10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria)

Tulajdonos: ………………………………………

ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET

TARTALOM I.

Geometriai transzformációk ............................................................. 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése............................................ 3 I.2. A vektorok ismétlése ........................................................................ 7 I.2.1. Vektorok összeadása........................................................................................ 8 I.2.2. Vektorok kivonása ............................................................................................. 9 I.2.3. Vektor szorzása számmal ............................................................................. 10 I.3. Hasonlóság .................................................................................... 14 I.3.1. A középpontos hasonlóság .......................................................................... 18 I.3.2. Szakasz felosztása .......................................................................................... 23 I.3.3. A háromszög súlypontja ............................................................................... 25 I.3.4. Hasonló alakzatok arányai, területük, térfogatuk ................................. 26 I.3.5. Magasság és befogótétel .............................................................................. 29

II.

Hegyesszögek szögfüggvényei ....................................................... 31 II.1.

Szögfüggvények bevezetése........................................................ 32

II.2.

Szöveges feladatok szögfüggvényekkel ....................................... 34

II.3.

Ívmérték ..................................................................................... 35

II.4.

Térgeometria feladatok szögfüggvényekkel................................. 37

II.5.

Nevezetes szögek szögfüggvényei .............................................. 37

II.6. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között............... 39 II.6.1. Összefüggés egy szög tangense és kotangense között .................... 39 II.6.2. Pótszögek szögfüggvényei .......................................................................... 39 II.6.3. Pitagoraszi azonosság .................................................................................. 39 II.6.4. A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolata a szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel .................................................................. 40 III.

2

Feladatgyűjtemény ......................................................................... 42

HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA

I. Geometriai transzformációk I.1. A geometriai transzformációk ismétlése 1. Gyűjtsd össze a tanult geometriai transzformációkat! a ) Írd le a füzetbe az elnevezésüket, és azt, hogy melyikhez mit kell megadni! (Pl.: tengelyes tükrözéshez adott egy egyenes.) b ) Csoportosítsd a geometriai transzformációkat aszerint, hogy melyik egybevágóság és melyik nem! 2. Keress torzító geometriai transzformációkat! 3. Végezd el a tengelyes és a középpontos tükrözést a négyzetrács segítségével!

4. Legyen a hozzárendelés szabálya: ( x; y ) a (x + 5; y − 2) ! Ábrázold az így kapott zászló képét! Melyik geometriai transzformációt adtuk meg?

3


5. Legyen a hozzárendelés szabálya: ( x; y ) a (− 2 x;−2 y ) ! Ábrázold az így kapott háromszög képét! Milyen geometriai transzformációt végeztél?

6. Vetítsd merőlegesen a v egyenesre a P pontot és az AB szakaszt!

7. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget, és betűzd meg meg a csúcsait. Vegyél fel egy O1 és egy O2 pontot. Tükrözd a háromszöget az O1 pontra, majd az így kapott képet az O2 pontra! 8. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget, betűzd meg a csúcsait, és rajzolj raj két egymással párhuzamos egyenest (t ( 1 és t2 ). Tükrözd a háromszöget az egyik egyenesre, majd az így kapott képet a másik egyenesre! 9. Hasonlítsd össze az előző két feladat megoldásait! Figyeld meg mindkét feladat esetén, hogy milyen módon kaphatnánk meg az eredeti háromszögből a harmadikat egy geometriai transzformációval! transzformációval

4


10. Rajzold meg az alakzatok megadott nyíllal eltolt képét!

11. Megadtuk az alakzatok valamely pontjának eltolt képét. Rajzold meg a teljes képet! Jelöld az eltolás vektorát is!

12. Az előző feladatok tapasztalata alapján gyűjtsd össze az eltolás tulajdonságait! Egészítsd ki a szöveget! a) Egyenes eltoltjának a képe............................................................................................... b) Szakasz eltoltjának a képe ............................................................................................... c) Alakzat és eltoltjának a körüljárása................................................................................ d) Egy szög és eltoltjának a képe ......................................................................................... e) Van-e az eltolásnak fix pontja? f) Van-e az eltolásnak fix egyenese?

5


13. Készíts egy halmazábrát, melyen a tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés és az eltolás szerepel, és írd a következő tulajdonságokat a megfelelő helyre! a ) távolságtartó b ) szögtartó c ) bármely egyenes és képe párhuzamos egymással d ) a körüljárási irányt megtartja e ) van olyan pont, melynek képe önmaga f ) van olyan egyenes, melynek képe önmaga g ) szög és képe egyállású h ) szög és képe fordított állású 14. Írj az előző feladat halmazábrájába további tulajdonságokat! Próbálj az üresen maradt részekbe is egyet-egyet találni!

6


I.2. A vektorok ismétlése Ha az irányított szakaszoknak csak a nagyságát és az irányát vesszük figyelembe – azzal nem törődünk, hogy melyik pontból indulnak –, akkor azokat vektornak nevezzük. A vektort nagyságával és irányával jellemezhetjük. A v-vel jelölt vektorok egyenlők, mert nagyságuk egyforma, párhuzamosak és irányuk azonos. Az a, b, c,d vektorok mindegyike különböző, mert valamely jellemzőjük eltér egymástól: • Az a és c vektorok egyenlő hosszúságúak, de nem párhuzamosak, • a b és d vektor párhuzamos, de nem egyenlő hosszú, • az a és b vektor egyenlő hosszú, párhuzamos, de ellentétes irányú. A vektorokat írásban kétféleképpen jelölhetjük: – aláhúzott kisbetűvel: v – a kezdő és végpontot megadva, nyíllal jelölve: AB Speciális vektorok: Nullvektor(0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontjaés a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az a vektor ellentettjének nevezzük azt a vektort, amelyik vele egyenlő abszolút értékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Jelölése: – a . 15. Keress egyenlő és ellentett vektorokat a kockán és a szabályos hatszögön!

7


16. Keress egyenlő, egyenlő hosszúságú, illetve ellentett vektorokat az ábrán!

I.2.1. Vektorok összeadása Toljuk el az ABC háromszöget előbb az a, majd a bvektorral!

A két eltolás egymásutánját helyettesíthetjük egyetlen eltolással is. Ennek vektorát a kétvektor összegének nevezzük. Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: a ) háromszög módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor az a + b vektor az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat. b ) paralelogramma módszer: az a és b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává; ekkor az a + b vektor a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora.

8


Több vektor a láncszabály:

összeadásánál

használható

Egy avektor vektor és a nullvektor összege az avektorral egyenlő: a + 0 = a. 17. Másold át a füzetedbe az a, a b és a c vektort, és szerkeszd meg az alábbi vektorokat: a ) a + b; d ) a + (b + c); b ) b + a; e ) (a + b) + c c ) a + b + c; 18. Fogalmazd az előző feladat tapasztalata alapján a vektorok összeadására vonatkozó műveleti tulajdonságokat! A vektorok összeadását használjuk például vektor összetevőkre bontásakor a fizikában. A szánkót húzó személy a kötélen keresztül F erőt gyakorol a szánkóra. s Ennek az erőnek a vízszintes komponense (F ( v) a gyorsításra fordítódik, függőleges komponense (FF) a test talajra ható nyomóerejét csökkenti. F felbontható erre a két komponensre!

I.2.2. Vektorok kivonása Laci Párizsból Budapestre repül, Berlin érintésével. Útjának vektorait bejelöltük. Felírhatjuk,hogy a= b+ c.. Ha a c vektort akarjuk kifejezni aés b segítségével, vagyis az összeg és azegyik összeadandó segítségével írjuk fel a másik összeadandót, akkor a két vektor különbségét képezzük: c= a– b.

9


Az a – bvektort vektort úgy is megszerkeszthetjük, hogy az avektorhoz vektorhoz hozzáadjuk bellentett vektorát (– bvektort). vektort). Az a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük felőket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a – b vektor.

A vektorok kivonására nem teljesül sem a kommutativitás, sem az asszociativitás.

