souřadnic, které potřebujeme pro vyřešení konkrétní úlohy. Pokud budeme řešit např. pohyb vozidla po silnici, pohyb vlaku apod., lze použít jednorozměrného prostoru. Složitější pohyb je nutné řešit v souřadném systému s více rozměry. Souřadný systém může být: - pevný, pak mluvíme o absolutním pohybu, - pohyblivý, mluvíme o relativním pohybu. 4.1 ZÁKLADNÍ POJMY Dráha (trajektorie) je spojnice všech poloh, jimiž bod při pohybu prochází. Podle počtu rozměrů se jedná o úsečku (jednorozměrný prostor), dvourozměrnou křivku (dvourozměrný prostor) nebo o trojrozměrnou křivku (trojrozměrný prostor). Symbolem dráhy bude "s" [m]. Rychlost je poměr dráhy a jednotky času, symbolem je "v" [m.s-1]. Podle délky časového úseku rozeznáváme: - průměrnou rychlost, kdy je časový úsek dlouhý. Používáme ji k orientačním účelům a tam, kde víme, že se rychlost příliš nemění, - okamžitou rychlost, zde je časový úsek z matematického hlediska nekonečně krátký (je to průměrná rychlost nekonečně krátkého časového okamžiku). Je pro technickou praxi důležitá, protože postihuje změny rychlosti. Jedná se obecně o vektorovou veličinu, proto ji znázorňujeme orientovanou úsečkou a k jejímu úplnému popisu je třeba znalostí více hodnot. Zrychlení je podíl změny rychlosti za časový úsek. Jeho symbolem bude "a" [m.s-2]. Pro výpočty budeme používat termínu rovnoměrné zrychlení. Tento termín znamená, že hodnota podílu rychlostí za jednotku času je konstantní. Nejznámějším rovnoměrným zrychlením je zrychlení gravitační g = 9,806 m.s-2. Protože zrychlení je podílem rozdílu rychlosti (vektorová veličina), časem (skalární veličina), bude i zrychlení vektorovou veličinou. Vzhledem k vektorům rychlosti může nabývat kladného i záporného znaménka. Kladné zrychlení budeme předpokládat u pohybu rovnoměrně zrychleného, záporné zrychlení u pohybu rovnoměrně zpomaleného. Čas je z fyzikálního hlediska čtvrtým rozměrem, byl definován v úvodní kapitole Technické mechaniky. Jeho symbolem bude t [s]. Přímočarý pohyb (translační) je pohyb, jehož trajektorie je přímka bez ohledu na počet rozměrů souřadné soustavy. Křivočarý pohyb je pohyb, kterého trajektorie je obecnou křivkou. Rovnice dráhy může být rovinná nebo prostorová křivka. Rotační pohyb je pohyb tělesa kolem osy, kdy se nemění poloha těžiště v souřadné soustavě.
SPSKS
4.2 KINEMATIKA BODU 4.2.1 ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Rychlost jako vektor leží v případě přímočarého pohybu na přímce, která je totožná s dráhou bodu. K jejímu určení tedy stačí znát velikost, jenž je při rovnoměrném pohybu konstantní. Zde není nutné rozlišovat mezi rychlostí okamžitou a střední. Počáteční podmínky pro výpočet mohou být: - počáteční dráha je nulová, pak: ∆s s-0 v = —— = ——— = konst. ∆t t-0 -115-
- počáteční dráha není nulová, pak: ∆s s - sQ v = —— = ——— = konst. ∆t t – t0 Grafická interpretace rovnic kinematiky je nejlépe patrná z diagramů t - v. Plocha pod čarou pak znázorňuje dráhu.
Obr. 59 Schéma rovnoměrného přímočarého pohybu v diagramu t - v
SPSKS
Velikost dráhy s nemusí být vždy triviální úloha, pokud se jedná o dvou a třírozměrný prostor. Zde musíme vypočítat rovinnou nebo prostorovou vzdálenost mezi dvěma body přímkové trajektorie. Př. Vypočítejte, jakou rychlostí projel vlak mezi kilometrovníkem 35 a 38, když tuto dráhu zdolal za 90 s. Řešení: 1. Vlak se pohybuje po kolejích, které můžeme považovat za jednorozměrný prostor. Velikost dráhy vypočítáme: ∆s = s – s0 = 38 - 35 = 3 000 m. 2.. Časový úsek je přímo určen t = 90 s. 3. Rychlost je dána: ∆s v = — = 33,33 m.s-1. ∆t Př. Vypočítejte rychlost, jakou se pohybuje loď, která v čase t = 150 s změnila polohu podél hráze o x = 3 00 m a napříč hráze o y = 100 m. Řešení: 1. Jedná se zde o dvourozměrný pohyb, a proto musíme zvolit souřadný systém x - y. S výhodou položíme počátek souřadné soustavy do počáteční polohy těžiště lodi. 2.. Z rozdílu souřadnic vypočítáme dráhu, kterou loď ujela. K výpočtu dráhy postačí použití Pythagorovy věty: s = (x2 + y2)1/2 = 316,22 m. -116-
3. Vypočítáme rychlost: s v = — = 2,l m.s-1. t Př. Vypočítejte rychlost, jakou se pohybuje letadlo, které změnilo v prostoru polohu za čas t = 10 s. Počáteční poloha byla: xQ = 1 500 m, yQ = 1 000 m, zQ = 250 m. Po uplynutí času zaujalo polohu: x = 2 000 m, y = 500 m,
SPSKS
z = l 000 m. Řešení: 1. Pohyb letadla je v trojrozměrném prostoru, kde osu z budeme považovat za výšku. Souřadný systém zvolíme obecně. 2. Vypočítáme rozdíl poloh pro jednotlivé souřadnice: ∆x = x - x0 = 500 m, ∆y = y - yQ = -500 m, ∆z = z - zQ = 750 m.
-117-
3. Vypočítáme dráhu pohybu letadla pomocí dvakrát použité Pythagorovy věty (je to tělesová úhlopříčka): s = (x2 + y2 + z2)1/2 = 1 030,77 m. 4. Vypočítáme rychlost: s v = — = 103,077 m.s-1. t Řešení předcházejících dvou úloh je možné i jinou cestou. Ve zvoleném souřadném systému vypočítáme složky rychlosti vx, vy, vz. Výsledná rychlost je dána vektorovým součtem jednotlivých složek rychlosti. Tato operace je možná, protože vektor je orientovaná úsečka a výslednice jeho složek v pravoúhlém souřadném systému je tělesová úhlopříčka. Řešení příkladu pohybu letadla pak může být: ∆x vx = —— = 50 m.s-1, t ∆y vy = —— = 50 m.s-1, t ∆z vz = —— = 75 m.s-1. t
SPSKS
Výsledná rychlost bude dána: v=
(vx2
2
+ vy +
vz2)1/2
= 103,077 m.s-1.
Pozn. Pro výpočet složky rychlosti ve směru y by dosazením za složku dráhy vyšla záporná rychlost. Záporná rychlost má fyzikální význam v tom, že její směr vektoru směřuje proti přírůstku souřadnice. Pohyb bodu zmenšuje souřadnici (blíží se k počátku). Př. Vypočítejte dráhu, kterou ujel automobil při konstantní rychlosti v = 25 m.s -1 za čas t = 45 s. Řešení: 1. Dráhu vypočítáme podle vztahu: s = v . t = 1 125 m 2. Grafická interpretace znamená, že počítáme v souřadnicích t - v plochu obdélníka.
-118-
4.2.2 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Již jsme uvedli, že zrychlení je při tomto pohybu konstantní. V diagramu t - v na obrázku je vidět, jak vypadá průběh rychlosti, která se mění s konstantním zrychlením. V zásadě může průběh rychlosti vycházet z počátku souřadné soustavy. A to v případě, když se bod začíná pohybovat rovnoměrně zrychleným pohybem z klidu (v0 = 0). Druhou možností je, že graf zrychleného pohybu nevychází z počátku souřadné soustavy, když zrychlení navazuje na nenulovou počáteční rychlost.
Obr. 60 Průběhy zrychlení v diagramu t-v Sklon přímky v souřadném systému (jeho směrnice) je určující pro velikost zrychlení. Čím bude zrychlení větší, tím bude jeho přímka strmější. Pokud je směrnice větší než φ = 90° je zrychlení záporné, tedy zpomalení. Číselná hodnota rovnoměrného zrychlení je: ∆v a=—. ∆t
SPSKS
Je to rozdíl rychlosti dělený časem a ten musí být konstantní. Obráceně to znamená, že rychlost se mění každou následující sekundu o stejnou hodnotu. Dráha, kterou vykoná bod při rovnoměrně zrychleném pohybu, je dána opět plochou pod grafem. Tato je tvořena kombinací trojúhelníků a obdélníků.
pro vQ = 0
pro vQ není = 0
Obr. 61 Velikost dráhy u rovnoměrně zrychleného pohybu Př. Vypočítejte a uveďte v tabulce, jakou rychlostí se bude pohybovat hmotný bod na konci každé sekundy, když jeho počáteční rychlost vQ = 0 m . s-1 a zrychlení je a = 2 m.s-2. Nakreslete průběh zrychlení do diagramu t - v. Vypočítejte dráhu, kterou na konci každé sekundy urazí bod, a zapište do tabulky.
-119-
Řešení: ∆v 1. Ze vztahu a = — budeme hledat velikost rychlosti: ∆t v = a.t , kdy rychlost chápeme jako okamžitou. Za čas zde budeme dosazovat podle zadání 1, 2, ...n sekund v oboru přirozených čísel a výsledky zapíšeme do tabulky. 2. Dráhu na konci každé sekundy vypočítáme ze vztahu: a.t2 s = ——. 2 Za t budeme opět dosazovat čas podle zadání: Průběh rychlosti a dráhy v čase se zrychlením a = 2 m.s-2 t [s] 1 2 3 4 5 6 7 v[m.s-1] 2 4 6 8 10 12 14 s [m] 2 4 9 16 25 36 49
8 16 64
9 18 81
10 20 100
SPSKS Př. Vypočítejte okamžitou rychlost a dráhu, kterou urazí bod, jenž se pohybuje rychlostí vQ = 5 m.s -1. V čase tQ začne zrychlovat rovnoměrným zrychlením a = 2 m.s-2. Výsledky uveďte do tabulky a grafu t - v. Řešení: 1. Výpočet okamžité rychlosti bude stejný jako v předcházejícím příkladu. Nesmíme však zapomenout, že počáteční rychlost bodu nebyla nulová, proto ji musíme přičítat: v = vQ + a.t 2. Okamžitá dráha bude rovněž dána součtem rovnoměrného přímočarého pohybu s rychlostí vQ = 5 m.s-1 a pohybu rovnoměrně zrychleného: a . t2 s = v0 t + ——. 2 Průběh rychlosti a dráhy v čase se zrychlením a = 2 m.s-2 s počáteční rychlostí vo = 2 m.s-1
t [s] v[m.s-1] s [m]
1 7 7
2 9 14
3 11 24
4 13 36
-120-
5 15 50
6 17 66
7 19 84
8 21 104
9 23 126
10 25 150
Pozn. Porovnáním obou předcházejících příkladů je evidentní, že okamžitá rychlost je pro nenulovou počáteční rychlost vždy větší o hodnotu vQ = 5 m.s-1. Pro průběh okamžité dráhy přičítáme součin vQ.t. Z diagramu t - v je vidět, že načítáme plochu obdélníka o stranách v0 a t, k nimž přičítáme trojúhelník o straně t a výšce a . t.
Př. Do diagramu t - v zakreslete průběh zrychlení: a1 = 1 m.s-2, a2 = 2 m.s-2, a3 = 3 m.s-2, a4 = -1 m.s
-2
SPSKS
.
Pro zrychlení (zpomalení) a4 volte počáteční rychlost vQ =5 m.s-1. Pro ostatní zrychlení předpokládejte počáteční rychlost vQ = 0. Řešení: 1. Víme, že průběhy rovnoměrně zrychleného pohybu jsou přímky. Ve všech případech známe jejich počáteční bod. Proto k řešení postačí vypočítat jeden další bod v libovolném čase. Jejich spojením získáme přímky, které znázorňují průběh rychlosti v závislosti na libovolném čase. Pro jednoduchost vypočítáme souřadnice bodů (rychlost) pro čas t = 1 s: zrychlení a [m.s-1] 1 2 3 -1
rychlost v čase t = 1 s [m.s-1]
1 2 3 4
-121-
2. Body zakreslíme do diagramu a proložíme přímkou:
Př. Vozidlo se z klidu rozjíždí rovnoměrným přímočarým pohybem se zrychlením a1 = 2 m.s-2 po dobu t1 = 35 s. Poté setrvá na dosažené rychlosti po dobu t2 = 20 s, následuje brždění vozidla se zpomalením a2 = 1,5 m.s-2 až do zastavení. Vypočítejte dráhu, kterou vozidlo ujelo a průběh jeho pohybu zakreslete do diagramu t - v. Řešení: 1. Vypočítáme rychlost, jakou dosáhne vozidlo na konci 35 sekundy a zakreslíme ji do grafu: v1 = a.t1 = 70 m.s-1. 2. Na dosažené rychlosti v1 setrvá vozidlo 20 s, to znamená, že absolutní čas bude 35 + 20 = 55 s. Průběh nakreslíme do diagramu. 3. Závěrečná fáze znamená pohyb rovnoměrně zpomalený se zpomalením a2 = -1,5 m.s-2 (záporné znaménko pro zpomalení). Víme, že počáteční rychlost byla 70 m.s-1 a zastaví se na v = 0. Budeme tedy počítat, jaký čas je potřebný k zastavení vozidla z rychlosti 70 m.s -1 při zpomalení a2:
SPSKS
v1
v1 = a2 . t3 = t3 = —— = 46,6 s. a2
Výsledek zakreslíme do diagramu:
4. Ujetá dráha je plocha pod čarou průběhu rychlosti v závislosti na čase. Z geometrického hlediska tak počítáme plochu lichoběžníka. Zde lze postupovat dvěma cestami: - z pohledu kinematiky lze průběh grafu rozdělit na tři plochy: I - trojúhelník, který charakterizuje pohyb rovnoměrně zrychlený, a 1 . t 12 SI = ——— = 1 225 m, 2 -122-
II- obdélník, který svojí plochou charakterizuje dráhu ujetou vozidlem při rovnoměrném pohybu: SII = v2 . t2 = 1 400 m, III - trojúhelník, který charakterizuje svojí plochou ujetou dráhu během fáze zpomalování: a2 . t32 SIII = —— = 1 632 m, 2 Př. Z kanónu je vypálen granát ve svislém směru s počáteční rychlostí vQ = l 000 m . s-1. Vypočítejte, za jaký čas dopadl granát zpět na zem, jaké maximální výšky dosáhl {dráhy). Řešení: 1. Počáteční rychlost je snižována gravitačním zrychlením, které má směr opačný vektoru počáteční rychlosti. Okamžitá rychlost bude: v = v0 – g . t Jestliže chceme zjistit, jakou dobu letěl granát, než se zastavil, dosadíme do rovnice za levou stranu v = 0. Pravá strana rovnice potom musí splňovat podmínku: v0 v0 = g . t z čehož t = —— = 101,9 s g
SPSKS Doba letu do zastavení granátu trvá stejně dlouho jako doba jeho pádu. Jde pouze o obrácený postup. Verbálně by znělo zadání – „jak dlouho musíme nechat padat granát se zrychlením g, aby dosáhl rychlosti 1 000 m.s-1“. Doba letu granátu až do dopadu bude: tc = 2 . t = 203,8 s
2. Dráha neboli výška, jakou granát dosáhne, je: g . t2 s = —— = 50 931,6 m při stoupání granátu. 2 Výška letu je v grafu dána plochou vzestupné a sestupné větve.
