10. évfolyam második epochafüzet

10. évfolyam második epochafüzet (Másodfokú problémák, valós számok, négyzetgyök) négyzetgyök)

Tulajdonos: ………………………………………

MÁSODIK EPOCHAFÜZET

Tartalom I. Kuzus leírás .................................................................................................................. 3 II. Egyenletrendszerek ..................................................................................................... 4 III. Másodfokúra vezető problémák ............................................................................... 6 III.1. ** Paraméteres egyenletek ................................................................................. 11 IV. Valós számok ............................................................................................................. 12 IV.1. Racionális és irracionális számok tizedes tört alakja..................................... 12 IV.2. Számhalmazok .................................................................................................... 15 V. Hatványozás ismétlése ............................................................................................. 17 V.1. Műveletek hatványokkal ................................................................................... 17 V.2. A negatív kitevőjű hatvány ............................................................................... 17 V.3. Számok normálalakja ......................................................................................... 18 V.4. Vegyes feladatok hatványokra ......................................................................... 19 VI. Hatvány függvények ................................................................................................ 21 VII. Négyzetgyök .............................................................................................................. 22 VII.1. Négyzetgyök ismétlése ...................................................................................... 22 VII.2. Négyzetgyök függvény ..................................................................................... 24 VII.3. Műveletek négyzetgyökkel ............................................................................... 26 Kivitel a gyökjel alól...................................................................................................... 27 Bevitel a gyökjel alá....................................................................................................... 29 VII.4. Gyöktelenítés....................................................................................................... 30 Ha egytagú a nevező..................................................................................................... 30 Ha kéttagú a nevező...................................................................................................... 31 VII.5. Feladatok függvényekkel .................................................................................. 32 VIII. Egyenletek .................................................................................................................. 33 VIII.1. Egyenletek ekvivalenciája ................................................................................. 33 VIII.2. Négyzetgyökös egyenletek ............................................................................... 35 IX. Valószínűségszámítás ............................................................................................... 39 IX.1. Kombinatorikus valószínűség .......................................................................... 39 IX.2. Geometrikus valószínűség ................................................................................ 40 X. Feladatgyűjtemény .................................................................................................... 41 Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek ............................ 44 Paraméteres egyenletek ................................................................................................ 45 Valószínűség számítás .................................................................................................. 46 Középszintű érettségi feladatok algebrából, függvényekből.................................. 49

2

MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK

I. Kuzus leírás Fogalmak: gyökös kifejezések, értelmezési tartomány, egyenlőtlenség, lineáris egyenletrendszer, másodfokú egyenlet, másodfokúra vezető egyenletrendszer, gyökös egyenlet, paraméteres egyenlet, függvény, gyökfüggvény, függvény jellemzése, racionális, irracionális számok, kombinatorikus illetve geometrikus valószínűség Összefüggések: nevezetes szorzatok, műveleti tulajdonságok, a másodfokú egyenlet megoldóképlete, gyökös azonosságok, függvények és egyenletek közötti kapcsolat Eljárások: ekvivalens átalakítások, elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek megoldása, másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldása, lineáris és nemlineáris függvények vizsgálata, függvények ábrázolása, függvény-transzformáció, √2 irracionális szám igazolása

Az epocha értékelése: • 70% az epochazáró • A másik 30%-ot az epocha során feldolgozásra kerülő anyagrészekből írt résztesztek fogják adni. (15%-15%). • További 10 pontot ér az órai aktivitás illetve a házi feladatok elkészítése.

A százalékos eredmények átváltása jegyre: 0%-39% 40%-54% 55%-69% 70%-84% 85%-100%

nullás (0) elégséges (2) közepes (3) jó (4) jeles (5)

3


II. Egyenletrendszerek Fejezd ki az egyik egyenletből valamelyik ismeretlent, és az így kapott kifejezést HELYETTESÍTSD BE a másik egyenletbe, így keresd az alábbi egyenletrendszerek megoldását!

1.

a.

x + y = −12  x− y=4 

b.

x + 3y = 5   x + 8 y = 10

d.

3x − 4 y = 0   2 x + 3 y = 20

e.

x + 2 y = 4  x − y = 11 

a.

3x − 7 y = 1   3x + 6 y = −1

b.

x + 3y = 9   2 x + 3 y = 12

c.

x − 2 y = 12   3 x + 2 y = 9

d.

6x + 8 y = 7   3x + 12 y = 4

e.

3x + y = 3   6 x + 3 y = 4

f.

4 x − 3 y = 3  x − 2y = 2 

Az alábbi GRAFIKUS megoldásokhoz írd fel az egyenletrendszereket!

3.

Oldd meg a következő egyenletrendszert az halmazon! 3 2 2 7

4

2x + y = 5   3x + 4 y = 10

A következő egyenletrendszereknél add össze, vagy vond ki egymásból a két egyenletet, hogy a kapott egyenletben már csak egy ismeretlen szerepeljen! Ha kell, szorozd meg az egyenleteket egy alkalmas számmal, hogy valamelyik változó EGYÜTTHATÓJA EGYENLŐ, vagy ellentettje legyen egymásnak a két egyenletben!

2.

4.

c.


5.

Mely x,y-ra igazak?

a.

c.

2x + 1 y − 2  − = −0,1  5 4  x + 2 5y − 7 + =3   3 2 3x − 2 y 5x − 3 y  + = x + 1  5 3  2x − 3 y 4x − 3 y + = y + 1  3 2

b.

x − 3 y 5x + y  − = 16   2 3  x − 3y  x + y + 12 =  8

d.

(x + 3)( y + 5) = (x + 1)( y + 8)  (2 x − 3)(5 y + 7 ) = 2(5 x − 6)( y + 1)

6.

Teheráru szállítására alkalmas vagonokat állítanak egy mozdony mögé. Ha egy vagonra 15,5 tonna árút raknak akkor, 4 tonnát nem tudnak berakni, ha viszont16,5 tonnát, akkor az utolsó vagonban még 8 tonna elférne. Hány vagont állítottak be a mozdony mögé, illete, hány tonna a szállítandó áru?

7.

Egy társaság vacsorához készülődik egy étteremben, ha minden asztalhoz 10-en ülnek le az utolsó asztalnál 4 szabad hely marad, ha viszont 8-an, akkor 3 embernek nem jut hely. Hány fős a társaság, illtve hány asztalt foglaltak le?

8.

Egy kirándulásra pénzt gyűjt egy csibe. Ha mindenki 7500 Ft-ot hoz be akkor a költségből 4400 Ft hiányzik, ha viszont 8000 Ft-t, akkor 4400 Ft többlet lesz. Hány fős a csibe?

9.

Ha egy téglalap hosszúságát megnöveljük 6 m-rel, a szélességét pedig csökkentjük 3 m-rel, akkor a téglalap területe nem változik. Nem változik akkor sem, ha a hosszát 3 m-rel kisebbítjük a szélességét pedig 2,4-gyel növeljük. Mekkorák a téglalap oldalai?

10.

Ha két szám mindegyikéből 3-at elveszünk, akkor az első szám háromszorosa lesz a másodiknak. Ha viszont mindkét számhoz 2-t hozzáadunk, akkor az első szám kétszerese lesz a másodiknak. Melyik ez a két szám?

11.

Ha egy tört számlálójához illetve nevezőjéhez is 2-t hozzáadunk a tört értéke ଵ ଵ lesz. Ha viszont a nevezőjéből egyet elveszünk ଷ lesz. Melyik ez a tört? ଶ

12.

Ha egy tört számlálóját 2-vel növeljük akkor 1-et, ha viszont a nevezőjét ଵ növeljük 3-mal, akkor ଶ -et kapunk. Melyik ez a tört?

13.

**Ha egy háromjegyű szám jegyeit fordítva írjuk le és az eredetiből kivonjuk a különbség 500 és 600 között lesz. A középső számjegy 3-mal kisebb a másik kettő összegénél, a százasok helyén álló számjegy négyzete 4-gyel nagyobb a másik két számjegy 9-szeresénél. Melyik ez a szám?

14.

**Peti vásárolt egy körzőt, egy ceruzát és egy radírt. Ha a körző az ötödébe, a a ceruza a felébe, a radír kétödödébé kerülne, akkor 80 Ft-t, ha a körző felébe, a ceruza a negyedébe, a radír harmadába kerülne, akkor 120 Ft-t fizetett volna. Mennyit fizetett? Melyik volt a drágább a körző vagy a ceruza?

5


III. Másodfokúra vezető problémák 15. Felületesék építkezni akarnak. Most kezdik keresni a telket, és ehhez kérik a segítséget. Sajnos a kerítés fonatát már megvették, hossza 50 méter. A feltételek: a ) ha egy kedvező telket találnak, biztosan megveszik; b ) a telek téglalap alakú legyen; c ) a ház egyik oldala kerítésként is funkcionáljon, azaz a hossza egyezzen meg a telek egyik oldalának hosszával; d ) a kerítésfonatot fel kell használni, és többet nem lehet belőle venni; e ) a kert területe a lehető legnagyobb legyen! Add meg a telek méreteit! Kerítés hossza: ……….. = 50 m

Kert területe: t (a; b) =

t (a; b) egy kétváltozós függvény, ugyanis értéke a-tól és b-től is függ. Írd át úgy a t (a; b) függvényt, hogy vagy csak a-tól (t (a)), vagy csak b-től (t (b)) függjön az értéke! 16. Két piaci árus, Hagyma és Krumpli urak megállapodást kötnek. A megállapodás feltételei a következők: – nem rontják egymás üzleti bevételét, ezért Hagyma úr csak hagymát, Krumpli úr csak burgonyát árul; – naponta ketten együtt összesen 1000 kg-nyi áru eladásával foglalkoznak; – a hagyma ára a krumpli mennyiségének huszada; – a burgonya ára a hagyma mennyiségének tizede Természetesen arra törekszenek, hogy külön-külön maximális bevételük legyen. Már előre kalkulálnak, hogy hány kg hagymát, ill. burgonyát kell eladni és mennyiért, hogy a bevételük a lehető legnagyobb legyen. Segíts megcsinálni a kalkulációt! 17. Tervezd meg leendő lakásodat! Az a legfontosabb, hogy a szobák összterülete a lehető legnagyobb legyen. A feltételek a következők: – a falak összhosszúsága 90m; – két kisebb és egy nagyobb szobát, valamint egy folyosót lehet kialakítani; – a főgerendák hosszúságának az aránya 5 : 3; – a három szoba csak egymás mellett helyezkedhet el, mint például az ábrán; – a folyosó szélessége a hosszabbik gerenda ötöde, hosszúsága csak egy gerenda hosszúságú lehet.