I.2.3. Vektor szorzása számmal Az ábrán az a, bés és cvektorok között összefüggések állapíthatók meg. Az ellenetett vektor definíciójánál láttuk, hogy b = – a. A cés bvektorok vektorok között a számmal való szorzás teremt kapcsolatot: cvektor két bösszeadásával b keletkezett, így is írhatjuk: c= 2b.Az Az ellentett vektor helyett szorzással a b= – 1·aösszefüggést összefüggést is felírhatjuk. Így tehát c= 2·(–1·a) = –2·a További példák vektorok szorzására:

Az a vektor k-szorosa szorosa (ahol k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza |k|·|a|, |k|·| iránya pedig k > 0 esetén a irányával megegyező, k < 0 esetén a irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk. val szorzunk egy vektort, nullvektort kapunk. 1-nél nél nagyobb abszolút értékű Ha 0-val számmal megszorozva a vektor hossza növekszik (nyújtás), 0 és 1 közé eső abszolút értékű számmal megszorozva csökken (összenyomás). A csupán szorzótényezőjükben különböző vektorokat egyneműeknek tekintjük, így azok összevonhatók: a+ 2a== 3a. 3 19. Mi az összefüggés a – b és b – a között?

10


20. Adj meg három vektort, és rajzold fel a – b – c, (a – b) – c és a – (b ( – c) vektorokat! Segítségükkel igazold, hogy a vektorok kivonására nem teljesül az asszociativitás (csoportosíthatóság)! 21. Vegyél fel egy tetszőleges avektort, vektort, és szerkeszd meg a következő vektorokat!

22. Adott az ábra szerint az a, b és c vektor. A füzetedbe rajzold meg a következő vektorokat a négyzetrács segítségével! segítségével

23. Add meg a vektorműveletek eredményét (összevonás után):

24. Adott egy szabályos hatszög egy csúcsából kiinduló a és b vektor. Írd fel ezek segítségével a következő vektorokat:

25. A paralelogramma oldalvektorainak (a ( és b )segítségével írd fel a következő vektorokat, ha ሬሬሬሬሬԦ, ࢈ ൌ‫ܤܣ‬ ሬሬሬሬሬԦ ! ࢇ ൌ‫ܦܣ‬ ሬሬሬሬሬԦ ; a) ሬሬሬሬሬሬԦ ‫; ܪܣ‬b)‫ܩܣ‬

ሬሬሬሬሬԦ ; c)‫ܤܧ‬

ሬሬሬሬሬሬԦ. d)‫ܪܤ‬

Melyik vektort adja meg? ૚

૚

e) െࢇ െ ࢈;f) െࢇ െ ૛ ࢈; g) െ ૛ ࢇ െ ࢈ ?

11


26. Adott egy két négyzetből álló téglalap, és egy ሬሬሬሬሬԦ és ࢈ =‫ܤܣ‬ ሬሬሬሬሬԦ vektor. Írd fel csúcsábólkiinduló ࢇ =‫ܨܣ‬ az a és a bsegítségével a következő vektorokat (G, M és Hfelezőpontok):

27. Az a és b vektorok 3 egység hosszúak, egymással 60°-os szöget zárnak be. Mekkoraaz a + b vektor hossza? 28. Az a és b vektorok 5 egység hosszúak, egymással 90°-os szöget zárnak be. Mekkoraaz a + b vektor hossza? 29. Egy testre ható erők eredőjét úgy szerkesztjük meg, hogy a súlypontjába mérjük fel atestre ható összes erőt, majd ott összeadjuk az erővektorokat. Szerkeszd meg a testekreható eredő erőt! a)

b)

c)

30. Írjuk fel az a és b vektorokat az i és j segítségével! (Az i és j vektorok hossza egységnyi, és párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel. Ezeket szoktuk a koordinátarendszer bázisvektorainak is nevezni.)

12


31. Rajzolj egy vektort, mely a koordináta-rendszer koordináta rendszer origójából a megadott pontba mutat! Írd fel a vektort az i és j bázisvektorok segítségével! a ) A (3; 5)

b ) B (-5; 2)

c ) C (-4; -7)

d ) D (6; -2)

32. A méhecskék koordináta-rendszerében koordináta állítsuk elő az i és j vektoroksegítségével segítségével a következő vektorokat! Segítségképpen határozd mega hatszög átlóinak és oldalainak vektorait! Például BD vektor: BD== 3 · (-j) ( + 2 · (- (i+j)) = -5j – i.

13


I.3. Hasonlóság Az aránytartó geometriai transzformációkat hasonlóságnak nak nevezzük. A hasonlóság aránya megmutatja, hogy a képalakzat bármely mérete hányszorosa az eredeti alakzat megfelelő méretének. közelí 1. Adj becslést a térkép alapján a bejelölt közelítőleg háromszög alakú telek valódi nagyságára! nag A térkép méretaránya 1 : 8500.

2. Osszátok ki egymás között a csoportban az A, B, C, D betűket! a ) Figyeld meg a saját betűdnek megfelelő téglalapot vagy háromszöget és keress hozzá hasonlót! Színezd ki az oldalait megfelelő színekkel!

b ) Döntsd el, hogy az eredetihez képest nőtt vagy csökkent a méret!

Hányszorosára? c ) Beszéljétek meg a négy feladat megoldását a csoportban! 3. A sor elején álló színes sokszögek mindegyikéhez pontosan egy hasonlót találsz vele egy sorban. Válaszd ki mindegyiknek a hasonló párját, és színezd a megfelelő részeitt azonos színnel! Választásodat indokold!

14


4. Nagyítsd kétszeresére, háromszorosára, illetve kicsinyítsd felére a L betűt!

5. Rajzolj a füzetedbe egy koordinátarendszert, és ábrázold azt a négyszöget, melynek csúcsai: A(2;0), B(6; 2), C(6; 6), D(2; 8)! a ) Végezd el a betűjelednek megfelelő transzformációt (írd le, hogy melyik pontnak hogyan változnak a koordinátái), és rajzold meg az így kapott alakzatot színessel! 1 1  A: ( x; y ) a  x; y  pirossal B: ( x; y ) a (− 2 x; − 2 y ) kékkel 2 2  C: ( x; y ) a (2 x; y ) zölddel D: ( x; y ) a ( x + 1; − y + 2) sárgával b ) Rajzoljátok meg a többi ábrát is a saját koordinátarendszeretekbe, a megfelelő színekkel! c ) Mely alakzatok hasonlóak az eredetihez? 6. Ábrázold a pontokat koordinátarendszerben: A(-1; 2), B(1; 4), C(3; 2) D(1; -3), és kösd össze őket! Milyen négyszöget kaptál? A következő feladatoknál végezd el az utasításnak megfelelő geometriai transzformációt! Figyeld meg az eredeti és a kép alakzatot, majd válaszolj a füzetedben a kérdésekre! Minden feladatot külön koordinátarendszerben oldj meg! (Szétosztható a csoport tagjai között.) a ) ( x; y ) a ( x; − y ) Mi a neve az elvégzett geometriai transzformációnak? Van olyan pont a síkon, ami egyhelyben marad? Mit mondhatsz el egy szakasz és képének hosszáról? Hogy nevezzük ezt a tulajdonságot? Mit mondhatsz egy szög és képének nagyságáról? Mi ennek a tulajdonságnak az elnevezése? b ) ( x; y ) a (2 x; 2 y ) Mi a neve az elvégzett geometriai transzformációnak? Van olyan pont a síkon, ami egyhelyben marad? Mit mondhatsz el egy szakasz és képének hosszáról? És az egymáshoz viszonyított helyzetükről? Mit tudsz egy szög és képének nagyságáról?

15


c)

(x; y ) a (x + 3; y + 2)

Mi a neve az elvégzett geometriai transzformációnak? Van olyan pont a síkon, ami egyhelyben marad? Mit mondhatsz el egy szakasz és képének hosszáról? És az egymáshoz viszonyított helyzetükről? Mit tudsz egy szög és képének nagyságáról? d ) ( x; y ) a (− x; − y ) Mi a neve az elvégzett geometriai transzformációnak? Van olyan pont a síkon, ami egyhelyben marad? Mit mondhatsz el egy szakasz és képének hosszáról? És az egymáshoz viszonyított helyzetükről? Mit tudsz egy szög és képének nagyságáról? 7. Ábrázold és kösd össze a koordinátarendszerben a pontokat: A(–6; 4), B(–4; 1), C(–2; 4), D(–4; 7)! Milyen négyszöget kaptál? Készítsd el a négyszög hasonló képét úgy, hogy az AB oldal képe az A’B’ legyen, ahol A’(8; 1) és B’(2; 5)! Számold ki a hasonlóság arányát is! 8. Rajzold meg azt a háromszöget, melynek csúcsai: A(3; –1), B(6; 5), C(6; -1)!Készítsd el a háromszög hasonló képét úgy, hogy a BC oldal képe a B’C’, és B’(8; –5), C’(6; –5) legyen! Számold ki a hasonlóság arányát is! 9. Megfigyeléseid alapján döntsd el, hogy melyik állítás biztos igaz (i), melyik hamis (h), melyik lehet hogy igaz (l). → Hasonló alakzatok megfelelő szöge egyenlő. → Egy egyenes és egy körív lehet hasonló. → Ha két sokszög hasonló, akkor oldalaik páronként párhuzamosak. → Hasonló alakzatok körüljárási iránya megegyezik. → Ha két háromszög hasonló, és az egyik egyenlőszárú, akkor a másik is az. → Ha egy sokszög két oldala egyforma hosszú, akkor a hozzá hasonló alakzatnak is lesz két egyforma hosszú oldala. EMLÉKEZTETŐ: A háromszögek egybevágóságának alapesetei: Két háromszög egybevágó, ha egyenlő → három oldaluk; vagy → két oldaluk, és a közéjük zárt szög; vagy → két oldaluk, és a hosszabbikkal szemben fekvő szög; vagy → egy oldaluk és a rajta fekvő két szög. 10. Válaszold meg a kérdéseket! a ) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. Milyen feltételnek kell teljesülni a háromszög oldalaira, hogy a két háromszög hasonló legyen?