-123-
4.2.3 POHYB BODU PO KRUŽNICI Pohyb bodu po kružnici je ve smyslu rozdělení pohybem křivočarým. Obecnou čarou je zde kružnice. Ta je dána středem a poloměrem. Spojnice středu kružnice s bodem A kružnice se nazývá průvodič (provází pohyb bodu). I kružnici je nutné orientovat v souřadném systému. Nejvýhodnější je však střed kružnice ztotožnit s počátkem souřadné soustavy. Polohu průvodiče budeme označovat v souladu s analytickou geometrií v protisměru pohybu hodinových ručiček polohovým úhlem. Tento úhel však je nutné dosazovat v radiánech! V souladu s kapitolou 4.1 budeme definovat další pojmy: Úhlová rychlost je počet radiánů, o které se pootočí průvodič za jednotku času: ∆φ ω = —— [s-1]. ∆t To znamená, že pokud průvodič vykoná za jednu sekundu jeden oběh, je úhlová rychlost: ω = 2 . π . s-1 . Pokud vykoná n otáček, bude úhlová rychlost: ω = 2 . π . r. Otáčky vyjadřují počet oběhů průvodiče za jednotku času. Rozměr otáček n [s-1] je stejný jako u úhlové rychlosti.
SPSKS
Pozn. Rozměr úhlové rychlosti a otáček je stejný. Rozdíl mezi těmito pojmy je ve vztahu: ω = 2 . π . r. n. Tedy úhlová rychlost má numerickou hodnotu 2 . π krát větší než otáčky. Obvodová rychlost je rychlost ve směru tečny ke kružnici. Označovat ji budeme v [m.s-1]. Její vektor leží na tečně kružnice a orientace je ve směru pohybu bodu. Normálové zrychlení je zrychlení, jehož vektor leží na normále - tedy na průvodiči k bodu A. Směr normálového zrychlení je směrem ven z kružnice (souvisí s pojmem z dynamiky "odstředivá síla"). Označován bude an [m.s-2]. Toto zrychlení existuje vždy, pokud existuje pohyb po kružnici s nenulovou úhlovou rychlostí. Tečné zrychlení je zrychlení, jehož vektor leží na tečně ke kružnici v bodě A. Jeho směr závisí na tom, zda bod mění obvodovou rychlost (úhlovou rychlost) směrem nahoru nebo dolů. Jeho existence je spjata se změnou úhlové rychlosti. Nulovou hodnotu má při konstantní úhlové rychlosti (nebo otáčkách). Označován bude at [m.s-2].
Úhlové zrychlení je změna úhlové rychlosti za jednotku času: ∆ω ε = —— [s-2]. t
Úhlová dráha je ekvivalentní dráze u translačního pohybu. Je to počet radiánů průvodiče za jednotku času: -124-
φ = ω . t [rad] = [-]. Pokud tuto hodnotu podělíme 2 . π, víme, kolik otáček sledovaný bod vykonal za jednotku času.
ustálený ω = konst.
ε=0
neustálený ω ≠ 0
Obr. 62 Pohyb bodu po kružnici Platí základní vztahy: ω=2.π.n v=r.ω v r.ω at = — = —— = r. . ε t t
SPSKS
2
v an = r . ω2 = — r
Při pohybu bodu po kružnici budeme opět využívat grafické interpretace diagramu t - ω. Jde o analogii s translačním pohybem, kde jsme používali diagramu t - v. Mezi rychlostí translačního pohybu v a úhlovou rychlostí rotačního pohybu platí určitá analogie.
rovnoměrný
rovnoměrně zrychlený
Obr. 63 Rotační pohyb v diagramu ω- t
-125-
Př. Setrvačník o průměru 1 000 mm se otáčí kolem své osy otáčkami n = 12 s-1. Vypočítejte úhlovou rychlost, velikost normálového zrychlení a obvodovou rychlost bodu na povrchu setrvačníku. Dále vypočítejte, kolik otáček vykonal bod za dobu t = 12 s. Řešení: 1. Vypočítáme úhlovou rychlost, hodnotu vyneseme do diagramu: ω = 2 . π . n = 75,4 s-1. 2. Normálové zrychlení: an = r . ω 2 = 2 842,4 m . s-2 3. Počet otáček, které setrvačník vykonal za dobu t = 12 s, je dán plochou v diagramu ω - t. Nejprve vypočítáme, o kolik radiánů se průvodič pootočil: φ = t . ω = 904,8 rad Počet otáček je potom dán: φ ot = —— = 144 otáček 2.π
SPSKS Př. Setrvačník o průměru d = 2 m se roztáčí z klidu rovnoměrným úhlovým zrychlením ε1 = 5,5 s-2 po dobu t1 = 35 s. Poté následuje rovnoměrný rotační pohyb po dobu t2 = 10 s. Závěrečnou fází je pak rovnoměrné zpomalování setrvačníku až do zastavení, které trvá dobu t3 - 3 s. Vypočítejte úhlovou rychlost při rovnoměrném pohybu a normálové zrychlení. Při rozběhu a doběhu vypočítejte velikost tečných zrychlení at1, at2. Nakonec vypočítejte, kolik otáček setrvačník vykonal během celého cyklu měření. Průběh výpočtu paralelně vynášejte do diagramu t - ω. Řešení: 1. Vypočítáme úhlovou rychlost, které dosáhne setrvačník na konci 35. sekundy měření: ω = ε . t = 192,5 s-1. 2. Doběh setrvačníku bude s úhlovým zpomalením: ω ε = — = 64,16 s-2. t3 Normálové zrychlení je: an = r . ω 2 = 37 056 m.s-2 3. Velikosti tečných zrychlení jsou úměrné úhlovému zrychlení na rozběhu i doběhu: at1 = r . ε1 = 5,5 m.s-2, at2 = r . ε2 = 64,16 m.s-2. 4. Průběhem grafu je lichoběžník, jeho plocha je úměrná úhlové dráze. Plochu můžeme rozdělit do -126-
třech částí: ε1 . t12 φI = ——— = 3 368,75 rad, 2 φII =
ω2 . t2 = 1 925,00 rad,
φIII=
ε3 . t32 ——— = 288,72 rad. 2
Počet otáček během měření je dán: φI + φII + φIII ot = —————— = 888,5 otáček. 2.π
SPSKS Př. Automobil projíždí směrovým obloukem o poloměru r = 200 m, rychlostí v = 130 km.h-1. Vypočítejte velikost normálového zrychlení a příčný sklon vozovky, který by zaručoval řidiči pohodu. Pohoda zde znamená, že řidič nepociťuje odstředivé síly. Tedy musíme sklon vozovky směrovat jako kolmici na výslednici gravitačního zrychlení a normálového zrychlení. Řešení: 1. Vypočítáme velikost normálového zrychlení: v2 an = — = 6,52 m.s-2. r
-127-
2. Na automobil působí ve svislém směru gravitační zrychlení Země a ve vodorovném směru je to normálové zrychlení. Protože zrychlení jsou vektory, můžeme je vektorově sečíst a nalézt výsledné zrychlení. Jestliže řidičovo tělo bude mít tuto výslednici v ose těla, nepozná při dané rychlosti žádné účinky směrového oblouku. Pouze bude přitlačen do sedačky. Výsledné zrychlení bude podle Pythagorovy věty: av = (an2 + g2)1/2 = 11,77 m.s-2. 3. Sklon vozovky vypočítáme např. pomocí funkce tangens: an tgα = — z toho vyplývá, že α = 33° 36΄. g Př. Pouťová atrakce (centrifuga) má průměr d = 12 m. Vypočítejte, jakých otáček je třeba, aby s bezpečností k = 1,2 mohla pracovat s vodorovnou osou rotace. Řešení: 1. Bezpečnost k = 1,2 znamená, že normálové zrychlení je v poloze těžiště pasažéra v nejvyšším bodě dráhy kabinky rovno an = l,2 . g. Dosazením za gravitační zrychlení získáme potřebnou hodnotu normálového zrychlení: an = l,2 . g = 11,77 m.s-2.
SPSKS 2. Z rovnice vypočítáme potřebnou obvodovou rychlost: v2 an = —, z toho pak vyplývá, že v = (an . r)1/2 = 8,4 m.s-1 r 3. Z obvodové rychlosti vypočítáme potřebnou úhlovou rychlost: v v = r .ω z čehož vyplývá, že ω = — = 1,4 s-1 r otáčky potom budou: ω n = —— = 0,22 s-1 2.π
-128-
4.2.4 TRANSFORMAČNÍ VZTAHY Vztahy, které jsme používali u translačního pohybu a pohybu rotačního, mají některé společné rysy. Rotační pohyb - jako pohyb křivočarý - vyvozuje zrychlení normálové a v případě zrychleného pohybu ještě zrychlení tečné. Pokud se budeme zabývat rotačním pohybem, je výhodné zavést zmíněnou úhlovou rychlost a úhlové zrychlení. Jejich rozměr je [s-1] a [s ]. Z translačního pohybu je to ekvivalentní rychlosti a zrychlení. Jejich rozměry jsou v [m.s-1] a a [m.s-2 ]. V tabulce jsou uvedeny vztahy, které platí pro kinematiku a pro širší použití, i transformační rovnice, které platí v dynamice.
analogie vztahů translačního a rotačního pohybu translační pohyb
rotační pohyb
dráha
s [m]
úhlová dráha
φ [rad] [-]
rychlost
v [m.s-1]
úhlová rychlost
ω [s-1]
zrychlení
a[m.s-2]
úhlové zrychlení
ε [s-2]
normálové zrychlení
an [m.s-2]
tečné zrychlení
at [m.s-2]
obvodová rychlost
v [m.s-1]
SPSKS základní vztahy kinematiky
dráha
rychlost
s = s0 + v . t
a . t2 s = —— 2 v = v0 + a . t
úhlová dráha
φ = φ0 + ω. t
úhlová rychlost
ε . t2 φ = —— 2 ω = ω0 + ε . t
zrychlení v1 – v0 a = ——— t
úhlové zrychlení ω1 – ω0 ε = ——— t obvodová rychlost
v=r.ω
tečné zrychlení
at = r . ε
normálové zrychlení
-129-
v
2
an = — = r . ω2 r
základní vztahy dynamiky hmotnost
m[kg]
moment setrvačnosti
I0[kg . m-2]
síla
F = m . a [N]
moment
M = I0 . ε [N . m]
kinetická energie m.v Ek = —— 2
2
Io . ω2 Ek = —— 2
potenciální energie Ep = F . s
Ep = M . φ
4.3 SLOŽENÝ POHYB Složený pohyb je výsledný pohyb, který vznikne složením dvou na sobě nezávislých pohybů. Protože známe translační pohyb a rotační pohyb, může složení dvou pohybů být: - ze dvou translačních pohybů, - jednoho translačního a jednoho rotačního pohybu, - ze dvou rotačních pohybů.
SPSKS
Obecné řešení složení pohybů předpokládá znalost základních operací s vektory, protože rychlost i zrychlení jsou vektorové veličiny. Trajektorie (dráha) je potom výsledkem práce s vektory, ze kterých vyloučíme čas. Pohyb složený ze dvou translačních pohybů Vektory dvou translačních pohybů mají obvykle podmínku, že leží v jedné rovině (nejsou mimoběžné). V rovině mohou být navzájem rovnoběžné nebo různoběžné. Rovnoběžné vektory postačí algebraicky sečíst, jak tomu bylo např. ve statice se silami v jednorozměrném prostoru.
Př. Z nadzvukového letadla, které se pohybuje rychlostí v1 = 600 m.s-1, byla vypálená střela ve směru letu. Její počáteční rychlost v2 = 800 m.s-1. Vypočítejte, jaká byla rychlost střely vzhledem k pevné soustavě – Zemi.
Řešení: 1. Obě rychlosti mají stejný směr pohybu a osa letu odpálené střely je totožná s osou pohybu letadla, proto lze výslednou rychlost vypočítat algebraickým součtem obou rychlostí: v = v1 + v2 = 1 400 m.s-1.
-130-
Př. Zadání je totožné s předcházejícím příkladem, pouze střela byla vypálená v protisměru letu (za sebe). Řešení: 1. Oba vektory rychlosti leží na jedné přímce, ale jejich směry jsou opačné. Výsledek je tedy dán algebraickým rozdílem obou vektorů. v = v1 – v2 = -200 m .s-1. Znaménko mínus zde znamená, že pohyb střely oproti zemskému povrchu bude proti směru pohybu letadla. Ten jsme pokládali za kladný.
SPSKS
Jsou-li vektory různoběžné, úlohu řešíme, v souladu s algoritmy používanými ve statice, rozložením na kolmé složky. Jejich výslednice tvoří pravoúhlý trojúhelník, který má snadné řešení. Většina podobných úloh má sama o sobě pravoúhlý charakter, a proto jsou jednodušší. Obvykle sčítáme pouze dvě rychlosti, proto vystačíme s vektorovým součtem rychlostí.
Př. Plavec plave napříč říčním korytem rychlostí v1_= 1 m.s-1. Rychlost proudu v řece je v2 = 2,5 m.s -1. Vypočítejte výslednou rychlost, jakou se plavec pohybuje, a místo, kde se dotkne protějšího břehu. Řeka je široká b = 25 m. Řešení: 1. Vektory rychlostí jsou na sebe kolmé, proto je jejich výslednice dána Pythagorovou větou: v = (v12 + v22)1/2 = 2,69 m.s-1.
-131-
2.Vypočítáme úhel, který svírá břeh řeky (souřadná osa), s vektorem výsledně rychlosti: v1 tgα = — z toho vyplývá, že α = 21° 48΄ v2 3. Místo dotyku plavce na protějším břehu (odvěsna) vypočítáme: b s = —— = 62,38 m tg Poněkud složitějším příkladem složení dvou translačních pohybů je tzv. šikmý vrh. Jeden pohyb ve vodorovném směru je ve smyslu prvního Newtonova zákona rovnoměrný. Ve směru svislém gravitační zrychlení složku rychlosti brzdí až na nulu, poté ji zrychluje. Příkladem takových pohybů je střelba, proud vody apod.
SPSKS
Obr. 64 Schéma šikmého vrhu Např. dělostřelecký granát je vypálen s počáteční rychlostí v1, pod úhlem φ. Vektor rychlosti v1 můžeme rozložit do dvou složek: vx = v1 . cosφ, vy = v1 . sinφ.
Složka vx zůstává konstantní, protože teoreticky není vnější síly, která by ji měla snížit: -132-
vx = konst. Na složku v působí gravitační pole Země se zrychlením g. Její okamžitá velikost bude: vy = v1. sinφ + (-g) . t. Dráhu (výšku) v libovolném okamžiku (je definována časem) vypočítáme podle vztahu: (-g) . t2 h = v1 . sinφ. t + ———. 2 Čas, který poletí střela na vrchol svojí trajektorie, zjistíme ze vztahu: (-g) . t2 vy = v1 . sinφ. t + ———. 2 Zde dosadíme za levou stranu rovnice v = 0 (střela zastaví svůj pohyb ve směru osy y):
v1 . sinφ tc = ————. g Maximální výšku výstřelu zjistíme, když dosadíme čas tc do vztahu pro výpočet výšky v závislosti na době letu: v1 . sinφ g . v12 .sin2φ v12 . sin2φ hmax = v1 . sinφ . ———— - —————— = —————. g 2 . g2 2.g
SPSKS
Celkový čas letu střely je dvojnásobek času, který bylo třeba k dosažení vrcholu C: t = 2 . tc.