6


18. ଶ 1

2 ଶ 3

ଶ 2

Ezek paraméteres másodfokú függvények, így a grafikonok tulajdonságainak jó része a p (paraméter) értékétől is függ. Határozd meg a p értékét úgy, hogy a ) az f(x) függvény szélsőértéke a x = 3 helyen legyen; b ) a g(x) függvény érintse az x tengelyt; c ) a h(x) függvény szélsőértéke 14 legyen; d ) az f(x) függvény minden értéke pozitív legyen; e ) a g(x) függvény minden értéke negatív legyen; f ) a h(x) függvénynek két közös pontja legyen az x tengellyel; g ) az f(x) függvénynek maximuma legyen; h )a h(x) függvénynek minimuma legyen! 19. A télikabátokat a FER üzletben decemberben 33 500 Ft-ért és 41 800 Ft-ért árulták. Mivel a kabátok nem fogytak, bizonyos százalékkal leszállították az árukat. Januárban sem változott a helyzet, ezért még a télvégi kiárusítás előtt az előző árleszállításhoz viszonyítva kétszer akkora százalékkel szállították le a kabátok árát. Így az új ár 24 200 Ft, ill. 33 900 Ft lett. Hány százalékos volt a két árleszállítás külön-külön a kétféle minőségű kabátnál? 20. Jóskáék elhatározták, hogy takarékoskodnak. Januárban 50 000 Ft-ot spóroltak meg Ezt az összeget betették a Postabankba. Sajnos legközelebb csak a következő év januárjában tudnak 36 000 Ft-ot hozzátenni. A Postabank az infláció miatt 28%kal megemelte az előző évi kamatot. Annyira nehezebbé váltak Jóskáék életkörülményei, hogy a következő év januárjában ki kellett venniük a bankból a pénzt. Szerencsére elég sokat, 110 920 Ft-ot kaptak. Hány százalékos kamatot fizetett a Postabank az első évben? 21. Alma, téglalap alakú kertéjének közepére, a kerítéstől mindenhol egyforma távolságra virágágyást szeretne telepíteni. Nem nagyon szereti a kerti munkát, ezért úgy gondolja, hogy a virágágyás területe csak 10%-a legyen az egész kert területének. Mekkorák a virágágyás oldalai, ha a kert méretei 15 m és 20 m? 22. Hány pontot kötött össze Péter, ha – a pontok között nincs három olyan pont, amely egy egyenesbe esik; – Péter minden pontot mindegyikkel összekötött; – és az összekötések száma 15? 23. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a csúcsokat összekötő szakaszok száma 28?

7


24. Hányan jártatok hatodikban egy osztályba, ha augusztusban mindenki kapott mindenkitől egy fényképet, és összesen 870 fénykép cserélt gazdát? 25. Jutka szilveszterre nagy társaságot hívott meg. Ebben a társaságban az a szokás, hogy mindenki mindenkivel kezet fog. Péter – aki utálja ezt az egész ceremóniát – számolta, hogy hány kézfogás volt. Elborzadt, ugyanis 780-at számolt meg. Hány főből állt a szilveszteri társaság? 26. Az NB I-es labdarúgó bajnokság őszi és tavaszi fordulójában együtt 240 meccset játszanak le a csapatok. Hány csapat vesz részt a bajnokságon? 27. Az egyik lakóközösség műholdas TV-rendszert akar kiépíteni. A rendszer kiépítése 312 000 Ft-ba kerül. Az utolsó pillanatban még két család csatlakozik hozzájuk, így a lakásonkénti befizetés 1000 Ft-tal csökken. Hány család akarta eredetileg a TV-rendszert kiépíteni? 28. Előbb gondolkodj! Nem biztos, hogy a mechanikus megoldás célravezető! a ) || ଶ

b ) | ଶ 7 1| 3

c ) | ଶ 4 3| 4 ଶ 3

g ) | 3| 3 ଶ

h ) ଺ 9 ଷ 8 0

i ) ଶ 5 ଶ 2 ଶ 5 24

d ) | ଶ 4 2| 1

f ) | ଶ 5 6| 5 ଶ 6

e ) ସ 5 ଶ 4 0

29. Mely értékekre pozitívak a következő kifejezések? (Könnyebbé teszi a megoldást ha a kifejezést, mint függvényképletet kezeled, és vázlatosan ábrázolod a függvény grafikonját. Gondold meg, a függvény grafikonjának mely jellemzőire van szükséged!) a ) 3 ଶ 10 11 b ) 5 ଶ 6 7

c ) 4 ଶ 3 5

d ) ଶ 7 13

e)

௫ మ ା଻௫ିଵଷ ଶ

30. Mely x-ekre igazak a következő egyenlőtlenségek? A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! (Megint segít a vázlatos ábrázolás.) a )ଶ 1

d ) 2 ଶ 3 2 0

c ) ଶ 5 6 0

f ) ଶ௫ଶିଷ ଶ௫ଶାଷ 3

b ) 4 ଶ 36

e ) 3 ଶ 5 2 0 మ

మ

31. A termelők a táp, a benzin stb. árának emelkedése miatt úgy megemelték a tejtermékek árát, hogy zuhanni kezdett a fogyasztás, és az áru ottmaradt a termelők nyakán. A termelők emiatt félszer annyi százalékkel csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték a tejtermék árát. Így pl. a vaj az eredeti áránál csak 8%-kal lett drágább. Hány százalékos volt az emelés? 32. Melyik az a tört, melynek nevezője 4-gyel nagyobb a számlálójánál; ha a számlálót 3-mal csökkentjük, a nevezőt pedig ugyanannyival növeljük, a tört értéke a felére csökken.

8


33. Zsuzsi arról híres, hogy nagyon figyelmetlenül számol. Most is úgy szorzott össze két számot, – melyek közül az egyik 10-zel nagyobb, mint a másik –, hogy a tízesek szám 4-gyel kevesebb lett. A szorzást természetesen ellenőrizte; az eredményt elosztotta a kisebbik tényezővel, és így hányadosul 39-et, maradékul 22-t kapott. Milyen számokat szorzott össze Zsuzsi? 34. A következő egyenletekben lehet-e a paraméternek olyan értéket adni, hogy az egyenletnek csak egy megoldása legyen? (Emlékezz! A megoldások szám a diszkrimináns előjelétől függ!) a ) 3 ଶ 2 4 0

b ) 1 ଶ 5 3 0

c ) 4 ଶ 3 2 0

(p a paraméter) (q a paraméter) (d a paraméter)

35. Óvatosék összespórolt pénzüket nem merik kockáztatni. Pénzüket 1 000 000 Ft-ot beteszik az OTP-be. Mivel egy év múlva az OTP kamatlábat emel, pénzükhöz még 800 eFt-ot hozzátesznek. Megint eltelik egy év, közben Óvatosék bátrabbak lesznek, és inkább részvényekbe akarják fektetni a pénzüket. Ezért kiveszik a bankból az összes pénzüket, 2 980 000 Ft-ot. Átlagosan évi hány százalékos kamatot fizetett az OTP? 36. Ez év március elejéig Annának 230 e Ft-ja gyűlt össze. Nem akart otthon a párna alatt tartani, betette a bankba évi 28%-os kamatra. Június 20-án kiderült, hogy hirtelen szüksége van a pénzre, kivette. a ) Mennyit kapott? (Ilyenkor a bankok az úgynevezett „egyszerű kamattal” számolnak. Kiszámolják, hogy egy napra mennyi kamat, ill. hány százalékos kamatláb jut; ezt alkalmazzék annyi napra, ahány napig a pénz a bankban van. Minden hónapot 30 napnak, így egy évet 360 napnak tekintenek.) b )Anna nagyon kevésnek találja a kamatot. Elkezdte kiszámítani, hogy mennyi pénzt kapna akkor, ha a jövő év június 20-án venni ki a pénzét. Anna szerint így 300 000 Ft-ot kapna. Igaza van-e? c ) És ha két év múlva július 20-án venni ki a pénzt, akkor mennyit kapna? 37. Nemtörődömék elég gazdagok. A múlt év január elején (talán ötödikén) kétmillió forintot tettek a Postabankba. Most, május 5-én felszólították őket, hogy május 10ig fizessék vissza a tartozásukat. Elrohantak a Postabankba, és kivették a számlájukról a pénzt. Kaptak 2 920 000 Ft-ot. Nagyon kevesellték, utána szerettek volna számolni, de fogalmuk sem volt, hogy a Postabank milyen kamatlábbal számolt. Segíts nekik! 38. Előrelátóék 900 e Ft tartalék pénzüket nem költik el mindenféle használati tárgyakra, hanem befektetik. Úgy döntöttek, hogy két évig nem vesznek ki és nem is tesznek be újabb pénzt ebbe az üzletbe. Jól jártak, ugyanis a második év végén a befektetett pénzük 2 070 000 Ft lett. Számod ki, hogy ez évi hány százalékos kamatnak felel meg!

9


39. Megadtunk egy paraméteres másodfokú egyenletet. Ez az egy kifejezés nagyon sok egyenletet jelent, ugyanis a benne szereplő p paraméter értékeit tetszés szerint változtathatjuk. 2 1 ଶ 3 0 Készíts ebből egyenleteket úgy, hogy a ) ne legyen megoldása; b )két megoldása legyen; c ) egy megoldása legyen! 40. Mely (x; y) számpárokra igaz? 6 a) ଶ ଶ 18

14 b) ଶ ଶ 100

c)

6 ଶ 2 4

ଶ

41. Szabóék betétkönyvében elmosódott, hogy három évvel ezelőtt mennyi pénzt tettek be az OTP-be. Most ki akarják váltani a pénzt. Az OTP-től 3 300 000 Ft-ot (felkamatolt tőke) kaptak. Átlagosan évi 15%-os kamatot fizetett az OTP e három évben. Hány forintot tettek be Szabóék három évvel ezelőtt a bankba? 42. Oldd meg a következő egyenleteket úgy, hogy megfelelő helyettesítéssel visszavezeted másodfokúra! (Pl.: y = x 2 vagy y = x 3 ) a ) x 4 − 13x 2 + 36 = 0

b ) 2 x 4 + 2 x 2 − 12 = 0

c ) x 6 − 63x 3 − 64 = 0

d ) 27 x 6 + 1 + 28 x 3 = 0

e ) 16 x 4 − 257 x 2 + 16 = 0

f ) 9 x 4 = 25 + 224 x 2

g ) x8 = 15 x 4 + 16

h ) 8 x6 + 1 = 9 x3

43. *** Megfelelő helyettesítéssel oldd meg az egyenleteket! a ) 8( x + 2) + 7(x + 2 ) − 1 = 0

b ) 8( x − 1) − 215( x − 1) − 27 = 0

c ) (x 2 + 4 x ) + 105 = 26 (x 2 + 4 x )

d ) − 4(x 2 + 5 x + 3) = (x 2 + 5 x + 3) + 3

e ) (x 2 − 2 x ) − 11x 2 + 22 x + 24 = 0

f ) x2 + 7 x + 9 x2 + 7 x + 7 = 3

6

3

6

2

3

2

2

(

)(

)

44. *** Alkalmas helyettesítéssel ezek is másodfokúak lesznek. Oldd meg őket! 1  1   a ) 3 x 2 + 2  = 7 x +  x  x  

25  5   b ) 2 x 2 + 2  − 21 x +  + 74 = 0 x  x  

c ) 2 x 4 − 5 x3 − 8 x 2 − 5 x + 2 = 0

d ) 3x 4 + 14 x 3 + x 2 + 14 x + 3 = 0

45. Mely valós számpárok teszik igazzá az egyenleteket? a)

x + 2 y = 3  x 2 + y = 2

b)

x− y = 4   3 x − y 2 = 8

c)

x 2 − 2 y = 2  x + 3y = 5 

d)

x + y = 7  x ⋅ y = 10

e)

2 x − y = 1  x⋅ y = 6 

f)

2 x + y = −3   x 2 + y 2 = 41

10


III.1.

** Paraméteres egyenletek

46. Add meg az egyenlet megoldását a b valós paraméter segítségével!

3 + b x = 2(x + 4) 47. Add meg az egyenlet megoldását a b valós paraméter segítségével!

x = a+ 1 x−a 48. Add meg az egyenletek megoldását az a, b, c és d valós paraméterek segítségével! a) ax =3

b ) bx+b = 7

c ) c x + 4 = 2x

d ) d x −1 = d − x

e ) (a − 3)x = a 2 − 9

f ) c x − c 2 = −4 x − 16

49. Milyen k ∈ R értéknél lesz az a ) x 2 − 7 x + k = 0 egyenlet egyik gyöke (-2)? b ) x 2 + k x − 15 = 0 egyenlet egyik gyöke 5? c ) 5 x 2 − 19 x + k = 0 egyenlet egyik gyöke 3? 50. Határozd meg c-t úgy, hogy a 4 x 2 − 8 x + c = 0 egyenletnek a ) két egyenlő gyöke legyen! b ) két különböző gyöke legyen! c ) ne legyen valós gyöke! 51. A p valós paraméter mely értékeire lesznek az adott egyenlet gyökei egyenlők? Ellenőrizd a megoldást!

x 2 − 8 p x + 2x + 15 p 2 − 2 p − 7 = 0 52. A p paraméter mely értékei esetén van megoldása a következő egyenletnek? x + 2 = p − 2x

53. Ábrázolás nélkül határozd meg! 2 2 a) Az f ( x ) = x − 4 x + 5 és g ( x ) = − x + 2 x + 6 függvények értékkészletét! 2 2 b) Az f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 és g ( x ) = −3 x − 9 x + 4,75 függvények szélsőértékét!