16


b ) Két háromszög egybevágó, ha két-két oldaluk és a közrezárt szög egyenlő.

Milyen feltételnek kell teljesülni a háromszögek két-két oldalára, és a közrezárt szögre, hogy a két háromszög hasonló legyen? c ) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk, s a hosszabbikkal szemben fekvő szög egyenlő. Hogy lehetne ezt átfogalmazni hasonlóságra? d ) Két háromszög egybevágó, ha egy oldaluk, s a rajta fekvő két szög egyenlő. Hogy hangzik ennek a feltételnek a hasonló háromszögekre vonatkozó párja? A háromszögek hasonlóságának alapesetei: Két háromszög hasonló, ha → oldalaik aránya páronként egyenlő; vagy → két oldaluk aránya, és a közéjük zárt szög egyenlő; vagy → két oldaluk aránya, és a hosszabbikkal szemben fekvő szög egyenlő; vagy → van két egyenlő nagyságú szögük.

17


I.3.1. A középpontos hasonlóság A hasonlóság speciális esete, amikor egy középpontból kicsinyítünk, vagy nagyítunk. Ezt a geometria transzformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük. Ilyenkor adott egy O középpont és egy λ (lambda) pozitív arányszám. Ha például a λ = 2, akkor bármely P pont képét úgy kapjuk meg, hogy összekötjük az O ponttal, és 1 az OP félegyenesre felmérjük az OP távolság kétszeresét. Ha aλ= , akkor egy 3 tetszőleges S pont képét úgy kapjuk meg, hogy összekötjük az O ponttal, és az OS 1 félegyenesre felmérjük az OS távolság részét. 3 Általánosan: Bármely P pont középpontosan hasonló képe egy olyan P’ pont, mely az OP' = λ . Az O pontból kiinduló félegyeneseket OP félegyenesen van, és OP vetítősugaraknak nevezzük. Ha aλ értéke 1- nél nagyobb, akkor középpontos nagyításról beszélünk. Ha aλ értéke 0 és 1 közé esik, akkor középpontos kicsinyítésről van szó. 11. Rajzolj a koordinátarendszerbe derékszögű háromszöget, melynek csúcsai: A (–4; 0), B(–4; –2) és C(0; –2)! a ) Nagyítsd a háromszöget középpontosan kétszeresére úgy, hogy az origó legyen a középpont! b ) Kicsinyítsd a háromszöget a felére középpontosan úgy, hogy az origó legyen a középpont! c ) Nagyítsd a háromszöget középpontosan háromszorosára úgy, hogy a C pont legyen a középpont! 12. Vegyél fel a füzetedbe egy e egyenest, egy A kezdőpontú félegyenest és egy O pontot! a ) Szerkeszd meg az egyenes és a félegyenes középpontosan hasonló képét, ha O a középpont és az arány 2! b ) Szerkeszd meg az egyenes és a félegyenes középpontosan hasonló képét, ha 1 O a középpont és az arány ! 2 13. Vegyél fel a füzetedbe egy AB szakaszt, egy α szöget, és egy O pontot! a ) Szerkeszd meg a szakasz és a szög középpontosan hasonló képét, ha O a középpont és az arány 2! b ) Szerkeszd meg a szakasz és a szög középpontosan hasonló képét, ha O a 1 középpont és az arány ! 2 c ) Szerkeszd meg a szakasz és a szög középpontosan hasonló képét, ha O a középpont és az arány 3! 14. Szerkessz paralelogrammát, amelynek oldalai 2 és 4 cm-esek, és egyik szöge 45˚-os! Betűzd meg a paralelogramma csúcsait és oldalait! 18


a ) Jelölj ki egy O pontot és nagyítsd a paralelogrammát kétszeresére az O-ból!

Milyen alakzatot kaptál? b ) Mérd meg az így kapott alakzat oldalait, és számold ki az arányukat! Mit tapasztalsz? 15. Rajzolj egy húrtrapézt! a ) Válaszd ki valamelyik csúcsát, és kicsinyítsd abból felére! b ) Színezd az egymásnak megfelelő oldalakat azonos színnel! Figyeld meg ezeket! Mit tapasztalsz? 16. Rajzolj egy kört, és szerkessz bele egy szabályos hatszöget! a ) Nagyítsd a hatszöget a körrel 1,5-szeresére a kör középpontjából! b ) Figyeld meg az eredeti és a kép hatszög megfelelő oldalait és szögeit! 17. Válaszolj a kérdésekre! a ) Milyen alakzatot kapunk, ha egy egyenes középpontosan hasonló képét megrajzoljuk? b ) Vizsgáljuk egy egyenes és középpontosan hasonló képének a helyzetét! c ) Milyen helyzetűek, ha az eredeti egyenes áthalad a középponton? d ) Milyen helyzetűek, ha az eredeti egyenes nem halad át a középponton? e ) Ha egy félegyenest és középpontosan hasonló képét vizsgáljuk, mit tudsz elmondani? f ) Egy szög és hasonló képének szárai milyen félegyenesek? g ) Hogyan neveztük az ilyen szögeket? h ) Hogyan helyezkedhet el egymáshoz képest egy szakasz és középpontosan hasonló képe, attól függően, hogy hol a hasonlóság középpontja? Készíts rajzokat! i ) Milyen alakzatot kapunk, ha egy kört középpontosan nagyítunk, vagy kicsinyítünk?

19


EMLÉKEZTETŐ: Ha adott egy e egyenes és rajta kívül egy P pont, akkor az e egyenessel párhuzamost a P ponton át úgy szerkeszthetünk, hogy felhasználjuk a paralelogramma oldalainak párhuzamosságát. A szerkesztés menete: 1. lépés: jelöljünk ki két pontot az egyenesen!

2. lépés: Rajzoljunk egy A középpontú PB sugarú kört!

3 lépés: Rajzoljunk egy P középpontú AB sugarú kört!

vel összekötve az eredeti e egyenessel párhuzamos Az így kapott R pontot P-vel egyenest kapunk. 18. Az ábrán az A pont középpontosan nagyított képe A’. Szerkeszd meg a B pont képét is!

20


19. Szerkeszd meg a megadott pontok képét, illetve eredetijét, ha az O középpontú hasonlóság az A pontot A’-be viszi! a)

b)

21


20. Szerkeszd meg az ABC háromszög O pontra vonatkozó kicsinyített képét, ha az A csúcsának képe A’!

Ha adott az O középpont, valamint egy Apont és annak középpontosan hasonló képe A’, akkor bármely pont képe megszerkeszthető. Szeretnénk B pont képét, vagyis B’-t megszerkeszteni. Gondoljuk végig a következőket: → Mivel középpontos nagyításról van szó, ezért B’ rajta van az O kezdőpontú OB félegyenesen. → Mivel bármely szakasz és középpontosan hasonló képe párhuzamos, ezért AB és A’B’ is. A szerkesztés menete tehát:

1. lépés: Húzzuk meg az OB félegyenest!

2. lépés: Húzzuk be az AB szakaszt!

3. lépés: húzzunk párhuzamost AB-vel az A’ ponton át!

22


I.3.2. Szakasz felosztása 21. Végezd el az A1B1 szakasz kétszeres (A2B2), háromszoros (A3B3) illetve négyszeres (A4B4) nagyítását! A középpont legyen az O pont!