Protože ve vodorovném směru je složka rychlosti vx konstantní a známe celkovou dobu letu střely, můžeme vypočítat délku dostřelu: 2 . v1 . sinφ v12 . sin2φ L = vx . t = v1 . cosφ . ————— = ————— g g Z tohoto vztahu vyplývá, že délka dostřelu je vedle počáteční rychlosti úměrná velikosti sin 2φ. Maximální hodnota funkce sin je 1, a proto úhel, který vede k maximálnímu doletu, je φ = 45°. Pozn. Šikmý vrh je odvozen za předpokladu, že střela sice letí v gravitačním poli Země (g), ale neuvažuje odpor, který je kladen atmosférou. Ten je např. při nadzvukových rychlostech značný, a proto parabolu deformuje. Je to způsobeno tím, že ve směru vodorovném klesá složka rychlosti vlivem odporu vzduchu. Ve směru svislém se k působení gravitace přidává ještě odpor vzduchu. Teoretická křivka je parabola, skutečná křivka je tzv. balistická křivka. Pro rychlosti malé, např. proud vody z hadice, jsou tyto teoretické závěry ve velmi dobrém souladu. Pohyb složený z translačního a rotačního pohybu Tento složený pohyb se vyskytuje u mechanizmů, kde se převádí translační pohyb na pohyb rotační nebo naopak. Existuje celá řada mechanizmů, ale jejich řešení jsou v rámci středoškolské kinematiky velmi obtížná. Problémem je, že matematický model jejich pohybu neexistuje v uzavřeném tvaru. To znamená, že "nemají vzorec". Jejich řešení se provádí sčítáním řad. Přesnost výsledků je pak dána počtem členů konkrétní řady. Jejich počet může být 2-3 členy, ale také tisíce, -133-
kdy řešení je možné pouze s použitím počítačů. Bez odvozování zde bude uveden příklad řešení pohybu symetrického klikového mechanizmu, který je nejpoužívanějším mechanizmem s ohledem na zaměření oboru. Okamžitá rychlost je dána součtem řady: λ v = r . ω . [sin(ω . t) + — . sin2(ω . t) + …………..], 2 kde: r[m] poloměr kliky klikového mechanizmu, λ[-] poměr poloměru kliky a délky ojnice λ = r/l, -1 ω[s ] úhlová rychlost kliky. Průběh rychlosti v závislosti na pootočení kliky lze znázornit graficky „sčítáním jednotlivých členů řady“:
SPSKS
-134-
Dalším případem řešení složeného pohybu rotačního a translačního jsou vačky. Jejich řešení není obtížné kinematika jejich výroby, např. při jejich broušení, je velice složitá. Problematika skládání translačního a rotačního se vyskytuje ještě u pohybových šroubů. Pozn: Při skládání těchto dvou pohybů může vzniknout tzv. Coriolisovo zrychlení. Vzniká tehdy, když translační pohyb má vektor rychlosti různoběžný od osy rotace (nesmí být rovnoběžný). Za vzor nechť poslouží příklad, který se objevil na počátku důkazu existence tohoto zrychlení. Z vysoké věže byla spuštěna olovnice až k zemi (Pizza) a vyznačil se bod, který spojoval závěs olovnice s bodem na povrchu země. Struna zde tedy svojí osou symbolizovala směr gravitačního zrychlení. Pokud však byla shozena ve směru osy kulička, dopadala mimo vyznačený bod na zemi. Vysvětlení bylo nalezlo v existencí Coriolisova zrychlení. V důsledku rotačního pohybu planety Země tak mají řeky na jižní a severní polokouli "vymleté" opačné břehy. Lze změřit sklon hladiny řek oproti ideální rovině, kdy je voda v klidu. Vír (např. při vypouštění umyvadla) na severní polokouli má levotočivý směr a na jižní polokouli pravotočivý. Pohyb složený ze dvou rotačních pohybů Tento pohyb se vyskytuje u planetových převodovek, kde existují planetová kola, satelity, korunová kola. Obvykle jsou to převodovky souosé (vstupní a výstupní hřídel je v jedné ose). Jejich řešení je však složité, a proto se v této publikaci nebudeme tímto složeným pohybem zabývat. 4. 4 MECHANICKÉ PŘEVODY Mechanické převody jsou strojní zařízení, která slouží k přenosu a přeměně rotačního pohybu a kroutícího momentu. Nejdůležitější kinematickou veličinou, která charakterizuje převod, je převodový poměr:
SPSKS
n1 i = —, n2 kde: n1 [s-1] otáčky hnacího kola, n2 [s-1] otáčky hnaného kola.
Převodový poměr lze určit z geometrických charakteristik kol bez rozdílu typu převodu. n1 D2 z2 i = — = — = —, n2 D1 z1 kde: D1, D2 jsou průměry kol (v případě ozubených kol průměry roztečné kružnice), z1, z2 jsou počty zubů u ozubených kol a řetězových kol, je-li i>l jde o převod do pomala, tj. výstupní otáčky jsou nižší než vstupní, je-li i=l nejde o převod, ale pouze o přenos otáček na jinou osu, je-li i
-135-
přímý převod Obr. 65 Schéma převodů
nepřímý převod
Vztah mezi oběma koly je veden přes obvodovou rychlost. Ta musí být u obou kol stejná, jinak by muselo docházet k prokluzu. v1 = π . D1 . n1 = r1 . ω1, v1 = π . D2. n2 = r2 . ω2. Př. Vypočítejte roztečný průměr výstupního ozubeného kola, které má mít otáčky n2 = 12 s-1. Vstupní otáčky jsou n1 = 50 s-1. Předpokládejte, že jde o přímý převod ozubenými koly. Řešení: 1. Protože průměr ani počet zubů kola na vstupním hřídeli není znám, zvolíme počet zubů menšího ozubeného kola. Volbu provádíme s tím, že jde o převod do pomala a je tedy žádoucí, aby počet zubů hnacího kola byl co nejnižší. Proto volíme počet zubů pastorku z1 = 17.
SPSKS
2. Z poměru otáček vstupního a výstupního hřídele určíme převodový poměr: n1 i = — = 0,24. n2 3. Počet zubů výstupního kola potom bude: n2 z2 = — = 50. i Pozn. Z hlediska kinematiky se může vyskytnout několik problémů ve vztahu teorie a praktického vypočtu. 1. Převodový poměr musí být ze své přirozenosti v oboru racionálních čísel (dají se vyjádřit zlomkem). Pokud chceme takový převod realizovat ozubenými koly, může nastat problém, protože libovolné racionální číslo musí mít při vyjádření zlomkem v čitateli i jmenovateli čísla, která se shodují s počtem zubů. Počet zubů ozubeného kola musí být v oboru přirozených (tedy celých) čísel. Převod s převodovým poměrem např. 2345/3478 je nerealizovatelný, protože takové počty zubů není únosné vyrobit. Řešení je v tzv. korigovaných kolech. -136-
2. Pro nepřímé převody, které mají přenosový prvek pružný, jenž je spojen s koly třením. Zde vzniká podle zátěže tzv. prokluz. To znamená, že převodový poměr se mění se zatížením. Prokluz bývá běžně kolem 3-5%. 3. Pro nepřímé převody, kde přenosovým prvkem jsou řetězy, vzniká nerovnoměrnost chodu. Ta je způsobena tím, že řetězové kolo má sice roztečnou kružnici, ale řetěz se svými články nabíhá na řetězky jako na n-hran (viz obrázek). To znamená, že čím menší je počet zubů na pastorku, tím větší zaznamenáme nerovnoměrnost chodu.
Obr. 66 Vznik nerovnoměrnosti chodu při použití řetězů
SPSKS
-137-
5.0 ÚVOD DO DYNAMIKY Dynamika zkoumá zákonitosti pohybu těles se zřetelem na příčiny (síly, resp. silové účinky), které pohyb vyvolávají. Dynamika navazuje na kinematiku, kde jsme zkoumali zrychlení prostřednictvím druhého Newtonova zákona F = m . a. Tedy síly hledá na základě znalosti zrychlení. Pro rotační pohyb platí transformační rovnice M = I0 . ε. 5.1 ZÁKLADNÍ ZÁKONY DYNAMIKY Do této skupiny patří vedle zákona setrvačnosti, zákona zrychlující síly a zákona akce a reakce ještě další zákony, které má smysl uvést jako zákony specifické pro dynamiku: Zákon o změně hybnosti Základním vztahem dynamiky je pro translační pohyb vztah: F = m.a. Pro rotační pohyb je vztah podle transformačního vztahu: M = Io . ε . Pokud dosadíme do rovnice za zrychlení pro translační i rotační pohyb, získáme tvar: translační pohyb v F=m.— t F.t=m.v
rotační pohyb ω M = Io . —, t
SPSKS M . t = Io . ε.
Levou stranu rovnice nazýváme impuls a je dán součinem síly a času (pro translační pohyb), momentu a času (pro rotační pohyb). Pravá strana rovnice je hybnost, která je dána součinem hmotnosti a změny rychlosti (pro translační pohyb), momentu setrvačnosti a změny úhlové rychlosti (pro rotační pohyb). Zákon o změně hybnosti tedy říká, že změna hybnosti za určitý čas je rovna impulsu síly na toto těleso za stejný čas. Matematická formulace je potom: m . v1 - m . v2 = F . t = m(v1 - v2) = F . t.
Zákon zachování mechanické energie Mechanickou energií rozumíme schopnost tělesa konat mechanickou práci. V dynamice nás zajímá hlavně energie potenciální Ep a energie kinetická Ek. Potenciální energie je energie spojená s polohou tělesa o hmotnosti m v tíhovém poli. Její velikost je dána vztahem: Ep = m . g . h, kde: m[kg] hmotnost tělesa, g[m .s-2] gravitační zrychlení, h[m] výška ve směru gravitace.
-138-
Kinetická energie je dána pohybem hmotného bodu. Její hodnota je stanovena: translační pohyb
rotační pohyb
m . v2 Ek = ——— 2 kde: m [kg] v [m.s-1] I0[kg.m-2] ω [s -1]
Io . ω2 Ek = ———, 2 hmotnost tělesa, rychlost tělesa, moment setrvačnosti tělesa k těžišťové ose, úhlová rychlost.
Součet potenciální a kinetické energie musí být na počátku a konci děje konstantní. Ep + Ek = konst. Pozn. Tento zákon lze zobecnit na zákon zachování energie. Tím je myšleno zachování všech jejích forem. V uzavřené soustavě energie může měnit svoji formu, nikoli se vytvářet z ničeho nebo zanikat. 5.2 MOMENTY SETRVAČNOSTI TĚLES U translačního pohybu dosazujeme do Newtonova zákona hmotnost. Víme, že hmotnost je mírou setrvačnosti, nikoli "váhy". Pro translační pohyb platí, že každý bod tělesa se pohybuje se stejným zrychlením. U rotačního pohybu má každý bod po průřezu jinou hodnotu zrychlení, která závisí na vzdálenosti bodu od středu rotace. Proto pouhá hmotnost rotačního tělesa nepostačuje pro popis setrvačných vlastností. Těleso stejné hmotnosti může být ve tvaru tenkého drátu, který má malé setrvačné účinky. Ale může být ve tvaru tenkého prstence s velkým průměrem, který může mít setrvačné účinky o několik řádů vyšší. Výpočet momentu setrvačnosti těles vyžaduje opět znalost integrálního počtu. Bez zvláštního zdůvodňování je výpočet uveden v tabulce. I zde platí, že složitější rotační tělesa lze rozdělit na elementární tělesa, nalézt jejich řešení a algebraicky sečíst. Výpočet je zcela ekvivalentní s výpočtem kvadratických momentů ploch, jak byly prováděny v pružnosti a pevnosti pro ohyb. Platí zde i jakýsi ekvivalent Steinerovy věty:
SPSKS
Io΄ = Io + m . a2, kde: Io΄[kg . m2] moment setrvačnosti k libovolné ose ve vzdálenosti a od osy těžišťové, Io[kg . m2]
moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm,
m[kg]
hmotnost tělesa,
a[m]
vzdálenost těžišťové osy od osy, ke které je moment setrvačnosti počítán.
-139-
SPSKS Př. Vypočítejte moment setrvačnosti těles, které mají stejnou hmotnost, ale liší se svým tvarem. Předpokládejme, že tělesa jsou vyrobena z oceli ρ = 7 850 kg.m-3. Řešení: 1. Rozměry součástí jsou navrženy tak, že mají stejnou hmotnost (byly vyrobeny ze stejného množství oceli). Vypočítáme hmotnost součástí ze vztahu: m = V.ρ = 2,77 kg 2. Podle tabulky ke každému tvaru vypočítáme moment setrvačnosti.
součásti,
-140-
případně
ose, nalezneme příslušný vztah a
m.l2 IO1 = —— = 2
m .R2 I0 = —— = 2
R2+ r2 I0 = m —— 2
= 28,04 kg.m2
= 0,0061 kg.m2
= 0,689 kg.m2
m .R2 IO2 = —— = 2 = 0,0000346 kg.m2
SPSKS
Pozn. Předcházející příklad ilustruje rozdílnost v setrvačných vlastnostech translačního a rotačního pohybu. Ačkoli všechny součásti by při translačním pohybu vykazovaly stejné vlastnosti, tzn. že by se při dané síle pohybovaly se stejným zrychlením. Při rotačním pohybu je evidentní, že při stejném momentu sil bude úhlové zrychlení velmi rozdílné. V případě roztáčení tenkého drátu kolem svojí osy o2 bude úhlové zrychlení miliónkrát menší než při roztáčení kolem osy o1. Hmotný bod Dynamika používá matematickou náhradu za hmotné těleso - hmotný bod. Je to, podle dříve uvedené definice, koule o poloměru r → 0, která má, vedle určení souřadnic své polohy v obecně nrozměrném prostoru, ještě hmotnost jako výraz setrvačných vlastností. Pro rotační pohyb nahrazujeme těleso jeho momentem setrvačnosti, který v sobě zahrnuje rozložení hmoty kolem osy rotace jdoucí jeho těžištěm. Každé rotující těleso lze nahradit jeho momentem setrvačnosti jako mírou setrvačných vlastností. Pozn. Při vypočtu momentu setrvačnosti tělesa každého napadne podobnost s kvadratickým momentem plochy. Analogie tu nepochybně existuje, ale bude dobré si uvědomit rozdílnosti v jejich fyzikálním chápání: 1. Kvadratický moment plochy pracuje s plochou a jeho velikost nezávisí na reálném materiálu plochy. Materiál ohýbaného tělesa se objeví teprve v souvislosti s mezním stavem, který je definován pro každý materiál. Moment setrvačnosti tělesa však pracuje s konkrétním materiálem, kterého měrná hmotnost je "ukryta" v hmotnosti m, jenž je v každém vztahu. Pokud bychom volili v předcházejícím příkladu materiál olovo a např. hliník, budou hodnoty momentu setrvačnosti v poměru jejich měrných hmotností. Tyto jsou v první mocnině. To znamená, že materiál s dvojnásobnou měrnou hmotností bude na stejném rotačním tělese mít dvojnásobný moment setrvačnosti. 2. Kvadratické momenty ploch se odehrávají v rovině, tedy v dvojrozměrném prostoru. Moment setrvačnosti tělesa je však prostorová záležitost, protože hmotnost může mít pouze trojrozměrný útvar. -141-
5.3 IMPULS SÍLY - HYBNOST HMOTY V kapitole 5.1 jsme si uvedli zákon o zachování hybnosti. Pro středoškolskou dynamiku jde o velmi používaný vztah. Proto si ukážeme jeho výhodné použití v praxi. Paralelně s výpočtem budeme zakreslovat závislost síly na dráze, protože jejich součin je z fyzikálního hlediska práce. Tedy plocha pod čarou v grafu vyjadřuje práci. Př. Na železniční vagón o hmotnosti m = 18 t působíme konstantní silou F = 500 N ve směru osy kolejiště. Vypočítejte, jaké rychlosti dosáhle vagón z klidu po době působení síly t = 120 s. Řešení: 1. Napíšeme si základní rovnicí s tím, že počáteční rychlost vagónu je nulová: F.t F . t = m . v => v = —— = 6,0 m..s-1. m
2. Pokud nás bude zajímat práce, jakou síla vykonala, je vhodné nakreslení v diagramu s – F pro výpočet dráhy na konci t = 120 s použijeme vztah: v.t s = —— = 360 m. 2 Vykonaná práce potom bude: A = F . s = 180 kJ.