2 c) Az f ( x ) = 2 x − 5 x + 1 függvény szigorúan monoton növekvő szakaszát! 2 d) Az f ( x ) = −6 x − 12 x + 1 függvény szigorúan monoton csökkenő szakaszát!

11


IV. Valós számok IV.1.

Racionális és irracionális számok tizedes tört alakja

54. A számegyenes [0; 2] intervallumán egy öröklétű, de fáradékony bolha ugrál.

Másodpercenként egyet ugrik. A 0-ból indul, és az első ugrással a 2-be jut: A 2-ben visszafordul, és a 0-ig tartó utat két egyenlő hosszú ugrással teszi meg: A 0-ban ismét visszafordul, és mivel fáradékony a bolha, most még kisebbeket ugrik, három egyenlő ugrással jut a 2-be: a ) Továbbra is hasonlóan ugrál a bolha. Visszafelé négy ugrással jut a 2-be. Jelöld a bolha útját!

b ) Majd a 2-ből öt ugrással jut el a 0-ba. Jelöld!

c ) A bolha,örökéletű lévén az ugrálást sohasem hagyja abba. Eljut-e az

5 9 11 8 , , , 7 8 12 3

pontokhoz? Indokolj! d ) Eljut-e a bolha legalább egyszer a [0; 2] intervallum minden pontjába? Válaszod indokold! e ) Most vizsgáljuk a [0; 2] intervallum levő racionális számokat! Ilyenek pl.:

3 , 4

7 9 12 4 69 15 17 , , , , , , 5 8 13 9 35 13 9

Eljut-e a bolha a számoknak megfelelő pontba? Írd át ezeket a számokat tizedes tört alakba! Csoportosítsd őket aszerint, hogy tizedes tört alakjuk véges vagy végtelen, szakaszos vagy nem szakaszos! 55. Vizsgáljuk most a racionális számok tizedes tört alakját! Alakítsd át a következő törteket! 12


a)

73 = 20

b)

32 = 15

c)

5 = 3

d)

101 = 40

e)

97 = 35

f)

92 = 3

g)

26 = 16

h)

43 = 8

i)

100 = 7

j)

3 = 25

56. Írd be az előző számokat tört alakban a halmazábrába! Számok Végtelen a tizedes tört alakja

Szakaszos

Véges a tizedes tört alakja

Tiszta szakaszos

Fogalmazd meg tapasztalataidat! a ) Ha egy tört tovább nem egyszerűsített alakjának a nevezője ………… ……………………………………………...………., akkor tizedes tört alakja véges. b ) Ha egy tört tovább nem egyszerűsített alakjának a nevezője ………… ……………………………...………., akkor tizedes tört alakja végtelen szakaszos. c ) Ha egy tört tovább nem egyszerűsített alakjának a nevezője ………… ……………………...………., akkor tizedes tört alakja végtelen, tiszta szakaszos. d ) Írj a halmazábra minden részébe további egy-egy törtet! e ) Van-e olyan része a halmazábrának, ahová nem került tört? Miért? 57. Bizonyítsd be, hogy minden tovább már nem egyszerűsíthető, 7 nevezőjű tört tizedes tört alakja végtelen szakaszos, és a szakasz nem állhat hatnál több jegyből! 58. ** Bizonyítsd be, hogy csak azoknak a törteknek véges a tizedes tört alakja, amelyeknek a tovább már nem egyszerűsíthető tört alakjában a prímtényezős felbontásban a 2-n és 5-ön kívül más prímszám nem szerepel! 59. Keresd meg a következő végtelen szakaszos tizedes törtek két egész szám hányadosaként felírt alakját!

13


0,1& =

0,3& =

0,01& =

0,2& =

0,36& 3& =

60. Térjünk most vissza az örökéletű bolhára! Írj olyan számot, amely a [0; 2] intervallumban van, és tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos! Eljut-e a bolha a számnak megfelelő pontba? 61. Csoportosítsd a következő számokat aszerint, hogy eljut-e vagy sem a bolha a számnak megfelelő pontba! Indokolj is! 93 1,635 ; 0,321032100321000321; 0,9257 ; 159 5392 0,3941; 0,12112111211112.... ; 1,65 . 2; ; 8641 Definíciók: – Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, ahol a nevező nem nulla, racionális számoknak nevezzük. – Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. – A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. A racionális számok mindig felírhatók véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört alakban, illetve a véges vagy végtelen tizedes törtek mindi felírhatók két egész szám hányadosaként.

2 irracionális szám, azaz nem írható fel két egész szám 62. Igaz-e, hogy a hányadosaként? Állításod indokold! (Segítség: Próbálj abból kiindulni, hogy mi p lenne, ha fel tudnánk írni két egész szám hányadosaként, vagyis 2 = , ahol az q egy tovább nem egyszerűsíthető alak, vagyis p és q relatív prímek. Emeld négyzetre az egyenlőség mindkét oldalát, és vizsgáld a p és q számok párosságát!)

14


63. Adjuk meg a

2 közelítő értékeit, különböző pontossággal: 1 < 2 < 2 , mert 12 < 2 < 2 2 1,4 < 2 < 1,5 , mert 1,96 < 2 < 2,25 1,41 < 2 < 1,42 , mert 1,981 < 2 < 2,0164

Ez azt jelenti, hogy a 2 nem is létezik, hiszen nem tudjuk megadni a pontos értékét? Mielőtt válaszolnál, keresd meg a következő feladat megoldását! 64. Az ábrán egy egységnyi területű, négyzet alakú halastó látható. Úgy kétszerezd meg a területét, hogy ne kelljen kivágni a sarokban álló nyírfákat, és az új halastó is négyzet alakú legyen!

65. Keresd meg a 2 helyét a számegyenesen! Szerkesztéssel próbálkozz, segít az előző feladat! (A füzetbe dolgozz!) 66. A következő rajz segít bármely egész szám négyzetgyökének a megszerkesztésében. Próbáld ki a füzetedben!

IV.2.

Számhalmazok

67. Határozd meg, hogy melyik betű milyen számhalmazt jelöl, és sorolj fel néhány példát is az elemei közül! a ) N: b ) R: c ) Q* : d ) Q- : e ) Z:

15


68. Címkézd meg a halmazokat, a számhalmazok szokásos betűjelével, és írj 2 példát az egyes tartományokba!

69. Helyezd el a számokat a fenti halmazábrában! 60 3 15 7 8 0; –2,15; − ; π; ; |–2,005|; − ; 2 ; − ; 0,1011011101111…; − 5π ; 2 4 3 3 2

16


V. Hatványozás ismétlése V.1.

Műveletek hatványokkal

70. Add meg a számok legegyszerűbb alakját! Számolj prímtényezőkkel és a hatványozási azonosságokkal! (A b)-ben és d)-ben először végezz prímtényezős felbontást!) Dolgozz a füzetbe! 6 3 ⋅ 8 ⋅14 2 153 ⋅ 32 ⋅ 6 2 = = a) c) 10 4 ⋅ 182 10 5 ⋅ 7 4 4950 16200 = = b) d) 14850 2904 71. Számolj gyorsan és ügyesen, számológép használata nélkül! 4 2 a) 2 ⋅ 5 = ..................

5 3 4 3 b) 2 ⋅ 5 +5 ⋅4 = ..................

1253 c) 4 = .................. 5

6 4 ⋅ 753 d) 6 5 3 = .................. 3 ⋅5 ⋅2

V.2.

A negatív kitevőjű hatvány

72. Írd fel a számokat negatív kitevő nélkül! −4 1 2 =   = a ) −5 3 5

1 b ) −3 = 2

x −3 =

(− 5)−7

y −4 =

(− 2)−3 =

−5

3   = 4

=

73. Számítsd ki! 35 a) 8 = 3

43 b) 6 = 2

−1

1 f)   =  3

252 c) 6 = 5

3

2 d)   = 3

−5

−1

g) 0,01 =

1 h)   = 2

52 ⋅ 2 4 = e) 100 0

−2

i) 0,1 =

 39  j)   =  7 

74. Fejtsd meg, melyik számot kell 3 a) kilencedik hatványra emelni, hogy 8 -t kapjunk; 4 b) hatodik hatványra emelni, hogy 27 -t kapjunk;

c) tizenhatodik hatványra emelni, hogy 16 -t kapjunk; 8

d) nyolcadik hatványra emelni, hogy 48 -nél kisebb számot kapjunk; e) harmadik hatványra emelni, hogy 212 -nél nagyobb számot kapjunk!

17


V.3.

Számok normálalakja

75. Írd fel az adatokat normálalakban! a ) A Föld és az Androméda köd távolsága: 95 000 000 000 000 000 000 km (Az SI mértékrendszerben méterben kellene felírni, tedd meg ezt is!) b ) A Nap tömege: 1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg c ) Egy szénatom súlya: 0, 000 000 000 000 000 000 000 019 9 g d ) 1 g hidrogénben 602 000 000 000 000 000 000 000 számú atom van. 76. Írd fel az adatokat normálalakban! a) A Nap-Föld közepes távolság: 150 000 000 km = b) Az Egyenlítő hossza: 40 075 km = c) A proton tömege: 0,000 000 000 000 000 000 000 001 67g = d) Az elektron tömege: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 91g = e) A sárga fény hullámhossza: 0,000 000 58 m = 77. Számolj normál alakokkal! a ) Az elektromos vonzást az

భ ·మ మ

Coulomb törvény írja le, ahol 9 ·

10 . Mekkora erővel taszítja egy mást két 1 cm-re lévő elektron?

b ) Mekkora erővel vonza egymást egy 2cm-re lévő proton és egy elektron? c ) A tömegvonzás általános törvénye

భ ·మ మ

, ahol 1,38 · 10 .

Mekkora erővel vonza a Nap a Földet? 78. Érdekes számítások: a)

Mekkora lenne a Föld tömege, ha színaranyból lenne? (A föld térfogata: kb. kg 10 21 m 3 , az arany sűrűsége: 19,3 .) dm3

b) Egy érett mákgubóban kb. 3000 mákszem van. Ideális körülmények között a következő nyáron akár mindegyikből nőhet egy új tő, amely legalább egy gubót tartalmaz. Mennyi idő múlva borítaná mák az egész földet, ha 100 mákszem felülete 1 mm2? (A szárazföldek felszíne összesen kb. 135 millió km2.) c)

A Kossuth rádió hullámhossza kereken 555 m. Hányszorosa ez a sárga fény hullámhosszának?

d) Hány méter egy fényév? 18


V.4.

Vegyes feladatok hatványokra

79. Rendezd növekvő sorrendbe a számokat! (Alakítsd át úgy a számokat, hogy látható legyen a nagyságuk viszonya! A füzetbe dolgozz, az átalakításokat is írd le! A számológép használata itt nem érvényes.) Segítség: az a)-ban mindent írj át 3-nak a hatványaként, a b)-ben normálalakba! −2 4 −4 1 1 1 1 1 −1 0 2 3 3 ; 3 ; 27 ;   ;   ;   a) ; ; ; 27 32  3  3  3 b ) 0,000 025;

3,671 ⋅ 10 −6 ;

0,000 000 001 34 ⋅ 10 ;

476 : 10 7 ;

4

80. Rendezd növekvő sorrendbe!

255 ;

210 ⋅ 310 ;

23 ⋅ 53 ;

60 ; 1510

48⋅ 81 ; 44

5 ⋅ 510 + 510 ;

48⋅ 505

81. Mit írhatunk a @ helyébe, hogy az egyenlőség igaz legyen? @ @ a) 2 ⋅ 3 = 36

12@ b) @ = 81 4

d) 2 ⋅ 5 = 10000

723  2  =  e) 1083  3 

f) 4 ⋅ 2 > 512

1 g)   < 0,04 5

@

@

@

@

@

@

82. Vizsgáld meg, hogy az összeadás és a szorzás műveleti azonosságai – a felcserélhetőség (kommutativitás) és a csoportosíthatóság (asszocivitás) –

( )

3 5 érvényesek-e a hatványozás esetében is! Azaz igaz-e, hogy 5 = 3 , illetve 23 ? (Állításodat indokold is!)