Figyeld meg a rajzod, és válaszolj a kérdésekre! a ) Mit mondhatunk el az A1B1szakaszról és nagyított képeiről? (helyzetük, nagyságuk) b ) Mit mondhatunk el az A2A3 és az OA1 szakasz hosszáról? c ) Van még ilyen hosszú szakasz a rajzon? d ) Keress még egyenlő szakaszokat a képen! 22. A képen látható B3 pont O középpontú háromszoros nagyítással készült. Végezd el az A1 pont kétszeres illetve háromszoros nagyítását, és annak felhasználásával szerkeszd meg az eredeti B1 pontot, és kétszeresen nagyítását is!

23


23. Oszd fel az OB3 szakaszt három egyenlő részre!

Egy szakaszt tetszőleges számú egyenlő részre feloszthatunk a középpontos hasonlóság tulajdonságai alapján. Osszunk fel egy AB szakaszt például öt egyenlő részre!

1. lépés: Vegyük fel a szakaszt!

2. lépés: A szakasz egyik végpontjából húzzunk egy félegyenest, és mérjünk fel rá egy tetszőleges távolságot ötször!

3. lépés: Az utolsó osztópontot kössük össze a B ponttal, és ezzel az egyenessel húzzunk párhuzamosakat a többi osztóponton át!

24


A középpontos hasonlóság tulajdonságai: Egy egyenes középpontosan hasonló képe egyenes.. Ha a középpont az egyenesen van, akkor képe önmaga, ha az egyenesen kívül esik, akkor az egyenes és képe párhuzamos egymással. Egy félegyenes középpontosan hasonló képe, az eredetivel egyállású félegyenes. Ez igaz a középpontosan hasonló szögek száraira is, ezért ezek egyállásúak, vagyis azonos nagyságúak. A középpontos hasonlóság tehát szögtartó transzformáció. Bármely szakasz és középpontosan hasonló képe párhuzamos, vagy egy egyenesbe esik. Egy kör középpontosan hasonló képe kör. Középpontos hasonlóság g esetén bármely két szakasz hosszának aránya megegyezik képeik arányával.

I.3.3. A háromszög súlypontja A háromszögek súlyvonalairól szóló tételt már korábban tanultuk. Most, a hasonlóság alapján be is bizonyítjuk ezt az összefüggést. A háromszög súlyvonalai A háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont harmadolja a súlyvonalakat, a csúcs felé eső rész a hosszabb. Bizonyítás: Az F és a G oldalfelező pontok, emiatt az FG szakasz a háromszög középvonala. A középvonal párhuzamos a háromszög oldalával, emiatt a BAF∠ BAF = AFB∠, mert váltószögek. Az FSG = BSA∠, FSG∠ mert csúcsszögek. Az ABS∆∼FGS FGS∆, mert van két egyenlő nagyságú szögük. A hasonlóság aránya AB : FG = 2 : 1, mert a középvonal hossza fele a vele párhuzamos oldalénak. Ebből következik a másik két-két két oldal aránya is: AS : FS = 2 : 1 = BS : GS. Ez azt jelenti, hogy S harmadolja mindkét mindkét súlyvonalat. Ugyanígy belátható, hogy a c-hez c tartozó súlyvonal is az oldalhoz közelebbi harmadoló pontban metszi az sb–t, ami állításunk helyességét jelenti.

25


I.3.4. Hasonló alakzatok arányai, területük, térfogatuk 1. Egy templomtorony árnyéka 10 méter hosszú. Egy mellette álló 2 méter magas fa árnyéka 140 cm. Milyen magas a templomtorony? temp 2. A festők előre kinyújtott karjukban tartott ceruzával méregetik az arányokat. Mekkorának méri az 1,2 méteres magasságot a festő, ha a modell tőle 4 méterre van, és a ceruzával eruzával a szemétől 50 cm-re cm mér? 3. Mekkora átmérőjű körlapot kell a szemünk elé tartani 50 cmcm-re, hogy a napot eltakarja? A szükséges adatok: a Nap Nap–Föld távolság kb. 1,5 ⋅ 108 km, a Nap átmérője 1,394 ⋅ 106 km. 4. A történetírók szerint Thalész árnyékuk segítségével mérte meg a piramisokat úgy, hogy leszúrt egy botot a földbe, és kifigyelte azt a pillanatot, amikor azonos hosszúságú a bot és az árnyéka. Ekkor a piramis árnyéka egyenlő a magasságával. Peti a testmagasságát akarja hasonló módszerrel megmérni. Leszúr egy botot a földbe, aminek 42 cm-es cm es darabja áll ki. Az árnyék hossza 26 cm. A saját árnyéka 109 cm hosszú. Milyen magas Peti? 5. Az ábrán az ABC háromszöget a P pontból nagyítottuk. A hasonlóság jelölése hullámvonallal történik, ezt jegyezd meg és használd a feladatok megoldásánál! Pl.: A' B' C ' ~ ABC . Megszerkesztettük a táblázatban szereplő nevezetes vonalakat. Megmértük a táblázatban szereplő adatokat, és eredményeinket táblázatba foglaltuk. Egészítsd ki a hiányzó adatokat!

a = 3,1cm

b = 3,8cm

c = 2,4cm

a'= 6,2cm

b'= 7,6cm

c' = 4,8cm

K=

sa = 2,7

ma = 2,35cm

T=

K '=

cm sa '= 5,4

ma '= 4,7cm

T '=

ma = ma '

T = T'

cm

a = a'

26

b = b'

c = c'

K = K'

sa = sa '


Figyeld meg a kerületet és a területet! Mit tapasztalsz? Gondold tovább, mi lehet az összefüggés hasonló testek térfogatára! Hasonló síkidomok arányánaknégyzetével:

területének

aránya

megegyezik

a

hasonlóság

T' = λ2 ⋅ T . Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányánakköbével. A felszínek aránya ebben az esetben is λ2 . V' = λ3 ⋅ V és A' = λ2 ⋅ A 6. Egy ötszöget egy pontból nagyítottunk, és az a oldala 2 cm-ről 5 cm-re változott. Mekkorák az új ötszög oldalai, ha az eredeti ötszög másik négy oldala: b = 3,6 cm, c = 4cm, d = 5,2 cm, e = 4,2cm. Hányszorosára változott az ötszög kerülete és területe? 7. Mekkora a háromszög egyik középvonala által levágott kisebb háromszög és az eredetiháromszög területének aránya? 8. Rajzolj a füzetedbe egy tetszőleges ABC háromszöget! Nagyítsd az A csúcsából 2szeresére, és a kapott háromszöget tükrözd az A csúcsra! jelölje a keletkező csúcsokat B’ és C’, BC’ és B’C metszéspontját D. Az A pont milyen nevezetes pontja lesz a DB’C’ háromszögnek? 9. Egy kockát 2-szeresére nagyítunk, az új kocka egy lapjának területe 64 cm2. Mekkoravolt az eredeti kocka térfogata? 10. Egy könyv ábráit feles kicsinyítéssel tervezik (a kicsinyített ábrán valamennyire eltűnneka rajzi hibák). A megrajzolt ábraterület 120 cm2. Mekkora terjedelmet jelent ez amegjelent könyvben? 11. Egy trapéz két alapja 15 és 10 cm. Milyen arányban osztják egymást az átlók? 12. A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által határolt háromszög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok hossza 12 cm és 4 cm, a száraké 8 cm és 3 cm? 13. Az ABC háromszögben az AB = AC. A háromszög B csúcsából induló szögfelező az AC oldalt D-ben metszi. Mekkorák az eredeti háromszög szögei, ha a BCD∆∼ABC∆? 14. Az ABC hegyesszögű háromszögben az AB = 12 cm. A háromszög másik két oldalát felosztjuk három-három egyenló részre. A CA oldal C-hez közelebbi, és a CB oldal B-hez közelebbi harmadolópontjait egy egyenessel összekötjük. Ennek az egyenesnek és az AB oldalegyenesnek a metszéspontját jelölje M! Számítsd ki az MB szakasz hosszát!