SPSKS
vykonaná práce při rozjezdu
průběh rychlosti
Pozn. Pro výpočet dráhy je použit vztah, který říká, že rychlost vzrůstá od nuly do maxima po přímce, tedy že se jedná o rovnoměrně zrychlený pohyb. Vysvětlení lze nalézt v diagramu t - v. Dráha je zde plochou trojúhelníka. Př. Setrvačník vyrobený z oceli (ρ = 7 850 kg.m -3) je z klidu roztáčen momentem M = 12 N.m po dobu t2 = 25 s. Následuje brždění, které trvá dobu t2 = 3 s. Vypočítejte maximální úhlovou rychlost, které setrvačník dosáhl, a potřebný brzdící moment, který setrvačník zastavil v čase t2. Řešení: 1. Pro zadaný setrvačník vypočítáme moment setrvačnosti k ose rotace. Hmotnost setrvačníku je: π . d2 m = —— . L . ρ = 124,84 kg 4
-142-
Moment setrvačnosti vypočítáme podle vztahu z tabulky: m.R2 IO = ——— = 3,16 kg.m2 2
■
2. Z rovnice pro rotační pohyb lze vypočítat úhlovou rychlost za předpokladu, že setrvačník byl původně v klidu: M . t1 M . t1 = Io . ω, z čehož ω = ——— = 94, 93 s-1. Io 3. Brzdící moment vypočítáme ze stejné rovnice, neznámou zde bude brzdící moment Mb: Io . ω Mb = ——— = 100 N.m t2
SPSKS 4. .Pokud bychom chtěli raději znát maximální otáčky, kterých setrvačník dosáhl, vypočítáme je ze vztahu: ω ω = 2 . π . n z čehož n = —— = 15,1 s-1. 2.π 5. Plocha v diagramu vyjadřuje úhlovou dráhu. Výpočet může být veden z pohledu dynamiky jako součet dvou trojúhelníků (rozběh a brždění): ω . t1 ω . t2 φ = φI + φII = —— + ——— = 1 329 rad. 2 2 Jinou variantou je vypočítat úhlovou dráhu z celkového času měření t = t1+t2 maximální dosažené úhlové rychlosti: ω.t φ = ——— = 1 329 rad. 2 -143-
6. Pokud vzniká přirozenější otázka, kolikrát se za dobu měření setrvačník otočil, podělíme úhlovou dráhu 2 . π. φ ot = — = 211,5. 2.π Př. Automobil o hmotnosti 1 000 kg se pohybuje rychlostí v1 = 35 m.s-1. Vypočítejte potřebnou dobu pro brždění, je-li brzdná síla F = 1 kN pro snížení rychlosti na v2 = 15 m.s-1. Řešení: 1. Rovnici upravíme na: F . t = m(v1 – v2). Neznámou v rovnici je čas, který vypočítáme: m(v1 - v2) t = ———— = 20 s. F Pokud bychom i zde zakreslovali do diagramu s - F, bude plocha pod grafem úměrná práci, kterou jsme museli automobilu odejmout a přeměnit na tepelnou energii v brzdách. 5. 4 MECHANICKÁ PRÁCE Mechanická práce je skalární veličina, kterou můžeme chápat jako dráhový účinek síly. Síla, jako vektorová veličina, musí být svojí nositelkou (přímkou) tečnou dráhy. Pokud tato podmínka splněna není, je nutné vypočítat její složku ve směru tečny k dráze. Základní vztah pro práci je: A = F . s,
SPSKS
kde: A [J] mechanická práce, F [N] síla, s [m] dráha,
Mohou nastat tři případy polohy síly k tečně dráhy:
A = F . cosφ. S
A=F.s
A=0
Úhel, který svírá vektor síly s tečnou k dráze, má vliv na velikost vykonané práce. Úhel měříme mezi kladným smyslem přírůstku dráhy a kladným smyslem síly. Pokud bychom tuto konvenci nedodržovali, nastanou potíže se znaménky. Dráhou, po které se vázaný bod pohybuje, nemusí být nutně přímka. V takovém případě se při konstantní síle mění úhel mezi tečnou k dráze (trajektorii) a vektorem síly. Lze dokázat, že velikost práce nezávisí na tvaru dráhy. Příkladem může být pohyb hmotného bodu v gravitačním poli. Jeho hmotnost m (kg) vyvolává v gravitačním poli tíhové účinky. Pokud bod změní polohu, tedy výšku po libovolné dráze, je vykonaná práce pouze rozdílem mezi polohou bodu, kterou označíme h0 a konečnou polohou h1. Je lhostejné, jakou dráhu bod prošel k zaujetí polohy ve výšce h1. -144-
Obr. 67 Schéma výpočtu práce bodu v gravitačním poli Pro práci při rotačním pohybu se vztah pro práci mění na: A = M . φ, kde: M[N.m] moment, φ [-] polohový úhel. Př. Určete práci spotřebovanou k vyzdvižení břemene o hmotnosti m = 3,5 t do výšky h = 15 m. Řešení:
SPSKS
1. Hmotnost m vyvolává v gravitačním poli silový účinek - tíhu: G = m . g = 34 335 N.
2. Velikost práce je potom dána součinem dráhy a síly: A = G . h = 515 025 J. Síla nemusí být v průběhu dráhy konstantou, což je velice častý případ. Velikost práce je proto nejnázornější řešit jako výpočet plochy v diagramu s - F. Zde může nastat několik případů: - síla je konstantní - výpočet práce je velmi jednoduchý, protože práce je plocha obdélníka v diagramu s - F. Typickým je zde předcházející příklad, tedy změna polohy bodu v gravitačním (nemění se zde nadmořská výška) s pasivními odpory, tj. nejčastěji třením, závislost síly na poloze je lineární (přímka). Jde zde o přímou úměru, tedy kolikrát se například zvětší dráha, tolikrát se zvětší síla. Typickým praktickým příkladem je pružina s lineární charakteristikou. Spotřebovaná práce nebo práce získaná stlačením nebo odlehčením pružiny je dána obsahem trojúhelníka, -
- závislost síly na poloze je nelineární. Zde je nutné nalézt matematickou závislost mezi dráhou s a sílou F. Tyto závislosti mohou být dosti složité. Bývají to polynomy, exponenciální funkce a dokonce i výrazy, které nejsou v uzavřeném tvaru. V praxi to je průběh sil při kompresi plynů ve válci (exponenciála), nelineární pružina (polynom) a práce klikového mechanizmu (součet nekonečné řady).
-145-
F - konstanta
F - lineární závislost
F - obecná závislost
Obr. 68 Práce v diagramu s - F (φ - M) Př. Vypočítejte, jakou práci spotřebujeme ke stlačení dvou lineárních pružin o s = 25 mm, tuhost pružin je: k1 = 0,5 N.mm-1, k2 = 0,2 N.mm-1. Pružiny uvažujte řazeny: a) paralelní řazení (vedle sebe), b) sériové řazení (za sebou). Řešení: 1. Paralelní řazení. Výsledná tuhost pružiny je dána součtem tuhostí:
SPSKS
kv = k1 + k2 = 0,7 N.mm-1.
Grafická interpretace uvedeného vztahu je patrná z obrázku.
Maximální síla bude na konci stlačení na dráze s = 25 mm, její velikost je: Fmax = (k1 + k2) . s = kv . s = 17,5 N. Dosazením do rovnice získáme velikost práce: F max . s A = ———— = 0,2187 J. 2
-146-
2. Pro sériové řazení platí, že výsledná tuhost pružiny je: 1 1 1 — = — + — = kv =1428 N.mm-1. kv k1 k2
Maximální síla na konci dráhy (stlačení) bude: Fmax = kv . s = 0,0446 J. Pozn. Vedle lineárně závislé síly na dráze ukazuje předcházející příklad ještě na vliv řazení pružin na výslednou tuhost. S určitou dávkou zjednodušení lze prohlásit, že pokud pružiny řadíme vedle sebe, zvyšujeme tím tuhost soustavy pružin. Pokud pružiny řadíme za sebou, výslednou tuhost snižujeme.
5.5 VÝKON
SPSKS
Pro technickou praxi je velmi důležitý pojem výkon. Je to práce, která je vykonána za jednotku času. Pokud budeme předpokládat konstantní práci v čase, bude platit základní vztah: A P = —, t kde: P[W] výkon, A[J] práce, t [s] čas. Pokud za práci dosadíme součin A = F . s a zapíšeme do předcházejícího vztahu, dostaneme: F.s P = ——. t Protože poměr s/t je rychlost v, můžeme vztah upravit na: P = F . v. Výkon je tedy dán skalárním součinem síly a rychlosti. Zatímco u práce byla rozhodující síla a dráha a bylo jedno, jak dlouho bude hmotný bod měnit polohu, výkon popisuje změnu práce za jednotku času. Pokud je změna práce v čase konstantní, je konstantní i výkon. Pro pochopení pojmu práce, výkon, dráha a rychlost si uvedeme příklad, který je sice dosti složitý, ale postupným výpočtem a jeho grafickou interpretací si vysvětlíme uvedené pojmy.
-147-
Př. Výtah o hmotnosti m = 1 500 kg se rozjíždí na dráze s1= l,5 m.s-1 na rychlost zdvihu v = 3 m.s-1. Jeho dráha je určena předvolbou na zdvih h = 18 m. Poslední fáze před zastavením je zpomalení na dráze s2 = 1 m. Vypočítejte potřebný výkon motoru pro pohon zadaného výkonu a jakou práci motor vykonal na dráze výtahu. Graficky nakreslete průběh rychlosti a zrychlení v závislosti na dráze (výšce) výtahu. Řešení: 1. Nejlépe v měřítku si nakreslíme dráhu výtahu:
SPSKS
2. Ze znalosti dráhy, na které břemeno zrychlujeme a zpomalujeme, vypočítáme hodnoty zrychlení (zpomalení): Potřebný čas zrychlení i zpomalení vypočítáme z grafů:
v . t1 2 . s1 —— = s1, z čehož t1 = —— = 1 s, 2 v 2 . s1 a1 = —— = 3 m.s-2. t12
-148-
Čas zpomalení:
v . t2 2 . s2 —— = s2, z čehož t2 = —— = 0,66 s, 2 v 2 . s2 a2 = —— = 4,59 m.s-2. t22 3. Při rozjezdu se hodnota zrychlení a1 přičítá ke gravitačnímu zrychlení g. Při dojezdu je směr vektoru zrychlení a2 opačného směru, bude se tedy odečítat od gravitačního zrychleni. Průběh zrychlení po dráze zakreslíme do grafu, protože je totožný s průběhem síly v laně podle vztahu: F = m.a, kde průběh zrychlení a jsme vypočítali. 4. Z průběhů obou grafů, tj. v – h a a-h je vidět, že při rozjezdu a dojezdu není rychlost konstantní. Průběh výkonu, potřebného k projetí dráhy výtahem, je dán součinem okamžité rychlosti a okamžité síly. Síla má stejný průběh jako zrychlení, protože hmotnost je konstantní. Průběh výkonu můžeme vypočítat v ekvidistantním rozdělení výšky. Největší potřebný výkon, na který musí být dimenzován motor, je na konci zrychlení na dráze s2.
SPSKS
P = v . Fmax = 57,64 kW. 5. Spotřebovaná práce je dána: A = F . h = m . g . h = 14 733 J. Pozn. Průběh potřebného výkonu v každé poloze dráhy je zakreslen na grafu P - h. Je vidět, že nejvyšší výkon je třeba při rozjezdu, poté je jeho hodnota konstantní. Kdybychom potřebovali vyšších hodnot zrychlení břemene, bylo by třeba vyššího výkonu. Tím by narůstalo maximum v grafu. To mívá za následek potřebu velmi silných motorů. Proto se, pokud musíme v praxi na krátkou dobu dosahovat vysokých výkonů, používá např. hydraulických pohonů s akumulátorem. Př. Vypočítejte potřebný výkon elektrické lokomotivy, která má rozjet vlak o hmotnosti 800 t na rychlost 160 km.h-1 za čas t = 120 s. Dále vypočítejte ujetou dráhu při zrychlování a průběhy rychlosti zrychlení a síly zakreslete do grafů. Vlak se rozjíždí po dokonale vodorovné trati. Valivé tření podvozku a odpor vzduchu zanedbejte. Řešení: 1. Vypočítáme velikost zrychlení, které je nutné udílet soupravě: v a = — = 0,370 m.s-2. t 2. Potřebná tažná síla lokomotivy je dána prvním Newtonovým zákonem: -149-
F = m.. a = 2 96,29 kN. 3. Dráha ujetá během zrychlení je: a . t2 s = —— = 2 664 m. 2
SPSKS
Pozn. Z průběhu závislosti t - P je vidět, že po dosažení požadované rychlosti klesá potřeba výkonu na P = 0. V praxi se však vyskytují pasivní odpory jako valivý odpor, stoupání trati a odpor vzduchu. Zjištění, že při rovnoměrném pohybu bez stoupání je třeba velmi malých výkonů i pro dopravu velkých hmotností, je logickým důsledkem Newtonova předpokladu, který je vyjádřen prvním zákonem. Železniční doprava má oproti silniční tu výhodu, že valivý odpor je nesmírně malý, protože kolo i kolejnice jsou ocelové a excentricita je velmi malá. Potřeba výkonu vzrůstá se stoupáním tratě, ale tomu se projektanti železnic usilovně bránili a stoupání je v řádu promile. Pro silniční tratě jsou stoupání mnohem větší, proto i potřebné výkony musí být mnohem vyšší.
5.6 ENERGIE Uvedli jsme si již, že energie je schopnost tělesa konat práci. Dále víme, že pro technickou mechaniku platí, že uzavřená soustava má konstantní součet kinetické a potenciální energie. Pro některé výpočty v dynamice je velmi výhodné používat vztahy pro energii. Pro jejich řešení je třeba pouze dvou vztahů:
translační pohyb 2
rotační pohyb
m.v Ek = —— 2
Io . ω2 Ek = —— 2
Ep = F . s
Ep = M . φ
-150-
Př. Setrvačník rotuje kolem své osy otáčkami n = 50 s-1. Určete jeho kinetickou energii a vypočítejte, do jaké výšky by bylo třeba válec zvednout v gravitačním poli Země, aby měl stejnou kinetickou energii jako za jeho rotace. Materiál setrvačníku předpokládejte ocel (ρ = 7580kg.m-3). Řešení: 1. Jedná se pro kinetickou energii o rotační pohyb a potenciální energii pro translační pohyb. Obě energie si musí být rovny:
Io . ω2 —— = m . g . h. 2 2. Vypočítáme hmotnost a moment setrvačnosti:
SPSKS
π . d2 V = —— . h = 0,01256 m3, 4 m = V . ρ = 98,64 kg, m . R2 I0 = ——— 2
= 1,973 kg.m2.
3. Z výchozí rovnosti energií je jedinou neznámou hledaná výška: Io .(2 . π . n)2 h = ————— = 100,6 m. 2 .m .g Pozn. Z uvedeného příkladu je vidět, že pokud chceme akumulovat energii, je mnohem výhodnější setrvačník než závaží. Představa stroje, který umožní vyzvednutí závaží do 100 metrů výšky, je iluzorní. Dále je třeba si uvědomit, že zdvojnásobení potenciální energie vyžaduje dvojnásobnou výšku. Pro kinetickou energii však zdvojnásobení znamená zvýšení otáček 1,42 x. Př. Matematické kyvadlo je vychýleno o úhel α = 10°, při délce závěsu r = 3 m. Vypočítejte, jakou rychlost mělo závaží v nejnižším bodě dráhy. Hmotnost závaží je obecná (není pro zadání třeba). Řešení: 1. V úvrati závaží nemá žádnou rychlost v = 0. Jeho energie má formu potenciální energie, kde výšku h vypočítáme:
-151-
x = r . sin α = 0,521 m, h = x . tg = r . sinα . tg α = 0,0918m. 2. Potenciální energie má obecně velikost: Ep = m . g . h. Tato energie musí být rovna kinetické energii v dolní úvrati, kde potenciální energie bude mít nulovou hodnotu. Obě tyto energie si musí být rovny: Ep = Ek,
SPSKS
m . v2 m . g . h = ———, z čehož v = (2 . g . h)1/2 = 1,34 m.s-1. 2
Pozn. Příklad ukazuje, že není třeba přílišných znalostí o kyvadle a lze vypočítat potřebné údaje. Dále je třeba si povšimnout, že rychlost nezávisí na hmotnosti závaží. Závisí na délce závěsu a úhlu vychýlení. Př. Vypočítejte, jakou rychlostí dopadá závaží o hmotnosti 150 kg z výšky h = 250 m. Řešení: 1. Vypočítáme velikost potenciální energie vzhledem k místu dopadu: Ep = m . g . h,
-152-
2. Při dopadu je tedy potenciální energie nulová a veškerá energie je ve formě energie kinetické. Proto platí rovnost: m . v2 m . g . h = ——, z čehož vypočítáme rychlost v = (2 .g .h)1/2 = 70, 03 m .s-1. 2 ' Pozn. Opět porovnáním obou forem energie dojdeme k závěru, že hmotnost tělesa nemá vliv na rychlost dopadu. Nebýt odporu vzduchu, dopadnou tělesa ze stejné výšky za stejný čas stejnou rychlostí. To je další výsledek, který je velmi těžce chápán při srovnání s empirickou zkušeností. Představa, že peří dopadne při shození z určité výšky zároveň s ingotem o hmotnosti několika tun, je v příkrém rozporu se zkušenostmi. I zde se projevuje genialita autora gravitačního zákona (Newtona), který jako první pochopil, že rozdíl v čase dopadu dvou těles z jedné výšky je nutné připsat na vrub pasivním odporům. Ty jsou však jiným problémem.