4

= 2(3 ) 4

83. Tudjuk, hogy 2 x = 4 . Számold ki a következő kifejezések pontos értékét! a. 2 x + 2 = b. 2 x −1 = c. 22x = d. 4 x = x x +1 2 x+ 2 x −1 3 x +1 g. 8 + 4 − 2 = e. 4 = f. 2 = 84. Tudjuk, hogy 3 x = a. e.

3 x +1 = 9 x −2 =

1 . Számold ki a következő kifejezések pontos értékét! 9 b. 3 x −2 = c. 33 x = d. 9 x = f. 32 x +1 = g. 27 x + 9 x + 2 − 32 x +3 =

19


Hatványozás, hatványozási azonosságok A hatvány:

a n , n ∈ N+ Egy olyan n-tényezős szorzat, melynek minden tényezője „a”. Ha n = 1, akkor a1 = a . Az „a” a hatvány alapja, „n” a kitevő, az eredmény, amit a művelet elvégzése után eredményként kapunk az a hatványérték. Hatványozási azonosságok: Azonos a hatvány alapja: 1.) a ⋅ a = a k

l

Azonos a hatvány kitevője: k k k 3.) a ⋅ b = (a ⋅ b )

k +l

k

ak  a  4.) k =   és a ≠ 0; b ≠ 0 b b

ak k −l 2.) l = a , k > l és a ≠ 0 a

Hatvány hatványozása:

( )

l

5.) a k = a k ⋅l ,

( )

k k k l k ±l de vigyázz: a ± a ≠ a ; a ± b ≠ (a ± b ) ; a k ≠ a k k

l

l

A negatív kitevőjű hatvány Megállapodás szerint:

a0 = 1 1 a −n = n a ahol „a” a 0 kivételével bármilyen szám lehet. Miért állapodnak meg így a matematikusok? Azért, mert Pl.

a 3 : a 3 = 1 és a hatványozás azonosságai szerint a 3 : a 3 = a 3−3 = a 0 ;

a3 1 = 2 5 a a

vagy

a3 = a 3−5 = a −2 5 a

Ezzel a megállapodással a hatványozás azonosságai is érvényben maradnak (permanenciaelv).

Normál alak: Ha egy számot, olyan kéttényezős szorzatként írunk át, hogy az egyik tényező 1 és 10 közé essen (lehet 1 is), a másik tényező pedig 10 valamilyen egész kitevős hatványa (akár pozitív, akár negatív) legyen.

20


VI. Hatvány függvények 85. Ábrázold egy koordináta rendszerben az ଶ ସ

ଷ ହ

Mit tapasztalsz? A hatvány kitevője és a konvexitás milyen kapcsolatban van? ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... Ha egy függvény tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre, akkor páros függvénynek hívjuk. Ebben esetben, ha adott két értelmezési-tarománybeli elem, ami egymás ellentettje, ଵ ; ଶ É és ଵ ଶ , ଵ ଶ . Ha egy függvény középpontosan szimmetrikus az origóra, akkor páratlan függvénynek hívjuk. Ebben esetben, ha adott két értelmezési-tarománybeli elem, ami egymás ellentettje, ଵ ; ଶ É és ଵ ଶ , ଵ ଶ . Milyen függvény a párosság szempontjából az abszolút érték || illetve a ଵ reciprokfüggvény ? ௫

...................................................................................................................................................... 86. Ábrázold a ସ 4; ଷ 2 függvényt és jellemezd! ÉT

ÉK

ZH

SzÉ

menete

konvexitás

paritás

TM

21


VII. Négyzetgyök VII.1. Négyzetgyök ismétlése 87. Rajzolj a füzetedbe egy négyzetet, melynek oldala 7 négyzetrács! Az oldalakat oszd fel az ábra szerint!

a) Mekkora a nagy négyzetnek a területe? b) Mekkora a kisebb négyzet területe ? c) Mekkora lehet a kicsi négyzet oldalának a hossza? (Mérd meg!) 88. Rajzolj a füzetedbe egy négyzetet, melynek oldal 2 cm hosszú (ez négy négyzetrács)! f) Mekkora ennek a négyzetnek a területe? g) Kösd össze az oldalainak a felezőpontját! Így egy kisebb négyzethez jutottál. Mekkora enne a területe? h) Mekkora lehet a kicsi négyzet oldalának a hossza? (Mérd meg!) Emlékeztető: A 25 egység területű négyzet oldalának hossza 5 egység. Ez azért igaz, mert az oldal hosszát négyzetre emelve a területhez jutunk. A 2 egység területű négyzet oldalának a hosszát nem tudjuk pontosan megmondani, mert nem ismerjük azt a számot, amit négyzetre emelve kettőt kapunk. Jelöljük ezt a számot így:

2 . Ezt négyzetgyök kettőnek olvassuk. A

(nem írható fel két egész szám hányadosaként). Értéke: szakaszos tizedes tört.)

2 egy irracionális szám 2 ≈ 1,4142... (Végtelen, nem

Az előző négyzet oldalát (az 5-öt) is felírhatjuk a most bevezetett jelöléssel: (négyzetgyök 25). Ez a szám racionális, értéke: 25 = 5 . Általánosan:

25

a egy olyan szám, amit ha négyzetre emelünk, akkor „a”-t kapunk. Az „a” értéke és a értéke sem lehet negatív.

22


89. Számítsd ki a következő műveletek eredményét! Jelöld meg azokat, amelyeket számológép nélkül is ki tudnál számolni! a)

9=

e) 121 = i) m)

64 = 0 ,01 =

b)

5=

c) 16 =

d) 1 =

f)

36 =

g) 10 =

h) 100 =

j)

8=

k)

75 =

l)

0 ,5 =

o)

0 ,9 =

p)

0 ,09 =

n)

0 ,25 =

90. Számold ki számológép használata nélkül a kifejezések pontos értékét! a)

36 =

b)

8100 =

c)

1600 =

d)

3600 =

e)

40000 =

f)

0,04 =

g)

360000 =

h)

1000000 =

i ) 640 ⋅ 103 =

j)

0,36 =

k)

900 =

l ) 0,0001 =

m)

0,0036 =

n)

0,25 =

o)

p)

0,000036 =

q)

0,0016 =

r)

= 0,05

s)

36 ⋅ 10 4 =

t)

108 =

u)

6 = 2 ⋅ 10

64 ⋅ 10 4 =

91. Oldd meg az alábbi egyenletet! Ellenőrizd a megoldás helyességét!

x(x − 2) = 36 − 2x 92. Egy téglalap egyik oldala épp háromszor akkora, mint a másik. Mekkora a két oldala, ha területe 147 cm2? 93. Mekkora annak a kockának az éle, melynek felszíne 54 dm2? 94. Egy négyzet alapú egyenes hasáb alakú vázába 0,81 liter víz fér. Mekkora az alapéle, ha magassága 10 cm? 95. Egy szabályos kör alakú virágágyás területe 3,14 m2. Mekkora a kör sugara? 96. Egy téglalap alaprajzú szobába 36 m3 levegő fér. A szoba magassága 3 méter, szélessége a hosszának 75%-a. Mekkora a szoba két oldala?

23


VII.2. Négyzetgyök függvény 97. Ábrázold az x a x négyzetgyökfüggvényt! Ha szükséges, készíts értéktáblázatot! Rajzold be a koordináta tengelyeket a négyzetrácsra! Hogyan érdemes megrajzolni ezeket? x 0 1 4 9 16 -1 -4 -9 √

Milyen szabályt fedezhetünk fel, ami alapján könnyen tudunk gyökfüggvényt ábrázolni? Jellemezd a függvényt a tanult szempontok szerint! ÉT

ÉK

ZH

TM

MIN h; é

MAX h; é

Csökke nő

Növek vő

paritás

98. Ábrázold közös koordináta rendszerben az egy sorban lévő függvényeket: a:x a x −2 b: x a x + 2

c:x a x−2 e: x a 2 x h: x a x −2 + 2

d:xa x+2 f : x a −2 x

g : x a 4x

i:x a x+2 −2 i:x a 2 x−2 −2 k : x a 5− x j:xa −x Vizsgáld meg az értelmezési tartományokat és az érték készleteket!!!! Írd le az ábrázolás mellé!

24

konvex itás


99. Ábrázold a betűjelednek megfelelő függvényeket! Mindegyiknél gondold végig, hogy mi az alapfüggvény, és milyen transzformációs lépésekkel kapod meg annak grafikonjából az ábrázolni kívánt függvény grafikonját!

a:x a − x +4

b : x a 2 x − 2 +1

c : x a − x − 2 +1

1 x − 2 + 1 e : x a −3 3 + x − 3 f : x a 2 − x +1 2 Jellemezz legalább kettőt az ábrázolt függvények közül a füzetedben! d:xa−

100. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a : [− 3;3] → R x a x + 3 + 4 b : ]− 3;3] → R x a − x + 7 + 2 c : [2,10[ → R x a 2 x − 1 + 2

d : ]− 4;2] → R x a x − 2 + 1

101. Add meg a következő függvények hozzárendelési szabályát!

25


VII.3. Műveletek négyzetgyökkel 102. Igaz-e? Válaszod indokold is! a)

9 ⋅ 16 = 9 ⋅ 16

b)

144 ⋅ 25 = 144 ⋅ 25

c)

9 + 16 = 9 + 16 = 25

d)

100 − 64 = 100 − 64

e)

16 16 = 9 9

f)

81 91 = 25 25

g)

16 − 9 = 16 − 9 = 7

h)

4 ⋅ 25 = 4 ⋅ 25

i)

100 + 64 = 100 + 64

j)

2+ 5= 7

k)

100 100 = 36 36

l)

( 2)

4

= 24

103. Számold ki, de ne használj számológépet! (Lehet gyökös a végeredmény is.) a ) 3 ⋅ 27 =

b)

c ) 2 ⋅ 72 =

d)

e)

( 12 − 3 )⋅

3=

g) 5+ 5= i)

− 2 ⋅ −8 =

k) 3 7− 7=

125 = 5

( 5)

4

=

f)

8 = 2

h)

363 = 3

j ) 6 2 +2 2 = l)

18 + 2 =

104. Válogasd szét az állításokat, hogy tetszőleges a és b esetén igazak, vagy nem mindig igazak! a)

a⋅ b = a ⋅ b

c ) a− b = a − b

e)

26

( a)

2

= a2

b ) a+ b = a + b d)

f)

a a = b b

( a)

k

= ak


105.

Fogalmazd

meg,

hogyan

lehet

– összeadni

– szorozni

– kivonni

– osztani

négyzetgyökös

kifejezéseket

– hatványozni

A négyzetgyökvonás azonosságai:

a⋅ b = a ⋅ b , ahol a ≥ 0 és b ≥ 0

I.

vagyis szorzatból tényezőnként is lehet négyzetgyököt vonni

a a = , ahol a ≥ 0 és b > 0 b b

II.

vagyis hányadosból úgy is vonhatunk négyzetgyököt, hogy a számláló gyökét elosztjuk a nevező gyökével III.