27


15. *** Az ABCD húrtrapéz alapjai AB = 7 cm, CD = 13 cm. A trapézba kör írható, amely a BC szárat E, a DA szárat F pontban érinti. a ) Számítsd ki a trapéz szárainak a hosszát! b ) Bizonyítsd be, hogy az AF szakasz párhuzamos a trapéz alapjaival! c ) Számítsd ki az EF szakasz hosszát! 16. *** Bizonyítsd be, hogy a háromszög magasságpontja, súlypontja és köré írt körének középpontja egy egyenesre illeszkednek. Ezt az egyenest a háromszög Euler-egyenesének nevezik. Számítsd ki, hogy a súlypont milyen arányban osztja a magasságpont és a háromszög köré írt körének középpontja közti szakaszt! 17. *** Egy háromszög kör írt körét a háromszög magasságpontjából, mint középpontból a felére kicsinyítjük. Az így keletkező kört a háromszög Feuerbachkörének nevezik. Bizonyítsd be, hogy a Feuerbech-kör tartalmazza a következő kilenc pontot: a háromszög oldalfelező pontjait, a háromszög magasságainak talppontjait, valamint a háromszög csúcsait a magasságponttal összekötő szakaszok felezőpontjait.

28


I.3.5. Magasság és befogótétel 18. Egy derékszögű háromszögben háromsz a és b a két befogót, c az átfogót jelöli. Az átfogóhoz tartozó m magasság az átfogót c1 és c2 szakaszokra bontja. a ) Keresd meg az összes hasonló háromszöget, és írd fel a tanult jelöléssel a füzetbe! b ) Írd fel a megfelelő oldalak arányát! c ) Fejezd ki a derékszögű háromszög magasságát a c1 és c2 szakaszok segítségével az előző arányokat felhasználva! d ) Fejezd ki a derékszögű háromszög a befogóját c és c1 szakaszok segítségével, valamint a b befogóját c és c2 szakaszok segítségével, az előző arányokat felhasználva! A most felfedezett összefüggések a magasságtétel és befogótétel névre hallgatnak. 19. Egy derékszögű háromszög befogóinak a hossza 4 cm illetve 6 cm. Mekkora részekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság a befogót? 20. A derékszögű háromszög átfogója 12 egység, a magasság az átfogót 1 : 2 arányban osztja. Mekkorák a befogók és az átfogóhoz tartozó magasság? 21. Mekkora a derékszögű háromszög területe és befogói, ha az átfogóhoz tartozó tart magasság az átfogót 6 cm és 10 cm hosszú szakaszokra bontja? 22. A derékszögű háromszögben háromszö az egyik befogó 8 cm,, ennek vetülete az átfogóra 5 cm. Mekkora az átfogó és a másik befogó? 23. Egy tér közepén található szobortól 13 méterre a szobor α szögben sz látszik. A szobor átellenes oldalán található egy olyan pont a szobortól 8 méterre, amelyből 90° −α szögben ögben látszik. Milyen magas a szobor? 24. Egy tető két oldalán sorakozó szarufák derékszögben találkoznak koznak a taréjszelemenfánál. A taréjszelement tartó oszlopokat oszlo a 8 m széles padlás szélétől 3 m-re re helyezték el. Milyen magas a tető? 25. Határozd meg, hogy ogy az előző feladatban milyen hosszú szarufákra van szükség! 26. Mekkora annak a körnek a sugara, melyből egy 8 cm hosszú húrja egy 6 cm magasságú körszeletet vág le? 27. Szerkessz

5 cm hosszúságú szakaszt! (A szerkesztéshez indoklás is kell!)

29


Magasságtétel A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság. Bizonyítás: A derékszögű háromszöget a magasság két olyan háromszögre darabolja, melyek az eredetivel és egymással is hasonlóak, mivel szögeik páronként egyenlők. Vagyis BTC∆ ~ CTA∆ . Emiatt a megfelelő c m oldalak aránya egyenlő: 1 = . m c2 Az egyenletet átrendezve kapjuk, hogy m 2 = c1 ⋅ c 2 . Gyökvonás után: m = c1 ⋅ c 2 , ami a bizonyítandó állítás volt. Befogótétel A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak, és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével. Bizonyítás: Az előző bizonyításnál említett hasonlóságok közül most az eredeti és az egyik részháromszög hasonlóságát használjuk: CBT∆ ~ ABC∆ . A megfelelő oldalak aránya a c = . Átrendezve: a 2 = c1 ⋅ c . egyenlő: c1 a Négyzetgyökvonás után: a = c1 ⋅ c . Hasonló módon belátható, hogy b = c 2 ⋅ c

30


II. Hegyesszögek szögfüggvényei 1. Szerkessz derékszögű háromszöget, melynek befogói 6 cm és 8 cm! a ) Mérd meg a hosszabb befogó és az átfogó által bezárt szöget! b ) Számítsd ki az átfogó hosszát! 2. Szerkessz egy derékszögű háromszöget, melynek befogói 9 cm é s 12 cm! a ) Mérd meg a hosszabb befogó és az átfogó által bezárt szöget! b ) Számítsd ki az átfogó hosszát! 3. Szerkessz egy derékszögű háromszöget, melynek átfogója 7,5 cm, egyik befogója 6 cm! a ) Mérd meg a hosszabb befogó és az átfogó által bezárt szöget! b ) Számítsd ki hiányzó befogó hosszát! 4. Szerkessz egy derékszögű háromszöget, melynek egyik hegyesszöge 53°-os, azzal szemközti befogója 10 cm! a ) Mérd meg az átfogóját! b ) Számítsd ki hiányzó befogó hosszát! 5. Hasonlítsd össze következtetéseket!

az

előző

négy

feladat

eredményeit,

és

vonj

le

6. Szerkesszetek a csoportban derékszögű háromszögeket, melyeknek az átfogója kétszer akkora, mint az egyik befogója! Mindenki különböző adatokkal dolgozzon! Mérjétek le a kapott háromszög szögeit! Beszéljétek meg, hogy mit tapasztaltatok! 7. Egy lépcső mellett2 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a bejárati ajtóhoz. Az ajtó magassága a kiindulási szintjéhez képest 50 cm. Határozd meg, hogy hány fokos szöget zár be a rámpa a vízszintessel! 8. Egy torony magasságát szeretnénk megtudni. Egy teodolittal (szögmérő) meghatároztuk, hogy a torony aljától 12 méter távolságban állva a tetejét 60°-os szögben látjuk. Milyen magas a torony? 9. Határozd meg a derékszögű háromszögek hiányzó adatait, az első ábra alapján!

31


II.1.

Szögfüggvények bevezetése

Hegyesszögek szögfüggvényei Azt tapasztaltuk, hogy derékszögű háromszögben a megfelelő oldalak aránya csak a szög nagyságától függ. Ez azt jelenti, hogy ez az arány a szöget jellemzi, vagyis a szög függvénye. A derékszögű háromszög oldalainak arányával a következő módon adjuk meg a hegyesszögek szögfüggvényeit: Az α szög szinusza:

Az α szög tangense:

Az α szög koszinusza:

Az α szög kotangense:

A szinusz és koszinusz szögfüggvények értékeit általában négy tizedesjegyre kerekítjük, a fokokban megadott szögeket egy tizedesjegyre. 10. Számológép segítségével, és a tanult jelölés alkalmazásával írd fel, hogy egy derékszögű háromszögben mekkora a megadott szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya, ha a megadott szög a ) 36°-os b ) 72°-os c ) 16°-os d ) 55°-os 11. Számológép segítségével, és a tanult jelölés alkalmazásával írd fel, hogy egy derékszögű háromszögben mekkora a megadott szög melletti befogó és az átfogó aránya, ha a megadott szög a ) 46°-os b ) 32°-os c ) 61°-os d ) 29°-os 12. Számológép segítségével, és a tanult jelölés alkalmazásával írd fel, hogy egy derékszögű háromszögben mekkora a megadott szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó aránya, ha a megadott szög a ) 63°-os b ) 22°-os c ) 70°-os d ) 45°-os 13. Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 30°-os. 30 os. Számológép segítségével számold ki, és a tanult jelölések használatával írd le … a ) a megadott szög melletti befogó és az átfogó arányát! b ) a megadott szöggel öggel szemközti befogó és a megadott szög melletti befogó arányát! c ) a megadott szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát! d ) a megadott szög melletti befogó és a megadott szöggel szemközti befogó arányát!