SPSKS
Př. Železniční vagón o hmotnosti m = 15 t se pohybuje rychlostí v = 2,5 m.s-1. Jakou tuhost pružin nárazníků potřebujeme, aby se stlačily pouze o s = 100 mm. Řešení: 1. Vagón má kinetickou energii: m . v2 Ek = ——— = 46 875 J. 2 2. Tato energie má být absorbována dvěma nárazníky, to znamená, že každý nárazník musí pohltit potenciální energii: Ek Ep = — = 23437,5 J. 2 3. Tuhost pružiny vypočítáme z grafu závislosti s - F, kde předpokládáme lineární průběh tuhosti.
-153-
Fmax 2 . Ep Ep = A = ——— = F max ——— = 468,75 kN. 2 s Tuhost pružiny potom bude: Fmax k = ——— = 4 487,5 kN . m-1. s Pozn. V případě pružin jde o akumulaci energie, kterou vzápětí pružina vrátí zpět, tedy přemění ji v energii kinetickou. To znamená, že vagón zastaví a odrazí jej zpět. Takové odpružení není vždy žádoucí, protože energii je třeba zmařit. Zmaření se odborně nazývá disipace, je to přeměna na jiný druh energie. K takovému účelu slouží: brzdy - odejmutí kinetické energie a změna na tepelnou energii, tlumiče - zachycení kinetické energie, ale při jejím zpětném vydání měnit energii na tepelnou. Na tomto principu pracují kmitající soustavy, z energetického hlediska se jedná o soustavy, které neustále směňují (periodicky) kinetickou energii za energii potenciální. Tlumení kmitů - směny kinetické a potenciální energie Teoretický popis kmitání přesahuje rámec učebních osnov studia. V praxi se však setkáváme se spoustou zařízení, u kterých je třeba tlumit nebo umořovat energii. Bez odvození si uvedeme kmitající soustavy závislost amplitudy (výkmitu) na čase. V technické praxi oboru jde o nalezení řešení tlumení kmitů od rotujících motorů, setrvačníků, vibrátorů. Dále pak v případě přímočarých kmitů u podavačů, sít, žlabů, potrubí apod.
SPSKS
-154-
Při netlumeném kmitání teoreticky nedochází ke ztrátě energie. Prakticky to není možné, protože deformace kmitající pružiny má malé energetické ztráty. Takových soustav se používá pro jejich periodičnost k řízení mechanických hodin apod. Při tlumení coulombovským třením vzniká útlum, který má lineární průběh. Amplituda kmitání se zmenšuje lineárně, frekvence kmitání zůstává. Do těchto soustav patří některé druhy tlumičů. Jejich konstrukce, např. pro torzní kmitání, je velice jednoduchá a nevyžaduje téměř žádnou údržbu ani kontrolu. Při tlumení viskózním tlumičem klesá amplituda po exponenciále. Tlumič předpokládá použití viskózní kapaliny, kterou je nejčastěji olej. Podobné tlumicí vlastnosti má i pryž ve formě pružin nebo silentbloků. Disipaci energie lze graficky interpretovat na diagramu s - F, případně φ – M..
bez tlumení (disipace je 0)
s tlumením
Obr. 69 Schéma disipace energie Z obrázku je patrno, že zatížení a odlehčení, např. tlumiče, probíhá ve dvou větvích a vytváří určitou smyčku. S ohledem na fyziku se této smyčce říká hysterezní smyčka. Její plocha je úměrná práci, kterou tlumič přeměnil na jinou formu energie, což je nejčastěji teplo.
SPSKS
Př. Vlaková souprava se pohybuje rychlostí v = 28 m.s-1. Její hmotnost činí m = 500 t. Vypočítejte, jaké množství energie musely brzdy soupravy přeměnit na teplo pro její zastavení. Dále proveďte úvahu, jak vysoko by vyjela souprava do kopce, než by se zastavila. Řešení: 1. Vypočítáme velikost kinetické energie soupravy: m . v2 Ek = —— = 196 MJ. 2 2. Pro výpočet rozdílu nadmořské výšky soupravy, která veškerou kinetickou energii transformovala na energii potenciální, si zvolíme bod, který bude celou soupravu reprezentovat. Tím bodem bude těžiště soupravy. Kinetická energie se změní na energii polohy v gravitačním poli. Proto platí:
v2 Ek = Ep, z čehož pak h = —— = 39,95 m. 2 .g Pozn. Uvedený příklad ilustruje náhradu soustavy hmotným bodem. Vypočítaná energie, kterou musí odvést brzdy a změnit ji v teplo, je vysoká. V termomechanice si dokážeme, že teplo, které vznikne v brzdovém obložení, by přivedlo do varu asi 533 litrů vody z původní teploty 20 °C. -155-
Pozn. Některé příklady předpokládají hmotnost reálného zadání jako buď translační, nebo rotační soustavu. Takové příklady jsou vzácností. Pokud je v zadání hmotnost vlakové soupravy nebo hmotnost automobilu, je skutečností, že tato zařízení mají kola, převodovky, motory apod. Proto zde nalézáme i pohyb rotační. Např. pohybující se vagón má svoji translační hmotu, ale rotují mu ocelová kola o dosti velkém průměru. Z hlediska dynamiky proto musíme reálné zařízení vždy převést na jednu hmotu buď rotační, nebo translační. Východiskem rovnic, potřebných pro transformaci hmot, jsou právě rovnice energie.
5.7 KMITÁNÍ A VLASTNÍ FREKVENCE Tato kapitola nebude používat žádný matematický aparát, ale užije pouhého popisu jevů. Důvodem pro zařazení této kapitoly je velké množství jevů, které jsou s vlastními frekvencemi spojeny a které mají jednu společnou vlastnost v provozních podmínkách, a tou je NEBEZPEČNOST. Proveďme tuto úvahu: mějme most, který má určité rozpětí 1 (m) a průřez s kvadratickým momentem plochy Jz (m4). Zatížíme jej, např. uprostřed, určitou silou F (N) a náhle odlehčíme. Mostní konstrukce se po odlehčení rozkmitá, protože potenciální energie z deformace konstrukce se přemění na energii kinetickou. Budeme-li sledovat v čase velikost amplitudy a vynášet ji do grafu, získáme sinusoidu.
SPSKS
Jedné sinusoidě se říká perioda. Počet period, které vykoná kmitající soustava za jednotku času t = 1 s, se nazývá frekvence. Protože mostní konstrukce byla pro zkoušku použita sama bez dalších hmot, je její kmitání nazváno vlastní frekvence. Pokud bychom zatěžovali most silami, které by měnily svoji velikost v čase s frekvencí blízkou vlastní frekvenci, mostní konstrukce by se rozkmitala a amplituda by vzrostla nade všechny meze. Taková konstrukce praskne. Proto lávky a přechody pro chodce o rozpětí kolem 1 = 12 m jsou nebezpečné pro frekvence zatěžování kolem f = 2 Hz. Opatření pro zamezení vzniku periodického zatížení s frekvencí blízkou vlastní frekvenci mohou být různá. Nejčastěji je to užívání tlumičů a vyhýbáme se použití zařízení, která za provozu vykazují přibližně stejné otáčky apod. Na druhé straně se vlastních frekvencí využívá pro odstraňování vnitřního pnutí svařenců a pro některé technologické účely.
-156-
6.0 ZÁKLADNÍ POJMY HYDROMECHANIKY Hydromechanika pojednává o zákonech, jimiž se řídí v klidu i pohybu kapaliny. Obecnějším pojmem než kapaliny jsou tekutiny. Ty v sobě zahrnují jednak kapaliny - jako látky prakticky nestlačitelné, tak i plyny, které stlačitelné jsou. Ideální kapalina - je kapalina, která má stálý objem, jenž se velmi málo mění s teplotou a zcela nepatrně s tlakem. Nemá svůj vlastní tvar, bere na sebe vždy tvar nádoby a vytváří volnou hladinu. Ideální kapalina je potom nestlačitelná, nemění objem v závislosti na teplotě, nemá vnitřní tření a má dokonale nesoudržné částice. Měrná hmotnost (hustota) je hmotnost 1 m3 dané látky: m ρ = —, V kde: ρ[kg .m-3] měrná hmotnost, m[kg]
hmotnost,
V[m3]
objem.
Reciprokou (obrácenou hodnotou) je měrný objem. Ten vyjadřuje číselnou hodnotu objemu 1 kg dané látky. Jako příklad měrná hmotnost vody je ρ = 1000 kg.m-3, měrný objem vody v = 0,001 m3.kg-1 . 1 v = —. ρ
SPSKS
Tlak - je síla na jednotku plochy: F p = —, S kde: p [Pa] tlak, F [N] síla, S [m2] plocha.
Pro kapalinu je třeba mít na paměti, že tlak je napětí s kladným znaménkem. U kapaliny nelze vyvodit tahové napětí. Teplota - teplota kapaliny v Kelvinech. 6.1 HYDROSTATIKA Sloupec kapaliny nad libovolně zvolenou plochou S uvnitř kapaliny je hydrostatický tlak.Víme, že tlak je poměr síly na plochu. Síla je ve sloupci kapaliny v gravitačním poli dána tíhou sloupce. Tíha je: G = m . g = V . ρ . g = S . h . ρ . g. Objem sloupce je obecně dán součinem plochy a výšky: V = S . h. Dosazením do vztahu: -157-
S.h.ρ.g p = ————— = h . ρ . g, S p = h . ρ . g, kde: p [Pa] tlak, h [m] hloubka v kapalině, g [m.s-2] gravitační zrychlení. Z uvedeného vztahu je patrné, že velikost tlaku závisí na hloubce, ve které tlak měříme. Dále závisí na měrné hmotnosti kapaliny neboli na druhu kapaliny a na gravitačním zrychlení, respektive zrychlení obecně. Protože hloubka je ve vztahu v první mocnině, má tlak v závislosti na hloubce lineární průběh.
SPSKS Obr. 70 Závislost tlaku na hloubce a druhu kapaliny Př. Vypočítejte velikost hydrostatického tlaku ve vodní nádrži v hloubce h = 60 m. Řešení: 1. Hydrostatický tlak vypočítáme ze vztahu: p = h . p . g = 0,5886 MPa.
Pascalův zákon Nepůsobí-li na tekutinu, která je v klidu, žádné vnější silové pole (např. gravitační), je tlak ve všech místech tekutiny stejný. To znamená, že tlak vyvolaný pouze silami působícími na povrch tekutiny (např. na volný povrch nebo prostřednictvím stěn nádoby) se šíří v tekutině, která je v klidu, beze změny všemi směry a do každého místa. Toto rovnoměrné šíření tlaku v tekutinách je důsledkem jejich tekutosti, tj. snadné pohyblivosti jejich molekul ve všech směrech. Tato poněkud dlouhá definice v sobě skrývá poměrně jednoduché závěry. Jejich meze je třeba -158-
mít na mysli, pokud potřebujeme řešit určitý problém a váháme, kdy lze Pascalova zákona použít: - na Zemi je kapalina vždy v gravitačním poli. Pokud by gravitační pole mělo hodnotu 0, nastává stav beztíže. V takovém prostředí je g = 0, a tím i tlak z rovnice bude nezávislý na hloubce. Zde by nebylo problém se potápět do libovolné hloubky, protože lineární závislost tlaku na hloubce je podmíněna nenulovým zrychlením, - tlak se šíří všemi směry a do každého místa. V definici se předpokládá, že zákon platí pro hydrostatiku. Proto je změna tlaku velmi pomalá. Rychlost šíření tlakové změny je stejná jako rychlost zvuku v kapalině. Při vysokých rychlostech změny tlaku nelze na tento zákon spoléhat. Př. Proveďte kontrolu přehradní hráze, která má zadržet vodu o hloubce h = 60 m proti překlopení. Hráz předpokládejte betonovou, měrná hmotnost betonu ρb = 2 400 kg.m-3. Řešení: 1. U navržené hráze si zakreslíme průběh tlaku v závislosti na hloubce:
SPSKS 2. Vypočítáme polohu těžiště průřezu hráze. V tomto těžišti bude působit výsledná tíže hmotnosti hráze G. 3. Průběh tlaku na hráz je liniovou silou, která není konstantní. Z hlediska statiky lze liniovou sílu nahradit ekvivalentní silou, která prochází těžištěm obrazce (trojúhelníka) průběhu tlaku. 4. Podmínka pro nemožnost překlopení hráze je: G.r2 > P.r1 Do rovnice dosadíme, přičemž budeme uvažovat o průřezu hráze při její šířce 1 m. To znamená, že výpočty budou prováděny s plochou.: 50 + 10 G = V . ρb . g = ——— . 75 . ρb . g = 50 766,8 kN, 2 h.ρ.g F = s . p = h . l . ———— = 35 316,0 kN, 2 -159-
h r1 = — + 15 = 35 m. 3 Rameno r2 nalezneme řešením těžiště plochy:
Sn 750 1500
xn 45 26,6
S1 . x1T + S2 . x2T r2 = ———————— S1 + S2 = 32,73 m,
1 2a + b TO = — h ——— = 45,83 m. 3 a+b Dosazením do nerovnice: 50 766,8.103 . 32,73 > 35 316.103 . 35, 1 661,6.106 > 1 236.106.
SPSKS
Splnění nerovnice dokazuje, že betonová hráz má tvar, který nedovolí, díky její vlastní hmotnosti a tvaru, poruchu její stability. Př. Vypočítejte, jakou sílu vyvine lineární hydromotor, který má průměr pístu d = 150 mm při tlaku p = 16 MPa.
Řešení : 1. Vyjdeme ze základní rovnice: π . d2 F = p . S = p . —— = 282,74 kN. 4 Klasickou úlohou na pochopení Pascalova zákona je řešení hydraulického zvedáku. Zde tlak musí být stejný ve všech místech. Proto platí rovnice:
-160-
F1 p1 = —— S1
F2 p2 = ——. S2
Protože p1 = p2 můžeme rovnici napsat ve tvaru: F1 F2 —— = —— nebo v jiném tvaru F1 . S2 = F2 . S1. S1 S2
Př. Vypočítejte průměr válce D1 potřebný pro hydraulický zvedák, který má mít nosnost 25 t. Síla, kterou působíme na malý píst, je F2 = 150 N. Malý průměr pístu zvolte.
SPSKS
Řešení: 1. Hmotnost břemene přepočítáme na tíhu v gravitačním poli Země: G = F1 = m . g = 245,25 kN.
2. Rovnice pro výpočet hydraulického zvedáku má dvě neznámé, a to plochy válce a pístu. V takovém případě jeden průměr volíme a druhý je vázán matematickou formulací. Obvykle s ohledem na dovolený tlak v soustavě, který je dán soustavou těsnících prvků, volíme průměr pístu d2, kterým tlak vyvozujeme. Průměr pístu d2 volíme d2 = 5 mm. 3. Plocha S1 je potom dána vztahem: F1 . S2 S1 = ——— = 0, 321 m2. F2 4. Z vypočítané plochy válce zjistíme průměr válce: D1 = (4 . S1/π) ½ = 639 mm. Pozn. Rovnice hydraulického zvedáku popisuje rovnováhu sil. Nejčastějším nepochopením je, rovnice:
že
F1 . S2 = F2 . S1, vyjadřuje lineární vztah mezi průměry pístu a válce. V rovnici však figurují plochy, v nich jsou implicitně skryty průměry, ale ve druhé mocnině. Jinak formulováno, jestliže zvětšíme průměr pístu -161-
2x, při konstantní síle plocha vzroste 4x, a tím i 4x poklesne tlak v hydraulické soustavě. Další otázka, která vznikne, je vztah zdvihu pístu a zdvihu válce. Jejich vzájemná vazba je velmi jednoduchá. Vychází z principu ideální kapaliny, která je nestlačitelná. Proto objem kapaliny vytlačený pístem musí být stejný jako objem zdvihu válce. π . d1 2 π . d22 ——— . h1 = ——— . h2, 4 4
z čehož plyne
h1 d22 —— = ——. h2 d12
6.2 HYDROSTATIKA POHYBLIVÝCH SOUSTAV Z definic tlaku vyplývá, že jeho velikost je úměrná obecně zrychlení. Volná hladina kapaliny je potom kolmá na nositelku vektoru zrychlení. Pro hydrostatiku však nemusí být jediným zrychlením zrychlení gravitační. Takové případy nastávají u rotujících nádob nebo neinerciálních (zrychlujících) soustav. Několik typických případů, se kterými je možné se setkat v praxi, rozvedeme v této kapitole. Chování kapaliny při nerovnoměrném přímočarém pohybu Pokud se souřadná soustava pohybuje oproti jiné souřadné soustavě rovnoměrně zrychleným pohybem (neinerciální), působí na částice kapaliny vedle gravitačního zrychlení ještě zrychlení vztažné soustavy. Typickým příkladem je vlak, který se rozjíždí rovnoměrným zrychlením po niveletě (nemá žádné klesání ani stoupání). Jeho výsledné zrychlení je jako vektorová veličina dáno vektorovým součtem gravitačního zrychlení a zrychlení vlaku, které je kolmé na gravitační zrychlení. av = a + g.