( a)

k

= a k , ahol a ≥ 0

vagyis a négyzetgyökvonás és a hatványozás sorrendje felcserélhető, amennyiben az alap nemnegatív szám. Vigyázz! Összeg és különbség négyzetgyökéből tagonként gyököt vonni tilos! 106. Keresd meg az egyenlőket, de számológépet csak végszükség esetén használj!

12

3 5

162

50

5 2

75

9 2 −4 2

2 3

2 2 +3 2

8 5 − 125

18

9 2

2 48

8 3

3 2 +6 2

486 3

3 2

Írd le egymás mellé az egyenlőket a füzetedbe! Kivitel a gyökjel alól 107.

A gyökjel alatti számokat bonts fel úgy két tényezőre, hogy az egyik tényező négyzetszám legyen (a lehető legnagyobb)! Pl.: 50 = 25 ⋅ 2

12 =

b)

75 =

c)

162 =

d)

147 =

e ) 80 =

f)

200 =

g)

108 =

h)

98 =

27 =

j)

20 =

k)

242 =

l)

507 =

a)

i)

27


108. A következőket bontsd tényezőkre úgy, hogy egy egész és egy gyökös kifejezés szorzata legyen, és a gyök alatt a lehető legkisebb természetes szám álljon Pl.: 50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2 e)

24 =

f)

1000 =

g)

218 =

h)

182 =

i)

2

2 = 9

j)

56 =

k)

5

5 = 9

l)

72 = 225

n)

32a 3 =

o)

72a 2 =

p)

m ) 60b 2 =

40b 4 =

109. Az előző feladatban végzett átalakításokat gyökjel alól való kivitelnek nevezzük. Fogalmazd meg, hogy hogyan kell végezni ezt az átalakítást! Miért érdemes ezt az átalakítást ismerni? (Gondolj arra, hogyan lehet elvégezni a 12 + 27 összeadást!) 110. Melyik szám a nagyobb? Ne használj számológépet a döntéshez! a ) 3 5 vagy

20

b)

49 vagy

c ) 4 5 vagy

80

d)

108 − 75 − 12 vagy 180 − 125 − 20

e ) 0,1 10 vagy 10 0,1

f)

7 + 2 6 vagy

g ) 32 8 vagy 8 32

h)

7 − 2 6 vagy 1 − 6

94

6 +1

111. Hol rejtőzik természetes szám? (Azonosságokat használj, ne számológépet!)

54 ⋅ 3 = 2

c)

( 2) = g ) ( 12 + 1)⋅ ( 12 − 1) = 6

e)

k)

(

m)

f)

32 ⋅ 98 =

j)

)

( 12 −

)

27 + 75 − 48 ⋅ 3 = 2

  l ) **  6 + 11 + 6 − 11  =

2

7+ 2 =

( 17 −

7⋅ 8 = 12

h ) 72 − 50 − 2 =

72 ⋅ 50 =

i)

d)

)(

)

13 ⋅ 17 + 13 =

(

)(

n )** 5 3 − 1 ⋅

)

75 + 1 =

112. Jelöld a számokat a számegyenesen! (Számológépet nem ér használni.) a)

28

28 + 175 = 7

b)

180 − 45 + 5 − 80 =


( 2)

3

c)

d)

24 ⋅ 2 = 3

f)

8

e)

g)

=

( 125 −

)(

175 + 245 − 343 ⋅

)

11 ⋅ 8 = 22

(

)

2

2+ 8 = 2

  h )**  5 − 3 + 5 − 3  =

7− 5 =

113. Igaz-e? (Tudod, számológép ø)

(

)

a ) 5 3 + 2 − 75 = 10 c)

(

)(

5+ 7 ⋅

)

63 − 45 = 2

(

(

d)

( 175 +

)

2

320 + 20 = 340

)

2

252 − 343 = 14

f ) ** 2 3 − 3 2 = 30 − 12 6

e ) ** 9 + 4 2 = 1 + 2 2

g)

b)

)

2 + 3 18 + 9 50 ⋅ 2 = 110

h ) ** 7 + 4 3 − 7 + 4 3 = 4

Bevitel a gyökjel alá 114. Írd fel a következő (Pl.: 2 ⋅ 3 = 6 ) a)

15 ⋅ 2 =

b)

d ) 3⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = g ) 3⋅

kifejezéseket

30 : 2 =

e ) 4⋅ 5 =

2 = 3

h ) 7⋅

szám

c)

négyzetgyökeként!

3⋅ 2⋅ 7 =

f ) 2⋅ 6 =

2 = 7

i ) 5⋅

k ) 5⋅ a =

j ) 3⋅ x =

egyetlen

3 = 7

l ) x⋅ 2 =

Ha egy szorzatban vagy hányadosban gyökös és nem gyökös tényezők is vannak, akkor a négyzetgyök definíciója alapján a nem gyököst is felírhatjuk gyökjellel (pl.: 2 = 4 ), és ezután a négyzetgyökvonás azonosságainak segítségével közös gyökjel alá írhatjuk. Ezt az eljárást gyökjel alá bevitelnek nevezzük. 115. Számológép használata nélkül döntsd el, hogy melyik szám a nagyobb! (Segít az összehasonlításban, ha a gyökjel alá bevitel módszerével átalakítod a kifejezéseket.) a) 2 7 b)

6 3

vagy

3 2

vagy

10 4

29


VII.4. Gyöktelenítés

(

)

20   8 − Keressük a következő kifejezés pontos értékét:   ⋅ 13 + 5 . 5 −2  5 +3 Ó, hát ez nagyon könnyű – mondja Peti –, csak törteket kell összevonni, tehát először hozzunk közös nevezőre:

(

) ( )( )( )

)

8 5 − 2 − 20 5 + 3 ⋅ 13 + 5 5 +3 5 −2 „De hát ez szörnyű bonyolult kifejezés lett, lehet, hogy ezt nem is tudom kiszámolni?” Könnyebben boldogulna Peti, ha a nevezőben nem szerepelnének négyzetgyökös kifejezések. Nézzük meg, hogyan lehet ezt megoldani!

(

Ha egytagú a nevező Próbálkozzunk a következő két törttel! A=

3 7 3

B=

2 3

Az egyik lehetőségünk, hogy négyzetre emelünk, átalakítunk, majd az egyszerűbb alakból gyököt vonunk, hogy ne változzon az eredeti szám értéke: 2

3 7  9⋅7  = A =  = 21 , amiből az A = 21 . Ez megfelelő alak.  3 3   2

2

4 2  2  B = . Itt a nevező nem lett gyöktelen.  = , amiből a B = 3 3  3 Másik lehetőség, hogy a nevezőben lévő gyökös kifejezéssel megszorozzuk a számlálót és a nevezőt is, így a tört értéke nem változik, viszont a nevezőből eltűnik a gyök: 2

A=

3 7 3 3 21 3 21 ⋅ = = = 21 . Ugyanoda jutottunk, mint az előző esetben. 2 3 3 3 3

( )

2 3 2 3 2 3 ⋅ = = . Ez olyan tört, aminek a nevezőjében nincs négyzetgyök. 2 3 3 3 3 Az utóbbi módszer minden esetben célravezetőbb, és általában egyszerűbb. Ezt használjuk a nevező gyöktelenítéséhez, ha egytagú a nevező. B=

30

( )


116. Gyöktelenítsd a feladatban szereplő törtek nevezőjét, majd a végeredményt hozd a legegyszerűbb formára! 2 12 5 7 = = = = a) b) c) d) 6 10 7 2 e)

2 = 5

f)

3 = 2

g)

5 = 6

h)

3 7 = 3

i)

2 2 = 6

j)

35 = 4 7

k)

5 2 = 3

l)

2 3 = 3 2

m)

5 7 = 3

n)

12 = 5 3

o)

10 5 = 2

p)

28 = 9 7

Ha kéttagú a nevező

3 törtet! Három lehetőség kínálkozik, végezd el az átalakításokat, 2 +1 majd döntsd el, hogy melyiket érdemes használni! Most nézzük a

2

 3  (1)   =  2 +1 (2)

(Ne feledd, hogy az (1)-ből a végén még gyököt kell vonnod!)

3 2 +1 ⋅ = 2 +1 2 +1

3 2 −1 ⋅ = 2 + 1 2 −1 Ha helyesen dolgoztál, akkor kétségtelen számodra, hogy a (3) módszer a jó. (3)

117. Gyöktelenítsd a feladatban szereplő törtek nevezőjét, majd a végeredményt hozd a legegyszerűbb formába! (A füzetbe dolgozz!) 2 9 12 28 a) b) c) d) 2+ 2 19 − 4 5 − 17 5 −1 e)

2 3+ 2

f)

2 7− 3

g)

6 2 3 −3

h)

6 3 2 −4

i)

42 2 5 2 +6

j)

18 3 2 3 −3

k)

15 5 3 +3 5

l)

12 7 3+3 7

m)

5+ 7 5− 7

n)

1+ 2 2 2 2 −1

o)

7− 3 7+ 3

p)

13 + 11 13 − 11

118. Most térjünk vissza a fejezet elején felmerült számítási feladathoz! Add meg a műveletsor eredményét!

(

)

(

)(

)

8 5 − 2 − 20 5 + 3 ⋅ 13 + 5 = 5 +3 5 −2

(

)(

)

31


VII.5.

Feladatok függvényekkel

119. Mely x értékekre van értelme az alábbi kifejezéseknek?

√3 2

√ 1 √ 3

√ 1

2 2

1

1

√ 1

ଶ 6 5

120. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a ) f (x ) = x

b ) f (x ) = x + 2

c ) f (x ) = x + 3

d ) f (x ) = x − 4

e ) f (x ) = x − 3 + 1

f ) f (x ) = 4 − x

121. Az ábrán egy madár szárnyait látod, aki a (-2;0) pontban van. Mely függvényekkel lehet leírni a szárnyát?

122. A következő geometrikus görbéket mely függvények írják le?

123. **Ábrázold és jellemezd a függvényeket! a ) √ 2

c ) √ √

e ) e( x ) = x 2 + 6 x + 9

32

b ) 2ଶ

d ) d (x ) = x 2 − 7 x + 6

    f ) f (x ) =     

0, ha x ≤ −2 −

(x − 2)2 x2

ha − 2 < x ≤ −1

ha − 1 < x < 1

− x − 2 ha 1 < x ≤ 2 0 ha x > 2.


VIII.

Egyenletek

VIII.1. Egyenletek ekvivalenciája 124. Egyenértékűek-e a következő egyenletek: f) ଶ 2 0

és

g) ଶ 2 0

és

h) 1ଶ 7 2ଶ

j) 1 2 1 0

௫ ଶ௫ మ

0

ha ା

0

ha

2 7 2

és

i) 1ଶ 7 2ଶ

ଶ௫ మ

௫

2 7 2

és

1 2 0

és

125. Igaz-e? (Válaszod írásban indokold!)

ha 2 3,5 ha

ha

k) Az x = 3 feltevésből következik, hogy x 2 = 9 , és fordítva: az x 2 = 9 feltevésből következik, hogy x = 3. l) Az x − 3 = 7 feltevésből következik, hogy x = 10 , és fordítva: az x = 10 feltevésből következik, hogy x − 3 = 7 . m) Az

x = 2 feltevésből következik, hogy x = 4 , és fordítva:

az x = 4 feltevésből következik, hogy n) Az

x = 2.

x − 2 = −3 feltevésből következik, hogy x − 2 = 9 , és fordítva:

az x − 2 = 9 feltevésből következik, hogy

x − 2 = −3 .