32


14. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó aránya 0,2376. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 15. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,8767. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 16. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó aránya 0,7071. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 17. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó aránya 0,6712. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 18. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó aránya 0,5. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 19. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,5. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 20. Adott a derékszögű háromszög két befogója: a = 4,3 cm, b = 5,4 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 21. Számítsd ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalait és szögeit! a)

b)

c)

d)

e)

f)

22. Határozd meg a következő szögek összes szögfüggvényét számológép segítségével! Figyelj a helyes kerekítésre! a) 10°;

b) 30°;

c) 45°;

d) 70°;

e) 20°;

f) 60°;

g) 82,6°;

h) 67,54°;

i) 12°6’;

j) 77°77’.

23. Mekkora az ismeretlen hegyesszög, ha a) sin α= 0, 1234 ; b) sin α= 0, 3420 ; c) cos α= 0,6820; d) cos α= 0,0872; e) tg α= 0, 3891 ; f) tg α= 2, 1445 ; g) ctg α= 0,3245; h) ctg α=3,1102 ? 24. Szerkessz hegyesszöget, amelynek a) szinusza 0,8; b) koszinusza 0,3; e) tangense 2; g) kotangense 1,6;

c) szinusza 1; f) tangense 3;

d) koszinusza 0,5; h) kotangense 2. 33


25. Igaz-e, hogy egy hegyesszög szinusza és koszinusza mindig 1-nél kisebb szám? Indokold a választ! Elmondható-e ugyanez a hegyesszögek tangensére és kotangensére?

II.2.

Szöveges feladatok szögfüggvényekkel

A következő feladatok megoldásában segít a jó rajz. 26. Milyen magasra visz egy 300 méter hosszú, 30°-os lejtő? 27. Milyen magas az a nyárfa, melynek árnyéka a földön, vízszintes síkon 100 méter, ha a Nap sugarai 35°-os szög alatt esnek a földre? 28. Milyen magasan van az az ablak, amelyből a homokozóban játszó gyerek 65°-os depressziószög alatt látszik, ha a homokozó a ház aljától 73 méterre van? 29. Egy emelvényre deszkából feljárót készítenek. Milyen hosszú legyen a deszka, ha az emelvénytől számítva 10 méter távolságból 15°-os szögben vezet fel? 30. Milyen távol van az a hajó, amely a világítótoronyból a tenger szintje fölött 45 méter magasságból 8°24’-nyi depressziószög alatt látszik? 31. Egy mérnöki irodának egyenes alagutat kell tervezni két, nem azonos szinten lévő hely között. Méréssel meg lehet kapni a két hely közötti függőleges és vízszintes távolságot: 27 m és 760 m. Számítsd ki, hogy mekkora szöget kell a vízszintessel bezárnia az alagút irányának! 32. Egy hegyi fogaskerekű vasút két állomása a térkép szerint egymástól vízszintes irányban 1,9 m-re van. A valóságban a pályatest 2 km-es, és egyenletes emelkedéssel köti össze a két állomást. Mekkora a pályatest lejtési szöge? 33. Ki nyert? Laci és Peti rettentően unja a színházi előadást. Az erkély első sorában ülnek, így minden színészt jól látnak. Azzal szórakoznak, hogy először szabad szemmel megbecsülik a színészek magasságát, majd bizonyos adatok segítségével ki is számolják. Az nyer, akinek a becsült értéke közelebb van a valódihoz. A játékra már előre készültek, így néhány, a színházra jellemző adatot már megkérdeztek, valamint olyan távcsövet is vittek magukkal, ami szöget is tud mérni. A következőket tudják: – az erkély magassága 8,3 méter – a színpad magassága 1,6 méter. A férfi főhős éppen a színpad elején áll, amikor Laci megméri, hogy mekkora depressziószög alatt látja a színész feje tetejét és a lábfejét. Az egyik szög 25°3’, a másik 32°18’. Laci szerint a főhős 162 cm, Peti szerint 169 cm magas. 34. Marci nem szeret hegyet mászni. Barátai csak úgy tudják elcsábítani a kirándulásra, ha előre bebizonyítják neki, hogy a kiindulási ponttól számítva a szintkülönbség nem nagyobb 100 méternél. Figyelj, Marci! – mondják a barátai. 34


Az út elején lefelé kell menni. Ennek a résznek a hossza 550 méter, és a vízszintessel 7°-os szöget zár be. Ezután egy emelkedő szakasz jön, melynek a hossza 370 m és az emelkedési szöge 6,3°. A harmadik részen megint lefelé kell menni. A lejtős út hossza 1200 méter, és a hajlásszöge 6°. Elmegy-e Marci a kirándulásra? (Ismeri a szögfüggvényeket, és helyesen számol velük ☺) 35. Mekkora a vízszintes síkra eső merőleges vetülete annak a hat méter hosszú pálcának, melyet úgy tartunk, hogy a vízszintessel 43°-ot zárjon be? 36. Majorék telket akarnak vásárolni. A különböző ajánlatok közül a legnagyobb területűt vagy a legnagyobb kerületűt szeretnék megvenni. Melyiket válasszák? a ) A kert szimmetrikus trapéz alakú. A szárak hossza 35 m, a rövidebbik alap 20 m, amely a szárral 148°-os szöget zár be. b ) A kert egyenlő szárú háromszög alakú. A szárszög 137°, a szárak hossza 23 m. c ) A kert egy nyeles telek. Lásd az ábrát. d ) A kert trapéz alakú. A szárai 62 m és 38 m. A szárak a vízszintessel 73°-os, illetve 38°-os szöget zárnak be. A rövidebb alap hossza 27 m. e ) A kert rombusz alakú. Az oldala 51 m és a szöge 72°. f ) A kert négyszög alakú. Két szemközti szöge 90°-os. A harmadik szöge

137°-os. Az egyik derékszöget közrefogó oldalai 35 m és 92 m hosszúak. 37. Milyen hosszú húr tartozik egy 6 cm sugarú kör 86°-os középponti szögéhez? 38. Mekkora annak a körívnek a hossza, melyhez egy 10 cm sugarú körben 14 cm hosszú húr tartozik? 39. Mekkora annak a körcikknek a középponti szöge, amelyet egy 15 cm sugarú körből vágtunk ki, és az ívének a hossza 43 cm?

II.3.

Ívmérték

Korábban láttuk, hogy egy körben az ívhossz arányos a középponti szög nagyságával. Ez azt is jelenti, hogy az ívhossz és a kerület aránya alkalmas a középponti szög meghatározására. Pl. ha tudjuk, hogy egy középponti szöghöz akkora ív tartozik, mint a kör kerületének a negyede, akkor 90° a középponti szög nagysága. 40. Határozd meg! a ) Mekkora szög tartozik a teljes kör kerületéhez? b ) Mekkora szög tartozik egy félkörhöz? c ) Mekkora szög tartozik egy tizenketted körhöz? 41. Egy kör sugara r. a ) Mekkora ív tartozik a 360°-os középponti szöghöz? b ) Mekkora ív tartozik a 180°-os középponti szöghöz?

35


c ) Mekkora ív tartozik a 90°-os középponti szöghöz? d ) Mekkora ív tartozik a 60°-os középponti szöghöz? e ) Mekkora ív tartozik a 30°-os középponti szöghöz?

42. Pótold a szövegben a hiányzó részt! Ha a kör sugarát egységnyire választjuk, akkor a teljes kör kerülete ….., az ehhez tartozó középponti szög …°. A félkör kerülete …., az ehhez tartozó középponti szög …° Bevezetünk a szög mérésre egy új mértékegységet. Az egységnyi sugarú körban az adott középponti szöghöz tartozó körív hosszával mérjük a szöget. Az így mért szög nagyságát ún. ívmértékben, radiánban kapjuk meg. Pl. 360° ívmértéke 2π radián, 180° ívmértéke π radián. Az ívmértékben megadott szögeknél a mértékegységet nem szükséges kiírni: 180° = π (rad) 43. Folytasd az átváltást! 90° = (rad) 120° = (rad)

30° = (rad)

60° = (rad)

10° = (rad)

240° = (rad)

45° = (rad)

1° = (rad)

44. Most váltsd a radiánban megadott szögeket fokokra! π 2π π (rad) = (rad) = (rad) = 2 3 5π π 3π (rad) = (rad) = (rad) = 4 10 2

π (rad) = 6 1 (rad) =

45. Határozd meg a következő középponti szögek nagyságát fokban és ívmértékben!

46. Mekkora a sugara annak a körnek, melynek

π rad középponti szögéhez 16 cm 3

hosszúságú húr tartozik? 47. Egy 15 cm sugarú körben mekkora húr tartozik a

π rad középponti szöghöz? 5

48. Adott egy 23 cm sugarú kör. a ) Számold ki, hogy milyen hosszúak azok az érintők, amelyeket a kör középpontjától 30 cm távolságra levő pontból húzunk a körhöz! b ) Mekkora szög alatt látjuk a kör középpontjából két érintési pontot összekötő húrt? Fokban és ívmértékben is add meg a szöget!