SPSKS
Hladina kapaliny musí být kolmá na výslednici obou zrychlení. Její úhel mezi hladinou v klidu (při působení pouze gravitačního zrychlení) a momentální polohou lze vypočítat ze vztahu:
a tgα = —. g Pozn. V případě pohybu rovnoměrného přímočarého je zrychlení nulové. Koresponduje to s prvním Newtonovým zákonem. V případě, že se automobil nebo obecně zrychlující soustava pohybuje v obecné poloze, je situace složitější při vypočtu výsledného zrychlení a hlavně jeho polohy. Řešení je stejné jako ve statice - kapitola 2.6.
-162-
Př. Vlak veze otevřenou vanu, která je naplněna vodou podle obrázku. Vypočítejte, jakým maximálním zrychlením nebo zpomalením se může pohybovat po niveletě, aniž by voda tekla přes okraj. Řešení: 1. Maximální převýšení hladiny h = 750 mm. Z délky a převýšení lze vypočítat maximální úhel, při kterém voda nepřeteče. 2h tg α = ——, z čehož plyne, že α = 8˚ 30΄. l
SPSKS 2. Ze známého úhlu pak vypočítáme maximální velikost zrychlení nebo zpomalení: a tgα = —, z čehož plyne, že a = tgα . g = 1,47 m .s-2. g Chování kapaliny v rotujících nádobách Rotující nádoba se vyznačuje proměnnou hodnotou odstředivého zrychlení, která je nepřímo úměrná poloměru. Rotující nádoba se svislou osou rotace pracuje s vektorem gravitačního zrychlení, který se vektorově sčítá s kolmým vektorem odstředivého zrychlení. Odstředivé (normálové) zrychlení je:
-163-
v2 an = r . ω2 = ——. r Úhlová rychlost resp. obvodová rychlost je zde ve druhé mocnině a normálové zrychlení závisí i na poloměru. Hladina kapaliny bude ve tvaru rotačního paraboloidu. Parabola je druhého stupně. Původní hladina v nádobě bez rotace půlí výšku paraboloidu. Se zvyšováním otáček se mění tvar paraboly a lze se dopracovat "ztráty dna" paraboloidu. Při vodorovné ose rotace sčítáme vektory gravitačního a normálového zrychlení na jedné nositelce. To znamená ve směru osy y podle obrázku. Složka ve směru osy x se ruší pro symetrii. Podmínkou vytvoření prstence kapaliny je, že normálové zrychlení je větší než zrychlení gravitační (pro směr osy y).
SPSKS
Průběh hodnoty zrychlení v závislosti na polohovém úhlu při an = g je patrný z obrázku.
Obr. 71 Průběh výsledného zrychlení pro an = g pro vodorovnou osu rotace Protože zde platí Pascalův zákon a velikost tlaku je úměrná: p = ρ . av .h, bude tloušťka prstence proměnná podle proměnlivosti av. Pozn. Pro stavební obory jsou rotační nádoby teoretickým východiskem pro míchačky směsí, betonů apod. Je zde patrné, že pokud má docházet k míšení směsí, je nutné otáčky bubnu mít takové, aby nedocházelo k udržení prstence po obvodu nádoby. Míšený materiál tak z horní části padá dolů a dochází k míšení. -164-
6.3 HYDROSTATICKÝ VZTLAK Hydrostatický vztlak vychází z Archimédova zákona - Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno silou, která je úměrná měrné hmotnosti tekutiny, vytlačenému objemu a zrychlení. Fvz = ρ . V΄ . A, kde: Fvz [N] ρ [kg.m-3] V΄ [m3] a [m.s -2]
vztlaková síla, měrná hmotnost tekutiny, vytlačený objem, zrychlení, kterému je těleso vystaveno (v gravitačním poli g).
V definici je použito pojmu tekutina. Je proto nutné si uvědomit, že vztlaková síla se netýká pouze kapalin, ale i plynů. Měrná hmotnost tekutiny je přímo úměrná velikosti vztlakové síly. To znamená, že vztlaková síla tělesa v prostředí vzduch (ρ = 1,36 kg.m-3) je mnohem menší než nadlehčení například ve rtuti (ρ = 13 550 kg.m-3). V΄ představuje objem, který těleso vytlačí bez ohledu na jeho dutiny apod. Pozn. Vztlaková síla musí být v rovnováze s tíhou tělesa. Proto hmoty, které plavou nebo klesají ke dnu, tak budou činit i při jiných gravitačních konstantách (na jiných planetách). Jiný případ nastane, když hodnota zrychlení závisí na poloze, jako tomu je u rotujících nádob, kde zrychlení má tzv. gradient. Tady nelze Archimédova zákona použít.
SPSKS
Vzhledem k tíze mohou nastat tři případy: 1. 2. 3.
Vztlaková síla je větší než tíže - těleso plove po hladině. Vztlaková síla je stejná jako síla tíže - těleso se v kapalině vznáší. Vztlaková síla je menší než tíže - těleso klesá ke dnu.
Obr. 72 Plování, vznášení a klesání tělesa v tekutině Pozn. Vztlaková síla je vektorová veličina, a proto má svoje působiště. Tíže je rovněž vektorová veličina, a proto musí i ona mít svoje působiště „C“. Existuje pojem tzv. vztlakové výšky. Je to vzdálenost obou těchto působišť. Tento pojem souvisí se stabilitou plavidel, balónů a ponorek. Plavidlo bude stabilní tehdy, bude-li poloha těžiště „T“ plavidla pod polohou působiště vztlakové síly. Pokud je to obráceně, dojde k převržení plavidla. Tato skutečnost je důležitá pro umístění nákladu na lodích. Pokud je náklad velké hmotnosti umístěn na palubě místo uvnitř lodi, je nutné kontrolovat zátěž. Jinak se loď dostává do labilní rovnováhy, kdy při naklonění působící síly zvětšují výchylku.
-165-
Př. Vypočítejte vztlakovou sílu balónu o objemu V = 100 000 m3, který je naplněn horkým vzduchem ρh = 0,9 kg.m-3. Okolní studený vzduch má měrnou hmotnost ρs = 1,36 kg .m-3. Hmotnost vlastního balónu je m = 650 kg. Řešení: 1. Vyjdeme ze základního vztahu: Fvz = V΄. ρ . g, Na rozdíl od Archimédova zákona zde máme dvě hodnoty měrné hmotnosti. Vztlak vzniká jejích rozdílem. ρ = ρs - ρh = 0,46 kg.m-3. Za objem dosadíme celý objem balónu, protože je celý ponořen (nemá kde plavat). Dosazením do původní rovnice vypočítáme vztlakovou sílu:
SPSKS
Fvz = V . ρ . g = 451,2 6 kN.
2. Nosnost balónu je dána rozdílem vyjadřujeme v kilogramech, proto: Fvz mn = —— - m = 45 350 kg. g
vztlakové síly a vlastní
hmotnosti
balónu. Nosnost
Pozn. Pro výpočty Archimédova zákona v prostředí plynů je třeba mít na paměti, že rozdíly jejich měrné hmotnosti jsou relativně malé a velmi záleží na teplotě plynů. Pro kapaliny jsou rozdíly měrných hmotností podstatně větší a kapaliny mění měrnou hmotnost v závislosti na teplotě velmi málo. Archimédův zákon v běžné praxi zanedbává skutečnost, že plovoucí těleso je ve dvou prostředích - vodě a vzduchu. To znamená, že část objemu nad hladinou vody je rovněž nadlehčována tím, že je ponořena v tekutině – vzduchu. Za normální teploty je však měrná hmotnost vzduchu asi 750x menší než vody. To znamená, že chyba ve výpočtech, kdy zanedbáme vliv vzduchu, je v řádu promile. To je chyba, která se při požadovaných bezpečnostech zdá naprosto nepatrná.
-166-
6.4 HYDRODYNAMIKA Hydrodynamika se zabývá zákonitostmi proudících kapalin. V hydrostatice kapalina buď neproudila vůbec, nebo velmi pomalu, např. u lineárního hydromotoru při jeho plnění. Vedle základních veličin potřebných pro hydrostatiku budeme potřebovat ještě tyto pojmy: Rychlost w [m.s-1] je rychlost pohybu částic. Protože tato rychlost není po průřezu stálá, rozlišujeme ještě tzv. průřezovou rychlost. Je to aritmetický průměr rychlostí všech částic ve zkoumané ploše. Podle průběhu rychlostí po ploše rozlišujeme dva typy proudění: - laminární proudění - je to proudění, kdy kapalina nemá pohyb. Tedy ani vektor rychlosti kolmý na směr proudění. Nebo jinak řečeno - částice se pohybují jakoby po vlákně, které má v průřezech stále stejnou polohu. Takové proudění má malý odpor, a když bychom uprostřed potrubí injektovali barvivo do vody, táhlo by se potrubím jako nit po velké délce, aniž by bylo rozpuštěno, - turbulentní proudění - je takové proudění, kdy částice kromě pohybu ve směru proudění kapaliny vykazuje určitou míru příčného proudění. Pokud do tohoto proudění injektujeme kontrastní látku, velmi rychle se na krátké dráze rozpustí. Hranice mezi prouděním laminárním a turbulentním je dána tzv. Reynoldsovým číslem. Jeho velikost závisí na rychlosti a délce potrubí nebo plochy a nepřímo úměrně na kinematické viskozitě. Pro proudění tekutin v potrubí letadla apod. je výhodnější zachování laminárního proudění, protože má menší odpor. Pro technologie míchání směsí je naopak třeba vyvolat proudění turbulentní.
SPSKS laminární Obr. 73 Průběh rychlosti po průřezu
turbulentní
Průtočné množství Vt [m3.s-1] je objem kapaliny, který proteče sledovanou plochou za jednotku času. Pro hydrodynamiku lze objem vypočítat: V = S . l, kde: S [m2 ] velikost průřezu potrubí, 1 [m] délka potrubí. V Vt = —, t l dosazením za V vidíme, že poměr — = w můžeme napsat konečný vztah: t Vt = S . w, -167-
w [m.s-1] je zde průřezovou rychlostí. Hmotnostní tok mt [kg.s-1] je hmotnost kapaliny, která proteče sledovaným průřezem za jednotku času. Jeho velikost je dána součinem průtočného množství a měrné hmotnosti: mt = Vt . ρ. Viskozita - je pojem, který vyjadřuje vnitřní tření v kapalině. Dělíme ji na kinematickou a dynamickou. Vztah mezi nimi je dán měrnou hmotností kapaliny. Jde o poměrně složitý pojem a pro účely tohoto vzdělání lze doporučit učebnici Nauka o materiálech, kde je pojem názorně vysvětlen. 6.5 ROVNICE KONTINUITY (ROVNICE SPOJITOSTI TOKU) Potrubím, které má proměnlivý průřez, protéká ustáleným tokem kapalina. Ze zákona zachování hmoty plyne, že hmotnostní tok všemi průřezy musí být stejný. mt1 = mt2 = mt3 = ………..mtn Do rovnice dosadíme: S1 . w1 = S2 . w2 = S3 . w3 = .........................Sn . wn, nebo také: S . w . ρ = konst.
SPSKS
Pro dva libovolné průřezy potrubí platí rovnice kontinuity: S . w1 = S2 . w2.
Př. Čerpadlo dodává do potrubí vodu (ρ = 1 000 kg.m-3) v množství V = 150 l. min-1. Vypočítejte rychlost proudění potrubím w1, je-li jeho světlost d1 = 40 mm. Vypočítejte, jakou výtokovou rychlost má voda z koncovky hadice w2, která má průměr d2 = 3 mm. Vypočítejte hmotnostní tok. Řešení: 1. Vypočítáme průtočné množství: V Vt = — = 0,0025 m3.s-1. t
2. Průřezová rychlost je dána rovnicí kontinuity:
Vt = S1 . w 1,
Vt z čehož vyplývá, že w1 = — = 1,98 m.s-1. S1 -168-
3. Výtoková rychlost z koncovky je dána rovněž rovnicí kontinuity: Vt w2 = — = 3,53 m.s-1. S2 4. Hmotnostní tok je v každém průřezu stejný, výpočet provedeme například na průřezu 1: mt = S1 . w1 . ρ = 2,5 kg.s-1. Pozn. V definici rovnice kontinuity je použit pojem "ustálený tok". To znamená, že průřezy a průtok se po nějakou dobu nezměnily. Tato rovnice při směnách průřezu vyvolává jevy, kterým se odborně říká přechodové stavy. Jejich vlastností je, že působí pouze po určitou dobu, než odezní. Kapalina je v této rovnici považována opět za nestlačitelnou a platí nejenom pro hmotnostní tok, ale i pro objem. V případě plynů jde o složitější jev, protože hmotnostní tok zůstává konstantní, ale plyn je stlačitelný a mění se i ostatní veličiny.
6.6 BERNOULLIHO ROVNICE
SPSKS
Bernoulliho rovnice je matematickým vyjádřením zákona o zachování energie. Její odvození je nejpochopitelnější na proudové trubici, která má proměnlivý průřez a mění výšku v gravitačním poli.
Stav kapaliny v průřezu S1 od zvolené základní roviny je dán těmito veličinami: tlakem p1, měrnou hmotností ρ1, rychlostí w1. Stav kapaliny vystupující průřezem S2 je analogicky dán: tlakem p2, měrnou hmotností ρ2, rychlostí w2. Kapalina na vstupu i na výstupu bude mít celkovou mechanickou energii, která je dána součtem všech jejích forem. -169-
Ec = Ek + Eql + Epl = konst. kde: Ec [J] Ek [J] Eg [J] Ep [J]
je celková mechanická energie sledované soustavy, je kinetická energie (pohybu) kapaliny, je potenciální energie (polohy) kapaliny, je tlaková energie.
Pomocí hmotnosti vyjádříme jednotlivé energie tak, jak to známe z dynamiky: m . w12 m . p1 m . w22 m . p2 ——— + m . g . h1 + ——— = ——— + m . g . h2 + ———. 2 ρ1 2 ρ2 Toto je obecný tvar Bernoulliho rovnice, kde je předpokládána i změna měrné hmotnosti díky stlačitelnosti plynů. Pro kapalinu platí, že ρ1 = ρ2 = ρ. Dále na pravé i levé straně rovnice jsou gravitační zrychlení g a hmotnost (hmotnostní tok) m. Pokud rovnici podělíme součinem m.g a budeme předpokládat nestlačitelnost (dosadíme ρ), nabude rovnice tvar: p1 w22 p2 w12 —— + h1 + —— = —— + h2 + ——. 2g ρ.g 2g ρ.g
SPSKS
Tato podoba rovnice je velmi výhodná pro velké množství praktických výpočtů. Její význam je v tom, že pracuje s energiemi ve třech formách, které se navzájem mohou měnit, přičemž jejich součet je konstantní. Vodní stroje, tj. turbíny a čerpadla, jsou počítány na základě Bernoulliho rovnice. Př. Vypočítejte výtokovou rychlost, kterou získá voda, jenž je vypouštěna potrubím z vodní nádrže, je-li převýšení h = 350 m. Řešení: 1. Pokud je přívodní potrubí uzavřeno, je kinetická energie nulová a veškerá energie je ve formě potenciální energie: Eg = m . g . h.