126. A következő állításokból keresd ki azokat, amelyeknél az egyik állításból következik a másik, és fordítva; a másikból is következik az egyik! Tegyél nyilat a helyes következtetés irányába! a ) 4 x − 8 y = 23 és 4 x − 23 = 8 y

b ) 4 x − 8 y = 23 és 8 y = 23 − 4 x

c ) (2 x − y ) = 49 és 2 x − y = 7

d ) (2 x − y ) = 49 és 2 x − y = 7

e ) y = 3x + 2 és 5 y = 15x + 10

f ) y = 3x + 2 és xy = 3 x 2 + 2 x

2

2

g ) y = 3x + 2 és

y 3x + 2 = 7 7

h ) y = 3x + 2 és

i ) y = 3x + 2 és

y−2 =x 3

j ) y > 2 és 3y > 6 l ) y > 2 és

k ) y > 2 és –3y > –6

y 3x + 2 = x x

1 1 > y 2

m ) y = x + 1 és y 2 = (x + 1)

n)

o ) x − 3 = y és

p ) x − 5 = y és x − 5 = y 2

2

x −3 =

y

y −1 = x és y −1 = x

33


TUDNIVALÓ Az olyan összetett állításokat, amelyeknél az egyik állítás igazságából következik a másik állítás igazsága, és fordítva; a másik állításból következik az egyik állítás igazság, ekvivalens (egyenértékű) állításnak nevezzük. Most fordítsuk le az „ekvivalens állítás” meghatározást az egyenletek nyelvére! Az egyenleteket megoldásuk közben átalakítjuk: az eredeti egyenlet helyett újabb és újabb egyenleteket írunk. Az átalakítások során végül eljutunk egy olyan egyenlethez, melyből már egyszerűen le lehet olvasni a gyököt vagy gyököket vagy azt, hogy az egyenletnek nincs megoldása. A leolvasott gyökök azonban csak az utolsó egyenlet megoldásai. Az a kérdés tehát, hogy az eredeti egyenletnek is megoldásai-e, azaz, ha az utolsó egyenletnek kiszámítottuk a gyökeit, akkor azok gyökei-e az eredeti egyenletnek is, vagyis az utolsó egyenlet ekvivalens-e az eredetivel? Ha tudjuk, hogy az egyenlet megoldása során mindegyik átalakítás olyan volt, hogy közben nem változtak a gyökök, akkor ekvivalens átalakításokat végeztünk, és egymással ekvivalens egyenleteket kaptunk. 127. Nézd végig az előző feladat egyenleteit/egyenlőtlenségeit, és ennek alapján add meg az ekvivalens és a nem ekvivalens átalakításokat! (pl.: Ekvivalens átalakítás, ha mindkét oldalhoz ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést hozzáadjuk. Nem ekvivalens, ha mindkét oldalt egy ismeretlennel megszorozzuk.) Ekvivalens átalakítások:

Nem ekvivalens átalakítások:

34


Az egyenletek megoldása során előfordulhat, hogy nem lehet úgy a megoldás felé haladni, hogy ekvivalens átalakításokat végzünk. Előfordulhat például, hogy egy átalakítás után az új egyenletnek olyan szám is gyöke, amely az eredeti egyenletnek nem volt gyöke. Ezt hamis gyöknek nevezzük. A hamis gyököket kiszűrhetjük, ha a gyököket összevetjük az eredeti egyenletben szereplő kifejezések értelmezési tartományával; vagy ha az eredeti egyenletbe visszahelyettesítéssel ellenőrzünk.

1 2 − = 0 egyenlettel a szokásos lépéseket elvégezzük, x + 2 2x + 4 akkor az x = −2 eredményhez jutunk. Ha ezt az eredeti egyenletbe visszahelyettesítjük, akkor a törtek nevezője nulla lesz, ami nem értelmezhető, vagyis ez a szám nem megoldása az eredeti egyenletnek. Például: ha a 2 x + 4 +

Ha a megoldás előtt vizsgáljuk az értelmezési tartományt, akkor az x ≠ −2 kikötéshez jutunk, vagyis rögtön észrevehetjük, hogy a kapott eredmény nem lehet megoldás az eredeti egyenletnek. Előfordulhat az is, hogy a megoldáshoz vezető lépéseink során kiesik az eredeti egyenletnek egy vagy több gyöke, tehát az új egyenletnek ezek már nem megoldásai. Ilyenkor gyökvesztésről beszélünk. Például: ha az x 2 − 3x = 0 egyenletet x-szel elosztjuk, akkor az x − 3 = 0 , vagyis az x = 3 megoldáshoz jutunk. Visszahelyettesítés után látszik, hogy ez valóban megoldása az egyenletnek, de nem az egyetlen. Ránézésre tudható, hogy az eredeti egyenletet az x = 0 szám is igazzá teszi. Ha a gyökvesztést el szeretnénk kerülni, akkor inkább a szorzattá alakítást kell választanunk a megoldás során: x( x − 3) = 0 , amiből közvetlenül leolvasható a két megoldás. Vagy esetleg mérlegelni kell amikor ismeretlennel osztunk, hogy a nullával való osztás miatt veszítünk-e gyököt. Az egyenletek/egyenlőtlenségek megoldása során célszerű arra törekedni, hogy olyan átalakításokat használjunk, amelyek ekvivalensek, ha ez nem lehetséges, akkor kellő alapossággal járjunk el! Gondos mérlegeléssel a gyökvesztés mindig elkerülhető, a végén ellenőrzéssel pedig a hamis gyökök kiszűrhetők.

VIII.2. Négyzetgyökös egyenletek 128. Oldd meg a következő egyenleteket! A megoldást minden esetben az értelmezési tartomány meghatározásával kezd! a)

x =9

b ) x−2 = 2

c)

−x =3

d)

x = −1

e)

x −5 = 0

f)

2x + 3 = 0

g ) 4x − 4 = 4 i)

x −1 = x −1

h ) 3x − 4 = 5

j)

x −3 = x −3

35


129. Töltsd ki a totót! Az egyenletek helyes megoldását kell megadnod. Egyenletek

1

2

3

1.

x = 3 , ahol x ≥ 0

nem értelmezhető

x=9

x=–9

2.

x − 1 = 3 , ahol x ≥ 0

x=4

x = 16

x = – 16

3.

x − 3 = 3 , ahol x ≥ 3

x = 12

x = – 12

x=9

4.

2 x − 3 = 3 , ahol x ≥

2 3

x=5

x=6

x=7

5.

x − 1 + 3 = 3 , ahol x ≥ 1

x=0

x=3

x=1

6.

x = 6 , ahol x ≥ 0

x = 36

x = 18

x=0

7.

2x − 1 = 6 , ahol x ≥

x = 37

x=

(− x )

8.

2

1 2

= − x , ahol

38 2

x=

37 2

minden valós szám

negatív valós szám

nempozitív valós szám

9.

(− x ) = 5 , ahol x ∈ R

x = 25

x = – 25

nincs megoldás

10.

x 2 − 4 = 3 , ahol x ≥ 2

x = 13

x = – 13

x = ± 13

11.

x − 3 = −5 , ahol x ≥ 0

x=4

nincs megoldás

x = 16

12.

2x + 1 = 0 , ahol x ≥

nincs megoldás

x=

13.

(− x )

2

13+1.

2

1 2

= 3 , ahol x ≤ 0

x 2 = x , ahol x ∈ R

x=−

1 2

1 2

x=3

x=–3

nincs megoldás

minden valós szám

negatív valós szám

nempozitív valós szám

130. Bálint elolvasta a következő egyenleteket, és úgy gondolta, hogy nem is érdemes megoldani, mert úgysincs megoldásuk. Bizonyítani nem tudta. Segíts neki! a ) 3 x − 2 = −6 c)

b)

x + 7 + 3x − 1 + 11x − 2 = 0

e ) * x − 5 + 3x + 1 + 5 − x = 10

x + 5 + x − 2 = −1

d ) * x − 1 + 2 − x + x − 3 = 10

f ) * 2x + 3 + x − 3 = 2

131. Oldd meg az egyenleteket! (Ne feledd az értelmezési tartomány vizsgálatát!) a)

x −3 + 3− x = 0

b ) x −3 + 2− x =1

d)

5− x = 8+ x −5

e)

36

x − 10 = 2 − 6 − x

c ) ** x 2 − x − 6 + x 2 − 7 x + 12 = 0

f ) ** x 2 − 3 x − 10 + x 2 − 5 x − 12 = 0


132. Oldd meg az egyenleteket! c ) 4x − 5 = x + 1

d)

3x − 4 = x − 2

e)

5x + 1 = 7 x + 1

f)

5x − 6 = 1 − 2x

g)

x −1 − 2x + 5 = 0

h)

13x + 5 − 24 x − 3 = 0

133. *** Oldd meg az egyenleteket! a ) x + 2 + x −3 = 5

b)

5x − 6 − x + 1 = 1

c)

3x + 3 + 2 x + 6 = 2

d)

6 x + 1 + 8x = 4

e)

x + 6 − x + 2 = 2x + 8

f)

5x + 4 − 1 − 2 x = 9 + x

134. a) Ábrázold egy közös koordinátarendszerben az f ( x ) = x és a g ( x) = 2 − x függvényeket! b) Olvasd le a grafikonok metszéspontjait! Ennek segítségével add meg a

x = 2 − x egyenlet megoldását! c) Visszahelyettesítéssel ellenőrizd, hogy a leolvasott x érték valóban igazzá teszie az egyenletet! 135. a) Ábrázold egy közös koordinátarendszerben az f ( x ) = 2 x + 1 és a g (x) = x− 1 függvényeket! b) Olvasd le a grafikonok metszéspontjait! Ennek segítségével add meg a

2 x + 1 = x − 1 egyenlet megoldását! c) Visszahelyettesítéssel ellenőrizd, hogy a leolvasott x érték valóban igazzá teszie az egyenletet! 136. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket! a)

x = x−2

c)

x −1 = − x − 3 + 2

x b ) x +1 = − +1 3 x d ) x + 2 −1 = − + 2 2

137. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! Használd az előző feladatban készített ábrákat! x a) x ≤ x−2 x +1 > − +1 b) 3 x c) x −1 ≥ − x − 3 + 2 d ) x + 2 −1 < − + 2 2 138. Milyen x-re igazak az alábbi egyenlőségek? (Mielőtt megoldod, tegyél kikötést!) 5 3 1 15x − 15 x − 11 = 15x b) a ) 2 3x − 4 3x = 27 − 3 3x 3 5 3 c ) * 4 x − 9 x + 25 x = 12

d ) ** 3 2 x − 5 8 x + 7 18x = 28

e ) ** 2 x − 8 x + 50 x = 2

f ) *** 16 x + 16 − 9 x + 9 + 4 x + 4 = 19 − x + 1

37


139. Határozd meg az egyenlet gyökeit! A megoldást minden esetben az értelmezési tartomány meghatározásával kezd! a ) x +3 = x b ) x+6 = x

x +2 −7 = 0 e ) 9− x +5 =1 g ) 3x + 1 = 3x − 11

d ) x −1 − 2x = 0

c)

x − 2 + 2x = 7

f)

h ) 2x + 1 = x + 1

140. Oldd meg a következő egyenleteket! a)

x+2 +2 = x

b ) 196 − x 2 + 14 = x x d ) 5 − x − = −3 2

c ) 5− x +3 = x

141. A következő állítások közül válogasd ki azokat, amelyek minden a és b értékére teljesülnek! Ahol ez nem áll fenn, tegyél kikötést!