36


II.4.

Térgeometria feladatok szögfüggvényekkel

49. Egy négyzet alapú piramis p magassága 146 méter, alapjánakhossza 230 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok atalajjal?

50. Mekkora annak a szabályos négyoldalú gúlának a magassága, melynek alapéle 20 cm, és a oldallapok 55°-os 55 szöget zárnak be az alaplappal? 51. Egy négyzet alapú egyenes gúla magassága 42 dm. Az oldallapjait alkotó háromszögek magassága 58 dm. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal? 52. Egy forgáskúp alapkörének sugara 10 cm, testmagassága 25 cm. Mekkora a kúp nyílásszöge? 53. Egy forgáskúp alkotója 45°-os 45 os szöget zár be az alaplappal. magassága 30 cm. Mekkora az alapkörének a sugara? 54. Egy piramisról tudjuk, k, hogy alapja egy 130 m, illetve 150 m oldalhosszúságú téglalap,magassága 18 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal? 55. Egy rombusz alapú egyenes hasáb valamennyi éle 6 cm, a rombusz szöge 63°. 63 Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 56. *** Egy y szabályos ötoldalú gúla alapéle 50 cm, és az oldaléle az alaplappal 39°-os 39 szöget zár be. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát!

II.5.

Nevezetes szögek szögfüggvényei

Nevezetes szögeknek a 30°, 30 60° és 45°-os szögeket nevezzük, mert ezek szögfüggvényértékei könnyen megadhatók valamely speciális háromszög segítségével. 57. Figyeld meg az ábrán ábrá látható szabályos háromszöget! a ) Számítsd zámítsd ki a magasságát a Pitagorasz-tétel Pitagorasz segítségével! (Az eredményt hagyd gyökös formában!) b ) Add meg a szögfüggvények értékeit a megfelelő oldalak arányával! sin 60°=

cos 60°= 60

tg 60°=

ctg 60°= 60

sin 30°=

cos 30°= 30

tg 30°=

ctg 30°= 30

37


58. Figyeld meg az ábrán látható egységnyi befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöget! a ) Számítsd ki az átfogóját a Pitagorasz-tétel Pitagorasz segítségével! b ) Add meg a szögfüggvények értékeit a megfelelő oldalak arányával! sin 45°=

cos 45°= 45

tg 45°=

ctg 45°= 45

59. A nevezetes szögek pontos értékének ismeretében számold ki a következő kifejezéseket! a ) 2 sin 30° + 3 cos 60° + tg 45° = b ) 3tg30° + ctg45° − 2tg 45° + 2 cos 60° = c)

(tg 45°)2 − (sin 30°)2 − (cos 60°)2 =

d ) cos

π π π + sin ⋅ tg 3 6 4

60. Melyik a nagyobb? sin 60° − sin 30° a) sin 60° + sin 30°

vagy

cos2 30° − sin 45°

2 − tg45° sin 45° − cos 45°

vagy

1 − cos 60° sin 30° + 1

b)

61. Egy 30°-os os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 6 ⋅ 3 . Mekkora a két befogó pontoshossza? 62. Egy 30°-os os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 10 ⋅ 3 . Mekkora a két befogópontos hossza? 63. Egy 30°-os os derékszögű háromszögben az átfogó hossza a ⋅ 3 . Mekkora a két befogó pontoshossza? 64. Mekkora az AB, BC és CD szakasz hossza,ha EB = 12 cm?

38


65. Az AD oszlop teteje a talajon az A-tól A tól 6 méterre levő B pontból 45°-os 45° szögben látszik.Az AB irányban addig távolodunk az oszloptól a talajon, amíg azt 30°-os 30° szögben nemlátjuk. Milyen messze vagyunk az oszloptól?

II.6.

Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között

II.6.1. Összefüggés egy szög tangense és kotangense között Figyeljük meg a derékszögű háromszögben az α szög tangenség és kotangensét!

tgα =

a b és ctgα = b a

Ez azt jelenti, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka.

Ezt úgy is felírhatjuk, hogy tgα ⋅ ctgα = 1 II.6.2. Pótszögek szögfüggvényei Az előző ábra betűzése szerint felírtuk a szögfüggvényeket. Keress közöttük egyenlőket!

Derékszögű háromszögben a két hegyesszög összege 90°, ezért β felírható β = 90°−α alakban. α-t és β-tt egymás pótszögének nevezzük. A táblázat alapján felírható összefüggések a pótszögek szögfüggvényeire:

II.6.3. Pitagoraszi azonosság Bármely derékszögű háromszögre teljesül a Pitagorasz-tétel: Pitagorasz Osszuk el a fenti egyenletet c2-tel! A hatványozás azonosságait felhasználva:

a 2 + b2 = c2 a 2 b2 + =1 c2 c2 2

2

a b   +   =1 c c

39


A szögfüggvények definíciója alapján, az előző ábrajelöléseit felhasználva: Bármely hegyesszögre teljesül:

(sin α )2 + (cos α )2 = 1

II.6.4. A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolataa szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy sin α =

a b és cos α = . Ezeket c c

a sin α c a c a egymással elosztva a következőhöz jutunk: = = ⋅ = , ami az α szög cos α b c b b c tangense. Az összefüggés reciprokát véve az α szög kotangensét kapjuk. Fennáll a következő két azonosság:

1. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke?

2. Mutassuk meg, hogy minden α hegyesszögre fennáll a következő összefüggés:

3. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül!

4. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül:

5. Igazak-e minden α hegyesszögre a következő egyenlőségek: 40


41


III. Feladatgyűjtemény Hasonlóság f1.

Vegyél fel egy háromszöget, és a belsejében egy O pontot! a) kicsinyítsd a háromszöget e feléreaz O pontból! b) nagyítsd a háromszöget a kétszeresére az O pontból!

f2.

Rajzolj egy 4 cm-es és egy 2 cm-es sugarú kört! Szerkeszd meg a hasonlóság középpontját, ami az egyiket a másikba viszi! (Hány megoldás van?)

f3.

Egy háromszög oldalai 10 cm, 14 cm és 18 cm. Egy hozzá hasonló háromszög legrövidebb oldala 15 cm-es. Számítsd ki a másik két oldalát!

f4.

Dancsi egy kirándulást szervez barátainak. A turistatérképen a tervezett útvonal hossza 40 cm. a) Mekkora a túra hossza, ha a térkép 1 : 40 000 arányú? b) Mennyi idő alatt teszik meg, ha 3,2 km/h az átlagsebességük?

f5.

Döntsd el az állításokról, hogy igaz-e (I) vagy hamis (H)! a) Két kör mindig hasonló. b) Bármelyik két hatszög hasonló. c) Ha két egyenlőszárú háromszög szárszöge megegyezik, akkor hasonlók. d) Két téglalap hasonló, ha átlóik ugyanakkora szöget zárnak be. e) Bármelyik két szabályos háromszög hasonló. f) Két négyszög hasonló, hogy szögeik páronként egyformák. g) Két négyzet mindig hasonló. h) Két rombusz mindig hasonló.

f6.

Döntsd el, hogy hasonlóak-e a háromszögek! a) AB = 2 cm; BC = 5 cm, CA = 3 cm, és A’B’ = 3 cm; B’C’ = 7,5 cm, C’A’ = 4,5 cm. b) AB = 6 cm; BC = 5 cm és β = 30°, és A’B’ = 9 cm; B’C’ = 7,5 cm és β = 45°. c) AB = 3 cm; BC = 5 cm és α = 30°, és A’B’ = 9 cm; B’C’ = 15 cm és α = 30°. d) AB = 3 cm; BC = 5 cm és γ = 60°, és A’B’ = 6 cm; B’C’ = 10 cm és γ = 60°.

f7.

Egy háromszög oldalai 3 cm, 4 cm és 5 cm. Mekkorák a hozzá hasonló háromszög oldalai, ha kerülete 60 cm?

f8.

Egy háromszög oldalai 5 cm, 7 cm és 10 cm. Mekkorák a hozzá hasonló háromszög oldalai, ha leghosszabb oldala 5 cm?

f9.