2. Po otevření ventilu se potenciální energie mění na energii kinetickou: -170-
m . w2 Ek = ——. 2 Změna jedné formy energie na druhou znamená jejich rovnost: m . w2 m . g . h = ———, z čehož vyplývá, že w = (2 . g . h)1/2 = 82, 86 m.s-1. 2 Pozn. Za povšimnutí zde stojí, že výtoková rychlost obecně kapaliny nezávisí na její měrné hmotnosti. To je v souladu s Newtonovým gravitačním zákonem. Je zde třeba mít na paměti, že se apriori předpokládá, že nádrž má objem vody o několik řádů větší, než je objem zaplněného potrubí. Tato rovnice bude platit teprve v ustáleném stavu, tedy po nějaké době, kdy odezní přechodové stavy. Jinak řečeno hladina vody po otevření ventilu nesmí např. významně klesat. Př. Vypočítejte, do jaké výšky "dostříkne" proud vody ve fontáně, když je voda vháněna do trysky pod tlakem p = 5 MPa. Řešení: 1. Energie tlaku se zde mění na energii kinetickou, která má formu výtokové rychlosti z trysky. Ta se dále mění na potenciální energii polohy částice v gravitačním poli.
2. Sestavíme rovnici:
SPSKS
m.p p —— = m .g . h, z čehož plyne, že h = —— = 509,68 m. ρ ρ.g
Pozn. Dosažená výška bude v praxi zmenšena vlivem odporu vzduchu proti proudění kapaliny. Bernoulliho rovnice je i obecnou ideou pro vztlak neboli schopnost letu těles, pro které nelze uplatnit Archimédův zákon. Představme si profil křídla, ten musí být obtékán proudem vzduchu, který je na hraně křídla rozdělen do dvou větví. Dvě molekuly vzduchu se pohybují po proudnicích vedle sebe. Jedna obletí profil křídla po dráze, která vede nad křídlem. Druhá molekula proběhne dráhu pod křídlem. Za křídlem se obě molekuly opět přiblíží a pokračují po proudnici ve tvaru -171-
přímky. Pro obě částice musí platit Bernoulliho rovnice. Tím, že se částice přiblíží na konci křídla, lze dokázat, že jedna částice vykonala za stejný čas delší dráhu. Pro obě částice platí: m . w12 m . p1 m . w22 m . p2 ——— + m . g . h1 + ——— = ——— + m . g . h2 + ———. 2 ρ1 2 ρ2 Pro jednoduchost budeme předpokládat, že křídlo se pohybuje v konstantní výšce. Proto výšky obou částic zůstanou stejné h1 = h2. Členy rovnice, které postihují potenciální energii, proto můžeme z dalších úvah vyloučit (nemění se). Dále můžeme i pro vzduch v podzvukových rychlostech předpokládat nestlačitelnost. Z ní vyplývá, že ρ1 = ρ2. V rovnováze musí být proto energie kinetická a energie tlaku. Částice 1 má delší dráhu při obtékání, to ale znamená vyšší rychlost w1 > w2, což v Bernoulliho rovnici musí na druhé straně znamenat sníženi tlaku p1 < p2. w12 p1 w22 p2 —— + h1 + —— = — + h2 + —— 2g ρ .g 2g ρ .g Přidáme-li křídlu třetí rozměr, lze konstatovat, že nad křídlem (kde obtéká průřez částice 1) je menší tlak než pod křídlem. Rozdíl tlaku vynásobený plochou křídla je síla. Tato síla se nazývá vztlak: Fvz = (p1 – p2) . S.
SPSKS
6.7 RÁZ VODNÍHO SLOUPCE V technické praxi je ráz vodního sloupce velice nebezpečnou skutečností. Vzniká rychlým uzavíráním zejména dlouhých potrubí. Vznikají při něm síly, které dokážou překonat pevnost i těch nejpevnějších materiálů. Jde o vlnovou záležitost, ale pro jednoduchost si ukážeme jen ty nejzákladnější principy, které ráz způsobují. Představme si potrubí délky např. 1 = 3 km o průměru d = 100 mm. Potrubím proudí voda (ρ = 1 000 kg.m-3). Její rychlost je dána výškou hladiny h = 200 m. Rychlost, kterou kapalina proudí v ustáleném stavu, je: w = (2 . g . h)1/2 = 62,64 m.s-1. Hmotnost vody v celém potrubí je dána součinem objemu a měrné hmotnosti vody: π . d2 m = Vt . ρ = ——— . ρ . l = 94 247 kg. -172-
4 Hybnost pohybujícího se sloupce kapaliny je dána součinem hmotnosti a rychlosti: H = m . w = 5 903 681 kg . m.s-1.
Pokud bychom chtěli zastavit zmíněný sloupec vody za krátký čas, např. t = 1 s, můžeme zjistit ze základní rovnice dynamiky velikost síly, která takto vznikne:
F . t = m . w,
z toho vyplývá, že
m.w F = —— = 903 681 N. t
SPSKS
Z uvedeného příkladu je patrné, že zastavit rychle proud vody je nebezpečné z důvodu velkých sil. Řešení spočívá v tom, že potrubí musí mít uzávěry konstruovány tak, že prostě prudce zavřít nejdou. Pozn. Hrubě popsaný děj je ve skutečnosti mnohem složitější, protože vzniklá síla působí po velmi krátkou dobu. Vzniká tak tlaková vlna, která se pohybuje proti proudu. Ta se na konci odrazí a běží s opačnou amplitudou zpět a potkává další vlny. Pokud dojde k interferenci obou vln, síly se ještě sčítají.
-173-
7.0 ZÁKLADNÍ POJMY TERMOMECHANIKY Termomechanika je nauka o teple. Je to poměrně rozsáhlá část technické mechaniky. Její aplikace je náročná na matematický aparát. Základní terminologii termomechaniky tvoří: Teplo Q [J] je forma - druh energie. Jeho podstatou je kinetická energie částic, které tvoří zkoumanou látku (atomy, molekuly). Pozn. Dřívější jednotkou tepelné energie byla jedna kalorie (cal), ta byla odvozena od energie potřebné k ohřátí 1 kg vody v přesně definovaném rozsahu teploty o jeden stupeň. Převod mezi kilokalorií a Jouly je: 1 kcal = 4186,8 J. Měrná tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1] je množství tepla, které je potřebné k ohřátí 1 kg látky o 1 K. Měrná tepelná kapacita tuhých a kapalných látek a kapalin se mění s teplotou. Tato změna není při malých rozdílech teplot při ohřevech nebo ochlazení velká, a proto lze měrnou tepelnou kapacitu považovat za konstantu. Pro plyny (to je také pro páry) je měrná kapacita závislá na tom, zda ohřev nebo ochlazení probíhá za konstantního tlaku nebo konstantního objemu. Měrná tepelná kapacita se označuje indexem, který symbolizuje buď konstantní tlak (cp), nebo konstantní objem (cv). Poměr obou měrných tepelných kapacit cp/cv = κ. Je to rovněž konstanta a nazývá se adiabatický exponent. Měrné skupenské teplo tání (nebo tuhnutí) lt. [J.kg-1] je množství tepla, které je nutno látce o hmotnosti 1 kg dodat (nebo odebrat), aby změnila skupenství z pevné látky na kapalnou (a naopak).
SPSKS
Měrné skupenské teplo výparné (nebo kondenzační) ly [J.kg-1] je množství tepla, které je nutno látce o hmotnosti 1 kg dodat (nebo odebrat), aby změnila skupenství z kapalné látky na plyn (nebo naopak). Součinitel délkové roztažnosti α [K-1] je hodnota prodloužení tyče daného materiálu o délce 1 m, která byla ohřátá o 1 K. Součinitel objemové roztažnosti ß [K-1] lze definovat obdobným způsobem jako součinitel délkové roztažnosti. Protože objem elementární krychle je dán součinem jeho tří rozměrů, platí, že: ß = 3α. Spalné teplo je množství tepla, které získáme dokonalým spálením 1 kg paliva při využití kondenzačního tepla vodní páry. Běžnější je pro praxi pojem výhřevnost. Výhřevnost je spalné teplo zmenšené o výparné teplo páry. Pozn. Touto problematikou se zabývá termokinetika. Ta zkoumá spalná tepla při redoxních chemických reakcích. Spalování látek typu uhlí, nafta, benzín, zemní plyn apod. však představuje sledování několika stovek různých reakcí. Proto pro technické účely není vhodné sledovat termokinetiku spalování, ale s výhodou se využívá výhřevnosti.
-174-
7.1 OHŘEV (OCHLAZENÍ) TUHÝCH A KAPALNÝCH LÁTEK Spotřeba energie pro ohřev a ochlazení látek je častou úlohou v technické praxi. Základním vztahem pro výpočet tepla je: Q = m . c . (T2 – T1) = m . c . (t2 – t1), kde: Q [J] teplo, m [kg] hmotnost látky, c [J.kg-1.K-1] měrná tepelná kapacita dané látky, T2(t2) [K] teplota na konci děje, T1(t1) [K] teplota na začátku děje. Je evidentní, že rozdíl v závorce může nabývat kladných i záporných hodnot. Proto i teplo má znaménka +, -. Zde je opět nutné zavést konvenci. Platit bude, že je-li: Q> 0 teplo látce přivádíme - ohříváme ji, Q < 0 teplo látce odnímáme - odvádíme teplo. hodnoty měrné kapacity některých kovů kov c [J . kg-1 . K-1] bronz 385 cín 234 dural 913 hliník 921 ocel 461 olovo 130 zinek 389
SPSKS
Př. Vypočítejte, kolik tepla je třeba k ohřátí zlomkové litiny o hmotnosti m = 1500 kg z teploty t1 = 20 °C na teplotu tavení t2= 1160 °C. Střední měrná tepelná kapacita je c = 0,544 kJ.kg-1 . K-1. Řešení: 1. Dosadíme do rovnice: Q = m .c .(t2 - t1) = 930,24 MJ. Př. Vypočítejte, o kolik stupňů se ohřeje voda o množství m = 15 kg s počáteční teplotou = 25 °C při kalení součásti z ocele o hmotnosti m = 1,5 kg z teploty kalení t2 = 950 °C. Řešení: 1. Teplo, vzniklé ochlazením kalené součásti (index o), bude ohřívat vodu (index v). Základní rovnice proto bude mít tvar: Qo = Qv,
t1
mo . co . (t2o – t1o) = mv . cv . (t2v – t1v).
Z rovnice je patrné, že neznámé jsou v rovnici dvě. Pokud má být rovnice řešitelná, je třeba předpokládat, že hmotnost kalicí vody je mnohem větší, než je hmotnost ocelové součásti. V takovém případě teplota ocelové součásti klesne až na teplotu chladicí vody. Zavádíme zde určitou chybu, kterou lze zanedbat pouze za předpokladu, že hmotnost ochlazující lázně je řádově větší než -175-
hmotnost ochlazované součásti a tato podmínka je zadáním splněna. Dosazením za co a cv upravíme rovnici: mo . co . to tv = ———— = 10 °C, mv . cv Voda se ochlazením součásti ohřeje o 10 °C. 7.2 PŘEMĚNY SKUPENSTVÍ LÁTEK Změny skupenství látek souvisejí s měrným skupenským teplem tání a vypařování. Zde je nutné dodat, že měrné skupenské teplo se týká i změn krystalické stavby některých materiálů, mezi něž patří i ocel. Tato vlastnost se nazývá alotropie. Se zanedbáním alotropie vypadá postup ohřevu tak, že přivádíme pevné látce teplo. Její teplota vzrůstá až do bodu tavení, kde se náhle vzrůst teploty zastaví a veškeré dodávané teplo se spotřebuje na změnu skupenství. Jakmile je veškerá zkoumaná látka v podobě taveniny, tedy v kapalném stavu, začíná teplota taveniny vzrůstat. Vzrůst teploty taveniny se zastaví na teplotě varu, kdy se zkoumaná látka začíná odpařovat. Veškeré přiváděné teplo se spotřebuje na změnu skupenství z kapaliny na plyn. Po přeměně veškeré kapaliny na plyn začne teplota opět vzrůstat.
SPSKS Obr. 74 Průběh teploty v závislosti na přiváděném teple a změny skupenství
Změna skupenství je doprovázena spotřebou nebo uvolňováním energie. Nejznámější látkou, kterou známe ve všech jejich skupenstvích, je voda. Ne náhodou je základní podmínkou života. Z pohledu Mendělejevovy tabulky nacházíme za normální teploty pouze dva prvky v kapalném stavu a to rtuť (kov) a brom (halogen). Prvků v plynném stavu je více, včetně vzácných plynů, všechny ostatní prvky jsou v pevném stavu (fázi). Každý prvek lze převést na tuhou, kapalnou i plynnou fázi. Ne však každou sloučeninu, která je dána chemickou vazbou. V praxi proto musíme počítat s uvolňováním tepla při různých chemických reakcích, změnách skupenství a překrystalizaci. S ohledem na zaměření oborů sem patří tavení slitin, tepelné zpracování, u kterého se uplatňuje překrystalizace, tuhnutí betonů a polymerace plastických hmot, jarní tání, rozpouštění látek v roztocích apod. Všechny tyto přeměny jsou doprovázeny změnami teploty a absorbováním nebo uvolňováním tepla, které je nutné mít na zřeteli.
Hodnoty měrných skupenských tepel se naleznou ve speciálních tabulkách. Potřebné teplo ke změně skupenství je pak dáno součtem tepla potřebného k ohřevu na teplotu přeměny (tavení nebo vypařování) a příslušného měrného tepla. -176-
Pozn. Měrná tepla se někdy nazývají latentní (skrytá).
7.3 TEPELNÁ ROZTAŽNOST PEVNÝCH LÁTEK Tepelná roztažnost pevných látek je v technické praxi velmi často řešená problematika. Změnou teploty se mění rozměry součástí. Obvykle je posuzována změna největšího rozměru. U nosníku to bývá délka. Změny rozměrů se musí kompenzovat technickými opatřeními, jako jsou vůle, lyry, ložiska, dilatační spáry apod. Základním vztahem pro změnu délky je: ∆l = l0 . α . ∆t, kde: ∆l [m] prodloužení rozměru (absolutní), l0 [m] původní rozměr, -1 α [K ] součinitel délkové roztažnosti, ∆t [K] rozdíl teplot. Př. Vypočítejte potřebnou délku pojezdu mostního ložiska mostní konstrukce z předpjatého betonu o původní délce l0 = 100 m při rozdílu teplot léto - zima t = 60 °C. Řešení: 1. Nalezneme koeficient teplotní roztažnosti α = 0,000 012 (ocel i beton mají tento koeficient stejný, pokud by nebyl stejný, bylo by nutné použít jiný materiál na předepínací kabely). Dosadíme do rovnice:
SPSKS
∆l = l0 . α . ∆t = 78 mm. Pojezd pro ložisko mostu bude postačovat v délce 78 mm. 7.4 TERMODYNAMIKA PLYNŮ Látky plynného skupenství nazýváme vzdušniny. Dělíme je na plyna a páry. Plyny se od par liší tím, že jejich kritická teplota (rozuměj teplota varu) leží hluboko pod teplotami, při nichž s nimi obvykle pracujeme. Pro jednodušší práci s plyny proto zavádíme pojem ideální plyn. Jeho vlastnostmi jsou nezkapalnitelnost a má konstantní měrnou tepelnou kapacitu cp, cv. Skutečné plyny, jako kyslík, dusík, vzduch apod., se svými vlastnostmi příliš od ideálního plynu neodlišují.
-177-
7.4.1 ROVNICE STAVU IDEÁLNÍHO PLYNU Stav plynu je určen základními stavovými veličinami, kterými jsou: objem, tlak a teplota. Dvě veličiny stavu lze zvolit, třetí je však určena dvěma zvolenými. Na základě experimentů byla nalezena rovnice ideálního plynu: p . v = m . r . T, kde: p[Pa] v [m3.kg-1] m [kg] r [J. kg-1 .K-1 ] T [K]
tlak plynu, měrný objem plynu, hmotnost plynu, měrná plynová konstanta, absolutní teplota.