( a) ( a + 5) = a + 25 + 10 2

a2 =

( (

)

2

a + 5 = a + 25

a)

a2 = a

b)

d)

a >a

e)

g)

a+ b =1 a+b

h)

a 2 −6a + 9 = a − 3

i)

a 2 −6 a + 9 = 3 − a

j)

a 2 −16 = a − 4

k)

a 2 +2 a + 1 = a + 1

l)

a 2 −6 a + 9 = a − 3

2

c)

a

f)

)

2

a + 7 = a + 7 + 2 a⋅7

142. Oldd meg a következő egyenleteket! Figyelj, hogy az összes megoldást megtaláld! a)

x2 = 2

d)

(x − 3)2

b ) x2 = 9 = 11

e)

(7 − x )2

c) =7

f)

(x + 1)2 = 5 (3 − x )2 = 1

143. Teljes négyzetté alakítás felhasználásával oldd meg a következő egyenleteket! a)

x 2 − 10 x + 25 = 0

b ) 4x2 − 4x +1 = 5

c)

x2 + 6x + 9 = 1 + x

d)

x2 + 2x + 1 − x = 1

144. *** Új ismeretlen bevezetésének módszerével oldd meg a következő egyenleteket! a ) x 2 + x 2 − 9 = 21

38

b ) x2 + 4x + 4 + x2 + 4x + 9 = 7


IX. Valószínűségszámítás IX.1.

Kombinatorikus valószínűség

145. 99 számozott tombola közül, mennyi a valószínűsége, hogy olyat húznak, aminek az egyesek és tízesek helyén álló szám megegyezik? 146. Találomra választva egy 5 jegyű számot, mennyi a valószínűsége, hogy minden számjegye különböző? Ugye emlékszel? Ha egy kísérletben az egyes kimenetelek egyforma eséllyel fordulnak elő, akkor a valószínűséget így számíthatjuk ki: P=

a kedvező kimenetelek száma összes lehetséges kimenetel száma

Ha egy esemény valószínűsége P=0, az azt jelenti, hogy nincs kedvező esemény, így lehetetlen hogy bekövetkezzen. (Pl. egy hatoldalú dobókockával 7-est dobok) Ha egy esemény valószínűsége P=1, az azt jelenti, hogy minden esemény kedvező , így biztos hogy bekövetkezik. (Pl egy hatoldalú dobókockával legfeljebb 6-ost dobok) Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül az egyik mindig bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás komplementere. 147. Egy kalapban két fehér és két fekete golyó van. Ha csukott szemmel kiveszünk egyszerre két golyót, mi a valószínűsége, hogy különböző színűek? 148. Leírva egymás mellé a ROMBUSZ szó betűit, mi a valószínűsége annak, hogy éppen a ROMBUSZ szót kapjuk? 149. Leírva egymás mellé a PARALELOGRAMMA szó betűit, mi a valószínűsége annak, hogy éppen a PARALELOGRAMMA szót kapjuk? 150. Az 1, 2, 2, 3, 3, 3 számokat sorba rendezve, mennyi a valószínűsége annak, hogy 2-vel kezdődő számot kapunk? 151. Hófehérke leülteti egymás mellé a hét törpét egy egyenes asztalhoz. a ) Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó ül az elején ebben a sorrendben? b ) Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó ül a sor végén ebben a sorrendben? c ) Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó ül a sorban valahol ebben a sorrendben? d ) Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó egymás mellett ül?

39


e )Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó nem ül egymás mellett? 152. Hófehérke leülteti egymás mellé a hét törpét egy kör asztalhoz. Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó egymás mellett ül ebben a sorrendben? Ha megengedjük, hogy fordítva is? 153. A hét törpét meglátogatja a hét vezér. Egy hosszú asztal mellé ülteti őket. Mennyi a valószínűsége, hogy egy törpe, egy vezér ül le egymás mellé? 154. Mennyi a valószínűsége, hogy két dobókockát egyszerre feldobva, a kapott számok a ) szorzata prímszám? b ) összegük prímszám?

IX.2.

Geometrikus valószínűség

155. Egy egységnégyzetben egy pontot kiválasztva, mennyi a valószínűsége, hogy épp az átlójának valamelyik pontját találjuk el? 156. Az egységnyi sugarú körben véletlenszerűen kiválasztva egy pontot, mi annak a valószínűsége, hogy az közelebb van a kör középpontjához, mint a körvonalhoz? 157. Az egységnégyzetben véletlenszerűen kiválasztva egy pontot, mi annak a valószínűsége, hogy az közelebb van a négyzet középpontjához, mint a négyzet csúcsaihoz? 158. Az ábrán látható parkettán egy pontot véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége, hogy kisebb fajta négyzet belsejébe esik? a ) A nagyobb négyzet oldala 16 cm, a kisebb oldala a negyede. b ) A nagyobb négyzet oldal 48 cm, a kisebb oldala a negyede. c ) A nagyobb négyzet oldala a,cm a kisebb oldala a negyede. 159. Egy folyosó 10*2 m-es mozaikkal van kirakva, amelyek 50 cm*50 cm-esek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy 2 cm átmérőjű pénzérme épp fugát talál el? (a fuga szélessége elhanyagolható) 160. **Anna és Balázs megbeszélik, hogy 10 és 11 óra között találkoznak a Gödörnél. Érkezésük a megbeszélt időben véletlenszerű. Mi annak a valószínűsége, hogy egyiküknek sem kell negyed óránál többet várnia?

40


X. Feladatgyűjtemény Számhalmazok f1. Töltsd ki a hiányzó adatokat a keretezéssel jelölt részeken! Természetes számok Jele: {0; 1; 2; 3…} Műveletek: „+”; „ ·” Kivezető művelet az egész számok halmazába: számok: Jele: Z {0; –1; 1; –2; 2; –3…} Műveletek: Kivezető műveletet a halmazába: „:” (osztás)

számok

számok: Jele:

a alakban felírható számok, ahol a b és b egész szám. Műveletek: Kivezető művelet a valós számok halmazába:

(gyökvonás)

számok: Jele: R Tizedes tört számok.

alakban

felírható

Műveletek:

41


f2. Írd a halmazábra megfelelő helyére a számokat!

Négyzetgyök f3. Melyik a nagyobb, és mennyivel? (Számológép nélkül.) a)

( 12 −

)

27 + 75 + 48 ⋅ 3

b )  5 + 21 + 5 − 21   

52 + 4 3 ⋅

c) d)

42

(

52 − 48

6 + 11 ⋅ 6 − 11 8+ 3 ⋅ 8− 3

)(

2

)

vagy vagy

5⋅

20 + 45 − 80

)

 7 + 13 + 7 − 13   

84 + 5 3 ⋅

vagy vagy

(

(2 ⋅

2

84 − 75

)(

75 + 128 − 3 ⋅ 50 ⋅ 6 18 − 2 72

)


f4. Határozd meg a kifejezések értelmezési tartományát! a)

x +1

b)

x+3

c)

x−2

d)

2x + 6

e)

3x − 5

f)

1 x −1

g)

1 1− x

h)

x+2 x−2

i)

x −1 + x + 3

j)

x2 − 6x + 5

k)

l)

x2 + 7 x + 6 x 2 − 3x − 4

1

x2 + 4x + 3

Négyzetgyökös egyenletek f5. Add meg az egyenletek megoldását a természetes számok halmazán! a)

x=x

b)

x = −x

c)

x = x−2

d)

x+2 = x−4

e)

x = 2x − 6

f)

1 1 5 x = − x+ 2 8 4

g)

x2 − 7 = 3

h)

x +1 = 2x

i)

x +6 = x

j)

x +1 +1 = x

k)

x 2 −12 = x

l)

8 − x2 = x + 2

f6. Oldd meg az egyenleteket az egész számok halmazán! a)

x=x

b)

x = −x

c)

x = x−2

d)

x+2 = x−4

e)

x = 2x − 6

f)

1 1 5 x = − x+ 2 8 4

g)

x2 − 7 = 3

h)

x + 1 = 2x

i)

x +6 = x

j)

x +1 +1 = x

k)

x 2 −12 = x

l)

8 − x2 =

x+2

f7. Mely x-re igazak az alábbi egyenletek? a)

4− x = 5

b)

x 2 − 3x − 3 = x

c)

x − 3 − 3x + 2 = 0

d)

2x2 + 9 = x + 9

e)

x −7 = 2− 3− x

f)

6 − 2x + 4x − 3 = 3

43


f8. Oldd meg grafikusan az egyenleteket! a)

x=

1 x 2

b)

x = x−2

c)

x = x2

d)

x = 2x2 −1

e)

x+2 =

4 x

f)

1 −x =− x 2

f9. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a)

3x + 1 ≥ 2

b)

2x − 3 < 4

c)

4 x − 3 > −1

d)

5x − 2 > 1

e)

3x − 4 < −2

f)

7x +1 ≤ 3

f10. Milyen x-re igazak az alábbi egyenlőségek? (Mielőtt megoldod, tegyél kikötést!)

(

)(

)

(

a ) 7 − x 8 − x = x + 11

c)

) (

)

b ) 3 x −1 + 4 x − 7 = 5 x − 6

x −1 = −3 x +1

d ) **

11 10 7 7 x − 13 = 6 7 x − 13 − 7 x − 13 − 2 3 6

f11. *** Oldd meg az egyenleteket! a)

3 − x + 2 − x = −1

b)

x + 4 + 9 + x = x + 25

c)

2x + 2 − x + 2 = x − 6

d ) 6 − x − x + 4 = 1 − 5x

f12. ***Teljes négyzetté alakítás felhasználásával oldd meg a következő egyenleteket! x 2 + 12 x + 36 = 4

a)

b)

4 x 2 + 4 x + 1 − 4 x 2 − 12 x + 9 = 4

Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek f13. Oldd meg az egyenleteket! a ) x4 − 5x2 + 4 = 0

b ) x 4 − 10 x 2 + 9 = 0

c ) x 4 + x 2 − 20 = 0

d ) x4 − 8x2 = 9

e ) x 4 = 20 x 2 + 125

f ) 14 + 11x 2 = − x 4 − 14

g ) 64 x 4 + 1 = 20 x 2

h ) x6 − 7 x3 − 8 = 0

i ) 15 x 4 + 24 x 2 = 3 − 50 x 2 − 10 x 4

j ) x6 + 9 x3 + 8 = 0

k ) x6 − 2 x3 = 5 + 2 x3

l ) x 6 − 8 x 3 + 30 = 20 x 3 + 3

f14. *** Megfelelő helyettesítéssel oldd meg az egyenleteket! a ) ( x − 2 ) − 5( x − 2 ) + 4 = 0

b ) ( x + 3) − 7( x + 3) = 18

c ) x 2 + 6 x x 2 + 6 x + 4 − 77 = 0

d ) x 2 − 4 x x 2 − 4 x − 3 − 10 = 0

e ) x 4 + 4 x 3 − 19 x 2 + 4 x + 1 = 0

f ) 2 x 4 − 9 x 3 + 14 x 2 − 9 x + 2 = 0

4

(

2

)(

)

4

(

2

)(

)

f15. *** Alakítsd szorzattá a kifejezéseket!