Egy négyszög oldalai: AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 5 cm és DA = 8 cm. Mekkorák egy hozzá hasonló négyszög oldalai, ha kerülete 15 cm?

f10. Egy trapéz két alapja 15 cm és 10 cm. Milyen arányban osztják egymás az átlói? f11. Egy trapéz átlói 2 : 5 arányban osztják egymást két részre. A hosszabb alapja 3 dm. Mekkora a rövidebb alapja?

42


f12. Egy park a térképen 4 cm és 3 cm oldalhosszúságú téglalapnak látszik. a) Mekkora a területe, ha a térkép méretaránya 1 : 1500? b) Milyen hosszú a parkon átlós irányban vezető út? f13. Vegyél fel a füzetedbe egy kört! Szerkessz háromszöget, melyben az oldalak aránya 3 : 4 : 5 és a megrajzolt kör a köré írt köre! f14. Vegyél fel a füzetedbe egy kört! Szerkessz háromszöget, melyben az oldalak aránya 2 : 3 : 4 és a megrajzolt kör a beírt köre! f15. Egy egyenlőszárú háromszögbe, melynek alapja 48 cm és magassága 30 cm téglalapot rajzolunk úgy, hogy a 16 cm-es oldala illeszkedik a háromszög alapjára és a másik két csúcsa a háromszög szárain helyezkedik el. Számítsd ki a téglalap másik oldalának a hosszát! f16. Hány százalékkal változott kicsinyítéskor annak a síkidomnak a területe, amelynek akerülete 25%-kal csökkent?

Magasság- és befogótétel f17. Egy derékszögű háromszög befogóinak a hossza 3 cm és 5 cm. a) Mekkora részekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság a befogót? b) Milyen távol van a derékszögű csúcs a befogótól? f18. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két olyan szakaszra bontja, melyek hossza 8 cm, illetve 24 cm. Mekkorák a háromszög befogói? f19. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 13 cm, és ennek a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete 12 cm. Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait, valamint a magasságát!

Szögfüggvények f20. Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 60°-os. Számológép segítségével számold ki, és a tanult jelölések használatával írd le … a ) a megadott szög melletti befogó és az átfogó arányát! b ) a megadott szöggel szemközti befogó és a megadott szög melletti befogó arányát! c ) a megadott szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát! d ) a megadott szög melletti befogó és a megadott szöggel szemközti befogó arányát! f21. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó aránya 0,5741. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! f22. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,2211. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit!

43


f23. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó aránya 0,5. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! f24. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó aránya 0,4421. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! f25. Adott a derékszögű háromszög két befogója: a = 6,2 cm, b = 10,5 cm. Mekkorák a háromszög szögei? f26. Milyen magasan van az a vasúti töltés, melynek felső szélessége 10 m, alsó szélessége 25 m, és az oldalak hajlásszöge a vízszinteshez 37°45’? f27. Egy 180 cm magas ember 30 méterre áll egy templomtól. Az épületet 86°-os látószögben látja az alapjától a torony csúcsáig. Határozd meg, hogy mekkora depressziószögben lát a templom aljára, és mekkora emelkedési szög alatt látja a torony tetejét! f28. Egy mélygarázsba vezető, egyenes lehajtó 8 m hosszú. Milyen mélyre visz a lehajtó, ha a lejtő a vízszintessel 17°-os szöget zár be? f29. Egy emelkedő a vízszintessel 12°-os szöget zár be, és a vízszintesre eső merőleges vetülete 200 m. Milyen magasra visz az emelkedő? f30. Mekkora szögben érkeznek a napsugarak a talajra, ha egy függőleges rúd árnyéka 75%-a a rúd hosszának? f31. Egy csavar átmérője 9 mm. Milyen magas egy csavarmenet, ha emelkedési szöge 5°? f32. A szegedi fogadalmi templom toronyórája az előtte lévő tér szintje felett 72 m-re van. A torony lábától 50 méterre milyen emelkedési szögben látszik az óra? f33. Egy közvetlenül a folyó partján álló épület 20 m magasan levő ablakából a folyó szélességét 80°-os szög alatt látjuk. Milyen széles a folyó? f34. Egy 3 m hosszú létrát a teherbíró képessége miatt csak úgy szabad a falhoz támasztani, hogy annak a vízszintessel bezárt szöge legalább 66° legyen. Legfeljebb mekkora távolságra lehet a létra alja a faltól? f35. * Egy derékszögű háromszög kerülete 70 cm, egyik hegyesszöge 50°. Mekkorák a háromszög oldalai? f36. * Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszögének a szinusza 1,2 m2. a ) Mekkora ennek a hegyesszögnek a koszinusza? b ) Mekkorák a háromszög oldalai?

44

5 , a területe 13


f37. *** Az ABC derékszögű háromszögben C csúcsnál van a derékszög. Az átfogóhoz tartozó magasság és a súlyvonal hosszának az aránya 12 : 37. Számítsd ki a derékszögű háromszög hegyesszögei szinuszának pontos értékét! f38. *** Add meg a sin 18° pontos értékét! f39. *** Egy derékszögű kszögű háromszög α hegyesszögével szemben lévő befogójának hossza 13 cm, a másik befogó hossza centiméterekben mérve páratlan természetes szám. Bizonyítsd be, hogy sinα sin irracionális szám! f40. Milyen hosszú húr tartozik egy 8 cm sugarú kör 128°-os 128 os középponti szögéhez? sz f41. Mekkora annak a körívnek a hossza, melyhez egy 12 cm sugarú körben 19 cm hosszú húr tartozik? f42. Mekkora a sugara annak a körnek, melynek

π rad középponti szögéhez 16 cm 6

hosszúságú húr tartozik? f43. Adott egy 23 cm sugarú kör. Számold ki, hogy milyen hosszúak azok az érintők, amelyeket a kör középpontjától 30 cm távolságra levő pontból húzunk a körhöz, és mekkora szög alatt látjuk a két érintési pontot összekötő húrt? f44. Mekkora szögben látszik egy 10 cm-es cm es húr a 8 cm sugarú kör O középpontjából, középpon ésmilyen távol van az O-tól? O tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe ésívhossza? f45. Egy 6,9 cm sugarú körben mekkora szögben látszik az átmérő egyik végpontjából az a8 cm hosszú húr, amely az átmérő másik végpontjából indul ki? f46. Egy rombusz egyik átlója 10,2 cm, oldala 6,8 cm. Mekkorák a szögei? f47. Egy rombusz átlói 16 cm és 12,6 cm. Mekkora az oldala, területe és a szögei? f48. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 10 cm, szárai 5 cm hosszúak. Mekkorák atrapéz szögei? f49. Egy templom homlokzatát homlokzat egy rozetta (rózsaablak) díszíti. Két látogató gató kíváncsi arra, hogy mekkora lehet az ablak átmérője. Szerencséjükre jükre verőfényes nap van, és a nap besüt az ablakon. Így a templom padlózatát megvilágítja az ablak, és megmérhető a fényfolt mérete. A fényfolt fényfo az ablak alatti faltól 6 méterre kezdődik és 5 m hosszú. A fényfolt falhoz közelebbi szélét meghatározó fénysugár 64°-ban, 64° a távolabbi pedig 52°-ban ban érkezik a földre. a ) Milyen magasan van az ablak párkánya? b ) Határozza meg az ablak átmérőjét!

45


Nevezetes szögfüggvényértékek f50. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét zsebszámológép használat nélkül! a ) 3 sin 60° − tg 45° = b ) sin 30° ⋅ tg60° = cos 30° − sin 45° = c) sin 60° − cos 45° 2 2 d ) (sin 45° ) ⋅ tg 60° ⋅ (cos 60° ) = f51. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!

f52. Egy 10 cm sugarú kör húrja a középponttól 5 cm-re található. Számítsd ki a húrhoztartozó körszelet kerületét és területét! f53. Egy 12 cm sugarú kör húrja a középponttól 6 2 cm-re található. Számítsd ki a húrhoztartozó körszelet kerületét és területét! f54. *** Egy 10 cm sugarú körben milyen messze vannak egymástól a 120°-os és a 90°-os középpontiszöghöz tartozó, egymással párhuzamos húrok végpontjai, ha a kör középpontja a) a húrok között helyezkedik el; b) nem a húrok között helyezkedik el? f55. *** Egy négyzet alapú gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszöge 60°. Mekkora azoldalél és az alaplap hajlásszöge?

46

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

Recommend Documents