Potřebné "konstanty" pro plyny se dají nalézt ve speciálních tabulkách.
plyn acetylén amoniak benzen dusík etan etylen chlor kyslík oxid uhelnatý propan vodík vzduch
hodnoty fyzikálních veličin některých plynů měrná tepelná kapacita měrná plynová konstanta [J . kg-1 . K-1] [J . kg-1 . K-1] cp cv 1323 1529 319 1555 488 2056 1252 1117 444 1038 739 296 276 1645 1348 1181 296 1474 375 117 502 917 657 260 1043 743 297 1310 184 1507 10111 4128 14235 714 287 1005
SPSKS
Př. V tlakové nádobě o objemu V = 0,5 m3 je stlačen vzduch na tlak p = 10 MPa při teplotě t = 30 °C. Vypočítejte jeho objem Vn za normálních podmínek (pn = 0,1 MPa, Tn = 273 K) a jeho hmotnost. Řešení: 1. Nalezneme hodnotu konstanty r pro vzduch r = 287 J . kg-1 . K-1. Dosadíme do rovnice: p . v p1 . v1 p2 . v2 pn . vn r = —— = ——— = ——— = ……. ———, T T1 T2 Tn p1 . V1 pn . Vn p1 . V1 Tn ——— = ———, z čehož plyne, že Vn = ——— . —— = 45 m3, T1 Tn T1 pn pn . Vn m = ——— = 57,49 kg. r . Tn -178-
7.4.2 ZÁKLADNÍ VRATNÉ ZMĚNY PLYNU Pod pojmem změna stavu plynů budeme rozumět proces, při kterém se mění stavové veličiny p, v, T. Při vratné změně probíhají tyto procesy teoreticky beze ztrát. To znamená, že mohou probíhat v obou směrech a stále. V praxi však dochází vždy ke ztrátám, na které je třeba brát zřetel. Změny u skutečných plynů jsou proto nevratné. Snad nejtypičtějším příkladem nevratné změny reálného plynu je škrcení, tj. snižování jeho tlaku zvětšováním objemu. Některé změny jsou však velmi blízké ideálnímu plynu a využívá se jich v technické praxi. Změna stavu plynu probíhající za stálého objemu - izochorická změna Pro izochorickou změnu platí V= konst. Proto budou mít stavy před a po změně tvar: p1 . V = m . r . T1, p2 . V = m . r .T2. Úpravou (podělením) vztahů dostaneme: p1 T1 — = —. p2 T2 Tento vztah je vyjádřením tzv. Charlesova zákona. V praxi se tato změna vyskytuje při ohřevu nebo ochlazování plynů v uzavřené nádobě stálého objemu. To je přibližně případ fáze hoření paliva v kompresním prostoru spalovacího motoru. Množství tepla Q, které je nutné přivést, resp. odvést, při změně probíhající za stálého objemu, je dáno vztahem:
SPSKS
Q = m . cv . (T2 - T1). Ze vztahu vyplývá, že ohříváme-li plyn v uzavřené nádobě beze změny objemu, zvětšuje se jeho teplota i tlak.
Obr. 75 Izochorická změna v diagramu p - v Změna stavu plynu probíhající za stálého tlaku - izobarická změna Pro izobarickou změnu platí, že p = konst. Dosazením do základní rovnice stavu před a po změně platí:
-179-
p .V1 = m . r . T1, p .V2 = m . r . T2. Úpravou (podělením) vztahů dostaneme: V1 T1 — = —. V2 T2 Uvedený vztah je matematickým vyjádřením Gay-Lussacova zákona, který určuje vztah mezi změnou objemu plynu a změnou jeho teploty za stálého tlaku. V praxi tato změna přibližně nastává při ochlazování nebo zahřívání plynu ve válci s pístem, na nějž působí konstantní tlak. Tak tomu je třeba u plynojemů. Množství tepla, které je nutné přivést, resp. odvést, je potom: Q = m . cp . (T2 - T1). Ze vztahu také vyplývá, že pokud ohříváme (ochlazujeme) plyn ve válci za stálého tlaku, zvětšuje (zmenšuje) se jeho objem.
SPSKS Obr. 76 Izobarická změna stavu plynu v diagramu p –v Změna stavu plynu probíhající za stálé teploty - izotermická změna Pro izotermickou změnu platí, že T = konst. Dosazením do základní rovnice platí: p1 . V1 = m . r . T, p2 . V2 = m . r . T. Porovnáním obou vztahů dostaneme: p1 . V1 = p2 . V2 nebo v jiném tvaru: p1 V2 — = —. p2 V1 Vztah je matematickým vyjádřením Boyleova zákona. Tato změna nastává v praxi při stlačování (resp. zřeďování) plynu při současném odvodu (resp. přívodu) tepla. Přibližně se s ní dá počítat v prostoru válce pístového kompresoru. Množství tepla Q, které je nutné plynu odvést při změně probíhající za stálé teploty, je: -180-
V2 p1 Q = p1 . V1 . ln — = m . r . ln —. V1 p2
Obr. 77 Izotermická změna stavu plynu v diagramu p - v Ostatní změny stavu plynů Z dosavadního výkladu zdánlivě plyne, že žádné další změny stavu plynu nemohou existovat. Většina změn stavů plynů uskutečňovaných v tepelných strojích probíhá v oblasti mezi změnou izochorickou a izotermickou. Pro skutečnou změnu reálných plynů platí rovnice: p1 . V1n = p2 . V2n.
SPSKS
Uvedený vztah je rovnicí polytropy. Skutečné změny stavu reálného plynu jsou tedy změnami polytropickými. Polytropický exponent se pohybuje v rozmezí 1 – n: n = 0 změna izobarická, n = 1 změna izotermická, n = n změna polytropická (za stálé konstanty c), n = κ změna adiabatická (bez výměny tepla), n → ∞ změna izochorická.
Obr. 78 Závislost p - v při různých n
-181-
7.5 TEPELNÉ STROJE Z pohledu termomechaniky si uvedeme pouze základní tepelné stroje, které jsou s ohledem na studované obory nejpoužívanější. Kompresory Kompresory stlačují plyny (nejčastěji vzduch) na vyšší tlak. Po nasátí do prostoru válce probíhá stlačování (komprese). V diagramu p - V je tato změna dána exponenciální křivkou. Plocha pod křivkou v diagramu p - v je práce potřebná na vykonání jednoho cyklu. Z hlediska práce, tj. potřebného příkonu motoru kompresoru, je patrné, že plyn při kompresi zvyšuje svoji teplotu a vzniká tak teplo jako ztrátová energie. Kompresor musíme chladit. Proto je část práce (příkonu) spotřebována bez užitku na zvýšení teploty, kterou je nutné považovat za ztrátu. Ideální by byl kompresor, který by dokázal stlačovat plyn za konstantní teploty - izotermická změna. Zde by n = 1 a křivka stlačování v diagramu p - v (p - V) by ohraničovala menší plochu. Skutečná změna v kompresoru je polytropická nebo adiabatická. Naopak stroje, které využívají energie stlačeného vzduchu, pracují na principu expanze plynu do atmosféry (normálního tlaku). Tím odevzdávají práci. U expandujícího plynu klesá teplota.
Spalovací motory U spalovacích motorů probíhá vzrůst teploty a tepla spalováním paliva uvnitř válce. Existují i motory, u kterých probíhá mimo válec. V diagramu p - V je děj rozdělen na sání, kompresi, expanzi a výfuk. Z hlediska termomechaniky je snahou kompresi provést s co nejmenšími nároky na práci a expanzi využít až do tlaku blízkému atmosférickému. Tato snaha má svoje limity. Snižování spotřeby práce, na kompresi se prakticky neprování, i když je teoreticky možná např. nasáváním vody se vzduchem odnímat teplo jejím vypařováním. Pro využití expanze se používají turbodmychadla, která expanzí spalin za spalovacím prostorem pohání přeplňovací dmychadlo, které do válce dodává vzduch pod tlakem vyšším, než je atmosférický, a tak umožňuje spálit více paliva v daném prostoru.
SPSKS
Obr. 79 Spalovací motor v diagramu p - V
-182-
Pozn. Tepelné stroje jsou z hlediska termomechaniky dosti složitá zařízení. Jejich výpočty přesahují rámec této učebnice. Existuje celá řada tepelných strojů, které se snaží získat co největší podíl tepelné energie ve prospěch práce. Teoreticky je možné zvyšovat tepelnou účinnost spalovacích motorů velikostí kompresního poměru. To však způsobuje obrovské potíže při konstrukci takových strojů, protože neúměrně vzrůstají tlaky, teploty spalování a chemické reakce probíhají za jiných podmínek. Zatím nejpoužitelnější a nejpřijatelnější jsou pístové spalovací motory, i když jim byla mnohokrát předpovídána chmurná budoucnost s ohledem na turbíny a motory nových konstrukcí.
SPSKS
-183-
OBSAH ÚVODEM 1.0 ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SI …………………………………………………………….. Doplňkové jednotky ……………………………………………………………………………. Odvozené jednotky …………………………………………………………………………….. Násobky a díly ............................................................................................................................. 1.1 ZÁKLADNÍ ZÁKONY MECHANIKY ………………………………………………… 1.2 ZÁKLADNÍ POJMY ……………………………………………………………….......... 1.3 SÍLA JAKO VEKTOR…………………………………………………………………… 1.4 ROZDĚLENÍ TECHNICKÉ MECHANIKY …………………………………………….
3 3 4 4 4 5 6 7
STATIKA 2.0 ÚVOD DO STATIKY …………………………………………………………………… 2.1 DRUHY VNĚJŠÍHO ZATÍŽENÍ ………………………………………………………… 2.2 STABILITA ROVNOVÁŽNÉ POLOHY ………………………………………………. 2.3 EKVIVALENCE SIL V JEDNOROZMĚRNÉM PROSTORU ………………………. 2.4 EKVIVALENCE ROVNOBĚŽNÝCH SIL V DVOUROZMĚRNÉM PROSTORU…… 2.5 DVOJICE SIL …………………………………………………………………………… 2.6 EKVIVALENCE SOUSTAVY SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM VE DVOUROZMĚRNÉM PROSTORU………………………………………………... 2.7 EKVIVALENCE SOUSTAVY ROVNOBĚŽNÝCH SIL V TROJROZMĚRNÉM PROSTORU……………………………………………………………………………... 2.8 EKVIVALENCE SOUSTAVY SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM V TROJROZMĚRNÉM PROSTORU…………………………………………………... 2.9 STATIKA DOKONALE TUHÉHO TĚLESA………………………………………….. 2.10 TĚŽIŠTĚ TĚLES………………………………………………………………………... Souřadnice těžiště rovinné křivky…………………………………………………………….. Souřadnice těžiště plochy……………………………………………………………………... 2.11 GULDINOVY VĚTY…………………………………………………………………... 2.12 TŘENÍ…………………………………………………………………………………... Tření smykové………………………………………………………………………………… Tření v klínové drážce………………………………………………………………………… Samosvornost…………………………………………………………………………………. Valivé tření……………………………………………………………………………………. Tření ohebného vlákna………………………………………………………………………... 2.13 STATICKY URČITÉ NOSNÍKY……………………………………………………… 2.14 STATIKA TUHÉ DESKY……………………………………………………………...
28 30 32 32 35 40 44 44 46 47 48 49 50 58
PRUŽNOST A PEVNOST 3.0 ZÁKLADNÍ POJMY PRUŽNOSTI A PEVNOSTI…………………………………… 3.1 DRUHY NAMÁHÁNÍ………………………………………........................................ Hookeův zákon………………………………………………………………………………. 3.2 MEZNÍ STAVY……………………………………………………………………….. 3.3 TAH……………………………………………………………………………………. 3.4 TLAK…………………………………………………………....................................... 3.5 OHYB………………………………………………………………………………….. 3.5.1 KVADRATICKÉ MOMENTY PLOCH………………………………………………. Kvadratické momenty složených ploch se společným těžištěm………………………........... Kvadratické momenty složených ploch bez společného těžiště - Steinerova věta………….... 3.5.2 OHYBOVÉ MOMENTY………………………………………………………………. 3.5.3 PRŮŘEZOVÝ MODUL V OHYBU…………………………………………………..
60 61 63 64 65 69 73 73 77 78 83 84
SPSKS
-184-
9 9 10 11 13 20 22 27
3.5.4 VÝPOČET OHYBU…………………………………………………………………... 3.5.5 PRŮBĚH OHYBOVÉHO NAPĚTÍ PO PRŮŘEZU………………………………….. 3.5.6 NOSNÍKY Z PŘEDPJATÉHO BETONU……………………………………………. 3.5.7 NOSNÍKY KONSTANTNÍHO NAPĚTÍ……………………………………………… 3.5.8 PROSTOROVÝ OHYB……………………………………………………………….. 3.6 SMYK (STŘIH)……………………………………………………………………….. 3.7 KRUT…………………………………………………………………………………. 3.8 VZPĚR (STABILITA PRUTŮ)………………………………………………………. Eulerovy rovnice……………………………………………................................................. 3. 9 CYKLICKÉ NAMÁHANÍ ………………………………………………………….. 3.10 KOMBINOVANÉ NAMÁHÁNÍ …………………………………………………….
86 89 90 92 97 99 102 105 107 109 112
KINEMATIKA 4.0 ÚVOD DO KINEMATIKY ………………………………………………………….. 4.1 ZÁKLADNÍ POJMY ………………………………………………………………… 4.2 KINEMATIKA BODU ………………………………………………………………. 4.2.1 ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ POHYB …………………………………………... 4.2.2 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB ………………………….. 4.2.3 POHYB BODU PO KRUŽNICI …………………………………………………….. 4.2.4 TRANSFORMAČNÍ VZTAHY ……………………………………………………… 4.3 SLOŽENÝ POHYB …………………………………………………………………... Pohyb složený ze dvou translačních pohybů ……………………………………………….. Pohyb složený z translačního a rotačního pohybu…………………………………………... 4.4 MECHANICKÉ PŘEVODY……………………………………………………………
115 115 115 115 119 124 129 130 130 133 135
DYNAMIKA 5.0 ÚVOD DO DYNAMIKY……………………………………………………………… 5.1 ZÁKLADNÍ ZÁKONY DYNAMIKY………………………………………………… Zákon o změně hybnosti……………………………………………………………………... Zákon zachování mechanické energie……………………………………………………….. 5.2 MOMENTY SETRVAČNOSTI TĚLES ……………………………………………… 5.3 IMPULS SÍLY - HYBNOST HMOTY………………………………………………... 5.4 MECHANICKÁ PRÁCE ……………………………………………………………… 5.5 VÝKON ……………………………………………………………………………….. 5.6 ENERGIE………………………………………………………………………………. Tlumení kmitů - směny kinetické a potenciální energie …………………………………….. 5.7 KMITÁNÍ A VLASTNÍ FREKVENCE ……………………………………………….
138 138 138 138 139 142 144 147 150 154 156
SPSKS
HYDROMECHANIKA 6.0 ZÁKLADNÍ POJMY HYDROMECHANIKY………………………………………… 157 6.1 HYDROSTATIKA……………………………………………………………………… 157 Pascalův zákon………………………………………………………………………………... 158 6.2 HYDROSTATIKA POHYBLIVÝCH SOUSTAV…………………………………… 162 Chování kapaliny při nerovnoměrném přímočarém pohybu…………………………………. 162 Chování kapaliny v rotujících nádobách …………………………………………………….. 163 6.3 HYDROSTATICKÝ VZTLAK ……………………………………………………….. 165 6.4 HYDRODYNAMIKA …………………………………………………………………. 167 6.5 ROVNICE KONTINUITY (ROVNICE SPOJITOSTI TOKU) ……………………….. 168 6.6 BERNOULLIHO ROVNICE…………………………………………………………... 169 6.7 RÁZ VODNÍHO SLOUPCE ……………………………………………………………. 172
-185-
TERMOMECHANIKA 7.0 ZÁKLADNÍ POJMY TERMOMECHANIKY ………………………………………… 7.1 OHŘEV (OCHLAZENÍ) TUHÝCH A KAPALNÝCH LÁTEK ……………………… 7.2 PŘEMĚNY SKUPENSTVÍ LÁTEK …………………………………………………... 7.3 TEPELNÁ ROZTAŽNOST PEVNÝCH LÁTEK ……………………………………... 7.4 TERMODYNAMIKA PLYNŮ ………………………………………………………… 7.4.1 ROVNICE STAVU IDEÁLNÍHO PLYNU…………………………………………….. 7.4.2 ZÁKLADNÍ VRATNÉ ZMĚNY PLYNŮ ……………………………………………... Izochorická změna ……………………………………………………………………………. Izobarická změna ……………………………………………………………………………... Izotermická změna…………………………………………………………………………….. Ostatní změny stavu plynů ……………………………………………………………………. 7.5 TEPELNÉ STROJE ……………………………………………………………………..
SPSKS
-186-
174 175 176 177 177 178 179 179 179 180 181 182
SPSKS
-187-
SPSKS
-188-
SPSKS