44

a ) x4 − 5x 2 + 4

b ) x4 − 5x 2 + 6

c ) x3 + 4 x 2 + 5 x + 6

d ) x3 + 2 x 2 + 2 x + 1

e ) x4 + x2 + 1

f ) x 4 + 3x 2 + 4


f16. Mely valós számpárok teszik igazzá az egyenleteket? a)

x − 5y = 6

  2 2 x + 3 y = −1

x + 3 y = 7 d)  x⋅ y = 2 

b)

2x2 − 3 y2 = 5   2 x − y + 4 = 0

c)

x 2 + 4 y 2 = 100  x + 2 y = 14 

e)

y − 4 x = 9  x ⋅ y = −2 

x 2 + 5 y = 14 f) 2  x + y 2 = 10 

f17. *** Mely valós számpárok teszik igazzá az egyenleteket? a)

x 2 + y 2 = 20  x ⋅ y = −8 

1 1 1 − =  d ) x y 6 x + y = 5 

b)

3 x − 2 y = 4  xy = 2 

c)

e)

x + y + x + y = 32  x 2 − y 2 + x − y = 28

4 5  − = 1 x −1 y +1  f)  3 2  =  x+3 y

2

2

2 x 2 − 3 y 2 = 6  x⋅ y = 6 

Paraméteres egyenletek f18. Add meg az egyenletek megoldását az a, b, c és d valós paraméterek segítségével! a ) c x + 4 = 11

b ) b x = 7 − 5x

c ) a x = 6 − 2x

d ) d x + 9 = 3d − x

e ) (b− 2)x = b 2 − 4

f ) c x − 2 x = 2 x − 16 c 2

f19. Add meg az egyenletek megoldását az a valós paraméter segítségével! a ) a⋅ ( x + 6 − a ) = 3 ⋅ ( x + 3)

b ) 2 a⋅ ( x − 2 a ) = 4 ⋅ ( x − 4)

c)

2a x a+ x +1 = −1 3 2

f20. Milyen a ∈ R értéknél lesz az a ) a x 2 − 5 x + 2 = 0 egyenlet egyik gyöke 2? b ) 3x 2 + 5(a − 4)x − 3 = 0 egyenlet egyik gyöke a másik ellentettje? Melyek ezek a gyökök? f21. Határozd meg p-t úgy, hogy a x 2 − 2 p x + p(1 + p ) = 0 egyenletnek a ) két egyenlő gyöke legyen! b ) két különböző gyöke legyen! c ) ne legyen valós gyöke! f22. A p valós paraméter mely értékeire lesznek az adott egyenlet gyökei egyenlők? Ellenőrizd a megoldást!

x 2 − (2 − p )x + 2 x − 6 − p = 0

45


Valószínűség számítás f23. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a magyar kártya pakliból ászt húzok? f24. Mi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával páros számot dobok? f25. Kb. hány naponta lesz póker leosztásom elsőre, ha naponta pókerezek és minden nap 30 partit játszok? f26. Lóversenyünkön 10 ló indul 1 futamban, minden ló azonos eséllyel startol. 1. Fogadás tétre Ebben a fogadási nemben az első helyezett lovat kell eltalálni. Mekkora esélye van a nyerésnek, ha a 4 kedvenc lovadat teszed meg tétre? 2. Fogadás helyre Akkor lehet nyerni, ha a megadott ló az első 3 hely egyikén fut be. Mekkora esélye van a nyerésnek, ha a kedvenc lovadat teszed meg helyre? Bonusz: És ha a 4 kedvenc lovadat teszed meg helyre? (Igaz, hogy ha pl. csak az egyik ló kerül az első háromba, a nyert összeg valószínűleg nem éri el a befektetett összeget.) 3. Fogadás befutóra Az első két helyezettet kell eltalálni sorrendben. Egy ilyen fogadásnak mennyi az esélye? 4. Fogadás befutóra oda-vissza Az első két helyezettet kell eltalálni, mindegy melyik nyer. Egy ilyen fogadásnak mennyi az esélye? 5. Fogadás hármas befutóra Az első három helyezettet kell eltalálni sorrendben. Egy ilyen fogadásnak mennyi az esélye? 6. Fogadás hármas befutóra keverve Az első három helyezettet kell eltalálni, mindegy melyik nyer. Egy ilyen fogadásnak mennyi az esélye? f27. Mi a várható valószínűsége annak, hogy két kockával dobva a kapott számok összege 5? f28. Melyiket találhatjuk el nagyobb valószínűséggel: TOTÓ 13+1 találat vagy Hatoslottó 6 találat? Melyiknek mekkora a várható valószínűsége? (A TOTÓ-n a 14 mérkőzés mindegyike egyforma valószínűséggel lehet a házigazda csapat számára nyertes (1), vesztes (2) vagy döntetlen (x). A Hatoslottón 45 számból sorsolnak ki 6-ot.) f29. Anna és Berci a következő szabály szerint játszanak: feldobnak egy-egy dobókockát, és összeadják a dobott számokat. Anna nyer, ha az összeg prímszám, Berci pedig akkor, ha az összeg legalább 8. Mi a gyerekek nyerési valószínűsége?

46


f30. Egyszer az öttagú társaság egy betelefonálós rádióműsorban nyert két állóhelyet egy koncertre. A jegyeket kisorsolták maguk között. a. Hányféle lehetett a sorsolás eredménye? b. Mekkora a valószínűsége, hogy Cili megy a koncertre? f31. 50 piros és 50 fekete golyót hogyan helyezzünk el 2 dobozban, hogy véletlenszerű dobozkiválasztás és véletlenszerű húzás után valaki legnagyobb valószínűséggel piros golyót húzzon? f32. Mi a valószínűsége az 52 lapos pókerben a színflössnek (azonos színű 5 lap a kézben)? f33. Ha tippelek az elsőként és a másodikként beérkező futóra, mi a valószínűsége, hogy pontosan eltalálom ezt a két helyezést? (6 futó versenyez, azonos eséllyel) f34. Mi a valószínűsége annak, hogy helyesen tippelek arra a 3 futóra, akik a 6 közül dobogósak lesznek? (a helyezésük ezen belül nem számít). f35. Mi a valószínűsége leosztáskor a Royalflösnek a 32 lapos magyar kártyával játszott pókerben? (A pókerben 5 lap kerül leosztáskor a kézbe, Royalflöss: az 5 legnagyobb, azonos színű lap kerül egy kézbe: Á, K, D, B, 10). f36. Mi a valószínűsége annak, hogy két dobókockával legalább 7-es összeget dobok ki? f37. Marci a matekórán végzett számtalan kísérlet alapján tudja, hogy annak a valószínűsége, hogy a palackkal az ülőhelyéről betalál a szemetesbe, 12%. Azt is megszámlálta, hogy idén a matekórák kezdete előtt 60 esetből 13-szor jött be eddig István pont 5 perccel korábban. a. Mi a valószínűsége annak (az eddigiek alapján), hogy István most is belép 5 perccel órakezdés előtt? b. Kockáztassa-e azt, hogy órakezdés előtt 5 perccel palackot dob a szemetes felé, és ha az mellé megy, akkor az éppen belépő tanártól fejmosást kapjon? Ennek mekkora a valószínűsége? f38. Mi a valószínűsége annak, hogy KőPapírOlló játékban egymás után háromszor nyersz társad ellen? (Még döntetlent sem lesz.) f39. Ha nyitáson a FlipFlop evolúciós játékot játszik, (a vesztesek kiesnek, a nyertesek játszanak tovább egymással, döntetlen esetén első nyerésig küzdenek tovább), mi a valószínűsége annak, hogy a nyertes játszmáid után a végén te leszel a győztes? Hány játszmát játszol várhatóan? f40. A 0 0 1 2 5 7 számkártyákat megkeverjük, majd véletlenszerűen lerakjuk egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy a.

hattal osztható szám keletkezik;

b.

hússzal osztható szám keletkezik?

47


f41. A pároddal snóblit játszotok. Mindkettőtöknél 3-3 pénzérme van, ezek közül tetszőleges számút a kezedbe rejtesz, majd egymás után tippeltek, hány pénzérme lehet összesen kettőtök kezében. Az nyer, aki eltalálja a pontos számot.

48

a.

Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőként tippelő nyer?

b.

Az első tipp meghallgatása után mi a valószínűsége annak, hogy a második tippelő nyer?

c.

Hogyan változtatnál a szabályon, hogy egyenlőbbek legyenek az esélyek?


Középszintű érettségi feladatok algebrából, függvényekből f42. Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá: 5 5,25 é ଶ 2 3,5 a ) Számítsa ki az alábbi táblázat hiányzó értékeit! x 3

x

f(x)

g(x)

2,5

b ) Adja meg a g függvény értékkészletét! c ) Oldja meg a 5 5,25 ଶ 2 3,5 egyenletet a valós számok halmazán!

f43. Szélsőérték szempontjából vizsgálja meg az alábbi függvényeket!

a ) Írja a megadott függvények betűjeleit a táblázatba a megfelelő helyekre! : ; 2 ଶ

: ; | 2| : \0 ;

3

: ∞; 3 ; √3 : ; 2 ଷ

csak minimuma van

csak maximuma van

mind két szélsőértéke van

nincs szélsőértéke

b ) A k függvény értelmezési tartománya 0; 4 és " ଶ 6 5 •

Ábrázolja a k(x) függvényt koordináta rendszerben!

•

Adja meg az értékkészletét!

•

Adja meg a zérushelyeit!

f44. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségeket! Mindkét esetben ábrázolja számegyenes a megoldás halmazt! a )

௫ିଵ ଶ

௫ିଷ ସ

௫ିଶ ଷ

b ) 3 ଶ 1 % 4

c ) Mennyi a két megoldáshalmaz uniója illetve metszete?

49


f45. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet, egyenlőtlenséget! a ) 2ଶ 90 50,5 17 b)

ଷି௫ ହ௫ିଶ

(2

f46. A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját úgy ଵ kaptuk, hogy a : ) ); ଶ függvény grafikonját a * 2; 4,5 vektorral ଶ

eltoltuk.

a ) Adja meg az f függvény hozzárendelési szabályát képlettel! b ) Határozza meg a zérushelyeit! c ) Ábrázolja az f függvény grafikonját a 2; 6 intervallumon! d ) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! 1 ଶ 5 % 2 2 2

f47. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert! · , 600

10 · , 5 600 f48. Fogalmazza meg, a ) hogy az : ; | 2| 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az ଴ : ; ଴ || függvény grafikonjából! b ) Ábrázolja az f függvényt a 6; 6 intervallumon!

c ) Írja fel az -4; 1 és .5; 4 pontokon áthaladó egyenes hozzárendelési szabályát!

d ) Mely pontokban metszi ez az egyenes az f függvényt? (Válaszát indokolja!) f49. Adja meg, hogy mely x egész értékeire lesz a a ) -3,5 b ) pozitív egész szám c ) egész szám

50

଻ ଶି௫

kifejezés értéke


f50. Oldja meg a a ) 7 ( 2 2 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! b ) ଶ 6 % 0 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

c ) Legyen az A halmaz az a) rész megoldáshalmaza, B halmaz a b) rész megoldáshalmaza. Adja meg - / ., - 0 ., -\. halmazokat! f51. Az f és g függvényeket a valós számok halmazán értelmezzük a következő képlet szerint: 1 é 1ଶ 2 a ) Ábrázolja koordináta rendszerben az f függvényt a 3,5; 1 intervallumon!

b ) Ugyanebben a koordináta rendszerben ábrázolja a g függvény! c ) Oldja meg a 1ଶ 2 % 1 egyenlőtlenséget! f52. Oldja meg a ) a √ ଶ 3 3 1 2 egyenletet! b )az 1

2 6, 4 2 egyenletrendszert! 3 5, 20

f53. 2001-ben a havi villanyszámla egy háztartás esetében három részből állt. - az alapdíj 240 Ft, ez független a fogyasztástól, - a nappali áram díja 1 kWh fogyasztás esetén 19,8 Ft, - az éjszakai áram díja 1 kWh fogyasztás esetén 10,2 Ft. A számla teljes értékének 12%-át kell még általános forgalmi adóként (ÁFA) kifizetnie a fogyasztónak. a ) Mennyit fizetett forintra kerekítve egy család abban a hónapban, amikor a nappali fogyasztása 39 kWh, az éjszakai fogyasztása 24 kWh volt? b ) Adjon képletet a befizetendő számla F összegére, ha a nappali fogyasztás x kWh, és az éjszakai fogyasztás pedig y kWh! c ) Mennyi volt a család fogyasztása a nappali illetve és az éjszakai áramból abban a hónapban, amikor 5456 Ft-ot fizettek, és tudjuk, hogy a nappali fogyasztásuk kétszer akkora volt, mint az éjszakai? d ) Mekkora volt a nappali és az éjszakai fogyasztás aránya abban a hónapban, amikor a kétféle fogyasztásért (alapdíj és ÁFA nélkül) ugyanannyit kellett fizetni? f54. Az ଶ 0 egyenlet gyökei eggyel kisebbek, mint a ଶ 1 0 egyenlet gyökei. a ) Számítsa ki p valós paraméter értékeit! b ) Számítsa ki mindkét egyenlet gyökeit p=5 esetén!

51

10. évfolyam második epochafüzet

Recommend Documents